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Resumo teórico para estudo: Matemática - Conjuntos, frações, razão e proporção,potenciação e radiciação
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Matemática (Por Fernando Freitas)
Conjuntos
Tipos de conjunto:
Conjunto finito;
Conjunto infinito;
Conjunto Vazio;
Conjunto universo.
Simbologia:
: pertence;
: existe;
: não pertence;
: não existe;
: está contido;
: para todo (ou qualquer que seja);
: não está contido;
: conjunto vazio;
: contém;
: união;
: intersecção;
N: conjunto dos números naturais;
: não contém;
Z : conjunto dos números inteiros;
/ : tal que;
Q: conjunto dos números racionais;
: implica que;
Q'= I: conjunto dos números irracionais;
: se, e somente se;
R: conjunto dos números reais.
Subconjuntos: se todo elemento de A pertence também à
B, A é subconjunto de B (A B);
Todo conjunto é subconjunto de si próprio (A A);
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (Ø A);
Se o conjunto X possui M elementos, então ele possui 2m
subconjuntos;
O conjunto formado por todos os subconjuntos de A é
denominado conjunto das partes de A [P(A)];
Propriedades:
A - Ø = A;
Ø - A = Ø;
A - A = Ø;
A – B B - A;
Produto cartesiano: todas as combinações possíveis. Ex: A
= {0, 1, 2}, B = {c, d}, AxB = {(0d), (0c), (1d), (1c), (2d), (2c)}.
Frações
Todo número que possa ser escrito na forma A/B, onde B
≠ 0.
Dízima periódica:
Fração sem representação decimal exata;
Geratriz de dízima periódica:
Dízima simples: fração onde o numerador é o período e o
denominador é o número correspondente ao período de
algarismos 9 (nove). Ex: 0,777... = 7/9, 0,232323... = 23/99;
Dízima composta (na qual há um ou mais algarismos de não-
período antes do período): fração n/d, onde n = parte não-
periódica seguida do período menos a parte não-periódica, e d
= número de algarismos 9 (nove) correspondente ao período
seguidos do número de algarismos 0 (zero) correspondente à
parte não-periódica. Ex: 0,1252525... = 125-1/990 = 124/990,
0,04777... = 047-04/900 = 43/900.
Obs: Equação de geratriz de dízima periódica:
Dízima simples: 2,151515151515... 1 – x = 2,1515..., 2
– x = 2,1515... · 100 = 100 x = 215,1515..., 3 – 100x =
215,1515... – x = 2,1515... = 99x = 213; x = 213/99.
Dízima composta: 1, 388888... 1 – x = 1,3888... 2 – x =
1,3888... · 10 = 13,888 3 -- 10x = 13,888... · 10 = 100x
= 138,888... 4 – 100x = 138,888... – 10x = 13,888... =
90x = 125; x = 125/90.
Razão e proporção
Razão: divisão ou relação entre duas grandezas. Ex: Razão entre
300 e 150 = 30/15, razão entre 40 e 30 = 4/3.
Proporção: formada quando razão de A e B for igual à razão de C e
D: a/b = c/d.
Propriedades das proporções: dado que: a/b = c/d, ad =
bc;
a/b = c/d = a+c/b+d = a-c/b-d
Dado que a/b = c/d, a+b/ b = c+d/d.
Potenciação e Radiciação
Potenciação
An
, onde A é base e n é expoente. A será
elevado à n, ou seja, A se multiplicará por
si próprio n vezes.
Propriedades da potenciação:
Am ·
An = A
m+n
Am
/An = A
m-n
(A·B)m
= Am
· Bm
(A/B)-m
= (B/A)m
A-m
= 1/Am
A0 = 1
(Am
)n = A
mn
Am/n
= nA
m (toda raiz é uma potência
é vice-versa).
Radiciação
Operação inversa à potenciação. Seja um
número A (radicando) e um número N
(índice de raiz). A raiz enésima de A será
B, sendo que Bn
= A.
Propriedades da radiciação
nab =
na ·
n b
na/
nb =
na/b (b0)
(na)
m =
na
m
m
na =
mna
na
m =
pna
pm
n
ma = a
m/n
Propriedade de simplificação de
radicais: 372 =
32
3 · 3
2
(decomposição de 72) = 239.
Processo inverso: 435 =
3320, pois
sendo mna, eleva-se m à n e
multiplica-se o resultado por A.