L. CONUL CIRCULAR DREPT ­ PROBLEME REZOLVATE

1) Un con echilateral are aria sectiunii axiale 36√3cm 2 . Se cere: a) Aria totala si volumul conului ; b) Aria si unghiul sectorului de cerc obtinut prin desfasurarea suprafetei laterale a conului.c) La ce

distanta de baza trebuie dus un plan paralel cu aceasta astfel incit aria sectiunii obtinute sa fie 16π cm 2 .

REZOLVARE

V A G V A'

u°

2πR A' O' r B'

A O R B

a) Daca conul este echilateral ⇒ ∆VAB­echilateral

l 2 √3 l√3

­­­­­ = 36√3 ⇒ l = 12 cm ⇒ G = 12cm; R = 6cm ; H=­­­­­ = 6√3cm 4 2

πR 2 H π∙36∙6√3 Al = πRG =π∙6∙12 = 72π cm 2 ; At = πR(R+G) = π∙6(6+12)=108π cm 2 ;V = ­­­­­­ = ­­­­­­­­­­ = 72√3π cm 3

3 3

b)

u°.....................2πR

360°..................2πG

360°∙R u°= ­­­­­­­­­­­

G

Aria desfasurarii = Aria laterala a conului ⇒ Aria desfasurarii = πRG

360°∙6 u° = ­­­­­­­­­ ⇒ u = 180°

12

Aria desfasurarii = Al = 72π cm 2

VO' O'B' VO' 4 c) Aria sectiunii = πr 2 ⇒ πr 2 = 16π ⇒ r 2 = 16 ⇒ r = 4 ; ∆VO'B' ∼ ∆VOB ⇒ ­­­­­ = ­­­­­ ⇒ ­­­­­­ = ­­­­­­

VO OB 6√3 6

⇒ VO' = 4√3 ; O'O = VO ­ VO' = 6√3 ­ 4√3 ⇒ O'O = 2√3 cm.

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica

2) Generatoarea unui con circular drept este cu 2 cm mai mica decit triplul razei, iar inaltimea este cu 2 cm mai mare decit dublul razei. Se cere: a) dimensiunile conului; b) aria totala si volumul ;c) aria si unghiul sectorului de cerc obtinut prin desfasurarea conului d) aria sectiunii obtinute prin sectionarea conului cu un plan paralel cu baza care trece la trei sferturi de virf; e) Aria sferei inscrise

REZOLVARE

V V u° G

A A

A' O' r B' 2πR

A O R B

a) G = 3R ­ 2 ; H = 2R + 2 ; In ∆VOB cu m∠O = 90° ⇒ VB 2 = VO 2 + OB 2 ⇒ G 2 = H 2 + R 2 ⇒

(3R ­ 2) 2 = (2R + 2) 2 + R 2 ⇒ 9R 2 ­ 12R + 4 = 4R 2 + 8R + 4 + R 2 ⇒ 4R 2 ­ 20R = 0 ⇒ 4R(R ­ 5) = 0

⇒ R ­ 5 = 0 ⇒ R = 5 cm

G = 3⋅5 ­ 2 = 15 ­ 2 = 13 ⇒ G = 13 cm ; H = 2⋅5 + 2 = 10 + 2 = 12 ⇒ H = 12 cm.

b) Al = πRG = 65π cm 2 ; Ab = πR 2 = 25π cm 2 ; At = Al + Ab = 90π cm 2 .

c) u°...........R 360 ⋅ R 360°........G ⇒ u° = ­­­­­­­­­­­ ; Aria sector = A l= πRG

G

360° ∙ 5 u° = ­­­­­­­­­­­­ =1800° : 13 = 138° rest 6° ; 6° = 360' 360' : 13 = 27' rest9' ; 9' = 540" 540" :13 ≅ 42"

13

u = 138°27'42"

Aria sectorului = 65π cm 2

3 3 VO' O'B' d) VO' = ­­­­ ∙VO = ­­­­∙12 = 9 cm ⇒ VO' = 9cm ; O'O = 3cm ; ∆VO'B' ∼ ∆VOB ⇒ ­­­­­ = ­­­­­ ⇒

4 4 VO OB

9 r 9∙5 15 225π ⇒ ­­­­­ = ­­­­­­ ⇒ r = ­­­­­ ⇒ r = ­­­­­ cm ⇒ Aria sectiunii = πr 2 = ­­­­­­­­­ cm 2 .

12 5 12 4 16

e) Aria ∆VAB = AB∙VO / 2 = 10∙12 / 2 = 60cm 2 ; Semiperim. ∆ = (2∙13+10) / 2 = 18 cm

A 60 10 Aria sferei=4πR 2 s ; Rs=raza sferei=raza cercului inscris in ∆VAB ⇒ Rs= ­­­ = ­­­­ = ­­­ ⇒

p 18 3 ⇒ Aria sferei = 4π∙100 / 9 = 400π / 9 cm 2

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica

3) Un con circular drept are raza, inaltimea, generatoarea exprimate prin 3 numere naturale

consecutive si raportul dintre aria laterala si aria bazei 5 / 3. Se cere: a) Aria si volumul conului

b) raza sferei echivalente cu conul ; c) Dac@ punctul B se afl@ pe cercul de la baza conului astfel

^nc$t m@sura arcului AB = 120º, afla]i sin ∠ diedru format de planul (VAB) i planul bazei.

REZOLVARE

V O 3 60° 3

V 30°

A C B 4

A O R A' C O C

B

Al 5 πRG 5 R 3 a) ­­­­­­­ = ­­­­­ ⇒ ­­­­­­­ = ­­­­­ ⇒ ­­­­ = ­­­ ⇒ R = 3k ; G = 5k

Ab 3 πR 2 3 G 5

In ∆VOA cu m ∠O = 90° ⇒ VA 2 = VO 2 + AO 2 ⇒ G 2 = H 2 + R 2 ⇒ H 2 = 25k 2 ­ 9k 2 = 16k 2 ⇒ H = 4k

Daca R, H, G sunt numere consecutive ⇒ H = R+1 ⇒ 4k = 3k + 1 ⇒ k = 1 ⇒

R = 3 cm ; H = 4 cm ; G = 5 cm.

πR 2 H π∙9∙4 Aria = Al + Ab = πR(R+G) = π∙3(3 + 5) = 24π cm 2 ; V = ­­­­­­­­ = ­­­­­­­­ = 12π cm 3 .

3 3

4πR 3 S

b) Daca sfera este echivalenta cu conul ⇒ Volum sfera = Volum con ⇒ ­­­­­­­­­ = 12π ⇒ 3

⇒ R 3 S = 27 ⇒ R 3

S = 3 3 ⇒ R S =3 cm .

c) (VAB) ∩ (planul bazei) = AB VC ⊥ AB ; VC ⊂ (VAB) ⇒ ∠((VAB) ; (planul bazei)) = ∠(VC ; OC) = ∠(VCO) OC ⊥ AB ; OC ⊂ (planul bazei)

OA 3 Daca m(AB) = 120° ⇒ m∠(AOB) = 120°. In ∆OCA, m∠C=90°, ∠A=30° ⇒ OC= ­­­­­ ⇒ OC = ­­­­ cm

2 2

9 72 4 2√2

In ∆VOC,m∠O = 90° ⇒ VC 2 = VO 2 +OC 2 = 16 + ­­­­ = ­­­­ ⇒ VC = 3√2cm ⇒ sin∠(VCO)= ­­­­­­ = ­­­­­­ 4 4 3√2 3

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica

4) Desfasurarea suprafetei laterale a unui con este un semidisc cu raza de 8√3 cm. Se cere:

a) Raza, generatoarea si inaltimea conului ; b) Aria si volumul conului; c) Drumul cel mai scurt de la

A la B pe suprafata laterala a conului, unde[AB] este diametrul bazei conului; d) Volumul trunchiului

de con obtinut prin sectionarea conului cu un plan paralel cu baza la 3 / 4 din inaltime fata de virf.

REZOLVARE

V A G V A' 90° 90°

2πR C O' D B

A O R B

a) Raza sectorului de cerc obtinut prin desfasurarea conului = generatoarea conului ⇒ G = 8√3 cm

180° ............2πR 180° ............R

360°........... 2πG 360°........... 8√3

180°∙8√3 R = ­­­­­­­­­­­­ ⇒ R = 4√3 cm

360°

In ∆VOB, m∠O = 90° ⇒ VO 2 = VB 2 ­ 0B 2 = 192 ­ 48 = 144 ⇒ VO=√144 ⇒ VO = 12 cm

πR 2 H π∙48∙12 b)At = πR(R + G) = π∙4√3∙12√3 = 144π cm 2 ;V = ­­­­­­­­ = ­­­­­­­­­­ = 192π cm 3

3 3

b) Drumul cel mai scurt este coarda AB din desfasurarea conului.

In ∆AVB, m∠V = 90° ⇒ AB 2 = AV 2 + VB 2 = 192 +192 = 384 ⇒ AB = 8√6 cm

V CON MIC VO' V CON MIC 3 c) ­­­­­­­­­­­­­ = (­­­­­­) 3 ⇒ ­­­­­­­­­­­ = (­­­­) 3 ⇒ V CON MIC = 81πcm 3 ⇒

V CON MARE VO 192π 4

V TRUNCHI = V CON MARE ­ V CON MIC = 192π ­ 81π ⇒ V TRUNCHI = 111π cm 3 .

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica