Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 7º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Fundamental, 7º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau;

resolução de situações-problema

Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.

1. Introdução

Expressões algébricas

A resolução de vários problemas matemáticos faz uso de uma ferramenta muito poderosa

ÁLGEBRA


Imagem: Kwtleonard / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

• É o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas.

ÁLGEBRA


As expressões matemáticas formadas por letras e números são denominadas

ÁLGEBRA

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS



Consideremos um número racional qualquer, que denominamos x.

ÁLGEBRA

Vejamos como escrever algumas expressões com o número x.

O dobro desse número 2 · x ou 2xO terço desse número 1/3 · x ou x/3

O quadrado desse número menos 5 x² - 5O triplo desse número mais o próprio número 3 · x + x ou 3x + x

A terça parte desse número mais o próprio número 1/3 · x + x ou x/3 + x

Diferença entre esse número e


Podemos representar muitas situações do dia a dia com expressões algébricas. Acompanhe alguns exemplos.

APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA EM SITUAÇÕES REAIS


Uma blusa custa x reais e um short custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos?

Exemplo 1

Preço da blusa: x reaisPreço do short: y reais

Valor total: (x + y) reais


Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o preço da bandeja com 30 ovos?

Exemplo 2

Preço da dúzia de ovos: x reaisQuantidade de dúzia de ovos em uma bandeja dúzias.

Preço da bandeja: x reais


O comprimento de um terreno retangular é 50 metros maior que a largura. Qual a área desse terreno? E qual é o perímetro?

Exemplo 3

X + 50XTerreno


Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Largura: x

Área do terreno: x·(x +50)Comprimento: x + 50

Perímetro do terreno: x+(x+50)+x+(x+50)


Podemos substituir as letras por alguns números racionais.

Valor numérico de uma expressão algébrica

Quando calculamos a expressão para determinado número, o resultado é:

Valor numérico


Vamos acompanhar cada exemplo para uma melhor aprendizagem!

Utilizaremos os exemplos anteriores


Uma blusa custa x reais e um short custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos

Exemplo 1

Se o preço da blusa for 10,00 reais?Se o preço do short for 17,00 reais?

(x + y) = ?

(10,00 + 17,00) = 27,00


Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o preço da bandeja com 30 ovos?

Exemplo 2

Preço da dúzia de ovos: 3,00 reaisQuantidade de dúzia de ovos em uma bandeja: dúzias.

7,5 reais


O comprimento de um terreno retangular é 50 metros maior que a largura. Qual a área desse terreno? E qual é o perímetro?

Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Admitindo que x = 40 metros.


Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Largura: x = 40 metros

Área do terreno: x·(x +50)Comprimento: x + 50

40·(40 +50)=1600+2000 = 3600m²


Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Largura: x = 40 metrosComprimento: x + 50

Perímetro do terreno: x+(x+50)+x+(x+50)

40+(40+50)+40+(40+50) = 260 m


EQUAÇÃO

Uma sentença matemática com sinal de igualdade que apresenta, pelo menos, uma letra representando um número desconhecido chama-se

Equação



Exemplos de equaçãoObserve estas sentenças:

2x = 4

a² = 4

3x – 5y = 7 m/2 + n = 3

4 + m = 5

3x – 2x = 5


Não são exemplo de equaçãoObserve estas sentenças:

2x > 4

a² < 4

3x – 5y < 7

5 + 3 = 8


Cada letra de uma equação representa um termo desconhecido da equação. Ela é denominada

Incógnita



Exemplos de incógnitaObserve estas sentenças:

2x = 4

a² = 4

3x – 5y = 7 A incógnita é x

A incógnita é a

As incógnitas são x e y


Raiz ou solução de uma equação

A incógnita de uma equação pode assumir diversos valores, mas apenas para alguns desses valores a sentença será verdadeira.

Raiz ou solução de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a

sentença verdadeira.



Exemplo 1

Vamos verificar se o número – 1 é raiz da equação 8x + 3 = - 5.

8x + 3 = - 5 Substituímos x por (-1)

8 · (-1) + 3 = - 5 -8 + 3 = - 5 - 5 = - 5

PORTANTO, - 1 é RAIZ (ou solução) da equação 8x + 3 = - 5.


Exemplo 2

Qual é o valor de n na equação n + 10 = 25,para ela ser verdadeira?

n + 10 = 25

n = 25 - 10 n = 15

PORTANTO, 15 é RAIZ (ou solução) da equação n+ 10 = 25.


Exemplo 3

Qual é o valor de a na equação a/3 = 45, para ela ser verdadeira?

a/3 = 45

a = 3 · 45 a = 135

PORTANTO, 135 é RAIZ (ou solução) da equação a/3 = 45.


EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Elas possuem 2 membros, o 1º está à esquerda da igualdade, e o 2º está à direita.

É uma sentença aberta, ou seja, uma sentença que apresenta letras, expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas.


EQUAÇÃO DO 1º GRAU

No caso, estamos tratando de equação de 1º grau, por isso o expoente da variável é sempre dado por 1.

Ex: x + 5 = 11 1º MEMBRO 2º MEMBRO


RESOLUÇÕES DE EQUAÇÃO DO 1º GRAUEx 1: Um aluno do 7º Ano da escola Dr. Adilson Bezerra de Souza, em Santa Cruz do Capibaribe-PE, alugou o filme sobre a vida de Luiz Gonzaga, com o preço dado pela expressão 6x – 9 = 9. Qual o preço do aluguel do filme? 6x – 9 = 9 6x = 18 x=18:6 x = 3 V {3}


RESOLUÇÕES DE EQUAÇÃO DO 1º GRAUEx2.• Sendo U = Q , resolva a equação -3x = 5

4 6MMC(4,6)=12

-9x = 1012 12 -9x=10 => Multiplicado por (-1)

9x=10 x =-10 9Como -10/9 ϵ Q , então V= {-10/9}.


RESOLUÇÕES DE EQUAÇÃO DO 1º GRAUEx3.• Sendo U=Q, resolva a equação 2 . (x – 2) – 3 . (1 - x) = 2 . (x – 4). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

2x – 4 – 3 + 3x = 2x – 8 2x + 3x -2x = – 8 + 4 + 3 3x = -1

X= -1 3

Como -1/3 ϵ Q , então V= {-1}. 3


Situações-problemaExemplo 1. Somando as idades de Ana e de Beatriz, obtemos 15 anos. Calcule as duas idades, sabendo que o dobro da idade de Ana é igual ao quádruplo da idade de Beatriz.ResoluçãoAna: xBeatriz: 15 – xEquação:2x = 4(15 – x)2x = 60 – 4x2x + 4x = 606x = 60x = 60/6x = 10 Beatriz: 15 – 10 = 5

Ana tem 10 anosBeatriz tem 5 anos


Situações-problemaExemplo 2. Dois pacotes juntos pesam 30 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 8 kg a mais que o menor?Pacote menor: xPacote maior: x + 8Equaçãox + (x + 8) = 30 Pacote maior: 11 + 8 = 19 kg2x + 8 = 30 Pacote menor: 11 kg2x = 30 – 82x = 22x= 22/2x = 11 Pacote maior = 19 kg

Pacote menor = 11 kg


Situações-problemaExemplo 3. Uma estante custa quatro vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 120,00?Preço da cadeira: xPreço da estante: 4xEquaçãox + 4x = 1205x = 120x = 120/5x = 24 4x=96 O preço da estante é R$ 96,00


Situações-problemaExemplo 4. Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros. Qual é o valor de cada prestação?R$ 250 – R$ 30 = R$ 220Equação30 + 4x = 2504x = 250 – 304x = 220x = 220/4x = 55

O valor de cada prestação é R$ 55,00.


Situações-problemaExemplo 5. Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?Um número: xDobro: 2xQuádruplo: 4xEquaçãox + 2x + 4x = 847x = 84x = 84/7x = 12 O número é igual a 12.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental/ Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editora execultiva Juliane Matsubara Barroso. – 3ª ed. – São Paulo: Moderna, 2010. p. 132 – 134; 139 – 140 e 146 – 150.

<http://2.bp.blogspot.com/_g3yPegi7UUM/TKEfilJkxBI/AAAAAAAAApQ/OrvSplaQwcM/s1600/menino+estudando+gif.png>. Acesso em 25 jun. 2012, 22:10:12.

<http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcS9WtqRcUKyNJKjcSdJEVEOf504enM0DQkYjry-9-6pCU-XNyWC>. Acesso em 26 jun. 2012, 22:07:29.

<http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-equacao-1-o-grau-com-uma-incognita.htm>. Acesso em 27 jun. 2012, 01:07:47.

<http://www.alunosonline.com.br/matematica/problemas-envolvendo-equacoes.html>. Acesso em 14 jul. 2012, 12:58:12.

Tabela de Imagens

n° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se conseguiu a informação Data do Acesso

3 | 5 | 19 | 22

|24

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18/09/2012

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