Matemática Financeira e Comercial - Carlos Eduardo Epprecht; Roberto Minello

Matemtica

Financeira e

Comercial

Carlos Eduardo Epprecht; Roberto

Minello

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Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

Matemtica Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Contedo Programtico

Captulo 1 - Razo 1 - Introduo 2 - Razo

2.1 - Razes inversas.

x Exerccios de fixao x Exerccios propostos.

Captulo 2 - Proporo 1 - Introduo 2 - Proporo

2.1 - Definio 2.2 - Propriedade fundamental das propores 2.3 - Outras propriedades das propores 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporo contnua 2.6 - Terceira Proporcional.


Captulo 3 - Grandezas proporcionais e Diviso proporcional. 1 - Introduo2 - Grandezas diretamente proporcionais.3 - Grandezas inversamente proporcionais.


Captulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introduo 2 - Casos de Regra de Sociedade.


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Captulo 5 - Regra de trs simples 1 - Introduo 2 - Tipos de grandezas

2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais.


Captulo 6 - Regra de trs composta 1 - Introduo


Captulo 7 - Mdias 1 - Introduo 2 - Tipos de Mdias.

2.1 - Mdia Aritmtica 2.2 - Mdia Geomtrica 2.3 - Mdia ponderada 2.4 - Mdia harmnica


Captulo 8 - Porcentagem. 1 - Introduo 2 - Elementos de clculo percentual.


Captulo 9 - Operaes sobre mercadorias 1 - Introduo 2 - Vendas com lucro

2.1 - Sobre o preo de custo 2.2 - Sobre o preo de venda

3 - Vendas com prejuzo3.1 - Sobre o preo de custo 3.2 - Sobre o preo de venda.


Captulo 10 - Juros Simples. 1 - Introduo 2 - Regime de capitalizao

2.1 - Regime de capitalizao simples. 3 - Clculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais

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5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo mdio. 7 -Taxa Mdia

x Exerccios de fixaox Exerccios propostos.

Captulo 11 - Descontos Simples 1 - Introduo 2 - Tipos de descontos

2.1 - Descontos comercial, bancrio ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relao entre desconto comercial e o desconto racional.

3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples

4 - Fluxo de caixa e Equivalncia de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalncia de capitais.


Captulo 12 - Logaritmos. 1 - Introduo 2 - Definio 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudana de base 5 - Funo logartmica 6 - Logaritmos decimais

6.1 - Caracterstica 6.2 - Mantissa


Captulo 13 - Juros compostos. 1 - Introduo2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal

3.1 - Taxa nominal 3.2 - Clculo de taxa efetiva

x Exerccio de fixao x Exerccio propostos.

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Captulo 14 - Desconto Composto 1 - Introduo 2 - Desconto racional composto


Captulo 15 - Capitalizao e Amortizao 1 - Introduo 2 - Capitalizao Composta

2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Frmula do montante de uma renda imediata

2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Frmula de um montante de uma renda antecipada.

3 - Amortizao Composta 3.1 - Renda imediata

3.1.1 - Frmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada

3.2.1 - Frmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas


Captulo 16 - Emprstimos. 1 - Introduo 2 - Sistema Francs

2.1 - Montagem de uma planilha de amortizao 2.1.1 - Tabela Price

2.2 - Sistema de amortizao constante 2.2.1- Clculo do saldo devedor

2.3 - Sistema de amortizao misto


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1. Razo Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.

Esporte No de alunos Jud 50 Futebol 150 Natao 200 Handebol 50 Basquete 60 Nenhum esporte 90

Vamos analisar os dados da tabela acima atravs de alguns quocientes:

a) nmero de alunos que praticam natao nmero de alunos da escolaSignificado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natao.

b) nmero de alunos que praticam judnmero de alunos que jogam futebol Significado: O nmero de alunos que jogam futebol triplo do nmero de alunos que praticam jud.

c) nmero de alunos que praticam esporte nmero de alunos da escolaSignificado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.

2. Razo

Dados dois nmeros racionais a e b, com b 0, chamamos de razo ao quociente de a para b.Indicamos razo por

b

a ou a : b, onde a o antecedente e b o conseqente.

2.1. Razes inversas

Duas razes so denominadas de inversas, quando o produto entre elas igual a um.

3

1

600

200

3

1

150

50

20

17

600

510


Exemplo: 12

1

1

2

2

1e

1

2 x

Exerccios resolvidos

1) Estabelea as razes entre os nmeros abaixo:

2 e 10; 0,1 e 0,01; 4

3e

2

1

Soluo:

A razo entre 2 e 10 5

1

10

2

A razo entre 0,1 e 0,01 1001,0

1,0

A razo entre3

2

6

4

3

4

2

1

4

32

1

4

3e

2

1 x

2) Calcule a velocidade mdia de um trem que percorre 120km em 3h.

Soluo:

Chamamos de velocidade mdia ao quociente entre a variao de espao e a variao de tempo.

hKmVmt

Sm /40

3

120V '

'

Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.

4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.

Escala Medida do desenho Medida real 1:250 10cm 25m 1:400 25cm x 1:600 y 75m

As medidas x e y so respectivamente:

Soluo:

Escala = comprimento no desenho


comprimento real

x

25

400

1

x = 25 x 400 x = 10.000cm ou x = 100m

75600

1 y

600y = 75

ou125,0600

75myy

cmy 5,12

5) O estado de Gois tem uma rea aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma populao, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual a densidade demogrfica desse estado?

Soluo:

densidade demogrfica = nmero de habitantes rea

densidade demogrfica 2

76,11289.341

562.012.4

km

hab

Exerccios de fixao

1) Calcule a razo entre os nmeros:

a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c) 3

1e

2

1

2) Determine a razo entre a tera parte de 0,12 e o dobro de 0,1.

3) Determinar a razo entre 4cm2 e 2dm2.

4) (Unifor-CE) Se a razo entre dois nmeros 5

3 , a razo entre o quntuplo do primeiro e a tera

parte do segundo igual a:

a)9

1 b)

3

1 c) 1 d) 9 e) n.r.a.

5) Calcule a razo entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.


6) (UDF) Um estado brasileiro tem a populao de 10 milhes de habitantes e uma mdia de 40 hab/km2. Qual a sua superfcie? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a.

7) (TRF) Uma estrada est representada por 15 cm num mapa de escala 000.20

1 . O comprimento real

dessa estrada : a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam

8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distncia em 3,5h. Nas mesmas condies com a velocidade de 60km/h, quanto gastar para percorrer a mesma distncia?

9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de permetro. Se a razo entre as medidas 0,7, ento a rea desse terreno, em metros quadrados, igual a:

10) (IBGE) Observe o mapa de um stio na escala 1:10.000

O proprietrio do stio pretende cerc-lo com trs voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar igual a:

a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m

Exerccios propostos

1) Determine a razo entre os nmeros.

a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d) 3

5e

3

1

2) (E.E.Aer) O produto de duas razes inversas igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a.


3) Num concurso pblico, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razo entre o nmero de reprovados e o nmero de candidatos de:

4) Multipliquei o antecedente de uma razo por 5 e dividi seu conseqente por 2. A razo ficou:

a) dividida por 2 d) multiplicada por 10 b) multiplicada por 5 e) n.r.a. c) dividida por 10

5) (EPCAR) Chama-se densidade demogrfica a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea da mesma. Assim sendo, se a rea do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demogrfica for de 203 hab/km2, ento o nmero de habitantes dever ser:

a) superior a 1,5 x 106 d) exatamente a 1,3 x 106b) inferior a 1,1 x 106 e) aproximadamente 1,2 x 106c) superior a 1,3 x 106

6) (TTN) Num mapa, cuja escala 000.000.3

1 , a estrada Belm-Braslia tem 67cm. Calcular, em km, a

distncia real.

7) (TTN) Um automvel percorre a distncia de Braslia a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade mdia?

8) (UFMG) Dois caminhes-tanque carregam o mesmo volume de misturas de lcool e gasolina. A mistura de um contm 3% de lcool, e a do outro, 5% de lcool. Os dois caminhes descarregam suas cargas em um reservatrio que estava vazio. A razo do volume de lcool para o de gasolina na mistura formada no reservatrio, aps os caminhes terem descarregado:

a)25

1 b)

24

1 c)

16

1 d)

12

1 e) n.r.a.

9) O proprietrio de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que frao do terreno corresponde a rea total ocupada pela horta?

a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a.

400 500 50 40

10) Dois nmeros inteiros so tais que um deles igual quarta parte do outro. A razo entre o menor desses nmeros e a soma dos dois nmeros pode ser expressa pela frao:

a)5

1 b)

3

1 c)

4

3 d)

3

2 e) n.r.a.


RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

1) a) 31

62

b) 602

10100.

10

612

1002

1012

0,021,2

c)21

23

31

3231

9693

0,666...0,333... x

d)51

53

31

3531

x

2) b

3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O nmero de reprovados ser:

6000 1200 = 4800, logo a razo ser:

54k

60004800k

4) 1025

2

5.

bak

bakb

akbak xx x a alternativa correta a d

5)

x

eacorretaaalternativa

1.177.400habitantesde2035800habitantesde

5800

habitantesdenmero203

rea

habitantesdenmeroademogrficdensidade

oo nn


6)

o

x

km010.2xou

cm000.000.201x

000.000.367xx

67

000.000.3

1

realocompriment

desenhonoocomprimentescala

7)h

km20,97mV

15

2729mV

2

15

729mV

t

smV x '

'

8) caminho A: 3% de lcool e 97% de gasolina

caminho B: 5% de lcool e 95% de gasolina

8% de lcool e 192% de gasolina

24

1k

%192

%8k

b

ak

a alternativa correta a b

9) 1000 m2 = 100.000 dm2500

1k

000.100

200k

000.100

504k x

a alternativa correta a b

10)

aacorretaaalternativ

5

1

5

1

4

44

1

a

ka

ak

aa

ak

ba

ak

abba




2. Proporo Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

A proporo assunto de muita importncia na matemtica, como tambm, na vida.

Todo o estudo de aritmtica que fazemos tem por base a razo e a proporo, mostrando ao aluno suas aplicaes prticas.

2. Proporo

2.1. Definio

Chama-se de proporo a toda sentena que indica uma igualdade entre duas razes.

Podemos representar as propores das seguintes maneiras:

com (a, b, c, d racionais, no nulos).

L-se: a est para b assim como c est para d

2.2. Propriedade fundamental das propores

Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos e vice-versa.

d

c

b

a )0;;;( zx x dcbadacb

Numa proporo os termos so a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c so os meios e a e dso os extremos.

Exemplo:6

4

3

2 3 x 4 = 2 x 6 produto produto dos meios dos extremos

ou a : b = c : d ou a : b :: c : dd

c

b

a



1) Calcular o valor de x na proporo:10

12

5 x

Soluo: 610

6012510 x x xxx

Resposta: 6 x

2) Determinar o valor de y na igualdade: 6

5

2

3 y

Soluo 142

28y822y10182y1810-2y635)-2(y: x y

Resposta: 14 y

3) Obter o valor de x na proporo:x

2

3

1

2

1

3

Soluo:

9

5

18

10

3

1

6

10

1

36

10

6

103

6

523

2

6

5

32

6

23

3 x xx x xxxxxxxx

Exerccios de fixao

1) (ETAM-81) A proporo d

c

b

a pode tambm ser escrita:

a)d

b

c

a b) c

d

b

a c) d

c

a

b d) b

a

c

d e) n.r.a.

2) Calcule o valor de x na proporo:

a)3

1

2 x b)

x

1

2

5,0 c) x

4

3

12

1

d) 4

12

3

1

2

1

x

3) O valor de x na proporo

2

54

13

3

12

x

?


Exerccios propostos

1) (PUC) Qual das seguintes equivalncias verdadeira:

a)c

dc

a

ba

d

c

b

a

b) bdacd

c

b

a

c) dbcad

c

b

a

d)cd

dc

db

ca

d

c

b

a

2) Calcule o termo desconhecido nas propores abaixo:

a)25,25

1 x

b)x

4

2

1

2

11 y

c)3

12

3

2

12

x

3) Determinar valor de M na proporo:

12 (0,25)1/2 M 0,666...

=


2.3. Outras propriedades das propores:

P1 - Em toda proporo, a soma ou a diferena dos antecedentes est para a soma ou a diferena dos conseqentes, assim como um antecedente qualquer est para o respectivo conseqente.

d

c

db

ca

b

a

db

ca

d

c

b

aou 0;;; zdcba

d

c

db

ca

b

a

db

ca

d

c

b

aou 0;;; zdcba

P2 - Em toda proporo, a soma ou diferena dos dois primeiros termos est para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois ltimos termos est para o 3o ou 4o termo.

0;;;ou z

dcba

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

d

c

b

a

0;;;ou z

dcba

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

d

c

b

a

P3 - Em toda proporo, o produto dos antecedentes est para o produto dos conseqentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer est para o quadrado do respectivo conseqente.

0;;;ou2

2

2

2

z

dcba

d

c

bd

ac

b

a

bd

ac

d

c

b

a


Propores mltiplas:

Quando temos uma igualdade de trs ou mais razes, dizemos que se trata de uma proporo mltipla. Consideremos a srie de razes iguais:

,/ h

g

f

e

d

c

b

aento temos que: /

// hfdb

geca

h

g

f

e

d

c

b

a

Exemplo:

9

6

6

4

3

2 uma proporo mltipla pois:

9

6

6

4

3

2

963

642

ou

ou

De fato

9

6

18

12

6

4

18

12

3

2

18

12

e18

12

963

642

ou

ou

Generalizando, dada a srie de razes iguais:

f

e

d

c

b

a e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:

1)f

e

d

c

b

a

fdb

eca

2)f

e

d

c

b

a

fdb

eca

3)f

e

d

c

b

a

fdb

eca

4)f

e

d

c

b

a

fdb

eca



1) Calcule x e y na proporo 32

yx , sabendo que x + y = 15. Soluo:

Aplicando a propriedade P1, temos:

9455

35

15

332

630525

15

232

32yy

yyyx

xxxxyx

yx

Resposta: x = 6 e y = 9

2) Calcule o valor de x e de y na proporo 27

yx , onde x - y = 40.

Soluo:Pela propriedade P1, temos que:

16805

25

40

227

56280575

40

727

27yy

yyyx

xxxxyx

yx

Resposta: x = 56 e y = 16.

3) Determine os valores de p e q na proporo 3

8 q

p , onde p + q = 132.

Soluo:Observe que as incgnitas agora so antecedente e conseqente (e no antecedentes, como nos exerccios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.

3639611

3

11132

3

38

961056118

11132

8

38

3

8

qqqq

qp

pppp

qp

q

p

Resposta: p = 96 e q = 36.

4) Obter os valores de a e b na proporo 4

5 b

a , sabendo que a - b = 12.


Soluo:

Aplicando a propriedade P2, temos:

48

4

112

4

45

605

112

5

45

4

5

bbb

ba

aaa

ba

b

a

Resposta: a = 60 e b = 48.

5) Uma substncia qumica composta de ouro e ferro na proporo 2 partes de ouro para cada 3 de ferro.Para fabricar 30g dessa substncia, quantos gramas de ouro e de ferro sero necessrios?

Soluo:Aplicando a propriedade P1, temos:

30

32

yx

e

yx

18905

35

30

332

1260525

30

232

yyyyyx

xxxxyx

Resposta: A substncia qumica formada por 12g de ouro e 18g de ferro.

6) Calcule os valores desconhecidos.

8

125

cba

cba

Soluo:Aplicando a propriedade das propores mltiplas, teremos:


8

125

cba

e

cba

28414

8

1125

416424

8

2125

1040454

8

5125

cccccba

bbbbcba

aaaacba

Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2.

7) Calcule os valores de x e y na proporo abaixo:

42

yx e xy = 96

Soluo:Aplicando a propriedade P3, teremos:

96

42

xy

e

yx

x x x x x

x

x x xx

381612

16128

169616968

168

96

442

34

48488

9649648

48

96

242

2222

2

2

2222

2

2

yy

yyyyyyx

x

xxxxxxyx

Resposta: 3834 yx e

Exerccios de fixao

4) Encontre o valor de a e b, onde 2e26

baba

5) Calcular x e y na proporo 23

yx , sabendo-se que x + y = 30.

6) Calcule o valor de x e y na proporo 3

2 y

x, sabendo-se que x + y = 15.

7) Calcule dois nmeros positivos cujo produto 24 e a razo entre eles 2 : 3.

8) A razo entre a idade do filho e a do pai de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades 72 anos, calcule a idade do filho.

9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente ser:


10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 432

zyx , o valor de x :

11) Calcule o valor de x, y e z onde: 125

zyx e x - y - z = 6.

12) (E.E.Aer) O denominador de uma frao supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os

termos da frao de 1, a frao obtida resulta igual a 3

2 . Calcule o numerador da frao.

13) As dimenses de um terreno retangular esto na razo 8

5. Se a rea do terreno de 1000m2, ento

sua maior dimenso, em metros, mede:

14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e gua na proporo de uma parte de suco para trs de gua, fizemos 24 litros de refresco. Se tivssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporo de 2 partes de suco para 5 de gua, quantos litros de refresco teramos conseguido?

Exerccios propostos

4) (TCF) Sendo 52

ba , ento :

a)72

baa b) 25

bab c) 52

baa d) 105

bab e) n.r.a


yx , sabendo que x - y = 5.


2 y

x , sabendo que x + y = 10.

7) Se 189e37

xyyx , ento x - y vale:

8) Qual a frao equivalente a 2

3 cuja diferena entre seus termos 10?

9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contm lcool e gua na razo 14 : 5, ento o nmero de litros de lcool na mistura :

10) O nmero que diminudo de 3 unidades est para o seu consecutivo assim como 5 est para 6 :


11) O complemento de um ngulo est para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ngulo.

12) A razo entre os dois nmeros 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor 42, o maior deles :

13) Determinar os valores de a, b e c, onde 257

cba e a + b - c = 60.

14) (Banco do Brasil) Uma herana de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre trs pessoas, de modo que

a parte da primeira corresponda aos 5

2 da parte da segunda e aos

4

3 da parte da terceira. Quanto

tocar a cada uma das trs pessoas?

2.4. Quarta proporcional

Sendo a, b e c trs nmeros racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses

nmeros um nmero x, tal que: x

c

b

a

Exemplo:Calcular a quarta proporcional dos nmeros 2; 5 e 8.

Soluo:

Temos: 204028

5

2 xxx

2.5. Proporo contnua

toda proporo cujos meios so iguais.

Exemplo:9

3

3

1

2.6. Terceira proporcional

uma proporo contnua.

Sendo a e b dois nmeros racionais, no nulos, denomina-se de terceira proporcional desses nmeros um nmero x tal que:


Exemplo:x

b

b

a

Obter a terceira proporcional dos nmeros 2 e 4.

Soluo:

82

16162

4

4

2 xxxx


1) Calcular a quarta proporcional dos nmeros 6; 5 e 9.

Resoluo:

x

9

5

6 6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5

2) Determinar a terceira proporcional dos nmeros 2 e 12:

Soluo:

x

12

12

2 2x = 12 x 12 2x = 144 x = 72

Exerccios de fixao

15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75e8;12

a) 20 b)2

5 c)

2

35 d) 320 e) 340

16) A terceira proporcional entre 2 e 7 :

a)3

49 b)

2

49 c) 25,5 d) 26 e) n.r.a.

17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os nmeros 5 e 6 :

a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a.


Exerccios propostos

15) Calcule a quarta proporcional entre os nmeros:

a) 1; 2 e 5 b) 4

1e

3

1;

2

1 c)

2

1e2;1,0

16) Calcule a terceira proporcional entre os nmeros:

a) 2 e 3 b) 2

1e2 c)

5

1e

2

1


CAPTULO 2 Propores

1) a

2) a) 45,0x5

25,2x25,2x5

25,2

x

5

1

b)3

4x

3

22x

2

3

2x2x

2

3

2

14x

2

3

x

4

2

12

3

x

4

2

1:

2

11 x xx x

c)

x xx x

7,2x1027

x53

29

x

3529

x29

x35

233x

35

353

23x

312

3

212

x

3)

x x xx x

16M28M

2

1

8M8M

2

1

9

7225,0M

9

61225,0M

9

6

25,0

M

12

666,0

2/125,0

M

12

/

4) a


5)

10y2

y

1

5

2

y

23

yx

15x3

x

1

5

3

x

23

yx

6)

xx x xx x

6y5

30y30y5310y5

3

5

y

10

3

32

y

yx

4x5

20x20x5210x5

2

5

x

10

2

32

x

yx

7)

x x x xx

x x x xx

x

129-21y- xde valor O

9y812y812y

21

18992y18992y219

2y

21

189

23

2y

37

yx

21x4412x4412x

21

189492x189492x2149

2x

21

189

27

2x

37

yx

189y xe3

y

7

x

8)

20

30eequivalentfraoA:R

02b2

1

b

10

2

23

b

ba

30a3

1

a

10

3

23

a

ba

10b-ae2

3

b

a

9)

xx x xx x

oo

litros.560delcooldelitrosdenmeroO:R

20019

800.3800.319576019

5

19

y

760

5

514

y

yx

56019

640.10640.10191476019

14

19

x

760

14

514

x

yx

5

14

y

x760y xyguaxlcool

yyyy

xxxx

10) 23x185x5x65x518x61x53x66

5

1x

3x


11)

q Dq

Dq Dqq DD

Dq Dq

Dqx

Dqx

DqDq

DqoDqo

Do

452

909021802703

3270180903180131

18090

180lementosup

90ocomplement

nguloum

12)

x x

x

x xx

x

24nmeromaiorO:R

98

7224

8

3

8

3

247

1681687

4

168

4

34

1

42

4

3

1

428

64242

8

32422

8

3

8

3

aaaba

bbbbb

bb

bbbbbab

bab

a

13)

x x

x x

x x

1210

1201201026010

210

60

2257

3010

3003001056010

510

60

5257

4210

4204201076010

710

60

7257

cccccccba

bbbbbbcba

aaaaaacba

14)

x x

x x

x

x x

x x

000.28000.213

4

3

4

500.52000.212

5

2

5

000.2129

000.609000.60929

6

500.1016

6

8156500.101

3

4

2

5

3

4

4

3

2

5

5

2

500.101

zzxz

yyxy

xxx

xxxxxx

xzzx

xyyx

zyx


15) a) 10xx

5

2

1

b)6

1x

1

2

12

1x

2

112

1

x12

1x

2

1

4

1

3

1x

2

1

x

4

1

3

12

1

x xx x

c) 1010

1

11

10

1

2

12102

1

2

10 xx x xxxx,x

,

16) a) 2

9x9x2

x

3

3

2

b)8

1x

2

1

4

1x

2

4

1

x4

1x2

2

1

2

1x2

x

2

1

2

1

2 x x

c)25

2x

1

2

25

1x

2

125

1

x25

1x

2

1

5

1

5

1x

2

1

x

5

1

5

12

1

x xx x




3. Grandezas Proporcionais e Diviso Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

Ocorrem no dia-a-dia situaes que envolvem nmeros tais como: tempo; espao; velocidade; presso; massa; volume; salrio; horas de trabalho; nmero de empregados etc. A cada uma dessas situaes mencionadas acima chamamos de grandeza.

Assim, o nmero de horas de viagem realizado por um automvel depende da sua velocidade e do espao a ser percorrido.

As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

2. Grandezas diretamente proporcionais

2.1. Definio

Uma grandeza A proporcional a uma grandeza B, quando as razes entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto , sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;b3;...; bn), ento:

n

n

3

3

2

2

1

1

b

a....

b

a

b

a

b

aK

K denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;

Exemplo:

Sejam as sucesses de nmeros (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)

2

1

6

3K

2

1

8

4K

2

1

10

5K

2

1

12

6K

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade 2

1.


3. Grandezas inversamente proporcionais

3.1. Definio

Uma grandeza A inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto , se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), ento:

K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bnExemplo:

1) Sejam as sucesses de nmeros (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):

K = 1 20 = 20 K = 2 10 = 20 K = 4 5 = 20 K = 5 4 = 20 Resposta: O coeficiente de proporcionalidade 20.


1) Verifique se as seqncias de nmeros abaixo so diretamente ou inversamente proporcionais.

a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)

Soluo:Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razo uma constante.

3

1

15

5

12

4

6

2 K

Logo, so diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade 3

1.

b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2)

Soluo:

K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20 Logo, so inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade 20.


2) Divida o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

Soluo:

32

60

yx

yx

361805

35

60

332

24120525

60

232

yyyyyx

xxxxyx

3) Divida o nmero 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

Soluo:

3

1

2

1

20

yx

yx

8

3

243243

5

620

3

1

6

23

20

3

1

3

1

2

1

1222425

620

2

1

6

5

20

2

1

6

23

20

2

1

3

1

2

1

yyyyyyyx

xxxxxxyx

4) Divida o nmero 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4.

Soluo:

4814

1256125614

1214

56

12122

814

11225614

214

56

2122

56

122

1243

212

x x

x

x x

yyyy

yyx

xxxx

xyx

yx

yx

x

x

5) Divida o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4.

Soluo :


2

1

4

12

3

1

3

11

x

x

y

x

2

1

3

1

60

yx

yx

Exerccios de fixao

1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma mquina em dlares com o tempo decorrido, em anos, aps sua fabricao:

Tempo aps a fabricao (anos)

0 1 2 3 4

Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500

De acordo com a tabela, verdade que: a) O tempo decorrido de fabricao diretamente proporcional ao valor; b) O valor inversamente proporcional ao tempo decorrido aps a sua fabricao. c) O tempo de fabricao e o valor so duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decrscimo anual do valor da mquina inversamente proporcional ao tempo decorrido aps a

sua fabricao. e) n.r.a.;

2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) so duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais, ento: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

3) Duas grandezas, velocidade e tempo, esto relacionadas conforme a tabela:

Vm (m/s) 10 20 25 40

t (s) 20 10 8 5

a) Essas grandezas so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Construir o grfico da velocidade em funo do tempo.

x

x

36

2

722722

5

3602

5

660

2

1

6

32

60

2

1

2

1

3

1

243

723723

5

660

3

1

6

5

60

3

1

2

1

3

1

yyyyyyyyx

xxxxxxyx


4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas pores proporcionais aos nmeros 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m

5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126

6) Dividir o nmero 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 4

5 e 4

3 .

8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus trs scios, na proporo de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo scio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos scios.

9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razo direta de 8 e na razo inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razo direta de 9 e na razo inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa?

10) (Banco do Brasil) A importncia de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razo direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razo direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.

11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianas, em partes que sejam ao mesmo

tempo diretamente proporcionais a 3

2e7

4 e inversamente a

9

4 e 21

2. Quantas balinhas cada

criana receber?

12) Dados os grficos cartesianos:

I) II) III)

Aqueles que indicam, respectivamente, que y diretamente proporcional a x; que y inversamente proporcional a x; e que s a variao de y proporcional a variao de x so:

a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a. b) II; III; I d) III; II; I

y

x x

y

x

y


Exerccios propostos

1) (PUC) Para que as sucesses (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto , para que se

verifiquem a igualdade 20

5

8

9 xy

, os valores de x e y devem ser respectivamente:

a) 2 e 36 b) 5

1

4

1e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a.

2) (F. Carlos Chagas) Se as seqncias (a; 2; 5) e (3; 6; b) so de nmeros inversamente proporcionais e

a + m b = 10, ento m igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0

3) Duas grandezas, espao e tempo, esto relacionados conforme a tabela abaixo:

s (m) 40 60 80 100

t (s) 2 3 4 5

Responda as perguntas abaixo:

a) Essas grandezas so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboar o grfico do espao em funo do tempo.

4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos nmeros 6

1

3

1,2

1e , obtm-se

respectivamente:a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a. b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110

5) (Osec) A importncia de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os trs primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que so 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importncia que caber a cada um.

6) Dividir o nmero 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.

8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianas, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira.


9) Um prmio de R$ 152.000,00 ser distribudo aos cinco participantes de um jogo de futebol de salo, de forma inversamente proporcional s faltas cometidas por cada jogador. Quanto caber a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5?

10) Divida o nmero 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente.


1)

xx x

x

acorretaaalternativA

2X2040

x40x2058x20205

8x

36y49y41

y9

205

y9

205

8x

y9

2)

x

x

dacorretaaalternativA

2

5

12

30301250122010

5

12410

5

12512

43

12123

5623

mmmmmmba

bb

aaa

ba

3) a) essas grandezas so diretamente proporcionais

b)h

kmts

mvk 205

100

4

80

3

60

2

40 ''

c)60

40

2 3

s(m)

t(s)


4)

x

x

dacorretaaalternativA

zzzzzzyx

yyyyzyx

xxxxxzyx

zyxzyx

1106

6606

6

6660

6

1

6

123

660

6

1

6

1

3

1

2

1

2203

6603

6

6

660

3

1

6

1

3

1

2

1

3302

6602

6

66602

6

123

660

2

1

6

1

3

1

2

1

6

1

3

1

2

1

660

5)

x x

x x

x x

000.222z130

000.78037z000.78037z13037

130000.780

37z

374350zyx

000.258x130

000.78043y000.78043y13043y

130000.780

43y

374350zyx

000.300x130

000.78050x000.78050x130

50x

130000.780

50x

374350zyx

37z

43y

50x

000.780zyx

6)

x x

x x

163

484833683

5

6403

6

23

40

3

1

3

1

2

1

242

484822682

5

6402

6

23

40

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

40

yyyyyyyyx

xxxxxxxyx

yxyx


7)

x x x

x

2013

102626

10

13

10

13

23

1346

10

13

13

1013

46

13

10

13

10

1

1

2623

1346

1

13

1013

46

1

13

10

1

1

13

10

1

1

31

1

1

1

46

bbbbbbba

aaaaba

ba

,

baba

8)

bolas63bolas;52bolas;46bolas;31:menterespectivarecebervemcrianas As:Rddcd

ccbcbbab

aaa

aaaaa

adadcdacacbc

abdcba

63115211

526466

46153115

314

1241244681924

192684192322115

32112111

216156

15

192

x

00012000605

5

1

00020000603

3

1

00030000602

2

1

00030000602

2

1

0006076

30000152

30

610151530

000152

1

1

5

1

3

1

2

1

2

1

1

1

5

1

3

1

2

1

2

1

1

1

000152

.e.eae

.d.dad

.c.cac

.b.bab

.aa.

a.aedcba

edcba.edcba

9)


10)

x x x xx

x

xo

xo

245

260

2

560

2

5

11

1544

2

5

15

65

44

5

2

5

2

3

1

203

603603

11

15443

15

65

44

3

1

5

2

3

1

5

2

3

1

5

2

5

12

3

1

3

11

44

bbbbbbba

aaaaaaba

ba

b

a

ba




4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se renem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um perodo de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuzos.

Os problemas de regra de sociedade sero resolvidos atravs das aplicaes dos casos de divises em partes diretamente proporcionais.

2. Casos de Regra de Sociedade

1o ) Capitais iguais e tempos diferentes

Neste caso, o lucro ou prejuzo da sociedade ser dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanncia dos scios.

Exemplo:

1) Trs pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00?

Soluo:

a + b + c = 260.000

6

c

8

b

12

a

Aplicando a propriedade das propores teremos:

6

c

8

b

12

a

6812

cba

6

c

8

b

12

a 26

000.260

120.000a26

260.00012a260.0001226a

12

a

26

260.000

80.000b26

260.0008b260.0001226b

8

b

26

260.000


.0006c26

260.0006c260.000626c

6

c

26

260.0000

R.: O primeiro scio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.

2o) Tempos iguais e capitais diferentes

O lucro ou prejuzo ser dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos scios:

Exemplo:

1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada scio?

Soluo:

a + b + c + d = 840

25

d

75

c

60

b

50

a


100d210

21.000d21.000210d84025210d

25

d

210

840

300c210

63.000c84075210c

75

c

210

840

240b210

50.400b50.400210b84060210b

60

b

210

840

200a210

42.000a42.000210a84050210a

50

a

210

840

25

d

75

c

60

b

50

a

210

840

25

d

75

c

60

b

50

a

25756050

dcba

x

x

x

x

3o) Tempos diferentes e capitais diferentes

Os lucros ou prejuzos sero divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada scio.

Exemplo:

1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro scio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo scio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro scio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada scio?


Soluo:

a + b + c = 22.200

121.000

c

18800

b

151.200

a


6.000c2

12.000c12.0002c

12.000

c

2

1

12.000

c

44.400

22.200

7.200b2

14.400b14.4002b

14.400

b

2

1

14.400

b

44.400

22.200

9.000a2

18.000a18.0002a

18.000

a

2

1

18.000

a

44.400

22.200

12.000

c

14.400

b

18.000

a

44.400

22.200

12.000

c

14.400

b

18.000

a

12.00014.40018.000

cba

Exerccios de fixao

1) Trs pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada scio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00.

2) Dois scios ao constiturem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na diviso do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada scio?

3) Trs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro scio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada scio.

4) A, B e C formaram uma sociedade, o scio A entrou com o capital de R$ 2.000,00, scio B com R$ 1.500,00 e o scio C R$ 1.200,00 e tiveram um prejuzo de R$ 12.000,00. Sabendo que A ficou na sociedade 4 meses, B 8 meses, C 6 meses, qual foi o prejuzo de cada um?

5) (Banco do Brasil) Na constituio de uma sociedade, o scio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribudo o lucro final do exerccio, proporcionalmente s cotas do capital de cada scio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.


6) Trs scios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negcio que deu de lucro R$ 12.000,00. O scio A

entrou2

1 do capital, B entrou com

3

1 do capital e C com o restante.

Determinar a parte do lucro que cabe ao scio B.

Exerccios propostos

1) Uma sociedade constituda por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro scio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo scio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada scio?

2) Trs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuzo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuzo de cada scio.

3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois scios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses.

4) (TTN) Dois scios lucraram com a dissoluo da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O scio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o scio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do scio A.

5) Um prmio de R$ 900,00 deve ser distribudo entre trs pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu?

6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B esto entre si como 3 est para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuzo de R$ 311.100,00, calcular o prejuzo de cada scio.



1)

x

x

200.1b900

000.080.1b000.080.1b900800.1600b900600b

900800.1

600a900

000.540a000.540a900800.1300a900

300a

900800.1

600b

300a

600300ba600b

300a

800.1ba

2)

x x

x x

x x

1955324700

60002000600020004700

20004700

6000

8991414700

60001500600015004700

12004700

6000

9153114700

60001200600012004700

12004700

6000

000250012001200015001200

000250012001

0006

,.accc

,.abbb

,.aaaa

.

c

.

b.

acba.

c

.

b.

a

.cba

3)

x

x

x x

50048

36000600068

60008000

6000

50018

12000200068

20008000

6000

200060002000

600020004150021000

6000

.aabb

.aaaaaba

bababa


4)

x x

x x

x x

00016315

0001802800018028315

000180315

28

000180000315

00028

00012315

0001352800013528315

000135315

28

000135000315

00028

000135000180000135

0001800001351200015150009

00028

.a.

a.b

.

b.

b.

.

.a.

a.a

.

a

.

a

.

.

.

a

..

ba.

b.

a

.

b.

a

.ba

5)

x

200,00R$recebeupessoasegunda A :Rbbab

aaaaaa

ac

abcba

20010022

1009

900900990062

6

2

900

6)

x

x

x

x

506621161504371941003111

10031150437194110031121

5043719428

5100311

2

2

2

25

8

100311

2

2

225

3

100311

2

2

21

21

2

2

1

1

10031121

25

3

15

2

3

1

5

3

2

1

,.p,..p.,.p.pp

,.p.p

c

p

c

.

c

p

cc

.

c

pcc

ppc

pc

p.pp

cccc

c

c




5. Regra de Trs Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

So problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para soluo dos mesmos consiste em formar com trs valores conhecidos e a incgnita procurada, uma proporo e dela tiramos o valor desejado.

2. Tipos de grandezas.

2.1. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razo.

Exemplo:

1) Um automvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automvel gastaria para percorrer 200Km?

Distncia litros de gasolina 120 10 200 x

gasolinadelitros66,16x1202000

x2000x12010200x120x

10200120 x

2.2. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razo que a primeira aumentou e vice-versa.

Exemplo:

1) Um nibus com a velocidade 60Km/h percorre a distncia entre duas cidades em 3h. Que tempo levar, se aumentar a velocidade mdia para 90Km/h?

velocidade mdia tempo velocidade mdia tempo 60 3 60 x 90 X 90 3


h2x90

180x180x90360x90

3x

9060 x


1) Se 4 operrios tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecero 6 operrios?

Soluo:Indicando por x a quantidade de metros que tecero os 6 operrios, temos a seguinte disposio prtica:

no de operrios metros de tecido 4 200 6 x

Se 4 operrios tecem 200m, mais a operrios tecero mais metros.

Nesse exemplo as grandezas so: nmero de operrios e metros de tecido, assinalamos essa variao na disposio prtica, atravs de flechas do mesmo sentido. A proporo resultante ser:

m300x4

1200x1200x46200x4

x

20064 x

Resposta: 6 operrios tecero 300 metros de tecido.

2) Seis operrios levam 12 dias para executar uma obra, 4 operrios, em quanto tempo faro o mesmo trabalho?

no de operrios dias 6 12 4 x

bvio que 6 operrios levam 12 dias, menos operrios demoraro mais dias para a execuo da obra. Como o tempo necessrio para realizar o trabalho inversamente proporcional ao nmero de operrios empregados, indicamos essa variao com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razo

6

4 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporo:

no de operrios dias 4 12 6 x

dias18x4

72x72x4612x4

x

1264 x

Resposta: 4 operrios executaram a obra em 18 dias


Exerccios de fixao

1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de gua. Em 15 dias, ingerir: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.

2) Um operrio constri um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operrio para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?

3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, tm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dar a menor, enquanto a maior d 10?

4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de rea, foram empregadas 250 lajotas de cermica. O nmero de lajotas iguais necessrio para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura ? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460

5) (ETF-SP) Num livro de 192 pginas, h 32 linhas em cada pgina. Se houvesse 24 linhas por pgina, o nmero de pginas do livro seria:a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128

6) (ETF-SP) Um piloto d uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levar em mdia: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min.

7) (ESA) Um automvel gasta 10 litros de combustvel para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustvel ser de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400

8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de gua por hora e enche certo reservatrio em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatrio.

9) Um relgio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasar em 2 dias?

10) Uma fbrica tem y de homens para execuo de um trabalho em d dias, tendo contratado mais rhomens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estar executado?

a)y

rd dias b)

ry

rd

dias c) ry

dy

dias d) yrd

dias e) yddy

dias.


Exerccios propostos

1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessrios para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?

2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condies, executam em 10 dias?

3) Um nibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A at a cidade B em 2h. Nas mesmas condies e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastar para percorrer a mesma distncia?

4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e d 900 voltas, enquanto a roda menor d 1500 voltas. Qual o raio da roda menor?

5) (UDF) Uma mquina varredeira limpa uma rea de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condies, em quanto tempo limpar uma rea de 11.900m2?

a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a

6) Uma turma de operrios executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?

7) (ETF-SP) A cantina da escola possua um estoque de hamburguer a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metr, alguns alunos faltaram e o estoque de hamburguer se tornou suficiente para mais 5 dias. O nmero de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350

8) (UFB)So necessrios 25 dias para que sejam asfaltados 3

2 de uma determinada estrada . Para se

asfaltarem5

3 dessa mesma estrada, so necessrios:

a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias

9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua

velocidade fosse igual a 5

2 da anterior, faria o mesmo percurso em?

10) Um acampamento com 10 soldados dispem de vveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estar abastecido o acampamento?


RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) n de toques h

42 2

x 6

1262

25225226422

6

242 x xxxxx

2) horas dias 4 10 2 x

4 x

2 10

202

40402

102

4 xxxx

3) Vm h 80 2 100 x

80 x 100 2

36minhxh,xxx 16116102100

80

4) Raio voltas 75 900 x 1500

x 900 75 1500

45xxxx x x 15

75975915

1500

900

75


5) rea hora 5100 3 11900 x

hxxxxx.

.

751

35735751119351

3

90011

1005 x

6) coeficiente dias de dificuldade

0,1 10 0,15 x

diasx,

,

x,x,x,

,

1510

150101501010

10

150

10 x x

7) alunos dias 1800 15 x 20

x 15

1800 20

d4501350-1800

50xxxx

x x 13

20

18001518001520

20

15

1800

8) dias asfalto

25 3

2

x 5

3

d12he22dias xoudias5,22x45x215x32

5325x

32

5332

x

25 x


9) h/km,VmVmVmtsVm 5768

35

2400

60

35

40 ''

Vm tempo

68,5712

7

27,42 x

68,57 x

27,42 12

7

36seg27minhxh,x.

.

x

.x.xxx

,

,

146190432

77747

99947904327685727421212

768572742

12

74227

5768

x xx

10) n de soldados tempo 10 3 30 x

10 x 30 3

msxxx 13030330

10




6. Regra de Trs Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

Consideremos o problema abaixo

1) Um operrio, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias?

Soluo: Temos a seguinte disposio prtica

(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 3 dias x 100 objetos 4 dias

Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que est o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparao. Nessa comparao devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a varivel x, sem a preocupao com os demais grupos.

a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo

Se 2h um operrio faz 50 objetos x 100 objetos

Portanto, se em 2h um operrio faz 50 objetos, mais objetos para fabricar sero necessrios mais horas. Regra de trs direta flechas com o mesmo sentido

b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo

Se 2h um operrio faz em 3 dias x 4 dias

Ora, se em 2h um operrio leva 3 dias, mais dias menos horas o operrio vai precisar. Regra de trs inversa flechas com sentido contrrios.

Para a resoluo final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporo:


(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 4 dias x 100 objetos 3 dias

3x26

x6x232

x

2324

21

x

234

10050

x

2 x x

2) Na perfurao de um poo de 160m de profundidade, 40 operrios levaram 21 dias. Quantos dias 30 operrios levariam na perfurao de 200m de um poo igual ?

metros de profundidade no de operrios dias 160 40 21 200 30 x

Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessrios), ento essas grandezas so diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relao a nmero de operrios e dias necessrios, podemos dizer que essas grandezas so inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrrios.

Para resoluo do problema necessrio que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.

160 30 21

200 40 x

dias35x3

105x105x3215x3

x21

53

x

2143

54

x

214030

200160 x x x

Exerccios de fixao

1) Com 16 mquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas mquinas sero necessrias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias?

2) Com uma bomba eltrica, eleva-se 2100 litros de gua altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregar essa bomba para elevar 6300 litros altura de 4m?

3) Se 15 operrios fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operrios sero necessrios para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?

4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada ser concluda em?

5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo servio em 6 dias?


6) Os 5

2 de um trabalho foram feitos por 24 operrios em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em

quantos dias poder terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operrios, e os restantes trabalham 6h por dia?

7) Seis operrios, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operrios sero necessrios para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?

8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famlias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famlias sero visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?

9) Doze mquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze mquinas, quantas horas sero necessrias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias?

10) Dez operrios fazem 150m de uma construo em 18 dias de 8h de servio. Quantos metros 20 operrios faro dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?

Exerccios propostos

1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguir extrair 5,6 toneladas de carvo?

2) Uma equipe de 20 operrios escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operrios dever ser acrescida a equipe?

3) Trs mquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 mquinas que operassem 11h por dia?

4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de leo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual ser o consumo do leo?

5) (C.N.) Vinte operrios constrem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operrios sero necessrios para construir a tera parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia?

6) Um funcionrio, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatrios em 9 dias. Para que o mesmo funcionrio produza 65 relatrios em 6 dias, necessrio que ele aumente o seu trabalho dirio de um tempo correspondente a:

a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min.

7) (CEF-) Numa grfica, 8 mquinas executaram um certo servio em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas mquinas trabalharem 8h por dia, executaro o mesmo servio em?

a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias

8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em mdia 8h/dia. Quantos dias sero necessrios para percorrer 2916km, sabendo-se que a mdia a ser rodada de 9h por dia?

a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias


9) Vinte operrios, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m?

10) Doze pedreiros constrem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operrios, durante 24 dias, para construrem 36m2 do mesmo muro?


1) homens dias toneladas 15 30 3,6

20 x 5,6

10 x 3,6 30 3 5,6

diasxxxx,

,

x35

72

8430843072

84

7230

65

63

15

2030 x x x

2) operrios m3 hora 20 640 8

x 500 5

20 640 5 x 500 8

252003

000800008032004000203200

4000

320020

8

5

500

64020 x x x.

.

x.xxxx

R: A equipe dever ser acrescida de 5 operrios.

3) mquinas horas parafusos 3 8 4800

7 11 x

4001524

48007748007724

4800

77

244800

11

8

7

3.xxx

xx x x x


4) litros de leo rpm horas 20 1500 5

x 1800 3

litros,x.

.

x.xxxx

4145007

00010800010875005400207500

5400

750020

3

5

1800

150020 x x

5) n de dias hora operrios 20 45 6

x 15 8

x 45 6 20 15 8

45120

5400540012027020120

120

270

208

6

15

45

20 x x xxxxxx

R: Para construir a tera parte do muro sero necessrios 15 operrios.

6) hora relatrio dias

8 75 9 x 65 6

8 75 6 x 65 9

24min10h xou

h,xx.xxxx

x x 410

450

468068044505858450

585

4508

9

6

65

758

O funcionrio dever trabalhar 2h 24min a mais por dia. A alternativa correta a e

7) mquina dias hora

8 5 5 5 x 8


8 x 5 5 5 8

cacorretaaalternativa5x85

58

5x x

8) distncia dias horas

4320 5 8 2916 x 9

4320 5 9 2916 x 8

bacorretaaalternativa

diasx.

.

x.x..x..

.

xx3

88038

6401166401168803832823588038

32823

880385

8

9

2916

43205 x x

9) operrios horas dias metros

20 8 18 300 16 9 x 225

16 9 18 300 20 8 x 225

diasx.

.

xx..

.

xx15

00036

0003618360001820043

00036

2004318

225

300

8

9

20

1618 x x xx

10) pedreiros m2 dias hora

12 27 30 8 16 36 24 x

16 27 24 8


12 36 30 x

hx.

.

x.x..

.

xx10

36810

96012896012836810

96012

368108

30

24

36

27

12

168 x x xx




7. Mdias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

Muitas vezes os professores utilizam a mdia para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatstica a mdia utilizada como medida de posio central destacando a mdia aritmtica como uma das medidas de tendncia central.

2. Tipos de Mdias

2.1. Mdia Aritmtica

A mdia aritmtica de vrios nmeros igual ao quociente da soma desses nmeros pelo nmero de parcelas.

Exemplo:

Calcular a mdia aritmtica dos nmeros de 2; 4 e 6 :

43

642 am

2.1. Mdia Geomtrica

A mdia geomtrica de vrios nmeros a raiz, de ndice igual ao nmero de fatores, do produto desses nmeros.

Exemplo:

Calcular a mdia geomtrica dos nmeros 4 e 25.

10100254 x gm

2.3. Mdia Ponderada

A mdia ponderada igual ao quociente da soma dos produtos de cada nmero pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.


Exemplo:

Calcule a mdia ponderada dos nmeros 3; 4 e 5 cujo pesos so respectivamente 1; 2 e 2.

2,4521

51083

221 x252 x 41 x 3

pm

2.4. Mdia Harmnica

A mdia harmnica de vrios nmeros igual ao inverso da mdia aritmtica dos inversos desses nmeros.

Exemplo:

Calcular a mdia harmnica dos nmeros 2 e 4.

38

831

21

43

1

12431

124

121

241

21

1hm

x


1) Calcular a mdia aritmtica dos nmeros abaixo:

a) 1; 2 e 3 b) 3

1;2

1 c) 0,1 e 2

Soluo:

23

6

3

321) ama

12

5

2

1

65

1

26

5

1

26

23

2

3

1

2

1

) x

amb

20

21

2

1

10

21

1

210

21

1

210

21

2

1

2

10

1

2

21,0) x

amc

2) Calcular a mdia ponderada dos nmeros abaixo:

2 e 3 cujos respectivos pesos so 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos so 1; 1 e 2


Soluo:

a)3

8

3

62

21

2312 xx pm

b)4

13

4

832

211

241312 xxx pm

3) Calculando a mdia geomtrica dos nmeros abaixo:

a) 0,01 e 4

b) 254

1e

c) 1; 2 e 4

Soluo:

2,010

2

100

404,0401,0) x gma

5,22

5

4

2525

4

1) x gmb

228421) 3 333 xx gmc

4) Calcular a mdia harmnica dos nmeros:

a) 2 e 3

b) 4; 5 e 6

Soluo:

4,25

12

12

5

1

2

1

6

5

1

1

26

5

1

1

26

23

1

2

3

1

2

1

1)

x

hma

4,86 x

37

180

180

37

1

3

1

60

37

1

1

360

37

1

1

360

101215

1

3

6

1

5

1

4

1

1) hmb

5) A mdia aritmtica dos 8 nmeros de um conjunto 20. Se o nmero 4 for retirado do conjunto, qual ser a nova mdia aritmtica?


Soluo

Exerccios de fixao

1) Calcular a mdia aritmtica dos nmeros:

a) 4; 6 e 8

b)

c)

2) Calcule a mdia ponderada dos seguintes nmeros:

a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos so 1; 2 e 2.

b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos so 2; 3 e 4.

c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos so 2; 3 e 3

3) Calcule a mdia geomtrica dos nmeros:

a) 4 e 100

b) 0,45 e 0,05

c)

4) Calcular a mdia harmnica dos nmeros 4 e 6.

5) (EPCAR) A mdia aritmtica dos nmeros que aparecem no quadro; :

103,4 121,63 41,2 8,75 9,285

a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853

6) Achar as mdias aritmticas e ponderadas entre os nmeros 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos so 1; 2 e 7.

8

208

...21

aaa

160... 821 aaa

28,227

156

7

4160

2;1,0;2

1

9

4;5

2;8

3

28

9

7

4e


ab

b

a

2

ba

ba

ab

2

7) (Banco do Brasil) A mdia aritmtica dos 40 nmeros de um conjunto 70. Os nmeros 10 e 16 so retirados desse conjunto. A mdia aritmtica dos nmeros restantes ?

a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra.

8) Sabe-se que a mdia aritmtica entre 2 nmeros a e b igual a mdia geomtrica, ento, podemos afirmar que:

a) a e b so primos entre si.

b) os dois nmeros a e b so iguais.

c) a e b so nmeros compostos.

d) a e b so nmeros diferentes.

e) n.r.a..

9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionrios, a disposio dos salrios a seguinte:

nmero de empregados salrio

12 R$ 600,00

5 R$ 700,00

3 R$ 1.000,00

Qual o salrio mdio dos empregados dessa empresa?

Exerccios propostos

1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as frmulas da coluna da direita, sendo a e b nmeros inteiros positivos quaisquer, tem-se:

I - mdia harmnica dos nmeros a e b; a)

II - Mdia ponderada dos nmeros a e b; b)

III - Mdia geomtrica entre os nmeros a e b; c)

lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d)

V - Mdia aritmtica simples entre a e b; e) ba.


a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) e) n.r.a.

2) Sabendo-se que a mdia aritmtica e a mdia harmnica entre dois nmeros naturais valem, respectivamente 10 e pode-se dizer que a mdia geomtrica entre esses nmeros ser igual a:

a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a.

3) Colocar em ordem de grandeza crescente a mdia aritmtica; a mdia geomtrica e a mdia harmnica dos nmeros 6 e 12.

4) A mdia aritmtica de 11 nmeros 40. Se dois nmeros, 4 e 6 forem retirados qual ser a nova mdia?

5) Em um concurso pblico, trs provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual a mdia desse candidato?

6) A mdia harmnica entre os nmeros a; b e c;

7) Calcule a mdia aritmtica;

a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12

c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90

8) Calcule a mdia geomtrica.

a) 8; 15; 10; 12

b) 3; 4; 5; 6; 7; 8

9) Encontre a mdia harmnica.

a) 5; 7; 12; 15

10) Em certo ms, um aluno obteve em portugus as trs notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela mdia ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela mdia aritmtica simples, de um valor igual a:

ba

abca 2)

ba

abcb )

c

bac2

)

abacbc

abcd

3)

arne ..)

5

32


a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a.

RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) c

2)

864

645

32

10

5

32

20

22

20102

gm

abab

abba

abhm

baba

3)

xx

x

amgmhmba

abhm

,gm

am

818

144

18

12622

4682672126

92

126

4)

9

43010440

4401121

4011

1121

aaa

aaa

/

/

5) 0710

70

10

401812

523

582934,pm

xxx

6)

dacorretaaalternativa

abacbcabc3

abc3abacbc

1

13

abcabacbc

1

3c

1b1

a

11

hm

7) a) 1646

656143,am


b) 95

1210887 am

c) 9625

754132750423,

,,,,

am

d) 42797

90838280767570,am

8) a) 95,104 400.144 1210158gm xxx

b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm xx xxxxx

9) 118207

6801

6801

207

1

4

1

420

207

1

1

4

420

207

1

4

420

28356084

1

4

15

1

12

1

7

1

5

1

1,

.

.

hm x

10) a alternativa correta a e




8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introduo

muito comum os veculos de comunicao apresentarem as seguintes expresses:

x a cesta bsica teve um reajuste de 2,1%; x os rendimentos da caderneta de poupana para este ms foi de 1,21%. x 10% da populao brasileira so fumantes. Todos os enunciados acima podem ser expressos atravs de uma razo a qual denominamos de

porcentagem.

2. Elementos do clculo percentual

Nos problemas de porcentagem, trs elementos so importantes: O principal, que o nmero sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que o nmero de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que total das taxas.

Exemplo:

1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas so as meninas dessa sala?

Principal (c) = 35

taxa (i) = 20%

porcentagem (P)

Exerccios resolvidos:

1) Calcular

a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c)3

1% de 30

7100

700

100

2035

100

x

x

P

P

icP


Soluo:

a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal

Porcentagem = 4,2100

240120

100

2 x

Resposta: 2% de 120 2,4.

b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal


5,1 x

Resposta: 1,5% de 150 2,25.

c) 30%3

1de

Principal = 30

taxa3

1%

Porcentagem = taxa x principal


1030

100

31

x

Resposta:3

1 % de 30 0,1.

2) Num concurso pblico compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o nmero total de candidatos inscritos?

Soluo:

Consideramos x, o nmero de candidatos participantes do concurso e 80% a porcentagem de comparecimento.

X 100 1.500 80

875.180

00.15000.15080

80

100

500.1 xxx

Resposta: O nmero de candidatos 1.875.


3) O preo de um aparelho de som de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?

Soluo:

taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal

Porcentagem = 138000,500.1100

92

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Matemática Financeira e Comercial - Carlos Eduardo Epprecht; Roberto Minello