Matemática Financeira - Professor Leandro Morilhas - Gabarito

MATEMTICA FINANCEIRA

Professor Leandro Jos Morilhas

AGENDA Introduo ao uso da HP-12C Porcentagens e funes matemticas Funes financeiras: Fluxos constantes Pagamento nico e sries uniformes

Fluxos variveis

Taxa Interna de Retorno (TIR) Valor Presente Lquido (VPL)Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

AGENDAJuros Simples: Definio; Clculo dos Juros Simples; Clculo do Montante; Desconto Simples e; Exerccios. Juros Compostos: Definio; Clculo do Montante dos Juros Compostos; Valor Atual; Desconto Composto e; Exerccios. Sistemas de Amortizao de Emprstimos: Sistemas de Amortizao de Emprstimos (de curto e longo prazo) e; Exerccios.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Conhecendo melhor a HP 12 C

Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Ponto e vrgula decimaisCom a mquina desligada, execute: . (ponto: segure) ON . (ponto: solte) Isto muda o ponto decimal para vrgula e viceversa.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Nmero de casas depois da vrgula e troca de sinal Nmero de casas depois da vrgula: Execute f0, f1, f2, etc. para controlar o nmero de casas decimais. Troca de sinal: coloque um nmero no visor e aperte CHS (change sign).


Lgica RPN (Reverse Polish Notation)A HP 12-C usa a Notao Polonesa Reversa para efetuar as operaes. Enquanto que, para somar nas outras calculadoras, faz-se 3 + 2 =, para efetuar essa soma na 12C se faz 3 ENTER 2 +. Por esta razo no necessrio haver as teclas = e ( ). Para se poder usar a Lgica RPN com eficincia preciso conhecer o mecanismo da pilha operacional (stack). constituda de quatro memrias internas, chamadas de X, Y, Z e T. A memria X a que se v no visor. As demais so ocultas.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Lgica RPN (Reverse Polish Notation) Exemplo: Como funciona uma operao de soma na Notao Polonesa Reversa:T Z Y X 9 7 1 4 7 1 4 2 2 1 4 2 2 ENTER 1 4 2 3 3 1 1 4 5 + memria oculta memria oculta memria oculta visor

Programa


Clculo de ExpressesPara expresses mais longas, como abaixo, deve se tomar o cuidado de evitar que valores intermedirios saiam do T (stack overflow). O que produzir resultados finais com erro.Exemplo: (4,5 3,2)/[8,4 (1,3 x 6)]


Clculo de Expresses Exemplo: (4,5 3,2)/[8,4 (1,3 x 6)]T 1,0 Z 4,0 Y 8,0 X 9,0 Programa 4,0 8,0 8,0 9,0 9,0 4,5 4,5 4,5 4,5 ENTER 8,0 9,0 4,5 3,2 3,2 8,0 8,0 9,0 1,3 8,0 9,0 9,0 1,3 1,3 8,4 8,4 8,4 8,4 ENTER 9,0 1,3 1,3 8,4 8,4 1,3 1,3 1,3 1,3 ENTER 1,3 8,4 1,3 6,0 6,0 1,3 1,3 8,4 7,8 X 1,3 1,3 1,3 0,6 1,3 1,3 1,3 2,2

-

-

:

O resultado final correto em f9 2,16666667.


Exerccios1 Resolva as expresses abaixo: A-) (23 + 45,3) / {50 (15 X 2,1)]} = 3,69

B-) [9 + 13 X (6:2)] = 48C-) [53 x 30 + (10 3)] / [8 (5 x 3,1)] = - 212,93Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Rotao da pilhaA tecla R (Roll Down) permite visualizar a pilha e posicionar um valor da pilha em x para ser utilizado. mais usada em programao. Execute: 1 ENTER 2 ENTER 3 ENTER 4 R R R R Os valores 1, 2, 3 e 4 vo aparecer no visor.


Troca de X com Y

A tecla

troca o valor de x com o de y. : (divide)

Exemplo: 5/2 = 2,5 2 ENTER 5


Limpeza do VisorA tecla CLX (Clear X) colocar zero no visor, sem alterar o resto da pilha. Exemplo: multiplicar 0,5; 2; 3 e 4 pela constante 10. 10 ENTER ENTER ENTER 0,5 X CLX 2 X CLX 3 X CLX 4 X


ltimo XExecutando g LST X (Last X), o valor de x antes da ltima operao volta para x. Exemplo: 2 ENTER 9 + g LST X (o nmero 9 volta para x).


Nmeros muito grandes ou muito pequenosPara introduzir um nmero que tenha mais de 10 algarismos, como 16,55 bilhes (16.550.000.000 = 16,55 x 109), digite 16,55 EEX 9 ENTER. Se a base for negativa: 16,55 CHS EEX 9 ENTER. Se o expoente for negativo: 16,55 EEX 9 CHS ENTER. Se o expoente e a base forem negativos: 16,55 CHS EEX 9 CHS ENTER. Para ver os algarismos armazenados, execute f PREFIX (segure). Se quiser usar a notao exponencial permanentemente, execute f. (f ponto).Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Exerccios2 - Calcule os seguintes valores: A-) 2,34 x 106 + 3,1 x 107 = 3,334 X 107 B-) 55,32 x 104 65,2 x 103 = 4,88 X 105

C-) 34,22 x 109 23,24 x 104 = 3,422 X 1010Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

PorcentagensPara calcular um acrscimo de 10% sobre 50, execute 50 ENTER 10% +. Se um preo passou de $ 100 para $ 150, seu aumento percentual foi de: 100 ENTER 150 %, ou seja, 50%. Se o total de vendas foi de $ 1.000, o valor $ 100 corresponde a 10% do total: 1000 ENTER 100 %TTema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Funes MatemticasPassos na HP-12C 2 g (raiz quadrada de x) 3 g ex 20,09 g LN 10 1/X O que foi feito (raiz quadrada de ) 2 = 1,4141... e = 20,09 (anti ln 3) ln 20,09 = 3 1/10 = 0,1 Passos na HP-12C 2 ENTER 3 yx 2 ENTER 3 1/x yx 1,2 ENTER 4 CHS yx 4 g n! O que foi feito 2 = 8 21/3 = 1,26 1,2-4 =(1/1,2) 4 = 0,48 4! = 4x3x2x1 = 24


Exerccios3 Calcule os valores abaixo: A-) 2480 + 37% = 3397,60 B-) 3.560 35% = 2314 C-) 18,5% de 12.760 = 2360,60 D-) 34,76% de 2.350 = 816,86 E-) a variao em % de 287 para 356 = 24,04% F-) a variao em % de 500 para 350 = - 30% G-) quanto em % representa 20 de 150 = 13,33% H-) quanto em % representa 380 de 1.750 = 21,71%Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

ExercciosI-) raiz quadrada de 144 = 12 J-) raiz cbica de 729 = 9 K-) raiz oitava de 65.536 = 4 L-) 150 x 202 = 60.000 M-) 150 x 20-2 = 0,3750 N-) 76 = 117.649 O-) 81/3 = 2 P-) 3,8-3 = 0,02 Q-) 9! = 362.880Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Calendrio PermanenteSe quiser datas sob a notao americana (26-092010) execute g M.DY. Para a forma brasileira (26-10-2010), execute g D.MY (day, month, year). Exemplo: Se um CDB de 182 dias foi adquirido em 26-out-2010, qual a data do resgate? 26,102010 ENTER 182 g DATE Vence em 26 abr 2011, uma tera feira.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Calendrio PermanenteOs dias da semana so: 1 = segunda 2 = tera 3 = quarta 4 = quinta 5 = sexta 6 = sbado 7 = domingo Qual o intervalo em dias entre as datas: 26-out-2010 e 26-abr2011? 26,102010 ENTER 26,042011 g DYS ou 182 diasTema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Exerccios04 Calcule as datas: A-) Dias que faltam para o seu aniversrio B-) Dias que faltam para o natal C-) Quantos dias faltam para chegar em 10 de novembro de 2010 e em que dia da semana ele cai? D-) Voc aplicou hoje o seu dinheiro em um CDB para 115 dias, quando ser o vencimento?Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Limpeza das memriasH cinco tipos de memrias: A-) Pilha operacional B-) Registradores de uso geral C-) Registradores financeiros D-) Memrias de programao E-) Memrias estatsticas

Para limpar (zerar) a, b, c c d eTema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Execute f REG f FIN f P/R f PRGM f P/R f

Arredondamento e truncamentoArredondamento: Digite 123,456789 Execute f3 Execute f RND (RND = Rounded) Execute f9 Foi arredondado para 123,457 na memria (e no apenas no visor, como quando foi executado f3)Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Arredondamento e truncamentoTruncamento: Digite 12,34 Execute g FRAC (Frac = Fractionary) Restou apenas a parte fracionria na memria.

Digite 12,34 Execute g INTG (INTG = Integer) Restou apenas a parte inteira.


Funes financeiras: fluxos constantesMantenha sempre o flag c ligado no visor, executando STO EEX. Caso contrrio, o clculo de perodos fracionrios (0,4 meses por exemplo) ser feito por juros simples que errado. Se o fluxo de caixa for postecipado (lanamento sempre no final do perodo), execute g END. Se forem antecipados (no incio) execute g BEG. Neste caso, o flag BEG fica ligado no visor.


Significado dos Flags BEG e END

PV = Present Value (Valor Presente) FV = Future Value (Valor Futuro) i = Taxa de juros constante em todo o fluxo, em % PMT = Payment (Pagamento) N = Nmero de perodos iguais do fluxo.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Pagamento nico (quando PMT = 0)Se aplicarmos $ 100 a 10% a.m., no fim de 3 meses teremos $ 133,10. 100 ENTER 10% + 10% + 10% + que igual a 100 x (1,10) Usando as funes financeiras, esse clculo feito assim:f Clear 100 10 3 FV FIN PV i n


Pagamento nico (quando PMT = 0)Outros exemplos: Aplicando $100 e recebendo $133,10 em 3 meses, a rentabilidade ser de 10% a.m. f ClearFIN 100 CHS PV 133,10 FV 3 n i Em quanto tempo $100 se capitaliza em $ 133,10, a 10% a.m.? f ClearFIN 100 CHS PV 133,10 FV 10 i n Resposta: Em 3 mesesTema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Exerccios06 Resolva: A-) Aplicao de $500 por 5 meses com juros de 2% a.m. Qual o valor de resgate? R$ 552,04 B-) Resgate de $ 800 daqui a 3 meses. Se o valor aplicado for de $ 600. Qual a taxa de juros cobrada? 10,06% C-) Aplicao na poupana de $ 1.000 a ser retirada em um ano com uma taxa mensal de 1,5% a.m. Qual o valor de resgate? R$ 1.195,62Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Sries Uniformes (quando PMT no zero)Para financiar $ 200 em 6 meses a 15% a.m., as parcelas sero de $ 52,85, se postecipadas:

g END f ClearFIN 200 PV 6 n 15 i PMT Ou de $ 45,95, se antecipadas: g BEG PMT


Exerccios07 Voc est querendo adquirir uma geladeira que custa $800 vista. Como voc optou pelo parcelamento do produto, voc ir pagar em 10 prestaes de $ 88. O vendedor da loja lhe disse que a taxa de juros mensal cobrada pela empresa era de apenas 1,3% ao ms. Ele disse a verdade? Qual a taxa realmente cobrada? 1,77%Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Exerccios08 Voc quer comprar um carro que custa $ 27.000 vista. Como voc no tem o dinheiro, ir financi-lo e para isso, dispe de duas alternativas: A-) 10 pagamentos de $3.200 com entrada. 3,99% B-) 06 pagamentos de $5.200 sem entrada. 4,29%

Sob o ponto de vista dos juros cobrados, qual a melhor alternativa? Se a opo b fosse 06 pagamentos de $ 4.900, qual seria a taxa cobrada? Alternativa A. 2,49%.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Exerccios09 A metalrgica ML Ltda. Ter que saldar uma dvida, numa nica parcela no valor de $ 46.700 daqui a exatos 6 meses. Quanto ela dever poupar mensalmente, aplicando a juros de 2,5% ao ms, para que ela possa saldar essa dvida integralmente na data prevista? R$ 7.310,88.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Taxa Interna de Retorno, TIR (Internal Rate of Return, IRR)O custo mensal de uma dvida de $ 237,25, paga com o fluxo de caixa abaixo foi de 9,3% a.m.fim do ms Valor pago $ 1 57 2 31 3 31 4 31 5 64 6 0 7 19 8 0 9 0 10 152

Pergunta-se qual a TIR? 9,28% a.m.Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Taxa Interna de Retorno, TIR (Internal Rate of Return, IRR)Resoluo:PASSOS NA CALCULADORAf clear REG 237,25 CHS g CF0 57 g CFj 31 g CFj 3 g Nj 64 g CFj 0 g CFj 19 g CFj 0 g CFj 2 g Nj 152 g CFj f IRR


Exerccios10 Voc pagou uma dvida de $6.450 em 10 parcelas mensais com os valores a seguir, respectivamente: 450, 580, 690, 690, 690, 800, 800, 600, 700, 800. Qual a TIR da dvida? 0,92%


Valor Presente Lquido (Net Present Value NPV)No fluxo do exemplo da TIR, qual o NPV? Escreva o fluxo novamente, execute f NPV sem limpar a memria. O resultado zero, pois toda a dvida foi amortizada (paga).


Exerccios11 Um grupo de quatro alunos do MBA de RH da FIA, pretendem formar uma sociedade para adquirir um terreno com objetivo de explorar servios de estacionamento de carro e conseguiram obter os seguintes dados: - Renda Bruta Mensal de $ 22.000 - Despesas Mensais de $ 12.000 - Investimento Inicial (Terreno + Escriturao, etc) de $ 80.000 - Aps trs anos o terreno, as benfeitorias e o ponto devero ser vendidos por $ 200.000. - Pergunta-se vivel este empreendimento, considerando uma taxa de retorno de 60% ao ano? - R$ 120.000,00Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

JUROS SIMPLESDEFINIO DE JUROS SIMPLES: aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal CLCULO DOS JUROS SIMPLES: No regime de capitalizao simples, o juro calculado sempre sobre o capital inicial e seu valor igual em todos os perodos considerados. Assim, supondo um capital de R$ 100,00 aplicados a juro simples de 5% a.m., durante quatro meses, os juros podem ser calculados como segue:


FRMULAS: JUROS SIMPLES E MONTANTEFrmula Geral para o clculo de juros simples J=C.i.n onde: Frmula para o clculo do montante

M=C(1+in)

onde:

J = juro i=taxa unitria (0,05; correspondente a 5%) C= capital inicial(R$ 100) n=n de perodos que o capital ficou aplicadoTema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

M= Montante ou Valor Futuro i=Taxa de juros C = Valor Presente n = n de perodos a serem aplicados.

JUROS SIMPLES: EXERCCIOS1 - Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado em 15/02/2009 a uma taxa de juros simples de 1.200% O resgate foi realizado em 21/03/2010. Calcule os juros desta aplicao. 2 - Em quanto tempo triplica um capital aplicado a juros simples de 8% a.m.? 3 Um comerciante dever pagar R$ 150.000,00 em 90 dias. Quanto dever aplicar hoje, a 20% a.t., no regime de capitalizao simples, para saldar seu compromisso? 4 - Dois anos aps ter realizado um depsito a prazo fixo, um investidor verificou que possua R$ 112.000,00. Como o gerente da instituio ofereceu uma taxa de 15% maior que a anterior, o investidor decidiu reaplicar seus recursos por mais um ano, prevendo-se como montante final a quantia de R$ 137.760,00. Utilizando o Definio de capitalizao simples, determine o capital inicial depositado.


JUROS SIMPLES: EXERCCIOS5- Dois anos aps ter realizado um depsito a prazo fixo, um investidor verificou que possua R$ 112.000,00. Como o gerente da instituio ofereceu uma taxa de 15% maior que a anterior, o investidor decidiu reaplicar seus recursos por mais um ano, prevendo-se como montante final a quantia de R$ 137.760,00. Utilizando o Definio de capitalizao simples, determine o capital inicial depositado. 6 - Um comerciante dever pagar R$ 150.000,00 em 90 dias. Quanto dever aplicar hoje, a 20% a.t., no regime de capitalizao simples, para saldar seu compromisso?


DESCONTO SIMPLESQuando um ttulo de crdito (letra de cmbio, promissria, duplicata) ou uma aplicao financeira resgatada antes de seu vencimento, o ttulo sofre um abatimento, que chamado de desconto. Os ttulos possuem um valor, chamado nominal, que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o ttulo pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor este denominado de valor atual ou valor presente. Se o desconto for calculado sobre um nico valor do ttulo (nominal ou atual), o desconto ser denominado de desconto simples. Se o desconto for calculado sobre o valor nominal, chamado de desconto comercial, bancrio ou por fora e, se for calculado sobre o valor atual, chamado de desconto racional ou por dentro.


DESCONTO COMERCIAL OU POR FORADefinio: Desconto comercial, tambm conhecido por desconto bancrio ou por fora corresponde ao desconto calculado sobre o valor nominal de um ttulo.Frmula: dc = N.i.n Exerccios: 1 - Uma promissria de valor nominal de R$ 400,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento, taxa de 9% Qual o desconto? 2 - Para descontar uma duplicata de valor nominal de R$ 1.000,00, a 60 dias de seu vencimento, um banco aplicou o desconto por fora e cobrou R$ 135,00 de desconto. Qual a taxa anual cobrada pelo banco?


VALOR ATUAL COMERCIALDefinio: O valor atual (ou presente) de um ttulo aquele efetivamente pago (recebido) por este ttulo, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um ttulo igual ao valor nominal menos o desconto. O valor atual comercial obtido pela diferena entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado. Chamando-se o valor comercial de VC e aplicando-se a definio de valor atual, temos: VC = N.(1 in) Exerccios: 1-Um ttulo de crdito no valor de R$ 1.000,00, foi resgatado com 72 dias de antecedncia, descontado taxa de 120% de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate do ttulo. 2- Uma promissria de R$ 2.200,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento por R$ 2.035,00. Sabendo que foi aplicado o desconto comercial simples, qual a taxa de desconto?Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

DESCONTO RACIONALDefinio: O desconto racional ou por dentro corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do ttulo. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculados sobre o valor nominal do ttulo. O desconto racional obtido pela multiplicao do valor atual do ttulo pela taxa de desconto e este produto, pelo prazo a decorrer at o vencimento do ttulo. Frmula: dr = Nin (1+in) Exerccios: 1Qual o desconto racional de um ttulo com valor de face de R$ 270,00, quitado 02 meses antes de seu vencimento a 3% m.? 2 - Determine o desconto racional que uma nota promissria de R$ 400.000,00 ir sofrer 140 dias antes de seu vencimento, taxa de 72% Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

VALOR ATUAL RACIONALDefinio: O valor atual corresponde diferena entre o valor nominal e o desconto. Dentro desse Definio, o valor atual racional ser determinado pela diferena entre o valor nominal N e o desconto racional dr, ou seja: Frmula: Vr = N 1+in Exerccios: 1 - A 3 meses de seu vencimento, qual o valor presente de um ttulo cujo valor de resgate de R$ 1.800,00, a uma taxa de desconto racional de 2% m.? 2 - A 36 dias de seu vencimento, uma instituio financeira pagou R$ 940.000,00 por um ttulo de R$ 1.000.000,00. Qual a taxa anual de desconto racional usada pela instituio?


JUROS COMPOSTOSA capitalizao composta ou clculos dos juros compostos podem ser definidos da seguinte forma:A capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados at o perodo anterior. Frmula: S=P(1+i)n onde:

S = Montante de juros compostos P = Principal i = Taxa de Juros compostos n = perodo de aplicao.


JUROS COMPOSTOS - EXERCCIOS1- Foram realizadas 2 aplicaes de R$ 100.000,00, por um prazo de 14 meses, taxa de 5% m. A primeira dessas aplicaes foi utilizada no regime de capitalizao simples, enquanto na segunda foi utilizado o regime de capitalizao composta. Qual diferena do valor de resgate dessas aplicaes? 2 - Qual o montante de R$ 10.000,00, por 2 anos, taxa de 12% , capitalizados mensalmente?


VALOR ATUAL OU PRESENTEConsidere que se deseje determinar a quantia P que deve ser investida taxa de juros i. para que se tenha o montante S, aps n perodos, ou seja, determinar o valor atual de S. A frmula para o valor atual o seguinte: P = S .____1___ ( 1 + i )n Exemplo: Para garantir o pagamento de um compromisso de R$ 19.000,00, a ser quitado dentro de 6 meses e considerando uma taxa de juros compostos de 36% , capitalizadas trimestralmente, qual a quantia que deve-se aplicar hoje?Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

JUROS COMPOSTOS - EXERCCIOS1- Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos produzidos por um certo capital so iguais metade deste, se usar a taxa de 8% ? 2- A populao de uma cidade que tem 1.800 habitantes aumenta 20% aa. Quantos habitantes ter em 2 anos? 3 - Um aplicador colocou R$ 80.000,00 a juros de 12,8% , capitalizados trimestralmente. Qual o montante no fim de um ano e trs meses? 4 - Para receber R$ 54.350,00 ao final de 5 meses, a uma taxa de 15% m. Qual a quantia que voc deve aplicar hoje? 5 - Aplicando R$ 10.000,00 a juros compostos de 4% a.m., voc poder resgatar R$ 16.010,00 ao final de quanto tempo?Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

TIPOS DE DESCONTOS COMPOSTOSDefinio: Desconto composto corresponde soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada perodo de capitalizao. Desconto comercial composto: Usado apenas para efeitos didticos, sem aplicao prtica.

Frmula: Dc = S S(1-d)n Onde:Dc = Desconto Comercial Composto S = Valor Futuro do ttulo d = Taxa de desconto composto n = Nmero de perodos da operao


DESCONTOS COMPOSTOS EXERCCIOSExerccios: 1 - Uma duplicata no valor de R$ 290.000,00, com 120 dias para o seu vencimento, descontada a uma taxa de 3% m., pelo conceito de desconto comercial composto. Qual o valor do desconto? 2 - Um CDB, com 60 dias a vencer, foi descontado taxa de 3% a.m., produzindo um desconto de R$ 4.379,88. Qual o valor nominal do ttulo?


DESCONTO RACIONAL COMPOSTODefinio: A exemplo do desconto racional simples, o desconto racional composto calculado sobre o valor atual (presente) de um ttulo, com a diferena de se utilizar o regime de capitalizao composta. Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou racional ou por dentro) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valor presente (ou atual) de um ttulo. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o valor atual, resulta no valor futuro (ou nominal) do ttulo. Frmula: Dr = S. (1 + i)n 1 (1 + i)n


DESCONTO RACIONAL COMPOSTO - EXERCCIOS1- O valor do desconto real de uma nota promissria, que vence em 36 meses, de R$ 11.318,19. Admitindo-se que utilizada uma taxa de 2% a. m. de desconto racional, qual o valor nominal do ttulo?

2 - O desconto real de um ttulo de R$ 50.000,00 foi deR$12.698,22. Sendo a taxa de juros mensal cobrada de 5%, qual o prazo de antecipao?


SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOSEMPRSTIMOS DE CURTO PRAZONos emprstimos de curto prazo (inferior a 1 ano) costuma-se utilizar o sistema de juros simples, sendo que as formas mais freqentes de se saldar o dbito so: a-) O principal e os juros so pagos somente ao final do perodo de emprstimo. b-) Os juros devidos ao principal, pelo perodo total do emprstimo, so cobrados antecipadamente, ou seja, no prprio momento em que se contrai a dvida. c-) Um terceiro mecanismo de amortizao de emprstimos a curto prazo, e que raramente utilizado hoje em dia, aquele em que o dbito saldado com os juros sendo pagos mensalmente e o principal no final do prazo do financiamento, (encargos mensais, principal no final).


SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOSEMPRSTIMOS DE LONGO PRAZOAo contrrio dos casos de financiamento a curto prazo, o regime estipulado para a remunerao de capitais emprestados a longo prazo (mais de 1 ano), costuma ser o de juros compostos. Um mtodo importante bastante utilizado o mtodo francs, ou de Prestaes Peridicas Constantes, ou, como mais comumente chamado, de Tabela Price, apresentado a seguir.


SISTEMA FRANCSPelo sistema Francs, o emprstimo amortizado em prestaes iguais e consecutivas, a partir do momento em que comeam as amortizaes.P = R . (1+i)n 1 ou P =FVA(i,n) i. (1+i)n P = o valor devido R = prestao ou anuidade (apesar do nome anuidade, pode ser mensal, trimestral, anual, etc). i = taxa de juros por perodo n = nmero de termos de sries de pagamentos, nmero de anuidades, prestaes FVA = Fator de valor atual de uma srie de pagamentos a n i = (1+i)n 1 i. (1+i)n Frmula:Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

SISTEMA FRANCS - EXEMPLOExemplo: Para melhor visualizao do sistema francs vamos considerar a amortizao de um emprstimo de R$ 100.000,00, a uma taxa de 10% a.a., atravs de 8 prestaes anuais. Para tanto, vamos elaborar uma planilha de emprstimo, ou seja, um quadro demonstrativo contendo, para cada n, o juro, a amortizao, a prestao e o saldo devedor. A planilha de amortizao do emprstimo pode ser elaborada como segue:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Saldo Devedor R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 R$ 91.255,60 R$ 81.636,76 R$ 71.056,04 R$ 59.417,24 R$ 46.614,56 R$ 32.531,62 R$ 17.040,38

Prestao R$ R$ 18.744,40 R$ 18.744,40 R$ 18.744,40 R$ 18.744,40 R$ 18.744,40 R$ 18.744,40 R$ 18.744,40 R$ 18.744,40

Amortizao R$ R$ 8.744,40 R$ 9.618,84 R$ 10.580,72 R$ 11.638,80 R$ 12.802,68 R$ 14.082,94 R$ 15.491,24 R$ 17.040,36

JurosR$ R$ 10.000,00 R$ 9.125,56 R$ 8.163,68 R$ 7.105,60 R$ 5.941,72 R$ 4.661,46 R$ 3.253,16 R$ 1.704,04


SISTEMA PRICEQuando Richard Price, um ingls, idealizou a tabela Price, na verdade usou o prprio sistema de amortizao francs fixando: a) taxa nominal em anos (nas transformaes usamos taxas proporcionais) b) prestaes mensais. Exemplo: Uma dvida, no valor de R$ 2.000,00, vais ser amortizada pelo Sistema Price, sem entrada, com pagamento em 4 prestaes iguais, mensais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 30 dias da data do emprstimo, com taxa de 24% a.a. Construa a planilha referente a essa dvida.N 0 1 2 3 4 Saldo Devedor R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 1.513,37 R$ 1.017,93 R$ 513,53 Prestao R$ R$ 522,81 R$ 522,81 R$ 522,81 R$ 522,81 Amortizao R$ R$ 486,63 R$ 495,44 R$ 504,40 R$ 513,52 Juros R$ R$ R$ R$ R$ 36,18 27,37 18,41 9,29


EXERCCIOS SISTEMA PRICE1- Construir uma planilha de amortizao de um emprstimo de R$ 50.000,00, pagvel em 8 parcelas semestrais, com uma taxa de juros de 5% a.s., pelo sistema francs. 2- Com base no exerccio anterior, qual o saldo devedor no final do 2 ano? 3- Ainda com base no exerccio 1, da prestao paga no 3 semestre, qual a parcela correspondente amortizao principal?


TABELAS FINANCEIRAS: FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL


FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS


Lista de Exerccios


Lista de Exerccios01 - Joo contraiu um emprstimo de R$ 1.732 para ser pago daqui a 7 meses, a juros de 12% a.m. Quanto dever ser pago no vencimento? R$ 3.828,90 02 Pedro aplicou R$ 7.212,00 em um investimento que rende 8,5% a.m. Quanto poder sacar daqui a 2 meses? R$ 8.490,15 03 Jos comprou uma calculadora cujo preo vista era de R$ 28.212,00. Como no possua esse montante, resolveu pagar a prazo, por meio de um plano de 10 prestaes mensais iguais e consecutivas, a juros de 7% a.m. Qual o valor das mensalidade? R$ 4.016,75


Lista de Exerccios04 - Antnio aplica R$ 39.000,00 em um investimento que paga juros de 6,33% a.m. Para poder retirar esse valor em 12 parcelas iguais durante o ano, qual ser o valor do saque mensal? R$ 4.736,33 05 - Uma empresa ingressa na justia, movendo ao de perdas e danos. Se essa causa for perdida, ter que pagar, em 48 horas a importncia de R$ 157.200,00 em moeda de hoje. Para se precaver, resolve depositar uma certa quantia em um fundo de investimentos, que rende 12,33% a.m. Sabendo-se que esse processo demora no mnimo 2,5 anos, quanto a empresa dever depositar hoje no fundo?

R$ 4.803,7406 Jos pagou, por meio de seu carto de crdito, a quantia de R$ 74.666,00 referente compra de um produto, realizada h 45 dias. Sabendo-se que o custo do dinheiro foi de 9,3% a.m., por quanto poderia ter custado este produto, se comprado vista? R$ 65.277,50Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Lista de Exerccios07 Quando nasceu Maria, seu pai resolver depositar, todo ms de dezembro certa quantia de dinheiro, de tal modo que tivesse ao casar com 25 anos, uma reserva de R$ 500.000,00, a valores de hoje. Se o dinheiro pode ser aplicado a 11% a.a, de quanto devero ser os depsitos anuais a valores de hoje? R$ 4.370,12 08 - Uma empresa realiza uma compra para ser faturada em 30/60/90 dias. Cada parcela vale R$ 1 milho. Se o custo do dinheiro de 15% a.m. qual deveria ser o valor da compra para pagamento vista? R$ 2.283.225,12 09 - Uma mercadoria pode ser paga vista com R$ 70.000,00, ou em 5 parcelas mensais sem entrada de R$ 20.000,00. Qual o juro cobrado? 13,2%


Lista de Exerccios10 - No caso anterior, se o pagamento fosse de 1 + 4 parcelas de R$ 20.000, qual teria sido a taxa cobrada? 21,86% 11 - Se no problema 09, a taxa fosse de 10% a.m., quantas parcelas mensais postecipadas de R$ 20.000,00 seriam cobradas? Aproximadamente 4. 12 Um emprstimo de R$ 70,00 foi liquidado em uma nica parcela de R$ 103,00, a juros de 7% a.m. Qual o prazo decorrido? 5,7 meses 13 Mensalmente, foi aplicado R$ 49,00 em um fundo, durante 27 meses, fornecendo ao final um saldo de R$ 3.250,00. Qual a rentabilidade mensal desse fundo? 6,26% 14 Um lote de aes foi adquirido por R$ 172,00 e vendido 52 dias depois por R$ 232,00. Qual a lucratividade mensal dessa operao? 18,84%Tema: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

REFERNCIAS BIBLIOGRFICASLAPPONI, Juan Carlos. Matemtica Financeira - Uma Abordagem Moderna. Lapponi Editora Ltda, 2 Edio, 1994.MATHIAS, Washington Franco e GOMES, Jos Maria. Matemtica Financeira. Editora Atlas, 1996. NETO, Alexandre Assaf. E MARTINS, Eliseu. Administrao Financeira. Editora Atlas, 2000. SOBRINHO, Jos Dutra Vieira. Matemtica Financeira. Ed. Atlas 4. Edio 2001. S.Paulo.


Dvidas ???


Muito

!

Professor Leandro Jos Morilhas E-mail: [email protected]: Matemtica Financeira Professor: Leandro Morilhas

Documents

Matemática Financeira - Professor Leandro Morilhas - Gabarito