Matematica Financiera Libro Marco Fidel Castillo

Indice general

1. Conceptos basicos del interes 1

1.1. Interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Concepto de acumulacion como funcion . . . . . . . . . . . 2

1.3. Tasa efectiva de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Tasa efectiva de descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Equivalencia entre tasa efectivas de interes y tasa anticipadade interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6. Plazo comprendido entre fechas y tabla de dias . . . . . . . 8

1.7. Diagramas de tiempo y efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Interes Simple 13

2.1. Interes Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Interes simple con principal constante y tasa nominal variable 17

2.3. Interes con principal variable y tasa nominal constante . . . 19

2.4. Interes con principal y tasa nominal variables . . . . . . . . 20

2.5. Acumulado con principal y tasa nominal constante . . . . . 21

2.6. Ecuaciones de valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Interes compuesto 27

3.1. Interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Acumulado con principal y tasa efectiva constante . . . . . 28

3.3. Acumulado con principal constante y tasa efectiva variable 34

3.4. Acumulado con principal y tasa efectiva variable . . . . . . 36

3.5. Acumulado en funcion de la tasa nominal . . . . . . . . . . 37

3.6. Interes compuesto con principal y tasa efectiva constante . . 39

3.7. Interes con principal constante y tasa efectiva variable . . . 40

3.8. Ecuaciones de valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

i

ii INDICE GENERAL

4. Descuento 55

4.1. Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Tipos de descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1. Descuento racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2. Descuento bancario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3. Descuento racional simple . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.4. Descuento racional compuesto . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.5. Descuento bancario Simple . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.6. Valor liquido y valor nominal de un titulo valor contasa dm nominal constante . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.7. Descuento bancario compuesto . . . . . . . . . . . . 62

4.2.8. Valor liquido y valor nominal de un titulo valor contasa d efectiva constante . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Descuento comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.1. Descuento comercial unitario . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.2. Descuento comercial sucesivo . . . . . . . . . . . . . 65

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5. Tasas de Interes 71

5.1. Tasas nominales periodicas y efectivas . . . . . . . . . . . . 72

5.2. Equivalencia entre tasas nominales de interes y tasa efectiva 73

5.3. Equivalencia entre tasas anticipadas o descuentos . . . . . . 79

5.4. Equivalencia general entre tasas efectivas y nominales de in-teres vencidas y anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.5. Tasas continuas de interes y descuento . . . . . . . . . . . . 83

5.6. Valores acumulados y presentes usando tasas continuas deinteres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.7. La tasa activa y la tasa pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. Inflacion y devaluacion 95

6.1. Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2. Calculo de la tasa de inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3. Correccion monetaria por inflacion . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4. Unidad de Valor Real, UVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4.1. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.5. Tasas de interes en moneda extranjera . . . . . . . . . . . . 103

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

INDICE GENERAL iii

7. Series uniformes o anualidades 111

7.0.1. Anualidad cierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.0.2. Anualidades contingentes . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1. Valor acumulado de una anualidad vencida . . . . . . . . . 112

7.2. Valor presente de una anualidad vencida . . . . . . . . . . . 114

7.3. Renta uniforme vencida en funcion de S¬t . . . . . . . . . . 117

7.4. Renta uniforme vencida en funcion de P ¬t . . . . . . . . . . 117

7.5. Calculo de t en una anualidad vencida . . . . . . . . . . . . 118

7.6. El calculo de i en una anualidad vencida . . . . . . . . . . . 121

7.7. Anualidad anticipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.8. Acumulado de una anualidad simple anticipada . . . . . . . 122

7.9. Valor presente de una anualidad simple anticipada . . . . . 123

7.10. Renta uniforme anticipada en funcion S¬t . . . . . . . . . . 124

7.11. Renta uniforme anticipada en funcion de P ¬t . . . . . . . . . 125

7.12. Calculo de t en funcion de P¬t o S¬t . . . . . . . . . . . . . . 126

7.13. Calculo de i en una anualidad anticipada . . . . . . . . . . 127

7.14. Calculo de arrendamiento (Leasing) . . . . . . . . . . . . . 127

7.15. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8. Series uniformes: diferidas perpetuas 133

8.1. Series uniformes diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.2. Series uniformes perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3. Costo capitalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9. Series variables 145

9.1. Anualidades basicas variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.1.1. Pagos que varıan en progresion aritmetica. . . . . . 145

9.1.2. Pagos que varıan en progresion geometica . . . . . . 149

9.2. Anualidades variables escalonadas . . . . . . . . . . . . . . 155

9.3. Anualidades variables con tasas de interes variable. . . . . . 156

9.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.Esquemas y fondos de amortizacion 163

10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2. Determinacion del capital adeudado . . . . . . . . . . . . . 164

10.3. Esquemas de Amortizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.4. Fondos de Amortizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

10.5. Amortizacion creditos de vivienda UVR . . . . . . . . . . . 178

10.5.1. Metodo general para encontrar cuotas (amortizacione intereses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

iv INDICE GENERAL

10.6. Sistemas de amortizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.6.1. Cuota constante en pesos . . . . . . . . . . . . . . . 18010.6.2. Amortizacion constante a capital en pesos . . . . . . 182

10.7. Lıneas en UVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.7.1. Cuota constante en UVR (Sistema de amortizacion

gradual) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.7.2. Abono constante a capital en UVR . . . . . . . . . . 18510.7.3. Cuota decreciente mensualmente en UVR cıclica por

periodos anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.Bonos y otros tıtulos (garantıas) 19311.1. Clasificacion de bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19411.2. Primas y descuentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

12.Indicadores VPN y TIR 20312.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

12.1.1. El valor presente neto . . . . . . . . . . . . . . . . . 20312.2. La tasa interna de retorno TIR . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.2.1. Establecer un modelo matematico general que involu-cre la tasa interna de retorno . . . . . . . . . . . . . 208

12.2.2. Tasas de reinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21212.3. Amortizacion constante a capital en pesos. . . . . . . . . . . 21412.4. Sistemas de amortizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.4.1. Cuota constante en pesos . . . . . . . . . . . . . . . 21612.4.2. Amortizacion constante a capital en pesos . . . . . . 218

12.5. Lıneas en UVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.5.1. Cuota constante en UVR (Sistema de amortizacion

gradual) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.5.2. Abono constante a capital en UVR . . . . . . . . . . 22112.5.3. Cuota decreciente mensualmente en UVR cıclica por

periodos anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Capıtulo 1

Conceptos basicos del interes

En este capıtulo se explican conceptos basicos utiles para la comprensionde los temas de matematica financiera como el de valor del dinero en eltiempo, el interes, el concepto de acumulacion o, monto y la forma paracalcular el plazo comprendido entre dos fechas denominado el horizonte detiempo.

Se desarrollara:? una introduccion al valor del tiempo en el tiempo, interes,

y tasa de interes? el concepto de acumulacion como una funcion? calculos entre fechas del horizonte tiempo? tasas efectivas de interes, descuento y equivalencias? los diagramas de tiempo y efectivo

Simbologıa y su significado

T : horizonte de tiempo, plazo de la transaccion desde su iniciohasta la finalizacion.

t : numero de periodos en el horizonte de tiempo TSt : acumulado o monto al final del periodo tip : tasa efectiva periodica de interesdp : tasa de descuento o interes anticipado periodicaim : tasa de anual de interes nominaltz : subhorizonte de tiempo: son subdivisiones del horizonte

de tiempo (subperiodos)i: tasa efectiva de interesd: tasa de descuento o tasa anticipada

1

2 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS DEL INTERES

1.1. Interes

La idea del interes refiere a la compensacion que se debe pagar por el usodel dinero durante un periodo de tiempo. A esta compensacion se le llamatambien el el valor del dinero en el tiempo o simplemente el interes; estaafirmacion es cierta, en efecto, puesto que si elige invertir dinero hoy, porejemplo en un negocio,un banco, en acciones, en una fiduciaria, se esperaen un futuro tener mas dinero.

Un tıpico ejemplo supone una inversion de $ 100 al principio de unperiodo y que genera $ 110 al final del mismo su diferencia entre estos dosvalores de $ 10 es el Interes, que en forma porcentual es el 10% sobre lainversion original.

Un estudio consiente y fundamentado de los temas del interes ayuda aencontrar alternativas para lograr un uso eficiente del recurso limitado yescaso del dinero. La idea es explorar caminos acordes a las necesidades yencontrar las mejores opciones para el uso del dinero.

1.2. Concepto de acumulacion como funcion

Una transacion financiera comun es la de invertir determinada cantidadde dinero por un tiempo determinado para ganar interes, es decir, paraacumular la inversion inicial mas el interes.

La suma de dinero invertida originalmente se llama el valor principal y lacantidad recibida al cabo de uno o varios perıodos es el Valor Acumulado,o Valor futuro o monto.

La diferencia entre el valor acumulado y el valor principal es el interes quese gana durante el perıodo de inversion.

A continuacion se desarrolla el concepto de funcion de acumulacion comobase teorica del estudio del interes.

Supongase que t mide el tiempo desde la fecha original de la inversion, hastala fecha final donde se determina el valor acumulado.

Este valor de t puede representar perıodos de: dıas, meses, semestres, anosy otros, de acuerdo a la forma que se aplique la tasa de interes.

Se define ahora la funcion St como el valor acumulado de una cantidadmonetaria de 1 invertido ahora y durante el tiempo t, y que satisface lassiguientes propiedades:

1. St = 1, cuando t = 0, inicio de la inversion.

1.3. TASA EFECTIVA DE INTERES 3

2. St es creciente y continua. Es el principio fundamental de la acumu-lacion, que a medida que aumenta el tiempo el valor acumulado cre-cera. Es conveniente discutir el hecho de que esta funcion matematica-mente puede ser decreciente pero esto no es relievante. ¿Existe casosdonde no lo sea?. Ademas si el interes se aplica en cada instante lafuncion es continua, de lo contrario si el interes se aplica por perıodosesta funcion es discreta.

La cantidad de 1 invertida originalmente puede generalizarse mediantela inversion de k unidades monetarias como valor principal, k > 0 y dehecho aparece el concepto general de funcion de acumulacion St,

St = kst (1.1)

El valor de la funcion general de acumulacion depende del valor originalk y St. La condicion primaria para St es:

S0 = k s0 = k, si t = 0 (1.2)

como se observa la funcion general de acumulacion St, cumple las mis-mas propiedades que la funcion st.

De esta forma y usando el concepto de funcion de acumulacion, se de-termina la cantidad de interes ganado durante un perıodo t de la inversion,este interes se denota por It.

It = St − S(t− 1) , t ≥ 1 (1.3)

Esta Ecuacion (1.3) es la diferencia entre el valor acumulado t, y el valoracumulado en el perıodo (t− 1).

Observese que It involucra el interes de un intervalo de tiempo quenormalmente es constante en todos los perıodos de tiempo, hasta tanto seestudien las tasas variables de interes mas adelante.

1.3. Tasa efectiva de interes

La tasa efectiva de interes es la medida del interes ganado en un perıodoy se denota por i, esta se puede interpretar como: la cantidad de dinero quegana una unidad invertida al principio de un perıodo y durante este periodocuando el interes es pagado al final del mismo perıodo.

En terminos de la funcion de acumulacion la definicion dada es equiva-lente a la siguiente ecuacion,

i = s1 − s0,


o, s1 = s0 + i = (1 + i). (1.4)

Observese que en la Ec(1.4) el valor de i es la cantidad acumulada alfinal de perıodo, menos la cantidad invertida al principio del perıodo 0.Recordar que s0 = 1.

El termino efectivo es usado para las tasas de interes que se aplican enun perıodo de tiempo, como un mes, un semestre o un ano; este conceptocontrasta con el de tasa nominal de interes, donde el interes se aplica conmas frecuencia que el perıodo de tiempo; concepto que se estudiara ade-lante.

La tasa efectiva de interes se puede definir en terminos de la funciongeneral de acumulacion de la siguiente forma:

i =S1 − S0

S0=

I1So

. (1.5)

Esta Ec(1.5) dice que i corresponde a la razon entre la cantidad deinteres ganado durante un perıodo y el valor original invertido.

La tasa efectiva de interes i se puede calcular sobre la medida de acu-mulacion en cualquier perıodo t; si it es la tasa efectiva de interes en elperiodo t de la fecha de inversion, se tiene:

it =St − St−1

St−1=

ItSt−1

(1.6)

La tasa it permanece constante en cada perıodo.

Ejemplo 1. Dada la funcion de acumulacion:

St = 10 + t, encuentre a) I5 , b) i5.

Solucion: Es necesario hallar el valor de la funcion de acumulacionpara S5 y S4, asi: S5 = (10 + 5) y S4 = (10 + 4), entonces

a) I5 = S5−S4 = (10+5)−(10+4) = $1 b) i5 =S5−S4/S4 =114 = 0, 07

≈ 7%

1.4. TASA EFECTIVA DE DESCUENTO 5

Ejemplo 2. Dada la funcion de acumulacion:

St = 2t2 + 2, encuentre a)I3, b)i3, c)st.

Solucion: Se usan las ecuaciones correspondientes para cada caso:a) I3 = S3 − S2 = 2(32 + 1)− 2(22 + 1) = $10b) i3 =

I3S2

= 1010 = 100%

c) Puesto que St = kst, cuando t = 0

S0 = k ⇒ k = 2, por lo tanto; si

St = Kst ⇒ st = St/2 = (2t2 + 2)/2 = (t+ 1).

1.4. Tasa efectiva de descuento

Se ha definido la tasa efectiva de interes i como la cantidad de interespagado al final de cada perıodo; ahora se define la tasa efectiva de descuen-to d, como la medida del interes descontada al principio de cada perıodo.Ilustremos las dos casos mediante los respectivos diagramas

0 1i = 6%

(a)$ 100

$ 106

0 1d = 6%

(b)$ 94

$ 100

Figura 1.1: (a) Diagrama de una inversion a la tasa interes i = 6%; (b)Diagrama de una inversion a la tasa de descuento d = 6%

La inversion de $100 a la tasa de interes i = 6%, acumula $106 al cabode un perıodo, caso (a).

Para el caso (b) deseo tener dentro de un perıodo $100, me ofrecen unatasa de descuento o tasa de interes anticipada d = 6%, entonces tengo quedepositar ahora $100-100(0.06) = $94. La distincion que debe hacerse entrela tasa efectiva de interes y la tasa efectiva de descuento se resume en:


1. La tasa de interes se paga al final del perıodo sobre la cantidad in-vertida al principio del perıodo.

2. El descuento es hecho al principio del periodo sobre la cantidad de-seada al final del perıodo.

La tasa efectiva de descuento d es la razon entre la cantidad de interesganada durante el perıodo y la cantidad obtenida o deseada al finaldel perıodo; esta tasa puede calcularse en cualquier perıodo t si dt esla tasa efectiva de descuento del perıodo t de la fecha de la inversion,por lo tanto:

dt =St − St−1

St

=ItSt

(1.7)

el interes It puede llamarse cantidad de descuento o cantidad de in-teres.

Es importante definir y desarrollar el concepto de equivalencia entretasa efectiva de interes y tasa anticipada o de descuento.

1.5. Equivalencia entre tasa efectivas de interes ytasa anticipada de interes

Las tasas de interes y descuento son equivalentes si una cantidad inver-tida durante el mismo tiempo a cada una de las tasas, al final producen elmismo valor acumulado.

La relacion basica e importante de equivalencia es la siguiente:Supongamos que una persona desea tener 1 al final de un perıodo dondese aplica una tasa anticipada d, por lo tanto al principio solo se deposita(1− d), como se aprecia en la figura 1.2a.

Como se observa en (a) el deposito original es (1− d) para acumular 1al final del perıodo. Si se utiliza la definicion basica de interes Ec(1.5) y sereemplaza segun Fig(1.2a) se tiene:

i =s1 − s0

s0=

1− (1− d)

1− d=

d

1− d

o sea que la tasa de interes en funcion de la tasa de descuento esta dadapor:

i =d

1− d(1.8)

1.5. EQUIVALENCIA ENTRE TASA EFECTIVAS DE INTERES Y TASAANTICIPADA DE INTERES 7

0 1

d

(a)1− d

1

i

(b)1

(1 + i)

Figura 1.2: Diagramas correspondientes al concepto descuento (a) e interes(b).

en forma similar y usando Ec(1.7) y reemplazando en Fig(1.2 b) se tiene:

d =s1 − s0

s0=

(1 + i)− 1

(1 + i)=

i

1 + i

es decir, que la tasa de descuento en funcion de la tasa de interes esta dadapor:

d =i

1 + i. (1.9)

Estas ecuaciones (1.8) y (1.9) son las formulas basicas de equivalencia paraun perıodo entre tasas de interes y descuento.

Ejemplo 3. Hallar la tasa efectiva de descuento d, si la tasa efectiva deinteres i = 10% por perıodo.Solucion Segun Ec(1.9) se tiene:

d =i

1 + i=

0,1

1 + 0,1= 0,0909

La tasa i = 10% es equivalente a la tasa d = 9, 09%, estas ecuacionesson muy utiles en los procesos de comparar tasas de interes y tasasanticipadas de interes.Nota: Estas deben ser siempre tasa efectivas en el mismo periodo.


Ejemplo 4. Hallar la tasa efectiva de interes i, si la tasa de descuentod = 6% por perıodo.Solucion Segun Ec(1.8) se tiene:

i =d

1− d=

0,06

1− 0,06= 0,0638 = 6, 38%

Es decir, son equivalentes una tasa de interes anticipada d = 6% conuna tasa de interes vencida i = 6, 38%.

Ejemplo 5. Un banco otorga un prestamo de $ 10000 para devolverlodentro de un ano bajo la modalidad anticipada, el cual devenga una tasad=14%; adicionalmente los gastos bancarios representan el 1% del valordel prestamo. Calcule la tasa efectiva anual TEA=iSolucion Con los datos d=0.14+0.01=0.15; para calcular i se usa laecuacion 1.8

i = TEA =0,15

1− 0,15= 0,17647% = 17,647%

1.6. Plazo comprendido entre fechas y tabla dedias

Es util calcular con seguridad los plazos de un prestamo o una inversion,para esto se sugiere varias alternativas: el metodo de dias terminales, latabla de dias generada en este capitulo para que produzca el mismo efectivo,el uso del software de las calculadoras financieras y el excel financiero.Los dias terminales corresponde al plazo entre la fecha inicial y la fechafinal, se consideran todos los dias posteriores a la fecha inicial; si nos pro-ponemos hallar el plazo entre el 25 de octubre y el 26 del mismo mes acualquier hora se considera un dıa, o simplemente 26-25=1, (Ver figura 1.3:tabla de dias). Sugerencias para aplicar este metodo:

1. Para depositos y retiros efectuados en el mismo mes, restar del dıafinal el dıa inicial. Por ejemplo: apertura 10 de octubre, cancelacion25 de octubre, se obtienen 15 dias (25-10).

2. En cada caso de periodos que incluyen mas de un mes: restar delnumero de dias respectivo del primer mes los dias trascurridos desdeque se llevo a cabo el deposito (se incluye ese dıa) y luego adicionamoslos dias correspondientes a los meses siguientes.

1.6. PLAZO COMPRENDIDO ENTRE FECHAS Y TABLA DE DIAS 9

Dıa del mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Julio Agosto Septiembre Octubre Diciembre Dıa del mes1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 12 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 23 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 34 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 45 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 67 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 78 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 89 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 910 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 1112 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 1213 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 1314 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 1415 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 1617 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 1718 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 1819 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 1920 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 2122 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 2223 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 2324 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 2425 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 2627 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 2728 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 2829 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 2930 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31 90 151 212 243 304 365 31

Figura 1.3: Tabla del numero de dıas del ano 365 para el ano bisiesto seagrega un dıa a la suma despues del 28 de Febrero

Ejemplo 6. ¿Cuantos dias se acumularan entre el 16 de octubre y el 6de diciembre del mismo ano.Solucion: octubre tiene 31 dias, entonces 31− 16 = 15 dias los 31 diasde octubre menos la fecha inicial Noviembre tiene 30 dias Diciembretiene 31 dias El numero de dias en el intervalo de tiempo es la suma de:15 + 30 + 6 = 51 dias verificar en la tabla de dias y calculadora.

Los periodos encontrados anteriormente corresponden a los dias exactosdel mes y el ano, por ejemplo febrero 28 dias y si es bisiesto 29 dias y deforma similar los demas meses. Es posible que algunas veces se presentenconfusiones al respecto, por lo tanto se usa el concepto ano bancario, elcual se refiere a un periodo de 360 dias. Este ano bancario tiene comosubperiodos lo siguiente:


Periodo Bancario Numero de dias

Ano 360Semestre 180Cuatrimestre 120Trimestre 90Bimestre 60Mes 30Quincena 15Dıa 1

En cada caso de no existir indicaciones contraria se supone que losperiodos anteriormente mencionados son bancarios

1.7. Diagramas de tiempo y efectivo

Para ser consistente con el concepto de interes o del valor del dinero en eltiempo; es necesario suponer que una linea horizontal representa el horizon-te de tiempo (dıas, meses, anos, otros) y flechas verticales en los diferentespuntos del tiempo, representan los ingresos y egresos para cualquier perio-do y tipo de inversion. Esta lınea la llamamos un diagrama de tiempo yefectivo.

La idea es visualizar mediante un diagrama en conjunto la inversion ylas preguntas del problema; se puede pensar en flechas hacia abajo para losegresos, inversiones, y flechas hacia arriba para los ingresos en general. Encualquier caso en el diagrama se debe visualizar una equivalencia entre losingresos y egresos.

Una inversion en un banco durante un perıodo puede verse en el si-guiente diagrama, (Fig. 1.4).

0 1

$ 1000

$ 1100

Figura 1.4: Se invierten $1000 ahora y al final de un perıodo se tienen $1100.

En los diagramas de tiempo y efectivo se debe tener en cuenta si seusa una convencion de fin de perıodo., entonces se supone que todos los

1.8. EJERCICIOS 11

ingresos y egresos ocurren al final de cada perıodo, es decir estos flujos enconjunto se ubican como uno solo al final del perıodo; y en forma similar laconvension principio de perıodo es donde los ingresos y egresos se suponenque han ocurrido al principio de cada perıodo.

Es posible que puedan surgir convenciones diferentes para describir losflujos de efectivo a lo largo de los periodos, para lo cual se recomiendatrabajar con cuidado cada diagrama de tiempo y efectivo, para visualizary operar con exactitud.

Ejemplo 7. Si usted hace cinco depositos anuales a partir de ahora, acu-mulando una tasa anual del 10%, ¿Cuanto se acumula en el momento dehacer el ultimo deposito? Construya un diagrama de tiempo y efectivo.Solucion:

0 1 2 3 4

$100 · · · · · · · · ·$100

S4 =?

Se puede ver el primer deposito ahora y el quinto deposito en el periodot = 4.

1.8. Ejercicios

1. En un banco se depositaron $ 120.000 durante un trimestre si la tasade interes durante el periodo de tiempo fue del 6% ¿Cual fue el interesgenerado al termino del trimestre?

2. En una cuenta se coloco un capital de $10000 y genero un interes de$500 durante un semestre ¿Cual fue la tasa de interes de ese periodo?

3. Calcule la tasa de interes de una cuenta, la cual se abrio con unprincipal de $1100 y que al momento del cierre registro un monto de$ 1210

4. Cual es el acumulado de una cuenta que se abrio con un principal de$ 1500 y que devengo hasta hoy una tasa de interes del 5%

5. Calcule el monto de una cuenta que registra un interes de $ 3000,generado por una tasa de interes de ese periodo del 5%


6. Calcule el valor principal con el que se abrio una cuenta, la que tieneun monto de $ 150000, a una tasa de interes del 6%

7. ¿Cual es el interes aplicado a una cuenta abierta con principal de$150000 y cuyo acumulado es de $175000?

8. ¿Cuantos dias se habıan acumulado entre el 25 de octubre y el 20 defebrero del siguiente ano?

9. Calcule el numero de dias que hay entre la fecha de hoy y el dıa desu cumpleanos

10. Hallar la tasa efectiva de interes i, si la tasa de descuento por periodoes del 10%

11. Hallar la tasa efectiva de descuento d, si la tasa efectiva de interes esi=12%

12. Determine la tasa de interes equivalente a la tasa dada:

a) i=?, si d=15%

b) i=?, si d=33%

c) d=?, si i=13%

d) d=?, si i=30%

13. Dada la funcion de acumulacion St = 100 + 5t; halle I5, i5

14. Dada la funcion de acumulacion St = t2 + 2t+ 3; halle I3, i3

Capıtulo 2

Interes Simple

En este capıtulo se estudian los conceptos fundamentales de interessimple, usando el principal y tasas de interes constante.

En este capitulo se desarrollara ...

? Interes con principal y tasa constante

? Acumulado con principal y tasa constante

? Ecuaciones de valor constante


i: tasa de interes simpleSt: valor acumulado mediante interes simpleI: interes simple durante un periodoP : principal o capitalt: numero de periodos en el horizonte T

im: tasa nominal para interes simple, esta tasa es divisible porel numero de periodos

m: numero de periodos de la tasa de interes

2.1. Interes Simple

El interes simple se obtiene en cada perıodo al aplicar a la cantidadprincipal la tasa de interes correspondiente. Para encontrar la funcion deacumulacion a interes simple se usa el concepto de S1 = 1 + i, este factores la base para la generalizacion.

Consideremos la inversion de una unidad monetaria $1, tal que la tasa deinteres simple ganada por esta unidad sera i constante. El valor acumuladoal final de cada perıodo se expresa de la siguiente forma:

13

14 CAPITULO 2. INTERES SIMPLE

s1 = (1 + 1. i) al final del primer periodo

s2 = (1 + 2. i) al final del segundo periodo...

S7 = (1 + 7.i) al final del septimo periodo, en general

St = 1 + t.i t ≥ 0. (2.1)

Alternativamente si la inversion original es P entonces

St = P (1 + i t). (2.2)

Estas ecuaciones representan las funciones de acumulacion a interessimple, suponiendo que t es cualquier numero de perıodos.

t

P

St

St

0

Figura 2.1: Funcion de acumulacıon lineal con interes simple Los perıodost son continuos.

La lınea recta se interpreta como la forma que se acumula a interessimple para cualquier tipo de inversion y tiempo t.

Ejemplo 8. Encuentre el valor acumulado de $1.000 invertidosahora por cinco anos a una tasa de interes simple del 10%.Solucion: Usando la Ec(2.2) se tiene

S5 = $1000 (1 + (0,1)(5)) = $1500El valor acumulado al final de 5 anos es $1500 y el interes simpleganado por la inversion de $1000 es de $500.

Nota: la expresion valor acumulado usada en este libro es equivalenteal concepto de valor futuro usada en otros libros del mismo tipo.

2.1. INTERES SIMPLE 15

En general el interes ganado a una tasa de interes simple es:

I = P i t. (2.3)

donde:

I : Interes total ganado

i : Tasa de interes simple

t : Periodos de la inversion.

Usando Ec(2.2) se puede encontrar Ec(2.3)

St = P (1 + it) = P + P i t = P + I ⇒ I = P it.En el ejemplo 1

I = P i t = $1000 (0,1)(5) = $500

que es el valor del interes ganado a una tasa de interes simple.Un prestamo se encuentra bajo interes simple cuando:

se produce una unica aplicacion del interes y se realiza al final del horizontetemporal pactado, no importa que el plazo sea diferente al periodo de in-teres, por ejemplo la tasa puede ser trimestral y el horizonte del prestamopuede ser un ano.

Interes con principal y tasa de interes constantes

Se asume que:

1. El principal no cambia hasta finalizar el prestamo

2. La tasa de interes constante acordada que se aplica sobre el principalno varia

3. Esta tasa es conveniente manejarla nominal, por lo tanto se usara imen adelante, para poderla dividir

4. Si t es el numero de periodos de la tasa im constante y por periodo;por ejemplo si im es trimestral, t es el numero de trimestres en quese divide el horizonte de tiempo, y ası sucesivamente.

Es conveniente establecer algunas siglas para las tasas nominales im

Tasa nominal anual TNA = i1Tasa nominal semestral TNS = i2Tasa nominal trimestral TNT = i4Tasa nominal mensual TNM = i12Tasa nominal diaria TND = i360


Nota: La tasa nominal de interes corresponde a una tasa periodica multi-plicada por el numero de periodos. Por ejemplo 2% mensual, es equivalentea 2% × 12 =24% tasa nominal anual.

De la ecuacion 2.3, se tiene:

I = Pimt⇒ P =I

im⇒ t =

P

im⇒ im =

I

P t

Ejemplo 9. Un banco presta $10.000 a una tasa im anual del 18%,durante un trimestre, que valor tiene tSolucion Puesto que t es el numero de periodos a que se refiere la tasaim y como el horizonte temporal es 90 dias y el plazo de la tasa nominales de 360 dias entonces:

t =90

360=

1

4

Usando la tasa nominal dada y el valor de t, al calcular el interes simplese tiene:

I = 10,000× 0,18× 1

4= 450

Ejemplo 10. Si un principal de $10 000 se invierte a una tasa de interesde 1.5% mensual durante un trimestre y si es interes simple se tiene:

t =90

30= 3,

entonces:I = 10000× 0,015× 3 = $450

Ejemplo 11. Si un particular otorgo a una empresa un prestamo a$100.000 para ser reintegrado en un ano y cobra una TNA=30%. ¿Cualsera el interes simple que pagara la empresa al vencimiento del plazo?Solucion: Puesto que t y im son anuales, al aplicar la formula se tiene:

I = $100000× 0,30× 1 = $30,000

2.2. INTERES SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINALVARIABLE 17

Ejemplo 12. El 25 de mayo se abrio una cuenta con $100.000 en unbanco, y pagaba un TNA=24%. Se pide el interes simple que genero lacuenta hasta el 24 de junio del mismo ano, fecha en que se cerro laoperacion,

I = $100000× 0,24× 30

360= $20,000.

Ejemplo 13. Calcule la TNA que se aplico a un principal de $10.000durante un plazo de 3 meses y produjo un interes simple de $500Solucion:

i1 =500

10000× 14

= 0,2 = 20%TNA

2.2. Interes simple con principal constante y tasanominal variable

Si la tasa de interes acordada esta sujeta a las variaciones del mercadoy si el principal es constante que debe hacerse?

Cuando el horizonte de tiempo no cambia y se producen variaciones enla medida de la tasa de interes nominal, por ejemplo de TNA a TNS, TNM,TND, entonces la tasa im tiene un comportamiento variable. Al visualizarel problema en un horizonte de tiempo y tasa de interes se tiene:

T

im1 im2 . . . imz

t1 t2 . . . tz0 1 2

Figura 2.2:

observe que z=1,2,3. . ., por lo tanto I es igual

I = Pim1t1 + Pim2t2 + . . .+ Pimztz = P [im1t1 + im1t1 + . . .+ imztz]

la expresion en parentesis corresponde a la tasa de interes acumuladadurante el horizonte temporal, el valor de I anterior puede ser expresadocomo:


I = Pz∑

k=1

imktk (2.4)

Ejemplo 14. El 15 de julio se abrio una cuenta con principal de $10.000y bajo supuesto de interes simple. La TNA vigente a la apertura fue del30%, la misma bajo al 26% el 30 de julio y al 22% el 20 de agosto. Halleel interes al cierre de la cuenta que fue el 13 de octubre del mismo anoSolucion: ver el diagrama de tiempo e interes

90 dias

t1 = 15 t2 = 21 t3 = 54

TNA1 = 30% TNA2 = 26% TNA3 = 22%P

15/7 30/7 20/8 13/10

I = 10,000

[

(0,3)

(

15

360

)

+ (0,26)

(

21

360

)

+ (0,22)

(

54

360

)]

= $606,67

La tasa de interes nominal variable corresponde a la expresion entreparentesis y que se genero en el horizonte de la operacion.

Ejemplo 15. El 26 de mayo una empresa inicio una cuenta con $3000a un plazo fijo de 90 dias, en una institucion financiera que pagaba unatasa de interes nominal variable. Al final del plazo se conocio que lastasas variables fueron las siguientes:

Tasa a partir deTNA: 30% 26/05TNT: 6.5% 30/06TNM: 2.1% 31/07

Se requiere calcular el interes simpleSolucion: Las variaciones de la tasa se presentan en el siguiente diagra-ma:

2.3. INTERES CON PRINCIPAL VARIABLE Y TASA NOMINAL CONSTANTE19

T= 90 dias

t1 = 35 t2 = 31 t3 = 24

TNA= 30% TNT= 6,5% TNM= 2,1%

26/5 30/6 31/7 24/8

Al aplicar el modelo conocido se tiene:

I = 3000

[

(0,3)

(

35360

)

+ (0,065)

(

3190

)

+ (0,021)

(

2430

)]

= $205,07

2.3. Interes con principal variable y tasa nominalconstante

Es frecuente necesario considerar el caso de calcular el interes simplecuando se efectuan cargos o abonos, sobre el principal y se mantiene con-stante la tasa de interes, como sucede algunas veces en instituciones fi-nancieras no tradicionales. En forma similar a lo expuesto anteriormente setiene:

I = P0im1t1 + P1im2t2 + . . .+ Pz−1imztz = im[P0t1 + P1t2 + . . .+ Pz−1tz]

Esta ecuacion se puede observar de la siguiente forma:

I = im

z∑

k=1

Pk−1tk (2.5)

Esta ecuacion calcula el interes simple cuando el principal es variable yla tasa permanece constante en los respectivos horizonte.

Ejemplo 16. El dıa 9 de julio una persona abre una cuenta en un bancocon una cantidad de $10.000 y recibe una TNA de 30%. A partir de esafecha la cuenta tiene los siguientes movimientos

Fecha Operacion Cantidad9/7 Deposito (D) 1000020/7 Deposito (D) 500010/8 Retiro (R) 200007/9 Cancelacion


Se necesita determinar el interes generado en el lapso de cuenta hasta el7 de septiembre.Solucion: Las variaciones se presentan en la siguiente grafica:

60 dias

t1 = 11 dias t2 = 21 dias t3 = 28 dias

360 dias 360 dias 360 dias9/7 20/7 10/8 07/9

P0 =10000 P1 =15000 P2 =13000

Al aplicar el respectivo modelo se tiene:

I = 0,30

[

(10,000)

(

11360

)

+ (15000)

(

21360

)

+ (13000)

(

28360

)]

= $657,50,

este es el valor del interes bajo los supuestos establecidos.

2.4. Interes con principal y tasa nominal variables

En las operaciones bancarias donde donde las cuentas varıan por cargosy abonos que se realizan en fechas posteriores a su apertura y a su vez latasa de interes esta sujeta a las variaciones del mercado, el calculo del in-teres simple debe realizarse por tramos para cumplir el concepto del interessimple y no capitalizar, entonces

I = P0im0t1 + P1im1t2 + . . .+ Pz−1im(z−1)tz

Estos casos son indispensables y se recomienda elaborar modelos enExcel para su solucion

Ejemplo 17. Una cuenta de ahorro fue abierta en una institucion fi-nanciera el 20 de julio, se cancelo el 30 de noviembre del mismo ano. Sepresentaron cambios en el principal y las tasas de interes durante estehorizonte como se puede ver:

Principal Tasa Nominal

Fecha Operacion Cantidad(t) Operacion %

20/7 Deposito 1000 Tasa inicial TNA=24%27/8 Cambio tasa TNA=23%30/9 Deposito 500 Tasa inicial TNM=1.8%31/10 Retiro 300 Cambio tasa TNM=1.7%30/11 Cancelacion

Se requiere calcular el interes simple que gano la cuenta de ahorro du-rante el periodo mencionado.

2.5. ACUMULADO CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE 21

Solucion:133 dias

t1 = 38 dias t2 = 34 dias t3 = 31 dias t4 = 30 dias

20/7 27/8 30/9 31/10 30/11

TND1=24% TNA2=23% TNM3=1.8% TNM4=1.7%

P0 = 1000 P1 = 1500 P2 = 1200

a) calculo de I1 con variacion en la tasa anual.

I1 = 1000

[

(0,24)

(

38360

)

+ (0,23)

(

34360

)]

= $47,06

b) calculo de I2 con tasa mensual,ver deposito

I2 = 1500× (0,018)( 3130) = $27,90

c) Calculo de I3 con tasa mensual, ver retiro

I3 = 1200× (0,017)(30

30) = $20,40

Interes devengado, es la suma de los respectivos valores

I = I1 + I2 + I3 = 47,06 + 27,90 + 20,40 = 95,36

Este es el valor del interes simple

2.5. Acumulado con principal y tasa nominal cons-tante

Ademas: St = P (1 + Imt)⇒ las equivalencias correspondientes son:

P = St

[

1

1 + im

]

, im =StP − 1

t, t =

StP − 1

im

Observe que:


P = St[1

1+tim]

St = P (1 + tim)

P P

I

0 t

St

Es la forma como se pueden ver los conceptos del acumulado y valor pre-sente.

Ejemplo 18. Que cantidad acumulara una persona en una cuenta deahorros a interes simple, si le aplican una TNM=3% y si su depositoinicial de $5000 se realizo el 4 de octubre y se cancelo el 16 del mismomes.Solucion: Datos: P = $5000, im = i12 = 0,03, t = 12

30 , entonces:

st = 5000[1 + (0,03)(12

30)] = $5060, 00

Ejemplo 19. Hallar la cantidad principal a la cual una tasa de interessimple mensual del 3% y 87 dias produjo un acumulado de $5000:Solucion: Datos: St = 5000, i12 = 0,03, t = 12

30 , entonces

P = 5000

[

1

1 + (0,03)( 8730)

]

= $4599,80

Este valor fue el depositado originalmente para lograr lo propuesto.

Ejemplo 20. Se adquirio una fresadora cuyo precio de contado fue de$60.000 pero se pago una cuota inicial de $20.000 y el saldo se financio a45 dias por $41.500. ¿Cual fue la tasa mensual de interes simple aplicadaa esta operacion?Solucion: Puesto que se pago una cuota inicial de $20.000, y el montofinal fue de $41.500 y 45 dias, se tiene que,

i12 =4150040000 − 1

4530

= 0,025 = 2,5%mensual.

2.6. ECUACIONES DE VALOR 23

2.6. Ecuaciones de valor

El principio fundamental de la teorıa del interes consiste en que unacantidad de dinero depositada en cualquier punto del tiempo es equivalenteal dinero obtenido en el pasado o en el futuro aplicandole una tasa deinteres; este es el concepto de valor del dinero en el tiempo.

Una ecuacion de valor es la igualdad que compara valores diferentes dedinero en fechas diferentes; la informacion al respecto se visualiza en losdiagramas de tiempo y efectivo estudiados anteriormente; estos diagramasfacilitan la ubicacion de los flujos de efectivo que suceden durante el tiempoy de esta forma plantear con seguridad la ecuacion de valor. Todos los va-lores que aparecen en el respectivo diagrama de tiempo deben trasladarsemediante las ecuaciones correspondientes de interes simple o interes com-puesto a un punto comun conocido como punto de referencia o fecha focaly de esta forma establecer las ecuaciones de valor.

Ejemplo 21. Carlos invierte $10.000 a una tasa de interes simple del3% durante seis meses. Hallar el valor acumulado al cabo de este tiempo.

El problema propuesto de acumulacion se plantea como una ecuacion devalor con interes simple cuyo punto de referencia se establece en el messeis,

s6 = 10000(1 + (,03)6) = $11,800.

En la figura se muestra el diagrama del problema,

0 1 2 6

st= ?

$10.000

Ejemplo 22. Al comprar su automovil Usted se compromete a pagar$1’000.000 dentro de un ano. Si Usted tiene la posibilidad de invertir enpapeles comerciales que rinden el 2% mensual, ¿Cuanto pagarıa hoy porel pagare, si dispone de la cantidad de $1.000.000 al cabo del ano?

Solucion: Un diagrama de tiempo y efectivo ayuda. De la cantidadfutura que debo pagar de $1.000.000 deseo saber a cuanto equivale en $de hoy


Se establece la ecuacion de valor

P = 1,000,000(1 + ,02)−12 = $788493,17

Es decir que por el documento hoy debe pagar maximo $788.493.17 y deesta forma queda saldada la deuda. Observese que el punto de referenciaes cero (0).El siguiente es el diagrama de tiempo y efectivo:

0 1 12ip = 2%

$1.000.000

P= ?

Ejemplo 23. Si invierto $200 en dos meses y $500 en ocho meses, aque tasa de interes simple se acumulan $1000 en doce meses?

Solucion. Diagrama y acumulado con interes simple. El punto de refe-rencia puede ser el mes 12.

Puesto que la fecha focal es el mes doce se plantea la siguiente ecuacionde valor,

$1000 = $200(1 + i(10)) + 500(1 + i(4))

= 200 + 2000 i+ 500 + 2000 i = 700 + 4000 i

entonces 300 = 4000 i =⇒ i = 7,5% mensual, la tasa que hace equiva-lente los valores dados es del 7.5% cada mes. El siguiente es el diagramacorrespondiente:

0 1 2 3 8 12

$1.000

200 500

2.7. EJERCICIOS 25

2.7. Ejercicios

1. Halle el valor acumulado de $1000 al final de un ano, si se depositana una tasa de interes simple del 4% cada trimestre

2. ¿A que tasa de interes simple anual $500 de ahora acumularan $615en 2 1/2 anos?

3. En cuantos anos $ 5000 depositados ahora acumulan $6300 al 18%de interes simple

4. ¿A que tasa mensual de interes simple, una inversion inicial de $ 15000gana de interes $ en cuatro meses?

5. Determine la cantidad de dinero que debe depositarse ahora, paraobtener $200 de interes simple despues de dos anos, si la tasa deinteres es del 9% anual simple

6. Determine la cantidad inicial de dinero que se invertira ahora, paraacumular $150000 al cabo de tres anos, si la tasa de interes simpledel 5% trimestral

7. Halle el interes simple que genero un principal de $40000, colocadoen un banco a una TNA de 36% durante 6 dias

8. ¿Que interes simple gano un principal de $ 10000 en un ano, dosmeses, y 26 dias, depositado a una TNM de 2% ?

9. ¿Que interes simple puede disponerse el 16 de mayo, si el 15 de abrildel mismo ano se invirtio una principal de $ 50000, a una TNA de24%?

10. Calcule el interes simple que produjo un principal de $ 200000, colo-cado desde el 12 de mayo al 15 de junio del mismo ano. En estaoperacion se aplico una TNT de 7.5%

11. ¿Cual fue el valor principal que depositado en un banco durante 7trimestres a una tasa nominal anual del 26%, produjo un interessimple de $8000?

12. ¿Que interes simple gano una inversion de $200000, colocada el 3 demarzo al 28 de junio del mismo ano, a una TNM de 3%, que vario el16 de abril a 2.8% y a 2.6% el 16 de junio?


13. Una deuda de $100000 contraıdo el 8 de junio para ser cancelada el 8de julio del mismo ano y pactada originalmente a una TNA de 24%,sufre variaciones a partir de las siguientes fechas: dıa 12 de junio, 2.5%mensual; 24 de junio, 9% trimestral, dıa 3 de julio 21% semestral.¿Que interes simple se pagara al vencimiento?

14. El 2 de octubre se abrio una cuenta de ahorros con $200000 y seefectuaron depositos de $50000 y $30000, los dias 8 y 16 y un retirode $20000 el dıa 26 de octubre la TNA pactada fue del 28% quebajo al 26% a partir del 16 de octubre. ¿Cual fue el interes simpleacumulado y cual es el saldo disponible el 1 de noviembre?

15. Si se colocaron en una cuenta de ahorros $30000 a una TNA de 24%.¿Cuanto se habra acumulado de interes simple al cabo de 46 dias?

16. El 23 de mayo se adquirio un paquete accionario en $240000 y sevendio el 18 de junio del mismo ano; en esta fecha se recibio unacantidad de $268000. Calcule la tasa mensual de interes simple de laoperacion

17. ¿En que tiempo se triplicara un deposito colocado a interes simple, auna TNM de 5%?

18. La suma de un principal y su interes simple, generado por un TNMde 3%, fue de $40000 en un periodo comprendido entre el 30 de junioy 31 de diciembre del mismo ano. Determine el valor principal

19. Una inversion de $80000, colocada durante 5,5 meses a interes simple,rindio TNM de 3% durante los primeros cuatro meses, el quinto mesrindio una TNA de 40% y la ultima quincena rindio una TNT de12%. ¿Cual fue el calor acumulado?

20. Calcule el valor presente a interes simple de una letra cuyo valornominal es de $100000 la misma que se vence dentro de 90 dias.Utilice una TNA de 30%.

21. El dıa 24 de septiembre una empresa tiene una deuda de $800000 quese vencera el 3 de octubre y otra deuda de $1200000, que se vencera el21 de noviembre del mismo ano. Se propone a su acreedor cancelarlocon dos pagos iguales en las fechas 8 de noviembre y 23 de diciembrerespectivamente. ¿Cual es el valor de cada pago si el acreedor requiereuna TNA de 24% y la evaluacion a interes simple debe efectuarse e23 de diciembre como fecha focal?

Capıtulo 3

Interes compuesto

En el capitulo se trataran valores acumulados valores presentes coninteres constante y variable en varias alternativas.

En este capitulo se desarrollara ...

? Acumulado con principal y tasa efectiva constante

? Acumulado con principal constante y tasa efectiva variable

? Acumulado con principal y tasa efectiva variable

? Acumulado en funcion de la tasa nominal

? Ecuaciones de valor


St: valor acumulado, futuro o montoi: tasa efectiva de interesip: tasa efectiva periodica o tasa periodicaP : valor principal, deposito inicial

3.1. Interes compuesto

El concepto de interes compuesto asume que el interes ganado en cadaperıodo es reinvertido inmediatamente y pasa a formar parte del capital,este proceso se llama capitalizacion, el interes reinvertido forma capital ytambien gana interes.

Un trabajo cuidadoso sobre este concepto es muy importante porqueun gran numero de estudios financieros se basan en el interes compuesto.

27

28 CAPITULO 3. INTERES COMPUESTO

Tambien se argumenta que el capital gana interes generado por unatasa de interes efectiva, la que a su vez puede estar en funcion de una tasade interes nominal que capitaliza cada cierto periodo de tiempo. El capitalfinal de cada unidad de tiempo crece de manera geometrica, si el principal,la tasa de interes y el plazo permanecen constantes.

3.2. Acumulado con principal y tasa efectiva cons-tante

Se supone que durante el horizonte de tiempo el principal permanececonstante durante el plazo, la tasa de interes i tambien permanece constantey tanto i como t hacen referencia a un periodo de la misma duracion:

Ejemplo 24. Acumulacion con intreres compuesto. Se depositan ahora$1000 en un banco, quien reconoce una tasa de interes del 5% cadatrimestre. Halle la cantidad acumulada al cabo de un ano y bosqueje undiagrama de tiempo y efectivo.Solucion: El siguiente es el diagrama de tiempo y efectivo:

0 1 2 3 4

$1050 $1102,50 $1157,62 $1215,50

i=5%$1000

trimestres

Se observa que la cantidad acumulada en cada perıodo y se obtiene dela siguiente forma:

s1 = $1000 + 1000(,05) = $1050,00

s2 = 1050 + 1050(,05) = $1102, 50

s3 = 1102, 50 + 1102, 50(,05) = $1157, 50

s4 = 1157, 62 + 1157, 62(,05) = $1215, 50

La cantidad de $1215,50 es el valor total acumulado al final de los cuatrotrimestres y es la cantidad de dinero que eventualmente se podrıa retirardel banco.

3.2. ACUMULADO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE 29

En general mediante un proceso similar se obtiene una formula para St

con inversion inicial de 1, durante t perıodos y tasa de interes i .

Observese primero el diagrama de tiempo y efectivo para este caso.

0 1 2 3 t− 1 t

s1 s2 s3st−1 st =?

i

$1

perıodos

Deduccion de la formula del acumulado general. Teniendo en cuenta losanteriores comentarios el procedimiento para el caso general es similar aldel ejemplo anterior; donde St se obtiene de la siguiente forma:

S1 = 1 + 1i = = (1 + i)S2 = (1 + i) + (1 + i)i = (1 + i)(1 + i) = (1 + i)2

S3 = (1 + i)2 + (1 + i)2i = (1 + i)2(1 + i) =(1 + i)3

......

......

St = = = (1 + i)t

La expresion

St = (1 + i)t (3.1)

es la formula central de acumulacion a la tasa de interes i y durante tperıodos. La expresion (1+i) se llama el factor de acumulacion.

Tambien se tiene una expresion general si la inversion incial es P , ası:

St = P (1 + i)t (3.2)

Como se puede observar la Ec(3.2) nos servira como fundamento en elestudio de la teorıa del interes y sus multiples aplicaciones.

Ejemplo 25. Resuelva el ejemplo anterior utilizando la Ec.(3.2).Solucion Puesto que la inversion inicial es de $1000 se usa Ec.(3.2) ası:

S4 = $1000(1 + 0,05)4 = $1215, 50

este es el valor acumulado obtenido anteriormente.


Dado que la tasa de interes compuesta o efectiva puede referirse a dife-rentes plazos, es consistente trabajar las siguientes siglas:

Tasa efectiva Anual ≡ TEATasa efectiva semestral ≡ TESTasa efectiva cuatrimestral ≡ TECTasa efectiva trimestral ≡ TETTasa efectiva bimestral ≡ TEBTasa efectiva mensual ≡ TEMTasa efectiva diaria ≡ TED

En el capitulo de tasas de interes se modelaran estas siglas para poderestablecer equivalencias con algun nivel de seguridad.

Es conveniente ver mediante una grafica el comportamiento de la fun-cion de acumulacion at con interes compuesto

•

0 t

P

St

Figura 3.1: Muestra el comportamiento exponencial de la funcion de acu-mulacion con interes compuesto

Se puede decir lo siguiente:

P = St(1 + i)−t i = (StP )

1t − 1 t =

ln(StP)

ln(1+t)

St = P (1 + i)t

Estas ecuaciones corresponden a despejes algebraicos utiles al procesode aprendizaje y a la cual se agrega el:

Valor presente

En el numeral anterior se determino que (1+ i) es el factor de acumu-lacion, mediante su aplicacion perıodo a perıodo se tiene la suma deseada;


ahora es necesario determinar la cantidad de dinero que una persona debedepositar ahora, al principio del perıodo, para lograr acumular al final delperıodo $1. El factor usado para obtener la mencionada cantidad es el in-verso del factor de acumulacion, que se llamara factor de descuento, esdecir

(1 + i)−1 =1

1 + i(3.3)

Mediante este factor se descuenta perıodo a perıodo de una cantidad finaldeseada para obtener un valor inicial; que se llama el valor presente P .

En un diagrama de tiempo y efectivo se observa el proceso de descuentopara determinar el valor presente y se obtiene la formula correspondiente.

1 2 3 t− 1 t

1

0

iP

Figura 3.2: Diagrama de tiempo y efectivo mediante el cual se visualiza elproceso de descuento para hallar del valor presente.

Como se observa a partir del tiempo t se inicia el descuento y perıodoa perıodo se encuentra el valor buscado, que se llama valor presente y serepresenta por P .

En resumen las ecuaciones correspondientes son:

Pt =1

1+ it, si la tasa de interes es simple (3.4)

Pt = (1+ i)−t = vt, si la tasa de interes es compuesta (3.5)

Ayuda: Usemos v = (1 + i)−1

Si se desea generalizar para cualquier valor se reemplaza $1 de valorfinal por St que representa el valor deseado futuro.


Ejemplo 26. Encuentre la cantidad de dinero que debe invertirse ahoraa una tasa i = 20% anual para acumular $1000 al final del cuarto ano;suponga a)tasa de interes simple, b)tasa de interes compuesto.Solucion se aplican las ecuaciones de valor presente para interes simplee interes compuesto.

a)P =1000

1 + (0,2)4=

1000

1,8= $555,55.

Este es el valor presente si la tasa de interes es simple.

b)P = 1000(1 + (0,2))−4 = $482,25

Este es el valor presente si la tasa de interes es compuesta.

Se puede ver de otra forma:

Pt = St(1 + i)−t

St = P (1 + i)t

P P

I

0 t

S(t)

Esta figura coresponde a la relacion de equivalencia entre el acumuladofinal o valor futuro St y el valor presente (Pt) a una tasa efectiva i.

Ejemplo 27. Determinar el valor acumulado de una inversion inicial de$1000, colocado en un banco durante 6 meses a una TEA=18%Solucion:Con los datos P=1000; i=18% y t = 6

12 se determina St usan-do la ecuacion correspondiente:

St = 1000(1 + 0,18)612 = $1086,27

Ejemplo 28. Hallar el acumulado de una inversion de $50.000, colocadoen un banco durante 25 dias a una TET del 4%.Solucion: Si P = 50000, ip = 0,04 y t = 25

90 , se calcula St mediante laecuacion correspondiente:

St = 50000(1 + 0,04)2590 = $50547,71


Ejemplo 29. Calcule el acumulado de un capital inicial de $5000 colo-cado en un banco durante 45 idas a una TEM del 2%Solucion: Con la informacion P = $5000, i = 0,02, t = 45

30 , se calculaSt segun la formula.

St = 5000(1 + 0,02)4530 = $5150,75

Ejemplo 30. ¿Que cantidad de dinero debera pagarse por un sobregirobancario de $100000, activo del 9 al 15 de enero del mismo ano, si elbanco cobra una TEM del 2.3%?Solucion: Si P = 100000, i = 0,023 y t = 6

30 se determina St con laformula correspondiente:

St = 100000(1 + 0,023)630 = $100455,83

Ejemplo 31. Encuentre el valor presente en la fecha 30 de abril, de unbono cuyo valor nominales de $100000, que genera TEA de 15% y sedebe redimir el 30 de diciembre del mismo ano.Solucion: Con los datos St = 100000, i = 0,15 y t = 244

360 al aplicar laformula correspondiente se tiene:

P = 100000(1 + 0,15)−244360 = $90962,07

Ejemplo 32.A que tasa efectiva mensual un capital de $100000 se acu-mula en $105.192.40, si se deposito en un banco desde el 16 de octubrey hasta el 15 de diciembreSolucion: Con los datos St = 105192,40; P = 100000 y t = 60

30 ; secalcula la TEM, usando la formula correspondiente:

i =

[

105192,40

100000

]1

60/30

− 1 = 0,0256 = 2,56% = TEM

Ejemplo 33. ¿ En cuanto tiempo un capital de $100000 se habra du-plicado (se convierte en $200.000) si el valor se coloco al 15% TEA.Solucion: P = 100,000, St = 200000, TEA = 15%

t =ln(200000100000)

ln(1,15)= 4,96 anos

En caso de necesitar dias o meses se deben multiplicar por los respectivosfactores 360 dias o 12 meses.


3.3. Acumulado con principal constante y tasaefectiva variable

En este caso el principal permanece constante pero las tasas periodicasvarıan en los plazos estipulados por ejemplo la TEA=10% cambia a unaTEA=8%, o tambien se puede producir una variacion de la tasa de interescuando el horizonte de tiempo se expresan en diferentes unidades de tiempo.

Si iz la tasa de interes aplicable en el z-esimo subperiodo y tz el numerode periodos de la tasa en el z-esimo subperiodo entonces:

St = P

[

(1 + i1)t1(1 + i2)

t2(1 + i3)t3 . . . (1 + iz)

tz

]

(3.6)

La expresion en el parentesis es el producto de factores del tipo (1+ik)tk ,

donde k toma valores enteros en el intervalo [1, z] y puede representarse por

St = P

[

z∏

k=1

(1 + ik)tk

]

(3.7)

Esta valor de St es el producto de todas las posibles variaciones tantode la tasa como de los subperiodos.

Ejemplo 34. Encuentre la cantidad acumulada de $100 al final de 15anos, si la tasa efectiva de interes es del 18% para los primeros cincoanos, el 15% para los siguientes cinco anos y el 12% para los ultimoscinco anos.Solucion: Se usa Ec(3.7) para hallar el respectivo acumulado, y se debetener en cuenta que la variacion de la tasa de interes es cada cinco anos.

S15 = 100(1,18)5(1,15)5(1,12)5 = $810,94

Este valor de $810,94 es el acumulado de $100 luego de 15 anos deinversion.

3.3. ACUMULADO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVAVARIABLE 35

Ejemplo 35. Encuentre el valor acumulado cuyo principal de $50000fue colocado a un plazo fijo en un banco del 25 de octubre al 30 dediciembre del mismo ano, con una TEA del 12%. En ese plazo la TEAque originalmente era de 12% bajo al 10% el 15 de noviembre y al 8%el 10% de diciembre.Solucion: Visualizar el ejemplo mediante el diagrama de tiempo y efec-tivo:

66 dias

t1 = 21 t2 = 25 t3 = 20

TEA1 = 12% TEA2 = 10% TEA3 = 8%50000

25/10 15/11 10/12 30/12

Se aplica la ecuacion del valor acumulado y se tiene:

St = 50000[(1 + 0,012)21360 (1 + 0,10)

25360 (1 + 0,08)

20360 ] = $50882,97

La formula anterior que calcula el valor futuro en el escenario com-puesto, se utiliza para hallar el valor presente correspondiente:

P = S

[

z∏

k=1

(1 + ik)−tk

]

(3.8)

Ejemplo 36.Encuentre el valor del deposito que se hace ahora, paralograr tener $1000 dentro de un ano, si para los primeros seis meses latasa de interes es el 3% mensual y para los siguientes seis meses el 2%mensual.Solucion: Usar Ec(3.8)

P12 = 1000(1 + ,03)−6(1 + ,02)−6 = $743,66

Se inicia con un deposito de $743.66 para acumular $1000 al cabo delano.


Ejemplo 37. Determine el valor de apertura de uan cuenta el 20 demayo, si se desea acumular al 30 de diciembre del mismo ano una can-tidad de $200000, dado que la TEA de 8% en la apertura se incremen-tara al 10% el 30 de julio.Solucion: Diagrama de tiempo y efectivo

224 dias

t1 = 71 t2 = 153 200000

TEA1 = 8% TEA2 = 10%P=?

20/05 30/07 30/12

P = 200000

[

(1 + 0,08)−71360 (1 + 0,1)−

153360

]

= $189167,40

3.4. Acumulado con principal y tasa efectiva varia-ble

En este caso la cuenta se modifica por depositos y retiros, a los que seles aplica tasas variables, esto implica el manejo adecuado de los periodosdonde ocurren los cambios.

Ejemplo 38. El 20 de enero se inicio una cuenta bancaria con $10000a una TEA del 10% y a partir de esa fecha se efectuan los siguientescambios:

Fecha Operacion20/02 Retiro $500015/03 Cambio tasa 12%30/05 Cancelacion

Se requiere calcular el valor acumulado en el momento de la cancelacion.Solucion: En el diagrama de tiempo y efectivo se pueden ver losmovimientos:

130 dias

t1 = 31 t2 = 23 t3 = 76 St =?

10000

20/1 20/2 15/3 30/5i = 10% i = 12%

5000

3.5. ACUMULADO EN FUNCION DE LA TASA NOMINAL 37

S1 = 10000(1 + 0,1)31360 − 5000 =5082,41

S2 = 5081,41(1 + 0,1)23360 =5113,45

S3 = 5113,45(1 + 0,12)76360 =$5237,27

Como se puede ver el valor acumulado a la cancelacion es $5237.27

3.5. Acumulado en funcion de la tasa nominal

Cuando el interes compuesto se genera por una tasa nominal im ca-pitalizable m veces (m es el numero de periodos que se capitaliza la tasanominal en su plazo correspondiente), y la razon es:

m =Plazo de la tasa nominal

Plazo del periodo capitalizable

Es necesario proporcionar la tasa nominal para expresarla en el plazodel periodo capitalizable y de esta forma convertirla en una tasa efectiva ipa la que es aplicable los desarrollos matematicos anteriores.

Este comentario puede representarse ası:

ip =imm

La formula convierte una tasa nominal capitalizable m veces a una tasaefectiva del periodo capitalizable.

Si se hace el respectivo reemplazo se tiene en la ecuacion del valoracumulado

St = P

(

1 +imm

)t

, t ≡ periodos capitalizables

Usando las matematicas basicas se obtiene de esta ecuacion valorescomo P, im, t ası:

P = S

(

1 +imm

)−t

, im = m

[(

S

P

)1t

−1]

, t =ln( S

P )

ln(1 + imm )

Al solucionar problemas donde se utilice una tasa nominal capitalizablem veces, es conveniente primero convertir la tasa nominal a la tasa efectivacorrespondiente im y luego aplicar las ecuaciones dadas.


Ejemplo 39. Determine el acumulado de una inversion de 5000 du-rante seis meses y que se coloco a una TNM del 2% capitalizable cadaquincena.Solucion: Si P = 5000, im = 0,02, m = 30

15 , T = 180, t1 = 15, t =18015 o 12 quincenas y mediante la formula se tiene:

S = 5000

(

1 +0,02

2

)18015

= $5634, 12

Ejemplo 40.Encuentre el valor acumulado compuesto en una trimestrepor una inversion $10000, aplicada a una tasa TNA del 18% con capi-talizacion bimestral.Solucion: Los datos P = $10000, im = 0,18, T = 90, m = 360

60 =6, t = 90

60 y usando la formula se tiene:

St = 10000

(

1 +0,18

6

)9060

= $10453,36

Ejemplo 41.Determine el capital que se necesita ahora para lograr unacumulado de $20000 en un plazo de 45 dias, si este dinero invertidodevenga una TNA=15% capitalizable mensualmente.Solucion: Datos: S = 20000, im = 15%, m = 360

30 = 12, T = 45, t = 4530

y usando las formulas se tiene:

P = 20000

(

1 +0,15

12

)− 4530

= $19630,78

Ejemplo 42.Una inversion de $20000 se acumulo en $21244.16, en unplazo de 90 dias. Se necesita conocer la TNA capitalizable mensualmenteque se aplico a la operacion?Solucion:Datos: St = 2124,16, m = 12, P = 20000, t = 90

30 = 3 yusando las formulas se tiene:

im = 12

[(

21224,16

20000

)1

90/30

− 1

]

= 24% = i12.

3.6. INTERES COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE39

Ejemplo 43. Un sobregiro en un banco de $25000 que le aplica unaTNA de 18% capitalizable mensualmente, se cancelo con una cantidadde $25299.55. Durante cuantos dias estuvo sobregirada la cuenta?Solucion:Datos: S = 25299,55, i12 = 0,18, m = 360

30 = 12, P = 25000y usando las formulas se tiene:

t

30=

ln(25299,5525000 )

ln(1 + 0,1812 )

= 0,8⇒ t = 24 dias.

3.6. Interes compuesto con principal y tasa efec-tiva constante

El interes obtenido por un capital que genero una tasa efectiva y quefue invertido en el pasado, es la diferencia entre el valor acumulado de lainversion y el capital inicial ası:

I = St − P ; puesto que St = P (1 + i)t; entonces,

I = P [(1 + i)t − 1] (3.9)

De esta ecuacion se obtienen los correspondientes valores de P, i, y t encaso de ser necesaria su utilizacion.

En el proceso de conocimiento entre interes simple y compuesto y bajolos modelos trabajados de interes simple I = Pimt que es una funcionlineal.

Interes compuesto I = P [(1 + i)t − 1], es una funcion exponencial, alsimular una hoja de calculo; puede estudiarse lo que pasarıa si se coloca uncapital:

1. a interes simple a una tasa nominal periodica TN

2. a interes compuesto a una tasa efectiva periodica TE

Ver figura EXCEL donde capital original es 100 y TN=TE

∗ Cuando t = 1, el interes simple y compuesto coinciden

∗ Cuando t < 1, el interes simple supera al interes compuesto

∗ Cuando t > 1, el interes compuesto supera al interes simple


Ejemplo 44. Un banco otorga un prestamo a una empresa por $100000con vencimiento un ano. Si la TEA es 30%, ¿que interes compuestopagara la empresa al banco al final del ano?Solucion: Datos: P = 100000, i = 0,30, t = 1 y usando la formula setiene:

I = 100000[(1 + 0,30)1 − 1] = $30000,00

Ejemplo 45.In inversionista deposita $100000 en una institucion fi-nanciera y le aplican TEM de 2.5%, ¿que interes compuesto ganara entres meses?Solucion: Datos: P = 100000, i = 0,025, t = 3 y usando la formula setiene:

I = 100000[(1 + 0,025)3 − 1] = $7689,06

Ejemplo 46. ¿Que interes compuesto se acumulara en 180 dias por undeposito de $5000 y que se la aplica una TEA de 30%.Solucion: Datos: P = 5000, i = 0,30, t = 180

360 y usando la formula setiene:

I = 5000[(1 + 0,30)180360 − 1] = $700,88

3.7. Interes con principal constante y tasa efectivavariable

Si iz es la tasa de interes vigente durante el z-esimo subperiodo y tz elnumero de periodos de la tasa iz en el z-esimo subperiodo, entonces:

I = P

[

(1 + i1)t1(1 + i2)

t2 . . . (1 + iz)tz − 1

]

La expresion (1 + i1)t1(1 + i2)

t2 . . . (1 + iz)tz es el producto de los factores

del tipo (1 + iz)tz como se mostro anteriormente

I = P

[

z∏

k=1

(1 + ik)tk − 1

]


Ejemplo 47. ¿Que interes compuesto genero un capital de $50000, elque se coloco el 5 de abril a TEA de 12% y que vario a 10% el 31 demayo y la operacion se cerro el 16 de junio?Solucion: Datos: P = 50000; i1 = 0,12; i2 = 0,10 t1 =

56360 , t2 =

16360

y usando la formula se tiene. en diagrama de tiempo y efectivo:

TEA=12% TEA=10%

t1 = 56 dias t2 = 16 dias

05/4 31/5 16/6

I = 50000[(1 + 0,12)56360 (1 + 0,10)

16360 − 1] = $1105,29

3.8. Ecuaciones de valor

Cuando el horizonte de tiempo de la operacion se producen conjun-tamente variaciones en la tasa de interes y en el principal, el calculo delinteres compuesto puede efectuarse por tramos se acuerdo a las respectivasoperaciones

El principio fundamental de la teorıa del interes consiste en que unacantidad de dinero depositada en cualquier punto del tiempo es equivalenteal dinero obtenido en el pasado o en el futuro aplicandole una tasa deinteres; este es el concepto de valor del dinero en el tiempo.

Una ecuacion de valor es la igualdad que compara valores diferentes dedinero en fechas diferentes; la informacion al respecto se visualiza en losdiagramas de tiempo y efectivo estudiados anteriormente; estos diagramasfacilitan la ubicacion de los flujos de efectivo que suceden durante el tiempoy de esta forma plantear con seguridad la ecuacion de valor. Todos los val-ores que aparecen en el respectivo diagrama de tiempo deben trasladarsemediante las ecuaciones correspondientes de interes simple o interes com-puesto a un punto comun conocido como punto de referencia o fecha focaly de esta forma establecer las ecuaciones de valor.

Las primeras ecuaciones de valor en interes simple fueron trabajadas enel Capıtulo 2, ahora se daran algunos ejemplos sencillos al respecto.


Ejemplo 48. Al comprar su automovil Usted se compromete a pagar$1’000.000 dentro de un ano. Si Usted tiene la posibilidad de invertiren papeles comerciales que rinden el 2% mensual compuesto, ¿Cuantopagarıa hoy por el pagare, si dispone de la cantidad de $1’000.000 alcabo del ano?

Solucion: Con un diagrama de tiempo y efectivo.

0 1 12

i = 2%

$1’000.000

P= ?

Se establece la ecuacion de valor:

P = 1000000(1 + 0,02)−12 = $788493,17 valor a pagar hoy.

Ejemplo 49. Si invierto $200 en dos meses y $500 en ocho meses, aque tasa de interes simple se acumulan $1000 en doce meses?

Solucion. Diagrama y acumulado con interes simple. El punto de refe-rencia puede ser el mes 12.

0 1 2 3 8 12

$1.000

200 500

$1,000 = $200(1 + i(10)) + 500(1 + i(4))

= 200 + 2000 i+ 500 + 2000 i = 700 + 4000 i

Entonces 300 = 4000 i =⇒ i = 7,5% mensual, la tasa que hace equiva-lente los valores dados es del 7.5% cada mes.


Ejemplo 50. Una entidad financiera ofrece $6000 al cabo de cinco anosa una persona que invierte hoy $1000, $1500 en dos anos y una cantidadX en cuatro anos. Hallar X, si i = 5%

Solucion. Se establece el punto de referencia en anos. Ahora se establecela ecuacion de valor en t = 5, con i = 0,05

6000 = 1000(1 + i)5 + 1500(1 + i)3 + x (1 + i) =⇒6000− 1000(1,05)5 − 1,500(1,05)3 = x (1 ,05 ) =⇒

x =6000− 1000(1,05)5 − 1500(1,05)3

1,05= $2845,03

Alternativamente se puede establecer como punto de referencia el punto0, entonces

1000 + 1,500(1 + i)−2 + x (1 + i)−4 = 6000 (1 + i)−5

X =6000v5 − 1,500v2 − 1000

v5=

6000(,9523)5 − 1500(,9523)2 − 1000

(,9523)4

=$2845.03

El siguiente es el diagrama para hallar x:

0 2 3 4 5

6.000

1.000 1500 x

Ejemplo 51. El senor Eduardo Laverde solicito un prestamo de $100000quien pagara una TEM de 3%, para cancelarlo en 180 dias, si el senorLaverde amortiza anticipadamente al vencimiento $20000 el dıa 35 y$10000 el dıa 98; ¿cuanto debera pagar el dıa 180 para saldar la deuda?Solucion: Se plantea como fecha focal del dıa 180, el diagrama detiempo-efectivo se presenta ası:


0 35 98 180

10000

20000 10000

145 dias

82 dias

180 dias

Existen varias ecuaciones para solucionar el mismo problema con fechafocal al final del horizonte de tiempo en el dıa 180 una ecuacion es:

x = 100000(1+0,03)18030 −20000(1+0,03)

14030 −10000(1+0,03)

8230 = $85492,21

Si se toma como punto referencial el punto cero del horizonte de tiempo,la ecuacion de equivalencia es:

100000 =20000(1 + 0,03)−3530 + 10000(1 + 0,03)−

9830

+x(1 + 0,03)−18030

entonces,100000 = 19322,05 + 9079,57 + x(1,141)

Por lo tanto x=$85492.21

Ejemplo 52. Mostrar si los aportes de $537.17 y $566.85 hechos al finalde los meses 4 y 7 respectivamente son equivalente en el presente, useTEA de 24%Solucion: El diagrama de tiempo-efectivo muestra

0 1 2 3 4 5 6 7

P

S1 = 537,17 S2 = 566,86

P = 537,17(1 + 0,024)−120360 = 500 P = 566,85(1 + 0,024)−

21360 = 500

Como se puede ver estos valores so iguales y se han obtenido de descontara la TEA de 24% los correspondientes S1 y S2 desde el mes que se hizoel respectivo aporte.

Ejemplo 53. La empresa Marktenis debe pagar a un banco una deudade $200000 que vencera en 60 dias y otra de $100000 que vencera en 90dias. La gerencia de la empresa con base al flujo de efectivo proyectadoacuerda diferir los pagos al dıa 180. Dado que la deuda aplica una TEMde 3.5% a partir de sus vencimientos, ¿cuanto debe pagar Marktenis eldıa 180?


Solucion: diagrama de tiempo-efectivo

0 30 90 180 dias

P

200000 100000 i = 0,035

x = 200000(1 + 0,035)5 + 100000(1 + 0,035)3 = $348409,05

Ejemplo 54. Determine el valor de cada cuota creciente por pagar porun prestamo bancario de $100000 amortizable en 4 cuotas trimestralesvencidas, las cuales se incrementan el 5% cada trimestre con relacion ala cuota anterior al TET de 7%Solucion: diagrama de tiempo-efectivo

0 1 2 3 4 trimestre

100000 i = 0,07

x x(10,5) x(10,5)2 x(10,5)3

100000= x1,07 + x(1,05)

(1,07)2+ x(1,05)2

(1,07)3+ x(1,05)3

(1,07)4

100000= (3,6348)xx= $27511.79

Este tipo de problema se resuelve mas adelante en el escenario de losgradientes geometricos.

Interpolacion lineal

La interpolacion lineal consiste en que dados dos puntos de una li-nea se puede hallar un valor intermedio usando una funcion de tipo linealsuponiendo que los tres puntos estan sobre la misma linea recta.

De esta forma para una funcion lineal y = f(x), si se conocen en susgrafica los puntos p1(x1, y1) y p2(x2, y2) y se quiere determinar algun valorde un punto intermedio p(x, y) donde x1 < x < x2 entonces se tiene lasiguiente grafica,

Observando la grafica de y = f(x), se establecen las pendientes corres-pondiente de la siguiente manera,

m(p1 ∧ p2) =y2 − y1x2 − x1

y m(p1 ∧ p) =y − y1x− x1

,


•

•

•

0 x

Y

p1(x1, y1)

p(x, y)

p3(x2, y2)

y = f(x)

Figura 3.3: Funcion lineal para determinar puntos de interpolacion

puesto que son dos pendientes sobre la misma linea recta entonces:

y − y1x− x1

=y2 − y1x2 − x1

(3.10)

x = x1 +

[

x2 − x1y2 − y1

]

(y − y1) (3.11)

Tambien de la Ec(3.10) se puede despejar y y se tiene una ecuacionalternativa.

Al aplicar lo anterior al estudio del interes se tiene que los x son des-conocidos y pueden ser i o t, es decir tasas de interes desconocidos o tiem-pos desconocidos. Los valores de y son los diferentes factores que tambienpueden ser desconocidos.

Tasas de interes desconocidas

Las tasas de interes desconocidas, proceso que es muy importante paradeterminar la rentabilidad de las inversiones.

Se discuten los siguientes metodos para hallar las tasas de interes des-conocidas:

- Solucion de ecuaciones de valor usando matematicas basicas como losexponenciales y ecuaciones para pagos simples como se hizo anterior-mente.


- Otro metodo es el de ensayo y error, para aplicar la interpolacionlineal, aplicando las tablas de interes o calculadora corriente.

- El metodo usado en la actualidad es el de la calculadora financierao computador que debe aplicarse una vez el estudiante conozca losprimeros casos manuales.

Ejemplo 55. ¿A que tasa de interes convertible mensualmente $500acumulan $1000 en tres anos.Solucion: diagrama de tiempo y efectivo

0 1 2 3 anos

1.000

36 meses

500

ip = i1212

Se usa ip para facilitar escritura de ecuacion de valor, ip = i1212 ,

t = 3× 12 = 36, entonces:

500(1 + ip)36 = 1000,⇒ 1 + ip =

(

1000500

)1/36=⇒ ip = 1, 94% Puesto que

ip = i1212 = 1, 94 =⇒ i12 = 23, 32% anual

Este procedimiento sencillo usando la ecuacion de valor, puede utilizarsesiempre que sea posible el uso de exponenciales.

Ejemplo 56. ¿A que tasa efectiva de interes una inversion de $2000dentro de dos anos y $3000 dentro de cuatro anos es equivalente a $4000en el presente?Solucion: Observese el diagrama correspondiente,

4000

2000 3000

0 2 4ip =?

Se plantea la ecuacion de valor correspondiente y se simplifica


4000 = 2000(1+ip)−2+3000(1+ip)

−4 =⇒ 3(1+ip)−4+2(1+ip)

−2−4 = 0

y se solucionan usando la formula para la ecuacion cuadratica. Recordar

que si ax2 + bx+ c = 0 entonces x = −b±√

b2−4ac2a , por lo tanto:

(1 + ip)−2 = −2±

√4+4×3×42×3 =⇒ (1 + ip)

−2 = −2±√52

6

=⇒ (1 + ip)−2 =0,868517 =⇒ ip = 7,3%

Ejemplo 57. A que tasa de interes convertible trimestralmente, unainversion de $100 ahora y $200 en tres anos, acumulan $500 al cabo de5 anos.Solucion: Se supone que ip = i4

4 para plantear la ecuacion de valor

100(1 + ip)20 + 200(1 + ip)

8 = 500.

Esta ecuacion no se puede solucionar mediante los metodos anteriores,por lo tanto se usa el metodo del ensayo y error e interpolacion lineal.

f(ip) = 100(1 + ip)20 + 200(1 + ip)

8 − 500 = 0

es decir se determinara un ip tal que f(ip) = 0, y mediante ensayo yerror se determinan dos valores cercanos a 0.

f(4%) =100(1,04)20 + 200(1,04)8 − 500 = −7,1738f(5%) =100(1,05)20 + 200(1,05)8 − 500 = 60,8208

usando la interpolacion lineal,

(x1, y2) =(0,04, −7,1738)(x, y) = (j, 0)

⇒ (x2, y2) = (0,05, 60,8208), y reemplazando en la ecuacion Ec(3.10)

60,8208− (−7,1738)0,05− 0,04

=(0− (−7,1738))

j − 0,04= 6,799,4659

ip − 0,04 = 0, 001055 =⇒ ip = 0,041Ã 4, 1%

puesto que ip = i44 = 4, 1%⇒ i4 = 16,42% anual nominal trimestral.

Como se observa el metodo de ensayo y error es mas general que lasanteriores.


Ejemplo 58. El senor Castillo hace una inversion de $5000 ahora yespera recibir $12000 dentro de cinco anos, encuentre la tasa de retornosobre la inversion.Solucion: Primero se visualiza la inversion mediante un diagrama; paradeterminar la tasa de retorno de la inversion

$5000

12000

0 1 2 3 4 5

i

Se puede establecer varıas metodologıas

1. Se puede usar directamente la calculadora financiera.

2. Mediante el algebra se establece la ecuacion, St = P (1 + i)t =⇒12,000 = 5000(1 + i)5, entonces

2, 4 = (1 + i)5 =⇒ (1 + i) = (2, 4)1/5 − 1 =⇒ i = 19, 13%

3. Mediante el ensayo y error y usando la interpolacion

Si (1 + i)5 = 2,4. entonces x1 = 15%→ (1 + i)5 = 2,0113 = y1x = i→ (1 + i)5 = 2,4 = yx2 = 20%→ (1 + i)5 = 2,4883Entonces usando la ecuacion 3.10 se tiene:2,4883−2,0113

0,2−0,15 = 2,4−2,0113x−0,15 → (x− 0,15) = 4,07→ x = i = 19,07%

Tambien se puede reemplazar directamente.

Ejemplo 59. Un inversionista deposita $2000 ahora, $500 en tres anosy $1000 en cinco anos ¿Cuantos anos debe dejar el dinero para acumular$10000. Suponga i = 6% anual.Solucion: Mediante un diagrama de tiempo y efectivo se visualiza yluego se establece la ecuacion de valor solucion

La ecuacion cuyo punto focal se establece en t sera:10,000 = 2000(1 + i)t + 500(1 + i)t−3 + 1000(1 + i)t−5

reemplazando y simplificando por 1000 se tiene:


10 = 2(1,06)t + ,5(1,06)t−3 + 1(1,06)t−5

Mediante ensayo y error para t se establecet 2(1,06)t 0,5(1,06)t−3 1(1,06)t−5 St Comentario5 2,6764 .5618 1 $4,2382 valor pequeno15 4,7932 1,0061 1,7908 $7,5901 valor pequeno20 6,4142 1,3464 2,3966 10,1572 valor grande

Como se observa si t = 15 genera un acumulado por debajo del esperadoque es 10; y si t = 20 genera un acumulado por encima del esperado;por lo tanto estos son los puntos para interpolar,Si x1 = 15 =⇒ y1 = 7,5901, y = t =⇒ y = 10, x2 = 20 =⇒ y2 = 10,1572,segun la Ec(3.10) sobre igualdad entre pendientes se tiene,

y − y1x− x1

=y2 − y1x2 − x1

=⇒ 10− 7,5901

x− 15=

10, 1572− 7,5901

20− 15=⇒

operando adecuadamente x = t = 19,69 anosLa respuesta cerrada en numero de anos es 20 por aproximacion.

3.9. Ejercicios

1. ¿Que monto compuesto habra acumulado una persona en una cuentade ahorro del 4 al 25 de octubre del mismo ano, si se aplican unaTEM= 3% y su deposito inicial fue de $25000?

2. Si la poblacion de un paıs es de 30 millones de habitantes y su tasapromedio de crecimiento anula es de 2.35%. ¿Cuantos habitanteshabra dentro de 2 1/2 anos.

3. En el ultimo semestre el precio de la gasolina se incremento en 2%cada 30 dias en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuantocostara un galon de gasolina dentro de un ano, si el precio de hoy esde $5000?

4. Encontrar el capital que colocado a una TEM de 3% durante 90 dias,ha producido un monto de $50000

5. Se adquirio una maquina cuyo precio de contado es de $600000, sepago cuota inicial de $200000 y el saldo fue financiado por una letraa 45 dias por el monto de $415094. ¿Cual fue la TEM aplicada a estaoperacion?

6. ¿En cuantos meses se acumularan $53411,80 si se coloca un capitalde $50000 en un banco que paga TET de 2%?

3.9. EJERCICIOS 51

7. Que tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por uncapital sean iguales al mismo capital depositado un un banco a unaTEM de 2%?

8. Determine el principal que debe invertirse ahora para acumular $1500al cabo de tres anos. Asuma tasa del 5% trimestral.

9. ¿Cuanto tiempo es necesario para que un inversionista duplique sudinero a una tasa de interes del 12% a una tasa de 7.5% anual?

10. ¿Que valor principal acumula al final de 20 anos $100000, si el prin-cipal fue investido 8% compuesto anualmente

11. Se requiere calcular el monto compuesto que produjo una cuentaabierta con principal de $70000, la cual se mantuvo vigente del 11de julio al 24 de septiembre del mismo ano. La TEA que original-mente fue 24%, se redujo a 22% el 28 de agosto y se mantuvo en estevalor hasta el termino del horizonte de tiempo.

12. El 20 de septiembre debe cancelarse una deuda de $10000. Al vencimien-to del plazo la deuda en mora devengara una TEM de 3%, la mismaque se incrementara a 3.5% el 1 de octubre y a 4% el 1 de noviembre.¿Que monto debe pagarse el 19 de noviembre fecha en que el clientecancelo la cuenta?

13. Determine la cantidad de dinero acumulada al cabo de 12 meses al3% mensual compuesto, si se deposita $1000 ahora, $3000 dentro de3 meses y $10000 dentro de seis meses. La cantidad acumulada es lasuma de los valores futuros

14. El 11 de julio se coloco en el banco nuevo una cantidad de $50000 y aa partir de esa fecha se depositaron $10000 y $5000 el 2 de octubre yel 15 de noviembre, respectivamente, el18 de noviembre se retiraron$8000. El 24 de noviembre del mismo ano se cancelo la cuenta. Calculeel acumulado si al inicio de la operacion la TEM fue 3% y a partirdel 1 de noviembre a 3.5%

15. Los flujos de caja y las fluctuaciones mensuales proyectadas por laempresa Agroexport se muestran en la siguiente tabla:

Mes 0 1 2 3 4

Flujo de caja 2000 2000 2200 2400 2500

% de inflacion 2% 1.8% 1.6% 1.65%


Calcule el valor presente de dichos flujos y utilice como tasa de des-cuento la tasa de inflacion.

16. La rentabilidad en 23 dias que produjo un paquete accionario adquiri-do en la bolsa de valores fue de $50000, dicho paquete accionario acu-mulo en 30 dias una tasa efectiva de interes de 3.9%. ¿Cual fue suprecio de adquisicion hace 23 dias?

17. Calcule el interes producido por un capital de $70000, colocado en unbanco a una TEM de 1% por el periodo comprendido entre el 13 deagosto y el 6 de octubre del mismo ano.

18. El 24 de septiembre se efectuo un deposito de $18000 en un bancoque aplica tasas variables que en la fecha es TEA de 15%, Si el 1 deoctubre la TEA disminuye a 14%; ¿cual es el interes que acumulohasta el 23 de diciembre del mismo ano, fecha en que se cancelo lacuenta?

19. Una persona abrio una cuenta de ahorros en un banco local el 24de septiembre y al cancelo el 16 de noviembre, en ese plazo se hanefectuado depositos, retiros y cambio de tasa que se presentan en lasiguiente tabla:

Fecha Principal Tasa

Operacion Valor Operacion %

24/09 Deposito 25000 Tasa inicial TEA=12%24/09 Deposito 15000 TEA=12%16/10 Cambio tasa TEA=11%28/10 Retiro 20000 TEA=11%

16/11 Cancelacion

Se requiere calcular:

a) El interes compuesto que se genero durante todo el plazo de laoperacion.

b) El saldo acreedor de la cuenta de la cancelacion de ahorros

c) EL saldo del principal y el saldo de interes que compone el saldodel acreedor.

20. Las deudas de $200000 y $300000 que se vencen dentro de 2 y 4 mesesdentro de 2 y 4 meses respectivamente, sera sustituidas por un unicopago que vencera en 6 meses. Se necesita calcular el valor que susti-tuira ambas deudas en el mes 6 con una TNA de 18%, capitalizablemensualmente

3.9. EJERCICIOS 53

21. Halle el calor acumulado de $5000 invertidos ahora y por 3 anos, aunatasa anticipada trimestral de 5%, use equivalencia.

22. Determine la cantidad de dinero a invertirse ahora a una d=24%anual, con el fin de acumular $100000 dentro de tres anos.

23. Un pago de $2000 en el cuarto ano y otro de $5000 en el decimo anoson equivalentes a un ingreso de $3000 ahora y un valor x dentro detres anos. Halle x si TNA del 10% es capitalizable trimestralmente

24. In inversionista hace tres depositos en un fondo al final de los anos1,3 y 5; la cantidad depositada en el ano t esta dada por la expresion100(1, 025)t. Encuentre la cantidad acumulada en el fondo al final delseptimo ano si TNT de 20% se capitaliza trimestralmente

25. El fondo x acumula inversiones al 6% anual efectivo y el fondo yacumula al 8% anual efectivo. A los 10 anos el acumulado total delos fondos fue de 10000. Al final de los cinco anos la cantidad en elfondo x es la mitad que en el fondo y. ¿Que cantidad se acumula encada fondo al final del tercer ano?

26. Un DVD cuesta de contado $500000 o tambien se puede financiar atres pagos ası: $150000 dentro de tres meses y otros dos pagos igualesa los 6 y 9 meses. Hallar el valor de estos pagos si ip = 3,5% efectivomensual

27. Una maquina se adquiere mediante financiacion de $100000, $200000,$300000 en los meses 3, 6 y 9 respectivamente, hallar el valor decontado sabiendo que la tasa de interes varia ası: 2,5% mensual paralos primeros 6 meses y el 9% trimestral de ally en adelante.


Capıtulo 4

Descuento

El objetivo al desarrollar este tema es el de estudiar a traves del descuen-to bancario de tıtulos valores como letras de cambio, pagares, certificadosde deposito y otros; de acuerdo con su clasificacion en simple y compuesto,usando tasas vencidas de interes o tasas anticipadas, tambien se tratara eldescuento comercial que se aplica a las operaciones comerciales.En este capitulo se desarrollara:

? Descuento

? Descuento racional simple

? Descuento racional compuesto

? Descuento bancario simple

? Descuento bancario compuesto

? Descuento comercial.


D : Descuento racional o bancario, simple o compuestoDc : Descuento comercialS: Valor comercial del titulo o valorP : Valor presente del titulo valor en descuento racional

o valor liquido en el descuento bancariodm : Tasa nominal anticipada aplicable sobre Sde : Tasa anticipada efectiva aplicable sobre Si : Tasa de interes vencida aplicable sobre Pt : periodos de tiempo comprendido entre la fecha de

descuento y la fecha de vencimiento del titulo valor

55

56 CAPITULO 4. DESCUENTO

Pv : Precio de venta en el descuento comercial

PR : Precio rebajado en el descuento comercialtz : Numero de subperiodos

4.1. Descuento

El interes aplicado anticipadamente al valor nominal de un titulo valor,se denomina descuento, y esto corresponde a la diferencia entre el valornominal o acumulado de la deuda a su vencimiento y su respectiva cantidaden el presente.

Lo que sucede normalmente es que si un cliente de un banco dispone deun conjunto de tıtulos valores que todavıa no se han vencido, estos puedenconvertirse en dinero en efectivo a traves de un descuento, obteniendo dehecho una cantidad menor que la suma de los valores nominales de estosdocumentos.

En estas operaciones de descuento, el termino valor presente o valorliquido no son iguales como se vera mas adelante

4.2. Tipos de descuento

1. Sistema Bancario

{

Descuento racional: simple y compuesto,

Descuento bancario: simple y compuesto.

2. Sistema no bancario: Descuento comercial: unitario y sucesivo.

4.2.1. Descuento racional

Este descuento opera sobre el valor nominal de un titulo valor que venceen el futuro y corresponde al interes deducido por anticipado, calculadocon la tasa de interes nominal im o con la tasa efectiva vencida i sobreel acumulado que recibe el descontante; esta cantidad constituye el valorpresente del titulo valor.

De este modo, el descuento racional calculado sobre el valor nominal deltitulo valor y el interes vencido calculado sobre el respectivo valor presentedurante un mismo plazo, con la misma tasa, producen iguales resultados,se puede comprobar que Descuento=Interes, o D = I.

Este descuento se denomina racional, matematico o verdadero porqueexiste una total equivalencia entre sus variables (im, i) al determinar elfuturo presente.

4.2. TIPOS DE DESCUENTO 57

4.2.2. Descuento bancario

El descuento bancario efectuado al valor nominal de un titulo valor,que vence en el futuro, es el interes deducido por anticipado, calculado conla tasa anticipada de descuento d sobre el valor nominal del titulo valor;el resultado de restar la cantidad descontada al valor nominal es el valorliquido del titulo valor.

El descuento es la diferencia que existe entre el valor nominal S consigna-do en un titulo valor y su respectivo valor presente P o su valor liquido, detal forma se obtiene:

D = S − P ; o P = S −D; o S = P +D (4.1)

4.2.3. Descuento racional simple

El descuento racional simple calculado sobre el valor nominal de untitulo valor es el mismo importe que el interes simple calculado sobre surespectivo valor presente, y que se deduce de ese valor nominal en la fechaen que la entidad anticipa el pago del titulo valor.

La formula se deduce a partir de D = S − P , puesto que:

P = S

[

1

1 + imt

]

⇒ D = S − S

[

1

1 + imt

]

= S

[

1−1

1 + imt

]

= S

[

imt

1 + imt

]

(4.2)

En consecuencia la formula de descuento es D = Simt1+imt , en esta ecuacion

la tasa nominal im y el numero de periodos t que componen el plazo deldescuento debe referirse a la misma unidad de tiempo.

Ejemplo 60. Una letra de cambio tiene un valor nominal de $50000la desconto un banco cuando faltaban 90 dias para su vencimiento. Senecesita conocer el valor de descuento racional simple que aplico el bancocon TNM de 1.5%Solucion:

t=90 im=1.5%=0.015 0

50000, t=90/30D=?

entonces:

D =50000(0,015) 90301 + (0,015) 9030

= 2153,11


Ejemplo 61. Un documento con valor nominal de $200.000 fue aceptadoel 1 de abril y descontado el 7 de abril por un banco, con TNA de 18%,tiene como fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo ano. Calcule:1. Valor del descuento racional simple

2. Valor que abono el banco a la cuenta corriente del descontante

3. El interes simple que generara la operacion sobre el importe efec-tivamente recibido.

Solucion: Datos: S = 200,000 im = 0,18, t = 90360

1. D =200000×(0,18)×( 90

360)

1+(0,18)×( 90360

)= $8612,44

2. Calculo de valor presente P −D = 200000−8612,44 = $191387,56

3. Interes simple que genera la operacion sobre el valor recibido I =192387,56× (0,18)× ( 90

360) = $8612,44

Como se puede ver D = I, el mismo resultado

4.2.4. Descuento racional compuesto

El descuento racional compuesto corresponde a la diferencia entre elvalor nominal de un titulo valor y su respectivo valor presente, cuyo procesopara cada periodo de descuento consiste en deducir del valor nominal unvalor determinado (descuento) y disminuir su valor nominal. Sobre estenuevo valor se repite la operacion para el nuevo periodo de descuento yası sucesivamente durante todo el plazo de la operacion hasta la fecha enque debe recibirse el valor presente de la operacion, la formula de descuentoracional compuesto se deriva a partir de D = S − P ; si P = S(1 + i)−t,entonces

D = S − S(1 + i)−t ⇒ D = S

[

1− (1 + i)−t

]

(4.3)

Esta formula calcula el descuento racional compuesto, cuando la tasade descuento es una tasa efectiva vencida, y no sufre variaciones en el plazodel descuento y tanto i como t deben hacer referencia a la misma unidadde tiempo.


Ejemplo 62. Una letra de cambio tiene un valor nominal de $50000,se desconto en un banco cuando faltaban 90 dias para su vencimiento.Se desea saber el valor del descuento racional compuesto que efectuo elbanco a una tasa de descuento TEM de 1.5%.Solucion: S = 50000, im = 1,5%, y t = 90

30 , entonces

D = 50000[1− (1 + 0,015)9030 ] = $2184,15

Ejemplo 63. Un documento con valor nominal de $200000 que fueaceptado el 1 de abril y descontado el 7 de abril por un banco, con TEAde 18%, tiene fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo ano. Calcule:1. El valor del descuento racional compuesto

2. El valor que abono el banco a la cuenta del descontante

3. El interes compuesto que generara la operacion sobre el valor efec-tivamente recibido

Solucion: Datos: S = 200000, im = 18%, t = 90360

1. D = 200000[1− (1 + 0,18)90360 ] = $8106,84

2. P = 200000− 8106,84 = $191893,16

3. I = 191893,16[(1 + 0,18)90360 ] = $8106,84

Puede verificarse que el descuento compuesto sobre el valor nominal yel interes compuesto del titular o valor generan el mismo resultado.

Ejemplo 64. Una empresa desconto el 26 de mayo un pagare con valornominal de $10000 y vencimiento dentro de 90 dias; el banco descuentauna tasa efectiva vencida que variara de acuerdo a los siguientes datos:

Tasa A partir deTNA 24% 26/05TNT 6,5% 30/60TNM 2,1% 31/07

Se solicita calcular el descuento racional compuesto que se aplicara alpagare.Solucion: Datos S = 10000, i1 = 2,1%, t1 =

2430 , i2 = 6,5%, t2 =

3190 ,

i3 = 24% t3 =35360

D = 10000

[

1− 1

(1+0,021)2430×(1+0,065)

3190×(1+0,24)

35360

]

= $575,11


90 dias

t1 = 35 t2 = 31 t3 = 24

TNA= 24% TNT2 = 6,5% TNM3 = 2,1%P

26/5 30/6 31/7 24/3

Este es el valor del descuento compuesto al pagare

4.2.5. Descuento bancario Simple

Este descuento bancario simple es el producto del valor nominal deltitulo valor por la tasa anticipada nominal dm y por el numero de periodosque faltan para el vencimiento del descuento. esto es

D = Sdmn (4.4)

La ecuacion anterior permite encontrar el descuento bancario simple,cuando la tasa de descuento nominal anticipada, no varia dentro del plazodm y m que generan el plazo del descuento deben expresarse en la mismaunidad de tiempo; si dm es anual, n debe ser anual; si dm es mensual n debeser mensual y ası sucesivamente para otros periodos de tiempo; en generalse sugiere convertir el plazo de m al plazo de dm con la regla de tres simple

Ejemplo 65. Un documento tiene un valor nominal de $10000 fue des-contado en un banco cuando faltaban 90 dias para su vencimiento. Serequiere conocer el valor del descuento bancario simple que efectuo elbanco quien aplico una tasa nominal de descuento anticipada de 1.5%mensual.

D = 10000× (0,015)( 9030) = $450

Ejemplo 66. Una letra de cambio cuyo valor nominal es de $380000 yque tiene como fecha de vencimiento, el 26 de febrero se descuenta el18 de enero del mismo ano, con una tasa nominal anticipada del 24%anual. se requiere calcular el valor del descuento bancario simple que seefectuo al valor nominal de la letra.Solucion: Datos S = 380000; dm = 0,24;n = 39

360

D = 380000× 0,24× (90

360) = $9880,00

Este es el valor del descuento bancario simple.


Ejemplo 67. Determine el valor nominal simple de un pagare cuyodescuento bancario simple fue de $5000, con tasa nominal anticipada dedescuento simple de 1.5% mensual. La fecha de descuento del pagare fueel 24 de septiembre y su fecha de vencimiento el 8 de noviembre delmismo anoSolucion: Datos D = 5000; dm = 1,5;n = 45

30 El valor nominal deldocumento es segun ecuacion

S =5000

(0,015)× 45/30= $222222,22

4.2.6. Valor liquido y valor nominal de un titulo valor contasa dm nominal constante

Puesto que

P = S −D y D = Sdmn ⇒ P = S − Sdmn ⇒ P = S[1− dmn] (4.5)

Esta formula calcula el valor liquido de un titulo valor a descuentobancario simple.

El valor nominal s de un titulo valor es el valor exigible al deudor soloen la fecha de su vencimiento que es posterior a la fecha de descuento.

Al despejar S de la ecuacion 4.5 se tiene la ecuacion de valor nominal

S = P

[

1

1− dmn

]

(4.6)

Ejemplo 68. El 14 de abril la empresa XZ efectuo un descuento bancariosimple en un banco, de un documento con valor nominal de $100000y fecha de vencimiento el 14 de julio del mismo ano. Calcule el valorliquido que abono el banco en la cuenta de XZ el 14 de abril, con unatasa nominal anticipada de descuento bancario simple de 20% anual.Solucion: Datos S = 100000; dm = 20%;n = 91

360 , puede obtenerse elvalor liquido del documento mediante la ecuacion

P = 100000

[

1− 0,20× 91

360

]

= $94944,44


Ejemplo 69. ¿Por que valor nominal debere aceptarse un pagare quevence el 26 de mayo? al pagare se le aplicara un descuento bancariosimple el 22 de marzo del mismo ano, a una tasa nominal anticipadadel 22% y el descontante quiere que sea abonado un valor liquido de$540000 en la fecha de descuentoSolucion: Datos P = 540000; dm = 22% y n = 65

360 ; puede obtenerse elvalor nominal del pagare mediante la ecuacion

S = 540000

[

1

1− 0,22× 65360

]

= $562337,29

Existe la posibilidad de un descuento con dm variable y los plazos del des-cuento pueden ser diferentes, por lo tanto el D = Sdm1n1+Sdm2n2+ . . .+Sdmznz y con esta formula calculamos el descuento bancario simple contasa variable.

Ejemplo 70. Se desea calcular el descuento bancario simple que debeefectuarse sobre un pagare que tiene un valor nominal de $500000 yvencera el 30 de septiembre y sera descontado por el banco el 2 de juliodel mismo ano. En la fecha del descuento la tasa nominal anticipada fuede 24% anual, la cual cambiara al 22% el 15 de julio y al 29% a partirdel 16 de septiembre y esta se mantendra hasta el vencimiento.Solucion:

90 dias

t3 = 13 t2 = 63 t1 = 14

2/7 15/7 16/9 30/9

dm3= 24% dm2

= 22% dm1= 20%

D = 500000

[

0,20× 14360 + 0,22× 63

360 + 0,24× 13360

]

= $27472,22

4.2.7. Descuento bancario compuesto

Este descuento bancario consiste en una sucesion de operaciones dedescuento bancario simple, en las que despues de la primera, su valor liquidose constituye en el valor nominal de la siguiente y ası sucesivamente hastallegar a la fecha del descuento. Al final del primer periodo de descuento, eldescuento bancario simple coincide con el descuento bancario compuesto,si son iguales las tasas nominales anticipadas de descuento.

Para evitar demostraciones de las formulas se tiene que el descuentobancario compuesto es:


D = S[

1− (1− d)n]

(4.7)

y corresponde al descuento bancario de un titulo o valor durante t pe-riodos a la tasa anticipada de descuento d; la tasa d y el numero de periodost que componen el plazo del descuento deben referirse a la misma unidadde tiempo.

Ejemplo 71. Una letra de cambio que tiene un valor nominal de $500000fue descontada en un banco, cuando faltaban 90 dias para su vencimien-to. Se desea conocer el valor del descuento bancario compuesto que efec-tuo el banco al aplicar una tasa de descuento efectiva anticipada de 1.8%mensual.Solucion: Datos S = 500000; d = 1,8% y n = 90

30 entonces:

D = 500000[

1− (1− 0,018)9030

]

= $26516,92

Ejemplo 72. Un documento con valor nominal de $2.000.000 fue giradoel 1 de abril y descontado el 7 de abril por un banco, con tasa efecti-va anticipada anual del 20%, tiene como fecha de vencimiento el 6 dejulio del mismo ano; se necesita calcular el valor del descuento bancariocompuesto que se efectuo sobre el valor nominal del descuento.Solucion: con los datos S = 2000000; d = 20% y n = 90/360, puedecalcularse el valor del descuento bancario compuesto

D = 2,000,000[

1− (1− 0,2)90360

]

= $108516,78

Ejemplo 73. Determine el valor nominal de un pagare cuyo descuentobancario compuesto fue de $ 50000 al aplicar una tasa efectiva anticipadade descuento del 2% mensual. La fecha de descuento del pagare fue el24 de septiembre y la fecha de vencimiento el 8 de noviembre del mismoano.Solucion: con los datos D = 50000, d = 2% y n = 45/30, puede calcu-larse el valor nominal despejando de la ecuacion

S = 50000

1−(1−0,02)4530

= $1675070,15

4.2.8. Valor liquido y valor nominal de un titulo valor contasa d efectiva constante

Puesto que: P = S −D; y D = S[1− (1− d)n] entonces

P = S − S[1− (1− d)n]⇒ P = S[1− d]n


y el valor nominal de esta ecuacion sera:

S = P

[

1

(1− d)n

]

= P [1− d]−n (4.8)

Ejemplo 74. El 14 de abril la empresa XZ efectuo un descuento bancariocompuesto en el banco de un pagare con un valor nominal de $70000 yfecha de vencimiento el 14 de julio del mismo ano. Calcule el valor liquidoque abono el banco en la cuenta corriente de XZ el 14 de abril, si se aplicouna tasa efectiva anticipada de descuento bancario compuesto del 18%anualSolucion: con los datos S = 70000; d = 18% y n = 91/360, se puedetener el valor liquido P del pagare

P = 70000[1− 0,18]91360 = $66575,14

Ejemplo 75. Porque valor nominal debera aceptarse un pagare quevence el 26 de mayo? El pagare sera sometido a un descuento bancariocompuesto el 22 de marzo del mismo ano, en un banco que aplica unatasa efectiva anticipada del 20% anual y el descontante requiere que sele abone un valor liquido de $95000 en la fecha de descuentoSolucion: Datos P = 95000; d = 20% y t = 65/360 puede obtenerse elvalor nominal del pagare.

S = 95000

[

1

(1−0,2)65360

]

= $98905,68

Nota: Es posible que a este tipo de problemas de descuento bancario com-puesto, se aplique a un descuento con tasa dz efectiva variable por esto eldescuento D seria equivalente a:

D = S

[

1− (1− d1)n1(1− d2)

n2(1− d3)n3 . . . (1− dz)

nz

]

Ejemplo 76. Se requiere calcular el descuento bancario compuesto quedebe efectuarse a un pagare que tiene un valor nominal de $500000 venceel 30 de septiembre y se descontara por el banco 2 de julio del mismoano. En la fecha del descuento la tasa efectiva anticipada fue del 24%anual, la cual cambiara al 22% a partir del 15 de julio y 20% a partirdel 16 de septiemb4e y esta se mantendra hasta el vencimiento del plazo

4.3. DESCUENTO COMERCIAL 65

Solucion:90 dias

h3 = 13 dias h2 = 63 dias h1 = 14 dias

2/7 15/7 16/9 30/9

d3 = 24% d2 = 22% d1 = 20%

Con los datos S = 500000; d1 = 20%; t1 = 14/360; d2 = 22%; t2 =63/360; d3 = 24%; t3 = 13/360; usando lo ecuacion se tiene:

D = 500000[

1− (1− 0,20)14360 (1− 0,22)

63360 (1− 0,24)

13360

]

= $30090,87

4.3. Descuento comercial

El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista deun articulo, se denomina descuento unitario cuando se hace una sola vezy descuento sucesivo cuando existe mas de un descuento sobre el mismoarticulo.

4.3.1. Descuento comercial unitario

Consiste en aplicar una sola vez una tasa de descuanto sobre el preciode venta de un determinado articulo:

las formulas de descuento son:

Dc = Pvd (4.9)

PR = Pv(1− d) (4.10)

Ejemplo 77. Un articulo cuyo precio de venta es $10000, al que se leaplica una tasa de descuento d = 10%. se tiene:Solucion: Dc = 1000× 0,1 = 100, que es el descuento comercialPR = 1000(1− 0,1) = 900, que es el precio de venta.

4.3.2. Descuento comercial sucesivo

Cuando se aplican diferentes tasa sucesivas de descuento comercial, elprimero sobre el precio original de venta y los siguientes sobre los preciosya rebajados, entonces se tienen descuentos sucesivos.

Las ecuaciones correspondientes son:


Dc = Pv − PRn descuento comercial sucesivoDc = Pv − Pv(1− d1)(1− d2)(1− d3) . . . (1− dn) factorizandoDc = Pv[1− (1− d1)(1− d2)(1− d3) . . . (1− dn)]

El termino entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada,el ultimo precio rebajado pRn esta dado por

PRn = Pv[(1− d1)(1− d2) . . . (1− dn)] (4.11)

Ejemplo 78. Una promocion de un hipermercado ofrece descuentosde 25% + 20% en todos los artıculos para automoviles. Si un clientecompra una baterıa, cuyo precio de venta es de $100000, calcule el:1. El descuento comercial total

2. La tasa de descuento comercial acumulada

3. El precio rebajado por pagar

4. La liquidacion de la facturacionSolucion:

1. Descuento comercial total dc = 100000[1 − (1 − 0,25)(1 − 0,2)] =$40,000

2. Tasa de descuento comercial acumulada d = [1 − (1 − 0,25)(1 −0,2)]=40%

3. Precio rebajado PR = 100000[(1− 0,25)(1− 0,20)] = $60000

4. Facturacion

Precio de venta $100000Descuento 25% -25000Sub-total 75000Descuento 20% -15000Total 60000

4.4. Ejercicios

1. Calcule el descuento racional simple que se efectuara a un pagare el 26de abril y cuya fecha de vencimiento es el 30 de mayo del mismo ano.Su valor nominal es de $100000 y el banco que efectua el descuentoaplicara una TNA de 30%

4.4. EJERCICIOS 67

2. Cuando faltan 100 dias para su vencimiento, se descuenta en un ban-co una letra cuyo valor nominal es de $72000. Calcule el valor deldescuento racional simple, con una TNA de 24%

3. Un pagare con valor de $108000 se descuenta racionalmente el 6 dejunio, y se obtiene un valor presente de $100000. Halle la fecha devencimiento del pagare a la cual se le aplico un TNM de 4%

4. Un pagare cuyo valor nominal es de $65000 y vence el 24 de sep-tiembre se desconto en el banco el 11 de julio del mismo ano. En eldescuento racional simple que efectuo el banco aplico una TNT de4%. Se requiere calcular el valor presente del pagare en la fecha dedescuento.

5. Una empresa desconto el 11 de julio un pagare con valor nominalde $70000, el que vence el 9 de octubre del mismo ano. El bancoque efectuara el descuento racional simple aplicara una tasa vencidanominal que cambiara conforme el siguiente cronograma, y se requierecalcular el valor del descuento racional:

Tasa A partir del

TNA 18% 11/7TNT 5% 16/8TNM 1.8% 1/10

6. Calcule el descuento racional compuesto que se realizara a un pa-gare el 15 de abril y cuya fecha de vencimiento es el 11 de julio delmismo ano. Su valor nominal es de $65000 y el banco que descuentael pagare aplica una TEA de 20%

7. Cuando faltan 80 dias para su vencimiento, se descuenta en un bancouna letra de cambio cuyo valor nominal es de $300000. Calcule elvalor del descuento racional compuesto a una TEA de 24%

8. Se desconto en un banco una letra con valor nominal de $100000 lacual vence dentro de 38 dias; en el descuento racional compuesto seaplico una TEM de 2%. ¿Cual es el valor presente de dicha letra decambio ?

9. Calcule el valor presente de un pagare con valor nominal de $100000,que tiene como fecha de vencimiento el 24 de septiembre. El pa-gare sometido a un descuento racional compuesto por el banco el11 de julio del mismo ano, con una tasa efectiva vencida sujeta avariaciones que se produciran en las siguientes fechas:


Tasa A partir del

TNA 16% 11/7TEM 1,5% 30/8

10. Un pagare cuyo valor nominal es $150000 fue descontado cuando falta-ban 180 dias para su vencimiento con una TEM de 3%. Calcule eldescuento racional que se genero en el tercer y quinto periodo mensual

11. Una letra de cambio con valor nominal de $50000 se descuenta y sele aplica como tasa de descuento anticipada de 12% nominal anual,cuando faltan 39 dias para su vencimiento. Halle el descuento bancariosimple

12. El descuento bancario simple de una letra de cambio que vence den-tro de 72 dias es de $460, con una tasa anticipada nominal de 1%mensual. Halle el valor nominal de la letra de cambio.

13. Calcule el valor liquido de un pagare cuyo valor nominal es de $90000,al cual se le efectuara un descuento bancario simple cuando falten65 dias para su vencimiento, con una tasa anticipada nominal dedescuento simple de 12% anual.

14. ¿Cual es el valor nominal de un pagare cuyo descuento bancario sim-ple realizado 37 dias antes de su vencimiento, con una tasa antici-pada nominal de 2% mensual; permitio obtener un valor liquido de$67.000?

15. Una empresa desconto el 26 de junio un pagare con valor nominal de$180000, el cual vencera el 9 de octubre del mismo ano. El banco queefectuara el descuento bancario simple aplicara una tasa anticipadanominal que cambiara segun cronograma y se requiere calcular el valordel descuento bancario simple

d nominal A partir del

Anual 18% 16/6Trimestral 5% 16/8

16. Calcule el valor liquido de un pagare con valor nominal de $163000que tiene como fecha de vencimiento el 15 de diciembre. El pagare serasometido a un descuento bancario simple el 11 de julio del mismo ano,con una tasa nominal sujeta a las variaciones que se reproducen enlas siguientes fechas:

4.4. EJERCICIOS 69

d nominal A partir del

Anual 16% 11/7Mensual 1.5% 15/8

17. Calcule el descuento bancario compuesto efectuado a una letra decambio con valor nominal de $250000, cuando faltaban 37 dias para suvencimiento, este titulo valor se le aplico una tasa anticipada efectivade 1.5% mensual

18. Calcule el valor liquido que se obtendra despues de efectuar el des-cuento bancario compuesto a una letra de cambio con valor nominalde $500000, con una tasa anticipada efectiva de 1.5% mensual, cuan-do faltan 82 dias para su vencimiento.

19. El precio de venta de un articulo es de $175000. ¿Por cuanto podrıaofrecerse para promocionar un descuento de 10% sobre el nuevo pre-cio, de modo que despues del descuento se obtenga el mismo precio deventa original?

20. Una empresa desconto el 8 de abril un pagare con valor nominal de$115000, el cual vencera el 19 de agosto del mismo ano. EL ban-co que efectuara el descuento bancario compuesto aplicara una tasaanticipada efectiva que se ajustara al siguiente cronograma.

d efectiva A partir del

Anual 18% 08/4Trimestral 5% 15/5Mensual 1.8% 01/8

Se requiere calcula el valor del descuento bancario compuesto.

21. Calcule el valor liquido de un pagare con valor nominal de $12000, quetiene como fecha de vencimiento el 25 de octubre. El pagare sera someti-do a un descuento bancario compuesto el 11 de julio del mismo ano,con una tasa anticipada efectiva, sujeta a variaciones que se pro-duciran en las siguientes fechas:

d efectiva A partir del

Anual 16% 11/7Mensual 1.5% 30/8


22. ¿Cual es el valor del descuento bancario compuesto de un pagare convalor nominal de $70000, el cual vence dentro de 110 dias? la tasaanticipada nominal fue 12% anual capitalizable trimestralmente.

23. ¿Cual debe ser el valor nominal de un pagare que sera descontadoel 11 de julio y vencera el 9 de septiembre del mismo ano, si se re-quiere obtener un valor liquido de $200000?. En el descuento bancariocompuesto se aplicara una tasa anticipada nominal de 9% anual ca-pitalizable mensualmente.

24. Calcule el valor de los descuentos comerciales que se efectuaran enuna venta a plazos, amortizables con pagos mensuales de $1000 quevencen el 1 de cada mes, que otorga los siguientes descuentos:

a) 5% por adelantarse al vencimiento

b) 2% si los pagos se efectuan el dıa 7 de cada mes

25. Por aniversario un hipermercado de la ciudad esta concediendo des-cuentos del 20%+8%+5% sobre el precio de venta de sus productos.Si la familia Castillo efectua una compra por%100000

a) ¿Cual sera el descuento total en $?

b) ¿Cual es la tasa de descuento acumulada?

26. Con los datos del problema anterior, calcule directamente el preciode venta rebajado

27. Calcule el equivalente de un aumento de 20% en el precio de venta yuna rebaja de 15% realizados en forma sucesiva

Capıtulo 5

Tasas de Interes

Este capitulo es fundamental para comprender los conceptos teoricos delas tasas de interes.

Se estudiaran los conceptos de:

? Tasa nominal de interes vencida y anticipada

? Tasa efectiva de interes vencida y anticipada

? Tasas periodicas de interes vencidas y anticipadas

? Equivalencia entre tasas efectivas vencidas y anticipadas en periodosidenticos

? Tasas activas y pasivas


im : Tasa nominal de interes, m capitalizacionesi : Tasa efectiva vencida de interesdm: Tasa nominal vencida de interes anticipado

d: Tasa efectiva vencida anticipada de interes

ip: Tasa periodica de interes. aplicable a cada periodo

F : Plazo de las tasas nominales im o dm

f : Plazo del periodo capitalizablem Numero de periodos que capitaliza la tasa m = F/f

en generalt : Numero de periodos del horizonte de tiempoδ: Tasa continua nominal de interes, m→∞

Una vision general del comportamiento y ubicacion de los diferentestipos de tasas, se muestra en la siguiente figura.

71

72 CAPITULO 5. TASAS DE INTERES

Tasas

Vencidas Anticipada

im nominal i efectiva dm nominal d efectiva

ip periodica Equivalente dp periodica Equivalente

Figura 5.1:

5.1. Tasas nominales periodicas y efectivas

Una tasa es nominal cuando:

1. Se aplica directamente a operaciones de interes simple como en elcapitulo 2

2. Es posible generar una tasa periodica al dividirla por los m periodosde tiempo, para expresarse en otra unidad de tiempo y utilizarse comotasa efectiva de interes y capitalizable t veces a interes compuesto

3. Una tasa nominal im es igual a la tasa periodica multiplicada porel numero de periodos; ejemplo 2% mensual por 12=24% nominalanual capitalizable mensualmente.

Ejemplo 79. Calcular las siguientes tasa periodicas a partir de unanominal.1. Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24% = i4

ip = 0,24m = 0,24

4 = 0,24360/90 = 0,06 = 6% trimestral.

2. Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12%ip = 0,12

m = 0,122 = 0,24

180/90 = 0,06 = 6% trimestral.

3. Mensual, a partir de una tasa nominal trimestral del 12%ip = 0,12

m = 0,123 = 0,12

90/30 = 0,04 = 4% mensual.

4. de 18 dias, a partir de una tasa nominal anual del 18%ip = 0,18

m = 0,1820 = 0,18

360/18 = 0,009 = 0,9% cada 18 dias.

5.2. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS NOMINALES DE INTERES Y TASAEFECTIVA 73

5.2. Equivalencia entre tasas nominales de interesy tasa efectiva

La tasa efectiva i es la tasa verdadera de rendimiento que produce uncapital inicial durante una operacion financiera, por ejemplo durante unano.

La tasa nominal que se comporta como se describio anteriormente y suscapitalizaciones o convertibilidades son por ejemplo mensual, es si se aplicacada mes, trimestrales si se aplica cada trimestre, bianuales si se aplicacada dos anos y ası sucesivamente.

Ejemplo 80. Los siguientes tres bancos otorgan prestamos a diferentestasas de interes:Banco A, presta al 20% efectivo anual.Banco B, presta al 19% compuesto trimestralmente.Banco C, presta al 18% convertible mensualmente.

Determine la mejor opcion para el cliente. Esta respuesta se obtieneconociendo las equivalencias entre las tasas efectivas y nominales deinteres

Ejemplo 81. Lectura e interpretacion de algunas tasas de interes.a.) i = 20% anual, tasa efectiva anual del 20%

b.) 2% mensual, tasa periodica mensual ip = 2%, tasa efectiva men-sual

c.) 5% trimestral, tasa periodica trimestral ip = 5%, tasa efectivamensual

d.) i12 = 24% tasa nominal anual capitalizable mensualmente

e.) i4 = 18% tasa nominal anual convertible trimestralmente

Los diferentes tipos de tasas de interes pueden convertirse a sus equi-valentes, usando adecuadamente las ecuaciones que a continuacion se desa-rrollan.

Puesto que im es la tasa nominal que se capitaliza m veces, normal-mente durante un ano, tambien se tiene que im

m = ip es la tasa efectiva delperiodo, porque mediante esta ip podemos hallar los valores futuros o pre-sentes de algunos problemas de interes compuesto, Por ejemplo si i2 = 8%(tasa nominal anual compuesta) entonces i2

2 = ip = 4% semestral, esta seaplicara cada semestre.


Las equivalencias fundamentales entre tasa nominales y efectivas deinteres i↔ im se pueden visualizar en los siguientes diagramas.

Se considera una inversion de 1 durante un ano mediante dos argumen-tos; primero se acumula la inversion de 1 a la tasa efectiva i anual y seobtiene (1 + i), observese la Fig(5.2a); en el segundo caso,

0 1 anoi

(a)1

St = (1 + i)

l

. . .. . .

im = tasa nominal

(b)

0

ip = imm

1 2 m− 1 m

1

Sm = (1 + imm)m

Figura 5.2: Diagrama de tiempo y efectivo, (a) tasas efectivas (b) tasasnominales

se subdivide el ano en m perıodos, y se usa la tasa im anual nominaly la tasa de cada perıodo ipim/m, esta tasa se utiliza para hallar el valoracumulado de la inversion original durante m perıodos a interes compuesto.

Como se observa en la Fig(5.2 b) y usando el concepto de interescompuesto se tiene el valor acumulado al final de los m perıodos como(

1 + imm

)m; y la equivalencia entre los dos valores acumulados de (a) y

(b)es la siguiente:

1+ i =

(

1+imm

)m

. (5.1)

por lo tanto,

i =

(

1+imm

)m

− 1. (5.2)

corresponde a la tasa efectiva de interes i en funcion de la tasa nominal im.


Es posible despejar de la Ec(5.1) im,

im = m[(1+ i)1/m − 1]. (5.3)

corresponde a la tasa nominal anual de interes im en funcion de la tasaefectiva de interes i.

Es aconsejable al hacer calculos trabajar en forma horizontal la Ec.(5.1), desarrollar las operaciones y luego al final despejar la incognita pro-puesta, esto facilita el manejo elemental de la matematica.

Ejemplo 82. Hallar la tasa efectiva de interes anual i que es equivalentea una tasa nominal anual i12 = 12%.Solucion: Se aplica la Ec(5.1)

1 + i =

(

1 +0,12

12

)12

=⇒ i = (1 + 0,01)12 − 1 = 12, 68%

este valor corresponde a la tasa efectiva anual equivalente a una nominali12 = 12%.

Ejemplo 83. Hallar la tasa nominal anual i4, si la tasa efectiva anuali = 24%.Solucion: Se aplica la Ec(5.1)

1 + 0,24 =

(

1 +i44

)4

=⇒ (1,24)1/4 =

(

1 +i44

)

de donde (1,24)1/4 − 1 = i44 = 5, 52% tasa trimestral, por lo tanto

i4 = (5,52)×4 = 22,10% tasa nominal anual convertible cada trimestre.De la ecuacion 5.3 tenemos

i4 =[

(1 + 0,2414 − 1)

]

= 22,10%


Ejemplo 84. Al Realizar los calculos del ejemplo 5.2 observar la mejoropcion para el prestamo.Banco 1. Presta dinero al 20% efectivo anual.Banco 2. Presta dinero al 19% convertible trimestralmente.Banco 3. Presta dinero al 18% convertible mensualmente.Solucion: Se usa Ec(5.1) y se convierten todas las tasas dadas a tasasefectivas anuales i.Banco 1, la tasa efectiva anual i = 20% es dada.

Banco 2, 1 + i =(

1 + 0,194

)4=⇒ i = 20, 39% efectiva anual.

Banco 3, 1 + i =(

1 + 0,1812

)12=⇒ i = 19, 56% efectiva anual.

Se observan los calculos de las tasas efectivas anuales comomedida para establecer el costo financiero del prestamo de cada banco;el menor costo lo tiene el Banco 3; ¿Cual seria su respuesta si fuera unainversion?

A continuacion se establece la equivalencia entre tasas nominales dediferente convertibilidad; im y im′ , donde m y m′ son diferentes perıodosde capitalizacion; usando Ec(5.1), y la transitividad se obtiene,

1 + i =(

1 + imm

)m=(

1 +im′m′

)m′

=⇒

(

1+imm

)m

=

(

1+im′

m′

)m′

. (5.4)

La Ec(5.4) compara tasas nominales con diferente convertibilidad.

Ejemplo 85. Hallar la tasa nominal anual convertible mensualmente i12,que es equivalente a una tasa nominal anual convertible semestralmentei2 = 25%.Solucion: Usando Ec(5.4) se tiene

(

1 +i1212

)12

=

(

1 +0,25

2

)2

=⇒(

1 +i1212

)

= (1,125)1/6

=⇒ i12 = (0,0198)(12) = 23,798%

anual nominal y que es equivalente a una tasa anual nominal i2 = 25%.

Ejemplo 86. Calcule la tasa efectiva anual y semestral correspondientesa una TNA = im = 18%, con capitalizacion anual, trimestral, bimestral,mensual y diaria, y luego calcule TES correspondiente.


Solucion:1. TEA capitalizacion anual

i =

[

1 +0,18

360/360

]360/360

−1 =

[

1 +0,18

360/360

]1

−1 = 0,18 = 18% anual

2. TEA capitalizacion trimestral

i =

[

1 +0,18

4

]4

−1 =

[

1 +0,1836090

]36090

−1 = 0,192518 = 19,2518% anual

3. TEA capitalizacion bimestral

i =

[

1 +0,18

6

]6

−1 =

[

1 +0,1836060

]36060

−1 = 0,19405 = 19,405% anual

4. TEA capitalizacion mensual

i =

[

1 +0,18

12

]12

−1 =

[

1 +0,1836030

]36030

−1 = 0,19561 = 19,561% anual

5. TEA capitalizacion diaria

i =

[

1 +0,18

360

]360

−1 =

[

1 +0,183601

]3601

−1 = 0,192025 = 19,2025%

semestral (En algunos casos se utiliza el ano de 365 dias)6. TES capitalizacion anual

i =

[

1+0,18

1

]12

−1 =

[

1+0,18360360

]180360

−1 = 0,086178 = 8,6278% semestral

7. TES capitalizacion trimestral

i =

[

1+0,18

4

]2

−1 =

[

1+0,1836090

]18090

−1 = 0,092025 = 9,2025% semestral


8. TES capitalizacion bimestral

i =

[

1 +0,1836060

]3

−1 =

[

1 +0,1836060

]18060

−1 = 0,92727 = 9,2727% semestral

9. TES capitalizacion mensual

i =

[

1+0,18

12

]6

−1 =

[

1+0,1836030

]18030

−1 = 0,093432 = 9,3432% semestral

10. TES capitalizacion diaria

i =

[

1 +0,18

360

]180

−1 =

[

1 +0,183601

]3601

−1 = 0,09415 = 9,415%

Ejemplo 87. Halle la tasa efectiva trimestral que es equivalente al 3%mensual.Solucion: Puesto que 1+ i = (1+ ip)

m, donde m=numero de meses deltrimestre, entonces

1 + i = (1 + 0,03)3 → i = 9,27 trimestrales equivalente al 3% mensual.

Ejemplo 88. Calcule la tasa efectiva trimestral a partir de una tasaTNM = 2% capitalizada cada 29 dias y cada 10 dias.Solucion: Hallar la efectiva trimestral:1. Capitalizacion cada 29 dias

i =

[

1 + 0,023029

]9029

−1 = 0,061229 = 6,1229%

2. Capitalizacion cada 10 dias

i =

[

1 + 0,023010

]9010

−1 = 0,061625 = 6,1625%

Ejemplo 89. La tasa efectiva que se obtuvo en una operacion de interescompuesto en el plazo del 3 de octubre al 26 de noviembre del mismoano. Se aplico una TNA = 15% capitalizable trimestralmente.Solucion: Se requiere calcular la tasa efectiva en 54 dias a la tasa nom-inal dada

i54 =

[

1 + 0,1536090

]5490

−1 =[

1 + 0,154

]5490−1 = 2,2334%

5.3. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS ANTICIPADAS O DESCUENTOS 79

Ejemplo 90. Una accion que se compro en bolsa de valores el 6 de mayoacumulo una tasa de rentabilidad del 17.5% el dıa 14 de junio del mismoano. Calcule la TEM que rinde esta accion.Solucion: TEM = (1 + TE39 dias)

3930 − 1 = 13,2075%

Ejemplo 91. Halle i4, equivalente a i = 24%Solucion: Puesto que 1 + i =

(

1 + imm

)4entonces 1 + 0,24 =

(

1 + i44

)4

i4 = 4[

(1,24)14 − 1

]

= 22,1% nominal anual capitalizacion trimestral.

5.3. Equivalencia entre tasas anticipadas o des-cuentos

Una tasa anticipada d permite conocer el valor que debe deducirse deun titulo valor que se vence a futuro.

En forma similar al trabajo desarrollado para establecer las equiva-lencias entre i↔ im, se puede establecer la equivalencia entre d↔ dm,donde d es la tasa efectiva de descuento (interes anticipado) y dm es latasa de descuento nominal que tiene m convertibilidades y se aplica anti-cipadamente m veces por cada perıodo anual; la tasa efectiva de descuentoes dm

m para cada perıodo de descuento.

Usando un proceso similar al de las tasas de interes, es posible establecerla equivalencia entre d↔ dm se espera un perıodo que puede ser un ano, y,que el deposito original es (1− d), observese la Figura 1.2, para obtener alfinal 1.

En segundo lugar se supone que la tasa nominal de descuento es dm, dedonde la tasa de cada perıodo es

(

dmm

)

, se aplica al principio de cada perıodocomo se observa en la Fig(5.3b), y se obtiene por lo tanto el valor presentea depositar

(

1− dmm

)m, y transcurridos los m perıodos se acumulara 1, la

equivalencia que corresponde es la de los dos valores presentes,

1− d =

(

1− dm

m

)m

(5.5)

operando

d = 1−(

1− dm

m

)m

(5.6)

y corresponde a una tasa efectiva de descuento en funcion de la tasanominal de descuento; de donde se puede encontrar que,

dm = m[1− (1− d)1/m] (5.7)


0 1 anod

(a)(1− d)

$ 1

l

. . .. . .

d(m)

(b)

0

( dm

m)

1 2 m perıodos

(1− dmm )m

$ 1

Figura 5.3: Diagrama de equivalencia para tasas de descuento

es una tasa nominal de descuento en funcion de la tasa efectiva de des-cuento. Para trabajar calculos es mejor usar ec.(5.5) directamente, realizarlas operaciones propuestas y al final despejar el valor deseado.

Ejemplo 92. Hallar la tasa efectiva anual de descuento d, que es equiva-lente a una tasa de descuento nominal anual capitalizable mensualmented12 = 18%.Solucion: Se usa la Ec(5.5)

1− d =(

1− 0,1812

)12=⇒ 1− d = 0,8341⇒ d = 0,1658 =⇒ d = 16, 58%;

es decir que si d12 = 18% =⇒ d = 16,58%.

Ejemplo 93. Hallar la tasa anual nominal de descuento trimestral d4que es equivalente a d = 22% efectivo anual de descuento.Solucion: Se aplica la Ec(5.5)

1− 0,22 =(

1− d44

)4=⇒ (0,78)1/4 =

(

1− d44

)

,

y operando se tiene que d4 = 0,2409 = 24, 09% anual nominal anticipadotrimestral que equivale a un d = 22% efectivo anual.

Ahora es importante establecer las equivalencias entre las tasas nominalescon diferentes perıodos de descuento, es decir dm ↔ dm′ ; donde m y m′ son

5.4. EQUIVALENCIA GENERAL ENTRE TASAS EFECTIVAS Y NOMINALES DEINTERES VENCIDAS Y ANTICIPADAS 81

diferentes perıodos de convertibilidad del descuento.

Se utiliza la Ec(5.5) 1− d =(

1− dmm

)m=(

1− dm′m′

)m′

y por transi-

tividad se tiene:(

1− dm

m

)m

=

(

1− dm′

m′

)m′

(5.8)

mediante esta Ec(5.8) se establece la equivalencia entre tasas de des-cuento de diferente convertibilidad m y m′.

Ejemplo 94. Hallar la tasa nominal de descuento mensual d12 que esequivalente a una tasa nominal de descuento semestral d2 = 20%.Solucion: Se aplica la Ec (5.8) y se tiene(

1− d1212

)12=(

1− 0,22

)2= (0,9)2 =⇒ 1− d12

12 = (0,9)16 = 0,9825

=⇒ d12 = 20,88% equivalente a d2 = 20%

5.4. Equivalencia general entre tasas efectivas ynominales de interes vencidas y anticipadas

Recordar que en el capitulo 1 se tenia la equivalencia de i → d y adic-cionando 1 se tiene:

i =d

1− d=⇒ 1 + i = 1 +

1

1− d=

(1− d) + d

1− d=

1

1− d⇒ (1 + i) = (1− d)−1 (5.9)

Ahora mediante la transitividad entre Ec(5.1) y Ec(5.5) se tiene:

1+ i =

(

1+imm

)m

= (1− d)−1 =

(

1− dm

m

)−m

(5.10)

Observese el signo menos de la expresion de la derecha de la Ec(5.10)aparece del manejo algebraico de la Ec(5.5) y (5.9) el uso adecuado dela ecuacion 5.10 ayuda para el manejo amplio de las tasa de interes sinimportar el tipo de convertibilidad que se tenga.

Ejemplo 95. Hallar la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasadel 24% anual convertible mensualmente.Solucion: Mediante la Ec(5.1) se obtiene

1 + i =

(

1 +0,24

12

)12

=⇒ i = 26,82% efectiva anual.


Ejemplo 96. Determinar el valor acumulado de $500 invertidos por cin-co anos al 8% anual convertible trimestralmente.Solucion: Este valor acumulado se obtiene encontrando la tasa de cadaperıodo trimestral i4

4 = 0,084 = 2% y el numero total de trimestres

5× 4 = 20. S20 = 500[

1 + 0,084

]4×5= $742,97

Ejemplo 97. Encontrar el valor actual de $10000 que se pagaran dentrode seis anos al 6% anual nominal anticipado semestralmente.Solucion: Se obtiene la respuesta para el valor presente usando paracada perıodo semestral la Ec(4.8) y los perıodos correspondientes asi:

P = 10,000(

1− 0,062

)2×6= $6938,42

Este valor presente se debe depositar ahora para obtener $10.000 dentrode seis anos a la tasa dada.

Ejemplo 98. a) Hallar la tasa nominal anual compuesta trimestral-mente i4, que es equivalente a una tasa nominal de descuento mensuald12 = 6%.b) Halle tambien la tasa bianual i1/2 correspondiente a la misma tasad12 = 6%.Solucion: Segun Ec(5.10) se tiene

a)(

1 + i44

)4=(

1− 0,0612

)−12=⇒ i4 = 6, 0605%

Trabaje con cuidado las operaciones para evitar errores y encontrar lasequivalencias correctas.

b)(

1 +i(1/2)1/2

)1/2=(

1− 0,0612

)−12=⇒ i(1/2)

1/2 =(

1− 0,0612

)−24

=⇒ i(1/2)1/2 = 12, 7836%

tasa periodica bianual o tasa efectiva bianual, entonces i(1/2) = 6, 3918tasa nominal bianual.Estas tasas nominales con perıodos mayores al ano, las podemos tratarcon la misma metodologıa y equivalencias trabajadas.

Ejemplo 99. Enunciados sobre tasas de interes para interpretarlos.

Enunciado Tipo de interes Perıodo convertibilidad

12% anual compuesto mensual Nominal Mensual12% efectivo anual Efectivo vencido Anual15% anual anticipadocompuesto mensualmente Nominal anticipado Mensual18% anual anticipado Efectivo anticipado Anual30% quinquenalcompuesto anual Nominal vencido Anual

5.5. TASAS CONTINUAS DE INTERES Y DESCUENTO 83

5.5. Tasas continuas de interes y descuento

Las tasas de interes estudiadas hasta ahora son discretas, es decir seaplican por perıodos de meses, trimestres o dıas; estos perıodos tiendena ser cada vez mas pequenos hasta llegar a intervalos infinitesimales detiempo donde actua la fuerza del interes o interes continuo.

Se asume una inversion en un fondo donde la cantidad acumulada enel tiempo t es St y que se afecta solamente por el interes. Para mediresta fuerza del interes en cada instante del tiempo t, se usa el conceptotradicional de tasa de cambio o pendiente a la curva de la funcion a St enel tiempo t; entonces esta fuerza del interes es la derivada de St en el puntot.

Es conveniente observar que la medida de la fuerza del interes solamentepor S′t es insatisfactoria, porque depende de la cantidad invertida; es decirsi $2 y $1 son invertidos bajo condiciones similares; la tasa de cambio parala inversion de $2, serıa el doble de la correspondiente tasa de cambio de lainversion de $1.

Es necesario equilibrar el problema si dividimos S ′t por la cantidad acu-mulada en el fondo en el tiempo t, de esta forma la tasa de interes continuoo fuerza de interes δt se define por

δt =S′tSt

. (5.11)

En la Ec(5.11) δt es la medida de la intensidad del interes exactamente enel tiempo St, esta medida se expresa como una tasa periodica o una tasanominal.

Recordando algunos principios de las matematicas la Ec(5.11) se puedeexpresar de la siguiente forma:

δt =S′tSt

=d

dtln St. (5.12)

Intercambiando las variables t por r e integrando a ambos lados entre0 y t, se tiene:

∫ t

0δr dr =

∫ t

0

d

drln(s(r)) dr = ln a(r)

∫ t

0= ln

St

S(0)

o sea que


∫ t

0δr dr = ln

St

S(0). (5.13)

Recuerde que la integral del diferencial de una funcion es la mismafuncion y esta se reemplaza por sus fronteras de integracion.

De la Ec(5.13) se tiene,

St

S(0)= e

∫ t0 δr dr = St. (5.14)

No olvidar que S(0) = 1 segun trabajo anterior. En teorıa la fuerza delinteres podrıa variar en cada instante, pero en la practica es constante.

Ahora bien, de Ec(5.14)

e∫ t0 δr dr = erδr

∫ t0 = etδ = St = (1 + i)t. (5.15)

Tambien que si St = P (1 + i)t = Petδ. (5.16)

En caso que t = 1, se tiene de Ec(5.15):

eδ = (1 + i) (5.17)

δ = ln(1 + i). (5.18)

Expresion que garantiza el trabajo con tasa de interes continuo y tasaefectiva de interes.

Si es necesario utilizar la fuerza de descuento, es decir la tasa anticipadade interes continua, se desarrolla un trabajo analogo al anterior y se puededemostrar que las dos tasas son equivalentes. La equivalencia general entretodas las tasas de interes se escribe de la forma siguiente donde se resumenlos casos de equivalencia.

1 + i = (1− d)−1 =

(

1 +imm

)m

=

(

1− dm

m

)−m

= eδ. (5.19)

Esta ecuacion (5.19) ayuda a resolver multiples problemas de equiva-lencias entre dos tasas de interes en cualquier convertibidad incluyendo lacontinua.

5.5. TASAS CONTINUAS DE INTERES Y DESCUENTO 85

Ejemplo 100. Hallar el valor acumulado de $1000 invertidos por 10anos a la tasa continua δ = 5% anual.Solucion: Se usa la Ec(5.16) donde

S10 = 1000 e(10)(0,05) = 1000 e0,5 = $1648,72

Este es el valor acumulado de $1000 invertidos ahora al δ = 5% anual ypor 10 anos.

Como ejercicio es conveniente hallar el mismo valor acumulado a la tasaefectiva anual i = 5% y encontrar la diferencia.

Ejemplo 101. Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa deinteres nominal del 10% anual capitalizado continuamente.Solucion: La Ec(5.17) se usa para tal fin

1 + i = eδ → 1 + i = e0,1 → i = e0,1 − 1 = 10, 52%

Es decir que una tasa δ = 10% capitalizacion continua, es lo mismoque una tasa efectiva i = 10, 52%.

Ejemplo 102. Hallar la tasa de interes nominal capitalizada continua-mente,que es equivalente a una tasa efectiva anual del 10%.Solucion: Se usa Ec(5.18)

δ = ln(1 + i) = ln(1,1) = 9,53%

Ejemplo 103. Si δ = 25% anual, hallara) Tasa efectiva mensual,b) Tasa nominal anual convertible semestralmente,c) Tasa efectiva mensual anticipada,d) Tasa nominal anual anticipada semestral.

Solucion: La Ec(5.19) nos presenta el resumen de ecuaciones pararesolver un problema determinado.a) Tasa efectiva mensual

(

i1212

)

: ecuacion 5.19 en todos los casos(

1 + i1212

)12= e0,25 =⇒ tasa mensual = i12

12 = 2, 105%.

b) Tasa nominal anual convertible semestralmente i2

(

1 + i22

)2= e0,25 =⇒ i2 = (e(0,25) 1/2 − 1)2 = 26, 63%.


c) Tasa efectiva mensual anticipada d1212

(

1− d1212

)−12= e0,25 =⇒ d12

12 = 1− e(0,25)(−1/12) = 2, 06%.

d) Tasa nominal anual semestre anticipado d2

(

1− d22

)−2= e0,25 =⇒ d2 = (1− e(0,25)(−1/2))2 = 23, 50%.

Ejemplo 104. Calcule la tasa efectiva anual i a partir de una TNA concapitalizacion: anual semestral, trimestral, mensual, diaria y continua-mente.Solucion:1. Anual: i = (1 + 0,24

1 )1 − 1 = 24% tasa efectiva anual 1.

2. Semestral: i = (1 + 0,242 )2 − 1 = 25,44%

3. Trimestral: i = (1 + 0,244 )4 − 1 = 26,2477%

4. Mensual: i = (1 + 0,2412 )12 − 1 = 26,8241%

5. Diaria: i = (1 + 0,24360 )

360 − 1 = 27,1148%6. Continua: i = e0,24 − 1 = 27,1249%

Se recomienda un trabajo cuidadoso sobre estas equivalencias para lo-grar siempre respuestas correctas.

5.6. Valores acumulados y presentes usando tasascontinuas de interes.

En las secciones anteriores se estudiaron los valores acumulados y va-lores presentes, cuando la tasa de interes usada era efectiva como general-mente se hace; ahora es conveniente estudiar los mismos conceptos teniendoencuenta las tasas de interes continuas.

En la Sec(5.5) se estudiaron las tasas continuas de interes δ que seaplican en perıodos continuos y se establecio que para una inversion inicialde 1, St = (1 + i)t = eδt, tambien generalizando para cualquier P deinversion inicial

St = P (1 + i)t = Peδt. (5.20)

En forma similar el valor presente de una cantidad St futura estara dadapor;

5.7. LA TASA ACTIVA Y LA TASA PASIVA 87

P = St(1 + i)−t = Ste−δt (5.21)

Ejemplo 105. Una intitucion financiera ofrece certificados de depositoa termino a un plazo de 10 anos y tasa del 20% capitalizados contin-uamente. Si la inversion ahora es de $10000, ¿Cual es el valor final delCDT?Solucion: Se usa Ec(5.20) de la siguiente forma:

S10 = $10000eδt = 10000e(,2)10 = $73,89056

Este valor acumulado puede compararse con otras capitalizaciones equi-valentes.

Ejemplo 106. Una cuenta de ahorros abierta en un banco del futuro,gana interes al 18% anual capitalizado continuamente. ¿Cuanto dinerodebera depositarse ahora en la cuenta para disponer de $1’000.000 alcabo de cinco anos? ¿Que diferencia existe en la cantidad que se debedepositar ahora, si el interes se capitaliza mensualmente?Solucion: La Ec. (5.21) se usa para valores presentes con tasas continuasen (a)a) P = $1′000,000e−δt = 1′000,000e−(,18)(5) = $406,56965 es el valor adepositar ahora bajo la condicion expuesta.

b) P = $1′000,000(

1 + 0,1812

)−60= $409,29596

observe el uso de las ecuaciones anteriores para valor presente y la difer-encia que se produce cuando las tasas son continuas. De esta forma seproducen resultados diferentes si las capitalizaciones son diferentes.

Ejemplo 107. Cual es la TNA capitalizada continuamente δ que generauna TEA = i = 20%Solucion: Al aplicar la formula correspondiente se tiene

δ = ln(1 + 0,02) = 18,2321

Si la δ = TNA = 18,2321% se capitaliza continuamente genera unaTEA = i = 20%

5.7. La tasa activa y la tasa pasiva

La tasa activa, expresada generalmente en terminos efectivos se aplicaa las colocaciones efectuadas por los bancos e instituciones financieras a


sus clientes por creditos a corto mediano y largo plazo: prestamos, finan-ciaciones, descuentos, sobregiros, otros; esta puede ser TAMM (tasa activaen moneda nacional), TAMEX (tasa activa en moneda extranjera).

La tasa pasiva corresponde basicamente a las captaciones que las insti-tuciones de credito reciben del publico a traves de las cuentas corrientes,depositos a termino, cuentas de ahorro, emision de bonos, certificados. Lastasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a losusuarios finales se expresan generalmente en terminos nominales y con unafrecuencia de capitalizacion determinada; por ejemplo las cuentas de ahorrose capitalizan trimestralmente y los depositos en fiduciaria se capitalizandiariamente

Otra tasa de interes importante es la moratoria que constituye la in-demnizacion por el incumplimiento del deudor en el reembolso del capitaly el interes compensatorio en las fechas convenidas. El interes moratoriose calcula solo sobre el monto de la deuda correspondiente a capital, adi-cionalmente a la tasa de interes convencional compensatoria o la tasa deinteres legal cuando se haya pactado.

Ejemplo 108. El 21 de enero la empresa XZ desconto un pagare convalor nominal de $500.000 y fecha de vencimiento el 20 de febrero delmismo ano, el banco que desconto el documento aplica una TEA de4% como interes compensatorio y de 2% como interes moratorio. Siel documento se cancela el 26 de febrero, ¿cual es el valor del interescompensatorio y el interes moratorio, sobre el valor del pagare y diasadicionales.Solucion: Usando los datos del problema se tienen:Interes Compensatorio = 500,000

[

(1 + 0,04)6/30 − 1]

= $3937,49

Interes moratorio = 500,000[

(1 + 0,02)6/30 − 1]

= $1984,19

Ejemplo 109. El 18 de marzo la empresa Variedades S.A obtuvo delbanco central un prestamo por $2.000.000 que aplica una TEM 3%para amortizarlo en 10 meses en cuotas de $259.000. Si Variedades nopudo pagar sus dos primeras cuotas y el 30 de mayo cancelo su deudavencida. ¿Cual es el pago total que se debe efectuar? La TEM de moraes el 2.5%. considere separadamente el valor de cuotas vencidas, interescompensatorio e interes moratorio.Solucion: En el horizonte de tiempo se puede ver la ecuacion del presta-mo: t1 = 43 dias

t2 = 13 dias

259.000 259.000

18/03 17/04 17/05 30/05

5.8. EJERCICIOS 89

La primera cuota esta en mora 43 dias y la segunda en 13 dias.1. Cuotas vencidas: $259000× 2 = $5180002. Interes compensatorio:

1ra cuota 259000[

(1 + 0,03)43/30 − 1]

= $11,208,99

2a cuota 259000[

(1 + 0,03)13/30 − 1]

= $3,338,823. Interes moratorio:

1ra cuota 259000[

(1 + 0,01)43/30 − 1]

= $3720,36

2a cuota 259000[

(1 + 0,01)13/30 − 1]

= $1,119,17Total deuda vencida $537387.17

5.8. Ejercicios

1. Las ventas de la companıa XY en el ano 1 y ano 2 fueron de $334505y $271410 respectivamente. ¿Cual fue la tasa de crecimiento o de-crecimiento de las ventas?. Tome como base el ano 1 y luego el ano2

2. En el presente mes las ventas de la empresa XY fueron de $850000, loque representa un crecimiento del 20% con relacion al mes anterior.¿Cuanto se vendio en el mes base?

3. Si en el presente ano se tuvo una produccion de 170000 unidades, loque representa una disminucion del orden del 12.82% con relacion alano anterior, ¿Cuanto fue la produccion del ano base?

4. Un capital de $1200 produce un interes de $240 en 28 dias, ¿cual fuela tasa efectiva de interes devengada en el periodo?

5. Si una TNA es 24%, cuanto es la tasa periodica:

a) Mensual

b) Bimestral

c) Trimestral

d) Semestral

6. Si una ip es 1.5% mensual; encuentre la tasa proporcional trimestral,semestral, anual, de 4 meses.

7. Si una TNS es 12%,¿cual es la tasa periodica trimestral?

8. Calcule las tasa periodicas o proporcionales nominales del siguientecuadro.


Tasa Nominal Tasa proporcional

Plazo Valor Plazo Valor

Anual 18% Bimestral 3%Semestral 9% AnualMensual 2% TrimestralAnual 12% 85 dias85 dias 2.83% AnualBimestral 6% 45 dias

9. Un banco presta dinero a sus clientes al i4 = 34% tasa nominal anualcapitalizable trimestralmente, encuentre:

a) Tasa periodica trimestral

b) Tasa efectiva anual

10. Un bono con valor final de $1000 y vencimiento en un ano es ofrecidoa sus clientes al 2% anticipado mensual, encuentre:

a) EL valor de compra del bono o valor presente

b) Que rentabilidad efectiva anual genera el bono

11. Encuentre el valor acumulado de $500 invertidos por cinco anos ali12 = 18% anual convertible mensualmente

12. Encuentre i4 anual convertible trimestralmente que es equivalente auna tasa d12 anual de descuento convertible mensualmente del 20%

13. Calcule i =TEA equivalente a una TNA=i4=24%

14. Calcule ip=TET a partir de una TNA=i12=36%

15. Si la TEM es 2% mensual cual es la tasa efectiva:

a) Trimestral

b) Semestral

c) Anual

d) De 8 meses

16. Cual sera la tasa efectiva devengada sobre un deposito a un plazopactado a una TNA de 1.8% con capitalizacion diaria durante 128dias

5.8. EJERCICIOS 91

17. Que tasa efectiva debe aplicarse a un capital de $1000, invertido du-rante 6 meses en un banco que paga una TNA de 30%, capitalizablediario=i360

18. Use la ecuacion 5.10 para resolver cada uno de los siguientes ejerciciossobre conversion de tasas de interes.

a) Hallar la tasa efectiva anual i equivalente:

1) i12=24% convertible mensualmente

2) i6=24% convertible bimestralmente

3) i4=24% convertible trimestralmente

4) i1/2=24% convertible bianualmente

5) i1/5=24% convertible quinquenalmente

b) Use la ecuacion 5.19 y determine las siguientes equivalencias

a) (i2 si i4 = 30%) b) i12 si i4 = 18%c) i si d4=12% d) i4 si d12 = 14%e) d anual si ip=2.5% mensual f) δ si i = 20%

g) i si δ=22% h) i1212 si δ = 30%

19. Hallar la tasa efectiva anual i bajo el supuesto que la tasa del 24%es anual convertible:

a) Mensualmente b) Bimestralmente c) Trimestralmented) Semestralmente e) Anualmente f) Continuamenteg) Bianualmente h) Quinquenalmente

20. Decida sobre la mejor opcion para obtener un prestamo de libre in-version que ofrece las siguientes alternativas.

a) i12=25% anual b) i12=24% anual c) d=24.5% anuald) δ=24.2% anual

21. Calcule una TET a partir de na TNA de 36% capitalizable mensual-mente

22. Si TEM es 2% cual es la tasa efectiva: a) trimestralmente b) anual,c) de 8 meses

23. ¿Que tasa efectiva debe aplicarse a un sobregiro de $150000 a unbanco por el plazo comprendido entre el 20 y 30 de marzo al aplicaruna i12=36%?

24. Calcule la TEM que devengo un deposito de ahorro, desde el 3 demayo al 8 de junio del mismo ano. Durante ese periodo la i12 fue del48% hasta el 16 de mayo y a partir de esa fecha bajo al 40%


25. Las acciones de la BVC han tenido una tasa de rentabilidad de 17%durante 15 dias, calcule la tasa de rentabilidad mensual, si al tenden-cia de crecimiento se mantiene durante la segunda quincena.

26. Una operacion financiera produjo una tasa de rentabilidad efectiva de1.5% en 10 dias. ¿Cual es la tasa de rentabilidad proyectada efectivamensual?

27. Las acciones de la companıa Z, adquiridas el 3 de mayo y vendidas enla bolsa de valores el 11 de agosto del mismo ano, tuvieron una tasaefectiva de rentabilidad durante ese periodo del 6%. ¿Calcule la tasade rentabilidad efectiva anual?

28. Calcule TEM a partir de TEA de 30%

29. Una accion en el periodo de un ano acumulo una tasa efectiva derentabilidad de 80%. ¿Cual fue su tasa semestral equivalente al ren-dimiento?

30. La companıa Y sobregiro su cuenta corriente en $38000 del 2 al 16 deoctubre, si se considera que el banco cobra una TEA de 29%, ¿quetasa efectiva debe aplicarse por ese periodo?

31. Una empresa coloco los 4/5 de un capital P a una TEA de 36%anual, durante 9 meses y saldo a una TNA de 36% con capitalizacionsemestral durante el mismo periodo de tiempo. Calcule el acumuladofinal

32. Hoy se coloca un capital que devenga una tasa nominal a un anode 24% capitalizable trimestralmente. Transcurrido un ano, la TNAdisminuye a 20%, lo que motivo el retiro del 50% del capital colocadooriginalmente, transcurrido seis meses de esta segunda operacion seretira el monto total que asciende a $200000. Calcule el capital inicial.

33. Un pagare con valor nominal de $850000, que vencio el 23 de marzo,se cancelo el 4 de abril del mismo ano; ¿cual es el pago total porefectuar en esta fecha si el pagare devenga una TEM de 5% y la tasade mora es de TEM de 7.5%?

34. Calcule el interes total en mora producido por una deuda bancariade $200000 vencida el 12 de abril y cancelada el 4 de mayo, la TEMcompensatoria es 4% y TEM moratoria es de 1%

5.8. EJERCICIOS 93

35. Una entidad financiera ofrece certificados de ahorro a largo plazo al7 1/2% anul capitalizable continuamente. Al invertir $100000 a diezanos. ¿Cual es el acumulado en la fecha de vencimiento? ¿cual es lacorrespondiente tasa efectiva de interes?

36. Cuanto dinero es necesario depositar en una cuenta de ahorros parapoder retirar $550000 dentro de 12 anos, a una tasa de interes δ=9%anual

37. Si δ = 20% halle:

a) TEM

b) i12

c) D2

d) TET

38. Encuentre la tasa efectiva de interes sobre un periodo de tres anosque es equivalente a una tasa efectiva de descuento del 8% para elprimer ano, 7% para el segundo ano y 6% para el tercer ano

39. Deseo acumular US$10000 en diez anos. ¿Cuanto debo depositar aho-ra para lograr mi objetivo?, si el banco ofrece tasas variables de lasiguiente forma: 5% para los primeros dos anos, y esta tasa se dis-minuye en 0.5% cada dos anos hasta cumplir el tiempo estipulado

40. Determine la tasa trimestral y la tasa efectiva anual que se aplicoa un prestamo de $10000 hecho ahora y que se paga de la siguienteforma: $5000 al final del segundo y tercer trimestre y $2000 al finaldel cuarto trimestre

41. La inversion en un banco se aplica una tasa efectiva anual equivalenteal DTFEA+5% TNT

a) Halle la correspondiente TEA

b) Asuma el 5% TNTA (tasa nominal trimestral anticipada)

c) Use DTFEA, de la fecha de solucion al ejercicio


Capıtulo 6

Inflacion y devaluacion

En este capitulo se estudia el impacto de los cambios que producen elpoder adquisitivo de la moneda, cuando esta se ve afectada por la inflaciony devaluacion.

En este capitulo se estudiara:La inflacion, el calculo de la tasa de inflacion, calculo de la tasa de

interes real, la correccion monetaria por inflacion, la unidad de valor, latasa de interes en moneda extranjera.


i : tasa efectiva de mercado o tasa efectiva inflada.

i′: tasa real.

r : tasa de inflacion.

IPC : Indice de precios al consumidor.

IPM : Indice de precios al por mayor.imex : tasa efectiva en moneda nacional.imnmex : tasa efectiva en moneda de operaciones en moneda

extranjera.TC0

Um2Um1 : tipo de cambio de la Um1 con respecto a la Um2

al inicio de la operacion.TC1

Um2Um1 : tipo de cambio de la Um1 con respecto a la Um2

al final de la operacion.

Inflacion por lo tanto es el fenomeno economico que se caracteriza porel incremento generalizando de los precios de bienes y servicios, cuyo efecto,entre otros es la perdida del poder adquisitivo de la moneda que distorcionael mercado de creditos.

La devaluacion de la unidad monetaria es un proceso de disminucion desu valor con relacion a otro activo, como el oro o monedas de otros paıses.

95

96 CAPITULO 6. INFLACION Y DEVALUACION

6.1. Inflacion

La unidad monetaria de cada pais esta sujeta a cambios en su poderadquisitivo por efecto de la inflacion o por la devaluacion.

En el estudio de los procesos inflacionarios se usan indicadores como elIPC, el ındice de precios al por mayor IPM.

El IPC es un indicador estadıstico de caracter estimativo que refleja lavariacion del precio de una canasta de artıculos (canasta familiar) entre dosmomentos de cierto horizonte de tiempo.

6.2. Calculo de la tasa de inflacion

La tasa de inflacion r es una tasa efectiva, que indica el crecimientosostenido de los precios de los bienes y servicios de una economıa, en unperiodo determinado con base a la canasta familiar.

Si se designa por IP0 el ındice de precios en un momento inicial e IPt

en un momento posterior, la tasa de inflacion acumulada en ese periodopuede calcularse de la siguiente forma:

r =IPt − IP0

IP0=

IPt

IP0− IP0

IP0=

IPt

IP0− 1

Por ejemplo se tiene la siguiente tabla:

Indice Promedio Variacion porcentualMES Ano 1 Ano 2 Mensual Acumulado

Enero 94.00 107.95

Febrero 94.10 109.10

Marzo 95.40 110.12

Diciembre 106.70 119.20

Se puede determinar la inflacion del periodo del 1 de enero a 31 demarzo del ano 2, se observa la tabla y se tiene:

1. r = IPmarzo 2IPdiciembre 1

− 1 = 110,12106,70 − 1 = 3,21%

2. Desde 1 al 31 de enero del ano 2

r = IPenero 2IPdiciembre 1

− 1 = 107,95106,70 − 1 = 1,17%

3. Desde 1 de febrero del ano 1 hasta el 31 de marzo del ano 2

r = IPmarzo 2IPfebrero 1

− 1 = 110,1294,10 − 1 = 17,02%

6.2. CALCULO DE LA TASA DE INFLACION 97

4. Desde 1 de febrero del ano 1 hasta el 31 de diciembre del ano 2

r = IPdiciembre 2IPenero 1

− 1 = 119,2094,00 − 1 = 26,81%

Ejemplo 110. Al inicio del ano el gobierno de un pais impuso comometa no superar la tasa de inflacion del 10% anual, si durante los nueveprimeros meses se acumulo una tasa de inflacion del 8%. ¿De cuantodebera ser la tasa media de los tres meses restantes para no superar lameta trazada?Solucion: Con la informacion que se dispone puede plantearse la si-guiente ecuacion:

(1 + rmes)9(1 + rm)3 = (1 + rmes)

12;se sabe que

(1 + rmes)9 = (1 + 0,08)

y que(1 + rmes)

12 = (1 + 0,1)entonces

(1,08)(1 + rmes)3 = (1 + 0,1)⇒ (1 + rm)

= ( 1,11,08)

1/3 − 1⇒ rmes = 0,6135%;

La tasa media mensual en los tres meses es (1+0,006135)3− 1 = 1,8519para que (1 + 0,08)(1 + 0,018519) = 10% meta trazada

La tasa de interes que elimina la inflacion se llama tasa de interes real, de-notada por i′ y se puede interpretar como la tasa que realmente se obtienecomo rentabilidad en una inversion, una vez se descuente la tasa inflacionar-ia.

La tasa efectiva de interes o tasa de interes de mercado, que se denotapor i, es la que se ha venido trabajando hasta ahora y normalmente es laque se ofrece o se paga en el mercado financiero.

La tasa de inflacion denotada por r se toma normalmente anual, delos datos dados por las entidades correspondientes. Las anteriores tasas sepueden relacionar de la siguiente forma:

i = i′ + r+ i′r. (6.1)

que representa la tasa efectiva de mercado en funcion de la tasa real i′

y la tasa de inflacion r. Tener en cuenta que i, i′ r > 0.

El producto de i′r es fundamental para la conceptualizacion. Es con-veniente presentar forma alternativa la Ec(6.1) usando operaciones alge-braicas, se adiciona 1 a ambos lados de la igualdad.

1 + i = (1 + i′) + r + i′r y se factoriza dos veces, entonces


(1+ i) = (1+ i′)(1+ r). (6.2)

la Ec(6.2) se puede interpretar de la siguiente forma:

(1 + i) es la cantidad acumulada en un perıodo

(1 + i ′) es acumulado real a la tasa real y

(1 + r) es el acumulado inflacionario en un perıodo.

Es necesario encontrar otras ecuaciones que se necesitan para este tra-bajo; si se usa Ec(6.2) y se despeja (1 + i′) se tiene

(1+ i′) =1+ i

1+ r=⇒ i′ =

i− r

1+ r. (6.3)

La Ec(6.3) representa la tasa real como una funcion de la tasa efectiva demercado y la tasa de inflacion y es precisamente la que sirve para establecerindicadores reales muy justos.

Ejemplo 111. Hallar la tasa efectiva de mercado si la tasa real i′ = 5%y tasa de inflacion r = 21,5%.Solucion: se usa Ec(6.1) de la siguiente forma,i = i′+r+i′r = (0,05)+(0,215)+(0,05)(0,215) = 27, 57% o se puede usaralternativamente Ec(6.2) 1 + i = (1 + i′)(1 + r) =⇒ 1 + i = 1,2757 =⇒i = 27, 57%Observe que la respuesta es la tasa combinada de interes entre tasa realy tasa inflacionaria.

Ejemplo 112. Un papel de renta fija genera a sus clientes una tasa deinteres de mercado i = 31,5% anual (tasa de rentabilidad); si la inflacionanual respectiva r = 21,6%; ¿Cual es la tasa real de rentabilidad que seobtiene al invertir en ese papel?Solucion: Se usa Ec(6.3) de tasa real;i′ = 0,315−0,216

1+0,216 = 8,14% Este valor de i′ = 8,14% anual, corresponde ala tasa real anual luego de eliminar la inflacion.

Ejemplo 113. Calcular los valores acumulados considerando la in-flacion. Suponga P = $1,000, t = 12, i = 30% y r = 18%Solucion: Caso 1: La cantidad de dinero que puede acumularse en eltiempo t. Para este caso se usa i tasa de mercado en la ecuacion de acu-mulacion correspondiente, esta tasa i contiene internamente la inflacion.

6.2. CALCULO DE LA TASA DE INFLACION 99

S(12) = 1000(1 + 0,3)12 = $23,298, 08Caso 2: El poder adquisitivo en terminos de pesos de hoy, de una canti-dad de pesos acumulados en el tiempo t. Puede usarse la tasa i de mer-cado para calcular S(t) y luego dividir el valor acumulado por (1+ r)t esdecir por el factor de acumulacion de la inflacion. La division por (1+r)t

deflacta los pesos inflados y reconoce que con los mismos pesos futurospodran comprar menos bienes de ahora, en el ejemplo:

a(12) =1000(1+0,3)12

(1,18)12= $3,196, 95

o tambien se puede usar directamente i′ tasa anual real,si i′ = i−r

1+r = 10, 17%;

S(12) = 1000(1 + i′)12 = 1000(1 + 0,1017)12 = $3,196, 95Caso 3: Se entiende que los precios se incrementan por efecto de lainflacion, por lo que se necesitan mas pesos para comprar los mismosbienes de ahora. Para el ejemplo se usa r = 18% en lugar de i demercado

S(12) = 1000(1 + 0,18)12 = $7287, 59Caso 4: Se mantiene el poder adquisitivo y gana el interes correspon-diente (identico al caso 1) y se calcula la tasa de mercado i si no existe,

S(12) = 1000(1 + 0,3)12 = $23,298, 08

Ejemplo 114. Calcule la tasa real bimestral aplicable a un deposito deahorro de $10.000, colocado el 1 de octubre a una TEM de 1.5%, si lasinflaciones fueron 1.5% y 1.8% para cada uno de los meses, respectiva-mente.Solucion: Se pide la tasa real bimestral, se debe obtener una tasa TEBy una tasa inflada bimestralTEB=(1+0,015)2−1 = 0,030225 rbimestral = (1+0,015)(1+0,018)−1 =0,03327Por lo tanto i = 0,030225−0,03327

1+0,03327 = −0,002947 la tasa de interes no cubrela inflacion; i < rInterpretacion 01/10 Incremento por Interes 01/12

inflacionPrecio activo 10.000 332.70 10332,70Deposito 10.000 302.25 10302,25

Perdida por inflacion 30,45

Ejemplo 115. Halle la tasa real de un prestamo que tuvo vigencia de3 meses. La TEA fue del 25% y la tasa de inflacion que se acumulo enese periodo fue del 3.5%Solucion: El problema sugiere primero calcular la real trimestral,


para lo cual se necesita TET.TET=(1 + 0,25)3/12 − 1 = 0,057371;

si rtrimestre = 0,035

i′ =0,057371− 0,035

1,035= 0,021615 = 2,1615%

Ejemplo 116. Un pagare con vencimiento dentro de 45 dias se de-sconto a una TEM de 4%; si la inflacion del primer mes fue del 3.5% yla del segundo mes 4%. ¿Cual fue la tasa real pagada por dicho credito?Solucion: El problema sugiere calcular la tasa real de 45 dias

TE45 dias = (1 + 0,04)45/30 − 1 = 0,060596059

r45 dias = (1 + 0,0035)(1 + 0,04)− 1 = 0,055497

i′

45 dias =0,06059−0,05549

1+0,05549 = 0,0048309 = 0,48309%

Ejemplo 117. ¿Que tasa de interes mensual debe producirse paraobtener una tasa real mensual de 1%, en un deposito de ahorro quegarantiza una TNA de 36% con capitalizacion mensual.Solucion: Se necesita r con datos de i = 3% y i

′= 2% mensual si

(1 + i′)(1 + r) = (1 + i)⇒ r = i−i

′

1+i′ =

0,03−0,021,02 = 0,9803%

6.3. Correccion monetaria por inflacion

La perdida del poder adquisitivo de la moneda origina dificultades paracomparar por equivalencia financiera valores monetarios nominales que seubican en diferentes momentos de un horizonte de tiempo. Las unidadesmonetarias pueden convertirse en homogeneas si para corregirlas del efectode la inflacion se indexan o deflactan con ındice de precios u otro ındiceparticular. Para efectos de intermediacion financiera con moneda nacional,indexar es el proceso de corregir la unidad monetaria al capitalizar con latasa de inflacion, deflactar

6.3. CORRECCION MONETARIA POR INFLACION 101

Ejemplo 118. Un certificado a termino fijo por un valor de $10000 yque genera TEA de 12% se coloco en un banco a plazo de un ano, en eseperiodo se estima que la tasa de inflacion es de 4%, se requiere calcular1. El valor nominal del acumulado al termino de un ano (moneda de

entonces)

2. El valor real del acumulado al termino de un ano (moneda de hoy)

3. La tasa real que percibira al termino del ano (poder adquisitivo dehoy)

Solucion:

Deflactar

10769.23112001+0,04

= 10769,23

Indexar10000(1 + 0,12) = 11,200

10.000

1. Valor nominal del certificado al termino de un ano (moneda eseentonces)

S1 = 10000(1 + 0,12) = 11,200

2. Valor real del certificado al termino del ano (moneda de hoy)

St =11,2001+0,04 = 10769,23

3. Tasa real anual (con poder adquisitivo de hoy)

i′= 0,12−0,04

1+0,04 = 7,6923

Ejemplo 119. Un deposito de ahorro de $ 100.000 que devenga unaTEM de 1.5%, estuvo colocada durante 9 meses y en ese plazo acu-mulo una tasa de inflacion de 4%, calcule:1. El acumulado nominal

2. El acumulado con poder adquisitivo actual (monto real)

3. El acumulado con poder adquisitivo actual con la tasa realSolucion:

1. El acumulado nominal se obtiene:

St = 100,000(1 + 0,015)9 = $114338,99


2. El acumulado real deflactando la formula

Sreal = 100000

[

(1+0,015)9

1+0,04

]

= $109941,34

3. El acumulado real con tasa de interes

i′= [(1,015)9−1]−0,04

1+0,04 = 0,0994 = 9,9413%

Sreal = 10000(1 + 0,099413) = $109941,34

6.4. Unidad de Valor Real, UVR

Mediante la ley 546 del ano 1999 o ley de vivienda, se creo en Colom-bia un sistema especializado para la financiacion de vivienda individual alargo plazo; esta podra darse a traves de lıneas de credito denominadas enunidad de cuenta UVR ligada exclusivamente al IPC (Indice de Precios alConsumidor) o tambien, a traves de lıneas denominadas en moneda legal,siempre y cuando se otorguen a una tasa fija de interes durante todo elplazo del prestamo.

La Unidad de Valor Real, UVR, es una unidad de cuenta creada porla mencionada ley, que refleja el poder adquisitivo de la moneda, con baseexclusivamente al ındice de precios al consumidor certificado por el Depar-tamento Nacional de Estadıstica, el valor de la UVR lo debera establecerel Banco de la Republica, “de manera que ella incluya exclusivamente yverdaderamente la inflacion como tope maximo, sin elemento ni factor adi-cional alguno, correspondiendo exactamente al IPC”

6.4.1. Metodologıa

Para el calculo del valor en pesos de la UVR se establece que el valor enmoneda legal colombiana de la UVR se determinara diariamente duranteel periodo de calculo, con base a la siguiente formula de interes compuesto:

UV Rt = UV R15 ∗ (1 + ip)t/d (6.4)

Donde:UVRt : Valor en moneda legal colombiana de la UVR del periodo del

calculo.UVR15 : Valor en moneda legal colombian de la UVR el dıa 15 de cada

mes.ip : Variacion mensual del ındice de precios al consumidor, certificado

por el DANE durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes deinicio del periodo de calculo.

6.5. TASAS DE INTERES EN MONEDA EXTRANJERA 103

t: Numero de dias calendario transcurridos desde el inicio de un periodode calculo hasta el dıa del calculo de la UVR. Por tanto t tendra valoresentre 1 y 31, de acuerdo con el numero de dias calendario del respectivoperiodo de calculo.

d: Numero de dias calendario del respectivo periodo de calculo

Periodo de calculo: Se entiende como periodo de calculo el comprendi-do entre el dıa 16 inclusive de un mes, hasta el dıa 15, inclusive del messiguiente.

El “Banco de la Republica calculara y divulgara mensualmente, paracada uno de los dias de periodo de calculo e informara con identica perio-dicidad, el valor en moneda legal de la UVR.´´

El valor de la mencionada unidad puede consultarse permanentementeen la pagina WEB de dicho banco, www, banrep.gov.co

Ejemplo 120. Valores de la Unidad de Valor Real, UVR, vigentes parael periodo 16/agosto/2004 al 15/septiembre/2004Solucion: Variacion mensual IPC: −0,03% → Valor UVR al 15/agos-to/04 145,3007

Valores UVR:

16/08/04 UVR1 =145.3007(1-0.0003)1/31=145.2993

25/08/04 UVR10=145.3007(1-0.0003)10/31=145.2866

31/08/04 UVR16=145.3007(1-0.0003)16/31=145.2782...

...

15/09/04 UVR31 =145.3007(1-0.0003)31/31=145.2571Observese que el valor de la UVR en cada dıa disminuyo por el efectonegativo del IPC del (-0.03%).

Los modelos de amortizacion para los prestamos de vivienda se estu-diaran adelante

6.5. Tasas de interes en moneda extranjera

Para calcular la tasa efectiva o de mercado moneda nacional que generauna operacion transada en moneda extranjera, es necesario conocer: la tasade interes que aplica la moneda extranjera, el tipo de cambio de la monedaextranjera al inicio y al final de la operacion.

imn

mex = (1 + imex)(TCt

TC0)− 1 (6.5)


Esta ecuacion es del mismo tipo que la usada para inflacion. La ecuacioncalcula la tasa efectiva en moneda nacional por operaciones efectuadas enmoneda extranjera y los TC0 y TC1 son los tipos de cambios en monedanacional en la fecha inicial y final de la operacion.

Cuando la relacion entre los TC1TC0

> 1 ocurre una devaluacion; en el caso

contrario TC1TC0

< 1 ocurre una revaluacion.

Ejemplo 121. El 15 de marzo cuando TC era $2500 por US$1.00; secompro certificado de deposito en US$ a un plazo de 180 dias que rindeuna TEA de 6%. En la fecha de vencimiento de la operacion el TC $2800.Calcule la tasa efectiva en $ que rindio ese certificado en ese plazo.Solucion: Tasa de rendimiento en moneda nacional

i$

US$ = (1 + 0,06)612

(

2800

2500

)

−1 = 0,1531 = 15,31%

Ejemplo 122. El 25 de octubre la companıa XY invirtio $100.000 en lacompra de dolares US$ a un tipo de cambio $2600, cantidad que depositoen un banco gano una TEA de 7%, el 25 de enero del siguiente ano eltipo de cambio fue de $2680, cancelo la cuenta.Calcule: la tasa efectiva total en $, el acumulado en US$,el acumuladoen $.Solucion:1. Tasa efectiva total de la operacion

i$

US$ = (1 + 0,07)92360

(

26802600

)

−1 = 0,048747 = 4,87%

2. Acumulado en dolares

St =100,0002600 (1 + 0,07)92/360 = 39,1323

3. Acumulado en $

St = 39,1323× 2680 = $10474,68Puede comprobarse la tasa efectiva ası: 104874,68

100000 = 4,87%

Ejemplo 123. Una empresa Colombiana evalua una inversion sobre unamaquina que puede importarse de USA o Inglaterra y financiarse de lasiguiente forma

Dolares USA TEA 10%

6.5. TASAS DE INTERES EN MONEDA EXTRANJERA 105

Euros TEA 6.5%Se pronostica una devaluacion del $ Colombiano en relacion con el dolarUSA de 8% y el Euro se revaluara el 5% con respecto al dolar USA.Se se cumplen los pronosticos calcule la TEA en moneda nacional conrelacion al dolar USA y con relacion al Euro.Solucion: Para calcular TEA$

ε debe hallarse el tipo de cambio cruzadoTC$

ε dato que no se tiene, pero puede calcularse.

1. El TC1$US$ = 1,08, puesto que la devaluacion 8% TC0

$US$

2. El TC1εUS$ = 0,95%, debido a la revaluacion del 5% del TC0

εUS$

Si algebraicamente TC1$ε=

TC 1$US

TC1εUS$

3. TC1$ε = 1,08

0,95 = 1,13682 con relacion a TC0$US$

Con la informacion anterior puede calcularse las tasas efectivas conrelacion a ambas monedas:TEA$

US$= (1 + 0,1)(1 + 0,08)− 1 = 0,188 = 18,8%

TEA$ε = (1 + 0,065)

[

TC11,080,95

TC011

]

−1 = 0,210737 = 21,0737%

Como se puede ver conviene endeudarse en dolares estadounidenses auna TEA de 18.8% mientras que la deuda en euros es TEA de 21.07%

Ejemplo 124. Un banco ofrece creditos a una tasa de interes efectivaigual al DTFEA + 4% TNM. Determine la tasa efectiva anual del credito.Solucion: Con los datos: DTF:7.80%, e i = 4% se necesita sumar ade-cuadamente 7.80EA%+4% MV; para obtener la tasa correcta se necesitaconvertir el DTFEA a una TNM; entoncesSi DTFEA=7.80% → 1 + 0,078 = (1 + i12

12 )12 → i12 = 7,5343%

De esta manera se suman las dos tasa nominales correspondientes:7.5343+4%=11.5343% TNM y de esta forma la TEA es:

i = (1 + 0,11544312 )12 − 1 = 12,164%

Ejemplo 125. Las siguientes alternativas se establecen para prestamosa un ano en un banco:

i. DTFEA + 6%TNT (asuma DTFEA=7.8%)

ii. TNT de 13.5%

iii. UVREA + 6% EA (asuma UVR=7.5EA)


Solucion: Se convierten todas las alternativas a TEA: 7.8%EA ⇒1. + 0,078 = (1 + i4

4 )4 ⇒ i4 = 7,5817TNT y se suman los dos valores

nominales:7,5817TNT + 6%TNT = 13,5817 y luego se obtiene:TEA: i = (1 + 0,13517

4 )− 1⇒ i = 14,2892TEA

ii. Convertir TNT de 13% a TEA: i = (1 + 0,1354 )4 = 140,1989 EA. iii.

Sumar las dos efectivas UVR+6%=7.5%+6%=13.5% EASe decide por la alternativa iii. que corresponde al menor TEA

6.6. Ejercicios

1. Consulte el boletın del Departamento Nacional de Estadıstica y cal-cule las inflaciones mensuales de enero a diciembre, las inflacionesacumuladas desde enero hasta diciembre, las inflaciones anuales ycompare cada mes del presente ano con su correspondiente del anoanterior

2. La evolucion de los indices de precios de mayo a septiembre fue:

Mayo Junio Julio Agosto Septiembre104.23 105.29 106.35 107.83 108.92

a) Calcule la inflacion de junio, agosto, y septiembre

b) Con base en el mes de mayo, acumule la inflacion a julio, a agostoy a septiembre

c) Con base a la tendencia historica del ultimo trimestre proyectela inflacion para octubre

d) Calcule la inflacion promedio quincenal registrada en julio

e) Dado que la inflacion de octubre sera de 2%, proyecte el numeroındice para ese mes

3. Si en abril y mayo se registro una inflacion de 3.25% y 4.56% respec-tivamente, ¿cuanto se acumulo en el bimestre?

4. La empresa DN informo que durante los primeros cinco dias del mesde abril se registro una inflacion del 0.2%. Con esta informacion, ¿queinflacion se acumulara en este mes?

5. EL plan presentado por el gobierno al FMI se establecio como metapara el ano vigente una inflacion de 7%. El 16 de enero de ese anola empresa DN informo que la inflacion registrada en los primeros 15dias de enero fue de 0.4%

6.6. EJERCICIOS 107

a) Con base a la informacion de la primera quincena del mes deenero, proyecte la inflacion del ano

b) En lo que resta del ano, ¿cuanto de inflacion podra acumularsepar llegar al 7%?

c) ¿Cual sera la inflacion quincenal par el tiempo restante?

6. ¿Que tasa de inflacion mensual se produjo durante 24 meses, si en esemismo periodo el nivel general de precios se duplico?

7. Calcule la tasa real de ahorros durante el mes de abril, dada una tasaefectiva de 3% mensual y una inflacion de 3.5%

8. Encuentre i, i2, i12 y δ si i′= 5,2% y r = 12%

9. Las expectativas financieras exigen inversiones a una tasa real anualdel 6% para una inflacion del 15%. ¿A que tasa de interes de mercadodebo invertir?

10. Halle el valor presente correspondiente de un monto de $10000 encuatro anos, si i

′= 5% y r = 10%

11. Una inversion de US$1000 fue realizada a un inversionista nacionaly un extranjero por partes iguales, se estima que en tres anos hanacumulado en total US$2000. ¿Cual es la rentabilidad real de cadainversionista, de acuerdo a las siguientes proyecciones:

a) Cambio de hoy $2500 por cada US$1

b) Tasa anual de devaluacion 15% para cada uno de los tres anos

c) Tasa de inflacion anual local 8%

d) Tasa de inflacion anual USA 4%

Nota: Los calculos deben hacerse en moneda local y US$

12. Un deposito en un banco percibe una TNA capitalizada mensual-mente de 15%, 18%. 16% durante uno de los meses de un trimestre,Calcule la tasa real dado que en este plazo se produjo una inflacionde 2.5%

13. En un proyecto la empresa TC invirtio $500000 con el objetivo deobtener una tasa real del 10% anual, si la tasa de inflacion se proyectaen el 12% anual; ¿que tasa anual de mercado cumplira el objetivo?


14. Un inversionista desea conocer que tasa de rentabilidad efectiva men-sual debe exigir por sus depositos si desea obtener una tasa real men-sual de 3%. La inflacion proyectada anual se estima en 24%. Calculedicha tasa

15. Un deposito de ahorro de $50000, que devenga una TEA de 12%,estuvo colocado durante 4 meses, en ese plazo se acumulo una tasade inflacion de 3%, calcule:

a) El monto nominal

b) La tasa real

c) El monto con poder adquisitivo actual

16. En la siguiente tabla se tienen las cotizaciones de diversas monedascon relacion al dolar norteamericano

Moneda por US$

Cotizacion Moneda Marco Franco DolarPais X Aleman Suizo Canadiense

Inmediata 3.45 1.81215 1.5085 1.3411A plazo de un mes 3.47 1.8157 1.5026 1.3453A plazo de tres meses 3.49 1.8040 1.4920 1.3527A plazo de seis meses 3.55 1.7873 1.4763 1.3623

a) Indique si la moneda del pais X, marco aleman y el dolar cana-diense tienen una prima o un descuento con relacion al dolarnorteamericano

b) Calcule la tasa semestral de prima (revaluacion) o descuento (de-valuacion) de esas monedas con relacion al dolar norteamericano

17. Un turista Australiano puede cambiar a $1.3806 dolares australianospor US$1 dolar norteamericano, y con ese dolar comprar 6.4880 coro-nas danesas. ¿Con cuantos dolares australianos puede comprar unacorona danesa?

18. Calcule la TEA que indico un certificado a termino en moneda ex-tranjera que paga una TNA de 8% con capitalizacion mensual, daduna devaluacion mensual del $ a 1% mensual

19. Una maquina francesa que tiene un precio de contado de US$10000puede venderse a credito en el plazo de un ano, en francos franceses auna TEA de 11% y en dolares norteamericanos en una TEA de 9%.Calcule el TCFF que deberıa estar vigente dentro de un ano, para queambas opciones de inversion sean equivalentes, si hoy el TC=6.400FF

6.6. EJERCICIOS 109

20. A una inversion en un banco se le aplica una TEA equivalente alDTFEA+ 5% TNTA (tasa nominal anual anticipada). Halle la TEAcorrespondiente


Capıtulo 7

Series uniformes oanualidades

En este capitulo se estudiaran:

? Los diferentes tipos de anualidades, vencidas o anticipadas

? Valor acumulado de una anualidad o valor futuro

? Valor presente de una anualidad, valor actual

? Valor de una renta, vencida o anticipada

? El numero de periodos de la anualidad

? La tasa de interes de la anualidad


t: Numero de periodos de la rentaR: Renta uniforme vencida o anticipadaS¬

t: Valor acumulado de la renta vencida

S¬t: Valor acumulado de la renta

anticipadaP¬

t: Valor presente de la renta vencida

P¬t: valor presente de la renta anticipada

111

112 CAPITULO 7. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES

Una serie uniforme o anualidad es un conjunto de dos o mas pagoso flujos de efectivo con valores iguales y periodicos. El termino flujos deefectivo hace referencia a ingresos o egresos de la serie y los periodos anualescorresponden a cualquier periodo menor o mayor a un ano; por ejemplomeses, trimestres, ano, quinquenios, otros.

El valor de un flujo de efectivo, ingreso o egreso de efectivo, que serealiza en el horizonte de tiempo de la anualidad, recibe el nombre de rentaR y el conjunto de rentas constituye la anualidad.

La clasificacion de la las anualidades en general son: ciertas y contin-gentes.

Ciertas son temporales y perpetuas, y estas a su vez son vencidas, antici-padas, diferidas y perpetuas (estas dos ultimas se estudiaran en el siguientecapıtulo)

7.0.1. Anualidad cierta

Es aquella que se conoce con anticipacion el horizonte de tiempo, elperiodo y valor de la renta y existe un contrato entre el deudor y acreedor.

Estas pueden ser vencidas y anticipadas como se estudiara mas adelante.

7.0.2. Anualidades contingentes

Son aquellas en las que no hay certeza en el plazo como, seguros devida donde se conoce la renta pero su duracion es incierta, las pensiones dejubilacion, y otros; este tipo de anualidad corresponden al campo del calculoactuarial y demanda conocimientos serios sobre matematicas, teorıa de laprobabilidad, teorıa del riesgo y otros; por lo tanto no se desarrollan en estelibro.

El escenario principal de las anualidades ciertas, estas las anualidadesvencidas u ordinarias: cuando las rentas se inician al final de cada periodode la serie; y anticipadas cuando la renta se inicia al comienzo del periodo.

7.1. Valor acumulado de una anualidad vencida

Un conjunto de rentas uniformes constituyen una anualidad vencidasimple vencida puede llevarse hacia el final del horizonte de tiempo de laanualidad, para formar su respectivo valor acumulado, valor futuro o montofinal.

En el siguiente diagrama de tiempo y efectivo se necesita establecer unaequivalencia en el periodo 4, con tasa i=5% y cada renta puede capitalizarsehacia el futuro.

7.1. VALOR ACUMULADO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA 113

St =?

0 1 2 3 4

10 10 10 10

Figura 7.1:

S1 = 10(1 + 0,05)3 = 11.5763S2 = 10(1 + 0,05)2 = 11.0250S3 = 10(1 + 0,05)1 = 10.5000S4 = 10(1 + 0,05)0 = 10.0000

Valor acumulado=$43.1013

Este valor futuro de la serie uniforme que es de $43.1013 se obtuvoal capitalizar cada renta de $10 durante el numero de periodos que seencuentran entre el momento de su ocurrencia y el final del horizonte detiempo, periodo 4.

En general dada una renta R y tasa efectiva i que constituye una anua-lidad vencida puede transformarse por equivalencia financiera en su respec-tivo valor acumulado equivalente S¬

t.

S¬t=?

0 1 2 3 t-1 t

R R R R R

R(1+i)

R(1+i)

. . .

Figura 7.2:

S¬t= R+R(1 + i) + . . .+R(1 + i)t−2 +R(1 + i)t−1 (7.1)

Al multiplicar la ecuacion 8.1 por (1 + i)

S¬t(1 + i) = R(1 + i) +R(1 + i)2 + . . .+R(1 + i)t−1 +R(1 + i)t (7.2)

Al restar 8.1 de 8.2, o sea

S¬t(1 + i) = R(1 + i) +R(1 + i)2 + . . .+R(1 + i)t−1 +R(1 + i)t

y S¬t= −R−R(1 + i)−R(1 + i)2 − . . .−R(1 + i)t−1


Se tiene: S¬t(1 + i− 1) = R(1 + i)t −R, al factorizar y dividir se tiene

S¬t= R

[

(1 + i)t − 1

i

]

(7.3)

Mediante esta ecuacion se calcula el valor acumulado de una anualidadvencida en la cual R, i, t son del mismo plazo

Ejemplo 126. El empleado de una companıa efectua aportes anualesde $10000 a una administradora de fondos de pensiones (AFP), durantesus ultimos 10 anos de actividad laboral, ¿que monto habra acumuladoen ese periodo si el fondo percibio una TEA del 12%?Solucion: Con los datos R = 10000; i = 12%, t = 10 y la ecuacion 7.3se tiene:

S¬10= 10000

[

(1 + 0,12)10 − 1

0,12

]

= $175487,35

Ejemplo 127. ¿Que cantidad acumulara una cuenta de ahorros, si al fi-nal de cada mes y durante 12 meses consecutivos se depositaron $100000,por lo que se aplica una TNA=24% capitalizable mensualmente?Solucion: Con los datos R = 100000, ip = 2% y t = 12, se tiene:

S¬12= 100000

[

(1 + 0,02)12 − 1

0,02

]

= $1341208,97

Comentario: observese que el factor

[

(1+i)t−1i

]

se llamara factor de ca-

pitalizacion de una serie uniforme, en los ejemplos se aplico.

7.2. Valor presente de una anualidad vencida

Un conjunto de rentas uniformes que constituyen una anualidad ven-cida puede llevarse al principio del horizonte de tiempo de la anualidad(momento o) para determinar el valor presente.

Por ejemplo si las que constituyen el flujo de caja del diagrama adjuntonecesitan ubicarse por ecuacion de valor en el periodo 0, con i = 5%, cadaflujo puede descontarse hacia el periodo 0 de la siguiente forma:

7.2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA 115

0 1 2 3 4

10 10 10 10

i=5%

Figura 7.3:

R1 =10(1 + 0,05)−1 =9.5238R2 =10(1 + 0,05)−2 =9.0703R3 =10(1 + 0,05)−3 =8.6384R4 =10(1 + 0,05)−4 =8.2270

Valor presente =$35.4595

El valor presente de la anualidad de $35.4595.Como se puede ver cada renta se descuento desde donde ocurre la renta

y el momento, o del horizonte de tiempo, para sumarlas y obtener el valordeseado.

En terminos generales, dada una tasa i, las rentas R que constituyenuna anualidad vencida pueden transformarse por equivalencia financiera ensu respectivo valor presente P¬

t. Al tomar como fecha focal el periodo 0

del horizonte de tiempo, se puede obtener la formula correspondiente de lasiguiente manera.

0 1 2 3 t-1 t

P¬t

R R R R R. . .

. . .R(1 + i)−1

R(1 + i)−2

R(1 + i)−3

R(1 + i)(t−1)

R(1 + i)−t

Figura 7.4:

Observando el diagrama cada flujo de efectivo R se descuenta durantet periodos de renta, el primero durante un periodo, el segundo durantedos periodos, y ası sucesivamente y el ultimo durante t periodos. El valorpresente de la serie uniforme vencida es igual a la suma de los valorespresentes de cada R descontados hacia el inicio del horizonte temporal.

P¬t= R(1 + i)−1 +R(1 + i)−2 + . . .+R(1 + i)t−1 +R(1 + i)−t (7.4)


Multiplicando a ambos lados de la ecuacion 7.4 por (1 + i) se tiene

P¬t(1 + i) = R(1 + i)0 + R(1 + i)−1 + . . . + R(1 + i)−(t−2) + R(1 + i)−(t−1) (7.5)

Y restando la ecuacion 7.5 de la ecuacion 7.4 se tiene:

P¬t

= R(1 + i)−1 + R(1 + i)−2 + . . . + R(1 + i)t−1 + R(1 + i)−t

- (1 + i)P¬t

= R(1 + i)0 + R(1 + i)−1 + . . . + R(1 + i)−(t−2) + R(1 + i)−(t−1)

P¬t− (1 + i)P¬

t= R + R(1 + i)−t

Factorizando y simplificando:

P¬t= R

[

1− (1 + i)−t

i

]

(7.6)

Esta ecuacion calcula el valor presente de una anualidad simple vencidaen la cual R, i, y t son al mismo plazo.

Ejemplo 128. Calcule el valor presente de 8 flujos de efectivo de $1000cada uno, con TEA=15%Solucion: Con los datos, R = 1000, i = 15%, t = 8, y la ecuacion 7.6 setiene:

P¬8= 1000

[

1− (1 + 0,15)−8

0,15

]

= $4487,32

Ejemplo 129. La empresa LOLA S.A, decide cancelar las ultimas 12cuotas fijas insolutas de un prestamo contraıdo con un banco. Si el valorde cada cuota es de $4000 y estas venceran en los proximos 1,2,3,. . .12meses respectivamente; ¿que valor debe cancelar hoy si el banco des-cuenta las cuotas al 3% mensual?Solucion: Con los datos R = 4000, i = 3% y t = 12 y reemplazando enla ecuacion 7.6 se tiene

P¬12= 4000

[

1− (1 + 0,03)−12

0,03

]

= $39816,02

Comentario: Observese que el factor

[

1−(1+i)−t

i

]

se denomina el factor

de actualizacion de una serie uniforme.

7.3. RENTA UNIFORME VENCIDA EN FUNCION DE S¬T117

7.3. Renta uniforme vencida en funcion de S¬t

El valor futuro puede convertirse en rentas uniformes equivalente. Estaequivalencia financiera es necesario realizarla cuando quiere acumularse enun fondo con aportes periodicos que se les aplica una tasa de interes efectiva.

Ejemplo 130. Si un activo debe reemplazarse dentro de un ano y seestima que en esa fecha tenga un valor de $43.1013, ¿cual sera el valorde la renta uniforme vencida trimestral que durante el plazo de una anoacumule dicho valor futuro, TET=5%?Solucion: Con la informacion se puede elaborar el siguiente diagramade flujo de efectivo

S¬4= 43,1013

0 1 2 3 4

R=? R R R=?

De la ecuacion 7.3 tenemos R = S¬t

[

i(1+i)t−1

]

, entonces;

R = 43,1013

[

0,05(1+0,05)4−1

]

= $10

Valor que representa la renta uniforme equivalente.

Ejemplo 131. Determine el valor del deposito uniforme anual venci-do necesario para acumular $100000.00 en un plazo de 5 anos. Estosdepositos que se efectuaran en un banco obtendran una TEA del 10%Solucion: Con los datos S¬

5= 100000, i = 10%, t = 5 y la ecuacion 7.3

para R se tiene:

R = 100000

[

0,1(1+0,1)5−1

]

= $16379,75

7.4. Renta uniforme vencida en funcion de P ¬t

El valor presente puede convertirse en rentas uniformes equivalentes,aunque esta operacion es necesario realizarla, entre otras cosas, cuandose necesita un financiamiento hoy para amortizarlo con cuotas uniformesdurante un determinado horizonte de tiempo.


Ejemplo 132. Si un prestamo de $35.4595 que aplica una TET=5% ydebe amortizarse en un plazo de un ano con cuotas uniformes trimes-trales vencidas, y se requiere conocer el valor de la cuota.Solucion: Con los datos se visualiza el diagrama de tiempo y efectivo.

P¬4= 35,4595

0 1 2 3 t=4i=5%

R=? R R R

De la ecuacion 7.6 se tiene, R = P¬t

[

11−(1+i)−t

]

aplicando a los datos se

tiene: R = 35, 4595

[

0,051−(1+0,05)−4

]

= $10.

Este R=$10; es la renta uniforme en funcion de valor presente.

Ejemplo 133. Encuentre la cuota uniforme por pagar por un prestamobancario de 10000, que debe amortizarse durante un ano con cuotasmensuales vencidas? El prestamo genera una TNA=36% capitalizablemensualmente.Solucion: con los datos P¬

12= 10000, ip = 3%, t = 12 reemplazando en

la ecuacion 7.6 se tiene

R = 10000

[

0,031−(1+0,03)−12

]

= $1004,62.

7.5. Calculo de t en una anualidad vencida

En esta parte se sugieren algunas preguntas

- ¿Con cuantos periodos de rentas constantes podrıa amortizarse unvalor actual, conocida i y R?

- ¿Con cuantos periodos de rentas constantes podrıa acumularse unvalor futuro, si se conoce el valor de la renta y la tasa i?

El calculo de t en funcion de P¬t, se usa la ecuacion 7.6 y se obtiene

aplicando transformaciones algebraicas

t = −ln

[

1−P¬

t×i

R

]

ln[1 + i](7.7)

7.5. CALCULO DE T EN UNA ANUALIDAD VENCIDA 119

Esta formula nos sirve para calcular el numero de periodos cuando setiene P¬

t, R, e i.

El calculo de t en funcion de S¬t, se usa la ecuacion 7.3 y se obtiene

aplicando transformaciones algebraicas

t =

ln

[

S¬t

R i+ 1

]

ln[1 + i](7.8)

Esta formula nos sirve para calcular el numero de periodos cuando setiene S¬

t, R, e i.

Ejemplo 134. Con cuantas cuotas constantes mensuales vencidas de$500 podra amortizarse un prestamo de $10000 a una TEM del 1.5%?Solucion: Con los datos P¬

t= 10000, ip = 1,5%, R = 500 y usando la

ecuacion 7.7 se tiene

t = −ln

[

1− 10000×0,015500

]

ln(1+0,015) = 23,956El resultado de 23.9562 periodos de pagos uniformes implicarıa que seharıan 24 pagos de la siguiente forma: 23 pagos de 500 y un pago menorque en el ejemplo 10.

Ejemplo 135. Una inversion ahora de $20.000 es usada para recibir unarenta de $2.000 al final de cada ano, por tanto tiempo como sea posible,y ademas un pago menor, todo a una tasa efectiva del 9% anual; hallarel numero de pagos y el pago menor por las tres formas.Solucion: Primero se muestra el diagrama correspondiente y luego lasecuaciones

1 2 3 t-1 t

RR1=Pago menor

$20.000

R=$2.000

i = 9%

. . .

La ecuacion de valor correspondiente es

20,000 = 2000P¬t0,9 ⇒ t = 26, 7190 anos.


Este valor de t implica que se deben hacer 26 pagos exactos y un pagomenor correspondiente al decimal, por lo tanto se procede de la siguienteforma:

1. Supongamos que con el ultimo pago de $2000 se hace el pagomenor, entonces 2000s¬

26,09 + R1 = 20,000(1, 09)26, operando se

determina que R1 = $1335, 20Es decir que cuando se hace el pago numero 26 por $2.000, inme-diatamente se hace el pago menor de $1.335,20.

2. Supongamos ahora que el pago menor R2, se hace un ano despuesdel ultimo pago de $2.000,

2000P¬26

,09(1, 09) +R2 = 20,000(1, 09)27 = $1455, 37

o$20,000− 2000a¬

26= R2v

27 =⇒ R2 = $1455, 37

Este pago menor se efectuara un periodo despues del ultimo pago regu-lar.

3. Por ultimo supongamos que el pago menor R3 se hace en el tiempojusto t = 26, 7190 anos.

R3 = 2000

[

(1, 09),7190 − 1

0,09

]

= $1420, 48.

Se puede observar que R2 = R1(1 + i) = 1,335, 20(1, 09) = 1455, 37. Enconclusion existen muchos problemas de este tipo que implican el calculode un pago menor para terminar adecuadamente el negocio financiero yque ninguna de las partes estan dispuestas a despreciarlo.

Ejemplo 136. ¿Cuantos depositos de fin de mes de $500 sera necesarioahorrar para acumular $5474.86 en un banco que paga una TNA=24%convertible mensualmenteSolucion: Con los datos R = 500, ip = 2%, S¬

ty la ecuacion 7.8 se tiene:

t =

ln

[

5474,86×0,02500 + 1

]

ln(1 + 0,02)= 10

7.6. EL CALCULO DE I EN UNA ANUALIDAD VENCIDA 121

7.6. El calculo de i en una anualidad vencida

Cuando se conocen S¬t, P¬

t, R, t excepto la tasa efectiva periodica i;

es posible hallar esta tasa al plantear la respectiva ecuacion de valor y secalcula por el metodo de ensayo y error, para conducir a una interpolacioncomo se estudio anteriormente para hallar la tasa.

Ejemplo 137. Un electrodomestico tiene un valor de contado de$150000 y acredito se ofrece con una cuota inicial de $30000 y 12 cuotasuniformes de $12000 cada una que deben pagarse cada mes. ¿Cual es laTEA que se cargo a la financiacion?Solucion: Con los datos R = 12000 P¬

t= 150000 − 30000 = 120000 y

t=12 se plantea la ecuacion de valor

P¬t= R

[

1−(1+i)−t

i

]

⇒ 120000 = 12000

[

1−(1+i)i

]

simplificando e igualado

a 0 se tiene:

0 = −10+[

1+(1+i)−12

i

]

, se ensayan algunos valores como por ejemplo el

2% y el 3%.x1 y12% → 0.575341ix → 03% → -0.045946x2 y2

Puesto que se hallan valores cerca a cero pero uno positivo y otro negati-vo, reemplazamos en la ecuacion de interpolacion; recuerde y transforme

x− x1 = (0 + 0,575341)

[

0,03−0,02−0,045996−0,575341

]

= 0,00926 tenemos entonces

(x = ip) = 0,00926 + 0,02 = 0,02926 = 2,926%, esta ip = 2,926% es latasa mensual que se convierte en tasa efectiva anual con la ecuacion deequivalencia:

1 + i = (1 + ip)12 ⇒ i = (1 + 0,02926)12 − 1 = 41,35%

7.7. Anualidad anticipada

Una sucesion de rentas que empiezan en el momento 0, a inicio delperiodo de renta como sucede con el pago de los arrendamientos, con lascompras a plazos con cuota inicial, polizas de seguros, pensiones en cole-gios y universidades y el leasing en general corresponden a estas rentasanticipadas.


La diferencia fundamental entre una anualidad simple vencida y unaanualidad simple anticipada, dado un numero igual de rentas, radica en queen la anualidad vencida la ultima renta no percibe interes, porque coincidecon el termino del plazo de la anualidad, mientras que en la anualidadanticipada la ultima renta no coincide con el final del plazo de la anualidad,y se ubica al inicio del ultimo periodo de renta y percibe interes o beneficiohasta el final del periodo, fecha en la cual concluye el plazo de la anualidad.

Si se conoce una renta vencida R, la renta anticipada Ra puede calcu-larse al descontar a aquella un periodo de renta con la tasa efectiva de eseperiodo.

Ejemplo 138. Si hoy se decide cancelar anticipadamente la cuota de unprestamo que vence dentro de un mes y cuyo monto es $105, con TEM de5%, solo tendra que abonarse su respectivo valor presente equivalente:100 = 105

1+0,05 Esto visto en un diagrama:

0 1

Ra=105

1+0,05=100 105

Dado R, i y t = 1, pude calcularse Ra en funcion de R

Ra =R

1 + i⇒ R = Ra(1 + i) (7.9)

Esta ecuacion 7.9 calcula la renta vencida en funcion de la renta antici-pada; si se calcula la renta vencida se pueden aplicar los factores estudiadospara anualidad simple vencida.

7.8. Acumulado de una anualidad simple antici-pada

Dada una tasa de interes i, las rentas anticipadas Ra que constituyenuna anualidad simple anticipada pueden transformarse por ecuaciones deequivalencia en sus respectivo valor futuro S¬

tcon la fecha focal al final del

horizonte de tiempo, puede encontrarse la equivalencia como se ven en lasiguiente grafica:

El valor futuro de la anualidad es igual a la suma de los montos parcialesde cada Ra llevado al final del horizonte de tiempo:

7.9. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA 123

0 1 2 3 . . . t-2 t-1 t

Ra Ra

S¬t=?

. . .Ra(1 + i)

Ra(1 + i)2

Ra(1 + i)t−2

Ra(1 + i)t−1

Ra(1 + i)t

Figura 7.5:

S¬t= Ra(1 + i)1 +Ra(1 + i)2 + . . .+Ra(1 + i)t−1 +Ra(1 + i)t (7.10)

Operando la ecuacion 7.10 por (1 + i)−1 y restando de la segundaecuacion la primera se tiene:

S¬t= Ra(1 + i)

[(1 + i)t − 1]

i= Ra

[

(1 + i)t − 1

d

]

Recordar que d = ii+1 = tasa anticipada de interes.

Ejemplo 139. ¿Que valor se acumulara al termino del sexto mes, si hoyy durante cinco meses consecutivos se depositan $1000 en una cuentaque devenga una TNA de 30% con convertibilidad mensualSolucion: Con los datos Ra = 1000, t = 6, i = 2,5% y la ecuacion 7.10,pude calcularse S¬

t, su valor acumulado.

1000 1000 1000 1000. . .

S¬t=?

i = 2,5%0 1 2 5 6

S¬t= 1000(1 + 0,025)

[

(1+0,025)6−10,025

]

= 1000

[

(1+0,025)6−1d=( 0,025

1+0,025)

]

= $6547,43

7.9. Valor presente de una anualidad simple an-ticipada

Dada una tasa efectiva i, las rentas Ra que constituyen una anualidadsimple anticipada puede transformarse por ecuacion de valor en su respec-tivo valor presente P¬

t. Con la fecha focal al inicio del horizonte de tiempo

de la anualidad puede deducirse la ecuacion de la siguiente manera:


Ra

Ra(1 + i)−1

01 2 3 t-2 t-1 t

Ra Ra Ra Ra Ra Ra. . .. . .

Ra(1 + i)−2

Ra(1 + i)−3

Ra(1 + i)−(t−2)

Ra(1 + i)−(t−1)

P¬t=? Figura 7.6:

La primera renta Ra no necesita descontarse al encontrarse ya en elpresente o momento 0, el segundo se descuenta durante 1 periodo, el tercerodurante 2 periodos, asi sucesivamente hasta el ultimo durante t−1 periodos.El valor presente de la anualidad es igual a los valores presentes de cadaRa descontados hacia el inicio del horizonte de tiempo.

P¬t= Ra+Ra(1+ i)−1+Ra(1+ i)−2+ . . .+Ra(1+ i)−(t−2)+Ra(1+ i)−(t−1)

Si se multiplica a ambos lados de esta igualdad por (1 + i)−1 y de lasegunda ecuacion se resta la primera se tiene:

P¬t= Ra(1 + i)

[

1− (1 + i)−t

i

]

= Ra

[

1− (1 + i)−t

d = i1+i

]

(7.11)

Esta formula calcula el valor presente de una anualidad simple antici-pada, el cual Ra, i, t son del mismo plazo

Ejemplo 140. Se alquila un local comercial por 12 meses con pagosanticipados de $5000 cada uno. ¿Cual es el valor actual del contrato dearriendo con una TEM de 3%?Solucion: Con los datos Ra = 5000, i = 0,03, t = 12 y la ecuacion devalor presente 7.11 se tiene P¬

12:

P¬t= 5000(1 + 0,03)

[

1−(1+0,03)−12

0,03

]

= 5000

[

1−(1+0,03)−12

d= 0,031+0,03

]

= $51263,12

7.10. Renta uniforme anticipada en funcion S¬t

La renta uniforme anticipada Ra puede obtenerse al despejar de laecuacion correspondiente:

7.11. RENTA UNIFORME ANTICIPADA EN FUNCION DE P¬T 125

Si S¬t= Ra(1 + i)

[

(1+i)t−1i

]

de esta ecuacion deducimos:

Ra =S¬

t

1 + i=

[

i

(1 + i)t − 1

]

(7.12)

Se observa que la ecuacion 7.12 calcula la renta anticipada en funcionde su valor futuro

Ejemplo 141. Calcule el valor de un deposito mensual anticipado queal cabo de 10 meses permitira acumular $50000, con TEM de 2.5%Solucion: Con los datos S¬

t= 50000, i = 2,5%, t = 10 y la ecuacion

7.12 se tiene:

Ra =S¬t

1+i =

[

i(1+i)t−1

]

= 500001+0,025

[

0,025(1+0,025)10−1

]

= $4354,09

7.11. Renta uniforme anticipada en funcion de P ¬t

La renta uniforme anticipada Ra puede obtenerse al despejar de laecuacion correspondiente:

si P¬t= Ra(1 + i)

[

1−(1+i)−t

i

]

de esta ecuacion deducimos:

Ra =P¬

t

1 + i=

[

i

1− (1 + i)−t

]

(7.13)

Esta ecuacion calcula la renta anticipada uniforme en funcion del valorpresente, en el que i y t son al mismo plazo.

Ejemplo 142. ¿Cual es el valor de la cuota uniforme por pagar por unprestamo bancario de $80.000 que debe amortizarse durante un ano conpagos mensuales anticipados? El prestamo genera una una TNA de 30%capitalizable mensualmente.Solucion: Con los datos P¬

t= 80,000, i = 2,5%, t = 12 y la ecuacion

7.13 se puede calcular Ra

Ra = 800001+0,025 =

[

0,0251−(1+0,025)−12

]

= $7508,75


7.12. Calculo de t en funcion de P¬t o S¬t

Puesto que se conoce que Ra =P¬

t

1+i = [ i1−(1+i)−t ], y mediante un ade-

cuado proceso algebraico se tiene:

t = −ln

[

1−P¬

t×i

Ra(1+i)

]

ln(1 + i)(7.14)

Esta ecuacion calcula el numero de periodos de renta en una anualidadsimple anticipada cuando se conoce al valor presente y donde Ra, i y t sondel mismo plazo.

En forma similar puede despejarse t cuando se conoce S¬t, de la siguiente

forma:

Si S¬t= Ra(1 + i)

[

(1+i)t−1i

]

, entonces:

t =

ln

[

S¬t×i

Ra(1+i) + 1

]

ln(1 + i)(7.15)

Esta ecuacion 7.15 calcula el numero de periodos de renta en una anua-lidad simple anticipada cuando se conoce S¬

ty los valores Ra, i y t son del

mismo plazo.

Ejemplo 143. ¿Con cuantas cuotas uniformes trimestrales anticipadasde $15000 podra amortizarse un prestamo de $100.000, que devenga unTET de 4%?Solucion: Con los datos Ra = 15000, i = 4%, P=100000 y con laecuacion 7.14 se tiene:

t = −ln

[

1−P¬t×i

Ra(1+i)

]

ln(1+i) = − ln[

1− 10000(0,04)15000(1+0,04)

]

ln(1+0,04) = 7,55 trimestres

Ejemplo 144. ¿Cuantos depositos de principio de mes de $6000sera necesario ahorrar para acumular $100000 en un banco que pagauna TNA del 18%, con capitalizacion mensual?Solucion: Con los datos Ra = 6000, i = 1,5%, S¬

t= 100000 y la

ecuacion 7.15 se tiene:

t =

ln

[

S¬t×i

Ra(1+i)+1

]

ln(1+i) =ln[

100000×0,0156000(1+0,015)

+1]

ln(1+0,015) = 14,79 meses.

7.13. CALCULO DE I EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA 127

7.13. Calculo de i en una anualidad anticipada

Para el calculo de i se utiliza el procedimiento de ensayo y error presen-tado anteriormente. Lo importante es establecer la ecuacion de equivalenciay encontrar i mediante interpolacion.

Ejemplo 145. Un computador tiene un precio de contado de $1000000,a credito se ofrece en 12 cuotas anticipadas de $100000 cada una. ¿Cuales la TEM de esta financiacion?Solucion: Con los datos Ra = 100000, P¬

t= 1000000, t = 12 y la

ecuacion puede plantearse la equivalencia:

1000000 = 100000(1 + i)[1− (1 + i)−12

i

]

⇒ 0 = −10 + (1 + i)[1− (1 + i)−12

i

]

1000000

0 1 2 3 4 . . . 11 12

Ra=100000

Pueden asignarse arbitrariamente valores a i al segundo miembro de laecuacion con el fin de tener valores cercanos a 0 (positivos y negativos)

i Valor

2% 0.786848=y1x 0

4%=x2 -0.239523=y1

de la ecuacion de interpolacion

y − y1x− x1

=y2 − y1x2 − x1

⇒ x− x1 = (y1 − y)

[

y2 − y1x2 − x1

]

Entonces x− 0,02 = (0− 0,786848)

[

0,04−0,02−0,239523−0,786848

]

Ahora x− 0,02 = 0,0151⇒ x = 3,51

7.14. Calculo de arrendamiento (Leasing)

Dos calculos tıpicos relacionados con los arrendamientos son el calculodel pago o cuota de arrendamiento para lograr un rendimiento especifico, yla determinacion del valor del contrato de arrendamiento, tomar el siguiente


ejemplo.

Ejemplo 146. Un auto nuevo con valor de $13.500.000 sera arrendadopor 3 anos, con la opcion de comprarlo al precio de $7.500.000 al final delperiodo de arrendamiento. Si el arrendador desea un rendimiento anualdel 14%, ¿ de que cantidad deben ser los pagos mensuales, los cuales sevenceran al principio de cada mes?Solucion: Los datos son: st = $7,500,000, Pt = $13,500,000, TNA =14%, m = 12, y t = 36 meses, veamos el diagrama:

0 1 2 3 35 36

13.500.00

ip = 14%12

7.500.000

13500000 = R(1,011667)

[

1− (1 + 0,011667)−36

0,01167

]

+750000(1 + 0,011667)−36

Resolviendo,

8560154,12 = R(1,01167)

[

1− (1,011667)−36

0,01167

]

de donde R = $289191,87 valor del pago anticipado mensual del arren-damiento con opcion de compra, los ejercicios de este tipo se manejancon ideas similares

7.15. Ejercicios

1. ¿Que valor puede acumularse durante 5 anos consecutivos si se deposi-tan $10000 al final de cada mes a una TNA de 24% con capitalizacionmensual?

2. ¿Que monto se habra acumulado en una cuenta de ahorros si a fin decada mes y durante 8 meses consecutivos, se deposito $80000 en unbanco que paga una TEA de 12%?

3. Para adquirir una maquina se recibieron las siguientes propuestas:

7.15. EJERCICIOS 129

a) Al contado por $10000

b) A credito con cuota inicial de $4000 y seis cuotas mensuales de$1100.

¿que opcion aceptarıa si el costo del dinero es 4% efectivo mensual yno se tiene restricciones de capital?

4. Halle el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas uni-formes vencidas de $200000 cada una, con TEM de 4% la primerarenta se pagara dentro de 3 meses y las demas en periodos iguales de3 meses cada una

5. Un apartamento se oferta para su venta con las siguientes opciones

a) US$175000 de contado

b) US$100000 de cuota inicial y un pago de US$77000 dentro de 60dias

c) US$80000 de cuota inicial y pagos de US$60000 y US$36800

d) US$60000 de cuota inicial y pagos de US$40000 dentro de 30, 60y 90 dias respectivamente

¿cual es la mejor alternativa para su cliente, el costo de oportunidades una TEM de 2%?

6. Calcule el valor de la renta constante que colocada al final de cadatrimestre durante 4 anos permite acumular $200000. La TNA de 36%es capitalizable trimestralmente

7. La empresa CI planea adquirir dentro de seis meses un equipo de com-puto interconectado para toda la empresa a un precio de US$100000.Con este objetivo la gerencia financiera puede colocar sus excedentesmensuales de efectivo en una institucion financiera que paga una TEMde 2%. ¿Que cantidad constante a fin de mes debera ahorrar paraacumular los US$100000, al final del sexto mes?

8. Un prestamo de $50000 debe amortizarse en el plazo de un ano concuotas uniformes mensuales, y una TNA de 36% capitalizable men-sualmente. Calcule el valor de la cuota

9. La empresa XY vende sus equipos al contado en $200000, pero deseaestablecer un sistema de creditos con cuota inicial de $54000 y seiscuotas uniformes con vencimiento a 30 dias cada una. Si TEA poraplicar al financiamiento es del 25%, calcule el valor de las cuotas delprograma de las ventas a plazo


10. EL precio de contado de un automovil es de US$10000, el compradorpuede financiarlo a una TNA de 18% y con cuotas iguales durante24 meses. Halle el valor de cada cuota, si

a) Son vencidas

b) Son anticipadas

11. Un estudiante universitario necesita ahorrar $1500000 para el pagode su matricula dentro de seis meses. Un banco le ofrece una TEA de20% sobre sus ahorros, ¿cuanto debe ahorrar el estudiante al final decada mes para lograr su objetivo?

12. ¿En cuanto tiempo podra acumularse un valor de $20000 si se efectuandepositos de $1500 cada fin de quincena, en un banco que paga unaTNA de 24% con capitalizacion mensual?

13. Con el objetivo de retirar $80000 cada 30 dias, una persona deposi-ta $1000000 en un banco que gana una TEM de ¿Cuantos retirospodra efectuar?

14. Un sistema de promocion de equipos de computacion ofrece sus pro-ductos de $1200000 por $120000 de cuota inicial y 11 cuotas mensualesde $120000 cada una, ¿Cual es la tasa mensual de interes aplicada?

15. Usted compra un TV con valor comercial de $387000, el proveedoraplica una TEA de 30%

a) Si cancela en 4 cuotas trimestrales, determine su valor

b) Si cancela en las mismas 4 cuotas trimestrales, pero acuerda unpago extraordinario de $50000 al final del segundo trimestre;

¿cual es el nuevo valor de las cuotas trimestrales?

16. Un electrodomestico tiene un precio de contado de $800000 y a creditolo ofrecen con cuota inicial de $300000 y el saldo amortizable en dosmeses con cuotas mensuales de $300000, ¿que TEA se aplica a estefinanciamiento?

17. Una persona deposita en una cuenta de ahorros a inicio de cadatrimestre una cantidad constante de $20000, ¿Cuanto acumulara aun plazo de dos anos si se obtiene una TNA de 20% capitalizabletrimestralmente?


18. ¿Que monto habra acumulado en una cuenta de ahorros si a principiode mes y durante 8 meses consecutivos se deposito $8000 en un bancoque remunera los ahorros a TEA de ?

19. El arriendo de un local comercial es $50000 pago que debe efectu-arse al principio de cada mes. El propietario del local le propone alarrendador efectuar un descuento en las cuotas mensuales, con unaTEM de 4% en caso que le abone anticipadamente los arriendos cor-respondientes a un ano. Calcule el valor presente de los doce pagosanticipados

20. ¿Cual es el precio de contado equivalente de una maquina que sevende a credito con 12 cuotas mensuales anticipadas de $20000 cadauna?. El costo de oportunidad es una TEM de 2,5%

21. Para la adquisicion de una maquina se dispone del 20% del preciode contado. El precio sera financiado por el mismo proveedor con 12imposiciones anticipadas iguales mensuales de $5000 cada una y TEMde 3%, calcule el precio de contado equivalente de la maquina

22. Calcule el valor de la renta constante que se aplica al principio decada trimestre durante 4 anos, que permite constituir un acumuladode $200000. La TEA es de 15%

23. Un prestamo de $500000 debe cancelarse en el plazo de un ano concuotas uniformes mensuales anticipadas. El prestamo devenga unaTEA de 24%. Calcule el valor de la cuota anticipada

24. ¿Cuantos depositos mensuales anticipados de $25000 deben efectuarseen un banco para acumular una cantidad de $200000 si se obtiene unaTEM de 2,5%?

25. Una maquina puede adquirirse de contado en $25000 y su creditocon 6 cuotas iguales mensuales anticipadas de $4500. Calcule TNAcapitalizable mensualmente?

26. Encuentra el valor presente de una anualidad que paga $1000 al finalde cada semestre, si TNS es para los primeros tres anos y TNS de 7%para los ultimos dos anos

27. Un analista financiero de un banco debe establecer las cuotas de unadeuda de 5 millones de pesos hoy, que el cliente debe pagar en 20cuotas mensuales y TNT de 30% para el primer ano y TEA de 38%para los meses restantes


Capıtulo 8

Series uniformes: diferidasperpetuas

8.1. Series uniformes diferidas

Series uniformes diferidas o anualidad diferida: cuando un contrato acredito u operacion similar, que debe amortizarse con cuotas uniformes,por acuerdo entre las partes, el pago de estas rentas empieza despues delvencimiento de uno o varios periodos de renta, contados a partir del iniciodel plazo pactado, se esta ante el caso de una anualidad deferida, esta puedeser vencida o anticipada

Horizonte de tiempo

0 1 2 3 4 . . . k

R R R R

k+1 k+2 k+3 k+t

Periodo diferido Periodo renta

Valor presente de una anualidad diferida vencida; puede obtenerse me-diante:

1. Al tomar como fecha focal, el final del plazo diferido k

En este punto, la ecuacion de valor se obtiene al igualar el principalcapitalizado con el conjunto de rentas futuras descontadas

133

134 CAPITULO 8. SERIES UNIFORMES: DIFERIDAS PERPETUAS

0 1 2 3 4 . . . k

R R R R

1 2 3 t

k+tperiodos

Periodo diferido Fecha focal

P (1 + i)k = R

[

1− (1 + i)−t

i

]

⇒ P = R

[

1− (1 + i)−t

i

]

(1 + i)−k (8.1)

2. Al tomar como fecha focal el momento 0, la ecuacion de equivalenciase obtiene al descontar transitoriamente las rentas al final del plazodiferido t con respectivo factor de valor presente y ese valor debellevarse al presente con el factor de descuento.

P = R

[

1− (1 + i)−t

i

]

(1 + i)−k (8.2)

Ambas ecuaciones generan el mismo valor presente, ver Ec(8.1,8.2)

Ejemplo 147. Encuentre el valor presente de una anualidad diferida de$10000, que se recibira a partir del cuarto mes y durante un ano: UseTEM de 2.5%Solucion: Con los datos R = 10000, i = 0,025, k = 3, t = 12 y con laecuacion 8.2 puede obtenerse:

0 1 2 3=k 1 2 11 12=t

≈

R R R=10000

Plazo diferido Periodo renta

k+t=15

P¬t= 10000

[

1− (1,025)−12

0,025

]

(1 + 0,025)−3 = $95253,54

Ejemplo 148. Un computador se esta vendiendo con cuota inicial de$3000 y cuotas mensuales de $2000 que deben pagarse durante cuatromeses consecutivos, el primero tres meses despues de haber pagado lacuota inicial. ¿Cual es el precio de contado equivalente si el costo deoportunidad es TEM de 4%

8.1. SERIES UNIFORMES DIFERIDAS 135

Solucion: Con los datos R = 2000, i = 0,04, k = 2, t = 4 y la ecuacionse tiene:

0 1 k=2 1 2 . . . 4 t=4

R=20003000

P¬t = 2000

[

1−(1,04)−40,04

]

(1 + 0,04)−2 + 3000 = $9712,08

Elmonto de una anualidad simple diferida, cuando se tienen datos comoi, t, y las rentas R o Ra; el monto de la anualidad diferida es el mismo quecorresponde a la anualidad vencida o anticipada segun el caso y se aplicanlas ecuaciones del acumulado segun el caso:

S¬t= R

[

(1 + i)t − 1

i

]

, o, S¬t= R(1+i)

a

[

(1 + i)t − 1

i

]

(8.3)

Ejemplo 149. Dentro de 6 meses y durante un quinquenio serecibira una renta mensual de $10000, cuyo valor sera depositado enun banco que aplica una TEA=12%. Encuentre el acumulado al finaldel quinquenio bajo el supuesto que 1.) rentas vencidas 2.) rentas antic-ipadas.Solucion: Con los datos R = Ra = 10000; TEM=(1,12)1/12 − 1 =0,009489; t = 60 y las ecuaciones correspondientes

St = 10000

[

(1+0,009489)60−10,009489

]

= $803418,42 acumulado con renta vencida.

St = 10000(1 + 0,009489)

[

(1+0,009489)60−10,009489

]

= $811041,67 acumulado con

renta anticipada.En forma similar es posible determinar las r, o, Ra; las i y t usando losplanteamientos de las ecuaciones estudiadas.

Ejemplo 150. La empresa XY vende maquina a un precio al contadode $396488; a credito acepta la venta con una cuota inicial de $300000 yel saldo se negocia de acuerdo a las propuestas del comprador, con TEMde 5%. Si el cliente solicita pagar la diferencia en 4 cuotas iguales al finde mes y hacerlo 3 meses despues de la cuota inicial. ¿Cual es el valorde la cuota igual?Solucion: con los datos P¬

t= 96488, i = 0,05, k = 2, t = 4 y la

ecuacion correspondiente se calcula R


0 1 k=2 1 2 3 4

i = 5%P¬t= 96488

96488 = R

[

1−(1+0,05)−4

0,05

]

(1 + 0,05)−2 ⇒ R = 29999,86

8.2. Series uniformes perpetuas

Una serie uniforme compuesta por un conjunto de rentas que generany se distribuyen en un horizonte de tiempo que tiende al infinito, comosucede por ejemplo con los dividendos que otorgan las sociedades anonimascuyo plazo de operacion se supone indefinido; ası mismo como los fondosque se acumulan para el mantenimiento de infraestructuras de larga vida:puentes, acueductos, carreteras, represas. Estas rentas perpetuas al igualque las temporales pueden ser vencidas, anticipadas, y diferidas.

Una perpetuidad es una anualidad cuyos pagos se hacen para siempre,pareciera que no es realista esta afirmacion, existen sin embargo papelesde gobierno que generan dividendos a largo plazo y se pueden considerarsus pagos como infinitos; la vida util de la autopista o una represa se lepuede asociar a infinita, siempre y cuando se realicen los mantenimientosadecuados.

Veamos el diagrama correspondiente a una perpetuidad y el desarrollode las ecuaciones:

iP¬∞

0 1 2 3

1 1 1 1. . . . . .

Figura 8.1: Diagrama de tiempo y efectivo de una anualidad perpetua

El valor presente de una anualidad perpetua vencida se denota por P¬∞,

se tiene

P¬∞= (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + (1 + i)−3 + · · ·+ (1 + i)−1

1− (1 + i)−1=

1

i(8.4)

siempre que (1 + i)−1 < 1 e i > 0.

8.2. SERIES UNIFORMES PERPETUAS 137

La ecuacion 8.4 resulta de efectuar la suma de la serie geometrica

a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · · a 6= 0

esta converge y su suma es a1−r |r| < 1.

Alternativamente se tiene que,

P¬∞= lım

t→∞P¬

t= lım

t→∞1− (1 + i)−t

i=

1

i, (8.5)

recordando que lımt→∞(1 + i)−t = lımt→∞

(

11+i

)

= 0.

Por razonamiento analogo el valor presente de una anualidad perpetuaanticipada sera,

P¬∞=

1

d(8.6)

No olvidar d como tasa de descuento, d = i1+i .

Es necesario hacer notar que el valor acumulado de una perpetuidad noexiste porque su vida util es infinita. Las perpetuidades pueden ser diferidasy en los ejemplos se manejan algunos procedimientos.

Ejemplo 151. Hallar el valor presente de una perpetuidad con pagostrimestrales iguales de $1000 y una tasa anual i4 = 24%Solucion: veamos el diagrama y luego la ecuacion solucion:

i4 = 24%1000 P¬

∞

0 1 2 3

1000 1000 1000. . .

. . .

La ecuacion para el valor presente de esta perpetuidad es,

1000P¬∞0,06 = 1000

[

1

0,06

]

= $16,666, 67.

Este valor de $16.666,67 es el valor presente de los pagos perpetuostrimestrales, recuerde que i4

4 = 0,244 = 0,06.


Ejemplo 152. Se debe establecer un fondo perpetuo de ayuda socialdenominado “Princesa de Inglaterra”, se usara para obras beneficas quecostaron US $1 millon semestrales continuos, el dinero sera invertido auna tasa del 7.5% efectivo anual. Hallar la cantidad presente que se debereunir para cumplir con el objetivo mencionado para siempre.Solucion: primero se halla la tasa de interes semestral

1 + 0,075 =(

1 + i22

)2=⇒ i2

2 = tasa semestral = 3, 68%.Ahora se plantea la ecuacion solucion para el valor presente,

1′000,000P¬∞0,0368 = 1′000,000

[

1

0,0368

]

= $27′157,627, 56

Este es el valor presente del fondo perpetuo.

Ejemplo 153. Los alumnos economicamente exitosos de las Universi-dades con frecuencia crean becas para estudiantes especiales. Un principede estos, desea ayudar a 3 estudiantes para los primeros anos y luegocinco de ahı en adelante. Si la matricula anual vale $70.000. Halle elvalor del deposito inicial si la tasa i = 20% anual.Solucion: el diagrama y luego la ecuacion:

P¬∞

1 2 3 4 5

210 210 210 350 350

. . .

P = 210,000P¬30,2 + 350,000P¬

∞0,2(1 + 0,02)−3 =⇒ 442,361, 11 +

1′750,000(1,2)−3 = $1′455,092,59Valor inicial que se debe depositar para cumplir el objetivo de ayuda.

Ejemplo 154. Un inversionista deposita $10.000 hoy, a una tasa 18%anual; ¿cuantos anos debera acumular el dinero antes que pueda retirar$15.000 anual indefinidamente?.Solucion: el diagrama de efectivo es el siguiente

$10.000

1 2 3. . . t-1 t

$15000 $15000

. . .

8.2. SERIES UNIFORMES PERPETUAS 139

Es necesario saber cuanto dinero debe acumular en el ano t− 1, esto selogra hallando el valor presente de la perpetuidad de $15.000

$15,000P¬∞0,18 =⇒ $15,000

(

1

0,18

)

= $83,333, 33

Cuando los t−periodos se acumulen los $83.333,33. Entonces se puedenretirar los $15000 indefinidamente,

$83,333, 33 = $10,000(1 + ,18)t =⇒ t = 12, 81 anos ≈ 13 anos

Es decir se necesitan aproximadamente 13 anos para cumplir el objetivo.

Ejemplo 155. Un bono estatal de $1’000.000 ofrece un interes anual alos herederos de la siguiente forma, al beneficiario X por los primeroscinco anos, al beneficiario Y por los siguientes 7 anos y al beneficiarioZ de ahı en adelante. Encontrar los valores presentes relativos de X,Yy Z si se asume una tasa de interes del 20% anual.Solucion: plantear la ecuacion para cada valor presente

(P )X = 200,000P¬50,2 = $598,122, 42

(P )Y = 200,000P¬70,2(1 + i)−5 = $289,720, 91

(P )Z = 200,000

(

1

i

)

(1 + i)−12 = $112,156,65

Como se ve el mas beneficiado fue el senor X

Ejemplo 156. El gobierno se comprometio que a partir de la fecha de-sembolsara anualmente y en forma indefinida un valor de $200.000 paramantener una carretera. Calcule el valor presente de esa perpetuidadcon una TEA de 5%Solucion: Con los datos Ra = 200,000; i = 5% y la ecuacion correspon-diente para anticipados.

P¬∞= Ra

[

1

d

]

= Ra(1 + i)

[

1

i

]

= 200,000× (1 + 0,05)

(

1

0,05

)

= $4200000


Ejemplo 157. Una persona decidio iniciar una cuenta con un valor de$100000, en un banco que aplica al ahorro una TEA de 8%, con el objetode retirar indefinidamente una renta uniforme mensual. Calcule el valorde esta renta perpetuaSolucion: Con los datos P¬

∞= 100000, TEM= (1,08)1/2− 1 = 0,006434

y la ecuacion correspondiente se tiene:

P¬∞=

R

i⇒= P¬

∞i⇒ R = 100000(0,006434) = $64,34

8.3. Costo capitalizado

El costo capitalizado de un activo fijo esta constituido por su costoinicial mas el valor presente de las infinitas renovaciones para poseerlo per-manentemente, como sucede en el caso de bienes que deben prestar serviciosen forma indefinida, por ejemplo: carreteras, puentes, muelles, pavimentos.La diferencia con la capitalizacion es que esta excluye el costo inicial delactivo. Las renovaciones de activos fijos permanentes se producen necesari-amente el final de su vida util, segun el costo de las condiciones del mercado,puede ser diferente al costo original del bien, si se simboliza:

C = Costo capitalizadoK = Costo original o inicial del activoW = Costo de reemplazo del activoZ = Numero de anos de vida util del activoi = Tasa de interes periodica

Y de acuerdo con el concepto de costo capitalizado de un activo fijo setiene:

C = K + P¬∞

(8.7)

Puesto que P¬∞

es el valor presente de una perpetuidad pagadera cada

z periodos; puede reemplazarse en la ecuacion anterior y se tiene:

C = K +W

[

i

(1 + i)z − 1

][

1

i

]

(8.8)

Esta ecuacion calcula el costo capitalizado de un activo fijo en el cual i y zson al mismo plazo.

8.4. EJERCICIOS 141

Ejemplo 158. La canalizacion de las riberas del rio Bogota tuvo uncosto de $40000000. Los tecnicos estimaros que cada 10 anos deberıalimpiarse y reforzarse los muros de contencion a un costo aproximadode $15000000. Calcule el costo capitalizado dada una TEA de 12%Solucion: Con los datos K=40000000; z=10, i=0.12, w = 1500000 y laecuacion se calcula C.

C = 40000000 + 15000000

[

0,12(1+0,12)10−1

][

10,12

]

C = 40000000 + 7123020,52 = $47123020,52

8.4. Ejercicios

1. Cuanto dinero debe depositarse ahora para obtener una renta de$1500000 al final de los anos 11,12,13 y 14 considere una TEA de20%

2. Calcule el valor presente de una anualidad cuyo horizonte de tiempose compone de 24 trimestres con los 4 primeros diferidos. El valor decada renta trimestral vencida es de $25000 y la TEA de 30%

3. En la fecha se acuerda acumular un monto durante un plazo de 8meses mediante depositos en un banco de 6 cuotas uniformes mensu-ales de $5000 cada una, que devengaran una TEM de 3%. La primerade las 6 cuotas uniformes se depositara dentro de tres meses y cadadeposito posterior se hara mensualmente. Calcule el valor acumuladode la anualidad

4. El proceso de fabricacion de una maquina tendra una duracion de 5meses. A partir del fin del sexto mes se producira una ganancia netamensual de $50000 durante 24 meses. ¿Cual sera el valor presente dedichos flujos, si se considera una TEM de 3% durante los primeros 5meses y el 4% para los meses restantes?

5. El hotel Inn estara terminado dentro de un ano fecha a partir dela cual se proyecta por 10 anos tener ingresos netos mensuales de$200000. Calcule el valor presente de esos flujos con TEA de 25%

6. Determine el valor mınimo con el que hoy debe abrirse una cuentaa una TEM de 2.5% que permitira retirar nueve rentas mensualesconsecutivas de $10000, la primera de las cuales se retirara 90 diasdespues de abrirse la cuenta


7. Calcule el precio de contado de una maquina que se vende a creditocon una cuota inicial de 30% y el saldo amortizable en 8 cuotasconstantes mensuales vencidas de $80000 cuyo primer vencimientosera dentro de 3 meses. La TEM aplicable es del 2%

8. Un padre al nacer su hijo decide hacer un deposito total ahora, conel fin de garantizar la educacion universitaria de su hijo que duraracinco anos pagara US$10000 bajo el supuesto que un fondo financierodonde hace el deposito garantiza TEA de 4%. Se desea saber cuales el deposito total de ahora y el valor del pago uniforme del mismopago por los primeros cinco anos

9. Una empresa necesita comprar una maquina mediante una cuota ini-cial de $3000000 y doce pagos trimestrales de $1200000 cada uno,haciendo el primer pago dentro de un ano. Determine el valor decontado de la maquina si TNT es de 30%

10. Al final del horizonte de tiempo de 12 semestres, de los cuales 4 sontrimestres diferidos, se requiere acumular un monto de $1000000, concuotas uniformes trimestrales anticipadas. Estas cuotas seran deposi-tadas en un banco que aplica TEA de 12%. Calcule el valor de lacuota uniforme anticipada

11. Calcule el valor de una cuota trimestral vencida a pagar por unafinanciacion de $11111 a TEA de 20% que debe amortizarse en 6periodos trimestrales, de los cuales los dos primeros fueron diferidos

12. Establecer el valor de las cuotas mensuales de un credito de viviendade 6 millones de pesos a cinco anos, la primera cuota se cancela dentrode tres meses y la tasa de interes sobre saldos es de 3% para losprimeros 3 meses, 2.1% mensual para los 21 meses siguientes y el 2%mensual para los meses restantes

13. Calcule el valor presente de una perpetuidad cuya renta trimestralanticipada es de $3000. La TEA aplicada es 24%

14. Halle el valor presente de $100000 depositados al principio de cadames en forma indefinida si TEA es 14%

15. Que deposito total debe hacer el gobierno para construir un fondoque aplica una TNT de 29%, mediante este fondo se garantiza elmantenimiento de una via publica de vida util perpetua por $500000mensuales

8.4. EJERCICIOS 143

16. El testamento de una persona recien fallecida establece una donacionpara una casa de la tercera edad por $10000 inmediatamente despuesde su deceso y de allı anualmente US$2000 en forma indefinida. ¿Cuales el valor actual de la donacion, si se considera una TEA de 8%?

17. Una companıa duena de un pozo petrolero con reservas de explotacionprobadas por un plazo mayor a 100 anos tiene utilidad neta que enpromedio asciende a US$100000 anuales. Calcule el valor presente delpozo con objeto de venderlo, dado que en los proximos tres anos nohabra ingresos por renovacion de equipos. La companıa aplica a susinversiones una TEA de 12%

18. Un molino de viento que se utiliza en el bombeo de agua para el re-gadıo tuvo un costo de $100000, se estima que es necesario reemplazar-lo cada 10 anos a un costo de $50000. Calcule el valor a depositarahora en un fondo a una TEA de 9% para asegurar indefinidamentelos reemplazos del mismo

19. Calcule el valor de la renta perpetua mensual vencida que puede com-prarse de Bonos estatales con un costo de $50000, los bonos generanuna TEA de 10% con un pago mensual de interes.

20. Calcule el valor de una renta perpetua anticipada mensual que puedeadquirirse con un capital de $25000 que aplica una TEA de 10%

21. Encuentra la TEA aplicada a una perpetuidad cuyas rentas mensualesvencidas son de $10000 y su valor presente de $180000

22. Una carretera tiene un costo de construccion de 4 millones de pesosy su mantenimiento integral debe efectuarse cada 5 anos; de formaindefinida, con un costo de 2 millones de pesos. Calcule su costo cap-italizado, con TEA de 12%

23. Una entidad oficial debe construir un puente para unir dos ciudadesy recibio las siguiente propuestas

a) De madera, con un costo inicial de $100000 y un costo de man-tenimiento cada 3 anos de $40000

b) De concreto, con un costo inicial de $200000 y un costo de man-tenimiento cada 6 anos de $60000

Calcule el costo capitalizado de ambas opciones, con un costo de cap-ital de 10% anual


24. Una serie uniforme perpetua de $100000 por trimestre con el primerpago dentro de un ano y TNM de 26.5%, se debe sustituir por otraserie uniforme perpetua con pagos cada 2 anos y haciendo el primerodentro de tres anos a una TNM de 25%. Halle el valor de la nuevaserie

Capıtulo 9

Series variables

Las series uniformes que se han estudiado hasta ahora son muy impor-tantes en la medida que se cumplan las condiciones estipuladas para talfin; en adelante es conveniente estudiar pagos periodicos bajo el supuestode flujos de efectivo que varıan periodicamente.Existen muchos ejemplos al respecto de las series variables: cambio mensualdel valor de la canasta familiar (IPC); aumento mensual del valor de los ser-vicios publicos; cambio periodico del valor de las materias primas; cambiosperiodicos de los pagos o rentas para amortizar un credito, y otros.

9.1. Anualidades basicas variables

Las anualidades estudiadas hasta ahora manejan los pagos uniformes oiguales, es conveniente considerar pagos anuales bajo el supuesto que estospagos varıan periodicamente y la tasa de interes en principio permanececonstante en los respectivos periodos.

Los tipos de pagos variables que se van a estudiar son: Pagos que varıanen progresion aritmetica, pagos que varıan en progresion geometrica, y otrostipos de pagos.

9.1.1. Pagos que varıan en progresion aritmetica.

A este tipo de pago variable tambien se le llama gradiente aritmetico yque son flujos de efectivo que aumentan o disminuyen en forma constante,tambien son flujos crecientes o decrecientes respectivamente.

Se considera una anualidad variable vencida a un plazo de t-periodosdonde los pagos R inician en el periodo 1 y se incrementan en la cantidadconstante Q a partir del segundo periodo hasta llegar al tiempo t; la tasa

145

146 CAPITULO 9. SERIES VARIABLES

de interes correspondiente i se aplica al final de cada periodo.La Figura 9.1 deja ver el comportamiento de los flujos de efectivo en

gradiente aritmetico.

. . .0 1 2 3 t− 1 t

i

PA

RR + Q R + 2Q

R + (t− 2)QR + (t− 1)Q

Figura 9.1: Diagrama de tiempo y efectivo de pagos que varıan cada periodoen progresion aritmetica

Como se puede observar en la figura 9.1 el primer pago es R en elperiodo 1 y va aumentando periodo a periodo en la cantidad Q; los gradien-tes cuyo primer pago inicia en 1 como el mostrado en la figura 9.1 y elprimer incremento se hace en el periodo 2, se le llama gradiente aritmeticoconvencional. Ahora es necesario usar un procedimiento matematico parahallar el valor presente del gradiente aritmetico aplicando los respectivosfactores de descuento a cada flujo ası:

PA = R(1 + i)−1 + (R+Q)(1 + i)−2 + (R+ 2Q)(1 + i)−3 + · · ·+(R+ (t− 2)Q)(1 + i)t−1 + (R+ (t− 1)Q)(1 + i)−t

y si multiplicamos a ambos lados por (1 + i) se tiene

(1 + i)PA = R+ (R+Q)(1 + i) + (R+ 2Q)(1 + i)−2 + · · ·+(R+ (t− 2)Q)(1 + i)−(t−2)(R+ (t− 1)Q)(1 + i)−(t−1).

Restando de la segunda ecuacion la primera, se tiene:

i pA = R+Q((1 + i) + (1 + i)−2 + (1 + i)−3 + · · ·+ (1 + i)−(t−1))

−R(1 + i)−t − (t− 1)Q(1 + i)−t

= R(1− (1 + i)−t) +Q((1 + i)−1 + (1 + i)−2 + (1 + i)−3 + · · ·+(1 + i)−(t−1) + (1 + i)−t)−Qt(1 + i)−t,

⇒

PA = R

[

1− (1 + i)−t

i

]

+Q

[

P¬t− t(1 + i)−t

i

]

⇒

9.1. ANUALIDADES BASICAS VARIABLES 147

PA = RP¬t+Q

[

P¬t− t(1 + i)−t

i

]

(9.1)

Este valor de PA representa el valor presente de la serie gradiente arit-metica, observe que se dividio por i a ambos lados y ademas se uso la seriede anualidad basica vencida anteriormente trabajada.

El valor acumulado al final de los t periodos para una serie aritmeticavariable se encuentra por una ecuacion similar de acumulacion, multipli-cando la ecuacion 9.1 por (1 + i)t asi:

SA =

{

R

[

1− (1 + i)−t

i

]

+Q

[

s¬t− t (1 + i)−t

i

]}

(1 + i)t =⇒

SA = R

[

(1 + i)t − 1

i

]

+Q

[

(1+i)t−1i − t

i

]

SA = Rs¬t+Q

S¬t− t

i(9.2)

Este valor de la ecuacion 9.2 muestra el acumulado de un pago basicoinicial R que crece periodicamente en la cantidad Q, durante t periodos ala tasa i. La serie que se esta trabajando es creciente y se ve cuando elincremento Q es positivo y sera decreciente si la cantidad Q es negativa.

En caso que la serie gradiente aritmetica sea anticipada o sea que elprimer pago R inicie en 0, existe un cambio en la ecuacion 9.2 donde cambiai por d, de donde se obtienen ecuaciones similares.

La perpetuidad para pagos que varıan en progresion aritmetica se en-cuentra cuando t→∞, el valor presente correspondiente es,

P∞ = lımt→∞

P¬t= lım

t→∞

[

R

[

1− (1 + i)−t

i

]

+Q

[

1−(1+i)t

i − t(1 + i)−t

i

]]

P∞ =R

i+

Q

i2(9.3)

Esta ecuacion 9.3 representa el valor presente para una anualidad varia-ble aritmetica, donde sus pagos periodicos son perpetuos o su termino esinfinito, si los pagos son decrecientes el signo (+) se reemplaza por (-).


A continuacion se presentan ejemplos explicativos de los casos de gra-dientes aritmeticos.

Ejemplo 159. Encuentre el valor presente de una anualidad variable enprogresion aritmetica, cuyo primer pago trimestral es de $1000 y este seincrementa en $500 a partir del segundo trimestre y por tres anos. Latasa i12 = 18%, tasa nominal anual capitalizable mensualmente.Solucion: Primero se realiza el diagrama de tiempo y efectivo, y luegose encuentra la tasa de interes correspondiente para aplicar 9.1,Diagrama de tiempo y efectivos:

. . .i = i4

1 2 312

trimestres

PA

10001500 2000

A continuacion se determina la tasa de interes trimestral, porque losperiodos son trimestres;

(

1 +i44

)4

=

(

1 +0,18

12

)12

=⇒ i =i44

= 4,5678%trimestral.

El valor presente PA se encuentra al aplicar la ecuacion 9.1, si R = $1,000y Q = $500.

PA = 1000P¬t+ 500

P¬t− 12(1 + i)−12

0,045678= $31656, 56.

Esta cantidad representa el valor presente bajo las condiciones pro-puestas.

Ejemplo 160. Un credito personal para compra de vivienda por $1millon a una tasa efectiva anual i = 30% y 60 cuotas mensuales queaumentan en $1000 cada mes a partir de la segunda cuota. ¿Cual es elvalor de la primera, segunda y tercera cuota?Solucion: se establece en primer lugar la tasa del periodo mensual quese usa para los calculos,

1 + 0,3 =

(

1 +i1212

)12

⇒ i =

(

i1212

)

= 2, 21%mensual.

La ecuacion 9.1 se usa para hallar la cuota,


1000000 = RP¬60+ 1000

P¬60−60(1+i)−60

0,0221

despejando R despues de cuidadosas operaciones se tiene,

R =1000000− 1000

p¬60−60(1+i)−60

0,0221

p¬60

= $7124, 43.

Este valor corresponde a la primera cuota, por lo tanto:R = R1 = $7124, 43R2 = R+Q = $8124, 43R3 = R+2Q = $9124, 43 y asi sucesivamente hasta llegar a la cuota delperiodo t

Rt = R+ (t− 1)Q (9.4)

Esta ecuacion sirve para calcular la cuota de cualquier periodo con gradientearitmetico.

NOTA: Este ejemplo tambien puede desarrollarse suponiendo que lascuotas disminuyen en $1000 cada mes, es decir Q = −$1000; esto implicaun pago en gradiente aritmetico decreciente, para lo cual se pueden hacerlos calculos

9.1.2. Pagos que varıan en progresion geometica

A este tipo de pago variable se le llama tambien gradiente geometrico,que son flujos de efectivo que aumentan o disminuyen en forma porcentual;tambien los gradientes geometricos son crecientes o decrecientes, estos sonpagos variables vencidos a t-periodos, cuyos pagos inician en el perıodo 1 y elprimer pago denotado por B se incrementa o disminuye a partir del segundoperıodo mediante la tasa porcentual k, la tasa de interes correspondiente acada periodo se le llamara i.

Como se observa en la figura 9.2 el primer pago B se encuentra en elperiodo 1 y va aumentando periodo a periodo por el efecto de la tasa por-centual k; este gradiente geometrico que inicia el primer pago en 1 y crecea partir del segundo periodo se le llama gradiente geometrico convencional.

Ahora mediante un procedimiento matematico similar al usado en losgradientes aritmeticos se obtiene el valor presente PG de los pagos en progre-sion geometrica, se aplica a cada flujo el correspondiente factor de descuento(1 + i)−1 ası:

PG = B(1 + i)−1 +B(1 +K)(1 + i)−2 + · · ·+B(1 +K)t−1(1 + i)−t (9.5)


. . .0 1 2 3 t− 1 t

i

PG

B

B(1 + K)B(1 +K)2

B(1 +K)t−2

B(1 + K)t−1

Figura 9.2: Diagrama de tiempo y efectivo de pagos que varıan en cadaperiodo porcentualmente.

Al multiplicar esta primera ecuacion (1 + k)(1 + i)−1 se tiene,

PG(1 + k)(1 + i)−1 = B(1 + k)(1 + i)−2 + · · ·+B(1 + k)(1 + i)−(t+1)

y si restamos de la primera ecuacion la segunda, se eliminan terminos in-termedios y resulta:

PG − PG(1 + k)(1 + i)−1 = B(1 + i)−1 −B(1 + k)t(1 + i)−(t+1)

Se factoriza a ambos lados la ecuacion:

PG(1− (1 +K)(1 + i)−1) = B(1 + i)−1(1− (1 + k)t(1 + i)−t)

Realizando operaciones

PG =

(

(1 + i)− (1 + k)

1 + i

)

= B

(

1

1 + i

)

(

1− (1 + k)t(1 + i)−t)

,

y se encuentra finalmente que,

PG = B

[

1− (1 + k)t(1 + i)−t

i− k

]

; si i 6= k (9.6)

donde PG es el valor actual de los pagos en progresion geometrica, B esel primer pago, k la tasa porcentual, i la tasa de interes del periodo y t elnumero de periodos.

La ecuacion 9.6 es valida cuando i 6= k, en caso que i = k la ecuacion9.6 cambia, y la ecuacion 9.5 se convierte en: PA = B(1 + i)−1 + B(1 +i)−1 + · · ·+B(1 + i)−1, son t-veces B(1 + i)−1, entonces

PG = tB(1 + i)−1 =tB

1 + isi, i = k (9.7)


Asociando las dos Ecuaciones (9.6 y 9.7) se tiene que,

PG =

B[

1−(1+k)t(1+i)−t

i−k

]

si i 6= k

B[

t1+i

]

si i = k.

(9.8)

De esta forma la ecuacion 9.8 representa el valor presente de una anua-lidad variable creciente geometricamente; en caso de que la base B dismi-nuya o decrezca se obtiene mediante el mismo procedimiento una ecuacionsimilar,

PG = B

[

1− (1− k)t(1 + i)−t

i+ k

]

(9.9)

No existen en el caso decreciente restricciones para i y k. Ahora bien, elvalor acumulado para los pagos en gradiente geometrico creciente, corres-ponde al producto PG(1 + i)t ası:

SG =

B[

(1+i)t−(1+k)t

i−k

]

si i 6= k

B[

t(1 + i)t−1]

si i = k,

(9.10)

Mediante la ecuacion 9.10 se generan los acumulados para gradientesgeometricos crecientes. Si el gradiente geometrico es decreciente, entonces

SG =

[

1 + i)t − (1− k)t

i+ k

]

(9.11)

La ecuacion 9.11 es el valor acumulado correspondiente. El conceptode perpetuidad tambien es aplicable a los gradientes geometricos en lasecuaciones respectivas cuando t→∞,

PG = lımt→∞

[

B1− (1 + k)t(1 + i)−t

i− k

]

= B

[

1

i+ k

]

i 6= k, (9.12)

entre tanto cuando i = k

PG = lımt→∞

tB

1 + i=∞ indeterminacion, no existe .


En el caso que el gradiente geometrico sea decreciente el valor presentePG de la perpetuidad queda,

PG = lımt→∞

B

[

1− (1− k)t(1 + i)−t

i+ k

]

=B

i+ k. (9.13)

Estas ecuaciones ayudan a resolver algunos de los problemas de estetipo, pero es posible que se necesiten otras ecuaciones de acuerdo a ladificultad del problema.

Ejemplo 161. Determine el valor presente y el valor acumulado deuna anualidad de base $1000 y creciente geometricamente con k = 10%anual y tasa de interes i = 20% anual durante 5 anos.Solucion: Primero se realiza el diagrama de tiempo y efectivo y luegose aplican las ecuaciones correspondientes.

. . .0 1 2 3 5

i = 20%, k = 10%

PG

$1000

1000(1 + k)

A continuacion se usa la ecuacion 9.8 para i 6= K, puesto que,B = $1000,k = 10% incremento porcentual, i = 20% por periodo anual y t = 5anos.

PG = 1000

[

1− (1 + 0,1)5(1 + 0,2)−5

0,2− 0,1

]

= $3527,72

es el valor presente solicitado bajo las condiciones anteriores; el valoracumulado SG se tiene de la ecuacion 9.10 para i 6= K.

SG = 1000

[

(1,2)5 − (1,1)5

0,2− 0,1

]

= $8778, 10.

Ejemplo 162. Se necesita hallar la primera, segunda y tercera cuotamensual de un prestamo de $1 millon para vivienda a 10 anos, si latasa anual i = 31% y cada cuota crece al 1.5% mensual a partir de lasegunda.Solucion: Un diagrama de tiempo y efectivo se deja como trabajo allector y luego al usar las ecuaciones correspondientes.Primero se encuentra la tasa mensual de interes usando la ecuacion deequivalencia entre tasas efectivas y nominales:


1 + 0,31 =

(

1 +i1212

)12

=⇒ i1212

= i = 2, 2757%mensual.

Reemplazando la informacion en la ecuacion 9.8 se tiene para el valorpresente PG,

1′000,000 = B

[

1− (1,015)120(1,022757)−120

0,022757− 0,015

]

= B [77,21] , despejando B se tiene :

B1 = B = $12951,62 primera cuota.B2 = B(1 + k)1 = $13145, 89 segunda cuota.B3 = B(1 + k)2 = $13343,08 tercera cuota.

Se puede generalizar para encontrar cualquier, cuota del gradiente geo-metrico creciente, mediante la ecuacion:

Bt = B(1 + k)t−1 (9.14)

En caso que las anualidades decrezcan en forma geometrica, cualquiercuota sera:

Bt = B(1− k)t−1 (9.15)

Ejemplo 163. Una unidad de planeacion de una ciudad desea constituirun fondo para garantizar la repavimentacion de sus vıas por 10 anos. Siel fondo renta al 18% anual y el primer ano cuestan los trabajos $1000millones, encuentre.a) El valor actual del fondo si el costo disminuye en $50 millones anuales.b) El valor actual si el costo disminuye el 10% por ano.Solucion: a) el primer caso se trata como el valor actual de un gradientearitmetico decreciente cuando R = $1000 millones, t = 10, Q = $50millones e i = 18% anual. El diagrama correspondiente es el siguiente

. . .0 1 2 9 10

i = 18%

PG

$1000 mill.

$950 mill.

Q=$50 mill.

Se usa entonces la ecuacion 9.1 pero teniendo en cuenta Q negativo


porque es decreciente, por lo tanto;

PA = 1000000000 P¬100,18− 50000000

[

P¬10−10(1,18)−10

0,18

]

= $3776463621

es la cantidad a depositar en el fondo para garantizar cumplir con elobjetivo de repavimentacion de la ciudad.b) el segundo caso es una anualidad decreciente geometrica cuando k =10% anual y de la ecuacion 9.9 se tiene,

PG = 10000000

[

1− (1− 0,1)10(1 + 0,18)−10

0,18 + 0,1

]

= $3333499784

es la cantidad a depositar en el fondo si el comportamiento es geometrico.

Ejemplo 164. a) Encuentre el valor presente de una anualidad variableque inicia en 1 y crece en 1 cada ano perpetuamente.b) Encuentre el valor presente de una anualidad variable que inicia en 1y crece en el 10% cada ano infinitamente. Suponga un i = 12% anual.Solucion: a) Se trata de una anualidad creciente perpetua aritmetica,donde R = 1, Q = 1, t→∞ e i = 12%

PA =R

i+

Q

i2=

1

0,12+

1

0,144= $77,77

b) Se trata del valor presente de una anualidad creciente geometrica-mente donde B = 1, k = 10%, i = 12%, y t→∞

PG =1

i− k=

1

0,12− 0,10=

1

0,2= $50

Ejemplo 165. Si Ud. ha depositado ahora $1000 en una cuenta deahorros y se propone aumentar los depositos en el 15% cada mes,¿Cuanto tendra despues de 3 anos a una tasa de interes del 2% mensual?Solucion: La siguiente figura muestra el comportamiento de losdepositos.

. . .

1000

0 1 2 36

i = 2%, k = 15%

SG =?

$1015

9.2. ANUALIDADES VARIABLES ESCALONADAS 155

El valor acumulado de la serie que inicia en t = 0 y continua por 3 anoso 36 meses es:

SG = 1000(1, 02)36 + 1015

[

(1,02)36 − (1,015)36

0,02− 0,015

]

= $69181, 69.

Observe que el pago en t = 0 se acumulo independientemente al final det = 36 y la base B = $1015 es el valor que aparece en t = 1. Tambiense puede tratar la serie como un gradiente geometrico a partir de t = 0y hasta t = 37, los resultados son los mismos.

9.2. Anualidades variables escalonadas

Las anualidades variables escalonadas son una serie de pagos que per-manecen constantes durante algun tiempo normalmente un ano y luegoaumentan o disminuyen aritmetica o geometricamente. La idea es que du-rante un ano los pagos son iguales y en el siguiente ano la cuota mensualaumenta y de nuevo se conserva fija dentro del respectivo ano.

Ejemplo 166.He recibido un prestamo por $1’000.000 a la tasa i = 30%efectiva anual y durante 5 anos; las cuotas mensuales son constantesdurante el ano y en cada ano siguiente crecen el 20%. Determinar elvalor de las cuotas mensuales?Solucion: Visualizamos mediante un diagrama de tiempo y efectivo, yse continua con un proceso algebraico sencillo. El siguiente es el diagramade tiempo y efectivo, serie escalonada.

. . .. . . . . .

. . .

1 millon

0 1 12 13 241 2 3 5 anos

R1 . . .R2 . . . R5 . . .

B1 B2(1,2) B5(1,2)4

Como se observa en la figura anterior en t = 0 se recibe $1 millon que


se pagara en cuotas R1 durante 12 periodos, R2 durante los siguientes12 periodos y ası sucesivamente hasta R5 para los ultimos 12 periodosdel ano quinto.El primer valor que se determina es el de B al final del primer ano, seusa la ecuacion 9.8 que corresponde al valor presente de un gradientegeometrico, donde A = $1′000,000, B =?, i = 30% y K = 20%, por lotanto

1000000 = B

[

1− (1,2)5(1,3)−5

0,3− 0,2

]

y ,

B = B1 = $303192,85, valor de la primera cuota anual, y de esta formaB2 = $363831,73 y ası sucesivamente hasta B5 = $628700,70.El segundo paso es el de encontrar las R1 cuotas para los primeros 12meses

R1 S¬120,022104 = $303192,85 =⇒ R1 = $22339, 76

Observese que se plantea el acumulado de las 12 cuotas y se usa la tasaperiodica mensual equivalente i = 2, 2104%

1 + 0,3 =

(

1 +i1212

)12

−→ i =i1212

= 2, 2104

Ahora bien la cuota R2 constante para el segundo ano es R2 = R1(1,2) =$22339,76(1,2) = $26807,71 y ası sucesivamente hasta encontrar R5.

Este sistema de anualidades variables escalonadas muy usado en losmodelos de financiacion de vivienda se deben estudiar cuidadosamente.

9.3. Anualidades variables con tasas de interesvariable.

Los pagos anuales estudiados que se comportan en gradiente aritmeticoo geometrico se les aplica una tasa de interes periodica constante. Por lotanto es necesario incluir el concepto de tasas variables de interes en ca-da periodo para los pagos periodicos variables. Un ejemplo puede generarelementos para conceptualizar sobre estos casos.

9.3. ANUALIDADES VARIABLES CON TASAS DE INTERES VARIABLE. 157

Ejemplo 167. Determinar el valor acumulado al cabo de tres anos delos depositos hechos en un banco, si el primer deposito mensual es de$1000 y cada mes se aumenta el valor depositado en el 5%. El bancoreconoce una tasa del 2% mensual para el primer ano y el 1.5% mensualde ahı en adelante.Solucion: El diagrama muestra el gradiente geometrico y la solucionmediante las ecuaciones conocidas.

. . . . . .0 1 2 12 13 36 meses

$10001005 1795.85

S=?

i1 = 2% i2 = 1,5%

Para hallar el valor acumulado al cabo de los 36 meses, primero es nece-sario hallar el valor acumulado de los primeros doce depositos a la tasai1 = 2% y el acumulado encontrado en t = 12 y los siguientes depositoshasta t = 36 se llevan con la tasa i2 = 1,5%. Si se usa la ecuacion 9.10

SG = $1000

[

(1,02)12 − (1,05)12

0,02− 0,05

]

(1,015)24 + 1795, 85

[

(1,015)24 − (1,05)24

0,015− 0,05

]

= $117,272,97

Tenga en cuenta que el valor de la cuota es t = 13 se obtiene median-te la ecuacion 9.14; R13 = 1000(1,05)12 = $1795, 85 esta cuota es labase B para la segunda serie variable en gradiente geometrico, los perio-dos se obtienen mediante diferencias del periodo final y el punto inicialcorrespondiente.

Ejemplo 168. Una ciudad debe establecer el fondo de capitalizacion de lareserva para cumplir con la obligacion del mantenimiento de su universi-dad que tiene de hecho una vida util perpetua. Los gastos se estiman en$1’000.000 el primer ano y estos crecen en un 15% cada ano a partir del se-gundo; la institucion financiera donde se establece el fondo, recibe el dineroal 25% por los primeros cinco anos y el 20% de ahı en adelante. Encuentreel valor del deposito total hecho ahora para lograr el objetivo del fondo.Solucion: El diagrama de tiempo y efectivo ayuda a la compresion y uti-lizacion de las ecuaciones correspondientes.


K=15%

5 6

$1′0001’015

2011357

1

PG=?

25% 20%

Se usa para el valor presente A la Ec 9.8 y Ec 9.12 respectivamente y setiene,

PG = 1′000,000

[

1− (1,15)5(1,25)−5

0,25− 0,15

]

+

[

2′011,357, 180,2− 0,15

]

(1,25)−5

= $16′590,815,23.

Recuerde que el pago R6 se obtuvo mediante la Ec 9.14, es decir R6 =$1′000,000(1,15)5 = $2′011,357, 18

Ejemplo 169. Una cuenta de ahorros gana interes al 6% anual concapitalizacion continua. ¿Cuanto dinero se debe depositar ahora en lacuenta, para realizar 20 retiros anuales de $1000 y si cada uno aumentacon respecto al anterior en $200?.Solucion: Este caso de gradiente aritmetico creciente a la tasa δ = 6%;el pago R = $1000 y Q = $200. Se usa la ecuacion 9.1 y teniendo encuenta las tasas continuas,

PA = 1000 P¬20+

200

i

[

P¬20− 20(1 + i)−20

]

usando (1 + i)t = et δ para este caso se tiene,

PA = $11300, 85 +200

0,061837

[

11,3− 20e−20(0,06)]

= $28368,21

Este es el valor a depositar para cumplir con lo estipulado.Alrededor del tema de anualidades se presentan muchas alternativas quedeben estudiarse haciendo planteamientos matematicos.

Ejemplo 170. Usando una TEM de 3%, halle el valor presente de lasiguiente serie del diagrama de tiempo y efectivo mensual.Solucion: Con los datos R=800; Q=-50; t=6; i=3%; puede hallarse elvalor presente de la serie en gradiente aritmetico decreciente.

9.3. ANUALIDADES VARIABLES CON TASAS DE INTERES VARIABLE. 159

PA = 800

[

1− (1,03)

0,03

−6]

− 50

0,03

[

1− (1,03)

0,03

−6−6(1+0,03)−6

]

= $3679,94

0 1 2 3 4 5 6

800750

700650

600550

Ejemplo 171. Al aplicar TEM de 4%, calcule el valor presente de laserie con rentas mensuales que varıan en la siguiente progresion geometri-ca.Solucion: La tasa de crecimiento geometrico se obtiene al dividircualquier flujo entre el anterior, por ejemplo k = 110,25

105 = 1,05%; ylos datos B=100; i=4%; t=6; se calcula con PG;

PG = 100

[

1− (1 + 0, 0105)−6(1 + 0, 04)

0, 04− 0, 0105

−6]

= $537,53

0 1 2 3 4 5 6

100105

110.25115.76

121.55127.63

Ejemplo 172. Un prestamo de $100000 debe amortizarse a un plazo deun ano con cuotas mensuales que se incrementaran en 2% y TEM de1%. Calcule el valor de la primera y segunda cuota.Solucion: Con los datos PG = 100000; i = 1%; k = 2% y t = 12,usando la ecuacion de PG se tiene:

100000 = B

[

1− (1, 02)−12(1, 01)0, 01− 0, 02

−12]

⇒ B1 = $7968, 11

B2= segunda renta = 7968,11(1,02)=$8127,48

Ejemplo 173. Un prestamo de $150000 debe amortizarse a un plazo deun ano con cuotas mensuales que se incrementan en 2% y una TEM de2%. Calcule el valor de la cuota base (primera cuota).Solucion: Con los datos PG = 150000; i = 2%; k = 2% y t = 12 puedecalcularse con la formula correspondiente si i = k


PG =tb

1 + i⇒ 150000 =

12B

1, 02⇒ B = $12750,00

9.4. Ejercicios

1. Encuentre el valor presente para la siguiente serie de pagos ası: $1000al final del primer trimestre, $2000 al final del segundo trimestre,$3000 al final del tercer trimestre, y ası sucesivamente por dos anos;la TET es de 5%

2. Encuentre el valor acumulado para la misma serie de pagos del ejer-cicio 1 y con la misma tasa de interes

3. Calcule el costo presente de una maquina cuyo precio es de US$10000y origina gastos de mantenimiento de US$1000 el primer mes, el cualse incrementa un US$200 mensualmente a partir del segundo meshasta el final de la vida util que es de 5 anos. Aplique una TNA del12% capitalizable mensualmente

4. ¿Cuanto se acumulara en un ano al efectuar depositos cada fin de mesen un banco que aplica TEM de 2%. El primer deposito al final delprimer mes es de $200000 y este se incrementa en $50000 cada mes apartir del segundo?

5. Hallar el valor de contado de un automovil que se adquirio medianteel siguiente plan:

a) Cuota inicial el 10%

b) 36 cuotas mensuales de $100000 la primera y estas aumentanen $10000 a partir de la segunda cuota. La tasa efectiva anualaplicada es el 20%

6. Una companıa necesita reservar suficiente dinero para el pago de in-demnizaciones en el futuro. El fondo debe disponer de $200 millonesdentro de 5 anos. La companıa espera reservar $50 millones al finaldel primer ano y cantidades uniformes crecientes en cada uno de loscuatro anos restantes, si las reservas aplican una TEA de 12%, en-tonces; ¿Cuanto se debe aumentar dicho valor cada ano para alcanzarla meta?

7. Una serie variable perpetua trimestre vencido de $20000 el primerpago, $25000 el segundo y ası sucesivamente a una TNA de 14% cap-italizada trimestralmente; halle el valor presente de los pagos variables

9.4. EJERCICIOS 161

8. Es necesario financiar un prestamo de $10 millones a tres anos concuotas que aumentan el 3% cada mes a partir del segundo y hasta elfinal del plazo, use ip=3.5% mensual y halle el valor de la primera,decima y ultima cuota correspondientes a la amortizacion del presta-mo

9. Una entidad bancaria otorga creditos de $1000000 a una tasa i12=24%.El prestatario tiene 5 anos para amortizar la deuda; la primera cuo-ta mensual es de $10000 al final del primer mes, encuentre el valorcorrespondiente al gradiente aritmetico primero y luego el valor delgradiente geometrico correspondientes para cancelar la deuda pactadaen el tiempo estimulado

10. Halle el valor presente de una serie de pagos vencidos, donde elprimero es de $50000 y cada uno decrece en el 1% a partir del segun-do, suponga TEA de 30% y plazo 24 meses

11. Una serie variable perpetua trimestre vencido de $20000 el primerpago y esta crece en el 10% cada trimestre a partir del segundo, si laTET es de 5%, halle el valor presente de la serie

12. Una empresa esta formando un fondo que le permita dentro de unano adquirir una maquina automatica para lo cual decide depositaren un banco cada fin de mes $100000 y este disminuira en $2000 cadames a partir del segundo si los depositos perciben una TNA 12%capitalizable mensualmente. ¿Cuanto tendra al final del ano?

13. Una entidad financiera ofrece creditos de $ 1 millon para compra debienes de consumo general a 5 anos y TEA de 30% las alternativas aestudiar son las siguientes:

a) Cuotas iguales vencidas

1) Halle el valor de cada cuota

2) Calcule el valor acumulado del credito

b) Los pagos mensuales crecen en $500 cada mes a partir de segundo

1) Halle el valor de la primera cuota, segunda y decimo segundacuota

2) Calcule el valor pagado al final del credito

c) Si las cuotas son iguales, pero se hacen dos pagos extraordinariosde $100000 cada uno a final del mes 24 y 48 respectivamente,halle el valor de las cuotas


d) Las cuotas crecen a partir de la segunda en el 2%

1) Halle el valor de la primera, segunda y decima segunda cuota

2) Calcule el valor pagado al final del credito

14. ¿Cuanto tiempo tardara un fondo de ahorros en acumular $500000, sise depositan $10000 al final del primer ano y la cantidad del depositoaumento en 10% cada ano a partir del segundo. Use TEA de 15%?

Capıtulo 10

Esquemas y fondos deamortizacion

10.1. Introduccion

Los prestamos que otorgan las entidades financieras, estan sujetos alpago las de cuotas de las formas estudiadas; es conveniente por lo tan-to establecer mediante algun metodo la manera como se va afectando elprestamo con los pagos periodicos. Este proceso en general se llama amor-tizacion.

Existen varias formas de amortizacion, o reembolso de un prestamo quees importante discutir.

1. El metodo de amortizacion. En este metodo el prestatario reembolsala deuda al prestamista mediante cuotas periodicas.

2. El metodo del fondo de amortizacion. En este metodo el prestatarioreembolsa al prestamista mediante una suma total al final del plazodel prestamo y paga al prestamista el interes periodico correspondi-ente. Para que el prestatario cumpla con el compromiso de obtener lasuma global del prestamo, este constituye un fondo llamado fondo deamortizacion donde deposita dinero periodicamente hasta acumularel valor total de la deuda y cancelarla.

Es necesario en este capıtulo 10 contestar algunas preguntas concernientesa los metodos nombrados.

- ¿Como se determina el capital adeudado o el saldo de la deuda encualquier periodo t?

- ¿Como se descompone un pago hecho por el prestatario, en reembolsode capital y pago de interes?

163

164 CAPITULO 10. ESQUEMAS Y FONDOS DE AMORTIZACION

10.2. Determinacion del capital adeudado

Si una deuda se paga por cuotas es decir por el metodo de amortizacion,el valor presente de esas cuotas es igual a la cantidad del capital en la fechaen que se adquiere la deuda. Por lo tanto el capital adeudado en cualquiermomento despues de la fecha en que se obtiene la deuda se puede encontrarmediante dos metodos: el metodo prospectivo y el metodo retrospectivo.

En el metodo prospectivo el capital adeudado en cualquier periodo t esigual al valor presente en esa fecha de los pagos restantes del credito.

En el metodo retrospectivo el capital adeudado en cualquier periodo t esigual al capital original acumulado en la fecha t, menos el valor acumuladoa esa fecha de todos los pagos hechos previamente.

Los dos metodos son equivalentes y la utilizacion del uno u otro dependeprincipalmente de la informacion del problema y cual lo facilite mas.

Ahora consideremos el valor presente P¬nde un prestamo que debe reem-

bolsarse con pagos de 1 al final de cada ano durante n anos, se desea conocerel capital adeudado t anos despues de la fecha en que fue contraida la deuda(t < n).

La notacion para el metodo prospectivo es Bpt entonces,

Bpt = P ¬

n−t(10.1)

El valor presente equivalente retrospectivamente se denota por

Brt = P¬

n(1 + i)t − s¬

t(10.2)

La Ecuacion 10.2 es el valor presente de los pagos hechos retrospectiva-mente.

Se puede mostrar la equivalencia entre las ecuaciones 10.2 y 10.1,

Brt = P¬

n(1 + i)t − s¬

t=

[

1− (1 + i)−1

i

]

(1 + i)t −[

(1 + i)t − 1

i

]

=

[

(1 + i)t − (1 + i)−(n−t)(1 + i)t + 1

i

]

=

[

1− (1 + i)−(n−t)

i

]

= s ¬n−t

= Bpt

Observe que (1 + i)−n(1 + i)t = (1 + i)−(n−t). Esto se pueden ver en laFigura 10.1

Se observa el saldo (1 + i)−n en el periodo t por ambos metodos cuyosvalores son equivalentes y se usan de acuerdo a la naturaleza del problema.

10.3. ESQUEMAS DE AMORTIZACION 165

P¬n

0 1 2 3 t

P ¬n−t

n-1 n

1 1 1 P¬n(1 + i)t − s¬

t1 1. . .

. . .

. . .

Figura 10.1: Un diagrama para visualizar los metodos para saldos

Ejemplo 174. Una deuda se recupera con 10 pagos de $500 cada unoal final de cada ano. Suponiendo una tasa efectiva anual del 7%, hallarel capital adeudado en el cuarto ano, usando los dos metodos.Solucion: El punto donde se debe hallar el saldo de la deuda es t = 4por lo tanto,

Bp4 = 500 P ¬

10−40,07 = 500 P¬

60,07 = $2,383,27; y

Br4 = 500 P¬

10(1,07)4 − 500 s¬

4= $2,383,27.

Como se observa mediante ambos metodos obtenemos de hecho el mismosaldo.Se agrega a este ejercicio que el prestatario hace un abono extraordinariode $800 en el periodo cuatro y luego cancela el saldo en un periodo de5 anos, con nueva cuota o pago anual revisado, hallar este valor.Al final del cuarto ano se adeudan $2383.27, a este saldo se le resta lacuota extraordinaria de $800; por lo tanto el nuevo saldo es 1583.27.Si R indica la nueva cuota revisada por cinco anos se tiene R P¬

5=

$1,583,27 =⇒ R = $386,14; este es el valor de la nueva cuota a pagar.

10.3. Esquemas de Amortizacion

Cuando una deuda es cancelada por el metodo de amortizacion, cadapago se descompone en un abono capital y en abono a interes. En estaseccion se muestra la forma como se descompone la cuota correspondientea un prestamo.

Un esquema de amortizacion es una tabla donde se muestra la divisionde cada pago entre principal e interes.


Ejemplo 175. Considerar un prestamo cuyo valor presente es P¬t, la

cuota es 1 al final de cada uno de los t periodos, la tasa de interes es ipor periodo. Muestre en un esquema o tabla del comportamiento generaldel prestamo.Solucion: El cuadro 10.1 muestra cada columna con su respectivo nom-bre ası: periodos, cantidad pagada o cuota, interes pagado, principalamortizado, saldo o balance.Es importante entender muy bien el cuadro 10.1 para manejarlo sis-tematicamente si se desea y poder introducir alternativas.

Para facilidad del manejo del cuadro 10.1 asuma v = (1 + i)−1 . . . vn =(1 + i)−n

Perıodo Cantidad Interes Principal Saldo opagada pagado amortizado balance

0 P¬n

1 1 i P¬n= 1− vn vn P¬

n− vn = P ¬

n−1

2 1 i P ¬n−1

= 1− vn−1 vn−1 P ¬n−1

− vn−1 = P ¬n−2

......

......

...t 1 i P ¬

n−t+1= 1− vn−t+1 vn−t+1 P ¬

n−t+1− vn−t+1 = P ¬

n−t

......

......

...n− 1 1 i P¬

2= 1− v2 v2 P¬

2− v2 = P¬

1

n 1 i P¬1= 1− v v P¬

1− v = 0

Cuadro 10.1: Esquema de amortizacion para un prestamo de P¬n

Si estudiamos detenidamente el cuadro 10.1 se puede observar lo si-guiente; en periodo n = 0, o momento inicial lo unico que tenemos es elsaldo o balance que corresponde a P¬

n; el siguiente renglon cuando n = 1, se

tiene: cantidad pagada 1 que es la cuota, el interes pagado es igual a la tasai por el saldo del anterior periodo en este caso i P¬

n= 1− vn, por lo tanto

la cantidad amortizada es vn y el nuevo saldo es P¬n− vn que es el anterior

saldo menos la amortizacion. De la misma forma se procede en todos losrenglones, observese que los saldos de la ultima columna se hallaron por elmetodo prospectivo.

Ejemplo 176. Supongamos que un prestamo de $10.000 debe ser pa-gado en cuatro anos mediante pagos iguales a una tasa del 10% anual.Encontrar el valor de la cuota y mostrar en una tabla el esquema deamortizacion. ¿Como cambia el problema si existe un abono


extraordinario de $1.500 en el periodo n = 2 y el saldo se paga en tresanos mas?.Solucion: Para la primera parte la cuota es: R P¬

40,1 = 10,000 =⇒ R =

$3154,70El esquema de amortizacion es el siguiente

Perıodos Cantidad Interes Principal Saldo opagada pagado amortizado balance

0 10.0001 3154.70 1000 2154.70 7.845.302 3154.70 784.53 2370.17 5475.133 3154.70 547.51 2607.18 2867.944 3154.70 286.79 2867.94 0

Revise en este caso particular el procedimiento seguido en el ejemploanterior y obtenga si es posible los mismos datos en la calculadora fi-nanciera.Para la segunda parte del esquema de amortizacion hasta el periodo n =2, el saldo se cambia por el abono extraordinario de $1.500; este nuevosaldo es $3975.13 es el valor presente para hallar las nuevas cuotas paratres anos ası

R P¬30,1 = $3975,13 =⇒ R = $1598,45.

El nuevo esquema es:


0 $10.0001 3154.70 1000 2154.70 7845.302 3154.70 784.53 2370.17 5475.13-1500=3975.133 1598.45 397.51 1200.94 2774.184 1598.45 277.41 1321.03 1453.145 1598.45 145.31 1453.13 0

Estos esquemas son importantes para expresar con seguridad lo quepuede suceder periodo a periodo con un prestamo comun y corriente.

Ejemplo 177. Una deuda de $1000 es cancelada mediante pagos anualesde $200 por tanto tiempo como sea necesario, mas un pago menor al final,suponga i = 12% anual. Hallar el capital amortizado mas el interes delquinto pago.


Solucion: Hallar una respuesta sin necesidad de encontrar el numerode periodos. Primero hallamos el saldo retrospectivamente en el cuartopago

Bs4 = 1000(1,12)4 − 200 s¬

40,12 = $617,65

Ahora se encuentra el interes del quinto pago617,65(,12) = $74,11

El capital amortizado en el quinto pago es $200 - 74.11 = $125.88.Un poco de cuidado y se puede plantear problemas utiles del sistemafinanciero.

Ejemplo 178. Un prestamo por $1’000.000 a diez anos y tasa del 25%anual efectiva y cancelado mediante cuotas anuales iguales, en los dosprimeros anos no se pagan cuotas (periodo de gracia), pero se aplicanintereses. Establecer la cuota correspondiente y el esquema de amorti-zacion.Solucion: Este problema es el de un pago de cuotas diferidas a dos anos,veamos la siguiente figura:

$1000000

0 1 2 3 4 10i=25%

R=?

Como se observa es un caso diferido a dos anos,

1000000 = R P¬80,25v2 = R

[

1− (1,25)−8

0,25

]

(1,25)−2 =⇒ R = $469372,66.

El esquema de amortizacion es el siguiente,


0 1’000.0001 0 −250,000 (−250,000) 1’250.0002 0 −312,500 (−312,500) 1’562.5003 469.372.66 → 390.625 78.347.66 1’483.7524 469.372.66 →370.938 98.434.66 1’385.317...

...

9 469.372.66...

10 469.372.66 0


Ejemplo 179. Establecer las respectivas cuotas y el esquema de amorti-zacion por un prestamo de $1000000 y plazo de 12 periodos trimestrales;dos trimestres como periodo de gracia sin pagar cuotas e intereses; en losdos periodos siguientes al periodo de gracia solamente cuotas por interesR1; una cuota extraordinaria de $100000 en n = 6; y 8 cuotas ordinariasde valor R2, tasa i4 = 22%.Solucion: El diagrama de tiempo y efectivo ayuda a simplificar y vi-sualizar la informacion del problema, para luego usar ecuaciones variaspara obtener la solucion.

$1 millon

0 1 2 3 4 5 6 7 . . .

. . .

12 trimestresi=22%

R1 R1 R1 R2 R2 R2

$1000000

Proceso: (1) Se calcula R1 que corresponde solamente a interes de cadatrimestre.R1 = $1000000(0,055) = $55000; el saldo en el periodo 4 es el mismo1000000 y corresponde al valor presente para las 8 cuotas restantes.

$1000000 = R2 P¬80,055 + 100000(1,055)−2 =⇒ R2 = $143680,68.

En resumen los dos semestres corresponden al periodo de gracia sin cuo-tas e intereses; en los dos siguientes trimestres se paga el costo del interesR1 = $55000 cada trimestre y por los 8 pagos trimestrales restantesR2 = $143,680, 68.


0 1’000.0001 0 0 0 1’000.0002 0 0 0 1’000.0003 55000 55000 0 1’000.0004 55000 55000 0 1’000.0005 143680.68 55000 88680.68 911.319.316 143680.68 50122.56 193558.12 717761.197 143680.68 39476.86 104203.81 613.557.3712 143680.68 0


Ejemplo 180. Un credito individual otorgado por una entidad fi-nanciera por $1’000.000 a un plazo de 10 anos, se le aplica un IPC (ındicede precios al consumidor) anual de 17% y tasa efectiva i = 10% anu-al, el aumento mensual de cada cuota es de $25 despues de la primera.Determine el valor de la primera cuota y saldo en la cuota 12 y 60.Solucion: El valor presente del credito de $1’000.000 se paga en 120cuotas mensuales variables, la correccion monetaria se considera cons-tante; sin embargo en la practica la correccion monetaria cambia cadames.La tasa efectiva anual combinada por correccion monetaria y tasa deinteres esta dada por: 1 + i = (1 + 0,17)(1 + 0,10) =⇒ i = 28, 7% anualy si rm = tasa mensual equivalente =⇒ rm = 2,1249% se usan 4 o masdecimales para asegurar buenas respuestas.El siguiente diagrama de flujo de efectivo muestra el comportamiento,

PA=$1 millon

R1 R2 R3

. . .

. . .10 anos

i=28.7%

rm = 2,144% 120 meses

Se plantea por lo tanto la ecuacion del valor,

1000000 = R P ¬120

0,021249 +25

0,021249

[

P ¬120− 120(1,021249)−120

]

y haciendo operaciones cuidadosamente se tiene,

R =R1 = $22186,96 primera cuota

R2 = R1 + 25 = $22211,96 segunda cuota

R3 = R1 + 2(25) = $22236,96 tercera cuota

...

R50 = R1 + 49(25) = $23411,96

...

R120 = R1 + 119(25) = $25161,96 ultima cuota

Observese que las condiciones no varıan.Los saldos correspondientes al periodo 12 y 60 respectivamente se ob-tienen mediante el metodo retrospectivo;


BF12 = 1000000(1 + 0,021249)12 −

[

22,186, 96 s¬12+

25

0,021249

[

s¬12− 12

]

]

= $971452,30 y,

BF60 = 1000000(1 + 0,021249)60 −

[

22,186, 96 s¬60+

25

0,021249

[

s¬60− 60

]

]

= $818731,22

Estos dos saldos muestran el comportamiento del saldo en diferentesperiodos.

Ejemplo 181. Un prestamo de $1’000.000 y plazo a 10 anos se can-cela mediante cuotas mensuales que crecen en el 1.2% mensual a partirdel segundo mes, la correccion monetaria es del 17% anual efectiva y latasa de interes el 10% anual efectiva. Determine el valor de las cuotasB1, B2, B3, . . . , B60 y B120; halle los saldos del credito en los periodos12 y 60, la composicion de las cuotas B1, B2, B60 y grafica del compor-tamiento de los saldos y esquema de amortizacion.Solucion: El $1’000.000 se paga a 120 cuotas variables en gradientegeometrico. La tasa efectiva anual combinada es la siguiente,

1 + i = (1,17)(1,1) =⇒ i = 28,7%, o rm = 2, 1249% = tasa mensual

El diagrama de tiempo y efectivo es similar a la figura del ejemplo an-terior con crecimientos geometricos.La ecuacion del valor presente para encontrar B = R1 es:

1′000,000 = B

[

1− (1 + ,0012)120(1 + 0,021249)−120

0,02149− 0,012

]

.

Observese que i 6= k =⇒ B = $13,921,70.

B1 = B = $13,921,70 primera cuota.

B2 = 13921,70(1,012)1 = $14088,76 segunda cuota.

...

B12 = 13921,70(1,012)11 = $15873, 69.


...

B60 = 13921,70(1,012)59 = $28,141,20.

B61 = = $28,748, 88.

...

B119 = = $56,884, 34.

B120 = 13921,70(1,012)119 = $57,566, 98.

Es importante analizar con cuidado el crecimiento de las cuotas res-pectivas en gradiente geometrico. Los saldos solicitados retrospectiva-

mente son los siguientes:

Br12 = 1′000,000(1,021249)12 − 13921,70

[

(1,021249)12 − (1,012)12

0,021249− 0,012

]

= $1′086,646, 50

Br60 = 1′000,000(1,021249)60 − 13921,70

[

(1,021249)60 − (1,012)60

0,021249− 0,012

]

= $1′295,226, 31

Este es un buen metodo para hallar saldos en general.

Se observa un mayor crecimiento de los saldos por el efecto de las cuotasiniciales un poco reducidas; este ejercicio se debe realizar de nuevo con unacorreccion monetaria del 25% anual y ver como cambia las cuotas y lossaldos.

Para determinar la composicion de las cuotas R1, R2 y R60, es necesariohallar en forma independiente la tasa mensual de interes y de correccionmonetaria.

Si i = 10% efectiva anual ⇒ im = (1,1)1/12 − 1 = 0,7974% mensual

Si r = 17% efectiva anual ⇒ im = (1,17)1/12 − 1 = 1, 3170% mensual.

En cada cuota amortizada se debe pagar el total del interes mas lacorreccion monetaria y el resto amortizar a la deuda, esto se puede sintetizarde la siguiente forma para la primera cuota:

Interes sobre el saldo anterior (1′000,000) (0,007974) = $7974, 00

Correccion monetaria sobre el saldo e intereses (1′000,000) (1,007974)(0,013170) = $13275, 01.

Total de costos financieros para el primer mes (no incluye seguros),


$7974, 00+$13275, 01 = $21249, 01; el saldo al final del mes inmediatamenteantes de cancelar la primera cuota es $21249.01; al restar la primera cuota$13921.70 el nuevo saldo es $1’007.327.31.

Para el segundo mes se tiene:

Interes sobre el saldo anterior (1′007,327, 31) (0,007974) = $8032, 42

Correccion monetaria sobre el saldo e intereses (1′007,327, 31) (1,007974)(0,013170) = $13372, 28

Total de costos financieros para el segundo mes $8032, 42+$13372, 28 =$21404, 71;

Este procedimiento continua hasta el t = 120 meses. Ahora vemos elcomportamiento general del caso en el cuadro 10.2

Perıodos Cantidad Interes Principal Saldo opagada Costo Financiero amortizado balance

0 1’000.0001 13921.70 21249.01 (7327,30) 1’007.327.302 14088.76 21404.96 (7315,93) 1’014.643.23...

......

......

12 1’086.646.5013 16064.17 23.090.15 (7025, 98) 1’093.672.48...

......

......

60 28141.20 1’295.226.3161 28478.88 27522.26 956.62 1’294.269.69...

......

......

......

......

...119 56.884.34 56.206.67120 57.566.96 1194.33 56206.67 0

Cuadro 10.2:

En el t = 120 existe aproximacion por el juego de decimales por lo queno existe problema. Es importante ver que la amortizacion para este casodesde el periodo 1 hasta el periodo 59 es negativa y por lo tanto el saldo dela deuda aumenta en vez de disminuir.

En la figura 10.2 se muestra el comportamiento grafico de las cuotasdel ejemplo anterior que tienen un crecimiento exponencial; ahora veamostambien el comportamiento de los saldos del prestamo de $1’000.000.

En la figura 10.3 se observa el crecimiento de los saldos, hasta cerca at = 60 cuando estos inician su decrecimiento hasta t = 120, donde el saldoes 0 en condiciones normales.


1 2 3 4 5 6 . . . t meses

10

20

30

40

50

60

70cuotas

•

Figura 10.2: Grafica del comportamiento exponencial de las cuotas

1 2 3120

12. . . 24. . . 60. . . t meses

1´000

1´200

1´300saldo

••

Figura 10.3: Grafica del comportamiento de los saldos

10.4. FONDOS DE AMORTIZACION 175

10.4. Fondos de Amortizacion

Un fondo de amortizacion es un sistema alternativo para cancelar unadeuda mediante el pago de una suma global al final de un periodo especıficode tiempo. La idea es acumular en un fondo que sera suficiente para cancelarexactamente el prestamo al final del peroodo especıfico de tiempo, estefondo se llamara. Fondo de amortizacion.

En la practica es comun que el prestatario pague el interes periodica-mente sobre el saldo de la deuda es decir, paga el servicio de la deuda.Ahora bien, si la tasa de interes pagado sobre la deuda es igual a la tasaganada por el fondo de amortizacion, entonces el procedimiento del fondode amortizacion es equivalente al metodo de amortizacion. Consideremosun prestamo total de 1 que se paga durante t periodos.

Al utilizar la ecuacion basica de valor presente y dado v = (1 + i)−1 setiene ;

P¬ti = 1−vt

i ⇒ i P¬t= 1− vt =⇒ i = 1

P¬t

− vt

P¬t

=⇒1P¬

t

= vt

P¬t

+ i = 1P¬

t

/vt + i =⇒ 1P¬

t

= 1s¬t

+ i.(10.3)

Una explicacion sencilla es la siguiente:

1 ≡ Cantidad prestada

O sea que R1 P¬t= 1 y R2 s¬

t= 1, entonces

R1 =1P¬

t

cantidad necesaria en cada pago para amortizar el prestamo

R2 = 1s¬t

deposito periodico para acumular el prestamo al final del

periodo t = i ; i cantidad de interes pagado por periodo.

En general si el valor inicial del prestamo es cualquiera k, la ecuaciongeneral para el Fondo de Amortizacion sera:

k

P¬t

=k

S¬t+ ki

(10.4)


Ejemplo 182. Un prestamo de $1000 a una tasa del 20% anual efectivoy durante cuatro anos. Halle a) La cuota por el metodo de amortizacionb) El valor del deposito en el fondo de amortizacion y el interes periodicoa pagar c) Muestre los resultados en un esquema de amortizacion.Solucion: El proceso tradicional de encontrar la cuota R1.a) R1 P¬

40,2 = 1000 =⇒ R1 = $386,28.

b) R2 s¬40,2 = 1000 =⇒ R2 = $186,28.

I = 1000(0,2) =⇒ I = $200.Por lo tanto bajo la ecuacion 10.4 se tiene.

1000

P¬40,2

=1000

s¬40,2

+ 1000 i =⇒ R1 = R2 + 1000(0,2)

es decir que $386,28 = $186,28 + $200. Observese que R2 es la cantidadque va al fondo o sea $186.28, y $200 se entregan al prestamista porconcepto de interes.c) Esquema de amortizacion.

Perıodos Interes Deposito Interes ganado Cantidad Cantidadpagado fondo en el fondo acumulada neta de prestamo

0 10001 200 186.28 0 186.28 813.722 200 186.28 37.25 409.81 590.193 200 186.28 81.96 678.05 321.954 200 186.28 135.61 999.95 0

Comentario. Se puede ver que el interes pagado va para el prestamistaigual durante los cuatros periodos, y el deposito en el fondo es igual durantelos cuatro periodos; pero a partir del segundo periodo el deposito ganainteres. Al final de los cuatro periodos se acumula suficiente dinero parapaga el prestamo.

Ahora se considera el caso donde la tasa de interes ganada por el fondodifiere de la tasa de interes pagada por la deuda.

Si i es la tasa de interes pagado por el prestamo y j es la tasa de interespagada por el prestamo; la ecuacion equivalente a la ecuacion 10.3 es

1

P¬ti∧j

=1

s¬nj+ i (10.5)

esta cuota 1P¬

ti∧J

sirve para pagar a la tasa i el prestamo al final de t

anos. Algebraicamente se puede encontrar lo siguiente:

10.4. FONDOS DE AMORTIZACION 177

1

P¬ti∧j

=1

s¬tj+ i =

1

P¬tj+ (i− j) (10.6)

o tambien,

P¬ti∧j =

P→t¬0,5

1 + (i− j) a¬t0,5

(10.7)

Notese que si i = j =⇒ P¬ti∧j = P¬

tj

Si k es el valor general del prestamo entonces la ecuacion general sera,

k

P¬ti∧j

=k

s¬tj+ ki (10.8)

Ejemplo 183.Solucion:Un prestamo de $1000 durante cuatro periodos a una tasa i = 10%se puede pagar en una sola cuota al final del tiempo, constituyendo unfondo que paga un interes j = 8%. Establezca el esquema del fondo deamortizacion.Se aplica la ecuacion 10.8 para saber cual es el valor de la cuota conjuntaası:

1000

P¬4,1∧,08

=1000

s¬4,08

+ 1000(,1) = 221,92 + 100 = $321,92.

Perıodos Interes Deposito en Interes ganado Acumulado en Cantidad netapagado fondo en el fondo el fondo del prestamo

0 1.0001 100 221.92 0 221.92 778.082 100 221.92 17.75 461.59 538.413 100 221.92 36.93 720.44 279.554 100 221.92 57.63 1000 0

Ejemplo 184. El Sr. Rodrıguez pide un prestamo por $10.000, unprestamista le ofrece un prestamo que debe ser cancelado al final decuatro anos, el 5.5% es pagado sobre el prestamo y el prestatario acu-mula en un fondo a una tasa del 5%. Otro prestamista ofrece el dineropor cuatro anos en el cual el prestatario cancela el capital por cuotas.Hallar la mayor tasa de interes que este prestamista puede cobrar de


manera que para el prestatario sea indiferente cualquiera de las dosofertas.Solucion: a. Teniendo en cuenta la oferta del fondo de amortizacion ymediante las ecuaciones correspondientes,

10000

P¬4,055∧,05

=10000

s¬4,05

+ 10000(,055) = $2870,10

que es la cuota total que debe separar el para interes y el deposito en elfondo.b. Ahora bajo el sistema de cuotas el prestamista cobrarıa la tasa i,donde la ecuacion de valor es;

2870,10 P¬4i = 10,000 =⇒ P¬

4i = 3, 4842.

Usando ensayo y error e interpolando i = 5, 76% es la mayor tasa deinteres mediante este proceso para (a) y (b), se ha mostrado que:

P¬4,055∧,05 = P¬

40,0576.

10.5. Amortizacion creditos de vivienda UVR

Es necesario tratar el desarrollo matematico del financiamiento de loscreditos de vivienda, puesto que su adquisicion corresponde a una decisionfundamental al individuo o grupo familiar. Puesto que los anos del creditoson de 12 o mas en la mayorıa de los casos, esta implicada una parte de lavida de las personas.Se desarrollan los metodos para calcular las cuotas y se ejemplariza parasu seguimiento con datos actuales al respecto y se usan las ecuaciones tra-bajadas con anterioridad.El credito de vivienda debe estar destinado a la compra de vivienda nuevao usada, a la construccion de vivienda individual, o para hacer reparacioneso mejoras a la vivienda. Es necesario constituir una garantıa hipotecariade primer grado sobre el bien que se va adquirir a favor de la entidad fi-nanciera que otorga el prestamo y la vivienda otorgada. Se debe asegurarcontra riesgos de incendio, terremoto y tomar un seguro de vida.Existen dos formas de financiar la vivienda:

Financiacion en pesos : El prestamo se otorga en pesos y se amortizaen pesos; no se capitalizan los intereses, es decir que con cada cuotapagada siempre se disminuye el saldo del prestamo, ası sea al principio

10.5. AMORTIZACION CREDITOS DE VIVIENDA UVR 179

baja; la tasa de interes es constante a lo largo del prestamo.Es importante tener en cuenta que la primera cuota del prestamo nopodra ser superior a 30% de sus ingresos familiares, entendidos estoscomo los recursos que pueden acreditar los solicitantes del credito,siempre que sean del grupo familiar.

Financiacion en unidades de valor real UVR: El credito se otorga en“unidad de valor real”(UVR), la cual se ajusta al ındice de precios alconsumidor (IPC), como se desarrollo anteriormente.Las cuotas (amortizacion mas intereses) se calculan en UVR, perosu valor se convierte en pesos, utilizando el valor de la UVR vigenteen la fecha de corte. Este caso no tiene capitalizacion del interes enUVR y la tasa de interes en UVR permanece constante durante lavigencia del credito, a excepcion de alguna disminucion de la misma;la utilizacion de la UVR es equivalente a capitalizar la inflacion dıa adıa.

10.5.1. Metodo general para encontrar cuotas (amortizacione intereses)

Se deben tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Definir la unidad de cuenta bajo la cual se va a manejar el credito(UVR, pesos).

2. Establecer plazo del credito entre 5 y 30 anos.

3. Definir la tasa de interes del credito, que se mantendra constantedurante la vigencia.

4. Establecer el sistema de amortizacion (constante en pesos o UVR,por ejemplo).

5. Calcular el interes a pagar, los cuales se estiman sobre el saldo delcredito al comienzo del mes para el cual se va a pagar la cuota.

6. Determinar el valor de la cuota a pagar, sumando la amortizacion acapital mas los intereses del periodo, calculados estos ultimos sobreel saldo al comienzo del periodo.

7. Establecer una ecuacion que genere la cuota de cada mes, consideran-do amortizacion a capital y pago a interes.


8. Plantear una equivalencia o ecuacion de valor entre el valor presentede todas las cuotas mensuales, descontadas a la tasa mensual equiva-lente a la tasa efectiva anual del credito.

9. A partir de la ecuacion de valor, se establece el valor de cada cuotapara cada mes de la vigencia del credito, en la unidad de cuenta quese haya escogido (pesos, UVR).

10.6. Sistemas de amortizacion

10.6.1. Cuota constante en pesos

Corresponde al sistema tradicional de pagos periodicos uniformes ven-cidos, es decir la cuota se mantiene constante durante la vigencia delcredito, de hecho no depende directamente del ındice de inflacion; amedida que se amortiza el saldo de la deuda, disminuye el interespuesto que la tasa de interes correspondiente se aplica sobre el saldodel credito.

Este sistema exige un esfuerzo mayor en terminos reales al comienzodel credito y disminuye al final. Cada cuota contiene amortizacion ypago de interes; no utiliza por lo tanto capitalizacion de interes. Secalcula como una serie uniforme ordinaria.

. . .

. . .0

D

1 2 3

R = Cuota

t

10.6. SISTEMAS DE AMORTIZACION 181

Simbologıa y su significadoD : Valor del prestamo en pesos (monto).Rp : Valor de la cuota mensual uniforme en pesos.t : Plazo en meses del credito.i : Tasa maxima para credito en pesos.ip : Tasa mensual equivalente (periodo mensual).

Por lo tanto segun modelos estudiados anteriormente

D = Rp

[

1− (1 + ip)

ip

−t]

⇒ Rp = D

[

ip1− (1 + ip)−t

]

(10.9)

Datos para un ejemplo para todos los casos de amortizacion de loscreditos de vivienda.

Supuestos utilizados

Monto del prestamo$1000000 Plazo: 180meses (15 anos)

Tasa de inflacion anualusada para el ejerci-cio. Como ejemplo:IPC=10%(durante15anos)

El valor de la cuo-ta incluye: amorti-zacion e intereses

Tasa maxima paracreditos UVR:13.92%, efectivaanual

Tasa maxima paracreditos en pesos13.92%+10%=23.9%(interes + inflacion)

No incluye: segurosde incendio, vida,terremoto.

Ejemplo 185.Para cuota constante en pesos, usar supuestos utilizadosy halle el valor de las cuotas y un esquema donde se visualicen algunasfilas del esquema basicas.Solucion: Con los datos supuestos y tasa maxima para creditos devivienda actual 23.92% (interes + inflacion). Se encuentra con los mo-

delos de equivalencia que ip=(1.2392)112 -1=1.8033%; se usa la ecuacion

12.7 para cuota en pesos Rp, se tiene:

Rp = 1000000

[

0,018033

1− (1,018033)−180

]

= $18785,68


Las cuotas todas son iguales y se genera por lo tanto un esquema deamortizacion:

ESQUEMA-EJEMPLO

Cuota constante en pesos

Periodos Cuota Interes Amortizacion Saldo

0 10000001 18786 18033 753 9992472 18786 17933 766 998461...

......

......

13 18786 17853 933 989081...

......

......

60 18786 16625 2161 919752

Como se observa esta es una muestra del comportamiento del credito.

10.6.2. Amortizacion constante a capital en pesos

Las cuotas mensuales son iguales a la t-esima parte de la deuda masel interes del mes calculado sobre el saldo insoluto. De esta forma, lascuotas mensuales en pesos son decrecientes.


D : Monto de la deuda en pesos.t : Plazo en meses del credito.i : Tasa maxima para creditos en pesos.ip : Tasa mensual equivalente a i.Rj : Cuota en pesos a la altura de J , J = 1, 2, 3, ..., t.

Sj−1 : Saldo a la altura j − 1.

Las cuotas definidas en el presente numeral corresponden unica yexclusivamente al servicio de la deuda en condiciones normales. Porlo tanto se tienen las siguientes ecuaciones

Sj−1 = D − (j − 1)D

t(10.10)

saldo de la deuda a la altura J − 1 y el valor de la cuota al final del


j-esimo mes esta dada por:

Rj =D

t+ ip

[

D − (j − 1)D

t

]

(10.11)

Se asume que la tasa de interes es constante durante la vigencia delcredito y el valor de la cuota a pagar disminuye cada mes en la medidaque avanza la amortizacion del credito.

Ejemplo 186. Para amortizacion constante a capital en pesos, usar lossupuestos utilizados y halle el valor de las cuotas y un esquema dondese visualicen algunas filas basicas.Solucion:Con los datos supuestos y la tasa maxima para creditos devivienda en pesos del 23.92% y ip = 1,8033%, se tiene:

R1 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− 0Dt

]

= $23588,39

R2 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− (1) 1000000180

]

= $23488,20

...

R13 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− (13− 1) 1000000180

]

= $22386,20

...

R180 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− (179) 1000000180

]

= $5655,71

ESQUEMA-EJEMPLO

Amortizacion constante a capital en pesos


0 10000001 23588 18033 5556 9944442 23488 17933 5556 988889...

......

......

13 22386 16831 5556 927778...

......

......

60 17678 12122 5556 666667Este esquema es una muestra del comportamiento del credito y el interespagado se obtiene de ip poe el saldo insoluto del periodo inmediatamenteanterior.


10.7. Lıneas en UVR

10.7.1. Cuota constante en UVR (Sistema de amortizaciongradual)

La cuota mensual constante en UVR, es la lınea mas sencilla de concebiren UVR y se calcula como una serie uniforme en UVR a la tasa maximapara creditos en UVR y por los meses del plazo.


D : Monto del prestamo en UVR.Ru : Cuota mensual uniforme en UVR.

t : Plazo del credito en meses.i : Tasa maxima para creditos en UVR.ip : Tasa mensual o equivalente periodica a la tasa i.

Ahora bien, puesto que es una serie uniforme periodica se tiene:

D = Ru

[

1− (1 + ip)

ip

−t]

⇒ Ru = D

[

ip1− (1 + ip)−t

]

(10.12)

El valor de Ru varia mensualmente de acuerdo al comportamiento de laUVR que varia de acuerdo al comportamiento del IPC; es de notar que elsaldo de la deuda en UVR, aunque el comportamiento en pesos es crecienteaproximadamente por las dos terceras partes del plazo del credito.

Ejemplo 187. Para cuota constante en UVR a partir deUV R15|septiembre|2000 = 111,3322

Solucion: Con los datos supuestos, UVR dada e ip = (1,1392)112 − 1 =

1,0920, las ecuaciones correspondientes y D = 100000111,3322 = 8982,13

R4 = D

[

ip1− (1 + ip)−180

]

= 8982,13

[

0,010920

1− (1 + 0,010920)−180

]

= 114,26

Si la UV R24|octubre|2000 = 112,479Ru11 = (114)(112,479) = $12822Ru13 = (12822)(1,1) = $14104...Ru180 = (12822)(1,1)(14+

1112

) = $53,137

10.7. LINEAS EN UVR 185

En la tabla siguiente se observa que en UVR disminuye la deuda con-tinuamente, en cambio en pesos la cuota aumenta hasta las dos terceraspartes del plazo del credito.

ESQUEMA-EJEMPLO

Cuota constante en UVRPeriodo Valores en UVR Valores en pesos

Cuota Interes Amortiz. Saldo Cuota Interes Amortiz. Saldo0 8982 10000001 114 98 16 8960 12822 11007 1815 10061532 114 98 16 8949 12924 11073 1850 1012332

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.13 114 96 18 8757 14104 11829 2275 1081041

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.60 114 84 31 7621 20487 14982 5505 1366492

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.179 114 2 112 113 52137 1133 51584 52148

10.7.2. Abono constante a capital en UVR

Durante cada uno de los meses del plazo del credito se amortiza a ladeuda una cantidad uniforme en UVR, igual al monto del prestamo en UVRdivido por el plazo en meses. La cuota mensual a pagar es la amortizacionconstante mas los intereses del mes sobre el saldo insoluto. El valor enpesos de la cuota aumenta a un ritmo inferior a la inflacion durante los dosprimeros tercios del plazo, luego disminuye.


D : Monto de la deuda en UVR.RUJ : Cuota en UVR a la altura J , J = 1, 2, 3, ..., t.

i : Tasa maxima para creditos en UVR.ip : Tasa mensual o equivalente periodica de i.

SJ−1 : Saldo de la deuda a la altura J − 1.t : Numero de periodos del plazo del credito.

Ahora podemos hallar la cuota para cada mes aplicando las formulas:

Sj−1 = S0 − (j − 1)D

ty RUj =

D

t+ Sj−1(ip) (10.13)


Ejemplo 188.Este se desarrollara para abono constante a capital enUVR y los datos supuestos anteriormente del ejemplo y el valor de laUVR.Solucion: Con los datos del ejemplo y UV R15|septiembre|2000 = 111,3322;

ip = (1,1392)112 − 1 = 1,0920 y las ecuaciones correspondientes se tiene:

D = 1000000111,3322 = 8982,13 UVR

luegoRUJ = D

t + SJ−1(ip) =Dt +

[

S0 − (J − 1)Dt]

(ip)⇒Ru1 = 8982,13

180 +[

8982,13 − (0)Dt]

(0,010920) = 148 UVRRu13 = 49,90 +

[

8982,13− (13− 1)49,90]

(0,010920) = 141 UVRy ası sucesivamente.Si se desea la cuota que finalmente paga el cliente cada mes, correspondea la suma de la cuota en UVR deducida segun el procedimiento anteriormas el pago del interes en UVR, a la tasa pactada, todo esto convertidoen pesos segun el valor de la UVR en la fecha de la liquidacion; portanto, seria lo siguiente:RJ = Cuota en pesos al finalizar el J-esimo mes.RJ = (RUJ + IUJ)UV RJ

Donde UV RJ corresponde al valor de la unidad de valor real al finalizarel J-esimo periodo. En este ejemplo la proyectamos a la tasa de inflaciondel 10%.R1 = (148)(1113322)(1 + (0,007974)) = $16606,65R13 = (141)4466(1113322)(1 + (0,007974))(13) = $17460,45y ası sucesivamente como se ve en el esquema.

ESQUEMA-EJEMPLO

Abono constante a capital en UVRValores en UVR Valores en pesos

Periodo Cuota Interes Amortiz. Saldo Cuota Interes Amortiz. Saldo0 8982 10000001 148 98 50 8932 16607 11007 5600 10023742 147 98 50 8862 16677 11033 5645 1004723

.

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.13 141 92 50 8333 17460 11300 6160 1028694

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.60 116 66 50 5988 20769 11822 8947 1073673

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.179 51 1 50 50 23526 503 23023 23023

Observacion: Los valores del esquema tienen aproximaciones para facilitarsu presentacion.


10.7.3. Cuota decreciente mensualmente en UVR cıclica porperiodos anuales

Las cuotas mensuales durante cada anualidad (aniversario) del creditoson decrecientes en UVR. Para cada periodo anual del credito se repite laserie de doce cuotas decrecientes.


D : Monto del prestamo en UVR.n : Plazo en anosi : Tasa maxima anual de interes sobre UVR.C : Valor de la primera cuota, de amortizacion a capital en UVR,

no incluye el pago de interesesCj : Cuota j-esima de amortizaciong : Decremento mensual equivalente a la inflacion proyectada

P¬ni : Valor presente de los n-pagos anuales unitarios anticipados

a la tasa efectiva anualR : Valor presente de los 12 pagos mensuales decrecientes a una

tasa mensual equivalente a la inflacion proyectada que nopodra modificarse durante el plazo, con el primer pago iguala una unidad

10.8. Ejercicios

1. Un prestamo de $10000 es reembolsado con pagos trimestrales porcinco anos y TNA de 6% capitalizable trimestralmente encuentre elvalor de la deuda al final del segundo ano, use el metodo prospectıvoy retrospectivo

2. Un prestamo que se paga semestralmente por cuotas de $3000 coni2=12%. Si el saldo del prestamo al final del primer ano es de $12000;determine el valor original del prestamo

3. Elabore un esquema de amortizacion de un prestamo de $50000, quedevenga una TEA de 17%, se amortiza en un ano con cuotas uni-formes que vencen cada 60 dias

4. Calcule el saldo de vencimiento de la octava cuota de un prestamoque aplica una TNA de 24% capitalizable mensualmente y que debeamortizarse en el plazo de 2 anos con cuotas mensuales vencidas de$10000


5. Para cancelar un prestamo contratado a 12 cuotas uniformes mensu-ales vencidas y que en la fecha tiene 4 cuotas de $20000 por vencer,se necesita conocer el valor del saldo insoluto, si la TEM es 3%

6. Calcule el saldo insoluto de un prestamo de $10000, cuando faltan 5cuotas para su cancelacion. El prestamo genera una TNM de 2% ydebe amortizarse en el plazo de 3 anos, con cuotas uniformes trimes-trales vencidas

7. Una persona debe cancelar sus deudas pendientes con el sistema fi-nanciero para salir del pais, el estado de las deudas es el siguiente:

a) Prestamo de 1 millon de pesos que genera una TNA de 24% cap-italizable mensualmente, para amortizarlo en 12 cuotas trimes-trales uniformes vencidas, a la fecha se han cancelado 8 cuotas

b) Un prestamo de 1,2 millones de pesos que genero una TEA de24% para amortizarse en 24 cuotas bimestrales uniformes ven-cidas, a la fecha se han cancelado 18 cuotas,

8. Una deuda es reembolsada en 12 cuotas anuales. Las primeras cuatroson de $4000 cada una, las siguientes cuatro son de $3000 cada una ylas ultimas cuatro son de $2000 cada una. Halle el saldo de la deudadespues de la segunda cuota de $3000 si aplica i=20% efectivo anual,use los dos metodos

9. Una deuda de $20000 es cancelada mediante 12 cuotas anuales; elprestatario hace 5 pagos y luego no puede hacer los dos siguientes;determine el monto del nuevo pago que inicia al final del ano. Usei=12% efectivo anual y el plazo no cambia

10. Un prestamo de $100000 debe se pagado durante cinco anos medi-ante pagos anuales iguales a una tasa del 15% anual, halle la cuotacorrespondiente y elabore un esquema de amortizacion. Redefina elproblema si hay un abono extraordinario de $10000 al final del tercerano, el saldo se amortiza en tres anos mas y la tasa se aumenta al18% efectiva anual

11. Una deuda de $100000 es reembolsada mediante pagos anuales de$30000 por tanto tiempo como sea necesario mas un pago menor unperiodo despues del ultimo pago regular. Hallar el capital amortizadomas el interes pagado en el cuarto pago


12. Un prestamo de $150000 que genera una TEM de 2.5% sera amortiza-do con cuotas uniformes bimestrales vencidas de $19484,70. ¿Cuantascuotas son necesarias para cancelar el prestamo?

13. Un prestamo hipotecario de 5 millones de pesos debe amortizarse enun plazo de 10 anos con cuotas uniformes mensuales vencidas y TEMde 2.3%. El propietario ofrece pagar $10000 mas sobre el valor dela cuota normal y las demas condiciones se mantienen; ¿en cuantotiempo cancelara el prestamo hipotecario y en cuanto reducira losinteres totales?

14. Un prestamo de $60000 que genera una TEM de 2% sera amortizadocon cuotas uniformes vencidas de $10000 cada 30 dias:

a) Calcule el numero de cuotas necesarias para cancelar el prestamo

b) Cuantos dias tiene el ultimo periodo de renta

c) Si el prestamo fue otorgado el 1 de junio, ¿en que fecha vencera laultima cuota?

d) ¿Cual es el valor de la ultima cuota?

15. Una maquina se vende al contado en $100000 con cuota inicial de$20000 y el saldo debe amortizarse con cuotas que vencen cada 30dias en el plazo de 10 meses. El 3 de marzo se efectuo la venta acredito con una TEA de 18% y posteriormente esta tasa sufre lassiguientes variaciones: el 16 de mayo a 17%, el 16 de agosto a 16%, el16 de octubre a 15% y el 16 de diciembre a 14%, elabore el esquemade amortizacion del prestamo

16. Un prestamo de $50000, desembolsado el 26 de mayo debe amorti-zarse con cuotas uniformes cuyos vencimientos son: 16 de junio, 13de agosto, 31 de agosto, 16 de septiembre y 15 de octubre del mismoano, elabore un esquema de amortizacion con una TEM de 2.5%

17. Halle la cuota uniforme un prestamo de $300000 que aplica una TEAde 12% otorgado por un organismo internacional a una empresa es-tatal para ejecutar un proyecto social. El credito debe amortizarse aun plazo de 5 anos con cuotas uniformes semestrales vencidas y elplazo total del credito incluye dos periodos diferidos

18. Elabore un esquema de amortizacion de un prestamo de $100000 quegenera una TET de 2.5% y debe amortizarse en un plazo de dosanos con cuotas que se incrementan en $2000 cada una a partir de lasegunda


19. Elabore el mismo esquema pero asuma que las cuotas se incrementanel 4% cada una a partir de la segunda

20. Un prestamo de 5 millones de pesos que aplica una TET de 3%debe amortizarse en 21/2 con cuotas trimestrales vencidas crecientesgeometricamente. Calcule la tasa del crecimiento geometrico conven-cional si la primera cuota base es de $100000

21. Un prestamo de $100000 a una TEA de 21% y durante 5 anos;

a) Halle el valor de las cuotas anuales vencidas

b) Encuentre el valor del deposito en el fondo de amortizacion

c) Elabore un esquema de amortizacion

22. Un prestamo de US$10000 durante 4 anos y tasa anual i=5%, sepuede pagar en una sola cuota a final del plazo, constituyendo unfondo que paga una tasa anual efectiva j=12%. Elabore el esquemade amortizacion

23. Un prestamo de $100000 a una TEA de 14% que se paga al finalde cada ano. El prestatario hace depositos anuales X a una tasa del12% efectiva anual. Al final de 10 anos se tiene el dinero exacto parapagar, ¿que cantidad X deposito en el fondo?

24. Un prestatario paga un prestamo de $100000 con 10 pagos anuales,la mitad del prestamo es pagado por el metodo de amortizacion al15% TEA y la otra mitad del prestamo por el metodo del fondo deamortizacion en el cual el prestamista recibe el 15% efectivo anualsobre la inversion y el fondo acumula al 13% TEA, halle la cantidadque debe depositar en el fondo, establezca el esquema de amortizacionpara ambos casos

25. Una cuota uniforme vencida de $30000 se paga al final de cada anopor 20 anos, para amortizar un prestamo de $400000. Si el prestatariodecide reemplazar la deuda original por un fondo que gana el TEAde 5%, encuentre la TET que paga el prestamista sobre el prestamo

26. Un hombre de negocios adquiere un prestamo por US$6000 por diezanos al 4% TEA. El senor reembolsa un tercio del capital por mediode un fondo que genera 21/2% TEA y los dos tercios restantes pormedio de un fondo que gana 31/2% TEA. Halle el valor de la cuotaanual que debe pagar el prestatario.


27. Los ejercicios sobre amortizacion en UVR varıan en el monto, el tiem-po, el interes o la tasa de inflacion anual correspondiente a la UVR;de esta forma se pueden generar nuevos ejercicios


Capıtulo 11

Bonos y otros tıtulos(garantıas)

Las garantıas de las corporaciones son usadas para obtener fondos parahacer frente a las obligaciones y necesidades financieras.El pagare es un metodo probado en el tiempo para obtener capital de deuda.Los bonos son una forma de pagare que provienen de algunas de las tresfuentes siguientes: el gobierno nacional, el gobierno regional o municipal yde las corporaciones y empresas publicas, privadas o de capital mixto.Es posible que estas entidades obtengan capital de muchas otras formas,de ordinario los bonos se emiten cuando es difıcil obtener un prestamoen una cantidad grande de dinero de una fuente unica. Una caracterısticaimportante que diferencia los bonos de otras formas de financiamiento esque los bonos pueden ser comprados o vendidos en el mercado abierto porgente diferente al emisor y prestamista original.

193

194 CAPITULO 11. BONOS Y OTROS TITULOS (GARANTIAS)


Pt : Precio de un bono.F : Valor par o cantidad de face de un bono. Cantidad imprimi-

da en la parte frontal del documento.C : Valor de redencion del bono. La cantidad de dinero que se

pagara al inversionista a la redencion del bono; con frecuen-cia C = F .

r : La tasa del cupon de un bono; tasa periodica que generael valor periodico del cupon. Estos pueden ser trimestrales,semestrales o anuales principalmente.

Fr : El valor de un cupon.g : La tasa modificada del cupon del bono. Esta es definida por

Fr = Cg, o, g = Frc ; g sera normalmente convertible a la

misma frecuencia de r y con frecuencia g = r, en caso queC = F .

i : La tasa de interes del bono; tambien rendimiento a la madu-racion del bono; tasa de interes ganada por el inversionista.El concepto de i es identico al de tasa interna de retorno deuna inversion.

t : Numero de periodos pagos del cupon, desde la fecha deemision y venta, hasta la fecha de maduracion o redencion.

k : El valor presente, calculado con la tasa de rendimiento, elvalor de redencion a su maduracion; k = C(1 + i)−t.

G : La cantidad base de un bono. La cantidad G es definida porGi = Fr o G = Fr

i . G es la cantidad a la cual el inversionistaa la tasa de rendimiento i producira los pagos de interesperiodico al igual que los cupones sobre el bono.

11.1. Clasificacion de bonos

Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporaciono entidad gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. Enesencia el prestatario recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagardespues, con interes pagado entre el momento inicial y el momento en que esreembolsado. Con frecuencia la tasa de interes de los bonos recibe el nombrede cupon. Se consideran cuatro clasificaciones generales de los bonos: Lostıtulos valores de gobierno, los bonos hipotecarios, los bonos amortizables y

11.1. CLASIFICACION DE BONOS 195

los bonos municipales. Esquematicamente es lo siguiente:

1. Tıtulos-valores de gobierno, los respalda el gobierno nacional y soncertificados (menores o iguales a un ano);

2. Hipotecarios, bonos respaldados por hipoteca o por activos determi-nados (primera hipoteca, segunda hipoteca o fideicomiso de equipos);

3. Amortizables, sin gravamen para acreedores (convertibles, no conver-tibles, subordinados, especulativos (basura));

4. Municipales, en general libre de impuestos sobre la renta, (obligaciongeneral, ingresos, cupon cero, tasa variable, venta).

Los tıtulos-valores son emitidos y respaldados por el gobierno y sonconsiderados de menor riesgo dentro del mercado, el interes generadoesta exento de impuestos.

Un bono hipotecario, esta respaldado por una hipoteca sobre activosdeterminados de la companıa que emite los bonos, si la companıa esincapaz de reembolsar a los tenedores de los bonos en el momentoen que el documento se vence, estos tienen opcion de ejecucion de lapropiedad hipotecada.

Los bonos hipotecarios pueden subdividirse en bonos de primera hipote-ca y segunda hipoteca. Los de primera hipoteca ofrecen una tasa deretorno mas baja (mas riesgo). Los bonos de segunda hipoteca estanrespaldados por una garantıa colateral de una corporacion subsidiarıa,se hace referencia a ellos como bonos colaterales. Un bono de fide-icomiso de equipo es aquel en el cual el equipo comprado a traves delbono sirve como garantıa colateral.

5. Los bonos amortizables no estan respaldados por garantıas colaterales,la reputacion de la companıa atrae a los inversionistas para este tipode bono; estos bonos algunas veces tienen tasa de interes flotante oson convertibles con frecuencia a acciones comunes a una tasa fija.

6. Los bonos municipales, su atractivo para los inversionistas radica ensu condicion de exentos de impuestos sobre la renta; esto implica quela tasa de interes pagada por la entidad gubernamental es, casi siem-pre, muy baja. Los bonos municipales, pueden ser bonos de obligaciongeneral o bonos de ingresos; los primeros se emiten contra impuestosrecibidos por la entidad gubernamental. Los bonos de ingresos, seemiten contra el ingreso generado por el proyecto financiado.Otros tres tipos comunes de bonos municipales son los bonos cupon


cero son tıtulos-valores para los cuales no se efectuan pagos de interesperiodico. Estos se venden con descuento sobre su valor nominal, elcual se paga a su vencimiento. Los bonos de tasas variables son bonoscuyas tasas de los cupones se ajustan a puntos determinados en eltiempo (semanalmente, mensualmente, anualmente, otros).

Los bonos de venta dan al tenedor la opcion de hacer efectivo el bonoen las fechas determinadas con anterioridad a su vencimiento.

Los inversionistas estan ante la perspectiva a la calificacion de losbonos de acuerdo con la cuantıa del riesgo asociado a su compra; engeneral los bonos de primera hipoteca conllevan la calificacion mas al-ta y tambien los bonos amortizables de las grandes corporaciones. Ladenominacion de bonos especulativos hace referencia a bonos amor-tizables calificados con calificacion mas baja.

7. Elementos esenciales de un bono:Los elementos de una obligacion o bono son los siguientes:

a) Fechas; Fecha de emision, aquella en que la empresa prestatariaemite o coloca en el mercado de valores sus obligaciones o bonos.

b) Fecha de redencion o vencimiento : aquella en que el organismoemisor se compromete a reintegrar el capital que le prestaron losinversionistas.

c) Fecha de compraventa ; aquella en que el documento es nego-ciado o trasferido con el concurso de un tercero, generalmentelocalizada entre las dos anteriores.

8. Valores ; como otros tıtulos, intervienen basicamente:

a) Valor nominal o denominacion : es el consignado en el documen-to, es el capital que en primera instancia percibe el emisor salvocuando el documento lo coloca con descuento y son multiplos de$100, $1000, otro.

b) Valor de redencion : es el que el prestatario, es decir el emisordevuelve al tenedor del tıtulo al finalizar el plazo en la fecha deredencion.Este valor puede ser:

1) Igual al valor nominal o de emision en cuyo caso se dice quese redime a la par.

2) Mayor que el valor nominal, en cuyo caso se dice que seredime con premio o con prima.

11.1. CLASIFICACION DE BONOS 197

3) Menor que la denominacion y en este caso se dice que seredime con descuento.

Existen varias presentaciones de la formula la cual puede ser usada paraencontrar el precio de un bono; la fundamental es la formula basica, es lamas directa y corriente para trabajar; el precio del bono es igual al valorpresente de los futuros cupones mas el valor presente del valor de redenciondel bono.

Pt = Fr

[

1− (1 + i)

i

−t]

+C(1 + i)−t = Fr

[

1− (1 + i)

i

−t]

+k (11.1)

donde la tasa i es la tasa de rendimiento del bono.

Ejemplo 189. Encuentre el precio de un bono de $1000 a 10 anos, concupones del 8.4% convertibles semestralmente, el cual sera redimido en$1050. El bono tendra una tasa de rendimiento del 10% convertiblesemestralmente.Solucion: Con los datos F=1000; C=1050; r= 0,084

2 =0,042; Fr=42;

i=0,102 =0,05; t=20 entonces:

P = Fr

[

1− (1 + i)

i

−t]

+k = 42

[

1− (1 + 0, 05)

0, 05

−20]

+1050(1+0, 05)−20

= $919, 15 precio del bono.

Ejemplo 190. Encontrar el valor de compraventa de un bono con valornominal de $10000 que se emitio a la par y se coloco en el mercado devalores con cupones al 12% anual convertible semestralmente. Supongaque se transfiere tres anos antes de su redencion y que se pretende porel comprador un beneficio del 16% anual capitalizable semestralmente.Solucion: Con los datos C = 10000 valor redencion; i= 0,16

2 =0,08; t=6;

Fr=10000(0,122 =600) y la ecuacion correspondiente se tiene:

P = 600

[

1− (1 + 0, 08)

0, 08

−6]

+10000(1 + 0, 08)−6 = $9075, 42


Significa que el inversionista que pretenda a tasa del 16% nominal semes-tral por un bono de $10000 y sus seis cupones debera pagar $9075,42tres anos antes de su vencimiento.

Ejemplo 191. La ETB emitio bonos por $5000, con cupones al 22%que vencen a la par el primero de junio del ano 2010. El interes se pagael primer dıa de enero, abril, julio y octubre, es decir trimestralmentecada ano. Determinar su valor el primero de octubre de 2005, si se pre-tende ganar un 25% nominal trimestral. Determinar tambien el valor decompraventa del nuevo bono el primero de octubre de 2008.Solucion:1. Con los datos C=5000; r= 0,22

4 ; i=0,254 ; Fr=5000(0,224 )=275; t=19;

por lo tanto

P = 275

[

1− (1 + 0, 0625)

0, 0625

−19]

+5000(1 + 0, 0625)−19 = $4589,63

2. los datos t=7, se tiene

P = 275

[

1− (1 + 0, 0625)

0, 0625

−7]

+5000(1 + 0, 0625)−7 = $4792,50

este es el valor a pagar el primero de octubre del 2008.

Ejemplo 192. El senor Gomez pago $8000 por un bono de $10000 quevence dentro de 20 anos y cupones al 4% nominales semestrales. ¿Cuales la tasa de interes anual nominal semestral y efectiva anual que obtieneel Sr.Gomez sobre la inversion?Solucion: Con los datos P=8000; C=10000; Fr=10000( 0,042 )=200;t=40; se puede hallar ip; Ver en el diagrama el problema:

0 1 2 3 4 38 39 40 semestres

8000

200

10000

20 anos

Flujo de efectivo, para la tasa de retorno.

11.2. PRIMAS Y DESCUENTOS 199

0 = −8000 + 200

[

1−(1+i)i

−40]

+10000(1 + i)−40

Use hoja de calculo Excel; calculadora financiera o manualmente usandointerpolacion lineal, se tiene: im = (2.8435)2 = 5.687% anual nominalsemestral. i = (1+ 0,05687

2 )2-1 = 5.7678% efectiva anual.

11.2. Primas y descuentos

Si el precio de compra de un bono excede al valor de redencion, es decirsi P > C, si dice que la venta fue hecha con prima o premio, que correspondea la diferencia entre P y C. Similarmente si el precio de compra es menorque el valor de redencion; P < C, entonces se dice que el bono es vendidoa descuento; la diferencia entre P y C es el descuento.

Ejemplo 193. Un bono vendido prima, considerado $1000 como valorpar a dos anos y 8% nominal semestral del cupon y se espera una ganan-cia del 6% convertible semestralmente. El precio del bono calculado esde $1037,17, es decir

P = 40

[

1− (1 + 0,03)

0,03

−4]

+1000(1 + 0,03)−4 = $1037,17

El esquema de amortizacion es el siguiente:

Periodo Cupon Interes Amortizacion Valor en librossemestral ganado de la prima

0 1037.171 40 31.12 8.88 1028.292 40 30.85 9.15 1019.143 40 30.57 9.43 1009.714 40 30.29 9.71 1000.00

Recordar que: I1 = 0.03(1037.17) = $31.12

P1 = 40-31.12 = $8.88

B1 = 1037.17-8.88 = $1028.29

El esquema de cada lınea es de la misma forma.


Ejemplo 194. Un bono con descuento, considere el mismo bono $1000valor par a dos anos al 8% cupon nominal semestral y ganancia del 1%convertible semestralmente.Solucion: Con datos P = 964, 54 (se debe realizar); Fr=40; t=4; elesquema de amortizacion es el siguiente:

Periodo Cupon Interes Amortizacion Valor P libresemestral ganado de descuento

0 964.541 40 48.23 8.23 972.772 40 48.64 8.64 981.413 40 49.07 9.07 990.484 40 49.52 9.52 10000

Observe que el valor de descuento amortizado es negativo por lo tantosuma al valor del balance renglon por renglon.

Ejemplo 195.Un inversionista pago $4240 por un bono de $10000 al 8%nominal trimestral. Dado que el bono era de baja calidad, no pago intereslos tres primeros anos despues que el inversionista lo compro. Si el interesfue pagado durante los siguientes 7 anos y luego el inversionista pudorevender el bono por $11000, ¿Cual tasa de retorno obtuvo sobre lainversion? Suponga que el vencimiento del bono esta programado para18 anos despues del momento en que el inversionista lo compro.Solucion: Con los datos Fr=(10000)( 0,084 )=200; C=11000; t=40; usan-do la ecuacion con diferido se tiene:

0 = −4240 + 200

[

1− (1 + i)

i

−28]

(1 + i)−12 + 11000(1 + i)−40

Usando excel, calculadora financiera o ensayo y error se tiene i∗ = 4,1trimestral; i4 = 16, 4 anual nominal capitalizable trimestralmente;i = 17, 44% efectiva anual.

Ejemplo 196. Un bono de ISA con valor nominal de $25000 se redime ala par el primero de octubre del ano 2010. El interes del 30% se aplica acupones que vencen el primero de abril y primero de octubre de cada ano.Obtener el valor el primero de abril de 2004 asumiendo una gananciadel 40% efectiva anual . Calcular el premio o descuento y los interesesque ganarıa un inversionista potencial por cada bono.Solucion: Recordando convertibidad se tiene: 1+i = (1+ i

4)4 ⇒

ip = 8.78%; Fr = 25000( 0,304 )=1875


P = 1875

[

1− (1 + 0,0878)

0,0878

−13]

+25000(1 + 0,0878)−13 = $22575,80

Puesto que este valor es menor que el de redencion, entonces es-tara adquiriendo con descuento de 25000-22575.80 = $2424.20

11.3. Ejercicios

1. Encuentre el precio que se pago por un bono de cupon cero y que asu maduracion a 10 anos sera de $1000 a:

a) TEA de 10%

b) TEA de 9%

2. Un bono a 10 anos de $100 a la par y que gana el 10% de tasa para uncupon semestral sera redimido en $105. EL bono tendra una tasa derendimiento del 8% convertible semestralmente. Encuentre el precio.

3. Un bono de cupon con una tasa de interes del 10% genero $200 deinteres cada seis meses. ¿Cual sera el valor nominal del bono?

4. ¿Cuanto estara dispuesto a pagar por un bono de $10000 al 7% quese vence dentro de 8 anos, si deseo obtener TNA de 8% capitalizabletrimestralmente? Suponga cupones trimestrales

5. Si una companıa manufacturera necesita $4 millones de capital parafinanciar una pequena expansion, ¿que valor nominal deben tener losbonos?, los bonos pagaran cupones trimestrales a una TNA de 12% yvenceran en 20 anos. Suponga que los inversionistas potenciales exigenuna tasa de retorno TNA 12% compuesto trimestralmente y que lascomisiones de intermediacion por el manejo de la venta asciende a$100000

6. Usted debe obtener un 12% TNA compuesto trimestralmente, ¿cuan-to debe estar dispuesto a pagar por un bono de $15000 al 9% pagaderosemestralmente y vence en 20 anos?

7. Un inversionista compro un bono de $5000 en $4000 hace 2 anos, elcupon del bono es del 6% pagado trimestralmente. Si el inversionistaplanea vender el bono ahora por $3500. ¿Cual sera la tasa de retornosobre la inversion?


8. A usted le han ofrecido un bono de $20000 al 6% con un descuentodel 4%, si el cupon se paga trimestralmente y el bono vence en 15anos, ¿que tasa de retorno trimestral tendrıa sobre la inversion?

9. ¿A que interes de bonos producira un bono de $10000 un 12% anualnominal convertible semestralmente?, si el comprador paga $8000 yel bono vence en 12 anos. Los cupones son semestrales

10. Un bono a prima: considerar un bono a 2 anos a la par por $2000y cupones semestrales a TNA de 10%, que ganara una tasa de 6%anual convertible semestralmente. El precio del bono es calculado en$2074.34. Muestre el esquema de amortizacion del bono

11. Considere el bono del ejercio 10 a 2 anos, a la par con cupones del8% convertible semestralmente y tasa del 10% convertible semes-tralmente. Encuentre el precio del bono y muestre los datos en unesquema de amortizacion

12. Un bono de $1000 a la par por cinco anos con cupon de 10% pa-gadero semestralmente y redimible a una tasa de 12% anual con-vertible semestralmente. Encuentre el total del interes pagado en lacolumna correspondiente al esquema de amortizacion

13. Una empresa emitio bonos amortizables (es decir bono que pueden serentregados y pagados en cualquier momento), por valor de $10 mil-lones con vencimiento a 20 anos, con cupones al 14% de interes anualpagaderos semestralmente. La companıa acordo pagar una prima del10% sobre el valor nominal si los bonos se hacian efectivos. Cincoanos despues de emitirse los bonos la tasa de interes prevaleciente enel mercado se redujo al 10% anual.

a) Que tasa de retorno obtendra la companıa al hacer efectivos losbonos y pagar $11 millones

b) ¿Debe la companıa hacer efectivo los bonos?

c) ¿Que tasa de retorno obtiene el inversionista al hacer efectivoslos bonos?

Capıtulo 12

Indicadores VPN y TIR

12.1. Introduccion

Existen varios indices muy utiles que indican que tan factible es unproyecto de inversion para ejecutarlo y de esta forma tomar decisionesoptimas en cualquier organizacion. Los indices basicos son el valor presente

neto, la tasa interna de retorno y la relacion beneficio costo. Es necesario

ser muy cuidadosos en el calculo y manejo de estos indicadores, porquepueden generar decisiones erroneas poco validas para la inversion.

12.1.1. El valor presente neto

El concepto de valor presente se ha venido estudiando en el desarrollodel texto, este valor presente es la medida de la inversion en dinero deahora, o el equivalente en pesos de hoy de todos los ingresos y egresos delproyecto.

Ejemplo 197. Invierto en un computador la suma de $1’000.000 yproduce por trabajos $150.000 trimestrales por dos anos, al final de esteperıodo se vende en $300.000. Si la tasa de interes de oportunidad es el22%, que tan buen negocio he hecho?Solucion: En primer lugar establecemos un diagrama de tiempo y efec-tivo para visualizar el caso

203

204 CAPITULO 12. INDICADORES VPN Y TIR

1 2 3 5 6 7 8 trimestres

1’000.000

R = $150,000 $300.000

Los egresos ↓ se consideran negativos y los ingresos ↑ positivos.Ahora hallamos mediante la ecuacion de equivalencia la tasa de interestrimestral

(

1 +i44

)4

= (1 + ,22) =⇒ i44

= 5,0969% tasa de interes trimestral

La equivalencia para el valor presente es:

Pt = −1′000000 + 150000 P¬8+ 300,000(1 + i)−8 = $167,257,92

Como se puede observar el Pt es positivo, podrıa haber sido negativo ocero. Este valor depende de la tasa de interes tomada y de la exactitud delos flujos de efectivo.

El criterio para decidir en forma resumida al calcular el valor presenteen t = 0 es el siguiente:

aconsejable, cuando el Pt > 0,

indiferente, cuando el Pt = 0,inconveniente, cuando el Pt < 0.

En el caso del ejemplo anterior es aconsejable la inversion en el com-putador porque Pt > 0.

Ejemplo 198. El mismo enunciado del ejemplo anterior con los mismosflujos de efectivo, cuanto podrıa pagar hoy por el computador?Solucion: La idea es calcular el valor presente de los flujos futuros dedinero para determinar el valor actual.

P (0,050969) = 150,000 P¬8+ 300,000 (1 + i)−8 = $1′167,253,92

Observese que eventualmente el maximo dinero que podrıa pagar por elcomputador es $1’167.253.92, es indiferente comprarlo o no, cualquierprecio menor del computador garantiza una decision aconsejable.

12.1. INTRODUCCION 205

Ejemplo 199. Un automovil nuevo se puede adquirir a plazos bajo lassiguientes condiciones:Cuota inicial $2’000.000 y 24 cuotas mensuales de $300.000 cada una. Sedesea saber cual es el valor de contado si se usa una tasa de i12 = 36%anual capitalizable mensualmente.Solucion: El diagrama del ejemplo es el siguiente

$2’000.000

P =?

1 2 3

i1212

= 3%

R = $300,000

· · · 36

El valor presente para hallar el valor de contado del automovil se obtienede la siguiente forma,

Pt = $2′000,000 + $300,000 P¬240,03 = $7′080,662.

Este valor de $7’080.662 es el valor de contado y es un dato que sirvepara decidir comprarlo bajo otras alternativa.

Ejemplo 200. Es necesario decidir mediante el indice de valor presente,cual de las dos maquinas siguientes representan menores costos a unatasa anual del 23% anual efectivo.

Costo Inicial Costos Anual Vida UtilOperacion CAO

Maquina X 1’000.000 200.000 5 anosMaquina Y 1’500.000 100.000 5 anos

Solucion: los flujos de efectivo del problema son hechos al mismo numerode anos, es decir la vida util es igual para cada maquina, por lo tantosolamente hallamos los respectivos valores presentes

PX = $1′000,000 + $200,000 P¬5,23 = $1′560,694,59

PY = $1′500,000 + $100,000 P¬5,23 = $1′780,347,29

La maquina Y es mas costosa, decision maquina X.


Ejemplo 201. Compare en el valor presente las siguientes maquinasque tienen vidas utiles diferentes, al i = 20% anual y muestre los pro-cedimientos.

Costo Inicial Valor de Costo de Vida UtilRecuperacion Mantenimiento

Maquina X 290.000 40.000 30.000 2 anos

Maquina Y 370.000 50.000 30.000 3 anos

Solucion: como se ve en la tabla las vidas utiles son diferentes por lotanto es necesario hallar el mınimo comun multiplo de las dos mcm(2,3)= 6. Ahora se establece que cada maquina tiene una vida de seis anosy se repite la inversion sin variarla una o dos veces como se observa enlos diagramas. El costo de mantenimiento no afecta la decision por serel mismo para ambas alternativas. Los siguientes son los diagramas detiempo y efectivo del mcm = 6.

0

1 2 3 4 5 6

290.000 290.000 290.000

40.000 40.000 40.000

Maquina X

0

1 2 3 4 5 6

370.000 370.000

50.000 50.000

Maquina Y

Observese que el proyecto de la maquina X se repitio dos veces, y elproyecto de la maquina Y solo una vez. Ahora se plantea la ecuacion devalor en el presente,PX = −290,000(1+(1+ i)−2+(1+ i)−

4)+40,000((1+ i)−2+(1+ i)−4+

(1 + i)−6) = −$570,778,46PY = −370,000(1 + (1 + i)−3) + 50,000((1 + i)−3 + (1 + i)−6) =−$538,440,28Por lo tanto el menor costo lo tiene la maquina Y .

Ejemplo 202. Un parque de diversiones que proyecta la oficina deplaneacion de una ciudad con vida util perpetua tiene los siguientesflujos de efectivo:

12.2. LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR 207

Terreno y construccion $70’000.000.Mantenimiento al final del primer ano $30’000.000 y estos crecen al 14%a partir del segundo ano indefinidamente.Los ingresos se comportan de la siguiente manera $50’000.000 millonesel primer ano y crecen en $15 millones cada ano a partir del segundoindefinidamenteLa tasa de interes i4 = 18% anual. Encuentre la diferencia en el presenteentre ingresos, egresos y analizarlo.Solucion: La vida util de la inversion es perpetua para un gradientegeometrico en los egresos y aritmetico en los ingresos. El siguiente es eldiagrama de tiempo y efectivo.

Egresos$70’000.000

Ingresos$50’000.000

$65’000.000 Q=$15’000.000

i4 = 18%

$30’000.000

1 2k = 14%

. . .

. . .

En primer lugar la tasa efectiva anual de interes es i =(

1 + 0,184

)4−1 =

19,2519%.El valor presente de los egresos para una progresion geometrica perpetua.

PE = $70′000,000 +$30′000,000

0,192519− ,14= $641′221,843

El valor presente de los ingresos para un gradiente aritmetico Ec(4.25)

PI =$50′000,0000,192519

+15′000,000(0,192519)2

= $664′425,284

La mayor diferencia se presenta a favor de los ingresos y el proyecto esrentable economicamente, o sea PI − PE = $23′203,441.

Los proyectos que generan un beneficio social es conveniente tratarlos conotros metodos que tengan en cuenta los aspectos sociales.

12.2. La tasa interna de retorno TIR

El indicador financiero de la tasa de ganancias o tasa interna de retornoTIR es uno de los mas aceptados para indicar el ındice de rentabilidad de


una inversion, ademas facilmente interpretado por los inversionistas. Parallegar al ındice del TIR con frecuencia se siguen caminos incorrectos por lotanto es bueno aclararlos.

La tasa de retorno calculada NO es el rendimiento sobre la inversioninicial, sino sobre la parte de la inversion NO AMORTIZADA al comienzode cada periodo.

La tasa de retorno encontrada no implica reinversion, no se presuponeen un calculo la utilizacion que el inversionista haga con los fondos pro-ducidos por el proyecto.

Al calcular la rentabilidad de un proyecto, el analisis que se hace essobre el proyecto y nunca sobre la pareja Proyecto-Dueno.

El proyecto no se puede alterar por el buen o mal manejo de los recursosque revierte la inversion.

12.2.1. Establecer un modelo matematico general que in-volucre la tasa interna de retorno

El valor presente neto a la tasa i por periodo, durante el tiempo t, t =0, 1, 2, . . . y con flujos variables de dinero Rt; esto dado por

Pt =

n∑

t=0

vt Rt (12.1)

Este valor presente puede ser negativo, positivo o igual a cero 0, depen-diendo de cuales son los valores Pt = 0 es decir,

Pt =n∑

t=0

(1 + i)−t Rt = 0 (12.2)

La tasa de interes que satisface la ecuacion 12.2 es llamada la tasa deganancias o tasa interna de retorno que se analizara con seguridad para nocometer errores.

La tir es la tasa a la cual el valor presente de los ingresos de la inversiones igual al valor presente de los egresos de la inversion.

La tasa de retorno no es un concepto desconocido en el texto, en loscapıtulos anteriores se ha pedido encontrar el valor de i para algunas in-versiones, que caracterızan problemas de tasa de retorno.


Ejemplo 203. Invertir $1.000 por dos anos para obtener al cabo deltiempo $1.440. Hallar la tasa de retorno.Solucion: Un diagrama de tiempo y efectivo y luego se plantea unaecuacion de valor de acuerdo con la ecuacion 12.2

$1.000

$1.440

210

i=TIR=?

Pt = −1,000 + 1,440(1 + i)−2 = 0 =⇒ i = 20%.

Este valor de tir = i = 20% es la rentabilidad por haber invertido enesas condiciones.

Ejemplo 204. Invierto $1.000 ahora y $1.000 dentro de un ano, al cabode dos anos me ingresaron $4.000 por la inverion. Calcular la tir.Solucion: Visualizar mediante un diagrama de tiempo y efectivo y luegoestablecer la ecuacion de valor y uso de calculadora.

$1.000 $1.000

$4.000

210

i=tir=?

Pt = −1,000− 1000v + 4,000v2 = 0.

Esta ecuacion de valor se puede manejar como una cuadratica ası,

4v2 − v − 1 = 0 =⇒ v =1±

√

1− 4(4)(−1)8

=⇒ v =1±

√17

8= 0,6403 o − 0,3903.

El segundo valor i = −3,903% no tiene sentido. Ahora si (1 + i)−1 =1

1+i =⇒ 1+ i = 1,5617, i = Tir = 56,17%, esta respuesta solamente porel valor positivo

Comentario. Recuerde que el indicador de tasa interna de rentabilidad esmuy usada y util por la comprension que debe existir sobre el tema, sinembargo es muy importante para tomar decisiones con este indicador el


tratar adecuadamente el concepto de la tasa de interes de oportunidad dequien toma decisiones.

Como se explica a continuacion, existen tres nociones importantes quese deben clasificar:

1. Tir ≡ tasa interna de retorno o rentabilidad de una inversion, esuna caracterıstica propia del proyecto, independiente de quien es elevaluador del proyecto.

2. io ≡ tasa interes de oportunidad del evaluador, es la tasa de oportu-nidad propia del evaluador independiente del proyecto.

3. La rentabilidad del proyecto para un evaluador en particular, es lo queefectivamente buscan quienes toman las decisiones, es una decisionentre la tasa interna de retorno del proyecto y tasa de oportunidaddel inversionista.

Observese que la tir es caracterıstica propia del proyecto, no cambiaaunque los duenos cambien, mide la rentabilidad de los dineros que per-manecen invertidos en el proyecto; no toma en cuenta lo que puede ocurrircon los dineros que genera el proyecto.

Ejemplo 205. La empresaXZ tiene una fabrica de plasticos para lo cualadquiere una nueva maquina procesadora de plasticos por $1’000.0000que genera nuevos ingresos por $300.000 cada trimestres; calcule la tasade rendimiento o la tasa de retorno de la inversion, muestre un esquemade amortizacion para observar el comportamiento del proyecto.Solucion: En primer lugar observemos el diagrama de tiempo y efectivoy luego la ecuacion de valor,

$1’000.000 i=?

42 310

R=$300.000

La ecuacion de valor es:

$1′000,000 = R P¬4i

−$1′000,000 + $300,000 P¬4= 0 = f(j)

Usando ensayo y error, o calculadora financiera se tienei = tir = 7,7138% trimestral.Ahora veamos que pasa con el esquema de amortizacion:


Periodo Pago Interes Capital Saldo oamortizado Balance

0 0 0 0 1’000.0001 300.000 77.138 222.862 777.1382 300.000 59.946 240.053.12 537.084.873 300.000 41.429.65 258.570.34 278.514.524 300.000 21.484.05 278.515 —0—

En la tabla anterior se muestra periodo a periodo el desarrollo del proyec-to y muy especialmente el de la inversion no amortizada. Observese queel rendimiento del 7.713% es sobre el dinero que aun se conserva en elproyecto y la empresa XZ puede usar los $300.000 que le ingresan co-mo capital de trabajo en otra lınea; gastarlo en propaganda o invertirlosimplemente a la tasa de oportunidad, que normalmente no es la mismade la tir.No es correcto suponer que la inversion de $1’000.000 en la maquina nosda una rentabilidad trimestral del 1’000.000 de 7.7138% y es solamentesobre el dinero no amortizado en el proyecto.Es conveniente analizar un ejemplo para ver que se hace con el dineroque regresa del proyecto.

Ejemplo 206. Invierta el dinero que regresa trimestralmente del proyec-to de la empresa XZ (ejemplo anterior) a una tasa de oportunidad del5% trimestral, hallar el acumulado y encontrar la nueva tasa de renta-bilidad total del dinero.Solucion: El diagrama y la ecuacion de valor son

R=$300.000

42 310

i=5% s¬4=?

s¬4= $300,000 s¬

40,05 = $1′293,037, 50

Por lo tanto de la inversion de

0 4

$1’293.037.50

$1’000.000


$1′000,000(1 + i)4 = $1′293,037,50 =⇒ i = 6, 6357%

esta es la rentabilidad justa del proyecto. Reinvertido el dinero.En resumen, la rentabilidad propia del proyecto es del 7.7138% trimes-tral que depende exclusivamente del proyecto; la tasa de oportunidaddel 5% depende del inversionista, en este caso de XZ y la tasa justai = 6, 6357% combina las caracterısticas propias del proyecto tir con losde XZ para generar la tasa de verdadera rentabilidad

12.2.2. Tasas de reinversion

En las secciones anteriores no se han considerado lo que sucede con eldinero que el prestamista recibe del prestatario o en situaciones similares.

En el mundo financiero donde opera una alta variabilidad de las tasasde interes es conveniente estudiar situaciones en las cuales las tasas dereinversion son diferentes.

Considerar ahora una inversion de 1 durante t periodos a la tasa i y estase reinvierte a la tasa j; encuentre el valor acumulado al final de t periodos.La figura 12.1 ilustra el caso.

t− 1 t3210

1

i i i i i

Figura 12.1: Un diagrama de tiempo y efectivo para reinversiones de 1durante t perıodos

El valor acumulado al final de t−periodos es igual a la inversion originalmas el valor acumulado del interes ganado cada periodo

St = 1 + i s¬tj (12.3)

Esta formula se reduce si st = (1 + i)t.

Ahora cambiemos el enunciado original suponiendo la inversion de 1 alfinal de cada uno de los t− periodos a la tasa i y este interes se reinviertea la tasa j, hallar el valor acumulado al final de t− periodos. Ilustramosmediante Fig 12.2. El valor acumulado de esta anualidad es igual a la sumade los pagos anuales y el valor acumulado de el interes.


St = t+i

j

[

s¬tj − t

]

= t+ i

[

s¬tj − t

j

]

(12.4)

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 (t− 1) t

i 2i 3i (t− 2)i (t− 1)i

. . .

. . .

Figura 12.2: Diagrama de tiempo y efectivo para reinversion de 1 al finalde cada uno de los t periodos

Recuerde que el valor acumulado es de las anualidades crecientes enprogresion aritmetica.

En caso que i = j =⇒ Ec12.4 St = s¬testas ecuaciones Ec12.3 y Ec12.4

se deben estudiar con cuidado por la importancia que tienen en esta epoca;veamos otros ejemplos.

Ejemplo 207. Pagos de $1.000 son invertidos al final de cada ano por12 anos. La tasa de interes ganada es el 5% efectiva anual y el interespuede ser reinvertido al 4%.1. Encuentre la cantidad en el fondo al final de los 12 anos y2. Encuentre el precio que pago un inversionista para obtener una tasade rendimiento del 5%.Solucion: Usando Ec12.4 la cantidad acumulada al final de 12 anos es

Sa = 1,000

[

12 + ,05

[

s¬120,04 − 12

,04

]]

= $15,782,80.

en forma similar y con cuidado se procede de la anualidad es anticipada,observe que R = $1,000.Como es de esperarse la respuesta se encuentra entre los puntos:1,000 s¬

120,05 = 15917, 12 y 1,000 s¬

120,04 = 15025, 80.

2. El precio de compra del inversionista es simplemente el valor presentedel acumulado encontrado en 1.

1,578, 25(1,05)−12 = $8,788, 13.

La respuesta es menor que 1000 P¬120,05 = $8,863, 27 porque este precio

asume que el interes podrıa reinvertir al 5% y no al 4%



D : Valor del prestamo en pesosRp : Valor de la cuota mensual uniforme en pesost : Plazo en meses del creditoip : Interes del periodo mensuali : Tasa maxima para credito en pesos

Por lo tanto segun los modelos estudiados anteriormente si:

D = Rp

[

1− (1 + ip)

ip

−t]

⇒ Rp = D

[

ip1− (1 + ip)−t

]

(12.5)

Ejemplo 208. Halle el valor de la primera, decima tercera y ultimacuota del ejemplo para todos los casos bajo cuota constante en pesos.Solucion: Con los datos del ejemplo y tasa del 23.92% (inflacion

13.92%) se tiene ip = (1.2392)112 -1 = 1.803283, por lo tanto, segun

ecuacion expuesta

C = 1000000

[

0,01803283

1− (1 + 0,01803283)−180

]

= $18786,67

Las cuotas todas son iguales y se puede generar el esquema de amorti-zacion.

12.3. Amortizacion constante a capital en pesos.

Las cuotas mensuales son iguales a la t-esima parte de la deuda maslos intereses del mes calculados sobre el saldo insoluto. De esta forma, lascuotas mensuales en pesos son decrecientes. Una visual en el horizonte detiempo es la siguiente:

0

D

1 2 3

Amortizacion

Interes

t

12.3. AMORTIZACION CONSTANTE A CAPITAL EN PESOS. 215


D : Monto de la deuda en pesos.t : Plazo del credito en meses.i : Tasa maxima para credito en pesos.ip : Interes periodico mensual.PJ : Cuota en pesos a la altura de J , J = 1,2,...,t .

SJ−1 = Saldo a la altura J − 1.

Las cuotas definidas en el presente numeral corresponden unica y ex-clusivamente al servicio de la deuda en condiciones normales, es decir noincluyen primas de seguros, ni recargos por mora. Por lo tanto se tiene,el valor de la cuota al final del j-esimo mes esta dado por las siguientesecuaciones:

Rj =D

t+ ip

[

D − (j − 1)D

t

]

(12.6)

Se asume que la tasa de interes es constante durante la vigencia del credito,el valor de la cuota a pagar cada mes va disminuyendo en la medida queavanza en la amortizacion del credito.

Ejemplo 209. Halle la primera, decimotercera y ultima cuota para elcredito del ejemplo general, en el cual se desembolsa el dinero el primerode enero de 2004.Solucion: Dados los datos del ejemplo el valor se tiene segun ecuacion

R1 =Dt + ip

[

D − (J − 1)Dt

]

R1 =1000000

180 +0,01803283

[

1000000− (0)Dt

]

= $23488,39 primera cuota.

R13 = 1000000180 + 0,01803283

[

1000000− (13− 1) 1000000180

]

= $22386,20 de-

cimotercera cuota.

R180 =1000000

180 + 0,01803283

[

1000000− (179) 1000000180

]

= $5655,74 ultima

cuota.


12.4. Sistemas de amortizacion

12.4.1. Cuota constante en pesos

Corresponde al sistema tradicional de pagos periodicos uniformes venci-dos, es decir la cuota se mantiene constante durante la vigencia del credito,de hecho no depende directamente del ındice de inflacion; a medida que seamortiza el saldo de la deuda, disminuye el interes puesto que la tasa deinteres correspondiente se aplica sobre el saldo del credito.

Este sistema exige un esfuerzo mayor en terminos reales al comienzodel credito y disminuye al final. Cada cuota contiene amortizacion y pagode interes; no utiliza por lo tanto capitalizacion de interes. Se calcula comouna serie uniforme ordinaria.


D : Valor del prestamo en pesos (monto).Rp : Valor de la cuota mensual uniforme en pesos.t : Plazo en meses del credito.i : Tasa maxima para credito en pesos.ip : Tasa mensual equivalente (periodo mensual).

Por lo tanto segun modelos estudiados anteriormente

D = Rp

[

1− (1 + ip)

ip

−t]

⇒ Rp = D

[

ip1− (1 + ip)−t

]

(12.7)

Datos para un ejemplo para todos los casos de amortizacion de loscreditos de vivienda.


Supuestos utilizados

Monto del prestamo$1000000 Plazo: 180meses (15 anos)

Tasa de inflacion anualusada para el ejerci-cio. Como ejemplo:IPC=10%(durante15anos)

El valor de la cuo-ta incluye: amorti-zacion e intereses

Tasa maxima paracreditos UVR:13.92%, efectivaanual

Tasa maxima paracreditos en pesos13.92%+10%=23.9%(interes + inflacion)

No incluye: segurosde incendio, vida,terremoto.

Ejemplo 210.Para cuota constante en pesos, usar supuestos utilizadosy halle el valor de las cuotas y un esquema donde se visualicen algunasfilas del esquema basicas.Solucion: Con los datos supuestos y tasa maxima para creditos devivienda actual 23.92% (interes + inflacion). Se encuentra con los mo-

delos de equivalencia que ip=(1.2392)112 -1=1.8033%; se usa la ecuacion

12.7 para cuota en pesos Rp, se tiene:

Rp = 1000000

[

0,018033

1− (1,018033)−180

]

= $18785,68

Las cuotas todas son iguales y se genera por lo tanto un esquema deamortizacion:

ESQUEMA-EJEMPLO

Cuota constante en pesos


0 10000001 18786 18033 753 9992472 18786 17933 766 998461...

......

......

13 18786 17853 933 989081...

......

......

60 18786 16625 2161 919752

Como se observa esta es una muestra del comportamiento del credito.


12.4.2. Amortizacion constante a capital en pesos

Las cuotas mensuales son iguales a la t-esima parte de la deuda mas elinteres del mes calculado sobre el saldo insoluto. De esta forma, las cuotasmensuales en pesos son decrecientes.


D : Monto de la deuda en pesos.t : Plazo en meses del credito.i : Tasa maxima para creditos en pesos.ip : Tasa mensual equivalente a i.Rj : Cuota en pesos a la altura de J , J = 1, 2, 3, ..., t.

Sj−1 : Saldo a la altura j − 1.

Las cuotas definidas en el presente numeral corresponden unica y ex-clusivamente al servicio de la deuda en condiciones normales. Por lo tantose tienen las siguientes ecuaciones

Sj−1 = D − (j − 1)D

t(12.8)

saldo de la deuda a la altura J − 1 y el valor de la cuota al final del j-esimomes esta dada por:

Rj =D

t+ ip

[

D − (j − 1)D

t

]

(12.9)

Se asume que la tasa de interes es constante durante la vigencia del creditoy el valor de la cuota a pagar disminuye cada mes en la medida que avanzala amortizacion del credito.


Ejemplo 211. Para amortizacion constante a capital en pesos, usar lossupuestos utilizados y halle el valor de las cuotas y un esquema dondese visualicen algunas filas basicas.Solucion:Con los datos supuestos y la tasa maxima para creditos devivienda en pesos del 23.92% y ip = 1,8033%, se tiene:

R1 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− 0Dt

]

= $23588,39

R2 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− (1) 1000000180

]

= $23488,20

...

R13 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− (13− 1) 1000000180

]

= $22386,20

...

R180 =1000000

180 + 0,018033

[

1000000− (179) 1000000180

]

= $5655,71

ESQUEMA-EJEMPLO

Amortizacion constante a capital en pesos


0 10000001 23588 18033 5556 9944442 23488 17933 5556 988889...

......

......

13 22386 16831 5556 927778...

......

......

60 17678 12122 5556 666667Este esquema es una muestra del comportamiento del credito y el interespagado se obtiene de ip poe el saldo insoluto del periodo inmediatamenteanterior.

12.5. Lıneas en UVR

12.5.1. Cuota constante en UVR (Sistema de amortizaciongradual)

La cuota mensual constante en UVR, es la lınea mas sencilla de concebiren UVR y se calcula como una serie uniforme en UVR a la tasa maximapara creditos en UVR y por los meses del plazo.



D : Monto del prestamo en UVR.Ru : Cuota mensual uniforme en UVR.

t : Plazo del credito en meses.i : Tasa maxima para creditos en UVR.ip : Tasa mensual o equivalente periodica a la tasa i.

Ahora bien, puesto que es una serie uniforme periodica se tiene:

D = Ru

[

1− (1 + ip)

ip

−t]

⇒ Ru = D

[

ip1− (1 + ip)−t

]

(12.10)

El valor de Ru varia mensualmente de acuerdo al comportamiento de laUVR que varia de acuerdo al comportamiento del IPC; es de notar que elsaldo de la deuda en UVR, aunque el comportamiento en pesos es crecienteaproximadamente por las dos terceras partes del plazo del credito.

Ejemplo 212. Para cuota constante en UVR a partir deUV R15|septiembre|2000 = 111,3322

Solucion: Con los datos supuestos, UVR dada e ip = (1,1392)112 − 1 =

1,0920, las ecuaciones correspondientes y D = 100000111,3322 = 8982,13

R4 = D

[

ip1− (1 + ip)−180

]

= 8982,13

[

0,010920

1− (1 + 0,010920)−180

]

= 114,26

Si la UV R24|octubre|2000 = 112,479Ru11 = (114)(112,479) = $12822Ru13 = (12822)(1,1) = $14104...Ru180 = (12822)(1,1)(14+

1112

) = $53,137En la tabla siguiente se observa que en UVR disminuye la deuda con-tinuamente, en cambio en pesos la cuota aumenta hasta las dos terceraspartes del plazo del credito.


ESQUEMA-EJEMPLO

Cuota constante en UVRPeriodo Valores en UVR Valores en pesos

Cuota Interes Amortiz. Saldo Cuota Interes Amortiz. Saldo0 8982 10000001 114 98 16 8960 12822 11007 1815 10061532 114 98 16 8949 12924 11073 1850 1012332

.

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.13 114 96 18 8757 14104 11829 2275 1081041

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.60 114 84 31 7621 20487 14982 5505 1366492

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.179 114 2 112 113 52137 1133 51584 52148

12.5.2. Abono constante a capital en UVR

Durante cada uno de los meses del plazo del credito se amortiza a ladeuda una cantidad uniforme en UVR, igual al monto del prestamo en UVRdivido por el plazo en meses. La cuota mensual a pagar es la amortizacionconstante mas los intereses del mes sobre el saldo insoluto. El valor enpesos de la cuota aumenta a un ritmo inferior a la inflacion durante los dosprimeros tercios del plazo, luego disminuye.


D : Monto de la deuda en UVR.RUJ : Cuota en UVR a la altura J , J = 1, 2, 3, ..., t.

i : Tasa maxima para creditos en UVR.ip : Tasa mensual o equivalente periodica de i.

SJ−1 : Saldo de la deuda a la altura J − 1.t : Numero de periodos del plazo del credito.

Ahora podemos hallar la cuota para cada mes aplicando las formulas:

Sj−1 = S0 − (j − 1)D

ty RUj =

D

t+ Sj−1(ip) (12.11)


Ejemplo 213.Este se desarrollara para abono constante a capital enUVR y los datos supuestos anteriormente del ejemplo y el valor de laUVR.Solucion: Con los datos del ejemplo y UV R15|septiembre|2000 = 111,3322;

ip = (1,1392)112 − 1 = 1,0920 y las ecuaciones correspondientes se tiene:

D = 1000000111,3322 = 8982,13 UVR

luegoRUJ = D

t + SJ−1(ip) =Dt +

[

S0 − (J − 1)Dt]

(ip)⇒Ru1 = 8982,13

180 +[

8982,13 − (0)Dt]

(0,010920) = 148 UVRRu13 = 49,90 +

[

8982,13− (13− 1)49,90]

(0,010920) = 141 UVRy ası sucesivamente.Si se desea la cuota que finalmente paga el cliente cada mes, correspondea la suma de la cuota en UVR deducida segun el procedimiento anteriormas el pago del interes en UVR, a la tasa pactada, todo esto convertidoen pesos segun el valor de la UVR en la fecha de la liquidacion; portanto, seria lo siguiente:RJ = Cuota en pesos al finalizar el J-esimo mes.RJ = (RUJ + IUJ)UV RJ

Donde UV RJ corresponde al valor de la unidad de valor real al finalizarel J-esimo periodo. En este ejemplo la proyectamos a la tasa de inflaciondel 10%.R1 = (148)(1113322)(1 + (0,007974)) = $16606,65R13 = (141)4466(1113322)(1 + (0,007974))(13) = $17460,45y ası sucesivamente como se ve en el esquema.

ESQUEMA-EJEMPLO

Abono constante a capital en UVRValores en UVR Valores en pesos

Periodo Cuota Interes Amortiz. Saldo Cuota Interes Amortiz. Saldo0 8982 10000001 148 98 50 8932 16607 11007 5600 10023742 147 98 50 8862 16677 11033 5645 1004723

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.13 141 92 50 8333 17460 11300 6160 1028694

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.60 116 66 50 5988 20769 11822 8947 1073673

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.179 51 1 50 50 23526 503 23023 23023

Observacion: Los valores del esquema tienen aproximaciones para facilitarsu presentacion.


12.5.3. Cuota decreciente mensualmente en UVR cıclica porperiodos anuales

Las cuotas mensuales durante cada anualidad (aniversario) del creditoson decrecientes en UVR. Para cada periodo anual del credito se repite laserie de doce cuotas decrecientes.


D : Monto del prestamo en UVR.n : Plazo en anosi : Tasa maxima anual de interes sobre UVR.C : Valor de la primera cuota, de amortizacion a capital en UVR,

no incluye el pago de interesesCj : Cuota j-esima de amortizaciong : Decremento mensual equivalente a la inflacion proyectada

P¬ni : Valor presente de los n-pagos anuales unitarios anticipados

a la tasa efectiva anualR : Valor presente de los 12 pagos mensuales decrecientes a una

tasa mensual equivalente a la inflacion proyectada que nopodra modificarse durante el plazo, con el primer pago iguala una unidad

12.6. Ejercicios

1. El administrador de una companıa esta considerando tres propuestasindependientes, cuyos flujos de efectivo se dan en la siguiente tabla. LaTmar = 12%. Evalue las propuestas por el metodo del valor presente.

Anos Propuesta A Propuesta B Propuesta C

0 $-5.000 $-8.000 $-15.0001 1.646,15 2.802,16 4.5002 1.646,15 2.802,16 4.5003 1.646,15 2.802,16 4.5004 1.646,15 2.802,16 4.500

2. Resuelva el Ejercicio (1) suponiendo una TMAR = 15%, cambia ladecision?.

3. Evaluense las tres propuestas del Ejercicio (1) usando el metodo deTir; use interpolacion lineal o calculadora financiera.


4. El gerente de una empresa de servicios esta considerando el proyectode comprar dos maquinas aspiradoras y lavadoras de tapetes paraasear algunos edificios de la ciudad. La primera lavadora tiene unprecio de $7 millones y gastos mensuales de $600.000. La segundaaspiradora cuesta $10 millones y tiene un costo mensual de $400.000.Usando una tasa mınima atractiva de retorno del 25% efectiva anualy bajo el supuesto de que la vida util de las maquinas es de cuatroanos; determine que maquina se debe adquirir por el metodo del valorpresente.

5. Se estan considerando dos maquinas para ampliar los procesos deproduccion de una empresa, con los siguientes costos

Costo Inicial Costos Anual Valor Recuperacion Vida Util

Maquina X 6.200 1.500 800 2

Maquina Y 7.700 2.100 2.000 3

utilizando una tasa mınima atractiva de retorno del 20%, determineque maquina representa la mejor opcion para la empresa.

6. Resuelva de nuevo el Ejercicio (6.5) bajo el supuesto que la maquinaX requiere un mantenimiento adicional al final del primer ano por$1000.

7. Para el negocio de las empanadas cerca a la Universidad un com-panero de clase de la carrera de administracion propone; invertir$100.000 ahora, para recuperar $50.000 al final del primer mes; $40.000dentro de dos meses, $30.000 dentro de 3 meses y $20.000 dentro de 4meses al finalizar el semestre. Si la tmar = 21%, anual ¿debe aceptarla propuesta de inversion o no? Podrıa ser indiferente invertir o noinvertir, a que tasa?

8. La companıa ABC esta estudiando comprar una maquina fresadora.El precio de compra es de $600.000 y el costo anual de operacionCAO es de $26.754. La maquina tiene una vida util de 5 anos yespera que genere unas ganancias por $150.000 por cada ano de vida.Encuentrese el valor presente de esta inversion si la tasa de interes es:a) 18% anual, b) 20% anual c) 22% anual. Interprete los resultados.

9. Determine la tasa de retorno de la maquina del Ejercicio (6.8)

10. Encuentre la tasa de rendimiento para el siguiente flujo de efectivo:-$5.000 ahora y $1.500 al final de cada ano por cinco anos. Este prob-lema se debe resolver por interpolacion lineal y calculadora financiera.


11. Considere los siguientes planes de inversion:El plan X tiene un costo inicial de $36.000 y requiere una inversionadicional de $10.000 al final del tercer mes y $16.000 al final delseptimo mes. Este plan X tiene 14 meses de vida y produce $28.000mensuales de ingresos al final de cada mes y por el tiempo estipulado.El plan Y tiene un costo inicial de $60.000 y requiere una inversionadicional de $20.000 al final del octavo mes. Durante sus 14 meses devida este plan produce $20.000 por ingresos mensuales y $12.000 altermino del proyecto. Suponiendo una tasa de oportunidad del 2,8%mensual, encuentre cual de los dos planes es el mas aconsejable paraelegir; para que tasa de interes son iguales los dos planes?

12. Encuentre el valor presente de $2.000 depositado hoy, $3.000 dentrode tres anos; $500 cada cinco anos y una cantidad uniforme de $800empezando dentro de 15 anos, si la tasa de interes es de i = 20%efectiva anual.

13. Un benefactor desea establecer una beca para una importante univer-sidad de la ciudad a nombre de un profesor Emerito. La beca establece$4 millones para los primeros 7 anos y $10 millones anuales de ahı enadelante. Si la Universidad para estos fondos invierte al 21% anual,¿Cuanto dinero se debe donar si la primera beca se entregara dentrode un ano?

14. Compare las maquinas que se muestran a continuacion, sobre la basede una vida util perpetua y utilizando un i = 22% efectiva anual.

A B

Costo Inicial $5’000.000 $20’000.000Costo anual de operacion $6’200.000 $2’400.000

Reparacion Gral. · · · $400.000cada 5 anosvida util 7 ∞

La idea es determinar el valor presente de una vida util perpetuahallando la anualidad conjunta y luego dividiendo.

15. Un inversionista en finca raız compra una propiedad por $60.000 yla vende al final de cinco anos por $180.000. Establezca la tasa deretorno anual sobre la inversion.

16. Usada el Ejercicio (15), adicionalmente se tienen en cuenta los im-puestos sobre la propiedad que son $5.000 el primer ano y aumentan


en $1.000 hasta el momento en que se vendio, ¿Cual es la tasa deretorno sobre la inversion?

17. Encuentre la tasa de rendimiento para una inversion de $50.000 yunos ingresos anuales de $16.719 cada ano por cinco anos.

18. Use el metodo de interpolacion lineal para i = 15% e i = 25% paraEjercicio (17) y encuentre la rentabilidad. No olvide que en generalse hace ensayo y error.

19. Use una calculadora financiera o computador y encuentre la tasa deretorno para el Ej(17). Analice las diferencias que se presentan.

20. Calcule la Tir del proyecto de inversion cuyo diagrama de tiempo yefectivo es el siguiente.

$100.000 1 2 3 4

$50.000$40.000

$30.000$20.000

21. Compare los siguientes proyectos por el metodo del valor presente yla tasa interna de retorno. La tasa de oportunidad es el 25% anual.

Proyecto 1: Invierte $10.000 ahora y $18.000 en el periodo 2; recibe$11.000 dentro de un ano y $8.400 en 3 anos.

Proyecto 2: Invierte $500 dentro de un ano y $18.000 dentro de 3anos; recibe $10.000 ahora y $6.600 dentro de 2 anos.

Proyecto 3: Invierte $16.000 ahora y $10.000 dentro de 2 anos; recibe$30.000 dentro de dos anos.

Visualice el problema bosquejando un diagrama de tiempo y efectivo.

22. Un auto nuevo cuesta ahora $7 millones dentro de seis meses cuesta$8’100.000. Que tasa de retorno recibe el comprador si decide comprarel auto ahora y no dentro de 6 meses?

23. Un prestamo de $100.000 se inicia a cancelar con cuotas de $10.000al final de cada uno de los 18 anos. Si cada pago es reinvertido in-mediatamente al 10% efectivo anual; encuentre la tasa efectiva anualganada durante los 18 anos.


24. Usando el Ejercicio 23, y si se invierten los pagos a la misma tasa;cual es la tasa de retorno de la inversion?

25. Un Hipermercado de la ciudad distribuye computadores; hace unaimportacion al principio del ano por valor de $150 millones, los com-putadores se venden durante todo el ano ası $20’000.000 el primermes y luego disminuyen en $500.000 cada mes hasta finalizar el anoque se acaban las existencias. Hallar la tasa de retorno que obtuvo elHipermercado en esta seccion de computadores.

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Matematica Financiera Libro Marco Fidel Castillo