DispensediMatematicaFinanziariaAnnoAccademico2011-2012Prof. Aggr. ArsenPalestini2Indice1 Introduzionealleoperazioninanziarie 71.1 Situazioninanziarieecriteridipreferenza . . . . . . . . . . . 71.2 Operazioninanziarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 ItitolidiStatocomeoperazioninanziarie . . . . . . . . . . . 111.3.1 Ilrateoelaquotazionedeititoliconcedole . . . . . . . 131.4 Lacrisideidebitipubblicieuropeidel2010-2011 . . . . . . . . 141.4.1 Lospread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Legginanziarieintertemporali 172.1 Capitalizzazioneeattualizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Regimedellinteressesemplice. . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Regimedelloscontocommerciale . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Regimedellinteressecomposto . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Tassidinteresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Tassonominaledinteresse. . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Nozionicomplementarisullacapitalizzazione . . . . . . . . . . 272.3.1 Leleggi di capitalizzazionecomesoluzioni di equazionidierenzialidelIordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Capitalizzazionemistaeconfrontotramontanti . . . . . 313 Rendite 333.1 Valorediunoperazionenanziariainregimecomposto. . . . . 333.2 Generalitasullerendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1 Formulefondamentalidelleseriegeometriche . . . . . . 363.2.2 Valoreattualeemontantediunarendita . . . . . . . . 373.2.3 Casodellerenditefrazionate . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.4 Casodellerenditeperpetue . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Problemiconnessiallerendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.1 Determinazionedelladurata . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2 Determinazionedeltasso . . . . . . . . . . . . . . . . . 4234 INDICE4 Ammortamentievalutazionedeiprestiti 474.1 Generalitasullammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Ammortamentofrancese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Ammortamentotedesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Ammortamentoitaliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5 Altricasidiammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.1 Preammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.2 Ammortamentoconperiodicitafrazionata. . . . . . . . 594.5.3 Ammortamento con cambiamento nelle condizioni di rim-borso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.4 Cennisullammortamentoamericano. . . . . . . . . . . 614.6 Valutazionedeiprestiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 Criteridisceltaincondizionidicertezza 635.1 IlCriteriodelREA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 IlTIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.1 EsistenzadelTIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.2 IlcriteriodelTIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.3 IlTANeilTAEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 Strutturaperscadenzadeitassidinteresse 756.1 Ipotesifondamentalidelmercatonanziario. . . . . . . . . . . 756.2 ProprietadeiZCB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Prezziaprontieprezziatermine. . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.1 Strutturadeitassiequotazionediuntitolo . . . . . . . 836.4 Ladeterminazionedellastrutturaperscadenza . . . . . . . . . 847 Principidiimmunizzazionenanziaria 897.1 Indicitemporalidiunussodipagamenti . . . . . . . . . . . . 897.2 Laduratamediananziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.1 Duratamediananziariaconstrutturapiatta. . . . . . 927.3 Indicidivariabilitadiunussodipagamenti . . . . . . . . . . 957.4 Risultatiprincipalisullimmunizzazione . . . . . . . . . . . . . 977.4.1 Immunizzazioneadununicauscita. . . . . . . . . . . . 977.4.2 Immunizzazioneapi` uuscite . . . . . . . . . . . . . . . . 998 Elementidicalcolodelleprobabilita 1018.1 Spazidiprobabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.1.1 Denizionieproprietapreliminari . . . . . . . . . . . . 1018.1.2 Probabilitacondizionata. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.1.3 Indipendenzatraeventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.2 Variabilialeatorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110INDICE 58.2.1 Variabilialeatoriediscrete. . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.2 Variabilialeatoriecontinue . . . . . . . . . . . . . . . . 118Bibliograaconsigliata 1236 INDICECapitolo1IntroduzionealleoperazioninanziarieIniziamoquestocompendiodi MatematicaFinanziariaconunapprocciomorbidoesenzaformule, perpermettereallelettrici edai lettori di toccarecon mano n da subito le tematiche di questa materia e i modelli nanziari checitroveremoadanalizzare. Gradualmente,latrattazionesifar`api` uformale.Asecondadellanecessit`a,inquestedispenseverrannofornitialcunirichiamidi Matematica Generale, non eccessivamente approfonditi, che chi legge potr`asvilupparenei testi consigliati nellabibliograanale. Inogni capitolohocercatodi inserirealcuni esercizi svolti di variogenere, senzalapretesadiesaurirnetutteletipologie: essendocivarilinguaggi, notazioniedespressionialla basedellaMatematicaFinanziaria,ed `e suciente leggereanche soltantoduediversitestiperrenderseneconto,ilmioappassionatoconsiglio `ecomun-que quello di consultare anche ulteriori eserciziari e libri di teoria, che sarannosuggeriti volta per volta in ogni Capitolo. In specico, mi sentirei di consigliarecomeparticolarmentevalidi[M]perlateoriae[R]e[T]pergliesercizi.1.1 SituazioninanziarieecriteridipreferenzaCominciamo ad inquadrare alcune situazioni della vita reale in cui ci possiamotrovare a contatto con delle situazioni nanziarie e a formulare delle domandein proposito. La formalizzazione matematica di queste situazioni, e le risposteai problemi, saranno successivamente descrivibili con gli strumenti che via viaacquisiremo.Esempio1. UnBoT(Buonoordinariodel Tesoro)a6mesi`euntitoloob-bligazionario emesso e venduto in aste periodiche dal Ministero dellEconomia78 CAPITOLO1. INTRODUZIONEALLEOPERAZIONIFINANZIARIEedelleFinanze. Ci sonoBoTda3, 6o12mesi, evengonorimborsati inununicasoluzione, allascadenza. Adesempio, possiamoacquistareunBoTaltempot1= 0a965eurochegarantisceallascadenzat2= 1/2(6mesivuoldirelamet`adiunanno)ilrimborsodi1.000euro. Comepossiamovalutareilvalore di pi` u titoli con varie scadenze?La valutazione in che modo dipende daltasso dinteresse applicato?E in che modo dipende dallistante di valutazione?Esempio2. Alla Banca Popolare di Tassarolo,accendiamo un conto correntedepositando2.000euro, eci vienegarantitountassoannuodinteressedel2, 2%(moltoricco,rispettoaitassicorrenti). Leunichespesechecivengonorichiesteinquestocontrattosono5europer i bolli annuali e3europer ilrilascioelutilizzodi unacartaBancomat. Qual `eil saldosul nostrocontoallanedellanno?Ecomecrescer`anegliannisuccessivi?Esempio3. Vogliamoacquistareunimmobilee,dalmomentochecostapocoe siamo in possesso della somma per comprarlo in contanti,possiamo sceglieresecontrarreunmutuo(aduncertotassodinteressesso),quindipagandoarateperalcunianni,oppurepagandotuttoimmediatamentealmomentodellavendita. Quale delle due alternative `e la pi` u conveniente?E cosa pu`o accadereseil tassochecivieneproposto`evariabile?Gli esempi precedenti mostranocomeinquesti problemi ci sianodiversidati rilevanti perlalorodiscussioneerisoluzione, masoprattuttoduesonoi dati cruciali: gli importi ei tempi. InMatematicaFinanziaria, nonsipu` odenireunordinedi preferenzasenzaspecicareentrambi, adesempio,intuitivamente, un gran numero di persone, compreso chi scrive, preferirebberodi gran lunga 50.000 euro disponibili oggi a 5 milioni di euro disponibili tra 37anni. La prima denizione proposta `e proprio quella di situazionenanziaria,intesacomepuntodellospaziodenaro-tempo, ocomeimportomonetarioadunadatapressata.Denizione 4.Chiamiamo situazione nanziaria (o prestazione nan-ziaria)unacoppiaordinata(x, t)consistentenelladisponibilit`adel capitalexal tempot 0.Mentre il tempo ha comunque un valore positivo, in generale ammettiamoanchelapossibilit`acheilsegnodixpossaesserenegativo, intendendochexsiaunimportoinuscita,dadoverpagare.Siccome ogni soggetto o agente economico denisce, consciamente o meno,unordinedipreferenzasullesituazioninanziarie,quidiseguitoelencheremoalcuni postulati, basati sullenormali ipotesi dellarazionalit`aumanaedeco-nomica, cheassumeremovalidi incondizioni di certezza. Per condizioni dicertezza,intendiamoilfattochetuttosiaperfettamentedeterministicoenes-sunfenomenodinaturaaleatoriapossaaccadere. Inaltreparole,tuttoci`oa1.1. SITUAZIONIFINANZIARIEECRITERIDIPREFERENZA 9cui ci riferiamo `e vero con probabilit`a 1, o anche, come da linguaggio comune,al100%. Ipostulatisuddetti(perunatrattazionepi` uapprofonditavedi[V],Capitolo1)sonoiseguenti:1. Il possessodi uncapitaledi segnopositivo`evantaggiosoperchi lode-tiene, ossia per ogni soggetto avere questo bene `e preferibile al non averlo,qualunquesialimporto.2. Ladisponibilit`atemporaneadi uncapitalealtrui`eunserviziovantag-gioso che, come tale, ha un prezzo. Il soggetto economico che si avvale ditaledisponibilit`a(pu`oanchetrattarsi di unabanca, di unacompagniaassicurativa, ecc.) devepagareuncosto, commisuratoallammontaredel capitaledisponibileeai dati temporali acui questaoperazionesiriferisce. Perdatitemporalisiintendonotempoinizialeenale,oppureladurata. Generalmente, questocosto`edecisodauncontrattostipu-lato dalle due parti in causa: chi presta e chi prende a prestito (lender eborrower).3. Dateduesituazioni nanziarie(x1, t)e(x2, t)allostessoistantet, diimportipositivix1ex2, `epreferitaquelladiimportomaggiore.4. Dateduesituazioni nanziarie(x, t1)e(x, t2), di ugualeimportox,valutate ad una data antecedente t0(ad esempio, t0< t1< t2), se x > 0,`epreferita(x, t1), ossialadisponibilit`adi x`econsideratamiglioreseavvieneprima. Simmetricamente, sex 0 il periodocheintercorretraunpagamentodicedolaeilsuosuccessivo,dettot1listantedi acquistoedettonil numerodellecedoletotali daincassare, loperazionenanziariadal puntodivistadel sottoscrittoresipotr`ascriverecomesegue:x/t = {P, I, I, . . . , I, C +I}/{t1, t1 +T, t1 + 2T, . . . , t1 +nT}.1.3. ITITOLIDISTATOCOMEOPERAZIONIFINANZIARIE 13Vanotatoil fattoche, asecondadellarelazionecheintercorretraPeCsiutilizzaunaspecicaterminologia: seP= C,sidicecheil titolo`equotato,oemesso,allapari,mentreseP< C,`esottolapari,seP> C`esopralapari(questultimocaso`edecisamenteraro).Inoltre,ilrapportoI/C`edettotassocedolaredeltitolo,mentreiltassonominaleannuocorrispondeal prodottotrail tassocedolareeil numerodicedolestaccateinunanno.Esercizio14. DatounBTpdi durata3anni, di prezzodacquistoP= 945euroevalorenominaleC= 1.000euro,calcolareil valorediognicedolaeloscartodemissioneseiltassonominaleannuo`edel10%.Essendo il pagamento delle cedole del BTp semestrale, lo scriviamo informadelloperazionenanziariaseguente:x/t = {945, I, I, I, I, I, 1.000 +I}/{0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3}.Poich`eogni annovengonoincassate2cedole, il valoredellasingolacedolasiricavadallequazione:2I1.000=10100=I= 50euro.Loscartodiemissione`einvecedatodalladierenzaC P= 55euro.1.3.1 IlrateoelaquotazionedeititoliconcedoleQuandolaperiodicit`adi untitoloconcedolenoncoincideesattamenteconlesigibilit`adellestesse, ma`esfasata, il pagamentodellacedolanonavvienealladatadi scadenza, maallinternodel periodo. Valeadire, selemissioneavviene in t0, e il periodo `e T, la prima cedola non viene staccata in t1= t0+Tma in unaltra data t1< t1. In questo caso, il periodo di godimento della cedolasar`asemprecomunquedilunghezzaT,perlesattezzasar`acompresotra t1et1 +T,asuavoltaminoredit2,eviadicendo.Denizione15. Si chiamarateo(orateodinteresse)dellacedolaI altempodiacquistotil seguenteimporto:Ri= I _1 t1t0T_. (1.3.1)Il rateo dunque quantica il vantaggio per il sottoscrittore di avere una ce-dola staccata in anticipo, e che quindi assume una sua importanza al momentodellavalutazione, ossiadellaquotazione, di untitolo. Ititoli obbligazionari14 CAPITOLO1. INTRODUZIONEALLEOPERAZIONIFINANZIARIEvengonoacquistatisulmercatoprimariotramiteunasta,mapoipossonove-niresuccessivamentevenduti ecomprati suunmercatosecondario(laddovepossonoavvenire, eavvengono, manovrespeculative). Il valore, pi` uspessodenominatoquotazione, di untitolosui listini, non`eingeneralequellodiacquistoal primoistante, maquellosul mercatosecondario, che`edecurtatodalrateo,riferitoalladierenzatemporaletraistantediacquistoeistantedidistaccodellaprimacedola. Chiaramente,seessicoincidono,ilrateo `enullo.Quindi bisognaconsiderare2diversequotazioni: il cosiddettocorsotelquel, che`eilprezzoeettivamentedapagareperiltitolo, eilcorsosecco,quellocheapparesuilistinied `eladierenzatracorsotelquelerateo.Pi` u estensivamente, lo scambio a corso secco `e soltanto sul valore nominaledel titolo, senzaconsideraregli interessi parziali maturati, mentrequelloacorsotelqueltienecontoanchedellecedolestaccatenoaquellistante,secenesono,edelrateorelativoalperiodotrascorso.Esempio16. Consideriamoil seguentetitolocon4cedolesemestrali, dicuila prima viene staccata dopo 4 mesi dallacquisto in t0= 0,di valore nominale100,edeterminiamonetuttelecaratteristiche:x/t = {95, 2, 2, 2, 102}/{0, 4/12, 10/12, 16/12, 22/12}.Cominciamo col vedere che il titolo `e quotato sotto la pari, in quanto 95 < 100,echeilsuotassocedolareeilsuotassonominalesonorispettivamentedel2%edel4%(2cedoleallanno). 95rappresentailcorsotelqueldeltitolo,mentreil rateo, poich`e la dierenza tra tempo di acquisto e distacco della prima cedola`edi4mesieil periodo`e6mesi,dallaformula(1.3.1)vale:2 _1 4/126/12_=23= 0, 66666euro,e di conseguenza il corso secco a cui il titolo viene quotato risulta 950, 666666 =94, 333333euro.1.4 La crisi dei debiti pubblici europei del 2010-2011Gliultimidue, eforseancheiprossimi, annisarannoricordaticomegliannidellesplosione della grande crisi del debito pubblico di molti Paesi dellEuropa,siafuoridallareaEuro(comelIslanda)chenellareaEuro(principalmenteedrammaticamente la Grecia, ma anche Portogallo, Irlanda no a lambire ancheItaliaeSpagna).Nataprobabilmenteinconseguenzaecomepropagazionedellacrisi deimutui subprimenegli USA, lacrisi hacolpitoalcuni Stati dellUnioneEuro-pea sia sui fondamentali dellEconomia (contrazione del PIL e scarsa crescita,1.4. LACRISIDEIDEBITIPUBBLICIEUROPEIDEL2010-2011 15aumentodelladisoccupazione, dicolt`anellasostenibilit`adel bilanciopub-blico)chesullapossibilit`adi riuscirearimborsarei titoli dei propri stockdidebitopubblico.Non poter rimborsare le proprie obbligazioni provoca un default, ossia unfallimento, e tra i casi pi` u recenti e clamorosi di default in anni recenti ci sonosiadegliStati,comelArgentina,chedellegrandiaziende,comelaParmalat.Ci sonovari tipi di default, checorrispondonoavarieformedi mancatorimborsodelleproprieobbligazioni: unnuovoscadenzamentodellecedole, iltagliodel valoredellecedolearimborso, oppurequellopi` ustandard, chealmomentoincui scrivosembraesserequelloacui `edestinatalaGrecia, valeadireiltagliodelcapitaledarimborsareallultimascadenza(questultimo`eanche detto haircut), anche di un 50% o 70%. Naturalmente il default provocaenormi perdite per i creditori dellente insolvente, e negli ultimi anni sono statiutilizzati dei titoli derivati a m`o di polizza assicurativa sui default detti creditdefaultswaps.Alla Grecia, e successivamente a Portogallo e allIrlanda, sono stati concessiprestitidapartedelFondoMonetarioInternazionale,apattodicontrollareilprocesso di rientro su una traiettoria di debito sostenibile (tramite una serie diriforme pi` u o meno imposte), e nel frattempo lEuropa ha predisposto un fondocosiddetto salva-stati, lEFSF(EuropeanFinancialStabilityFacility), acuisuccessivamenteneseguir`aunaltro, lESM(EuropeanStabilityMe-chanism). IPaesieuropeihannolineeeposizionidiverse,masembraessereinteresse di tutti, per ora, preservare la moneta unica, che sarebbe gravementemessaindiscussioneseisuoiStatiandasseroindefault.Manonostantequestiinterventi,nessuno `erealmenteingradodidireconcertezzaseequandoaltriPaesinirannoindefault,eseequandocisar`aunriassestamentoregolaredelmercatoeunadenitivauscitadallacrisi.1.4.1 LospreadDallesplosionedellacrisi inpoi, tutti i giornali ei telegiornali hannodatograndeimportanzaallacronacananziaria,einparticolare `estatautilizzata,a volte quasi ossessivamente, una nuova parola che `e prepotentemente entratanelnostrolinguaggio: lospread.Cosaesattamente`e lospread? Fondamentalmente, `e unadierenzadirendimentotraduetitoli obbligazionari. Parlandosemplicemente, nel casodelle obbligazioni di Stato, tantopi` urisultaaltoil rischio, tantopi` udeveesserealtoil rendimento. ComedirecheunoStatomenosicuro(sicurezzavuol diresicurezzadi rimborso)perpotervendereleproprieobbligazioni `ecostrettoaoriredeirendimentipi` ualti.Nel linguaggio mediatico, per spread si intende normalmente lo spread trail titolo con cedole italiano (BTp) e quello analogo tedesco (B und), intendendo16 CAPITOLO1. INTRODUZIONEALLEOPERAZIONIFINANZIARIEche il titolo tedesco venga preso come titolo pi` u sicuro dellarea Euro. In realt`alo spread si pu`o calcolare tra due qualsiasi titoli, francesi, spagnoli, nlandesi,ecc.Lospread`eunindicatoredigrandeimportanza,inquantolesueuttua-zioni, giornaliere in quanto derivano dai movimenti di mercato, corrispondonoai livelli di rischio. Se molti investitori vendono BTp, diondono un segnale disducia, i BTp vengono considerati pi` u rischiosi e al momento dellasta lItaliadovr`aorirerendimentimaggioripervenderli. Sealcontrariovengonocom-prati, il segnale `e di distensione, i BTp vengono percepiti come meno rischiosieillororendimentoscende.Va chiarita una cosa: un rendimento alto `e positivo per chi detiene i titoli,sempresesarannorimborsati,ma `enegativoperchiliemette. Inparticolare,lItaliaognianno,avendo1.900miliardidieurodidebitopubblico,pagaogniannodecineedecinedi miliardi soltantodi interessi sul propriodebito. Unulterioreaumentodei rendimenti signicherebbeunsempremaggiorerischiodidefault.Inne,vediamounesempiosemplicedicalcolodellospread:supponiamo che 2 Paesi, la Prussia e la Gallia Cisalpina, emettano 2titoli obbligazionari di durata1anno, senzacedole, esenzaritenutescalin`espeseaggiuntive. ChiamiamoBoPeBoGCi rispettivi titoli, conquestecaratteristiche:BoP = {95, 100}/{0, 1}.BoGC = {98, 100}/{0, 1}.Chiamandoiil tassodinteresseannuo, chedeniremoinseguito, il BoPhaunrendimentodatoda:95 + 100(1 +i)1= 0100 = 95 + 95i i =595= 5, 26%,mentreilBoGChaunrendimentodatoda:98 + 100(1 +i)1= 0100 = 98 + 98i i =298= 2, 04%.Quindi il BoGCgarantisceunrendimentominore, ed`econsideratomenori-schioso dal mercato. Lo spread tra i due titoli `e la dierenza tra i rendimenti:5, 26 2, 04 = 3, 22quindi,usandoiltipicolinguaggionanziario,paria322puntibase.Capitolo2LegginanziarieintertemporaliInquestocapitolointroduciamolenozioni fondamentalidelleleggi nan-ziarie incondizioni di certezza, cio`e nontenendocontodi alcunelementoaleatorio, come se nessunavvenimentoesternoal nostroinvestimentoinci-dessesudiessoesullasuaevoluzione. Parliamodievoluzione,perch`elelegginanziariedipendonodaltempo,edatempiantichissimilimpiegoneltempodiunbene,odiunaquantit`adidenaro,inqualsiasiforma,`ecompensatodaunsuccessivopagamentoininteressi. Sonomoltelemotivazioni allabasediquestofatto,esucuinon `eilcasodiaddentrarsi,cibastipensareallapi` uin-tuitiva: la svalutazione nel tempo del denaro per via dellinazione, che incidedirettamentesulcostodellavitadiognunoeognunadinoi.Quindi ladescrizionedelleleggi nanziariechesi instauranopassaattra-versolascritturarigorosadi unlegamefunzionaletracapitaleinvestitoaltempoinizialeeimportomaturato, comprendentelinteresse, inunqualsiasiistantesuccessivo. Nel prosieguodi questocapitolo, incui verr`aintrodottalaterminologianecessaria,cibaseremoinparticolaresugliapprocciseguitiin([DD]e[R]).2.1 CapitalizzazioneeattualizzazioneDaorainavanti,indicheremocon: C> 0ilcapitaleinizialeinvestito; I> 0linteresserelativoallimpiegodiCpertuttaladuratadellinve-stimento;1718 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALI M> 0ilmontantediCallascadenzadellinvestimento.Allistanteconcordatocomescadenzadellinvestimento,ildebitoredovr`aver-sarealcreditorelimportocorrispondentealmontante, legatoalcapitaleini-zialeeallinteressedallasemplicerelazioneadditiva:M= C +I. (2.1.1)La(2.1.1)metteinevidenzaladipendenzadelmontantedalcapitaleiniziale,tramiteunaleggedi capitalizzazione, chesuccessivamentedeniremoinmodo formale. Se invece volessimo esplicitare linteresse in funzione degli altridue importi, potremmo attribuirgli il signicato di sconto, espresso come dif-ferenzatrailcapitalematuratoincasodiinvestimento equellononinvestito.UsiamolaletteraS(neitesti `epi` uspessousatalaletteraD,dadiscount):S= M C. (2.1.2)Questo `e un esempio di come, nella Matematica utilizzata nelle varie formaliz-zazioni economiche, uno stesso strumento o concetto possa essere interpretatoinmodi dierenti. AbbiamodunquerispostoalladomandaQual`elimportomaturato al tempo nale dellinvestimento dal capitale C?con il montante M.Poniamocioraladomandainversa: QualecapitalebisognainvestirealtempoinizialeperottenereunmontantenaleM? eperrisponderedovremoinver-tirelaleggedi capitalizzazionecheassociaCadMedenireunoperazionediattualizzazioneodisconto(oanche,conunlinguaggiomenomoderno,dianticipazione): Csar`adenitoilvaloreattualediMaltempoiniziale.C M C Mcapitalizzazione attualizzazioneA questo punto, introduciamo la variabile tempo t e ssiamo lintervallo (con-tenutonella semirettapositivadei tempi) [t0, t1] come periodo di duratadellinvestimento. Inquestomodo, laleggedi capitalizzazionecheintrodur-remorender`aequivalenti lesituazioni nanziarie(t0; C)e(t1; M). Inoltre,indichiamocon:M CClinteresseperunit`adicapitaleinizialerelativoa[t0, t1];M CMloscontoperunit`adimontanterelativoa[t0, t1].Nel caso in cui le date dellinvestimento siano t1= 1, t0= 0, e quindi linvesti-mento duri 1 anno,le quantit`a precedentemente denite sono rispettivamenteil tassoannuodi interessei(danonconfonderecol numeroimmaginarioi =1dellinsiemedeinumericomplessi)eiltassoannuodiscontod.2.1. CAPITALIZZAZIONEEATTUALIZZAZIONE 19Deniamoorarigorosamentelaleggedi formazionedel montante, consi-derandolacomeunafunzionedipendentedal tempomaanche, parametrica-mente,dalcapitaleiniziale.Denizione17. Sichiamaleggedi capitalizzazione(ofunzionemon-tante)ognifunzionecontinuaM: [0, +) [0, +) R,taleche:1. M(t; C) > 0perognit 0eperogniC> 0;2. M(t; C +D) = M(t; C) +M(t; D)perognit 0eperogniC, D > 0;3. M(t1; C) < M(t2; C)perognit2> t1 0eperogniC> 0;4. M(0; C) = CperogniC> 0.Leipotesi postevengonodallarazionalit`adegli agenti economici, opi` usemplicementedal buonsenso: la1)aermacheil montantedeveesserepo-sitivoadogni istante, la2) che`eadditivorispettoai capitali, la3) chealpassare del tempoil montante aumentaaparit`adi capitale iniziale, la4)chesenonc`ealcuninvestimento,comedirecheladuratadellinvestimento `enulla, il capitale iniziale resta cos com`e. Piuttosto intuitivo `e anche il seguenterisultato:Proposizione18. Dati i capitali D, C1, C2>0, conC2>C1, aqualsiasiistantet > 0siha:1. M(t; D) > D;2. M(t; C2) > M(t; C1).Dimostrazione. Ladimostrazionedi1) `eimmediata. Dateleipotesidellade-nizionedi leggedi capitalizzazione, si ha, per lipotesi 3), cheM(t; D) >M(0; D) per ogni t >0. Inoltre, per lipotesi 4), M(0; D) =D, quindiM(t; D) >Dinogni istantet successivoallistanteiniziale. Anchela2)`epiuttostosemplice, eseguedallapropriet`adi additivit`a2)delladenizione:seC2> C1,esister`aunnumeropositivoHtalecheC2= C1 +H. Poich`eM(t; C2) = M(t; C1 +H) = M(t; C1) +M(t; H),eM(t; H) > 0perlapositivit`adellaM(),alloraM(t; C2) = M(t; C1) +M(t; H) > M(t; C1).20 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALIDenizione 19. Dataunaleggedi capitalizzazioneM(), si chiamaleggedi attualizzazione(ofunzionedi sconto)associataadM()lafunzionecontinuaA: [0, +) [0, +) R, talecheperogni t [0, +) eperogniC> 0,valelarelazione:M(t; A(t; C)) = C.Corollario20. OgnileggediattualizzazioneA()godedellepropriet`a:1. A(t; C) > 0perognit 0eperogniC> 0;2. A(t1; C) > A(t2; C)perogni0 t1< t2eperogniC> 0;3. A(0; C) = CperogniC> 0.Esercizio 21. Dimostrareche,datounqualsiasicapitaleinizialeC>0, lafunzioneM(t; C) = C(t3+ 1)`eunaleggedi capitalizzazioneperogni t [0, +).Verichiamole4propriet`adellaleggedicapitalizzazione: C(t3+ 1)`esommadiduequantit`anonnegativeset 0,quindiM()`epositivain[0, +) [0, +); M(t; C+ D)=(C+ D)(t3+ 1)=C(t3+ 1) + D(t3+ 1)=M(t; C) +M(t; D); dati t1, t2 [0, +), set1>t2si hachet31>t32, dacui M(t1; C)>M(t2; C); sostituendoint = 0,sihaM(0; C) = C(03+ 1) = C.Essendovericatetuttee4lepropriet`adelladenizione,M(t; C)`eeettiva-menteunaleggedicapitalizzazionesul semiassepositivodeitempi.Ripensiamo ora brevemente alla propriet`a 2) e alla dimostrazione della suavalidit`a. Pare abbastanza ovvio che essa `e rispettata ogni volta che il capitaleiniziale `e un fattore che moltiplica una funzione del tempo. Si pu`o dimostrare(e per la teoria sottostante vedi [R], capitolo 2) che le leggi di capitalizzazioneM(t; C)sonotutteesolequelledel tipoM(t; C)=C r(t), laddover(t)`edetto fattoredicapitalizzazione(ofattoremontante). Le propriet`a delfattore di capitalizzazione sono analoghe, a parte la dipendenza da C, a quelledellaleggedicapitalizzazione: positivit`a,continuit`a,nondecrescenza.Pertantosussisteunanalogiaconlaleggediattualizzazione,chesar`aan-chessa moltiplicativa, ossia A(t; C) = C v(t), laddove v(t) `e detto fattorediattualizzazione(ofattoredisconto),evalelarelazionedireciprocit`a:r(t) v(t) = 1, t [0, +).2.1. CAPITALIZZAZIONEEATTUALIZZAZIONE 21Nelcasodellesercizioprecedente,r(t) = t3+ 1,v(t) =1t3+ 1.Bisogna fare attenzione a non confondere la moltiplicazione tra funzioni (inquestocaso)conlacomposizionedifunzioni. Essendolaleggedicapitalizza-zione un prodotto tra C e r(t), per tornare indietro con loperazione di attualiz-zazione al capitale iniziale C, `e necessario dividere per r(t), quindi moltiplicareperil fattoredi scontov(t)=1r(t). Nei prossimi paragraintrodurremoleleggidicapitalizzazioneeattualizzazionepi` ucomuni.2.1.1 RegimedellinteressesempliceIl primo regime nanziario che analizziamo `e quello in cui linteresse `e propor-zionalesiaalcapitaleinizialeCsiaalladuratadellimpiegot,quindiquandoI= C i t, laddove i > 0 `e il tasso annuo di interesse. Annuo perch`e a 1 anno(t =1) considerandouncapitaleinizialenormalizzatoa1, i corrisponder`aesattamenteallinteressematurato. Questoregimedicapitalizzazione `edettosemplice(olineare). Solitamente, i tassi dinteressesononellordinedelcentesimo,escrittitramitepercentuali(adesempio0, 13 =13%,0, 02 =2%,ecc.). Il fattore di capitalizzazione risulta essere r(t) = 1+it, e di conseguenzalaleggedicapitalizzazioneinregimesempliceprendelaforma:M(t) = C(1 +it), t [0, +).Conseguentementeilfattorediattualizzazione `ev(t) =11 +it.Esercizio22. Calcolareil montanteottenutodauninvestimentodicapitaleinizialedi 1.000euroal tassoannuodel 3%dopo2anni e3mesi nel regimedellinteressesemplice.Useremolaformuladirettadel montante, dopoaver trasformatolaper-centualeinnumerorazionaleodecimale(3% = 3/100 = 0, 03)ei2annie3mesiinnumero,razionaleodecimale(2annie3mesi=2 + 1/4dianno=9/4 = 2, 25). Avremo:M= C(1 +it) = 1.000_1 +3100 94_= 1.000_427400_= 1.067, 5euro.Esercizio23. Inquantotempouncapitaledi 520euro, investitoinregime di capitalizzazione semplice al tassoannuodell1%generaunmontantedi 600euro?Inquestocaso,dovendoricavareil tempo,laformulavainvertita:M= C(1 +it) =MC1 = it =t =1i_MC1_.22 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALISostituendoidatidel problema,otterremo:t =11100_600520 1_= 100 852= 15, 384615anni.Leserciziopotrebbeesserenitoqui, machiaramentedal puntodi vistaope-rativoavereunnumerodecimaledi anni serveapoco. Valelapenaquindispenderequalcheparolasucomecambiarelunit`adimisuradel risultatootte-nutoinanni,mesi,giorni(sipotrebbearrivareancheaoreeminuti,mapoiilconcettononcambia). Gliannitrovatisono15,cio`e15 `elaparteinteradelnumerotrovato, epoi cenesonoulteriori 0,384615. Pertrasformarequestonumeroinmesi,bastamoltiplicarloper12,eavremo:0, 384615 12 = 4, 61538mesi.Quindi abbiamo4mesi interi eulteriori 0,61538. Percalcolarequestultimonumero decimale intermini di giorni, lo moltiplichiamo per 30, perch`e ilmesedellannocommerciale`eappuntodi30giorni(ediconseguenza,lannocommerciale`edi360giorni):0, 61538 30 = 18, 4614giorni.Moltiplicandopoiper24otterremoleore,ecc. Indenitiva,iltemporichiestodallesercizio`equindidi15anni,4mesie18giorni.2.1.2 RegimedelloscontocommercialeLasecondaformadi capitalizzazionecheincontriamo`equellacosiddettadelregimedelloscontocommerciale, cheadierenzadel regimesemplice,il cui montante`eunafunzionelinearedel tempo, qui hainveceunaformaiperbolica (e infatti in alcuni testi `e denominata di capitalizzazione iperbolica).InquestocasoloscontoSvienecomputatoproporzionalmentealladuratat,oltrecheal montanteM. Dettosloscontoper unit`adi montante, quindis =i1 +i,siha:S= M s t =C= M S= M(1 s t),dacuilaleggedicapitalizzazionerisulta:M(t) =C1 st, t _0, 1s_.Vanotatoil fattocheil dominiodellaM(t) nel regimedi scontocommer-ciale non `e denita su tutto il semiasse positivo dei tempi, ma ha come soglia,2.1. CAPITALIZZAZIONEEATTUALIZZAZIONE 23noncompresa, 1/s, incui haunasintotoverticale, mentreper valori mag-giori di tale soglia il montante risulta negativo, e quindi perde ogni signicatoeconomico.Volendofareunminimodi analisi parametrica, possiamomettereinevi-denzache,datalarelazionetrasei,quandoi `emoltopiccoloevicinoa0lo`eanches,ediconseguenzalintervallodidenizionediM(t) `emoltogrande.Allimitepers = 0,sarebbe0ancheloscontoSenoncisarebbealcunacapi-talizzazione, cio`eil montantematuratoresterebbeugualeal capitaleinizialeCinogniistante.Esercizio24. Datouninvestimentodi 2anni inregimedi scontocommercialealtassoannuodiinteressedell1, 5%,calcolareilvaloreattualedi 1.290euro.Primaditutto,applicandolarelazionetratassoannuodiinteresseetassoannuodiscontoricaviamos:s =i1 +i=15/10001015/1000= 0, 014778.Poiapplichiamolaformulaelainvertiamo:M=C1 st=C= M(1 st) ==C= 1.290 (1 2 0, 014778) = 1.251, 871921euro.Esercizio25. Calcolareil tassoannuodiinteresseacuiuninvesti-mentodi 3.000euroinregimedi scontocommercialeproduceunmontantedi 3.500euroin5anni e5mesi.Cominciamotrasformandoil tempoinunnumerodecimaleofrazionario:5 anni e 5 mesi signica 5+512=6512di anno, o anche 5, 416 anni. La formuladelloscontocommerciale,mantenendoscomeincognita,diventa:C= M M s t =s =M CM t=3.500 3.0003.500 5, 416666= 0, 026373.Inne,per ricavare i, dobbiamo invertire la formula del tasso annuo di sconto:s =i1 +i=i =s1 s=0, 0263731 0, 026373= 0, 027088,quindiil tassoirichiesto`ecircail 2, 7%.24 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALI2.1.3 RegimedellinteressecompostoDopoavervistounaleggedi capitalizzazionelineareedunaiperbolica, ve-niamonalmenteal regimenanziariodi tipoesponenziale. Perfornireunaprima spiegazione intuitiva, immaginiamo una forma di capitalizzazone in cui,istantedopoistante,ilmontantematuratogiocailruolodicapitaleinizialeelaformazionedelmontanteproseguecontinuamente.Denizione26. Unfattoredicapitalizzazioner(t)`edettoscindibileseperognit1, t2> 0,siha:r(t1 +t2) = r(t1) r(t2).Riferendoci alladenizionedi leggedi capitalizzazione, M(t1+ t2; C)=M(t2; M(t1; C)), valeadireil montanteal tempot1 + t2coincideconquellomaturatonoat1,ulteriormentereinvestitonoat2.Denizione27. Laleggedi capitalizzazionedegli interessi composti`elunicaleggescindibileedhalaforma:M(t) = C(1 +i)t, (2.1.3)dovei`eil tassoannuodiinteresse.Lapropriet`adi scindibilit`asegueinmodopiuttostoautomaticodalleca-ratteristichedi unaqualsiasi funzioneesponenziale, pi` uingeneraledellepo-tenze. Comeanchenei regimi lineareediperbolico, il montanteadunannocorrisponde a M(1) =C(1+i). Inseguito vedremo brevemente come ilcomportamentodi questefunzioni dierisceprimaedopoil primoannodicapitalizzazione.Esercizio28. Calcolareil valoreattualedi 111euroinunregimeainteressi composti, generati dauninvestimentoa2anni e7mesial tassodinteresse annuodello0, 5%. Successivamente, calcolarelinteressegeneratodaquestoinvestimento.Trasformiamoi 2anni e7mesi in2 +712=3112eavremo, invertendolaformula(2.1.3),siottiene:C= M(1 +i)t= 111 (1, 005)31/12= 109, 578996euro.Inne, linteresseprodottodallinvestimento`eugualeaM C=1, 421004euro.Esercizio 29. Consideriamounregimedicapitalizzazioneainteressicompostiincuiil capitaleinizialeinvestitoammontaa1.000euro.2.2. TASSIDINTERESSE 25Supponendo di applicare un tasso annuo di interesse dell1, 32%,quantotempodevedurarelinvestimentoanch`eil montantepro-dottoarrivi a1.400euro?Inquestocasolincognita`eil tempo,quindi(2.1.3)vainvertitanel modoseguente(ricordandolapropriet`alogaritmicaln((1 +i)t) = t ln(1 +i)):(1 +i)t=MC=ln((1 +i)t) = ln_MC_=t =ln_MC_ln(1 +i).Sostituendoidatidellesercizio,avremo:t =ln(1, 4)ln(1, 0132)=0, 3364720, 013113= 25, 659439anni.Trasformando ulteriormente in mesi e giorni,troveremo che il tempo richiestorisulta25anni,7mesie27giorni.2.2 TassidinteresseNellapraticacorrente, si faspessoriferimentoatassi dinteresserelativi aperiodi diversi dal singoloanno. Datalapropriet`adi scindibilit`adellaleggeesponenziale, risultaparticolarmenteintuitivalanozionedi tassoperiodaleequivalenteadundeterminatotassoannuodinteresse. Il tassodinteresserelativoad1/mdi annoequivalenteal tassounitarioannuoi si indicaconi1/m,ed `elegatoadidallarelazione:(1 +i1/m)m= 1 +i. (2.2.1)Invece, inregime di capitalizzazione adinteressi semplici, la relazioneanalogarisultaessere:1 +mi1/m= 1 +i i1/m=im. (2.2.2)Inpratica, inregime di interesse composto, il montante di uncapitaleCimpiegatoper unannoal tassoi `eugualeaquellodellostessocapitaleimpiegatopermemmesimidiannoaltassoi1/m.Lascindibilit`adelregimedicapitalizzazionecompostacomportacheunaoperazioneintermediadicapitalizzazionedegliinteressimaturatinonhacon-seguenzesulmontantenale,perch`ecorrispondeadunafattorizzazionedellaleggediformazionedelmontante. Essendoinfattilaleggedicapitalizzazionedellaforma: M(t) = Cr(t) = C(1 +i)t, s (0, t),siha:r(t) = r(s) r(t s) = (1 +i)s (1 +i)ts.26 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALIEsercizio30. Determinareil tassotrimestraleequivalenteal tassoannuodi interessedell1, 8%.Secerchiamountassotrimestrale,stiamodividendolannoin4trimestri,equindichiameremoi1/4taletasso. Applicandoepoiinvertendolarelazione(2.2.1)coni = 18/1.000,otterremo:(1 +i1/4)4= 1 +i i1/4=_1 +181.000_1/41 = 0, 004469 = 0, 44%.2.2.1 TassonominaledinteresseNelcasoincuiuncapitaleCsiainvestitoinregimediinteressecompostoaltassoannuoi, malinteresseprodottovengamessoadisposizionedellinve-stitoreadintervalli regolari, mvolteallanno, possiamoscriverelafunzionemontantecomeM(t) =C(1 + i1/m)mt, denendoinquestomodounaltrotassodinteresse.In questo caso,linteresse maturato ad ogni m-esimo di anno `e M(1/m) C= Ci1/m; se ad ogni frazione di anno linvestimento riparte, il capitale messoafruttotornaadessereCcomealliniziodellinvestimento;diconseguenza,ilmontanteprodottoin1annodiinvestimento `eC +mCi1/m= C(1 +mi1/m).Denizione31. Laquantit`aj(m) := m i1/m`edettatassonominaleannuodinteresse, convertibilemvoltenel-lanno.Dalla relazione sui tassi, ne segue immediatamente unaltra che lega il tassoannuodinteresseaquellonominale:i =_1 +j(m)m_m1.Si pu`o dimostrare che se gli interessi staccati ad ogni m-esimo di anno ven-gono via via investiti al tasso i equivalente a j(m), gli interessi totali maturatirisultanouguali. Infatti, I(1)=Ci; daltraparte, frazionandolinvestimentocomedescrittoinprecedenzalinteressesar`a:Ci1/mmk=1(1 +i)1(k/m)= Ci1/m(1 +i)mk=1((1 +i)1/m)k=2.3. NOZIONICOMPLEMENTARISULLACAPITALIZZAZIONE 27= Ci1/m(1 +i)1(1/m)1 (1 +i)11 (1 +i)1/m= Ci1/mi(1 +i)1/m1= Ci,avendosfruttatolasommadelleseriegeometrica,validaperogniragioneq (0, 1):nk=1qk= q 1 qn1 q.Poich`e j(1) = i, e j(m) = m[(1 +i)1/m1], si vede facilmente che j(m+1) (1 +i)tper 0 < t < 1, 1 +it < (1 +i)tper t > 1.32 CAPITOLO2. LEGGIFINANZIARIEINTERTEMPORALIEsercizio39. Unsoggettodecide di investire uncapitale di 2.500euro nel regime ad interessi composti per 4 anni e 3 mesi ad un tassosemestraledel 2%. Determinareinquanti anni otterrebbelostessomontanteseinvestisselostessocapitaleal tassoannuoequivalenteinregimeadinteressi semplici.Seil tassosemestrale`ei1/2=2/100, calcoliamoprimadi tuttoil tassoannuoequivalenteiconlarelazione(2.2.1):i =_1 +2100_21 = 4, 04%.Applichiamopoilaformuladicapitalizzazionecompostaperottenereil mon-tantea4annie3mesi(ossia4,25anni):M(4, 25) = 2.500 (1 + 0, 404)4,25= 2.958, 294926euro.Inne, uguagliamo il montante ottenuto al montante che risulterebbe dallinve-stimento in regime di capitalizzazione lineare con lo stesso capitale di partenzaericaviamoil tempot:2.500(1+0, 0404t) = 2.958, 294926t=_2.958, 2949262.5001_10, 0404== 4, 537573anni,valeadire4anni,6mesie13giorni.Capitolo3Rendite3.1 Valore di unoperazione nanziaria in regimecompostoCon le notazioni del paragrafo precedente, consideriamo un regime nanziarioainteressi composti, quindi confunzionedi capitalizzazioneesponenziale, lasua relativa inversa come legge di attualizzazione, e la forza dinteresse costante. Dorainavanti, senonspecicatodiversamente, sar`asemprequestalaformafunzionaledicapitalizzazioneusata.Uno dei concetti fondamentali della Matematica Finanziaria, che ora intro-durremo, riguardalavalutazionedi unaqualsiasi operazionenanziariax/t,ossiailcalcolodelsuovalore,adunaqualsiasidata,precedente,intermediaosuccessivaalloscadenzariodelloperazione.Denizione 40. Si chiama valore delloperazione nanziariax/t altempotlaquantit`a:W(t, x) =mk=1xke(ttk)=tktxke(ttk)+tk>txke(tkt)= M(t, x)+A(t, x),(3.1.1)dovei dueaddendi rappresentanorispettivamenteil montantegeneratodagliimporti esigibili (opagabili)allescadenzeanteriori at(M(t, x))eil valoreattualedellesommeesigibili(opagabili)indatesuccessiveat(A(t, x)).Denizione 41. Unoperazione nanziariax/t si dice equaal tempot seW(t, x) = 0.Quindi lequit`acaratterizzaunoperazionedi scambioincui, adundatoistante,il valore delle somme incassate si possa valutare uguale al valore dellesommepagate.3334 CAPITOLO3. RENDITEQuandopoi lavalutazionedi (3.1.1)vieneattuataal primooallultimoistantedelloscadenzario, abbiamosolounodei dueaddendi, cio`enel primocasoavremosoltantoil valoreattualeenel secondosoloil montante, quindipossiamodarelerelativeulterioridenizioni:Denizione42. Si chiamavaloreattuale delloperazionenanziariax/tlaquantit`a:W(t1, x) =mk=1xke(t1tk)= A(t1, x). (3.1.2)Denizione43. Sichiamamontantedelloperazionenanziariax/tlaquantit`a:W(tm, x) =mk=1xke(tmtk)= M(tm, x). (3.1.3)Esercizio 44.Data loperazione nanziaria x/t = {10, 20, 30}/{1, 2, 3},calcolarneil valoredopo1annoemezzoal tassoannuodi valuta-zionedell1%.Ricordando che lo scadenzario `e espresso in anni, applichiamo la for-mula (3.1.1) al tempo t =1, 5, quindi capitalizzando il primo importo edattualizzandoglialtri2:W(1, 5, x) = 10 (1+0, 01)1,51+20 (1+0, 01)1,52+(30) (1+0, 01)1,53== 10, 049875 + 19, 900743 29, 555560 = 0, 395058euro.Esercizio45. Dataloperazionenanziariaseguente:x/t = {100, 120, 150, x4}/{1, 2, 3, 4},determinare lultimo importo x4inmodo che tale operazione siaequa allistante iniziale t1=1 se valutata ad untasso annuo diinteressedel 2, 5%.Calcoliamoil valoredelloperazioneconil tassorichiestolasciandocomeincognitalimportodadeterminarex4:W(1, x) = 100(1+0, 025)11+(120)(1+0, 025)12+(150)(1+0, 025)13++x4 (1 + 0, 025)14= 100 117, 073170 142, 772159 + 0, 928599x4,esuccessivamenteimponiamolipotesidiequit`a:W(1, x) = 0 164, 845329+0, 928599x4= 0 x4= 177, 520467euro.Quindi x4=177, 520467 euro risulta lultimo importo che loperazione -nanziariadeveavereanch`esiaequaallistanteinizialerispettoal tassodivalutazionedel 2, 5%.3.2. GENERALIT`ASULLERENDITE 353.2 Generalit`asullerenditeLoperazione nanziaria, di fondamentale importanza, su cui ci focalizzeremo,`e la cosiddetta rendita, intesa come insieme di importi, ognuno corrispondenteadunadata. Perlesattezza:Denizione46. Sichiamarenditaunasuccessionedicapitalidariscuotere(odapagare)ascadenzedeterminate.Isingolicapitalidellarenditasidiconorate. Lerenditecertesonoquellea priori ssate nel numero,nellammontare e nelle epoche di pagamento. Unarendita`edettaperiodicaquandoleratesonoequiintervallatetraloro, co-stanteseleratesonotuttedellostessoammontare, perpetuaseil numerodellerate`einnito. Unadistinzioneimportantedafare`equellatrarenditecosiddetteanticipate,quelleincuiilpagamentodellerateavvienealliniziodiogniperiodo,equelleposticipate,nellequaliinveceavvieneallane.Per riferirci alleconsuetudini dellavitaquotidiana, ingeneraleil paga-mentodellostipendioperi dipendenti `eeettuatoinrateposticipate, men-trepergli inquilini il versamentodellattoai proprietari di case`einrateanticipate.Si parla inne di rendita unitaria quando tutte le rate, costanti, sono pariadununit`adicapitale.Uno dei problemi connessi con lo studio delle rendite `e la loro valutazione,cio`eladeterminazionediunasommachesipu`oconsiderarenanziariamenteequivalente alla rendita in un dato istante di tempo. Come nel caso preceden-tementevistodelleoperazioni nanziarieingenerale, questasommasi dir`avalore(ovalorecapitale)dellarendita. Nellateoriadellerendite,lutilizzodel regimenanziarioadinteressi composti`estandard. Chiameremot0etngliistantirispettivamenteinizialeenaledidecorrenzadellarendita.Denizione47. Il montantediunarendita`eil suovalorecapitaleriferitoal temponaletn.Sesipensaallarenditacomeadunasuccessionedisommeinentrata, `eilcapitalechesiottienesetuttelerate,appenariscosseenoallistantenale,vengonoinvestitealtassoimpiegatoperlavalutazione.Denizione48. Il valorecapitaleriferitoal tempot0oadunaltroistantetantecedenteat0sichiamavaloreattualedellarendita.Il valore attuale rappresenta la somma che, impiegata a partire dallistantedi riferimentoedinbase allalegge usataper lavalutazione stessa, risultaesattamente suciente aprodurre tutte le rate dellarenditaalle scadenzepreviste.36 CAPITOLO3. RENDITESeiltempodiriferimentodellavalutazionetprecedequellodidecorrenzadellarendita, si parladi renditadieritadelladuratat0 t. Seinveceli-stantetsceltoperlavalutazionecoincideconlistanteinizialet0, larendita`eimmediata. Quindi larendita`eimmediataoppuredieritanonacausadi caratteristicheintrinsechesue, mainbaseallistantesceltopereettuarela sua valutazione. Una rendita posticipata immediata pu`o essere considerataequivalenteadunarenditaanticipatadieritadelprimoperiodo.3.2.1 FormulefondamentalidelleseriegeometricheRichiamiamo brevemente le principali formule relative alla serie geometrica, difondamentaleimportanzanelcalcolodeivaloriattualidellerenditeedituttele ulterioriformule correlate. Per unatrattazione esaustiva delle successioniedelleseriegeometrichesipu`oconsultareadesempioilCapitolo1di[R].Proposizione49. Laseriegeometricadiragionev:nj=1vj= v +v2+. . . +vnconvergeperognivtaleche |v| < 1,elasommadellaserie`ev 1 vn1 v.Dimostrazione. Proviamoperinduzionesun. Pern = 1sihabanalmente:1j=1vj= v= v1 v11 v= v,vericataperogniv.Il secondo passo della prova per induzione richiede che si prenda la tesi delteoremacomeipotesi pern, esi provi lastessarelazionepern + 1. Bisognadunqueprovarelidentit`a:n+1j=1vj= v 1 vn+11 v.Primaditutto,scriviamolasommaaprimomembro,cherisulta:n+1j=1vj=nj=1vj+vn+1,cheperlipotesiinduttiva `eugualea:v1 vn1 v+vn+1= v_1 vn1 v+vn_= v_1 vn+vnvn+11 v_,dacuisegueevidentementelatesi.3.2. GENERALIT`ASULLERENDITE 37Passandoal limite per inniti termini dellaserie, otteniamo2ulterioriformuleutili:j=1vj= limn+nj=1=v1 v.j=0vj= v0+j=1vj= 1 +v1 v=11 v.3.2.2 ValoreattualeemontantediunarenditaInquestoparagrafo,consideriamoiiltassoannuodinteresseev= (1 + i)1il fattore annuodi sconto, e supponiamoche il valore di ciascunaratasiaunitario(R= 1). Ilvaloreattualediunarenditarappresentailcapitaleche,investitoal tassodinteressei perladuratadi nanni apartiredallistantedi riferimento, generaesattamentetutteleratedellarendita. Daorainpoiuseremoanchelanotazionestandarddiquestateoria.Proposizione 50. Il valore attuale di una rendita annua unitariaimmediataposticipatadi duratanannirisulta:an|i=1 (1 +i)ni. (3.2.1)Dimostrazione. EssendoR = 1,ladeterminazionedelvaloreattualesiriducealcalcolodellaseriegeometricalacuiragione `eilfattorediscontov:v +v2+v3+. . . +vn=nj=1vj= v 1 vn1 v==11 +i(1 +i)n1(1 +i)ni1 +i=1 (1 +i)ni,scrittointerminiditassoannuodiinteresse.Laformula(3.2.1), di notevoleimportanzaedaricordarerigorosamente,introduce un nuovo simbolo: an|i(che si legge aguratonaltassoi) `e unafunzionecrescenteinnedecrescenteini. Daquestaformula, neseguirannoalcune altre, per indicare i valori attuali di rendite con caratteristiche dierenti.Nel caso di dierimento di t anni, ossia del caso in cui ogni rata va scontataperulteriori tanni, avremocheil valoreattualedi unarenditaannuaunitariaposticipataedieritaditannisar`a:t|an|i= vt+1+vt+2+. . . +vt+n= vtnj=1vj= vt+11 vn1 v= vtan|i.38 CAPITOLO3. RENDITETalerelazionevaleperognitpositivomanonnecessariamenteintero.Pensiamooraadunasituazioneincuilarenditasiaanticipata,ogniratava scontata un anno in meno rispetto alla rendita posticipata; di conseguenza,il valoreattualediunarenditaannuaunitariaanticipataimmediatadiduratanannisar`a: an|i= 1 +v +v2+. . . +vn1=1 vn1 v.Sipu`ofacilmentevericarelarelazionetraivaloriattuali: an|i= (1 +i)an|i.Perquantoriguardainveceilcalcolodelmontante,leratevannooranonpi` uanticipate, ma capitalizzate, la prima per n1 anni, la seconda per n2 anni,la penultima per un solo anno e lultima viene pagata nello stesso istante sceltoper il calcolo del valore capitale. Quindi il montantediunarenditaannuaunitariaposticipataimmediatadiduratanannisar`adatoda:sn|i= (1 +i)n1+. . . + (1 +i) + 1 =1 (1 +i)n1 (1 +i)=(1 +i)n1i.Daquestaformulaseguelafacilerelazione:sn|i= (1 +i)nan|i.Invece, il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipataimmediatadiduratananniedieritaditannihalaforma:t| an|i= vt+vt+1+. . . +vt+n1= vt1nj=1vj= vt1 vn1 v= vt an|i.Lultima formula che esponiamo`e quella del montante di una renditaannuaunitariaimmediataanticipatadiduratananni: sn|i= (1 +i)n+ (1 +i)n1+. . . + (1 +i) == (1 +i)nn1j=0((1 +i)1)j= (1 +i)n1 (1 +i)n1 (1 +i)1= (1 +i)n an|i.Consideriamo ora alcuni esercizi svolti in cui utilizziamo le formule enunciate.Esercizio 51.Calcolare il valore attuale ed il montante di una renditaimmediataposticipataannuadi rata1.200euroedurata15anni,nel regimedellinteressecompostoesecondoil tassodi valutazionedel 12%annuo.3.2. GENERALIT`ASULLERENDITE 39Applicandolaformuladelvaloreattuale,conn = 15,trasformandoil12%nel tassoannuodiinteressei = 0, 12,esuccessivamentemoltiplicandoperlarataR = 1.200,otteniamo:Ran|i=Ri(1 (1 +i)n) =1.2000, 12 (1 (1, 12)15) = 8173, 037387euro.Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attualetrovato,ossia:sn|i= (1 +i)nan|i= (1, 12)15 8.173, 037387 = 44.735, 657592euro.Esercizio52. Dataunarendita Rdi 4rate, rispettivamentedi im-porti 1.000euro, 1.500euro, 1.600euro, 2.400euroedi scadenze1anno, 1annoe 4mesi, 1annoe 6mesi, 3anni apartire dalmomentoattuale,calcolarneil valoreattualeeil montanteal tassodi interessedel 9,5%annuo.Inquestocaso,larenditanon`ecostante,quindidovremoapplicarelafor-muladel valoreattualepesataconi singoli capitali Ci, i=1, . . . , 4coni ri-spettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi. Usiamo la scrittura A(0, R),peril valoreattuale,indicandocon0listantedivalutazione:A(0, R) = 1.000 (1 + 0, 095)1+ 1.500 (1 + 0, 095)1612++1.600 (1 + 0, 095)1812+ 2.400 (1 + 0, 095)3= 913, 242009++1.329, 043207 + 1.396, 364515 + 1.827, 969243 = 5.466, 618974euro.Il montante della rendita, che indichiamo con A(3, R), si calcola capitalizzandoa3anniil valoreattualeottenuto:A(3, R) = (1 + 0, 095)3 V (R, 0) = 7.177, 301032euro.3.2.3 CasodellerenditefrazionateConsideriamoleventualit`aincui lenannualit`adellarenditavenganotuttefrazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/mdi rata: di fatto ora i periodi sono nm. Il valore attuale relativo a questo casosi indicaa(m)n|i, egli altri simboli corrispondenti aquestocasohannotutti lostesso esponente: a(m)n|i, s(m)n|i. Bisogner`a considerare il tasso dinteresse i1/medil relativo fattore di sconto v1/m, ed otterremo lespressione del valore attualedi una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anniefrazionatainmrateugualiposticipate:a(m)n|i=1m1 (1 +i1/m)nmi1/m.40 CAPITOLO3. RENDITEOanche,ricordandolerelazioni:j(m) = mi1/m, i =_1 +j(m)m_m1,a(m)n|i=1 (1 +i)nj(m)=ij(m)an|i.Le formule riguardanti il montante ed il valore attuale nei casi posticipatoed anticipato sono del tutto analoghe a quelle gi`a viste nel caso non frazionato:s(m)n|i= (1 +i)na(m)n|i, a(m)n|i= (1 +i)1/ma(m)n|i, s(m)n|i= (1 +i)1/ms(m)n|i.Per denizione, una rendita continua `e una rendita frazionata in m periodidi durata innitesima,quindi il caso limite per m tendente allinnito. Si pu`oimmaginare che il pagamento avvenga tramite un usso continuo ed uniforme.Usiamoinquestocasolaseguentenotazioneperilvaloreattuale:an|i= limma(m)n|i= limm_ij(m)an|i_=ian|i,laddove = ln(1+i) `e lintensit`a istantanea dinteresse denita in precedenza.3.2.4 CasodellerenditeperpetueNel casoincui il numerodelleratedi unarenditasiainnito, larenditadatemporaneadiventaperpetua, edi conseguenzapossiamopensarlacomeil casolimiteperntendenteallinnito. Ovviamente, inquestocasonon`epossibile considerare il montante, non esistendo un istante nale a cui riferirsiper la capitalizzazione, quindi ci si limiter`a ad analizzare il valore attuale. Perdenizione,a|i= limnan|i= limn1 (1 +i)ni=1i.Tendendonallinnito,siottengonoleseguentisemplicirelazioni: a|i= (1 +i)a|i= 1 +1i,t|a|i= vta|i=vti,3.3. PROBLEMICONNESSIALLERENDITE 41a(m)|i= limna(m)n|i= limn_ij(m)an|i_=1j(m).Inuncertosenso,lacquistodiunbeneincontanti `eunoperazionenan-ziariasemplicechesipu`oconsiderareequivalenteallastipuladiuncontrattodi attodi durataperpetua. Percui il prezzodacquistodovrebberappre-sentare il valore attuale della rendita perpetua costituita dalle rate pagate perlatto.3.3 Problemiconnessiallerendite3.3.1 DeterminazionedelladurataLegrandezzefondamentali di unarendita(consideriamooralapi` uclassica:annuaunitariaimmediataposticipatae temporanea), come vistoinprece-denza, sonodunquelammontaredellarataannuaR, il numerodi anni n, iltassodi valutazionei, eil valoreattualedellarendita, A. Conoscendotrediquestequattrograndezze,dallaformulafondamentalepossiamoricavare,avoltefacilmenteavolteconmaggioredicolt`a,quellaignota. Poich`eA = R1 (1 +i)ni= Ran|i,ladeterminazionedi Aoppuredi Rnonpresentacomplicazioni. Vediamoinveceaqualiproblematichesipu`oandareincontroseilnostroobiettivo `eladeterminazionedelladuratan. Evidentemente,iAR= 1 (1 +i)n=(1 +i)n= 1 iAR=n = ln_1 iAR_ln(1 +i).Questespressionehasensosoloper R>iA, valeadiresoloselaratahaimportomaggioredellinteresseprodotto. Incasocontrario, il capitaleafruttonondiminuirebbemai elarenditacontinuerebbeallinnito. Per`oingenerale il valore di n non `e un numero intero; se consideriamo n = m+f, conm Z+ef (0, 1), si pu`odedurrechelinvestimento`esucienteapagaremrate, manonm + 1, cio`eil residuodopoil pagamentodellm-esimarata,capitalizzatoperunannoal tassoi, produceunmontanteminoredellarataR. Perlesattezza,ilcapitalecheresiduaammonter`aa:A(1 +i)mRsm|i= R1 (1 +i)(m+f)i(1 +i)mR(1 +i)m1i== R1 (1 +i)fi;essendof< 1,questaquantit`arisultaminorediR.42 CAPITOLO3. RENDITEEsercizio53. Uncapitaledi8.500euro`edepositatoinunfondocherendeinragionedel 10,5%annuo,nel regimedellinteressecompo-sto. Daquestofondosiprelevano2.000euroallanediognianno.Dopoquantotemposi esaurisceil capitaledi partenza?Il casoinquestione`equellodi unarenditaannuaimmediataposticipatadellaqualesononoti larataR=2.000euroedil valoreattualeA=8.500euro al tasso i = 0, 105. Di conguenza, possiamo scrivere la seguente equazionenellincognitan:8.500 = 2.000 an|0,105=17 = 4 1 (1, 105)n0, 105==0, 55375 = (1, 105)n=n = ln(0, 55375)ln(1, 105),quindi n=5, 919anni. Coni dati assegnati, allora, `epossibileprelevaredalfondorateannuali di 2.000europercinqueanni consecutivi, manonperilsesto.3.3.2 DeterminazionedeltassoUn problema dierente, e di soluzione leggermente pi` u elaborata, connesso allostudiodellerendite,`eladeterminazionedeltassodinteresseinbasealqualeunarenditaavrebbeuncertovaloreattuale,omontante,assegnato. Vediamounprimoesempioelementarepercuiabbiamobisognosoltantodellaformularisolutivadelleequazionidisecondogrado.Esercizio54. Unarenditaperiodicaannuale Rhasolo3rate, dirispettiveentit`a:R1= 1.200euro, R2= 1.600euro, R3= 2.800euro,eil suomontante`eugualea6.400euro. Calcolareil tassoannuodi interessedellarendita.Usandolavariabilechenormalmenteindicail fattoredi capitalizzazione(r = 1 +i),scriviamolaformuladel montante:V (R, 3) = 1.200r2+ 1.600r + 2.800 = 6.400 =3r2+ 4r 9 = 0,unasempliceequazionelecuiradicisono(conlaformularidotta):r1,2= 2 313,3.3. PROBLEMICONNESSIALLERENDITE 43di cui prendiamosoltantolasoluzionepositiva, perch`elaltra, essendonega-tiva, nonrispettalassiomatizzazionedellacapitalizzazione, equindi `eprivadialcunsignicatoeconomico. Inne,ricaviamoil tassoannuodiinteresse:r = 2 +313=i = r 1 = 5 313 0, 189254,quindiil tassodinteressedellarendita`ecircail 18, 92%.Ingenerale,quindi,ilproblemadelladeterminazionedeltassodiunaren-ditasiconguracomeunaltrodeipossibiliproblemiinversirispettoaquellodirettodelcalcolodelsuovalore.Ad esempio, pu`o avere senso chiedersi se sia pi` u conveniente lacquisto di unbene mediante pagamento in contanti oppure a rate. Se chiamiamo Pil prezzoincontantidapagareedRlaratacostantediuneventualerendita,converr`apagareanticipatamenteseil costodelloggettosar`aminoredel valoredellarendita,cio`eseP< Ran|i. Diconseguenza,ricordandocheladecrescenzadelvaloreattualenellargomentodel tassodinteresse, ossiaan|ij,il tassodinteressej talecheP=Ran|jsar`aquellopercui il pagamentoarate e quello in contanti saranno uguali. Una rendita con tasso dinteresse pi` ualtodijavr`avaloreattualeminore,ediconseguenzainquelcasoconverr`ailpagamento a rate. In pratica, j`e il massimo tasso dinteresse per cui convieneilpagamentoinununicasoluzionepiuttostochequelloarate.Consideriamoadesempiolasituazione incui, essendonote le quantit`aA, Redn,lanostraincognita`ei,oanche,equivalentemente,v= (1 + i)1;la formula fondamentale di una rendita annua costante posticipata immediatadiventadunqueunequazionenellincognitav:A = R(v +v2+. . . +vn) =nj=1vj=AR,che per labennotateoria delle radici dei polinomi, essendo v >0, pos-siedeunaedunasolasoluzionerealepositiva. Leeventualisoluzioninegativeoppurecomplessenonhannosignicatoeconomicoe quindi possonoesseretrascurate. Ilproblemadelladeterminazione,oquantomenodellapprossima-zionedi questaradice, si pu`oarontareinvari modi, comeil metododelletangenti di Newton oppure quello delle cosiddette approssimazioni successive.Analizziamobrevementeilsecondo,pi` ufacileedintuitivo: dettaF(v) = v +v2+. . . +vnAR,ilprimopassoconsisteneltrovareduevaloriaeb,entrambipositivi,talicheF(a) < 0eF(b) > 0;perlacontinuit`adiF(v),inquestomodoindividuiamo44 CAPITOLO3. RENDITEunintervallodellasemirettapositivarealechecontienelozerodellafunzione,ossia c (a, b)conF(c) = 0.Successivamente, prendiamo il punto medio dellintervallo, vale a direa +b2,e valutiamoF_a +b2_. Se F_a +b2_ 0,allora OpossiedeTIRpositivo.70 CAPITOLO5. CRITERIDISCELTAINCONDIZIONIDICERTEZZAEsercizio81. Unoperazione nanziaria IRconsiste inunesborsoiniziale di 150 euro, e di 3 rimborsi successivi annuali di entit`arispettiveR,2R,7R50euro. QuantodevevalerealmenoRanch`equestoinvestimentoabbiaTIRpositivo?Successivamente,calcolareil TIRdelloperazionenel casoincui R=50approssimandoloallasecondacifradecimale.Perapplicareil teoremadiNorstrm,checiassicuralesistenzadel TIR,primadobbiamoeettivamentevericareche Osiauninvestimento,equindi,oltreallacondizioneovviaR>0, dobbiamoimporrecheanchelultimaratadirimborsorisultipositiva,quindi7R 50 > 0R >507.Inoltre, dobbiamo vericare lipotesi di positivit`a della somma di tutti i terminidelloperazione:150 +R + 2R + (7R 50) > 010R > 200R > 20euro.FissiamooraR = 50eaquestopuntolinvestimentoassumelaforma:I50= x/t = {150, 50, 100, 300}/{0, 1, 2, 3}.Quindi peril calcolodel TIRdovremorisolverelequazionedi terzogradoinv:150 + 50v + 100v2+ 300v3= 0F(v) = 6v3+ 2v2+v 3 = 0.Primaditutto,notiamocheF_12_= 1, 25, F_34_= 1, 40625),di conseguenzapossiamoapplicareil metododelleapprossimazioni successiveallintervallo_12, 34_. Usandoinumeridecimali,avremo:F(0, 625) = 0, 12890625, F(0, 6875) = 0, 58251953;F(0, 65625) = 0, 21331787, F(0, 640625) = 0, 03890228;F(0, 6328125) = 0, 04581928, F(0, 63671875) = 0, 00366389;poich`elasoluzione `equindicompresatra0,63671875e0,640625,dimezziamoquestintervalloetroveremo:F(0, 638671875) = 0, 0175677,e allora, approssimatoa2cifre, v=0, 63, quindi il TIRdelloperazionerisultai=10, 63 1 0, 58.5.2. ILTIR 715.2.2 IlcriteriodelTIRGeneralmenteconsideratopi` uadeguatodel criteriodel REA, il criteriodelTIRpu`oessereriassuntocomesegue: Dati 2 progetti di investimento I1e I2, rispettivamente dotati di TIR i1ei2, I1`epreferibilea I2sei1`emaggioredii2; Dati 2 progetti di nanziamento F1e F2,rispettivamente dotati di TIRi1ei2, F1`epreferibilea F2sei1`eminoredii2.Del criteriodel TIResisteinoltreancheunavariantechepotremmodenireassoluta, nel senso che invece di confrontare 2 distinte operazioni, si pu`o ssareun tasso benchmark (una sorta di pietra di paragone) rispetto a cui confrontarelapropriaoperazione: uninvestimento`e conveniente se il TIR`e soprailbenchmark,unnanziamentolo `eseilTIR `esotto.Esercizio82. Consideriamoledueseguenti operazioni di nanzia-mento: F1: si riceveunprestitodi 800euroal tempoinizialeelosirimborsain2ratedistinte,laprimacheammontaa600eurodopounanno, elasecondadi 500eurodopo2anni. F2: siricevonoinprestitoinizialmente700euro,chevengonorimborsatiin3rate,unadi300euroallanedelprimoanno,unadi 300euroallanedel secondoeunadi 1.000euroallanedel terzo.Stabilire col criterio del TIRquale dei due nanziamenti `e pi` uconveniente.Scriviamoledueoperazioniinformaestesa:F1= {800,600,500}/{0, 1, 2},F2= {700,300,300,1.000}/{0, 1, 2, 3}.CalcoliamooraseparatamenteidueTIR,seesistonoesonounici.Nel primocaso,avremo:800 600v 500v2= 05v2+ 6v 8 = 0v1,2= 3 9 + 405=45,avendoscartatolasoluzionenegativa. Il TIRdi F1`edunque:i1=10, 8 1 = 0, 25 = 25%.72 CAPITOLO5. CRITERIDISCELTAINCONDIZIONIDICERTEZZAPerquantoriguarda F2,avremoinvece:700 300v 300v21.000v3= 010v3+ 3v2+ 3v 7 = 0,dacui,decomponendo:7v3+3v3+3v2+3v 7 = 7(v31) +3v(v2+v +1) = 7(v 1)(v2+v +1)++3v(v2+v+1) = (v2+v+1)[7(v1)+3v] = (v2+v+1)(10v7) = 0 per v=710,cheimplicail TIRi2= 3/7 = 42, 85%.PerilcriteriodelTIRapplicatoainanziamenti, F1`epreferibilea F2inquantoi1< i2.Il criterio del TIR `e esattamente quello che inconsciamente applichiamo almomento di contrarre un mutuo per lacquisto di una casa oppure un prestitopercomprareunoggettoarate.Nonostantelasuaimportanzapratica, anchequestocriteriohaqualcheaspetto discutibile: sotto laspetto tecnico-matematico, esso potrebbe non esi-stere ononessere unico, mentre sottolaspettoapplicativo, possiamofarequestariessione. Il TIR`equel tassoper cui i valori attuali delleentrateedelleuscitedi unoperazionesi equivalgono, quindi lasuaesistenzarendeessenzialmenteugualiloperazionenanziariaeuninvestimentodegliimportiaquel tassoal di fuori delloperazione. Maquestopu`oesserefattosoloas-sumendocheperuncertoperiododitempo(ancheperpi` uanni)icapitalisipossanoinvestiresulmercatoaqueltasso,echequeltassorimangacostantepertuttoqueltempo. Oggettivamente, `eunacondizionepocorealistica.5.2.3 IlTANeilTAEGDueacronimicheabbiamounp`otuttietuttesentitonominare,echeistinti-vamenteassociamoallideaditassidinteressesenzaper`ospessosapernefor-malmente ilsignicato sonoilTAN(TassoAnnuoNominale)e ilTAEG(TassoAnnuoEettivoGlobale),che compaiono,perobbligodilegge,inriferimentoaqualsiasi acquistoarate. Inparticolare, il TAEG`eaddiritturadenitoinunalegge(D.M. 8/7/1991), ed`eunodei rarissimi casi incui unaformula matematica entra in campo giuridico, nel modo seguente: il tasso cherendeuguale,subaseannua,lasommadelvaloreattualedituttigliimportichecompongonoilnanziamentoerogatodalcreditoreallasommadelvaloreattualeditutteleratedirimborso. Ilfattoimportantechedistinguei2tassi`echementrenelleratesucui `ecalcolatoilTAEGsonoeettivamenteinclusetuttelespeseaggiuntivedel nanziamento(speseassicurative, notarili, costiattuativi egestionali, eviadicendo), il TANvacalcolatoal nettodi tuttiquestialtrioneri.5.2. ILTIR 73Per questo motivo,la funzione valore attuale relativa alTAEG prende va-lori sempre maggiori di quella relativa al TAN, perci`o vale sempre la relazione:TAEG TAN. Avolte, addirittura, quandosi parladi nanziamenti cosid-dettia tasso0,siintende che ilTAN siaappunto 0,ma nonilTAEG, a partealcunicasidioertestracciate,comunquemoltorare.Esercizio83. LasignoraLauraacquistaunnuovocomputera2.000euro, darimborsare con2rate annuali da1.200euroluna. Laprimaratasar`aper`ogravatadaulteriori 50europerlaccensionedelnanziamentoeda1,50eurodibollettinopostale,mentreperlasecondaratadovr`apagaresoltantoil bollettinopostale. CalcolareilTANeil TAEGdi questonanziamento.Primadi tutto, calcoliamoil TAN, valeadireil tassorelativoallopera-zionesenzaconsiderarei costi aggiuntivi. Conlasolitavariabileaccessoriav= (1 +i)1,avremo:2.000 1.200v 1.200v2= 03v2+ 3v 5 = 0,v1=69 36TAN=9 6969 3 0, 13066238 = 13, 06%.Successivamente,passiamoal calcolodel TAEG.Considerandopureglioneriaggiuntivi,lequazionedarisolverequestavolta`e:2.000 (1.251, 5 v) (1.201, 5 v2) = 0v2= 1.251, 5 +(1.251, 5)24 1.201, 5 (2000)2.403 0, 87053239,dacuiotterremo:TAEG =10, 87053239 1 = 14, 87%.74 CAPITOLO5. CRITERIDISCELTAINCONDIZIONIDICERTEZZACapitolo6StrutturaperscadenzadeitassidinteresseTorniamoaparlaredi titoli obbligazionari, maquestavoltadal puntodivistadellalorocollocazioneallinternodi unalogicaeconomicadi mercato.Nelleconomiananziariaassumeunagrandeimportanza, alivellodi valuta-zionedei titoli, lastrutturatemporaleconsiderata, eladinamicadei prezziche sievolve sudiessa. Comespessoaccadenelleformalizzazioniscientiche,limiteremolanostraanalisi adunmercatosemplicato, ideale, incui sonovericate in ogni istante delle ipotesi standard. Allinterno di questo mercato,considereremoportafogli di zerocouponbond(ZCB, daorainpoi), quindipotremopensarli comeBoToCTz, al nedi ricavarneunavalutazione, ba-satasullastrutturadinamicadeitassidinteresse,chetengacontodellevariescadenze e delle varie quantit`a di titoli. Quello a cui ci riferiamo `e il cosiddettomercatosecondario,mentreilmercatoprimario `eproprioquellodelleastedeititoli.6.1 IpotesifondamentalidelmercatonanziarioLeassunzioni caratteristichesul mercatoinesamepossonoessereriassunteinquestalista(perunatrattazionepi` ucompleta,anchedeglialtriargomenticontenutiinquestoCapitolo,vedi[M],capitoli6,7,9): Nonfrizionalit`adei titoli: questaipotesi racchiudeins`elassenzadi costi e di gravami scali sulle transazioni, lamancanzadilimitazionisullequantit`aminimeemassimedititolivendibili,lassenzadi rischi di insolvenza(odefault), elapossibilit`aperogni agentedi assumeresempreunaposizionedebitoria(short), ossia7576CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEsono consentite le shortsales(ovenditealloscoperto); per venditaallo scoperto si intende vendita di un titolo che, al momento dellaccordo,non `eancorainpossessodeldebitore. Competitivit`adegli agenti: gli agenti sul mercatosonorazionali equindi tendono a massimizzare il proprio protto, in altri termini la lorofunzionediutilit`a `ecrescente,ealtempostessosonopricetaker,cio`enonpossonoinuenzareilprezzodeititoliconlaloroattivit`a. Assenzadi arbitraggi: Gliagentinonpossonoeettuaremanovrediarbitraggio, valeadire, inquestocontesto(il concetto`epi` uarticolatonellananzapi` uavanzata),nonpossonoeettuareoperazioninanzia-rienellequalicisianotuttiimportipositivi,otuttinonnegativiconal-meno uno di essi strettamente positivo. Gli anglosassoni, con il consuetopragmatismo,chiamanoquestoprincipionofreelunch: unqualsiasiagentenonpu`osoltantoarricchirsienonpagaremai.Nota84. Comesappiamodallattualit`a, i mercati reali sonoestremamentepi` ucomplessi. Lapossibilit`adegli agenti di giocaresupi` umercati nanziari(materieprime, oro, valutediverse, debitopubblicosovranodi vari stati delmondo) edi dierenziarei propri investimenti rendelassenzadi arbitraggiunipotesiimprobabile. Inoltre,levenditealloscopertosonostatenegliultimitempi oggettodi discussioneedanchedi regolamentazione: nel maggio2010,nel pienodellacrisigreca,lacancellieratedescaAngelaMerkel haproibitoleshortsalescomemisuraanti-speculativa(vedi[LS]).Possiamoanchedaredellarbitraggiounadenizioneformale:Denizione85. Datoil ussodicassax/t = {x1, . . . , xm}/{t1, . . . , tm},diremoche`eunarbitraggiose i {1, . . . , m}, oxi=0, oxi>0, eseesistealmenounj {1, . . . , m}talechexj> 0.Quindi, gli importi devono essere tutti nonnegativi, e almeno uno di essi po-sitivo. La propriet`a di consistenza che lassenza di arbitraggi impone comportalimpossibilit`adirealizzareprottisenzalassunzionedialcunrischio.6.2 Propriet`adeiZCBChiamiamotlistantecorrente, es tunqualunqueistantesuccessivo. Seper sintendiamoladata,omeglioancoralistantedi scadenzadi unZCB,chiamiamov(t, s) il prezzoint del ZCBunitariochescadeins, ossiache6.2. PROPRIET`ADEIZCB 77garantisce al tempo s il rimborso di 1 (unit`a di capitale). Come da denizionedelleobbligazioni di questotipo, nonci sonocedoleintermedie. Ovviamentequesta espressione del prezzo, in termini di fattore di attualizzazione in regimecomposto, `e legata ad un tasso di interesse periodale i: v(t, s) = (1 +i)ts, dacuialcunepropriet`aimmediate: v(s, s) = 1; 0 < v(t, s) < 1, per 0 t < s.La struttura esponenziale dei prezzi, detto i il tasso di interesse, implica inoltrela propriet`adidecrescenzarispettoallascadenza; sinteticamente, datoun ZCB con scadenza s ma la cui compravendita sia permessa anche al tempo s < s,siha:v(t, s) = (1 +i)ts< (1 +i)t s= v(t, s).Quindi il prezzo dello ZCB decresce allallontanarsi della scadenza dallistanteiniziale. Oanche, dati due ZCBcondiverse scadenze, valutati allostessoistante, precedente adentrambe le scadenze, il prezzodi quelloche scadeprima `emaggioredellaltro.ConsideriamooraunestensionerilevantedeiZCBunitari,ossiaquellicheallascadenzasgarantiscanoil rimborsodellammontarexs, nonnecessaria-menteugualea1, eindichiamoneil prezzoint, istantenonsuccessivoads,conilsimboloA(t, xs).Essendo i titoli innitamente divisibili, in un mercato in cui possono esseretrattati siai ZCBunitari chequelli nonunitari, il possessodi unaquantit`axsdiZCBconscadenzainseprezzov(t, s)equivalealpossessodiununicoZCB il cui valore di rimborso alla scadenza `e xs, dunque vale la propriet`adiindipendenzadallimporto:A(t, xs) = xsv(t, s), t s.Questepropriet`asonostrettamentelegateallassenzadi arbitraggi nel mer-cato,comevediamonelseguenteesempio.Esempio86. Consideriamounoscadenzario {0, 1}eunmercatoincuiven-gono comprati e venduti sia ZCB unitari(di cui intendiamo il valore unitario,1,come1.000euro)chenonunitari.Supponiamoal tempo0dicompiere2diverseazioni:1. acquistareuntitolochescadeallanno1ilcuivaloredirimborso `ex1=3.000euro;78CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSE2. venderealloscoperto3ZCBunitarichescadrannoallanno1,equindiandrannoconsegnatiinquelladata.Perlaprimaazione,il prezzodapagare`eA(0, 3.000),mentreperlasecondaazionelavenditaalloscopertofruttail guadagno3 v(0, 1).Allasecondadata, cio`eint =1, si incasser`ail rimborsodel titolononunitario, quindi da3.000euro, masi dovrannocontemporaneamenteconse-gnarei3ZCB,ognunodeiqualida1.000euro. Quindi,il bilanciodellinteraoperazionerisulter`a:A(0, 3.000) + 3v(0, 1) + 3.000 3 1.000 = 3v(0, 1) A(0, 3.000).Ora, se questaquantit`afosse positiva, avremmocompiutounamanovradiarbitraggio,cio`eavremmoottenutounguadagnopositivoinunasituazioneditotale copertura. Quindi la propriet` a di indipendenza dallimporto, che implicaA(0, 3.000) = 3v(0, 1)corrispondeallimpossibilit`adicompierearbitraggi.Da notare, inne, che se lammontare ottenuto fosse negativo, anche questopotrebbe provocare un arbitraggio, semplicemente scambiando tutti i segni, valeadirecomprareanzich`evendereeviceversa.EstendendolideadiZCBnonunitariaduninsiemedipi` utitolicondif-ferentiscadenze, possiamocomporreunportafogliodititoliobbligazionari, edenotarli esattamente come le operazioni nanziarie, ossia una sequenza di im-porti, i valori di rimborso dei titoli, e uno scadenzario, con le date di scadenzadi ciascuno di essi. Un portafoglio composto in questo modo pu`o anche esserevisto come un unico titolo obbligazionario che paghi limporto xkalla k-esimadatadiscadenza, einquestocasoilprezzodiuntitolodelgenereintcorri-sponder`a alla sommatoria, o combinazione lineare, dei prezzi dei singoli titoli,calcolatiallarispettivadatadiscadenzaepesaticonilororispettiviimporti.Insintesi,iltitolox/t = {x1, . . . , xm}/{t1, . . . , tm}avr`aintilprezzo:A(t, x) =mk=1xkv(t, tk).Anchelapropriet`adilinearit`aallabasediquestaformula `eunaconseguenzadellassenzadi arbitraggi, eunatipicaspiegazionedi questaformula`eche,sottoleipotesidiquestomercato, untitolocomplesso`ereplicabilemediantelacomposizionedi opportuni ZCBunitari. Poich`equestotitolocomplessoderivadapi` utitolielementari,quinascelabennotadenominazionedititoloderivato.6.3 PrezziaprontieprezziatermineIcontratti acui ci siamoriferiti norasonocontratti strutturati suduesoledate,quelladiaccordotralepartiperlacquistodiunobbligazione,equindi6.3. PREZZIAPRONTIEPREZZIATERMINE 79dellacquistostesso,equelladiscadenza,incuiavvienemateriamlenteilrim-borso di essa. Passiamo adesso a considerare contratti strutturati su tre date,cosiddetticontratti atermine(ocontratti forward),incuileduepartisi accordanoalladatainizialedi scambiarsi untitolochesar`aconsegnatoinunadatasuccessiva,elacuiscadenzaavverr` aadunadataancorasuccessiva.Quindi lacquisto, eil pagamentodel prezzodel titolo, avvienealladatain-termedia. Chiamiamo ancora t la prima data,tla data intermedia e s quelladiscadenza.Denizione87. DatounZCBdi scadenzaslacui vendita`edenitaintperconsegnaint,il suoprezzosar`aindicatoconv(t, t, s),pert t s,edettoprezzoatermineint perconsegnaint.Permarcareinmodopi` uchiaroladierenzaconil prezzodenitopre-cedentemente, quandoil contratto`estrutturatosolosulleduedatet eds,chiameremov(t, s)prezzoapronti(ospot).Intuitivamente, possiamoconsiderareil contrattoapronti comeuncasoparticolaredel contrattoatermine, quandoleprimeduedatesullequali `estrutturatovannoacoincidere, cio`equandoladatadi stipula`eanchequelladiconsegna(t = t):v(t, t, s) = v(t, s), t s.In caso contrario, sempre intuitivamente, si pu`o dedurre che il tempo di attesatralastipulaelaconsegnadelloZCBabbiauneettosul prezzodelloZCBstesso, inparticolarechequestoprezzorisulti maggiore, comeinunserviziodi prenotazioneapagamento, checomportauncostoaggiuntivoperil beneacquistato. Tralaltro,questofatto`ecoerenteconilconcettoallabasedellapropriet`adidecrescenzarispettoallascadenza, anchesequilascadenza`elastessa: loZCBpercuiintercorrepi` utempotralaconsegnaelascadenzahaunprezzominore.Il seguenterisultatocaratterizzacompletamentelarelazionetraprezzi apronti e prezzi a termine, come sempre sotto lipotesi di assenza di arbitraggi,ed `edettoTeoremadeiprezziimpliciti:Teorema 88. In un mercato privo di arbitraggio vale la seguente uguaglianza,adogniistantet t s:v(t, s) = v(t, t)v(t, t, s). (6.3.1)Dimostrazione. Supponiamoperassurdocheluguaglianza(6.3.1)nonvalga,ponendoadesempiov(t, s)>v(t, t)v(t, t, s)(al solito, omettiamoladimo-strazione quandoladisuguaglianzahail segnoopposto, che`e sololegger-mente dierente) e dimostriamo che sotto questa ipotesi si pu`o sviluppare unastrategiaarbitraggista,checontraddirebbelipotesidelteorema. Infatti,se:80CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSE1. al tempo iniziale, t, un investitore vende allo scoperto uno ZCB di valoreunitariodirimborsoperscadenzains,guadagnandoneilcostov(t, s);2. contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore acquista a prontiuna quantit`a di ZCB unitari scadenti al tempo t, in numero di v(t, t, s),spendendoquindiv(t, t, s)v(t, t);3. inne,sempreint,stipulauncontrattoatermineperconsegnaintdiunoZCBunitarioscadentealtempos.In conseguenza di questa strategia, alle due scadenze successive accadr`a quantosegue:1. al tempot, vieneincassatoil valoredi rimborsodei ZCBunitari inscadenzainquestadata,cio`ev(t, t, s) 1 = v(t, t, s). Semprealtempot,allinvestitore viene consegnato lo ZCB il cui contratto a termine erastatostipulatoint,equindilinvestitorenepagailprezzo: v(t, t, s);2. allascadenzas, ci sono2posizioni dachiudere: laprima`eil rimborsodelprimissimoZCBvendutoalloscoperto,concuilinvestitorepaga1,mentre la seconda `e lincasso del valore di rimborso dello ZCB compratoatermineeconsegnatoint,concuilinvestitoreincassa1.Indenitiva,ilbilanciodellinterastrategia `e:v(t, s) v(t, t, s)v(t, t) +v(t, t, s) v(t, t, s) 1 + 1 == v(t, s) v(t, t, s)v(t, t) > 0,perlipotesi iniziale, quindi il mercatoammetteunastrategiadi arbitraggio,elipotesidelteorema `econtraddetta.Esercizio89. DatounBoTil cui prezzoallistantet = 0`e950euroechegaratisceunvaloredi rimborsodi 1.000eurodopo6mesi,eunaltroBoTil cui prezzoin0`e980eurochegarantisce1.000eurodopo3mesi, calcolareil prezzoaterminedellostessotitoloperconsegnaa3mesiescadenzaa6mesisottolipotesidiassenzadi arbitraggi.Dalleipotesidescritte,sihannoiprezziaprontiseguenti:v(0, 1/2) =9501.000= 0, 95, v(0, 1/4) =9801.000= 0, 98,quindidal teoremadeiprezziimplicitidovr`arisultare:v(0, 1/4, 1/2) =v(0, 1/2)v(0, 1/4)=0, 950, 98= 0, 969387.6.3. PREZZIAPRONTIEPREZZIATERMINE 81Ossia, lettointermini di assenzadi arbitraggi, laquantit`aesattadi titoliunitari a3mesi daacquistarepercoprirsi dallavenditaalloscopertodi untitoloa6mesiinquestomercato`e0,969387.Dallesercizioprecedente, si notapiuttostochiaramente che se conside-riamo i prezzi come fattori di sconto esponenziale in regime composto, avremodiversi tassi dinteresse. Usandolastessaterminologiadei prezzi, deniremotassiapronti(ospot)quellilegatiaicontrattiaprontietassiatermine(oforward)quellidenitineicontrattiatermine.Inparticolare,inregimeesponenzialelarelazionetratassisar`adatada:v(t, s) = (1 +i(t, s))ts, v(t, t) = (1 +i(t, t))ttv(t, t, s) =(1 +i(t, s))ts(1 +i(t, t))tt,equestodenir`ailtassoimplicitodelcontrattoaterminei(t, t, s):i(t, t, s) =_1v(t, t, s)_ 1st1 =_(1 +i(t, t))tt(1 +i(t, s))ts_1st1. (6.3.2)Applicandolaformula(6.3.2)allesercizio88, calcoliamoilrelativotassoim-plicito:i(0, 1/4, 1/2) =_10, 969387_ 11/21/41 = 0, 132429 = 13, 2429%.Lepropriet`adei prezzi apronti sonoabbastanzafacilmentededucibili dallarelazione(6.3.1): positivit`a,decrescenzarispettoallascadenza,eccetera.Avolte si utilizzaanche lacosiddettastruttura delle intensit`a deirendimentiascadenza,passandoailogaritmi:h(t, t, s) = log[1 +i(t, t, s)], t t s.Il seguente esercizio esemplica il calcolo di una struttura dei prezzi e dei tassiapronti inunmercatoincui sonoosservati i prezzi di diversequantit`adiZCB.Esercizio90. Determinarelestrutturedeiprezziedeitassiaprontiinunmercatostrutturatosu4anni, i cui prezzi osservati int=0annoperannorisultano(ineuro):A(0, x1) = 80, A(0, x2) = 75, A(0, x3) = 100, A(0, x4) = 90,conleseguenti quantit`adi ZCB:x1= 85, x2= 90, x3= 110, x4= 95.82CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSELa struttura dei prezzi a pronti `e facilmente ottenuta dallapplicazione dellapropriet`adellindipendenzadallimporto,ossia:v(0, k) =A(0, xk)xk,perk = 1, 2, 3, 4,quindi:v(0, 1) =8085= 0, 941176, v(0, 2) =7590= 0, 833333,v(0, 3) =100110= 0, 909090, v(0, 4) =9095= 0, 947368,ediconseguenzalastrutturadeitassispot`edatada:i(0, 1) =10, 941176 1 = 0, 0625 6, 25%,i(0, 2) =_10, 833333_121 = 0, 095445 9, 54%,i(0, 3) =_10, 909090_131 = 0, 032280 3, 22%,i(0, 4) =_10, 947368_141 = 0, 013608 1, 36%.Esempio91. Nel linguaggiocorrente, anchesenzamoltecompetenzenan-ziarie,siparlaspessodispeculazione. Vediamocomepotrebbecongurarsiunsemplicecasodi speculazionetramitelusodi contratti spot eforward. Sup-poniamoche ci siano2traders, Giulioe Mario; Giuliovende aMariounBoTconconsegna6mesidopoescadenzaadunannoaunprezzopressatoA1, concordandoconlacontropartedi ricomprarloapronti immediatamentedopo6mesi. Nel frattempo, i tassi di mercatosi muovonoedopo6mesi,Giulioriacquister`ail titolovenduto. Se nel frattempoil prezzodi mercatoA2sar`amaggioredi A1, cio`ei tassi si sarannoabbassati, Giuliopagher`aaMarioladierenzaA2 A1, altrimenti viceversa. Masenel periodosucces-sivoi tassi si abbasserannoulteriormente, Giuliopotr`adi nuovovendereiltitolo,ilcuiprezzosar`aulteriormentecresciuto. Unondatadispeculazionesivericaquandoungrandemassadi investitori realizzacontemporaneamentedellecompravenditediquestotipo,oanchebenpi` ucomplesse. Naturalmente,landamentodei tassi nonpu`oesseredeterminatoconassolutacertezza, masoltantoprevisto. Quellocheaccadepraticamentesempreintutti i mercatinanziari `echeitassi,equindiivalorideititoli,cambianocontinuamente,equestorendelemanovrediarbitraggiopossibilinellarealt`a.6.3. PREZZIAPRONTIEPREZZIATERMINE 836.3.1 StrutturadeitassiequotazionediuntitoloComepossiamolegarelaquotazionediuntitoloallasuastrutturadeiprezziodeitassi?Nellesempio-guidaseguenteconsidereremoungenericotitoloconcedolecostanti(adesempiounBTp)eneconfronteremoilprezzodatodallastrutturadimercatoinvigoreconquellodiemissione,ricordandoilconcettodiquotazionesopraesottolapari.Esempio 92. Al tempo t = 0, consideriamo un BTp che garantisce il seguenteussodipagamentiannuali:x/t = {5, 5, 5, 5, 105}/{1, 2, 3, 4, 5}.Supponiamochenel mercatosiainvigoreunastrutturaistantaneadeirendi-mentidellaformah(0, k) =k10,equindi lestrutturedei tassi edei prezzi adessaassociatesonorispettiva-mente:i(0, k) = ek10 1, v(0, k) = ek210.Il prezzodel BTp,calcolatoinbaseaquestastruttura,risulta:P= 5_e110+e410+e910+e1610_+ 105e2510= 19, 53693euro,edunque`equotatosottolapari,inquanto19, 53693 = P< C= 100.Analizzandolecaratteristichedel titolo, si notafacilmentecheil suotassocedolare`edel 5%, mentreil TIR(lacui esistenza`eassicuratadal Teorema77)isi pu`ocalcolareapplicandoil metododelleapprossimazioni successiveperdeterminareunaradicedellequazione:5v+5v2+5v3+5v4+105v5= 19, 53693 21v5+v4+v3+v2+v3, 907386 = 0,da cui si ricava che v 0, 65,e quindi i 53, 84% (spropositatamente alto).Dallultimoesempio,possiamonotareuninteressanteeetto: quando un titolo con cedole `e quotato sotto la pari, il suo TIR `e maggioredelsuotassocedolare; quando invece `e quotato sopra la pari,il suo TIR `e minore del suo tassocedolare.84CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEDenizione93. Si denisce tassodiparit`a(oparyield) il tasso cedolareiPdi un titolo obbligazionario a cedola ssa che, valutato in base alla strutturaperscadenzainvigoreal tempot,quotail titoloallapari.Chiaramente,iltassodiparit`a `eugualealTIRdelussorelativo,quindipercalcolarlopossiamousarelastessatecnica.Esercizio94. Datoil BTpa3anni di valoredi rimborso100euro,determinarelacedolasemestraleeil tassodi parit`aselastrutturadi rendimentoascadenzainvigoresul mercato`edatadai(0, k) = ek100 1.ChiamiamoIlacedolasemestraledacalcolare,e Pil prezzodiemissionedel titolo; considerando anche listante t = 0, loperazione nanziaria associatapu`oessereespressacomesegue:x/t = {P, I, I, I, I, I, 100 +I}/{0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3}.Secalcoliamoilvaloreattualedelleposteinentratadelussousandolastrut-turadata,corrispondenteaiprezziv(0, k) = ek2100,lasiandoindicatalacedolaI,avremo:I_e1400+e1100+e9400+e125+e25400_++(100 +I)e9100= 100I= 1, 489228euro. QuindiI`elacedolasemestralerichiestaeinoltrecontemporaneamenteabbiamoanchedeterminatoil tassodiparit`a,appuntoiP= 1, 489228%.Insintesi, abbiamocostruitountitoloquotatoallapari, ossiaconprezzodi emissionepari aprezzodi rimborso, secondounastrutturadei rendimentidatadal mercato. Il bondottenutohaprezzodi emissione100euro, paga5cedole semestrali di 1,489228 e allo scadere dei 3 anni ha un valore di rimborsodi101,489228euro.Le informazioni sui tassi dinteresse del mercato, oalmenodi unmer-catosottoleipotesicheabbiamodescritto, sonocontenuteallinternodiunacosiddettastrutturadeitassi,chearonteremonelprossimoparagrafo.6.4 LadeterminazionedellastrutturaperscadenzaConsideriamoil problemadellamisurazionedellastrutturaperscadenzadeitassidiinteressecomeproblemadialgebralinearestandard.6.4. LADETERMINAZIONEDELLASTRUTTURAPERSCADENZA 85Supponiamocheal tempotsianotrattati (e, comunque, osservabili)sulmercatontitoli obbligazionari, nonnecessariamente acedolanulla. Indi-chiamo cont ={t1, . . . , tm} lo scadenzario comune a tutti i titoli, otte-nutocomeinsiemeunionedegli nscadenzari caratteristici dei singoli titoli.Indichiamoinoltreconxi= {xi1, xi2, . . . , xim}il usso di pagamenti generati dalli-esimo titolo. Nelle date dello scadenzariototale t incui il titolo i-esimo nonemette pagamenti, il valore che vieneimmesso`e0. ChiamiamooraAi=A(t, xi), peri =1, . . . , n, il prezzodeltitoloi-esimoosservatosulmercatoaltempot.Il problema che ci si pone `e quello di determinare gli m prezzi (o fattori disconto):v(t, tk) := vktaliche Ai=mj=1xijvj, i = 1, 2, . . . , n.DettirispettivamenteAevivettori:A =t(A1, . . . , An), v =t(v1, . . . , vm),econXlamatricedei pagamenti, di nrighe, corrispondenti ai titoli, edmcolonne,corrispondentiallescadenze:X = (xij), i = 1, . . . , n, j= 1, . . . , m,abbiamo un sistema lineare di nequazioni in mincognite, che in formamatriciale `edellaforma:Xv = A.Il rangodellamatrice, rank(X)individuail massimonumerodi ussi dipagamenti linearmente indipendenti tra loro. Invece, la dierenza nrank(X)indica il numero di titoli che possono essere considerati ridondanti, ossia il cuiussosipu`ootteneretramiteunacombinazionelinearediussidialtrititoli.Possono vericarsi diverse situazioni, in base al tipo di sistema che abbiamoed in base al numero delle sue soluzioni, ben noto grazie al Teorema di Rouch`e-Capelli.Lapresenzadititoliridondanti,quindiottenibilicomeportafoglicostruiticongli altri titoli, pu`odareluogoadunasituazioneincui, seunodei titoli`emal prezzato, ossiaselasuaquotazionenoncoincideconlacombinazionelinearedellequotazionideititolichenecostituisconoilportafoglio,ilsistemadi equazioni risultaincompatibile. Ci`osignicache nonesiste unsistemadi prezzi di titoli acedolanullaunitari chepossasoddisfaretutteleipotesi86CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEdel mercato, e questopotrebbe portare adunaviolazione del principiodiarbitraggio.Invece,nelcasoincuiuntitoloridondante siabenprezzato,alloralequa-zione associata non produce alcuna violazione delle propriet`a del mercato, manon aggiunge alcuna condizione nella determinazione della struttura di prezzi,ossia noncontribuisce inalcunmodo al sistema, come nei casi di sistemiindeterminati,cio`econinnitesoluzioni.Assumiamocheinogni cason m, perch`eincasocontrarioci sarebbelacertezzadi averen mtitoli ridondanti. Per`oancheinquestocaso, spe-cialmentesem > n,ilsistema `eindeterminato,ed `eperci`opossibilesceglierearbitrariamente mndiverse struttureperscadenzache nonviolanoilprin-cipiodiarbitraggio. Invece,lipotesichelasoluzionedelsistemacoincideconquelladi completezzadel mercato, cherichiedecheil numerodei titoli nonridondantisiaugualealnumerodidatesulloscadenzariot.Esempio95. Calcoliamolastrutturaper scadenzadei tassi dinteresse, aprontieatermine,inunmercatoincuial tempot = 0sianotrattatiquattrotitoliobbligazionari,caratterizzatidaiussiseguenti:titolo1: {8, 8, 8, 108}/{1, 2, 3, 4},titolo2: {5, 5, 105}/{1, 2, 3},titolo3: {5, 105}/{1, 2},titolo4: {100}/{1},aiprezzi:A1= 98euro, A2= 97euro, A3= 95 euro, A4= 93euro.Loscadenzariocomune`et = {1, 2, 3, 4},contempi espressi inanni, e i ussi dei titoli, rideniti sulloscadenzariocomune,sonoiseguenti:x1= {8, 8, 8, 108}, x2= {5, 5, 105, 0},x3= {5, 105, 0, 0}, x4= {100, 0, 0, 0},dacui,lamatrice4 4assumelaforma:X =____8 8 8 1085 5 105 05 105 0 0100 0 0 0____,diconseguenzail sistemalineareassociatodiventa:6.4. LADETERMINAZIONEDELLASTRUTTURAPERSCADENZA 87X____v1v2v3v4____=____98979593____=___8v1 + 8v2 + 8v3 + 108v4= 985v1 + 5v2 + 105v3= 975v1 + 105v2= 95100v1= 93.Questosistemaammetteununicasoluzioneinquantodet(X) = (108) 105 (105) 100 = 0rank(X) = 4.Lesoluzionisonofacilmentecalcolabili:v1= 0, 93, v2= 0, 860476, v3= 0, 838548, v4= 0, 712664.Lastrutturadeitassiaprontisiricavadallerelazioni:ij=_1vj_ij1, j= 1, 2, 3, 4,quindii1=10, 93 1 = 0, 075268 7, 52%,i2=_10, 860476_121 = 0, 078029 7, 8%,i3=_10, 838548_131 = 0, 060451 6, 04%,i4=_10, 712664_141 = 0, 088375 8, 83%.Per quantoriguardainvecelastrutturadei prezzi atermine, laformuladautilizzareperiprezzi`edataancoradalla(6.3.1):v(0, k, k + 1) =v(0, k + 1)v(0, k)=vk+1vk, k = 1, 2, 3. (6.4.1)Applicando(6.4.1),avremoiseguenti:v(0, 1, 2) =v(0, 2)v(0, 1)=0, 8604760, 93= 0, 925243;v(0, 2, 3) =v(0, 3)v(0, 2)=0, 8385480, 860476= 0, 974516;v(0, 3, 4) =v(0, 4)v(0, 3)=0, 7126640, 838548= 0, 849878.88CAPITOLO6. STRUTTURAPER SCADENZADEI TASSI DINTERESSEInne,lastrutturadeitassiimplicitirisultadallapplicazionedi(6.3.2):i(0, 1, 2) =10, 925243 1 = 0, 080797 8, 07%;i(0, 2, 3) =10, 974516 1 = 0, 02615 2, 61%;i(0, 3, 4) =10, 849878 1 = 0, 176639 17, 66%.Capitolo7PrincipidiimmunizzazionenanziariaLideaallabasedellimmunizzazionenanziaria, oanchedellacosid-dettacopertura,nascedallesigenzadipossedere,inqualsiasiistanteduranteunoperazionenanziaria, unaquantit`adi capitalesucienteafarfronteaeventuali necessit`a. Inambitonanziario, immunizzarsi nei confronti di varirischi (di tasso, ecc.)signica ad esempio costruire dei portafogli di copertura,che siano possibilmente privi di rischio. In ambito attuariale le compagnie as-sicurativechestipulinodei contratti di assicurazionedevonoaccantonarelacosiddetta riserva matematica, ossia un ammontare che copra tutte le possibilispesealeatorieechesiadisponibileinogniistanteditempo.Quicioccuperemosoltantodellimmunizzazionedelleoperazioninanzia-rie gi`a trattate in precedenza,ed enunceremo qualche risultato standard dellateoriadellimmunizzazione,neicasiadunaopi` uuscite.7.1 IndicitemporalidiunussodipagamentiConsideriamonuovamenteunagenericaoperazionenanziariax/t = {x1, . . . , xm}/{t1, . . . , tm}.Avolterisultautileusaredegliindicisinteticicheriassumanocertecaratteri-stichespecichedelussonanziario.Denizione96. Sideniscescadenza(omaturity)il tempotm,evitaascadenza(otimetomaturity)altempotlavitaresidua,cio`eladierenzatmt.8990 CAPITOLO7. PRINCIPIDIIMMUNIZZAZIONEFINANZIARIADenizione97. Sideniscescadenzamediaaritmeticatlamediadellescadenze pesate con le poste del usso, assumendo che siano tutte non negative,cio`e:t :=mk=1xk(t tk)mk=1xk;t rappresenta, sicamente parlando, la distanza dallistante t del baricentrodelladistribuzionedellemassemk:= xk/mj=1xjsullassedeitempi.7.2 LaduratamediananziariaSe ssiamo un tasso di valutazione j e quindi un regime a interessi composti confattore di attualizzazione v(t, tk) = (1+j)ttk, possiamo denire un importanteindice sintetico che tiene conto della struttura dei prezzi a pronti in vigore sulmercato:Denizione98. Si denisceduratamediananziaria(oduration)altempotlaseguentequantit`a:D(t, x) =mk=1(t tk)xkv(t, tk)mk=1xkv(t, tk). (7.2.1)Ricordandolapropriet`adilinearit`adeiprezzielarelazionitraprezzideititoliacedolanullaunitarienonunitari:A(t, xs) = xs v(t, s), A(t, x) =mk=1xkv(t, tk),possiamoesprimereladuratamediananziariacomesegue:D(t, x) =mk=1(t tk)V (t, xk)V (t, x).D(t, x) rappresenta la media aritmetica delle vite a scadenza, questa volta per`opesataconivaloriattualidellepostedelussocalcolatisecondolastrutturaascadenzainvigoreilmercatoaltempot.Ovviamente,valelacatenadidisuguaglianze:t1t D(t, x) tmt,conleuguaglianzechevalgonosoltantoselunicapostanonnulladelusso `ex1altempot1oppurexmaltempotm.Laduration`e talvoltaanche dettatempo ottimo di smobilizzo, inriferimentoal fatto, per il Teoremadi Fisher-Weil chesuccessivamenteve-dremo, che indica listante in cui il proprio portafoglio `e immunizzato e quindi7.2. LADURATAMEDIAFINANZIARIA 91convienesmobilizzareil proprioinvestimento. Il concettodi smobilizzo`eva-riamente usato in Economia e in Finanza per denotare le operazioni di cessionecreditiperottenereliquidit`aimmediata.Esempio99. Ricordandolarelazionedatadallastrutturadeitassiapronti:i(t, s) =_1v(t, s)_ 1st1,consideriamoint = 0unastrutturadelleintensit`adirendimentoascadenzadel tipo:h(t, t +) =1log(v(t, t +)) = 0.05;datoil ussox/t = {10, 20, 30}/{1, 2, 5, 3, 3},lascadenzamediaaritmetica`edatada:t =10 1 + 20 2, 5 + 30 3, 310 + 20 + 30= 2, 65anni,valeadire2anni, 7mesi e24giorni, intermini di annocommerciale. Laduratamediananziariavalutataallistanteinizialevainvececalcolatadopoaverricavatopreliminarmentelastrutturadeiprezziapronti:v(t, s) = eh(t,s)(st)=v(t, t +) = eh(t,t+)= e0,052;allorapossiamofacilmentecalcolare:v(0, 1) = e0,05= 0, 9512;v(0, 2, 5) = e0,05(2,5)2= 0, 7316;v(0, 3, 3) = e0,05(3,3)2= 0, 581.AlloraA(0, x) = x1v(0, 1) +x2v(0, 2, 5) +x3v(0, 3, 3) = 41, 547euro,ealloraladuratamediananziariaal tempo0risulta:D(0, x) =1 10 v(0, 1) + 2, 5 20 v(0, 2, 5) + 3, 3 30 v(0, 3, 3)41, 547== 2, 492anni, 5mesi, 27giorni.Risulta ancora pi` u semplice il calcolo della durata media nanziaria quandoabbiamo untasso di valutazione ssato e nonabbiamo quindi bisogno dicalcolarelastrutturadeiprezziapronti,comenelseguentecaso.92 CAPITOLO7. PRINCIPIDIIMMUNIZZAZIONEFINANZIARIAEsercizio100. Calcolarelascadenzamediaaritmeticae laduratamediananziariadel ussox/t = {1.000, 2.000, 3.500, 5.000}/{3, 6, 9, 12},laddovelepostesonoespresseineuroei tempi inmesi, al tempoinizialet = 0eal tassodi valutazionedel 4%.Essendolescadenzeespresseinmesi, sar`aespressainmesi purelasca-denzamediananziaria:t =1.000 3 + 2.000 6 + 3.500 9 + 5.000 121.000 + 2.000 + 3.500 + 5.000= 9, 26mesi = 9mesie7giorni.Nella durata media nanziaria, al denominatore c`e il valore attuale delleposte,dunque:A(0, x) = 1.000(1, 04)312 +2.000(1, 04)612 +3.500(1, 04)912 +5.000(1, 04)1== 11.157, 641513euro. Il numeratore`einvecedatodallaquantit`a:3 1.000(1, 04)312 +6 2.000(1, 04)612 +9 3.500(1, 04)912 +12 5.000(1, 04)1= 103.016, 91007155 mesi euro, e di conseguenza la durata media nanziariaammontaa:D(0, x) =103.016, 9100715511.157, 641513= 9, 23mesi = 9mesie6giorni.7.2.1 DuratamediananziariaconstrutturapiattaSi possonovericarediversi casi di ussi nanziari, adesempioincondizionidistrutturadeitassidinteressecostanteadunlivelloi,ossia:i(t, s) = i =costante, t s.Questo `e il caso di durationastrutturapiatta (o atyieldcurvedura-tion):D(t, x) =mk=1(tk t)xk(1 +i)(tkt