Matematica i Modulo IV (177)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

Yensamienfo JTaiemáfico y JTO¿~/~¿O con JTaiemáiica

/%qeniería, J7fafemáfica y Cducación ~Tafemáfica)

ESTUDIOS GENERALES

/ g 7 . 2 Matemática L / [elaborado por] Belkis Escobar 1 .[e< al]. 1 1 M38 -- Caracas: UNA, 1998. 1 1

3 v. : i1. ; 29 cm. ISBN 980-236-582-3 (v. 1); 980-236-581 -5 ( 1 .2); 980-236-583-3 (v.3.) v. l. Conjuntos numéricos/ Belkis Lameda, Mauricio Orellana Chacín; v.2. gráficas1 Mauricio Orellana v.3. Sucesiones, nociones de funciones de R en W "Estudios Generales" Reimp. 5ta. de 2005

1. Matemática. 2. Funciones (Matemáticas). . Conjuntos- f i

Matemáticas. 4. Educación a distancia--Módul de estudio. 1. Universidad Nacional Abierta. 11. Escobar, Ikis. 111. Lameda, Alejandra. N . Orellana Chacín, auricio.

V. Márquez Gordones, Luis. VI. Chacón Ram n. VII. Rivas, Sergio.

Todos los derechos reservados. Prohibida la reprotlucció total o parcial por cualquier medio gráfico, audio? isual computarizado, sin previa autorización escrita.

Universidad Nacional Abierta Apartado Postal No 2096 Caracas 1.010 A, Carmelitas, Venezuela

Copyright O UNA 1998 I ISBN 980-236-582-3 (v.1) ISBN 980-236-581-5 (v.2) ISBN 980-236-583-3 (v.3) Quinta reimpresión, 2005

Registro de Publicaciones de la Universidad Nacional Abierta

No UNA-EG-98-0462

PRESENTACIÓN DEL CURSO MATEMÁTICA 1

El texto presente inicia una nueva fase dentro de los estudios de las asignaturas de matemática correspondientes al CICLO DE ESTUDIOS GENERALES de la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA, el cual está conformado, en lo concerniente a matemática, por dos asignaturas: Matemática 1 y Matemática 11. El texto que aquí presentamos se refiere a MATEMÁTICA I(177).

El contenido inicial del curso de Matemática 1 y los textos precedentes, con los que se inauguraron los estudios de dicha asignatura en la Universidad Nacional Abierta, se remontan al año 1980, data en que la naciente universidad comenzaba a recibir su primer contingente de estudiantes en el Ciclo de Estudios Generales. Estos estudiantes se diversificaron hacia las distintas carreras ofrecidas por la Universidad y sus estudios se desarrollaron mediante la modalidad de EDUCACIÓN A DISTANCIA. Para la época era una modalidad de estudio innovadora en Venezuela, aunque otras instituciones universitarias ya tenían ciertos estudios " s u ~ ~ N ~ s ~ ~ o s " , sin carácter presencial. El inicio de la Universidad. totalmente centrada en la educación a distancia, marcó hito en la educación superior venezolana.

Es razonable pensar que, frente a un ensayo tan novedoso para ese entonces, parte de los diseños curriculares y del material instruccional con el que se contaba presentaba algunas carencias entre ellas las de tipo metodológico, puesto que el material instruccional tuvo que adaptarse a esa forma innovadora de enseñanza y el país no tenia la experiencia suficiente en ese campo educativo.

El primer texto del curso de Matemática 1 estuvo constituido por dos tomos conformados por nueve módulos de instrucción. Los primeros cambios de este texto se realizaron en el primer año de su implantación cuando se elaboró un folleto complementario donde se incorporaron un conjunto de problemas de apoyo al estudiante y las distintas fe de erratas de los módulos de instrucción. En 1981 se fusionaron en un único tomo los dos volúmenes existentes, incorporando los ejercicios del folleto complementario y eliminando el último módulo del texto, relacionado con estructuras algebraicas. Posteriormente, en el año 1985 se agregaron más de 200 ejercicios, con el fin de reforzar y complementar los contenidos del curso y finalmente en 1986 se elaboró otra edición incluyendo las respuestas detalladas de las distintas autoevaluaciones, explicando el por qué de cada alternativa correcta de respuesta. En estas distintas ediciones no se modificaron los contenidos programáticos (salvo la exclusión del último módulo del primer texto) ni el disefio del texto, talito en su diagramacion como en el diseño de instrucción, el cual ha permanecido hasta el presente en sus ediciones sucesivas.

Pasados varios años de utilización de ese material instruccional, muchos miembros de la comunidad universitaria de la Universidad Nacional Abierta, entre ellos, personal académico del área de Matemática, autoridades universitarias, asesores de Matemática de los centros locales, personal docente de otras áreas académicas de la Universidad y estudiantes, consideraban necesario hacer una revisión de los contenidos de matemática impartidos en el ciclo de Estudios Generales e igualmente se hacían señalamientos en torno a aspectos metodológicos.

Fue así que, hacia mediados de 1993, las autondadesde la Universidad decidieron realizar una renovación de varios textos en respuesta a las inquietudes antes mencionadas y, en consecuencia, se decidió llevar adelante un proyecto para la elaboración de nuevos materiales instruccionales de Matemática 1 y Matemática 11, entre los que se encuentran la producción de módulos, audiocassettes (con guía de actividades) y videocassettes de estas asignaturas.

Para emprender esta labor era imperativo detectar previamente un conjunto de necesidades vinculadas con los cambios que luego fueron propuestos, concernientes a las mencionadas asignaturas. En el estudio que se llevó a cabo, a través de encuestas, entrevistas grabadas y diversas discusiones, participaron los miembros del área de Matemática, asesores de matemática y estudiantes de varios centros locales, algunos miembros de otras áreas académicas de la Universidad y docentes de otras instituciones relacionados con las carreras de Preescolar y Dificultades de Aprendizaje.

Producto de la información recabada se concluyó que los materiales inst uccionales de Maternbtlca 1 y Matematica 11 presentaban diversas deficiencias; entre otras: presentación 1 desarrollo de los contenidos, aspectos metodológicos, utilización escasa de los videocassettes elaborados para dichas asignaturas. Por esto era necesario elaborar nuevos materiales lnstruccionales que se oriei'itaran E superar las fallas encontradas, con un disefio distinto y, además, actualizar los contenidos pues los aitterlorc s tenlan más de diez afios de vigencia.

Sobre la base de ciertos materiales lnstruccionales últimos afios, dg trabajos acerca de la ensefianza de la matemática y de las diversas w n miembros del personal docente del Brea de Matemática y de otras Instituciones, y diagramaclón de libros, se generó un nuevo modelo para superan publicaciones escritas por mi anteriormente. Su seguimiento posterior, por decidir si nos encontramos en un camino adecuado y cuáles

Considero que los nuevos libros para enseilar matemática, esrlecial nte en los primeros dos anos universitarios. deben tener ciertas caracteristicas aue rom~an con el con un patrón muy generalizado.'de escribir los libros de matemática, én la secuencia siguiente: Concepto (Definición)-Teorema o

Con el objeto de Innovar se plantea un disefio divergente y una diagra ción que combine aspectos de I

lo tradicional con varios de los 'brocesos"aue son esenciales para la de la matemática de parte de los es!udiantes, entre los que destacan: obse~ar, comparar, reladonar clasificar, analizar, sintetizar y generalizar. I

Estimo que el modelo para escribir los libros, lo que esta plasmad en la lectura de los diferentes Módulos que Integran este curso, se puede lograr incorporando los

Cuadros resúmenes de repaso. I El disefio de las páginas con un ángulo recto que escribir, en el margen derecho o izquierdo, notas para recordar tópicos conocidos o llamar la atención sobre algún aspecto que se está desarrollando a los fines de no distraer lo resefias históricas, comentarios sobre el

lconos colocados en el margen derecho0 Izquierdo. 1 Resaltar lo esencial.

Repetir, cuando sea necesario, contenidos ya dos en temas anteriores con el firi de no distraer la atención de los estudiantes a unidades o páginas anteriores.

Incorporación de desplegados. I Mapas conceptuales. I Resolver y proponer ejercicios que tengbn una n histórica o del tipo "matemática readvaa*.

Graduación por habilidades y niveles de de los ejercicios resueltos y propuestos. Estos se han clasificado en: y problemas, siendo necesario evitar el recargo en los ejemplos una práctica corriente en la ensefianza de la universitaria, lo que entorpece y no permite a los correspondientes a los niveles de

Diagramación bifurcada cuando sea necesario, escrl en dos, tres o cuatio columnas, con el objeto de comparar y relaclor~ar.

Además, se utiliza la tecnologfa actual de los procesadores de textos con el fin de lograr una diagramación "agradable" para la lectura del material escrito. Se ilustran, en la medida de lo posible, los conceptos, proposiciones y, en general, el contenido matemático con profusión de gráficos y diagramas y se hace uso intensivo de las calculadoras científicas.

El curso de Matemática 1 está compuesto de cuatro módulos de aprendizaje, tres de ellos son comunes y un cuarto diferenciado el cual está orientado a proporcionar recursos utilizados en situaciones relacionadas con los campos profesionales de las distintas carreras. Los tres módulos comunes son:

Módulo 1: Conjuntos numéricos

Módulo 11: Funciones y representaciones gráficas

Módulo~II : Sucesiones. Nociones elementales de limites y continuidad de funciones de R en R

Y los módulos diferenciados son:

Módulo I V Pensamiento matemático y modelando con matemática. (177) (Ingenierla de Sistemas, Ingeniería Industrial, Matemática y Educación Matemática)

MóduloIV Aplicaciones de las funciones a las ciencias administrativas. (176) (Administración y Contaduria)

Módulo I V Algunos tópicos de Geometria, Aritmética y Algebra desarrollados en Preescolar (175) y en la primera y segunda etapas de la Educación Básica.

(Educación, menciones Dificultades de Aprendizaje y Preescolar).

La mayor parte de los dos primeros módulos comunes, as1 como algunos aspectos de sucesionesen el tercer MOdulo y parte del contenido del Módulo I V para Educación (Dificultades de Aprendizaje y Preescolar), se refieren a contenidos programáticos estudiados en las etapas previas a la educación superior y, en consecuencia, ello establece el enlace necesario entre esas etapas previas y la educación superior, lo cual se hace más imprescindible en una educación a distancia. Estimamos que el estudio de estos módulos debe ser más rápido que el Módulo 111 y los módulos diferenciados, lo que requiere de los estudiantes una mejor organización y distribución de su tiempo de estudio. En cada uno de los mbdulos encuentras las "Orientaciones Generales" y la "Presentación" que te indican cómo estudiarlo y te presentan una panorámica del contenido del mismo.

Aquí tratamos de dar una mayor fundamentación a aquellos contenidos que conoce el estudiante y resolver ciertos ejercicios y problemas de un nivel de razonamiento mayor que lo usualmente exigido en la educación secundaria.

En nombre del equipo que redactó las unidades de aprendizaje de los módulos de Matemática 1, de los docentes que validaron las distintas unidades y de los que procesaron el texto en su versión final, a quienes agradecemos por todo el esfuerzo realizado durante másde un año de trabajo, nos complacerá recibir comentarios y sugerencias de parte de los estudiantes y docentes que utilicen estos módulos pues esto nos permitirá haceralgunos cambios en una edición futura.

Mauricio Orellana Chacín

DEPENDENCIA DE LAS UNIDADES DE AP NDIZAJE Y MÓDULOS QUE INTEGRAN EL

MATEMATICA I (177) 1

1 UNIDAD 1 1 MÓDULO I

(177) i

MÓDULO IV Ingeniena, MatemAhca y

i I

Educacdn Materndtica . I 1

($76) I 1

MÓDULO IV I - l Adminiskaci6n , I y Contaduna . I I I I I

+--------A , (175)

MÓDULO IV Difidtades de

Aprendizaje y Preescolar

Unidad situada al inicio de la flecha. NOTA: as flechas que no tjenen trazo continuo indican,que solamente se

ORIENTACIONES GENERALES

Para facilitarte el logro de los objetivos previstosen este Móduloque forma parte del curso de MATEMATICA 1(175,176,177), nos permitimos indicarte algunas orientaciones que te ayudarán en el desarrollo de las actividades que el mismo prevé.

+ En primer lugar, lee la presentación o introducción del Módulo y su objetivo, que te proporcionan una panorámica global de lo que se intenta logar.

'

Cada módulo se divide en Unidades de Aprendizaje y cada Unidad comprende, a su vez, diversos temas o experiencias de aprendizaje.

4 En segundo lugar, en el momento que inicies el estudio de cada Unidadde Aprendizaje. lee los objetivos y la presentación o introducción de la Unidad en cuestión, lo cual te sumi- nistraia información acerca de lo que se pretende alcanzar cuando finalices el estudio de dicha Unidad. También hacemos presentaciones o introducciones a distintos temas en que se divide la Unidadde Aprendizaje.

Las Unidades de Aprendizaje se dividen en temas que se numeran con dos digitos. Por ejemplo: 2.3 indica el tercer tema de la unidad 2. También a la presentacibn se le asigna un par de dígitos.

Hay algunos temas que pueden dividirse en subtemas y en éstos la numeración tiene tres dígitos. Por ejemplo: 2.3 indica el subtema uno, tema tres, unidad dos.

En el desarrollo del módulo encuentras lo siguiente:

1. Objetivo del módulo.

2. Objetivos de las unidades de aprendizaje.

3. Presentación del módulo y de las distintas unidades de aprendizaje o de los temas

4. Ejemplos, ejercicios, problemas y ejerciciospropuestos, que te sirven para adquirir familiaridad con los conceptos y proposiciones que se dan.

Los ejemplos, ejercicios y problemas resueltos están clasificados y, como esos nombres indican, corresponden a tres categorías según sus dificultades y niveles de razonamiento:

Ejemplos: Son ejercicios para adquirir habilidades de cálculos simples y aplicaciones de fórmulas; son de tipo operatorio. Con estos ejemplos se aclaran las definiciones o se aplican directamente fórmulas o proposiciones y teoremas. Los ejemplos no deberían presentar dificultades de comprensión ni de resolu- ción a ningún estudiante.

Ejercicios: Incluyen desde cálculos no inmediatoc, pasando por la interpretación de un hecho, hasta demostraciones breves. En estos ejercicios se requiere realizar algún razonamiento que combine varios pasos, esto es, donde hay una integración de conocimientos. Para la resolución de esos ejercicios se precisa, frecuentemente, el haber desarrollado las habilidades de cálculo suministradas por los ejemplos.

problemas: Corresponden al nivel de mayor exigencia matemática, pues hay más integración de conocimientos, con pasos y razonamientos más profundos. De éstos colocamos solamente unos pocos.

Ejerciciospropuestos: La distinción de los tres niveles antc:iriorc se hace, respectivamente, sin colocar asteriscos, con un asteri margen derecho o izquierdo de la página donde figura elenuncii$o d Las soluciones de los ejerciciospropuestos se encuentr;iin al hacer el esfuerzo de resolver los ejercicios propuestos aun ct.i&ndi la solución en algunos de ellos. En las dificultades encontradaaisl al con el objeto de resolverlos, se halla una forma de aprendizaje i'buy i ejerciciospropuestosse presentarán en forma completa, parcial i::on s dependiendo de las dificultades de cada uno de ellos, al finalizailel n

Además de los ejerciciospropuestos, y a medida que desarroljmc formulamos preguntas o se propone alguna actividad, cor1:resl esclarecer algún aspecto puntual del tópico que se está expli(:andc se manifiestan utilizando expresiones como las siguientiiis, e quB?, Efectúa el c8lcul0, u otras análogas. En caso de que terigas debes consultar con el Asesor de Matemática del Centro Local~jond

Los niveles de razonamiento a que nos hemos referidos están engres; utilizada por la OPSU-CENAMEC (Oficina de Planificación del Bect para el Mejoramiento de la Enseflanza de la Ciencia; 1984). 1

5. En el módulo encuentras autoevaluaciones que te sirven para Las soluciones figuran a continuación de las mismas.

6. Al finalizar el módulo hay:

Resumen del mbdulo, que destaca los aspectos más imp~~rtar

Notas históricas al finalizar la unidad (en caso de existk).

Glosario de t6rminos, donde se dan los conceptos y enunc lado en el módulo.

Bibliografla para el estudiante, con algunos comentarios doni adicional, estudiar ejercicios resueltos y resolverejercicios prop sobre algunos temas.

lndice analltico.

7. El diseflo de las páginas donde se desarrollan los wntenidis prt de estos contenidos, lo siguiente:

Notas de piedepáginaque complementan algún aspectodel t6 iico d de tipo hist6rico o alguna resefla bibliográfica.

Notas al margen derecho o izquierdo para llamgr la atehció, recordar alguna f6rmula, proposición o concepto de los e!$udi; anteriores o en estudios previos a la Educación Superior. -

Cuadros resúmenes de repaso acerca de contenidos (:be s de la unidad y que debe conocer el estudiante por sus er~iudic

n los ejercicios propuestos y con dos asteriscos, en el ~spectivo ejercicio propuesto. alizar el módulo. Se debe I se alcance el punto final de lar los ejerciciospropuestos, )rtante.Las soluciones a esos rencias o la simple respuesta, 110.

s contenidos programáticos, stas breves, que tienden a stas preguntas y actividades itas en letra cursiva: ¿Por las o no sepas responderlas, dás inscrito.

5 en t6rminos de la taxonomía Iniversitario-Centro Nacional

ficar el logro de los objetivos.

desarrollados en'el mismo.

portantes que se presentaron

e puede obtener información tos, y estudiar otros enfoques

imátiws comprende, además

mllado, dan alguna información

lbre el tópico desarrollado o ; en unidades de aprendizaje

3cesitan para el desarrollo svios.

I Jconos y ~epa~adokes Utilizados al margen o en el texto de los'~ódulos, indicando lo siguiente:

Hace hincapié en la importancia del objetivo u objetivosdel Módulo y Unidades, respectivarner

Hay una definición. fórmula o enunciado importante al que es preciso prestar bastante

I 0 atención puesto que serh de gran utilidad en el desarrollo siguiente.

senala que hay alguna lectura.

1 Esto indica que se hacen preguntasimportantesque se responderán a continuación

@ Se refieres que hay ejerciciosprop~estos~

Se debe utilizar un videocassette como apoyo al tema desarrollado

lo"ol Se debe oir un audiocasseffe y trabajar con la gula de actividades como apoyo al tema desarrollado. m --m- Se deben utilizar calculadora^ cientIficas. ----

A lndica inicio de solución de ejemplo, ejercicio o problema.

lndica fin de enunciado de definición, de teorema o de proposición.

lndica fin de ejercicio resuelto (ejemplo, ejercicio, problema), de demostración de una proposición o fin de alguna observación o tópico desarrollado.

..+,+,m,O,V, S,* ,*,a,+,* Son separadores de items, de propiedades o de distintos enunciados.

S(htbo4os Algunos simbolos utilizados en los contenidos del curso son los siguientes:

Aproximadamente igual a.

E Pertenece a (simbolo de pertenencia)

e No pertenece a.

c Es subconjunto de o está incluido o contenido en (simbolo de inclusión de conjuntos).

u Unión o reunión de conjuntos.

n Intersección de conjuntos.

0 Conjuntovaclo.

ite.

a, b, c, E A

a A-B

N,ZrQ,R

Ilm X+X@

Implica (slmbolo de la implicación).

Si y sólo si o si y solamente si (slmbolo dela d

Anguio.

Angulo recto.

Es paralelo a (slmbolo del paralelismo).

Es perpendicular a.

Arco de curva.

Infinito.

(Delta) Simbolo de incremento.

Notaciones de la teoria de conjuntos y otros uti

Notación de conjunto.

Es un convenio de la notación x E (-1,1}.

Esunconveniodea~ A,b E A ~ C E A.

Longitud del segmento AB.

Denota la diferencia del conjunto A con el conj

Denotan, respectivamente, los conjuntos de lo los números racionales y los números reales.

Denota el conjunto N-{O) (conjuntode los núm

Denota el conjunto de los números reales positi

Denota el conjunto de los números reales neg

Denota logaritmo decimal (en base 10).

Denota logaritmo neperiano (en base e).

Denota limite de sucesiones.

Denota limite de funciones.

Indica respectivamente.

XII

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ÁREA DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA I ( 1 7 7 ) COORDINACI~N GENERAL Mauricio Orellana Chacín, UNA

MODULO IV ?ensamien/o J%/emá/ico y J%de/ndo con J%femá/ica

f9nJ7eniería, J%/emá/icza y Cducación J7fa/emá/ica)

CONTENIDOS Mauricio Orellana ~hacin , UNA

VALIDACI~N Walter Beyer, UNA Inés Carrera de Orellana, CENAMEC Sergio Rivas, UNA

DISENO DE INSTRUCCIÓN Mauricio Orellana Chacin, UNA

REVISIÓN GENERAL COORDINACI~N Jesús Eduardo Ramirez,UNA

COLABORADORES Alejandra Lameda, UNA Alvaro Stephens, UNA

Divisibn de Publicaciones, OFIA DISENO GRÁHCO Y ARTES FlPlALES Scarlet Cabrera E Fanny Cordero H.

Pág .

UNIDAD 1

....................................................................................... PENSAMIENTO MATEMÁTICO 21

1.1 PRESENTACI~N ................................................................................................ 23 CUADRO RESUMEN DE REPASO ......................................................................... 23

1.2 ENUNCIADOS MATEMATICOS Y SUS DEMOSTRACIONES .................................. 24 1.2.1 Enunciados Matemáticos ............................................................................. 24 1.2.2 Componentes de una Proposición o Teorema . Lemas y Corolarios ................. 29 1.2.3 Demostraciones Directas y Demostraciones por Contradicci6n o por

. Reducción al Absurdo Contraejemplos y Conjeturas ..................................... 34 1.2.4 Intuiciones Geométricas y "Pruebas Gráficas" ............................................... 42

................................................................................ 1.2.5 Otras Demostraciones 51 O Ejemplos de Demostraciones o Pruebas por Agotamiento

......................................................................... o Exhaución de Casos 51 O Demostraciones Utilizando Computadoras ............................................. 53

UNIDAD 2

...................................... MODELANDO CON MATEMÁTICA ............................. ... 59

............................................................ 2.1 PRESENTACI~N ................................. .. 61 CUADRO RESUMEN DE REPASO .......................................................................... 62

2.2 ALGUNOS EJEMPLOS EN DONDE ES NECESARIO .................................... ....................... REALIZAR UN MODELO MATEMÁTICO .. 62

............. 2.2.1 Modelo de Crecimiento de una Población (Dinámica de Poblaciones) 63 2.2.2 Modelo del Camino más Corto entre Dos Ciudades o entre Dos

Puntos de un Plano (camino más corto en una malla o red) ............................ 76

.............. ..................... 2.2.3 Modelo de la Demanda y la Oferta en Economía ... 81 ....................................................... 2.3 ¿QUE SON LOS MODELOS MATEMATICOS? 92

.......................................................................... 2.3.1 Los Modeios Matemáticos 92

........................ 2.3.2 Resumen acerca del Modelo Lineal y del Modelo Exponencial 98 2.3.3 Modelo de la Presión Atmosférica ............................................................. 103

..................... NOTA HISTÓRICA ACERCA DE MALTHUS Y DEL MALTUSlANlSMO 114 ......... AUTOEVALUACION V .............................. .. 117

........... .......... ....................... SOLUCIÓN A LA AUTOEVALUACIÓN V .. .. 119

................................ RESUMEN SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

............................... GLOSARIO ........................ BIBLIOGRAF~A

................... ~NDICE ANAL~TICO

....... 'OS.

XVI

......... s......

" G ~ m & ~ m m m de/mundo yeomÉh.,~o o /a rea/,dadde/mundo

/;;,co, encon/romos en /os r e c o r r ~ / o ~ ~ o r /i mr?/er~O, o en / o ~ goe

e l l e m,,, I o s / o r m a ~ ads/rac/os yoe /a c ienc ia Xa6;a

imoyinddo, s;n goe/íayn una/ey de agoe//as a yue es/án so/k/os /os ods/raccioner ma/emá/icas gue no fenyan en o g u e / s u

respe/ioa ap/lcoo;án. C/en/en&h;en/o Aumono descudre con

c;er/d sorprem nezc/ada de adm;raoUnd, dep/oceri gue /os

/enó,nenos de lun iue i ro /Ieuan e/ /+o r" =/e&/@ de /os/ormas

,geaLsy d e h s /eyei /eór,basfl.

15:,m /Tm../ GaY,y4 Comne/dé LZ2yenDeei y Primer !3Taedm & /á Zcadermo de /Ta/emúflcas).

O;SCU~>O de i n e u y u ~ ~ ~ i ó n .A %cdema de ~T~/~~á/lcos, 1831.

Teproduc~& en 'yu7unn T e n u e / Gayign/: Cscri/or G,'/erar,'o, y Czk r t i l / l co~~ Comp,hc,5n y 7??óhyo de G,j Corren, Coroca*,

GnPiee/i Xaeebn4 zdo edción, I956)

Objetivo &/ esfu&anfe resoheré prod'imas y

dmosfi.ará propos~b~bnes apI/í~~ndo

concepfos y feEnfi7as mafemáAi7as

eSPec&¿-cas a s/it-ac~únes e/ac~bnadas con su

caqm p~~eszbnu'

l En este Módulo estudiamos dos aspectos centrales de la Matemática, con los que culminarnos el curso

de Matemática I(177):

- Algunas nociones acerca de cómo se trabaja en matemática, es decir, la forma de proceder para obtener conclusiones y resultados en esta ciencia; cómo comprobar, cómo demostrar.

1 - Una introducción a los modelos matemáticos (modelando con matemática) en donde, partiendo de situaciones de nuestro entorno, de la vida cotidiana v de otras disciplinas académicas del conocimiento, formulamos un problema matemático que debemós resolver y luego contrastar la solución obtenida con la situación de partida.

En los tres Módulos anteriores se han desarrollado contenidos programáticos con una presentación bastante intuitiva, sin formalismos y con pocas "demostraciones", utilizando frecuentemente las representaciones gráficas y las calculadoras científicas. A veces nuestro estilo ha sido informal aunque preciso en el vocabulario empleado. Una vez finalizados esos tres Módulos debemos avanzar e ilustrar la forma como los matemáticos y los profesionales involucrados en alguna actividad matemática abordan los problemas, plantean y resuelven situaciones "reales" y desarrollan habilidades para efectuar demostraciones o pruebas. La Matemática desempeña un rol importante en las ciencias naturales (Física, Qulmica, Biología), en las ciencias económicas y en las diversas ramas de la ingenieria. Para reforzar esta última afirmación, traemos a colación el siguiente párrafo de Krick:[*]

"Las matemáticasproporcionan un medio de representación muy potente, que s h e como medio efectivo para la predicción y como un lenguaje conciso y de comprensión generalizada para la comunicacidn. Sus convenciones las hacen también un medio de razonamiento en extremo útil. ¿Podrá imaginarse ellector cómo puede efectuar pormedio de palabras algo de la lógica y de las manipulaciones que se resuelven en forma tan conveniente mediante el shbolismo de las matemáticas? Además, la preparacidn matemática refuerza la habilidadpara pensar con claridad y con lógica. En vista de la utilidadde las matemáticas como medio de predicción, de comunicación y de razonamiento se puede comprender el énfasis tan marcado que se pone en esta materia en las carreras de ingeniería".

Los tres aspectos indicados en la cita anterior: predicción, comunicación y medio de razonamiento, en cuanto a la importancia de la matemática, de por sí justifican que se haya dedicado este Módulo a las dos Unidades de a~rendizaie que componen el Módulo: Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática. A esto se afíade él hechode que, es previsible que en los afiosvenideros, constatado con evidencias en nuestros tiempos, la ciencia de la informática requerirá un nivel mayor de "sofisticación" matemática en alguna de sus ramas. Esto se refleja, y se reflejará, en los contenidos de los cursos de matemáticas "discretas" que se orientan de manera específica hacia la informática.

Por otra parte, desde hace más de una década, se viene proponiendo en las resoluciones de muchos congresos nacionales e internacionales y en trabajos sobre enseñanza de la matemática que se debe adoptar, a los fines de la ensefianza de esta ciencia, tres estrategias significativas como son: La resolución deproblemas, las aplicaciones y modelando con matemática, a lo que se suma, en el caso de la ingenieria el proceso de disello. Estas estrategias tienen aspectos comunes y se relacionan entre sí. No se trata únicamente de que deberían enseñarse como tópicos aislados y a nivel universitario, sino que deberian incluirse en las etapas previas a la universidad, de una manera gradual, e Impregnartoda la enseñanza.

1'1 Edward V. Krlck: "Fundamentos de ingenleria. MBtodos, conceptos y resultados", Edit. Limusa, MBxico, 4a. reimpreslón, 1991. p. 172. Este libro Introduce al estudiante en el estudio de la ingenleria. Amplia y mejora su obra anterior titulada "Introducción a la ingenieria y al diseRo en la ingenieria", Edit. Llmusa, MBxico, 4a., relmpreslón, 1979.

La primera unldad de aprendlzaje del M6dulo se refierela qué (proposiciones), las demostraciones y los metodos de demostración. Ilustraremos estos sencillos utilizando contenidos de los Módulos anteriores o de la educación secundaria. de un teorema (hipótesis, tesis y demostracibn o prueba), se (demostración directa, demostración por contradicción o o exhaución de casos y los contraejemplos). Esto se mediante las herramientas suministradas por la lógica

La segunda unidad de aprendizaje se refiere a los "modelos mi modelos: a) Dinámica de poblaciones utilizando el crecimiento de la pok corto entre dos ciudades unidas por una red de carreteras; c) Modelo d6 presión atmosférica: Estos modelos los construiremos (modelando con m una gula utilizando un diagrama de flujo, a título de orientación,de los los ejercicios propuestos encontrarás otros modelos matemáticos.

UNIDAD 1

%n.sazmenfo J%femáfico (Primera parte)

Objetivos O Z n a k z a r sitúaciones que ser

resuekas m e d a n f e proce&ienfos

mafemáficos.

aemosfrar proposiciones o. feoremas

medan fe procedmienfos mafemáficos.

"Larmatemát&purarronL?cLuederodarlarpropo~~nerdela/~lt~ «p2mpliuiqx, dondep y q ron P"zmzm&"

En esta Unidad discutiremos diversos aspectos relacionados con la forma de cómo se trabeja en matemática; esto es, la manera en que las personas involucradas en alguna actividad matemática y especialmente los que hacen investigación, los escritores de textos matemáticos y los usuarios de la matemática del nivel profesional, proceden cuando demuestran proposiciones y hacen comprobaciones con el uso de dibujos geométricos, formulan conjeturas y de manera general tratan de utilizar "correctamente" los conceptos y principios matemáticos, donde con este último nombre entendemos, a grosso modo, aquellas partes de la matemática o del razonamien- to que se utilizan en dicha ciencia y que nos sirve para edificarla."'

En el desarrollo de la Unidad aprenderemos qué son los teoremas o proposiciones, los corolarios y los lemas, que también son teoremas pero poseen una connotación especial en matemática. Veremos de cuáles partes consta un teorema (hipótesis, tesis y demostración) y cómo hacemos para demostrar un teorema, bien sea mediante una demostración directa o utilizando una demostración por reducción al absurdo. Estudiaremos qué son los contraejemplos y las conjeturas e igualmente presentaremos las "pruebas gráficas" y las intuiciones geométricas, observando que estas Últimas no siempre conducen a resultados ciertos. como tendremos oportunidad de mostrar con algunos ejemplos.

A los fines de la cabal comprensión de esta unidad de aprendizaje, es necesario recordar algunos contenidos estudiados en etapas previas a la Educación Superior presentados a continuación en un cuadro resumen de repaso.

* NÚMEROS PRIMOS Un número natural p>l se dice que es un número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Así, p es un número primo si y sólo si verifica la siguiente propiedad:

n E N' y n dividea p d n = 1 o n=p .

Porejemplo, los números 2,3.5.7.11,13,17,19,23,29, ...., 101, ...., 2437, .... son números primos. (Escribe los seis números primos siguientes a 29).

* RA~CES DE UN POLINOMIO CON COEFICIENTES REALES

Un polinomio de grado n 2 1 con coeficientes reales tiene como máximo n raíces reales. Es decir, una ecuación algebraica de grado n 2 1 con coeficientes reales tiene a lo más n raíces reales.

CUADRO RESUMEN DE REPASO I

La construcción de la matemática responde a una historia de cerca de seis milenios. Se inicia del una manera empirica y motivada por problemas prácticos en la construcción de viviendas, templos y canales, por las actividades comerciales y el estudio de los ciclos de las estaciones con fines agrícolas y, además, debido a la matemática recreativa; estas son parte de sus raices. Fue solamente con los griegos, en el s.VI a.c.. cuando se Inició la matemática en el sentido tal como la conocemos actualmente; esto es, donde se efectúan demostraciones de teoremas en forma general; por ejemplo, el teorema de Pltágoras. Este proceso tuvo un gran avance al sustentar las demostraciones en el razonamiento lógico (fundado por Aristóteies, s.lV a.c.) y en prem!sas conocidas con el nombre de postulados y axiomas, lo que llev6 a cabo EUCLIDES DE ALEJANDRIA (365 o 330 7.275 a.c.) y se conoce como el metodo axiomático o metodo postulaclonal. A traves de los siglos se perfeccionó dicho metodo y se originaron Otras corrientes del Pensamiento matemático, hasta llegar a nuestra Bpoca contemporánea donde las computadoras han irrumpido en el quehacer matemátlco y en sus metodos de trabajo.

Los números primos los utilizaremos en los considerados y uno de estos ejemplos nos conducirá a una conjetura, que se piensa que puede ser verdadero pero del cual no existe

l Estudiaremos por qué es necesario hacer pruebas o 1-mos aciones, de las cuales están llenas los textos de maternaticas como puedes observar leyendo t iversos libros de Cálculo, de Algebra, de Geometria, de ~atemáticas Discretas, entre preguntamos: ¿Esfo de las demostraciones ser6 una obsesidn de los matemáticos? necesita demostrar cuestiones que parecen evidentes: por ejemplo, el teorema en la Unidad 9 del Módulo III?.

Presentaremos ejemplos de por qué no basta la y los dibujos para demostrar enunciados que parecen evidentes y para lo ejemplos de los que resultan ser falsos. Esto ya nos conduce a una efectuar demostraciones o pruebas; sin embargo, demostraciones muy complicadas, puesto que casos te son familiares. Lo importante es captar en matemática a los fines del funcionamiento de aplicar en cada caso.

Como slnó- En otras ciencias también se hacen bas", con una metodologla y "irno de DE- significación especial de acuerdo con la M O S T R A -

usa probaciones" experimentales en Fisica, la palabra PRUEBA. teoremas o proposicio-

---------

1.2 ENUNCIADOS MATEMÁTICOS Y SUS

1.2.1 Enunciados matemáticos

A continuación presentamos tres ejemplos de os que analizaremos en lo concerniente a su necesidad de establecer mediante algún iento su veracidad o falsedad. En cada uno de los tres casos debemos dar matemáticos que nos permitan decidir acerca de si el enunciado falso, para lo cual es obligante hacer una "demostracibn". El tipo de enunciados que se tenga y de la habilidad de cada y en la práctica que posea para hacer demostraciones.

A. Si a y b son números B. La igualdad C. Todo número par mayor reales cualesquiera y b >a, n"85 53t274 n = que 2 es igual a la suma entonces se verifica 15 n4+225 n2+1 20,; [2] de dos números primos.

se verifica para tcgo número natural 42 l .

Demostración: Como 2b-b=b y b>a, entonces 2b-b>a, de donde 2b>a+b y, en consecuencia.

Observemos que la demostra- ción se basa en las propiedades de las desigualdades con números reales. El único aspecto no inmediato es ¿porqu6 partimos de la igualdad 2b- b=b, pues la continuación de la prueba fue fácil? Si aceptamos la validez de la desigualdad [ l ] , se deduce lo siguiente:

Observa que, en realidad, la ÚI- tima demostración se refiere a que la desigualdad

implica la desigualdad b > a y, en dicha demostración se encuentra el termino 2b-b en uno de sus pasos. 1

"Demostración": [*l

Si no se nos ocurre por donde iniciar la demostración, podemos intentar la compro- bación dando valores a n, y de allí "inferir" el resultado. Efectivamente, se obtiene: n=l : 360 = 360 n=2 : 1260 = 1260 n=3 : 3360 = 3360 n=4 : 7560 = 7560 y así sucesivamente.

Aqui la pregunta clave es, Lesos cálculos implican que el enunciado es verdad?

Observemos que aún para n=5 todavia es válida la igualdad 121. Sin embargo, para n=6 no es cierta esa igualdad puesto que

En general, la igualdad [2] es falsa para todo n t 6. 1

['l "Demostración": Tal como en el caso B, pode. mos intentar comprobar e enunciado para varios núme. ros pares, por ejemplo hasté el número 20:

4 = 2 + 2 , 6 = 3 + 3 , 8 = 3 + 5 , 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 1 2 = 5 + 7 , 1 4 = 3 + 1 1 = 7 + 7 , 1 6 = 3 + 1 3 = 5 + 1 1 , 1 8 = 5 + 1 3 = 7 + 1 1 , 2 0 = 3 + 1 7 = 7 + 1 3 .

Verifica el enunciado hasta el número par 60. l Y podríamos decir, así sucesivamente y también formular la siguiente pregunta, ¿esos cálculos implican que el enunciado es verdadero? 1

Analicemos cada una de esas tres situaciones matemáticas: I V En (A) tenemos un enunciado matemático del cual, mediante un razonamiento lógico y utilizando

propiedades conocidas de las desigualdades con números reales, se ha demostrado la validez del enunciado cualesquieraquesean los números reales a y b, con la única condición b > a.

Nos preguntamos, ¿hay otra demostración de la desigualdad [l]? Efectivamente, sí la hay y una de ellas es la siguiente:

Supongamos que la desigualdad [l] no es cierta, es decir que para algunos números a y b con la condición b > a, se verifica

De [3] se deduce 2b l a+b y por lo tanto 2b-b l a, es decir, b < a, lo cual es contradictorio con la condición b > a. La contradicción proviene de la suposición [3] y ello demuestra la desigualdad [l].

['] Colocamos entre comillas la palabra "demostración" en las columnas de los ejemplos (B) y (C) a los fines de entenderla de manera informal e intuitiva, ya que en ambos casos no hay una demostración como se entiende en matemática y tal como sera estudiado posteriormente.

Este tipo de demostra- clón se cono- cecomo "de- mostración por reduc- ción al absurdo".

Existe otra forma de "comprobaf'o "verificar"[.' la [l], mediante una represen- tación geometrica tal como se estudió en el

donde se han dibujado los puntos 0 , A, C, B de 0, a, (a+b) 12, b, siendo C el punto medio del segmento AB. representación gráfica no es una demostracián ción de tipo geometrica de la desigualdad [l].

Z En (6) tenemos otro enunciado matemático, el cual para algunos valores de n (n=l, 2, 3,4, 5) pero no es cierto para todos los ya que para n 2 6 no se satisface la igualdad [2]. En este caso se de [2] para n=l, 2, 3, 4, 5 por sustitución directa en 121, esto cálculos directos para esos valores de la igualdad para n=6 mediante un ejemplo de un enunciado los números naturales n 2 1.

Nuevamente, y tal como en (A), hacemos la otra forma de demostrar o de comprobar lo dicho en el párrafo SI la hay, y una manera se muestra a continuación:

[2] es equivalente a n5 - 15 n4 + 85 n3- 225 n2 + 2.M n - [41

que es un polinomio de grado 5 cuyos coeficientes reales y por lo tanto (ver cuadro resumen de repaso), como máximo~tiene En consecuencia, solamente podrían existir cinco números naturales uno verificando [4] o su equivalente [2], lo cual nos dice que [Z] naturales no nulos. ObSe~emOs que [4] se

pues sus ralces son n = 1, 2, 3, 4, 5. 1 - I

4 En (C) tenemos otro enunciado "veri f icamos"~~ validez para los números continuar la verificacidn de la número 1000,

Esta propiedad de los números pares se ha o verificado con números muy grandes pero, todavia no se ha para todos los números pares n l se ha encontrado algún la satisfaga. Existe el presentimiento de que esa propiedad los números pares y como esto no ha sido confirmado sea. no se ha podido

1 --

r] comprobary vericar son rln6nlmos. SegOn el Pequeno ~a iousse lustrado (1994), comprobar es :co- telar, conflrmar una cosa". En el campo de las matemht1cas:Poinc rO (francbs. 1854.1912) distingue la veriflcacl6n de la demostraclbn de la slauiente forma: La v~lrificacbn se refiere a "un caso ~artkuiar.

La conjetura (C) se denomina conjetura de Goldbach en honor del matemático que la propuso.l'I

demostrar, entonces es solamente una CONJETURA: Una presunción fundada en posibilidades; un enunciado que se piensa es verdad pero del que no existe ni prueba nirefutación. Es una suposición basada en la experiencia, en resultados particulares o en otra fuente de conocimiento.

Hay muchas otras conjeturas en matemática y de algunas de ellas daremos ejemplos

I posteriormente. I I

a

Ejemplo 1.2.1 I De los siguientes enunciados decide cuáles son verdaderos y cuáles son falsos y por qué: I a) 377 es un número primo. 1 b) Para todo número real x se verifica que x2- 1000 es un número negativo. I c) Si L1 y L2 son dos rectas distintas tales que L1 n L2 # 0, entonces Ll n L2 es un

conjunto formado por un único punto.

A a) El enunciado es falso puesto que 377 = 13.29. 1

Encuentra otros números x tales que x2 - 1000 z 0. 1 I

b) El enunciado es falso y para su demostración basta encontrar un número real x tal que x2- 1000 no sea negativo, por ejemplo x = 32 puesto que (32)' - 1000 = 1024 - 1000=24>0.

Demostra-

wnbaejemplo.

axioma Demostración: Por hipótesis las dos rectas L1 y L2 se cortan (Li n L2 # 0) y por lo tanto existe algún punto P E Ll n L2. Sea M E L1 n L2 y debemos

c) El enunciado es verdadero y se necesita hacer una demostración o prueba del mismo. La demostración se apoya en una propiedad conocida de la geometrla que dice lo siguiente: 'por dos puntos distintos pasa una única recta".

Esta propiedad es, usualmente, un

I ['] Christlan Goldbach (ruso, 1690-1764) propuso la conjetura que lleva su nombre, en 1742, a uno de los

melores matemáticos del s.XVIII. el suizo Leonhard Euler (1707.17831 oulen la crevó cierta aero no

demostrar que M = P. Supongamos que M + P. Como L1 y L2 son rectas que contienen a dos puntos distintos M y P entonces, por la propiedad enunciada, se tiene Ll = L2 lo que es contrario a lo supuesto en la hipótesis (Ll # L2). La contradiccióh a la que hemos llegado es consecuencia de suponer que M # P. Por lo tanto, se ha demostrado que L1 n L2 = {P}. 1

. . ~ ~, - .~~ -.. - pu io demostrarla. Aún hoy, a pesar de todos los intentas realizados por eminentes matemáticos, continúa siendo una conjetura. El estudio de esa conjetura y, en especlal lo relacionado con los números primos, reviste gran lmportancla en la matem~tlca debido a su aplicación en la CRIPTOGRAF~A (desciframiento de mensajes) lo que es auxlllado por las grandes computadoras que permiten hacer cálculos con números muy grandes.

Demostración POrreducCión al absurdo.

Recuerda la pregunta No

3, parte 11 del test de entrada del Módulo 1.

I Por ejemplo: Consideremos el número n = 437 y quere os averiguar si es o no es un número primo. En vez de dividir 437 por todos los núme s enteros desde 2 hasta 436,

Ejercicios 1.2.1

1. Será verdad o falso que la suma de dos números ente[os pa S es otro número entero par. I. A El enunciado es verdadero y para esto es na demostracibn válida para

dos números pares n y m cualesquiera.

En forma resumida y utilizando el simbolo de irirplica 6n la demostración se hace como sigue:

n, m números enteros pares =, existen números , k tales que n = 2h, m = 2k. a n t m = 2h t 2k = 2s, donde s = h t k es

=, n t m es un

2. La determinación de los números primos, como lo en la anterior nota de pie de página, es un problema importante aplicado a la Sea n > 1 un entero. Para saber si n es o no es hay que dividir n entre cada entero desde 2 hasta n - 1 y si es un divisor de n concluimos que n es primo. Para cálculos nos apoyamos en la siguiente

divisor p de n tal que 1 < p I 6 y por lo tanfo sóld es necesario probar con los

divisores de n que son mayores que 1 y Demuestra la propiedad enunciada.

A Si n > 1 no es primo, entonces podemos forma n = p m (p, m E N*, p > 1 y m > 1, ~porqud?). De esta p o m (alguno de los dos

o los dos) son menores o iguales a contrario se tiene p >fi y m >6 y esto implica p m es contradictorio con

basta con hacerlo para los números enteros p 2 I p I f i = 20,90; es decir, basta con los enteros p tales que 2 S p es suficiente intentar con los primos p tales que 2 I p < 20 E {2,3,5,7,11,13, 17,191. Observamos que el número primo 19d&ide a 37 y por lo tanto437 no es un número primo (437 = 19 ~23). 1 t

Ejercicios propuestos 1.2.1

1. Si a y b son números reales cualesquiera tales q

Demuestra esta propiedad e ilústrala gráficarnent

2. De los enunciados siguientes decide cuáles son tus respuestas. . .

t a) Si L1 y L2 son dos rectas distintas de un plano, entonces se verifica que L1 11 L2 O

I bien Ll n L2 = {P}. l I

b) La suma de dos nomeros impares es un número impar. I I c) La suma de un número impar con un número par es un nomero impar. l *

d) Toda función f continua en un punto x, perteneciente al dominio de f, tiene limite en dicho punto cuando x -+ x, y éste es igual a f (x,). I

e) Si p es un entero par, entonces p2 es un entero par. I f) Para comprobarque un entero n > 1 no es un número primo es suficiente demostrar que *

no es divisible por ningún número primo p tal que p< & . g) Todo número impar mayor que 3 es igual a la suma de dos números primos. I h) Los números 1001 y 1073 son números primos.

Sugerencia: Utiliza la parte (1) anterior.

i) Si a un cilindro circular le aumentamos su altura en un 10% y le disminuimos el radio de * su base en el mismo porcentaje, entonces el volumen de dicho cilindro no se altera. l

j) Si la gráfica de una relación entre dos variables x e y se hace en un papel logarítmico, esto es, sobre los ejes de coordenadas se anotan los logaritmos de x e y, y resulta una recta de pendiente a que corta a los dos ejes, entonces la relación entre esas dos variables x e y es de la forma y = k xa (función potencial de exponente a) en donde k > O es una constante.

Recuerda lo estudiado en 6.5.2, Unidad 6 del Mddulo 11. I 3. Justifica que la representación gráfica de una función exponencial de base b > O, y =

k bX (k > O es constante), es una recta cuando la hacemos en un papel semilogaritmico, esto es, sobre el eje de ordenadas se anotan los logaritmos de la variable y.

Recuerda lo estudiado en 6.5.2, Unidad 6 del Mddulo II. Este tipo de representacidn la utilizaremos varias veces en la próxima unidad.

1.2.2 Componentes de una Proposición o Teorema. Lemas y Corolarios

En el tema anterior presentamos diversas situaciones de enunciados maternaticos que pueden ser verdaderos (V) o falsos (F) y por lo tanto se requiere algún tipo de demostracidn o prueba a los fines de determinar de qué tipo son: (V) o (F). También dimos un ejemplo, la denominada conjetura de Goldbach, de la que todavía no se sabe si es (V) o (F) aunque se presiente que debe ser verdadera.

La palabra "DEMosTRACI~N" que utilizamos como sinónimo de "PRUEBA", la entendemos en matemática en un sentido general de la siguiente manera:

"Razonamiento mediante el cual se establece la verdad de un enunciado matemático apoyándose en premisas admitidas como verdaderas y en otros enunciados ya demostrados:

Por otra parte, en matemática, la palabra ~~O~lClÓN[ ' ]s igni f ica un enunciado matemático para el cual existe

Por lo tanto, cuando tenemos un enunciado denominarlo teorema o proposici6n, este enunciado exige una razonamiento Idgico. El razonamiento ldgico no es que, utilizando definiciones, axiomas, determina la veracidad del teorema

En un TEOREMA podemos distinguir tres partes,

Lo que se supone.

.l. La demostra- ci6n o prueba,

lo cual se expresa con los términos siguientes

El slmbolo de la implicación nos indija la emostra- ci6n o prueba, esto es, el razonamiento 1 gico para que a partir de la hip6tesis, y de lo )a co ocido, se obtenga la conclusión o tesis. Puei:ie est r formado por una sucesi6n finita de irnplicacior~~s. I

En resumen: ' 1 m La HIPÓTESIS["IO la premisa, lo que se

• La TESIS("] es lo que se quiere es la conclusi6n o resultado que queremos obtener.

I 1.1 En la L~GICA, en su sentido mhs amplio, el slgnlflcado de la plabr OPOSlCldN es la de "expresl6n

verbal o forma exoresiva de un iulclo". Sln embarao. en la L 1 GlCA POSICIONAL. aue es una rama

que dos; b) Venezuela es una

Buenos dias; b) AVLO el seso y despierto; c) Ayúdeme, por bvor; que en esos enunciados no podemos determinar un valor de verdadero (V) o de falso (F). ramp proposición un enunciado como el siquiente: (dl x = - x debido a que el slmbolo x no y por lo tanto no podemos decidir sl x = - x es verdad o falso. En cambio, afescri mos: x = - x para todo x E R, sí tenemos una proposicidn que es falsa y, s i escrlblmos x = - i i para lgDn x E R, tamblbn tenemos una proposlci6n que es verdadera (se satisface para x r- O). f 4

i"1 La.Hip6tesls puede estar formada por u" número finito di-hipót Is, es decir, ser la conjunción de varias hlpbtesls. Sin embargo, nos referiremos a las mili@as e singular dlclendo "la hlpótesls". Análogamente para la tesis. i t

La DEMOSTRACIÓN o PRUEBA es la deducción o razonamiento Iógico que se hace a los fines de que a partir de la hipótesis y de los resultados conocidos (axiomas~*l,definiciones u otros teoremas) se pueda concluir con la tesis, y se dice que la hipótesis implica la tesis o que la tesis es consecuencia de la hipótesis.

Luego, el esquema de un teorema o proposición con su demostración es el siguiente:

LO QUE CONOCEMOS

El razonamiento lógico c z 3 LO QUE SE DEBE HACER

La tesis del teorema. LO QUE SE QUIERE: LOS NUEVOS RESULTADOS

En matemática también se utilizan los términos LEMA y COROLARIO. Desde el punto de vista conceptual, tanto los LEMAS como los COROLARIOS son teoremas. Sin embargo, en la práctica, se acostumbra distinguir uno u otro de los teoremas en razón de su importancia o facilidad de demostración. Asi, de manera general:

A) Los teoremas son los hechos más importantes. I B) Los lemas, generalmente, no tienen una importancia principal, en si mismos. Sedemues-

tran previamente a algún teorema o proposición y su demostración no tiene mucho inte- rés en si misma. Su utilidad está en el uso que se le dará en la demostración de un teorema posterior.

C) Los corolarios son consecuencias fáciles de teoremas o proposiciones que se acaban de demostrar. A partir de un mismo teorema se pueden demostrar uno o más corolarios.

Ejemplos 1.2.2

1. En los siguientes teoremas o proposiciones distingue la hipótesis de la tesis:

a) Si L, y L, son dos rectas distintas tales que L, n L, + 0, entonces se verifica que L, n L, es un conjunto formado por un único punto.

b) El cuadrado de todo número entero par es un número par. I c) Si f: [a,b]-+ R es una función continua que satisface la condición: f (a) f (b) < 0,

entonces existe x, E (a, b) tal que f (x,) = O.

[*] Los axiomas son las afirmaciones que se aceptan sin ser demostradas, esto es, los enunciados cuya verdad se considera evidente y no requieren demostraci6n. Esta palabra proviene del griego y su significado en este idioma es el de "autoridad". Por ejemplo, en geometría, es usual el siguiente axloma: "por dos puntos distintos pasa una única recta".

Teorema de BOLZANO, estudiado en la Unidad 9 del Módu-

TODO y EXIS- TE son cuantlticedwes. "PARACADA" y "PARA CUALQUIERA" sonslnónlmos de "PARA TODO".

A a) Hipótesis: L, y L, son rectas. 4 # L2 que se dan en L, n L2 # 0 .

Tesis: L, n L2 = {P), donde P es un ciertobunto el plano. i 1 b) Hipótesis: n E Z y n es un número par.

Tambikn la podemos escribir así: n Z y E Z tal que n = 2k.

Tesis: n2 es un número par. j I c) Hipótesis: f : [a, b]+ Res una ua satisfaciendo la condición

f (a) f (b) < O (en los extremos del la función toma valores con signos opuestos).

Tesis: Existe x, E (a, b) tal que f (x,) = O. : 1 I OBSERVACIÓN: Podemos notar que los enunciados en la forma

SI ......... ENTONCES ...., la hipótesis ENTONCES vale la tesis. El teorema (b) no está utilizando la palabra TOD0:El cuadrado de número par. Por otra parte, en el EXISTE x, E (a, b) tal que ....., lo que x, tal que .... ".

Por lo tanto, hay teoremas que se la forma SI ..... ENTON- CES .... y teoremas donde se que la verifican TO- DOS los elementos de un teoremas donde la hipótesis o la tesis son más elementos de un cierto conjunto no por TODOS los elementos de dicho conjunto.

I Tambikn podemos notar qLe el teorf ma (b se puede enunciar en la forma SI .... ENTONCES ..... He aqul esas dos fo mas de enunciarlos: I TEOREMA (b) i 1 I TEOREMA (b)

El cuadrado de todo número entero par es Si rii es u número entero par, entonces un número par n2 ej un n mero par. . I Y, el teorema (c) se puede enunciar utilizando el tdlmino ODO. He aquí esas dos formas de enunciarlo: 4

TEOREMA (c) 1. TEOREMA (c)

Si f: [a, b] + R es una función conti- Para continua f: [a, b] + R nua que satisface la condición: f (a) f (b) c 0, f (a) f (b) c O, entonces existe x, E (a, b) tal que f (x,) = O

uede enunciar así: toda función

En consecuencia. la forma gramatfcal de enunciar un teorema puede variar de un autor a otro. Lo que no se puede es cambfar las hipótesis y la tesis I l

2. Supongamos conocido el siguiente teorema (propiedad triangular): para todo x, y E R se verifica que 1 x + y 1 i: 1 x 1 + 1 y 1 . Demostremos el siguiente corolario: cualesquiera queseanx,y E Rseverificaque I X - ~ I ~ : I X I + I ~ / .

A Demostración: 1 x - y 1 = 1 x + (-y) 1 Propiedad de la resta de números reales. l S ~ X ~ + ~ - Y I Por el teorema enunciado. I = I X ~ + I Y ~ Propiedad del valor absoluto

y en consecuencia,

I x - y l c , l x l + l y l . I

Ejercicio 1.2.2

Teorema: La ecuación x2 = 2 no tiene solución racional.

Previamente a la demostración de este teorema se puede demostrar el lema siguiente:

Lema: Si p E Z y p2 es un entero par, entonces p es par. I Supongamos que conocemos ese lema y procedamos a la demostraci6n del teorema como sigue:

Si existe una solución racional p/q E Q de esa ecuación, podemos suponer que p y q no tienen factores comunes (p/q es una fracción irreducible) y por lo tanto se tiene:

( ~ l q ) ~ = 2 2 p2 / q2 = 2 3 p2 = 2 q 2 3 p2 es un entero pai p es par 3 existe k E Z tal que p = 2k.

Esta Implicación es por el lema.

Luego, al sustituir p = 2k en p2 = 2q2 y simplificar, obtenemos q2 = 2k2, es decir. q2 es un entero par y por lo tanto, por el lema, q es un entero par.

Unidad 3, Módulo 1.

Unidad 2, Módulo 1.

Demostra- ción por re- ducción al absurdo.

Así, hemos demostrado que tanto p como q son enteros pares y, en consecuencia, tienen el factor comtin 2 lo que contradice la suposici6n de que p y q no tienen factores comunes. La contradicción proviene de suponer que existe una solución racional de la ecuación x2 = 2, con lo cual queda demostrado el teorema. 1


1. En cada uno de los siguientes teoremas o la hipótesis y la tesis:

a) Si ABC es un triángulo rectángulo vértice C, entonces se verifica que:

b) Si L,, L, y L, son rectas de un plano tales que L, 11 L,, entonces L, 11 L, (propiedad transitiva de la relación de paralelismo

c) Para todo entero p tal que pZ es d) La suma de los angulos internos de un e) Si {a,) y {b,) son dos sucesiones

sucesiones (a,) + {b,} y {a,) {b,) son

ilm [{a,) {bJI = Ilm {a,). n+4 i n + m n 5 m i b

2. a) Enuncia el teorema (a) del ejercicio anterior "TODO". b) Enuncia las propiedades (teoremas) (c) y

SI .... ENTONCES ......

3. Deduce al menos una consecuencia inmediata del teprem de Pitágoras (un corolario). . d :

4. De las muchas propiedades o teoremas que conocesjen ar mética, álgebra o geometría), escribe cinco de ellas utilizando las expresiones ,?o&", "e iste", "si ..... entonces.....". (Constata tu respuesta con el Asesor de Matem~t icá~el C ntro Local). : 1

1.2.3 Demostraciones directas y demostracionea~~por ontradicción o por reducción a l absurdpiContraejemplos y co$jetu a s . f En matemAticas se tienen los teoremas as, corolarios, propiedades)

que necesitan ser demostrados: a partir de un razonamiento o deduc- cibn lógica se obtiene la conclusión (la tesis).

¿Cómodemostrar?

¿Es qu6 existen procedimientos o temática que nos sirven de guía teoremas?

La respuesta es: sí. Existen tales métodos y son la'# m6t dos de demostración. Hay varios métodos de demostración que estudiaremosen es$ijUnid : , C

o Demostracidn directa.

Demostracidn por contradicci6" o por

Demostracidn utilizando un

' Demostracidn por

Además, también daremos algunos ejemplos de las "pruebas gráficas" ("intuiciones geométricas") y de las "pruebas por computadoras". En el próximo curso de Matemática 11 estudiarás otros tipos de demostraciones, como son las demostraciones por inducción o por recurrencia.

Esto es producto de la experiencia y habilidad de cada quien. Por otra parte, muchos teoremas se pueden demostrar por diversos métodos. En este tema, y en los dos siguientes. presentaremos varias demostraciones y analizaremos los pasos de la demostración con el objeto de que los lectores incrementen su precisión en el lenguaje matemático a través de la comprensión de los argumentos válidos y del conocimiento del proceso correcto de deducción de un teorema o proposición[*]~

¿Cuál tipo de demostración o prueba debemos utilizar en un determinado teorema?

No existe una regla fija que nos permita decidir el tipode demostración que debemos usar.

Comencemos demostrando el siguiente teorema (propiedad de la media aritmética de No 1 de los dos números): l e j e r c i c i o s

proI)uestos

9 m

a + b Si a, b E R son tales que a s b, entonces a < -

2

Hipótesis: a E R, b E R, a < b.

a + b Tesis: a < -

2

Demostración: La demostración la hacemos de dos maneras, como al inicio del tema 1.2.1, justificando los pasos dados:

Demostración directa: Explicación (justificación) de los pasos dados: I Igualdad evidente.

Hipótesis

Se deduce de (1) y (2)

Propiedad de la relación de orden < en los números reales.

Propiedad de la relación de orden < en los números reales.

[ * ] Posteriormente, cuando realices algunos estudios de Lógica (cálculo proposicional), analiza- rás con mayor profundidad lo que son las demostraciones ("demostraciones formales") y las "reglas de inferencia" que nos permiten ejecutar los pasos de la demostración matemáti- ca de un teorema mediante argumentos o razonamientos correctos. \

Demostración por contradicción Uustlficación) de los pa- (por reducción al absurdo):

a+b 1. Supongamos que a 2 -. Negéitión d la conclusión o tesis.

2 i t

propiedad la relación de orden en los númci$os re les.

~. . i la relación de orden en los

Observemos los dos tipos de demostraciones y otra!t dada anteriormente: ; l En las demostraciones directas, como ~i inom re lo indica, se muestra que la hipótesis implica la conclusión o tesis. $ : ! En las demostraciones por reducción al absurdo, que es un tipo de demostración es decir, sesupone que la tesls es falsa y se llega a la falsedad de la hipótesis (contradicción o absurdo con algo previamente conocido.:

Un ejemplo de esto último es el entero divisible por 4, entonces n es par.

Demostración por contradicclbn (justificación) de los (o por reducción al absurdo): pasos 14ados

1. Supongamos que n no es par, conclusión o tesis. luego n es de la forma n = 2k+l para algún entero k.

2. Como 4 divide a n, entonces ~ipóte!:!~. n = 4h para algún entero h. I I

4. 2 (2h -k )= l .

5. n es par.

(Haz una demosyacidn directa de esa propledaclf i+

Ejercicio 1.2.3

A partir de la siguiente definición de función inyectiva: Una función f: X--+ Y es inyectiva si verifica la siguiente propiedad

Demuestra el siguiente teorema:

Si una función f: X+ Y es inyectiva, entonces verifica la siguiente propiedad:

A Hipótesis: f: X--1 Y es inyectiva f (a) = f (b).

Tesis: a = b.

Demostración por contradicción Explicación (justificación) de los pasos o por reducción al absurdo: dados:

1. Supongamos que a # b. Negación de la conclusión o tesis.

2. f (a) # f (b). Por la hipótesis de que f es inyectiva y la definición de función inyectiva.

3. a = b. Ya que (2) es contradictorio con la hipó-

t tesis f (a) = f (b), entonces

I

OBSERVACIÓN: El teorenia ;.emostrado en este ejercicio admite un teorema recíproco que es el siguiente:

Teorema: Sea f: X --+ Y una función que satisface la siguiente propiedad

Def inic ión 5.5. Unidad 5 del Módulo 11.

No 7 de los e je rc ic ios propuestos 5.5.3 (Módu- io 11).

1 Cuando se demuestra egte teorema a continuación del anterior, se dice "RECI-

Demuestra que f es una función inyectiva. PROCAMEN- TE".

Si demostra- mosunteOre- ma y su reciproco, Be dice: "H si Y S6io si T"9 blen H ts T (H y T son EWIVALEN. TES).

Enunciados referidos al conjunto Z.

38

A Hipótesis: f: X+ Y es una función f (a )= f (b )=a=b .

Tesis: f es inyectiva.

Demostración por contradicción o por reducción al absurdo:

1. Supongamos que existen dos elementosdistintosa, EX talesque f (a) = f (b).

2. f (a) = f (b) a = b.

3. Si a, b E X son dos elementos distintos, entonces f (a) # f (b) y en consecuencia f es inyectiva. I +

As1 la demostración de los dos teoremas a

Teorema: f es inyectiva si y sólo si se ve

a, b E Dom (f) y (f

Nótese que si designamos la hip6tesis de significa H T. El enunciado reciproco de e hipótesis y a H como tesis, y por lo tanto pa demostrar que T = H. Por lo tanto, Si un teor SU enunciado reclproco es "Si T, entonces H":

SI H. entonces T.

Por ejemplo:

Si p es par, entonces pZ es par. Hipbtesis: p es par. Tesis: p2 es par.

El recíproco es el siguiente: Si p2 es par, entonces p es par.

Hipótesis: p2 es par. Tesis: p es par.

Como este enunciado reciproco es verdadero, entonces hablamos del teorema recíproco, y por lo tanto:

p es par si y sólo sip2 es par.

Teorema: Si dos triángulos son congruentes, entonces sus ángulos "respectivos" son iguales.

El recíproco de este teorema es el siguiente: Si dos triángulos tienen sus ángulos "respectivos" iguales, entonces son congruentes. Este enunciado es falso, ¿por qué?

+ Teorema: Si a, b son números racionales y b + O , entonces a 1 b E Q. El recíproco es el siguiente: Si a 1 b E Q, entones a, b é Q. Este enunciado es falso, lo que se comprueba fácilmente con los números

a = 5 & , b = & .

Analicemos el último enunciado:

Si a 1 b E Q, entonces a. b E Q,

y afirmamos que este enunciado es falso, para lo cual basta con encontrar dos números a, b (b f O) cuyo cociente a 1 b sea un número racional y alguno de los dos no sea racional. Lo

comprobamos con a = 5 8 , b = 8 que no pertenecen a Q y sin embargo a 1 b = 5 E Q. Así, hemos dado un ejemplo en que no se verifica el enunciado [5]. Esto es lo que se denomina en matemática dar un CONTRAEJEMPLO. Podemos dar otros contraejemplos para refutar el enun-

ciado [5], esto es, para demostrar que ese enunciado es falso, basta tomar a = b = ,h. (Da otros contraejemplos).

Hemos visto que dado un teorema, el enunciado reciproco no es siempre verdadero y por lo tanto no siempre podemos hablar del teorema reclproco. Además, vimos con el Último enunciado que para demostrar su falsedad fue suficiente con encontrar un ejemplo para el cual no se satisface, lo que se denomina un contraejemplo.

Si un teorema se refiere a una propiedad que satisfacen todos los elementos de un cierto conjunto X, entonces para demostrarlo se deben utilizar argumentos válidos para todos los elementos de X y no se hace referencia a algún elemento en particular. En cambio, si queremos refutar un enunciado, es decir comprobar que es falso, basta con encontrar un contraejemplo, o sea, un elemento particular para el cual falla el enunciado.

Revise las nociones de congruencia y de semejanza en los textos de Educación Basica y Me- dia.

"Si ' p es un entero par, entonces p2es paf, debemos trabajar con cualquier número p¿:& es, con los números de la forma p = 2 k, k E 2. El hecho de demostrar ese s números pares particula res: 2,4,6,8, 10,12, no garantiza la para todos los números pares. I

Si queremos comprobar que el siguiente "Si dos triángulos tienen sus iguales, entonces son congruentes': es falso, es contraejemplo y esto lo 0 b S e ~ a m 0 ~ con los dos

C'

Los trihngulos ABC y A'B'C' congruentes Observemos la igualdad sin embargo los respectivos lados no

La función f: R --+ R Para comprobarlo basta tales que f (a) = f (b) (un

En cambio, si queremos demostrar que g: R+ R definida por g(x) = x + 1 es inyectiva, hay que utilizar l de función inyectiva o la propiedad equivalente (ejercicio 1.2.3): cu sean los números reales a y b tales que g (a) = g (b), a = b. En efecto:

Cuando decimos que el enunciado siguieriie (co 1 etura de Goldbach):

"Todo número par mayor que dosbs ig I a la suma de dos números primos"

es una conjetura, se debe a que nadie ha s8éloca z de demostrar ese enunciado para todo número par mayor que dos ni i& enc ntrar un contraejemplo, esto es, encontrar algún número par mayor q1.b dos ue no sea igual a la suma de dos números primos. f He aqul otro ejemplo de conjetqra: de los griegos (s. III a.c.) se conoclan los denominados Un número natural n se dice que es un número suma de sus divisores menores que n. Por perfecto pues sus divisores menores 6 = 1 + 2 + 3. 28 tambibn es un que28 son 1, 2, 4, 7 y 14

Otros números perfectos son 496 v 8128.r) 1 No se conoce todavía algún número perfectoque sea impar y no se sabe demostrar si todo número perfecto es par. Luego, es una conjetura el que los números 1 perfectos tienen que ser pares. I


1. Para cada uno de los siguientes teoremas escribe el enunciado recíproco y demuestra cuáles de estos son verdaderos, dando un contraejemplo en aquéllos que no lo son: a) Si un triángulo es equilátero, entonces es isósceles.

b) Si a E Q entonces a2 E Q.

c) Si A, B son conjuntos tales que A c B, entonces se verifica que A n B = A. 1 d) Si A, B son conjuntos tales que A c B, entonces se verifica que A u B = B. e) Si 4 divide al número entero n, entonces 4 divide a n2. fJ Si un triángulo tiene dos lados con la misma longitud, entonces dicho triángulo tiene

dos ángulos con la misma medida.

g) Si f: [a, b] + R es una función continua tal que f (a) f (b) 0, entonces existe xD E (a, b) tal que f (x,) = O.

h) Si lím {a,)=L y lim {b,}=K, entonces existe el límite de la sucesión n-+- n+-

producto {a,} {b,} verificándose que Iím [ {a,} {b,}] = LK. n+-

i) Si lím f (x) = L y iím g (x) = K, K # 0, entonces existe el límite del X - lx X+X

cociente f (x) 1 g (x) en x,, verificandose que

f ( x ) L lím X+XO g(x) K

2. Escribe cada uno de los siguientes enunciados utilizando alguna de las siguientes palabras: todo, cualquier, cualquiera, para todo, existe, existe un, existen; de tal manera que el enunciado en cuestión se satisfaga para todos los elementos o bien para algunos de ellos: a) Un número impar es divisible por3.

b) La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a n radianes.

c) Si x es un número real, entonces G= x. I d) Si x es un número real, entonces @= 1x1.

e) El cuadrado de un número par es un número par. t) La ecuación xZ = 3 tiene solución en R.

g) Dados la función continua F y el punto x, 6 Dom (F), se verifica que existen los límites laterales lim F (x), iím F (x) y estos limites son iguales.

xwx; xwx,

h) La sucesión {a,} tal que sus términos son no nulos, tiene límite igual a cero.

422 423 r'i EI mayor número perfecto conocido hasta ahora es el número 2 (2 - 1).

3. Consideremos el siguiente teorema: Existen infinitos números primos. a) Escribe ese teorema en la forma SI ...... ENTONCES ..... b) Demuestra el teorema.

**

I Sugerencia: Utiliza elm4todo de reducción alabsurdci~upo que existe solamente un número finito p l , p2, ...., p, de númt#os y considera el número

4. a) Demuestra por contradicción el siguiente número entero n tal que n3 es par, se verifica que n es par.

b) cuál es el enunciado reclproco del verdadero este enunciado reclpmco?

5. Demuestra que: si n es un número entero divisible ntonces n es par.

* * 6. He aqul un problema que desarrolla una pequefla una cierta función satisfaciendo dos condiciones (son los dos a la función) y a partir de alll demostrarás varias este problema es que observes siones a partir de un enunciado

A cada sub- Sean U un conjunto no vacío conjunto A de U se aso-

Supongamos que se tiene definida una función p: [O, 11 satisfaciendo las dos

cla un nilme. siguientes condiciones: i) p ( U ) = l . m real P (A) . . .

tal que OC,p(A)51.

. . . i) Si A, B son subconjuntos de U que (A n B = m), entonces

P ( A ~ B ) = P ( A J + P ( B ) . Demuestra que la función p satisface las a) p ( 0 ) = 0 .

Sugerencia: A = A U 0 para

b) Para todo A c U se verifica Sugerencia: U = A u (U -

c) Si A y B son

d) Si A y B son subconjuntos cualesquiera = p ( A ) - p ( A n 8 ) . Sugerencia: A = (A - B) u (A n B)

e) Por último, he aqui un ejemplo de n 2 1 elementos y A un mediante p (A) = m/n. Comprueba que esta p satisface las condiciones (i) y (ii) y, por lo tanto, satisface todas las antes enunciadas.

r 1.2.4 Intuiciones geom6tricas y "pruebas gráfic)s"

i I En matemática es muy frecuente ilustrar gecib~tr i amente muchos teoremas o

~ro~osiciones utilizando dibujos. Por otra parte, las repreBenta 4 ones gráficas nos ayudan en la 1 dej&tracl6n de muchos teoremas; nos pueden s e ~ i r de dienia ión. de gula. en la deÍmostraci6n; , 1 I 1

La demostracl6n de este teorema, en la forma comcies S rlda en el ejerclclo, se debe a EUCLIDES (Euclldes de Alajandrla, 300 a.c., uno de los iprlnc s matembtlco~ griegos).

nos suministran las "intuiciones geom6tricas"í*l que nos servirán para formular teoremas y demostrarlos.

Demos un ejemplocon un teorema estudiado en la Unidad 9 del Módulo 111, no demostrado. Nos referimos al teorema de Bolzano: Si f: [a,b] --+ R es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) f(b)< O, entonces f se anula en algún punto del intervalo (a,b).

La ilustración gráfica de este teorema es muy simple, como lo muestran los siguientes dibujos:

Podemosobservar, con los siguientes dibujos, que si no se cumple alguna de las hipótesis del teorema, la conclusión puede fallar

f (a) < O. f (b) > O, pero f no es continua f (a) y f (b) tienen el mismo signo y f es continua en todo el intervalo [a. b], puesen c hay en [a, b]. una discontinuidad. La gráfica de f no cofia al eje OX. La gráfica de f no corta al eje OX.

Desde un punto de vista geométrico el teorema de Bolzano luce evidente pues, al ser f continua en el intervalo finito [a, b] su gráfica se dibuja sin levantar el lápiz del papel y como en los extremos a y b del intervalo toma valores con signos opuestos, entonces esa gráfica necesariamente corta al eje OX.

O ~ S ~ N ~ ~ O S que el metodo de bisecci6n estudiado en esa misma Unidad 9 también es muy "intuitivo" pues consiste en dividir [a, b] por su punto medio x i y luego estudiar el signo de f en 10s extremos de los intervalos [a, XI ] y [XI, b]. Si f (xi) = 0 ya encontramos un punto x l donde f se anula. Si no es asl, esto es, f (xl) # O y, por ejemplo, suponemos que en los extremos del intervalo [a, xl] la función f toma valores con signos opuestos, entonces dividimos este intervalo por su punto medio x2 y asi sucesivamente hasta encontrar un punto &(en la práctica es un valor aproximado de x,) donde f se anula (f (x,) = O):

Ei metodo de bisección es una forma practica de encontrar punto x, a que se refiere e l teorema de Bolzano.

[ e ] La palabra INTUICI~N proviene del latín "intuitio" (de "E que s ign i f i cas y de "@&' que significa =r) y su significado es el de "conocimiento claro o inmediato de verdades que penetran en nuestro espíritu sin necesidad de razonamiento", "es la captación inmediata y dire& de un objeto por un Sujeto". Con frecuencia se habla de "matemática intuitiva", en donde "intuitivo" es l o que se tiene por intuición, con el objeto de indicar que se deben presentar muchas de las propiedades y teoremas en una forma "intuitiva", esto es, de verdades que se captan de manera inmediata sin necesidad de razonamientos, previo a realizar una demostración formal.

43

Esta construcci6n de tipo geometrico que vamos es exactamente la manera como demostramos rigurosamente el teorema cuando cálculos precisos, esto es. se puede demostrar que la sucesi6n de números reales a un punto x, F. (a, b) donde f se anula.

Deesta forma, la "intuicibn geombtrica" para construi$la su si6n {x,), ,, nos proporciona el camino que debemos seguir para la demostración del té!irem 1 t

También debemos sehalar que muchos problemas resolver gráficamente (NoS

17 y 19 de ejercicios prdpuestos 5.4; Unidad 5, M6dulo obtenemos soluciones exactas o aproximadas dependiendo de la naturaleza la perfeccidn con que realicemos los gráficos.

En ciertos casos, mediante las representaciones pueden comprobar algunos hechos matemáticos, lo que constituyen si queremos saber si dos rectas L y C de ecuaciones,

se cortan en un punto, sin necesidad de resolver el por esas dos ecuaciones, podemos dibujar cada una de las rectas L y C y si dichas rectas se cortan o no se cortan (siempre que las pendientes no en caso contrario el punto de corte puede quedar fuera del papel

Es evidente que el ejemplo anterior es anallticamente sin recurrir a las representaciones gráficas. Sin donde lo gráfico es más sencillo que el ciilculo, que lo analitico: regular ABCD y queremos saber si, 'existe alguna recta partes que tengan la misma área?

Si trabajamos este problema mediante de coordenadas como el dibujado a continuaci6n (el origen es uno de colocamos coordenadas a los vértices del cuadrilátero y consideramos:

una recta vertical L de ecuacibn x = a. Luego, debemos determinar los puntos M y N donde L corta a los lados AB y CD, respectivamente, y calcular las áreas de AMND y MBCN. Al igualar estas áreas se obtiene una ecuación que permite calcular el valor de a. Con este procedimiento, además de mostrar que una tal recta L existe, la determinamos de manera precisa al calcular el valor de a. Sin embargo, esta forma de proceder requiere bastante cáiculos y, como se dice coloquialmente, "es pesada".

La resolución gráfica del problema es más sencilla y "demuestra" fácilmente la existencia de tal recta L: si consideramos una recta vertical L que pasa por el vértice A y la desplazamos paralelamente a SI misma hacia la derecha, el cuadrilátero en cuestión queda dividido en dos partes para cada una de las posiciones que toma la recta y el área de la parte que está situada a la izquierda de la recta varía continuamente desde el 0% (cuando pasa por A) hasta el 100% (cuando pasa por 8). Por lo tanto, debe haber una posicibn intermedia donde la parte que queda a la izquierda y la situada a la derecha de la recta tengan la misma área (cada una con 50% del área):

Si intentas hacer los cálculos, percibires las dificultades para la solución analítica.

Observemos que resolver este problema con un cuadrilátero o con una región del plano como la dibujada a continuación es del mismo tipo. En este caso, la "pueba gráfica" nos asegura la existencia de una tal recta aunque no sepamos cómo determinarla analíticamente. m

I [ S ] El ejemplo analizado se lnsplra en el libro de Philip J. David y Reuben Hersh: “Experiencia maternáti.

ca", Centro de Publicaciones del MEC y Editorial Labor, EspaRa. 1988. Hay nueva edición en inglds, 1995.

La recta que une los pun. tos medios de dos lados de un triangulo es paralela al otro lado.

En todos los ejemplos anteriores, las "intuiciones as" y las "pruebas gráficas" condujeron a conclusiones verdaderas. Sin embargo, bas gráficas" pues hay veces que lo visual puede resultados falsos. El percatamos de estos nuestra experiencia y conocimiento.

Damos dos ejemplos de tal situación:

V El primer ejemplo se refiere a la a de los números racionales . . como puntos de una recta

Si tenemos dos puntos A L, que tienen abscisas racionales a y b, A y B siempre podemos

el punto medio, C, del segmento AB,

considerando luego los puntos e los segmentos AC y CB, con esta construcción, la

"intuicibn que todos los puntos del descrita obten

drlamos cualquier punto de AB.

Sabemos que este resultado no es cierto, ycdque e cualquier recta y en cualquier segmento de la misma hay tnfinitos puntos cihe no ienen abccisas racionales sino abscisas números irracionales. Recordemcg (Un ad 2, Módulo 1) que se puede asignar a todos los puntos de un segmento y de u a recta números reales y, 6sta es una de las motivaciones para la creaciónpe lo números irracionales. l

i E V El segundo ejemplo se refiere a todo triángulo la longitud de un

lado cualquiera es igual a la de los otros dos lados. Consideremos el triángulo de sus lados A,, 81, Cq. como muestra el dibujo:

Al unir los puntos A, y Bj con C1 ABICIAIB. Demostremos

que la longitud de esta pollgonai efecto. como BICIAIC

es un paraleiogramo, entonces

!

1

- -

Es importante indicar que cuandose tiene unasucesidn de poligonales {Pn), como las deeste ejemplo, que tiene por "limite" una curva, en este caso el segmento AB, no siempre es cierto que el limite de las longitudes de Pm sea igual a la longitud de la curva limite, en este caso la longitud de AB.

De manera análoga procedemos con los triángulos ABICl y CIAIB, obteniéndose la poligonal ABzC~MICINIC~A~B cuya longitud se demuestra, con un razonamientc

semejante, que es igual a E + ¿% :

Si seguimos con ese proceso indefinidamente, observamos en las sucesivas gráfi- cas que los lados de las poligonales obtenidas se hacen cada vez más pequeños y sus vértices "tienden" a estar en el segmento AB, pero, la longitud de las poligonales

- es siempre igual a AC + CB. Luego, en el límite la poligonal que se obtiene es el

- - - lado AB y por consiguiente AC + CB = AB.

Demos una explicación al por qué de esta conclusión falsa proveniente de un razonamiento aparentemente correcto y de obselvaciones visuales. La aclaramos en su verdadero significado como sigue: denotemos por L1 la longitud de la primera poligonal obtenida anteriormente (la poligonal AB1 C, Al E), por L2 la longitud de la segunda poligonal (la poligonal AB2 C2 M, C1 N1 C3A2 E), etcétera, y por lo tanto obtenemos una sucesión de números reales {L,}, n > 1, que es una

- - sucesión constante ya que todos esos números son iguales a L = AC + CB; luego, el limite de dicha sucesión cuando n + m es la misma constante L, que es

- 17 distinto de AB. 1

l. En matemáticas, y en el lenguaje cotidiano, se utilizan ciertas palabras para describir situaciones conducentes a un "contrasentido", a una "contradicción", a un "falso razona- mientopara inducir errores".

Una de estas palabras es paradoja que significa: "contrasentido". "contrario a la opinión com0nln", "contradicci6n a la que algunas veces se llega como resultado de un razonamlen- to". Recordemos que en la Unidad 7 del Módulo 111 estudiamos la denominada Paradoja de Aquiles y la tortuga con la finalidad de motivar la noción de limite de una sucesión. En ese entonces precisamos la noción de paradoja de la siguiente forma: "Una paradoja es una aseveración que, a pesarde su formulación coherente y; almenos en apariencia, correcta, expresa algo que no encaja con lo que, en general, se espera que pueda producir el ejercicio de la raz6n y la utilizacidn del lenguaje" (Diccionario Enciclopédico Salvat tomo 20; negrillas añadidas).

Otras palabras utilizadas son falacia y sofisma: falacia se define como "engaAoU y sofisma mediante "falso razonamiento para inducir a error", "argumento, razonamiento falso a pesarde una apariencia de verdad". Engañar es dar una apariencia de verdad a lo que es mentira, y por lo tanto entendemos en matemática a falacia y sofisma como sinónimos y

con el significado de que mediante un razonamiento aparentemente verdadero, se obtiene una conclusión falsa lo cual proviene en el razonamiento que a veces no es fácil detectar, que puede no El ejemplo del triángu- lo, donde se "demostró" que la longitud de las longitudes de los Otros dos lados, producto de un visual, es Un tipico ejemplo de falacia o sofisma.

Las faiacias fueron muy utilizadas por Zen6n de el objeto de "demostrar" la imposibilidad del movimiento y de ésto paradojas de Zenón, entre las que se encuentra la Paradoja de

As1 como las percepciones visuales y los dibujos mal llecho nos pueden conducir a errores en el razonamiento o a "pruebas gráficas" falsas pero fapar temente verdaderas", también las percepciones visuales, las "intuiciones geométrifas", S pueden guiar hacia resultados verdaderos. Un ejemplo de esta situaci6n es un ,fmos teorema denominado teorema de ~ordan:~" Si consideramos una "curva cepada" di31 plan , como una circunferencia, una elipse o una línea poiigonal cerrada, como las dibujidas . 1 continuación:

Este resultado es evidente desde el lo tanto pareciera que no es necesario demostrarlo si en vez de una circunferencia, de una elipse o de curvas cerradas como se muestra a continuacidn?

Recuerda lo estudlado en 4.4 del M6du- lo 11.

podemos observar que cada una de esas curvas dibide e lano en dos regiones, una que llamamos región '7nterioYy otra que Ilamamosreg~~ n "ex M: Estas regiones tienen por frontera o borde común a la curva en cuestión, siei o la gión interior la que es acotada. Además, dos puntos A y B de una misma regdn ptifden irse siempre por medio de una linea poligonal sin que esta corte a la curva.

f t

I [ r ] Camllle Jordan, matematlco francbs (1838-1822), fue

lleva su nombre no era tan evidente para cualquier

Este tipo de demostración se habe solamente en cursos avanza- dos de mate- mbtica.

También el teorema luce "evidente", "intuitivo", pa no as[ para la curva C2. Por ejemplo, nos preguntamos, (,el puntoip, a cu; ce; a la regi6n interior o a la región exterior? En consecuencia, lo~no evi 'ado para ciertas curvas como la C;! y el hecho de que todo teorema nec rado, requiere entonces que se haga una demostracibn del enunciado 0 únicamente de una

\ obse~aci6n visual. Una demostración permite coi tipo de " C U N ~ cerrada" ba jo ciertas condiciones.

I Ejercicios propuestos 1.2.4

I 1. a) Procede con el teorema del valor intermedio de manera análoga como hicimos la construcción de tipo geométrico para realizar una "pmeba gráfica" del teorema de Bolzano.

I Recordamos a continuación el enunciado del teorema del valor intermedio: si f: [a, b] --+ R es una función continua y z es un valor comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe x, E [a, b] tal que z = f (x,) (Unidad 9, Módulo 111).

b) Dibuja la gráfica de una función f: [a, b] --t R discontinua en un punto c E [a, b] y observa que el enunciado anterior no es cierto en este caso.

2. Consideremos la función f: R - (O} -+ R definida por f (x) = x3. a) Dibuja la gráfica de f. b) ¿Es f una función continua en su dominio? c) ¿Es posible dibujar la gráfica de f sin levantar el lápiz del papel? ¿Contradice o no

contradice tu respuesta a la definición intuitiva de continuidad dada en la Unidad 9 del Módulo 111 ?

3. Mediante un "razonamiento" análogo al del ejemplo con un triángulo, "demuestra" que 1 "fi = 2 utilizando dn triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales y cada uno mide una unidad (falacia de tipo geométrico).

4. Acontinuación te presentamos otra falacia de tipo geométrico ya que "demostraremos" lo siguiente: "La longitud de cualquier semicircunferencia es igual a su diámetro". Para la "demostración" razonamos como sigue: Consideremos la semicircunferencia, dibujada a la izquierda, de centro0 y diámetro E = 2R . Dibujemos las semicircunferencias del mismo radio R/2 y cuyos centros son los puntos medios A1 y Bq de los segmentos OA y 0 6 , respectivamente,

c - R d c R 1 2 -i t- R I Z + I Denotemos por Li la suma de las longitudes de estas dos semicircunferencias. De manera análoga procedemos con estas dos últimas semicircunferencias por lo que consideramos las semicircunferencias con centros en los puntos medios A2, A3, B2 y 03 de los segmentos AAl, A1O, OBl y BlB, respectivamente, y con radios Rl4,

** Si es necesario, repasa lo referente a la unidad imaginaria en al- gún Ilbro de Educacibn Media. **

Denotemos por L2 la suma de las longitudes de la emicircunferencias que se forman. a) Calcula las longitudes L1 y L2. b) SI seguimos con este proceso indefinidamente, ob que las semicircunferencias

obtenidas tienen longitudes cada vez mBs pequ e la curva compuesta por la reunión de todas ellas "tiende" a confundirse co ento AB y como la suma de las longitudes de esas semlcircunferencias es i , entonces se tiene nR = E, es decir "la longitud de la semicircunferencia d AB es igual a su diámetro". AdemBs, como = 2R, entonces del resulta r obtienes 1 n = 2! cómo se explica esta falacia? I E

5. a) Dado un cono circular, demuestra gráficamente qu exist un plano perpendicular al eje del cono que lo divide en dos sólidos (un cono m: peq / efio y un tronco de cono) que tienen igual volumen.

b) C6mo puedes generalizar ese resultado a un s61ii

6. D6nde está el error en los siguientes "razonamien a) Sean a, b dos números reales y supongam

y como a2 - b2 = (a - b) (a + b), entonces (a - b) = (a - b)b, por lo tanto, al simplificar por a - b se obtiene a + b = b, luegci . Como b es un número real cualquiera. dando a b el valor 1, obtenemos i :!

b) Sea i = f i la unidad imaginaria que satisface Se verifica:

ycomo i 2 = - 1 , entonces i l = - l l I I I

c) Sabemos que para todo número real x se verifi1:g: sen2x + cos2x = 1. ! I

Se tiene:

sen2x + cos2x = 1 3 sen2x = 1 - cos2x

Si en esta última igualdad hacemos x = 3 n l i sen(3n12)=-1 y

cos (3 n 12) = 0, resulta 1 - 1 = 1 + m y

* I 7. He aqul una prueba gráfica (un clásico acertqo) dor la ~0lución gráfica (razonamiento visual) no es tan complicada en comparación con uci6n analítica que sl lo es. t A continuaci6n dibujamos nueve puntos,

50

Dibuja con un Iápiz o un bolígrafo cuatro segmentos que contengan a los nueve puntos, sin levantar el Iápiz del papel, y que pasen una sola vez sobre cada punto.

8. Consulta con el Asesor de Matemática del Centro Local acerca de diversas conjeturas, pruebas gráficas, paradojas famosas y diversas falacias en matemhticas.

t ...........................

I 1.2.5 Otras demostraciories 1 l

En los temas anteriores nos referimos al significado y a la necesidad de hacer demostraciones en matemática. presentando lo que es un teorema (proposición, lema, corolario, propiedad) y diversas maneras de cómo demostrar teoremas en matemática. Dimos ejemplos de teoremas que se pueden demostrar de distintas formas. También estudiamos lo que son las conjeturas, las "pruebas gráficas" y las "intuiciones geométricas", las falacias o sofismas y las paradojas. Sin embargo, todo esto no agota el capítulo acerca de los enunciados matemáticos y las demostraciones, pues hay otros aspectos no tratados que no serán estudiados en este curso.

Entre éstos se encuentran las demostraciones porrecurrencia o inducción que serán obje- to de estudio del próximo curso de Matemática 11 (1 79). También es conveniente mencionar las denominadas "demostraciones constructivas" y las "demostraciones no constructivas'; las "demostraciones por agotamiento o exhaución de casos" y las "demostraciones con el uso de las compufadoras". De estos tópicos únicamente nos referiremos a los dos últimos.

Las demostraciones o pruebas por agotamiento o exhaución de casos se refieren a demostrar algún teorema, alguna ptopiedad, o determinar algún conjunto, reduciéndola a un nú- 1 mero finito de casos. A continuación damos tres ejemplos. I

O Ejemplos de demostraciones o pruebas por agotamiento o exhaución de casos. I 1. Un ejemplo típico es el de sustitución directa de los elementos de un conjunto finito a los

fines de comprobar si se satisface o no una determinada propiedad. He aquí una pregunta 1 de este tipo y una forma de responderla: I Las raices de la ecuación 2x2 + 3x - 2 = 0, son: I

a) Las fracciones 112 y - 112.

b) Los numeros enteros - 2 y 112.

c) Los números racionales - 2 y 112.

d) Los números enteros O y - 2.

Esta pregunta puede resolverse sustituyendo en la ecuación propuesta el par de números que aparece en cada uno de los cuatro casos que nos dan como posibles soluciones (cada caso implica dos sustituciones, pero algunas de ellas se repiten). Lo que se tiene es el conjunto A = {1/2, -112, -2,O) y queremos determinar cuáles de los elementos del conjunto A son raices de la ecuación 2x2 + 3x - 2 =O. Basta sustituir la x por los cuatro elementos de A (cuatro casos posibles) y comprobar que 112 y - 2 son las raíces de la ecuación propuesta. 1

2. Supongamos que arrojamos al aire una moneda tres veces, ¿cuáles son los posibles resultados de este experimento?

A Designemos por C si sale cara y por S si sale sello al arrojar la moneda. En cada uno de los lanzamientos puede salir C o S. Luego, si ya teniamos en el primer

a

Test de entra. da, Módulo 1.

51

I lanzamiento C entonces en el segundo lanzamiel CC o CS (la primera y segunda letra indican, respectivamente, lo qutl y segundo lanza- miantnl n- da manera se ouede construir el indica todas las

CCC ccs csc css S',' scs ssc "S I

3. Recordemos las dos siguientes propiedades de la rt. lació de orden en los números reales:

A) a>O, b > O 3 ab>O. 1 I

B) a > 0 o - a < 0

A partir de esas dos propiedades demuestra que 1 o número real x se verifica x2 > o

A Distinguimos tres casos Según que x sea

Casol: x = O. Se tiene x2 = 0' = 0.

Caso2: x > O. (A)

Setiene x>O, x > O + x x > O + x2>0 .

(6) (A) Caso 3: x < O. Se tiene x < O + - x > O 3 (- x) (- x) > 0.

* xZ > o.

También podemos presentar estos tres casos en la forma del diagrama siguiente:

2 y por lo tanto, x 2 O cualquiera que sea el número real x. 1

O Demostraciones utilizando computadoras.

Las demostraciones o pruebas utilizando computadoras se han hecho más frecuentes cuando el número de casos a considerar es bastante grande. La primera prueba que se realizó usando computadoras fue la de una antigua conjetura denominada conjetura de los cuatro colores, de la que daremos una explicación breve en lo que sigue:

El problema de los cuatro colores consiste en demostrar que cualquier mapa trazado sobre el plano se puede colorear sin utilizar mds de cuatro colores distintos con la condición que no hayan dos Estados (regiones) con frontera común que estén pintados con el mismo color."'~os Estados (regiones) pueden tener cualquier forma pero deben estar formados por una sola parte del plan~.~""Al hablar de "mapa", haciendo abstracción de los mapas geográficos sobre la Tierra, podemos referirnos a una región del'plano limitada por una curva cerrada, región a la que dividimos en varias partes (subregiones), como muestran las figuras siguientes:

[*] El origen del problema de los cuatro colores se encuentra en una carta que el matembtico inglbi Augustus de Morgan le escribió a su colega Sir William Hamilton, el 23 de octubre de 1852, en 12

que le dice: "Un estudiante mío me ha pedido una respuesta sobre una cuestión de la cual y< desconocía y desconozco la solución. El dice que cualquier mapa se puede colorear con cuatrc colores...". Podemos considerar mapas sobre una superficie esfbrica. como es el caso de la superficie

[ ta l terrestre, y no únicamente mapas sobre un plano. . . Se consideran paises constituidos por una sola región y no por varias regiones separadas, como es el caso de Japón y varias de las islas que lo componen. Tambibn es importante indicar que: dos regiones que sólo tengan un número finito de puntos en comúo pueden tener un mismo color.

¿Habráalgún mapa que ne- cesite mts de cuatro colo- res7

Hay mapas para los cuales son suficientes 1, 2 se muestra en las figuras siguientes:

rojo

rojo erde rojo

Pero. es claro que tres colores no son suficientes lquier mapa, como se observa en los dos mapas siguientes que necesitan

rojo verde

amarillo

Las investigaciones realizadas para resolver la de 10s cuatro colores tardaron más de 100 anos y ellas tuvieron importancia p la denominada teorla de grafos que es una herramienta muy útil e cada, por ejemplo, en investigación de operaciones. Fue en 1976 c tos estadounidenses, Kenneth Appel y Wolfgang Haken. lograron d e: es suficiente cuatro colores para colorear cualquier mapa dlbujado sobre ut una supefflcie esfBrica. Para llevar a cabo su demostraci6n utlliz unas 1200 horas uno de 10s computadores más potentes para la epoca toque debieron analizar 1877 casos de configuraciones distintas, lo ible de llevar a cabo con calculos manuales.

De una pregunta, aparentemente trivial, realizaba po un estudiante a su profesor de matemática, se originó uno de los problemas cen d la denominada teoria de grafos, que es una herramienta fundamental en la r i n de numerosos problemas de matemática aplicada y de computación. esa demostraci6n utilizando computadoras era algo sin antecedentes en i a Y ocasionó gran impacto como consecuencia de que se apartaba de los meto nales de demostración estudiados anteriormente. I 1

@ Ejercicios propuestos 1.2.5 I I 1. Si A = {n E N: 1 S n 5 81, determina el subcci junto B de A definido por: n E B si

y sólo si n E A y 6 divide a n3 - n. i I

2. Da una prueba por exhaución de casos, esto es, analizando todos los casos posibles, de las siguientes propiedades: a) Para todo número real x se verifica que 1 -x 1 = 1 x 1 .

Sugerencia: Utiliza la definición de valor absoluto de un número real. b) Si p > 2 es un número impar, entonces p se puede escribir en la forma p = 4m + 1

o bien p = 4m + 3, para algún número natural m.

3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con números reales, analizando los distintos casos que se presentan:

4. Supon que se están encuestando personas acerca de su sexo y de su estado civil. 'Cuá- les con todas las posibilidades de respuesta de una persona? Sugerencia: Haz un diagrama de árbol.

5. Considera cuatro ciudades S, T, U y V. Para viajar desde: - S hasta T hay tres vías posibles, - T hasta U hay cuatro vías posibles, - U hasta V hay dos vías posibles.

Si quieres viajar desde S hasta V, pasando primero por T y luego por V, 'cuántas vías posibles hay y cuáles son éstas? Sugerencia: Haz un diagrama de árbol.

6. Supon que lanzas al aire una moneda sucesivamente y convienes en que al caer cara vale dos puntos y al caer sello (cruz) vale un punto. Los puntos que se obtienen en los lanzamientos sucesivos de la moneda se van sumando. a) Representa en un diagrama de árbol las primeras cinco jugadas. b) ¿De cuántas maneras puedes obfener la suma 6 en 1,2.3,4 y 5 jugadas? c) Considera el siguiente juego con dos jugadores A y B: El jugador A comienza y elige

alguno de los dos números 1 ó 2. A continuación sigue el jugador B y al nomero elegido por A le suma 1 6 2 y asi sucesivamente. El jugador que primero llega a 6 gana el juego. 'Cuál es la estrategia que debe seguir el jugador B para ganar el juego? Sugerencia: Obsenla el diagrama de árbol de la parte (a).

7. Consulta con e l Asesor de Matemática del Centro Local acerca de las pruebas utilizando computadoras.

No queremos terminar esta unidad de aprendizaje acerca del pensamiento matemático sin referirnos brevemente, a titulo de comparación, de qué son las "pruebas, comprobaciones, verificaciones, demostraciones" en otras ciencias, por ejemplo en las ciencias naturales y, en las ciencias sociales y económicas.

En estas ciencias se consideran relaciones de causalidad, como las siguientes:

a) La guerra ocasiona destrucción de bienes materiales.

b)Al calentaragua a temperaturas mayores que 100°C, el agua se evapora.

c) Si en Venezuela aumenta el déficit fiscal, entonces crecerá la inflación.

Recuerda lo de la hlpóte- 81s y la tesis escritas en singular.

I d) Causa: La guerra. Efecto: Destrucción de bienes materiales. i

En esos tres enunciados se manifiestan relaciones e dc acontecimientos) que estamos comparando mediante una rf 6r de causalldad), puesto que uno de ellos ocasiona el otro. E c resultado, la consecuencla, que es debido a la causa, y i o siguiente:

causa A efecto f 1

e) Causa: Calentar el agua a temperaturas T > 100°&. Efecto: Evaporación del agua. I

S hechos (sucesos, eventos, d e causa a efecto (relación >es lo que se produce, es el ~sc~uematizamo~ de la forma

I f) Causa: Aumento del déficit fiscal. Efecto: Crecimiento de la inflación. I I

lo que podemos identificar en los tres ejemplos anteriores: . -

Al indicar la relación causa -----) efecto, utiliz, palabras causa y efecto en singular es para abreviar, puesto que una misma causa pusr ucir más de un efecto Y varias causas pueden ocasionar uno o más efectos.

Por ejemplo: ! I

1 g) La guerra ocasiona destrucción de bienes materiiles y &dida de vidas humanas

h) Si en Venezuela aumenta el dhficit fiscal y se d la moneda en lo%, entonces crecerá la inflación.

Ademas, los enunciados del tipo causa- demos formular de manera análoga a los teoremas con las palabras si ....... ent

Por ejemplo:

i) Si ocurre la guerra, entonces habrA destrucción d bien S materiales. I I j) Si calentamos agua a temperaturas T> 100°C, e

Observamos entonces que la forma gramatical de e relación de causalidad y la de un teorema guardan cierto paralelismo entre si, cierto

Sin embargo:

),En dónde radica la díferenci relación de causalidad y ur

La diferencia está en que un teorema se demuei un razonamiento lógico empleando algunos de los metodos de demostración estu O que serán estudiados en cursos posteriores, y una relación de causalii que logra suceder, transcurre en el tiempo (la causa (

Muchas de estas relaciones de causalidad se com

La comparac16n entre los teoremas y las relacioni continuación:

TEOREMAS RELACIONES DE CAUSALIDAD

Hipdtesis. l LO QUE

CONOCEMOS. Causa. LO QUE OCURRE

I Lo que se conoce: PRIMERO. defin~ciones, axiomas, otros teoremas.

LO QUE SE DEBE El razonamiento LO QUE ESTA HACER (LA DE- lógico. SUCEDIENDO MOSTRACI~N). PROGRESIVA-

MENTE (O "INS TANTANEA- MENTE).

UNIDAD 2

J%de/a~do con JTaferná&a (Primera parte)

Objetivos 9?eso/jerPm6femm depsica, zhyenz&zá

y ecorzomi~ dondeseuf&zmpmced&z~fm

mafemáficmy concep fmdacionadm con

fm COR~UR~OS R U R ~ & ~ C O S ~ &[URCI~R~S.

JTodefar sifuaciones de fa p s z ~ a ,

~nyenzeri'e y economi'a, u /&ando

proce&zenfos mafemcif~Cmyconcepfás

reiazonadm con /os con~UnfosnuzndrzEos

yfasfnczbnes.

''El bedo cidntifico no es mis que el becbo brut troducldo a un lsngrraje cómodo". (H. Poincard (/rancds, 1854.1912) en "El ualor d IB ciencia".)

En esta Unidad discutiremos algunos aspectos relacionados con los "modelos matemAticos' La palabra modelo es sinónimo de paradigma, de prototipo, de arquetipo y tiene diversa!

I acepciones en los diccionarios del lenguaje común:

O Perfecto en su género.

O Lo que sirve o debe sewir como objeto de imitación para reproducirlo.

O De ejemplaridad, que constituye un elemento de referencia.

son algunas de las connotaciones de dicha palabra.

Desde el punto de vista que nos interesa en esta Unidad y de "manera general" entenderemos la palabra modelo como la representación simplificada de un proceso, de ur sistema o de un objeto real.

Hay modelos gráficos, modelos económicos, modelos en la física, modelos en ingeniería modelos geométricos, modelos en arquitectura, modelos matemáticos, entre otros. En esta Uni. dad estudiaremos distintas situaciones de la fisica, la ingeniería y la economla conducentes a Ií realización de un modelomatemático de cada situación planteada.

En primer lugar daremos algunos ejemplos de modelos matemáticos como: a) El crecimiento de una población. b) El camino más corto entre dos ciudades unidas por una red de carreteras. c) El modelo de la oferta y la demanda en Economía.

Para establecer el modelo matemático se busca una manera de describir la situación rea que estamos estudiando mediante los conocimientos matemáticos que poseemos. Establecer el modelo matemático consiste en determinar relaciones entre las distintas variables que hemos seleccionado. En algunos modelos estas relaciones se pueden dar en forma gráfica o bien se llega a expresiones que determinan unas variables en función de otras. En otros casos, esas relaciones se dan en forma de ecuaciones o inecuaciones que debemos resolver (resolver el problema matemático planteado), lo que puede ser bastante dificil y a veces imposible. Luego, es necesario comparar con la realidad a los fines de constatar si los resultados obtenidos son "váli- dos" (verificación del modelo) y si las predicciones que podemos hacer son "confiables" (confiabilidad del modelo). Además, debemos determinar cuáles son las "discrepancias" que nos pueden conducir a modificar el modelo o a desecharlo.

La mayoría de los ejemplos tratados en esta Unidad se limitarán a plantear modelos matemá- ticos y resolver los problemas planteados, en aquellos casosdonde esto sea posible y sobre la base de los contenidos desarrollados en los módulos anteriores, especialmente lo relacionado con las funciones y las representaciones gráficas, delimitando las condiciones de los modelos estudiados. En el próximo curso de Matemática 11 se continuará con el estudio de los modelos matemáticos utilizando otros contenidos, como son las matrices y el cálculo diferencial.

Antes de iniciar el estudio de esta unidad de aprendizaje, conviene recordar algunos conceptos acerca de progresiones aritméticas y geométricas que utilizaremos en el desarrollo de la misma, lo que hacemos mediante un cuadro resumen de repaso. Previo a este cuadro indicamos que, frecuentemente, las sucesiones {a,} con que trabajaremos las iniciaremos en el término a, en vez del término a,, es decir, consideramos m 2 O en {am}.

Estos dos problemas se originaron en cuestiones puramente matemáticas, en sus "motivaciones internas". Sin embargo, ambos condujeron a desarrollar teorías que hoy en dia tienen muchas aplicaciones en diversos campos. Así, la teorle de grupos es utilizada en la física, en la cristalografia (estudio de los cristales) y no solamente en matemáticas. La teoría de grafos es muy útil en computación, en ingeniería de sistemas y en la investigación de operaciones. 1

O Los problema matematicos exteriores. es decir aquellos que formulados en lenguaje corriente o en el lenguaje propio de alguna disciplina en particular describen una situación que, después de un análisis sistemático, pueden ser formulados en términos matemáticos conduciendo a un modelo matemático. Es decir son problemas de otras disciplinas susceptibles de ser matematizados, usualmente denominados problemas provenientes del mundo real, distinguiendo con esta expresión dos tipos de problemas que a veces se solapan:

4 Problemas relacionados con nuestra vida cotidiana, nuestra realidad circundante, nuestro entorno.

4 Problemas provenientes de otras áreas del conocimiento: física, ciencias sociales y económicas, ingeniería, biología, ... I

A los fines de formular este tipo de problemas en el lenguaje de la matemática se requiere, por una parte, un conocimiento de la situación real, una familiaridad que permita una modelización maiemática significativa y, por la otra parte, un conocimiento de ciertas teorías matemáticas con las que podamos expresar el problema en términos matemáticos.

Frecuentemente. la matematización de una situación real se apoya en la experiencia que tenemos sobre dicha situación lograda a través de observaciones, de expe- rimentos, de compararla con situaciones análogas y del conocimiento de la misma matemática. 1

Observemos entonces que la matemática tiene dos fuentes de las que se nutre, lo interno y lo externo, y que algunas de las motivaciones internas que originaron o contribuyeron al desarrollo de ciertas teorías encuentran, posteriormente,aplicaciones en otras ciencias y tecnologías, como las antes mencionadas teoría de grafos y teoría de grupos.PI

Los problemas planteados en términos matemáticos que son originados por situaciones reales conducen a modelos matemáticos. Demos alaunoseiem~los de los mismos considerando 1 tres situaciones tomadas de la dinámica de poblaciines, dé la ingeniería y de la economía. I

Posterior al análisis de estos tres ejemplos precisaremos qué son los modelos matemáticos y cuáles son los pasos que se siguen con el objeto de construirlos.

2.2.1 Modelo de Crecimiento de una Población (Dinámica de Poblaciones) I Supongamos que se quiere estudidrel crecimiento de la población de Venezuela considerando

los datos proporcionados por algunos censos de poblacidn, resefiados en la siguiente tabla:

[*] Otro ejemplo de este tipo son las denominadas Algebras de Boole que es una herramienta matemhtica imoortante en el estudio Y dlseiio de los circuitos el6ctricos Y de los ComPutadores. Su origen se encuentra en las invesilgaclones que realizó George Boole (inglbs, 1815-1864) en relación con el razonamiento lógico ("Investigación sobre las leyes del pensamiento"). Fue solamente en el siglo XX que su trabajo, origen de las Algebras de Boole, se desarrolló mhs profundamente con otros científicos y se convirtió en una herramienta de gran importancia en el dlseiio de los circuitos el6ctricos y de los computadores.

Dentro del rango de v a r i a c i 6 n del tiempo, Interoolamos valores.

Fuera del rango de va- riación del t i e m p o , exiravoiamoq valores.

Considera- mos t, = 1941 en el origen del eje de abscisas.

Año 1941 1950 1961 1971 1981 1990

Población 3850771 5043838 7523999 10721522 14516735 18105265

(Fuente Dlario El Nacional, p 1 - Economia, 10/09/93)

Nos encontramos frente a una situación real, "el crecimien la población de Venezuela en el período 1941-1990". y se dispone de un conjunto de datos en los censos de población.

¿Que podemos hacer con esos atos? 1 A la vista de esos datos de la población de Venezuela pod os formular diversas pregun-

tas, como las siguientes: f e De los datos de esos censos, 'será posible estimar población de Venezuela en

cada uno de los anos comprendidos entre 1941 y 19 O? (1941-1990 es el rango de variación del tiempo). t

e De los datos de los censos realizados entre 1941 y ¿era posible predecir la población de Venezuela para el ano 19907 En afirmativo, ¿cuál es la discrepancia entre el resultado obtenido teóricamen dato sumin~strado por el censo de 19907

¿Es posible predecir cuál será, de Venezuela en el ano 2000, fecha en la que

Así como éstas, pueden existir otras preguntas que cada ector podría formularse. I Para responder esas preguntas podemos hacer un model matemzltico del crecimiento de

la poblaci6n, preguntándonos inicialmente cuáles son las variabl S que intervienen. Si consideramos que las variables son el tiempo y el ntimero de habitantes, tonces debemos buscaralgún tipo de relación entre las variables 'húmero de habitantes': d notado por N, y el "tiempo t medido en aAos". Esta relación debemos encontrarla a partir d los datos conocidos E

¿Cómo hacer este modelo matemático del crecim nto de la población? 1 En primer lugar podemos pensar en un "modelo gráfico" los fines de visualizar los datos.

Asl, representamos gráficamente los datos aportados por lata

y as1 obtenemos un conjunto finito de puntos en el plano de las variables t (tiempo) y N (población), donde consideramos que N es función de t (N = N (t)). Sin embargo, no es suficiente con tener esos puntos aislados en el plano de las variables (t, N) pues no podemos obtener conclusiones interesantes ni responder las preguntas anteriormente formuladas.

Podemos utilizar un diagrama de barras velticales, como el mostrado a continuación:

I Unidad 6, Módulo 1.

Como en la escala del tiempo los censos no se han realizado de manera uniforme cada 10 años entonces. un gráfico de barras verticales más adecuado que el anterior es el siguiente pues refleja con mayor precisión las diferencias de los censos llevados a cabo cada 9, 10 u 11 años,

Pero, tampoco estos gráficos nos permiten predecir la población para el año 2000 ni estimar la población para los anos en que no hubo censo.

Podriamos considerar otro modelo gráfico uniendo los puntos obtenidos mediante una curva, como la dibujada a continuación, la cual está formada por segmentos y prolongando el segmento AB hasta el punto correspondiente al año 2000, obteniendo el gráfico de una función continua:

Años t

Es fácil determinar ia ecua- ción de esta curva, es decir de N=N(t), pues se trata de una funcidn definida por trozos.

En 9.3 del Mó- dulo 111 consideramos grdfi- cos de este tipo que representan funciones continuas; por ejemplo, el de aproxima- ción continua de la tasa de cambio del d6. lar en 1994.

65

gxtrawiamoar (fuera del rango de va- rlacldn del tiempo).

y ahora inferir, del gráfico, que la población de Venezuela para el afl 2000 será, aproximadamente, 22 millones de habitantes.[l

Tambibn es posible pensar en dibujar una recta que pase "1 más próximo que se pueda" poresos puntos, como la dibujada a continuación y1

Ajuste "afln" de los datos.

y, de este grdfico obtenemos como posibilidad de población de para el aflo 2000, la cantidad aproximada de 20 2 millones de habitantes.

O b s e ~ e m 0 ~ que, según como sea la gráfica utilizada, se tienen diversas estimaciones para la población del ario 2000. ¿ QuB otro tipo de grbficas

A la luz de los dos gráficos anteriores, se evidencia un as ecto en relación con las variables t y N que es necesario dilucidar:

1 En el estudio del crecimiento de la oblación deVenezuela. 1 e cualquier oblación humana.

l animal, o de cualquier especie, la funci6n N(t) que cuenta el nú ro de hdividuos presentes es una función discontinua que únicamente toma valores enteros y, la variable tiempo t se

Se extrapo- lan los datos para hacer la ~redlccldn.

mide por períodos (aflos, meses, semanas, días), es decir, se ideen forma discreta y no en forma continua.

¿Por qu6 entonces, hemos trazado rvas continuas para graficar la funcidn = N (t)? f

La razón es la siguiente: I SI una población es "bastante grande" y se incrementa repentinamente en una unidad, entonces este c bio que sufre la población es "bastante pequeño" en comparació con la población dada Así, para una variación "muy pequeña" de tiempo entonces la variación de la población tambien es "pequ fía" y por ello es razonable "aproximar" grandes poblaciones a u modelo continuo, esto es, considerar N = N (t) como una función c ntinua del tiempo t. Esta suposición nos permite predecirp~blacio es futuras, como es el caso de las predicciones realizadas co los dos gráficos anteriores que prolongan los segmentos más al 1 del año 1990.

(.'] En cursos posterlores ostudlarhs la forma de obtener esa recta e ecuacldn N * a t + b. Por ahora, puedes dlbularla en forme aproximada de acuerdo a tus obsewacl nes visuales, procurando que "pase

[.] SI determlnamos la ecuacldn de la recta que pasa por los pu 18106266) resulta N - 14616736 = 388726,666 (t - 1981), y po s 22082621 (habltantes). El error porcentual cometido con la ea bastante pequeiio ( * 0,42%) (Haz el chlculo).

itoe A(1981; 14616736) y B (1990; lo tanto N (2000) * 22092620,66

tlmacldn grhfica de 22 mlllones es

Retomemos nuestro análisis de la población de Venezuela a partir de los datos proporcionados por los censos realizados en el periodo 1941-1 990. l Ahora queremos hacer un modelo del crecimiento de la población, en t4rminos de la fun-

ción N = N(0, que nos permita hacer cálculos sin disponer de representaciones gráficas. Depen- diendo de cuáles hipótesis seleccionemos se obtendrá un determinado modelo u otro, es decir, una determinada función N = N (t).rI

AN N(to + At) - N(tO) r = - = At At

Un primer modelo es el denominado Modelo Lineal para el Crecimiento de la Población el cual considera constante la tasa media de variación de la función N = N (t). Recordemos que la tasa media de variación o de cambio de la función N = N (1) en un intervalo [t,, t, + At], de longitud At, se define mediante

1 Tasa aritmbti-

5.4, Unidad 5 del Módulo ,,,

Si medimos la población en cada intervalo de tiempo At, se obtienen datos en forma discreta que se representan por puntos "aislados" en el plano.

Un gráfico anhlogo a este fue el primer gráfico que hicimos con la tabla de los censos de la población de Venezuela, aunque es necesario advertir que, como dichos censos no se realizaron con el mismo intervalo de tiempo, en este caso deVenezuela se tiene que At es igual a 9, 10 u 11 (anos).

Por ejemplo, en el periodo 1941-1950 la tasa media de variación de la población de Venezuela fue

Esta tasa media de cambio nos informa en cuánto ha cambiado la población por unidad de tiempo (afio) en el periodo 1941-1950. Así, en promedio, la población de Venezuela aumentó 132563 habitantes por cada ano transcurrido desde 1941 hasta 1950.

N(1950) - N(1941) 5043838 - 3850771 = 132563 (habitanteslafio). - r = - 1950 - 1941 9

Supongamos que esta tasa media de cambio r = 132563 permanece constante a partir del ano t, = 1941, que tomamos como aAo inicial, y hasta el aiio 1990 fecha del último censo. A los fines de determinar nuestro modelo matemático introduciremos la notación siguiente:

t, 1941, A t - 9 .

I [? Un modelo matemático dado por una función N = N (t) se puede obtener mediante una función definida

a trozos al considerar los segmentos que unen los puntwdados por latabla de los censos, cuyo gráfico obtuvimos anteriormente.

67

Recuerda el cuadro resu. men de repaso.

t ,=m t1941, luego, si m = 20 se tiene t20 1861. Análogamente para 1971, 1981 y 1990.

Semlrrecta que pasa por los puntos A y B.

Considera- mos b=1941 en el origen del .e je de absclsas,

Denotaremos N (1941), N (1942), N (19 N (1950), .. , mediante No, NI, N i , .. , N$, . ., respectivamente,

Por la suposición hecha observamos que la población N, btiene a partir de la población N,. 1 en el atio anterior sin más que sumar a esta última la

por lo tanto, la sucesión forma una progresión a tm6tica con primer termino No = N (1941) = 3850771 y razón r = 132563, dedonde:

Si calculamos N20, N30, NdD y mediante la f6rmula [ en consecuencia, estamos calculando N (1961), N (1971), N (1981) y N (1990),

y estos números nos indican que a medida que nos alejamos tio 1950 el modelo en cuestión no es adecuado para predecirlos valores de la población calculados mediante [l] discrepan bastante al compararlos con los

En lugar de considerar la variable discreta m, que ente toma valores enteros no negativos 0, 1,2,3, ....., consideramos la fórmula [ l ] para valores reales t >O, es decir, la función continua I

cuya grafica es una semirrecta (pues t 2 O) donde colocamo el tiempo inicial b = 1941 en el origen del eje de abscisas que, por lo tanto, corresponde a t

T N ( en millones )

El modelo anterior para determinar el crecimiento de 1: población de Venezuela, que nos ha conducido a la fórmula [A], es el Modelo Lineal Discreto

Las discrepancias encontradas en este modelo, al hacer los cálculos de la población mediante [?] y cuando nos alejamos del ano 1950, conllevan a que se deben introducir modificaciones

Si buscamos otro modelo matemático que pueda ser más apropiado a los fines predictivos y que refleje con mayor certitud los datos reales suministrados por los distintos censos, debemos 1

en el modelo o buscar otro modelo matemático. Si queremos hacer predicciones a partir de 1990, sería preferible calcular la tasa media de cambio r considerando un periodo más cercano a 1990, por ejemplo, el periodo 1971-1981 o bien 1981-1990 (NO2 de la lista deejercicios propuestos 2.1).

modificar algunas de las suposiciones que hicimos con el modelo lineal. I

Verejercicios propuestos.

Determinemos otro modelo matemático del crecimiento de la población de Venezuela, el denominado Modelo Exponencial.

Para ello recordemos que en la Unidad 5 del Módulo 11, al estudiar la noción de tasa de variación media y con el ejemplo al11 dado sobre la población de Venezuela, se introdujo el cocien-

te de la tasa media de cambio r = AN IAt por la población al inicio del periodo considerado, es decir el cociente

denominado tasa de crecimiento porunidad de tiempo y porindividuo en el periodo considerado

[t,, t, +At]. Porejemplo, en el periodo 1941-1950 se tiene

í31

la cual acostumbra expresarse como un porcentaje multiplicAndola por 100, es decir 100 R = 3,443%, resultante de la regla de tres.

Tasa geombtrica

Supongamos que esta tasa de crecimiento poblacional R = 0,03443 permanece constante a partir del afio t, = 1941, que tomamos como aiio inicial, y hasta el ano 1990 fecha del ultimo censo (tasa anual decrecimiento poblacional constante en el periodo 1941-1990).

Utilizando la misma notación anterior de No, NI, N2, .., Ng, ...., N,, calculemos N,. Para esto obse~emos que N, se obtiene agregando a la población en el ano anterior N,. 1 el 3,443% de la misma pues, en este porcentaje aumentó la población anualmente de acuerdo con la supo- sición hecha:

N,=N,.1+(3,443%deN,.1)=N,.1+0,03443N,.i

= (1 + 0,03443) N,. 1

luego. Nm=1,03443N,.l, m21. I Por lo tanto, la sucesión {N,),,o forma una progresión geométrica con primer termino

No = N (1941) = 3850771 y razón q = 1,03443. De aquí se obtiene

(Modelo Exponencial Discreto) [4]

Recuerda el cuadro resumen de repaso

Recorde- mos que t,=m+

1941, luego, si m = 20 entonces ho = 1981. Analogamente los otros aiios.

que expresa la población deVenezuela en el aflo m-ésimo conta a partir del ano 1941 (m=O) y en función de la población N, = 3850771 que habla en ese

A partir de (41 calculemos la población de Venezuela en nos 1961,1971,1981 y 1990 a los fines de comparar w n los resultados de los censos; calcularemos la población para los anos 1996 y 2000, redondeando a números enteros.[?

Estos resultados son más próximos a los dados por los c sos, en el periodo 1941-1981, 1 que los calculados con el modelo lineal. La mayor discrepancia t e nota para el ano 1990 (error porcentual por exceso ~11,71%), lo que nos hice pensar que I cantidad obtenida para el aflo 2000 será menor que la calculada con la fórmula [4].

En lugar de considerar la variable discreta m, que ente toma valores enteros no negativos 0, 1, 2, 3, .. .., consideramos la fórmula [4] reales t z O, es decir, la función continua

cuya gráfica es la de una función exponencial de base 1,034 3, donde colocamos el tiempo inicial = 1941 en el origen de abscisas que, por lo tanto, cor sponde a t = O en 141. t

N ( en millones )

1

IP41 1961 1961 1971 1981 IP91

1 1

El modelo as1 obtenido en [4] se dice que es un Model de Tipo Exponenclal Discreto o Modelo de Malthus

A continuación presentamos una comparación de los I resumen

[*] Una secuencia de instrucciones en una calculadora clentlflca co siguiente: (ON ( (1.03443( rñ;J

rq Sobre Malthus y el maltuslanlsmo ver nota hlst~rlca al flnallzar 1

1

os modelo obtenidos a titulo de

1 el objeto de calcular Nm es la

)] m sta unldad de aprendizaje.

I MODELO LINEAL MODELO EXPONENCIAL

l v Crecimiento constante de 132563 habi - * Crecimiento constante de 3,443% anual tantes en cada ano (se suma a la pobla- (se multiplica la población de cada aAo por ción en cada ano el mismo número) el factor 1 + (3,4431100) = 1,03443).

v Fórmula: N, = N,. 1 + 132563, donde * Fórmula: N, = 1 ,03443Nm. 1 , donde No = 3850771 corresponde al año 1941. No = 3850771 corresponde al aAo 1941. Se obtiene (m r O): Se obtiene (m t O): N, = No+ 132563 N,= (1,03443) m No =3850771 + 132563m. = (1,03443) m 3850771.

v La sucesión {N,}forma una progresión La sucesión (N,} forma una progresión aritmética de razón r = 132563. geométrica de razón q = 1,03443.

v Es un crecimiento lineal y la gráfica correspondiente para t r O es una sernirrecta de ecuación (función afín): N = 3850771 + 132563 t donde el origen de abscisas correspon de al tiempo inicial t, = 1941. Por lo tanto, no se dibuja toda la recta sino la semirrecta correspondiente a t s O.

+ N [ en millones )

* Es un crecimiento exponencial y la gráfica correspondiente para t t O es una curva dada por la función exponencial:

N = 3850771 (1,03443)' donde el origen de abscisas corresponde al tiempo inicial b = 1941. Por lo tanto, no se dibuja toda la g r á f ~ a sino la correspondiente a t 2 0.

, N (en millones j

En el caso del modelo exponencial hay otras formas fhciles de llegar a fórmulas análogas a [4] o [5], esto es, determinar la población como función exponencial creciente del tiempo, como explicaremos a continuación:

Si representamos en un sistema de coordenadas (t, N) los datos suministrados por los censos obtenemos Seis puntos que unimos con una curva continua, como muestra el siguiente dibujo:

N ( en millones )

Este gráfico sugiere que se trata,aproximadamente, de unacurvaexponencial creciente, o también pudiera ser una parábola o alguna curva dada por una función potencial. -

Con base e o base 10.

71

9 ~ C 6 m o decidir de qu6 se tr

0 Para ello acudimos a representar los datos en un papel se arítmico (si es que dispone-

Recuerda lo mos del mismo) o simplemente representamos sobre el eje de adas los l"garitmos de N. !s!'?'ad?el Podemos utilizar logaritmos neperianos (en base e, denotado n) 0 lo~aritmos decimales

1 Supongamos que trabajamos con Iogaritmos neperianos, tiene: + I n

ARO 1 I I

Poblaci6n (N) I Lr

Lo que representamos gráficamente como sigue:

L"N t /

y observamos que dichos puntos están situados, aproximadame ite, sobre la línea recta que pasa por A y 8, donde el que más se aleja de esa recta es el punto h, . Esto indica que se trata de una función exponencial de base e (N"3,ejercicios propuestos 1.2.1' Hay dos formas de encontrar, a partir de ese gráfico, la función población en términos del tiempo ( empo discreto, tiempo continuo):

72 1

Con variable discreta n: Con variable continua t: I V Consideramos la población variando por

décadas a partir de 1941, (corresponde a

At = 10 anos), esto es, consideramos los tiempos (anos) t, = 1941 + 10 n, donde to= 1941, ti = 1951, t2 = 1961, ..., t5 = 1991, corresponden, respectivamente a los siguientes valores de n: O, 1, 2, ..., 5. to = 1941 es el tiempo inicial y t, indica n- décadas después de 1941. Luego, si denotamos por N, la población en el ano t,, es decir, N, = N (t,), entonces la función exponencial es de la forma

y necesitamos calcular a.

V Cálculo de la constante a: Esto se hace tomando logaritmos neperianos en N, = No ean. Resulta

LnN, =LnN,+an(Lne) =LnN,+an

+ Consideramos que la población varía en forma continua con el tiempo t, esto es consideramos t E (0 ,~ ) . Denotando N = N (t) la respectiva función, entonces la funci6n exponencial que buscamos es de la forma

donde No = N (O) corresponde a la pobla- ción del aiio to = 1941 (tiempo inicial). Ne- cesitamos calcular la constante b. Obser- vemos aqul que, los anos 1941,1951,1961, ... corresponden, respectivamente a los siguientes valores de t: 0, 10. 20, ... ya que 1951 = 1941 + 10, 1961 = 1941 + 20, ..., siendo to = 1941 el tiempo inicial colocado en el origen de abscisas.

4 Chlculo de la constante b: Esto se hace tomando logaritmos neperianos en N = No ebt. Resulta

LnN =LnNo+bt (Lne) = Ln No+ b t

en consecuencia b es la pendiente de la recta en consecuencia a la podemos calcular con

que con los puntos A y B. un valor de n. Por ejemplo, para n = 2 (que para t = 20 (que corresponde al punto 6, corresponde al punto 6: aflo t2 = 1941+10x ano 1961), se tiene: 2 = 1961) ll,se tiene:

de donde Esto es N en elaflo 1961. 1 de donde

La función exponencial buscada es La función exponencial buscada es I con n = O, 1, 2, 3, 4, 5, siendo [5 bis] lo análogo de la fórmula (5)

pero con la base e en lugar de la base

siendo (4-bis] lo análogo de la fórmula [4] 1t03443. pero con la base e en lugar de la base 1,03443.

1 1.1 Si calculamos a utilizando otro valor de n, obtendremos un valor distinto que difiere "poco" del

anterior, pero que ocasiona ciertas diferencias con los cálculos posteriores de N,,. Hazlo con n-4.

Podemos calcular N, con 14-bis] y comparar con la tabla de censos dada (tiempo en dbcadas):

n = 0 9 Ng = 3850771 (atío 1941) n = 1 =, N, .P 5382676 (aflo 1951) n = 2 =;, N2 7523999 (aflo 1961) n = 3 =;, N3 m 10517179 (ano 1971) n = 4 =, N4 m 14701098 (ano 1981) n = 5 =, N5 -20549454 (aflo1991).

Extrapolamos para n -6 =, N6 28724389 (aflo 2001).

1 OBSERVACIONES:

+ Podemos

calcular para

= 3850771 (aflo 1941) - 5205389 (ano 1950) - 5382878 (aflo1951) = 7523999 (ano 1961) - 10517178 (aflol971) = 14701097 (aflo 1981) - 19872624 (aflo 1990) - 20549453 latío 19911

27778305 i a ~ o 2000j t = 59,5 =, N ( ,5) = 28247388 (mediados del

aflo 2000).

redondeando números, usualmente hasta 4 cifras ocasión, al usar los logarltmos y la exponenqial todas las cifras que nos da la calculadora con de esto es que la función Y = Ln N (como podemos función inversa

I Esta observaci6n tambibn es válida mamos logarltmos decimales. Aiin mds, las variaciones en este mayores pues 10>e.

O Puedes repetir los pasos dados utilizando logan%nos dechales en lugarde logantmos le s l ~ e depreictica. 1

Lo realizado hasta ahora con el estudio de la dinbml población (en nuestro caso, la población de Venezuela) ha permitido mostrafte como estudiar una sltuacl6n real desde diversos puntos de vista y con recursos matem entales (números reales, progresiones arltm6tlcas y geombtricas, grhflcos. funcione rítmicas y exponenciales, porcentajes) y el uso Intensivo de calculadoras cientlfica s los c&lculos serían muy lentos y nos llevarían mucho tiempo hacerlos.

Ahora, como último aspecto de este modelo de la dinhml de una poblacl6n y tomando en cuenta que en &lculos realizados anteriormente (con diversas f ulas) se obtuvieron resultados que difieren de los datos reales aportados por los censos, nos guntarnos: t

Hay períodos en que esa tasa de crecimiento puede disminuir y ciertos periodos en que puede aumentar debido a los factores de inmigración- emigración, u otras causas. En algunos países se pueden agregar otros factores que producen cambios en el crecimiento poblacional, entre estos citamos: guerras, fenómenos naturales con perdida de vidas humanas (grandes terremotos, huracanes), que alteran las tasas de crecimiento.

Porejemplo, si calculamos la tasa anual de crecimiento R (tasa geométrica)['i partiendo de los datos de los censos de Venezuela de 1981 v 1990. se 1 tiene I

que expresada en porcentaje es 2,75%. Esto nos indica una disminución en esa tasa de crecimiento p~blacional en Venezuela que pasa de 3,44% en el período 1941-1950 a 2,75% en el período 1981-1990. Todavía es una tasa de crecimiento alta si la comparamos con la de los países "desarrollados" que es menor del 2% anual. La tasa geometrica produce aumentos al considerarla constante de alio en año, en lugar de períodos de At años.

El modelo exponencial encontrado es válido para períodos de tiempo no muy extensos.

O Hay errores de redondeo que se acumulan al utilizar reiteradamente el mismonúmero redondeado. Por ejemplo, al redondear R=l3256313850771 a 0,03443. Un valor mas aproximado de R es 0,034425054 y si rehiciéramos los cálculos con este valor de R obtendríamos ciertas diferencias con los valores antes encontrados para la población de Venezuela. Cuando utilizamos exponenciales con bases e o 10, los errores de redondeo pueden ser bastante grandes debido a que las funciones exponenciales crecen (o decrecen) rápidamente.

O Existen otros modelos matemáticos para estudiar la dinámica de una población que toman en cuenta otros factores no considerados en los que venimos de trabajar, los cuales se refieren a las diferencias entre los individuos que componen la población y conllevan a plantear modelos matemáticos distintos de los utilizados para el caso de la población de Venezuela. Entre estos factores citamos los siguientes: número de varones y número de hembras de la población, edad de las personas, etcbtera.

Por último, es preciso indicar que los modelos antes estudiados para el caso de la poblaci6n de Venezuela se aplican también a otros tipos de poblaciones tanto animales como vegetales. Para la población de Venezuela hay aumento de la misma (R > O); sin embargo, en algunas especies puede haber disminución ( R < O) de la población en ciertos períodos de tiempo. 1

r] La tasa de crecimiento R en el Intervalo [to, to + At 1 antes definida mediante

es igual a la tasa de nacimientos menos la tasa de defunciones, siempre que no tomemos en consideración los factores de inmigración-emigración. En el próximo curso de Matemática 11 retomaremos el estudio de la dinámica de poblaciones utilizando como tasa de crecimiento al limite de R cuando At tiende a cero.

Un GRAFO.

2.2.2 Modelo del camino mas corto entre dos ciudades entre dos puntos de un plano (camino más corto en una malla o red)

Supongamos que queremos determinar cuál es la vla más rta entre dos ciudades X, Y. Para ir de X a Y hay que pasar por varias ciudades y pueblos e tre los que hay diversas vias (autopistas, carreteras nacionales, carreteras engranzonadas),

¿Cuál es el camino más corto para ir desde f hasta Y?

En nuestro problema no tomaremos en cuenta la calidad d las diversas carreteras consi- deradas sino únicamente las distancias gue hay entre dos puebl o ciudades unidas por algún tipo de carretera. t

Supongamos que deseamos viajar de la ciudad X a la ci dad Y atravesando distintas ciudades y pueblos y conociendo las distancias que hay entre I s mismas, dadas por la tabla siguiente:

Desde X hasta Desde A hasta Desde B has Desde C hasta A: 16 E: 15 E: 19 F: 19 0: 15 F. 16 F: 18 G: 10 C: 20

ID: 15

t l

Desde D hasta Desde E hasta Desde F has Desde G hasta 1 F: 20 1: 22 1: 16 J: 12 G: 21 J: 23 J: 20 K: 13 H' 20

Desde H hasta Desde 1 hasta Desde J has a I DBsde K hasta J: 21 Y: 17 Y: 18 Y: 19 K: 20

en donde A, E, C, ..., J y K son ciudades o pueblos. 1 ~ Q u 6 podemos hacer con estos djtos?

En primer lugartratemos deorganizarlos de una maneradi inta que nos permita visualizarlos mejor. Para esto representamos cada una de las ciudades medi nte un punto en el plano y, según como avanzamos en un determinado camino que une a dos ciu des lo representamos mediante una flecha, colocando encima la distancia que hay entre esa dos ciudades. De esta forma se obtiene un diagrama como el siguiente (una malla o red): t

I Ahora nos preguntamos,

l ¿Cómo proceder para encontrar el camino más corto entre X e Y?

Probando con cada uno de los posibles caminos entre X e Y encontraremos que el camino más corto es el XCGJY de longitud 60.

&Cuántos caminos posibles hay entre X e Y?

Observa que de X a los cuatro puntos A, B, C, D hay 4 caminos; de cada uno de estos a los puntos E. F, G o H hay 3 caminos y de cada uno de estos últimos hay 2 caminos posibles para ir hasta los puntos 1, J o K. Al llegar a uno de estos últimos puntos 1, J, K hay una única opción para ir hasta Y. De aquí se obtiene un total de 4 x 3 x2 = 24 caminos posibles para ir desde X hasta Y. Tambien podemos contar este número de caminos posibles haciendo un diagrama de árbol como el siguiente:

TOTAL: 6 + 6 + 6 + 6 = 4 x 6 = 2 4 2 En cada uno de esos caminos hay que efectuar 3 sumas a los fines de calcular la longitud

del camino por el que se transita. luego, en total, debemos efectuar 3 x 24 = 72 sumas con todas las posibilidades. Esto nos dice que intentar con cada uno de los posibles caminos entre X e Y es un procedimiento lento y seria muy penoso si aumentamos el número de puntos.

Por ejemplo, si en lugar de 1, J, K colocamos cuatro puntos 1, J, K, L, de tal forma que los caminos posibles que llegan o salen de L son los del esquema siguiente

entonces se obtienen 6 nuevos caminos para llegar hasta Y, puesto que hay 4 caminos que llegan a G y 2 que llegan a H y, utilizando Bstos podemos ir a Y pasando por L. En total resultan 24 + 6 = 30 caminos posibles para recorrer desde X hasta Y. Con este número de caminos hay que efectuar 3 x 30 = 90 sumas con todas las posibilidades.

Dibuja la respectiva red o malla considerando los cuatro puntos I, J. K, L. Tambi6n haz el diagrama de &bol para verificar que en total hay 30 caminos.

En consecuencia, debemos pensar en algún algoritmo que nos facilite la solución de este problema sin necesidad de comprobar con todos los caminos posibles ni todas las 72 sumas, en elcaso presentado inicialmente.

En el easo.de carreteras nos podemos mover en uno u otro senlldo.

~ C 6 m o proceder para economizar chlc os? J Partiendo de X nos podemos mover hacia cualquiera de la uatro ciudades A, 6, C Y D.

I Una vez que estemos en una de estas últimas, para cada un lo tanto deberíamos realizar 12 sumas hasta llegar a las ciudades S G 0 H e ir escribiendo las distancias menores que se van encontrando. Sin embargo, podemos ir otra manera de proceder: nos situamos en alguna de las ciudades E, F, G o H, digamos en Y observamos todos 10s

caminos que llegan a E, el AE y el BE, verifichndose que la dis a de X hasta E es 31 si I seguimos el camino XAE y 34 si seguimos el XBE, siendo 31 la m e ambas. Análogamente procedemos con los puntos F, G y H y posteriormente con los sigui sumando las respectivas

I distancias con las sumas que se van obteniendo, hasta encon vla de minima distancia (cernino crltico). Con este algoritmo hay que hacer solamente 2

1

Sin embargo, vamos a darte otra solución que es la mas corto para movernos desde X hasta Y es el mismo más corto cuando n o s movemos en la dirección contraria, desde Y hasta en la practica, proceder de esta última forma: nos movemos desde Y

1 venimos de explicar.r'l

I En primer lugar, vamos desde Y hasta alguno de los pu 1, J, K, indicando con un clrculo O las longitudes recorridas en ese sentido y los tres números U,

Ahora nos movemos desde los puntos 1, J, K hacia los pu las vías indicadas y vamos sumando las longitudes recorri

os E, F, G, H de acuerdo con 1s:

[*] Se deben reallzar 2,4,4,2,2,4,2,3 sumas para los puntos E, F. G H, 1, J. K, Y, respectivamente, para un total de 23 sumas.

r* Este erocedlmlento de ir de Y hasta X (marcha atrhs) se cono 1 e con el nombre de BACKTMCK . . ALGORITHM (EL ALGORITMO DEL CAMINOINVERSO). El por qu6 e ostumbre proceder de esta manera se debe a la demostraclbn que se hace (no la haremos) para el menor camino de X a Y, en el cual sevan deflniendo euntos a eartlr de Y hasta llegar a X. En n u 6 r o elemelo de carreteras se euede procedgr desde X h&la Y o al rev6s pues en l i s carreteras andi en uno y otro sentldó. Hay ejemplos, como los de la clrculaclbn del agua en las tuberfas, la clr laclbn de la sangre por las arterias y venas, en que se va en un únlco sentido. En estos ejemplos se ap ca el BACKTRACK ALGORITHM. La demostraclbn de este algoritmo la estudiarhs posterlomente en lo cursos de programaclbn. t

y en el gráfico se indica con un cfrculo 0 las longitudes menores en cada caso y sc subrayan las vias que dan esa longitud más pequefía. Por ejemplo, partiendo de E hacia 1 o J y luego hacia Y, el camino de menor longitud 39 es el E N y por ello se encierra e 39 en un circulo y se subraya Z sobre El. Notemos que esas sumas dan la longitud tota hasta el punto Y según que se parta de E, F, G o H. respectivamente,

Procediendo de manera análoga al movernos desde los puntos E, F, G y H hacia atrás para llegar a los puntos A B. C, D y sumando las respectivas distancias con las sumas antes obtenidas, se tiene:

o D, respectivamente.

X 1 6 + 4 7 = 63 15+46= 61

15+ 51 = 66

Podemos notar que en el algoritmo delcamino inverso solamente hubo necesidad de hace, 8 + 12 + 4 = 24 sumas en vez de las 72 requeridas si lo hubiésemos realizado probandc con todos los caminos que se inician en X y terminan en Y.

Ahora debes proceder con ese algoritmo moviéndote en dirección de X hacia Y, I c que fe servirá de práctica, pues en este caso de carreteras se puede andar en uno L

otro sentido.

Observa, tal como se indicó en la última nota de pie de página. que existen otras situaciones que se pueden modelar matemáticamente con un modelo análogo al del camino más corto entre dos ciudades, entre éstas citamos la del agua que corre por las tuberias perc sólo se recorre en un único sentido y en tal caso se aplica el algoritmo de la "marcha atrás' o del "camino inverso" (BACKTRACK ALGORITMO).

¿Qué otras situac~onespuedes modelar matemáticamente con un modelo como el del camino más corto? I

2.2.3 Modelo d e la Demanda y la Oferta e n Economía

En cualquier nación, los problemas de la economia están presentes en la vida diaria y tienen que ver con una serie devariables como: inflación. salarios, renta nacional, precios, oferta y demanda de un determinado bien o servicio. impuestos, entre otros factores económicos.

Con frecuencia, en los medios de comunicación (radio, televisión, periódicos, revistas), escuchamos o leemos frases como las siguientes: a) En los últimos cinco años el consumo de carne ha bajado considerablemente en Venezuela. b) Si no hay una oferta suficiente se producirá el desabastecimiento. c) Si no se aumentan los precios del azúcar entonces se producirá escasez.

¿Cómo estudiar estos hechos económicos y cómo podemos modelarlos matemáticamente?

Cuando se estudia un fenómeno en Economia se plantean problemas de gran complejidad donde intervienen muchas variables y no es posible tratar a¡ mismo tiempo todos los factores económicos y todas las variables que intervienen, pues es complicado manejar simultáneamente un gran numero de relaciones entre las distintas variables, aunque los métodos modernos de cálculo. con la utilización de computadoras, ha facilitado enormemente este trabajo. Es por esto que, al estudiar un fenómeno económico se procura simplificarlo, seleccionando algunas variables y estudiando casos más particulares que nos pueden conducir a inferir conclusiones en casos más generales.

Uno de esos fenómenos económicos tiene que ver con el comportamiento de los consumidores cuando van a adquirir un bien o un servicio; por ejemplo, cuando van a comprar un determinado producto en un abasto, mercado o supermercado.

En una economla de mercado, donde hay competencia y, en la que las decisiones econo- micas son el resultado del libre juego de las fuerzas económicas las cuales están representadas, por un lado, por los productores (los que ofrecen los bienes y servicios) y. por el otro, por los consumidores (los que compran los bienes y servicios). podemos plantear como hipótesis que la demanda del consumidor de un determinado bien está relacionada con el precio del mercado de ese bien, es decir, es función de dicho precio. Además, también podemos indicar que a un mayor precio del bien corresponde una cantidad menor demandada por el consumidor.

Por ejemplo, el pescado denominado mero, uno de los más del mercado, se consume en menor cantidad que otros pescados como la lisa, la sardina. Este hecho nos sefiaia que la demanda es una función decreciente bien y, por lo tanto, si el precio del bien aumenta entonces disminuye la

Observemos que se puede hablardedemanda de un or individual, de demanda de un grupo de consumidpres o de la demanda total del esta última se obtiene por agregación de las correspondientes demandas por todos los compradores (consumidores).

Todas esas suposiciones se pueden "observar", es decir pode os corroborarlas en la práctica mediante observaciones. t

Se define la Demanda como "la cantidad que los de un bien o servicio estarían dispuestos a comprar a los precios del mercado".

La cantidad demandada de un bien o servicio, en un determi do perlodo de tiempo, depende de varios factores que esencialmente son los siguientes: t

I El precio de ese bien o servicio. I A Los precios de otros bienes o servicios. Hay ductos que pueden ser susti-

tuidos por otros; por ejemplo, la demanda arepas rellenas con carne tiende a reducirse cuando su precio se y los consumidores deci- den comer empanadas con carne.

I Los ingresos de los consumidores. I El tamalio de la población, es decir, el de los consumidores. Un aumento de la poblaci6n, suponiendo tros factores permanezcan constantes, implica un aumento de la

Los gustos y preferencias de los consumidor s. Estos, a su vez, dependen de la costumbre, de los hábitos y de factores ulturales. 6

A la par de la demanda, existe también la Oferta de un d terminado bien o servicio. Así como la demanda se refiere a la cantidad de un bien o servici que los consumidores están dispuestos a comprar, la Oferta se refiere a "la cantidadde un bie o servicio que los productores están dispuestos a producir a los precios delmercado", bienes o ervicios que se colocarán para su venta en el mercado durante un período de tiempo a determin os precios. La cantidad ofrecida de un determinado bien o servicio depende, al igual que la d manda. de varios factores que esencialmente son los siguientes: C

1 9 El precio del bien o servicio ofrecido. 1 El número total de empresas. Si hay más e presas es claro que habrá un aumento de la oferta total. 1

1 .:e El costo de los factores de producción, coml capital y mano de obra

La tecnología disponible. La introducción uevas tbcnicas de producción amplia la capacidad productiva de las y, por ende, Bstas pueden ofrecer mayores cantidades del los precios vigentes del

A diferencia de lo que ocurre con la demanda, la Oferta es una función creciente delprecio del bien, puesto que si el precio aumenta entonces los productores colocan mayores cantidades incentivados por el aumento del precio.

Suponemos que estamos en un mercado competitivo, es decir, donde el número de compradores y vendedores es suficientemente grande de tal forma que ningún comprador o vendedor, por si sólo, pueda controlar el precio del bien o servicio en referencia.

Observamos entonces que la Demanda y la Oferta dependen de varios factores y hacer un modelo matemático (Modelo Económico), con el que podamos calcular y predecir, tomando 1 en cuenta todos esos factores es muy complejo. Surge entonces la siguiente pregunta: 1

¿Cómo hacer un Modelo Matemático de la Demanda y la Oferta? I ? Para ello se simplifican las hipótesis y tomamos en consideración lo siguiente: I

a) únicamente consideramos la relación que hay entre la demanda de un bien o servicio y su precio, esto es, suponemos que los otros factores de los cuales depende la demanda se mantienen constantes.

b) Únicamente consideramos la relación que hay entre la oferta de un bien o servicio y su precio, esto es, suponemos que los otros factores de los cuales depende la 1 oferta se mantienen constantes. I

Ahora bien, lo escrito antes es un modelo, en sentido general y expresado en forma verbal (escrita), y queremos traducirlo a términos matemáticos para poder calcular y hacer predicciones. Esto puede hacerse en forma de representaciones gráficas o en forma analitica mediante relaciones y funciones o, posiblemente, con otras nociones matemáticas.

Para lograr ese modelo matemático comenzaremos introduciendo las siguientes notaciones:

P denota el precio unitario del bien o servicio, demandado u ofrecido.

Q denota la cantidad demandada o la ofrecida del bien o servicio en referencia.U

D denota la curva que relaciona la demanda con el precio. l O denota la curva que relaciona la oferta con el precio. I Ahora procederemos a establecer el modelo matemático (modelo económico) de la deman-

da v la oferta. articularm mente el modelo lineal. Procedemos con dos columnas pues el análisis 1 . . que se hace, de una u otra, guarda ciertas analoglas. I LA DEMANDA LA OFERTA I V Ecuación de la demanda. 4 Ecuación de la oferta.

Consideremos un bien o un servicio durante Consideremos un bien o un servicio durante un determinado periodo de referencia. un determinado periodo de referencia. La ecuación de la demanda de ese bien o 1.a ecuación de la oferta de ese bien o servi- servicio, durante el periodo en cuestión, es cio, durante el periodo en cuestión, es una una ecuación de la forma ecuación de la forma

f (P, Q) = O. g (P, Q) = O.

-

[*] En algunos libros de Economia o que tratan de metodos matemáticos para economistas, es contumbre denotar la cantidad demandada por Q (quantlty=cantidad) y la cantidad ofrecida por S (supply = oferta).

tos correspondientes a los ejes).

V Ley de la demanda. La ley de la demanda establece:

medida que el precio de éste aumenta.

pejar a Q en función de P,

siendo F una función decreciente.(^]

como se indica en la figura:

Desde el punto de vista matemático, esto significa determinar la función F' ' inversa de la F y escribir P = F. ' (Q) (P como función de Q), verificándose que F. ' también es una función decreciente. Y1

Modelo Lineal de la Demanda. El modelo más sencillo para la demanda, de los más frecuentes, es el modelo linealdonde la curva de la demanda es una línea recta (en realidad es un segmento debido a las restricciones P 2 O, Q 2 O y por la ley de la demanda, 'porqué?):

por lo tanto, su ecuación es lineal en las variables P y Q, y puede escribirse en la forma

donde m es la pendiente. Como Q es una función decreciente de P, entonces m < O.

Desde el punto de vista matemático, esto significa determinar la función G-' inversa de la G y escribir P = G' ' (Q) (P como función de Q), verificándose que G- ' también es una función creciente. i*l

t Modelo lineal de la oferta. El modelo más sencillo para la oferta, de los más frecuentes, es el modelo lineal donde la curva de la oferta es una línea recta (en realidad es un segmento o una semirrecta debido a las restricciones P 2 O, Q >O y por la ley de la oferta, 'porqué?):

por lo tanto, su ecuación es lineal en las variables P y Q, y puede escribirse en la forma

P b p = a Q + b obien Q =- - - 191 a a

donde a es la pendiente. Como Q es una función creciente de P, entonces a > O.

l [*] Esto es una propiedad general de las funciones decrecientes y crecientes. Enunciamos la propiedad en

el caso de las funciones decrecientes Y te deiamos como eiercicio que lo hagas en el caso de las - funciones crecientes: Si F es una función decreciente en un intervalo [a, bl, entonces se verifica que F tiene función inversa F. ' que tambi6n es decreciente en su respectivo dominio. No es dificil demostrar esta propiedad y, además, puede comprobarse gráficamente utilizando el hecho de que los gráficos de F y F. ' son simétricos respecto de la blsectrlz del primer cuadrante (5.5 del Módulo 11).

En el gráfico anterior observamos que la demanda máxima Ql tiene lugar cuando el precio unitario es el menor P1. Por el contrario, la demanda mínima Q2 ocurre cuando el precio unitario es el mayor P2. P1

observamos que la oferta cuando el precio unita-

el contrario, la oferta el precio unitario es

el menor P4.U

Ahora queremos relacionar la oferta con la demanda el sentido de que ambas determinan el precio de un bien. Para ello co indicando que, segBn la ley de la oferta y demanda por separado), el precio de un producto la contrapos~ción de su oferta y de su sentar en un mismo sistema de oferta de un bien o servicio,

y observamos que esas curvas se cortan en un punto (Qo, Po), siendo Po elprecio donde se igualan la cantidad demandada y a cantidad ofrecida y siendo Qo dicha cantidad. f

es muy fácil determinar el lineal de ecuaciones

IlOl

La solución del sistema [lo] es (haz el c¿ilculo):

b- n Qo = - m b - l a 9 Po =

m - a m- a

I.1 Esto es una propledad general de las funciones continuar en u intervalo [a, b]. Sea f:[a,b] --+ R una funci6n continua. Se verlflca: a) SI f es decreciente, entonces en el extremo a f alcanza 1 n valor mtixlmo y en el extremo b

un valor mlnlmo. b) Si f es creciente, entonces en el extremo a f alcanza un i alor mlnimo y en el extremo b un

valor mtiximo.

¿Cómo se interpretan las coordenadas Qo y Po del punto E? ¿Qué importancia tienen esos dos valores?

Ya indicamos que la demanda representa la disposición de los consumidores a comprar cierta mercancia a los posibles precios del mercado. estando dispuestos a comprar más cantidades si el precio de la mercancia se hace menor. Por otro lado, la oferta representa el interés de los productores que buscan aumentar sus ganancias y por ello tienen la disposición de aumentar la colocación en el mercado de aquello que producen a medida que el precio aumenta, es decir, tratan de vender más al mayor precio posible. La situación de equilibrio es aquella en que estos dos intereses en conflicto encuentren un punto común. Así, si observamos los siguientes gráficos:

Notamos que para un precio Pis Po la cantidad demandada Ql es mayor que la cantidad ofrecida Q2 (Q1 > Q2). luego. a precios menores que Po los productores tienen menos incen- tivos para producir y colocar los ptoductos en el mercado. aunque los consumidores deseen adquirir más cantidades. Por el contrario, para precios P2 > PO, la cantidad ofrecida Q3 es mayor que la cantidad demandada Q4 (Q3 > Q4), luego, a precios mayores que Po los productores quieren vender más mercancía para aumentar sus ganancias, aunque los consumidores tienden a comprar menos cantidades debido a los precios elevados. A medida que el precio disminuye, la cantidad de mercancia que demandan los consumidores se va incrementado pero a su vez, debido a la oferta limitada. se tenderá a pagar más dinero por la mercancia a fin de obtenerla. Esta presión que se ejerce, tanto de los consumidores como de los productores, encuentra su equilibrio en el punto E (Qo, Po), donde se igualan oferta y demanda, siendo Po el precio de equilibrio y Qo la cantidad de equilibrio, y de esta manera las fuerzas del mercado permiten lograr la satisfacción para los consumidores y los productores. El precio de equilibrio Po, una vez establecido, tiende a mantenerse siempre que no se modifiquen las condiciones de demanda y 0ferta.n

Noes nuestra intención seguir explorando cuestiones de economia con este modelo de la oferta y la demanda. Con este tercerejemplo, de un modelo matemático en Economía, quisimos mostrar la forma de llegar al mismo partiendo de observaciones de la vida cotidiana, desde una formulación de tipo verbal, hasta obtener el modelo gráfico y el modelo analitico. 1

Hemos visto como con cuestiones muy elementales de matemática: operaciones con números, porcentajes, ecuación de una recta, sistemas de coordenadas cartesianas, progresiones aritméticas y geométricas, función exponencial, nociones generales sobre funciones y relaciones, y tasas medias de variación de una función, podemos formular modelos matemáticos en diferentes áreas del conocimiento.

[.] En una economla de mercado, donde hay la libre acción de los productores y consumidores, cada uno con sus propios intereses, pareciera que, sln haber un eje rector planificador de la economla, se produ-

EQUILIBRIO. La tendencia espontánea del mercado cuando hay v e r d a d e r a competencia es alcanzar un punto de equilibrio.

clria el "caos". Los economistas clásicos, empezando por Adam Smith (escoc66, 1723-1790) en su famosa obra "lnvestlgaciones sobre la naturaleza y las causas de la riqueza de las naciones", seiialaron que, por el contrario, dicho sistema eCOnómiC0 (capitalista) tlende a un orden armó- nico, tlende a un "equlllbrlo" y lo formularon en t6rminos de las leyes de la demanda y de la oferta.

En nuestro próximo tema retomaremos los tres ejemplos e y buscaremos los elementos comunes con el propdsito de organizar los pasos de formular, de manera general, qué es un modelo matemático y c6mo

Tasa arit- mética.

Tasa geo- m6trica.

3. A continuación sumin~stramos la tabla de los censos e población de Venezuela, completando asi la tabla dada en 2 2 1

1. Haz un diagrama de barras horizontales para el crecimiento la población de Venezuela tomando como datos los aportados por los censos de los a S 1941, 1950, 1961, 1971, 1981 y 1990

2. a) Calcula la tasa media anual de cambio de la població ezuela en el periodo [!O, ti] = [1971, 19811 y determina la ecuación N, = siendo No = N (1971) suponiendo que esta tasa media de crecimiento anu lineal discreto) se mantiene constante a partir de 1971. Además, escribe iento poblacional en la forma N (t) = No + rt, t>O. tal como hicimos .2.1 y representa esta semirrecta.

b) Calcula la tasa de crecimiento por unidad de tiem ) y por individuo, R, en el periodo [1971, 19811 tal como hicimos en 2. rtir del cálculo de R, determina la ecuación N, = (1 + R),No para e ponencia1 discreto de crecimiento poblacional, suponiendo que R se onstante, tal como se hizo para la ecuación [4] en 2.2.1. Considerand e esa ecuación en la forma exponencial N (t) = No (1 + R)', t 2 O, y

c) Calcula, con las fórmulas obtenidas en las partes el ario 1990 y compara losdos resultados obtenid cuál de los dos modelos, el lineal o el exponen cálculo? ¿Cómo explicas las distrepancias obte datos suministrados por los censos?

Población 1732411 20051 39 222 1572 2479525 2814131 3364347 3850771 5053838 7523999

10721522 14516735

a) Representa gráficamente, mediante una curva continua tilizando segmentos. la evo- lución de la población de Venezuela a partir de los en esa tabla, ¿Qué conclusiones obtienes del gráfico?

b) Determina para cada periodo intercensal la tasa individuo y exprésala en forma de porcentaje (tasa

c) LCorno podrías estimar la población de Venezuela

4. Escribe la ecuación N, = 3850771 (1,03443)~, obtenida en [4], en la forma N, = 3850771 e

am para cierto número a que debes calcular.

I 5. Si representas la función N (t) = 3850771 (1,03443)', t >O, utilizando un papel semilogaritmico, ¿qué gráfico se obtiene? (Si no tienes papel semilogarítmico, construyes una escala logaritmica en el eje de ordenadas).

6. Consideremos una determinada población y sea N = N (t) el número de individuos presentes en el instante de tiempo t. Sea R (t) definido, como se hizo en 2.2.1, mediante:

ANlAt - N(t + At) - N(t) R(t) = -- - N(t) N(t)At

que es la tasa media de crecimiento por unidad de tiempo y por individuo en el periodo [t,

t +At], es decir en el intervalo de tiempo At . Esta tasa se expresa usualmente como un porcentaje multiplicándola por 100. Supongamos que R (t) permanece constante e igual a Ro (R (t) = Ro para todo t) y que la población varia, en cada intervalo de tiempo At con la misma tasa de cambio Ro, esto

es, que la población en un intervalo At más tarde crece en un porcentaje fijo (q% con q=100 R) de la población previa. a) Demuestra que se verifica

N (t) = (1 + Ro ~ t ) ~ No,

donde No = N (to) (población inicial) y t = to + m At, con m entero t O (m expresa cuantas unidades de tiempo tomamos: horas, dias, semanas, años, dependiendo de

cómo estamos midiendo el tiempo; t = to + m At es el tiempo posterior a to en m

unidades de At ). ¿Cómo se representaria gráficamente una tal función variando el tiempo en intervalos de

longitud At y luego uniendo los puntos obtenidos mediante una curva continua? b) Escribe esa ecuación en la forma N (t) = No eam

para cierto número a que debes calcular.

7. Dinámica de la población mundial. A partir de los datos sobre población que aportan los diferentes paises se puede estimar la población mundial. Asi, la población mundial para el año 1961 se estimó en 3060 millones de habitantes y en la década 1961-1971 la tasa promedio de crecimiento por unidad de tiempo (por año) y por individuo fue del 2%. a) Si utilizas un modelo de crecimiento exponencial, correspondiente a una progresión

geométrica, calcula a partirde los datos anteriores la población mundial para 1994, año en que se realizó en El Cairo (Egipto) la Conferencia Internacional de Población y Desa- rrollo de la ONU (Organización de las Naciones Unidas). Compara tu cálculo con el estimado en el momento de realización de esa Conferencia Internacional (5670 millones de habitantes).

b) La tasa de crecimiento de la población mundial ha descendido. A fines de la década de los ochenta se situaba en. aproximadamente, 1,7% anual. Haz otra vezel cálculo de la población ara el año 1994 utilizando el modelo exponencial y considerando N (1984) = 8 . 4700 x 10 habitantes y la tasa de crecimiento del 1,7% anual. Predice, con este modelo, la población humana en el año 2000.

8. Interés simple e interés compuesto. a) El interés es la ganancia obtenida sobre el capital invertido. Consideremos un capital

inicial de C, bolivares colocado a una tasa de interés del r % anual. El interés simple al cabo de m anos es el obtenido como ganancia sobre ese capital inicial. El interés compuesto al cabo de m años, es el que se va obteniendo cuando sumamos al capital de un cierto año el interés obtenido en ese año y calculamos el interés sobre este nuevo capital y así procedemos hasta el m-ésimo año. -

9. En el diagrama adjunto los números indican los costos de sporte (fletes. gasolina, etc.), en ctentos de bolívares uara viaiar de un punto a otro por indicados. Si hay que

1 viajar desde X hasta ¿cual es el camino 6p!¡mo en cu to a costo? t

compuesto y la diferencia teres compuesto. jercicios anteriores, haz los ipuesto. !rito de una población (mode-

ndo colocamos un capital de le interes simple como en el

ieses. cuandocolocamos un !S simple. ieses. cuando colocamos un compuesto semestralmente.

Jc

Jr Jc

Da un ejemplo de una malla o red, como los utilizados en los jemplos y ejercicios propuestos sobre distancia entre dos ciudades a través de diverso caminos, en el que haya dos soluciones para el camino más corto I

El capital al cabo de m anos se denomina el montc entre este monto compuesto y el capital inicial es el iv Siguiendo pasos análogos a los dados en ejemplos y t

modelos matemáticos del interés simple y del inter6s cor Compara estos modelos con los obtenidos para el crecimi lo lineal y modelo exponencial) Determina el capital que se obtiene al cabo de 7 aflos cuí Bs. 800000 a una tasa del 18% anual, tanto en el caso caso de interes compuesto anual

c) Determina el capital que seobtiene al cabo de 7 años y 4 i capital de Bs. 800000 a una tasa anual del 18% y a inter

d) Determina el capttal que se obtiene al cabo de 7 anos y 6 capital de Bs. 800000 a una tasa anual del 18% a interés

12. Un determinado bten se encuentra en un mercado de com con una ecuación de demanda dada por Q + 2P - 8 = 0 y una ecuación de la - 2P - 1 = O, siendo 1sPs4 (P en bolívares y Q son unidades del bien). a) Encuentra las curvas de demanda y oferta, b) Determina la demanda máxima y la demanda mlnima. c) Determina la oferta máxima y la oferta mínima.

*

d) Determina el precio y la cantidad de equilibrio. e) Si mantenemos la demanda pero la oferta cambia y su ec ción es ahora Q - 2P + 1 = 0,

11. Busca en un mapa de carreteras de Venezuela todas las desde Barquisimeto hasta El Tigre, pasando por respectivas distancias, y determina cuál es la vla más y El Tigre. Atención' no estamos considerando el estado de tancias indicadas en el mapa.

¿cómo cambia el punto de equilibrio? Analiza esta ofert en relación con la anterior I ** 13. Leyes de Kepler. Uno de los descubrimientos experimentales más grandes fue la determinacibn por Kepler de que las órbitas de los p situado en uno de los focos.

?n la historia de la humanidad snetas eran elipses con elSol

Johannes Kepler, astrónomo y matemático alemán (1571-1630), uno de los fundadores de la ciencia moderna, enunció tres leyes que rigen el movimiento de los planetas: O Cada planeta describe en su movimiento una trayectoria elíptica con el Sol colocado

en uno de los focos de la elipse. O La recta trazada desde el Sol hasta un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales,

Si S es el sol, un planeta se traslada de MI a M*. de M3 a M4 y de M5 a Me. en el mismo tiempo. si las áreas sombreadas son iguales. I

y una tercera ley que es el objeto de planteamiento de este ejercicio. En la época de Kepler se conocían seis planetas: Mercurio. Venus, La Tierra, Marte. Júpiter y Saturno, y el mismo Kepler se preguntaba 'porqué existen exactamente seis planetas? En épocas posteriores se descubrieron otros planetas: Urano, Neptuno y Plutón. También era conocida la distancia de los planetas al Sol y el periodo en que describen sus órbitas (tiempo que tarda el planeta en recorrer una vez su órbita, es el "ano para el planeta considerado"). En realidad se trata de distancias medias pues las órbitas no son circunferencias sino elipses. A continuación presentamos una tabla con esas distancias promedios y los periodos de los planetas, incluyendo los no conocidos en la época de Kepler:

Planetas Distancia Periodos (en millones de Kilómetros) (en dias)

Mercurio 57.9 88 Venus 108,2 225 La Tierra 149,6 365 Marte 227,9 687 Jupiter 778,3 4329 Saturno 1427 10753 Urano 2870 30660 Neptuno 4497 60150 Plutón 5907 90670

Haz un modelo matemático, con las variables distancia y periodo, en procura de esa tercera ley enunciada por Kepler. Sugerencias: a) Representa gráficamente los datos de la tabla anterior utilizando diversas representaciones y observa en las mismas si puedes obtener conclusiones; b) Considera, como consecuencia de lo observado, que la relación entre la distancia d y el respectivo período T, que no responde a un modelo lineal, es de la forma T = kda (o bien T = ~ e ~ ) para ciertos valores de las constantes k, a y K que deben ser hallados. Para esto te sugerimos que representes los datos en un papellogaritmico o en un papelsemilogaritmico. Si no dispones de tales papeles puedes construir tu propia escala logaritmica sobre los ejes de coordenadas considerando Ln T y Ln d (logaritmos neperianos) o log T. log d (logaritmos de cima le^).^^

rl Los papeles semilogaritmico y logaritmico, esto es, las escalas logaritmicas se pueden construir en una computadora. Los que se venden en los comercios especlalizados han quedado más limitados para su utilización en la enseiianza, aun cuando uno mismo construye fácilmente las escalas logaritmicas con ayuda de una calculadora cientifica. La escala logaritmica es útil para representar fenómenos con crecimiento (o decrecimiento) rdpido.

1 2.3 LQUÉ SON LOS MODELOS MATEMÁTICOS?

2.3.1 Los Modelos Matemáticos I 1 En el tema anterior desarrollamos tres modelos matemático4 a saber.

1 a) En la dinámica de poblaciones utilizando los censos de de Venezuela

b) En un aspecto del transporte, determinado el camino entre dos ciudades

c) En Economía (modelo económico) con las leyes de

I En cada uno de esos modelos partimos de una "situaci6n al" que "matematizamos"; luego aplicamos diversos procedimientos matem&ticos con el obje de resolver los problemas planteados en los modelos matemáticos obtenidos

En la construcci6n de esos modelos se perciben ciertos ele ntos y pasos comunes que necesitamos desglosar a los fines de responder, de manera general t

I ~ C b m o se puede construir un modelo mate ático? C Obse~emOS, en primer lugar, que partimos de una "situació reaf', del mundo físico, del

mundo circundante. A continuación idealizamos esa situación con el t ropósito de ubicarnos en el campo de la matemhtica, para lo cual se introdujeron notaciones, relaciones entre las variables y se formuló un determinado problema matemático. Una en las matemáticas, aplicamos procedimientos y técnicas I'] matemáticas que nos el problema planteado. En el caso de la dinámica de la población de matemática con los datos suministrados por los censos.

Este proceso lo podemos esquematizar como sigue I MATEMATIZACI~N

MUNDO REAL 4

VERIFICACI~N (VALIDACI~N)

Construccion de un

SITUACIONES b

modelo matem6tico (IDEALIZACI~N)

t 1 Validacibn con 1 la situación de 1 partida

/CONCLUSIONE? Consecuencias en

EN LAS SITUACIO- ei mundo real

MUND MA TEMÁ TICO 1 OBJET S MATEMATICOS

Y ROBLEMAS M TEMATICOS

Procedimientos y tecnicas mateináticas i:

I ['] Porthcnicas entendemos un conjunto de procedimientos y

Ahora ana.izaremos esas flechas intercaladas y, especialmente. detaliaremos la relativa a 13 CONSTHUCCI6N DE UN MODELO MA TEMATICO (IDEALIZAC16N). I

En primer término, a la vista de los tres ejemplos estudiados y del esquema anterior, nos preguntamos

¿Qué es un Modelo?

¿Qué es un Modelo Matemático?

Al inicio de esta unidad de aprendizaje indicamos lo que usualmente se entiende por Mode- lo en los diccionarios de la lengua común. Recordemos que esta palabra se utiliza como sinónimo de Paradigma, de Prototipo, de Arquetipo, y su acepción usual es: "lo que sirve o puede servir como objeto de imitación para reproducirlo".

Esa es una definición bastante amplia. En las Ciencias Fisico-Matemáticas y en la lngenieria son frecuentes los modelos y por ello debemos darle un sentido más cónsono con estos campos del conocimiento humano. Al comienzo de esta Unidad entendimos, de "manera general': por modelo: "la representación simplificada de u n proceso, de un sistema o de u n objeto real", lo cual completamos con la siguiente definición que además señala con que elementos se logran hacer los modelos:[']

"Para elingeniero y el científico un Modelo es todo lo que se emplea para describirla Estructura o el Comportamiento de una contraparte de la vida real. Con los modelos se logra esto mediante palabras, números, simbolos especiales, diagramas, gráficas o semejanza en cuanto a apariencia o en cuanto a comportamiento con las contrapar- tes de la vida real que representan':

En el sentido que el autor utiliza esa definición, un Modelo es sinónimo de una Representación. Se habla así, entre otros, de: Modelos Gráficos o Representaciones Gráficas, Modelos Diagramáticos o Representaciones Diagramáticas, Modelos Bidimensionales o Representaciones Bidimensionales, Modelos Matemáticos o Representaciones Matemáticas. Utilizaremos la palabra Modelo en vez de Representación.

El vocablo modelo se ha hecho popular en casi todas las áreas del conocimiento: Modelos en Economía, Modelos en Arquitectura, Modelos en la Fisica, Modelos en la Química, Modelos en las Ciencias Biológicas, Modelos en las Ciencias Sociales. Es un concepto bastante general. Así, por ejemplo, tenemos los modelos siguientes en diversas áreas:

O El Modelo Exponencial o de Malthus (Dinámica de Poblaciones). 1 O El Modelo Lineal de la Oferta y la Demanda (Economia).

O El Modelo Ondulatorio de la Luz (Física).

O El Modelo de Darwin para explicar la Evolución de las Especies (Biologia). 1 O Una Maqueta que se hace de un edificio es un Modelo Arquitectónico (Arquitectura).

O Un Diagrama de un Circuito Eléctrico como el siguiente (Representación o Modelo Diagramático en Ingenieria).

I r] EdwardV. Krick: "FUNDAMENTOS DE INGENIER~A. Métodos, conceptos y resultados", Editorial Limusa,

México, cuarta reimpresión, 1991: p. 184.

Una de ellas o ambas.

I d Debe ser capaz de predecir que la situación mod se comportará de una cierta manera y, todavla será de mayor utilidad el si es capaz de prede-

I cir cuestiones desconocidas. I Algunos modelos es posible que sirvan, además, situaciones análogas, es decir. como modelos en otros campos, en

1 Por ejemplo: I I a) Los modelos realizados para la dinámica de una blación, como fue el caso de

la población de Venezuela, permiten explicar la e f lución de esta población (en períodos no muy grandes de tiempo) y estimar a población para una época futura (predecir). Además, sirven no solamente p ra la población de Venezuela slno para otras poblaciones, humanas o no. 1

b) El modelo realizado para determinar el camino ás corto entre dos ciudades unidas por una red de carreteras sirve de maner análoga para otras situaciones: fletes, costos de transporte, tuberlas, tiem mínimo con que se pueden fabricar objetos que están sometidos o que pudi ran someterse a varias cade- nas de produccdn. 1

Si un determ~nado modelo no satisface las condiciones teriores debe ser mejorado o sustituido por otro modelo Así, si ciertas predicciones o deducidas a partir del modelo se revelan con gran discrepancia al compararlas con las observaciones en torno al problema real estudiado, hay que modificar por otro.

Por ejemplo, entre las concepciones más antiguas sob erso se encuentra la de los Griegos quienes colocaban la Tierra en posición fi centro del Universo y a los planetas y el Sol girando en órbitas circulares de la misma. Durante varios siglos prevaleció este modelo del Universo y p r muchas de las observaciones astronómicas que se haclan. Sin embarg explicar determinados movimientos de los planetas y por ello hubo que mod' modelo, lo cual llevó a cabo Ptolomeo~l quien mantuvo la Tierra en posición fij centro del mundo, pero hizo una modificación en la concepción de'c6mo se lanetas: cada planeta se mueve con velocidad constante sobre una pequ encia. denominada el epiciclo. y el centro del epiciclo, a su vez, se mueve una gran circunferencia alrededor de la Tierra.

I 1'1 Claudio ptoiomeo (o Tolomeo; c 85.166 d.^) fue el pistematlzador la astronomia antigua Y estableci6

los fundamentos c~entiflcos de laconcepción geoc6ntrlca. Su t de trece libros, conocido como el Almagesto. fue el i~bro ciasico de astronomía durante catorce sig la que llegó IaBpoca de Copernico y de Kepler.

94

Obsewemos que el modelo de Ptolomeo sigue siendo geocéntrico (la Tierra en el centro del Universo) y continúa utilizando circunferencias para describir el movimiento de los 1 planetas: I

Modelo de la Grecia antigua. Modelo de Ptolomeo.

Este modelo de Ptolomeo logró explicar en forma satisfactoria lo que el modelo griego no pudo hacer, pero al mismo tiempo no aclaró a que se debían varias discrepancias con las obse~aciones astronómicas y por ello tuvo que ser reemplazado, después de 14 siglos de vigencia. Lo sustituyó el modelo heliocéntrico que colocaba el Sol en el centro del sistema solar, hazafia realizada por Copbrnico['l en el siglo XVI y completada por Kepler con sus tres leyes famosas acerca del movimiento de los planetas (recuerda el ejercicio No 13 de la lista de ejercicios propuestos 2.1 ), lo que posteriormente fue demostrado matemáticamen- te por Newton utilizando su famosa ley de la gravitación universal, siendo la teoria newtoniana del movimiento de los planetas uno de los primeros modelos modernos:

Modelo heliocentrico con elipses en vez de circunferencias (Copernico-Kepler).

He allí como evolucionó, a travbs de los siglos. un modelo del mundo que tuvo tantas repercusiones en la concepción de la humanidad. 1

Ahora, retornamos a nuestra explicación sobre lo que son los modelos. especificamente los Modelos Matemáticos. Antes afirmamos que los modelos matemáticos son cierto tipo de modelo, los que definiremos como sigue:

-

1.1 ~ i c o l ~ s copBrnico, astrónomo polaco (1473-1543), r e ~ ~ l u c i ~ n ó las ideas astronómicas de la ~ ~ o c a pues demostró que el modelo de Piolomeo. quien colocaba a IaTierra como el centro del mundo. era inexacto y SOS~UVO que, al contrario, los planetas, entre ellos la Tierra, se mueven alrededor del Sol. Este sistema de Cop6rnico constituye la base de la astronomia moderna. Muchos slglos antes de CopBrnico, el matemdtico y astrónomo griego Aristarco de Samos (n 310-230 a.c.) se adelantó a Cop6rnlco en 17 siglos y fue el primero en afirmar que la Tierra y los planetas giraban alrededor del Sol. Sin embargo. fue Cop6rnico quien consiguió imponer la concepción helioc8ntrlca. Las ideas de Cop8rnico fueron condenadas por la Inquisición romana quien declaraba herejes a sus adeptos. Fue asi que, el gran sabio italiano Galileo Galilei (1564- 1642) fue sometido a luicio v debió retractarse oor sostener dicha conceoción.

95

Dlagrama de flujo para la construccldn de un modelo matemáti- co.

"Los Modelos Matemáticos son aquellos blecen relaciones entre un conjunto de

mos en el Módulo 11".

La Construcción de un Modelo Matemático se hace ediante los siguientes pasos, los que damos a titulo de orientación general para ~ e w i r d e

Identificar la situación real que conduce a formular un proble-

Seleccionar las variables que - Intervienen y la información disponible y necesaria.

I 4

O Simplificar el problema.

I

@ problema utilizando simbolos, ecuaciones, inecuaciones, gráficos.

L

Aplicar procedimientos y técni- ~ , " , ~ , " ~ ~ $ " p u , " d e n cas matemáticas para resolver ser sistemas, el problema matemAtico. Hacer pr8ficos. etc

Aplicar la solución encontrada (nterpretar la sol~cibn a la situaci6n de parLda. I I encontrada.

Recomenzamos en el paso No 2.

Antes de continuar adelante te sugerimos detenerte a pensar en el esquema anterior y compararlo con el esquema dado para resolver problemas de matemática o problemas aplicados (1.8, Unidad 1 del Módulo 1) y observar que algunos pasos en ambos esquemas son análogos. Elabora un diagrama de flujo como el anterior que refleje los pasos seguidos en la resolución de problemas de matemática o problemas aplicados.

Identifiquemos, con los modelos de la dinámica de una población estudiados en 2.2.1, los pasos indicados en el esquema anterior (diagrama de flujo) mediante los números allí colocados:

@ Se trata de estudiar el crecimiento de la población de Venezuela. I @ La información disponible son los datos de la población deVenezuela suminis-

trados por los censos realizados en el periodo 1941 -1 990, donde observamos un crecimiento de dicha población. ~~leccionamos como variables la población N dada por el número de habitantes en una cierta fecha t. Esta última variable es el tiempo t que medimos a partir de 1941.

@ No estamos considerando factores como la eoao y ei sexo de las personas. Unicamente consideramos las variables N y t. con N=N(t).

@ Se buscó determinar N=N(t) mediante tres procedimientos: I a) Gráficamente: diagramas de barras; uniendo porsegmentos de rectas los puntos 1

obtenidos con la tabla de los censos; uniendo esos puntos con una curva continua; trazando rectas, con escalas logarítmicas(sobre el eje de ordenadas).

b) Utilizando la tasa media de variación, por unidad de tiempo. del crecimiento de la población,

I Tasa aritrné- tica.

Suponiendo que r (t) es constante e igual a rse trata de determinar N=N(t). I c) Utilizando la tasa media de variación, por unidad de tiempo y por habitante, del

crecimiento de la población. Tasa georné- trica.

Suponiendo que R(t) es constante se trata de determinar N=N(t). Usualmente R se expresa como un porcentaje.

d) Utilizando gráficos en donde sobre el eje de ordenadas se indican los logaritmos neperianos o decimales de la población N (Ln N o log N).

@ a') Se hicieron diversos gráficos para calcular N(t). I b') Si r (t) = r (constante), mediante una progresión aritmética encontramos

Nm= No+ r m. En nuestro caso se determinó

Nm = 3850771 + 123563 m (modelo lineal discreto).

c') Si R (t) = R (constante), mediante una progresión geométrica encontramos N , = N ( ~ , ) , t m = Nm = (1 +Rp No . (At = 1 año). t, + m, N~ =

N (t,).

Si tolo tomamos en el origen de absclsas (t,= O), resulta N(t) = N,+r. t.

8

I En nuestro caso se determinó: N, = 3850771 (1,03443)"' (Modelo xponenclal Discreto).

d') Al graficar sobre el eje de ordenadas los logarit de la $oblación N, una recta. Esto nos permitió encontrar la n=0,1,2,3,4,5 (tiempo discreto): N,=3850771 e0~w9i2i95"(Modelo Exponenclal) o con la variable continua tc [O,-) (tiempo contin

N = 3850771 e0~0334g12i9i (Modelo ~jponencial).

ay a Aplicamos las fórmulas encontradas en (b'), en (c' d') a los fines de calcular la población en algunos anos, entre ellos, en el 2000. También se hicieron estos cálculos utilizando las grdficas dibujada Observemos con los cálculos hechog que hay dis S con los datos SU-

ministrados por los censos, especialmente cuand de tiempo muy distantes del perlodo tomado co Por ejemplo, si tomamos el periodo que va des base para calcular las constantes r y R, y con ces al calcular N(t) para el ano t-1990, se com porcentuales apreciables al comparar con la p censo de 1990.

@ Si queremos estimar la población de 1990 es preferib b calcular N(1990) tomando - como referencia los datos de los censos de 1971 y 1 Si queremos estimar la población para el aflo 2000, calcular N(2000) tomando como referencia los datos de los 1981 y 1990. Vimos que con el modelo exponencial obtenlamos siempre que lo consideremos en un intervalo de tiempo no muy grand Hay otros modelos matemáticos que

I @ El modelo exponencial resultó mds adecuado si mpre que los cálculos se realicen en intervalos de tiempo no muy grandes.

1 Ahora debes realizar un análisis como el anterior utilizan los ejemplos dados y los ejercicios que resolviste en la lista de ejercicios propuestos En el ejemplo delmode- lo del "camino más corto entre dos ciudades conectadas red de caneteras"y en el paso No 5, es necesario advertir que al11 aceptamos algoritmo de la "marcha hacia atrás': 1

2.3.2 Resumen acerca del Modelo Lineal y del Modelo xponencial 4 El Modelo Llneal y el Modelo Exponencial son dos modelos matemáticos

usuales y se refieren al crecimiento o decrecimiento de una inicial, bien sea en forma de progresión aritmética conducente a un modelo lineal o geom6trica conducente a un modelo exponencial.

l Conocemos varios ejemplos de Modelos Lineales: I 1 . El Modelo Lineal del Crecim~ento de una Poblacibn dado po (t) = No+r (1-t,), en donde

No=N(to), o también N, = No+r m, donde la suceslón N,, N,,. ,forma una progresión aritmética de razón r. 1

1

El chlculo del capital obtenido Cm al cabo de m anos cuando se coloca un capital inicial C, a una tasa de interes simple de r% anual, resultando I

Co' donde 1, = -m es el interés devengado por el capital C, al cabo de m aiios.

1 O0

Observemos que la sucesión C,, C,, ..., C , constituye una progresión aritmética de razón C,rilOO (No 8-a de la lista de ejercicios propuestos 2.1). 1

Los modelos lineales de la oferta y la demanda de un bien dados por las ecuaciones, respectivamente,

El modelo lineal de la dilatación o expansión linealde una varilla metálica bastante delgada de longitud e,, que está dado por At= 0.6, AT en donde M = Gt, (incremento de longitud de la varilla), AT = T-T, (incremento de temperatura) y a es el coeficiente de dilatación o de expansión lineal:

P = a Q + b y P=mQ+n,

en donde las pendientes a y m son tales que a >O y mcO ya que la ofertas (resp. la demanda) es una función creciente (resp. decreciente). I

- 6%- así tenemos t-(, = a t, (T-T,) luego.

P precio; Q cantidad ofrecida o deman-

dada,

- tQ-~t!+ -

& aT+b, siendo - .e - a = a e',. b = e', - a e', T,

(Recuerda el ejemplo dado en 4.5, Unidad 4 del Módulo 11). 1 I Conocemos varios ejemplos de Modelos Exponenciales: I

El cálculo del capital obtenido Cm al cabo de m aiios cuando se coloca un capital inicial C, a una tasa de interés compuesto de r% anual, resultando

El modelo exponencial o de Malthus del crecimiento de una población dado por Nm = (1 +R)"'N, lo cual expresa que la sucesión N,, N, ...., Nm forma una progresión geométrica de razón 1+R. I

donde Cm se denomina el monto compuesto. O ~ S ~ N ~ ~ O S que la sucesión C,, C, ,...,

Cm forma una progresión geométrica de razón l+(r 1 100) (N0 8-a de la lista de ejercicios propuestos 2.1). 1

~t = 1 aiio

Analicemos, en general, que son esos dos tipos de modelos: el lineal y el exponencial. 1 suponemos Supongamos que se tiene una cierta experiencia o un fenómeno que estamos estudiando woY w, POSI- y del cual hacemos dos mediciones: W, es la primera medición (cantidadinicialo valorde

Modelo Lineal (Crecimiento o Decrecimiento Lineal)

AW = W,-W,. Por lo tanto

De esta manera estamos midrendo en un¡-

periodo considerado.n

tes: suponemos que al pasar de W,., a W, hay un aumento o disminución constante de a unldades, esto es,

1 O0

I y al cabo de m perlodos se tiene 1

Wm = Wo + ma.

c3a Si en lugar de considerar la variable indepen- diente en forma discreta m = 0,1, 2, 3 ,..., la tomamos en forma continua t 2 O, este modelo CorreSDonde a la función afln

La representación gráfica es una semirrecta:

y al cabo de m perlodos se tiene

W, = (l+b)mW,.

A Si en lugarde considerar la variable indepen- diente en forma discreta m = 0,1,2,3 ,..., la tomamos en forma continua t 2 0, este modelo corresponde a la función exponencial

cuya representación gráfica es una curva como la siguiente:

lnterpolamos Y exírapolamoa los valores de m.

Exponencial de base q = 1 + b siendo q > l. Los puntos en grueso corresponden a los valores discretos d e t:t=0,1,2,3 ,...

Pendiente a > O: función creciente. Corresponde al caso de un aumento constante de a unidades.

1 + b > 1, luego b > O: exponencial creciente. Corresponde al caso de un aumento constante de 100 b%.

Exponencial de base q = 1 + b, siendo O < q < l . Los puntos en grueso corresponden a los valores discretos de t: t = 0,1,2,3 ,...

Pendiente a C O: función decreciente. 1 + b < 1. Se tiene O c b < 1: exponencial Corresponde al caso de una disminución decreciente. Corresponde al caso de una dis- constante de a unidades. minución constante de 100 b%.

(Vermodelo de la presión atmosíérica en 2.3.3).

Por último, en lo concernieotea este resumen acerca de los modelos lineales y exponenciales u otros modelos que se presentan cuando trabajamos con datos obtenidos mediante alguna experiencia, debemos indicar que al obtener una tabla de datos numericos relacionando dos variables x e y lo que se tiene, al representarlos en un sistema de coordenadas, es un conjunto finito de puntos (una "nube de puntos") como puede ser la mostrada a continuación:

y si buscamos un modelo matemático que describa la experi con alguna función y = f (x) que establezca la dependencia manera que la gráfica de dicha función "pase lo mas cercapo: caso decimos que estamos ajustando ese conjunto finito de p te la función f.

Dependiendo de cómo sea la forma en que están dis lo aue observamos con nuestros ojos, se tienen distintos tipi indicamos en las gráficas siguientes:

+-------x FUNCI~NAFIN

(MODELO LINEAL).

. - . . - - - (MODELO EXPONENCIAL) O TAM- B I ~ N PUEDE SER UN ARCO DE PA- RAeolA (FUNCI~N CUAD~TICA)

Dibuja un conjunto finito de puntos que pueda ser exponencial decreciente o alguna funcidn cuya gráfica es u

, entonces se puede ensayar las dos variables x e y, de tal de los puntos dibujados. En tal ( l a "nube de puntos") median-

dos dichos puntos en el plano, ajustes. Algunos de estos los

X FUNC16NAFIN

MODELO LINEAL).

1 ~ 1 6 ~ LOGARITMICAO lCl6N DEL TIPO RAIZ 4DRADA.

tado" mediante alguna fun'cidn o de parábola.

2.3.3 Modelo de la Presión Atmosférica 1 **m L=-l

Este es el último ejemplo que daremos en relación con la construcción de un modelo Corresponde matemático. Se trata de la presión atmosférica, es decir, de la presión que ejerce la atmósfera a una

sobre los seres u objetos de nuestro planeta. exponencial decreciente.

Previamente recordaremos algunos conceptos de Fisica que utilizaremos a continuación:

Densidad media: La densidad media de una sustancia cualquiera se define como el cociente de la masa entre el volumen de la misma. Si denotamos por m. V y P , respectivamente. la masa, el volumen y la densidad media de la sustancia, se tiene:

Nos referimos a p diciendo simplemente densidad, la cual expresa la masa por unidad de volumen.

En el Sistema internacional de Medidasi" la unidad de densidad es el kilogramo por metro I t = 1 dm' = cúbico (kg/m3). Frecuentemente, cuando se trata de gases. la densidad se mide en gramos por m'.

litros (glt), siendo 1 kglm3 = 1 g/!.

Presidn: Para una carga uniformemente repartida, se define la presión como la fuerza que se ejerce sobre cada unidad,de superficie. Si denotamos por F, S y p, respectivamente, la fuerza, la superficie (área) y la presión, se tiene:

En el sistema SI la unidad de presión es el pascal (Pa):

1 Pa = 1 Nlm2,

donde N indica Newton que es la unidad de fuerza en el sistema SI. En el sistema t6cnico o sistema MKgfS, la unidad de presi6n es el kgflm2, donde kgf indica kilogramo-fuerza que es la unidad de fuerza en dicho sistema. Se verifica que:

1 kgf = 9,81 N, 1 N = 0,102 kgf, l

1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/(m.s2), pues 1N 11 kg.m/s2.

1 kgflm2= 9,81 Pa, 1 Pa = 0,102 kgf/m2.

['] El sistema de medidas oficial de la Republica de Venezuela es el SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDI- DAS cuyas unidades básicas para longitud, tiempo y masa son. respectivamente. METRO(m1, SEGUNDO (si v KI~OGRAMO lkol. ~ s t e sistema de medidas se abrevia SI en todos 10s idiomas v fue adootado oor véiezuela en ~acetaóf ic ia i No 27919 del 25-12-1964 y sus unidades de medidas s i publicaron en la Gaceta Oficial NO2823 Extraordinario del 14-07-1981. En algunas áreas de la ingenierla. es~ecificamente en la mecánica tecnica, en ¡a resistencia de materiales, en ingenieria civil,iodaviase "tiliza otro sistema de medidas. el denominado Mkgfs o sistema t6cnic0, que es el mas antiguo de todos los sistemas. En dste. las unidades bbsicas son metro (m). segundo (S) v unidad tbcnica de masa (u.t.m.). Tambien es necesario seRalar aue en los Estados Unidos y en el ~ i i " ó Unido de Gran BretaRa corrientemente se utiliza el denominado sistema ingles: pies y pulgadas para las longitudes, slug para la masa, libra fuerza para la fuerza. segundo para el tiempo.

Estos hechos se pueden comprobar experlmen- t a l m e n t e (con medlclones).

PICO Bollvar 5007 m. ; Monte Everest 8882 m.

En el sistema MKgfS tambibn se mide la presión en debido a que la unidad kgf/m2 es pequeiia, siendo, evidentemente, 1 kgf/cm2= l o 4

Pasemos ahora a estudiar la preslón atmósfera (el aire que nos rodea, la envoltura de gases que

Es conocido que a mayor altitud la presión del aire es aire es menos denso. Esto es, si medimos del mar, tanto la presión del aire (presión atmosfbrica) como su densidad Luego, si denotamos por p, p y h, respectivamente, la presión del aire y la altura sobre el nivel del mar, entonces p y p son problema es encontrar estas funciones p=p (h) y p =p densidad del aire respecto de la altitud.

Un forma de determinar como varían p y? en re ación con la altitud h es experlmentalrnente efectuando mediciones. Por ejempl , utilizando un barómetro (instrumento destinado a medir la presión atmosf6rica) se pue obtener una tabla de datos que relacionan h y p:yl t

ALTITUD P R E S ~ N

h P K116metros pascales

(por 1 Os)

O 1,013 0,1 0,996 0,2 0,988 0 3 0,950

1 0,899 1,s 0,828

2 0,768 5 0,540 9 0,326

1 O 0,284 20 0,055 30 0,012

A la luz de esa tabla, y tal como hicimos con modelos nteriores, nos hacemos la siguiente pregunta:

¿Que podemos hacer con eso datos? I En primer lugar, podemos representar gráficamente dados en la tabla ante-

rior, utilizando diversas representaciones grhficas y, hasta los 1000 m la variación de la presión respecto de la altura no es tan allí tiende a decaer mhs rhpidamente.

1 I v] La atmósfera terrestre es la envoltura gaseosa que rodea a La lerra. Es una mezcla de gases, de tal forma que la composición del alre atmosf4rlco seco es d 78% de nltr6geno y de 21% de

mente 100 km.

[.'] La tecnologla moderna, con el uso de los satblltes artlflclales y la te nologla espacial, permlte hacer 104 medlclones a grandes altltudes.

Ahora daremos varias representaciones gráfica de esos datos, donde po = 1,01325 x l o 5 Pax 1,013 x 10' Pa es la presión atmosférica al nivel del mar (po = 1,033 kgf/cm2 en el sistema MKgfs):

p p o s ) (pascales)

p,(presión atmosférica al nivel del mar)

0,75

Los puntos en grueso son los deducidos de la tabla anterior los cuales unimos mediante una curva continua. Esta curva tiene la forma de una exponencial decreciente.

En ese gráfico observamos que los puntos correspondientes a las altitudes h (metros) tales que O c h 2000 están bastantes próximos y parecen estar alineados. Podemos hacer otro gráfico correspondiente a esas altitudes ampliando la escala sobre el eje de abscisas a los fines de observar mejor el comportamiento de la curva para h E [0,2000] y, tal como mostramos a continuación. En ese intervalo se puede considerar que la relación entre p y h es lineal, p = m h + po (para h = O se tiene p = PO):

l -*- h. O 100 200 500 1 O00 1500 (m)

Calcula la pendiente m de esta recta.

Si consideramos todo el intervalo O km - 30 km y pensando que se trata de una exponencial

SI h O, en- decreciente del tipo p = po ach para una cierta base a > 1, don le la constante c tiene que Ser

tonces p = h. negativa para que dicha funcibn p = p (h) sea decreciente, esto pc demos constatarlo al representar los datos suministrados por la tabla utilizando un papel semi ogaritmico (escala IogarltmlCa

os decimales (en base a=10) se tiene:

T a m b i e n puedes trabajar con l o g a r l t m o s Redon eamos los logaritmos neperianos. con tr6 s cifras decimales

3 - B

2 - 1 -

8 , -3 - 1-1 - - . , . . _ . _ . - h - I --.

0 1 2 5 810 30 (km)

p = p o ~ o C n . Observando el grdfiw tenemos que, salvo imperfecciones n el dibujo, los puntos seflalados en grueso se encuentran alineados, lo que nos indica que la relac. entre log p y h es de la forma:

logar i tmos decimales.

Es costumbre utilizar como base de las exponenciales el número e, por lo tanto, debemos escr~bir p en la forma p = poekh para una cierta constante k que debemos encontrar, la cual se calcula al igualar las dos expresiones de p y tomar logaritmos:

p = p, l oCh= po ekh 2 l o C h = ekh ;,

= ch Ln(l0) = k h Ln (e) = kh ;,c Ln(l0) = k

por lo tanto I

se toman logar i tmos neperianos para calcular k. En forma análoga se puede calcular k usando

- Análogamente se puede proceder paradeterminarT=,p(h) que da la densidad del aire Ver No 6-b de p en función de la altitud h, resultando los ejerci-

cios pro-

I puestos 2.1.

i131

3 en donde h se mide en kilómetros y p en kg/m3, siendo 6, = P(O) = 1,226 kg/m la densidad del aire al nivel del mar.

&Qué conclusiones prácticas se pueden obtener del estudio que venimos de realizar?

He aqui algunas de ellas:

* Nuestro cuerpo se adapta a una presión de algo más o de algo menos de 1 kgf/cm2

que es, aproximadamente, la presión atmosférica al nivel del mar. Esta presión es exterior a nuestro cuerpo, por la piel, pero también es interior, por los pulmones. De esta forma no sentimos el enorme peso, deunos 15000 a 17000 kgf, que soporta- mos (para una persona de corpulencia ordinaria) y dicho peso no nos aplasta debido a la presión interna que ejercen los fluidos de que está lleno nuestro cuerpo y por que el mismo se distribuye a lo largo de la superficie del cuerpo en I; 1 kgf por cada cm2.

* A medida que ascendemos, la presión atmosférica y la densidad del aire decrecen y esto es una causa para lasdificultades en respirar. Así, al nivel de la cumbre del pico Bollvar (5007 m = 5,007 km) se tiene p 0,540 x 10' Pa = 53,3% de p,. Si consideramos las altitudes a que viajan los aviones de algunas líneas áereas, por ejemplo, en un vuelo de Caracas a Maturin se anuncia por altoparlante que se volará a 23000 pies, es decir a 7015 m = 7.015 km, entonces la presión atmosférica a ese nivel, calculada con [12], es

Esto corresponde a una persona con s u p e r f i c i e exterior de 1.452 m2 a 1,646 m'.

Ver tabla de datos.

1 pie = 0.3048m = 0,305m.

Debido a esa baja tan grande en la presión atmosférica es necesario 'presurizai'el interior del avión a los fines de mantener una presión similar a po. Si una persona se encontrara expuesta a dicha presión su cuerpo tenderia a hincharse y a liberar burbujas en la sangre.

r] En los diversos redondeos que hicimos se acumulan errores y también por el "ajuste" de los datos mediante una exponencial. Estos errores se manifiestan más a medida qus h se hace mds grande y en el cálculode p mediante las expresiones 1111 y P2] por el hechode tratarse defuncionesexponenciales.

107

R e c u e r d a que q = mN, luego m = D v:

R e c u e r d a que p = FIS, luego F=Sp.

I Hay trajes especiales, de dos capas, donde el espa io intermedio se llena con aire a una presión que compensa la diferencia de presion 1 s entre las grandes alturas y la del nivel del mar:

zE.zzzs A nivel del mar ndestro cberpo soporia una pres16n A la alt i t~o que VI an algdnos aviones la pres16n atmos- Igual po = 1.033 kgflcn? El a re que penetra por los fbrcca se redLce t n. aproximadamente 60% o mbs Por pulmones. v la Dreslón Interna eierclda por los otros esto. las cbmBas de los aviones deben estar f l~ ioos del cuerpo. compensa lagran 1Lérza exterior 'pres~dzaoas'< p.esen de 15000 a 17000 i<gf causada por la presi6n atmosfb- caso contrano rica, dlstrlbulda a lo largo de la superficie del cuerpo llberarbulliujas e la sangre. 1 Las conclusiones y fórmulas [l 11 - [13] obtenidas ante resultaron del análisis de

un conjunto de datos suministrados inicialmente por una tabl es versus presión atmos- férica. Así, obtuvimos relaciones entre las variables altitud h i6n atmosférica p obtenidas de manera emplrica.

¿Habrá otra forma de obtener relacl

y una vez obtenidas tales relaciones se pueden construir ta de las mismas.

La respuesta es: S¡.

Ahora se procede mediante razonamiento, por ceptos y leyes de la mecanica. Estudiemos tal procedi funci6n de h: p=p(h).

Seleccionemos mentalmente un pequeno cilind (base) inferior se sitúa a una altitud h. Sea S bases de ese cilindro y estudiemos la condici6 ción de que dicho cilindro no se cae, que perma que la sumatoria de las fuerzas que actúan so todas las fuerzas es nula).

SPíh+Ah) S qf I I I 1 SP(h)i

h I I 1 I I I I I

I y es igual a: S p (h).

-.

El equilibrio de fuerzas exige que: I Sp(h+Ah)+ p A h S g = S p ( h )

y al simplificar por S. resulta

Como la densidad media p tambien es función de h entonces, para escribir (141 irnicamente en función de p y de h debemos encontrar alguna relación entre p y p. Efectivamente, entre p y p hay una relación de tipo lineal: a temperatura constante, la presión p es directamente proporcional a la densidadmedia p, "

m K es la conslante de 11 51 p(h)=KP (h). proporcionalidad.

y por lo tanto, al sustituir p (h) = p (h)lK en (141 resulta: I Podemos observar que 1161 es una expresión completamente análoga a la del NO6 de los ejercicios propuestos 2.1 en la dinámica de poblaciones. Además, si consideramos para h un determinado valor ho, entonces [16] se convierte en

que esuna expresión completamente análoga a la (31 obtenidaen la dinámica de poblaciones. La constante -glK corresponde entonces a la tasa de decrecimientoporunldadde altitud y porunidad depresión en elintewalo considerado [ho, ho + Ah]. Asi, lo que en dinhmica de poblaciones denotamos mediante to, t, N (t), At y R (ver [3]) es lo análogo ahora de ho, h, p(h), Ah y -glK, respectivamente. En consecuencia, los pasos dados en el modelo de la dinámica de poblaciones a los fines de obtener Nm=N(tm) con tm=m+to para los valores discretos de la variable tiempo (m=0,1,2,3,4, ...), se pueden seguir en este casode la presibn atmosferica.

A tal efecto consideramos lo siguiente: I - ho=O pues las altitudes las medimos a partir del nivel del mar.

R e c u e r d a que en diná- mica de po- b l a c l o n e s se tenla

3 Ah

2 Ah

Ah

Tasa geom6trlca. Utilizamos n en lugar de m para no confun- dir el sublndice con la abre. vlatura de

P, - Elegimos un incremento fijo en las altitudes suponiendo la

P, misma tasa de decreJmiento -g/K de la presión, por ejemplo, Ah=200 metrosi '. Denotamos mediante p,, pi, p3, ...,

# - P, p,, ..., respectivamente, los valores de las presiones p (Ah), p (2 Ah), p (3 Ah) ,..., p (n 4h) ,...

1 metro I*] Esto es consecuencia de la ley de Boyle-Marione. r*] Recuerda que en el caso de la dinámica de poblaciones consideramos como unidad de tiempo

el aiio y que la tasa geom6trlca R da el creclmlento de la población anualmente. Aqui estamos considerando Ahs2OO m; tambl6n podemos tomar otros Incrementos, como Ah.100 m, Ah.500 m.

h,=O PO

Te invitamos a comparar esta tabla de presiones atmosférica obtenida teóricamente con la tabla dada inicialmente obtenida experimentalmente.

Existen otros modelos matemáticos para la presión atmosférica que toman en cuenta factores no considerados en los modelos anteriores. Entre éstos se encuentra la temperatura ya que, a nivel de la troposfera (de O m hasta 11000 m de altitud) la temperatura disminuye linealmente con la altitud mientras que en la estratosfera la temperatura se mantiene "casi" constante en aproximadamente -56,5 OC a -60 'C. Además, con los mismos factores considerados en el modelo que desarrollamos, estudiaremos en Matemática 11 otro modelo al hacer tender el incremento Ah a cero. 1

Con este último ejemplo quisimos mostrar como se pueden formular modelos con recursos matemáticos que en su mayoría se estudiaron en la Educacibn Media y Diversificada, reforzados y profundizados en los Módulos anteriores. Modelos que nos permiten explicar, en una primera aproximación, cuestiones del mundoflsico, de la realidad ambiente. Dedu- cidos a partir de datos obtenidos experimentalmente y mediante formulaciones teóricas, y contrastados ambos.

Ejercicios propuestos 2.2

1. Identifica con el modelo de la presión atmosférica los pasos indicados en el diagrama de * flujo dado para la "construcción de modelos matemáticos".

2. A continuación te damos las altitudes de varias capitales de paises del continente americano: I

Capital Altitudes (mts)

Bolivia La Paz Colombia Bogotá Ecuador Quito MBxico México 2240 Venezuela Caracas 914,4

'Cómo explicas los efectos que sienten los atletas venezolanos cuando asisten a compe- tencias deportivas en ciudades como La Paz u otras de gran altitud? 1

3. a) Utilizando la tabla de la presión atmosfbrica dada inicialmente en 2.3, haz un gráfico donde la presión atmosférica p se da en forma de porcentaje respecto de la presión po al nivel del mar.

b) Con la misma tabla de la presión atmosférica haz un gráfico utilizando Ln p (escala logarltmica con logaritmos neperianos).

4. ¿CuBI es la presión del aire en una mina a la profundidad de400 m? I 5. Investiga acerca de qué es la ley de Boyle-Mariotte y deduce de la misma la relación 1151

p = KG.

6. Considera la ecuación [16] dada por I *

Demuestra que se verifica

y a partir de aqul deduce la ecuación 1181 como

Sugerencia: No 6-a de los ejercicios propuestos 2.1

** 1 7. a) A continuacibn te presentamos un enunciado relativo na situacibn de transpohs de mercanclasen un caso particular. Luego, en la parte solicitamos que construyas

La resolu- clón de este tlpo de problema lo es- tudlar&s en Programa- c16n Lineal.

**

La resolución de este tipo de problemas lo estudlarls en ProBrama- c16n Lineal.

de manera general el modelo matemático respectivo. Consideremos dos almacenes, denotados por A, y A2 que tienen almacenadas una determinada mercancía. Supongamos que A, y Ai tien 100 y 200 toneladas, respee tivamente, de la mercancla. Desdeun centro de consumo y de distribución se hace n pedido de 130 toneladas de esa mercancla. Se sabe que el flete por tonelada desde l almacen A, es de Bs 1000 y desde el almachn A2 es de Bs. 1500, hasta el centro de onsumo. cCuántas toneladas deben ser enviadas desde cada uno de los almacenes h sta el centro de consumo a los fines de satisfacer el pedido y de tal forma que el flete to I sea el menor posible? t Atención: No resuelvas elproblema matemdtico que has encontrado; limltate a determinarlas ecuaciones, las inecuaciones necesarias que permiti- rlan resolver este problema particular.

b) ¿Cómo generalizas la situación de transporte de si se tienen n almacenes y un centro de consumo y se conocen las en cada almacén y los fletes (por tonelada) del envío de centro de consumo y lo que se desea es minimizar el En este caso debes construir un acerca del mismo, pensando en algún

8. a) A continuación te presentamos un enunciado relativ situación de procesamiento de muestras de laboratorio en un caso particular. n la parte (b) te solicitamos que construyas de manera general el modelo mat Una empresa se encarga de procesar muestra de dos tipos de instrumentos: un primer ttpo es manejo puede ser operado por una persona n Bs. 140,oo por hora de trabajo y en termino m segundo tipo de instrumento 12 mas compl puede ser operado por un tecnico calificado misma precisibn del primer operador puede En cierta ocasión son llevadas 1500 muestras plazo de 120 horas. 'Cómo puede la empresa distribuir el trabaj realizarlo en el plazo de 120 horas y con el

Atención: De manera andloga al No 7, no que has encontrado; limltate a determina cesarias que permitirían resolver este problema partic

9. Haz un modelo matemático que permita resolver la siguiente situacibn relacionada con un plan de fabricacibn de dos productos en una cierta empresa. Se disponen de dos máquinas M, y M, para fabricar dos productos P1 y P2 que producen, respectivamente, Bs. b1 y Bs. b2 de beneficio por kilogramo producido. La produccibn de 1 kg del producto P1 necesita la utilización de M, durante Tll horas y de M2 durante TiZ horas. Los datos correspondientes para P2 son de Tpl horas de M, y de T,, horas de M2. Las maquinas M, y M2 son utilizables, respectivamente, durante T1 y TI horas. Se pide determinar las cantidades óptimas de producto a fabricar, esto es, a los fines de obtener el máximo beneficio.

10. Investiga y consulta con el Asesor de Matemática del Centro Local acerca de algunos .k* modelos matemáticos, entre ellos el relativo a la ley de Hooke, el de salida de liquidos por orificios y el de los puentes de Konisberg.

I NOTA HIST~RICA ACERCA DE MALTHUS Y EL ALTUSIANISMO:

En 1798, el economista ingles Tomás R. MALTHUS publicó "Un en$qyo sobre el ~ r i n c i ~ i o de la oblación y como esto afecta e l la sociedad Maithus afirmaba que la población mundial crecla en forma de progre om6trica, mientras que 10s medios de subsistencia lo haclan en progresión aritmetica y vitablemente conducirla al empobrecimiento de la población. El aconsejaba la limitación ientos debido al aumento constante de la población y a la escasez de los medios de su pues, en caso contrario, esto traerla como consecuencia un empobrecimiento de i ociales más pobres. La teoria de Malthus, que en ocasiones se menciona en los dios de comunicación, espe~ialmente en revistas y periódicos, es conocida con el altuslanismo, como 10 define el diccionario Pequeflo Larousse Ilustrado (1 994), don rencia al maltusianismo

rico y al económico:

"Restnccidn voluntaria de la creación. Distnin ducción (maltusianismo económico)".

teorla de Malthus generó una gran controversia caria que la población entrarla en un perldo de

El análisis de la tesis de Malthus ha variado con el tiempo; las premisas que en su tiempo 61 formuló. El gran prog medios de producción agricola, el control de enferme alimentos, permiten cierto optimismo en comparación Sin embargo, el crecimiento de la población mundial a dad de una "sobrepobiación" dentro de varias ddcadas, algunos anaiistas de estos temas.

Para la epoca en que Malthus enunció su teoria, inglat ra tenia, aproximadamente. 8 millones de habitantes y Malthus indicó lo siguiente: t

( a) La población de lnglaterra crece en progresión geom6tica a una tasa anual del 2%.

I b) La agricultura en Inglaterra permitla alimentar 10 de habitantes y, si se mejora- ba la oroducción aaricoia se oodrla alimentar a habitantes más cada ano. de

I acueido con una pkgresión Britmetica. I Denotemos por N,la población de Inglaterra al cabo m aflos, contando los anos a partir de 1798 y siendo N0=8 x 10'la población en el Según la hipótesis (a) se tiene:

por lo tanto, {N,) es una sucesión en progresión ge Btrica de razón 1 ,O2 y primer termino No. Observemos que N, da la Inglaterra en el aflo 1798 +m.

Se tiene:

Ni = 1,02 No N2 = 1 ,O2 N, = (1,02) (l,02) No = (1

Denotemos por P, a la población al cabo de m aflos, siendo Po = l o 7 tal

P, = P,.! + 500000, m r 1,

[*] El titulo orlglnal en Ingles es: An essay on the Prlnclpie of lmprovement of Soclety".

114

Fopulatlon as It affects the Future

por lo tanto, {P,) es una sucesión en progresión aritmética de razón 500000 y primer término Po.

lo cual nos da el número de habitantes de Inglaterra que se puede alimentar en el afio 1798 + m.

Surge ahora la siguiente pregunta de conformidad con lo pronosticado por Malthus: I L A partir de que afio la producción agrícola inglesa no sería suficiente para alimentar la población de Inglaterra?

Para responder esta pregunta se necesita averiguar el valor de m tal que Nm > Pm. Sustituyendo en esta inecuación a N, y P,, dados por [21] y 1221 respectivamente, obtenemos:

dividiendo por 1 O5

80 (1,02)'"> 100+5m. [231

Resolver la inecuación 1231 con incógnita m, no es fhcil. Lo hacemos probando con valores de m y utilizando una calculadora cientlfica:

m =lo: 80 (1 ,02)1°.-97,52 I no se verifica t [23] 100+5x10=150

m=50: 80 (l,02)~' .- 215,33 : noseverifica 1231 100+5x50=350

m=100: 80 (1 ,02)'0° = 579,57 I noseverifica (231 100+5x100=600

y como los dos números obtenidos ya son más próximos, ahora vamos a probar au- mentando m de uno en uno:

m=101: 80 (1,02)'~~= 591,16 I noseverifica t-- [23] 100+5x101 =605

m=102: 80 (1 ,02)lo2 =602,99 I noseverifica t [23] 100+5x102=610

m=103: 80 (l,02)lo3 = 815,05 I se verifica la inecuaciónt[23] 100+5x103=615

y, por lo tanto, a partir del afio 1798 + 103 = 1901 el modelo de Malthus indicarla, de mantenerse las hipótesis (a) y (b), que no sería posible alimentar la totalidad de la población en Inglaterra. I

ANTES DE PASARA

UNIDAD.

TAMBIÉN TE RECOMENDAMOS

PICTURE, INC 1994. Y LEYES DE KEPLER.

TIEMPO ESTIMADO: 4 horas 0

INSTRUCCIONES: En esta autoevaluación encuentras preguntas de tres tipos: "verdadero o falso", "se lección simple" y "desarrollo". Intenta responder todas las preguntas sin buscar las soluciones que se dan al finalizar los enunciados de las mismas.

PARTE 1

1. De los enunciados siguientes decide cuáles son verdaderos y cuáles son falsos. Justifica tus respuestas, dando un contraejemplo en las que son falsas:

a) Para todo número impar p se verifica que p3 es impar.

b) Si x e y son números reales tales que xZ = y', entonces se verifica que x =y.

c) Si f: X-+ Y es una función inyectiva y g: Y -+Z es una funcibn sobreyectiva, entonces la

función compuesta g of: X -+ Z es inyectiva.

2. Consideremos el siguiente teorema (no es necesario que lo conozcas): Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], entonces se verifica que existe xo E [a,b] tal que f(x) < f(xo) para todo x E [a,b].

La hipótesis H y la tesis T de dicho teorema son, respectivamente (selecciona la alternativa correcta):

a) H: f es una función definida en [a,b]. T: f es continua y existe xo E [a,b] tal que f(x) S f(xo) para todo x E [a,b].

b) H: f es una funcibn continua definida en [a,b]. T: f satisface la siguiente propiedad: "existe un punto xo E [a,b] tal que para algunos valores

x E [a,b] se verifica f (x) 5 f (xo)".

c) H: f: [a,b] --+ R es una función continua. T: Existe xo E [a,b] tal que para todo x E [a,b] se verifica que f (x) < f (xo).

d) H: Sea f una funcibn definida en un intervalo cerrado [a,b] tal que f (x) < f (xo) para todo x E [a,b]. T: f es una función continua en el intervalo [a,b].

3. Para cada uno de los siguientes teoremas escribe el enunciado recíproco y demuestra cuáles de éstos son verdaderos, indicando las respectivas hipótesis y tesis. En aquellos enunciados recíprocos falsos, comprueba dicha falsedad mediante un contraejemplo.

a) Si {a,} y {b,} son dos sucesiones de números reales convergentes y Iím {b,} + O, entonces la sucesión cociente (a,}l{b,) también es convergente. n+-

b) El cuadrado de todo número entero impares un número impar.

c) Si A y 0 son conjuntos tales que A n B = 8, entonces B c A.

d) Si un paralelogramo es un cuadrado, entonces es un rectángulo.

PARTE 11 1 1. Consideremos en un anaquel de una biblioteca cuatro volúmenes de "CIá cos de la Literatura" colocados

ordenadamente, como muestra el siguiente dibujo:

Las páginas de cada volumen tienen un espesor de 3,5 cm y el grosor de ada una de las cubiertas es de 0,4 cm. Supongamos que una polilla que se metióen esos libros comen 6 a comer desde la página No 1 del volumen NO1 y finalizóen la última página del volumen NOIV. Si la po Ila avanzó en llnea recta, ¿cuál fue la distancia que recorrió la polilla? 1

2. Consideremos la población de IJS Estados Unidos (USA) en el periodo 179#1910 dada por la siguiente tabla:

3. a) A continuación te presentamos un enunciado relativo a una situaci6 de transporte de mercancías en recipientes que se envian a travbs de un vagón de ferrocarril. Consideremos un vagón de ferrocarril que puede transportar al m Imo 20 recipientes y una carga máxima de 80 toneladas. Los recipientes de una cierta mercancla 1 pesan 2 toneladas cada uno y los recipientes de otra mercancla A2 pesan 5 toneladas cada uno. Si se quiere enviar por lo menos 4 recipientes de la mercancla Al y recipientes de la mercancla AI a un cierto almacén, ¿cuáles son todas las posibilidades de envlo q e se pueden hacer? (La solucldn la obtienes en forma gráfica).

b) ¿Cómo generalizarías la situación del problema anterior a los fines d construir un modelo matemático general? I

a) ¿Cómo puedes hacer un modelo matemático que explique la evoluci( Unidos con respecto al tiempo?

b) Representa esos datos en un gráfico cartesiano y une los puntos obteni ¿QuB conclusión obtienes?

c) Representa esos datos marcando sobre el eje de ordenadas los 'Será posible que a partir de la representación gráfica que obtiene:

entre la población y el tiempo está dada, aproximedamente, poi (tiempo discreto), para ciertas constantes a o b dependien logaritmos neperianos o con logaritmos decimales?

d) Calcula N, para los anos que figuran en la tabla dada y compara las dicha tabla.

e) ¿Es posible estimar la población de los Estados Unido$ para el ano 1 obtenida en la parte (c)? Compara con el dato real dg 122775000 h

9 Identifica, con el modelo construido para dicha población, los pasos que hicimos para la construcción de un modelo matemático (2.3.1).

n de la población de los Estados

!os mediante una curva continua.

2garitmos de la población. puedas deducir que la relación N,=N,~~, o blen N,=N,,Io~"

lo de si utilizaste escalas con

~oblaciones obtenidas con las de

130 utilizando la expresión de N, bitantes. idicados en el diagrama de flujo

PARTE 1

1. a) Verdadero. Se necesita una demostración válida cualquiera que sea el número impar p. La expresión general de un número impar es p = 2k+l con k E Z; luego,

con h = 4k3 + 6k2 + 3 E 2. Por lo tanto, p3 es impar. 1

b) Falso. Para verificar la falsedad del enunciado es suficiente encontrar dos números reales distintos x e y tales que sus cuadrados son iguales (contraejemplo).

Por ejemplo, x=-1, y=l (x # y) y se verifica (-1)' = l2 (x2=y2) . Observación: Si el enunciado hubiese sido el siguiente: "si x e y son números reales tales que x2=y2,

entonces se verifica que x=y o x=-y"; la respuesta hubiese sido verdadero. 1

c) Falso. Basta dar un contraejemplo.

Consideremos los conjuntos X = {a,b}, Y = {a,P,y } y Z = {c,d}, y las funciones f : X d Y,

g : Y -, Z definidas por

luego, la función compuesta g of: X -+ Z está definida por

verificándose que f es inyectiva, g es sobreyectiva y gof no es inyectiva. i

2. La respuesta correcta es la (c). I

3. a) Si {a,} y {b,} son dos sucesiones de números reales tales que la sucesión cociente {a,} 1 {b,) es convergente, entonces las sucesiones {a,) y {b,} son convergentes y además lim {b,) ;. O. Falso.

n 3 m

Contraejemplo: a, = b, = n para todo n 21; las sucesiones (a,} y {b,) son no convergentes. La sucesión cociente definida por el término general a, 1 b, = 1, para todo n 2 1, es convergente por ser una sucesión constante. Otro contraejemplo: a, = l ln, b, = n, a, 1 b, = l/n2. Observación: Recuerda el No 1-h de los ejercicios propuestos 1.2.3 que es lo análogo para las funciones.l

b) Si p es un número entero tal que p2 es impar, entonces p es imp Hipótesis: p E Z y p2 es impar. Tesis: p es impar.

Demostración (por reducción al absurdo): Supongamos que p no S impar, luego p es un entero par y por lo tanto p es de la forma p=2h con he 2. De aquí se obti p2 = (2h)' = 2 (2h2), luego p2 es par, lo que es contradictorio con la hipótesis. I

c) Si B y A son conjuntos tales que B c A, entonces se verifica que Hipótesis: B y A son conjuntos,

B c A . Tesis: A n B = B.

Demostración: Para demostrar que A n B = 8, necesitamos probar

A n B c B y B c A n B .

En efecto:

x E A n B j X E A y X E B x

luego, A n B c B.

i n B = B. Verdadero.

is dos siguientes inclusiones

B,

X E B * X E B Y x E A J X E A ~ B , t

Por la hlpbtesis B c A. I luego, B c A n B. Observación: Recuerda el No l -cde los ejercicios propuestos 1.2.3. 1 1

d) Todo rectángulo es un cuadrado. Tambikn se puede enunciar asi: Si un paralelogramo es un rectángulo, Contraejemplo:

Este es un rectbngulo que no es un cuadrado

PARTE 11

l. Este es un tipo de problema en que lo visual, y los patrones que tenem stablecidos, pueden conducir- nos a una solución incorrecta. Debemos reflexionar en los libros en una biblioteca. Cuando estamos leyendo un libro, colocado de frente a nosotros, se sitúa cerca de la cubierta (lomo) izquierda y la Última este más cerca de la cubierta se colocan los libros ordenadamente en un anaquel o estante de una pregunta, se cambia la posición relativa de las páginas Izquierda y derecha:

El recorrido en linea recta de la polilla mide 6 x 0,4 cm + 2 x 3,5 cm = 9,9 cm.

Observación: Despreciamos el grosor de esa primera y última página

120

%2-NM

páginas). 1

2. a) Se pueden hacer gráficos cartesianos: Sobre el eje de ordenadas la población N y sobre el eje de , ' abscisas el tiempo t, obteniendo un conjunto finito de puntos (siete puntos). Estos puntos se pueden

unir con segmentos de recta o tambien mediante una curva continua (lo haremos en la parte (b)). Podemos obtener las ecuaciones de esos gráficos (lo haremos en la parte (c)). También podemos hacer gráficos utilizando una escala logaritmica sobre el eje de ordenadas (parte (c)). También se pueden hacer gráficos de barras horizontales o verticales, que visualizan la evolución de la población en el periodo 1790-1910, pero éstos no nos permiten hacer predicciones hacia el futuro.

AN Se puede hacer un Modelo Matemático utilizando la tasa de crecimiento aritmética r = - (Modelo At

AN Lineal) o la tasa de crecimiento geométrica R = - (Modelo Exponencial). I

N At

b) A continuación representamos los datos suministrados por la tabla dada en el enunciado utilizando un sistema de coordenadas cartesianas (t,N) y unimos los siete puntos obtenidos mediante una curva continua:

c) Ese gráfico nos hace pensar en una curva exponencial creciente, en una parábola, o en alguna función potencial. Para dilucidar cuál de éstas puede ser representemos sobre el ejedeordenadas los logaritmos de la población N: En el caso de obtenerse una recta, entonces se puede decir que la relación entre N u

y t es del tipo exponencial creciente. Podemos utilizar logaritmos neperianos (abreviado Ln) o logaritmos decimales (abreviado log). Aqui lo hacemos con las dos bases (e y 10) para que puedas contrastar con tu respuesta según sea la base que elegiste:

m0 Población (N) Ln N Log N

1790 3929000 15.1838955 6,594282029

1810 7240000 15,79513176 6,859738566

1830 12866000 16,37009873 7,109443547

1850 231 92000 16,95931795 7,365338202

1870 38558000 17,4676741 6 7,586114499

1890 62948000 17,95781955 7,798981 936

1910 91972000 18,33699474 7,963655631

en consecuencia a la podemos calcular con un valor de n. Por ejemplo, para n=4 (que corresponde al punto B: año t4 = 1790 + 20 x 4 = 1870), se tiene:

Ln N4=LnNo+4a luego

y por lo tanto, la función exponenciai buscada es

d) Calculemos N, para los diversos valores de n y comparemos con la tabla de censos, donde colocamos en el lado derecho los errores porcentuales al tomar como valores aproximados los deducidos con la fórmula[*]:

% de error

n = O No = 3929000 (año 1790) O

n = 1 =, N, S 6954087 (año 1810) 3,95

n = 2 =, N2 = 12308305 (año 1830) 4,33

n = 3 =, N3 = 21784941 (año 1850) 6,07

n = 4 =, N4 S 38558000 (año 1870) O

n = 5 =, N5 S 68245279 (año 1890) 8,42

n = 6 =, N6 = 120789931 (año 1910) 31,33

Observamos que el error cometido es muy grande para el año 1910: el punto M está lejos de la recta y una pequeña variación en el logaritmo causa una gran variación en la exponencial. 1

e) Los cálculos anteriores anticipan que esa fórmula no es aplicable para calcular la población en el año 1930 pues el error que se comete es muy grande. A medida que nos alejamos de 1890 se incrementa considerablemente el error. I

f) Esto es análogo a lo realizado en 2.3.1

Tarnbien podemos, como fue indicado en la parte (a), determinar N utilizando la tasa aritmética de variación de la población r = ANlAt (modelo lineal) o bien la tasa geométrica de variación de la población R =ANI(NAt) (modelo exponencial) tal como se trabajó con la dinámica de poblaciones en el caso de la población de Venezuela (fórmulas [4] y [5] de 2.2.1).

Nota: Si utilizas logaritmos decimales en lugar de logaritmos neperianos, obtienes para N, la siguiente expresi6n

N, = No l o b "

donde b se calcula al tomar logaritmos decimales

log Nn= logNo+bn

y para esto utilizaremos, por ejemplo, el punto C (C corresponde a n=2: año 1830 = 1790 + 20 ~ 2 ) del gráfico con logantmos decimales:

log N2= logNo+2b

luego

b 0,257580759

resultando la función exponencial de base 10

Nn=No10 0,257580759 n

Lo restante sería calcular N, (n=0,1,2,3,4,5,6) a partir de es expresión y comparar con los datos suministrados por la tabla dada en el enunciado de la

3. a) Denotemos por: I x el número de recipientes de la mercancía Al,

n enviar al almacbn. y el número de recipientes de la mercancía A2,

Caloquemos en un cuadro la información disponible:

Peso de los recipientes Mlnlmo envio

S, el vagón puede rtar 20 recipientes y ladas como máximo.

Se verifica: I v x E N, y E N (X e y son números naturales p s se trata de recipientes).

V x 2 4, y

V x + y 5 2 0 (El vagón puede transportar un de 20 recipientes).

V 2x+ 5y 580 (Pues cada recipiente Al toneladas y como se en vlan x recipientes, su ; análogamente para A2. Esto es la suposici6n

Por lo tanto se trata de resolver un sistema de inecuaciones I

Gráficamente podemos representar las rectas de ecuaciones x=4,1 y=8, x*y=20, 2x+5y=80:

y asi obtener el poligono ABCD con vértices

La solución del problema está dada por aquellos puntos interiores al poligono y los de su borde que tienen ambas coordenadas enteras (pues x e y son números naturales), marcados por circulos negros dentro de la región ABCD. Por ejemplo, si tomamos los puntos de abscisa 9, como el punto M(9,8) indicado en el grafico y los otros puntos en la misma vertical que pasa por M, se tiene que: enviando 9 recipientes del tipo Al se pueden enviar 8. 9, 10 u 11 recipientes del tipo A2. En total hay 41 soluciones (41 puntos marcados en negro).

b) La generalización de esta situación conduce al siguiente modelo matemático. donde identificamos con números encerrados en circulos los pasos indicados en el diagrama de flujo para la "construcción de modelos matemáticos" (2,3.1).

@) El enunciado análogo con datos en forma general. (Ver el cuadro siguiente). Se trata de estudiar el transporte de ciertos recipientes.

@ Información disponible y selección de las variables que intervienen:

Peso de los recipientes Mlnimo envio (toneladas) de recipientes

A2 a2

Además, el vagón puede transportar c l recipientes y c2 toneladas como máximo.

x es el número de recioientes de la mercancia Al. que se pueden enviar al almac8n.

y es el número de recipientes de la mercancia A2,

@ Se considera que se trata de un problema de tipo lineal en dos variables cuando nos referimos al peso (esto es lo que permitió expresar, en el caso particular anterior, que el peso transportado es 2x+5y).

@ Expresión matemática del problema mediante inecuaciones:

Condiciones sobre el tipo de variables: x,y son números naturales (x, y e N).

Condiciones acerca el número de recipientes:

x > b l . y>b2, x + y ~ c l .

Condiciones acerca del peso:

alx + a2y < y .

Luego, se trata de resolver el sistema de inecuaciones

@ La soluci6n se encuentra gráficamente representando la! rectas de ecuaciones x=bl, y=b2, x + y=cl, alx + a2y = ci y dibujando el pollgono qu 5 determinan las inecuaciones anteriores. La soluci6n está dada por los puntos interiores al ~ollgono y los de su borde que tienen ambas coordenadas dadas por número naturales.

Se puede aplicar la soluci6n general a casos particular S como los del enunciado de 0 la parte (a).

@ El modelo general encontrado es adecuado a la soluci< n de ese tipo especial de transporte de recipientes. 1

126

1

RESUMEN

En este Módulo estudiamos dos aspectos importantes de la matemática:

O Algunos conceptos y procedimientos en relación a cómo funciona la matemática. Hemos tratado que los estudiantes comprendan la forma de cómo esta ciencia procede para llegar a conclusiones, para obtener resultados. Esto contribuye a organizar la . información que disponen los estudiantes, acumulada durante sus estudios precedentes, donde hicieron "Demostraciones Analíticas y Gráficas", dieron ejemplos para refutar enunciados. tuvieron "Intuiciones" que en ciertas ocasiones le permiten pasar de lo particular a lo general y en otras lo pueden conducir a errores. Aprender a distinguir estos hechos y las posibilidades de demostración a los fines de obtener conclusiones genera. pro.gresivamente, seguridad en la forma como deben enfocarse los diversos problemas matemáticos que surgen al estudiar esta ciencia. Así, estudiamos qué es un Teorema (Proposición, Lema, Corolario), las partes que lo integran y algunos métodos para su demostración. Se presentaron ejemplos de "Pruebas Gráficas" y de "Pruebas por Computadora".

O Estudiamos varios ejemplos de modelos matemáticos que nos condujeron a preguntarnos de manera general:

&Qué es un modelo?.

¿Qué es un modelo matemático?.

¿Cómo se construye un modelo matemático?

Específicamente trabajamos con:

a) Modelos de Población.

b) Modelo de la Oferta y Demanda.

c) Modelos de la Presión Atmosférica.

d) Algunos aspectos de lo que sería un modelo en general para determinar el camino más corto entre dos puntos de un "Grafo" (lo trabajamos con el camino más corto entre dos ciudades).

e) En ejercicios propuestos se plantearon modelos lineales con dos variables en relación con diversas situaciones: transporte de mercancías, procesamiento de muestras de laboratorio, plan de fabricación de dos productos en una empresa. Nuestro interés es que tú mismo aprendas a formular los respectivos modelos, aunque todavía no puedas con toda certeza resolver el problema matemático encontrado en el modelo. Esto lo aprenderás posteriormente en los cursos de "Programación Lineal".

Aprendimos a comparar y distinguir dos de los modelos más frecuentes: el "Modelo Lineal" y el "Modelo Exponencial ".

MÓDULO IV (ING. INDUSTRIALY DESISTEMAS) SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

En lo que sigue damos las soluciones de casi todos los ejercicios propuestos en las unidades 1 y 2. En algunos de ellos, que se resueiven con calculos muy sencillos, únicamente daremos las respuestas. Hay algunos (pocos) ejercicios de los que no daremos las soluciones.

UNIDAD 1


Otra demostración, por reducción al absurdo.

a+b Supongamos que a 2 -

2 . Se tiene:

2 a - a > b a > b

lo cual es contradictorio con la hipótesis a<b.

2. a) Verdadero

b) Falso: 3 + 7 = 10 (contraejemplo). I c) Verdadero. I

( 2 n + 1 ) + 2 m = 2 ( n + m ) + 1 = 2 h + I , donde h = n + m.

2 h + 1 es un número impar. I d)Verdadero. Recuerda la definición 9.1, Unidad

9 del Módulo 111. 1

e) Verdadero. p = 2 h =1 p2 = 4 h2 = 2 k, donde k = 2 h2. 2 k es un número par.

f) Verdadero. Ver el No 2 de los ejercicios 1.2.1

Observa que los números primos menores que 11 son: 2, 3, 5 y 7. El número 11 no se puede escribir como suma de dos de estos números.

h) Falso.

Si n = 1001, se tiene: &=31,63 y los números primos menores o iguales que 31 son 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29y31.

Se verifica que

Si n = 1073, se tiene: & - 32. 75 y los números primos menores o iguales que 32 son 2,3, 5,7, 11, 13, 17, 19,23,29 y 31.

Se verifica que

1073 = 29 x 37.

i) Falso.

Sea V = n~~ h el volumen del cilindro de radio R y altura h.

Si h'= h+(lO%de h)= 1,lh; R'=R-(10% de R) = 0,9 R, se tiene V' = Z R ' ~ h' = n(0,9 R)' (1,l h) = 0.891 n~~ h = 0,891 V, es decir, V' es el 89,l % de V.

j) Verdadero.

En un papel logaritmico (logaritmico doble; 6.5.4, Unidad 6 del Módulo Il) se representan sobre los ejes de coordenadas los lqaritmos de las variables x e y (consideramos logaritmos decimales o neperianos). Si trabajamos con logaritmos decimales (en base lo) , se tiene, a partir del enunciado del ejercicio, que

en donde X = log x, Y = log y, pues esa es la ecuación de una recta con pendiente a en el sistema de coordenadas (X, Y).

Si b = lq k, es decir, lob = k, resulta Y = a X + l o g k

1% Y = a log x + log k = log (k xa),

por lo tanto

y = k x a

quees una funci6n potencial

1

x= log x

Sea y = k bX. Tomemos logaritmos decimales:

log y = log k + x (log b)

Sean

Y = log y, c = log k, a = log b, se tiene

Y = a x + c

que es la ecuaci6n de una recta en un sistema de coordenadas (x, Y)

La pendiente de la recta es a = log b Análogamente si consideramos logaritmos neperianos

Ln y = Ln k + x (Ln b)

donde Y = Ln y, a = Ln b, c = Ln k, que'es la ecuación de una recta con pendiente a en un sistema de coordenadas (x, Y)

1. a) Hipótesis: A es un triángulo rectángulo, es recto.

Tesis: zz f E2+ s2 . Tesis: L1 1) L3

c) Hip6tesis: 4. z y p2 es impar

Tesis: p es impar I ?son los ángulos internos de

un tridngulo

y {b,} son sucesiones de

Tesis: {a,} {b,) y {a,}. {b,} son sucesiones convergen S y además k llm [(a,) (b,)] = llm {a,] + llm {bn} n-tm n+.i n+m

llm [{a,] {b"}] = llm {a,} . iim {bn). n+w n-tm

2. a) Para todo iángulo rectángulo ABC con ángulo recto en se verifica que

KIj2 = E'+ Bc2 ,

b) Si p S un nrSmero entero tal que p2 es impar entonces p es impar. + I Si $ E , y son los ángulos internos de un tri ngulo, entonces & + p +? = 180° I

3. Corolario: @ longitud de la diagonal de un cua-

drado de iaJo a es igual a fi a,

de Pitágoras, aplicado al triángulo

= ACZt eC2

Otro corolario es el siguiente: En cualquier triángulo equilátero de lado a, la altura correspondiente a un lado cualquiera es igual a

J3 - a .

2

Demostración: l En el triángulo /ra\ equ i l á te ro ABC se tiene

- a DB=-.

2

c D t B a12

Por el teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo ABD, resulta

de donde

luego


1. a) Si un triángulo es isósceles, entonces es equilátero. Este enunciado es falso, lo que se comprueba con un triángulo como el siguiente:

A

b)Si a2 E Q entonces a EQ. Es falso,

pues a = J2 E Q y a2= ( A ) ' = 2EQ.

c) Si A, B son conjuntos tales que A n B =A, entonces A c B .

Demostración: Sea x E A. Como A n B = A (hipótesis), entonces x E A n B, luego x E B. Lo anterior demuestra que:

en consecuencia AC B.

d) Si A,B son conjuntos tales que A U B = B, entonces A c B. Es verdadero.

Demostración: Sea x E A, luego x E A u B (por definición de reunión de dos conjuntos). Como A u B = B (hipótesis). entonces x E B. Lo anterior demuestra que:

x E A =) x E B, en consecuencia A c B.

e) Si n2 es un número entero divisible por 4, entonces n es divisible por 4. Este enunciado es falso, lo cual comprobamos con el siguiente ejemplo (contraejemplo) n = 6, n2 = 36, siendo 36 = 4.9.

9 Si un triángulo tiene dos ángulos con la misma medida, entonces dicho triángulo tiene dos lados con la misma longitud. Es verdadero. Se conoce de las propiedades de los triángulos isósceles.

g) Si f es una función real definida en el intervalo [a,b] y tal que existe algún punto xoe(a,b) donde f se anula ( f ( ~ ) = O), entonces f es continua y ya) f(b) <O. Este enunciado es falso, lo que se comprueba con el gráfico siguiente

Es verdadero. 1

Tampoco es cierto el enunciado siguiente: Si f: [a.b] -bR es una función continua tal que existe algún punto (a,b) donde f seanula, entonces f(a) f(b) < O.

Observemos que

f(a) > O, f(b) > O.

h) Si {a,), {b,} son dos sucesiones tales que existe el limite de la sucesión producto {a,}. (b,} , entonces existen los Ilmites de cada una de las sucesiones {a,) y {b,}. Este enunciado es falso, como lo comprobamos con las sucesiones siguientes:

Se tiene a, b, = 1, para todo n 2 1, luego 1

1 Sin embargo, Iim - =O y Iim n no existe.

n-1- n n+- l i) Si f y g son dos funciones tales que existe el

limite

entonces existen los limites siguientes: 1 Ilm g(x) # O.

x+xo

Ese enunciado es falso, como podemos comprobarlo con las siguientes funciones:

Se tiene que:

1 kn! y, no existe.

a)Existen números impares que son divisibles pot 3. I

b) Para cualquier tri ngulo se verifica que la suma es igual a n radianes.

c) Existen número 1 reales x tales que @ = X.

d) Para todo núme real x se verifica que @= 1x1. 4 e) El cuadrado ualquier número par es un

número par.

reales x tales que x2 = 3.

continua F y cualquier se verifica que existen

F(x) , llm F(x) y x+x;

h) Existen sucesi cuyos terminos son

a) Si A es el co de los números primos, elementos.

el conjunto Atiene un número

Consideremoslel número siguiente

x = p j 2 p 3 . p m + 1 .

y los dos cas posibles: x es un 'mero primo, x no es 1 número primo.

Analicemos cada uno de estos casos: . x es un úmero primo. Como x es ayor que cualquiera de los ni5meros pri S pl , p2 ,..., pm , entonces hemos deter nadootro número primo distinto de los de la ii ta(*), lo cual es contradictorio pues suponl os que pl, p2, ..., pm son los Únicos primo 1 que hay.

Por lo tanto x no puede ser un número primo.

x no es un número primo. Sabemos que todo número que no es primo es divisible por algún número primo, por lo tanto x es divisible por alguno de los números pl, pz ,..., pm.

Supongamos que x es divisible por pl(análogamente con cualquiera otro de los pi), luego p l divide al número x - p1, p2, ..., pm pues divide a x y a pl, p2 ,..., pm.

Como x - p l p2 ... pm = 1, entonces p l divide a 1, lo que no es posible pues los números primos son mayores o iguales que 2.

En cualquier caso hay una contradicción proveniente de la suposición que A es un conjunto finito. En consecuencia, hemos demostrado que A es un conjunto infinito, es decir, hay infinitos números primos.

P ( A ) = P ( A u @ ) = P ( A ) + P ( @ ) , ya1 simplificar por p (A) obtenemos p (@) = O.

Como U = A u (U-A) y A n (U-A) =@ , aplicamos la condición (ii):

y siendo p (U) = 1, resulta 1 = p (A) + p (U-A)

de donde

p (U-A) = 1 - p (A).

Se tiene: I

4. a) Hipótesis: n E Z y n3 es par.

Tesis: n es par.

Demostración: Supongamos que n no es par, luego n es impar y por lo tanto existe h E Z talque n = 2 h + l .

Si denotamos a 4h3 + 6h2 + 3h por k, resulta

n3 = 2k + 1

C)

que es un número impar, lo cual contradice la hipótesis. La contradicción proviene de suponer que n no es par. En consecuencia, n es un número par.

3 b) Si n es un entero par, entonces n es par. Es verdadero. La demostración es la siguiente:

n=2h, h ~ Z a

n3 = ( ~ h ) ~ = 8h3 = 2 (4h3) = 2m

con m = 4h3 E 2.

Luego, n3 = 2m es par. 1 5. n = 6h, h E Z, luego n = 2 (3h) = 2k con k- 3h.

En consecuencia, n es par.

6. a)ParatodoAcUsetiene A = A u @ y A n @ = @ . Luego, por la condición (ii) resulta:

Como 0 = A U (0-A) y A n (0-A) =@ , se aplica la condición (ii):

p (B) = p (A u (0-A)) = p (A) + p (0-A) de donde obtenemos

Como

A = (A-0) u (A n B) y (A-0) n (A n B) = aplicamos la condición (ii):

p (A) = p ((A-0) u (AnB)) = p (A-B) + p (AnB),

de donde obtenemos

p (A -B)=p (A) -p (AnB) .

e) Por la definición de p (A) y en el caso A = U , se tiene m = n, luego

m n p (U) = - = - = 1 , es decir, se verifica la

n n

condición (i).

Sean AcU y B c U tales que A tiene m elementos y B tiene h elementos.

De manera general se tiene que el número de elementos de A u B es igual a

m + h - k ,

donde k es el número de elementos de A n B

pues al contar los elementos de A u B , contando Ips de A y los de B, hemos contado una vez en exceso los de A n B.

Si A n B = @ , entonces k = 0 y el número de elementos de A u B es igual a m + h. Por lo tanto


Sea z un valor tal que

Dividimos el intervalo [a,b] por su punto medio x l (ver dibujo).

Como z # f (x,), seleccionamos aquel intervalo entre [a,xl] y [xl,b] de tal forma que z este comprendido entre f(a) y f(x1) o bien entre f(x1)

134

y f(b) En el dibujb se observa que f(xr)Q<f(b)

1 intervalo [xl ,bl por su punto f(xl) < z < f(x2) (ver dibujo),

el in te~a lo [xq,x2], el que

nos vamos aproximando a f toma el valor z, es

decir, z = f(x0).

{x,,}~,~ converge a

Y A

comprendido entre f(a) y sin embargo, la gráfica de la

a la recta horizontal de

no pertenece a la grhfica de (f):Dom (f) = R - {O).

b) SI. Presta a nción y observa que O E Dom (f). P c) No. 1

no contradice la definición (definición 9.1) dadaen

111, ya que el dominio

Observa que:

Dom (f) = R - {O} = (-CO, O)U(O, W)

es la reunión de los dos intervalos infinitos (semirrectas): (-m, O) y (O, m).

Por e l teorema d e Pi tágoras se t iene

1 - 2

que AB = 1 ~ + 1 ~ = 2 ,

luego AB=J;.

Ahora, razonemos, como sigue, para determinar la

longitud z. 1 \ Al considerar los ountos

medios Al ,El, Cl ' d e los lados (ver dibujo) forma- mos la poligonal A Al Cl BI B cuya longitud es la siguiente ---- AA,+AIC,+C,B,+B,B=

Si nuevamente consideramos los puntos medios A2, C2, M, N, C3 y B2, de los segmentos

A AAi,ACi,AiCi,CiBi,Ci B y Bl B, respectivamente (ver dibujo), se tiene la poligonal AA2CiM Cl N C3 B2 B cuya longitud es igual

c. a

Si continuamos con este procesoobservamos que los lados de las poligonales obtenidas se hacen cada vez más pequellos y sus vértices "tienden" a estar en el segmento AB; luego, en el Ilmite, la

longitud de esa poligonal es igual a E = &, pero, a su vez, esa poligonal tiene longitud 2 de acuerdo con los cálculos anteriores y los sucesivosque se harlan. Por lo tanto, se concluye

la "igualdad f i = 2 , que es una falacia o sofisma.

4. Es una falacia análoga a la anterior.

Consideremos un plano perpendicular al eje del cono. como el del dibujo. Al mover paralelamente ese plano y de forma "continua", se van obteniendo sólidos que son conos y troncos de conos, excepto en las dos posiciones extremas en que el plano pasa por V o por C. Luego, el volumen de la parte situada arriba del plano varla "continuamente" desde el 0% (cuando el plano pasa por V) hasta el 100% (cuando el plano pasa por C).

por lo tanto, debe existir alguna posición intermedia donde el sólido (cono) situado encima del plano y el sólido (tronco de cono) que queda debajo del plano a tengan el mismo volumen (cada uno con el 50% del volumen del cono dado).

a) Como a = b entonces a - b = O. Por lo tanto, en la igualdad (a-b) (a+b) = (a-b)b no se puede dividir ambos miembros por a-b (simplificar por a-b) que vale cero.

b) Cuando trabajamos con rakes cuadradas de números reales debemos tener presente las dos propiedades siguientes:

Si aso, entonces existen dos raíces cuadradas reales de a que son opuestas.

Por ejeinpllo: es -3 y 3, lo que

frecuentemente se escribe = f 3, Cuando no seespecifica, se sobreentiende que estamos considerando la ralz positiva.

Jab=&Jb, siempre que a> O y b 2 O.

Si a O 6 b e 0, esa igualdad no tiene sentido en el conjunto de los números reales, pues,en éste, no existe la raíz de un número negativo.

Luego, en el conjunto R no es válida la igualdad

y además, I = JI? e R.

Si trabajamos con números complejos, la raíz cuadrada de un número real negativo tiene dos

valores AsI, f i tiene los valores i y -i; en consecuencia, al escribir

hay que atribuir a cada raiz un determinadovalor

para evitar ambigüedades, incluyendo a f i que puede ser 1 6 -1. De aqul surge la falacia que ha conducido a una igualdad falsa "1= -1"

c) Esta falacia tiene que ver con lo dicho en el

ejercicio anterior en relaci6n con A, a > 0. Si tenemos una igualdad de la forma f(x) = p(x)

al tomar raices cuadradas = Jg(xj' 136

e una ambigüedad en los va- doble signo (valores opues-

raíces cuadradas.

AsI, al escribir 1 sen2 x = 1 - c# x 3 sen x = Js

o bien sen x

Asl, en el inte a10 ., - , la funci6n seno 1 ( 21 es negativa, 1 go sen x = - m, + x , - ue es la igualdad que se debe :]E considerar pa x = - 1 ;

y otras seme antes.

&Cómo llegamos a obtener esas soluciones o algunas otras ?

Se puede llegar por "ensayo y error" o analizando la disposición de los puntos: si hay que unir los nueve puntos mediante cuatro segmentos con un único trazado, entonces debemos pensar que la mayor cantidad de estos segmentos pase por tres puntos, pues, por cuatro puntos o más no pueden pasar ninguno de dichos segmentos.

He aquí una secuencia de segmentos que pasan por varios puntos y que, gradualmente, nos conduce a la solución,

u otras secuencias análogas


Resulta B = A

Para determinar los elementos de B se procede con cada uno de los elementos de A (8 casos).

Por ejemplo:

n=4=n3-n=43-4=60=6 .10 ydemanera análoga con los otros elementos de A.

2. a) Distinguimos tres casos según que x sea nulo, positivo o negativo:

/ x = o = 1 - x = o - , ~ - x ~ = ~ x ~ = ( o ~ = o

x \

x ~ O ~ - x ~ O = , ~ - x ~ = - ( - x ) = x = ~ x ~ .

x < O ~ - x ~ o ~ ~ - x ~ = - x = ~ x ~ .

En lo anterior aplicamos la definición de valor absoluto de un número real:

101 = O; la1 = a si a es positivo; la1 = - a si a es negativo.

En cualquiera de los tres casos del diagrama precedente demostramos que 1-xl = 1x1.

b) Como p es un número impar mayor que 2, entonces p se puede escribir en la forma

p = 2 n + 1 con n l l .

De aquí distinguimos dos casos según que n sea par o impar:

/ Si n = 2m, entonces p = 4m + 1 con m > 0.

p = 2 n + 1

\s i n=2m+i,entoncesp=4m+3 con m > O.

Debido a la segunda ecuación del sistema, 2xy = -y, distinguimos dos casos según que y sea o no nulo.

Caso 1: y = O.

El sistema es

2 X = x

es decir, la única ecuación x2 = X.

2 x 2 = x - x - x = o s

x ( x - l ) = O * x = 0 , x = l .

Por lo tanto hay dos soluciones del sistema:

x = o , y = o x = l . y = o .

Caso 2: y # O.

En la ecuación 2 x y = - y se puede simplificar

1 por y, resultandc 2 x = - 1, luego x = - -

2

Al sustituir este valor en la ecuación del sistema, obtenemos

Observemos que os productos cartesianos X x y 9 y x ti nen ei mismo número de elementos 2 x 4 = 4 x 2 = 8 . t

hasta T, hasta U, hasta V.

diagrama de Albol que muesta viajar desde S

6. a) y b) Designemos por C si sale cara y por S si sale sello al arrojar la moneda. Tal como se hizo en el ejemplo No 2 de 1.2.5, se puede construir un diagrama de árbol con las primeras cinco jugadas.

En el diagrama de árbol que hicistes, cada vez que hay C se coloca dos y cada vez que hay S se coloca uno y se van sumando esos números. De esa forma se obtiene el siguiente diagrama de árbol en donde, por ejemplo, el 6 que figura en la tercera jugada, coresponde al CCC(2+2+2=6).

En este diagrama se puede contar que: en una o dos jugadas no se obtiene la suma 6; en tres jugadas se obtiene una vez el 6; en cuatro jugadas se obiene seis veces el 6 y, en cinco jugadas se obtiene cinco veces el 6.

c) Si A comienza el juego colocándose en 1, entonces B debe sumar 2 y colocarse en

3 para que en la próxima jugada de A, quien tiene opción de colocarse en 4 ó 5, siga B y gane. Esta estrategia la indicamos con flechas y con las respectivas letras A y B.

e Si A comienza el juego colocándose en 2, entonces B debe sumar 1 y colocarse en 3 para que en la próxima jugada de A. quien tiene opción de colocarse eti 4 ó 5, siga B y gane. Esta estrategia la indicamos mediante flechas con doble punta y con las respectivas letras @ y @.

Puedes practicar resolviendo la siguiente pregunta:

'Cuál es la estrategia que debe seguirel jugador A para ganar el juego, sobre la hipótesis de que gana quien primero llegue a 7?

Ejercicios propuestos 2.1

1. Es análogo a los diagramas de barras verticales que hicimos en 2.2.1.

2. a) r = 14516735 - 10721522 =379521,3 hablaiio. 10

N, = 10721522 + 379521,3 m con m t O.

N(t) = 10721522 + 379521,3 t con t t O.

es decir, el 3,54% anual.

N, = 10721522 (1 ,0354)m con m 2 O

N(t) = 10721522 (1,0354)' con t 2 0.

c) Cálculo de N (1990) = Nis:

NiD= 10721522t b (379521 $)x19=17932427 habitantes

Error porcentual = 0,95%.

Nq9= 10721522 (1,0354f9=20764023 habinteb

Error porcentual = 14,68%.

3. a)

c) Unaformd de estimar la población para el ano 1863 ser18 la de prolongar el griifico anterior hacia la izquierda y la ordenada del punto M, que es, aproximadamente 1400000 da el número de habitantes en ese ano.

O, donde Y = Ln N,

gráfica es una

+ Y = LnN

Tambibn puede utilizar iogantmos decimales. 1 6. a) En el primer i 1 tervalo de tiempo At se tiene:

En el segundo intewalode tiempo2At se tiene

N (t + 2At) - N (t + At) = R ~ ,

N (t + At) At

de donde

N (t + 2At) = (1 + Ro At) N (t + At) = (1 + Ro At) (1 + Ro At) N (t) =

= (1 + Ro ~ t ) ~ N (t),

y asi sucesivamente obtenemos

N (t + 3At) = (1 + Ro ~ t ) ~ N (t)

N (t + m At) = (1 + Ro ~ t ) ~ N (t)

Luego, si hacemos

t = to y N (to) = No, se tiene

b) Si N (t) = No eam, se tiene

No eam = No (1 + ROA^)^, simplificando por No

ea"' = (1 + Ro At)"'

y al tomar logaritmos neperianos y simplificar por m obtenemos

a = L n ( l +RoAt).

se trata de una progresión geométrica con primer término No y razón q = 1,02. De aquí se obtiene

El ano 1994 corresponde a

m = 1994 - 1961 = 33, por lo tanto

cometiéndose un error porcentual, por exceso, en relación con 5670x106, igual a:

b) Ahora tenemos:

No = N (1 984) = 4700 x 1 06,

Nm=Nm.l +(1,7%deNm.,)= 1,017N,1

luego

N, = No (1,017)~ = 4700 x 10' (1,017)~

Como 1994 - 1984 = 10, se tiene

cometiendose un error porcentual por defecto, en relación con 5670x106, igual a:

( 5 6 7 ~ -5563)x106 100 m 1,89%,

5670x10~

Para el ano 2000 estimamos la población humana en:

N (2000) = NI6 = 4700x10~ (1,017) '~ 6155x10~ habitantes.

a) Caso del interés simple

Denotemos por 1, el inter6s simple al cabo de m anos y por Cm el capital obtenido.

por lo tanto, se trata de una progresión aritmética con primer termino CO y razón

r c o -. 1 O0

Luego,

- r Co m, siendo 1, - - 1 o0

m Caso del interés compuesto.

resulta I

i consideramos una tasa anual k periodos anuales (km2 k=12 mensualmente),

r derar la tasa i = - % para el

k

9. Procediendo la "marcha atras" resulta que XBFIY es el

a costo, siendo 23x100 Para obtenerlo

0bsemación:Si hubikramos probado con todos los caminos posibles que hay desdeX hasta Y (1 3 caminos en total; haz un diagrama de árbol) se necesitarian efectuar 3 x 13 = 39 sumas.

10. La más sencilla es I

B

a + b = b + a

y los caminos XAY y XBY.

El punto de equilibrio E' (q, PO), obtenidocomo la solución del sistema

b) Demanda máxima 6, Demanda minima O.

c) Oferta máxima 9, Oferta minima 3.

resolviendo el sistema se encuentra I

I es tal que Q',< Q,, P', > Po, pues Q', = - y 2

Asi, aumentó el precio de equilibrio.

Observemos que la gráfica de Q - 2P + 1 = 0,

Q 1 es decir, P = - + -, es la desplazada "hacia 2 2

arriba", en una unidad, de la gráfica de Q - 2 P - 1 =O,

Q 1 es decir de P = - - -, ya que 2 2

Denotemos por d y T, respectivamente, las variables distancia media al Sol y periodo de revolución de los planetas. Estas son las variablesque intervienen y queremos deteminar una relación F(d,T) = O entre d y T o alguna función T = f(d) o bien d = g(T).

a) Podemos representar en un sistema de coordenadas (d,T) o (T,d) los puntos dados por la "tabla de estadísticas sobre el sistema solar"

Asl, tenemos los dos grAficos siguientes donde los puntos en cuestión se han unido con una curva continua. Los puntos correspondientes a los planetas Mercurio, Venus, La Tierra y Marte, son muy próximos al origen debido a las escaladas tomadas sobre los ejes y por ello los marcarnoscomosi fueran un Únicopuntognieco.

sstumO 30L d gfio8 Venus, l i ~ ~ ~ O 40 80 (en mllesde mmanes de Kms )

LB Tierra. Mane

10 (mm) en el eje de abscisas representa 1000 x 10' Km.

i0 (mm) en el eje de ordenados representa 1000 dias.

d (en miles de ' mlllones de Kms )

eptuno

30

/'-

Mercurio, 10 30 60 90 (en mllesde Venus. dles) La Tierra.

Observando esos gráficos, podemos decir que la relación entre las variables T,d no es lineal.

Observando la primera gráfica podríamos pensar que T como función de d es alguna de estos dos formas

T = k da (potencia) d = A eT (exponencial)

donde k>O, a >O, A > O son constantes que necesitariamos determinar.

b) Para determinar cuál es la relación entre T y d, podemos intentar con un papel logarltmico para ver si la gráfica obtenida es una recta y, por lo tanto, la relación entre T y d sería de la forma T = k da.

Calculemos Ln T y Ln d con los datos de la tabla dada (redondeamos los logaritmos con dos decimales).

Si no dispo emos de un papel logaritmico simplemen consideramos en un papel milimetrado, referiblemente, esos logaritmos sobre los ej de coordenadas: t

imprecisibn en el dibujo, la

sa recta y b la ordenada en stos números pueden ráficamente (con cierta dibujo) o bien encontrando a recta que pasa por dos

luego, la dcuación de la recta es

Al sustituir X e Y por X = Ln d, Y = Ln T respectivamente, resulta

y como 1,6912- Ln (5,425987986) = Ln (5,43), es decir,

de donde

La pendiente a = 1,52, de la recta, da el exponente en la función T = k da.

3 e El valor exacto de a es 1,50 = - 2

Nuestro error se deba a los redondeos realizados con los logaritmos y los cálculos.

Así, un valor más preciso es:

En consecuencia, la función T = f(d) es

T = k d3I2

o bien

que constituye la tercera ley de Kepler: "Los cuadrados de los períodos de revolución alrededor del Sol, de los distintos planetas, son proporcionales a sus distancias medias a; Sol". (Kepler 1618). Esta ley encontrada experimentalmente por Kepler fue deducida matemáticamente por Newton, sesenta anos después, mediante la ley de la gravitación. La teoría de Newton acerca del movimiento de los planetas fue uno de los primeros modelos modernos.

r I Ejercicios propuestos 2.2

1. Los pasos los indicamos con la numeración dada en el diagrama de flujo:

l 1. Setrata deestudiarla forma como varía la presión atmosférica.

2. La información disponible es los datos suministrados por la tabla de presiones versus altitudes, desde O Km hasta 30 Km. (modelo experimen- tal) o bien el conocimiento que tenemos de las leyes y conceptos de la mecánica (modelo teó- rico). Seleccionamos como variables la presión atmosférica p y la altitud h sobre el nivel del mar.

I 3. No consideramos otros factores que influyen en el cálculo de p, como es la temperatura.

4. Buscamos determinar p = I, (h) mediante varios procedimientos:

l a) Gráficamente: diversos tipos de gráficas.

b)Utilizando la tasa media de variación por unidad de altitud y por unidad de presión

a la que llegamos por un razonamiento basado en conceptos y leyes de la mecánica.

5. a')Se hicieron diversos gráficos, entre ellos uno con escala logarítmica log p que permitió determinar p:

I o bien

( b') Utilizando la tara geométrica

*P 9 - = -- p Ah k

determinamos

9 p(fl Ah) = (1 - - ~ h ) ~ po , k

I Elegimos Ah = 200 m

@ y @~plicamos las fórmulas encontradas en 5-a' y 5-b' a los fines de calcular p y comparar con los datos suministrados por la

tabla de valores dada inicialmente y hacer otros cálculos. ay @ ~ a ~ algunas discrepancias al comparar con la tabla obtenida experimentalmente. Hay otros modelos matemáticos que no estudiaremos. Sin embargo, lo encontradoen

@es satisfactorio en una primera aproximación.

2. Lo primero que hacemos es ordenarla tabla en el sentido de altitudes crecientes. Luego, calculamos p(h) utilizando la fórmula [12]

p = 1 , 0 1 3 ~ 1 0 ~ e- 0,152 h

para lo cual debemos expresar h en kilómetros:

Capital h (en Km) px I D 5 p (%de 00)

Caracas 0,9144 0,882 a?,? México 2.240 0,721 71.2

Bogotá 2,640 0,678 66.9

Quito 2,819 0,660 65,2

La Paz ' 3.400 0,604 59,6

Al pasar de Caracas a La Paz la presión atmosférica disminuye en

(87.1 - 59,6) % de po = 27.5% de po

por lo que el cuerpo humano necesita un periodo de adaptación a la presión a la altitud h = 3,4 Km.

3. a) Es un gráfico análogo al de la exponencial decreciente dibujado en 2.3.3 y deducido de la tabla siguiente:

h (Km) ~ ~ 1 0 " P (% de PO)

O p0 = 1,013 1 O0

0.1 0,996 98,3

0.2 0,998 97,5

0.5 0,950 93,8

1 0.899 88,7

1.5 0.828 81,7

2 0.768 75,8

5 0.540 53,3

9 0,326 32.2

1 10 0,264 26.1

20 0.055 5 4

30 0.012 1.2

' 46

4 r h d. P,)

1W

75

O

25

h

1 1 A io 0 'a k 12R

b ) Basta con cal ;ular Ln p en la tabla anterior y construir el ráfico considerando dichos logaritmos st bre el eje de ordenadas. Es análogo al g áfico dado en 2.3!3 donde trabajamos cqn logaritmos decimales log p.

4. Utilizamos la fór ula [12]

-0,152h = P - P O e

1,Ol IX l o 5 e-0,152h 1

con h = - 400 4 = - 0,4 Km (h en kilómetros),

resulta

p (- 0,4 ) 1; 1,077 x 105 Pa > po C 5. pV = a, a cons nte, V volumen ocupado por el

m

a m

de p = k P con k = - - a

Procedemos mo en el No 6-a de los ejercicios propuestos 2 t

altitud

1!= - 9 K

.Ah se tiene

~ ( h )

En el segundo intervalo de altitud 2Ah se tiene 1

luego

9 P (h + 2Ah) = (1 --Ah) p (h + ~ h ) = k

(1 - $ ~ h ) ~ p (h)

Y asi sucesivamente obtenemos l

Si hacemos h = ho = O obtenemos

P (n ~ h ) = (I - ~ h ) ~ po. K

En particular, para ah = 200 resulta l 200 g p (200 n) = (1 - -

K )" Po.

a) Gráficamente ilustramos con el siguiente esquema el enunciado:

130 ton.

donde B es el centro de consumo, ton significa toneladas, x es la cantidad de toneladas que se deben enviar a B desde A,, y es la cantidad de toneladas que se deben enviar a B desde A2.

Sea f el flete total (costo). Se tiene

f = 1000 x + 1500 y (en bolívares)

Debemos encontrar los valores de x e y que hacen minimo el flete f. Las variables x e y satisfacen ciertas condiciones:

Como el pedido de mercancia que hace B es de 130 ton, entonces

Como en A 1 (resp. en A2) hay almacenadas 100 ton (resp. 200 ton), entonces

En consecuencia se tienen las siguientes condiciones (de "ligadura"):

El problema matemático consiste en encontrar 10s Puntos (x, Y) del segmento AB tales que la función f = 1000 x + 1500 y tome un valor mínimo.

Notas:

En cursos posteriores aprenderás a resolver este problema. Hay una única solución dada por x = 100 , y = 30 (las coordenadas del punto A), esto es, se deben enviar 100 ton desde el almacén Al y 30 ton desde el almacén A2, para obtener el minimo costo

Identifica los pasos indicados en el diagrama de flujo dado para la "construccijn de un modelo matemático". en el sentidg general Con al az3 ci, c2 Y b, en lugar de 100, 200, 100031500 y 130, respectivamente.

satisfacen las condiciones de "ligadura"):

ser realizado

Gráficamente seliene:

los puntos del segdento AB tales que

tome un valor nimo. .li Nota:

a resolver este problema que x = 120, y = 78 (el operador

horas y el de i2 trabaja 78 mlnimo igual a

Se trata de ncontrar los valores de x e y que hacen mini o la función de costo C dada por f = a, x + a2 y,

sometidas a (coridiciones de

La solución se puede encontrar gráficamente. I c) En el modelo en general el problema matemá-

tico que se plantea es el siguiente:

Se trata de encontrar los valores de xi, x2, ..., x, que hacen minimo la función de costo C dada por

C = a l x l + a2 x2 +...+ a, x,, I donde las variables xj, x2, ..., x, satisfacen las restricciones siguientes:

9. Identificamos con números encerrados en circulos los pasos indicados en el diagrama de flujo para la "construcción de modelos matemáticos".

@Se trata de encontrar ciertas cantidades (óptimas) en la fabricación de dos productos en una empresa que dispone de dos máquinas.

@La información disponible y las variables que intervienen las damos en el siguiente cuadro:

donde x (resp.y) es el número de kilogramos de producto P1 fabricados (resp. de producto P2).

a

@ y @Se supone lo siguiente en cuanto a la producción: el tiempo de utilización de las máquinas es proporcional a la cantidad de producto fabricado (hipótesis de linealidad). Por lo tanto:

- Para fabricar x kg de P1 es necesario:

Tll x horas de utilización de la máquina M1. Tq2 x horas de utilización de la máquina Mi.

Beneficio por

Kilogramo (Bslkg)

b l

b 2

- Para fabricar y kg de P2 es necesario: T 2 ~ y horas de utilización de la máquina M,. TZ2 y horas de utilización de la máquina MI.

Total. TI haas

Luego, en total, la fabricación de x kg de Pi y de y kg de P2 requiere

Total: T i horas

Ti1 x + TZI y horas de utilización de M,. Tt2 x + T22 y horas de utilización de M2.

Kilogramos fabricados

(Total)

x

Y

Tiempo de uso por Kilogramo

(horaslkg)

Por lo tanto

M 1

Ti i

Tzi

pues T, (resp. T2) es el tiempo máximo de utilización de la máquina MI (resp. M, ).

M 2

Ti2

T 22

Además de esas dos inecuaciones se tiene x 2 O, y 2 O ya que x e y son cantidades de kilogramos.

Otra suposición es acerca de la linealidad del beneficioobtenidoquese supone es proporcional a la cantidad de producto fabricado. Luego, con un razonamiento análogo al anterior resulta que el beneficio total (en 6s.) es

En consecuencia, el problema matemático planteado en este modelo consiste en determinar x e y de tal forma que el beneficio obtenido

sea máximo, donde las variables xe y satisfacen las siguientes condiciones:

@Gráficamente se puede obtener la solución representando las rectas de ecuaciones:

Esto lo estudiarás en cursos posteriores.

@ y @se pueden hacer comprobaciones y aplicarlo a situaciones con datos especificas dados.

@ Es icn modelo adecuado bajo las suposiciones de linealidad que hicimos.

149

GLOSARIO

AXIOMA: Son las afirmaciones que se aceptan sin ser demostradas

CADA: Las expresiones "para cada", "para cualquier" y "para todo" tienen ei mismo significado. Ellas quieren decir "para todas las elecciones de la variable involucrada".

CONJETURA. Presunción fundada en posibilidades; enunciado que se piensa es verdadero pero del que no existe ni prueba ni, refutación. ES una suposición basada en la experiencia, en resultados particulares o en otra fuente de conocimiento.

CONTRAEJEMPLO: si queremos refutar un enunciado referido a los elementos de un conjunto X basta encontrar un elemento particular de X para el cual falla el enunciado. Ese elemento particular constituye el contraejemplo al enunciado.

COROLARK): Desde el punto de vista conceptual, un corolario es un teorema. En la práctica se refiere a alguna consecuencia fácil de demostrar a partir de algún teorema.

DEMANDA: La cantidad que los consumidores de un bien o servicio estarian dispuestos a comprar a los precios del mercado.

DEMOSTRACIÓN (PRUEBA): Razonamiento mediante el cual se establece la verdad de un enunciado matemático apoyándose en premisas admitidas como verdaderas y en otros enunciados ya demostrados. Es la deducción o razonamiento lógico que se hace a los fines de que a partir de la hipótesis y de los resultados conocidos (axiomas, definiciones u otros teoremas) se pueda concluir con la tesis.

DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN O POR REDucCIÓN AL ABSURDO: Es el tipo de demostración donde se niega la tesis y se llega, mediante una sucesión finita de pasos, a la falsedad de la hipótesis (contradicción con la hipótesis) o alguna contradicción o absurdo con algo previamente conocido.

DENSIDAD MEDIA: La densidad media p de una sustancia es el cociente de la masa m entre el volumen V de la misma, es decir p = mlV. p expresa la masa por unidad de volumen.

EXISTE: Las expresiones "para algún", "para el menos uno", "existe un", "existe algún", tienen el mismo sign~ficado.

FALACIA (SOFISMA): La entendemos con el significado de: mediante un razonamiento falso, aparentemente verdadero, se obtiene una conclusión falsa proveniente de un error en el razonamiento, el cual a veces no es fácil detectar, aue ~ ~ e d e no ser inmediato de percibir

HIP~TESIS (PREMISA): Lo que se supone que se verifica. Es una de las componentes (partes) de los teoremas. Se dice que la hipótesis implica la tesis o que la tesis es consecuencia de la hipótesis.

INTERÉS: Es la ganancia obtenida sobre el capital invertido. El interés simple al cabo de m años es el obtenido como ganancia sobre el capital inicial colocado a una cierta tasa de interés del r% anual.

En rc además de permitimos

tlación con la bibliografia complementaria para estudiar otros pdntos de vista y ejercicios resueltos, hacer ejercicios propuestos concernientes a los contenidos desarrollados en este Módulo, nos indicar los cuatro títulos siguientes:

KRICK, Edward V., Fundamentos de Ingenieria. MBtodos, Conceptos y Resultados, Editorial Limusa, México, Edición de 1979 (4= reimpresión, 1991).

Especificamente el capitulo 9 que trata de los modelos (pp. 169-186) y el capitulo 10 quetrata de la elaboración de modelos (pp. 199-217). Este es un libro de introducción al estudio de la ingeniería, en sus diversasfacetas, que también se refiere a los profesionales de ésta, los ingenieros.

MAZA ZAVALA, Domingo F. & GONZALEZ, Antonio J., Tratado Moderno de~conornia, Editorial Panapo, Caracas, 1992.

Se sugiere, para los que quieran profundizarlo relacionado con la oferta y la demanda en sus aspectos económicos, el capitulo 7 (AnáIisis.de la oferta y la demanda; pp. 115-123,137-142) y el capítulo 8 (Determinación del precio de equilibrio; pp. 145-169).

THE OPEN UNIVERSITY, Mathematics FoundatiOn Course, Block V: Mathematical Modelling, Unit 1, "Relationsfrom data: Inglaterra, Edición de 1986 (Reimpresión 1990). Aquí encuentras algunos de los modelos estudiados en la Unidad 2, oros modelos que no hemos estudiado, un diagrama de flujo para la const~cción de modelos (pág. 31) y diversos ejercicios propuestos con sus respectivas soluciones al final.

THE OPEN UNIVERSITY, Mathematics Foundation Course, Block VI: MathematicalStructures, Unit3, "Proof", Inglaterra, Edición de 1986 (Reimpresión 1989). Excepto algunos ejemplos y ejercicios propuestos que es necesario omitir por no disponer de los requisitos, como los referidos a las matrices, se recomiendan las páginas 3 hasta 15 (parágrafos 3.0 y 3.1). Es útil para complementar la Unidad 1.

Absurdo, demostracióri por reducción al, 34.36 Ajustes (Ajustando), 102, 107 Algoritmo del camino inverso o de la marcha atrás. 78 Arbol, diagrama de, 52 Aristarco de Samos, 95 Atmósfera. 104 Atmosférica, presión, 104, 108, 152 Axioma, 31, 151

Camino más corto entre dos ciudades, 76 Causa, 56 Colores. problema de los cuatro, 53,62 Computadora, demostración por, 53 Conjetura, 24,27

de Goldbach, 27, 40 de los números perfectos, 40

Contradicción demostración por, 25,36

Contraejemplo, 39. 151 Copérnico, Nicolás, 95 Corolario, 29,31, 151 Crecimiento

exponencial, 71, 100 lineal, 67, 85, 100

Cuantificadores, 32

Deducción, proceso de, 31,34 Definiciones, 24 Demanda,

curva de la, 83 ecuación de la, 83 ley de la, 84 modelo lineal de la, 85

Demostración directa, 24, 29 - 31, 34 - 36 por agotamiento o exhaución de casos, 51 por computadoras, 53 por contradicción o reducción al absurdo, 36,151

Densidad media, 103, 107, 151 Dinámica

de poblaciones, 63 de la población mundial, 89

Doble implicacibn, 39

Equivalentes (si y sólo), 38 Equilibrio, 87

cantidad de, 87 precio de, 87 punto de, 87

Euclides, 23, 42 Existe, 32, 151 Extrapolación, 101

Galileo, Galilei, 95 Goldbach, conjetura de, 27,40 Grafo, 5464

Hipótesis (premisa), 30.151

Interés compuesto, 89, 151 simple, 89, 152

Interpolación, 101 Intuición (es)

gebmetrica (S), 42 Intuitivo, 43

Jordan, teorema de, 48

Kepler, Johannes, 90 Krick, Edward V., 93

Lema, 29, 31, 152 Ley (es)

de Boyle-Mariotte, 109 de Kepler, 90 de la demanda, 84 de la oferta, 84

Maltusianismo, 93, 114 Método (S)

de bisección, 43 de demostración, 34

Modelo (S) construcción de un, 62.92,96, de crecimiento de poblaciones de la oferta y la demanda, 81 - del camino más corto entre dos de la presión atmosférica, 103 de Kepler, 90 de Malthus, 93, 114,70 diagrama de flujo de un, 92,97 lineal, 68 - 67, 98, 93 exponencial, 69,98 matemático, 92 - 96, 151, 61

Nube de puntos, 101 Números

perfectos, 27,40 primos. 23, 152

Oferta, curva de la, 83 ecuación de la, 83 ley de la, 84 modelo lineal de la. 85

152 ;, 64,61 87, 93,61

r ciudades, 76,151

Falacia, 47, 151

Perfecto, número, 40 Presión, 104 - 108, 152 Primo,número, 23,152 Probabilidad, 42 Programación Lineal, 112

aritmética, 62, 152, 99 geométrica, 62, 152,99

Prueba (ver demostración). 24,29 - 31, Ptolomeo (Tolomeo), Claudio, 94

Raices de un polinomio, 23 Razonamiento lógico, 30 Reciprocamente, 38 Reciproco, 152.38 Relación de causalidad (relación de cau

Si ... Entonces, 32 Sistema Internacional de Medidas (SI)

Sofisma (ver falacia), 47, 151

aritmética, 47, 109 geométrica, 47, 109

componentes o partes de un, 29 de Jordan, 48 reciproco, 37

Tesis (conclusión), 30. 152

sa a efecto)

,103

Este libro se termino de inipfinill durante el mes delunlo del 2006 en las prensas venezolanas de Publicaciones Monfort. c a

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Matematica i Modulo IV (177)