Matematica III Medio - Zig-Zag - Unidad 3

Si bien es cierto que el teorema era utilizado por los chinos y los babilonios mil aos antes, estas culturas solo haban logrado establecer la relacin que verifi caban los lados de los tringulos rectngulos en los cuales la ensa-yaban, pero no saban que se trataba de una propiedad general de todo tringulo rectn-gulo. En este caso, la grandeza de Pitgoras radica en que lo demostr como un hecho de validez universal.Dado que el teorema de Pitgoras nos propor-ciona una relacin que es vlida para todos los tringulos rectngulos, se constituye por ello en la defi nicin del ngulo recto. A su vez, el ngulo recto defi ne la perpendicular y la per-pendicular defi ne las tres dimensiones (largo, ancho y alto) del espacio en el cual vivimos. Prolongando esta lnea de razonamiento, pue-de afi rmarse que la Matemtica defi ne, a travs del tringulo rectngulo, la estructura ntima de nuestro mundo tridimensional.

En una primera percepcin, no puede ser sino sorprendente, que el legado intelectual de pen-sadores que vivieron hace decenas de siglos, como Euclides, Pitgoras de Samos y Tales de Mileto, siga an vigente. Pero si se analiza con algo ms de cuidado, las razones para que ello acontezca, son desbordantes.En el caso de Pitgoras, aunque la historia de su vida est plagada de misterio, lo que s parece ser una certeza, es que hace ms de 2.500 aos fue el responsable de la primera edad de oro de la Matemtica. Cre una her-mandad secreta, en la que se estableci un culto por la Matemtica, en particular por los nmeros. Tal era la lealtad que le deban a la hermandad, que los miembros de la escuela estaban comprometidos, bajo juramento, a no divulgar al mundo exterior sus descubrimientos matemticos. Los aportes de Pitgoras a la comprensin del mundo fsico y del mundo abstracto fue amplia y profunda, pero es fundamentalmente gracias al teorema que lleva su nombre por lo cual ha alcanzado su fama.

Si bien es cierto que el teorema era utilizado por los chinos y los babilonios mil aos antes,

Ms sobretringulos

rectngulosestas culturas solo haban logrado establecer la relacin que verifi caban los lados de los tringulos rectngulos en los cuales la ensa-yaban, pero no saban que se trataba de una


Ms sobretringulos

rectngulos

3U n i d a d

132propiedad general de todo tringulo rectn-gulo. En este caso, la grandeza de Pitgoras radica en que lo demostr como un hecho de validez universal.Dado que el teorema de Pitgoras nos propor-ciona una relacin que es vlida para todos los tringulos rectngulos, se constituye por ello en la defi nicin del ngulo recto. A su vez, el ngulo recto defi ne la perpendicular y la per-pendicular defi ne las tres dimensiones (largo, ancho y alto) del espacio en el cual vivimos. Prolongando esta lnea de razonamiento, pue-de afi rmarse que la Matemtica defi ne, a travs del tringulo rectngulo, la estructura ntima de nuestro mundo tridimensional.

acontezca, son desbordantes.En el caso de Pitgoras, aunque la historia de su vida est plagada de misterio, lo que s parece ser una certeza, es que hace ms de 2.500 aos fue el responsable de la primera edad de oro de la Matemtica. Cre una her-mandad secreta, en la que se estableci un culto por la Matemtica, en particular por los nmeros. Tal era la lealtad que le deban a la hermandad, que los miembros de la escuela estaban comprometidos, bajo juramento, a no divulgar al mundo exterior sus descubrimientos matemticos. Los aportes de Pitgoras a la comprensin del mundo fsico y del mundo abstracto fue amplia y profunda, pero es fundamentalmente gracias al teorema que lleva su nombre por lo cual ha alcanzado su fama.

estas culturas solo haban logrado establecer la relacin que verifi caban los lados de los tringulos rectngulos en los cuales la ensa-yaban, pero no saban que se trataba de una

sadores que vivieron hace decenas de siglos, como Euclides, Pitgoras de Samos y Tales de Mileto, siga an vigente. Pero si se analiza con algo ms de cuidado, las razones para que ello


En una primera percepcin, no puede ser sino sorprendente, que el legado intelectual de pen-

Ms sobretringulos

rectngulos

Ms sobretringulos

333U n i d a d

132

C o n t e n i d o s d e l a U n i d a d

Medicin de ngulos

Unidades de medida de ngulos Tringulos rectngulos El teorema de Pitgoras El teorema de Fermat Semejanza de tringulos

Tringulos rectngulosy trigonometra

La trigonometra como geometra de clculo Qu se puede hacer con la trigonometra? Razones trigonomtricas y funciones trigonomtricas Las funciones trigonomtricas de ciertos ngulos

especiales Funciones trigonomtricas inversas El crculo unitario Funciones trigonomtricas del complemento de

un ngulo

A p r e n d i z a j e s e s p e r a d o s

Reconocers que las razones trigonomtricas son cuocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de tringulos rectngulos semejantes.

Hars conjeturas sobre propiedades geom-tricas en tringulos rectngulos semejantes y las demostrars utilizando diversos recursos argumentativos.

Resolvers problemas que involucran propie-dades de tringulos rectngulos; analizars las soluciones que se obtienen y su pertinencia.

Reconocers el sentido y la necesidad de la demostracin en Matemtica y, en particular, conocers la historia del teorema de Fermat-Wiles y los tros pitagricos.

C o n t e n i d o s d e l a U n i d a d


La trigonometra como geometra de clculo Qu se puede hacer con la trigonometra? Razones trigonomtricas y funciones trigonomtricas Las funciones trigonomtricas de ciertos ngulos

especiales Funciones trigonomtricas inversas El crculo unitario Funciones trigonomtricas del complemento de

un ngulo

A p r e n d i z a j e s e s p e r a d o s

Reconocers que las razones trigonomtricas son cuocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de tringulos rectngulos

Hars conjeturas sobre propiedades geom-tricas en tringulos rectngulos semejantes y las demostrars utilizando diversos recursos

Resolvers problemas que involucran propie-dades de tringulos rectngulos; analizars las soluciones que se obtienen y su pertinencia.

Reconocers el sentido y la necesidad de la demostracin en Matemtica y, en particular, conocers la historia del teorema de Fermat-Wiles y los tros pitagricos.

133

Medicin de ngulos

El concepto de ngulo es central en Geometra y con frecuencia se utilizan los conceptos de igual-dad, suma y diferencia de ngulos.Trataremos con cierto detalle los dos sistemas de medicin de ngulos de uso ms frecuente: los grados sexagesimales y los radianes.

Grados sexagesimalesEl sistema de medicin ms familiar es el de los grados sexagesimales, y por tal razn les llama-mos simplemente grados (aunque tambin existen los grados centesimales).Su defi nicin operacional, en contraste con lo que podra ser una defi nicin conceptual, consiste en dividir un crculo mediante sucesivos radios, en 360 partes iguales (a modo de delgados trozos de pizza). Cada uno de esos sectores circulares subtiende, por defi nicin, un ngulo de 1 grado sexagesimal, que denotamos como 1.

Unidades de medida de ngulosPor el momento, solo consideraremos ngulos en-tre 0 y 360, aunque en las secciones dedicadas a funciones trigonomtricas, usaremos ngulos mayores que 360 y tambin ngulos negativos.

Minutos y segundosLos grados pueden a su vez subdividirse en minu-tos y los minutos en segundos. Cada vez es ms inusual esta subdivisin y la tendencia actual es a usar grados y fracciones decimales de ellos.En todo caso, vale la pena tener presente que las equivalencias estn dadas por:

1 grado = 60 minutos1 minuto = 60 segundos

En notacin simblica:

1 = 601 = 60

Entonces, a modo de ejemplo, un ngulo podra medir 8 grados con 24 minutos y 32 segundos, lo que se acostumbra a escribir simblicamente como: 82432.Sin embargo, como decamos, es cada vez ms universal trabajar con grados y dcimas, centsimas, milsimas, etc. de grado, de tal manera que 930 en notacin tradicional, hoy se escribira 9,5.Como 1 = 60 y 1 = 60, entonces:

1 = ( 160 )

1 = ( 160 ) = ( 13.600 )Entonces, lo que llamamos ngulo recto, es decir, el ngulo subtendido por un sector circular de un cuarto del crculo, mide 90 (la cuarta parte de 360).

1 Tamao normalAmpliacin

90

134

Medicin de ngulos

El concepto de ngulo es central en Geometra y con frecuencia se utilizan los conceptos de igual-dad, suma y diferencia de ngulos.Trataremos con cierto detalle los dos sistemas de medicin de ngulos de uso ms frecuente: los grados sexagesimales y los radianes.

Grados sexagesimalesEl sistema de medicin ms familiar es el de los grados sexagesimales, y por tal razn les llama-mos simplemente grados (aunque tambin existen los grados centesimales).los grados centesimales).Su defi nicin operacional, en contraste con lo que podra ser una defi nicin conceptual, consiste en dividir un crculo mediante sucesivos radios, en 360 partes iguales (a modo de delgados trozos de pizza). Cada uno de esos sectores circulares subtiende, por defi nicin, un ngulo de 1 grado sexagesimal, que denotamos como 1.

Unidades de medida de ngulosUnidades de medida de ngulosPor el momento, solo consideraremos ngulos en-tre 0a funciones trigonomtricas, usaremos ngulos mayores que

Minutos y segundosLos grados pueden a su vez subdividirse en minu-tos y los minutos en segundos. Cada vez es ms inusual esta subdivisin y la tendencia actual es a usar grados y fracciones decimales de ellos.En todo caso, vale la pena tener presente que las equivalencias estn dadas por:

En notacin simblica:

Entonces, a modo de ejemplo, un ngulo podra medir lo que se acostumbra a escribir simblicamente como: Sin embargo, como decamos, es cada vez ms universal trabajar con grados y dcimas, centsimas, milsimas, etc. de grado, de tal manera que se escribira Como

Entonces, lo que llamamos ngulo recto, es decir, el ngulo subtendido por un sector circular de un cuarto del crculo, mide 90 (la cuarta parte de 360).

1 Tamao normalAmpliacin

90

134

Medicin de ngulosE j e r c i c i o s r e s u e l t o s

1. Expresa en grados, minutos y segundos:

a) 14,8 b) 45,9 c) 121,28 d) 2,533

Solucina) Como 1 = 60, entonces 0,8 = 0,8 60 = 48 14,8 = 1448b) 0,9 = 0,9 60 = 54 45,9 = 4554c) 121,28 = 121 + 0,28 60 = 121 + 16,8 = 121 + 16 + 0,8 60 = 121 + 16 + 48 121,28 = 1211648d) 2,533 = 2 + 0,533 60 = 2 + 31,98 = 2 + 31 + 0,98 60 = 2 + 31 + 58,8 = 23158,8

2. Expresa en grados:

a) 30820 b) 14233 c) 23642 d) 571421,3

Solucina) Como 1 = 60 1 = ( 160 ) 20 = 20 ( 160 ), entonces 20 = ( 13 ) = 0,3 30820 = 308,3

b) Como 1 = 60 33 = ( 3360 ) = 0,55 14233 = 142,55.c) Como 1 = ( 160 ) 6 = ( 660 )= ( 110 )= 0,1.

1 = ( 160 ) = ( 13.600 ) 42 = ( 423.600 ) = 0,01016 23642 = 23,11016d) 571421,3 = 57 + 14 + 21,3

14 = ( 1460 )= 0,23 21,3 = ( 21,33.600 )= 0,005916Entonces, 571421,3 = 57 + 0,23 + 0,005916 = 57,23925

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s

1. Escribe en grados (con sus respectivas cifras decimales) los siguientes valores de ngulos dados en grados, minutos y segundos:a) 222222 b) 463959 c) 782335,28 d) 3712

2. Transforma a grados, minutos y segundos los valores de los siguientes ngulos expresados en grados:a) 44,5 b) 44,55c) 44,5 d) 44,05

3. Calcula en grados, minutos y segundos el ngulo que forman las manecillas del reloj a las 12:15. Cuidado!, el resultado no es 90, porque cuando el minutero ha avanzado 15 minutos, el horario tambin se ha desplazado algo.

4. A qu hora entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj forman un ngulo de 45?

135

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

RadianesAs como arbitrariamente se decidi que un ngulo completo mide 360 sexagesi-males, se defi ne otra unidad de medida de ngulo, el radin, imponiendo que el ngulo completo mide 2 radianes.Esta eleccin parece an ms caprichosa que la anterior; sin embargo, como veremos, en algn sentido es ms natural que los grados sexagesimales.

Proporcionalidad entre el ngulo del centro y el arco subtendidoComo es posible deducir de la fi gura adjunta, si un ngulo del centro sub-tiende un arco de circunferencia s, en-tonces 2 (es decir el doble del ngulo) subtiende un arco 2s. Del mismo modo, un ngulo 4 subtender 4s y un ngulo 3 4

subtender un arco 34 s.

Por otro lado, la longitud del arco subtendido por un ngulo de 0 es nula.

Podemos entonces tabular y grafi car la situacin que hemos descrito:

6s

5s

4s

3s

2s

1s

0 1QQ12

s

2Q 3Q 4Q 5Q 6Qx

y

12

ngulo del s arco centro subtendido

O O

12 12 s

s 2 2s 3 3s 4 4s 5 5s 6 6s

s

sQ

Q

2s

Q

El razonamiento anterior nos induce a afi rmar que existe una proporcionalidad directa entre un ngulo del centro () y el arco (s) que subtiende, es decir:

= ks

Donde k es una constante de proporcionalidad.

UN

IDA

D 3 3

136

TR

IN

GU

LO

S

Cul es la longitud del arco que subtiende el ngulo completo? La respuesta es directa: es la longitud de la circunferencia. Si la circunferencia tiene radio R, entonces el arco subtendido por el ngulo completo es 2 R.

Y cunto mide el ngulo completo? Depende de las unidades que se empleen. Si se trata de radianes, por defi nicin el ngulo completo mide 2 rad.

En este caso la relacin de proporcionalidad se escribe:

2 = k 2 R k = 1R

En otras palabras

= sR

o bien,

s = R

Como puedes ver, si el ngulo del centro se expresa en radianes, la relacin entre tal ngulo y el arco subtendido adopta una expresin particularmente simple, que solo contiene al ngulo del centro (), el arco (s) subtendido por y el radio (R) de la cir-cunferencia considerada.

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Considera una circunferencia de radio R. Encuentra la medida en radianes del ngulo del centro que subtiende un arco s igual al radio R de la circunferencia.

SolucinEn general s = R , siempre que est expresado en radianes.

Como debemos imponer en la expresin anterior que s = R, entonces se deduce que = 1 rad.

En otras palabras, 1 radin es el ngulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.R

1 rad

R

Equivalencia entre grados y radianesLa conversin de unidades entre grados sexagesi-males y radianes, proviene de escribir en ambas unidades el ngulo completo, es decir:

360 = 2 rad 1 rad = 3602

57,3

A la derecha elaboramos una tabla de equivalencias para algunos valores de ngulos especiales.

Frecuentemente, si no hay posibilidades de confu-

sin, cuando un ngulo se expresa en radianes se

omite la unidad, de modo que, por ejemplo, en vez

de escribir 6 rad se escribe simplemente 6 .

Grados Radianes sexagesimales

O O

30

45

60

90

120

180 270

360 2

643223

32

137

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S


1. Escribe en radianes los siguientes ngulos:

a) 32 b) 68,3 c) 121 40 d) 18 2 40

2. Escribe en grados los siguientes ngulos expresados en radianes:

a) 0,4 b) 3,28 c) 5,02 d) 0,26

Descripcin de untringulo rectngulo

Un tringulo se llama rectngulo si uno de sus ngulos mide 90 (= 2 ).

Los lados de un tringulo rectngulo que son perpendiculares entre s se llaman catetos. El tercer lado (opuesto al ngulo recto) se denomina hipotenusa.

Tringulos rectngulos

ACB = 90

BC y AC son los catetos c1 y c2 respectivamente; c1 c2

AB es la hipotenusa h

C

90

A B

c2 c1

hipotenusa h

Propiedades de lostringulos rectngulos

Enunciaremos a continuacin, algunas propieda-des de los tringulos rectngulos, seleccionadas en virtud de la utilidad que nos prestarn en desarrollos sucesivos. Cuando su validez no es obvia, se consigna su demostracin completa o se entregan algunas sugerencias que orientan su demostracin.

Los ngulos no rectos de un tringulo rectngulo son necesariamente agudos (La suma de los n-gulos interiores de cualquier tringulo es 180. En consecuencia, la suma de los ngulos no rectos debe ser 90).

El rea A de un tringulo rectngulo se puede expresar como el semi producto de sus catetos c1 y c2, es decir:

A = 12

c1 c2

Los lados de un tringulo rectngulo satisfacen la siguiente relacin:

c12 + c2

2 = h2

Esta relacin es conocida como el teorema de Pitgoras, que analizaremos en la prxima seccin.

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

138

En todo tringulo rectngulo, la suma de los cua-drados de las magnitudes de los catetos es igual al cuadrado de la magnitud de la hipotenusa.

Simblicamente, si a y b son las magnitudes de los catetos y c la magnitud de la hipotenusa, entonces:

a2 + b2 = c2

Se le puede atribuir un signifi cado geomtrico a la relacin anterior. Observando la fi gura adjunta, se puede apreciar que a2, b2 y c2, representan respec-tivamente las reas de los cuadrados construidos sobre los lados a, b y c.

Cualquier ngulo inscrito en una semicircunfe-rencia es recto, de modo que el tringulo defi nido por el ngulo recto y el dimetro que subscribe es un tringulo rectngulo. En la fi gura los trin-gulos ABC y ABC son rectngulos en C y C respectivamente.

Recprocamente, al inscribir un tringulo rectn-gulo en una circunferencia, el dimetro subtendido por el ngulo recto es la hipotenusa del tringulo rectngulo.

El teorema de Pitgoras

C

C

A B

Demostraciones delteorema de Pitgoras

Existen numerosas demostraciones de este teorema, que se ha convertido en un cono de la geometra euclidiana y hay libros enteros dedica-dos a ellas.

A

C

B

b a

c

Demostracin 1Consideremos el ACB rectngulo en C ( verde en la fi gura) y situemos una copia de l ACB ( amarillo en la fi gura) de modo que su cateto menor se alnee con el cateto mayor del ACB y que A coincida con B (B A) (en otras palabras, coloquemos el cateto b de la rplica de ACB a continuacin del cateto a del tringulo original). Tracemos la recta AB. Queda defi nido as un trapecio ACCB (porque AC // BC).

B

C CB

A

Ab

a cc b

a

Como ABC + BAC = 90 (por qu?), entonces ABB = 90, es decir el ABB es rectngulo.Calculemos el rea S del trapecio ACCB de dos maneras diferentes.

S = rea del trapecio ACCB = semisuma de las bases por la altura:

S = (a + b)2

(a + b)

S = a2 + b2 + 2a b

2

139

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Por otro lado,S = rea ACB + rea ABC + rea ABB y recordemos que el rea de un tringulo rectn-gulo se puede calcular como la semisuma del producto de sus catetos. Entonces:

S = 12

a b + 12

a b + 12

c c

S = a b + c2

2

Igualando las dos expresiones alternativas para S

a2 + b2 + 2a b

2 = a b + c

2

2

a2 + b2 + 2a b = 2a b + c2

a2 + b2 = c2

Esto es lo que demuestra el teorema.

Demostracin 2Sean a, b los catetos y c la hipotenusa del tringulo rectngulo que vamos a considerar.Construyamos un cuadrado ABCD de lado c como el de la fi gura.

AB = BC = CD = DA = c

Sobre AB como hipotenusa construyamos el tringulo rectngulo original ABE.

Notemos que + = 90, de modo que EBC = .

Prolonguemos ahora BE hasta F, de manera que BF sea igual a b y tracemos el segmento FC.

A B

CD

A B

E

El tringulo BFC as construido es congruen-te con el tringulo ABE, ya que tienen dos lados correspondientes iguales (AB = BC = c y AE = BF = b por construccin) y el ngulo com-prendido EAB = FBC = , lo que demuestra que ABE BCF y en consecuencia el tringulo BCF es rectngulo en F.

En forma anloga se completa la fi gura exhibida.

Ahora vamos a hacer un poco de lgebra.

El rea del cuadrado ABCD es c2 y, por otro lado, es igual al rea de los cuatro tringulos rectngulos congruentes que se han construido de acuerdo al procedimiento indicado, ms el rea del pequeo cuadrado EFGH que se forma al centro (de color blanco en la fi gura).

El rea de cada tringulo es a b2

(semi producto de sus catetos).

El lado del cuadrado central es (b a), por lo que su rea es (b a)2.

Entonces,

c2 = 4 a b2

+ (b a)2

c2 = 2a b + b2 2a b + a2 c2 = a2 + b2

Esto es precisamente lo que se quera demostrar.

cA B

CD

A B

H

E

F

G

a

b b a

b a

c

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

140


Calcula la distancia D a la que se encuentra el horizonte para un observador a una altura h. Obtn resultados numricos para diferentes valores de h que digan relacin con alturas de observacin habituales (altura de un nio, de un adulto, de una torre, de un cerro).

SolucinTracemos la tangente desde V (el ojo del observador) a la circunferencia (que representa un corte diametral de la Tierra). Llamemos H al punto de tangencia; el tringulo OVH es rectngulo (por qu?) y su hipotenusa es OV; OP = OH = R es el radio de la Tierra. La magnitud D del cateto VH representa la distancia a la cual se encuentra el horizonte para el observador en V.

En virtud del teorema de Pitgoras:

(VH)2 + (OH)2 = (OV)2

D2 + R2 = (R + h)2 D2 + R2 = R2 + 2Rh + h2 D2 = 2Rh + h2 D = 2Rh + h2

La ltima expresin para D es exacta, sin embargo como veri caremos enseguida, en la cantidad subradical, el aporte de h2 puede ser, al menos para cierto rango de valores de h, despreciado frente al valor de 2Rh, de manera que la expresin que conviene utilizar para nes prcticos es:

D 2 Rh = 2R h

R es el radio de la Tierra y es aproximadamente 6.378 km (en el Ecuador) es decir 6,378 106 (m) de modo que:

D 2 6,378 106 h (m)

D = 12,756 103 h (m) 3,57 103 h (m)

En esta ltima expresin si expresamos h en metros, obtendremos D en metros. Si que-remos expresar D en kilmetros, debemos dividir el resultado por 103, de manera que:

D 3,57 h (km) ,

Siempre que h lo expresemos en metros!

V

D

H

R

O

R

h

P

141

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Para mostrar la ventaja de usar la expresin aproximada hagamos una tabla para algunos de los valores de h que podemos considerar interesantes desde el punto de vista de las aplicaciones que nos interesan.

Consideremos los distintos valores que asumen los trminos involucrados en la expresin de D para h variando entre 1m (la altura de un nio) hasta 100 m (la altura de un edi cio de 30 pisos, aproximadamente). Hemos incluido el clculo para h = 1.000 m (la altura de una cumbre montaosa), pues, como se ver, recin para valores como ese pueden detectarse algunas diferencias menores entre los resultados entregados por la frmula exacta y la otra aproximada.

Como dijimos usaremos R = 6.378 km y expresaremos D hasta las milsimas

Podemos observar, que para todos los nes prcticos, es su ciente (y conveniente) utilizar, para calcular la distancia al horizonte, la expresin:

D 3,6 h (km) en la cual h, la altura del observador sobre el nivel de la Tierra, debe expresarse en metros.

D (exacto) D (aproximado)

h (m) 2Rh (m2) h2 (m2) (2Rh+h2)1/2 (km) (2Rh)1/2 (km)

1 12.756.000 1 3,572 3.572

2 25.512.000 4 5,051 5.051

5 63.780.000 25 7,986 7.986

10 127.560.000 100 11,294 11.294

20 255.120.000 400 15,972 15.972

30 382.680.000 900 19,562 19.562

40 510.240.000 1.600 22,589 22.588

50 637.800.000 2.500 25,255 25.255

100 1.275.600.000 10.000 35,716 35.716

1.000 12.756.000.000 1.000.000 112,947 112,942UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

142


1. En un tringulo rectngulo dos de sus lados miden 9 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado.

F

E D

C

BA

Tros pitagricosEs conocido el hecho de que los nmeros 3, 4 y 5 constituyen lo que se llama un tro pitagrico.Tal denominacin se debe a que satisfacen en-tre ellos, la misma relacin que satisfacen los catetos (a, b) y la hipotenusa (c) de un tringulo rectngulo, vale decir, la defi nida por el teorema de Pitgoras:

a2 + b2 = c2

En este caso 32 + 42 = 52 , ya que 9 + 16 = 25, efectivamente.

El tro 3, 4, 5 y la construccinde ngulos rectos

Recprocamente, si los lados de un tringulo rec-tngulo miden 3, 4 y 5 (en unidades arbitrarias), entonces el tringulo en cuestin es rectngulo y el ngulo recto es el que forman los lados de longitudes 3 y 4.

Esta propiedad es frecuentemente utilizada por los trabajadores de construccin, de una manera muy simple pero ingeniosa, para defi nir los ngulos rectos que normalmente deben formar dos muros que se encuentran.

Uno de los procedimientos es el siguiente:En el lugar (A) donde los muros se van a encon-trar clavan una estaca en el suelo y ese punto defi ne el vrtice del ngulo recto. A continuacin amarran a la estaca una lienza que tiene nudos a intervalos regulares pero arbitrarios (ver fi gura) y la mantienen tensa en la direccin de uno de los muros que quieren levantar.En la posicin del cuarto nudo entierran otra estaca B.

A B

90

2. Una cuchara est apoyada en un tazn cilndrico, cuyo dimetro es 8 cm y su altura 12 cm. Si la longitud de la cuchara es 16 cm, calcula la longitud mnima de la parte de la cuchara que puede asomar fuera del tazn.

3. Las dimensiones de la caja cerrada de un camin de carga son 10 m, 3 m y 4 m. Calcula la mxima longitud que puede tener un tubo rgido de modo que quepa dentro de ella.

4. El polgono ABCDEF es un hexgono regular de lado 4 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC y AD.

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Tensan ahora la cuerda entre B y C. Si el quinto nudo coincide con B, entonces el ngulo CAB es recto.

Enseguida, tensan la cuerda (a ojo) en una direc-cin aproximadamente perpendicular a la elegida en el paso anterior y colocan una estaca C en el tercer nudo. A

1

2

3

4

5

6

C

B

A

1

2

90

3

4

5

6

C

B

Si el quinto nudo no alcanza a llegar a B, el ngulo CAB es mayor que 90 y es necesario corregir la posicin de la estaca C (como indica la fl echa roja).

Si por el contrario, el quinto nudo sobrepasa a B, el ngulo CAB es menor que 90 y la estaca C se debe alejar de B (como indica la fl echa roja).

Otros tros pitagricosEs fcil darse cuenta de que si multiplicamos cada nmero del tro pitagrico 3, 4, 5 por un mismo nmero entero k cualquiera, el resultado ser otro tro pitagrico. Por ejemplo, si los multiplicamos por 2, obtenemos el tro 6, 8, 10 que podemos verifi car si es pitagrico o no:

62 + 82 = 36 + 64 = 100

102 = 100

De modo que efectivamente 62 + 82 = 102 lo que muestra que el tro 6, 8, 10 es pitagrico.

La propiedad anterior se puede demostrar en gene-ral y es lo que haremos en el ejercicio siguiente.

A

> 90

1

2

3

45

6

C

B

A

< 90

1

2

3

4

5

6

C

B

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Demuestra que si multiplicamos por cualquier factor entero k los nmeros del tro pitagrico 3, 4, 5 se obtiene otro tro pitagrico.

SolucinLos nmeros enteros 3, 4, 5 constituyen un tro pitagrico porque: 32 + 42 = 52

Consideremos entonces el tro 3k, 4k, 5k.Si este tro efectivamente es pitagrico, entonces debe cumplirse que: (3k)2 + (4k)2 = (5k)2

Desarrollemos el primer miembro de la ltima igualdad: (3k)2 + (4k)2 = 32k2 + 42k2 = (32 + 42)k2

Pero, 32 + 42 = 52

De modo que: (32 + 42)k2 = 52k2

o sea que, (3k)2 + (4k)2 = (5k)2

Lo que demuestra que efectivamente 3k, 4k, 5k es un tro pitagrico.

Familias de tros pitagricosDe manera anloga al procedimiento del ejercicio anterior se puede demostrar que si a, b, c son tres enteros que forman un tro pitagrico, es decir si:

a2 + b2 = c2,

entonces ka, kb y kc tambin constituyen un tro pitagrico, es decir (ka)2 + (kb)2 = (kc)2.

DemostracinDesarrollemos (ka)2 + (kb)2:

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2 (a2 + b2)

pero, a2 + b2 = c2 (ka)2 + (kb)2 = k2c2 (ka)2 + (kb)2 = (kc)2

lo que demuestra que ka, kb y kc constituyen un tro pitagrico.Lo que se ha mostrado es que cada tro pitagrico da origen a una familia infi nita de tros pitagricos. La familia pitagrica del tro 3, 4, 5 aparece en la tabla que sigue:

k 3k 4k 5k

2 6 8 10

3 9 12 15

4 12 16 20

n 3n 4n 5n

Otras familias de tros pitagricosPero es la de la tabla la nica familia de tros pitagricos?

No, realmente existen infi nitas familias de tros pitagricos.

Por ejemplo, no es difcil demostrar que si x > y > 0 son nmeros naturales, entonces los nmeros a, b y c defi nidos por:

a = x2 y2

b = 2xy

c = x2 + y2

forman un tro pitagrico.

Analicemos el caso en que x = 4 e y = 1En ese caso:

a = 42 12 = 15

b = 2 4 1 = 8

c = 42 + 12 = 17

152 = 225 152 + 82 = 225 + 64 = 289 82 = 64

172 = 289

Vemos entonces que efectivamente 15, 8, 17 es un tro pitagrico.

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pero era tan brillante que se le conoca como el Prncipe de los Afi -cionados, ttulo que realmente subestima su genio, comparable, en todos los aspectos, al de cualquier profesional ta-lentoso de la disciplina.Las publicaciones y el reconocimiento no te-nan importancia para Fermat, quien quedaba satisfecho con crear nuevos teoremas sin ser perturbado. Mientras estudiaba el Libro 2 del clsico Arithmetica de Diofanto, elabor una serie de observaciones, problemas y soluciones relativas al teorema de Pitgoras y a los tros pitagricos. Sbitamente en un momento de genialidad que lo inmortalizara, cre una ecuacin, similar a la de Pitgoras, pero que no tena soluciones.

Un mensaje enigmtico quegenera 350 aos de estudio

Al margen de la obra que estaba leyendo escribi en latn, lo que se traduce a continuacin:

Problemas de joven En 1963, cuando Andrew Wiles tena 10 aos, ya haba desarrollado su fascinacin por la Ma-temtica y frecuentaba la pequea biblioteca de su barrio, en busca de libros con numerosos problemas de ingenio y puzzles matemticos, que (normalmente) traan las soluciones al fi nal.En una ocasin, Andrew se interes por un libro que contena slo un problema, pero que esta vez no traa su solucin, ni siquiera indicaciones para llegar a ella.El libro se llamaba El ltimo Problema y su autor era Eric Temple Bell. El problema en cuestin databa de la antigedad griega, pero su formula-cin haba alcanzado la madurez slo durante el siglo XVII, cuando el matemtico francs Pierre de Fermat lo plante, inadvertidamente, como un desafo para el mundo matemtico.

Fcil de entender, difcil de probarSe trataba, como pocas veces suele acontecer, de un problema an sin resolver, pero que poda ser planteado en trminos muy simples, tan simples como para ser comprendido a cabalidad por un muchacho de diez aos.As como existen los tros pitagricos, es decir tres nmeros enteros a, b, c tales que a2 + b2 = c2, uno puede preguntarse si existen tres nmeros enteros p, q, r tales que p3 + q3 = r3.Y ms an, puede preguntarse qu sucede para ex-ponentes enteros mayores que 3, como 4, 5, 6, etc.O, planteado en trminos generales, la pregunta que uno se formula es si existen nmeros enteros x, y, z tales que xn + yn = zn para algn exponente entero n.

Juez o matemtico?Pierre de Fermat naci el 20 de Agosto de 1601 al sudoeste de Francia y debido principalmente a pre-siones familiares, dedic su vida al servicio pblico, siendo designado en 1631, consejero del Parlamen-to de Toulouse, labor que inclua entre otras tareas la de interceder en disputas judiciales.Dedicaba todo su tiempo libre a la Matemtica,

El teorema de Fermat

Pierre de Fermat

Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o una potencia cuarta como la suma de dos potencias cuartas, o en general, cualquier potencia superior a la segunda escribirla como la suma de dos potencias del mismo orden.Tengo una demostracin realmente maravillosa de esta proposicin, pero este margen es demasiado angosto como para contenerla.

Una demostracin ms del desdn y la indolencia con que Fermat trataba estas materias: no se tom la molestia de comentar la demostracin con otras personas, ni de dejar el manuscrito en el cual supuestamente la desarroll. Esta conjetura sera posteriormente llamada el ltimo Teorema de Fermat y mantuvo la atencin y preocupacin, por ms de 350 aos, de numerosos y destacad-simos matemticos.

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Un momento histricoTodo lo anterior condujo a que Andrew Wiles expu-siera el 23 de Junio de 1993, en Cambridge, la que ha sido considerada la conferencia de Matemtica ms importante del siglo XX. Asistan 200 matem-ticos, pero solo la cuarta parte de ellos entenda a cabalidad la forma y el fondo de la densidad de las expresiones desplegadas en el pizarrn. Despus de siete aos de intensa labor y de treinta aos de soar con encontrar la solucin, Wiles estaba en condiciones de mostrarle al mundo su demostracin.Fue una serie de tres conferencias, con un ttulo tan vago que no permita sospechar de qu se trataba,

Hacia la demostracinPara una persona promedio, el hecho de que los ms grandes matemticos contemporneos ha-yan acometido sin xito la tarea de demostrar la conjetura de Fermat, sera razn sufi ciente para no emprenderla. No era el caso de Wiles, que decidi aprender de los logros y los errores de sus brillantes colegas y al mismo tiempo adiestrarse en las tcnicas ms sofi sticadas de la Matemtica del siglo XX, para abordar una empresa gigantesca.Wiles arm una elaborada combinacin de lo que haba aprendido en su trabajo de tesis de graduacin sobre ecuaciones elpticas, el estudio de formas modulares y de la crucial conjetura de Taniyama y Shimura, las estrategias elaboradas siglos atrs por Evariste Galois y sus descubri-mientos sobre teora de grupos, el mtodo de Kovalgyn-Flach, los xitos y errores cometidos por famosos matemticos que incursionaron en el tema con distinta intensidad y en diferentes pocas, tales como Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Sophie Germain, Gabriel Lam, Augustin Cauchy, Ernst Kummer, entre otros.

Matemticos de izquierda a derecha:Leonhard Euler, Friedrich Gauss y Pierre de Fermat.

aunque los rumores se iban haciendo cada vez ms persistentes. En la ltima de ellas la sala estaba atestada de gente y algunos haban quedado en los pasillos. Estaba la prensa y los colegas de Wiles con cmaras fotogrfi cas, esperando lo que poda convertirse en un momento histrico. Cuando finalmente, des-pus de llenar tres grandes pizarras, Andrew Wiles es-tableci la demostracin del teorema de Fermat y dijo pienso que me voy a detener aqu, se produjo un silencio profundo y ceremonioso y enseguida un estruendoso aplauso. Rpidamente la noticia se esparci por el mundo a travs del correo elec-trnico y al da siguiente ya fue objeto de la prensa escrita, la radio y la televisin.

El arbitrajeLos resultados de una investigacin cientfi ca no son aceptados plenamente, sino hasta que son publica-dos en revistas especializadas, una vez que han sido sometidos al escrutinio de un panel de rbitros. Poste-riormente los trabajos publicados quedan expuestos a la crtica de la comunidad cientfi ca que le adjudica el sello de calidad defi nitivo, cuando corresponde.La demostracin de Wiles, extensa y compleja, suscit una serie de dudas a los rbitros, quienes solicitaron al autor las correspondientes aclaracio-nes, que fueron satisfechas una a una. Pero, una de las preguntas que pareca sencilla, se convirti en un serio obstculo que pareca insalvable y echaba por tierra la demostracin. Tal difi cultad produjo una demora en la publicacin, lo que a nivel de la comunidad cientfi ca fue interpretado justamen-te como que se haban detectado errores. Abatido y despus de desesperados y reiterados intentos por resolver la falla de la demostracin, Wiles re-tom una estrategia que haba abandonado haca algunos aos a favor de otra que le haba parecido ms confi able. Fue gracias a ella, que fi nalmente pudo reparar los errores lo que condujo a que la de-mostracin apareciera, ahora sin errores, en mayo de 1995 en la revista Annals of Mathematics.

Andrew Wiles

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Como C = F, entonces las rectas AC y DF son paralelas, lo cual a su vez quiere decir A = D (ngulos correspondientes entre paralelas). Ve-mos entonces que todas las condiciones 1 son satisfechas.

De acuerdo al teorema de Tales relativo a la proporcionalidad de trazos en dos transversales atravesadas por rectas paralelas, los lados de ambos tringulos son proporcionales.En consecuencia, tambin se cumplen las con-diciones 2, lo que demuestra que los tringulos son semejantes.

Teorema LLL (Lado Lado Lado)Dos tringulos que tienen los tres lados corres-pondientes proporcionales son semejantes.

Demostracin

En este caso tenemos que, llamando k a la razn en que se encuentran los lados correspondientes:

ABDE

= BCEF

= CAFD

= k

Copiemos sobre AB el lado DE del tringulo DEF y tracemos por E una paralela al lado CB que intersecta a AC en G (ver la fi gura en pgina siguiente).

Semejanza de tringulos

DefinicinDos tringulos se dicen semejantes si tienen sus ngulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales.En lenguaje simblico:

ABC ~ DEF

Se cumplen, entonces, todas las condiciones siguientes:

A = D1 B = E 2 AB

DE = BC

EF = CA

FD C = F

C

A B

D

F

E

Teoremas de semejanzaTeorema AA (ngulo ngulo)Dos tringulos que tienen dos de sus ngulos correspondientes iguales son semejantes.

Demostracin

Traslademos rgidamente el tringulo DEF de for-ma tal que coincidan los lados del ngulo B con los lados del ngulo E.

C

A B

D

F

E

C

A B = ED

F

C

A B

ED

F

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En tal caso, E = B y G = C (correspondien-tes entre paralelas), de modo que, en virtud del Teorema AA, AEG ~ ABC.

Entonces los lados correspondientes son propor-cionales y, como por construccin:

ABDE

= k

Entonces,

BCEG

= CAGD

= k ,

Lo cual indica que EG = EF y que GA = FA.

En otras palabras, DEG DEF, por lo cual los tringulos ABC y DEF son semejantes.

Teorema LAL (Lado ngulo Lado)Dos tringulos que tienen un ngulo correspon-diente igual y los lados del ngulo son correspon-dientemente proporcionales, son semejantes.

DemostracinEn este caso, A = D

y ABDE

= CAFD

= k

C

A = D BE

G

C

A B

D

F

E

Traslademos rgidamente el DEF de modo que el D coincida con el A, como se indica en la fi gura.

Puesto que

ABDE

= CAFD

= k ,

De acuerdo al teorema de Tales, FE y CB deben ser paralelos, de modo que:

F = C E = B

En consecuencia, en virtud del Teorema AA, los tringulos ABC y DEF son semejantes.

Los teoremas de EuclidesConsideremos el tringulo ABC rectngulo en C y llamemos y los ngulos en A y B respectiva-mente. Dado que el tringulo ABC es rectngulo, entonces = 90 .Tracemos la altura h desde el vrtice C al lado AB = c determinando sobre AB el punto M.

C

A = D B

F

E

C

BA

AB

A B

bh

M

a

qc

p

A

A

B

B

Podemos afi rmar que ACM = CBM = dado que son ngulos de lados respectivamente ortogonales:

AC BC (porque ABC es rectngulo en C)

CM BM (porque CM es altura)

Anlogamente CAM = BCM =

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Los tringulos ABC, AMC y MBC son todos rec-tngulos y en cada caso los otros dos ngulos son y . Es decir, los tres tringulos considerados tienen sus ngulos correspondientes iguales.Consecuentemente, los tres tringulos son seme-jantes entre s:

ABC ~ AMC ~ MBC

La correspondencia entre los lados se exhibe en la siguiente tabla:

Lado ABC AMC MBC

Cateto mayor a q h

Cateto menor b h p

Hipotenusa c a b

Observando la tabla, se pueden establecer enton-ces las siguientes proporciones:

ab

= qh

= hp

bc

= ha

= pb

ac

= qa

= hb

Hemos destacado con color las relaciones que corresponden a los teoremas de Euclides rela-tivos a las proporcionalidades en los tringulos rectngulos.

La primera expresin destacada es: qh

= hp

h2 = p q

La segunda proporcin es:

bc

= pb

b2 = p c

Y la tercera es:

ac

= qa

a2 = q c

Si combinamos la segunda y tercera expresin destacadas en azul, podemos obtener una demos-tracin alternativa del teorema de Pitgoras.En efecto: a2 = q c

b2 = p c

a2 + b2 = q c + p c = (q + p) c

a2 + b2 = c2

El teorema de Euclidesy la construccin de 2

Usando el teorema de Euclides, que establece que h2 = p q, es posible construir trazos cuya longitud es 2 veces la longitud de cualquier otro trazo.Consideremos un trazo AM de longitud 1 en uni-dades arbitrarias.

Extendamos el trazo AM hasta Q, de modo que MQ tenga longitud 2 en las mismas unidades.Esto se puede hacer extendiendo el trazo AM ms all de M y con un comps construimos una circunferencia con centro en M y radio 1 que de-termina sobre la extensin un punto Q.

Por construccin AM = MQ = 1.Repetimos el proceso, esta vez con centro en Q, determinando el punto B, es decir MQ = QM = 1, de modo que AB = 3.

Con centro en O (punto medio de AB), tracemos una semicircunferencia de radio OA = 1,5 (es decir, que pasa por A y por B).

Levantemos en M una perpendicular a AB que intersecta a la circunferencia en C y adoptemos la siguiente notacin:

AM = qMB = pMC = h

A

1

M

A M Q

A M Q B

1 2 M O

1,5

A B

1 2 M A

C

OB

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GeneralizacinEn general si en un tringulo rectngulo q = 1 y p arbitrario, entonces:

h = p a = p2 + p b = 1 + p

Dibujemos el tringulo ABC, que resulta ser rec-tngulo pues el ABC es inscrito en una semicir-cunferencia.

Por construccin, en este caso p = 2 y q = 1.De acuerdo a uno de los teoremas de Euclides h2 = p q; en este caso h2 = 2 1 h = 2 , es decir, la magnitud de h es 2 veces la magnitud del trazo inicial AM. Y qu se puede decir de los catetos AC y BC?En virtud de los otros teoremas enunciados:

a2 = q c a2 = 1 3 a = 3b2 = p c b2 = 2 3 b = 6

1 2 A

C

OB M

1 2

M A

C

OB

3 2 6

1 p A

C

OB

p 1 + p p2 + p

M

E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

q = 1 cm p = 5 cm A

D

O C B

h = 5 cm

1. Construir un trazo de 5 cm de longitud.

SolucinDibujemos un trazo AB (que denotamos por q) de 1 cm de longitud y a continuacin el trazo BC (que denotamos por p) de 5 cm de longitud como indica la gura.

Con centro en O, punto medio de AC, tracemos la semicircunferencia de radio AC

2.

Levantemos en B una perpendicular a AC que intersecta a la semicircunferencia en D. El tringulo ACD es rectngulo en D y AC (el dimetro de la circunferencia) es su hipotenusa. BD = h es una altura del tringulo considerado.En virtud del teorema de Euclides que establece que h2 = p q, podemos a rmar en este caso que h2 = 5 1 cm2, de lo cual se deduce que h = 5 cm, que era lo que se buscaba construir.

2. Un tringulo tiene lados cuyas magnitudes en centmetros son 5, 12 y 13. Encuentra la magnitud de la altura perpendicular al lado mayor.

SolucinEn primer lugar, observamos que el tringulo dado es rectngulo, ya que 5, 12 y 13 son un tro pitagrico, puesto que:

52 + 122 = 25 + 144 = 169 Es decir, 52 + 122 = 132

Dado que el tringulo considerado es rectngulo, podemos usar los teoremas de Euclides:

a2 = p c p = a2c

b2 = q c q = b2c

h2 = p q = a2 b2c2

h = a bc

h = 5 1213

cm h 4,62 cm

q

c = 13 cm

b = 12 cm a = 5 cm

pA

C

B

h

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Diseo de rampas de acceso a edificios

Hace algunos aos se implant en Chile la norma-tiva respecto de que los edifi cios pblicos deben disponer en sus accesos de medios apropiados para los discapacitados. Por ello, se tom la decisin de instalar rampas de acceso, como alternativa a las escaleras. Para que estas rampas sean tiles es necesario que el ngulo respecto del piso sea sufi cientemente pequeo para que facilite subir. Un joven emprendedor decidi fa-bricar tales rampas para edifi cios, y procedi a calcular el largo de las rampas para diferentes alturas, considerando que el ngulo que forma la base y el lado de la altura es recto.

Sean:

h: altura del acceso a un cierto edifi cio.

d: espacio de la vereda a ocupar por la rampa.

c: longitud de la rampaEntonces, considerando la razn trigonomtrica sen = h

d d = h

senAplicando Pitgoras: c2 = h2+d2

Considerando un ngulo de 15 caracterstico para estos fi nes y usando una calculadora electrnica tendremos:

sen 15 = 0,2588

Usando las formulas sealadas anteriormente tendrs los resultados que se muestran en la tabla siguiente:

Realiza los mismos clculos ahora para un ngulo de 10. Cmo se modifi can los valores de longitud de la rampa y elespacio que ocupa en la vereda?Qu debe hacerse cuando d es muy grande y obs-taculiza el trnsito de los peatones en la vereda?

Diseo de envases

Un tipo de envase usado para lquidos (leche, jugos y otros) es el de una pirmide. Diseemos un envase piramidal de base triangular que tenga todos sus lados iguales (c) como el que se muestra en la fi gura. Esto es un tetraedro.

Si separamos cada lado de la pirmide y lo pro-yectamos en un plano obtendremos la siguiente fi gura (por simplicidad, no mostramos las lenge-tas de unin)

cc

c

c c

c

c

c

c

60o 60o

60o60o

60o

60o

60o 60o

60o60o

Tenemos entonces un tringulo equiltero de lado 2c que incluye cuatro tringulos equilteros equivalentes de lado c. Cul es la superfi cie A de cartn necesaria para producir el envase?

Calculemos el rea A: A = 12

(2c) h

2c 2c

2c

h

c c

ch

d

hsen

c

c

c

Altura h (cm.) Espacio Longitud acceso d (cm.) rampa c (cm.)

30 115,9 119,7

40 154,5 159,6

50 193,2 199,6

60 231,8 239,5

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La altura h del tringulo equiltero resulta de apli-car Pitgoras a uno de los tringulos rectngulos internos: (2c)2 = c2 + h2 de donde resulta: h = 3 c

Entonces el rea es: A = 1

2 (2c) 3 c

A = 3 c2

El cartn es vendido en lminas de a centmetros de ancho por b centmetros de largo. Cuntas envases piramidales de lado c (tetraedros) se pueden obtener con una lmina?:

Representemos cada base (tringulo de lado 2c) en la lmina ab en la siguiente fi gura:

El nmero de bases triangulares de lado 2c que caben en el ancho a de la lmina es a

2c y en el

largo es b2 3 c

. Sea n el nmero de bases de rea A que caben en la lmina (ocupando las longitudes a y b res-pectivamente).

Entonces el rea ocupada de la lmina de cartn ser: Ao = nA Ao = n 3 c

2

La superfi cie de cartn desaprovechada ser: Ap = ab n 3 c

2

Qu pasa cuando a y b son mltiplos exactos de 2c y de 2 3 c respectivamente ?

Estos envases estn concebidos para el consumo personal. Por consiguiente, los volmenes son pequeos, por ejemplo 200 cm3. Llamemos V al volumen del lquido contenido en un envase y considermoslo aproximadamente igual al volu-men de la pirmide.

Entonces, con la lmina de cartn cuntos litros de lquido se puede envasar? Para calcularlo, expresemos el volumen de un envase piramidal en funcin de su lado.

V = 13

(rea de la base) (altura) 3 Aplicando Pitgoras a una cara de la pirmide tendrs que el rea de la base es:

Ab = 3 4

c2

Asimismo, aplicando el teorema de Pitgoras ob-tendrs la altura H de la pirmide, lo que ser:

H = 2 3

c Entonces, el volumen ser: V = 1

3 3

4 c2 2

3 c

V = 212

c3

Entonces el volumen total posible de envasar en la lmina es de:

Vt = nV = 212

nc3

Observa que el volumen total posible de envasar es mayor en la medida que c es mayor. A que se debe esto? A que los envases ms grandes ocupan menos material por volumen envasado. Comprubalo.

Ab

H

c

c

c

c

2c

2c

2c

2 3 c 2 3 c 2 3 c 2 3 c 2 3 c 2 3 c

b

a

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Histricamente, la trigonometra se desarroll como una herramienta de la Astronoma y de la Geografa, pero durante siglos, ha sido usada por cientfi cos e ingenieros para variados propsitos.Dentro de la Matemtica, se utiliza con frecuencia en Clculo, pero tambin en lgebra Lineal (el estudio de los vectores) y Estadstica. Dado que las disciplinas aludidas tienen aplicaciones tanto en las Ciencias Naturales como en las Ciencias Sociales, puedes darte cuenta que conviene adquirir alguna destreza y familiaridad con la trigonometra.

La trigonometra en laAstronoma y la Geografa

Durante dos mil aos, se elaboraron tablas trigo-nomtricas cada vez ms completas y precisas con el propsito de hacer clculos en Astronoma. Como antiguamente se pensaba que las estrellas estaban fi jas en una esfera de cristal de gran tama-o (solo los planetas, el Sol y la Luna tenan mo-vimiento) se utilizaba una trigonometra adecuada para entender las posiciones de las estrellas sobre una esfera, que se llam Trigonometra esfrica. A pesar que los conceptos en Astronoma han

La trigonometra como geometra de clculo

La trigonometra se inici como la herramienta de clculo de la geometra. A modo de ejemplo, la geometra establece que un tringulo queda defi nido si se conocen un lado y dos ngulos. La trigonometra provee los mtodos para calcular los otros dos lados.

Qu se puede hacer con la trigonometra?

evolucionado, la trigonometra sigue siendo til en ese campo.Como la Tierra tambin es prcticamente esf-rica, la trigonometra ha tenido aplicaciones en geografa y navegacin. Ptolomeo (100 178) utiliz la trigonometra en su obra Geografa y us tablas trigonomtricas en sus trabajos de investigacin.El propio Cristbal Coln, llevaba consigo en sus viajes al Nuevo Mundo una copia de la obra Ephemerides Astronomicae, de Regiomontano para hacer uso de ella.

La trigonometraen la Ingeniera y la Fsica

Aunque originalmente la trigonometra se aplic a las esferas, ha tenido aplicaciones fundamentales en espacios planos. Los agrimensores han hecho uso de ella durante siglos, como tambin los in-genieros tanto civiles como militares.Los requerimientos de la Fsica son frecuentes, tanto a nivel de Fsica clsica, como es el caso de ptica, Esttica y Dinmica, como en investi-gaciones contemporneas en Relatividad General o Materia Condensada.

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Tringulos rectngulosTringulos rectngulosy trigonometra


Tringulos rectngulos

Histricamente, la trigonometra se desarroll como una herramienta de la Astronoma y de la Geografa, pero durante siglos, ha sido usada por cientfi cos e ingenieros para variados propsitos.Dentro de la Matemtica, se utiliza con frecuencia Dentro de la Matemtica, se utiliza con frecuencia en Clculo, pero tambin en lgebra Lineal (el estudio de los vectores) y Estadstica. Dado que las disciplinas aludidas tienen aplicaciones tanto en las Ciencias Naturales como en las Ciencias Sociales, puedes darte cuenta que conviene adquirir alguna destreza y familiaridad con la trigonometra.

La trigonometra en laAstronoma y la Geografa

Durante dos mil aos, se elaboraron tablas trigo-nomtricas cada vez ms completas y precisas con el propsito de hacer clculos en Astronoma. Como antiguamente se pensaba que las estrellas estaban fi jas en una esfera de cristal de gran tama-o (solo los planetas, el Sol y la Luna tenan mo-vimiento) se utilizaba una trigonometra adecuada para entender las posiciones de las estrellas sobre una esfera, que se llam Trigonometra esfrica. A pesar que los conceptos en Astronoma han

La trigonometra como geometra de clculo

La trigonometra se inici como la herramienta de clculo de la geometra. A modo de ejemplo, la geometra establece que un tringulo queda defi nido si se conocen un lado y dos ngulos. La trigonometra provee los mtodos para calcular los otros dos lados.

Qu se puede hacer con la trigonometra?

evolucionado, la trigonometra sigue siendo til en ese campo.Como la Tierra tambin es prcticamente esf-rica, la trigonometra ha tenido aplicaciones en geografa y navegacin. Ptolomeo (100 178) geografa y navegacin. Ptolomeo (100 178) utiliz la trigonometra en su obra Geografa y us tablas trigonomtricas en sus trabajos de investigacin.El propio Cristbal Coln, llevaba consigo en sus viajes al Nuevo Mundo una copia de la obra Ephemerides Astronomicaepara hacer uso de ella.

Aunque originalmente la trigonometra se aplic a las esferas, ha tenido aplicaciones fundamentales en espacios planos. Los agrimensores han hecho uso de ella durante siglos, como tambin los in-genieros tanto civiles como militares.Los requerimientos de la Fsica son frecuentes, tanto a nivel de Fsica clsica, como es el caso de ptica, Esttica y Dinmica, como en investi-gaciones contemporneas en Relatividad General o Materia Condensada.

154


NotacinConsideremos el tringulo ABC rectngulo en C y el ngulo = CAB.AC y CB son los catetos del ABC y AB, su hipotenusa.

Dado que vamos a centrar nuestra atencin en el ngulo , al lado AC lo llamaremos cateto adyacente y al lado CB cateto opuesto y los designaremos por cA y cO respectivamente. La hipotenusa AB la designaremos por h. Las razones trigonomtricas corresponden a razones entre los lados de un triangulo rectngulo. Las funciones trigonomtricas corresponden a extensiones de las razones trigonomtricas para valores de ngulos en un dominio ms amplio que los de un triangulo (los valores en el dominio de una funcin trigonomtrica puede ser cualquier nmero real, medido en radianes).

Seno de un nguloDefi niremos el seno del ngulo en el tringulo rectngulo ABC y lo denotaremos por sen , al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:

sen = cOh

Coseno de un nguloEn forma anloga, defi nimos el coseno de (que denotaremos cos ) al cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

cos = cAh

Tangente de un nguloFinalmente, defi niremos la tangente de , para la cual adoptamos la notacin tan (en ocasiones

Razones trigonomtricas y Funciones trigonomtricas

C

cO

cA

h

AA

B Propiedades de las funcionestrigonomtricas

1. De las defi niciones anteriores, es directo com-probar que:

tan = sen cos

ya que sen cos =

cOhcAh

= cOcA

= tan

2. El teorema de Pitgoras establece que:

cO2 + cA

2 = h2

Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por h.

cO2

h2 +

cA2

h2 = 1 ( cOh )

2

+ ( cAh )2

= 1

(sen )2 + (cos )2 = 1

Abusando de la notacin, suele escribirse sen2 y cos2 en lugar de (sen )2 y de (cos )2, respecti-vamente, de forma tal que la igualdad encontrada se reescribe como:

sen2 + cos2 = 1

Esta ltima igualdad es vlida para todo ngulo , es decir no se trata de una ecuacin que permite determinar el ngulo .

Las igualdades entre funciones de una variable que son vlidas para cualquier valor de la variable se llaman identidades y para realzar este carcter se suele sustituir el signo = por el signo .La identidad sen2 + cos2 1 es fundamen-tal en el estudio de la trigonometra y, por la forma como se dedujo, puede observarse que se trata de una manifestacin del teorema de Pitgoras.

aparece como tg ), como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

tan = cOcA

155

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Hay ciertos ngulos que aparecen con frecuen-cia en nuestras construcciones geomtricas. Para tener alguna vivencia del signifi cado de las funciones trigonomtricas, evaluaremos el valor numrico de ellas cuando el ngulo adopta esos valores especiales.Los ngulos con aparicin recurrente son 0, 30, 45, 60 y 90, adems de sumas y mltiplos de ellos.

Razones trigonomtricasde 45

Consideremos un cuadrado ABCD de lado a como el de la fi gura y tracemos su diagonal AC. El ABC es rectngulo en B. La diagonal AC es la hipote-nusa del tringulo rectngulo considerado.Adems BAC = 45, puedes explicar por qu?

Las razones trigonomtricas de ciertos ngulos especiales

C

A

a

a

a

a

45

D

B

Apliquemos el teorema de Pitgoras al ABC para calcular la longitud de la diagonal AC.

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 (AC)2 = a2 + a2 (AC)2 = 2a2, de donde AC = 2 aSiendo AB y BC respectivamente el cateto adya-cente y el cateto opuesto del ngulo de 45 se-alado en la fi gura, podemos aplicar la defi nicin de las funciones trigonomtricas:

sen 45 = BCAC

= a 2 a

sen 45 = 1 2

= 1 2

2 2

sen 45 = 22

Anlogamente:

cos 45 = ABAC

= a 2 a

cos 45 = 1 2

= 1 2

2 2

cos 45 = 22

Finalmente:

tan 45 = ABBC

= aa

tan 45 = 1


Veri ca que sen2 45 + cos2 45 = 1

Solucin

sen2 45 + cos2 45 = ( 22 )2 + ( 22 )

2 = 2

4 + 2

4 = 1

2 + 1

2

sen2 45 + cos2 45 = 1

Esto era de esperar, ya que como se demostr, la relacin sen2 + cos2 = 1 es vlida para cualquier ngulo .

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

156

Razones trigonomtricasde 30 y 60

Consideremos ahora un tringulo equil-tero ABC de lado a como el de la fi gura y tracemos la altura CM desde el vrtice C al lado AB.

Apliquemos ahora el teorema de Pitgoras al tringulo AMC:

( a2 )2 + h2 = a2 h2 = 3

4 a2 h = 3

2 a

De acuerdo a las defi niciones de las razones trigonomtricas podemos escribir:

sen 60 = CMAC = ha =

32 a

a sen 60 = 32

En forma similar,cos 60 = AMAC =

12 a

a cos 60 = 12

tan 60 = CMAM

= h12

a =

32 a

12

a tan 60 = 3

Verifi quemos que se satisface la identidad trigonomtrica fundamental:

sen2 60 + cos2 60 = ( 32 )2

+ ( 12 )2

= 34 +

14 sen

2 60 + cos2 60 = 1

C

A

a a

a B M

h

60

30 30

60

h

M

E j e r c i c i o r e s u e l t oEncuentra las razones trigonomtricas de 30.

SolucinObservando el tringulo equiltero de la gura al inicio de la pgina vemos que:

sen 30 = AMAC

= 12 a

a sen 30 = 12

cos 30 = CMAC

= ha

= 32 a

a cos 30 = 32

tan 30 = AMCM

= 12 a

h =

12 a

32

a = 1

3 tan 30 = 3

3

E j e r c i c i o p r o p u e s t o

Con los valores encontrados recientemente para las razones trigonomtricas de 30, veri ca que:

sen2 30 + cos2 30 = 1

Para calcular las razones trigonomtricas de otros ngulos haremos uso de una calculadora cient-fi ca de bolsillo, de una planilla de clculo u otro software apropiado para ello.

157

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S


Qu longitud tendra una rampa diseada para conducir hasta una pasarela a 4 m de altura, si el ngulo de inclinacin es 20? Qu sucede para ngulos menores?

D

B = 20 h = 4 m

Haciendo uso de Maple gra camos la longitud de la rampa (long) en trminos del ngulo (x), en el intervalo 5 x 20 que en radianes se expresa como:

5 180

x 20 180

La lectura del gr co nos indica que en ese intervalo de inclinaciones la longitud D de la rampa vara en el intervalo 46 m D 12 m, aproximadamente.


1. En un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 15 cm y sen = 25

. Encuentra la medida de los catetos a y b.

2. En un tringulo rectngulo = 5530 y uno de los catetos b = 6,05 cm. Haciendo uso de una calculadora cient ca encuentra el otro cateto y la hipotenusa.

3. Considera la construccin de la gura. Encuentra y el ancho de la techumbre AD.

4. Una escalera est dispuesta como en la gura. Encuentra su ngulo de inclinacin y la distancia D entre el muro y su peldao inferior.

A

A

9 m 9 m

D

6 mBA A

D

B

12 m 15 m

SolucinSi llamamos D a la longitud desconocida de la rampa, de la gura puede decirse que:

sen20 = hD

D = hsen20

Haciendo uso de una calculadora cient ca: sen20 0,342 de donde: D 40,342

m 11,7 mSi el ngulo de inclinacin fuera menor que 20, entonces la rampa sera an ms larga. Por ejemplo, si

el ngulo fuera de 10 entonces, D = hsen10 D 4

0,174 m 23 m

(Se hizo uso de una calculadora cient ca).

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

158

5. Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes estn expresadas en cm.

a) b)

c) d)

30

70

40

25

10 8

7

x

x

x

x

12


Una avioneta inicia su descenso cuando pasa por sobre la torre de control al inicio de la cancha de aterrizaje, formando un ngulo constante de 13 con la horizontal. Se posa sobre la pista cuando ha recorrido 2.000 metros. Calcula la distancia entre la torre de control y el punto de aterrizaje.

Solucin

De la gura:PD = cos P = D cos

Introduciendo en la expresin anterior los datos del problema:

P = 2.000 (m) cos 13

Con la ayuda de una calculadora cient ca encontramos que:

cos 13 0,974 de donde, P 2.000 0,974 (m)

Finalmente podemos decir que la distancia P entre la torre de control y el punto de aterrizaje es, aproximadamente.

P 1.949 (m)

D = 2.000 m

P

159

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S


5. Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes estn expresadas en cm.

a) b) c) d)

20

60

10

10

6

12

x

x

x

30 20

x


Solucin Si h es la altura del asta y s es la longitud de la sombra que proyecta, entonces:

hs

= tan 56 h = s tan 56 h = 6 (m) tan 56 6 (m) 1,48 h 8,89 (m)

La altura del asta es prcticamente de 8,9 metros.

h

6 m

56

1. Si cos = 0,15 determina a y c.

2. Si cos = 13

, determina a y c.

3. Si en un tringulo rectngulo de catetos a y b, b = 6,4 cm y la hipotenusa c = 7,8 cm determina a y cos .

4. Si en un tringulo rectngulo = 33,2 y la hipotenusa c = 12,75 cm, determina los catetos a y b.

A

A

2,25 cm

12 cm

C

C

c

a

A

B

B

B

B

a

c

A

A

2,25 cm

12 cm

C

C

c

a

A

B

B

B

B

a

c

20

60

10

10

6

12

x

x

x

30 20

x

20

60

10

10

6

12

x

x

x

30 20

x

20

60

10

10

6

12

x

x

x

30 20

x

Cuando los rayos del sol forman un ngulo de 56con la horizontal, la sombra de un asta vertical mide 6 m, cul es la altura del asta?

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

160

E j e r c i c i o p r o p u e s t o

Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes estn expresadas en cm.

a) b)

c) d)

30

20

60

58

8

4

6

12

x

x

x

x

ArcosenoLa razn inversa del seno se llama arcoseno y se denota por arcsen.

El valor de arcsen(x) es el ngulo cuyo seno es x.

Por ejemplo, arcsen ( 12 ) = 30, porquesen 30 = 12 .

En las calculadoras aparece como una tecla sen1 o ms frecuentemente como la combinacin de dos teclas: Inv (por inverso) y sen.

Si, por ejemplo, sabemos que sen = 0,23 , usan-do una calculadora digitamos 0,23 y en seguida Inv y sen, obtenemos:

= arcsen (0,23) 13,297 Es decir 13,3 es el ngulo cuyo seno es 0,23 o sen 13,3 0,23.

Razones trigonomtricas inversas

ArcocosenoLa razn inversa del coseno se llama arcocoseno y se denota por arcos.

El valor de arcos(x) es el ngulo cuyo coseno es x.

Por ejemplo arcos ( 22 ) = 45, puesto que cos 45 = 22 .

Si sabemos que cos = 0,54 ; entonces:

= arcos (0,54) 57,3

ArcotangenteLa razn inversa de la tangente se llama arcotan-gente y se denota por arctan.

El valor de arctan(x) es el ngulo cuya tangente

es x. Por ejemplo arctan ( 3 ) = 60, ya que tan 60 = 3 .

Si sabemos que tan = 4,3 ; entonces, haciendo uso de una calculadora obtenemos:

= arctan (4,3) 76,9

161

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Nos interesa ahora extender el concepto de razn trigonomtrica al de funcin trigonomtrica, que tiene an ms utilizacin.

Consideremos un crculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y de radio 1, como en la fi gura.

Como veremos, el crculo as defi nido, que llamare-mos crculo unitario, es una herramienta de apoyo que nos va a permitir, por una parte, visualizar las funciones trigonomtricas y por otra, generalizar las defi niciones de las funciones trigonomtricas para el ngulo recto, para ngulos mayores que 90 y para ngulos negativos.

Nos preocuparemos de las funciones trigonom-tricas del ngulo = AOB de la fi gura. Como el radio del crculo es 1, entonces OA = OB = 1.

Para visualizar en el crculo unitario las funcio-nes trigonomtricas, tracemos la perpendicular desde B al eje OA y denotemos por C al punto de interseccin de tal perpendicular con el eje de las abscisas.

Para encontrar el seno y el coseno del ngulo analicemos el tringulo rectngulo OCB. Por defi nicin:

El crculo unitario y las funciones trigonomtricas

B

A

1

O

Q

B

A C r

1

O Q

B

AC

1

O

Q

sen = BCOB

sen = BC1

sen = BC

Es decir, el seno del ngulo es simplemente la ordenada del punto B (que es el punto de inter-seccin de uno de los lados del ngulo que nos preocupa, con el crculo unitario).

Por otro lado:

cos = OCOB

cos = OC1

cos = OC

Nuevamente es fcil darse cuenta de que el coseno del ngulo corresponde a la abscisa del punto B.

Funciones trigonomtricasde ngulos mayores que 90

Como originalmente la defi nicin del seno y del co-seno de un ngulo se basaba en consideraciones hechas sobre un tringulo rectngulo, solamente nos habamos preocupado de tales funciones para ngulos agudos.

Sin embargo, las identifi caciones que acabamos de hacer:

sen ordenada de Bcos abscisa de B

nos permite inmediatamente generalizar las defi niciones del seno y del coseno para ngulos mayores que 90(equivalente a

2 radianes)

Consideremos por ejemplo, el ngulo de la fi gura siguiente:

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

162

Generalizando el anlisis hecho anteriormente, defi nimos el seno del ngulo como la ordenada CB del punto B.Y lo mismo se aplica para los ngulos que se exhiben a continuacin:

Observemos que en los dos casos anteriores el seno de los ngulos considerados es negativo.

Seno de 90y sus mltiplosEl sen 90 (equivalente a ()2 radianes) no es ms que un caso particular de lo que se ha visto hasta aqu. Como se puede ver en la fi gura, la magnitud de la ordenada del punto B es 1, de modo que sen 90 = 1.

En la misma figura es posible apreciar que:

sen 180 = 0,

sen 270 = 1 y,

sen 360 = sen 0 = 0.

B

AC

1

O

B

AC

1

O

Q

Q

B

D

AC O

90180

270


Calcula:

a) sen 120 b) sen 135 c) sen 240 d) sen 100 e) sen (30) f) sen (120)

Soluciones

a)

De la gura 1 y en virtud de la generalizacin de la de nicin de seno, sen 120 = CB. Dibujemos en la gura 2 el radio OD de modo tal que AOD = 60.

B

A C

1

O

120B D

A C O E

12060

Figura 1 Figura 2

163

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

En ese caso se tendr que: OBC ODA, ya que:

OB = OD = 1 (radios del crculo unitario) COB = EOD = 60 (por construccin) OCB = OED = 90 (por construccin)

En consecuencia, CB = ED, es decir,

sen 120 = sen 60

Pero, sen 60 = 3

2 sen 120 = 3

2

b) La misma argumentacin que la usada en la parte a) es vlida en este caso (ver la gura ad-junta), de modo que se puede a rmar que:

sen 45 = 22

sen 135 = 22

c) Como se aprecia en la figura, en este caso el seno es negativo, pero, dado que OBC ODA, en valor absoluto, el seno de 240 es igual al seno de 60.

Se cumple entonces que:

sen 240 = sen 60

sen 240 = 32

d) Aplicando los mismos argumentos que en los casos anteriores, es posible mostrar que: sen 100 = sen 80.Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, se encuentra que:

sen 80 0,985 sen 100 0,985

Aunque en este caso, si se contemplaba la posibilidad de usar una calculadora, se podra haber calculado directamente sen 100, obteniendo (como era de esperarse) el mismo resultado.

e) Consideramos que un ngulo es negativo cuando se mide en el sentido de movimiento de las manecillas de un reloj, es decir en la direccin: De modo que es posible establecer que:

sen (30) = sen 330 = sen 30 sen (30) = 12

f) En la misma lnea de razonamiento de la parte e), se puede deducir que:

sen (120) = sen 60 sen (120) = 32

B D

AC O E

13545

B

D

AC O E

60240

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

164

Regla nemotcnicaPara las funciones trigonomtricas de ngulos especiales:

Coseno de ngulos mayores que 90En forma anloga, defi nimos el coseno de un ngulo con vrtice en O y uno de cuyos lados coincide con el semieje positivo de OX, como la abscisa del punto en el cual el otro lado intersecta al crculo unitario.As por ejemplo, en el caso de la fi gura adjunta, cos = OC < 0.

B

A

1

C O

90180

270

Coseno de 90 y sus mltiplosEl cos 90 (equivalente a 2 radianes) no es ms que un caso particular de lo que se ha visto hasta aqu. Como se puede ver en la fi gura, la magnitud de la abscisa del punto B es 0, de modo que cos 90 = 0.

En la misma fi gura es posible apreciar que,cos 180 = 1, cos 270 = 0 y, que cos 360 = cos 0 = 1.

B

AC

1

O

Q

0 30 45 60 90

seno

coseno

02

12

22

32

42

42

32

22

12

02


Calcula:

a) cos 120 b) cos 135 c) cos 240 d) cos 100 e) cos (30) f) cos (120)

Soluciones

a)

De la gura 1 y en virtud de la de nicin generalizada de la funcin coseno, cos 120 = OC.

B

A

9

C

1

O

B D

A C O E

12012060

Figura 1 Figura 2

165

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Dibujemos en la gura el radio OD de modo tal que AOD = 60. En ese caso se tendr (como ya habamos visto en los ejercicios resueltos anteriormente) que: OBC ODE, de modo que OC = OE, es decir, el coseno de 120 es igual en magnitud al coseno E de 60, solo que hay que tener presente que el coseno de ngulos en el segundo cuadrante es negativo. Por ello:

cos 120 = cos 60Pero,

cos 60 = 12

cos 120 = 12

b) La misma argumentacin que la usada en la parte a) es vlida en este caso (ver la gura ad-junta), de modo que se puede a rmar que:

cos 45 = 22

cos 135 = 22

c) Como se aprecia en la gura, en este caso el coseno de 240 es negativo, pero, dado que OBC ODE, en valor absoluto, el coseno de 240 es igual al coseno de 60.

Se cumple entonces que:

cos 240 = cos 60 cos 240 = 12

d) Aplicando los mismos argumentos que en los casos anteriores, es posible mostrar que: cos 100 = cos 80.

Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, se encuentra que:

cos 80 0,174 cos 100 0,174

En este caso, si se contemplaba la posibilidad de usar una calculadora, se podra haber cal-culado directamente cos 100, obteniendo (como era de esperarse) el mismo resultado.

e) Como ya vimos anteriormente, consideramos que un ngulo es negativo cuando se mide en el sentido de movimiento de las manecillas de un reloj, es decir en la direccin . De modo que es posible establecer que:

cos (30) = cos (330) cos (30) = 32

f) En la misma lnea de razonamiento de la parte e), se puede deducir que:

cos (120) = cos (60) cos (120) = 12

B D

AC O E

13545

B

D

AC O E

60240

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

166

Generalizacin de la definicinde tangente de un ngulo

Para generalizar la defi nicin de la tagente para cualquier ngulo, vamos a trazar en el crculo unitario una recta auxiliar, que sea tangente al crculo en el punto A, tal como est indicado en la fi gura adjunta.Como sabemos, la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.La prolongacin del lado OB del ngulo que es-tamos considerando, intersecta a la recta auxiliar en el punto D. Entonces, el tringulo OAD es rectngulo en A.Por defi nicin:

tan = ADOA

tan = AD1

tan = AD

B D

1

AOQ

De esta forma, podemos generalizar la defi nicin de la tangente como la ordenada del punto D, que es el punto de interseccin de uno de los lados del ngulo considerado, con la tangente al crculo unitario que es perpendicular al otro lado del ngulo.


Encuentra tan 120.

Solucin

Tracemos el ngulo auxiliar de 60 AOF. El lado OF intersecta a la tangente auxiliar en el punto G.

Es posible demostrar que:

OAD OAG

Dado que:

OA es lado comn

OAD = OAG = 90 (la recta DG es tangente a la circunferencia en A)

DOA = GOA = 60 (por construccin)

En consecuencia, la magnitud de AD es igual a la magnitud de AG, pero hay que tener presente que la tangente de un ngulo del segundo cuadrante es negativa. Por lo tanto:

tan 120 = tan 60 tan 120 = 3

F

E C

B G

1

A

D

O

120

60

167

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Contrariamente a lo que sucede con la funcin seno y con la funcin coseno cuyos valores estn acotados entre 1 y 1, la tangente puede crecer sin lmite.

Dado que la interpretacin geomtrica de la tangente como la ordenada del punto de interseccin de uno de los lados del ngulo con la recta tangente al crculo unitario que es perpendicular al otro lado, cuando se trata de calcular la tangente de 90 uno de los lados del ngulo se torna paralelo a la recta tangente y en consecuencia no se intersectan.

Se dice entonces que tan 90 no est de nida o que cuando 90 (se lee tiende a 90o), por abajo (es decir 89,9; 89,99), entonces tan y que cuando 90, por arriba (es decir 90,1; 90,01; 90,001) entonces tan , como se podr apreciar en el gr co de tan , ms adelante en este captulo. Algo similar sucede para todos los mltiplos impares de 90 (270, 450, etc.).

Advertencia

Si se considera ngulos que varan entre 0 y 90, puede verse en el diagrama que la tangente de dichos ngulos aumenta a medida que los ngulos crecen.

A

B

C

D

O

Dos ngulos y se dicen complementarios si:

+ = 90

Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo son entonces complementarios, es decir, si uno de ellos es , el otro es 90 .

sen = ac

; sen (90 ) = bc

cos = bc

; cos (90 ) = ac

sen = cos (90 ) cos = sin (90 )

Funciones trigonomtricas del complemento de un ngulo

C

90

90 AAA B

b a

c

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

168

Grfico de las funciones trigonomtricas

Ahora estamos en condiciones de tabular y gra-fi car las funciones trigonomtricas, dado que las hemos defi nido para todos los valores reales de x, con la salvedad de las advertencias ya mencio-nadas en el caso de la funcin tangente.

Notemos que tambin podemos apreciar aqu que la funcin sen x est acotada entre 1 y 1, es decir 1 sen x 1, cualquiera que sea el valor de x. Para construir el grfi co en la regin x 0 se hizo uso de la propiedad sen (-x) = sen x.

1 sen x 0 1 sen x 0 1 sen x 0 1 sen x 0

1 cuadrante

x() sen x

0 0,00

10 0,17

20 0,34

30 0,50

40 0,64

50 0,77

60 0,87

70 0,94

80 0,98

90 1,00

2 cuadrante

x() sen x

90 1,00

100 0,98

110 0,94

120 0,87

130 0,77

140 0,64

150 0,50

160 0,34

170 0,17

180 0,00

3 cuadrante

x() sen x

180 0,00

190 0,17

200 0,34

210 0,50

220 0,64

230 0,77

240 0,87

250 0,94

260 0,98

270 1,00

4 cuadrante

x() sen x

270 1,00

280 0,98

290 0,94

300 0,87

310 0,77

320 0,64

330 0,50

340 0,34

350 0,17

360 0,00

En el caso de sen x, con ayuda de una planilla de clculo MS Excel y sus herramientas grfi cas, se ha tabulado y trazado la funcin en el intervalo 0 x 360. Por simplicidad en la tabla se ha redon-deado a las centsimas los valores de sen x.

-225-270-315-360 -135 -45-90 1359045 270225 3150,0

0,5

1,0

-1,0

ngulo x o

360180-180

-0,5

sen x

169

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S


1. Haciendo uso de una hoja de clculo o de una calculadora cient ca, tabula y gra ca cos x para 0 x 360. Compara con el gr co de sen x.

2. En la gura siguiente se ha trazado el gr co de la funcin tangente. Observa y explica el comportamiento de la funcin cuando x asume los valores 90 y 270.

0-270-360 -180 90 180-90 270 360

ngulo x o

15,00

10,00

5,00

0,00

5,00

10,00

15,00tan x


1. Determina la ecuacin de la recta del gr co siguiente y generaliza el resultado para un ngulo arbitrario.

O

P(x,y)

Y

X 40

x

R

Q

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

170

d

SolucinSi consideramos el tringulo OPQ rectngulo en Q, en virtud de la de nicin de la funcin tangente podemos decir que:

tan 40 = PQOQ

= yx y = (tan 40) x

y 0,84 x

(La tangente de un ngulo es en general un nmero irracional; en este caso se ha adoptado la aproximacin tan 40 0,84.)

GeneralizacinDe acuerdo a lo aprendido en la primera parte de este ejercicio, la ecuacin general de una recta que pasa por el origen O del sistema de coordenadas y que forma un ngulo con el semieje positivo de las abscisas estar dada por la expresin:

y = (tan ) x

Si se trata de una recta que intersecta al eje OY en el punto (0, n), su ecuacin ser:

y = (tan ) x + n

2. Calcula la altura H de una torre si se conoce la distancia D entre la torre y el punto de observacin y el ngulo de elevacin del extremo superior. Aplica al caso D = 50 m y = 30.

SolucinPor de nicin de la funcin tangente:

tan = HD

H = D tan

Aplicacin

H = D tan = 50 tan 30 (m) = 50 33

(m)

H 28,9 (m)

3. Determina la altura H de una antena de tele-comunicaciones situada al medio de un bosque de difcil acceso, si se conocen los ngulos de elevacin 1 y 2 del extremo superior observado desde dos puntos O1 y O2 que distan d entre ellos. (Observa que es complicado medir la distancia D entre el observador y la antena debido al obst-culo que representa el bosque.)

HD

= tan 1 D = Htan 1

HD + d

= tan 2 D + d = Htan 2

171

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Restando miembro a miembro la primera ecuacin de la segunda se obtiene.

d = Htan 2

Htan 1

= H [ 1tan 2 1

tan 1 ] = H [ tan 1 tan 2tan 1 tan 2 ]

H = [ tan 1 tan 2tan 1 tan 2 ] dAplicacinCaso a

1 = 60 , 2 = 50 , d = 15 m

H = [ tan 1 tan 2tan 1 tan 2 ] d = [ tan 60 tan 50tan 60 tan 50

] 15 m H = [ 1,7 1,21,7 1,2 ] 15 m = [ 2,040,5 ] 15 m 4,08 15 m H 61 mSi usamos, en cambio, dos cifras decimales para el valor de las tangentes:

H = [ 1,73 1,191,73 1,19 ] 15 m = [ 2,060,54 ] 15 m 3,81 15 m H 57 mNotemos que al comparar ambos resultados, el ms exacto es aproximadamente 7 % menor que el que calculamos primero.

Caso b

1 = 60 , 2 = 58 , d = 15 m

H = [ tan 1 tan 2tan 1 tan 2 ] d = [ tan 60 tan 58tan 60 tan 58

] 15 m H = [ 1,7 1,61,7 1,6 ] 15 m = [ 2,720,1 ] 15 m 27,2 15 m H 408 mSi, en cambio, usamos los valores de las tangentes de los ngulos dados con dos cifras decimales:

H = [ 1,73 1,601,73 1,60 ] 15 m = [ 2,770,13 ] 15 m 21,3 15 m H 319 mEn este caso el resultado, que es ms preciso que el anterior, es aproximadamente un 28 % menor que aquel.Tal diferencia proviene del hecho que 1 y 2 son bastante cercanos entre s, por lo que tan 1 es bastante cercana a tan 2 o, puesto de otra manera el denominador en la expresin es bastante pequeo comparado con el numerador.Notemos que el numerador vara entre el primer y el segundo clculo desde 2,72 a 2,77 (es decir aumenta un 1,8 %) aproximadamente mientras que el denominador aumenta desde 0,1 a 0,13, es decir, vara un 30 %.Utilicemos ahora los valores de las tangentes de los ngulos considerados con tres cifras decimales:

H = [ 1,732 1,6001,732 1,600 ] 15 m = [ 2,77120,132 ] 15 m 20,994 15 m H 315 mLo que produce un resultado bastante similar al anterior.

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S3

T

172

Encuentro en el espacio martimo

Dos jvenes que gustan del buceo practican cmo encontrarse en un punto del suelo marino a partir de diferentes posiciones en que se hallan en un determi-nado momento en el mar. Cules son las trayectorias que deben seguir cada uno de modo que la distancia recorrida sea la misma para ambos?

JuanMariela

Base marinaLugar de encuentro

xmj

m

Nivel del agua

Llamemos hj y hm a las alturas que Juan y Mariela es-tn sobre el nivel del piso marino (que en esa zona es plano) y la distancia inicial entre ellos es d. Aplicando Pitgoras, tenemos que la distancia proyectada en el fondo marino es c:

d2 = c2 + (hj hm)2

de donde:

c = d2 (hj hm)2

La distancia a recorrer por Juan est dada por:

x j2 = h j

2 + c j2

Y para Mariela:

xm2 = hm

2 + cm2

Siendo:

c = cj + cm

Si queremos que cada uno de ellos nade la misma longitud, entonces xj = xm

Despejando se tiene:

cj = c2 + hm2 hj2

2c

cm = c

2 + hj2 hm2

2c

En que direcciones deben nadar Juan y Mariela? Calculemos los ngulos respectivos.

El ngulo m (entre xm y hm) est dado por la razn trigonomtrica tangente:

tan m= cmhm

m = arctan ( cmhm ) En forma similar para Juan:

tan j = c1h1

j = arctan ( c1h1)

Abastecimiento en zona de catstrofe

Ha ocurrido un terremoto que ha devastado una amplia zona del territorio. Los caminos y carreteras de acceso a varios pueblos estn destruidos. Por ello, el abastecimiento de vveres, medicinas y otros medios de subsistencia se pueden efectuar slo por va area. Un avin debe abastecer a tres pueblos A, B y C y tiene su ciente autonoma como para hacerlo en un solo vuelo. No obstante, debe hacerlo en el menor tiempo posible para volver al aeropuerto, volver a cargar y reiniciar su proceso de abastecimiento.

Cul es la trayectoria que minimiza el tiempo de vuelo (suponiendo que siempre se desplaza a la misma velocidad)? Para ello bastar comparar las distancias recorridas en diferentes vuelos.

d

cmcj

hj

xj hm

173

UN

IDA

D 3

TR

IN

GU

LO

S

Entonces, aplicando las razones trigonomtricas:

y = dA cos x = dB y = dB dA cos

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Matematica III Medio - Zig-Zag - Unidad 3