Matematica în antichitate

În India și China

Matematica chineză timpurie diferă substanţial de cea din alte părţi ale lumii şi în consecinţă a cunoscut o dezvoltare independentă. Cel mai vechi text matematic chinezesc este the Chou Pei Suan Ching, despre care nu se ştie exact de când datează, undeva între 1200 I.C. şi 100 I.C.Este de remarcat faptul că matematicienii chinezi foloseau un sistemul numeric zecimal, aşa-numitul rod numerals, în care erau folosite simboluri distincte pentru numerele între 1 şi 10 şi alte simboluri pentru puteri ale lui 10. Astfel, numărul 123 poate fi scris folosind simbolul pentru 1, urmat de cel pentru 100, apoi simbolul pentru 2, urmat de cel pentru 10 și apoi simbolul pentru 3. Acesta era cel mai avansat sistem numeric din acea perioadă, folosit deja cu câteva secole I.C. şi cu mult înainte de dezvoltarea sistemului numeric indian. Acest sistem permitea reprezentarea numerelor foarte mari şi calculele puteau fi făcute cu ajutorul unei numărători chinezeşti (abacus), numite suan pan. Nu se cunoaşte exact data când a fost inventată această numărătoare, dar a fost menţionată în anul 190 D.C. de către Xu Yue în cartea sa Supplementary Notes on the Art of Figures.

Matematica chineză

Cea mai veche lucrare de geometrie din China datează din anii 330 I.C. şi provine din filozofia chineză Mohism, dezvoltată de către discipolii lui Mo Tzu, numit şi Mozi (470–390 I.C.). Mohism este bine cunoscut pentru conceptul de iubire universală sau de grijă imparţială. În canonul Mo Jing sunt descrise diverse aspecte ale unor câmpuri asociate fizicii şi au fost meţionate câteva teoreme geometrice.

În anul 212 I.C., împăratul Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) a dat ordin ca toate cărţile neoficiale din Imperiul Qin sa fie arse. Ordinul său nu a fost îndeplinit cu desavârşire, totuşi datorită acestuia cunoaştem astăzi puţin din matematica chineză dinaintea acestei perioade.

În perioada dinastiei Han (202 I.C.–220 D.C.) au apărut lucrări de matematică, ce extindeau probabil studiile din lucrarile arse. Cea mai importantă lucrare este Cele nouă capitole despre Arta Matematică (179 D.C.).

Cele nouă capitole despre Arta Matematică

Părţi ale sale apăruseră anterior sub alte titluri. Lucrarea conţine 246 de

probleme inspirate din agricultură, afaceri, folosirea geometriei pentru realizarea

arcurilor sau turnurilor pagodelor chinezeşti, inginerie, topografie, dar include şi

material referitor la triunghiurile dreptunghice şi aproximări ale lui π. De

asemenea este folosit principiul lui Cavalieri, relativ la volum, cu mai mult de

1000 de ani înainte de momentul în care Cavalieri l-a enunţat. În plus, se dă o

demonstraţie matematică a teoremei lui Pitagora şi o formulă pentru metoda

eliminării lui Gauss. În secolul al 3-lea D.C., Liu Hui editează şi publică o carte

cu soluţiile problemelor matematice prezentate în Cele nouă capitole despre

Arta Matematică şi dă o aproximare a lui π cu 5 zecimale. În secolul al 5-lea

D.C. Zu Chongzhi aproximează numărul π cu 7 zecimale, aproximare care a

rămas ca cea mai bună pentru următorii 1000 de ani.

Sistemul de numerație chinez

Pentru multă vreme, din cauza unei culturi total diferite de cea europeană, dar şi datorită autoizolației Chinei, matematica dezvoltată în această ţară a fost un adevărat mister pentru occidentali. În continuare, despre primele sisteme de numeraţie chinezeşti.

În Egiptul antic primele observaţii matematice au luat naştere datorită nevoii de a măsura terenurile după ce acestea erau inundate de Nil. În schimb, în China, primele cunoştinţe matematice s-au datorat astronomiei şi astrologiei. Astfel, la mijlocul mileniului 2 î.Hr., s-a început o descriere atât a constelaţiilor, cât şi a stelelor, ceea ce necesita calcule matematice pentru aflarea distanţei. După un avans în domeniul astronomiei, chinezii au adoptat în secolul 5 î.Hr. un calendar care avea 365 de zile.În China primele inscripţii apar în secolele 16-11 î.Hr. pe oase sau pe carapace de broască ţestoasă, iar primele notaţii de numere apar şi sub formă de noduri, pe diferite funii (noduri pe coarde, cum se numeau). De-a lungul vremii, numeraţia chineză a cunoscut diferite variante. Se presupune că cifra „zero” a fost adusă din India, sub forma unui punct sau a unui cerculeţ, de către Gautama Siddha, astronom chinez de origine indiană.

Primul sistem de numeraţie chinez consta dintr-o serie de 13 hieroglife, 9 semne pentru unităţile de la 1 la 9 şi 4 semne pentru primele patru puteri ale lui 10. Traducerea acelor hieroglife ar fi următoarea, cu denumirea chineză specifică:

Se observă că din seria de hieroglife lipseşte cifra 0, care încă nu era folosită. Numerele mai mari erau scrise folosind aceeaşi serie de 13 hieroglife.

Exemple:11= 10 (shi) + 1 (yi) => 11 = shi yi20= 2 (er) x 10 (shi) => 20 = er shi100= 1 x 100 => 100 = yi bai

Pe lângă acest sistem de numeraţie, mai complicat, datorită faptului că hieroglifele aveau o grafie nu tocmai uşoară, chinezii mai foloseau un altul, numit suan-zi. Acest sistem de notare a numerelor era unul mult simplificat, cifrele fiind reprezentate prin beţişoare. El se realizează prin combinaţii simple de beţişoare, atât pe orizontală, cât şi pe verticală, ca în figura de mai jos:

Şi din acest sistem de numeraţie care era folosit încă din secolul 2 î.Hr. lipseşte cifra 0. Acest sistem era folosit cu mare eficienţă în calculul cu beţişoare şi mai apoi în calculul cu abac ( socotitoarele din ziua noastră). Abacul era folosit şi în Japonia. Este de mirare ce performanţe a atins un japonez ce făcea calcule cu abacul. În noiembrie 1945, expertul japonez în abac Matzuzaki a concurat cu un expert în operarea cu calculatorul cel mai performant de la acea vreme. Întrecerea a constat în 5 probe în care cei doi trebuiau să execute în cel mai scurt timp şi fără greşeală mai multe operaţii aritmetice cu numere de 6-9 cifre. Japonezul a câştigat cu 4-1.

Dacă cel de-al doilea sistem de numeraţie prezentat ar fi conţinut cifra „zero” el ar fi coincis cu cel de astăzi. Cifra zero era înlocuită cu un spaţiu gol, însă asta producea confuzii deoarece acelaşi aranjament de beţisoare putea însemna mai multe numere.Exemplu: putea să însemne atât 708, cât şi 7080, 70800 etc.

Mai apoi, s-a introdus şi simbolul O pentru zero care permite scrierea unor numere ca: sau . Nu se ştie exact în ce secol a fost adusă cifra zero, dar se bănuieşte că între secolele 8-12.

Datorită barierelor de limbă, dar şi poziţionării geografice, se observă că matematica chineză s-a dezvoltat independent faţă de matematica altor popoare, iar influenţele şi-au făcut simţită prezenţa foarte greu.

Abacul chinezesc

• Prin anii 1.500 i.C., chinezii au inventat abacul. Acesta era format dintr-un cadru de lemn cu o bara orizontala care poate culisa pe verticala, impartindu-l in doua compartimente.

• Pe verticala sunt fixate mai multe bare (de obicei 17) pe care pot culisa 7 bile: doua in partea de sus si cinci in cea de jos. Fiecare bila de jos are valoarea 1; fiecare bila de sus are valoarea de 5. Astfel, pe o bara poate fi reprezentat orice numar cuprins intre 1 si 15. Orice valoare mai mare ca 9 este stocata temporar, ca rezultat intermediar.

• In imagine este prezentat un abac chinezesc in care este stocata valoarea 279.

Tabla înmulțirii, veche de 2200 de ani, descoperită în China

O tăbliță din bambus, veche de peste 2200 de ani, folosită pentru a efectua diverse calcule matematice a fost descoperită într-un sit arheologic din China.

Oamenii de știință, fascinați de această descoperire impresionantă, au anunţat că tăblița matematică era utilizată încă din cele mai vechi timpuri pentru efectuarea diverselor operații matematice. Inscripțiile de pe tăblița din bambus reprezintă numere de multiplicare până la 100, dar și diverse fracții, pe care anticii le foloseau pentru a efectua diverse tranzacții economice.

“Această tăbliță este cea mai complexă metodă de calcul folosită în antichitate. Cu ajutorul ei se pot efectua adunări, scăderi, înmulțiri, dar și împărțiri cu numere până la 99,5″, susține Guo Shuchun, director al Societății Chineze a Istoriei Matematice.

Interesant este că inscripțiile matematice sunt extrem de avansate pentru acea perioadă. Acest fapt este unul fascinant pentru că astfel se schimbă percepția asupra societății antice din China, iar modele matematice sugerează că orânduirea socială era trasată pe limite matematice destul de avansate.

Fiecare fâșie din documentul antic are o lăţime cuprinsă între 7 și 12 milimetri și o lungime de până la jumătate de metru. Numerele au fost inscripţionate cu cerneală. Istoricii și-au dat seama că aceste fășii erau poziționate într-o anumită ordine, în funcție de calculele care trebuiau efectuate. Istoricii sugerează că în cele mai dese cazuri, documentul antic era folosit pentru efectuarea măsurătorilor de teren, al tranzacțiilor economice, dar și pentru calcularea anumitor distanțe.

Cea mai veche lucrare cunoscută de geometrie chineză este o compilație realizată de către discipolii filozofului Mozi (Micius) în jurul anului 330 î.Hr., cunoscută sub titlul Nouă capitole de artă matematică. De-a lungul timpului, generații de învățați au și-au adăugat contribuțiile. Din păcate multe cărți valoroase din perioada dinastiei Qin au fost distruse prin ardere (213 î.Hr.). Faptul că cele scrise în acestă lucrare au un nivel destul de avansat, confirmă faptul că au existat o multitudine de lucrări scrise anterior în acest domeniu, dar care nu s-au păstrat.

O altă lucrare veche este Suàn shù shū (Cartea numerelor și a calculului). A fost scrisă în timpul dinastiei Han undeva între 202 și 186 î.Hr. Printre multe chestiuni legate de aritmetica elementară, aici găsim și calculul volumelor, legătura dintre latura pătratului și raza cercului înscris în acesta, legătura dintre lungimile laturilor triunghiului și aria acestuia.

Inițial pentru numărul π s-a considerat valoarea 3, dar matematicieni ca: Liu Xin (c. 46 BC – 23 d.Hr.), Zhang Heng (78–139 d.Hr.), Liu Hui (secolul al III-lea) și Zu Chongzhi (429–500) au realizat estimări din ce în ce mai precise ale acestui număr.

Nouă capitole de artă matematică, o adevărată operă colectivă, la care au

contribuit mai multe generaţii de savanţi chinezi de-a lungul secolelor al X-lea - al II-

lea î.Hr.

În lucrarea Zhou Bi Suan Jing (sau Chou Pei Suan Ching), care este unul dintre cele mai vechi texte matematice chineze, găsim cea mai veche demonstrație cunoscută a teoremei lui Pitagora.Lucrarea a fost scrisă în timpul dinastiei Zhou, la care s-au adăugat contribuții și în timpul dinastiei Han.

Zhang Heng utilizează metode geometrice pentru a rezolva diverse probleme și încearcă să găsească valori mai exacte pentru π, lucru realizat într-o oarecare măsură de Zu Chongzhi. Acesta din urmă, în colaborare cu fiul său, Zu Gengzhi, redactează lucrarea Zhui Shu (Metodă de interpolare) în care ajung la aproximarea:

3,1415926 < π < 3,1415927.Un alt matematician care a adus contribuții la Nouă capitole de artă matematică a fost Liu Hui. Și acesta a realizat o aproximare a lui π:

3.141024 < π < 3.142074 .Pentru a determina formula volumului cilindrului, Liu Hui utilizează ceea ce ulterior va fi cunoscut ca principiul lui Cavalieri. De asemenea, realizează unele aplicații practice ale trigonometriei, cum ar fi: determinarea înălțimii unui punct inaccesibil, calculul adâncimii într-o zonă inaccesibilă, calculul de la distanță a lățimii unui râu etc.

Matematica indiană

Cea mai timpurie civilizaţie de pe subcontinentul indian este civilizația de pe

valea Indului, care a cunoscut o înflorire între anii 2600 şi 1900 I.C. Oraşele

ridicate de această civilizaţie prezintă o anumită regularitate geometrică, dar nici

un document matematic nu a rămas de la această civilizaţie.

Cele mai vechi dovezi matematice din India sunt Shatapatha Brahmana (secolul

al 9-lea I.C., dar estimarea datei variază).

În Sulba Sutras (c. 800 I.C.–200 D.C.), pe lângă texte religioase, sunt

menţionate reguli simple pentru construcţia altarelor de diverse forme, cum ar fi

pătrate, dreptunghiuri, paralelograme şi altele. Se prezintă metode pentru

construirea unui cerc cu aproximativ aceeaşi arie ca cea a unui pătrat dat, în care

apar diverse aproximări ale lui π. Mai mult, se calculează rădăcina pătrată a lui 2

cu câteva zecimale, se dau triplete de numere pitagoreice şi un enunţ al teoremei

lui Pitagora. Probabil că la acest nivel a avut loc o influenţă mesopotamiană.

Pāṇini (c. secolul al 5-lea I.C.) a formulat reguli pentru gramatica sanscrită. Notaţiile sale sunt similare cu notaţiile din matematica modernă şi a folosit metareguli, precum transformările şi recursia.

Pingala (aproximativ din secolul al 5-lea I.C.) a folosit un sistem corespunzător sistemului numeric binar într-un tratat de al său. Comentariile sale despre combinatorica metricilor corespunde unei versiuni elementare a teoremei binomiale, care prezintă dezvoltarea unui binom la o putere. Lucrarea lui Pingala conţine şi idei de bază legate de numerele lui Fibonacci.

În Surya Siddhanta (c. 400 D.C.) sunt introduse funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus şi funcţia inversă sinusului, se prezintă reguli legate de mişcarea stelelor, plecând de la poziţiile iniţiale ale acestora pe cer. Această lucrare a fost tradusă în arabă şi latină în Evul Mediu.

În secolul al 5-lea, Aryabhata a scris Aryabhatiya, un volum subţire, scris în versuri, văzut ca supliment al regulilor de calcul folosite în astronomie şi în măsurările matematice, deşi nu se distinge în acest volum prezenţa unei logici sau a unei metodologii deductive. Deşi conţine multe greşeli, în Aryabhatiya este menţionat pentru prima dată sistemul numeric zecimal. Câteva secole mai târziu, matematicianul musulman Abu Rayhan Biruni a descris Aryabhatiya ca fiind un amestec de pietre comune şi cristale preţioase.

Scrierea Shatapatha Brahmana (secolul al IX-lea î.Hr.) conține nu numai ritualuri religioase, ci și referitoare la construcții geometrice. La fel și în textele Sulbasutra, cele mai vechi având aproape 3 milenii, găsim rețete geometrice privin construcția templelor și altarelor. Deși aveau forme diferite, toate aceste locuri de devoțiune și de ardere a ofrandelor trebuia să ocupe aceeași suprafață.

După unii autori, scrierile Śulba Sūtras ar conține cea mai veche formă scrisă a teoremei lui Pitagora. Aici găsim și câteva triplete de numere pitagoreice și de asemenea încercări de a efectua cuadratura cercului.

Geometria indiană

O altă scriere importantă este manuscrisul Bakhshali, care este datat într-o perioadă cuprinsă între secolul al II-lea î.Hr. și secolul al III-lea d.Hr. În această scriere apare pentru prima dată cifra zero și scrierea zecimală. Tot aici se găsesc numeroase probleme geometrice printre care și calculul volumelor unor corpuri de formă neregulată.

Marele matematician indian Aryabhata, pe lângă multe alte contribuții în domeniile astronomiei și matematicii, a întocmit ceea ce astăzi s-ar numi tabel de valori pentru funcția sinus. Mai mult, a studiat amănunțit numărul π și l-a calculat cu patru zecimale, o precizie destul de ridicată pentru acea vreme. Aryabhata este unul dintre primii matematicieni care a intuit faptul că π este irațional.

Sistemul de numerație zecimal a fost folosit elaborat în India și este descris în edictele din Ashoka (mileniul I î.Hr.).Aici se foloseau cifrele fără zero. Încă din vechime unele elemente au fost preluate în China. Arabii l-au adoptat de la indieni în secolul al VIII-lea, iar contribuția lor majoră la sistem a fost introducerea cifrei zero, a cărei primă apariție este în lucrările lui al-Khwarizmi.

Sistemul de numerație indian

Orientul apropiat antic

Matematica babiloniană se referă la matematica locuitorilor Mesopotamiei (Irakul modern) din perioada timpurie sumeriană, trecând prin perioada elenistică, până aproape de începuturile creştinismului. Numele de matematicăbabiloniană se datorează Babilonului, ca centru de studiu. Mai târziu, sub imperiul arab, Mesopotamia, în special Bagdadul, a devenit, odată în plus, un centru important de studiu pentru matematicienii islamici.

Spre deosebire de dovezile puţine ale matematicii egiptene, cunoştinţele noastre despre matematica babiloniană provin din cele aproximativ 400 de tăbliţe din argilă, descoperite de arheologi începând cu 1850. Scrise în cuneiforme, tăbliţele au fost inscripţionate în timp ce argila era încă moale şi arse apoi în cuptoare sau la soare.

Dovezile timpurii ale textelor matematice datează din perioada sumeriană, în care au aparut primele civilizatii în Mesopotamia. Atunci s-a dezvoltat un sistem complex de metrologie, datând din anii 3000 I.C. În jur de anii 2500 I.C., sumerienii au scris tabele de multiplicare pe tăbliţe de argilă, făceau exerciţii geometrice şi probleme de divizibilitate. Primele dovezi ale numerelor babiloniene datează de asemenea din aceasta perioadă.

Majoritatea tăbliţelor din argilă descoperite datează din perioada 1800-1600 I.C. şi în ele se tratează subiecte care includ fracţii, ecuaţii pătratice şi cubice, calculul unor numere remarcabile. De asemenea, tăbliţele includeau tabele de înmulţire şi metode de rezolvare a ecuaţiilor liniare şi pătratice. Tăbliţa babiloniană YBC 7289 dă o aproximare a lui √2 cu 5 cifre zecimale.

Matematicienii babilonieni foloseau sistemul numeric sexazecimal (cu baza 60). De aici provine împărţirea în zilele noastre a unui minut în 60 de secunde, a unei ore în 60 de minute şi faptul că un cerc are 360 de grade, iar secundele şi minutele unui grad indică fracţiile acelui grad. Progresele babilonienilor în matematică au fost facilitate de faptul că numărul 60 are mulţi divizori. În sistemul numeric babilonian, cifrele scrise pe coloana din stânga reprezentau valori mult mai mari decât în sistemul numeric zecimal. Le lipsea însăechivalentul unei zecimi.