Matematica Midias 2

dos autores1a edio

Direitos reservados desta edio:Universidade Federal do Rio Grande do Sul

M425 Matemtica, mdias digitais e didtica : trip para formao de professores

de matemtica / organizadores Maria Alice Gravina [et al.] Porto

Alegre : Evangraf, 2012.

180 p. : il.

ISBN: 978-85-7727-328-7

1. Matemtica - Ensino. 2. Mdias digitais. I.Gravina, Maria Alice.II.Brigo,

Elisabete Zardo. III.Basso, Marcus Vinicius de Azevedo. IV.Garcia, Vera

Clotilde Vanzetto.

CDU 51:37

DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAO NA PUBLICAO (CIP)

Elaborada pela Biblioteca Central daUniversidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)

SUMRIO

APRESENTAO...................................................................................................7

CAPTULO 1MDIAS DIGITAIS NA EDUCAO MATEMTICA ................................................11Maria Alice Gravina e Marcus Vinicius de Azevedo Basso

CAPTULO 2GEOMETRIA DINMICA NA ESCOLA ..................................................................37Maria Alice Gravina, Marina Menna Barreto, Maringela Torre Diase Melissa Meier

CAPTULO 3PARBOLAS, ELIPSES E HIPRBOLES TRAADASPOR MECANISMOS ............................................................................................61Daniela Stevanin Hoffmann, Elisabete Zardo Brigo, Marcio A. Rodriguezde Rodrigues, Marina Menna Barreto e Sandra Denise Stroschein

CAPTULO 4O VDEO NAS AULAS DE MATEMTICA .............................................................91Mrcia Rodrigues Notare, Marina Menna Barreto, Sandra Denise Stroscheine Vera Clotilde Vanzetto Garcia

CAPTULO 5MODELAGEM MATEMTICA E EDUCAO A DISTNCIA:DESAFIOS FORMAO DE PROFESSORES ....................................................123Samuel Edmundo Lopez Bello, Marina Menna Barreto, Melissa Meier eThasa Jacintho Mller

CAPTULO 6NOVAS ABORDAGENS E NOVOS CONTEDOSNO ENSINO DA MATEMTICA .........................................................................145Maria Cristina Varriale, Vilmar Trevisan, Aline Silva de Bona,Juliana Fronza, Luciana Rossato Piovesan, Marina Menna Barreto e Sandra Denise Stroschein

OS AUTORES....................................................................................................179

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APRESENTAOEste livro discute possibilidades de inovaes na matemtica escolar e

na formao continuada de professores, a partir da experincia desenvolvidano Curso de Especializao Matemtica - Mdias Digitais Didtica: trippara formao do professor de Matemtica 1, oferecido de 2009 a 2011, namodalidade a distncia, pelo Programa de Ps-Graduao em Ensino deMatemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), emparceria com a Universidade Aberta do Brasil (UAB).

Muitas so as possibilidades de concepo e organizao da formaode professores, mesmo a distncia. Acreditamos que a experincia do Cursomerece ser compartilhada em livro. Como em todo o empreendimento quebusca inovar, envolveu muito esforo criativo, a partir de um conjunto deobjetivos e critrios estabelecidos desde o incio pela equipe. E, como emtoda a experincia que planejada e refletida, possibilitou aprendermos comos acertos e com os tropeos.

O nome do Curso expressa bem seu principal objetivo: articular aformao matemtica e a formao pedaggica dos professores com aexplorao de mdias digitais, tendo em vista o uso dessas ferramentas nassalas de aula, de modo a favorecer a participao e a aprendizagem dos alunose possibilitar a introduo de novos contedos e novas abordagens.

A prtica de sala de aula esteve no centro das reflexes desenvolvidasao longo do Curso. A cada disciplina, os alunos-professores, em sua amplamaioria atuando na escola pblica, foram convidados a desenvolver umaexperincia didtica em suas prprias escolas, buscando superar limites oulacunas identificadas em sua prpria prtica pedaggica, recorrendo aoplanejamento, ao uso de novos recursos, e avaliao reflexiva. Ao final doCurso, as prticas pedaggicas, denominadas engenharias em referncia engenharia didtica tal como concebida pela Didtica da Matemtica

1 Maiores informaes sobre o Curso esto disponveis em .

Matemtica, Mdias Digitais e Didtica

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francesa, foram inseridas numa reflexo mais ampla que deu origem aosTrabalhos de Concluso de Curso2.

Tratando-se de curso desenvolvido a distncia, buscou-se construirferramentas que propiciassem uma ampla participao dos alunos-professoresna discusso dos diversos temas e no desenvolvimento de tarefas, bem comoo acesso a um amplo conjunto de materiais. Para cada disciplina, foiconstrudo um site onde foram disponibilizados textos que enunciavamdesafios, textos de subsdio, tarefas e um amplo leque de recursos digitaisque podem ser utilizados nas escolas. Esses sites tornaram-se pblicos desdeo incio de cada disciplina e seguem disponveis na rede (Figura 1), acessveisa partir do endereo .

2 Esses trabalhos podem ser consultados na Biblioteca Virtual da UFRGS, no seu repositrio

Lume, em .

Figura 1- Site do Curso com links para material didtico das disciplinas.

A realizao do Curso envolveu uma ampla equipe que incluiuprofessores responsveis pelas disciplinas, tutores a distncia e tutorespresenciais, que atuaram em sete cidades-polo do Rio Grande do Sul. Ainterao cotidiana entre a equipe e os alunos-professores se deu atravs do

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ambiente virtual Moodle. Nesse ambiente todos se expressavam: os professorespostavam tarefas semanais e orientaes para sua realizao; os alunos-professores divulgavam e compartilhavam com os colegas suas produes;alunos-professores, tutores e professores dialogavam sobre dvidas,descobertas, dicas, comentrios e avaliaes dos trabalhos. Tendo em vista anecessria desenvoltura dos alunos-professores no acesso internet e aoprprio ambiente Moodle, e considerando diferentes graus de familiaridadecom o computador que para alguns era uma novidade foi oferecida,inicialmente, uma disciplina de Alfabetizao em Educao a Distncia.

O primeiro captulo do livro, Mdias Digitais na Educao Matemtica,discute as potencialidades do recurso s mdias digitais nos processos deaprendizagem e apresenta vrias possibilidades concretas do uso de objetosde aprendizagem (digitais) e softwares na sala de aula.

Os demais captulos seguem a ordem das disciplinas que sucederam aAlfabetizao. Vale observar que cada disciplina do Curso de Especializaoincluiu como desdobramento uma Prtica Pedaggica.

O segundo captulo do livro, Geometria Dinmica na Escola, apresentaa modelagem geomtrica como uma porta de entrada para o estudo dageometria no Ensino Fundamental. O uso de um software de geometriadinmica - o GeoGebra - explorado para construir mecanismos que esto nonosso dia-a-dia.

No terceiro captulo, Parbolas, elipses e hiprboles traadas pormecanismos, instrumentos digitais que simulam mecanismos reais de desenhoque traam essas curvas so utilizados como recursos para o estudo daspropriedades e aplicaes das cnicas, um tema que pode ser abordado noEnsino Mdio.

O quarto captulo, O vdeo nas aulas de Matemtica, apresenta o trabalhodesenvolvido na disciplina Mdias Digitais na Educao Matemtica II, comnfase em reflexes sobre o potencial dos vdeos informativos e educativoscomo recurso de ensino, atravs de exemplos concretos de aplicao em salade aula.

No quinto captulo, Modelagem Matemtica na Educao a Distncia:desafios formao de professores, os autores discutem ModelagemMatemtica como tendncia em Educao Matemtica voltada pesquisa eao ensino, no mbito da formao de professores na modalidade a distncia.

Finalmente, no sexto captulo, Novos contedos e novas abordagens, osautores discutem possibilidades de abordagens diferentes de contedos

Apresentao


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consagrados no Ensino Bsico e de introduo de novos contedos nocurrculo escolar, tomando como referncia bsica diferentes dissertaesproduzidas no Mestrado em Ensino de Matemtica do Instituto deMatemtica da UFRGS.

O que une o conjunto desses captulos? As experincias vividas no Cursode Especializao Matemtica - Mdias Digitais Didtica. Elas mostramalgumas das potencialidades do uso de mdias digitais na sala de aula dematemtica, dentre elas o exerccio da criatividade e da renovao curricular.Mas tambm importante destacar que as ferramentas propiciadas pelasmdias digitais nos provocam, ns professores, a seguir aprendendomatemtica. E com elas tambm ampliamos nosso repertrio de recursosdidticos de forma a melhor compreender as ideias, as dificuldades e asdescobertas de nossos alunos.

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Captulo 1

MDIAS DIGITAIS NA EDUCAOMATEMTICA

MARIA ALICE GRAVINAMARCUS VINICIUS DE AZEVEDO BASSO

Introduo

Se colocamos nossas rotinas de vida sob ateno, procurando situ-lasno contexto maior da vida em sociedade, torna-se interessante observar oquanto elas se organizam em funo das facilidades tecnolgicas que temos nossa disposio.

Nossos avs viram os filhos partirem para suas vidas e, muitas vezes,viveram isolamentos que s se rompiam com as cartas que, atravs dos serviosde correio, percorriam grandes distncias ento dependentes de tempo.Hoje, os telefones celulares nos colocam em contato instantneo, noimportando as distncias e locais em que se encontram os interlocutores. Eno conseguimos mais nos imaginar vivendo sem essa tecnologia que nospropicia tamanha proximidade virtual isto faz parte de nossa rotina.

O desenvolvimento da internet estabeleceu uma fantstica conexo emrede mundial e , sobretudo, atravs de um processo coletivo de participaoque a rede cresce de forma exponencial. Notcias circulam no momento de


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acontecimento dos fatos. Manifestaes e protestos se organizam em escalamundial com cliques de mouse. Informaes sobre todos os assuntos estoacessveis a todo instante. Vejamos alguns exemplos: h poucos anos, quandonecessitvamos localizar um endereo, fosse de uma loja ou de umrestaurante, nosso primeiro recurso era buscar informaes no guia telefnico hoje, acessamos o GoogleMaps; para pagar contas amos aos bancos hoje, acessamos sistemas protegidos por senhas criptografadas; para procuraro significado de uma palavra, folhevamos o Aurlio hoje, o Google.

As diferentes tecnologias que temos nossa disposio mudam os nossosritmos de vida. A quantidade de eventos, compromissos e contatos quevivemos, diariamente, seria inimaginvel para as pessoas que viveram nosanos cinquenta do sculo XX. Essa rapidez nos exige uma prontidointelectual, em crescente escala.

Nossas rotinas de sala de aula tambm deveriam incorporar, cada vezmais, as tecnologias, pois elas tambm influem nas nossas formas de pensar,de aprender, de produzir. O giz e quadro-negro uma tecnologia que teveo seu momento de impacto no processo educativo, no sculo XIX. Com ocrescimento das cidades, decorrente da Revoluo Industrial, a necessidadeda educao em massa consolida a organizao da sala de aula em grandesgrupos com ateno voltada para a fala do professor. Nesse contexto, oquadro-negro torna-se uma importante ferramenta, e interessante observarque, segundo o estudo de Barra (2001), o incio do uso do quadro-negro sedeu no ensino da aritmtica, nos seus procedimentos de fazer contas.

Naquele momento, os mtodos de ensino apostavam na manifestaoem voz alta e em unssono do grande grupo, seja repetindo a fala doprofessor, seja respondendo suas perguntas, e nisso era muito exigida ahabilidade de memorizao. Se considerarmos que o professor devia atenderum grande grupo e que o livro, bem como o material escolar, ainda noeram tecnologias de fcil acesso, podemos entender que o mtodo que hojereferimos como tradicional tambm representou, em determinadomomento, um avano em termos educacionais. , sobretudo, com a difusodo livro impresso que nos liberamos da necessidade do uso da memria paraguardar informao.

O ponto que queremos destacar que o desenvolvimento da sociedade ede tecnologias so processos que se realimentam, constantemente. Quantoao nosso desenvolvimento intelectual, e a ser contemplado especialmentedurante os anos de formao escolar, temos na tecnologia digital a ampliao

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Captulo 1

das possibilidades para experimentos de pensamento, quando as comparamoscom aquelas que se consegue com o suporte dado pelo texto e desenho esttico.Esta tecnologia disponibiliza, cada vez mais, ferramentas que suportam aexteriorizao, a diversificao e a ampliao de pensamentos. A versatilidadede tais suportes tecnolgicos explica as recorrentes reflexes que aparecem naliteratura, associadas s expresses paradigmticas tais como tecnologias dainteligncia, cunhada por Levy (1993), ou ferramenta para o pensamento, cunhadapor Papert (1993). Nessa direo temos a provocativa expresso de Shaffer eClinton (2006) ferramentaparapensamentos (toolforthougths) cunhada com opropsito de registrar uma viso que considera que sujeitos e artefatostecnolgicos podem se colocar em situao de simbiose, em processo mtuode ao e reao. Ou seja, o artefato tambm tem o poder de agir sobre osujeito, da a expresso que funde as duas palavras.

Essa ferramentaparapensamentos estaria sinalizando a criao de uma novacultura humana, a qual estaria em linha de continuidade com a histria dasculturas da humanidade, que nos seus primrdios desenvolveu, a partir dos gestosfsicos, a cultura mimtica; com a palavra e a narrativa falada, a cultura mtica; coma difuso do registro escrito na forma de texto e smbolos, deu-se a circulao ereuso de ideias e assim cria-se a cultura das teorias. E hoje, atravs das mdias digitais,temos nossa disposio versteis sistemas de armazenamento e circulao deinformao, de simulao e modelagem, o que estaria sinalizando, segundo osmesmos autores, nossa entrada na cultura do virtual.

Vejamos como isso est se encaminhando no ambiente escolar. Noque segue apresentamos ferramentas que, quando colocadas nas mos denossos alunos, podem provocar mudanas na sala de aula. Soferramentaparapensamentos com as quais os alunos podem fazer muitosexperimentos de pensamento!

As mdias digitais na aprendizagem da matemtica

A tecnologia digital coloca nossa disposio diferentes ferramentasinterativas que descortinam na tela do computador objetos dinmicos emanipulveis. E isso vem mostrando interessantes reflexos nas pesquisas emEducao Matemtica, especialmente naquelas que tm foco nos imbricadosprocessos de aprendizagem e de desenvolvimento cognitivo nos quaisaspectos individuais e sociais se fazem presentes.


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No contexto da Educao Matemtica, no final dos anos oitenta sedifunde um primeiro recurso para a educao que faz uso da tecnologia digital a tartaruga do ambiente Logo de Papert (1988). Neste ambiente deprogramao, alunos em idade escolar exploram e vivenciam movimentosda tartaruga atravs dos comandos para frente/para trs e para direita/para esquerda e tm acesso a importantes conceitos da geometria. Jnaquele momento, Papert vislumbrava o alcance das mdias digitais noprocesso de aprendizagem ao falar de bricolagem ou pensamento concreto, comoatitudes que tratam de criar modelos, fazer simulaes e analogias,experimentar e errar. J nos dizia ele:

Bricolage e pensamento concreto sempre existiram, mas foram

marginalizados (...) pela privilegiada posio do texto. medida que

passamos para a era da informtica e que meios novos e mais dinmicos

surgirem, isso mudar (Ibid., p.156).

Hoje, a variedade de recursos que temos nossa disposio permite oavano na discusso que trata de inserir a escola na cultura do virtual. Atecnologia digital coloca nossa disposio ferramentas interativas queincorporam sistemas dinmicos de representao na forma de objetos concreto-abstratos. So concretos porque existem na tela do computador e podem sermanipulados e so abstratos porque respondem s nossas elaboraes econstrues mentais.

Estamos de acordo com a posio terica defendida por Noss (2001),Radford (2006) e Duval (2006) sobre o papel dos sistemas de representao,que considera como funes primordiais desse sistema: a) ser instrumentopara externar, consolidar e comunicar o saber matemtico; b) serinstrumento que d suporte aos pensamentos, mais especificamente aosprocessos cognitivos que produzem conhecimento matemtico. nestesegundo aspecto que vamos colocar nossa ateno.

No que segue, apresentamos exemplos que tratam de ilustrar estaimportante funo dos sistemas de representao, especialmente quando aeles se agrega o dinamismo e a manipulao. O primeiro exemplo faz usodo Tangram Virtual 1. O Tangram um quebra-cabea bastante conhecido: a

1 O Tangram Virtual est disponvel para download em

no link Softwares.

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Captulo 1

partir de uma coleo de figuras que compem um quadrado, o desafio fazer a montagem de outras formas. Na brincadeira com o quebra-cabeafsico (por exemplo, feito em madeira), a manipulao das peas requer poucoconhecimento de geometria, e as atitudes se restringem ao simples ajuste depeas de um quebra-cabea.

J na brincadeira com o Tangram Virtual tm-se instrues bem definidasquanto aos movimentos que podem ser feitos com as peas, conforme ilustraa figura 1.

Figura 1 Interface do Tangram Virtual.

Os signos que esto direita sinalizam os movimentos de translao,rotao e reflexo que podem ser aplicados nas peas que compem oquadrado de forma a se montar uma nova figura. Com essa brincadeira, oaluno pode comear a entender as transformaes geomtricas, e estaaprendizagem resultante de suas exploraes no objeto concreto-abstrato nocaso o Tangram Virtual.

A figura 2 ilustra a situao em que o desafio montar um barco, apartir das peas que compem o quadrado. Para colocar o quadrado pequenona posio desejada, ele deve sofrer uma translao e depois uma rotao; jpara ajustar o tringulo, em destaque, preciso aplicar uma translao edepois uma reflexo segundo uma reta. Assim, o aluno obrigado a atribuirsignificados aos signos do sistema de representao, pois no tem como


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ajustar as peas que montam o barco sem fazer uso das transformaesgeomtricas.

Figura 2 Movimento de peas no Tangram Virtual.

Ao manipular o Tangram Virtual, o aluno faz experimentos depensamento. A conceituao das transformaes acontece no plano abstrato,mas so as suas manipulaes que tratam de ajustar esta conceituao, enisso o dinamismo do sistema de representao um recurso fundamental.

O outro exemplo a interessante experincia documentada em Kern(2008), tratando da introduo do conceito de funo em turma de sextasrie do Ensino Fundamental. Nesta experincia, o autor fez uso do objetode aprendizagem rvores Algbricas ilustrado na figura 3 e disponvel noendereo , no link Atividades Diversasde Funes e Grficos. De imediato, esclarecemos que um objeto deaprendizagem um pequeno software, com recursos de interatividade,voltado para a aprendizagem de um contedo especfico.

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Captulo 1

Figura 3 rvores Algbricas

Explicamos o funcionamento do objeto: tem-se nele uma rea detrabalho e uma rea de signos consistindo de caixas brancas para entradae sada de dados e caixas laranjas indicando diferentes operaes (soma,diferena, multiplicao, diviso, elevar ao quadrado, extrair a raiz quadrada,operar com potncias). As operaes so implementadas na rea de trabalho(regio branca) e o aluno pode utilizar livremente as caixas brancas elaranjas (ele arrasta as caixas para a rea de trabalho), ligando-as comsetas que estruturam a ordem das operaes.

Na figura 3 temos duas mquinas. A primeira implementa a operaoaritmtica (2 . 3 + 5), usando trs caixas brancas onde so colocados osnmeros 2, 3 e 5; duas caixas laranjas onde so colocadas as operaes demultiplicao e soma; e finalmente uma caixa branca que, automaticamente,apresenta o resultado da operao. A segunda mquina implementa aoperao algbrica (2 . x + 2) . Agora, em uma das caixas brancas tem-se avarivel x e associado a esta operao, tambm se pode obter,automaticamente, o grfico da funo y = 2.x +2 .

Foi atravs de uma sequncia didtica estruturada para provocar,intencionalmente, procedimentos aritmticos repetitivos que os alunos


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chegaram ao raciocnio generalizador que d significado de uso de letracomo varivel. Dois dos primeiros problemas resolvidos pelos alunos estotranscritos no Quadro 1.

Primeiro Problema - Parque de DiversesUm parque de diverses cobra R$ 5,00 o ingresso e R$ 3,00 por brinquedo.Qual o valor gasto por Carla se ela andar em 7 brinquedos? E se ela andarem 12?Vitor gastou R$ 56,00. Em quantos brinquedos Vitor andou? Se ame de Daniela deu a ela R$ 40,00, em quantos brinquedos poder andar?

Segundo Problema - Posto de GasolinaUm posto de gasolina vende o combustvel a R$ 2,75 o litro. Quanto umcliente vai pagar se comprar 6 litros? E se comprar 12 litros? E se forabastecer 30 litros?E se tiver R$10,00 para abastecer, quantos litros vaicomprar? Com R$ 60,00, quantos litros se pode comprar? Se algum gastouR$ 95,00 para completar o tanque, quantos litros gastou?

Os alunos iniciaram construindo diferentes rvores algbricas pararesolver o primeiro problema proposto, sem que ainda fizessem uso deraciocnio generalizador para cada pergunta a ser respondida uma novarvore era construda. Mas j no segundo problema proposto, tambmexigindo repetio de procedimento aritmtico, os alunos mostraramentendimento quanto rvore generalizadora na seguinte atitude:construram a estrutura da rvore deixando uma caixa-branca vazia e, assim,as perguntas similares (por exemplo, 6 litros, 12 litros e 30 litros) foramrespondidas fazendo uso de uma nica rvore viram que bastava preenchera caixa branca com o dado numrico correspondente. A figura 4 ilustra asrvores aritmtica e generalizadora produzidas pelos alunos.

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Captulo 1

Figura 4 rvores aritmtica e generalizadora.

A intensiva manipulao do objeto concreto-abstrato rvores Algbricasdeu suporte aos experimentos de pensamento dos alunos e desta formaconstruram os conceitos de varivel e funo, sem que houvesse a necessidadede se ter um tratamento formal, como aquele com o qual se faz a introduoao assunto no Ensino Mdio. Ou seja, temos no dinamismo da representaoa possibilidade de antecipar, na escola, o trabalho com contedos que socentrais na Matemtica.

Outro exemplo interessante tem-se no projeto SimCalc 2. Atravs dedinamismo e manipulao de objetos na tela do computador, alunos no finaldo Ensino Fundamental podem trabalhar com o conceito de taxa de variao,atravs do registro grfico de tempo versus distncia percorrida, conformeilustra o cenrio ldico da figura 5. Manipulando as velocidades dedeslocamento, os alunos visualizam as mudanas na reta que aparece na telado computador e, desta forma, comeam a associar a velocidade com ainclinao da correspondente reta e esta inclinao que guarda o conceitode taxa de variao.

2 Desenvolvido por Jim Kaput e disponvel em .


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Figura 5 Projeto SimCal

A discusso desenvolvida nessa sesso procurou sinalizar, sobretudo, aimportante funo dos sistemas dinmicos de representao no processo deaprendizagem da Matemtica. Aqui tratamos de objetos de aprendizagem.Na prxima sesso vamos tratar de softwares que tambm tem interfacesdinmicas e interativas.

Algumas ferramentas e suas possibilidades

Na apresentao dos softwares, vamos tambm sugerir situaes quepoderiam ser exploradas em sala de aula. Os exemplos vo tratar de contedosque so clssicos e tambm de contedos que poderiam ser includos naescola. interessante que, ao longo da leitura dos exemplos, o leitor faareflexes sobre as caractersticas dos softwares, de modo a avaliar as suaspossibilidades quanto insero da escola na cultura virtual. Vamos nosconcentrar em exemplos que mostram o quanto as exploraes a serem feitaspelos alunos provocam a construo do conhecimento, sendo que exignciasde domnio do sistema de representao nelas se fazem presentes.

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Captulo 1

Para trabalhar com os contedos clssicos de funes e grficos (funesafim, quadrtica, trigonomtricas, entre outras) temos o software Winplot 3.Para alm deste uso, vamos defender a ideia de que possvel trabalhar noEnsino Mdio com o conceito de superfcie, em contextos particulares, nissotendo-se tambm uma interessante oportunidade para o desenvolvimentoda habilidade para visualizao espacial, aspecto pouco explorado na formaomatemtica escolar.

Vejamos como trabalhar com este conceito. Iniciamos com as superfciesde revoluo que, no Winplot, so obtidas pela rotao de grficos de funes deuma varivel em torno de uma dada reta (o eixo de rotao). Na figura 6, esquerda, na primeira tela, temos em azul o grfico da funo y = x +2 restrita aodomnio [-2, 2] e temos como eixo de rotao a reta y = x, desenhada em verde.Antes de executar o procedimento Superfcie de Revoluo, podemos provocaros alunos para que imaginem a superfcie resultante. Na segunda tela da figura 6temos o resultado: um cilindro que pode ser manipulado de forma a ter-sediferentes vistas.

Figura 6 Cilindro no Winplot

Podemos continuar desafiando os alunos, e a ttulo de ilustrao temosna figura 7 um desdobramento da construo que iniciou com um cilindro.Para construir as taas, novas superfcies de revoluo precisam ser ajustadase isso requer raciocnios mais elaborados.

3 O software Winplot est disponvel para download em .


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Figura 7 Taas construdas com o software Winplot.

Outra possibilidade olharmos para superfcies como sendo grficosde funes de duas variveis z = f (x, y). Com o recurso do Fatiador, disponvelno Winplot, essas superfcies podem ser interpretadas como conjunto depontos que correspondem a deslocamentos de grficos de funes de umavarivel. Um exemplo: consideremos a funo f (x, y) = x2 definida no conjuntode pontos (x, y) do plano.

Figura 8 Recurso de Fatiadores Y e X

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Captulo 1

Na figura 8 temos a superfcie que o grfico desta funo; na superfcieda primeira tela tem-se em destaque o grfico de uma parbola, obtido como recurso Fatiador Y, correspondente interseco da superfcie com planoperpendicular ao eixo OY; na superfcie da segunda tela temos em destaqueuma reta, obtida com o Fatiador X, resultante da interseco da superfciecom plano perpendicular ao eixo OX. Assim, com o auxlio do Fatiador Y,a superfcie pode ser interpretada como uma unio de grficos de parbolasno espao; com o auxlio do Fatiador X, a superfcie pode ser interpretadacomo unio de retas.

Essas duas atividades, no Winplot, ilustram o quanto o dinamismo dosistema de representao pode provocar raciocnios que levam compreensode contedos de Matemtica que usualmente no so trabalhados na escola superfcies de revoluo e funes de duas variveis. E importante observaras exigncias que se fazem presentes: quanto ao conhecimento matemtico, aquele relativo a funes de uma varivel, um tpico clssico no programade matemtica escolar; quanto a habilidades, as maiores exigncias dizemrespeito visualizao espacial, um aspecto formativo que deveria ser maistrabalhado na escola.

Para trabalhar com funes y = f (x) de uma varivel real, com equaesda geometria analtica plana e com conjuntos de pontos que satisfazemdesigualdades no plano, temos o software GrafEq 4. A sua interface de trabalho bastante simples e tem recursos de cores que produzem efeitos interessantes.Com esse software podemos, por exemplo, desenhar paisagens e essa atividadeexige associar formas a relaes matemticas. Para fazer isso, tomamos comoponto de partida uma funo bastante simples e aplicamos operaesalgbricas sobre sua expresso, assim produzindo diferentes transformaesno seu grfico translaes, reflexes, dilataes, contraes de modo aobter a forma desejada. Exemplificando: na paisagem da figura 9, asmontanhas foram obtidas atravs de transformaes no grfico da funof(x) = x2, ou seja, na expresso da funo g(x) = a .(x- m) 2 + k , os parmetros a,m e k foram convenientemente escolhidos; do mesmo modo foi obtido omar, agora atravs de transformaes aplicadas na funo f(x) = sen (x); e osraios do sol so resultado de transformao sobre a reta f(x) = x. J maiselaborada a forma que est no guarda-sol: resulta de manipulaes algbricasna funo f(x) = x + sen (x).

4 O software GrafEq est disponvel para download em < http://www.peda.com/grafeq/>.


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Figura 9 Paisagem construda com o GrafEq.

Ao controlar os efeitos de desenho a partir de manipulaes algbricas,os alunos podem apreender sobre movimentos de grficos. Desta forma, asexpresses algbricas associadas ficam impregnadas de significado geomtricoe isso resultado das exploraes feitas no sistema de representao quecom seu dinamismo, de imediato, relaciona duas diferentes representaesde um objeto a analtica e a geomtrica.

Para trabalhar com geometria existe o software GeoGebra 5. A sua tela detrabalho disponibiliza, em linguagem clssica da geometria, recursos paraconstruo de figuras a partir das propriedades que as definem. O processode construo feito mediante escolhas de primitivas que so disponibilizadasnos diferentes menus pontos, retas, crculos, retas paralelas, retasperpendiculares, transformaes geomtricas, por exemplo. A base inicialde menus pode ser expandida com a incluso de automatizao de rotina deconstruo so as novas ferramentas que se incorporam ao software. Nafigura 10, a ttulo de ilustrao, apresentamos a construo do crculo inscritoem um tringulo.

5 O software GeoGebra est disponvel para download em .

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Captulo 1

Figura 10 Interface do software GeoGebra

Mediante deslocamentos aplicados aos vrtices do tringulo, a figura natela do computador muda de tamanho e de posio, mas mantm aspropriedades que foram impostas construo: as bissetrizes dos ngulos Be C, o crculo com centro em O e passando pelo ponto de tangncia T docrculo com o lado BC do tringulo so propriedades que permanecem nafigura. Essa uma importante caracterstica do GeoGebra e de outros softwaressimilares e por isso que eles so conhecidos como ambientes de geometriadinmica as construes que neles so feitas no se deformam!

O movimento aplicado aos vrtices do tringulo evidencia propriedadesque no foram declaradas na construo no importa o tipo de tringulo,sempre vamos ver o crculo tangenciando tambm os lados AB e AC, e talfato no foi imposto construo. Ou seja, fato que decorre das imposiesque foram feitas, e se caracteriza como a concluso de um teorema. No caso,o teorema diz que as bissetrizes de dois ngulos de um tringulo seinterceptam em um ponto O que o centro do crculo que tangencia,simultaneamente, os trs lados do tringulo. E se traarmos a terceira bissetrizvemos que ela tambm passa pelo ponto O e isto corresponde segundaparte da concluso do teorema: e a bissetriz do terceiro ngulo tambmpassa pelo ponto O.


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Raciocnios em geometria espacial, bem como a visualizao de objetostri-dimensionais, tambm podem ter um suporte dinmico no softwareCalques3D 6. Feita uma construo no Calques3D, h a possibilidade de se olharo objeto sob diferentes perspectivas, atravs do movimento de giro no espao.A ttulo de exemplo, na figura 11 trazemos as diferentes vistas de um cubo.

Figura 11 Diferentes vistas do cubo no Calques3D.

Na figura 12, temos a interface do software com uma construo quesimula o movimento de uma porta de garagem. As trs diferentes posiesda porta so obtidas com movimento aplicado em ponto que est naconstruo, e para obter este efeito de abrir a porta preciso estabelecerrelaes entre diferentes elementos geomtricos.

Figura 12 Porta de garagem construda no Calques3D

6 O software Calques3D est disponvel para download em .

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Captulo 1

No estudo da geometria espacial, especialmente nos problemas declculos de volume, uma das dificuldades que se apresenta para os alunos quanto ao entendimento de um objeto tridimensional que est sendorepresentado em desenho bidimensional. O desenho esttico pobre comosistema de representao, quando comparado com uma representaotridimensional, dinmica e manipulvel na tela do computador. Uma atividadede construo das figuras estticas dos livros, no Calques3D, pode ajudar osalunos no desenvolvimento de habilidades para visualizao espacial, de formaa melhor resolverem os problemas de clculos de volume.

Na construo de um objeto no Calques 3D, a visualizao espacial uma habilidade muito exigida. E preciso enxergar, por exemplo, retasortogonais que no se interceptam, plano mediatriz de segmento , segmentoque gira em torno de uma reta

Ainda para trabalhar com geometria espacial temos o dinmico ecolorido software Poly 7. Este software permite explorar diferentes famlias depoliedros convexos, dentre eles os platnicos, aqueles cujas faces sopolgonos regulares, sempre do mesmo tipo, e em cada vrtice tem-se omesmo nmero de arestas; os arquimedianos, que tm como faces polgonosregulares, no necessariamente todos iguais entre si. O Poly tem boto quefaz girar os poliedros e tambm possvel transformar, de forma contnua, opoliedro em sua planificao.

7 O software Poly est disponvel para download em .


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Figura 13 Visualizao 2D e 3D do cubo truncado no Poly.

E, finalizando nossa coletnea, apresentamos os softwares da famliaSpelunk, o Shapari e o Curvay 8.

So dois softwares que podem ser utilizados por alunos de diferentesfaixas etrias, pois a interface apresenta variado nvel de exigncia quantoao domnio de contedos de matemtica. So interfaces simples e intuitivas,nas quais podem ser exploradas coloridas formas geomtricas, fazendo usode pouco conhecimento matemtico ou ento j no universo dastransformaes e curvas no plano. As figuras 14 e15 ilustram produes feitasnesses dois softwares.

8 Os softwares Shapari e o Curvay esto disponveis para download em .

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Captulo 1

Figura 14 Interface do Shapari e um exemplo de construo.

Figura 15 Interface do Curvay e um exemplo de construo.


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O software Shapari permite explorar processos recursivos no contextode transformaes no plano por exemplo, transformaes de reduopodem ser aplicadas sucessivamente a uma figura inicial e assim obtemosuma figura final que guarda a mesma estrutura da figura inicial em todos osseus detalhes. Esse processo est ilustrado na figura 16.

Figura 16 Ilustrao de processo recursivo no Shapari.

O Shapari apresenta comandos simples e com alguns cliques do mouse possvel obter interessantes efeitos artsticos, seja utilizando astransformaes j existentes ou, de forma mais avanada, criando novastransformaes a partir de matrizes 2 x 2.

Figura 17 Janela de edio do Shapari.

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Captulo 1

Na figura 17 temos a janela de edio de transformaes e, conformeindicado na esquerda, os pontos (x, y) do plano so transformados em novospontos (x, y), quando as coordenadas so multiplicadas pela matriz M (2x2);e se, aps a multiplicao, feita a soma com a matriz B (2x1), obtm-se oefeito de translao do ponto. Os valores nas entradas da matriz Mdeterminam o tipo de transformao compresso/dilatao, rotao,cisalhamento ou ainda composio destas transformaes.

O efeito da aplicao de uma transformao nos pontos do plano podeser visto, de imediato, no quadrado unitrio com vrtices (0,0), (1,0), (1,1),(0,1), que aparece na figura 17. Vejamos um exemplo: se queremos comprimiros pontos do plano pelo fator 0.5 e depois translad-los pelo vetor (0.3, 0)informamos ao Shapari , na janela de edio, a transformao a ser feita:

Ao aplicar a transformao no quadrado unitrio temos o seguinteresultado, ilustrado na figura 18: o quadrado unitrio tem seu lado reduzidopela metade (fator 0.5) e, aps, transladado segundo o vetor (0.3, 0). Ascoordenadas dos vrtices do novo quadrado so: (0.3, 0), (0.8, 0), (0.8, 0.5) e(0.3, 0.5).

Figura 18 Transformao aplicada no quadrado unitrio.


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Com o software Shapari podemos trabalhar na escola um novo contedo as transformaes geomtricas associadas com as matrizes reais 2x2. Etambm podemos trabalhar com procedimentos recursivos.

Quanto ao software Curvay: tambm tem uma interface simples eintuitiva, e trata de curvas no plano. Ele simula uma caneta que desenha natela do computador, de forma dinmica, o movimento de uma partcula. Ointeressante que o movimento da partcula dado pelo movimento desuas coordenadas x e y. Vamos esclarecer este funcionamento usando comoexemplo a trajetria circular de uma partcula. Diferentes so as descriesmatemticas do crculo: ele pode ser visto como o conjunto de pontos P quese mantm a uma distncia constante de um ponto fixo O, este o centro docrculo; tambm pode ser descrito como o conjunto de pontos (x, y) quesatisfazem a equao (x - a)2 + (y - b)2 = r2, onde (a, b) so as coordenadas docentro do crculo e r o raio; ou, ainda, como a curva imagem da funo f(t) = (a+ r . cos (t) , b+ r . sen (t)) , onde a imagem f(t) pode ser interpretadacomo a posio de uma partcula, no instante de tempo t, no crculo decentro (a, b) e raio r.

Para entendimento do funcionamento do Curvay esta ltima descrioque nos interessa e vamos olhar para o caso particular do crculo de centro(0,0) e raio unitrio dado por f(t) = (cos (t), sen (t)). O movimento da partculapode ser descrito da seguinte forma: o componente x(t) = cos (t) correspondea movimento oscilatrio, da partcula, na horizontal; tambm oscilatrio omovimento vertical da partcula, dado pelo componentey(t) = sen (t). Os movimentos dos componentes correspondem ao comporta-mento das funes trigonomtricas e o interessante que o movimentocircular da particula resultante de uma especial sincronia entre osmovimentos oscilatrios horizontal e vertical. Na figura 19 temos a tela doCurvay com a partcula em movimento circular e, junto, os movimentososcilatrios de seus componentes.

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Captulo 1

Figura 19 Movimento circular de partcula.

Agora, mantendo-se o mesmo tipo de movimento oscilatrio nos doiscomponentes e alterando-se, por exemplo, a velocidade de oscilao de umdos componentes, a curva resultante j bem diferente. Na figura 20 temosa curva correspondente funo f(t) = (cos (t), sen (3.t)) .

Figura 20 Curva no Curvay.


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Um dos grandes potenciais do software Curvay quanto aodesenvolvimento da intuio para bem entender o movimento de umapartcula a partir do movimento de suas componentes horizontal e vertical.

Esses dois ltimos softwares que apresentamos so especialmenteinteressantes porque permitem trabalhar com contedos que no fazem partedo programa de matemtica escolar, mas que poderiam fazer! E isto possvelporque eles so objetos concreto-abstratos com os quais o aluno pode explorarconceitos de matemtica, inicialmente como uma brincadeira e depois comalgum formalismo, e assim que identificamos o Shapari e o Curvay comoespeciais exemplares de ferramentaparaopensamento.

Concluso

Nesse captulo procuramos apresentar alguns objetos de aprendizageme alguns softwares, junto com possibilidades de uso no ensino e aprendizagemda Matemtica, tanto em contedos que j esto presentes na escola quantoem contedos que l poderiam estar.

Mas muitos so os recursos que temos disposio na Internet e, assim,critrios de escolhas se fazem necessrios. Na apresentao feita, procuramosrealar nos diferentes softwares dois aspectos que julgamos relevantesconsiderar no momento das escolhas: os contedos de matemtica que nelesesto envolvidos e os recursos disponveis para que os alunos possam fazermuitos experimentos de pensamento. Isto porque consideramos que asmdias digitais se tornam realmente interessantes quando elas nos ajudam amudar a dinmica da sala de aula na direo de valorizar o desenvolvimentode habilidades cognitivas com a concomitante aprendizagem da Matemtica.Julgamos que os softwares apresentados pertencem a esta categoria dosinteressantes. Nos prximos captulos outras possibilidades das mdias digitaisno ensino da matemtica sero apresentadas, junto com relatos dasapropriaes de uso feitas pelos professores-alunos do Curso de EspecializaoMatemtica, Mdias Digitais e Didtica.

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Captulo 1

Referncias

BARRA, V. M. Da Pedra ao P: O Itinerrio da Lousa na Escola Paulista do Sculo XIX.Dissertao (Mestrado em Histria e Filosofia da Educao) Pontifcia Universidade Catlicade So Paulo, So Paulo, 2001.

DUVAL, R. A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a Learning of Mathematics.Educational Studies in Mathematics, vol. 61, p. 103-131, 2006.

KERN, Newton. Uma introduo ao pensamento algbrico na sexta srie atravs de relaes funcionais.Dissertao (Mestrado em Ensino de Matemtica) Programa de Ps-Graduao em Ensinode Matemtica, UFRGS, Porto Alegre, 2008. Disponvel em: .

LEVY, P. Tecnologias da Inteligncia: o futuro do pensamento na era da informtica. So Paulo:Editora 34, 1993.

NOSS, R. For A Learnable Mathematics in The Digital Culture. Educational Studies inMathematics, vol. 48, n.1, p. 21-46, oct. 2001.

PAPERT, S. Logo - computadores e educao. So Paulo: Brasiliense, 1988.

RADFORD, L. The Anthropology of Meaning. Educational Studies in Mathematics, vol. 61, n. 1-2, p. 39-65, Feb. 2006.

SHAFFER, W. DAVID; CLINTON A. KATHERINE. Toolforthoughts: Reexamining Thinkingin the Digital Age. Mind, Culture and Activity, vol. 13, n. 4, California, 2006.

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Captulo 2

GEOMETRIA DINMICA NA ESCOLAMARIA ALICE GRAVINA

MARINA MENNA BARRETOMARINGELA TORRE DIAS

MELISSA MEIER

Introduo

Nosso propsito, neste captulo, detalhar uma das novas possibilidadespara o ensino da geometria que foi explorada no Curso a modelagemgeomtrica. Como veremos, a modelagem geomtrica pode ser umainteressante porta de entrada para a aprendizagem da geometria no EnsinoFundamental. O trabalho de modelagem faz uso de software de geometriadinmica uma mdia digital que disponibiliza rgua e compasso virtuais,que so os instrumentos clssicos com os quais so feitas as construesgeomtricas, s que agora em ambiente virtual.

Dentre os diferentes softwares de geometria dinmica que temos nossadisposio, escolhemos o GeoGebra (disponvel em ). Duasso as justificativas para essa escolha: um software com consistente einteressante menu para se trabalhar com a geometria euclidiana; softwarelivre, o que significa que tem desenvolvimento compartilhado nacomunidade de pessoas que tm interesse no assunto e, assim sendo, o seuuso livre e no depende de aquisio de licena. Isso muito bom, porqueassim o software GeoGebra pode ser, de imediato, instalado em computadorespessoais e nos computadores dos laboratrios das escolas.


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No nosso compartilhamento de experincia, de incio, vamos tratar dasfiguras da geometria dinmica, procurando esclarecer como funciona oprocesso de construo quando usamos os diferentes recursos que temos nossa disposio no GeoGebra. Depois deste entendimento, vamos tratarda modelagem geomtrica, tomando como ponto de partida a construode um mecanismo que todos ns conhecemos um ventilador. E entoavanamos com outras possibilidades, atravs do material didtico que foiproduzido para o Curso de Especializao. Esse material, na forma de siteweb intitulado Mdias Digitais I (GRAVINA; BARRETO, 2009) e disponvelem no menu Disciplinas, foi estruturado para queos professores-alunos, a distncia, avanassem no seu aprendizado comautonomia. E ilustramos os resultados dessa aprendizagem trazendo umpouco da produo desses professores-alunos.

Na organizao do captulo pensamos, especialmente, no professor deMatemtica que ainda no tem familiaridade com geometria dinmica. Assim,procuramos manter um fio condutor de forma tal que, ao final da leitura, oprofessor se sinta confiante para instalar o software GeoGebra no seucomputador, consultar o material disponibilizado no site Mdias Digitais I,lanar-se nas primeiras aventuras de modelagem geomtrica e com elasvivenciar o aspecto ldico que pode estar presente em situaes deaprendizagem da Matemtica.

As figuras da geometria dinmica

Os programas de geometria dinmica, dentre eles o GeoGebra, soferramentas que oferecem rgua e compasso virtuais, permitindo aconstruo de figuras geomtricas a partir das propriedades que as definem.So ambientes que concretizam a geometria euclidiana plana, e diferentedaquilo que obtemos com lpis e papel e rgua e compasso, pois com o mousepodemos manipular as figuras que esto na tela do computador, ao aplicarmovimento em pontos que esto na construo.

O processo de construo das figuras feito mediante o uso de menusem linguagem natural da geometria ponto, reta passando por dois pontos,retas paralelas, retas perpendiculares, crculos, transformaes geomtricas,por exemplo. A rgua virtual dada no recurso Reta por Dois Pontos e ocompasso virtual dado no recurso Crculo com Centro e Ponto. importante

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Captulo 2

saber que a coleo inicial de menus pode ser expandida com a incluso denova rotina de construo, identificada no GeoGebra como uma Novaferramenta. Por exemplo, pode-se ter como Nova ferramenta o procedimentoque constri o crculo que circunscreve um tringulo.

O GeoGebra, assim como outros softwares similares, tem o interessanterecurso de estabilidade sob ao de movimento. Explicamos o que istosignifica: feita uma construo, mediante movimento aplicado aos pontosque do incio construo, a figura que est na tela do computador setransforma quanto ao tamanho e posio, mas preserva as propriedadesgeomtricas que foram impostas no processo de construo, bem como aspropriedades delas decorrentes. Ou seja, a figura em movimento guarda asregularidades que so importantes sob o ponto de vista da geometria. Sofiguras que no se deformam, e estas que so as figuras da geometriadinmica! Vamos ilustrar essa importante caracterstica com dois exemplos.

No primeiro exemplo temos uma tela do GeoGebra (figura 1) ondevemos dois quadrilteros que identificamos como quadrados.

Figura 1 Quadrados esquerda e movimento nos quadrados, direita.

Ao aplicarmos movimento no vrtice A, temos na segunda tela doGeoGebra , ainda na figura 1 , o efeito resultante (o desenho pontilhadoindica a situao inicial dos quadrilteros): o primeiro quadrado se deforma,pois o movimento no preserva as propriedades quatro ngulos retos equatro lados congruentes entre si; j o segundo quadrado muda de tamanhoe posio, mas mantm sempre a mesma forma.

A razo que explica os diferentes efeitos do movimento a seguinte: oprimeiro quadrado corresponde a desenho do tipo a mo livre, tratando-se


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de construo essencialmente visual, e assim, sob ao de movimento, sedeforma. J o segundo quadrado foi construdo com controle geomtrico na construo foram explicitadas as propriedades geomtricas do quadrado,via os menus disponibilizados no GeoGebra. Esse um quadrado dageometria dinmica sob movimento do vrtice A, mantm a forma.Esclarecemos o procedimento de construo que garante este efeito, ilustradona figura 2: segmento AB; retas perpendiculares ao segmento passando pelosseus extremos; crculo de centro A passando por B e interceptando uma dasretas em D; crculo de centro B passando por A e interceptando a outra retaem C; segmentos AD, DC e CB.

Figura 2 Construo do quadrado

O segundo exemplo corresponde construo que est em destaque nafigura 3, na qual os passos intermedirios so os elementos geomtricos queesto pontilhados: iniciamos construindo o tringulo ABC; depois construmosas retas r e s, as mediatrizes dos lados AB e AC do tringulo (lembramos que amediatriz de um segmento a reta perpendicular ao segmento e que passa peloseu ponto mdio); marcamos o ponto O de interseco das duas retas efinalizamos com a construo do crculo de centro O e que passa pelo ponto A.

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Captulo 2

Figura 3 Teorema do crculo circunscrito.

Como resultado final, vemos um tringulo e um crculo que passa pelostrs vrtices do tringulo. O procedimento de construo nos garante que oresultado obtido na tela do GeoGebra (usualmente reconhecido comocrculo circunscrevendo um tringulo) tambm uma figura da geometriadinmica: quando aplicamos movimento aos vrtices do tringulo, a figuramuda de tamanho e posio, mas sempre vamos ver um crculocircunscrevendo um tringulo.

Vamos aproveitar esse segundo exemplo para destacar um importanterecurso pedaggico que se apresenta, de forma natural, nos ambientes degeometria dinmica: criam-se situaes que preparam os alunos para oentendimento da necessidade e da importncia das argumentaes dedutivasque so caractersticas da geometria (GRAVINA, 2001). No exemplo acima,quando movimentamos os vrtices do tringulo, fica visualmente claro que ocrculo construdo continua sempre passando pelos trs vrtices. Mas serevisamos com ateno o procedimento de construo, encontramos somentea informao crculo de centro O que passa por A. Assim, temos que apropriedade de passar pelos vrtices B e C uma decorrncia da construofeita, ou seja, uma propriedade que a construo tem , sem que isso houvessesido declarado no passo a passo do procedimento geomtrico. Portanto,


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uma propriedade que merece explicao e esta nada mais do que ademonstrao do clssico teorema do circuncentro. Este teorema diz queo crculo com centro no ponto de interseco das mediatrizes de dois lados(ateno ao nosso grifo) do tringulo e passando por um de seus vrticesnecessariamente passa pelos outros dois vrtices.

Os dois exemplos apresentados acima, alm de terem o propsito deesclarecer como funcionam as figuras da geometria dinmica, tambm servempara indicar o quanto o processo de construo dessas figuras pode ser umrecurso didtico que prepara os alunos para iniciarem suas primeirasargumentaes dedutivas. Essa uma habilidade que no deveria sernegligenciada na formao matemtica escolar.

Anterior a esse aprendizado, que trata de raciocnios dedutivos, temosas dificuldades que os alunos encontram quanto ao entendimento dosignificado e alcance da figura, quando trabalham com geometria. Porexemplo, frequentemente os alunos tomam como propriedade da altura deum tringulo ser um segmento no interior do tringulo, ou se referem aoparalelogramo como o quadriltero com dois ngulos agudos e dois obtusos.Tais equvocos esto fortemente associados aos desenhos prototpicos quesempre acompanham, nos livros, a introduo destes conceitos: no caso daaltura, ela sempre apresentada em desenho de tringulo com ngulosagudos e, nessa situao, a altura de fato um segmento no interior dotringulo (lembramos que a altura relativa a um dos lados de um tringulo o segmento AH, onde A vrtice oposto ao lado em questo e H o p dareta perpendicular reta suporte do lado, passando pelo vrtice A). No casodo paralelogramo, os alunos esquecem que a condio que o define tosomente ser quadriltero com lados opostos paralelos e, impressionadospelo desenho, registram a presena dos ngulos agudos e obtusos.

Fischbein (1993) esclarece essa dificuldade dos alunos quando introduza ideia de conceito figural com dois componentes: um conceitual e outro figural.O componente conceitual, com maior ou menor grau de formalismo, expresso em linguagem natural. J o componente figural de natureza visual(forma, posio, tamanho) e se expressa atravs de um desenho. Naaprendizagem da geometria, importante o estabelecimento de adequadasimbiose entre os componentes conceitual e figural e nesse sentido nos dizFischbein:

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Captulo 2

[...] no caso especial de raciocnio geomtrico, ns temos que lidar

com um tipo especial de objeto mental, o qual possui, ao mesmo tempo,

propriedades conceituais e propriedades figurais. [...] A dificuldade

em manipular conceitos figurais, isto , a tendncia de negligenciar

a definio em funo da presso de restries figurais, representa

um dos maiores obstculos ao raciocnio geomtrico. (FISCHBEIN,

1993, p. 144, 151, nossa traduo)

As figuras da geometria dinmica muito ajudam na superao dessasdificuldades, pois, ao colocar-se sob movimento uma dada construo, temos,na tela do computador, uma coleo de desenhos que correspondem aocomponente figural do conceito ou propriedade em questo. No caso daaltura de um tringulo ABC relativa ao lado BC, a construo a seguinte:tringulo ABC, reta perpendicular reta suporte do lado BC e passando pelovrtice A, H ponto de interseco das duas retas, segmento AH.Movimentando o vrtice A, apresenta-se naturalmente a situao em que osegmento altura no est mais no interior do tringulo, conforme ilustra aFigura 4, que registra algumas das possibilidades resultantes do movimento.

Figura 4 Altura de um tringulo.

Quanto ao paralelogramo, fazemos a seguinte construo: segmentosAB e AD; reta r paralela ao segmento AB passando por D; reta s paralela aosegmento AD passando por B; C ponto de interseco das duas retas;segmentos BC e DC. Movimentando os vrtices A, B e D vemos que oquadriltero construdo mantm os lados opostos sempre paralelos; mas omovimento mostra que retngulos, quadrados e losangos so quadrilterosque fazem parte da famlia dos paralelogramos, e isso que ilustramos nafigura 5, a qual registra o resultado de alguns movimentos aplicados aosvrtices A, B e D do paralelogramo. Desta forma, o aluno v que no umacaracterstica do paralelogramo ter dois ngulos agudos e dois ngulosobtusos.


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Figura 5 Movimento aplicado ao paralelogramo

So inmeros os desdobramentos das situaes de aprendizagemquando se trabalha com geometria dinmica. Dentre eles, temos o estudoda geometria euclidiana que trata de figuras, seus conceitos, suas propriedadese demonstraes. Um outro desdobramento, este de natureza ldica, amodelagem geomtrica, e disto que vamos tratar na prxima seo.

Finalizamos essa seo informando sobre mais um desdobramento, oqual sugerido no prprio nome do software que funde geometria (Geo)com lgebra (Gebra). Com o GeoGebra tambm possvel trabalhar as figurassob o ponto de vista analtico. Para isso, basta selecionar os menus ExibirEixos e Exibir Janela de lgebra e aos objetos geomtricos construdosso associados, por exemplo, as coordenadas dos pontos, as equaes dasretas, as equaes dos crculos. A Figura 6 mostra essa interface de trabalhodo GeoGebra.

Figura 6 Geometria e lgebra no GeoGebra

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Captulo 2

Modelagem com Geometria Dinmica

Um modelo matemtico uma representao, em linguagemmatemtica, de certos aspectos de um fenmeno. Em particular, a modelagemgeomtrica uma representao que usa a linguagem da geometria trata-se de construo baseada em pontos, retas, segmentos, perpendicularidadee paralelismo, crculos, dentre outros elementos.

Podemos observar em diversos mecanismos ao nosso redor situaesem que a geometria se faz presente, e neles as formas geomtricas seapresentam em movimento. Por exemplo, em ventiladores podemos observaro movimento circular de suas hastes em torno do seu ponto central; emroldanas, observamos movimentos de sobe-desce conforme a roldana gira;na praa de brinquedos temos o vai-e-vem do balano; nas janelas basculantesvemos o movimento de giro de suas folhas; na escada rolante temos osdeslocamentos dos degraus; nas portas pantogrficas vemos o deslizamentodas grades.

Para implementar uma modelagem geomtrica, a primeira atitude terum olhar atento ao mecanismo que se pretende modelar. Ao observ-lo,precisamos identificar as caractersticas do movimento: um deslocamento? um movimento circular? uma composio de movimentos? Em algumasdessas situaes ns identificamos movimentos muito simples, como omovimento circular das hastes do ventilador ou de deslocamento ao abrir efechar uma porta pantogrfica. Em outras, podemos observar mltiplosmovimentos ou uma composio de movimentos.

Nos casos de objetos que possuem mltiplos movimentos, importanteprestar ateno na ordem em que eles acontecem. Na combinao demovimentos, estes podem ser do mesmo tipo, como no caso de ummecanismo com vrias engrenagens conectadas em que o movimento derotao da primeira engrenagem desencadeia o movimento de rotao dasegunda, e assim por diante. Tambm encontramos mecanismos em que oprimeiro movimento desencadeia um segundo movimento com caractersticasdiferentes; o caso do macaco do carro, no qual um movimento de girodesencadeia um movimento de deslocamento vertical.

Podemos tambm modelar situaes de movimento do corpo humano.Por exemplo, pode-se modelar o movimento de uma pessoa fazendopolichinelo, que envolve o movimento coordenado de braos e pernas; ou


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ento o movimento de pernas que pedalam uma bicicleta. Em qualquersituao, importante observar qual o movimento que aciona os demais ede que modo tudo se sincroniza.

Com o propsito de esclarecer os princpios da modelagem geomtrica,vamos apresentar os procedimentos para a construo de rplica de umventilador, indicando como isso se implementa no GeoGebra. Como jmencionado, iniciamos o processo de modelagem olhando atentamente ofuncionamento do mecanismo que queremos modelar. No caso do ventilador(figura 7), vemos que as ps, todas do mesmo tamanho, giram em torno deum centro.

Figura 7 Ventiladores

A modelagem, quanto ao nmero de ps ou quanto forma das ps,no apresenta maiores dificuldades, como veremos. Precisamos nosconcentrar na construo da primeira p: a partir dela que vamos obter asdemais ps e ela que vai desencadear o movimento de giro. Na figura 8temos o esqueleto do ventilador que vamos construir no GeoGebra: o crculopontilhado determina o tamanho do ventilador e os cinco segmentos, comum ponto em comum, correspondem s ps.

Figura 8 Esqueleto do ventilador

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Captulo 2

Vejamos como proceder. Inicialmente construmos o segmento que vaideterminar o raio do crculo pontilhado e um ponto O que vai ser o centrodo crculo. Com o recurso Compasso construmos o crculo, depois um pontoM sobre o crculo e finalmente o segmento que corresponde primeira haste(figura 9).

Figura 9 Incio da construo do ventilador

Quando movimentamos o ponto M, o segmento raio gira em torno doponto O e desta forma j temos a simulao do movimento da primeira p.Agora vamos dar uma forma p, e aqui podemos trabalhar com maior oumenor realismo. Neste momento queremos explorar, sobretudo, os aspectosrelativos geometria e assim vamos construir uma p muito simples aquelaque mostrada na figura 10.


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Figura 10 Construo da primeira p do ventilador

Para fazer a construo da p, vamos utilizar o segmento que determinouo raio do crculo. Esse segmento inicial muito importante na definio dosdetalhes do ventilador, pois a partir dele que criamos elementos queguardam proporo isto significa que ao mudar o tamanho do segmentoinicial, vemos na tela do computador a ampliao ou a reduo do ventilador.

O procedimento de construo da p o seguinte: no segmento inicialconstrumos o segmento que sua quarta parte, nisso utilizando duas vezesa ferramenta Ponto Mdio. Com o Compasso construmos o crculo de centroM e com raio igual ao segmento quarta-parte; esse o crculo menor queest pontilhado na figura 10. Usando os pontos de interseco dos doiscrculos e o ponto O, construmos um tringulo e neste momento j temosum formato aproximado da p do ventilador um tringulo issceles. Evamos adiante, de forma a melhorar esta aparncia: a partir dos dois vrticesda base do tringulo e usando a ferramenta Semicrculo definido por Dois Pontoscriamos a parte arredondada da p do ventilador.

Finalizamos a primeira p usando o recurso Esconder Objeto e o nossoprximo passo fazer a construo das demais ps. Lembramos que omovimento das demais ps deve estar associado ao movimento da primeira isto , ao movimentar o ponto M, as ps devem girar em sincronia. Como

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Captulo 2

fazer isso no GeoGebra? Escolhido o nmero de ps (no nosso caso socinco), calculamos a medida do ngulo entre as hastes de duas psconsecutivas (no nosso caso 72o = 360o/5) e usando a ferramenta Girar emtorno de um Ponto por um ngulo (indicada na figura 11) obtemos a segundap, resultante da rotao da primeira, segundo ngulo de medida de 72o, emtorno do ponto centro do ventilador. Para construir as demais ps,procedemos da mesma forma: giramos a segunda p e obtemos a terceira,giramos a terceira e obtemos a quarta e assim por diante.

Figura 11 Construo das ps do ventilador

A rplica aqui construda simples em sua estrutura geomtrica e podeser uma primeira atividade de modelagem na escola. Podemos trabalhar maiso seu realismo, por exemplo, construindo a grade protetora e/ou o p doventilador. Mas esses so detalhes de decorao que no apresentammaiores dificuldades para implementao no GeoGebra.

Com a construo do ventilador procuramos mostrar o quanto amodelagem das formas em movimento, mesmo em situaes muito simples,propicia o desenvolvimento de raciocnios geomtricos. com esse espritoque desenvolvemos o material do site Mdias Digitais I, no seu Mdulo III(figura 12).


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Figura 12 Interface do Mdulo III do site Mdias Digitais I

Nesse mdulo, o submenu Objetivos chama ateno para mecanismosque esto no nosso dia-a-dia, mostra alguns exemplos e coloca o desafio:como construir rplicas dos objetos usando geometria dinmica. No submenuContedos, do mesmo mdulo, so apresentadas as rplicas do ventilador,do macaco de carro, do pisto e da balana de prato construdas no softwareGeogebra (figura 13).

Figura 13 Modelos geomtricos de ventilador, macaco de carro, pisto e balana

Essas rplicas podem ser manipuladas (atravs do ponto Mova) e, como movimento, elas esclarecem as relaes geomtricas que definem ofuncionamento dos mecanismos1. Por exemplo, ao manipular o pontoMova do esqueleto do macaco, o losango se modifica conforme ilustra a

1 Para melhor entendimento do que est sendo explicado interessante manipular as

simulaes que esto em no link Mdulo III.

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Captulo 2

figura 14 nela temos algumas instncias resultantes do movimento. Umolhar cuidadoso para o dinamismo que se apresenta na tela do computadorpode identificar o movimento a ser modelado essencialmente um raiode crculo em movimento. a partir deste segmento raio que feita aconstruo do losango.

Figura 14 Manipulao do ponto Mova no macaco de carro

No submenu Recursos do Mdulo III so detalhados os procedimentosde construo a serem feitos no GeoGebra, atravs de material interativoque permite o acompanhamento de todos os detalhes. A Figura 15 ilustra omaterial que est disponvel no site, relativo construo do macaco. Emparticular, fica claro no procedimento de construo que o movimentocircular do ponto Mova que provoca o movimento retilneo vertical do pontoE este o ponto em que o carro se apia no macaco. Essa sincronizao demovimentos resulta da propriedade que caracteriza o losango aquela deter diagonais perpendiculares.

Figura 15 Instrues para construo do macaco do carro , com barra de navegao.


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Para as demais rplicas que esto no submenu Contedos tambmso disponibilizadas explicaes.

Outras tantas situaes interessantes, e at mesmo divertidas, podemser modeladas no GeoGebra. Podemos, por exemplo, criar brinquedos ejogos com movimento sincronizado, como um caleidoscpio, uma pista decorrida de carros, brinquedos de parques de diverses. Tambm podemospensar no prprio corpo humano e criar modelos que representem osmovimentos de braos, pernas, mos, olhos, dentre outros. Na figura 16temos a modelagem de grupo de bailarinos em movimento, onde todo grupodana quando se manipula o ponto M. Esse efeito obtido atravs daferramenta Ampliar ou Reduzir Objeto, disponvel no menu das TransformaesGeomtricas. A segunda situao simula o brinquedo conhecido comoPogobol; aqui o uso da ferramenta Lugar Geomtrico pode criar interessantesefeitos de caminhos de pulos e a imaginao provoca raciocniosgeomtricos que dificilmente se fariam presentes na sala de aula tradicional.

Figura 16 Modelagem de movimentos do corpo humano

Os dois exemplos acima tambm ilustram o quanto a atividade demodelagem geomtrica provoca incessantes desafios de construo. E quantomaior o nmero de desafios superados, maiores sero as habilidades paraimplementar rplicas de mecanismos ou situaes com movimentos maiselaborados. No submenu Complementos do site Mdias Digitais Iapresentamos outras ideias, dicas e truques para aqueles que queiram seaventurar mais e mais no mundo (divertido) da modelagem geomtrica.

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Captulo 2

Professores trabalhando com Geometria Dinmica

O Curso de Especializao Matemtica Mdias Digitais e Didtica tevecomo objetivos: a) a atualizao dos conhecimentos dos professores dematemtica, integrando o uso de mdias digitais na sala de aula; b) aimplementao de prticas-pedaggicas inovadoras nas escolas,contemplando um papel ativo do aluno no processo de aprendizagem. Ocurso desenvolveu-se em trs semestres, sempre articulando os trscomponentes do trip Matemtica Mdias Digitais Didtica. Na disciplinaMdias Digitais I, uma das primeiras ofertadas, os professores-alunosiniciaram o trabalho com a geometria dinmica e, mais especificamente, coma modelagem geomtrica. A grande maioria desconhecia o assunto e foi comentusiasmo que se engajaram nas primeiras atividades de construesgeomtricas e, ao final de trs semanas, estavam produzindo suas rplicasde mecanismos.

No Curso, desde o primeiro momento, se buscou estabelecer uma rotinade reunio semanal da equipe pedaggica, constituda por professores, tutoresa distncia e coordenao do Curso. Nesta reunio semanal definiam-se osestudos e trabalhos a serem realizadas pelos professores-alunos, bem comoos critrios para acompanhamento e avaliao da produo semanal. E arotina dos alunos assim se estabeleceu: em cada semana fizeram estudo domaterial disponibilizado nos mdulos dos sites das disciplinas, realizaram atarefa correspondente e fizeram a entrega do trabalho no ambiente virtualde aprendizagem Moodle.

Na primeira semana da disciplina Mdias Digitais I os professores-alunosestudaram o material do Mdulo I disponibilizado no site Mdias Digitais Ie ento realizaram as primeiras construes no GeoGebra, na forma demosaicos. Os professores-alunos foram convidados a olhar para a geometriados mosaicos que decoram os diferentes ambientes nos quais circulam nodia-a-dia, e ento a construir rplicas que fossem figuras da geometriadinmica, isto , sob movimento, os desenhos do mosaico deveriampermanecer perfeitos. Os resultados obtidos foram interessantes, conformeregistra a figura 17.


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Figura 17 Mosaicos produzidos pelos professores-alunos

Na escola, essa atividade pode ser desenvolvida com o propsito deintroduzir os primeiros conceitos da geometria. Ao construir um mosaico,trabalhamos com vrios conceitos da geometria: pontos, retas, retasperpendiculares, retas paralelas, tringulos e quadrilteros, crculos, entreoutros. Na figura 18 temos uma amostra da produo dos alunos destesprofessores, que registra as diferentes fases das construes no terceiromosaico, finalizado, muitos dos procedimentos de construo feitos peloaluno esto escondidos.

Figura 18 Mosaicos produzidos por alunos dos professores-alunos

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Captulo 2

Essa foi uma atividade realizada na sala de aula dos professores-alunos.A realizao de novas prticas pedaggicas foi uma exigncia feita aosprofessores-alunos em diferentes momentos do Curso. Muitos delesimplementaram as primeiras experincias de geometria dinmica, em suassalas de aulas, atravs da atividade mosaicos. Vale mencionar que aimplementao das novas prticas pedaggicas sempre exigiu, dos professores-alunos, a transposio didtica daquilo que estavam aprendendo. Esta etapade transposio didtica foi denominada Engenharia Didtica, expressoemprestada da metodologia de pesquisa criada na escola francesa de Didticada Matemtica. Nela, o professor-aluno escolhia um tema e desenvolvia umprojeto de estudo e investigao, que inclua levantamento bibliogrfico,formulao de hipteses, coleta de dados, anlise e relatrio final.

As Engenharias Didticas produzidas sinalizam o impacto da geometriadinmica na prtica pedaggica dos professores-alunos. Algumas dasmanifestaes destes professores-alunos:

As atividades desenvolvidas com os 12 alunos foram especiais [...]

no decorrer das aulas pudemos sentir a satisfao e encantamento

dos alunos com o contedo de geometria, apresentado de forma

diferenciada [...] as construes foram bem variadas, e percebemos a

facilidade de alguns na construo das figuras geomtricas, e outros

nem tanto...

A prtica foi realizada com o primeiro ano, noturno. No primeiro

encontro foram trabalhadas as ferramentas do Geogebra, e aps as

atividades [...] Foram construes de quadrados que no se

deformassem, harmonizando os conceitos com as figuras. As

atividades foram realizadas com motivao, interesse e cooperao

por parte dos alunos. Adoraram trabalhar no Geogebra!

Observei que os alunos demonstravam facilidade ao construir figuras

no programa e ao brincar com o mesmo. O que levei tempo para

utilizar, foi usado tranquilamente por eles... No ltimo encontro a

construo de mosaicos com figuras geomtricas foi realizada com

facilidade.

Na terceira semana do Curso, os professores-alunos iniciaram o trabalhocom modelagem geomtrica o Mdulo III da disciplina. Aps o estudo do


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material que explicava os procedimentos para fazer a modelagem de algunsmecanismos (ventilador, macaco-de-carro e pisto, entre outros, apresentadosna sesso 2 deste captulo), eles iniciaram suas construes. A entrega dotrabalho foi feita no espao Banco de Dados do ambiente Moodle, e destaforma a produo se organizou como uma Galeria de Trabalhos um espaoem que todos tinham acesso s produes feitas pelos seus colegas.

A Galeria descortinou muitos ventiladores e rodas-gigantes, mastambm outros mecanismos como automveis, relgios, brinquedos e pontesmveis. importante lembrar que esses professores-alunos, nesta disciplinade Mdias Digitais I, estavam tendo as primeiras experincias com geometriadinmica e assim, naturalmente, foram apresentadas muitas produessimples e parecidas com aquelas explicadas no Mdulo III.

Figura 19 Situaes de modelagem apresentadas pelos professores-alunos

A figura 19 traz uma amostra das produes. A modelagem do cata-vento usa os mesmos princpios geomtricos usados na modelagem doventilador, mas ao apresentar muitos cata-ventos (que lembram o parqueelico da cidade de Osrio, Rio Grande do Sul) ela integra construo omovimento de translao. Na construo da roda-gigante tambm estpresente o movimento de translao construdo o primeiro banco, os demaisso obtidos aplicando-se o movimento de translao e desta forma quetodos os bancos se mantm na posio horizontal.

J para a construo da porta pantogrfica, o professor-aluno trabalhoucom o conceito de ponto mdio para criar o efeito de abrir/fechar a porta.Para este efeito, inicia-se com a construo de um segmento e a marcao deseu ponto mdio, e depois feita a marcao dos pontos mdios dossegmentos determinados por estes trs pontos, e sucessivamente segue-secom a marcao de pontos mdios. Desta maneira, com o movimento doponto extremidade do segmento que se cria o efeito de recuo da porta,

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Captulo 2

pois os pontos que esto no segmento se acumulam conforme os pontosextremos se aproximam. Este procedimento de construo e o efeito domovimento esto ilustrados na figura 20.

Figura 20 Construo do efeito abrir/fechar a porta pantogrfica

Feito isso, falta apenas construir a grade da porta pantogrfica. Essa grade gerada a partir de dois segmentos: inicia-se esta etapa construindo o primeiroX da grade, conforme figura 21.

Figura 21 Incio da construo da grade da porta pantogrfica

Os demais elementos que compem a grade da porta so construdosatravs do recurso Reflexo com Relao a uma Reta. Com esse procedimento,quando movimentamos o ponto extremidade do segmento, o efeitosanfona dos pontos produz o efeito sanfona da grade.

As trs modelagens produzidas pelos professores-alunos utilizaramrecursos do menu das Transformaes Geomtricas. Esse realmente ummenu importante, quando trabalhamos com modelagem. Vale a penaconhec-lo e na figura 22 colocamos em destaque as opes que nele seapresentam.


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Figura 22 Imagem do menu de Transformaes Geomtricas do GeoGebra

No caso da coleo de cata-ventos, aplica-se o recurso Transladar umObjeto por um Vetor no primeiro cata-vento, escolhendo-se um convenientevetor para definir a translao (figura 23). E depois se aplica novamente orecurso, produzindo um terceiro cata-vento e um quarto cata-vento. E seescolhemos um novo vetor, usando sucessivas translaes segundo este vetor,produzimos outros tantos cata-ventos.

Figura 23 A transformao de Translao

No caso da porta pantogrfica, aplicamos uma primeira vez o recursoReflexo com Relao a uma Reta sobre um dos segmentos do primeiro X dagrade, escolhendo uma conveniente reta de reflexo (figura 24). Eprosseguimos com sucessivas aplicaes desse recurso, at que se complete oprimeiro zigue-zague de segmentos. E com o mesmo procedimento,construmos o segundo zigue-zague de segmentos, assim completando agrade.

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Captulo 2

Figura 24 Construo da grade da porta pantogrfica

Nesta seo, procuramos compartilhar com o leitor o processo deaprendizagem vivenciado pelos professores-alunos. Ao identificarmovimentos que esto presentes no dia-a-dia e fazer uma modelagem, osprofessores-alunos puderam, novamente, olhar o mundo sob a tica dageometria. Aos poucos foram se aventurando em construes maiselaboradas, com aprofundamento do raciocnio de natureza geomtrica, eassim eles se manifestaram:

Para a modelagem da roda tive como base a modelagem do

ventilador. Porm, gostaria de conseguir modelar outros objetos que

tm como princpio a construo do macaco, tentarei.

Cheguei a construir uma lixeira de pedal, ficou funcionando bem,

porm existem vrios pontos que deformam a figura original [...].

At mesmo nesta janela que estou enviando existem alguns elementos

geomtricos que talvez no sejam necessrios. Ao final de muitas

tentativas, constru este modelo da janela. Estou contente por isso.

Na primeira modelagem que havia feito a gangorra da praa infantil,

girava 360 ... mas consegui fazer com que a gangorra se movimentasse

de maneira certa [...] Fiz vrias vezes, com muita persistncia e acredito

que tenha dado certo. Durante estas tentativas descobri outros

elementos do Geogebra e estou cada vez mais encantada com as

maravilhas que podem ser criadas com esse programa.

Finalizando

O software GeoGebra, com suas infinitas possibilidades, permite aoprofessor discorrer sobre temas importantes da geometria, cujo aprendizado


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exige muita abstrao por parte do aluno. No decorrer do captulo,inicialmente vimos como a geometria dinmica pode auxiliar o professorque deseja trabalhar com seus alunos as figuras geomtricas e suaspropriedades, desta forma procurando avanar com o desenvolvimento dehabilidades que se fazem presentes nas atitudes de argumentar, explicarpropriedades da geometria.

Mas antes de trabalhar com os alunos sob esta perspectiva da argumentaodedutiva, ou seja, com foco nos teoremas e suas demonstraes, o professorpode entusiasm-los com uma atividade de modelagem. O interessante que amodelagem matemtica possibilita modificar nosso olhar diante das situaescotidianas ela nos faz perceber a presena da matemtica em atividades donosso dia-a-dia. com este olhar de gemetra que vamos ver os alunostransformando objetos comuns em dinmicos objetos geomtricos com a ajudado GeoGebra. Essa transformao dos objetos requer uma sutileza de olhar edomnio de procedimentos geomtricos, e desta forma os alunos estodesenvolvendo habilidades que so caractersticas do pensamento matemtico observar, relacionar, experimentar, conjecturar, errar e refinar suposies.

O material apresentado no Captulo pode servir como uma aula deintroduo modelagem geomtrica. Se, ao final da leitura, o leitor instalaro software GeoGebra no seu computador, consultar o material disponibilizadono site Mdias Digitais I e se lanar nas primeiras aventuras de modelagemgeomtrica, podemos dizer que realizamos o objetivo do Captulo.

Referncias

BORTOLOSSI, H. J. Tutorial do GeoGebra. Disponvel em .

FISCHBEIN, E. The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, vol. 24, n. 2,p. 139-162, Feb. 1993.

GRAVINA, M. A. Os ambientes de geometria dinmica e o pensamento hipottico dedutivo. Tese(Doutorado em Informtica na Educao) Programa de Ps-Graduao em Informtica naEducao, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2001. Disponvel em .

GRAVINA, M.A.; BARRETO, M. Mdias Digitais I. Material Didtico. Curso de Especializao:Matemtica, Mdias Digitais e Didtica para a Educao Bsica. Porto Alegre, UAB/IM/UFRGS, 2009. Disponvel em:

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Captulo 3

PARBOLAS, ELIPSES E HIPRBOLESTRAADAS POR MECANISMOS

DANIELA STEVANIN HOFFMANNELISABETE ZARDO BRIGO

MARCIO A. RODRIGUEZ DE RODRIGUESMARINA MENNA BARRETO

SANDRA DENISE STROSCHEIN

Introduo

As chamadas sees cnicas raramente so estudadas no Ensino Mdio,embora sejam, de algum modo, familiares aos estudantes: a parbola aparece,em geral, associada ao grfico da funo quadrtica e a elipse, trajetriados planetas do Sistema Solar. No Curso de Especializao Matemtica Mdias Digitais Didtica, essas curvas foram objeto de estudo no Mdulo IVda disciplina Geometria e Trigonometria na Resoluo de Problemas,buscando-se propiciar, aos professores em formao continuada, maiordesenvoltura no seu manejo, na compreenso de suas propriedades e desuas aplicaes em situaes diversas, favorecendo a abordagem do temaem sala de aula do Ensino Mdio.

O recurso s mdias digitais permitiu introduzir, nesse estudo, umainovao interessante: a construo de mecanismos digitais, com softwarede matemtica, que simulam mecanismos reais (construtveis com hastes demadeira, parafusos e lapiseiras) e que traam parbolas, elipses e hiprboles.Foram examinadas as condies de construo desses mecanismos que


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garantem que as curvas traadas sejam as respectivas cnicas. Aexperimentao com os mecanismos permitiu tambm a variao deparmetros, como a distncia entre os focos, ou o comprimento dos semi-eixos, e a anlise de como essa variao incide sobre o formato das figuras.Os protocolos de construo foram disponibilizados, de modo que osmecanismos pudessem ser reproduzidos e utilizados em sala de aula.

Na Geometria grega, o interesse pelas sees planas do cone teve origemna busca de solues para o famoso problema da duplicao do cubo, que o de, dado um cubo de volume V, obter-se um cubo de volume 2V (HEATH,1981, p. 110). O problema deve ser resolvido em termos de construo desegmentos, isto , conhecida a aresta a do cubo de volume V, o que se procura construir a aresta do cubo de volume 2V. Em linguagem algbrica, oproblema pode ser traduzido como segue: dado V = a3, obter x tal que 2V= x3,o que equivale a resolver a equao x3=2a3. Mas a soluo buscada geomtrica, isto , deve-se obter o segmento de medida x a partir do segmentode medida a. O desafio entre os gregos era construir o novo segmento usandoapenas rgua e compasso, e a impossibilidade de uma soluo com essesinstrumentos euclidianos1 s foi demonstrada no sculo XIX.

Figura 1 Seccionamentos do cone circular reto.Fonte: site da disciplina Geometria e Trigonometria na Resoluo de Problemas.

1 Aqui nos referimos impossibilidade da construo do segmento dadas as seguintes

regras: com a rgua (no graduada) permite-se apenas traar uma reta passando por dois

pontos dados; com o compasso permite-se apenas traar um crculo com centro num

ponto dado passando por um segundo ponto qualquer dado.

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Captulo 3

Seccionando um cone circular reto por um plano, e variando o ngulode corte, podemos obter as curvas que hoje conhecemos como parbolas,elipses e hiprboles da sua designao como sees cnicas. Na figura 1esto ilustrados alguns desses cortes. Quando o plano paralelo a uma geratrizdo cone, a curva obtida na interseco do cone e do plano uma parbola(corte em verde na figura 1); se o plano perpendicular ao eixo, a curva um crculo (corte em vermelho); se o plano faz um ngulo oblquo com oeixo de modo a atravessar o cone, a curva uma elipse (corte em roxo); se oplano corta o cone de modo a interseccionar suas duas folhas, a curva umahiprbole (corte em azul).

Menaecmo, cerca de 350 a. C., obteve duas solues para o problema daduplicao do cubo, recorrendo a essas curvas. Usando apenas crculos etringulos semelhantes, Menaecmo provou que, para a parbola, valia apropriedade que hoje escrevemos como kxy 2 = e, interseccionando duasparbolas distintas, pde construir o segmento desejado 2.

A elipse e a hiprbole tambm podem ser apresentadas a partir de suaspropriedades focais, tomando-se dois pontos fixos F1 e F2 (denominados focos)num plano 3. A elipse definida como o lugar geomtrico dos pontos doplano para os quais a soma das distncias a cada um dos dois focos igual auma constante positiva k, isto , como o conjunto dos pontos P para os quaisvale 4, e a hiprbole definida como o lugar geomtrico

2 A descrio dessa soluo pode ser encontrada em Eves (2004, p. 149-150) ou Boyer(1994), assim como a deduo das equaes das curvas em termos do que hojedenominamos coordenadas.

3 Pode-se demonstrar que as definies das cnicas a partir de suas propriedades focais(nos casos da elipse e da hiprbole) ou a partir da propriedade foco-diretriz (no caso daparbola) so equivalentes s definies anteriormente apresentadas das curvas comoseccionamentos do cone. Essa demonstrao fica abreviada mostrando-se as equivalnciasentre as equaes correspondentes s curvas, num e noutro caso. No site da disciplinaGeometria e Trigonometria na Resoluo de Problemas (Mdulo IV Contedos) asequaes das cnicas em coordenadas retangulares so deduzidas a partir das definiesgeomtricas aqui apresentadas. Para a deduo das equaes a partir dos cortes do cone,indicamos, conforme nota anterior, Eves (2004, p. 149-150) e Boyer (1994). Umainteressante demonstrao geomtrica das equivalncias de definies dada no Teoremade Dandelin, explicado atravs de animaes no endereo .

4 Designamos como d (P, F1) a distncia entre os pontos P e F1 e, analogamente, comod (P, F2) a distncia entre os pontos P e F2; dados F1, F2 e k, a elipse (ou a hiprbole) ficadeterminada.


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dos pontos do plano para os quais o mdulo da diferena entre as distnciasaos focos igual a uma constante positiva dada, isto , como o conjunto dospontos P para os quais vale .

possvel ter-se uma definio que abrange as trs curvas, que pode serchamada de propriedade foco-diretriz. Dados uma reta r (diretriz) e umponto F (foco) fora dela, e uma constante positiva e, o lugar geomtrico dos

pontos P do plano que contm r e F e para os quais vale uma

cnica 5. Demonstra-se que a curva ser uma parbola, elipse ou hiprbole,respectivamente, quando essa razo for igual, menor que ou maior que um6.No caso da parbola temos, ento, a definio bem conhecida: dados umareta r (diretriz) e um ponto F (foco) fora dela, o conjunto dos pontos P paraos quais d(P, F) = d (P, r) uma parbola. Essas propriedades j eramconhecidas de Apolnio, cerca de 250 a.C.

No quadro que segue, sistematizamos os resultados aqui mencionados.Na ltima coluna inclumos as propriedades refletoras das cnicas7, queresultam das propriedades focais e que so importantes para a compreensode aplicaes diversas.

Quadro 1 Propriedades das sees cnicas

5 Designamos como d (P, r) a distncia entre o ponto P e a reta r.6 A equivalncia entre a propriedade foco-diretriz e as propriedades focais, para os casos da

elipse e da hiprbole, est demonstrada em livros de Clculo, como Anton (2007).7 A propriedade refletora da parbola est demonstrada no site da disciplina (HOFFMAN;

BARRETO, 2009)e no texto que segue. Para a demonstrao das propriedades refletorasda elipse e da hiprbole, indicamos Vasliev (1980).

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Captulo 3

A abordagem das cnicas no curso

Para os estudantes do Ensino Mdio, a parbola est associada ao grficoda funo polinomial do segundo grau, ou funo quadrtica. Como, em geral,as propriedades das parbolas no so discutidas, e o estudo das funes tomacomo referncia as frmulas, restringindo-se a poucos casos funes lineares,quadrticas, exponenciais e, eventualmente, trigonomtricas essa associaopermanece bastante vaga. A maioria dos estudantes, ao final do Ensino Mdio,nomeia como parbola qualquer curva que no muda de concavidade e quetem eixo de simetria vertical. Muitos inclusive confundem a parbola com odesenho de um U, como se a curva tivesse assntotas. Elipses so identificadas,pelos estudantes, com crculos achatados ou alongados.

Nos cursos de formao de professores de Matemtica, parbolas, elipsese hiprboles so estudadas, em geral, nas disciplinas de Geometria Analtica.As curvas so tratadas como conjuntos de pontos representados por paresde coordenadas retangulares, e so enfatizadas as equaes que estabelecemrelaes entre essas coordenadas. As propriedades focais das curvas soutilizadas para a obteno das equaes e, depois, deixadas de lado.

Na disciplina Geometria e Trigonometria na Resoluo de Problemas,o estudo das cnicas foi motivado, inicialmente, pela questo: Por que asantenas so parablicas? 8.

8 O material didtico produzido para a disciplina, Hoffman e Barreto (2009), pode ser

acessado atravs do endereo . O

problema aqui mencionado d incio ao Mdulo IV do material, acessvel atravs do

submenu problema IV.

Figura 2 Ilustrao da propriedade refletora das parbolase de sua aplicao na antena parablica.

Fonte: site da disciplina Geometria e Trigonometria na Resoluo de Problemas.


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Os sinais captados pelas antenas parablicas devem convergir para oreceptor F, como ilustra o esquema da direita na figura 2. Qual o efeitoproduzido pela curvatura parablica? Os sinais recebidos na direo do eixoda superfcie parabolide, ao serem refletidos pela antena, tomam a direodo foco. Isso resulta da propriedade refletora das parbolas, que so as curvasobtidas quando seccionamos o parabolide atravs de planos passando peloseu eixo de simetria.

No site da disciplina, foi proporcionada a explorao de um objetodigital, construdo com o software GeoGebra 9, que ilustra essa propriedade(conforme figura 3). Movimentando-se um ponto P ao longo da curva,observa-se que os dois ngulos formados pelo sinal verde com a retatangente parbola no ponto P tm a mesma medida. Isto : a semirretaque parte de P e paralela ao eixo (em verde na figura 3) faz, com a retatangente parbola em P (em roxo na figura 3), um ngulo de mesma medidaque a reta que passa por P e por F (em verde) faz com essa tangente.

Figura 3 Dispositivo para experimentao da propriedade refletora da parbola. Quandomovemos o ponto D na reta diretriz, o ponto P se desloca ao longo da curva.

9 Software geomtrico de livre acesso, disponibilizado no site .

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Captulo 3

Por que isso acontece? A propriedade refletora da parbola pode serdeduzida da propriedade foco-diretriz, como mostramos a seguir.

Figura 4 Ilustrao da demonstrao da propriedade refletora da parbola.Fonte: site da disciplina Geometria e Trigonometria na Resoluo de Problemas.

Sejam F o foco da parbola, P um ponto qualquer da parbola e D aprojeo ortogonal de P sobre a reta diretriz, como ilustra a figura 4. Vamos,inicialmente, mostrar que a reta bissetriz do ngulo FPD, que denominamost, tangente parbola em P; para isso mostraremos que qualquer ponto Qda reta t e distinto de P no est na parbola.

Partindo da propriedade foco-diretriz, temos que se P um pon

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Matematica Midias 2