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7/24/2019 Matemtica Secundrio - Ciclo Formativo Porto Editora
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OoR Juntos,abrimos horizontes.
CICLOFORMATIVO
ETAPA FORMATIVA I
Matemtica A
Ensino Secundrio
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2/24O
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 2
Ciclo Formativo Porto Editora
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TEMA:CONVEXIDADE,TRIGONOMETRIA
E A NOO DE LIMITENO PROGRAMA DE
MATEMTICA A
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 4
Ciclo Formativo Porto Editora
CICLOFORMATIVO
Matemtica A:Ensino Secundrio
Filipe Oliveira
FunesConvexidade
Filipe Oliveira
Funes de varivel realConvexidade
O
Funo cncava
Ideia intuitiva Um berlinde colocado inicialmente num qualquer ponto do
grfico ser submetido a uma acelerao tangencial cada vez mais elevada.
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 5
Funes de varivel realConvexidade
O
Funo convexa(O grfico tem a concavidade
voltada para cima. So as funes
simtricas das funes cncavas)
O
Funo cncava(O grfico tem a concavidade
voltada para baixo)
Precisamos agora de dar uma definio de funo convexa e de funo cncava.
Uma funo duas vezes diferencivel num dado intervalo tem a concavidade
voltadapara baixo/para cimase 0/ 0 nesse mesmo intervalo.
A nica definio que figura no Programa atualmente em vigor a seguinte:
Este poder ser um bom critrio para o caso de funes duas vezes diferenciveis.
Contudo, enquanto definio, muito insuficiente.
A derivadasegunda nopermitediscriminarentreestasduas situaes todistintas.
Na presente situao, nem sempre existe. E, nos pontos em que existe, nulaem ambos os exemplos
Funes de varivel realConvexidade
Uma analogia: funes montonas
Definio Uma funo definida num intervalo diz-se crescente nesse
intervalo (no sentido lato) se:
, , <
Propriedade (critrio para funes diferenciveis)
Seja uma funo diferencivel num intervalo . Ento: 0 em crescente em
Recorrendo definio, pode afirmar-se que
esta funo crescente.
Nesta situao, o critrio acima totalmente
inaplicvelpara se concluirquanto monotonia.
Funes de varivel realConvexidade
Propriedade de Def ini o C ri trio s uf ic iente
Crescente < () () 0 (seexistir)
Concavidade voltada para cima Em falta! 0 (seexistir)
Como esto viradas as concavidades das seguintes funes?
necessrio dar uma definio
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 6
Ciclo Formativo Porto Editora
Funes de varivel realConvexidade
DefinioDiz-se que o grfico de tem
a concavidade voltada para cima se,
para todos < 1 =0 se =12se >1
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
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Funes de varivel realConvexidade
Ligao diferenciabilidade
Se diferencivel:
<
Pode-se provar que se trata de
facto de uma equivalncia:
crescente o grfico de tema concavidade
voltada para cima
Se for duas vezes diferencivel: 0 o grfico de tema concavidade voltada
para cima
Funes de varivel realConvexidade
Uma ltima nota sobre a equivalncia , 0 crescente em . bastante simples, basta observar o sinal das taxas de variao + ()e passar ao limite 0. bem menos trivial!Existem funes tais que, num dado ponto , > 0, sem que seja crescenteem nenhum intervalo que contenha
!
=+ 2sin 1 se 00 se = 0 0 = l im0
+ 2sin 1 0 = 1 > 0Mas,em qualquer intervaloda forma, ,2sin1 tomauma infinidade de vezesvalorespositivos e valores negativos: o grfico deatravessa a bissetriz dos quadrantes mparesuma infinidade de vezes: no crescente.
Funes de varivel realConvexidade
Uma ltima nota sobre a equivalncia
, 0 crescente em .
Teorema de Lagrange Seja diferencivel num intervalo . Ento,
para todos , , < , existe ], [, = ()
.
Assim, se 0, obtm-se ()
0, ou seja, :
crescente.
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Ciclo Formativo Porto Editora
TrigonometriaResoluo de tringulos
Filipe Oliveira
TrigonometriaResoluo de tringulos
Resolver um tringulo significa:
- determinar a medida de amplitude dos trs ngulos;
- determinar a medida de comprimento dos trs lados.
Trata-se, historicamente, do primeiro propsito da Trigonometria.
(Trigonometria = + = medir tringulos)
Primeiras tabelas trigonomtricas
Hiparco (190 a. C.-120 a. C.)
TrigonometriaResoluo de tringulos
Grande aplicabilidade da Trigonometria aomundo real ideia-chave:
2.A Trigonometria converte(informao sobre) ngulos em
1. mais fcil, na prtica, medir ngulos do que distncias.
Assentes nestes dois princpios, os Antigos conseguiram
obter resultados muito impressionantes para a pouca
tecnologia de que dispunham, e.g.
Medida do raio da Terra, Eratstenes, sculo III a. C.
Distncia da Terra Lua, Hiparco, sculo II a. C.
(informao sobre) distncias.
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
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TrigonometriaResoluo de tringulos
No Programa do 11. ano, pretende-se sistematizara resoluo de tringulos, o quepermite recentrar a introduo da Trigonometria naquilo que a sua gnese e,
simultaneamente, fornecer instrumentos que permitam abordar problemas mais
complexos e interessantes.
Dado um tringulo, determinado por um dos casos de igualdade, pretende-se obter
rapidamente as medidas dos lados e ngulos desconhecidos:
Caso ALA
Caso LAL
Caso LLL
= ? , = ? , = ? = ? , = ? , = ? = ? , = ? , = ?
TrigonometriaResoluo de tringulos
Existem trs ferramentas fundamentais para a resoluo de tringulos:
1. A soma dos ngulos de um tringulo um ngulo raso.
2. A analogia dos senos.
3. O Teorema de Carnot.
TrigonometriaResoluo de tringulos
Analogia dos Senos
Se e forem ngulos agudos,
sin =
= sin
sin =
= sin
De onde se conclui que sin = sin :
sin
=
sin
Em particular, num tringulo acutngulo,
sin
=
sin
=
sin
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 10
Ciclo Formativo Porto Editora
TrigonometriaResoluo de tringulos
Resoluo de um tringulo conhecidos um lado e os dois ngulos adjacentes (ALA)
sin
=
sin
=
sin
= sin
sin =
sin
sin
=
TrigonometriaResoluo de tringulos
Teorema de Carnot
Se e forem ngulos agudos:
= +
De onde se conclui que = :
= + 2 cos
HB
C
A = +
cos = cos
cos = cos + 2 cos
TrigonometriaResoluo de tringulos
Resoluo de um tringulo conhecidos os trs lados (LLL)
e podem agora ser determinados por nova aplicao do Teorema de Carnot, ou,
alternativamente, aplicando a analogia dos senos:
sin = sin
sin =
sin
2 =2 +2 2 cos
cos =2 + 2 2
2
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
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TrigonometriaResoluo de tringulos
Resoluo de um tringulo conhecidos dois lados e o ngulo por eles formado (LAL)
sin = sin
sin =
sin
Pela analogia dos senos:
Facilmente se reduz ao caso anterior, utilizando o
Teorema de Carnot para calcular :
2 =2 +2 2 cos
TrigonometriaExtenso das razes trigonomtricas a ngulos retos e obtusos
No Ensino Bsico, apenas se definiram as razes trigonomtricas de ngulos agudos.
Pretende-se agora disponibilizar definies para o seno e o cosseno de ngulos retos e
obtusos.
Vamos escolher essas definies de forma que se mantenham vlidos o Teorema deCarnot e a analogia dos senos em qualquer tringulo.
TrigonometriaExtenso das razes trigonomtricas a ngulos retos e obtusos
Que definio dar de sin ?
Pretende-se quesin
=
sin
Ou seja, quesin = sin
.
Ora, sin
=
=
= sin( ) .
A definio que se impe , pois, a seguinte:
Definio
Dado um ngulo obtuso , define-se sin como o seno do suplementar
de (que agudo): sin = sin( ).
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 12
Ciclo Formativo Porto Editora
TrigonometriaExtenso das razes trigonomtricas a ngulos retos e obtusos
Que definio dar de cos ?
Pretende-se que: = + 2 cos
Pelo Teorema de Pitgoras:
= +cos e = + (+cos )
Assim, = cos = 2cos cos,
de onde resulta que = + +2 cos .
Definio
Dado um ngulo obtuso , define-se cos como o simtrico do cosseno dosuplementar de (que agudo): cos = cos( ).
TrigonometriaExtenso das razes trigonomtricas a ngulos retos e obtusos
- a analogia dos senossin
=
sin
se mantm vlida se e s se sin
2= 1
No caso do ngulo reto, imediato constatar que:
- o Teorema de Carnot = + 2 cos
se mantm vlido se e s se cos
2= 0
Que definio dar de sin
e de cos
?
SucessesNoo de limite
Filipe Oliveira
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
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SucessesNoo de limite de uma sucesso
A introduo da noo de limite marca o incio da Anlise Matemtica
propriamente dita.
Esta noo pode ser vislumbrada logo a partir da
Antiguidade, na forma de um conceito mal definido
e intuitivamente muito mal compreendido.
(cf. Paradoxos de Zeno, sc. V a. C.)
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Aproximao de pelo mtodo de exausto (Arquimedes, sc. III a. C.)
4 2,828 427 4
5 3,061 467 3,313 708 49
6 3,121 445 15 3,182 597 87
7 3,136 548 42 3,151 724 90
8 3,140 331 15 3,144 118 32
9 3,141 277 25 3,142 223 62
10 3,141 513 80 3,141 750 36
1 1 3, 14 1 5 72 9 4 3 ,1 41 63 2 0 8
< <
enquadrado de forma iterativamente mais precisa, sem no entanto se considerar
o limite das sucesses e .
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Uma definio satisfatria da noo de limite, que
esclarea o conceito e simultaneamente permita
utiliz-lo de forma segura e clara, aparece muito
tardiamente.
Estes dois mil anos que a Humanidade demorou a afinar este conceito, at o
conseguir formular de forma adequada e operacional, deixam importantes avisos:
1. Trata-se de um conceito fugidio, em torno do qual muito fcil formar falsas
ideias e intuies.2. Deve ser ensinado de forma cuidada e criteriosa, devendo evitar-se, em
particular, o recurso a intuies erradas, que so muito difceis de corrigir
posteriormente.
Bernhard Bolzano, 1816, O Teorema do Binmio.
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 14
Ciclo Formativo Porto Editora
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Algumas ideias falsas muito comuns entre alunos do 1. ano universitrio:
Dada uma sucesso e um real , o que significa dizer que lim = ?
Significa que os termos esto cada vez mais prximos de ou
Significa que os termos se aproximam cada vez mais de ,
entre outras variantes.
Esta ideia duplamente errada:
Por um lado, os termos da sucesso de termo geral =1
esto
cada vez mais prximos, por exemplo, de 1, mas lim1
1.
1
1 2 3 45
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Algumas ideias falsas muito comuns entre alunos do 1. ano universitrio:
Dada uma sucesso e um real , o que significa dizer que lim= ?
Significa que os termos esto cada vez mais prximos de
ou
Significa que os termos se aproximam cada vez mais de ,
entre outras variantes.
Esta ideia duplamente errada:
Por outro lado, a sucesso de termo geral = 1+ 1
tem por
limite 0 e os termos da sucesso aproximam-se e afastam-se
constantemente desse valor.
0
1 23
46
5
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Algumas ideias falsas muito comuns entre alunos do 1. ano universitrio:
Dada uma sucesso e um real , o que significa dizer que lim = ?
Significa que os termos se aproximam cada vez mais de
sem nunca atingir esse valor
Uma variante:
=1
tende para = 0 e, de facto, os termos desta sucesso
aproximam-se cada vez mais deste valor sem nunca o atingir.
Mas,
A sucesso constante = 1 atinge o seu limite logo a partir do
primeiro termo.
A sucesso =sin
2
atinge o seu limite em todos os termos de
ordem par
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 15
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Estes erros propagam-se a outros contedos mais complexos, construdos a
partir da noo de limite:
O grfico de uma dada funo no interseta uma sua assntota.
Se uma funo positiva tem por limite 0 em +, ento
decrescente.
Etc.
SucessesNoo de limite de uma sucesso
O Programa em vigor muito vago relativamente ao que os alunos devemadquirir relativamente ao conceito de limite (e a muitos outros assuntos),referindo apenas oestudointuitivo da noo de limite.
imagem de muitos outros programas, o novo Programa mais conciso,apontando para o ensino da definio correta de limite.
Programa francs em vigor
Programme de lenseignement spcifique et de spcialit de mathmatiques, B.O. 2011
SucessesNoo de limite de uma sucesso
Descritor SUC11-6.1
Diz-se que lim = se, para todo o > 0, existir uma ordem a partir da qual
] , + [
Isto , existe uma ordem tal que | | < .
+
No se trata de uma ideia difcil e intil protel-la
lim =
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 16
Ciclo Formativo Porto Editora
SucessesNoo de limite de uma sucesso
As Metas Curriculares preveem um certo nmero de demonstraes
extremamente simples que permitem, em particular, adquirir de forma mais
segura a noo de limite:
SUC11-6.2: Provar que o limite de uma sucesso, se existir, nico.
Os termos da sucesso no podem pertencer, a partir de uma ordem1, a um
dos intervalos e a partir de uma ordem 2ao outro.
Sejam dois intervalos centrados respetivamente em e que no se
intersetam. Por exemplo, =] , + [e =] , + [,
onde =1
4 um quarto da distncia de a .
Qualquer termo de ordem simultaneamente superior a 1 e a 2 teria de
pertencer a ambos os intervalos, o que impossvel
SucessesNoo de limite de uma sucesso
SUC11-6.9:
Estabelecer,utilizando a definio, o limite de sucesses da forma= +
+.
Exemplo:Mostre que a sucesso de termo geral =+1
+3tende para = 2.
a. Determine uma ordem a partir da qual ]1,99; 2,01[.
2
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 17
SucessesNoo de limite de uma sucesso
SUC11-6.9:
Estabelecer,utilizando a definio, o limite de sucesses da forma = +
+.
Exemplo: = 2+ 3
a. Determine uma ordem a partir da qual > 2000.
> 2000
7
( 2)22 > 2000 2 2 > 2002 > 2002 + 2 46,7
b. Mostre que lim = + .
Seja > 0.
= 2
4+ 2Um exemplo um pouco mais complexo:
2000
> ( 2)2
2 > 2 2 > + 2 > + 2 + 2
FunesLimites
Filipe Oliveira
Funes de varivel realLimite segundo Heine
Definio Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a sucesso
com valores no domnio de tal que:
lim =
lim() =
Seja uma funo real de varivel real e .
Consideramos ainda um nmero real pertencente a conjunto que explicitaremos mais tarde.
2. Qualquer umadelas consensualmenteaceite como adequada introduoda noo de
limitea nvel elementar, havendo preferncia poruma ou poroutra consoanteos autores.
1. Ambas asversesso casosparticularesde umanoomaisgeralde limite,
o limite segundoumabase defiltro.
Iremos listar algumas das vantagens da utilizaoda primeira definio de limite no intuito
deesclarecer a razo dessaescolha no contextode umProgramado 11. ano.
Definio bis Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a
sucesso com valores no domnio de tal que:
lim = para todo o ,
lim() =
Uma primeira observao: A primeira definio mais simples de formular!
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 18
Ciclo Formativo Porto Editora
Funes de varivel realLimite segundo Heine
Fixemos algum vocabulrio e algumas notaes.
Nesta situao, diremos que o limite de em . Notao = lim
().
Nesta situao, diremos que o limite de em por valores diferentes.
Notao = lim
().
Definio Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a
sucesso de valores no domnio de tal que:
lim = lim() =
Definio bis Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a
sucesso de valores no domnio de tal que:
lim =
para todo o ,
lim() =
Outras notaes usuais para este limite: lim
(), lim
()
Funes de varivel realLimites
Em que pontos lcito, partida, considerar o limite de uma dada funo ?
Para calcular este limite, necessrio que exista pelo menos uma sucesso de
elementos de de limite . (Caso contrrio perde-se a unicidade do limite!)
Ao conjunto de pontos nessas condies usual chamar-se aderncia de e aos respetivos elementos pontos aderentes a .
lim
()
= > 0, , +
Note-se que em particular .
So os pontos tais que qualquer vizinhana de interseta .
Funes de varivel realLimites
Em que pontos lcito, partida, considerar o limite de uma dada funo ?
Para calcular este limite, necessrio que exista pelo menos uma sucesso de
elementos de , todos distintosde e de limite .
Ao conjunto de pontos nessas condies usual chamar-se derivado de e
aos respetivos elementos pontos de acumulao de .
lim
()
= > 0, , + \
So os pontos tais que qualquer vizinhana de interseta \ .
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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 19
Funes de varivel realLimites
fcil justificar que .
A definio de ponto de acumulao mais complexa do que a de ponto aderente e aexperincia letiva mostra que se trata de um conceito menos acessvel aos alunos.
Este facto introduz uma complexidade suplementar no ensino destes contedos semque da advenha qualquer proveito.
Funes de varivel realLimite segundo Heine
DefinioDado , diz-se que o limite de quando tende para se
para toda a sucesso com valores no domnio de tal que:
lim =
lim() =
Estamos agora em condies de indicar as duas definies
alternativas, de forma completa:
Seja uma funo real de varivel real e .
DefinioDado , diz-se que o limite de quando tende para por
valores diferentes se para toda a sucesso com valores no domnio de tal
que:
lim =
para todo o ,
lim() =
Funes de varivel realLimites
ExerccioExplicite o derivado e a aderncia dos seguintes conjuntos:
1. =] 3,7] 10
2. = 1,2,4
3. = =1
4. = 0 =1
5. =
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Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 20
Ciclo Formativo Porto Editora
Funes de varivel realLimites
Um pouco por todo o mundo, muito usual, no Ensino Bsico e Secundrio,
definir-se uma funo a partir de uma expresso que a defina, sendo o
respetivo domnio o conjunto dos nmeros para os quais a expresso faz
sentido.
Pequeno apontamento relativo ao domnio de funes
Funes de varivel realLimites
Sebastio e Silva
Exemplo:
Determine o domnio da funo:
a. = 1
3
b. = 13
+ 5
Exemplo:
= :()
Pequeno apontamento relativo ao domnio de funes
=( )
Funes de varivel realLimites
Ponto fundamental
O seguinte resultado, de grande utilidade prtica no clculo de limites, est errado:
Propriedade Sejam e duas funes e tais que os limites:
lim
() e lim
()
Ento:
lim
+ = lim
() + lim
()
lim
() = lim
() lim
()
existem.
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21/24O
Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 21
Funes de varivel realLimites
Ponto fundamental
Exemplo: = 1, = 1
= [1, +[ lim1
1 = 0
=] , 1] lim1
1 = 0
lim1
1 + lim1
1 = 0
Mas lim1
1 + 1 no existe.
+= {1} e 1 +
No existe nenhuma sucesso com valores no domnio de 1 + 1
que tenda para 1 por valores diferentes de 1
Funes de varivel realLimites
Ponto fundamental
O resultado torna-se verdadeiro se substituirmos o limite por valores
diferentes pelo limite propriamente dito:
Propriedade Sejam e duas funes e tais que os limites:
lim
() e lim
()
existem.
Ento:
lim
+ = lim
() + lim
()
lim
() = lim
() lim
()
Funes de varivel realLimites
Ponto fundamental
O mesmo problema propaga-se continuidade,sendo muito aborrecido
que a soma de duas funes contnuas no seja necessariamente
contnua
Com a definio usual:
Definio Seja uma funo real de varivel real e .
Diz-se que contnua em se:
lim
=
A funo diz-se ainda contnua se for contnua em todos os pontos do
respetivo domnio.
1 + elim1
(+ )() nem sequer existe
As funes definidas pelas expresses = 1 e g = 1 socontnuas, mas+ no contnua:
7/24/2019 Matemtica Secundrio - Ciclo Formativo Porto Editora
22/24O
Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 22
Ciclo Formativo Porto Editora
Funes de varivel realLimites
Ponto fundamental
Mais uma vez, o resultado torna-se verdadeiro se se considerar a outra
definio de limite:
Propriedade Sejam e duas funes contnuas em .
Ento, + contnua em .
Em particular, a soma de duas funes contnuas contnua.
Funes de varivel realLimites
Cuidados a ter nesta troca de definio de limite
Algumas funes deixam de ter limite.
Exemplo: =2+ 3 se 02 se = 0
Tem-se lim0 = 3 mas lim0 no existe.
A definio de continuidade pode ser s implificada
Dada uma funo e um ponto , se o limite = lim() existir, ento necessariamente igual a().De facto, tomando a sucesso (constante) =, lim = .DefinioSeja e .Diz-se que contnua em se existir o limite lim .
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23/24O
Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A
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NOTAS
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OoR