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UBA XXI ndash Modalidad Virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA
NOTACIONES Y SIacuteMBOLOS USADOS FRECUENTEMENTE
IN = Conjunto de los nuacutemeros naturales
IN0 = Conjunto de los nuacutemeros naturales con el cero
Z = Conjunto de los nuacutemeros Enteros
Q = Conjunto de los nuacutemeros racionales
= Conjunto de los nuacutemeros reales
= Conjunto Vaciacuteo
lt menor menor o igualgt mayor mayor o igual distinto
y o si y solo si entonces aproximadamente
incluido pertenece no pertenece interseccioacuten unioacuten
Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Nuacutemeros reales1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FOacuteRMULAS ECUACIONES1
En matemaacutetica es habitual trabajar con relaciones numeacutericas en las que una o maacutes cantidades sondesconocidas Estas cantidades se denominan incoacutegnitas o variables y se representan por letras
Aquellas expresiones en las que intervienennuacutemeros y letras vinculadas medianteoperaciones aritmeacuteticas se denominanexpresiones algebraicas
Son expresiones algebraicas
2x ndash3
m2 ndash2m
x + y2 = 5
Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simboacutelico se obtienen expresiones algebraicas
Ejemplos
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
La suma entre un nuacutemero natural y su consecutivo n + (n +1)
El precio de un artiacuteculo aumentado en un 15 x10015x
El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16 (a ndash b)2 = 16
Con las expresiones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con los nuacutemeros realeslo que hace posible reducirlas a expresiones maacutes sencillas
bull Se opera con las expresiones algebraicas de lamisma forma que con los nuacutemeros reales
bull Las operaciones con expresiones algebraicastienen las mismas propiedades que lasoperaciones con los nuacutemeros reales
Ejemplos
bull (4m + 3m)2 = 8m + 6mbull 2x + x2 ndash4x2 = 2x ndash 3x2
bull ab + ac = a(b + c)bull 2s s2 (-3s) = -6 s4
Las expresiones algebraicas aparecen en las foacutermulas que se usan por ejemplo en Geometriacutea Unafoacutermula es una igualdad algebraica en que dos expresiones representan el mismo nuacutemero
En la foacutermula que expresa el aacuterea de un rectaacutenguloA = b h el siacutembolo ldquoArdquo representa el aacuterea lomismo que la expresioacuten b h pero aquiacute el aacuterea seexpresa en teacuterminos de la base (b) y la altura (h) delrectaacutengulo
Ambos miembros de la igualdad quedanperfectamente determinados al conocer los valoresde b y de h
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 2 Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007Elizondo S Elementos de Matemaacutetica y Estadiacutestica TAGU UBA 2009
b = 3
h = 2
A = b hA = 2 3A = 6
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 2
Otras igualdades algebraicas involucran nuacutemeros indeterminados
Por ejemplo3(x ndash1) = 6 soacutelo se verifica para x = 2
Mientras que(a + b) (a - b) = a2 ndash b2 se verifica para cualquier nuacutemero real a y b
Definicioacuten El conjunto de valores de las variables para los cuales ambos miembros de una igualdadalgebraica tiene sentido se denomina dominio de definicioacuten
Por ejemplo el dominio de definicioacuten de
33-x
2x2x
3
es el conjunto de los nuacutemeros reales distintos de 2 y de 3 ya que para los nuacutemeros 2 y 3 se anula uno delos denominadores y por lo tanto resultariacutea una divisioacuten por cero que no es admisible
Cuando una igualdad algebraica es cierta paraalgunos valores en su dominio de definicioacuten se diceque es una ecuacioacuten
Cuando una igualdad algebraica es cierta paratodos los valores en su dominio de definicioacuten sedice que es una identidad
Ecuaciones con una incoacutegnita
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene uno o maacutes nuacutemeros desconocidos llamadosincoacutegnitas
En este apartado trataremos ecuaciones con una sola incoacutegnita Habitualmente a laincoacutegnita la denominamos ldquoxrdquo
Son ejemplos de ecuaciones
3x + 2 = 4x ndash 1
x2 ndash 3x ndash 10 = 0
|x ndash 3| = ndash 2
Cada valor de la variable que al sustituirlo en la ecuacioacuten hace que la mismase transforme en una igualdad numeacuterica se denomina solucioacuten de laecuacioacuten dada Decimos que tal valor satisface o verifica la ecuacioacuten
Por ejemplo 3 es solucioacuten de 3x + 2 = 4x ndash 1 ya que al sustituir por 2 en laecuacioacuten obtenemos
3 3 + 2 = 4 3 ndash 1
9 + 2 = 12 ndash 1
11 = 11
que es una igualdad numeacuterica
Y de la misma manera -2 y 5 son soluciones de la ecuacioacuten x2 ndash 3x -10 = 0ya que al sustituirlos en la ecuacioacuten dada se obtiene
(ndash 2)2 ndash 3 (ndash 2) ndash 10 = 4 + 6 ndash 10 = 0
52 ndash 3 5 ndash 10 = 25 ndash 15ndash 10 = 0
Mientras que no existe ninguacuten nuacutemero real que verifique la ecuacioacuten x2 = ndash 2ya que el cuadrado de un nuacutemero real es siempre mayor o igual que cero
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 3
Una ecuacioacuten puede tener una solucioacuten puede no tener solucioacuten pero tambieacuten puede ser que tenga varias
Para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten realizamos operaciones quepermiten ir transformando la ecuacioacuten dada en otras equivalentes
Mediante estas operaciones intentamos aislar la incoacutegnita (ldquodespejarrdquo) enuno de los miembros En estos casos utilizamos propiedades de la suma ymultiplicacioacuten de nuacutemeros reales
Pero tambieacuten puede suceder que necesitemos de otros procedimientos quenos permitan hallar la solucioacuten de la ecuacioacuten
En este texto trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas
Ecuaciones de la formaa x = b
x es la incoacutegnita
a y b son nuacutemeros reales y a 0 a se llama coeficiente y - b teacutermino independiente
Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incoacutegnitasoacutelo aparece elevada a la potencia 1
Para recordar Resolver una ecuacioacuten es encontrar el valor de la incoacutegnita (oincoacutegnitas) que hace verdadera la igualdad A estos valores se losllama solucioacuten de la ecuacioacuten
Cuando un nuacutemero es solucioacuten de una ecuacioacuten suele decirse queldquosatisfacerdquo o ldquoverificardquo la ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten significa hallar todas las soluciones si lastiene o demostrar que no las tiene
Revisaremos mediante ejemplos coacutemo resolver ecuaciones lineales de primergrado con una incoacutegnita
Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Solucioacuten-2x + 5 = -3
-2x + 5 ndash 5 = - 3 ndash 5 Sumando miembro a miembro ndash5
-2x = - 8 Realizando operaciones
x = (-8) (-2) Dividiendo miembro a miembro por ndash2
x = 4 Realizando operaciones
Debemos asegurarnos que x = 4 es solucioacuten de la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Para ello reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuacioacuten
ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3
Como vemos que se cumple la igualdad podemos afirmar que x = 4 es solucioacutende la ecuacioacuten dada
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera S = 4
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 4
Observar que
bull Cada paso que se realiza para resolver una ecuacioacuten la transforma en otramaacutes simple Se forman asiacute ecuaciones equivalentes la uacuteltima de las cualeses la solucioacuten
bull Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones quetienen exactamente las mismas soluciones
bull Para transformar una ecuacioacuten dada en otra equivalente se puede
o Sumar o restar la misma expresioacuten en ambos lados de la ecuacioacuten
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuacioacuten por un nuacutemerodistinto de cero
Ejemplo 2 Resolver 3(x ndash 1) = -x + 1
Solucioacuten3(x ndash 1) = -x + 1
3x ndash 3 = -x + 1 Distribuyendo en el primer miembro3x ndash 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3
3x = -x + 4 Resolviendo operaciones
3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x
4x = 4 Resolviendo operaciones
x = 4 4 Dividiendo miembro a miembro por 4
x = 1
Para asegurarnos que x = 1 es solucioacuten de la ecuacioacuten 3(x ndash 1) = -x + 1reemplazamos
3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0
Podemos afirmar que la solucioacuten es x = 1 pues al reemplazar en la ecuacioacutendada se verifica la igualdad
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera
S = 1
Ejemplo 3 Hallar el conjunto de soluciones de 1-x2x
x31
2x
Solucioacuten
1-x2xx
31
2x
1x6x
3x
2x Se resuelve el pareacutentesis y se lo elimina
1-x6
xx2x3 Se reduce a comuacuten denominador
1-x6x4 Resolviendo la suma
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 5
6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6
4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones
4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada
211
2211
23
1-323
331
23
Luego es S = 3
Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones
a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x
Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo
4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x
-1 = -2 Resolviendo las operaciones
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten
Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =
Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x
3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un
miembro y los nuacutemeros en el otro
0 = 0
En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad
Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1
Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 6
30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 3
Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
UBA XXI Modalidad virtualMatemaacutetica
RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Nuacutemeros reales1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FOacuteRMULAS ECUACIONES1
En matemaacutetica es habitual trabajar con relaciones numeacutericas en las que una o maacutes cantidades sondesconocidas Estas cantidades se denominan incoacutegnitas o variables y se representan por letras
Aquellas expresiones en las que intervienennuacutemeros y letras vinculadas medianteoperaciones aritmeacuteticas se denominanexpresiones algebraicas
Son expresiones algebraicas
2x ndash3
m2 ndash2m
x + y2 = 5
Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simboacutelico se obtienen expresiones algebraicas
Ejemplos
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
La suma entre un nuacutemero natural y su consecutivo n + (n +1)
El precio de un artiacuteculo aumentado en un 15 x10015x
El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16 (a ndash b)2 = 16
Con las expresiones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con los nuacutemeros realeslo que hace posible reducirlas a expresiones maacutes sencillas
bull Se opera con las expresiones algebraicas de lamisma forma que con los nuacutemeros reales
bull Las operaciones con expresiones algebraicastienen las mismas propiedades que lasoperaciones con los nuacutemeros reales
Ejemplos
bull (4m + 3m)2 = 8m + 6mbull 2x + x2 ndash4x2 = 2x ndash 3x2
bull ab + ac = a(b + c)bull 2s s2 (-3s) = -6 s4
Las expresiones algebraicas aparecen en las foacutermulas que se usan por ejemplo en Geometriacutea Unafoacutermula es una igualdad algebraica en que dos expresiones representan el mismo nuacutemero
En la foacutermula que expresa el aacuterea de un rectaacutenguloA = b h el siacutembolo ldquoArdquo representa el aacuterea lomismo que la expresioacuten b h pero aquiacute el aacuterea seexpresa en teacuterminos de la base (b) y la altura (h) delrectaacutengulo
Ambos miembros de la igualdad quedanperfectamente determinados al conocer los valoresde b y de h
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 2 Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007Elizondo S Elementos de Matemaacutetica y Estadiacutestica TAGU UBA 2009
b = 3
h = 2
A = b hA = 2 3A = 6
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 2
Otras igualdades algebraicas involucran nuacutemeros indeterminados
Por ejemplo3(x ndash1) = 6 soacutelo se verifica para x = 2
Mientras que(a + b) (a - b) = a2 ndash b2 se verifica para cualquier nuacutemero real a y b
Definicioacuten El conjunto de valores de las variables para los cuales ambos miembros de una igualdadalgebraica tiene sentido se denomina dominio de definicioacuten
Por ejemplo el dominio de definicioacuten de
33-x
2x2x
3
es el conjunto de los nuacutemeros reales distintos de 2 y de 3 ya que para los nuacutemeros 2 y 3 se anula uno delos denominadores y por lo tanto resultariacutea una divisioacuten por cero que no es admisible
Cuando una igualdad algebraica es cierta paraalgunos valores en su dominio de definicioacuten se diceque es una ecuacioacuten
Cuando una igualdad algebraica es cierta paratodos los valores en su dominio de definicioacuten sedice que es una identidad
Ecuaciones con una incoacutegnita
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene uno o maacutes nuacutemeros desconocidos llamadosincoacutegnitas
En este apartado trataremos ecuaciones con una sola incoacutegnita Habitualmente a laincoacutegnita la denominamos ldquoxrdquo
Son ejemplos de ecuaciones
3x + 2 = 4x ndash 1
x2 ndash 3x ndash 10 = 0
|x ndash 3| = ndash 2
Cada valor de la variable que al sustituirlo en la ecuacioacuten hace que la mismase transforme en una igualdad numeacuterica se denomina solucioacuten de laecuacioacuten dada Decimos que tal valor satisface o verifica la ecuacioacuten
Por ejemplo 3 es solucioacuten de 3x + 2 = 4x ndash 1 ya que al sustituir por 2 en laecuacioacuten obtenemos
3 3 + 2 = 4 3 ndash 1
9 + 2 = 12 ndash 1
11 = 11
que es una igualdad numeacuterica
Y de la misma manera -2 y 5 son soluciones de la ecuacioacuten x2 ndash 3x -10 = 0ya que al sustituirlos en la ecuacioacuten dada se obtiene
(ndash 2)2 ndash 3 (ndash 2) ndash 10 = 4 + 6 ndash 10 = 0
52 ndash 3 5 ndash 10 = 25 ndash 15ndash 10 = 0
Mientras que no existe ninguacuten nuacutemero real que verifique la ecuacioacuten x2 = ndash 2ya que el cuadrado de un nuacutemero real es siempre mayor o igual que cero
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 3
Una ecuacioacuten puede tener una solucioacuten puede no tener solucioacuten pero tambieacuten puede ser que tenga varias
Para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten realizamos operaciones quepermiten ir transformando la ecuacioacuten dada en otras equivalentes
Mediante estas operaciones intentamos aislar la incoacutegnita (ldquodespejarrdquo) enuno de los miembros En estos casos utilizamos propiedades de la suma ymultiplicacioacuten de nuacutemeros reales
Pero tambieacuten puede suceder que necesitemos de otros procedimientos quenos permitan hallar la solucioacuten de la ecuacioacuten
En este texto trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas
Ecuaciones de la formaa x = b
x es la incoacutegnita
a y b son nuacutemeros reales y a 0 a se llama coeficiente y - b teacutermino independiente
Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incoacutegnitasoacutelo aparece elevada a la potencia 1
Para recordar Resolver una ecuacioacuten es encontrar el valor de la incoacutegnita (oincoacutegnitas) que hace verdadera la igualdad A estos valores se losllama solucioacuten de la ecuacioacuten
Cuando un nuacutemero es solucioacuten de una ecuacioacuten suele decirse queldquosatisfacerdquo o ldquoverificardquo la ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten significa hallar todas las soluciones si lastiene o demostrar que no las tiene
Revisaremos mediante ejemplos coacutemo resolver ecuaciones lineales de primergrado con una incoacutegnita
Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Solucioacuten-2x + 5 = -3
-2x + 5 ndash 5 = - 3 ndash 5 Sumando miembro a miembro ndash5
-2x = - 8 Realizando operaciones
x = (-8) (-2) Dividiendo miembro a miembro por ndash2
x = 4 Realizando operaciones
Debemos asegurarnos que x = 4 es solucioacuten de la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Para ello reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuacioacuten
ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3
Como vemos que se cumple la igualdad podemos afirmar que x = 4 es solucioacutende la ecuacioacuten dada
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera S = 4
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Observar que
bull Cada paso que se realiza para resolver una ecuacioacuten la transforma en otramaacutes simple Se forman asiacute ecuaciones equivalentes la uacuteltima de las cualeses la solucioacuten
bull Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones quetienen exactamente las mismas soluciones
bull Para transformar una ecuacioacuten dada en otra equivalente se puede
o Sumar o restar la misma expresioacuten en ambos lados de la ecuacioacuten
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuacioacuten por un nuacutemerodistinto de cero
Ejemplo 2 Resolver 3(x ndash 1) = -x + 1
Solucioacuten3(x ndash 1) = -x + 1
3x ndash 3 = -x + 1 Distribuyendo en el primer miembro3x ndash 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3
3x = -x + 4 Resolviendo operaciones
3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x
4x = 4 Resolviendo operaciones
x = 4 4 Dividiendo miembro a miembro por 4
x = 1
Para asegurarnos que x = 1 es solucioacuten de la ecuacioacuten 3(x ndash 1) = -x + 1reemplazamos
3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0
Podemos afirmar que la solucioacuten es x = 1 pues al reemplazar en la ecuacioacutendada se verifica la igualdad
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera
S = 1
Ejemplo 3 Hallar el conjunto de soluciones de 1-x2x
x31
2x
Solucioacuten
1-x2xx
31
2x
1x6x
3x
2x Se resuelve el pareacutentesis y se lo elimina
1-x6
xx2x3 Se reduce a comuacuten denominador
1-x6x4 Resolviendo la suma
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6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6
4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones
4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada
211
2211
23
1-323
331
23
Luego es S = 3
Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones
a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x
Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo
4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x
-1 = -2 Resolviendo las operaciones
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten
Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =
Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x
3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un
miembro y los nuacutemeros en el otro
0 = 0
En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad
Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1
Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 6
30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 2
Otras igualdades algebraicas involucran nuacutemeros indeterminados
Por ejemplo3(x ndash1) = 6 soacutelo se verifica para x = 2
Mientras que(a + b) (a - b) = a2 ndash b2 se verifica para cualquier nuacutemero real a y b
Definicioacuten El conjunto de valores de las variables para los cuales ambos miembros de una igualdadalgebraica tiene sentido se denomina dominio de definicioacuten
Por ejemplo el dominio de definicioacuten de
33-x
2x2x
3
es el conjunto de los nuacutemeros reales distintos de 2 y de 3 ya que para los nuacutemeros 2 y 3 se anula uno delos denominadores y por lo tanto resultariacutea una divisioacuten por cero que no es admisible
Cuando una igualdad algebraica es cierta paraalgunos valores en su dominio de definicioacuten se diceque es una ecuacioacuten
Cuando una igualdad algebraica es cierta paratodos los valores en su dominio de definicioacuten sedice que es una identidad
Ecuaciones con una incoacutegnita
Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene uno o maacutes nuacutemeros desconocidos llamadosincoacutegnitas
En este apartado trataremos ecuaciones con una sola incoacutegnita Habitualmente a laincoacutegnita la denominamos ldquoxrdquo
Son ejemplos de ecuaciones
3x + 2 = 4x ndash 1
x2 ndash 3x ndash 10 = 0
|x ndash 3| = ndash 2
Cada valor de la variable que al sustituirlo en la ecuacioacuten hace que la mismase transforme en una igualdad numeacuterica se denomina solucioacuten de laecuacioacuten dada Decimos que tal valor satisface o verifica la ecuacioacuten
Por ejemplo 3 es solucioacuten de 3x + 2 = 4x ndash 1 ya que al sustituir por 2 en laecuacioacuten obtenemos
3 3 + 2 = 4 3 ndash 1
9 + 2 = 12 ndash 1
11 = 11
que es una igualdad numeacuterica
Y de la misma manera -2 y 5 son soluciones de la ecuacioacuten x2 ndash 3x -10 = 0ya que al sustituirlos en la ecuacioacuten dada se obtiene
(ndash 2)2 ndash 3 (ndash 2) ndash 10 = 4 + 6 ndash 10 = 0
52 ndash 3 5 ndash 10 = 25 ndash 15ndash 10 = 0
Mientras que no existe ninguacuten nuacutemero real que verifique la ecuacioacuten x2 = ndash 2ya que el cuadrado de un nuacutemero real es siempre mayor o igual que cero
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 3
Una ecuacioacuten puede tener una solucioacuten puede no tener solucioacuten pero tambieacuten puede ser que tenga varias
Para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten realizamos operaciones quepermiten ir transformando la ecuacioacuten dada en otras equivalentes
Mediante estas operaciones intentamos aislar la incoacutegnita (ldquodespejarrdquo) enuno de los miembros En estos casos utilizamos propiedades de la suma ymultiplicacioacuten de nuacutemeros reales
Pero tambieacuten puede suceder que necesitemos de otros procedimientos quenos permitan hallar la solucioacuten de la ecuacioacuten
En este texto trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas
Ecuaciones de la formaa x = b
x es la incoacutegnita
a y b son nuacutemeros reales y a 0 a se llama coeficiente y - b teacutermino independiente
Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incoacutegnitasoacutelo aparece elevada a la potencia 1
Para recordar Resolver una ecuacioacuten es encontrar el valor de la incoacutegnita (oincoacutegnitas) que hace verdadera la igualdad A estos valores se losllama solucioacuten de la ecuacioacuten
Cuando un nuacutemero es solucioacuten de una ecuacioacuten suele decirse queldquosatisfacerdquo o ldquoverificardquo la ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten significa hallar todas las soluciones si lastiene o demostrar que no las tiene
Revisaremos mediante ejemplos coacutemo resolver ecuaciones lineales de primergrado con una incoacutegnita
Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Solucioacuten-2x + 5 = -3
-2x + 5 ndash 5 = - 3 ndash 5 Sumando miembro a miembro ndash5
-2x = - 8 Realizando operaciones
x = (-8) (-2) Dividiendo miembro a miembro por ndash2
x = 4 Realizando operaciones
Debemos asegurarnos que x = 4 es solucioacuten de la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Para ello reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuacioacuten
ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3
Como vemos que se cumple la igualdad podemos afirmar que x = 4 es solucioacutende la ecuacioacuten dada
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera S = 4
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 4
Observar que
bull Cada paso que se realiza para resolver una ecuacioacuten la transforma en otramaacutes simple Se forman asiacute ecuaciones equivalentes la uacuteltima de las cualeses la solucioacuten
bull Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones quetienen exactamente las mismas soluciones
bull Para transformar una ecuacioacuten dada en otra equivalente se puede
o Sumar o restar la misma expresioacuten en ambos lados de la ecuacioacuten
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuacioacuten por un nuacutemerodistinto de cero
Ejemplo 2 Resolver 3(x ndash 1) = -x + 1
Solucioacuten3(x ndash 1) = -x + 1
3x ndash 3 = -x + 1 Distribuyendo en el primer miembro3x ndash 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3
3x = -x + 4 Resolviendo operaciones
3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x
4x = 4 Resolviendo operaciones
x = 4 4 Dividiendo miembro a miembro por 4
x = 1
Para asegurarnos que x = 1 es solucioacuten de la ecuacioacuten 3(x ndash 1) = -x + 1reemplazamos
3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0
Podemos afirmar que la solucioacuten es x = 1 pues al reemplazar en la ecuacioacutendada se verifica la igualdad
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera
S = 1
Ejemplo 3 Hallar el conjunto de soluciones de 1-x2x
x31
2x
Solucioacuten
1-x2xx
31
2x
1x6x
3x
2x Se resuelve el pareacutentesis y se lo elimina
1-x6
xx2x3 Se reduce a comuacuten denominador
1-x6x4 Resolviendo la suma
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 5
6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6
4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones
4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada
211
2211
23
1-323
331
23
Luego es S = 3
Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones
a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x
Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo
4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x
-1 = -2 Resolviendo las operaciones
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten
Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =
Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x
3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un
miembro y los nuacutemeros en el otro
0 = 0
En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad
Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1
Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 6
30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 3
Una ecuacioacuten puede tener una solucioacuten puede no tener solucioacuten pero tambieacuten puede ser que tenga varias
Para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten realizamos operaciones quepermiten ir transformando la ecuacioacuten dada en otras equivalentes
Mediante estas operaciones intentamos aislar la incoacutegnita (ldquodespejarrdquo) enuno de los miembros En estos casos utilizamos propiedades de la suma ymultiplicacioacuten de nuacutemeros reales
Pero tambieacuten puede suceder que necesitemos de otros procedimientos quenos permitan hallar la solucioacuten de la ecuacioacuten
En este texto trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas
Ecuaciones de la formaa x = b
x es la incoacutegnita
a y b son nuacutemeros reales y a 0 a se llama coeficiente y - b teacutermino independiente
Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incoacutegnitasoacutelo aparece elevada a la potencia 1
Para recordar Resolver una ecuacioacuten es encontrar el valor de la incoacutegnita (oincoacutegnitas) que hace verdadera la igualdad A estos valores se losllama solucioacuten de la ecuacioacuten
Cuando un nuacutemero es solucioacuten de una ecuacioacuten suele decirse queldquosatisfacerdquo o ldquoverificardquo la ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten significa hallar todas las soluciones si lastiene o demostrar que no las tiene
Revisaremos mediante ejemplos coacutemo resolver ecuaciones lineales de primergrado con una incoacutegnita
Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Solucioacuten-2x + 5 = -3
-2x + 5 ndash 5 = - 3 ndash 5 Sumando miembro a miembro ndash5
-2x = - 8 Realizando operaciones
x = (-8) (-2) Dividiendo miembro a miembro por ndash2
x = 4 Realizando operaciones
Debemos asegurarnos que x = 4 es solucioacuten de la ecuacioacuten -2x + 5 = -3
Para ello reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuacioacuten
ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3
Como vemos que se cumple la igualdad podemos afirmar que x = 4 es solucioacutende la ecuacioacuten dada
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera S = 4
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 4
Observar que
bull Cada paso que se realiza para resolver una ecuacioacuten la transforma en otramaacutes simple Se forman asiacute ecuaciones equivalentes la uacuteltima de las cualeses la solucioacuten
bull Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones quetienen exactamente las mismas soluciones
bull Para transformar una ecuacioacuten dada en otra equivalente se puede
o Sumar o restar la misma expresioacuten en ambos lados de la ecuacioacuten
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuacioacuten por un nuacutemerodistinto de cero
Ejemplo 2 Resolver 3(x ndash 1) = -x + 1
Solucioacuten3(x ndash 1) = -x + 1
3x ndash 3 = -x + 1 Distribuyendo en el primer miembro3x ndash 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3
3x = -x + 4 Resolviendo operaciones
3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x
4x = 4 Resolviendo operaciones
x = 4 4 Dividiendo miembro a miembro por 4
x = 1
Para asegurarnos que x = 1 es solucioacuten de la ecuacioacuten 3(x ndash 1) = -x + 1reemplazamos
3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0
Podemos afirmar que la solucioacuten es x = 1 pues al reemplazar en la ecuacioacutendada se verifica la igualdad
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera
S = 1
Ejemplo 3 Hallar el conjunto de soluciones de 1-x2x
x31
2x
Solucioacuten
1-x2xx
31
2x
1x6x
3x
2x Se resuelve el pareacutentesis y se lo elimina
1-x6
xx2x3 Se reduce a comuacuten denominador
1-x6x4 Resolviendo la suma
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 5
6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6
4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones
4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada
211
2211
23
1-323
331
23
Luego es S = 3
Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones
a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x
Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo
4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x
-1 = -2 Resolviendo las operaciones
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten
Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =
Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x
3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un
miembro y los nuacutemeros en el otro
0 = 0
En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad
Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1
Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 6
30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
Modalidad virtual
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 4
Observar que
bull Cada paso que se realiza para resolver una ecuacioacuten la transforma en otramaacutes simple Se forman asiacute ecuaciones equivalentes la uacuteltima de las cualeses la solucioacuten
bull Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones quetienen exactamente las mismas soluciones
bull Para transformar una ecuacioacuten dada en otra equivalente se puede
o Sumar o restar la misma expresioacuten en ambos lados de la ecuacioacuten
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuacioacuten por un nuacutemerodistinto de cero
Ejemplo 2 Resolver 3(x ndash 1) = -x + 1
Solucioacuten3(x ndash 1) = -x + 1
3x ndash 3 = -x + 1 Distribuyendo en el primer miembro3x ndash 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3
3x = -x + 4 Resolviendo operaciones
3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x
4x = 4 Resolviendo operaciones
x = 4 4 Dividiendo miembro a miembro por 4
x = 1
Para asegurarnos que x = 1 es solucioacuten de la ecuacioacuten 3(x ndash 1) = -x + 1reemplazamos
3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0
Podemos afirmar que la solucioacuten es x = 1 pues al reemplazar en la ecuacioacutendada se verifica la igualdad
Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera
S = 1
Ejemplo 3 Hallar el conjunto de soluciones de 1-x2x
x31
2x
Solucioacuten
1-x2xx
31
2x
1x6x
3x
2x Se resuelve el pareacutentesis y se lo elimina
1-x6
xx2x3 Se reduce a comuacuten denominador
1-x6x4 Resolviendo la suma
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 5
6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6
4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones
4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada
211
2211
23
1-323
331
23
Luego es S = 3
Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones
a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x
Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo
4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x
-1 = -2 Resolviendo las operaciones
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten
Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =
Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x
3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un
miembro y los nuacutemeros en el otro
0 = 0
En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad
Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1
Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 6
30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
Modalidad virtual
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 5
6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6
4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones
4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada
211
2211
23
1-323
331
23
Luego es S = 3
Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones
a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x
Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)
4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo
4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x
-1 = -2 Resolviendo las operaciones
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten
Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =
Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x
3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un
miembro y los nuacutemeros en el otro
0 = 0
En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad
Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1
Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues
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30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 6
30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2
El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales
Lo expresamos S =
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede
tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones
Ecuaciones yresolucioacuten de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos
bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las
incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema
Ejemplo 1
Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero
Solucioacuten
bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x
bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x
o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21
bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x
7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema
8 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 3
Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 4
Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 7
Ejemplo 2
La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
Solucioacuten
bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1
bull Traducimos al lenguaje simboacutelico
o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)
o El triple del primero maacutes dos 3n + 2
bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()
bull Resolvemos
Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro
2n ndash 3n = 2 ndash 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1
bull Analizamos la solucioacuten hallada
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es
Luego el problema no tiene solucioacuten
Ejemplo 3
De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten
Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos
d8d
45d
32d
donde
bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute
bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que
descansoacute
bull8d
cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 9
Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 10
Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 11
Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 8
Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta
3-4-d-8d
5d
2d
Reduciendo a comuacuten denominador 740
d40d5d8d20
Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40
-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40
Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas
Comprobacioacuten
d405483208404
5403
240
Ejemplo 4
Resolver en dando las condiciones de posibilidad
2-2x3
1x1
1x2
SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1
Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta
1)(x1)-(x21)(x3
1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2
Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es
4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1
De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la
condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1
Verifique que lo es
Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1
Inecuaciones
Inecuaciones deprimer grado enuna variable
Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana
Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades
peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15
Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones
En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma
p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225
p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten
Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad
Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten
Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225
En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes
Resolucioacuten deinecuaciones
En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad
Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero
3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2
0 225
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
UBA XXI Modalidad virtual
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 3
Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 4
Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 5
Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 2
Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas
Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten
x ndash 3 gt 7
x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3
x gt 10
Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10
Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)
Luego S = x xgt 10
Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten
31 ndash3x -2 - x Distribuyendo
3 ndash3x -2-x
3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 ndash 2x -2
-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
ndash2x ndash 5
(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)
x 52
Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52
S = x x 52Graacuteficamente
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Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 3
Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm
a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =
23 es una solucioacuten
c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero
Solucioacuten
a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son
s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)
s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)
Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14
Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es
4s + 14 lt 39
Buscamos sus soluciones
4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros
4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se
conserva la desigualdads lt 254
Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254
Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es
0lt s lt 254
b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt
23 lt
425
c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6
s
s + 5
s + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 3
Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 4
Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 4
Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma
x lt a x a x gt a xa
y sus representaciones en la recta son respectivamente
O bien
El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1
LOS NUacuteMEROS REALES1
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N
N = 1 2 3 4
N es un conjunto infinito
El primer elemento de N es el 1
Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente
Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos
N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero
N0 = 0 1 2 3 4 = N 0
N0 es un conjunto infinito
El primer elemento de N0 es el 0
Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0
se observa que
Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural
Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos
Nuacutemeros Enteros
Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z
Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3
En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero
Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural
Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero
1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 3
Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 4
Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 5
Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 6
Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 8
Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2
Conviene recordar que
El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha
Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero
El opuesto de 0 es 0
Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a
Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2
Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2
La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a
-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero
Y tambieacuten
Z es un conjunto infinito
Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro
Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero
Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto
N es un conjunto discreto
El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z
A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+
(El siacutembolosignifica incluido)
Nuacutemeros Racionales
Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el
divisor es distinto de cero (es decirqp
con p y q enteros q 0)
Cada nuacutemero entero a puede representarse
como un nuacutemero racional en la forma1a (por
ejemplo12
2 )
Todo nuacutemero entero es racionalZ Q
Ademaacutes N Z Q
Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional
Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy
ba
son equivalentes y
representan el mismo nuacutemero racional
2012
159
106
53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional
De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles
53
es una fraccioacuten irreducible
Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella
Para comparar fracciones
Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1
310
Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por
ejemplo2-3
2-1
51
53
Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y
43 podemos
escribirlas en forma equivalente71
43entonces
284
71y
2821
43
Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal
Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador
Al hacerlo puede suceder
El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita
Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten
Se trata de expresiones decimales perioacutedicas
Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo
7020277777185
6300636363117
611666663
5
55422
0452
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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
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onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 4
Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales
Si la expresioacuten decimal es perioacutedica
1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten
Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95
2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten
Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29
Asiacute9029b
Operaciones con nuacutemeros racionales
Adicioacuten de fracciones
bca
bc
ba
m
cdm
m
abm
dc
ba
Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador
donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d
Ejemplos
135
341
34
31
2
2023
20158
2015
208
43
52
Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten
10003512
10002
1001
105
35123
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 5
Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 6
Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 8
Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 9
Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 10
Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 11
Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 5
Los nuacutemeros reales
Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)
Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()
= I Q
Ademaacutes= I Q
Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112
7182812e14159265353
414213562312
Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico
Operaciones en los reales Propiedades
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten
Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b
Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b
Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos
1
2
35 es el inverso multiplicativo de
5
3
3
6-7
23(-1)7
2-1
37
125
35
41
53
41
10-3
2-1
53
(-2)53
Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute
Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda
Si c0
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 6
Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 8
Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 9
Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 10
Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 11
Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 6
Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La adicioacuten es conmutativa
a + b = b + a
La adicioacuten es asociativa
( a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)
a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se
verifica
La multiplicacioacuten es conmutativa
a b = b a
La multiplicacioacuten es asociativa
( a b) c = a ( b c)
a 1 = 1 a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones
Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c
Observacioacuten
En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo
En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )
El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real
a (-1) = (-1) a = (-a)
El producto de un nuacutemero real por cero es cero
a 0 = 0 a = 0
Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa
o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que
Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b
a ndash b = a + (- b )
Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b
a b = a b-1
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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U
Orden en
En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades
1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades
a lt b oacute a = b oacute a gt b
2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc
Tambieacuten escribiremos
a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden
Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces
1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0
Los nuacutemeros reales y la recta real
Cl
Clm
Ps
a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b
Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde
BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7
onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud
ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del
ismo
ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad
un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1
dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales
En forma anaacuteloga procedemos para los
nuacutemeros racionales de la formaqp con
q 0 y menores que la unidad (p lt q)
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitudq1
Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas
La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos
Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas
Por ejemplo e 3 2
En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo
314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional
3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2
441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2
1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5
Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa
51
del mismo
Ejemplo representacioacuten de53
53
Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la
forma n (siendo n un entero positivo)
En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural
anterior Por ejemplo 212132
2 3 5 6
2
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 10
Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 11
Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Su representacioacuten aproximada es
Conviene recordar
Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)
Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)
Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)
Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales
Otras operaciones en
Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales
DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es
factoresn
n aaaaa
an es la potencia eneacutesima de a
a se denomina base
n es el exponente
Recordamos que
a0 = 1 para a 0
a1 = a
Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn
n
a
1a
En particularab
ba1
ba 1
Ejemplos
51
5 1
91
3
13 2
2-
3
5
53
1
5
31
916
3
434
43
2
222
exponentean
base
01 - 3 5 3 2 3 + 2
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Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
UBA XXI Modalidad virtualMatemaacutetica
RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 10
Propiedades de la potenciacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes
Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232
aa
a2 n-m
n
m
Cociente de potencias de igual base 9333
3 22-52
5
nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333
n
nn
ba
ba5
Potencia del cociente
278
32
32
3
33
Exponente fraccionario
La expresioacuten n1
a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a
Asiacute 21
a es la raiacutez cuadrada de a y 31
a es la raiacutez cuacutebica de a
La expresioacuten n1
a se representa tambieacuten mediante n a
Recordamos que
Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo
DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a
Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a
Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2
0asia
bba
6n
nn
2516
5
454
45
2
222
n aIacutendice de la
raiacutezRadicando
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 11
Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 11
Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales
Propiedades
Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades
q
pnm
q
p
nm
aaa1
Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
nm
aa2 )(
Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten
Ejemplos Calcular aplicando propiedades
1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos
2 4625216 Solucioacuten
Por propiedad 3 escribimos
54
625216
625216
4
44
3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando
4 2)16( Solucioacuten
a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2
b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2
355
31
5
31
53
66
6)6(
n mn1
mn1
mnm
a)(aaa
416
16
16
16161616
21
61
31
61
31
63
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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
UBA XXI Modalidad virtual
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Matemaacutetica
UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 12
Supresioacuten de raiacuteces en el denominador
Expresiones como
que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos
Ejemplo 12
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes
22
2
2
22
21
2
12
Ejemplo 25 32
2
Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es
5 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
22
22
2
22
22
22
2
2
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an
Ejemplo 351
4
El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es
)51(-4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia
Asiacute el denominador queda expresado en la forma
(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2
36
4
5-3
1
16
1
2
13
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Practico 0 ndash Revisioacuten 1
PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION
1 Resolveacute los caacutelculos
a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5
b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)
c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)
d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1
e 22 ndash 42 8 + 25
2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones
23-___1h0___5-g1
92___f
34___
34-e
___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___
43a
3 Dadas las fracciones51
y71
escribiacute si es posible entre ellas
a Dos fracciones
b Una fraccioacuten con denominador 20
c Todas las fracciones con denominador 70
4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y
56-
iquestEs uacutenico
b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85
con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas
pueden escribirse iquestPor queacute
c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y
72
5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36
b iquestY con maacutes de dos cifras decimales
65
31
421
132
h
31
143
g
24003)-(15
6-
51)8121(
f
22
2
2
Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Practico 0 ndash Revisioacuten 2
c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36
6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103
b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5
7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que
p estaacute entre 13 y 14
q estaacute entre 8 y 9
iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)
8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda
)1(37
___)1(25
ntoncese01-y37
25
omoCf
41
0___41
2-ntoncese041
y02-Comoe
152
___301d1420___71
c
10
6___06b
3
1033___a
9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria
5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___
b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte
c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52
10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5
mnme
n1md
n1mc)nm3(bn)m3(a 222
11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Practico 0 ndash Revisioacuten 3
COLUMNA 1 COLUMNA 2
41
53 a
3013
32
41
53
b9
25
2
321
c 1
d307
21
211
925
e207
22
34
35
f Un nuacutemero distinto
de los anteriores
233023301
g No tiene resultado
12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)
a -x2 x3 e (-x)2 x3
b x5 x-1 f x-3 x4
c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2
d [(3x)2]-2 h34
523
xx
xxx
13 Calculaacute las siguientes potencias
2-3
52525
2-22-03
(01)j23i10h(-1)g1-f
(-3)e(-3)d2c51b
52a
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Practico 0 ndash Revisioacuten 4
14 Resolveacute los caacutelculos
154
85
429
23
52
i
21
215
54
45
21
35
1h
21
431
382
g
51)5(
52
41-f
431
812
316e416
21d
2525100c8-27b42-75-a
3
221
3
2
2-
22
33
15 a Resolveacute aplicando propiedades
(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=
b Escribiacute como producto de dos factores
m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=
16 Dadas las ecuaciones
a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x
2
c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)
y las soluciones
-05 -3 2421 0
averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten
17 Resolveacute las siguientes ecuaciones
a 2101
x52
b92
1x35
c
t
154
53
15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)
e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8
g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51
x4
i 11x
x1x
3
j23x3x
51x 22
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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Practico 0 ndash Revisioacuten 5
18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente
a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2
b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2
x85
2x3
c2x)1x(
41x2 tiene como solucioacuten x = 5
d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales
19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones
a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto
b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos
c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros
20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo
La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es
anterioreslasdeNingunae
2-8x48
2x-xd2-
8x48
2x-xc
2-8x48
2x-xb2-
8x48
2x-xa
21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3
a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10
d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10
e Ninguna de las anteriores
22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos
a Si le sumo miembro a miembro 4
b Si le sumo miembro a miembro -4
c Si se la multiplica miembro a miembro por 3
d Si se la multiplica miembro a miembro por -3
e Si se la multiplica miembro a miembro por 1
f Si se la multiplica miembro a miembro por 0
Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones
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Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
UBA XXI Modalidad virtual
Matemaacutetica
Practico 0 ndash Revisioacuten 6
23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo
a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0
b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0
c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0
24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea
Expresar en lenguaje coloquial
a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5
d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10
25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones
a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3
26 Resolveacute los siguientes problemas
a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute
b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68
c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten
d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres
e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta
f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A
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RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA
1a 4 10a 61 17a 194
1b 12 10b 1 17b -715
1c -15 10c -95 17c -3
1d -22 10d -15 17d -1
1e 34 10e -32 17e 32
1f 1 11 e a b g c d 17f 23
1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20
2a -34 12c x2-9y2 17i 2
2b -56 12d (13)4x-4 17j 452
2c 0 12e x5 18a V
2d 0 12 f x-7 18b V
2e -1 12g x2+4x+4 18c F
2f 92 12h x5 18d V
2g 0 13a -8125 19a -100
2h -23 13b 1 19b 25
3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo
3b 320 13d 9 20 a
3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c
4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad
4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad
4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad
5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad
5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad
5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0
6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta
6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta
7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta
7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea
7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx
7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx
8a lt 14h 2728 25c 56xx
8b = 14i -11180 25d
8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos
8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17
8e lt 16a 24 26c 14
8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4
9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000
16c frac12 26e 68 cajas
9b 1000 16d 0 y -05 26f
9c 2125013
3A1
2H14HA
1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A