UNIDAD DE GEOMETRIA

• Conceptos iniciales tales como: punto, línea, recta,

superficie, plano y relaciones entre estos.

• Rayo, trazo, ángulo, medida de un ángulo

• Sistema sexagesimal, grados minutos y segundos.

• Clasificación de los ángulos según su medida.

• Complementos y suplementos de ángulos.

• Angulos congruentes, bisectriz de un ángulo.

Unidad de geometría:

La palabra geometría procede del griego, siendo su

significado textual "medida de la tierra". Estudiada por

los egipcios, chinos, babilonios, romanos y griegos

destacándose entre estos últimos la labor de Thales(600 A.C.), Pitágoras (540 A.C.), Platón (390 A.C.),

Aristóteles (350 A.C.) y Euclides (325 A.C.) siendo este

último el quien en su libro "Los Elementos" recopila,

sistematiza los hallazgos y principios fundamentales de

la geometría; texto extraordinario que se ha utilizado

durante más de 2.000 años.

Actualmente geometría se define como el estudio de las figuras planas y del espacio.

Espacio: Conjunto de todos los puntos.

IE = {A,B,C,........}

Términos no definidos en la geometría:

a) Punto: El punto sólo tiene posición, no tiene ni longitud, ni anchura ni espesor, el que se designa por medio de una letra mayúscula colocada en las proximidades de este.

· A

Desde un punto de vista conjuntista, los puntos son los elementos del espacio.

b) Línea: Conjunto parcial de puntos determinados por el desplazamiento de un punto, las que pueden ser recta, curvas o combinaciones de estas, siendo toda línea un subconjunto del espacio.

La línea recta o simplemente recta es la determinada por el desplazamiento de un punto que se mueve siempre en la misma dirección .

La línea curva es la determinada por el desplazamiento de un punto que cambia permanentemente de dirección.

La línea mixta es la determina-da por partes rectas y curvas.

L

c) La superficie: Conjunto parcial de puntos que se puede representar por una de las caras de una caja, o la parte exterior de una esfera, es decir pueden ser planas o curvas, siendo en consecuencia un subconjunto del espacio.

Una superficie plana o simplemente plano es tal que dos puntos cualquiera de esta determinan una recta la que descansa completamente sobre este; plano el que se representa por ejemplo por medio de una pared lisa.

De no cumplirse la condición anterior, la superficie es curva.

La geometría plana , estudia las figuras planas, es decir las que pueden dibujarse sobre una superficie plana.

Algunas relaciones importantes:

(a) Por un punto pasan infinitas rectas.

(b) Dos puntos determinan una única recta.

(c) Si L1 y L2 son dos rectas; estas pueden intersectarse, se paralelas o cruzarse.

(d) Si P y Q son dos planos, estos pueden ser paralelos o intersectarse; en este caso la intersección es una recta.

(e) La intersección de una recta con un plano puede ser un punto, la misma recta si es que esta está contenida en el plano o vacía si es paralela al plano.

L

Subconjuntos de una recta:

(a) Rayo: Parte de una recta limitada por un punto de esta.

(b) Trazo: Parte de una recta limitada por dos puntos de esta.

Ejercicio: En la siguiente figura se tiene que:

A B

C

Notar que:

AB BA AB BA AB BA = ≠ =

AB ∩ AC =

AB ∩ BC =

AC ∩ BC =

Rectas:

Rayos:

Trazos:

{A}

{B}

{C}

AB , AC , BC

AB , BA AC , CABC , CB

AB , AC , BC

3u

Medida de un ángulo: Consiste en

ver cuantas veces una unidad está

contenida en este; así en la siguiente

figura, se tiene que:

La unidad "u" está contenida tres veces

en el AOB , luego la medida de este

ángulo es " ".

Hay distintas unidades de medida de ángulos, las que

dependen del sistema de medición de ángulos que se

emplee.

Angulo: Es la figura formada por la unión de dos rayos que tienen un extremo común.

Sistema sexagesimal:

En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes iguales, donde cada una de estas partes es una unidad llamada grado; en consecuencia la circunferencia está dividida en 360 grados (360o), donde cada grado es igual a 60 minutos (60') y cada minuto es igual a 60 segundos (60"); luego:

1° = 60’1’ = 60”1º = 3.600”

Para transformar de una unidad mayor a otra menor se debe de multiplicar, a diferencia de transformar una unidad menor a otra mayor donde se debe de dividir por la equivalencia respectiva.

Ejercicios:

1) Transformar de la unidad dada a la pedida:

(a) 5o a minutos: (b) 420' a grados: (c) 12' a segundos:

(d) 840" a minutos: (e) 3o a segundos: (f) 18.000" a grados:

5 · 60 = 300’ 420 : 60 = 7° 12 · 60 = 720”

840 : 60 = 14’ 3600·3= 10800” 18.000:3600= 5°

Clasificación de los ángulos según su medida:

(a) Angulo Agudo: Es aquél que mide más de 0o y menos de 90o.

(b) Angulo Recto: es aquél que mide 90º o π/2 radianes.

(d) Angulo Cóncavo: Es aquél que mide menos de 180o; en consecuencia los ángulos agudos rectos y obtusos son cóncavos.

(c) Angulo Obtuso: Es aquel que mide más de 90o y menos de 180o.

(e) Angulo Extendido: Es aquél que mide 180o o π radianes.

(f) Angulo Convexo: Es aquél que mide más de 180o y menos de 360o.

(g) Angulo Completo: Es aquél que mide 360o o 2π radianes.

Nota: π rad = 180º

Ejercicio:

En base a la siguiente figura, indique que ángulos se forman y el tipo de ángulo que son:

O AD

B

C

AOB:

AOC:

AOD:

BOC:

BOD:

COD:

Agudo - cóncavo

Recto - cóncavo

Extendido

Agudo - cóncavo

Obtuso - cóncavo

Recto - cóncavo

Angulos Complementarios:

Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de sus medidas es 90°.

Ejemplo:

Un ángulo de 40° con otro de 50° son complementarios ya que 40° + 50° = 90°

Complemento de un ángulo:

Es lo que le falta a un ángulo para medir 90°.

Ejemplo:

El complemento de un ángulo de 67° es otro ángulo de 23° y viceversa.

El complemento de un ángulo de medida α es (90° - α).

Nota:

Angulos Suplementarios:

Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es 180°.

Ejemplo:

Un ángulo de 70° con otro de 110° son suplementarios ya que 70° + 110° = 180°

Suplemento de un ángulo:

Es lo que le falta a un ángulo para medir 180°.

Ejemplo:

El suplemento de un ángulo de 124° es otro ángulo de 56° y viceversa.

El suplemento de un ángulo de medida β es (180° - β).

Nota:

Ejercicios:

1) Calcular el complemento de cada uno de los siguientes ángulos de medida:

a) 27° 36’ 45” b) 57° 29’ c) 76° 21”

89º 59’ 60”

27º 36’ 45”

62º 23’ 15”

89º 59’ 60”

76º 21”

13º 59’ 39”

89º 60’

57º 29’

32º 31’

2) Calcular el suplemento de cada una de los siguientes ángulos de medida:

a) 128° 16’ 42” b) 73° 37’ c) 143° 31”

179º 59’ 60”

128º 16’ 42”

51º 43’ 18”

179º 59’ 60”

143º 31”

36º 59’ 29”

179º 60’

73º 37’

106º 23’

3) Indique si son complementarias o suplementarias las siguientes parejas de ángulos:

a) 38° 27’ 32” 51° 32’ 28”

b) 74° 59’ 12” 105° 48”

c) 53° 59’ 42” 36° 18”

d) 87° 52’ 29” 92° 7’ 31”

+ +

+ +

89º 59’ 60”89º 60’90º

89º 59’ 60”89º 60’90º

179º 59’ 60”

179º 60’

180º

179º 59’ 60”

179º 60’180º

Complementarios

Complementarios Suplementarios

Suplementarios

Ejercicios:1) Determine dos ángulos complementarios, tales que el mayor exceda al triple del menor en 18°.

2) Determine dos ángulos suplementarios tales que al dividir el mayor por el menor, el cuociente sea 3.

Mayor:Menor:

x90-x

x = 3(90 - x) + 18x = 270 - 3x + 18x + 3x = 270 + 18

4x = 288 /:4

x = 72º

Mayor:Menor:

x =

90-x = 90-72= 18º

72º

Mayor:Menor:

x180-x

x : (180 - x) = 3

x = (180 - x)·3

x = 540 - 3x4x = 540 /:4

x = 135º

Mayor:Menor:

x =

180-x = 180-135=

=45º

135º

3) El suplemento de un ángulo, disminuido en su complemento, equivale al triple de tal ángulo. Determine la medida de tal ángulo.

Angulo: x

Complemento =

Suplemento =

90º - x

180º - x

180º - x - (90º - x) = 3x

180º - x - 90º + x = 3x

90 = 3x /:3

30º = x

2) Calcular “x” en cada una de las siguientes figuras:

x =

x =

76°x

a) 180º- 76º 104º

104º

b)

57°

x33º

90º- 57º 33º

104º=

33º

x =

x =

25º+32º 57º

37º+51º 88º

90º-57º 33º

180º- 88º 92º

33º

92ºx37° 51°

d)

25°

32°x

c)

=

92º

33º=

Angulos Congruentes:

Dos ángulos son congruentes, si y sólo si estos poseen igual medida; luego:

α

A

O Bα’

A’

O’ B’

( AOB ≅ A’O’B’) ⇔ (α = α’ )

Bisectríz de un ángulo:Es aquél rayo que posee como extremo el origen del ángulo dividiéndolo en dos ángulos congruentes; es decir de igual medida.

B

αβ

A

CO

Si OC bisectriz del AOB ⇒ AOC ≅ BOC

⇒ α = βEjercicios:

Si OC es bisectriz del AOB; calcular la medida de

los ángulos indicados en:

O

A

C

B

52°x

y

(a)

x =y =

(b) A

C

B

xy

17°O

x =y =

26º26º

34º17º

52º:2=26º

34º=17º

=26º

=26º

Ejercitación:

180-72108 108:2=54º

x =y =

x =y =

54º

54º

180-72108 36º

108º

(c)

O B

A

x72° y

D

C

(d)

O

A

C

BDx

36°y =36º72º108º=

108º =54º

54º

=

(e)

O

A

C

BDx

156°

y

(f)

xy

z

O BD

CA

x =y =

180-156 24

180- 48 132

=24º24º

48º132º= 24º132º

x =

y =

z =

45º

135º

45º=45º

=45º135º=

O

A C

B

23ºx

zy

D

E

(g)

145º

O

A

B

C

y

x z

D

E

(h)x =

y =

z =

x =

y =

z =

90-23 6767º

=

67º

67-23 44

44º=

67-67134

134º

180-134 46

46º=

67º

44º

46º

180-145 35

180- 35 145

35º

35º= =145º

90- 35 55

55º

= 35º

55º

145º

2) Expresar en función de α:

αxy

OA D

B C

3) Expresar en función de α:

αx

y

zA

B

O C

D

=180-α

α + x = 180ºx = 180º- α

y + 90 = αy = α - 90ºα - 90º=

α + x = 90ºx = 90º- α

=90-αy + 90 - α = 180ºy = 180º - 90 + α y = 90 + α

90º+α =

z + α = 180ºz = 180º- α

180-α =

UNIDAD DE GEOMETRIA

• Conceptos iniciales tales como: punto, línea, recta,

superficie, plano y relaciones entre estos.

• Rayo, trazo, ángulo, medida de un ángulo

• Sistema sexagesimal, grados minutos y segundos.

• Clasificación de los ángulos según su medida.

• Complementos y suplementos de ángulos.

• Angulos congruentes, bisectriz de un ángulo.