Matemática Usmp i Ciclo

PLAN DE SESION

PLAN DE SESION

I. INFORMACION GENERAL

Asignatura:Matemtica

Profesor:Lic. Elizabeth Martnez Encinas.

Tema

:Presentacin del curso: Nociones de lgica.

Sesin Nro.:1

II. OBJETIVO DE LA SESION

Analizar y llegar a explicar correctamente sobre la trascendencia del estudio de la lgica proposicional en el desarrollo de la matemtica moderna

Razonar de forma vlida acerca de situaciones trascendentes, particularmente abstractas.

III. CONTENIDOS Y/O ACTIVIDADES

Enunciados. Proposiciones. Enunciados abiertos. Proposiciones simples. Proposiciones complejas. Operaciones lgicas.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental

Investigacin individualX

XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX

V. MATERIALES A UTILIZAR PARA EXPLICAR EL TEMA DE LA SESION

Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio

Direcciones electrnicas

Ejercicios de aplicacinXCasos (computacin)

Presentacin multimedia

Slides

VI. EQUIPOS A UTILIZAR EN LA SESION

Equipo de cmputo

Proyector de transparenciasX

Proyector de multimedia

Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN

Preguntas especficas durante el desarrollo de la exposicin.

Supervisin de la aplicacin de conceptos y procedimientos en ejercicios.

VIII. FUENTE DE INFORMACION

R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima, 1998.

Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor

V.B. Coordinador del Area Acadmica.

LOGICA PROPOSICIONAL

ENUNCIADO: Es toda expresin verbal que puede ser verdadera o falsa.

EJEMPLO: Viene Mara?

PROPOSICIN: Se llama proposicin a todo enunciado respecto del cual se disponga de un criterio que nos permita afirmar que su contenido es verdadero (V) o (F) pero nunca ambos a la vez.

EJEMPLOS:

a) El cristalino se encuentra en el ojo.

b) En el hipotlamo se regula la temperatura corporal

c) El escorbuto se produce por falta de la vitamina c

d) La hidrocefalia es una enfermedad de los huesos

e) El glaucoma se produce por acumulacin de fluidos en el ojo.

CLASES DE PROPOSICIONES

PROPOSICIN SIMPLE : Es aquella proposicin que carece de conectivos lgicos. Por Ejemplo:

a)La biofsica estudia las leyes fsicas.

b)El glaucoma es una enfermedad del globo ocular.

PROPOSICIN COMPUESTA: Esta formada por dos o mas proposiciones simples, enlazadas mediante conectivos lgicos.

Por Ejemplo:

1. La biofsica estudia las leyes de la fsica y el comportamiento fisiolgico a travs de estas leyes.

2. El glaucoma es una enfermedad del globo ocular y se produce debido a la presin de sus fluidos, humor acuoso.

La propiedad fundamental de una proposicin compuesta consiste en que su valor de verdad se determina completamente por medio del valor de verdad de sus enunciados simples junto con la manera como estos se conectan para conformar un enunciado compuesto.

CONECTIVOS LGICOS: Se representan mediante smbolos estandarizados que son los siguientes: (, (, (, (, (, (.

PROPOSICIONES CONJUNTIVAS

Son dos o ms proposiciones unidas por el conectivo lgico.(.o sus componentes equivalentes, ni-ni, aunque, an, cuando, como.

EJEMPLO:

Juan fue a la Universidad aunque llego tarde

Tanto los enfermeros como los de obstetricia estudian matemticas

El perro de Carlos ni come ni deja comer.

TABLA DE VERDAD: La conjuncin de dos proposiciones P y Q ser cierta nicamente, cuando sean ciertas las dos proposiciones P y Q componentes.

En todos los dems casos , cuando uno de ellos sea falsa o las dos, la proposicin P y Q ser falsa.

pqp ( q

V

V

FFV

F

V

FV

F

F

F

Las combinaciones de las tablas lgicas obedecen a la siguiente formula:

2x : donde x = al numero de proposiciones simples.

Si x = 2( 22

Tenemos 4 posibles combinaciones.

DISYUNCIN: Toda proposicin que se forma uniendo dos o ms proposiciones por la palabra o se denomina proposicin disyuntiva .

Se utiliza el smbolo V para representar la palabra O as una disyuncin se representa por :

p V q

EJEMPLOS:

Luisa obtendr calificativo sobresaliente en matemtica o fsica

Carmen tiene calor o fro

Analizando los dos ejemplos , se entiende que Luisa puede salir sobresaliente en matemtica, en fsica o en ambas disciplinas.

En cambio de acuerdo con la costumbre , Carmen puede tener calor o fro nunca los dosTABLA DE VERDAD: Para dar el valor de verdad debemos de tener en cuenta la ambigedad con que se usa la palabra O .

La tabla de verdad para la disyuncin inclusiva ser la siguiente.

pqp v q

V

V

FFV

F

V

FV

V

V

F

DISYUNCIN EXCLUSIVA: Una de las proposiciones excluye a la otra se simboliza ( tiene por tabla de verdad lo siguiente:

pqp ( q

V

V

FFV

F

V

FF

V

V

F

EJEMPLO:

O atiendes en clase o te retiras

Su presencia se detecta dentro de una proposicin, por la aparicin de las partculas gramaticales O......o.... que indica la obligatoriedad de que se verifique una de las proposiciones componentes o la otra , pero no ambas proposiciones a la vez.PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO: Una proposicin compuesta o es verdadera o es falsa siempre se verifica uno de estos casos nunca un tercero, los valores de verdad de cualquier proposicin compuesta estn determinados por los valores de verdad de las proposiciones componentes.

VALORES DE VERDAD DE P Y (P: Sabremos que la proposicin elemental p tiene el valor verdadero o falso en consecuencia el valor de verdad de (P y as podemos construir una tabla de verdad para la negacin es decir :

Si el valor de verdad de p es (V)

El valor de verdad de (p es (F)

Si el valor de verdad de p es (F)

El valor de verdad de (p es (V)

CONDICIONAL: Algunas proposiciones tienen una condicin.

Se caracteriza en el contexto de una proposicin por la aparicin de las partculas gramaticales Si.....entonces...., el nombre de condicional no esta relacionado con una posible causal (causa efecto) entre las proposiciones componentes sino que hace referencia a la forma externa si......entonces...., que denota la presencia de este conector preposicional.

EJEMPLO:

Si llueve entonces saldr al campo

VALOR DE VERDAD: La condicional ser falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso

Conectivo lgico: (Antecedente : p

Consecuente : q

pqp ( q

V

V

FFV

F

V

FV

F

V

V

BICONDICIONAL: Se forman, como su nombre lo indica, a partir de dos conectores condicionales, pero de sentidos contrarios. Su presencia en el contexto de una proposicin se reconoce por las partculas gramaticales Si y solo si. Este conector proposicional que se representa por el smbolo ( que significa doble condicional o sea condicional en los dos sentidos.

Ejemplo:

Se llenarn los pantanos si solo si llueven de forma

continuada.

TABLA DE VERDAD: La bicondicional es verdadera cuando las proposiciones componentes son verdaderas o falsas.

pqp ( q

V

V

FFV

F

V

FV

F

F

V

TABLAS DE VERDAD:

Tautologa

Contradiccin

Proposiciones indeterminadas

TAUTOLOGA: Se dice que una proposicin P es una tautologa cuando en la tabla de verdad de la forma proposicional correspondiente aparece siempre el valor verdadero.

pq (p ( q) (q v p)(p ( q) ( q v p

V

V

FFV

F

V

FV

F

F

FV

V

V

FV

V

V

V

CONTRADICCIN: Una proposicin P es una contradiccin cuando en la ltima columna de la tabla de verdad de la forma proposicional correspondiente aparece siempre el valor falso.

pq p ( q p ( q(p ( q) ( (p ( q)

V

V

FFV

F

V

FV

F

F

VF

V

V

FF

F

F

F

PROPOSICIONES INDETERMINADAS: Cuando en la ltima columna efectuada de la tabla de verdad correspondiente aparece algunas veces el valor verdadero y otras el falso.

pq(p ( q) v (p ( (q)

V

V

FFV

F

V

FV

V

F

F

i) Proposicin recproca

Dada la proposicin condicional p ( q se llama proposicin recproca a la proposicin que se denota por q ( p.

Ejemplo:

1. Sea la proposicin directa: p ( q

Si hoy es lunes, maana es martes

La proposicin recproca, q ( p, es:

Si maana es martes, entonces hoy es lunes

ii)Proposicin inversa

Dada la proposicin condicional p ( q se llama proposicin inversa a la proposicin que se denota por ~p ( ~q.

Ejemplo:


Si estudias, entonces apruebas

La proposicin inversa, ~p ( ~q, es:

Si no estudias, entonces no apruebas

iii)Proposicin contrarreciproca

Dada la proposicin condicional p ( q se llama proposicin contra reciproca a la proposicin que se denota por ~q ( ~p.

Ejemplo:


Si un nmero es mltiplo de 2, entonces es par

La proposicin inversa, ~q ( ~p, es:

Si un nmero no es par, entonces no es mltiplo de 2

USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIN

Los signos de agrupacin (parntesis, corchetes, llaves) se usan en lgica cuando se trata de obtener esquemas lgicos mas complejos con el fin de evitar la ambigedad en las frmulas. As por ejemplo, la expresin:

p ( q ( r

es ambigua; pero asociando sus trminos: (p ( q) ( r p ( ( q ( r); tiene sentido y deja de ser ambigua.

Otra finalidad de los signos de agrupacin es darle mayor o menor jerarqua a los conectivos; as: aquellos conectivos que se encuentren mas encerrados dentro de los signos de agrupacin o coleccin, tendrn menor jerarqua.

Observacin: La combinacin de las variables y los operadores o conectivos proposicionales por medio de los signos de agrupacin se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular solo uno de los operadores es el de mayor jerarqua y es el que da el nombre a dicho esquema:

(((p ( q) ( q (( p ( ( (p(q) el conectivo de mayor jerarqua es ............... por lo tanto es un esquema..............................

((p ( q) ( q ( ( (p ( (p(q)( el conectivo de mayor jerarqua es .............. por lo tanto es un esquema..............................

(p ( q) ( (q ( (p ( (p(q)(( el conectivo de mayor jerarqua es ............ por lo tanto es un esquema...............................

PLAN DE SESION



Profesor:Lic. Elizabeth Martinez Encinas

Tema

:Nociones de Lgica II parte. Esquemas moleculares.

Sesin Nro.:2


Razonar de forma vlida acerca de situaciones trascendentes, particularmente abstractas. Valorar inferencias lgicas. Criterios de conjuntos.


Esquemas moleculares- diagramas.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN










Firma del Profesor


EVALUACION DE ESQUEMAS MOLECULARES POR TABLAS DE VERDAD.

Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de cada una de las variables proposicionales.

Para determinar el numero de valores de verdad del esquema se aplica la siguiente formula: 2n, donde n = nmero de variables diferentes del esquema.

2 = base de la frmula; siempre dos porque existen solo dos valores veritativos: V F

El nmero resultante de la aplicacin de la frmula expresa el total de verdades y falsedades para la primera variable, colocndose debajo de sta la mitad de (V) y la otra de (F); debajo de la segunda variable se anota la mitad de lo correspondi a la primera tanto de (V) como de (F). Se seguir el mismo criterio con las dems variables, obteniendo para la ultima variable una (V) y una (F) en forma alterna.

Ejemplo:

Evale la tabla de verdad de la proposicin:

p q r (p ( q) ( ( r ( ( q ( (p ( r) ( (

V V V

V F F

F FV V F

F V V F F V F V

F V F

V

F V

V

F

F

V

V

V

VV V F

V V V V V V

F V F

V

F

V

FV V V V V V V

VV V F

F

V

V

F

FV V V V V

V

V

VV

F

V

F

F

V

F

V

Segn el resultado que se obtenga en el operador de mayor jerarqua, los esquemas moleculares se clasifican en:

CIRCUITOS LGICOS.

Un circuito lgico es un circuito conmutador que cuenta con interruptores para la fluidez de la corriente elctrica o su interrupcin.

Los interruptores se pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo

Todo interruptor elctrico presenta dos estados o circuitos:

i) CIRCUITO CERRADO: En el cual se deja pasar la corriente.

ii) CIRCUITO ABIERTO: En el cual se interrumpe el paso de la corriente.

As, en un interruptor elctrico, si el conmutador esta cerrado la luz se prende; en cambio si el conmutador esta abierto la luz se apaga.

Sean p y q dos interruptores elctricos que dejan pasar la corriente. Entonces se representaran:

Sean (p y (q dos interruptores elctricos que no dejan pasar la corriente. Entonces se representaran:

Si observamos el circuito en serie, concluimos que si uno de los conmutadores esta abierto no hay flujo de corriente por lo que es equivalente a la operacin lgica de la Conjuncin.

Y en un circuito en paralelo, basta que uno de los conmutadores este cerrado para que se permita el paso de la corriente, por lo que es equivalente a la operacin lgica de la Disyuncin.

As, si denotamos 1 en vez de V (pasa la corriente)

0 en vez de F (no pasa la corriente)

las tablas que describen el funcionamiento de un circuito en serie (p ( q); y (p ( q) en paralelo serian:

pqp ( q

1

1

0

01

0

1

01

0

0

0

pqp v q

1

1

0

01

0

1

01

1

1

0

p(p

1

00

1

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Encierre en un crculo las proposiciones

1) Cuntos aos tienes?

2) 9 es un numero par

3) Alto!

4) Sergio juega ftbol

5) Que fri hace!

6) Si x es par, entonces es mltiplo de 3.

2. Sabiendo que:

p:

El precio de los pasajes es elevado

q:

La crisis se esta agudizando

Indique el significado de las siguientes proposiciones

a)

p ( q

b)(p ( qc)p ((q

d)((p(q)

3. Si ((((p ( (q( ( (r( q)( ( (((p ( (q(( (q ((p)( es verdadera, cuales son los valores de verdad de p, q, y r.

4. Si la proposicin (((p) ( q( ( ((s ( r)( es falsa, cual es el valor de las siguientes proposiciones:

1) (((p (q( ( r (2) (((p ( q ( ( ((r ( r( ( s

3) (( p ( (q( ( p( ( ((q)

5. Evale mediante la tabla de verdad:

1) ((p ( q(((p ( (q

2) ((((p ( (q( ( (p ( q((3) (((((((p ( q ( ( (p ( r(( ( (((q ( (r( ( (q ( r((6. Para cada una de las siguientes proposiciones desarrolle respectivamente su tabla de verdad y diga cuales son tautologas.

1) p ( p

2) (((p( ( p

3) (p ( q( ( (q ( p(4) (p ( q( ( (q ( p(5) (p ( q( ( r ( p ((q (r(6) (p ( q( ( r ( p ((q (r(7) p ( (q ( r( ( (p ( q( ( (p( r(8) p ( (q ( r( ( (p ( q( ( (p ( r(9) ((p ( q ( ( ((p ( (q(10) ((p ( q ( ( ((p ( (q(11) (p ( q) ( ((q ( (p(12) (p ( q) ( ((p ( q(13) (p ( q) ( (p ( (q(14) (p ( (p ( q)( ( p

15) ((p ( q) ( (q ( ( (q

16) ((p ( (p ( q)( ( q

17) ((p ( q) ( (q( r) ( ( (p( r)

7. Para cada una de las proposiciones, grafique el circuito conmutacional o elctrico.

1) (p ( q( ( (r ( s(2) (p ( q( ( (r ( s(3) (((p ( q ( v (p ( r(( ( (((q ( (r( ( (q ( r((4) ((((p ( (q( ( (p ( q((5) (p ( q( ( (r ( t ( s(6) p ( (q( ( (r ( s ( t((7) ((p ( (q ( r((8) (((p (q( ( (p ( r ( q((9) p ( ( r ( q( ( ( t ( s(10) p ( ( r ( q( ( s ( ( t ( q(11) ( (p ( (q( ( ( (p ( r) ( ( t ( s(8. Utizando la simbologa lgica, interprete:

9. Determine el circuito lgico equivalente a:

a)

b)

PLAN DE SESION

I.INFORMACION GENERAL


Profesor:Elizabeth Martnez Encinas

Tema

:Conjuntos

Sesin Nro.:3


Dar una nocin de conjunto, realizar operaciones entre conjuntos diagramar los conjuntos utilizando para ello los diagramas de ven Euler.III.CONTENIDOS Y/O ACTIVIDADES

Repaso, ejercicios y problemas de los temas desarrollados en el taller.

IV.METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX

V.MATERIALES A UTILIZAR PARA EXPLICAR EL TEMA DE LA SESION

Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides

VI.EQUIPOS A UTILIZAR EN LA SESION

Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII.EVALUACIN



VIII.FUENTE DE INFORMACION



Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.





Firma del Profesor


CONJUNTOS

CONCEPTO DE CONJUNTO: Se entiende, por conjunto una coleccin o agrupacin de entes con una o ms caractersticas comunes.

Estos Entes en los conjuntos se denominan elementos , de manera que, un conjunto est bien definido si es posible conocer todos sus elementos.

EJEMPLO:

1. El conjunto de los huesos de la mano

2. El conjunto de los huesos del pie

3. El conjunto de alumnos del auditorio 1

4. El conjunto de rganos del cuerpo humano

REPRESENTACIN ; Los conjuntos se representan por letras maysculas , los elementos se encierran entre llaves .

EJEMPLOS :

A = ( tarso, metatarso, dedos ( B = (carpo, metacarpo, dedos ( C = (10n , n ( N ( Conjunto de las potencias de 10, ( Significa, pertenece a........ y N, nmeros enteros y positivos

DIAGRAMA DE VENN.: La representacin grfica de un conjunto se hace mediante lneas serradas, en cuyo interior los elementos del conjunto se simbolizan por puntos-

LOS CONJUNTOS SE DEFINEN POR:

-Por extensin

-Por comprensin

POR EXTENSIN : Se define por extensin cuando se enumeran cada uno de sus elementos

R = (ojos, nariz, boca, cejas, orejas ( T = (visin, odo, olfato, gusto, tacto ( Q = (1, 3, 5, 7 (POR COMPRENSIN : Se define un conjunto por comprensin cuando se indica una caracterstica comn a los elementos del conjunto una propiedad de los mismos.

EJEMPLO :

P = (x/x, es un hueso de la mano ( Q = (x/x, es un hueso de los dedos ( R = (x/x, es un nmero Natural ,impar menor que 10 (CONJUNTO COMPLEMENTARIO : Se entiende por conjunto complementario de un conjunto, A con respecto a otro B, siendo que, B(Ael conjunto formado por todos los elementos de B que no pertenecen a A .

EJEMPLO :

A = ( 1, 2, 3, ( ( A = (5, 8 ( B = (1, 2, 3, 5, 8 (

CONJUNTO VACO : Es aquel conjunto que carece de elementos se representa mediante el smbolo, (EJEMPLO :

A = (X/X, X(10 ( X es negativo (

Conjunto unitario :Es aqul conjunto que tiene un solo elemento.

EJEMPLO:

A = (el planeta tierra ( B = (x( x, es un natural 4 ( x ( 5 (

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS :

RELACIN DE INCLUSIN : Dados los conjuntos A y B se dice que, aA est contenido en el conjunto B o que A est incluido en B, si

Todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

A ( B que se lee:

A est contenido en B

O bien

A est incluido en B

O bien

B incluye a A

O bien

B contiene a A

EJEMPLO:

A = (a, b, c, (

B = ( a, b, c, d, e( ( x (A, x ( B

A

Unin de conjuntos

Dados los conjuntos de A y B, se llama conjunto Unin al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B y se le denota A U B.

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}

B = {d, e, f, g}

Se cumple que: A U B = {a, b, c, d, e, f, g}

Interseccin de conjuntos

Dados los conjuntos A y B, se dice que conjunto A esta intersectado con otro conjunto B si solo s, ( un elemento x que pertenece A y x pertenece a B.

Se le denota A ( B.

Ejemplo:

Sean A y B los dos conjuntos del ejemplo anterior; es decir:

A = {a, b, c, d, e}

B = {d, e, f, g}

El conjunto interseccin de A, B ser: A ( B = {d, e}

PROPIEDADES DE LA UNION E INTERSECCIN:

Dados los conjuntos A, B, C, y D.

S: A U [( B ( C ) U D]

(1. Propiedad asociativa

A U (B U C) = (A U B) U C

A ( (B ( C) = (A ( B) ( C

2. Propiedad conmutativa

A U B = B U A

A ( B = B ( A

3. Propiedad equivalente o idempotente

A U A = A

A ( A = A

4. Propiedad simplificativa o de absorcin

A U (B ( A) = A

A ( (B U A) = A

5. Propiedad distributiva de la unin con respecto a la interseccin

A U (B ( C) = (A U B) ( (A U C)

6. Propiedad de la interseccin con respecto a la unin

A ( (B ( C) = (A ( B) U (A ( C)

LEYES DE MORGAN

Primera ley (A U B) = A ( B

Se lee el complementario de la unin de dos conjuntos es igual a la interseccin de los complementos de los mismos conjuntos.

Segunda ley (A ( B)= A U B

A manera de ejemplo vamos a demostrar una de estas leyes.

Demostracin de primera ley.:

S (A U B) = A ( BSi A = B

( (A U B) ( A ( B( A ( B ( B ( A

( A ( B ( (A U B)

En efecto:

Si x ( (A U B)( x ( (A U B)

( (x ( A) ( (x ( B)

( x ( A ( x ( B

CONSIDERACIONES NECESARIAS PARA LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. U = (, ( = U

2. ( A ( U, (A) = A

3. (A ( U Y B ( U se tiene que

(A U B) = A ( B

4. A ( B ( B ( A

5. A ( B = ( ( A ( B

A ( B = ( ( B ( A

6. A U B = U ( A ( B

A U B = U ( B( A

7. ( es el elemento neutro de la unin

A U ( = A

U es el elemento neutro de la interseccin

A ( U = A

PLAN DE SESION




Tema

:Conjunto Producto Relaciones

Sesin Nro.:4


Desarrollar producto con conjuntos contenidos y/o actividades por ordenado, dominio y rango de una relacin, relaciones de equivalencia grfica.


Conjunto solucin de una relacin de RXR, dominio e imagen de una relacin, grfica de una relacin, propiedades de algunas relaciones, relacin de equivalencia.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN




Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.






Firma del Profesor

V.B. Coordinador del rea acadmica

lCONJUNTO PRODUCTO

Pares ordenados.- Un par ordenado consta de dos elementos a, b donde a sera el primer elemento y b el segundo elemento del par.

Se escribe:(a, b)El primer y segundo elementos del par pueden ser tomados del mismo conjunto o de diferentes conjuntos.

Ejemplo: podramos usar los pares ordenados para indicar la provisin de un punto sobre la tierra.

(latitud, longitud)

Pares ordenados iguales.-(a, b) y (c , d) son iguales

(a = c y b = d

Producto cartesiano.- A x B

Dados los conjuntos A, B no vacos el producto cartesiano de A y B es el conjunto de todos los pares (x, y) tales que x ( A e y ( B

A x B = { (x, y) / x ( A ( x ( B }

Ejemplo: A = {1, 2}

A2 = {(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)}

Conjunto producto en general

El producto cartesiano de los conjuntos A, B, C representado por A x B x C consta de todas las triplas ordenadas (a, b, c) donde a ( A, b ( B y c ( C.

A x B x C = {(a, b, c); a ( A, b ( B y c ( C}

Ejemplo:

A = {a, b} B = {1, 2, 3}

C = {x, y}

A x B x C = {(a, 1, x), (a, 1, y), (a, 2, x), (a, 2, y)

(a, 3, x), (a, 3, y), (b, 1, x), (b, 1, y)

(b, 2, x), (b, 2, y), (b, 3, x), (b, 3, y)}

RELACIONES

Una relacin R de A a B es un subconjunto A x B. Por otra parte cualquier subconjunto R* de A x B define una relacin R de A a B como sigue:

a R b si (a, b) ( R*

Relacin Inversa

Sea R una relacin de A a B

R-1 = {(b,a} : (a, b) ( R}

Relacin de equivalencia

Una relacin R es una relacin de equivalencia si R, es reflexiva, simtrica y transitiva.

Reflexiva: R se dice que una relacin R es un conjunto:

A es reflexiva si:a R a ( (a,a) ( R

( a ( A

Simtrica: se dice que una relacin R en un conjunto A es simtrico si cumple:

a R b ( b R a

(a, b) ( implica que (b, a) ( R

Simtrica: una relacin R es un conjunto A es transitiva si:

A R b y b R c ( a R c

(a, b) ( R y (b, c) ( R implica: (a, c) ( R

Particiones: Una particin de un conjunto x es una subdivisin de x en subconjuntos disjuntos y cuya unin es x, tal que toda a ( x pertenece a uno y solamente uno de los subconjuntos.

En la coleccin {A1, A2, A3.... An} de subconjuntos de x es una particin de:

x ( i) x = A1 UA2 UA3.... Uan

ii) para cualquier Ai, Aj, se tendr

Ai = Aj o Ai ( Aj = (Ejemplo:x = {1, 2........ 8, 9}

Particin de x = [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}]

PLAN DE SESION




Tema

:Funciones

Sesin Nro.:5


Establecer la diferencia existente entre relacin y funcin, encontrar los valores de las variables estableciendo entre ellas una subordinacin una respecto de la otraIII. CONTENIDOS Y/O ACTIVIDADES

Definicin de funcin, tipo de funciones, grfico de funciones, funcin lineal, ecuacin de una recta, mtodos, diferentes clases de funciones, lgebra de funciones.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN




a. Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

b. Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

c. R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

d. K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

e. Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

f. Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


FUNCIONES

Definicin.- una funcin F es una correspondencia entre dos conjuntos, un conjunto A llamado conjunto de partida o dominio y un conjunto B llamado conjunto de llegada o rango, y una regla que asigna a cada elemento de A un nico elemento de B.

f : A ( B o A ( B

f [A] = {f(a) : a ( A}

Ejemplo:f : R ( R de la forma.

f(x) = ax + b o definida y = ax + b

x f(x)

-2-5

0-1

3 (2, 3)

2 3

-4 -2

2

(0,-1)

(-2, -3)

Composicin de funciones

Considere las funciones f : A ( B y g: B ( C

f

g

A

B

CSea a ( A ; ( f(a) est en B, el dominio de g.

Por lo tanto, podemos encontrar la imagen de f(a) bajo la funcin g, g (f(a))

La funcin de A en C que se asigna a todo a ( A el elemento g(f(a)) ( C se llama la composicin o producto de f y g se representa por g o f.

Por definicin (g o f) (a) = g (f(a))

EJERCICIO N 3

1. Si se lanzan 2 dados juntos, uno rojo y otro blanco

a) Cuntos pares ordenados se forman con sus elementos?

2. Hallar seis pares ordenados (x, y) ( R x R que satisfagan los enunciados.

a) 3x + 5y = 11

b) y + 2 ( x

3. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 4, 9, 16, 25}

C = {*, (, (} hallar:

a) A x ( B x C)

b) (A x B) x C

4. Sean M = {a, b, c, d} y sea R la relacin en M que consta de aquellos puntos representados e el diagrama de coordenadas de M x M

abcde

1) Encontrar todos aquellos elementos de M que estn en relacin, es decir {x : (x, b) ( R}

2) Encontrar todos aquellos elementos de M con los cuales d se tiene relacin, es decir, {x : (d, x) ( R}

3) Encontrar la relacin inversa R-15. Sea R la relacin (( (paralelismo) en el conjunto de lneas en el plano determinar si R es una relacin de equivalencia (suponer que cualquier lnea es paralela as misma).

6. Si W = {1, 2, 3, 4} considerar las siguientes relaciones en W

R1 = {(1, 2) ( 4, 3) (2, 2) (2, 1) (3, 1)}

R2 = {(2, 2) ( 2, 3) (3, 2)}

R3 = {(1, 3)}

Determinar si son simtricas y transitivas.

7. X = {a, b, c, d, e, f,} y sea:

A1 = {a, e, e}

A2 = {b}

A3 = {d, g}

B1 = {a, e, g}

B2 = {c, d}

B3 = {b, e f}

C1 = {a, b, e, g}

C2 = {c}

C3 = {d, f}

D1 = {a, b, c, d, e, f}

8. Encontrar todas las particiones de X = {a, b, c, d}

PLAN DE SESION



Profesor:Elizabeth Martnez

Tema

:Teora axiomtica de los nmeros RealesSesin Nro.:6


Realizar operaciones utilizando para ello las leyes y propiedades de la teoria de exponentes.


Operaciones matemticas: CON EXPONENTES.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN




b) Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

c) Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

d) R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

e) K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

f) Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

g) Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


NUMEROS REALES

CONCEPTO : Es la reunin de nmeros racionales e irracionales

INTERVALO : es una porcin de recta definido por dos nmeros que indican el

mayor y menor.

INTERVALO ABIERTO: Es la secuencia de nmeros sin limite

INTERVALO SERRADO: Es la porcin de recta totalmente definida

INTERVALO SEMIABIERTO: Es la secuencia de nmeros que tiene un lmite ya sea por la izquierda o por la derecha

LA RECTA NUMRICA: Es una sucesin de puntos colineles los cuales representan a los nmeros reales

Las leyes o propiedades que rigen la teora de exponentes son:

1. si

2.

3.

4.

5.

6. ;

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los ejercicios siguiente, efecte las operaciones indicadas usando para ello las leyes de los exponentes.

1. Si 2x = 3, calcule: E = 4x + 8x + 16x2. (-4x2y3)3 (2ab3)(-bx3y2)

3. Determine el valor de x en la ecuacin: 2x . 4x+1 . 8x+2 = 64

4. Halle el equivalente de: b-3. a4 (b2.a-4(a2.b3)-1(25. Halle el valor de x en:3x + 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 1080

6.

7.

8. Efecte:

9. Efecte:

10.

PLAN DE SESIN




Tema

:Potenciacin y radicacin

Sesin Nro.:7


Identificar y aplicar conceptos de potencia y raz.


Teoras matemticas de potenciacin y radicacin.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio


Ejercicios de aplicacin

Pizarra - tizas de color XCasos (computacin)


Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slide

Otros

X

VII. EVALUACIN



Trabajo grupal seminarios.


h) Murria S. Spiegel. Estadstica. Editorial Mc Graw Hill. 1999.

i) R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

j) K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

k) Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

l) Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


TEORIA DE EXPONENTES

La teora de exponentes tiene por objeto estudiar las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La potenciacin es la operacin que permite la presencia del exponente y se representa:

Si el exponente es entero y positivo nos indica el nmero de veces que se repite la base como factor:

; x = base; n = exponente

Observaciones:

Las leyes o propiedades que rigen la teora de exponentes son:

1. si

2.

3.

4.

5.

6. ;

7. ;

8. ;

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los ejercicios siguiente, efecte las operaciones indicadas usando para ello las leyes de los exponentes.

11. Si 2x = 3, calcule: E = 4x + 8x + 16x12. (-4x2y3)3 (2ab3)(-bx3y2)

13. Determine el valor de x en la ecuacin: 2x . 4x+1 . 8x+2 = 64

14. Halle el equivalente de: b-3. a4 (b2.a-4(a2.b3)-1(215. Halle el valor de x en:3x + 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 1080

16.

17.

18. Efecte:

19. Efecte:

20.

RADICACION

*Propiedades1.

2.

3.

4.

5.

Para determinar los signos en la multiplicacin, divisin y potenciacin utilizaremos el siguiente cuadro:

1. (+) . (+) = +

2. (-) . (-) = +

3. (+) . (-) = -

4. (-) . (+) = -

* (-a)2n+1 = -a2n+15. = +

6. = +

7. = -

8. = -

* (-1)2n = a2n

Ejemplos1. Demostrar que:

Solucin:

Partiendo del primer miembro:

].q.q.d.

Ntese que: Si una fraccin est elevada a un exponente negativo, basta con invertir la fraccin y el exponente se transforma en positivo.

2. Simplificar:

S =

Solucin:

Teniendo en cuenta la demostracin anterior se puede escribir:

S =

S =

S = 6

3. Simplificar:

S =

Solucin:

= =

=

= = = = = 2

S = 2

*Descomposicin de Radicales Dobles de 2do. Grado en Simple

La forma que presentan estos radicales es

Supongamos que la descomposicin da:

= + .(1)

De (1) y (2) se puede hallar los valores

= - .(2)

de x e y procediendo:

=

Elevando al cuadrado:

x =

x =

Haciendo:

C =

x =

En forma anloga se determina el valor de y.

y =

Reemplazando x e y en (1) y (2) se obtiene la frmula:

=

Donde C debe ser un nmero entero

EJERCICIOS

1. Descomponer en radicales simples

= .. ( I )

Clculo de C

C = = = 1

Reemplazando datos en ( I )

=

=

2. Descomponer en radicales simples:

Solucin:

. ( I )

Descomponiendo por partes

= =

Clculo de C:

C = =

Luego:

= 3 +

Reemplazando en ( I ):

= ( II )

= +

Clculo de C:

C = = 2

Luego: = +

= +1

Luego:

La raz es: 3a3 5a2b + ab2 2b3EJERCICIOS

1. Efectuar:

K =

2. Reducir:

3. Calcular el valor de:

4. Simplificar:

5. Calcular x:

6. Reducir:

+ +

7. Indique el equivalente:

S =

8. Calcular:

P =

9. Simplificar:

10. Reducir:

M =

11. Resolver:

12. Simplificar:

R =

13. Calcular:

E =

14. Efectuar:

15. Efectuar:

A =

16. Efectuar:

PLAN DE SESION



Profesor:Elizabeth Martnez Encinas y Luis Alzamora.

Tema

:Repaso general 1,2,3.4,5

Sesin Nro.:8


Desarrollar ejercicios, agruparlos algebraicamente de acuerdo a propiedades matemticas, desarrollar ejercicios generales con exponentes.


Ejercicios y problemas de temas expuestos hasta la sesin anterior.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

Pizarra

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN



Seminarios, desarrollo e investigacin grupal.


m) R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima, 1998.

n) Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

o) Murray S. Spiegel. Estadstica. Editorial Mc Graw Hill. 1999.

p) Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

q) R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

r) K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

s) Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

t) Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor

V.B. Coordinador del rea Acadmica.

PLAN DE SESIN



Profesor:Elizabeth Martinez Encinas.

Tema

:Monomios, polinomios y factorizacin.

Sesin Nro.:10


Resolver operaciones de adicin, sustraccin, divisin y potenciacin de polinomios con coeficientes en Q.

Utilizar de modo preciso la definicin y la notacin poli nmica: P(x), P(x,y).

Reconocer las caractersticas y propiedades de los polinomios, distinguir sus elementos, determinar sus grados.

Realizar operaciones bsicas con polinomios.


Monomios, suma y resta; Polinomios suma y resta; Factorizacin.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Pizarra, tizas, otros

X

VII. EVALUACIN




u) Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

v) R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima, 1998.

w) Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

x) R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

y) K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

z) Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

aa) Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor

POLINOMIOS Y MONOMIOS

Definicin

Llamaremos Polinomios a una suma algebraica de monomios. A cada sumando monomio lo llamaremos trmino de Polinomio. Para desarrollar este tema usaremos los polinomios de una sola indeterminada, es decir, las sumas algebraicas de monomios de igual indeterminada.Segn el nmero de monomios que formen el polinomio daremos a ste un nombre distinto:

-Si tiene un solo trmino lo llamaremos monomios.

-Si tiene dos trminos lo llamaremos binomio.

-Si tiene tres trminos lo llamaremos trinomios.

-Si tiene cuatro o ms trminos lo llamaremos polinomio.

Para indicar un polinomio usaremos una letra mayscula y la indeterminada correspondiente, entre parntesis.

Grado de Polinomios

a.- Grado Absoluto:Est referido a todas las variables a la vez, se denota por GA(P) y est dado por la mayor suma de exponentes en uno de sus trminos.

Ejemplo:

Para el Polinomio: P(x,y)= x30 + x4y25 + y31 x + x33

GA= 30 29 32 33

GA(P)=33

b.- Grado Relativo:Est dado por el mayor de los exponentes de la variable referida.

Ejemplos:

3x4y - 5x3y7 + 2x5y - y4

GRX = 5 GRY = 7

P(a, b, c) = 5a3b-b4+6ac3

GA = 4

GRa = 3 el polinomio P es de grado 3 respecto a a.

GRb = 4 el polinomio P es de grado 4 respecto a b.

GRC = 3 el Polinomio P es de grado 3 respecto a c.

El Grado de un Polinomio de dos o ms trminos El Grado de un monomio con una variables: Est dado por el exponente de dicha variable. As 5x es de 1er grado, 2x2 es de 2do grado, 1/8y3 es de 3er grado, etc.

El Grado de un monomio con ms de una variable:

Est dado por la suma de los exponentes de dichas variables. As:0.5xy es de 2do grado, 3ab2 es de 3er grado x2y2 es de 4to.grado, etc.

El Grado de un polinomio de dos o ms trminos:

Est dado por el trmino de mayor grado. As: x2-4x es de 2do. Grado, 4 x2 3 x + 2 es el 2do grado., 5ax2 + 10 a2 x3 es de 5to.grado, etc.

Operaciones con un polinomioAdicin de Polinomios: Dado dos Polinomios: P y Q, de Grados m y n; para obtener la suma de ellos se suman algebraicamente sus trminos y se reducen los trminos semejantes (aquellos trminos de igual parte variables).

Notacin: P + Q = S .donde: GA(S)( mx,{m;n}

Ejemplo:

Sean: P(x)=7x2 + 11x 31

Q(x)= 34x3 + 19x + 45

donde GA(P)=2 y GA(Q)=3

(S(x)= P(x)+Q(x)=7x2+11x-31+34x3 +19x+45=34x3 +7x2 +30x-11

(S(x) = P(x) + Q (x) = 7x2 + 26x -31, donde GA(S) =3NOTA: Observe que la suma resultante es de grado menor o igual que el ,mximo grado de uno de los sumandos.

Sustraccin de Polinomios: Dados dos polinomios: P y Q, de grados m y n, llamado factores, se obtiene un tercer polinomio P llamado producto.

NOTACIN: P-Q =P + (-Q)=D, donde: GA(D) ( mx. {m ; n}

Ejemplo:

Sean: A(x)=49x3-7x2+16 y B(x)=59x3-18x2-30

(D(x)= A(x)-B(x) = 49x3-7x216-(59x3-18x2-30)

(D(x)= 49x3-7x2+16-59x3+18x2+30

(D(x)=-10x3+11x2+46, donde: GA(D)=3

Multiplicacin de Polinomios

Es una operacin en la que dados dos polinomios llamados MULTIPLICANDO y MULTIPLICADOR (factores), obtenemos otro llamado PRODUCTO.

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS DE UN SOLO TRMINO (MONOMIOS)

Multiplicamos para esto los coeficientes y luego las partes literales, considerando lo siguiente : LEY DE EXPONENTES.

am x an= am+n

Ejemplos:

(1) Efectuar: (-3x2) x (+4x7)

Multiplicando coeficientes: (-3) (+4) = -12

Multiplicando partes literales: (x2)(x7) = x2+7 = x9

Luego: (-3x2)(+4x7) = -12x9

(2) Efectuar:(-5(2 a5 b7) (-6(2a3c) (+3 a2 c2) = +180 a10 b7 c3Solucin:

Multiplicando coeficientes: (-5(2) (-6(2) (+3) = +180

Multiplicando partes literales: a5 b7a3c ca2 c2 =a5+3+2xb7xc1+2

=a10 b7 c3

Luego: (-5(2 a5 b7)( -6(2a3c)(+3 a2 c2) = +180 a10 b7 c3

MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO:Para esto, multiplicamos el monomio porcada uno de los trminos del polinomio, de acuerdo a lo explicado en el punto anterior.

Ejemplo:

Efectuar (-5 a4b2)[ 2 a3- 7ab+3ab7] = -107b2 + 35a5b3 15 a5 b9

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS:

Para esto multiplicamos cada uno de los trminos del primer factor por cada uno de los trminos del segundo factor, para finalmente reducir trminos semejantes. Esta multiplicacin de Polinomios se puede efectuar escribindolos uno bajo el otro o uno a continuacin del otro.

Ejemplo:

(x2 +x +1) (3x+2)= 3x3 +2x2 +3x2+2x+3x+2

= 3x3 +5x2 + 5x+2

Divisin de Polinomios: Dados dos Polinomios D(x), denominados dividendo y divisor, donde GA(D) ( GA(d) y d(x) (0, existen dos nicos polinomios, q(x) y R(x) tales que:

D(x)(d(x) q(x) + R(x)

La relacin(1) se denomina ALGORITMO DE LA DIVISIN, donde q recibe el nombre de COCIENTE y R el de Residuo.

Ejemplo 1:

A partir de: x2 ( (x+1) (x-1) +1

D d q R

Podemos afirmar que: al efectuar la divisin x2/x + 1 se obtiene como cociente q(x) = x 1 y como residuo R(x) = 1; donde adems se puede observar que:GA (R) ( GA (d), pues GA(R)= 1

Clases de Divisin

Divisin Exacta.-

Es aquella que no deja residuo o que R(x) ( 0

Con esto, el algoritmo de la divisin queda as:

D(x) ( d(x) q(x)

Divisin Inexacta.-

Es aquella que si deja residuo o que R(x)(0

Mtodos para dividir de Polinomios:Antes de efectuar una divisin de polinomios, observar que el que el dividendo y divisor sean polinomios completos y ordenados en forma descendente, con respecto a la variable de la divisin. Si faltase algn trmino, ya sea en el dividendo o en el divisor, ste se completar con 0.

Mtodo de Horner:

El esquema para efectuar la operacin se muestra. Sobre la lnea horizontal y a la derecha de la lnea vertical se ubica el dividendo; y a la izquierda de la vertical se coloca el divisor, el primer trmino por arriba de la horizontal con su propio signo y los dems trminos por debajo de la misma pero con signo cambiado.

Se completa el esquema trazando una horizontal por la parte inferior y tambin una vertical, que separa a partir del final, un nmero de coeficientes igual al grado del divisor. Suponiendo que ya se termin con la operacin, el cociente y el residuo se obtienen.

Regla de Ruffinni:Est regla se usa slo cuando el divisor es de primer grado, o en aquellas divisiones donde luego, de un cambio de variable se obtiene un divisor de primer grado. El esquema para dividir usando la regla de Ruffini consiste en dos lneas, una horizontal y la otra vertical. El dividendo se coloca ms arriba de la horizontal (a la derecha de la vertical) y ala izquierda de la vertical se coloca el Valor que se obtiene para x luego al igualar el divisor a 0.

Se completa el esquema separando, con una vertical adicional, el ltimo trmino del dividendo.

Ejemplo:3x5-10x3+x2+5x-1

Hallar el cociente y el resto luego de dividir:

X 2

Completando con 0 el termino, que falta en el dividendo, el esquema queda como el primer cuadro. Las operaciones se realizan como se muestra en el segundo cuadro.

Como el coeficiente principal del divisor es igual a 1, el cociente es verdadero, luego: Q(x)=3x4+6x3+2x2+5x+15

FACTORIZACION

MONOMIO :Mnima expresin algebraica, que posee las siguientes partes: signo, coeficiente, variable y exponente. Ejemplo: -8x4 POLINOMIO:Expresin algebraica formada por dos o ms monomios.

Ejemplo:

13x3 11x2 + 2x + 1

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO: La factorizacin es un procedimiento mediante el cual un polinomio es expresado como el producto de sus factores.

FACTOR COMUN MONOMIO: Por la propiedad distributiva de la multiplicacin sabemos que:

a (b + c) = ab + acEs decir ab + ac = a (b + c)

En este caso se dice que a (b + c) es una factorizacin de ab + ac, y que a es el factor comn monomio.

Ejemplos:5x3 10x4y = 5x3 (1 2xy)

12x5a2 6x2a2 + 18y4x3a3 = 6x2a2 (2x3 1 + 3xay4)

-16n6a3 24n2a3y 32n3a4y2 = -8n2a3 (2n4 + 3y + 4nay2)

Se verifica que una factorizacin es correcta, multiplicando los factores. Si el producto es igual al polinomio dado, la factorizacin est bien ejecutada.

Queremos factorizar:

3x2y 8xy2 + 4x3considerando a 3xy como factor comn.

Solucin:

3x2y 8xy2 + 4x3 3xy

EJERCICIOS

1. 2xy + 3y + 4x + 2 =

2. 3an + 4n 15a 20 =

3. an 2xy ax + 2ny =

4. 2ay 2mx am + 2xy =

5. 2a2y2 2a3x2 + 4ax2 4ay2 =

6. 3n2x 2ny3 3n2y3 + 2nx =

7. 3ax2 n2y2 n2x2 + 3ay2 =

8. a2x2 a3x a2y2 + ax3 x3 + xy2 =9. 3x + 3y2 6 2ax 2ay2 + 4a =

10. 3an2 6a + 3ay3 + 2n2 + 2y3 4 =

11. 8a + 3a2 3y2 + 4ay2 6 4a3 =

12. 2x3 2y2 + 5ay2 + 15a - 5ax3 6 =

13. 3y + 3x 3a - 2xy + 2ax 2x2 =

14. nx n2 + 3an 2a2 2ax =

15. 3axy 3bxy 3nxy + 2ay by ny =

1. 8y3 1 =

2. 16 y2 =

3. 1 + 27a6 =

4. 3 y4 =

5. 64 + n9 =6. 3 4a2 =

7. x2 2 =

8. y3 0.03 =

9. 27a6y3 n9 =

10. 4x10y6 a12 =11. x15y12 + 8a21 =

12. 0.09 y8a2 =

13. 0.001 + n18 =

14. 2 + y3 =

15. y6 1 =16. 1 + 0.008n3 =

17. 625a8 121y4 =

18. 343y4 + 8a3 =

19. n12x13 512 =

20. n6y9 3 =

PLAN DE SESION




Tema

:Productos notables.

Sesin Nro.: 11


Operar con los principales productos notables y ser capaz de aplicar la reversibilidad al tener que factorizar, simplificar y radicalizar productos notables.


Productos notables, cuadrado de la suma de dos cantidades, representacin grafica del cuadrado de la suma de dos cantidades.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN




IX. Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

X. R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima. 1998.

XI. Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

XII. R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

XIII. K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

XIV. Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

XV. Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


PRODUCTOS NOTABLES

DEFINICIONES

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado pueden ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin verificar la multiplicacin.

Son multiplicaciones indicadas las cuales no requieren ser ejecutadas, directamente se escribe el resultado. ~

Son aquellas multiplicaciones y potenciaciones cuyos productos se conocen directamente. Es recomendable memorizarlo en forma tal que pueda reconocer el producto a partir de los factores as' como los factores a partir del producto.

CLASES:

2.1. Cuadrado de la suma de dos cantidades 2.1.1.Cuadrado de un monomio

2.2.Representacin grfica del cuadrado de la suma de dos cantidades.

2.3.Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

2.4.Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

2.5.Representacin grfica del producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

2.6.Cubo de un Monomio

2.7.Producto de dos Binomios de la forma (x + a + b)

PRODUCTOS NOTABLES

1. PRODUCTOS NOTABLES:

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin verificar la multiplicacin.

CUADRO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

Elevar al cuadrado a+ b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos:

(a + bi 2 = (a + b) (a + b)

Efectuando este producto tenemos: a + b

a + b

a + b

a 2 + ab

ab + b 2

a2 + 2ab + b2

o sea J(a+b)2 =a2+ 2ab + b2Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad ms es duplo de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos: 1 ) Desarrollar (x + 4)2

Cuadrado de primero ............ x2Duplo del primero por el segundo. ........... 2 (x) (4) = 8x

Cuadrado del segundo ..............16

Luego: x2 + 8x + 16 es la respuesta

Estar operaciones deben hacerse mentalmente y el producto escribirse directamente.

Cuadro de un monomio. Para elevar un monomio al cuadrado se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 por lo tanto

(4ab2)2 = = 16a2 b4Desarrollar (4a + 5b2)2Cuadrado del 1ero (4a)2 = 16 a 2

Duplo del ero x el 2do .....................2 x 4a x 5b2 = 40ab2Cuadrado del 2do ................... (5b 2) 2 = 25b 4

Luego: (4a + 5b 2)2 = 16a2 + 40 ab2 + 25 b

3) Desarrollar (3a~ + 5X)2

(3a~ + 5X)2 = 9 A4 + 30a2X3 + 25X6

4) Efectuar(7aX4 + 9y5) (7ax 4 + gy5)

(7aX4 + 9y5) (7ax 4 + gy5) = (7aX4 + 9y5) = 49a2x8 + 126ax4y5 + 81y10

REPRESENTACION GRAFICA DEL CUADRO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geomtricamente cuando los valores son positivos. Vanse los siguientes pasos:

(a + b)2 = 2 + 2 ab + b 2

Construimos un cuadrado de G unidades de lado, es decir, el lado a:

a

a

Construimos un cuadrado de b unidades de lado, es decir, de lado b:

b

b

construimos dos rectngulos de largo a y de ancho b:

b

b

a a

Uniendo estas cuatro figuras formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El rea de este cuadrado es (a+b) (a+b) (a+b)2, y como puede verse en la figura 13, esta rea est formada por un cuadrado de rea a2, un cuadrado de rea b2 y dos rectngulos de rea ab cada uno o sea 2 ab. Luego:

b

a

a b

Efectuando este

ab + b

producto tendremos

a~ 29 ab + b

~ 10 sea ~ab =a2ab+1)

Luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cuya cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DILFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Sea el, producto (a + b) (a b)= a + b a b a 2 + ab

Efectuando esta

ab

b 2o sea

(a + b) (a b) = a2 b 2

multiplicacin, tenemosa 2

b 21

1

Luego, la suma de dos cantidades multplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Efectuar:(a + b + c) (a + b c)

Este producto puede ser:

(a+b+c)(a+bc) =a+b'+c! (a+b'c'

k

convertirse en la suma de

= (a + b)2 c 2dos cantidades multiplicada

= a 2 + 2ab + b 2_- C 2por su diferencia, de este

modo.

donde hemos desarrollado (a + b)2 por la regla del 1 ` caso

2) Elevemos a b al cubo

Tendremos (a b)3 = ( a b)2 (a b) = (a2 2 ab + b2 ) (a b)

Lo que nos dice que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

Ej emplos:

1). Desarrollar: (a + 1)3

(a + 1)3 = a3 + 3 a 2(1) + 3a ( 12) +1 3 = a 3 +3 a2 +3a+1

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b)

x + 2x

3x 2x +6

x + 3x

4x + 5x4

xt +

2xx23xx2 2xx2

6x

3x + 6

4x + 12

+ Sx 104x 24

x2 + 5x + 6x2

7x + 12x2 + 3x 10x2+ 2x 24

En los cuatro ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas.

1 El primer trmino de producto es el producto de los primeros trminos de los binomios.

2.El coeficiente de segundo trmino de producto es la suma algebrica de los segundos trminos de los binomios y en este trmino la x est elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer trmino del producto.

3.

El tercer trmino del producto de los segundos trminos de los binomios.

2)

Efectuar (x 7) (x 6),

Coeficiente de siguiente numero

.. (7) (6) 13

Tercer termino Luego. 7) x (6} = +42

Luego (x 7) (x 6) = x2 13 x +42

DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Hemos visto en los productos notables que:

(a + b) (a b) = a2 b2

En consecuencia, una diferencia de cuadrados siempre ser igual al producto de la suma de dos trminos por la diferencia de los mismos.

Cmo se encuentran estos factores?

Dada una diferencia de cuadrados:

1ero. Se extrae la raz cuadrada a cada trmino.

2do. Se forma los dos factores; uno es la suma de las races halladas, el otro es la diferencia de dichas races.

Ejemplos:

Factorizar: 25x4n2 2y6

Solucin :

25x4n2 2y6 = (5x2n + y3) (5x2n - y3)

1. Extrayendo las races:

= 5x2n

cuadradas

=

2. Sumando las races

Restando las races

Factorizar:

x8 0.04y2

Solucin :

x8 0.04y2 =

x4 0.2y

SUMA DE CUBOS Y DIFERENCIA DE CUBOS:

(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3 Suma de cubos de base a y b.

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 Diferencia de cubos de base a y b.

En consecuencia una suma o diferencia de cubos siempre ser igual al producto de un factor binomio por un trinomio.

Una suma de cubos se factoriza multiplicando la suma de sus bases por el cuadrado de la primera base, menos el producto de sus bases, ms el cuadrado de su segunda base.

a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)

Una diferencia de cubos se factoriza multiplicando la diferencia de sus bases por el cuadrado de la primera base, ms el producto de sus bases, ms el cuadrado de su segunda base.

a3 b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

EJERCICIOS

1. Factorizar:

8x9 + 27

Solucin:8x9 + 27 = (2x3 + 3) (4x6 6x3 + 9)

Races cbicas (2x3 3

Primer factor :

Cuadrado de la 1era. base: 4x6 Menos el producto de las bases -6x3.

Ms el cuadrado de su segunda base : 9.

METODO DEL ASPA:

1ro. Se descompone el 1er. trmino del trimonio en dos factores. De cada factor sale una flecha y forma una X.

x2 9x + 18

x2 2x + 48

x

x

x

x

2do. Se descompone el 3er. trmino en dos factores. A estos factores llegan las flechas.

Si el tercer trmino del trinomio es positivo, entonces los signos de estos factores son iguales al del segundo trmino.

x2 9x + 18

x2 16x + 63

x -6

x +9

x -3

x +7

+8

Si el tercer trmino del trinomio es negativo, entonces uno de los factores es + y el otro es (se coloca el signo del 2do. Trmino al mayor de los dos factores productosobtenidos al multiplicar en aspa).

x2 3x + 28

x2 5x + 24

x -7

x -3

x +4

x

5

3ro. Se multiplican los factores obtenidos como indican las flechas y luego se suman los resultados. Si esta suma es igual al 2do. trmino del trinomio, entonces terminan la factorizacin, y los factores que corresponden al trinomio son los binomios considerados en su posicin horizontal.

Si la suma es diferentes al 2do. trmino del trinomio, se ensaya con otros factores.

x2 9x + 18x2 9x + 18 = (x 6) (x - 3)

x -6 ( -6x

(x -6)

+

x -3 ( -3x

(x -3)

-9x

EJERCICIOS

1. x2 24x + 144 =

2. n2 62n + 961 =

3. x2 + 30x + 225 =

4. x2 56x + 784 =

5. x2 + 7x 120 =

6. x2 + 9x 112 =

7. y2 + 11y 180 =

8. n2 n 132 =

9. x2 34x + 288 =

10. y2 37xy + 336 =11. 4x4 4x2y3 + y6 =

12. 9a2 + 6ay2 +y4 =

13. y2 + 6y 72 =

14. y2 5y + 126 =

15. 2x2 + x 6 =

16. 3x2 + 14x 5 =

17. 4x2 5x 6 =

18. 12y2 + 17y + 6 =

19. -5x2 11x + 12 =

20. -2x2 + 9x + 81 =21. x2 + 2x 63 =

22. x2 x 72 =

23. x2 + 16x 39 =

24. x2 + 19x + 60 =

25. 4x2 + 29x 24 =

26. 9x2 + 53x 6 =

27. -7x2 11x + 6 =

28. 10x2 -23x + 12 =

29. -3x2 + 43x 144 =

30. -2x2 + 14x + 156 =

PLAN DE SESION




Tema

:Razones y proporciones

Sesin Nro.: 12


Analizar correctamente las situaciones de relaciones proporcionales.


Razones, proporciones, razn inversa, propiedades fundamentales de las proporciones, regla de tres simple y compuesta.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN




XVI. R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima. 1998.

XVII. Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

XVIII. Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

XIX. R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

XX. K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

XXI. Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

XXII. Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


RAZONES Y PROPORCIONES

RAZON GEOMETRICA DE DOS NUMEROS

Se llama Razn Geomtrica de dos nmeros al cociente indicado de los mismos. Ejemplo 5/7. se lee 5 es a 7.

Al numerador se le llama antecedente y al denominador consecuente.

La razn de dos cantidades homogneas de dos nmeros concretos es evidentemente un nmero abstracto, es decir no tiene unidades. Pues por ejemplo: 24 personas / 6 personas = 4 (sin unidades).

Como una razn es un cociente o nmero quebrado, no se alterar cuando se multiplica o divide su antecedente y consecuente por un mismo nmero.

RAZON INVERSA DE OTRA

Se dice que una razn es inversa de otra, si el antecedente y consecuente de la primera son respectivamente iguales al consecuente y antecedente de la segunda. As 5/7 es la razn inversa de 7/5.

PROPORCION

Se llama proporcin a la igualdad de dos razones. Por ejemplo las dos razones: 6/3 y 8/4 son iguales a 2, luego podemos establecer la igualdad siguiente:

=

que se lee: 6 es a 3 como 8 es a 4

En toda proporcin se llaman extremos de la proporcin con el antecedente de la primera razn y el consecuente de la segunda; y medios son el consecuente de la primera razn y el antecedente de la segunda.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS PROPIEDADES

Dado la proporcin siguiente: =, se tienen las siguientes propiedades para las proporciones:

XXIII. En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios: a.d = b.cXXIV. En toda proporcin un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo:

a =

XXV. En toda proporcin un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio:

b =

XXVI. Una proporcin no se altera multiplicando o dividiendo sus cuatro trminos, o bien un antecedente y consecuente por un mismo nmero. As 6/3 = 8/4, equivale a 30/15 = 40/20 (todos los trminos fueron multiplicados por 5).

XXVII. Si el producto dos nmeros es igual al producto de otros dos, entonces con dichos nmeros se podr formar una proporcin.

As, si a.d = b.c, entonces podemos formar la siguiente proporcin: a /b = c/d

Resuelva: De cuntas formas se puede escribir una proporcin teniendo 4 trminos distintos?. (Respuesta 8)

Teorema 1.En toda proporcin, la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

As, sea la proporcin: = ; entonces se tiene que: =

Teorema 2.

En toda proporcin la razn de la suma de los antecedentes a su diferencia es igual a la razn de la suma de los consecuentes a su diferencia.

As, de la proporcin: =; se tiene que: =; o de otra forma: =

Resolver los ejercicios segn indique el profesor.

PLAN DE SESION



Profesor:Elizabeth Martnez Encinas.

Tema

:Anlisis combinatorio

Sesin Nro.: 13


Razonar de forma vlida acerca de situaciones de arreglos y ordenaciones de sucesos.


Anlisis combinatorio. Variaciones. Permutaciones. Combinaciones.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slide

Otros

X

VII. EVALUACIN




XXVIII. R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima. 1998.

XXIX. Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

XXX. Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

XXXI. R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

XXXII. K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

XXXIII. Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

XXXIV. Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


ANLISIS COMBINATORIO

El anlisis combinatorio, es una tcnica de las matemticas que facilita la tarea de la enumeracin de casos, cuyos principios bsicos presentamos a continuacin:

PRINCIPIO FUNDAMENTAL

Si un suceso puede presentarse con cualquiera de m formas distintas y si cuando esto ha ocurrido otro suceso puede presentarse con cualquiera de n formas distintas, entonces el nmero de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en el orden especificado es m. n.

Ejemplo: si hay 3 candidatos para gobernador y 5 para alcalde, los dos cargos pueden ocuparse de 3 x 5 = 15 formas distintas.

FACTORIAL DE n

El factorial de n se denota por n! Y viene definido por: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)... 1

As: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24;

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definicin: 0! = 1

y1! = 1

VARIACIONES (Vn)

Se refiere al nmero de ordenaciones que se puede realizar con n objetos o sucesos.

Vn = n!

Ejemplo: De cuntas maneras pueden ser colocadas en una fila 5 bolas de diferentes colores?

La primera posicin puede ser ocupada por cualquiera de las 5 bolas, es decir; hay 5 formas de llenar la primera posicin. Cuando esto haya sido hecho hay 4 formas de llenar la segunda posicin. Despus hay 3 formas de llenar la tercera posicin, 2 de llenar la cuarta y solamente 1 forma de llenar la ltima posicin. Por tanto:

El nmero de variaciones (ordenaciones) posibles de las 5 bolas en la fila ser:

V5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =5! = 120

PERMUTACIONES

una variacin objetos entre los n dados y atendiendo a la situacin de cada objeto en la ordenacin. El nmero de permutaciones de n objetos formados de r en r se representa por nPr.

La frmula respectiva es: nPr = n! / (n-r)

Ejemplo: Si tenemos 10 personas en total, de cuantas formas pueden ocupar un banco con capacidad para 4 personas?

La primera ubicacin puede ocuparse con cualquiera de las 10 personas, y cuando se ha hecho, hay 9 formas para ocupar la segunda ubicacin, 8 para llenar la tercera ubicacin y 7 para llenar la cuarta. Por tanto:

Nmero de permutaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4 ser:

10Pn = 10! / (10-4) = 10! / 6! = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040

Observar que nPn = Vn

COMBINACIONES

Una combinacin de n objetos de r en r es una seleccin de los objetos sin atender a la ordenacin de los mismos, es decir se excluyen las repeticiones. Esto es, una vez que uno de los elementos haya sido considerado, ya no interviene en los sucesos posibles posteriores.

Las combinaciones de n objetos tomados de r en r se representa por nCr.

La frmula correspondiente es: nCr = n! / r! (n-r)! = nPr / r!

Ejemplo: De cuntas formas puede elegirse un comit de 5 personas de entre 9 personas?.

9C5 = 9! / 5! (9-5)! = 9! / 5!4! = 9x8x7x6x5 / 5! = 126

Observar que nCn = 1

EJERCICIOS

Hallar el valor de:

8P3

6P4

15P1

3P3

V2

V3

V5

7C4

6C5

4C4

2C7

COPIAR POWER POINT -

PLAN DE SESION




Tema

:Indicadores

Sesin Nro.: 14


Formular ndices de situaciones verosmiles como herramienta de decisin e investigacin.


Indicadores. Comparacin por cocientes. Indice, proporcin y tasa. Tipos de tasas. Tasas de uso frecuente.

IV. METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII. EVALUACIN




XXXV. R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima. 1998.

XXXVI. K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

XXXVII. Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

XXXVIII. Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


INDICADORES

Son valores que hacen referencia relativa a los sucesos y estn definidos generalmente en trminos de: Cantidad, Calidad o condicin, Tiempo y Lugar.

Su importancia para el anlisis y la investigacin radica en que expresa una realidad sin intervencin de elementos subjetivos por parte de la persona que realiza el estudio.

Caractersticas de un buen indicador. Son las siguientes:

Debe ser ESENCIAL, es decir reflejar el contenido especfico en trminos precisos;

Debe estar ORIENTADO A OBJETIVOS.

Debe ser PRACTICABLE, es decir, la recopilacin de los datos no debe ser difcil ni complicada.

Existe una diversidad de indicadores, dependiendo del rea de trabajo, objetivo del estudio, etc.

As por ejemplo para un estudio sobre el nivel de impacto de la educacin en salud sexual y reproductiva que pretenda el empoderamiento de la mujer de bajos recursos se restablecieron los siguientes:

INDICADORES DE SALUD SEXUAL:Grandes indicadores de logro:

1. CONTROL DE SU PROPIO CUERPO

Tomar decisiones sobre su propio cuerpo:

Decisin sobre embarazos: (Anticoncepcin, abortos).

Control de su salud reproductiva (revisin de pap, ETS, SIDA).

Control de su salud sexual (revisin: menopausia, puerperio, embarazo).

Relaciones sexuales sin coaccin.

Atencin en el establecimiento de salud (tiene historia clnica?)

Acciones de prevencin (uso de condn, visita mdica).

2. ACCESO A SERVICIO E INFORMACIN

Acceso a:

Informacin sobre salud (establecimiento cerca, uso, horario, costo).

Defensa en casos de violencia (conocimiento de leyes o lugares donde acudir).

Tiene materiales orientadores (trpticos, afiches, volantes, telfonos para llamar).

3. CONOCIMIENTO Y RESPETO DE SUS DERECHOS

Lograr avances en la autonoma femenina

Sensibilidad frente a la discriminacin. (econmica, racial de gnero).

Sobrecarga de trabajo (horas de trabajo domstico, de W remunerador, etc.).

Acceso a empleos, limitaciones reales.

Conocimiento de leyes; de sus derechos sexuales (cuerpo).

Maltrato (espacio privado / espacio Derivacin de casos.

pblico).

COMPARACIN POR COCIENTES

El uso de cocientes para la comparacin de datos es de gran utilidad porque permite:

Establecer la importancia que tienen ciertas clases o categoras de datos respecto a los dems y al total; y

Determinar el riesgo o probabilidad a que ha estado expuesta toda o parte de una poblacin.

COCIENTES MAS FRECUENTES

Los cocientes de uso ms frecuente son: Razones, Indices, Proporciones y Tasas.

a) La Razn es un cociente entre dos nmeros y expresan la relacin de tamao entre uno y otro.

Ejemplo: Si tenemos 400 personas, de las cuales 300 son hombres y 100 mujeres, si tiene: 300/100 = 3. Es decir tenemos una razn de 3 hombres por una mujer.

b) El ndice es un caso particular de razn, que indica algo de particular inters.

Ejemplos:

Ingreso per cpita: Produccin del pas / Total de la poblacin.

Consumo de leche per cpita.

Produccin de acero por habitante.

c) La proporcin, es tambin una razn, pero con la condicin que las unidades de observacin del numerador debe estar incluidas en el denominador.

Ejemplo: Si tenemos 400 personas de las cuales 300 son hombres y 100 mujeres, se tiene:

300 / (300 + 100) = 300 / 400 = 3/4. Es decir tenemos 3 hombres por cada 4 personas.

El porcentaje es una proporcin multiplicada por 100. En el ejemplo anterior, el 75% son hombres.

El porcentaje tiene las siguientes ventajas:

Permite comparar una o mas series.

Puede resumir la propabilidad de ocurrencia de un hecho.

d) La Tasa es una proporcin que mide el riesgo a que est expuesta una poblacin a sufrir un hecho o fenmeno cualquiera en un tiempo y un rea determinados.

Si el hecho o fenmeno es la muerte, la tasa es de mortalidad; si es la enfermedad, la tasa es de morbilidad; si es de nacimiento, la tasa es de natalidad.

La frmula para calcular cualquiera de estas tasas es la siguiente:

Tasa = [ A / (A + B) ] . C

Donde:

A = Nmero de individuos que han padecido el hecho o fenmeno.

A + B = Poblacin expuesta al hecho o fenmeno.

A = los que han pactado.

B = los que estuvieron exentos, pero que podran haber padecido.

C = constante usada para amplificar la cifra resultante y facilitar la comparacin.

Generalmente es una potencia de 10 elevado a la n potencia, y puede ser 100, 1000, 10,000 100,000.

Ejercicio: A partir de una tabla de frecuencia deducir las tasas a distintos niveles.

PLAN DE SESION



Profesor:Elizabeth Martnez Encinas.

Tema

:Evaluacin de talleres: asociacin de variables

Sesin Nro.: 15

II. OBJETIVO DE LA SESION.

Anlisis , Interpretacin y conclusiones

II.OBJETIVO DE LA SESION

Evaluacin de los talleres de los grupos en lo referente a la asociacin de variables.

III.CONTENIDOS Y/O ACTIVIDADES

Repaso, ejercicios y problemas de los temas desarrollados en el taller.

IV.METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de slides

Otros

X

VII.EVALUACIN



VIII.FUENTE DE INFORMACION

XXXIX. R. Figueroa G. Matemtica Bsica I. Editorial Fejovichs. Lima, 1998.

XL. Juan Goi G. Base matemtica. Editorial Ingeniera.

XLI. Luis Postigo. Matemticas. Editorial Ramn Sopena. Madrid. Espaa.

XLII. R. Vsquez R. Matemtica. Editorial USMP. 2001. (Gua texto).

XLIII. K.C. LAUDON, J. P. LAUDON. Administracin de los sistemas de informacin - Organizacin y Tecnologa. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana SA. Mxico. 1996.

XLIV. Pginas World Wide Web de Internet, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

XLV. Comunicaciones va correo electrnico, de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Firma del Profesor


PLAN DE SESION




Tema

:Repaso general

Sesin Nro.: 16

II.OBJETIVO DE LA SESION

Sistematizar y recordar los temas desarrollados hasta la sesin anterior.

III.CONTENIDOS Y/O ACTIVIDADES

Ejercicios y recordar los temas desarrollados hasta la sesin anterior.

IV.METODOLOGA

Expositiva

Experimental


XDebate

Proyecto

CasosXDemostracin

Investigacin grupal

OtrosX


Texto

Separata resumen

Transparencia

OtrosX

XLaboratorio




Slides


Equipo de cmputo



Proyector de

Documents

Matemática Usmp i Ciclo