MATEMATICA2

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA

GUÍA DIDÁCTICA

1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES:

1.1. CARÁTULA

1.2. INTRODUCCIÓN

1.2.1. CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA

1.2.2. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA

1.2.3. RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

1.3. PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

1.4. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES

1.5. BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA

1.6. ÍNDICE DE CONTENIDOS

1.7. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE

1.8. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE


1.1 CARATULA

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MODALIDAD A DISTANCIA

CARRERAS: CONTABILIDAD Y AUDITORIA ADMINISTRACIÒN DE EMPRESAS

ADMINISTRACIÒN PÙBLICA

EJE DE FORMACIÓN: FORMATIVO

ASIGNATURA: MATEMÁTICA II

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 SEMESTRE: MARZO 2013 - SEP. 2013 PROFESOR: Ing. Flavio Florencio Parra T. Ing. Francisco Bahamonde T. Ing. Franklin Cumbal S.


1.2 INTRODUCCION

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CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA

La Matemática II es una ciencia instrumental del saber humano y por lo tanto de orientación en la formación profesional. Se preocupa de impartir conocimientos sólidos de carácter práctico orientados a la toma de decisiones gerenciales como: revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos, análisis estadísticos, financieros, etc.

IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL.

Contribuye a la formación y estructura lógica del pensamiento humano y al desarrollo de valores en los estudiantes. Proporciona las herramientas fundamentales para la solución de problemas relacionados con las diferentes carreras.

RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

La Matemática II es prerrequisito para el desarrollo de las diferentes asignaturas del área, que se impartirán en los siguientes semestres, tales como: Matemática Financiera y Estadística I y II; constituye además, soporte para otras áreas académicas como: Economía, Contabilidad e Informática.


PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA. Nombre de la Asignatura: MATEMÁTICA II Competencia de la Asignatura: Al finalizar el semestre, el/la estudiante resuelve problemas aplicados a las especializaciones de las tres carreras, mediante la implementación de modelos matemáticos, con iniciativa, orden y rigor.

COMPETENCIAS UNIDADES

Resuelve problemas que involucran la solución de sistemas de ecuaciones multivariables, mediante métodos matriciales, con orden y precisión.

PRIMERA UNIDAD: Algebra de Matrices.

Resuelve problemas de maximización y minimización de funciones con el uso del conocimiento de la programación lineal por el método gráfico, con orden, precisión y claridad.

SEGUNDA UNIDAD: Programación Lineal (Método Gráfico).

Resuelve problemas de rectas tangentes a una curva, razones de cambio (marginales) e índices conociendo los límites y derivación de funciones utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa, orden y precisión.

TERCERA UNIDAD: Cálculo Diferencial (Primera Parte)

Resuelve problemas de razones de cambio e índices, trazado de curvas, maximizar y minimizar funciones algebraicas y trascendentes utilizadas en la Administración y Economía, organizadamente y con exactitud.

CUARTA UNIDAD: Cálculo Diferencial (Segunda parte)

Resuelve problemas de área entre curvas, excedentes de productores y consumidores utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa y precisión.

QUINTA UNIDAD: Integración


P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D

Número de la unidad: UNO Nombre de la Unidad: ALGEBRA DE MATRICES Número de horas: TRECE

COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

RECURSOS DE APRENDIZAJE

EVALUACIÓN

Resuelve problemas que involucran la solución de sistemas de ecuaciones multivariables, mediante métodos matriciales, con orden y precisión.

MATRICES 1.Definición y orden

2.Igualdad de matrices

3.Transpuesta de una matriz

4.Tipos de matrices

5.Operaciones con matrices y propiedades

6.Solución de sistemas de ecuaciones con

métodos matriciales

7.Problemas de aplicación

1. Estudio de la guía de apoyo y planteamiento de inquietudes mediante foros virtuales

2. Exposición dialogada del tema en las tutorías virtuales.

3. Foro heurístico a través del chat, en tiempo sincrónico.

4. Trabajo cooperativo para la solución de problemas, a través de la utilización de wikis.

5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas.

- Plataforma virtual - Guía y texto de apoyo. Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición, Haussler -Ejercicios y problemas seleccionados publicados en el aula virtual. -Guías de tarea docente para los talleres, foros, chats y trabajos cooperativos. -Guías de investigación netgráfica.

Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita.


6


Número de la unidad: DOS Nombre de la Unidad: PROGRAMACIÓN LINEAL POR EL MÉTODO GRÁFICO Número de horas: DIECISEIS



EVALUACIÓN

Resuelve problemas de maximización y minimización de funciones con el uso del conocimiento de la programación lineal por el método gráfico, con orden, precisión y claridad.

1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES 1.1 Representación gráfica de

desigualdades lineales con dos

variables.

1.2 Solución gráfica de sistemas de

desigualdades lineales con dos

variables. Determinación de la región

solución.

2. PROGRAMACIÓN LINEAL. 2.1 Fundamentos de la programación

lineal por el método gráfico.

2.2 Problemas de aplicación:

Optimización de funciones objetivo.

2.3 Problemas de aplicación sobre

optimización de transporte.









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Número de la unidad: TRES Nombre de la Unidad: CÁLCULO DIFERENCIAL (PRIMERA PARTE) Número de horas: CATORCE



EVALUACIÓN

Resuelve problemas de rectas tangentes a una curva, razones de cambio (marginales) e índices conociendo los límites y derivación de funciones algebraicas utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa, orden y precisión.

CALCULO DIFERENCIAL (Primera

parte)

1. Definición de límite.

1.1. Límites de la forma 0/0, K/0, límites

laterales.

1.2 Continuidad aplicada a las

desigualdades.

2. Definición de derivada

2.1 Reglas de derivación.

2.2 La derivada como razón de cambio.

2.3 Regla del producto y del cociente.

2.4 Regla de la cadena y la potencia.







Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita. PRIMER HEMISEMESTRE Foro 1: 2 puntos Trabajo1: 4 puntos Examen 1: 14 puntos


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Número de la unidad: CUATRO Nombre de la Unidad: CÁLCULO DIFERENCIAL (SEGUNDA PARTE) Número de horas: VEINTE Y TRES



EVALUACIÓN

Resuelve problemas de razones de cambio e índices, trazado de curvas, maximizar y minimizar funciones algebraicas y trascendentes utilizadas en la Administración y Economía, organizadamente y con exactitud.

Cálculo Diferencial (Segunda parte) 1. Derivadas de funciones

logarítmicas.

2. Derivadas de funciones

exponenciales.

3. Diferenciación implícita.

4. Diferenciación logarítmica.

5. Derivadas de orden superior.

6. Trazado de curvas y optimización

6.1 Extremos relativos, máximos y

mínimos.

6.2 Concavidad y puntos de inflexión.

6.3 Prueba de la segunda derivada

7. Aplicaciones de maximización y

minimización





5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas




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P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D Número de la unidad: CINCO Nombre de la Unidad: INTEGRACIÓN Número de horas: CATORCE



EVALUACIÓN

Resuelve problemas de área entre curvas, excedentes de productores y consumidores utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa y precisión.

1. Integración 1.1 Diferenciales 1.2 Integral indefinida 1.3 Reglas de integración 1.4 Integración por método de sustitución 1.5 Integración con división previa 1.6 Integración con condiciones iniciales 2. Integral definida 2.1 Cálculo de Áreas 2.2 Excedente de productores y consumidores 3. Integración por partes 4. Integración por fracciones parciales





5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas


Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita. SEGUNDO HEMISEMESTRE Foro: 2 puntos Trabajo2: 4 puntos Examen 2: 14 puntos


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BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA

TEXTO GUÍA: Ernest Hausler Jr. Y Richard PAUL “Matemáticas para Administración, Economía”, décima segunda edición. Prentice Hall, México 2008

TEXTO COMPLEMENTARIO 1: Margaret L. LIAL y Thomas W: HUNGERFORD “Matemáticas para Administración y Economía en las Ciencias Sociales, Naturales y de Administración”, séptima edición, México 2000

TEXTO COMPLEMENTARIO 2: Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner “Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía”, cuarta edición, México 2000

NETGRAFÍA

PRODUCTO DE MATRICES: http://www.ematematicas.net/matrices.php?a=&tipo=4 MATRICES, CALCULO DIFERENCIAL: http://www.zweigmedia.com/RealWorld/index.html VIDEO DE MATRICES: http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us

http://www.ematematicas.net/matrices.php?a=&tipo=4

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/index.html

http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us


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ÍNDICE

INFORMACIÓN GENERAL ............................................................................................................................ 13

INFORMACIÓN GENERAL A LA GUÍA DIDÁCTICA ............................................................................... 15

PRIMERA PARTE ............................................................................................................................................. 18

UNIDAD I ............................................................................................................................................................ 18

1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE MATRICES ...................................................................................................... 18

2. IGUALDAD DE MATRICES........................................................................................................................... 19

3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ ............................................................................................................... 19

4. TIPOS DE MATRICES .................................................................................................................................... 20

5. OPERACIONES MATRICIALES Y PROPIEDADES .................................................................................... 21

6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS MATRICIALES. ................................. 25

7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN EN ADMINISTRACIÓN .......................................................................... 29

CONSULTAS EN EL TEXTO ............................................................................................................................. 32

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ......................................................................................................................... 32

AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 33

CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 33

UNIDAD II ........................................................................................................................................................... 35

1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES ........................................................................... 35

2. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO GRAFICO) .................................................................................... 38



AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 46

CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 46

UNIDAD III ......................................................................................................................................................... 48

1.1 LÍMITES, DEFINICIÓN ................................................................................................................................ 48

1.2 LÍMITES DE LA FORMA ; LÍMITES LATERALES. ..................................................................... 50

1.3 CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES .......................................................................... 53

2. LA DERIVADA ................................................................................................................................................ 55

2.1 REGLAS DE DERIVACIÓN. ....................................................................................................................... 58

2.2 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO ................................................................................ 59

2.3 REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE. ........................................................................................ 63

2.4 REGLA DE LA CADENA Y LA POTENCIA. ............................................................................................. 64



AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 69

CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 69

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Primer trabajo a entregar) ......................................................................... 71

SEGUNDA PARTE ............................................................................................................................................. 72

UNIDAD IV ......................................................................................................................................................... 72

1. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS. ..................................................................................... 72

2. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES. .................................................................................... 74

3. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA. ................................................................................................................... 75

4. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA. ............................................................................................................ 76

5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. .......................................................................................................... 77

6. TRAZADO DE CURVAS ................................................................................................................................ 77


12

6.1 EXTREMOS RELATIVOS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS ................................................................................. 79

6.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. ............................................................................................ 80

6.3 PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA. ................................................................................................. 83

7. APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. ................................................................................................ 83



AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 87

CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 88

UNIDAD V ........................................................................................................................................................... 90

1. INTEGRACIÓN. ............................................................................................................................................... 90

1.1 DIFERENCIALES .......................................................................................................................................... 90

1.2 INTEGRAL INDEFINIDA. ............................................................................................................................ 94

1.3 REGLAS DE INTEGRACIÓN ...................................................................................................................... 94

1.4 INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ........................................................................... 95

1.5 INTEGRACIÓN CON DIVISIÓN PREVIA ................................................................................................. 96

1.6 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES ................................................................................... 97

2. LA INTEGRAL DEFINIDA. .......................................................................................................................... 98

2.1 CÁLCULO DE ÁREAS ................................................................................................................................. 99

2.2 EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y DE PRODUCTORES .............................................................. 103

3. INTEGRACIÓN POR PARTES. ................................................................................................................. 104

4. INTEGRACIÓN POR MEDIO DE FRACCIONES PARCIALES ................................................................ 106

CONSULTAS EN EL TEXTO ........................................................................................................................... 109

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ....................................................................................................................... 109

AUTO EVALUACIÓN ....................................................................................................................................... 110

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Segundo trabajo a entregar) .................................................................... 111

RESPUESTAS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y CONSOLIDACIÓN ........................................... 112

PRIMERA PARTE ........................................................................................................................................... 112

UNIDAD I ........................................................................................................................................................... 112

UNIDAD II ......................................................................................................................................................... 113

UNIDAD III ........................................................................................................................................................ 116

SEGUNDA PARTE ........................................................................................................................................... 120

UNIDAD IV ........................................................................................................................................................ 120

UNIDAD V ................................................................................................................................................... 125


13

INFORMACIÓN GENERAL

INTRODUCCIÓN: En una empresa, los diferentes puestos requieren de conocimientos sólidos en matemáticas y en los niveles de mayor responsabilidad o jerarquía, se precisan de amplios conocimientos. En el nivel de alta dirección es mayor el compromiso de un conocimiento de carácter práctico y sobre todo orientado a la toma de decisiones gerenciales. ¿Por qué son importantes las matemáticas? En el caso que nos ocupa, su formación en las especialidades de Administración de Empresas, Administración Pública o Contabilidad y Auditoría, hará que se desempeñe en empresas e instituciones en los niveles de dirección para la toma de decisiones, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios, proyectos o informes, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos. ¿En qué aplica las matemáticas? Durante el trabajo profesional debe enfrentarse con el mundo de los números, por ejemplo para revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos; para el muestreo estadístico piedra angular en cualquier proceso de gestión, etc. En fin en la realización de su trabajo, siempre estará conectado a las matemáticas y deberá necesariamente tener conocimientos con bases sólidas. Aplicará el razonamiento en los cálculos, la agilidad mental para el desarrollo lógico y la interpretación profesional de resultados. Todo esto debe demostrarle la inmensa responsabilidad e importancia que para tu futuro desempeño profesional tendrá la ciencia matemática. En conclusión, esperamos haberle demostrado que, durante su vida profesional no le será posible “huir de las matemáticas”, por lo tanto, es mejor que se adaptes a ella y procure “llevarte bien con esta ciencia”. Esto pretende hacer este curso de Matemática Básica 2, que “pierda el recelo a la matemática”, y se dé cuenta que no es difícil entenderla y aprender.

COMPETENCIAS DE LA MATERIA.


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Al finalizar el curso está en capacidad de resolver problemas sobre situaciones relacionadas con la Administración, la Economía, las Finanzas a nivel productivo y creativo, aplicando métodos y modelos matemáticos sencillos. Trabajar en grupos, tomar decisiones, buscar las mejores alternativas de solución de problemas, con solvencia, honestidad y rigurosidad científica. MACRO CONTENIDOS DE LA MATERIA Desigualdades con dos variables (programación lineal) Límites y derivación. Integración. MÉTODOS DE APRENDIZAJE SUGERIDOS: Lectura comprensiva Inductivo-deductivo Analítico- sintético Resolución de ejercicios de aplicación. ESTRUCTURA DE LA GUÍA. Esta guía le proporcionará una información secuencial de los pasos a seguir en tu estudio, la misma está conformada de dos partes; así: PRIMERA PARTE UNIDAD I: Capítulo 6: Algebra matricial UNIDAD II: Capítulo 7: Programación lineal UNIDAD III: Capítulo 10 y 11: Límites y derivación SEGUNDO PARTE UNIDAD IV: Capítulo 12 y 13: Derivación (continuación), trazado de curvas y optimización UNIDAD V: Capítulo 15: Integración Cada una de las unidades contienen; su respectiva planificación didáctica como son: competencias, contenidos, duración, ejemplificación, evaluación, auto evaluación y orientaciones especiales. BIBLIOGRAFÍA


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TEXTO GUÍA: Ernest Hausler Jr. Y Richard PAUL “Matemáticas para Administración, Economía”, décima segunda edición. Prentice Hall, México 2008 TEXTO COMPLEMENTARIO: Margaret L. LIAL y Thomas W: HUNGERFORD “Matemáticas para Administración y Economía en las Ciencias Sociales, Naturales y de Administración”, séptima edición, México 2000 TEXTO COMPLEMENTARIO: Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner “Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía”, cuarta edición, México 2000

INFORMACIÓN GENERAL A LA GUÍA DIDÁCTICA


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INTRODUCCIÓN Pensando en ti como elemento productivo de la sociedad; se ha elaborado esta guía, le permitirá tener las facilidades para el estudio en la Modalidad de Estudios a Distancia. El éxito que obtengamos dependerá principalmente de tu dedicación, responsabilidad y honestidad con que asuma este reto. Las matemáticas ha permitido el desarrollo de todas las ciencias, por lo que el conocimiento de ésta, creará en ti, la confianza para ser utilizada como una herramienta de trabajo, le ayudará en el futuro a cumplir con los objetivos trazados, le permitirá tomar decisiones con facilidad en tu futura vida profesional. El método de enseñanza diseñado en esta guía, garantiza el éxito en su estudio. Está dirigido especialmente aquellas personas que poseen una auto confianza en la disciplina de estudio y en la organización de actividades. IMPORTANCIA DE LA GUÍA La presente guía didáctica recoge todo un sistema de métodos y procedimientos elaborados con criterios técnicos y metodológicos, se compone de ejercicios prácticos, como resultado de una revisión y aplicación del texto base, textos complementarios y experiencias de los tutores, que le permitirán aplicarlos en las tareas a presentarse como parte de su evaluación. TIEMPO ESTIMADO DE ESTUDIO. Para el proceso de aprendizaje de está guía se ha considerado un tiempo de 10 horas semanales, para el conocimiento de la parte teórica y el desarrollo de ejercicios que le permitirá afirmar el conocimiento. ORIENTACIONES ESPECÍFICAS Debe orientar su estudio en el texto guía, de ser necesario en el texto

complementario. Estudie con detenimiento el marco teórico de cada capítulo, ejercicios resueltos y estará en condiciones de resolver la evaluación de cada tema en estudio.

El texto base ha sido escogido por su presentación, claridad y gran variedad

de ejercicios de aplicación práctica, resueltos y propuestos en la Administración y Economía.

Cada capítulo inicia con una introducción del tema, en él se indica la utilidad

práctica y la competencia a conseguir. Continúa con la base teórica; aquí es necesario; que estudie conceptos y fórmulas importantes. El texto presenta


17

buena cantidad de ejercicios resueltos, le sugiero que los vuelva a resolver, no únicamente revisarlos, de esta manera se familiariza con términos y procesos de solución.

En los ejercicios propuestos empiece resolviendo ejercicios impares, la

respuesta está al final del texto, esta práctica le permite afirmar su conocimiento teórico. Le recomiendo ir solucionando los principios en práctica. Todo este proceso le permitirá realizar los ejercicios de evaluación sin dificultad.

Al final de cada capítulo; tenemos un sub capítulo de repaso, en él se resume

conceptos y fórmulas importantes, además de los ejercicios de auto evaluación en color celeste con su respuesta, que le permite una retroalimentación en su conocimiento.

Los ejercicios de aplicación son ejercicios que debe realizar para afirmar su

conocimiento teórico, no debe enviar para su evaluación. Los ejercicios de evaluación son los ejercicios que debe presentar en los

horarios establecidos por la Modalidad de estudios a Distancia. Los trabajos deben presentarse con letra manuscrita, a esferográfica o tinta,

pero nunca a lápiz; de preferencia en papel cuadriculado y a una sola cara de la hoja. No utilice máquina de escribir o computadora.

La solución de ejercicios o problemas numéricos que son parte de su trabajo,

contendrá todo el proceso de cálculo así: enunciado, planteamiento, fórmulas y simbología, sustitución numérica de símbolos, tablas y gráficos, resultados con interpretación (si se solicita) que responda a las inquietudes formuladas en el enunciado del ejercicio.

TRABAJOS. Debe presentar un trabajo por cada Hemisemestre valorado con

4 puntos y participar en foro 2 puntos en fecha determinada en cronograma de actividades.

EXÁMENES: Debe rendir 1 examen presencial por Hemisemestre valorado

con 14 puntos en día y hora previstos en cronograma de actividades.


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PRIMERA PARTE

UNIDAD I

ALGEBRA MATRICIAL

Competencia: Conocer el álgebra matricial, para la solución de problemas

administrativos y económicos con precisión y exactitud.

Contenido:

1. Definición y orden

2. Igualdad de matrices

3. Transpuesta de una matriz

4. Tipos de matrices

5. Operaciones con matrices y propiedades

6. Solución de sistemas de ecuaciones con métodos matriciales

7. Problemas de aplicación

VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES

Capítulo 0: Factorización

Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones

Capítulo 3: Graficas en coordenadas rectangulares

1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE MATRICES

Una matriz es un arreglo rectangular que consiste en m renglones o filas y

n columnas; denotada con una letra mayúscula y es una matriz de tamaño

u orden de mxn.

[

]


19

Para ubicar cualquier elemento de una matriz, se designa a i para la fila o

renglón y con j para la columna (

Ejemplo: (a) Determine el orden de la matriz y (b) el valor de de los

elementos .

3 0 1 -2

A= -2 5 7 5

2 6 -8 4

1 2 0 -3

(a)

(

2. IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices A y B son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y cada

elemento de la matriz es igual a su correspondiente .

Ejemplo: Determine los valores de x,y,z para que las matrices sean

iguales.

1 2 4 -1 1 x 4 -1

0 3 x+y -5 0 3 2 -5

A = -3 1 4 0 B = -3 1 4 0

0 1 x-z 3 0 1 8 3

Observe que en la igualdad de matrices no solo intervienen valores

numéricos, sino también expresiones algebraicas.

3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de la matriz A de mxn, es la matriz denotada por de

tamaño nxm. En otras palabras es la matriz que tiene como filas las

columnas de la matriz A.


20

1 0 3 -2 1 2 9

A = 2 -3 4 5 AT = 0 -3 -6

9 -6 4 3 3 4 4

-2 5 3

4. TIPOS DE MATRICES

Matriz Cero. Es la matriz de mxn en que todas sus entradas son cero. 0 0 0 0

0 0 0 0

O = 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 5x4

Matriz Cuadrada. Es la matriz de mxn, donde el número de filas es igual

al número de columnas.

1 3 -1 0

A = 5 -2 4 3

2 0 -6 7

3 -5 2 1 4x4

Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada, en que todas las entradas fuera

de la diagonal principal son cero, en este tipo de matriz tenemos también

a la matriz identidad(I) en la cual todas las entradas de la diagonal

principal son 1.

2 0 0 0 1 0 0

A = 0 -5 0 0 I = 0 1 0

0 0 4 0 0 0 1 3x3

0 0 0 7 4x4

MATRIZ DIAGONAL

MATRIZ IDENTIDAD

Matriz triangular superior, es una matriz cuadrada si todas las entradas

debajo de la diagonal superior son cero y es una Matriz triangular

inferior, si todas las entradas sobre la diagonal superior son cero.

1 2 0 4 3 0 0

B = 0 4 1 -2 A = 3 4 0

0 0 3 3 -1 0 7 3x3

0 0 0 -1 4x4

SUPERIOR

INFERIOR


21

Vector renglón. Es una matriz que tiene exactamente un renglón o fila.

C = 1 0 -3 4 1x4

Vector columna. Es una matriz que tiene solo una columna.

-1

A = 5

4

0 4x1

5. OPERACIONES MATRICIALES Y PROPIEDADES

5.1 Suma y resta de matrices. Sean A y B matrices de mxn, existe las

operaciones de suma y resta, si las dos matrices tienen el mismo orden o

tamaño.

Ejemplo: Realice las siguientes operaciones matriciales:

2 -3 0 0 9 -1

A = 4 1 8 B = 5 2 4

2 4 5 -3 2 1

-3 4 0 4x3 0 5 2 4x3

2+0 .-3+9 0-1 2 6 -1

A + B = 4+5 1+2 8+4 . = 9 3 12

2. - 3 4+2 5+1 -1 6 6

- 3+0 4+5 0+2 -3 9 2

0 -2 9+3 -1+0 -2 12 -1

A - B = 5 - 4. 2 - 1. 4 - 8. .= 1 1 -4

.-3 - 2 2 - 4. 1.-5. -5 -2 -4

0+3 5. - 4. 2- 0 3 1 2

Sean A, B y O matrices del mismo orden de nxm, entonces las siguientes

propiedades se cumplen para la suma y resta de matrices.

( (


22

5.2 Multiplicación por un escalar. Es la matriz que se obtiene al multiplicar

cada entrada de A de mxn por un número real k, obteniéndose una matriz

kA de mxn.

Ejemplo: Realice las operaciones matriciales.

A = 1 3 B = 3 -1 C = 2 -3

4 -2 0 4 4 -1

a) "- 2. A "=-2 1 3 "= -2 -6

4 -2 -8 4

b)

3C-2B+A "= 3 2 -3 "-2 3 -1 "+ 1 3

4 -1 0 4 4 -2

3C-2B+A "= 6 -9 "- 6 -2 "+ 1 3

12 -3 0 4 4 -2

3C-2B+A "= 1 -4

16 -9

Sean A, B y O matrices del mismo orden de mxn y k, l números reales, las

siguientes propiedades se cumplen para la multiplicación de las matrices

por un escalar.

(

(

( (

(

(

5.3 Producto matricial. Sean A una matriz de mxn y B una matriz de nxp.El

producto AxB es la matriz C de orden mxp. En otras palabras existe

producto matricial si el número de columnas de la primera matriz es

igual al número de filas de la segunda matriz.

Cada entrada de C se obtiene de la suma de los productos de las entradas

de la fila de la primera matriz con las entradas de la columna de la

segunda matriz.


23

Ejemplo: Realice las operaciones matriciales.

A = 1 0 -2 B = 2 0 1 C = 1 3 -1

-1 2 1 2x3 -1 5 4 0 2 -4 2x3

0 1 -3 3x3

a) ; como el número de columnas de A(3)es igual al

número de filas de B(3); si existe producto matricial.

D = 2 -2 7

-4 11 4

d22=(-1)(0)+(2)(5)+(1)(1)=11

d23=(-1)(1)+(2)(4)+(1)(-3)=4

d11=(1)(2)+(0)(-1)+(-2)(0)=2

d12=(1)(0)+(0)(5)+(-2)(1)= -2

d13=(1)(1)+(0)(4)+(-2)(-3)= 7

d21=(-1)(2)+(2)(-1)+(1)(0)= - 4

b) ; no existe porque el número de columnas de B(3) no

es igual al número de filas de A(2). Conclusión

c)

H = 1 0 -2 • 2 0 1 "-2 1 3 -1

-1 2 1 -1 5 4 0 2 -4

0 1 -3

H = 2 -2 7 "- 2 6 -2 "= 0 -8 9

-4 11 4 0 4 -4 -4 7 8

La multiplicación de matrices satisface las propiedades siguientes,

siempre y cuando las sumas y los productos estén definidos.

( (

(

(

Ejemplo: Costos de suministros. Un contratista puede adquirir las

cantidades requeridas de madera, ladrillos, concreto, vidrio y pintura de

cualquiera tres proveedores. Los precios que cada proveedor fija a cada

unidad de estos cinco materiales están dados en la matriz A.


24

Madera Ladrillo Concreto Vidrio Pintura

8 5 7 2 4 Proveedor I A = 9 4 5 2 5 Proveedor II

9 5 6 1 5 Proveedor III

En esta matriz, cada renglón se refiere a un proveedor y las columnas a

los materiales, en el orden listado arriba. El contratista tiene la política

de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular

al mismo proveedor para minimizar los costos de transportación. Hay tres

obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de

madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II

requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente; y la obra III requiere

30, 10, 20, 10 y 12 unidades, respectivamente. Disponga esta información

en una matriz B5x3 y forme la matriz producto AB. Interprete los

elementos de este producto y úselos con el propósito de decidir cuál

proveedor debería usar en cada obra.

Obra I Obra II Obra III

20 15 30 Madera

4 0 10 Ladrillos

B = 5 8 20 Concreto

3 8 10 Vidrio

3 2 12 Pintura

OBRA I OBRA II OBRA III

233 200 498 PROVEEDOR I

A.B = 242 201 490 PROVEEDOR II

248 201 510 PROVEEDOR III

Los resultados obtenidos indican el costo de los materiales de cada

proveedor para cada una de las obras, que nos conducen a determinar

que lo conveniente es comprar los materiales con el proveedor I.

5.4 Ecuaciones matriciales. Un sistema de ecuaciones lineales puede ser

representado mediante multiplicación de matrices.

Considere el sistema de ecuaciones lineales.

El sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial.


25

2 -3 -1 x -3

3 -5 2 • y "= 5

-2 4 7 z 0

Donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas y B la

matriz de las constantes o términos independientes.

; donde

2 -3 -1 x -3

A = 3 -5 2 X = y B = 5

-2 4 7 z 0

En los siguientes temas se estudia métodos para la solución del sistema

de ecuaciones.

6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS

MATRICIALES.

6.1 Método de la matriz reducida. El método consiste en realizar operaciones

elementales sobre los renglones o filas, para que las entradas de la

diagonal principal sea 1 y el resto de entradas arriba y debajo de la

diagonal principal sean ceros. Para lo cuál debemos observar la

siguiente nomenclatura y reglas.

Nomenclatura:

Intercambiar renglones

Multiplicar el renglón por una constante distinta

de cero

Sumar k veces el renglón al renglón (pero el

renglón permanece igual).

Matriz reducida. Una matriz es reducida si se cumplen las siguientes

reglas.

. Para cada renglón diferente de cero, la entrada principal es 1, y todas las entradas

en la columna donde aparece la entrada principal son cero.

. La entrada principal en cada renglón está a la derecha de la entrada principal de

cualquier renglón que esté arriba de él.


26

Ejemplo1: Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de la matriz

reducida.

Formar la matriz aumentada, que consiste en la matriz de coeficientes y la

de términos independientes.

2 0 -4 8

1 -2 -2 14

1 1 -2 -1

3 1 1 0

Realizar las operaciones sobre los renglones, aplicando la nomenclatura y

reglas.

R1↔R2 1 -2 -2 14 1 -2 -2 14

2 0 -4 8 "-2R1+R2 0 4 0 -20

1 1 -2 -1 "-R1+R3 0 3 0 -15

3 1 1 0 "-3R1+R4 0 7 7 -42

1 -2 -2 14 "2R2+R1 1 0 -2 4

"1/4R1 0 1 0 -5 0 1 0 -5

0 3 0 -15 "-3R2+R3 0 0 0 0

0 7 7 -42 "-7R2+R4 0 0 7 -7

"2R4+R1 1 0 0 2

0 1 0 -5

0 0 0 0

"1/7R4 0 0 1 -1

Solución:

Comprobación: Remplace los valores encontrados en cualquiera de las

ecuaciones.

En ecuación (4): ( ( (

Ejemplo2: Resuelva el sistema de ecuaciones.


27

3x +2z=5

1 2 1 4 1 2 1 4

3 0 2 5 "-3R1+R3 0 -6 -1 -7

1 2 1 4 "-2R2+R1 1 0 "2/3 "5/3

"-1/6R2 0 1 "1/6 "7/6 0 1 "1/6 "7/6

Solución: Como no podemos seguir reduciendo la matriz, la solución es

la siguiente:

La solución de x, y depende del valor que tome z, es lo que se denomina

una solución paramétrica. Si siendo r cualquier número real

tenemos.

Si

Comprobación en ecuación 2:

(

)

6.1 Método de la matriz inversa. El método es aplicable únicamente cuando

el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, es decir la

matriz de coeficientes es una matriz cuadrada.

Recuerde una ecuación matricial se expresa como: , la solución

de la ecuación matricial consiste en encontrar la matriz de incógnitas X,

que viene dado por: ; dónde:

(

Para invertir la matriz A, formamos la matriz A/I, que consiste en la

matriz A(coeficientes) y la matriz I(identidad); por medio de operaciones


28

sobre los renglones transformamos la matriz A en I y simultáneamente la

matriz I se convierte en .

Ejemplo: Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de la matriz

inversa.

1 4 3 1 0 0

4 2 -2 0 1 0

3 -1 1 0 0 1

1 4 3 1 0 0

"-4R1+R2 0 -14 -14 -4 1 0

"-3R1+R3 0 -13 -8 -3 0 1

A I

1 4 3 1 0 0

"-1/14R2 0 1 1 "2/7 "-1/14 0

0 -13 -8 -3 0 1

"-4R2+R1 1 0 -1 "-1/7 "2/7 0

0 1 1 "2/7 "-1/14 0

"13R2+R3 0 0 5 "5/7 "-13/14 1

A I

1 0 -1 "-1/7 "2/7 0

0 1 1 "2/7 "-1/14 0

"1/5R3 0 0 1 "1/7 "-13/70 "1/5

R3+R1 1 0 0 0. "1/10 "1/5

"-R3+R2 0 1 0 "1/7 "4/35 "-1/5

0 0 1 "1/7 "-13/70 "1/5

A I

I A-1

x 0 1/10 1/5 10 2

y "= 1/7 4/35 "-1/5 • "-2 "= "-1

z 1/7 "-13/70 1/5 11 4

Solución:


29

Comprobación en ecuación (2):

( ( (

7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN EN ADMINISTRACIÓN

Ejemplo 1: Asignación de recursos. Una pequeña compañía constructora

ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de casa requiere 3 unidades de

concreto, 2 unidades de madera para cancelería y 5 unidades de madera

para estructuras. Los tipos segundos y terceros requieren de 2, 3, 5 y 4, 2,

6 unidades respectivamente, de concreto, madera para cancelería y

madera para estructuras. Si cada mes la compañía dispone de 150

unidades de concreto, 100 unidades de madera para cancelería y 250

unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes

tipos de casas que la compañía podrá construir al mes si usa todos los

materiales que dispone.

a) Lea y entienda el ejercicio, resuma la información en forma matricial

de ser posible.

TIPO I (x) TIPO II(y) TIPO III(z) Disponibilidad

Concreto 3 2 4 150

Madera canceleria 2 3 2 100

Madera estructuras 5 5 6 250

b) Asigne las incógnitas de acuerdo a la pregunta que le plantean, y

forme el sistema de ecuaciones.

c) Utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones.

3 2 4 150 1/3R1 1 2/3 "4/3 50

2 3 2 100 2 3 2 100

5 5 6 250 5 5 6 250

1 2/3 "4/3 50 1 2/3 "4/3 50

"-2R1+R2 0 "5/3 "-2/3 0 3/5R2 0 1 - 2/5 0

"-5R1+R3 0 "5/3 "-2/3 0 0 "5/3 "-2/3 0


30

·-2/3R2+R1 1 0 "8/5 50

0 1 - 2/5 0

.-5/3R2+R3 0 0 0 0

Tenemos una solución paramétrica:

Solo podemos utilizar para valores de z que nos den valores enteros y

positivos.

TIPOIII (z) 5 10 15 20 25 30

TIPO I (x) 42 34 26 18 10 2

TIPO II (y) 2 4 6 8 10 12

Cualquiera de las combinaciones indicadas satisface las condiciones

dadas.

Ejemplo:

( ( (

( ( (

( ( (

Ejemplo 2. La figura muestra el flujo del tránsito en el centro de una

ciudad durante las horas pico de un día hábil. Las flechas indican la

dirección del flujo en cada calle de un sentido; el promedio de vehículos

que pasan por cada crucero por hora aparece al lado de cada calle. Las

avenidas 5 y 6 pueden aceptar hasta 2000 vehículos por hora sin

congestionarse, en tanto que la capacidad máxima de cada calle es de

1000 vehículos por hora. El flujo se controla por semáforos instalados en

cada crucero.


31

300

1200

500

800

1300

700400

1400

4 Calle 5 Calle

5 Avenida

6 Avenida

1x

4x2x

3x

(a) Escribir una expresión general con las tasas de flujo, , y

sugerir dos posibles patrones de flujo que garanticen que no habrá

congestionamientos.

(b) Supóngase que la parte de la calle 4 comprendida entre las avenidas 5

y 6 se repavimentará y que el flujo del tráfico entre los dos cruceros se

reducirá a 300 vehículos por hora. Determinar dos posibles flujos de

tráfico que garanticen un flujo continuo de tráfico.

(a) Sistema de ecuaciones.

{

1 0 0 1 1500

1 1 0 0 1300

0 1 1 0 1800

0 0 1 1 2000


32

1 0 0 1 1500

.-R1+R2 0 1 0 -1 -200

0 1 1 0 1800

0 0 1 1 2000

1 0 0 1 1500

0 1 0 -1 .-200

.-R2+R3 0 0 1 1 2000

0 0 1 1 2000

1 0 0 1 1500

0 1 0 -1 .-200

0 0 1 1 2000

.-R3+R4 0 0 0 0 0

Tenemos una solución paramétrica en función de .

(b) Si por repavimentación, se tendría los siguientes flujos de

tráfico.

Conclusión: El planificador de tránsito, puede realizar el estudio y

correcciones de tráfico de acuerdo a las necesidades, siempre que se

mantenga el condicionante de que los flujos no deben ser negativos (200),

ni mayores a la mayor capacidad de 1000 vehículos por hora.

CONSULTAS EN EL TEXTO

Estudie el texto guía; página 226 a 270

EJERCICIOS DE APLICACIÓN


33

1. Clasifique los enunciados como verdadero o falso. Si es falso de una razón. 1.1. En una matriz diagonal el número de filas no es igual al número de columnas. ( )

1.2. Sea y . La matriz A+B es una matriz de 3filas y 3 columnas. ( ) 1.3. Para que exista el producto matricial el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. ( ) 1.4. El método de reducción de matrices se fundamenta en hacer ceros el las entradas de la diagonal principal y el resto de entradas igual a 1. ( ) 1.5. En el método de la matriz inversa, la matriz de coeficientes es una matriz cuadrada. ( )

AUTO EVALUACIÓN

¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se trata de ir despacio, comprendiendo, Ponle “ganas”, interés, no estudie con desgano; “recuerda nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser una persona íntegra y eso incluye la profesión que intentas alcanzar. Sí contesto correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la Universidad Central y sus tutores. Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria, para que continúe con el proceso de aprendizaje.

CONSOLIDACIÓN

Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le

proporciona un resumen de conceptos y fórmulas importantes

Como un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio

siguiente:

Administración: Un fabricante compra partes para sus dos plantas,

una en Canoga Park, California y la otra en Wooster, Ohio. Los

proveedores tienen las partes en cantidades limitadas.


34

Cada proveedor tiene 75 unidades disponibles.la planta en Canoga

Park necesita 40 unidades y la planta Wooster requiere 75

unidades. El primer proveedor cobra$70 por unidad entregada a

Canoga Park y $90 por unidad entregada a Wooster. Los costos

correspondientes del segundo proveedor son $80 y $120. El

fabricante quiere ordenar un total de 75 unidades del primer

proveedor, menos caro, y las 40 unidades restante, del segundo

proveedor. Si la compañía gasta $10750 para comprar el número

de unidades requerido para las dos plantas, encuentre el número

de unidades que deben ser compradas de cada proveedor para

cada planta de acuerdo a lo siguiente:

(a) Asigne variables a las cuatro incógnitas.

(b)Escriba un sistema de 5 ecuaciones con las 4 variables.

(c)Resuelva el sistema de ecuaciones.


35

UNIDAD II

PROGRAMACIÓN LINEAL

Competencias: Utilizar la programación lineal para la optimización de recursos;

solucionando problemas de maximización y minimización en temas

administrativos y económicos, con precisión y rigurosidad científica.

Contenido:

1. Desigualdades lineales con dos variables

2. Programación lineal, método gráfico





1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES

Una desigualdad lineal con dos variables x , y puede escribirse en la

forma:

) , , ( o 0cbyax

Donde a, b y c son constantes; a y b no son ambas igual a cero.

En forma geométrica la solución gráfica de una desigualdad lineal en x y

y consiste en todos los puntos (x , y) en el plano, cuyas coordenadas

satisfacen la desigualdad.

La solución no es única, existe un número infinito de soluciones que

consiste en un semiplano o una región que satisface la desigualdad dada.

Estudie los ejemplos del texto, no tendrá dificultad en la comprensión del

tema.


36

Ejemplo: Resolver la desigualdad 93y-2x

1. Despeje la variable y (recuerde las propiedades de las desigualdades

lineales, pág55). Encuentre las intersecciones con los ejes (eje x: 0y ;

eje y: 0x )

0 , 29 3- , 0 3x3

2y

2. Grafique la recta. Como y es menor que 3x 32 ; la solución será

todos los puntos que están bajo la recta, que es la región solución.

La solución de un sistema de desigualdades: consiste en todos los puntos

cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente todas las desigualdades

dadas; geométricamente es la región común para todas las desigualdades.

Ejemplo.

Resolver el sistema de desigualdades.

50y2x

30 y x

482yx


37

Despeje la variable y, encuentre las intersecciones.

0) , (25 50) , (0 2x -50 y

0) , (30 30) , (0 x -30y

0) , (48 24) , (0 2

x-24y

Grafique e identifique las rectas, realice un análisis de las desigualdades

y encuentre la solución si existe.

Ejemplo. Administración. Una compañía elabora dos productos, A y B.

Cada uno de estos productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos

máquinas en su elaboración. Cada unidad del producto A requiere 1 hora

en la máquina I y 2 horas en la máquina II; cada unidad del producto B

demanda 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. La

compañía dispone de 100 horas en la semana en cada máquina. Si x

unidades del producto A y y unidades del producto B se producen a la

semana, dé las desigualdades que satisfacen x y y. Represéntalas en forma

gráfica.

Organice la información de forma matricial.

Producto A Producto B Disponibilidad

(x) (y)


38

Máquina I 1 3 ≤ 100

Máquina II 2 2 ≤ 100

Establezca el sistema de desigualdades lineales

{

La condición ; son condiciones de no negatividad pues productos,

materiales, mano de obra nunca pueden ser negativos.

Utilice el método para resolver un sistema de desigualdades.

(

) (

( (

2. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO GRAFICO)

Muchos problemas de Administración y Economía están relacionados con

la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un

sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la

función objetivo. Las funciones de utilidad y de costo son ejemplos de

funciones objetivo. El sistema de igualdades y desigualdades a las que

está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las


39

limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a

la solución (o soluciones) del problema.

Para resolver un problema de programación lineal estudie los ejercicios

que se presentan, en los primeros se analiza ejercicios ya planteados y a

continuación aprenda a plantearlos.

Ejemplo 1: OBJETIVO" FUNCIÓN" y x Z: Minimizar

Sujeto a:

DNEGATIVIDA NO DE SCONDICIONE 0y x,

NESRESTRICCIO

8x

9911y9x

123y4x

0y- x

Las condiciones de no negatividad; son condiciones que nos indican que

las variables x, y siempre serán positivas; pues, los materiales, mano de

obra e insumos en general no pueden ser negativos.

1. Utilice su conocimiento en la solución de sistemas de desigualdades

lineales.

8x

0 11, 9 , 0 x 11

9-9y

0 , 3 ,4 0 x 3

4-4y

2 , 2 0 , 0 x y

2. Grafique las rectas y haga un análisis de la región solución; llamada

región factible.


40

Una región factible puede ser acotada, cuando puede estar contenida

dentro de un círculo es decir se encuentra totalmente delimitada; caso

contrario es no acotada. Cuando una región factible contiene al menos un

punto, se dice que es no vacía; caso contrario es vacía.

La solución de maximización o minimización de la función objetivo se

encuentra en los vértices de la región factible. Encontremos los vértices de

la región factible.

0 , 8 E 0 , 3 A

Para los vértices B, C y D; igualamos las rectas que se intersecan

(encuentre x, para hallar y reemplace el valor de x en cualquiera de las

ecuaciones)

11

27 , 8

11

278

11

9-9y :D

20

99 ,

20

99

20

99y

20

99 x;x x

11

9-9 :C

7

12 ,

7

12

7

12y

7

12 x; xx

3

4-4 :B


41

Determinado los vértices procedemos a remplazar en la función objetivo

las coordenadas correspondientes.

Vértice

Z = x + y

Z

A 0 , 3 03 3

B 712 , 712 12/7 7/12 7/24

C 2099 , 2099 99/20 20/99 10/99

D 1127 , 8 11278 11/115

E 0 , 8 08 8

2.3. Solución: 0y 3 xcuando ; 3Z

Ejemplo 2: Maximizar: y10x4Z

Sujeto a:

0y x,

2yx2

4y4x

0 , 1 2- , 0 ; 2-2xy

0 , 4 1- , 0 ; 1- 4

xy

No tiene solución, no existe región factible.


42

Ejemplo 3: Producción. Un fabricante de cereales elabora dos tipos

diferentes de cereal, A y B. Cada libra de A requiere 0.6 libras de trigo y

0.2 libras de jarabe enriquecido con vitaminas, y cada libra de B requiere

0.4 libras de trigo, 0.2 libras de azúcar, y 0,2 libras de jarabe enriquecido

con vitaminas. Los proveedores pueden entregar máximo 2800 libras de

trigo, 800 libras de azúcar, y 1000 libras de jarabe enriquecido con

vitaminas. Si las ganancias son de $1.20 por cada libra de A y de $1.10

por cada libra de B, encuentre el número de libras de cada cereal que

debería producirse para obtener ganancias máximas. Encuentre las

ganancias máximas.

1. Lea el ejercicio con detenimiento y resuma la información como sigue:

Marca A

(x)

Marca B

(y)

Requerimientos

mínimos

Trigo 0.6 libras 0.4 libras 2800

Jarabe enriquecido 0.2 libras 0.2 libras 1000

Azúcar 0.2 libras 800

Ganancias $ 1.20 $1.10

Como está preguntando cuantas libras de cada marca de cereal se deben

producir; entonces debemos producir x unidades de marca A y y unidades

de la marca B.

2. Planteamos el problema de programación lineal.

Maximizar: 1.10y x20.1Z “Función objetivo “

Sujeta a.

" d.negativida no de sCondicione " 0 y x,

8000.2y

10000.2y0.2x

28000.4y0.6x

3. Despeje y, encuentre intersecciones.

4000y

0) (5000, ; 5000) , (0 ; x -5000y

0) , 3

14000( ; 7000) , (0 ; x

2

3-7000y


43

4. Grafique y haga un análisis de la región solución.

4.1 Encuentre los vértices de la región factible.

0) ,3

14000( D 4000) , (0A

Para los vértices B y C, igualamos las rectas que se intersecan.

)(4000,1000 1000y 4000xx

2

3-7000x-5000 :C

)(1000,4000 4000y 1000 xx -50004000 :B

4.2 Determinado los vértices procedemos a remplazar en la función objetivo

las coordenadas correspondientes.

Vértice

Z = 1.2x + 1.1y

Z

A(0,4000) 1.2(0)+1.1(4000) 4400

B(1000,4000) 1.2(1000)+1.1(4000) 5600

C(4000,1000) 1.2(4000)+1.1(1000) 5900

D(14000/3,0) 1.2(14000/3)+1.1(0) 5600

4.3 Nuestra solución es el valor máximo de Z = $5900, cuando se produce

A= 4000 libras y B= 1000 libras.


44

Ejemplo 4: Política. Una candidata desea utilizar una combinación de

anuncios de radio y televisión en su campaña. Las investigaciones han

demostrado que cada anuncio de 1 minuto de televisión llega a 0.09

millones de personas y cada anuncio de 1 minuto en la radio llega a 0.006

millones de personas. La candidata considera que el anuncio debe llegar

por lo menos a 2.16 millones de personas, y debe comprar un total de por

lo menos 80 minutos de anuncios. ¿Cuántos minutos de cada medio se

deberían utilizar para minimizar los costos si la televisión tiene un costo

de $500 por minuto y la radio tiene un costo de $100 por minuto?

1. Identificada la pregunta, esto es, minutos de televisión (x), minutos de

radio (y); resuma la información como sigue:

Televisión Radio Requerimientos

(x) (y)

Minutos 1 1 ≥80

Personas 0,09 0,006 ≥2,16

Costo minuto $ 500 $ 100

2. Plantee el problema de programación lineal.

0 y x,

2.160.006y0.09x

80yx

a Sujeto

100y500x Z:Minimizar

3. Despeje y, encuentre las intersecciones y grafique.

0 , 24 360 , 0 15x -360y

0 , 80 80 , 0 x -80y


45

4.- Encuentre los vértices y la solución.

0 , 80 C ; 360 , 0 A

60 , 20 B 60y ; 20-80y

20 x-28014x- ;x -8015x-360 :B Vértice

Vértice Z = 500x + 100y Z

A ( 0 , 360 ) 500 ( 0 ) + 100 ( 360 ) 36000

B ( 20 , 60 ) 500 ( 20 ) + 100 ( 60 ) 16000

C ( 80 , 0 ) 500 ( 8 0 ) + 100 ( 0 ) 40000

Solución: 60)y ( Radio 20 ) x ( Televisión ; 16000 $ Z


Estudie el texto guía; página 280 a 294

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.


46

1.1. Si y ≤ x ; significa que la solución está en y sobre la recta. ( ) 1.2. La solución de un sistema de desigualdades es única. ( ) 1.3. En un problema de programación lineal, la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. ( ) 1.4. Una región factible es acotada cuando se encuentra totalmente delimitada. ( ) 1.5. Si una región factible es no acotada, y si la función objetivo tiene un valor máximo ocurre

en un vértice. ( )

AUTO EVALUACIÓN

¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se trata de ir despacio, comprendiendo, Ponle “ganas”, interés, no estudie con desgano; “recuerda nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser una persona íntegra y eso incluye la profesión que intentas alcanzar. Sí contesto correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la Universidad Central y sus tutores. Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria, para que continúe con el proceso de aprendizaje.

CONSOLIDACIÓN

Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un

resumen de conceptos y fórmulas importantes

Como un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:

Fabricación y costos de envío. La compañía Sony produce televisores a color de

19 pulgadas en dos lugares: el I y el II.

La producción mensual en I es a lo más de 6.000 televisores y en el lugar II

es a lo más de 5.000 televisores. Sony es el principal proveedor de

televisores de la Corporación Pulsar, su cliente principal, y el cual tiene

prioridad para cubrir sus requisitos.


47

Cierto mes, Pulsar realizó pedidos de 3.000 y 4.000 televisores que se deben

enviar a dos de sus fábricas, localizadas en la ciudad A y B, respectivamente.

Los costos de envío (en dólares) por televisores desde las dos plantas de

Sony hasta las dos fábricas de Pulsar son:

Encuentre un plan de envíos que cubra los requisitos de ambas compañías,

manteniendo mínimos los costos.

Desde Ciudad A Ciudad B

Sony(Lugar I) $ 3 $ 2

Sony(Lugar II) $ 4 $ 5

Costos de envío por cinescopio

A la fabrica Pulsar


48

UNIDAD III

DERIVACIÓN PRIMERA PARTE Competencias: Resuelve problemas de aplicación de rectas tangentes a curvas

y de razones de cambio (marginales) en la economía y administración mediante

el uso de los fundamentos de límites y derivación de funciones algebraicas, con

iniciativa, orden y precisión.

Contenido:

1. Definición de límite.

1.1. Límites de la forma 0/0, K/0, límites laterales.

1.2 Continuidad aplicada a las desigualdades.

2. Definición de derivada

2.1 Reglas de derivación.

2.2 La derivada como razón de cambio.

2.3 Regla del producto y del cociente.

2.4 Regla de la cadena y la potencia.


Para su estudio necesita recordar:



Capítulo3: Funciones

1.1 LÍMITES, DEFINICIÓN

El límite cuando x se acerca (o tiende) a a, es el número L, siempre que

f(x) esté arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente cerca,

pero diferente de a.

L f(x)limax


49

En otras palabras; no estamos interesados en lo que le pasa a f(x) cuando

x es igual a a, sino lo que le sucede a f(x) cuando x está muy cerca de a.

Una función puede no estar definida, pero si puede existir el límite.

L

)(xfy

x

y

Derecha

Izquierda

ax

Podemos acercarnos a a; tanto por izquierda como por derecha, entonces

para que exista límite; el límite por izquierda y por derecha deben ser

iguales, e igual a L.

Lf(x)límf(x)lím

si ; existe ; Lf(x)lim

-axax

ax

Para que entienda la definición de límite resuelva el ejercicio, en base al

gráfico.


50

y

x

)x ( fy

1xf lím b) 2xf lím )a1 - x1 - x

6 x f lím d) existe No xf lím c)

2 x 1 - x

xf lím f) 0 x f lím )e

x 3- x

xf lím )g

- x

Estudie las propiedades y ejercicios resueltos del texto base. Para el

cálculo de límites veamos los ejemplos siguientes:

09

0

18)3(3)3(2

33

813x-2x

3-x lím 4.

3030lím 3.

5

11

38

7)8(2

3-y

7y2lím 2.

-86100-3(-2)5(-2)100-3x5xlím 1.

223x

10x

22

8 y

22

2 - x

1.2 LÍMITES DE LA FORMA ⁄⁄ ; LÍMITES LATERALES.


51

Cuando al remplazar el límite; se obtiene como resultado 0/0, (FORMA

0/0); significa que debemos realizar manipulación algebraica o factorar.

Ejemplo1:6-x-x

23xx lím

2

2

2- x

0

0 :Forma

0

0

622

2232

6-x-x

23xx lím

2

2

2

2

2- x

5

1

3-2-

12-

3-x

1x lím

2x 3-x

1x 2x lím

2- x 2- x

Ejemplo 2: 36x

6x lím

36 x

" 0

0FORMA "

0

0

3636

636

36x

6x lím

36 x

12

1

636

1

6x

1 lím

6x36x

36-x lím

6x36x

6x6x lím

36 x36 x36 x

Si al remplazar el límite se obtiene como resultado, una constante dividida

para cero, (FORMA K/0); para encontrar el límite; necesariamente

debemos hacer el análisis de límites por izquierda y por derecha.

Ejemplo 1:

0

8

22

42

2x

4x lím

22

2- x

0

K :Forma

2-

-1,999….99-2,000...001

DerechaIzquierda

0001.....000,0

8

20001....000,2

8

2x

4x lím

0001....000,0

8

2999....999,1

8

2x

4x lím

2

2x

2

2x


52

Como el límite por izquierda y por derecha, no son iguales, concluimos

que:

existe No2x

4x lím

2

2x

Ejemplo 2.

0

9

33

13 3

3-x

1-3x lím

223 x

0

K :Forma

2 3 4

99....999,2 001....000,3

0010,000....0

8

010,000....0

8

3-013,000....0

8

3x

1-3x lím

2223 x

0010,000....0

8

010,000....0-

8

3-992,999....9

8

3x

1-3x lím

2223 x

3x

1-3x lím

23 x

Porque límite por derecha e izquierda son iguales.

A los límites por izquierda y por derecha se les denomina límites

laterales.

Para el cálculo de límites al infinito; consideremos lo ejemplos

siguientes:

1. El límite de un polinomio cuando x tiende a ∞ o a - ∞; es el mismo del

término que involucra la mayor potencia de x.

Ejemplo 1: 32

x8x3x5x2lím

- 8)(88xlím 33

x

Ejemplo 2: -150150- lím x

2. El límite de funciones racionales cuando x tiende a ∞ o a - ∞, tomamos

el mayor de los exponentes, tanto del numerador como del

denominador.


53

Ejemplo 1: 42

23

x 4x9x2x

263x5x8xlím

02

-x

2lím

4x

8xlím

x4

3

x

Ejemplo 2: 31-2x

57x lím

3

2

x

3303

2

73

2x

7 lím3

2x

7x lím

x3

2

x

1.3 CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES

En el capítulo 1.2; estudió desigualdades lineales, teniendo como

resultado un intervalo. Ahora resolveremos desigualdades no lineales; el

método consiste en encontrar los ceros de la función, es decir los puntos

de intersección con el eje x y los puntos en los cuales la función no está

definida. Para explicar el método de solución , consideremos el ejemplo

siguiente:

Ejemplo 1: 09-x

x2

1. Factoramos si es posible la expresión.

3)-3)(x(x

xf(x)

2. Igualamos a 0; independientemente numerador y denominador. Los

valores obtenidos, los ubicamos en la recta de los reales y

determinamos los intervalos,

3 x ; -3 x; 0x

3 0 3

3- , - 0 , 3- 3 , 0 , 3

3. De cada uno de los intervalos tomamos un valor no extremo y

evaluamos en la función, en la que no interesa el valor, sino el signo.


54

3- , - 0f(x) )()(

)(

))((

(-)f(-4)

0 , 3- 0f(x) )()(

)(

))((

(-)f(-2)

3 , 0 0f(x) (-)(-)

)(

))((

)(f(2)

, 3 0f(x) )()(

)(

))((

)(f(4)

4. Escogemos los intervalos que satisfacen la desigualdad 0 .

Solución: 3 , 0 3- , -

Ejemplo 2: Participación en talleres. Imperial Education Service (IES)

está ofreciendo un curso de procesamiento de datos a personal clave en la

compañía Zeta. El precio por persona es de $50 y la compañía Zeta

garantiza que al menos asistirán 50 personas. Suponga que el IES ofrece

reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista después

de las primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES

aceptará, de modo que el ingreso total nunca sea menor que lo recibido

por 50 personas?

1. Planteamiento. Sea x , el número de personas adicionales que asistan

al curso. El ingreso total está dado por el número de personas que

asistan al curso por el costo por persona.

" totalIngreso " $50 50 R

2500 personapor Precio x personas de Número

25000.50x-50x25x-2500 ; 2500 0.50x-50 x50 2

0x25x50.0 2

2. Utilice el método para la solución de desigualdades no lineales.

críticos" Puntos" 50 , 0 x; 250.50x-x x f

0 50


55

0 ) x ( f ) 51 ( f , 50

0 ) x ( f ) 1 ( f 50 , 0

Solución: 50 , 0

3. Comprobación: Pueden asistir hasta 100 personas con un precio de

$25.

2. LA DERIVADA

Uno de los problemas principales que se ocupa el cálculo es el encontrar

la pendiente de la recta tangente en un punto sobre una curva.

Consideremos los puntos P y Q de la curva y = f(x) ; la línea PQ es la

línea secante (une dos puntos de la curva); si Q se acerca hasta el límite a

P, 0 h ; entonces la línea secante tiende a ser tangente (toca en un solo

punto a la curva).

Q´

Q(x+h,f(x+h))

P(x,f(x))f(x)

f(x+h)

x x+h

x

y

h

Encontremos la pendiente de la línea secante PQ.

h

f(x)-h)f(xm

x-h)(x

f(x)-h)f(xm

secsec

Si Q se acerca hasta el límite a P; la pendiente de la secante tiende a ser

la pendiente de la línea tangente, cuando h 0 . La pendiente de la línea

tangente a la curva en el punto P, se llama la derivada por la definición.


56

sec0h

tan mlímm

; h

f(x)-h)f(xlímy´

dx

dyf´(x)

0h

“derivada por la

definición”

Ejemplo1: Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva;

5-4x-xy2 ; en el punto (3 , -8).

1. Calculamos la derivada de la función.

h

5)-4x-x(5-h)4(x-h)(xlímf´(x)y´

22

0h

h

54xx-5-4h-4x-h2xhxlímf´(x)y´

222

0h

4x240x2

h

4-h2xh lím

h

4h-h2xhlímf´(x)y´

0h

2

0h

2. Al remplazar el punto 8- , 3 en la derivada, encontramos la

pendiente.

2m ; 24-2(3)f´(3)y´(3)

3. Con la pendiente (m = 2) y el punto (3, -8); encontramos la ecuación

de la recta. Aplicamos la forma punto-pendiente.

14-2x y

3)-2(x8y )x-m(xy-y 11


57

5x4xy 2

14x2y

y

x

8- , 3

Ejemplo 2: Encuentre la pendiente de la curva 1x3

2x fy

, en el

punto 3 , 2- .

1. Recuerde la derivada, representa la pendiente de la línea tangente en un

punto de la curva.

h

x fhx f lím x fý

0 h

h

13x 1-3h3x

1-3h3x 21-3x 2

límh

1x3

2

1hx 3

2

lím x fý0 h 0 h

h

13x 1-3h3x

26h-6x-2-6x

lím h

13x 1-3h3x

1-3h3x 21-3x 2

lím x fý0 h 0 h

13x 1-3h3x h

6h- lím

h

13x 1-3h3x

6h-

lím x fý0 h 0 h

13x 1-3h3x h

6h- lím

h

13x 1-3h3x

6h-

lím x fý0 h 0 h

1-3x 1-(0) 33x

6-

13x 1-3h3x

6- lím x fý

0 h

1-3x

6 x fý

2


58

2. Remplace la coordenada x en la derivada y determine la pendiente.

49

6m ;

1-(-2) 3

6-my´(-2)

2

2.1 REGLAS DE DERIVACIÓN.

El proceso de derivación por medio de la definición; resulta un proceso

largo y tedioso; por fortuna existen reglas; que permiten efectuar la

diferenciación en forma mecánica y eficiente. Estas reglas las resumimos

en 3.

1. c)x(fy 0dx

dyf´(x)y´

2. ncx)x(fy 1-nc.n.x

dx

dyf´(x)y´

3. (x) f cy f´(x) cý

Ejemplos: Determine la derivada de las funciones aplicando las reglas de

derivación:

1. 0f´(x)y´ 80- f(x)y

2. 78 72xf´(x)y´ 9xf(x)y

3. 235x-x2

3

x

x8-5xf(x)y

3 24 3

6

Exprese los radicales como exponentes: n/mn m xx (pag. 10 de texto

guía)

235x-x2

385235x-

2x

3

x

x8-5xf(x)y 2/3-4/16

2/33/4

1/26 xx

5xx2x30)x´(fy 3/54/55

4. 3-4x2x-7x 9y -53 Regla 3 )x´(fcy

410x21x 9y -62


59

5.

5 2

4 3

x

1-2x xy

Transforme radicales en exponentes:

x

1-2x xy

2/5

3/4

x- x2y ; 1-2x xy 7/2027/20 7/20

x20

7- x

10

27 ý 13/20-7/20

6.

(

(

7. Encontrar todos los puntos sobre la curva

en

donde la recta tangente es horizontal.

Recuerde, la pendiente de una recta horizontal es 0, entonces al

derivar se encuentra la pendiente en aquellos puntos donde la recta

es horizontal.

( (

(

)

(

)

2.2 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO

La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la línea

tangente a una curva. Una aplicación importante de la derivada es

determinar cómo una variable cambia en relación con otra. Un hombre de

negocios debe conocer cómo cambia su utilidad con respecto a la

variación de la producción; así como un médico le interesa conocer cómo

reacciona un paciente por el cambio en la dosis de un medicamento.


60

Una manera conveniente de interpretar la derivada como una razón de

cambio es el movimiento de un objeto en el tiempo.

Suponga que un objeto se mueve de acuerdo a la ecuación: 2t 2t fs ;

que representa una ecuación de movimiento, donde s representa a una

función de posición.

)t(fs

t

2t2)t(fs

32

128

4t

96s

La variación de posición )s( respecto a la variación de tiempo )t( , se

llama velocidad promedio o velocidad media.

12 sss Variación de posición.

12 ttt Variación de tiempo.

t

f(t)-t)f(t

t

svprom

Al límite de la velocidad promedio cuando 0t ; se define como la

velocidad instantánea.

t

f(t)-t)f(tlím

dt

dsv

0t

Para las condiciones expuestas, calculamos la velocidad promedio y la

velocidad instantánea.


61

s. 448t

m/s 244

96

4

32-128

4

)4(2)8(2

4

f(4)-4)f(4

t

sv

22

prom

m/s 164(4) v(4) ;t 4dt

dsv

Si c = f(q); representa el costo total de producir y comerciar q unidades

de un producto. La razón de cambio de c con respecto a q se llama costo

marginal. Y se define como el costo aproximado de producir una unidad

adicional.

dq

dcmarginal Costo

Ejemplo 1: Administración. El costo generado por la venta de q mesas

está dado por: 500qq20)q(C 2

a) Encuentre el costo marginal cuando unidades 1000q

b) Determine el costo real por la venta de la mesa 1001

c) Compare las respuestas de los incisos (a) y (b). ¿Cómo se relacionan?

a) 250

q20

dq

dC ;

500

q220

dq

dC

16250

100020)1000q(

dq

dC

b) 1000-1001

C(1000)-(1001) C

q

C

15.99810001001

500

1000)1000(20

500

1001 -(1001) 20

q

C

22

c) El valor del costo marginal se aproxima al valor real del costo de

producir la unidad 1001.


62

Ejemplo 2: Suponga que la función de demanda para un producto está

dada por 25000

q50000p

, y la función de costo está dada por q25.02100c

, donde 30000q0 . Encuentre la utilidad marginal para q=15000,

21875, 25000.

Recuerde: Utilidad = Ingreso total(r)-Costo total(c)

25000

qq2

25000

qq50000q

25000

q-50000r ; q.pr

22

210025000

qq75.1q25.02100

25000

qq2U

22

12500

q75.1

dq

dU ;

25000

q275.1

dq

dU

$0.25 12500

2500075.1)25000(

dq

dU

00.0$12500

2187575.1)21875(

dq

dU

55.0$12500

1500075.1)15000(

dq

dU

Del análisis de resultados puede determinar que si se venden más de

21875 unidades la ganancia marginal es negativa. Esto indica que

incrementar la producción más allá de ese nivel, reducirá la ganancia.

Ejemplo 3. Ciencias Sociales. Los estándares de vida están definidos por

la producción total de bienes y servicios dividida entre la población total.

En Estados Unidos, durante la década de 1980, el estándar de vida se

aproximaba mucho por: 6.114.03.0023.0)( 23 xxxxf , donde 0x

corresponde a 1981. Use la derivada para encontrar la razón de cambio

del estándar de vida en los siguientes años.

años? esosen vidadeestándar del acerca (e)-(a) incisos los a respuestas susdicen le ¿Qué (f)

1990 (e) 1989 (d) 1988 (c) 1983 (b) 1980 (a)

4.0x6.0x069.0)x´(fdx

dy 2


63

-0.0160.4-0.6(8)-0.069(8)f´(8) (c)

0.7790.4-0.6(3)-0.069(3)f´(3) (b)

-0.40.4-0.6(0)-0.069(0)f´(0) (a)

2

2

2

-1.30.4-0.6(10)-0.069(10)f´(10) (e)

-0.5890.4-0.6(9)-0.069(9)f´(9) (d)

2

2

)f( Los resultados negativos nos hacen ver que el estándar de vida en esa

década no fue bueno.

2.3 REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces su producto f.g y su

cociente f/g ; son también diferenciables.

PRODUCTO" DEL REGLA" f(x).g´(x)f´(x).g(x)dx

dyy´ f(x).g(x) y

COCIENTE" DEL REGLA" (g(x))

f(x).g´(x)-f´(x).g(x)

dx

dyy´

g(x)

f(x)y

2

Ejemplos: Diferenciar las funciones.

1. 5x)-x)(3x(y 2

Transforme radicales a potencia: 5x)-3)(x(xy 21/2

5x - x x g 3x x f 22/1 ; Aplique regla del producto

5)-3)(2x(x5x)-(xx2

1y´ 1/221/2- ; Realice operaciones

15-x2

15-6xx

2

5y´ 1/23/2

2. 14x

2x-xy

2

2

14x x g ; 2x-x x f 22


64

22

22

1)x4(

)(8x)2x-(x-1)4x)(4x-(1y´

; Realice operaciones

22

2

1)(4x

14x- 4x-y´

3. 5

8)5x-3(2xy

23

Puede confundir con regla del cociente, considere: 85x-2x 5

3y 23

10x)-(6x5

3y´ ; x f´ c y´ ; x f cy 2

4. Ingresos en taquilla. Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de

cierta película se aproximan con la función 4x

x120)x(T

2

2

, donde T(x) se

mide en millones de dólares y x son los años posteriores al lanzamiento de

la película, ¿Cuán rápido cambian los ingresos totales uno, tres y cinco

años después del lanzamiento de la película?

Le piden determinar la razón de cambio del ingreso (T) respecto a los

años posteriores al lanzamiento de la película (x)

2222

22

4x

x960

4x

x2x1204xx240)x´(T

dx

dT

millones 38.4

41

)1(960)1´(T

22

millones 71.5

45

)5(960)5´(T

millones 04.1743

)3(960)3´(T

22

22

Los resultados le permiten analizar el decrecimiento del ingreso en el

tiempo.

2.4 REGLA DE LA CADENA Y LA POTENCIA.

Para explicar estas reglas; utilicemos un ejemplo.


65

Encontrar la derivada de la función: 523 13)2x-9(3x y

1. Con las reglas conocidas, no podemos diferenciar directamente;

utilizamos una sustitución.

523 9u y 132x-3x u

2. Nuestro objetivo es encontrar la derivada dx

dy; y está en función de u,

realizamos esa derivada; además u está en función de x, también

realizamos esa derivada. Este proceso; se denomina la regla de la

cadena.

CADENA LA DE REGLA dx

du.

du

dy

dx

dy

4x)-.(9x45udx

dy 24

3. Volvemos a la sustitución original.

4x)-(9x13)2x-45(3xdx

dy 2423

Para la regla de la potencia, usamos la regla de la cadena directamente.

Primero derivamos la potencia, luego la función interna.

4x)-(9x13)2x-45(3xdx

dy 2423

Ejemplo 1: Encuentre la derivada de: 45x -1 . x2y

Aplique la regla del producto. )x´(g).x(f)x(g).x´(fy

25x-1 5x-1 2y´

x205x-1 5x-1 2y´ ; 5- 5x-1 4 2x.5x-1 2 ý

3

334

Ejemplo 2: Encuentre la derivada de: 42 3x8

3x4y


66

Aplique la regla del cociente: 2)x(g

)x´(g).x(f)x(g).x´(fý

3x8

3x4x163x83-8x4

3-8x

x163x843x438x 4

y´82

232

242

3242

3-8x

3x48x564y´ ;

3-8x

48x64x-3-8x 4y´

52

2

52

22

Una de las aplicaciones importantes de la Economía, es el producto de

ingreso marginal; que es el ingreso aproximado que se recibe por

emplear un trabajador adicional en la producción y venta de un producto.

dm

dq .

dq

dr

dm

dr ; regla de la cadena.

Ejemplo 3: Si: 20

mm200q

2 , 70q1,0p , 40m . Donde q es el número

total de unidades producidas por día por m empleados de un fabricante, y p

es el precio de venta por unidad. Encuentre el producto de ingreso marginal

para el valor dado de m.

1. Se pide determinar el producto de ingreso marginal: dm

dq.

dq

dr

dm

dr ; no

tiene la función de ingreso; recuerde: q.pr

70q-0,1qr ; q )70q1,0(r 2

70q20,0dq

dr ; Encuentre q: 320

20

)40()40(200q

2

670)320(20,0)40(dq

dr

2. Calcule: dm

dq

620

)40(2200)40(

dm

dq ;

20

m2200

dm

dq


67

3. Calcule el producto de ingreso marginal.

36dm

dr ; )6)(6(

dm

dq.

dq

dr

dm

dr

El resultado obtenido significa; que el fabricante recibe un ingreso

adicional de 36 unidades monetarias, por el empleo del trabajador

número 41.

Ejemplo 4: 2

2

1)-(3x

1)-2)(8x-(4xy ; utilice las reglas de diferenciación.

1. Tiene combinado la regla del cociente y del producto. Denominador al

cuadrado, derive numerador por el denominador menos el numerador por

la derivada del denominador. Tome en cuenta que el numerador es un

producto cuando derive aplique la regla.

22

222

)1)-((3x

1)(3)1)(2)(3x2)(8x(4x1)(3x2)8(4x1)8x(8xy´

4

2322

)1x3(

2x16x4x3261x316x32x8x64)1x3(ý

3

23223

)1x3(

12x96x24x19216x48x8x24x96x288ý

3

23

)1x3(

4x56x96x96ý

3

23

1)-(3x

1)14x24x-4(24xy´


Estudia el texto base; páginas 448 a 525


68

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso dé una razón.

1.1 Si el )x(flím)x(flímaxax

; afirmamos que, )x(flímax

, existe. ( )

1.2 Si al calcular un límite, el resultado es 0/0, entonces su respuesta es 0. ( )

1.3

80límx

( )

1.4 Si al calcular el límite se obtiene K/0, para determinar el límite es necesario determinar los límites laterales. ( ) 1.5 La solución de una desigualdad no lineal, se fundamenta en determinar los valores para los cuales la función no existe. ( )

1.6 )x´(f 1 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )x(fy , en el punto

))f(x , x( 11

( )

1.7 Si c)x(fy , la derivada 1dx

dy)x´(fý . ( )

1.8 dx

dy, significa dy dividido para dx. ( )

1.9 Si )q(fc ; entonces dq

dc, es el costo marginal y significa el costo aproximado de

producir una unidad adicional.

1.10 Si )u(fy y )x(fu , entonces,

, es llamada la regla del producto. ( )

1.11 Si f y g son diferenciables, )x(g).x(fy , la derivada )x´(g).x´(fy ( )


69

AUTO EVALUACIÓN

Sigue avanzando en tu conocimiento. ¿Cómo te encuentras en el estudio del nuevo tema? ¿Contestaste correctamente los ejercicios de aplicación y procesos de solución? Sí la respuesta es afirmativa; felicitaciones; sigue adelante. Si no lo es; no te desanimes; vuelve revisar los contenidos, aclara conceptos y métodos de solución en la guía de estudios y texto base. Acude a tutoría con dudas puntuales; que te detienen en tu estudio.

CONSOLIDACIÓN

Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía te proporciona un


Como un refuerzo en tu conocimiento, resuelva el ejercicio:

1. El día del juicio final. La población de cierta raza de conejos introducida en

una isla está dada por:

(

Donde t se mide en meses.

a. Calcule el número de conejos presentes en la isla en un principio.

b. Muestre que la población de conejos crece sin límite.

c. Trace la gráfica de la función P.

2. Administración. El ingreso por la venta de q carteras está dado por

q2q 201)q(R 3 , para 80q4 . El costo de fabricar q carteras está dado

por 40q5q1.0c 2 .

(a) Encuentre la función de ganancia. (b) ¿Cuál es la ganancia al vender q=10,

20, 30, 50 carteras? (c) Encuentre la función de ganancia marginal. (d) ¿Cuál

es la ganancia marginal para q=10, 20, 30, 50 carteras? (e) ¿Cuál es la

relación entre sus respuestas en los incisos (b) y (d)?

3. Publicidad y ventas. La venta diaria S(en miles de dólares) que se atribuye

a una campaña publicitaria está dada por:

2)3t(

18

3t

31S


70

donde t es el número de semanas que dura la campaña. (a)¿Cuál es la tasa de

cambio de las ventas para t = 8, t = 10? (b) ¿La campaña debe continuar

después de la décima semana? Explique.


71

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Primer trabajo a entregar)

UNIDAD I

a) En ejercicios 6.1 de páginas 231-232, ejercicios11, 26, 28 b) En ejercicios 6.2 de páginas 237-238, ejercicios12, 23, 41 c) En ejercicios 6.3 de páginas 248-249, ejercicios23, 57, 65 d) En ejercicios 6.4 de páginas 257-259, ejercicios15, 25, 28, 30 e) En ejercicios 6.5 de páginas 231-232, ejercicios 24

UNIDAD II

a) En ejercicios 7.1, página 284, ejercicios 17, 22, 29 b) En ejercicios 7.2, páginas 291-293, ejercicios 6, 10, 15, 19

UNIDAD III

a) En ejercicios 10.1, página 457-458, ejercicios 5, 32, 43 b) En ejercicios 10.2, páginas 465-466, ejercicios 34, 50, 58 c) En ejercicios 10.4, páginas 475, ejercicios 10, 21, 30 d) En ejercicios 11.1, páginas 488-489, ejercicios 17, 20, 26 e) En ejercicios 11.3, páginas 504-505, ejercicios 18, 22, 25, 35 f) En ejercicios 11.4, páginas 513-515, ejercicios 13, 30, 51, 71 g) En ejercicios 11.5, páginas 521-522, ejercicios 24, 49, 62, 68


72

SEGUNDA PARTE

UNIDAD IV

DERIVACIÓN DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.

TRAZADO DE CURVAS Y APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Competencia: Resuelve problemas de aplicación como razones de cambio

(marginales) e índices mediante la derivación de funciones trascendentes,

trazado de curvas y maximización, minimización de funciones como costo,

ingreso, utilidad y otras; en la administración y economía con iniciativa y

exactitud.

Contenido:

1. Derivadas de funciones logarítmicas.

2. Derivadas de funciones exponenciales.

3. Diferenciación implícita.

4. Diferenciación logarítmica.

5. Derivadas de orden superior.

6. Trazado de curvas y optimización

6.1 Extremos relativos, máximos y mínimos.

6.2 Concavidad y puntos de inflexión.

6.3 Prueba de la segunda derivada

7. Aplicaciones de maximización y minimización



Capítulo 5: Funciones logarítmica y exponencial

Capítulo 10: Derivación

1. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS.


73

Si: y (

(

(

Ejemplo1: 5)6x-(3xln y 2

56x-3x

1)-6(xy´ 6)-(6x.

56x-3x

1y´

22

a) Para realizar derivadas que tengan logaritmos es necesario que recuerde

sus propiedades.

y

xlogylog-xlog 2. xy logylogxlog .1 bbbbbb

01log. 4 x log m xlog. 3 bbm

b

x b 6. x blog 5.xlogx

bb

y xigualdadpor y log x log 7. bb

y xigualdadpor bb 8. yx

bln

ln xxlog 9. b

Ejemplo 2: Encontrar la derivada. 45

233

1)-(8x

)3x-(4.5)(2xln y

1. Exprese en términos de exponentes. 4/1

5

233

1)-(8x

)3x-.(45)(2xln y

2. Aplique propiedades.

1)-(8xln 5-)3x-(4ln 25)(2xln 34

1y 3

3. Diferencie o derive.

1-8x

40

3x-4

18x-

52x

6

4

1y´

1-8x

5(8)

3x-4

)2(-9x

5x2

3(2)

4

1y´

3

2

3

2

1-8x

20

3x-4

9x

52x

3

2

1y´

3

2


74

Ejemplo 3: Encuentre la derivada. 3x-1 ln

3x2y

x31ln

x31

3x23x31lnx312

y´ ; 3x-1ln

x31

3 . 3x23x-1ln . 2

ý22

x31lnx31

3x23x31lnx312ý

2

2. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES.

Si: y (

( (

EJEMPLOS

1. Encontrar la derivada. 35x-2x

2

e y

5)-(4x edx

dy 35x-2x2

2. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva ; en el

punto ( ⁄

(

(

( ⁄ ( ) ( (

))

( (

)

DERIVADA DE FUNCIONES DE BASE b

Para derivar funciones de base b, debe transformar la base b a base e,

para luego derivar.


75

Si y (

(

Como:

(

3. Derive: 85x3

4 y

Transformamos la función exponencial de base 4 a base e:

(

4. 10

52q

e . q100c

, representa el costo total de producir q unidades de un

producto. Encuentre la función de costo marginal.

10

2 .e . 100qe 100

dq

dcc

10

52q

10

52q

q5e 20 dq

dcc´ ; 20q100e

dq

dcc´

10

52q

10

52q

3. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.

La diferenciación implícita es una técnica para diferenciar funciones que

no están dadas de la forma usual y = f(x).

y = x2 + 3x -100 “EXPLÍCITA”

y2 + 3xy – 5x = 8 “ IMPLÍCITA”

Para la diferenciación implícita, tome en cuenta las recomendaciones del

texto guía de página 544. En la función implícita, y implícitamente esta en

función de x.

Ejemplo. Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva

10x52xy 3xy 3 , en el punto ( 1 , 1 )


76

Recuerde, la derivada evaluada en un punto le proporciona la pendiente

de la línea tangente a la curva en ese punto.

1. Igualamos a cero la expresión: 010x- 52xy 3xy 3

2. Diferenciamos:

0100dx

dy2x2y)

dx

dy3x(3y3y 23

3. Agrupamos los términos en dx

dy:

2y3y102x)(9xydx

dy 32

2x9xy

2y3y10

dx

dy2

3

4. Evaluamos la derivada en el punto para determinar la pendiente y

aplicamos la ecuación de rectas punto-pendiente.

11

5m ;

11

5

)1(2)1)(1(9

)1(2)1(310)1,1(

dx

dy2

3

11

6x

11

5y ; 1)-(x

11

51-y ; )xx(myy 11

4. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA.

Una técnica que simplifica la diferenciación de y = f(x); cuando f(x),

contiene productos, cocientes o potencias; es la técnica de diferenciación

logarítmica. Para explicación del método utilicemos un ejemplo.

Encontrar la derivada utilizando diferenciación logarítmica:

3 22

452

5)(x 3x

1)-(3x3)(x y


77

1. El método, inicia aplicando logaritmo natural a los dos lados de la

igualdad; y utilizamos las propiedades de logaritmos.

3 22

452

5)(x 3x

1)-(3x3)(x lnyln

2/32452 5)(x3xln - 1)-(3x3)(xln y ln

5)(xln

3

2(3x)ln 2- 1)-(3xln 43)ln(x 5 y ln 2

( ( (

(

2. Aplicamos reglas de derivación.

5)3(x

2(1)

3x

2(3)

13x

4(3)

3x

5(2x)

dx

dy.

y

12

y 5)3(x

2

x

2

13x

12

3x

10x

dx

dy.

2

3 22

452

25)(x 3x

1)-(3x3)(x

5)3(x

1

x

1

13x

6

3x

5x2

dx

dy

5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

La derivada de una función f(x) es f´(x) y es una función de x; si

realizamos la derivada, obtenemos la segunda derivada y así

sucesivamente. Ejemplo.

Sí, 10013x 12x-14x3x y 235 ; encontrar y´´´.

1324x-42x15xy´ 24

24-84x60xy´´ 3

84180x y´´´ 2

6. TRAZADO DE CURVAS


78

El estudio del comportamiento gráfico de las ecuaciones es importante en

las matemáticas; utilizado en varias áreas de aplicación práctica. Para la

comprensión del tema, se recomienda la revisión de la base teórica

expuesta en el texto guía.

Ejemplo1: Graficar: 2x10x2

11x2y 23

a) Intersecciones con los ejes. En el capítulo 3; gráficas en coordenadas

rectangulares, estudiamos estos conceptos, si tienes dudas revisa este

tratamiento.

a) Intersección con eje x: y = 0

2x10x2

11x20 23

Por los métodos conocidos no es posible encontrar la intersección con el

eje x.

b) Intersección con eje y: x = 0

) 2 , 0 ( ; 2y ; 2)0(10)0(2

11)0(2y 23

b) Simetría respecto a los ejes y al origen.

a) Simetría respecto al eje x: Sustituimos en la ecuación original y por –y;

si la ecuación resultante no cambia existe simetría al eje x (Sx).

Sx No 2x10x2

11x2y 23

b1) Simetría respecto al eje y. Sustituimos x por –x.

Sy No ; 2x10x2

11x2y ; 2)x(10)x(

2

11)x(2y 2323

b2) Simetría al origen. Sustituimos simultáneamente x por –x y y por –y.

So No 2x10x2

11x2y 23


79

c) Máximos y mínimos relativos. En este paso es fundamental que sus

conocimientos de derivación sean sólidos.

6.1 EXTREMOS RELATIVOS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Si, 0f´(x) para toda x en ( a , b), entonces f es creciente en (a , b) y

0f´(x) , para toda x en (a , b), entonces f es decreciente en (a , b).

) 2 3x ( ) 5-2x (ý

10x11x6y´ 2

Igualamos a cero cada uno de los factores:

3

2- ,

2

5 x; 023x ; 05x2 “puntos críticos”

A estos valores los ubicamos en la recta de los reales y formamos

intervalos. Evaluamos los intervalos en la primera derivada.

32 25

Intervalos: ),25( ; )25,32(- ; )32,-(-

)( ) (- )(y´(-1) )32,-(- creciente

- -) 0 y´( )25,32(- decreciente

y´(3) ),25( creciente

Del análisis de los intervalos y naturaleza creciente y decreciente de la

curva, concluimos que:

relativo Mínimo 25x

relativo Máximo 32-x


80

6.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.

d) Concavidad. Si f´´(x) > 0 para toda x en (a , b), entonces f es cóncava

hacia arriba en (a , b). Si f¨´(x) < 0, para toda x en (a , b), entonces f es

cóncava hacia abajo en (a , b).

11x12´ý

Encontramos puntos críticos, igualando a 0 la segunda derivada:

1211 x; 011x12 “Punto crítico “

1211

Intervalos: ) ,1211 ( ; ) 1211 ,(

)(11)0(12y´´(0) ) 1211 ,( Cóncava hacia abajo.

)(11-12(2)y´´(2) ) ,1211 ( Cóncava hacia arriba.

En este paso; determinamos los puntos de inflexión, que es el punto

donde cambia la concavidad: 1211x “Punto de inflexión”

e) Graficación. Con la información obtenida graficamos.

a) Ubique las intersecciones: ( 0 , 2 )

b) Utilizando una tabla de valores para ubicar máximos, mínimos

relativos y puntos de inflexión.

x - 2/3 2,50 11/12

y 5,63 -26,13 -10,25

c) Haga un análisis de intervalos, en lo que se refiere a naturaleza

creciente o decreciente de la curva y a la concavidad.


81

x

y

2x10x2

11x2y 23

63.5,32

13.26,25

25.10,1211

Ejemplo 2: Crecimiento de organizaciones para la salud. Con base en los

datos de la Group Health Association of America, el número de personas que

reciben atención en una Organización para la conservación de la Salud

desde el inicio de 1984 hasta 1994 es aproximado mediante la función:

11 t 0 ; 6524.15t8147.6t853.0t0514.0f(t) 23 donde f(t)

proporciona el número de personas, en millones, y t se mide en años, con

0t correspondiente al inicio de 1984.

a) Encuentre los máximos y mínimos relativos.

b) Encuentre los puntos de inflexión.

c) ¿En qué momento del intervalo dado aumentaba con más rapidez la

cantidad de personas atendidas en una organización de este tipo?

a) Máximos y mínimos relativos

0f´(t) ; 6.81471.706t-0.1542tf´(t) 2

08147.6t706.1t1542.0 2

1542.02

6.8147 0.1542 4706.11.706- -t

2

0.3084

.1.29-1.706t

No existen máximos ni mínimos relativos.

b) Concavidad.


82

0f´´(t) ; 1.706-0.3084tf´´(t)

5.530.30841.706 t ; 0706.1t3084.0

53.5

abajo" hacia Cóncava" 706.1706.103084.0)0´´(f

arriba" hacia Cóncava" 14.0706.163084.0)6´´(f

inflexión" de Punto" 5.53t

c) 11 , 5.53

d) Grafico

x 5,53 -1 0 1 6 7

y 35,9446 7,9333 15,6524 21,6655 36,935 39,1885


83

6.3 PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA.

Para encontrar máximos y mínimos relativos, no es necesario realizar

todo el proceso estudiado anteriormente, basta con evaluar los puntos

críticos obtenidos de la derivación igualada a cero. Si el resultado

obtenido es positivo, se tiene un mínimo; caso contrario es un máximo.

Ejemplo: Para ( . Determine los máximos y

mínimos relativos.

( (

“Puntos críticos”

( ( “Mínimo relativo”

(

) (

) “M ximo relativo”

7. APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

En muchas aplicaciones de la vida real hay que hallar el valor máximo o

mínimo absoluto de una función dada; por ejemplo, un gerente está

interesado en el nivel de producción que rinda la máxima ganancia para

una compañía; un agricultor, la cantidad correcta de fertilizante para

minimizar el costo de la cosecha.

Para resolver estas preguntas; se debe expresar la cantidad que se desea

maximizar o minimizar como función de alguna variable contenida en el

problema. Luego realizamos las pruebas de la primera y segunda

derivada para determinar si es un máximo o un mínimo absoluto.

Estudia los ejercicios resueltos del texto base y las recomendaciones de

página 600 para la solución de problemas de aplicación; además de los

ejercicios de la guía de estudios.

Es necesario que recuerde y domine algunos conceptos importantes como:

Costo total: c = Cv + CF


84

Ingreso total: r = p.q

Utilidad: P = r – c

Costo promedio: q/cc

Utilicemos ejemplos para explicar el método de cálculo.

1. Utilidad. Los costos totales fijos de la empresa XYZ son de $1.200, los

costos combinados de material y mano de obra son de $2 por unidad y la

ecuación de demanda es: q

100p

¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? ¿Cuál es el precio

cuando la utilidad es máxima?

a) Ponga atención; se le pide maximizar la utilidad. Debe plantear una

ecuación de utilidad.

P = r – c

b) Realiza la derivada de la función de utilidad e igualamos a cero.

625q 0q

q2-50 2

q

50

dq

dP

c) Para el valor encontrado de q (punto crítico), encontramos la segunda

derivada para verificar si se trata de un máximo o un mínimo.

0016,0)625(25)625q(dq

Pd q25

dq

Pd 2/3

2

2

2/3

2

2

absoluto" Máximo" 0dq

Pd2

2

d) Contestemos el resto del problema.

12002q c 100.qr .qq

100r 1/2

2-q.50dq

dP 1200-2q-100.qP 1/2-1/2


85

Ejemplo 2. Administración. Un club local está organizando un vuelo a

Hawai. El costo del vuelo es de $425 por persona para 75 pasajeros, con

un descuento de $5 por pasajero en exceso de 75.

a) Encuentre el número de pasajeros que maximizará el ingreso obtenido

del vuelo.

b) Encuentre el ingreso máximo.

a) La pregunta es maximizar el ingreso obtenido por el vuelo.

Ingreso (R) = (número de personas)(costo por persona)

x = número de personas.

b) Encontramos la primera derivada e igualamos a cero.

c) Comprobamos con la segunda derivada.

d) Respondemos la segunda pregunta.

3. Utilidad. Un fabricante vende sacos de alta calidad a una cadena de

tiendas. La ecuación de la demanda para esos sacos es q50400p ,

donde p es el precio de venta (en dólares por saco) y q la demanda (en

miles de sacos). Si la función de costo marginal del fabricante está dada

por 5q

800

dq

dc

, demuestre que existe una utilidad máxima y determine el

número de sacos que deben venderse para obtener esta utilidad máxima.

Recuerda: La utilidad máxima ocurre cuando el ingreso marginal es igual

costo marginal dq

dc

dq

dr

4$25

100p

31.87550x5x- R 5x)-x)(425(75R 2

5 x 05010x- 50x10dq

dR

absoluto" Máximo" 0 5dx

Rd2

2

$33.6005)*5-5)(425(75R


86

a) Encuentra el ingreso y el ingreso marginal.

q100400dq

dr ; 50q-400qr ; 50q).q-(400r ; pqr 2

b) Iguala ingreso marginal con el costo marginal.

8005)q)(q-100(4 ; 5q

800q100400

3q , -4q ; 03)-4)(q(q ; 012qq2

Deben venderse 3000 sacos para obtener la utilidad máxima.


87


Estudia el texto guía; página 528 a 611

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.

1.1 ( ( )

1.2. Si x

3

dx

dyy´ ; xlogy

3 ( )

1.3 La expresión; ; x5ylnxyy 2 está en forma implícita y define a y como una

función diferenciable de x. ( )

1.4. Sí; 53x5x3 2y´ , 2y ( )

1.5. ylogxlogn)y

xlog( n ( )

1.6. Si al evaluar la primera derivada en un intervalo ( a , b), el resultado es un número real positivo; significa que ese intervalo la curva es decreciente. ( ) 1.7. Si f´(x) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por xo (punto crítico), entonces f tiene un mínimo relativo cuando x = xo. ( ) 1.8. Si al evaluar la segunda derivada en un intervalo ( a , b), el resultado es un número real negativo; significa que en ese intervalo la curva es cóncava hacia abajo. ( ) 1.8 Para maximizar o minimizar una función cualquiera, es suficiente con encontrar los puntos críticos obtenidos al igualar a cero la primera derivada. ( ) 1.9 La utilidad máxima, se produce cuando el costo marginal es igual al ingreso marginal. ( )

AUTO EVALUACIÓN


88

Le felicito, se encuentra en la segunda parte de su estudio, ya recibió las calificaciones de su primera evaluación; sí su calificación es buena, persevere lo está haciendo correctamente. Sí sus calificaciones no son buenas, consulte con su tutor, sobre sus errores, para que rectifique. Continúe, no desmaye, siga. Conoce el proceso de estudio, tenga presente siempre, que tiene la ayuda de tutoría.

CONSOLIDACIÓN

Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un


Como un refuerzo en tu conocimiento, realiza el ejercicio siguiente:

1. Administración. La función de demanda para q unidades de un producto es

qln10100p , 20000q1 ; donde m6q y m es el número de empleados

que producen el producto.

(a) Encuentre la función de ingreso. (b) Encuentre la función de ingreso

marginal. (c) Evalúe e interprete el producto de ingreso marginal cuando q =

20 empleados.

1. Administración. Una cadena nacional ha encontrado que la publicidad

genera ventas, pero que demasiada publicidad de un producto tiende a alejar

a los consumidores, de manera que las ventas se reducen. Con base a

experiencias pasadas.

La cadena espera que el número N(x) de cámaras vendidas durante una

semana se relaciona con la cantidad gastada en publicidad por medio de la

función: ; donde x, es la cantidad

gastada en publicidad en decenas de miles de dólares.

a) Realiza el gráfico que describa la situación.

b) Como un futuro Administrador, emite un criterio técnico, en lo que se

refiere a la inversión de publicidad.

5x0 20x20x5x20.0)x(N 234


89

2. Administración. En la planeación de un pequeño restaurante, se estima que

se tendrá una ganancia de $5 por asiento si el número de éstos es entre 60 y

80 inclusive. Por otra parte, la ganancia en cada asiento disminuirá en 5ctvs.

por cada asiento en exceso de 80.

a) Encuentre el número de asientos que producirá la ganancia máxima.

b) ¿Cuál es la ganancia máxima?

3. Ingreso máximo. Un restaurante especializado en carnes determina que al

precio de $5 por platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por

noche, mientras que si lo vende a $7 el número de clientes bajará a 100.

Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal. Encuentre el

precio que maximiza el ingreso


90

UNIDAD V

INTEGRACIÓN

Competencias: Resuelve problemas de área entre curvas, excedente de

productores y consumidores en la Economía y Administración, utilizando la

integración con iniciativa y precisión.

Contenido:

1. Integración

1.1 Diferenciales

1.2 Integral indefinida

1.3 Reglas de integración

1.4 Integración por método de sustitución

1.5 Integración con división previa

1.6 Integración con condiciones iniciales

2. Integral definida

2.1 Cálculo de Áreas

2.2 Excedente de productores y consumidores

3. Integración por partes

4. Integración por fracciones parciales




Capítulo 10: Diferenciación

1. INTEGRACIÓN.

1.1 DIFERENCIALES

Definición.- Sea ( una función diferenciable en x y sea un cambio

en x, donde puede ser cualquier número real. Entonces, la diferencial de

y, que se denota por dy o d(f(x)) está dado por:

(


91

Ejemplo 1: Encuentre el diferencial dy para (

cuando

(

(

( ( ( (

Si y aplicamos diferenciales tenemos:

(

De acuerdo a esta conclusión tenemos que: ( que es la

expresión del diferencial que utilizaremos de aquí en adelante.

Ejemplo 2: Si ( √ . Encuentre el diferencial dy.

(

√

Por medio de diferenciales podemos estimar el valor de una función,

para lo cual hagamos el siguiente análisis.


92

.

.

x

y

dy

y=f(x)

y

x x+dx

f(x+dx)

f(x)

f(x+

dx

)-f(

x)

P

Q

Si por el punto ( ( , pasa una línea tangente y damos un

incremento a x, ; tendremos el punto ( ( , entonces la

variación en y está dado por: ( ( .

Pero si , entonces y son prácticamente iguales, por lo que:

( (

( ( ( (

( ( ( “Fórmula para estimar el valor de una función”

Ejemplo3: Un centro de salud del gobierno examinó las historias clínicas

de un grupo de individuos que fueron hospitalizados por una enfermedad

particular. Se encontró que la proporción total P que fue dada de alta al

final de t días está dada por:

( (

)

a) Use diferenciales para estimar el cambio de a

(

(

)

( (

( )


93

(

( (

b) Determine el cambio verdadero de P (

( (

[ (

)

] [ (

)

]

Ejemplo 4: Use diferenciales para estimar el valor de √

Asumimos como ( √

( ( ( ( (

(

( (

( √

(

(

Ejemplo 5: La ecuación de demanda para un producto es

√ . Por medio

de diferenciales estime el precio cuando se demandan 24 unidades.

( ( (

( (

(

√ (

(


94

(

1.2 INTEGRAL INDEFINIDA.

En los temas anteriores ha estudiado la derivación, ahora vamos a tratar

el proceso inverso que se denomina integración; esto es, dada una

derivada se debe encontrar la función original.

Cuando conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la

función original recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si

la derivada de una función es 2x3 , sabemos que la función podría ser

3x)x(f porque 23

x3dx

)x(d . Pero, la función también podría ser

10x)x(f 3 porque 23

x3dx

)10x(d

. Es evidente que cualquier función de

la forma Cx)x(f 3 , donde C es una constante arbitraria, tendrá 2x3)x´(f como su derivada.

La función resultante del proceso de integración se conoce como integral

indefinida. Podemos expresar la integral indefinida de una función f(x);

como dx)x(f . Por consiguiente, escribimos dxx3 2 para indicar la

antiderivada general de la función f(x)=3x2. La expresión se lee se lee

como: “la integral de 3x2 respecto a x”. En este caso 3x

2 se llama

integrando. El signo de integral, , indica el proceso de integración y la

dx indica que se toma la integral respecto a x; entonces:

Cxdxx3 32

1.3 REGLAS DE INTEGRACIÓN

Como en el caso de derivación, en la integración es necesario que conozca

y domine sus reglas.

Cxlnx

dx .4

Cedxe .3

C1n

xkkx .2

Ckxkdx .1

xx

1nn


95

Ejemplos.

1. Cx5dx5

2. Cx6

7C

15

x7dxx7 6

155

3. dx )100x9x

3

5

x 89x (

5 2

4 33

dx)100x9x3x5

8x9( 5/24/33 ; aplique las reglas.

Cx1002

x9

5/3

x3

4/7

x.

5

8

4

x9

25/34/74

Cx100x2

9x5x

35

32x

4

9 25/34/74

1.4 INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Cuando no es posible aplicar directamente las reglas de integración,

como en todo proceso matemático, se realiza una sustitución. Ejemplos:

1. dx)5x3.(x2 62

Como no puedes aplicar directamente las reglas de integración;

recurra a la sustitución.

6

duxdx

C)5x3(21

1 xdx6du

C7

u.

6

2)

6

du(u2 5x3u

72

762

Proceso: Determine 5x3u 2 , calcule el diferencial xdx6du .

Sustituya: es preferible que las constantes salgan de la integral

xdx.u2 6 , le queda por sustituir xdx , que lo encuentra en el diferencial,


96

despeja 6

duxdx , tiene )

6

du(u2 6 Con las reglas conocidas ya puede

integrar.

2. dx 5x2x2

1x33

2

2

dudx ) 1-3x (

dx)1x3(2du

C 5x2x2 ln dx)2x6(du

C u ln2

1

u

(du/2) 5x2x2u

2

2

32

3

3.

dx

2x6x

x4x

23

2

Transforma el radical en exponente dx )2x6x(

x4x2/123

2

dx)2x6x)(x4x( 2/1232

3

dudx)x4x(

dx)x4x(3du

C) 2x6x(3

2 dx)x12x3(du

C2/1

u.

3

1)

3

du(u 2x6xu

2

2

1/2232

2/11/2-23

1.5 INTEGRACIÓN CON DIVISIÓN PREVIA

Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del

denominador, utilice la división previa, que facilita el proceso de

integración. Ejemplo.

dx x2x

1x7x4x2x2

234


97

1x7x4x2x 234 x2x2

4x2 34 x2x

x8x4 2

1x

x2x

1x)4x(

D

RC

2

2

dx)

x2x

1x4x(

2

2

dx x2x

1xx4

3

x2

3

2

dudx)1x(

dx)1x(2du

C x2x ln2

1 dx)2x2(du

Cu ln2

1

u

(du/2) x2xu

2

2

C2x xln2

1x4

3

x 23

1.6 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES

El objetivo es encontrar el valor de la constante C, luego que se ha

encontrado la integral. Ésta se puede determinar para valores en

particular, que son las condiciones iniciales. Ejemplos:

1. Encuentre y para las condiciones dadas: 3y(0) 2y´(1) ; 5x2´ý

C5xxy´ ; dx)5x2(y 2

4-5xxy¨ ; -4C ; C)1(5)1(2 22

Cx4x2

5

3

xy ; dx)4x5x(y 2

32


98

3x4x2

5

3

xy ; 3C ; C)0(4)0(

2

5

3

)0(3 2

32

3

2. Si 5q034.0q000102.0dq

dc 2 es una función de costo marginal y el

costo fijo de $10000. Encuentre el costo total para q = 100.

Kq5q017.0q000034.0c ; dq)5q034.0q000102.0(dc 232

10000q5q017.0q000034.0c 23

1036410000)100(5)100(017.0)100(000034.0)100(c 23

2. LA INTEGRAL DEFINIDA.

Teorema fundamental del cálculo integral. Si f es continua en el

intervalo b , a y F es cualquier antiderivada de f en el intervalo,

entonces:

b

a)a(F)b(Fdx)x(f

Ejemplos:

1. 1

0

332 dx)1x(x2

3

dudxx

) 1-x(6

1 dx 3xdu

u6

1

4

u

3

2)

3

du(u2 1-xu

2

432

44

33

6

11)-(0

6

11)-(1

6

1 4343

2. Demografía. Para cierta población, suponga que s es una función tal

que s(x) es el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier

año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo


99

condiciones apropiadas, la integral nx

xdt)t(s da el número esperado

de gente en la población que tiene entre exactamente x y x + n años,

inclusive. Si x10010000)x(s , determine el número de personas

que tienen exactamente entre 36 y 64 años, inclusive. Dé su respuesta

al entero más cercano, ya que una respuesta fraccionaria no tiene

sentido.

64

36dx x10010000

dudx

)x100(3

20000 dxdu

3/2

u-10000(-du)u10000 x100u

2/3

3/21/2

2/32/3 )36100(

3

20000)64100(

3

20000

197333333,34133331440000

2.1 CÁLCULO DE ÁREAS

Una de las aplicaciones del teorema fundamental del cálculo integral, es

encontrar el área bajo una curva. Para determinar áreas es conveniente

hacer un esbozo de la región implicada.


100

Para encontrar el área en el intervalo b , a bajo la curva, se debe

realizar la sumatoria de todas las áreas de los rectángulos o sea b

a

)x(f.x

; si la sumatoria llevamos al límite entonces tenemos: b

adx)x(f .

En general para el área bajo una curva tendríamos: b

ainfsup dx)yy( . En

palabras, cuando trabajamos con elementos verticales x , tenemos la

diferencia entre la curva superior y la curva inferior. Ejemplos.

1. Encontrar el área limitada por las curvas: 2x9y y 0y

Utilice la fórmula: b

ainfsup dx)yy(A

Encuentre los límites a y b, o sea la intersección de las 2 curvas; que

los obtiene igualando las ecuaciones.

3 x; 0x9 2

dx )0()x9(A3

3

2


101

2333

u 363

)3()3(9()

3

)3()3(9(

3

xx9A

2. Encuentre el área limitada por las curvas 1xy 2 y 3xy

-1 x, 2 x; 01)2)(x-(x ; 02-x- x; 3x1x 22

2

1

22

1-

2 2)dxx-(x dx )1x()3x( A


102

))1(2

3

)1(

2

)1(())2(2

3

(2)

2

(2) (x2

3

x

2

xA

323232

2u2

92

3

1

2

14

3

82A

Cuando y no esta definida como en el caso de la ecuación 5yx 2 ; para

facilitar el cálculo de áreas es conveniente utilizar elementos horizontales

y , entonces:

2y

1ydy )xizqxder(A

Ejemplo: Encontrar el área limitada por las curvas x2y2 y 4xy .

Expresa las ecuaciones de 4-y x; y-2 x; )y(fx 2

2y , -3y ; 02)-3)(y(y ; 06-yy ; y24y 22

dy y-y-6dy 4yy2 A2

3-

22

3

2

3

)3(

2

)3()3(6

3

)2(

2

)2()2(6

3

y

2

y-6yA

323232


103

2u 6

1259

2

918

3

8212A

2.2 EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y DE PRODUCTORES

El cálculo de áreas tiene su aplicación en la economía. Sea )g(fp una

curva de demanda y )q(gp una curva de oferta. El punto oo p , q en las

que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio. Donde op es el

precio por unidad al que los consumidores comprarán la misma cantidad

oq de un producto que los productores desean vender a ese precio.

El área EC es el excedente de consumidores y representa la ganancia

total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio

de equilibrio.

dqp)q(fECoq

0

o

El área EP es el excedente de productores y representa el beneficio de

los productores ya que están dispuestos a suministrar el producto a

precios menores que po.


104

dq)q(gpEPoq

0

o

Ejemplo: La ecuación de demanda para un producto es:

80010q20p y la ecuación de oferta es: 030p2q

a. Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando

20p y 10q

2010q

800)q(fp

“demanda”

2

30q)q(gp

“oferta”

10q30q10q20-8002 ; 2

30q20

10q

800

-90q , 10q ; 010q90q ; 0900q80q2

20p ; 2

3010p

b. Determine el excedente de los consumidores y productores bajo el

equilibrio de mercado.

dq4010q

800 dq2020

10q

800 EC

10

0

10

0

52.154)10ln(800)10(40)20ln(800q40qln800EC 100

10

0

210

0

q302

q

2

1q20dq

2

30q20EP

254

10)10(5

4

qq5EP

210

0

2

3. INTEGRACIÓN POR PARTES.

Muchas integrales no pueden encontrarse por los métodos analizados, sin

embargo, hay maneras de cambiar ciertas integrales a formas más fáciles


105

de integrar, como es el caso de la integración por partes. La fórmula de

integración partes es:

vduuvudv

Cuando use la fórmula de integración por partes, algunas veces la

“mejor selección” de u y dv puede no ser obvia. En algunos casos una

selección puede ser tan buena como la otra; en otros, sólo una selección

puede ser adecuada. La habilidad para ser una buena selección si existe

se adquiere con la práctica y, desde luego, con el procedimiento de

ensayo y error. Ejemplos.

Como una ayuda para la integración considera las formulas siguientes:

Ceb

1dxe abx ln

b

1

abx

dx

Cedxe a xlnax

dx

Cedxe C x lnx

dx

abxabx

axax

xx

1. dy.ylny3

4

ydyyv

y

dydu

dyydv ylnu

43

3

C)4

1y(lny

4

1Cy

16

1yln.y

4

1

y

dy.

4

yyln.

4

y 44444

2. dxxe4 x2

x2

2x

e2

1 v 4dx du

.dxedv x4u

Ce.2

1.

2

4e.x2dx4.e

2

1e

2

1.x4 x2x2x2x2


106

C)1x2(eCee.x2 x2x2x2

4. INTEGRACIÓN POR MEDIO DE FRACCIONES PARCIALES

Para utilizar el método de fracciones parciales, el grado del numerador

debe ser menor que el grado del denominador. Caso contrario se debe

proceder a una división previa. Para el conocer el método utilicemos un

ejemplo:

dx

x3x2x

6x14x423

2

Expresa el denominador como factores.

)1x)(3x(x

6x14x4

)3x2x(x

6x14x4 2

2

2

El denominador consiste sólo en factores lineales distintos, que podemos

expresarlo como fracciones parciales.

1x

C

3x

B

x

A

)1x)(3x(x

6x14x4 2

El objetivo es encontrar los valores de las constantes A, B y C.

Resolvemos la igualdad.

)1x)(3x(x

)3x(Cx)1x(Bx)1x)(3x(A

)1x)(3x(x

6x14x4 2

Agrupamos los términos de acuerdo al grado de x.

Cx3CxBxBxA3Ax2Ax6x14x4 2222

)A3()C3BA2(x)CBA(x6x14x4 22

Establece un sistema de ecuaciones, para que la identidad sea verdadera.


107

6A3

143C-B2A-

4CBA

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene A, B y C.

Otro método para encontrar A, B y C; es igualar a cero los

denominadores de las fracciones parciales.

Para 0x

)A3()C3BA2)(0()CBA()0(6)0(14)0(4 22

2A ; A36

Para 3x

A3)C3BA2)(3()CBA()3(6)3(14)3(4 22

A3C9B3A6C9B9A912

-1B ; B1212

Para 1x

A3)C3BA2)(1()CBA()1(6)1(14)1(4 22

3C ; 4C12 ; A3C3BA2CBA12

dx ) 1x

3

3x

1

x

2 (

C 1 xln3 3- xln x 2ln

Consideraciones del denominador y la asignación de constantes.

1. Factores lineales distintos.

5x

C

1x

B

x

A

)5x)(1x(x


108

2. Factores lineales repetidos

323 )1x(

D

)1x(

C

1x

B

x

A

)1x(x

3. Factores cuadráticos e irreducibles

1x

CBx

5x

A

)1x)(5x( 22

4. Factores cuadráticos repetidos e irreducibles

22222 )1x(

EDx

)1x(

CBx

5x

A

)1x)(5x(

Ejemplo:

22

23

)3x)(1x(

2x9x8x

2222

23

)3x(

D

3x

C

1x

BAx

)3x)(1x(

2x9x8x

22

222

22

23

)3x)(1x(

)1x(D)1x)(3x(C)3x)(BAx(

)3x)(1x(

2x9x8x

)DC3B9()CB6A9(x)DC3BA6(x)CA(x2x9x8x 2323

(4) 2DC3B9

(3) 9CB6A9

(2) 8DC3BA6

(1) 1CA

)DC3B9()CB6A9(3)DC3BA6(3)CA(323*93*83 2323

DC3B9C3A18A27D9C27B9A54C27A2720

2D ; 10D20


109

D en (2): (4) 63C-B6A-

(5) 2717C-27A-

3618C-6B36A- (4)x(6)

-9C6B-9A (3)

De (1): (6) A1C

(6) en (5): -1A ; 1010A- ; 27)A1(17A27

En (6): 0C ; 0(-1)-1C

En (3): 0B ; 06B- ; 90B6)1(9

=

dx3x

2

1x

x-22

Utiliza el método de sustitución y comprueba la respuesta.

C3x21xln12


Estudia el texto guía; página 685 a 721

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón. 1.1 Cuando conocemos la derivada de una función, al proceso de encontrar la función original

se denomina antidiferenciación o integración. ( )

1.2 Cedxe x3x3 ( )

1.3 dqp)q(fECoq

0

o es el excedente de productores y representa el beneficio de los

productores están dispuestos a vender el producto a precios menores al precio de equilibrio.


110

( ) 1.4 Para el cálculo de un área entre dos funciones y y no esta en función de x, se utiliza la

fórmula:

dyxxA2

1

y

y

IZQDER ( )

AUTO EVALUACIÓN ¿Cómo se siente?. Déjeme opinar, estoy seguro que muy bien, ha logrado vencer el curso de Matemática Básica 2 con éxito. Su auto evaluación constante, ha sido, una buena práctica. FELICITACIONES……


111

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Segundo trabajo a entregar)

UNIDAD IV

a) En ejercicios 12.1 de páginas 533-534, problemas 21, 42, 50 b) En ejercicios 12.2 de páginas 537-538, problemas 26, 36, 43 c) En ejercicios 12.4 de páginas 548-549, problemas 24, 29 d) En ejercicios 12.5 de páginas 552-553, problemas 11, 21, 27 e) En ejercicios 12.7 de página 560, problema 18 f) En ejercicios 13.1 de páginas 576-578, problemas 27, 61, 71 g) En ejercicios 13.3 de páginas 586-587, problemas 27, 60 h) En ejercicios 13.4 de página 589, problema 12 i) En ejercicios 13.6 de páginas 607-611, problemas 3, 11, 19, 23

UNIDAD V

a) En ejercicios 14.1 de páginas 622-623, problemas 9, 38 b) En ejercicios 14.2 de páginas 628-629, problemas 20, 37, 46, 49 c) En ejercicios 14.3 de página 633, problema 7, 11, 16 d) En ejercicios 14.4 de páginas 639-640, problemas 15, 39, 59, 82 e) En ejercicios 14.7 de páginas 657-658, problemas 28, 33, 40 f) En ejercicios 14.9 de páginas 667-668, problemas 13, 23, 34 g) En ejercicios 14.10 de páginas 673-675, problemas 4, 12, 18, 25 h) En ejercicios 14.11 de páginas 677- 678, problemas 3, 7


112

RESPUESTAS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y

CONSOLIDACIÓN

PRIMERA PARTE

UNIDAD I


1.1 (F) Para que sea una matriz diagonal debe ser cuadrada, donde el

número de filas es igual al número de columnas.

1.2 (F) La suma o resta de matrices solo está definida para matrices del

mismo orden.

1.3 (V)

1.4 (F) La diagonal principal son 1 y el resto de entradas cero.

1.5 (V)

CONSOLIDACIÓN

(a) Esquema y asignación de variables.

Proveedor 1

(75)

Wooster

(75)

Canoga

(40)

Proveedor 2

(75)

1x 2x

3x 4x

70$ 90$

80$120$

(b) Sistema de ecuaciones.

{


113

(c) Solución por el método de reducción.

1 1 0 0 75

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

1 0 1 0 40

70 90 80 120 10750

1 1 0 0 75

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

.-R1+R4 0 -1 1 0 -35

.-70R1+R5 0 20 80 120 5500

1 1 0 0 75

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

.-R2+R4 0 -1 0 -1 -75

.-80R1+R5 0 0 0 40 2300

.-R3+R1 1 0 0 -1 0

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

R3+R4 0 0 0 0 0

.-20R3+R5 0 0 0 20 800

R5+R3 1 0 0 0 40

.-R5+R2 0 0 1 0 0

.-R5+R3 0 1 0 0 35

0 0 0 0 0

1/20 R5 0 0 0 1 40

Solución:

UNIDAD II

1.1 (F). La solución se encuentra en y bajo la recta.


114

1.2 (F). La solución es un conjunto de valores, representados por una

región.

1.3 (V)

1.4 (V)

1.5 (F). No porque existe un infinito número de puntos que maximizan la

función objetivo.

CONSOLIDACIÓN

a) De la lectura y comprensión del ejercicio; se trata minimizar el costo de

trasporte de los televisores; de los lugares I y II a las ciudades A y B.

Resumamos la información como sigue:

Lugar I (6000)

Lugar II (5000)

Ciudad A(3000) Ciudad B (4000)

xy

3000-x4000-y

Sea x el número de televisores del lugar I hacia A y x3000 del lugar II

hacia A.

Sea y el número de televisores del lugar I hacia B y y4000 del lugar II

hacia B.

b) Planteamos la función objetivo. El costo de transporte está dado por el

costo unitario de transporte por el número de unidades enviadas.

320003y--xC ; )y4000(5)x3000(4y2x3C

c) Restricciones: La cantidad máxima de televisores que se pueden enviar

de los lugares I y II son 6000 y 5000 respectivamente

2000yx ; 5000)y4000()x3000(

6000yx

d) Condiciones de no negatividad: Las cantidades no pueden ser

negativas.


115

4000y 0y-4000 ; 3000 x0x-3000 ; 0y,x

e) Planteamos el problema de programación lineal.

0y x,

4000y

3000 x

2000yx

6000yx

a. Sujeto

320003y--x C :Minimizar

f) Utilizamos el conocimiento de programación por el método grafico

para solucionar.

g) Encontramos región factible y vértices.

0) (2000, 2000) , (0 x2000y

0) , (6000 6000) , (0 x6000y

0) , 3000 F( 4000) , C(0 2000) , 0 B( 0) , (2000A :Vértices

4000) , D(2000 ; 2000 x; 4000x-6000 :D Vértice

) 3000 , 3000 ( E 30003000-6000y :E Vértice


116

h) Minimizar función objetivo.

Vértice C= -x -3y +32000

A ( 2000 , 0 ) 30000

B ( 0 , 2000 ) 26000

C ( 0 , 4000 ) 20000

D ( 2000 , 4000 ) 18000

E ( 3000 , 3000 ) 20000

F ( 3000 , 0 ) 29000

Solución: C = $18.000

LUGAR A B

I 2000 4000

II 1000 0

UNIDAD III



117

1.1 (V)

1.2 (F). Si se obtiene el resultado en la forma 0/0, significa que debes

realizar manipulación algebraica o factorar.

1.3 (F). Es igual a 80, porque el límite de una constante es la misma

constante.

1.4 (V)

1.5 (F) El método se fundamenta en encontrar todos los valores para los

cuales la función es cero o no existe.

1.6 (V)

1.7 (F). 0)´(´ dx

dyxfy

1.8 (F). dx

dy, significa la razón de cambio de y respecto al cambio de x.

1.9 (F)- Se denomina la regla de la cadena.

1.10 (F). Si )x(g).x(fy , la derivada )x´(g).x(f)x(g).x´(fy

CONSOLIDACIÓN

(a) (

(b)

(c)


118

t

t9

79)t(P

)t(P

(d) Conclusión: a partir del mes 9 los conejos se reproducen

indefinidamente, para frenar ese crecimiento, para que no solo existan

conejos hay que comerlos.

1. Administración.

a) Encuentra la función de ganancia.

b) ¿Cuál es la ganancia de vender 10, 20, 30 y 50 carteras?

c) Encuentre la función de ganancia marginal.

d) ¿Cuál es la ganancia marginal de vender 10, 20, 30 y 50 carteras?

)40q5q1,0()q2x201()q(C)q(R)q(P 23/1

40q3q1,0q201)q(P 23/1

04,35340)10(3)10(1,0)10(201)10(P 23/1

60,40540)20(3)20(1,0)20(201)20(P 23/1

55,40440)30(3)30(1,0)30(201)30(P 23/1

49,30040)50(3)50(1,0)50(201)50(P 23/1

3q2,0q67dq

dP ; 3q2,0q

3

201

dq

dP 3/23/2


119

e) ¿Cuál es la relación entre sus respuestas de los incisos b) y d)?

Para el valor de el análisis; q = 20 carteras; se produce la ganancia

máxima y para q = 30 comienza a disminuir. El costo marginal para esos

valores refleja esa situación, el valor negativo no significa que se tiene

pérdida, sino que la ganancia disminuye; pero igual se tiene ganancia.

2. Publicidad y ventas.

Le piden determinar la razón de cambio de la venta diaria respecto al

número de semanas; recuerde la derivada es una razón de cambio.

32

32

21

2

3t

36

3t

3

dt

ds ; 3t363t3

dt

ds

3t183t31S ; 3t

18

3t

31S

254,21000x002254,038

36

38

38t

dt

ds

32

1365,11000x001365,0310

36

310

310t

dt

ds

32

La campaña publicitaria no debe continuar a partir de la décima

semana pues las ventas van disminuir.

43,93)10(2,0)10(67)10(dq

dP 3/2

09,23)20(2,0)20(67)20(dq

dP 3/2

06,23)30(2,0)30(67)30(dq

dP 3/2

06,83)50(2,0)50(67)50(dq

dP 3/2


120

SEGUNDA PARTE

UNIDAD IV

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

1.1 (F). Si ylogxlog)y.xlog(

1.2 (F). Si xlogy 3 . Para derivar previamente transforma en logaritmos

naturales. 3ln

xlny , la derivada,

x.3ln

1

x

1.

3ln

1ý

1.3 (V)

1.4 (F). Si 5x32y . Transforma a base e, 2ln)5x3(ey . La derivada,

53x2ln)5x3(2ln)5x3( 2 2)ln3(e.2ln3)3(2lne.y

1.5 (V)

1.6 ( F ). Si al evaluar la primera derivada en un intervalo (a , b ), el

resultado es positivo; la curva es creciente en ese intervalo.

1.7 ( V )

1.8 ( V )

1.9 ( F ). Para maximizar o minimizar una función cualquiera, se iguala a

cero la primera derivada, obteniéndose puntos críticos que pueden

ser máximos o mínimos, lo que se comprueba al evaluar esos valores

en la segunda derivada. Si el resultado es positivo es un mínimo; y si es

negativo es un máximo.

1.10 ( V )

CONSOLIDACIÓN

1) Administración.

qln10100p “oferta” m6q “unidades producidas”

Se pide determinar el producto de ingreso marginal: dm

dq.

dq

dr

dq

dr


121

10q.lnq-100qr ; 10lnq).q-(100r ; q.pr

qln1090dq

dr ; )

q

1.q10qln10(100

dq

dr

13,42)120ln(1090)120q(dq

dr ; 120)20(6q

78,252)6)(13,42(dm

dr ; 6

dm

dq

Representa el ingreso adicional por emplear al trabajador 21 en la

producción.

1. Administración: 20x20x5x20,0)x(Ny 234

a) Realiza el gráfico que describa la situación.

1. Intersección con los ejes.

1.1 Intersección con el eje x. y = 0

020x20x5x20,0 234

No podemos encontrar las intersecciones algebraicamente, utilizamos

un método aproximado, que consiste en calcular los valores

funcionales, si cambia de signo, es un intervalo donde existe una

intersección con el eje x.

x N(x)

0 20

1 35,2

2 63,2

3 81,2

4 71,2

5 20

No existe cambio de signo entre 0 y 5; no hay intersección con el eje x en

el intervalo.

1.2 Intersección con el eje y. x = 0


122

(0,20) ; 20)0N( ; 20)0(20)0(5)0(20,0)0(N 234

2. Simetría respecto a los ejes y al origen.

2.1 Simetría respecto al eje x. Cambiamos y por –y.

Sx No ; 20x20x5x20,0y 234

2.2 Simetría respecto al eje y. Cambiamos x por –x.

20)x(20)x(5)x(20,0y 234

Sy No ; 20x20x5x20,0y 234

2.3 Simetría respecto al origen. Cambiamos x por –x; y; y por –y.

So No ; 20x20x5x20,0y 234

3. Máximos y mínimos relativos.

0N´(x) ; x40x15x80.0)x´(Ny 23

04015x-0,80x ; 0 x; 0)40x15x80,0(x 22

1,60

9715x ;

)80,0(2

)40)(80,0(42)15(15x

22,31,60

97-15 x; 53,15

60,1

9715x

21

0 522.3

)(40(1)15(1)-0,80(1)N´(1) ) 3.22 ,0 ( 23 creciente

)(40(4)15(4)-0,80(4)N´(4) ) 5 , 3.22 ( 23 decreciente

22.3x Máximo relativo.

5. Concavidad.


123

0N´´(x) ; 40x30x40,2)x´´(N´ý 2

80,4

51630

)40,2(2

)40)(40,2(42)30(30 x; 040x30x40,2 2

53,14,80

516-30 x; 98,10

80,4

51630x

21

0 553.1

)(4030(1)-2,40(1)2N´´(1) ) 1.53 ,0 ( Conc. hacia arriba

)(4030(2)-2,40(2)2N´´(2) ) 5 , 53.1( Conc. hacia abajo

53.1 x Punto de inflexión

6. Con los datos obtenidos, graficamos.

b) La máxima inversión en publicidad esta determinada; ahora se debe

hacer un análisis de la distribución de la publicidad en la semana y en


124

los horarios convenientes. Recuerde una saturación de publicidad

reduce las ventas.

2. Administración

a) Ganancia = Número de asientos x costo por asiento

x = aumento de asientos

)x05,05)(x80(P

22 0,05x-x400P ; x05,0x5x4400P

10x ; 00,10x-1 ; 0dx

dP ; x10,01

dx

dP

Máximo 10,0dx

Pd2

2

Número de asientos = 80+10 = 90

b) ¿Cuál es la ganancia máxima?

405 $)10(05,0)10(400P 2

3. Ingreso máximo

a) Como la demanda es lineal, tienes que encontrar 2 puntos ( q , p );

encuentra la ecuación de la demanda. (100,7) )5,200(

50

1

100

2

200100

57m ;

qq

ppm

12

12

100)-(q 50

17-p ; )qq(mpp 11

9q50

1p “Ecuación de oferta”

b) Encuentra la ecuación de ingreso y el proceso para maximización.

q9q50

1-r ; q).9q

50

1(-r ; q.pr 2


125

225q ; 0dq

dr ; 9q

50

2

dq

dr

25

1

dq

rd2

2

“Máximo”

50.4$9)225(50

1p

UNIDAD V


1.1. ( V)

1.2. (F) No es una integral directa, debes utilizar el método de sustitución

que da como resultado: Ce3

1 x3

1.3. (F) Representa el excedente de consumidores y es la ganancia total

de los consumidores que están dispuestos a pagar sobre el precio de

equilibrio.

1.4. (V)

CONSOLIDACIÓN

1(a) Tenemos que encontrar el área bajo la curva de razón de ahorros,

entre las rectas x = 5, x = 0 y el eje x.


126

40)0()0(3)5()5(3)xx3(dx)x23(A 225

0

50

2

Los ahorros totales en 5 años son de $40, por lo que la máquina no se

pagará por sí misma en este periodo.

1(b) Se pide calcular el tiempo en que la máquina por si misma, entonces

el ahorro debe ser igual $70.

t

0

t0

2 70)x3x ( ; 70dx)x23(

-10 t, 7t ; 07t10t ; 070t3t 2

La máquina se pagará en 7 años.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

S(x) = 3 + 2x

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