MATEMATICAS 2012

CURSO PRE-FACULTATIVO 2012

CARRERAS DE

MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION, FISIOTERAPIA,

LABORATORIO CLINICO, RADIOLOGIA,

FONOAUDIOLOGIA, TERAPIA OCUPACIONAL

REVISORES

Bhylenia Rios, Jhemis Molina, Joacir Colombo

Willy Portugal, Zara Yujra, Daniel Len

Marco Antonio Paco

MATEMATICAS 2012

CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 MATEMATICAS

FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION Y TECNOLOGIA MDICA 2

CONTENIDO

CONJUNTOS ....................................................................................................................... 2

SISTEMAS NUMRICOS ................................................................................................ 13

NOTACIN CIENTFICA ................................................................................................. 17

LGEBRA .......................................................................................................................... 22

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................................. 36

FACTORIZACIN ............................................................................................................. 38

EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRACAS ........................... 48

ECUACIONES ................................................................................................................... 50

LOGARITMOS ................................................................................................................... 60

INTRODUCCIN A LA ESTADISTICA ......................................................................... 70

GLOSARIO ......................................................................................................................... 91



CONJUNTOS Revisado por: Bhylenia Rios

En la teora de conjuntos definimos a un conjunto como la coleccin de objetos

que tienen una caracterstica especial que permite que los mismos estn

agrupados. Estos objetos pueden ser: Personas, animales, plantas, nmeros, etc.

De esta definicin podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto:

Elementos

Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto.

Ejemplo: Jos pertenece al Curso Preuniversitario de la Carrera de Medicina.

Los elementos de un conjunto se representan por letras minsculas del alfabeto,

nmeros o smbolos que nos ayuden a identificarlos.

a, b, c,1, 2, 3, , , ,

Notacin

Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras maysculas del

alfabeto, tales como:

A, B, C, , X, Y, Z

Un Conjunto se escribe de la siguiente manera:

Nombre del conjunto = {elementos}

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

REPRESENTACIN DE UN CONJUNTO

Los conjuntos se pueden representar:

Por Extensin

Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos que

lo componen siempre y cuando se pueda.



Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Por Comprensin

Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todos

sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos.

Ejemplo: Usando los conjuntos anteriores

A = {x/ x es una Vocal del Alfabeto}

B = {x/ x , x 0 x 9}

Grficamente

Se puede representar a un conjunto a travs de los Diagramas de Venn, que son

Curvas Cerradas, indicando a todos sus Elementos dentro de la Curva.

Ejemplo: Usando el conjunto anterior

A = {a, e, i, o, u}

A

Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a

un conjunto determinado se hace uso de los smbolos y , respectivamente.

En el ejemplo anterior podemos decir que:

a A

b A

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto unitario

Un conjunto que tiene como un solo elemento.

Ejemplo: C = {x/ x , x2=4} = {2}

.a .u

.e

.i .o

.e

.i

.o



Conjunto Finito

Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el ltimo de

sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos.

Ejemplo: A= {3, 5, 7, 8} El conjunto A tiene 4 elementos

B= {x/x = 2k, k=0, 1, , 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos

Conjunto Infinito

Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se

pueden terminar de contar.

Ejemplo: A= {x/x = 2k, k=0, 1, 2, 3, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

Conjunto Universo

Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por

Ejemplo: A = {x/x }

Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Nmeros Enteros, entonces

concluimos que

Conjunto Vaco

Tambin conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningn

elemento y es denotado por la letra griega { }.

Ejemplo: A = {Nmeros pares cuya ltima cifra sea impar} = { } =

A



}/{ BxAxxBA

}/{ BxAxxBA

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusin

Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si

todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relacin se la denota de

la siguiente forma:

Igualdad

Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A y B son iguales, si todos los

elementos de A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen

al conjunto A . Esta relacin se la denota de la siguiente forma:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unin de dos Conjuntos

La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de

B o de ambos conjuntos y se denota por:

B

.a .o

.e

.

.e

.i

.o

.a .o

.e

.

.e

.i

.o

A B

=

B

A



}/{ BxAxxBA

}/{ BxAxxBA

Lo cual se lee: A unin B, es el conjunto formado por elementos x, tal que x

pertenece a A x pertenece a B.

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Interseccin de dos Conjuntos

La interseccin de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a A y a B y se denota por:

Que se lee, A interseccin B es el conjunto formado por los elementos x, tal

que x pertenece a A y x pertenece a B.

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {1, 2}

Diferencia de Conjuntos

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de

A que no pertenecen a B y se denota por:



}/{ AxUxxAC

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {3, 4, 5}

Diferencia Simtrica

La diferencia Simtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por

elementos de A o de B pero no de ambos, denotado por:

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {3, 4, 5, -2, -1, 0}

Complemento de un Conjunto

Dado el conjunto universo y A . El complemento de un conjunto A es el

conjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto A y se

denota por: Ac

Ejemplo: Si = {x N/x < 10} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces: AC = {2, 4, 6, 8, 9}

}/{ BxAxxBA



Ejercicios Propuestos

1. Expresar por comprensin los siguientes conjuntos:

a) A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.}

A= { x / x , x 0}

b) B= { Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes, Sbado, Domingo}

B= { x / x es un da de la semana}

c) C= { 5, 10, 15, 20, 25, 30,}

C= { x / x x=k*5, donde K= 1, 2, 3, 4}

2. De los siguientes conjuntos A={ h, o, l, a}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ y, i, n} hallar:

a) A B = { h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o}={ h, o, l, a, s, u, d}

b) A B C={ h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o} { y, i, n}={ }

c) (A C )C = ({ h, o, l, a} { y, i, n} ) C = { h, o, l, a, y, i, n } C = { s, u, d}

3. Indicar como se obtiene el rea seleccionada

4. De un grupo de estudiantes: 10 estudian Medicina, 12 estudian Enfermera y 4

estudian ambas materias.

a) Indicar el nmero total de estudiantes, son 18

b) Indicar el nmero de estudiantes que estudian una de las carreras, son 14

A- (B U C)



5. Del siguiente conjunto indicar las siguientes operaciones

a) AUB={2, 6, 4, 8, 9, 7, 5, 3}

b) A B={2}

c) B- A={7, 5, 3}

6. Expresar por Extensin los siguientes conjuntos:

a) A= {x/x = 2k+1, donde k=0, 1,..}

b) B= {x / x2 8x + 15 = 0}

c) C= {x / -7 x + 3 13}

d) D= {x / x=2k, donde k= 0,1,2,3, , 11}

7. Expresar por comprensin los siguientes conjuntos:

a) A= {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) B= { Ene, Feb, Mar, Abr, May, Jun, Jul, Ago, Sep, Oct, Nov, Dic}

c) C= { 3, 7, 9}

d) D={4, -3}

8. Indique si los siguientes conjuntos son Finitos, Infinitos, Unitarios o Vacos:

a) A = {x / 2x2 8x + 4 = 0}

b) B = {x / log2(4x)3 = 1}

c) C = {x / x=2k+1, donde k= 0, 1, 2, 3, }

d) D = {x / x=2*5+1}



9. Dados los siguientes conjuntos:

}10/{},7/{},104/{ xNxCxZxAxZxU

Hallar:

a) CBA

b) CC BCA

c) CAB

d) C

CBCA

e) CBAC

f) CBBA

10. Utilizando los diagramas de Venn, sombrear cada uno de los siguientes

conjuntos:

g) CBA

h) CBAC

i) C

CACBA

j) CBAC

k) CC CBA

11. Se llevan 64 nios a un Centro de salud, para vacunarlos sorpresivamente; A

24 se les aplica la vacuna X; a 22 la Y; a 26 la Z; a 7 la X y la Y; a 8 la Y y la Z; a 9

la X y la Z; 13 nios logran escapar sin que se logre vacunarlos. Calcular a

cuantos se les aplic:

a) Solo la vacuna X b) La X y Y pero no la Z c) La X o Y

d) La X o Y pero no la Z e) Dos vacunas f) No se les aplic la X

12. En el diagrama a continuacin, se han volcado los datos obtenidos en una

encuesta, realizada a personas, donde se les pregunt si tomaban t o caf. Los

nmeros que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron

a la pregunta en las diversas formas posibles. Cuntas personas no tomaban t?



a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12

13. De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y 120

ninguna de las dos carreras. Cuntos quieren estudiar ambas al mismo tiempo?

a) 27 b) 22 c) 66 d) 65 e) Ninguna

14. En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron

Matemticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que

no estudiaron Lenguaje ni Matemticas. Cuntos alumnos estudian exactamente

una de las materias mencionadas?

a) 15 b) 10 c) 7 d) 8 e) Ninguna

15. De los siguientes conjuntos A={ a, b, c}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ a, e, i, o, u}

que sub conjunto es unitario.

a) unin b) interseccin c) A-B d)A-C e) A B



SISTEMAS NUMRICOS

Revisado por: Jhemis Molina

NMEROS NATURALES

Los nmeros naturales son los que se emplean para contar. Los nmeros

naturales son la sucesin de los enteros positivos cuyo conjunto se simboliza

por N.

N = {1, 2, 3,}

Los nmeros naturales son cerrados, o cumplen con las propiedades de

clausura, respecto de las operaciones de adicin y multiplicacin:

Si a N y b N entonces (a + b) N (clausura para la adicin)

Si a N y b N entonces (a b) N (clausura para la multiplicacin)

Ejemplo. 2 N y 3 N

2 + 3 = 5 N (clausura para la adicin)

2 3 = 6 N (clausura para la multiplicacin)

NMERO ENTEROS

Los enteros constan de los nmeros naturales, el cero y los negativos de los

nmeros naturales, cuyo conjunto se designa por Z.

El conjunto de los enteros, de manera concisa, se escribe

Z = { x | x N x = 0 x = n para algn n en N }

Se escribe tambin

Z = { , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

El conjunto de los enteros Z incluye al conjunto de los nmeros naturales

N. El conjunto de los enteros Z es cerrado respecto de las operaciones de la

adicin, de la multiplicacin y tambin de la sustraccin; es decir, que la suma,

producto y diferencia de dos enteros es, a su vez, un entero.

Observacin. El conjunto de los enteros Z no es cerrado respecto de la

operacin de divisin. Por ejemplo, el cociente de los enteros 5 y 9 no es

necesariamente un entero.

Todos los enteros positivos, con excepcin del nmero uno, se pueden

clasificar ya sea como nmeros compuestos o como primos.

Un entero positivo se llama compuesto si es distinto de uno y puede ser



expresado como el producto de dos o ms enteros positivos, los cuales son

sus factores. En ciertos casos, algunos de estos factores se pueden repetir.

Por ejemplo, 6 y 24 son nmeros compuestos porque 6 = 2 3 y

24= 6 4.

Un nmero entero positivo se llama primo si es distinto de uno y no es

compuesto; en otras palabras, la nica forma en que podemos expresar un

nmero primo p como el producto de dos enteros positivos es p = p 1 p

= 1 p.

Ej. 2, 3, 5, 7, 11, son nmeros primos, mientras que 4, 6, 8, 9, no son

nmeros primos. Todo entero compuesto se puede descomponer en un producto

de nmeros primos, puesto que cada factor compuesto puede, a su vez,

descomponerse en factores menores hasta que, en ltimo trmino, todos los

factores sean primos.

NMEROS RACIONALES

Un nmero racional es el que puede expresarse como el cociente de un

entero p por un entero q diferente de cero. El conjunto de los nmeros

racionales se designa por Q, y brevemente se escribe

Q = { x | x = p/q donde p Z, q Z, q 0 }

El conjunto Q de los nmeros racionales es cerrado respecto de las operaciones

de adicin, multiplicacin, sustraccin y divisin (excepto por cero); es decir, que

la suma, producto, diferencia y cociente (excepto por cero) de dos nmeros

racionales es tambin un nmero racional.

Llevando a cabo la operacin de la divisin, todo nmero racional se puede

representar como un decimal. Algunas representaciones "terminan" despus

de un nmero finito de cifras, esto es, las ltimas cifras son cero. Por ejemplo:

a) 22

4 b) 75,0

4

3

80

60

En cambio, otras expresiones decimales nunca terminan, tales como



c) ....3333,03

1 d) .....571428571428,1

7

8

En estas ltimas expresiones decimales, se puede observar que en

cada perodo, los dgitos, despus de un cierto momento, se repiten con

el anterior, formando un grupo como 3 y 142857. Esto es siempre

verdad para todos los nmeros racionales. Por tanto, la condicin

necesaria y suficiente para que un nmero sea racional, es que en su

expresin decimal con cifras infinitas stas presenten periodicidad.

NMEROS IRRACIONALES

El conjunto de los nmeros irracionales es el complemento del conjunto de

los nmeros racionales. Es decir, los nmeros irracionales son aquellos que

no se pueden expresar como el cociente de dos enteros.

El desarrollo decimal de un nmero irracional es infinito y no peridico, por

ejemplo:

2 = 1.414213562

= 3.14159265

El conjunto de los nmeros irracionales se simboliza por Q.

NMEROS REALES

El conjunto de los nmeros reales es el conjunto de todos los nmeros

que son racionales o irracionales, y est constituido por nmeros positivos,

negativos y el cero.

Los nmeros reales se pueden representar por puntos de una lnea recta. Se

elige un punto llamado origen para representar el cero.

Los nmeros a la derecha del cero, son los llamados nmeros positivos, y los

nmeros a la izquierda del cero son los llamados nmeros negativos.

El cero mismo no es ni positivo ni negativo.

Los conjuntos de nmeros, que en forma grfica se puede observar a

continuacin, se relacionan de la manera siguiente:



N Z Q (Q Q) R

TM1. Conjuntos de Nmeros en forma grfica



NOTACIN CIENTFICA

Revisado por: Joacir Colombo

INTRODUCCIN

La notacin cientfica es la forma abreviada para expresar cantidades numricas

suficientemente grandes o al contrario cantidades suficientemente pequeas. Para

lograr este cometido se usan potencias de base diez (10) con lo cual se permite

que las expresiones, en las mediciones cientficas, puedan ser ms explicitas,

ms compactas y ms sencillas de utilizar, para lo cual se utiliza la siguiente nota

notacin:

a 10 n Donde:

a R y puede ser un nmero comprendido en el rango 1 a 10

n Z ya sea positivo (+) o negativo (-).

La base de la potencia es 10.

La notacin cientfica bsicamente consiste en representar una cantidad como

producto de un nmero por una potencia de 10. Si se quiere escribir un nmero

ordinario en notacin cientfica o el proceso inverso se procede de la siguiente

manera:

Para nmeros mayores a 1:

Por ejemplo para la cantidad 950 000 (novecientos cincuenta mil), se pone un

punto decimal y se recorre 5 lugares de derecha a izquierda y, de esta forma,

se obtiene: 9.5x105.

Si se quiere realizar la operacin inversa, es decir convertir un nmero escrito en

notacin cientfica a decimal, se recorre el punto decimal hacia la derecha y en los

espacios en blanco se rellena con ceros. Por ejemplo si se tiene la siguiente

cantidad 1.5x106 se escribira 1 500 000 (un milln quinientos mil).

Para los nmeros menores a 1:

Por ejemplo sea la cantidad 0.00000025 para escribir en notacin cientfica se

recorre el punto hacia la derecha 7 lugares obtenindose 2.5x10-7. Para realizar



la operacin inversa: sea la cantidad 3.8x10-8 se recorre el punto 8 lugares

hacia la izquierda y se obtiene: 0.000000038.

En los siguientes ejemplos se muestra como se puede expresar algunas

cantidades en notacin cientfica:

a) 312.546 = 3.12546 x102 e) 0.000 000 0637 = 6.37 x10-8

b) 1 452.25 = 1.45225 x10 3 f) 17 000 000 = 1.7 x 10 7

c) 0.089752 = 8.9752 x10-2 g) 5 830 000 = 5.83 x 10 6

d) 0.00005 = 5 x10-5 h) 0.000 000 000 007 = 7 x 10-12

Ejercicios (ver 3.4 Respuesta a ejercicios propuestos)

1. Escribir en notacin cientfica las siguientes cantidades: a) 125.265 g) 1 130 000 000 000

b) 2 256.879 h) 9 724 000 000.000

c) 875223.56 i) 0.000 000 008

d) 0.000154789 j) 0.00034

e) 0.123654 k) 0.000706

f) 0.123654 l) 640.000

2. Escribir en notacin decimal las siguientes cantidades:

a) 3,14156 x10 4 e) 4,14159 x 104

b) 2,91 x102 f) 2,24 x104

c) 3,2564 x104 g) 5,45 x107

d) 1,89 x 104 h) 3,06 x103

OPERACIONES CON NOTACIN CIENTFICA.-

Para realizar operaciones como se trabaja con potencias de base diez se usan las

mismas reglas de potenciacin.

ADICIN Y SUSTRACCIN.-

Para poder efectuar estas operaciones con notacin cientfica, primeramente se

debe asegurar que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso contrario

hay que procurar que lo sean.



Ejemplos:

a) 4.28x 10 6 +1.254 x10 6 = 5.534 x 10 6

b) 3.141 x 10 3 2.912 x 10 2 = 3.141 x 10 3 0.2912 x 10 3 = 2.8498 x 10 3

c) 2.60x108+3.55x107+8.23x106= 2.60x108+0.355x108+0.0823x108 = 3.0373x108

d) 5.6 x 10 3 + 6.56 x 10 3 = 12.16 x 10 3

e) -3 x 10 11 + 9 x 10 11 = 6 x 10 11

f) 2 x10 6 + 4 x10 5 = 2 x10 6 + 0.4 x10 6 = 2.4 x10 6

MULTIPLICACIN Y DIVISIN CON NOTACIN CIENTFICA.-

Para realizar las multiplicacin simplemente se multiplican los valores decimales

y se suman las potencias de 10, con lo cual se obtienen resultados que (en

algunos casos) se debe volver a expresar en notacin cientfica. De igual

manera se procede en la divisin, con la nica diferencia que se deben restar

las potencias de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador.

Ejemplos:

a) a3 . a5 = a3+5= a8

b) 1.589 . 102)x( 4.346

. 103) = ( 1.589

. 4.346) x102-3 = 6.905794 x 10-1

c) = a5-3= a2

d) 8.44 . 104 =

8.44 x 104-2 = 3.43 x 102

2.46 . 102 2.46

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

3. Sumar y restar los siguientes nmeros decimales:

a) 1.28 x10 4 +3.464 x10 2 + 2.4689x106 d) 1.23x103 -2.945x104

b) 2.568x103 +0.24x10 6 +1.3 e) 9.124x103 -2.945x102

c) 2.912x106 +6.145x104 -2.9145x102 f) 1.25x103 -1.25x101

Multiplicar y dividir los siguientes nmeros decimales:

a) (2.256 x104)(3.56 x10-3)

b) (1.025 x1010 )(0.256 x 105 )(1.658 x103)

c) (5.45 x103)( 1,28 x104 )

d) (7.89 x106)(2.56 x104)



e) (3.65 x1010)/(2.13 x102)

f) (1.36 x10-5)/(0.234 x104)

g) (4.21 x108)/(8.45 x10-4)

h) (2.34 x103)(4.56 x102)/(0.89 x107)

i) (2.5 x103)(4.66 x104)/(1.66 x102)

j) (1.728)(17.28)/(1.728 x10-4)

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Escribir en notacin cientfica:

a) 1.25x102 g) 1.13x1012

b) 2.25687x103 h) 9.724x1012

c) 5.7522356x105 i) 8x10-9

d) 1.54789x10-4 j) 3.4x10-4

e) 0.87452x10-1 k) 7.06x10-4

f) 1.23654x10-1 l) 8x102

2.-Escribir en notacin decimal

a) 3.14156 d) 0.000189 g) 0.000000545

b) 0.0291 e) 4145.9 h) 0.00306

c) 32.564 f) 22400

3.- Sumar y restar los nmeros decimales:

a) 2.4820464 x106

b) 2.5693 x103

c) 2.97315855 x106

d) -2.822 x104

e) 8.8295 x103

f) 1.2375 x103

4.-Multiplicar y dividir las siguientes cantidades

a) 8.03136x101 g) 4.98224x1011

b) 4.350592x1018 h) 1.198x10-1



c) 6.976x107 i) 1.30898876x101

d) 20.1984x1010 j) 701807.229 x105

e) 1.71361502x108

f) 5.812x10-9

EJERCICIOS CON SELECCIN MLTIPLE.-

1) Escribir en notacin cientfica: 0.27569

a) 27.569 x10 2

b) 27.569 x10 -2

c) 2.7569 x10 2

d) 0.27569 x10

e) Ninguno

2) Escribir en notacin decimal: 615.9 x10 3

a) 6195.0

b) 619.5

c) 61590

d) 615900

e) Ninguno



LGEBRA

Revisado por: Willy Portugal

DEFINICIN.-

El Algebra es la rama de las matemticas que estudia las operaciones, como las

sumas, restas, multiplicacin y divisin de conjuntos de nmeros. Estos nmeros

se representan por smbolos o variables.

De igual forma se puede decir que es una extensin de la aritmtica cuyo objetivo

es simplificar y generalizar todo lo referente a los nmeros, empleando para ello

letras, nmeros, guarismos, etc.

EXPRESIN ALGEBRAICA.-

Es un conjunto de letras, nmeros y signos que indican una serie de operaciones

a realizarse, es decir, son todas aquellas que tienen una parte numrica y una

parte literal.

Por ejemplo, la expresin 8a3b2c es una expresin algebraica, en este caso un

monomio, el cual tiene como parte numrica al nmero 8 y como parte literal

a3b2c.

Ntese que los exponentes se consideran parte literal.

Una expresin algebraica esta conformada por dos o ms trminos.

Por ejemplo los siguientes trminos son expresiones algebraicas:



TRMINO ALGEBRAICO.-

Es la parte de una expresin conformada por letras y nmeros, el cual, esta

separado de otro trmino a travs de un signo (positivo o negativo).

ELEMENTOS DE UN TRMINO.-

Un trmino est compuesto por un signo, un coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:

Variable.- Es toda magnitud que cambia de valor y puede ser expresada por las

ltimas letras del abecedario.

Constante.- Es toda magnitud que tiene un valor y no cambia.

TRMINOS SEMEJANTES.

Son todos los trminos que tienen la misma parte literal y estn elevados a un

mismo exponente. En cuanto al coeficiente y signo, estos pueden ser distintos o

no.



CLASIFICACIN DE EXPRESIONES.

Profundizando un poco ms en lo mencionado anteriormente, existen

bsicamente los siguientes tipos de expresiones algebraicas:

a) Monomios: Es una sola expresin algebraica.

Ejemplos de monomios son:

4x4y2 como se puede ver es un solo trmino con parte numrica y parte

literal

8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, as: 8a3b2c1

m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte numrica, cuando

esto suceda sabremos que hay un 1, as: 1 m2n3

b) Polinomios: Son dos o ms expresiones algebraicas (con diferente parte

literal) que se estn sumando o restando.

Ejemplos de polinomios son:

Este es un polinomio de dos trminos o binomio. Aunque las 3x2y +5x3y2 sus

partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los

exponentes no son iguales.

3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres trminos o trinomio.

a3 -a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.



GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

GRADO DE UN MONOMIO.-

El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de todos los exponentes

de todas las variables que componen dicho monomio

Por ejemplo: El grado de 12x6 y4z es 6+4+1=11

GRADO DE UN POLINOMIO.-

Esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que

componen el trmino de mayor grado.

Por ejemplo: 5x3yz5 + 7x4y6z5 4x2y3z5, el grado del polinomio respecto a x es 4

OPERACIONES ALGEBRAICAS.-

Para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de trminos

se respeta los signos de agrupacin.

Por ejemplo:

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo

grado.

P(x) = 2x3 + 5x 3 Q(x) = 4x 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo estn.

Q(x) = 2x3 3x2 + 4x



P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x 3) + (2x3 3x2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 3 x2 + 5x + 4x 3

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3 3x2 + 9x 3

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) Q(x) = (2x3 + 5x 3) (2x3 3x2 + 4x)

P(x) Q(x) = 2x3 + 5x 3 2x3 + 3x2 4x

P(x) Q(x) = 2x3 2x3 + 3x2 + 5x 4x 3

P(x) Q(x) = 3x2 + x 3

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

Multiplicacin de un nmero por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes

el producto de los coeficientes del polinomio por el nmero.

Por ejemplo: Sea la siguiente expresin

3 ( 2x3 3 x2 + 4x 2) = 6x3 9x2 + 12x 6

Multiplicacin de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 (2x3 3x2 + 4x 2) = 6x5 9x4 + 12x3 6x2



Multiplicacin de polinomios

P(x) = 2x2 3 Q(x) = 2x3 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo

polinomio.

P(x) Q(x) = (2x2 3) (2x3 3x2 + 4x) =

= 4x5 6x4 + 8x3 6x3 + 9x2 12x

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 6x4 + 2x3 + 9x2 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios

que se multiplican.

Tambin podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

DIVISIN ALGEBRAICA.

DIVISIN DE DOS MONOMIOS.

La divisin de dos monomios (dividendo y divisor) se efecta hallando el cociente

de los coeficientes y el de los factores literales, multiplicando luego dichos

cocientes.

Ejemplo.



Efectuar la divisin de:

DIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO.

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada trmino del polinomio

entre el monomio y luego se suman los cocientes obtenidos.

Ejemplo: Dividir las siguientes expresiones:

DIVISIN DE POLINOMIOS.

Resolver la divisin de polinomios:

P(x) = 2x5 + 2x3 x 8 Q(x) = 3x2 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos

huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3



Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo

restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8



10x 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se

puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1. Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 1

Q(x) = x3 3x2 + 6x 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 +5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

a) P(x) + Q (x) = (4x2 1) + ( x3 3x2 + 6x 2) = x3 3x2 + 4x2+ 6x 2 1

= x3 + x2+ 6x 3

b) P(x) U (x) = (4x2 1) (x2 + 2) = 4x2 1 x2 2 = 3x2 3

c) P(x) + R (x) = (4x2 1) + (6x2 + x + 1) = 4x2 + 6x2 + x 1 + 1 = = 10x2 + x



d) 2P(x) R (x) = 2(4x2 1) (6x2 + x + 1) = 8x2 2 6x2 x 1 = 2x2 x 3

e) S(x) + T(x) + U(x) = (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2

= 3x2 + 11

f) S(x) T (x) + U(x) =

= (1/2x2 + 4) (3/2x2 +5) + (x2 + 2) = 1/2x2 + 4 3/2x2 5 + x2 + 2 = 1

2. Dados los polinomios:

P(x) = x4 2x2 6x 1

Q(x) = x3 6x2 + 4

R(x) = 2x4 2 x 2

Calcular:

a) P(x) + Q(x) R(x) =

= (x4 2x2 6x 1) + (x3 6x2 + 4) ( 2x4 2x 2) =

= x4 2x2 6x 1 + x3 6x2 + 4 2x4 + 2 x + 2 =

= x4 2x4 + x3 2x2 6x2 6x + 2 x 1 + 4 + 2 =

= x4 + x3 8x2 4x + 5

b) P(x) + 2 Q(x) R(x) =

=(x4 2x2 6x 1) + 2(x3 6x2 + 4) ( 2x4 2 x 2)=

= x4 2x2 6x 1 +2x3 12x2 + 8 2x4 + 2 x + 2 =

= x4 2x4 + 2x3 2x2 12x2 6x + 2x 1 + 8 + 2 =

= x4 + 2x3 14x2 4x + 9

c) Q(x)+ R(x) P(x)=

= (x3 6x2 + 4) + ( 2x4 2 x 2) (x4 2x2 6x 1) =

= x3 6x2 + 4 + 2x4 2 x 2 x4 +2x2 + 6x + 1=



= 2x4 x4 + x3 6x2 +2x2 2 x + 6x + 4 2 + 1=

= x4 + x3 4x2 + 4x + 3

3. Resolver :

a) (x4 2x2 +2 ) (x2 2x +3) =

= x6 2x5 + 3x4 2x4 + 4x3 6x2 + 2x2 4x +6=

= x6 2x5 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 6x2 4x +6 =

= x 6 2x5 + x4 + 4x3 4x2 4x + 6

b) (3x2 5x) (2x3 + 4x2 x +2) =

= 6x5 + 12x4 3x3 + 6x2 10x4 20x3 + 5x2 10x =

= 6x5 + 12x4 10x4 3x3 20x3 + 6x2 + 5x2 10x =

= 6x5 + 2x4 23x3 + 11x2 10x

c) (2x2 5x + 6) (3x4 5 x3 6 x2 + 4x 3) =

= 6x6 10x5 12 x4 + 8x3 6 x2 15x5 + 25x4 + 30x3 20x2+ 15x +

+18x4 30x3 36x2 + 24x 18 =

= 6x6 10x5 15x5 12 x4 + 25x4 + 18x4 +

+8x3 30x3 + 30x3 6 x2 20x2 36x2 + 15x + 24x 18 =

= 6x6 25x5 + 31x4 + 8x3 62x2 + 39x 18

4. Dividir el polinomio (x4 2x3 11x2+ 30x 20) : (x2 + 3x 2)



5. Dividir (x 6+ 5x4 + 3x2 2x) : (x2 x + 3)

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determinar el grado de las expresiones siguientes

2. Realizar las operaciones solicitadas

3. Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas



4. Realizar las siguientes operaciones combinadas

5. Dividir los polinomios

a) P(X) =(4x2y -2xy2 + 8x3) y Q(X) = 2x

b) P(x) = (x4 +4x3 +x2 -x1) y Q(x) = (x2 + x1)

c) P(x) = 2x5 + 2x3 x 8 y Q(x) = 3x2 2 x + 1

Cul es la solucin de los siguientes ejercicios?

6. Resolver

a) xn+1 + 2xn+2 - xn+3 b) xn+1 + 2xn+2 - xn-3 c) xn+1 - 2xn+2 + xn-3

d) xn+1 - 2xn+2 - xn+3



7. Sean los polinomios:

Calcular: 2 M(x)+ 4N(x)+ 3K(x)

a) 11x2 8x b) 11x2 + 8x c) 11x + 8x2

d) 11x2 3x e) Ninguno.

8. Resolver

a) x2 b) x2 + c) x2 2

d) x2 3xy + 5y e) x2

9. Resolver

a) b) c) d) e) Ninguno

10. La edad de un padre es m; el hijo tiene 23 aos menos y el abuelo tiene 32

aos ms que el padre. Cul ser la suma de las edades de estas tres

personas dentro de n aos?

a) 3m + 3n +9 b) 3m + 3n c) 3m2 + 3n +9 d) 3m +55 e) Ninguno



PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Revisado por: Willy Portugal

PRODUCTOS NOTABLES Los Productos Notables son casos especiales que se ven dentro de la

multiplicacin algebraica, los cuales se pueden obtener en forma directa el

resultado, sin necesidad de efectuar la operacin.

BINOMIO AL CUADRADO.-

A B2

A 2

2AB B2 ; A B 2 A 2 2AB B2

PRODUCTO DE BINOMIOS.-

x a x b x 2

a b x ab ; px a qx b pqx 2 aq bp x ab

PRODUCTO DE SUMA Y DIFERENCIA (DIFERENCIA DE CUADRADOS).-

A B A B A 2

B2

BINOMIO AL CUBO.-

A B3

A3

3A 2

B 3AB2

B3

A B3

A 3

3A 2

B 3AB2

B3

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.-

A B A 2

AB B2

A 3

B3

A B A 2

AB B2

A 3

B3

COCIENTES NOTABLES

Son casos especiales de divisin algebraica exacta (vale decir que no tienen

residuo), donde los divisores son binmicos.

PRIMER CASO.-

12321 .... nnnnnn

bbabaaba

ba

SEGUNDO CASO.-

12321 .... nnnnnn

bbabaaba

ba



TERCER CASO.-

?ba

ba nn

CUARTO CASO.-

12321 .... nnnnnn

bbabaaba

ba



FACTORIZACIN

Revisado por: Zara Yujra

FACTORES Y DESCOMPOSICIN EN FACTORES.-

Factorizacin, es la operacin que tiene por finalidad,

transformar una expresin algebraica racional o entera en otra

equivalente que sea igual al producto de sus factores primos o

enteros.

Factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de

sus factores.

5.2 MTODOS FACTORIZACIN.-

CASO I. FACTOR COMN

El factor comn de dos o ms expresiones algebraicas es la parte

numrica y/o literal que est repetida en dichas expresiones. Puede

presentarse de tres formas:

a) Factor comn monomio

Se llama as, cuando el factor comn a todos los

trminos del polinomio es un monomio.

Por ejemplo:

1) ax + ay + az = a(x + y + z)

2) 26x6 2x4 + 14x2 = 2x2(13x4 x2 +7)

3) 100a2b3c 150ab2c2 + 50ab3c3 200abc2 = 50abc(2ab2 3bc +

3bc + b2c2 - 4c)

b) Factor comn polinomio



Se llama as, cuando el factor comn que aparece en la

expresin es un polinomio. Por ejemplo:

1) a(x + y) b(x + y) = (x + y)(a - b)

2) 9(u + v + w)2 18(u + v + w)3 = 9(u + v + w)2 [1-2(u + v +

w)]

= 9(u + v + w)2 (1 2u 2v -

2w)

3) 4m(a2 + x -1) + 3n(x-1+a2) = 4m(x -1 + a2) + 3n(x-1+a2)

= (x -1 + a2)(4m + 3n)

c) Factor comn por agrupacin

Ejemplo:

1) ax bx + ay by = (ax + ay) (bx + by)

= a(x + y) b(x+y)

= (x + y)(a - b)

2) 2a2x 5a2y + 15by 6bx = (2a2x 6bx) (5a2y 15by)

= 2x(a2 3b) 5y(a2 3b)

= (a2 3b) (2x 5y)

3) 2x2y + 2xz2 + y2z2 + xy3 = (2x2y + xy3) + (2xz2 + y2z2 )

= xy(2x + y2) + z2(2x + z2 )

= (2x + y2) + (xy + z2 )



CASO II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Este caso de factorizacin es de la forma:

a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

a2 - 2ab +b2 = (a - b)2

Este trinomio se caracteriza por:

a) Tener dos trminos que son cuadrados perfectos y siempre con

signo positivo.

b) El otro trmino es el doble producto de las races cuadradas de

los cuadrados perfectos. Ejemplo:

1) 4x2 12xy + y2 = (2x - 3y)2

2) 4(1 + a)2 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2 = [2(1 + a) + (b - 1)]2

= [2 + 2a + b - 1)]2

= [2a + b + 1)]2

3) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2 = [3(x - y) + 2(x + y)]2

= [3x - 3y + 2x + 2y)]2

= [5x - y)]2

CASO III. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso de factorizacin es de la forma:

a2 b2 = (a + b)(a - b)

Para factorizar esta diferencia de cuadrados, se extrae la raz

cuadrada de a y de b y se forma un producto de la diferencia de las

races multiplicada por la suma de ellas.

Ejemplo:



1) 4x6 81y2 = (2x3)2 (9y)2

2) 16x2y2 81a2b2c2 = (4xy)2 (9abc)2

= (4xy + 9abc) (4xy - 9abc)

3) a2nb4n 25n4 = (anb2n)2 (5n2)2

= (anb2n +5n2) (anb2n - 5n2)

CASO IV. TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c

Ejemplo:

1) x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)

2) y2 + 50y + 336 = (y + 42)(y+8)

3) x2 -2x 528 = (x - 24)(x + 22)

CASO V. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c

Ejemplo:

1) 2x2 + 29x + 90

Primera Forma de Solucin:

2x2 + 29x + 90

// Multiplicando y Dividiendo entre dos

=((2x)2 + 29(2x) + 180)/2

Factorizando caso IV

= [(2x + 20)(2x + 9)]/2

Simplificando:

= (x + 10)(2x + 9)

Segunda Forma de Solucin: Por la Regla de la Aspa

ax2 + bx + c = (mx + p)(nx+q)

m p

n q

Se cumple: 1) mn = a



2) pq = c

3) mq + np = b

El Problema consiste en hallar dos pares de nmeros: m, n, p y q tales

que: mn=a, pq=c y la suma del producto cruzado sea b, es decir: mq +

np = b, estos nmeros se obtienen por ensayos.

Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo:

2x2 + 29x + 90 = (x + 10)(2x+9)

1 10

2 9

Se cumple: 1) mn = 2

2) pq = 90

3) mq + np = 9 + 20 = 29

2) 20a2 - 7a - 40


20a2 - 7a - 40

// Multiplicando y Dividiendo entre veinte

=((20a)2 - 7(20a) - 80)/20


= [(20a - 32)(20a + 25)]/20

Simplificando:

= (5a - 8)(4a + 5)

Segunda Forma de Solucin:


20a2 - 7a - 40 = (5a - 8)(4a + 5)



5a -8

4a 5

Se cumple: 1) mn = 20a2

2) pq = -40

3) mq + np = 25a 32a = -7a

3) 4n2 + n - 33


4n2 + n - 33

// Multiplicando y Dividiendo entre cuatro

=((4n)2 + (4n) - 132)/4


= [(4n - 12)(4n -11 25)]/4

Simplificando:

= (n + 3)(4n - 11)

Segunda Forma de Solucin:


4n2 + n - 33 = (n + 3)(4n - 11)

1 3

4 -11

Se cumple: 1) mn = 4

2) pq = -33

3) mq + np = -11 + 12 = 1

5.3 MNIMO COMN MLTIPLO (mcm).-

El mcm de dos o ms polinomios es el polinomio de menor grado y

menor coeficiente que es el mltiplo comn de cada uno de ellos. Para

hallar el mcm de dos o ms polinomios se sigue el siguiente

procedimiento:

Paso 1: Se determina si se puede factorizar las expresiones.



Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores

primos.

Paso 3: El mcm es igual al producto de todos los factores comunes y no

comunes, para lo cual se toma a los factores con mayor exponente.

Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes polinomios: 3x + 3, 6x 6

Factorizamos cada polinomio:

3(x +1), 6(x 1)

Una vez factorizados los polinomios procedemos a sacar los factores primos de

los coeficientes numricos 3 y 6.

3 3 6

2 1 3

3 1

Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente con

los cuales obtenemos su producto. De los coeficientes numricos seria 2 x

3 = 6 y de la parte literal sera (x + 1)(x 1), con lo cual concluimos que el

mcm es igual a:

mcm = 6(x + 1)(x 1)

5.4 MXIMO COMN DIVISOR.-

El MCD de dos o ms polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor

coeficiente que sea divisor de los polinomios dados.

Para hallar el MCD se debe proceder a:

Paso 1: Se factoriza si se puede las expresiones que se estudia.

Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores



primos.

Paso 3: El MCD es igual al producto de todos los factores comunes,

tomando cada factor con el menor exponente.

Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes polinomios: 48r3t 4 , 54r 2t6 , 60r 4t 2

Primero determinamos si se puede factorizar o no los polinomios.

Posteriormente se obtiene el producto de los factores primos.

48 2

24 2

12 2 6 2 3 3 1 54 2 27 3 9 3 3 3 1 60 2 30 2 15 3 5 5 1

Para hallar el MCD solo tomamos el producto de los factores comunes con su

menor exponente, as: MCD = 2 x 3 r2t2 = 6r2t2

5.5 EJERCICIOS.-

Factorizar cada uno de las siguientes expresiones algebraicas, aplicando

segn corresponda los casos estudiados:

EJERCICIOS RESUELTOS:

[1] a20 a16 + a12 a8 + a4 a2 = a2 (a18 a14 + a10 a6 + a2 1)

[2] x(2a + b + c) 2 b c = x(2a + b + c) (2a + b + c)

= (2a + b + c)(x - 1)



[3] 4a3x 4a2b + 3bm 3amx = (4a3x 3amx) + ( 3bm 4a2b)

= ax (4a2 3m) - b(4a2 3m)

= (4a2 3m)(ax - b)

[4] m2 8m 1008 = (m - 36)(m - 28)

[5] (a - 1)2 + 3( a - 1) 108 = [(a - 1) + 12][ (a - 1) - 9]

= (a + 11)(a - 10)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

[6] x8y8 - 15 x4y4 100a2 Resp. (x4y4 20a)( x4y4 + 5a)

[7] (2a - c)2 - (a + c)2 Resp. 3a(a 2c)

[8] Hallar el mcm y MCD de los siguientes polinomios y factorizar su

resultado

a) 9a2bx, 12ab2x2, 18a3b3x

b) 6y2z4, 24y3z2

Resp.

a) mcm: 36a3b3x2; MCD: 3abx

b) mcm: 24y3z4

; MCD: 6y2z2

[9] 6x4 + 5x2 - 6 Resp. (3x2 2) (2x2 + 3)

[10] up+q + vp+q + (uv)p + (uv)q Resp. (uq + vp) (up + vq)

EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE SELECCIN MULTIPLE

[11] x16 y16

Resp. Elegir la respuesta correcta:

a) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x6 + y6)

b) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8)

c) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x10 + y10)

[12] 64a4b8 64a2b4c4d6 + 16c8d12

Resp. Elegir la respuesta correcta:

a) (8a2b4 4c4d6) (8a2b4 + 4c4d6)



b) (8a2b4 4c4d6)

c) (8a2b4 4c4d6)2

[13] a8 + b8 + 2a2b2(a4 + b4) + 3a4b4

Resp. Elegir la arespuesta correcta:

a) a4b4 a2b2 + b4

b) (a4b4 a2b2 + b4)2

c) a4b4 a2b2 + b4 + 1

[14] u8 14u4 + 25


a) (U4 2u2 5)2

b) (U4 2u2 5) (U4 + 2u2 5)

c) (U4 2u2 5)

[15] 12(x y)2 + 7(x - y) - 12


a) (4x 4y + 3)(3x 3y - 4)

b) (4x 4y - 3)(3x 3y + 4)

c) (4x 4y - 3)(3x 3y - 4)



EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRACAS

Revisado por: Daniel Len

EXPONENTES

Exponente natural

Se define:

An

= A.A.A. A n

n veces

LEYES DE EXPONENTES

Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a las diferentes relaciones,

operaciones y transformaciones que se puedan realizar con los exponentes.

En esta seccin se hace un resumen de las propiedades de la ley de los exponentes que

son vlidos para cualquier nmero n con a y b, considerados como expresiones

algebraicas

1. Producto de dos potencias de la misma base:

a m a n a m n

2. Potencia de una potencia:

(a m )n a mn 3. Potencia del producto de dos factores

(ab)n a n bn

4. Cociente de dos potencias de la misma base:

a a m n , m n, a 0

a n

5. Exponente Cero:

a 0 1

LEYES DE SIGNOS

+ * + = + - * - = + + * - = - - * + = -



EJERCICIOS RESUELTOS

1. Producto de dos potencias de la misma base:

a 3a4 = a3+4 = a7

2. Cociente de dos potencias de la misma base:

a6 a6 - 2 = a4

a2 3. Potencia de una potencia:

(a2)6 = a2*6 = a

4. Potencia del producto de dos factores:

(a * b)6 = a6 * b6

RADICALES

Llamaremos radical simple a la expresin n a , cumplindose que: Las cantidades a y b sern positivas siempre que n sea un nmero par.

LEY DE RADICALES

La ley de los radicales se basan en las leyes de los exponentes, pues: m

a n n a m

En base a esta definicin tenemos las siguientes leyes:

1.



ECUACIONES

Revisado por: Marco Antonio Paco

Ecuaciones

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, y se

denominan

miembrosdelaecuacin.Unaecuacinesunaigualdadyelresolverimplicaelencontrar

elvalorde lasvariablesqueestnenla expresinalgebraica,en las que aparecen

valores conocidos (datos), y desconocidos (incgnitas), relacionados mediante

operaciones matemticas. Los valores conocidos pueden ser nmeros,

coeficientes o constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya

establecido como resultado de otras operaciones. Las incgnitas, representadas

generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Las ecuaciones que analizaremos en este curso son:

i) Ecuaciones lineales con una incgnita.

ii) Ecuaciones lineales con dos incgnitas.(sistema de dos ecuaciones)

iii) Ecuaciones de segundo grado con una incgnita (ecuacin de segundo

grado)

7.2. Ecuaciones lineales con una incgnita.

Son aquellas donde hay una sola variable en la ecuacin y el resolverla implica

encontrar el valor de la variable.

Ejemplo 1: Si la altura de una persona (cm) madura es, dos veces la longitud de

su brazo (cm) mas 15 cm. Determinar la altura de una persona en metros, si la

longitud de su brazo es 75 cm.

Ecuacin que relaciona la altura (y) y la longitud del brazo (x) en centmetros:

2 15y x= +

Reemplazamos en la ecuacin:



7.2. Ecuaciones lineales de primer grado con dos incgnitas.

Son aquellas que conforman un sistema de dos ecuaciones y el resolver implica

encontrar los valores de las dos incgnitas, para resolver esta ecuacin existen

cuatro mtodos, que son:

i) Mtodo por igualacin.

ii) Mtodo por sustitucin

iii) Mtodo por reduccin

iv) Mtodo por determinantes

i) Mtodo por igualacin.

El mtodo de igualacin para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos

incgnitas consiste en despejar una de las dos incgnitas en las dos ecuaciones.

Sea cual sea el valor de esta incgnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones,

por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuacin con una

incgnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una

de las dos incgnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y

calculamos la segunda.

Ejemplo 2:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

De ambas ecuaciones (1) y (2) despejaremos la incgnita x

De (1):

De (2):

2 75 15

165

y

y cm

= +

=1

100

m

cm 1,65m=

( )

( )

2 1 1

3 1 2

x y

x y

+ = - = -

1 2x y= -

1 3x y= - +



Como:

Entonces:

Despejar y:

Reemplazar en (1):

Solucin:

ii) Mtodo por sustitucin.

El mtodo de sustitucin consiste en despejar una de las incgnitas en una de las

ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar as a una ecuacin con una

incgnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuacin despejada y

calculamos la segunda incgnita.

Ejemplo 3:Resolver la siguiente ecuacin.

De (2) despejar y:

x x=

1 2 1 3y y- = - +

3 2 1 1

5 2

2

5

y y

y

y

+ = +

=

=

21 2

5

41

5

1

5

x

x

x

= -

= -

=

1 2 1 2; ,

5 5 5 5x y o

= =

( )

( )

3 2 4 1

8 2

x y

x y

- = - = -



Reemplazar en (1)

Despejar x:

Reemplazar en (2):

Solucin:

iii) Mtodo por reduccin.

El mtodo de reduccin consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los

valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incgnitas sean

los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y

la incgnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una

ecuacin con una incgnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias.

Conocida una de las incgnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones

originales y calculamos la segunda.

Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Conseguir que los coeficientes de una de las incgnitas sean los mismos pero

cambiados de signo:

8y x= +

( )3 2 8 4x x- + =

3 2 16 4

4 16

20

x x

x

x

- - =

= +

=

20 8

28

y

y

= +

=

( )20; 28 20,28x y o= =

( )

( )

2 2 7 1

3 8 2

x y

x y

- = - + =



Reemplazamos en (2):

Solucin:

iv) Mtodo por determinantes.

Se resuelve por la regla de Cramer, es un mtodo de lgebra lineal para resolver

sistemas de ecuaciones. Su base terica no es tan sencilla como los mtodos

vistos hasta ahora y emplea el clculo de determinantes, y da lugar a una forma

operativa sencilla y fcil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones

con dos incgnitas.

Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

( )

( )

2 2 7 1 3

3 8 2 2

6 6 21

2 6 16

8 5

5

8

x y

x y

x y

x y

x

x

- = - + =

- = - + =

= -

= -

53 8

8

53 8

8

69

3 8

23 7 2

8 8

y

y

y

y o y

- + =

= +

=

= =

5 7 5 7; 2 ,2

8 8 8 8x y o

= - = -



Para determinar la variable x, sus coeficientes son reemplazados por el resultado

de cada ecuacin. Se multiplica en diagonal, la diagonal es positiva y la

diagonal es negativa

Para determinar la variable y:

Solucin:

7.3. Ecuaciones de segundo grado con una incgnita.

Son aquellas ecuaciones que tienen la forma general:

Donde a, b, c son constantes y a es diferente de cero, para resolver se puede

2 7

5 3 8

x y

x y

+ = - + = -

( ) ( )

7 2

7 3 2 88 3

1 2 1 3 5 2

5 3

21 16 5

3 10 7

5

7

x

x

x

-

- - --= =

-

- + -= =

- -

=

( ) ( )

1 7

8 1 5 75 8

7 7

8 35 27

7 7

27 6 3

7 7

y

x

x o x

-

- - --= =

- -

- += =

- -

= - = -

5 6 5 6; 3 , 3

7 7 7 7x y o

= = - -

2 0ax bx c+ + =



utilizar la ecuacin general o el mtodo de factorizacin del aspa.

Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica por a) formula y b)

factorizacin.

a) Formula; donde a = 1; b = 3;c = 10. Reemplazando en la ecuacin

cuadrtica:

Hallando los dos valores:

b) Por factorizacin.

Despejando cada factor:

2 3 10 0x x- - =

2 4

2

b b acx

a

- -=

( ) ( ) ( )2

3 3 4 1 10

2 1

3 9 40

2

3 7

2

x

x

x

- - - - -=

+=

=

1 1 1

2 2 2

3 7 10; ; 5

2 2

3 7 4; ; 2

2 2

x x x

x x x

+= = =

- -= = = -

( )( )

2 3 10 0

5 2 0

x x

x x

- - =

- + =

1 1

2 2

5 0; 5

2 0; 2

x x

x x

- = =

+ = = -



7.4EJERCICIOSPROPUESTOS.-

Ecuaciones lineales:

1) El tamao del cuerpo de un pez es 2 veces el tamao de su cabeza.

Determinar la longitud de la cabeza de un pez que tiene una longitud de 54

cm

a) 27 cm b) 18 cm c) 6 cm d) 35 cm e) ninguno

2) Hallar x: ba

x

ba

x

a

1

a) a-b b) (a+b)(a-b) c) (a+b)(a-b)/(2a) d) (a+b)(a-b)/(2b) e) ninguno

3) Hallar el valor de x: bc

cx

ac

bx

ab

ax

a) cba

a2 b)

cba

c2 c)

cba

ba 22 d)

cba

a2 e)

cba

b2

Sistema de ecuaciones: Resolver por cualquier mtodo.

4)

a) b) c) d) e)

ninguno

5)

a) b) c) d) e)

( )

( )

2 2 7 1

3 8 2

x y x

x y y

- = - + + = -

45 50,1

101 101

-

5 51,

101 101

-

45 50, 1

101 101

-

47 51,

100 100

-

1 1

2 31

3 8

x y

x y- -

- = - + = -

53,

3

- -

1 3,

3 5

- -

53,

3

-

53,

3

-

1 3,

3 5



6)

a) b) c) d) e) ninguno

Ecuaciones cuadrticas. Resolver por cualquier mtodo.

7)


8)


Miscelnea.

9) A nivel del mar un globo tiene un radio de 12 cm, si este sube a 120

m.s.n.m. su volumen se incrementa en un 75 %, Cul es el radio del globo

a 120 m.s.n.m.? (considerar que 3r3

4v )

a) 1,717 cm3 b) 67,12 cm

3 c) 14,46 cm

3 d) 965,5 cm

3 e) 0,904 cm

3

10) Cierto doctor (mejor mantener el anonimato) fue beneficiado en su salario

con un incremento del 15 % y un bono fijo de 250 Bs. Adquiere de ese

modo un sueldo fijo de 6000 Bs. Cunto era su sueldo inicialmente?

a) 5000 Bs b) 5500 Bs c) 4500 Bs d) 4800 Bs e) ninguno

11) Cierto granjero tiene conejos y gallinas, este cuenta 50 cabezas y 140

patas. Determinar cuanto tiene de cada especie. (considerar que sus

animales son normales nada de animales con 3 cabezas ni cinco patas)

a) 30 conejos, 20 gallinas b) 25 conejos, 25 gallinas c) 20 conejos, 30 gallinas d) ninguno

12) En un cultivo bacteriano se observo que una bacteria X llena toda la caja

2 2

3 3 1

x y

x y

+ = - = -

4 7,

9 9

2 7,

3 3

16 49,

9 9

16 49,

81 81

26 7 5 0x x- - =

5 1;

3 2-

5 1;

3 2-

5 1;

3 2- -

5 1;

3 2

( )2 5 4 4 2x x x x+ + = -

5;4

3

33;

2-

1;4

3

1 1;

3 2- -



Petri en 6 das y que una bacteria Y lo llena en 3das. Si se sembrara

ambas bacterias en la caja Petri, en que tiempo lo llenaran?

a) 9 das b) 6 das c) 3 das d) 1 da e) ninguno



LOGARITMOS

Revisado por: Jhemis Molina

Definicin de Logaritmos

Logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciacin

Aqu estn los nombres que reciben cada uno de los elementos:

Representacin grfica de logaritmos

en varias bases:

el rojo representa el logaritmo en base

e,

el verde corresponde a la base 10,

y el prpura al de la base 1,7.

Los logaritmos de todas las bases

pasan por el punto (1, 0), esto es

debido a que cualquier nmero elevado a la cero es igual a uno, y tambin los

puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier nmero elevado a la unidad

es igual a s mismo.



El logaritmo de un nmero, en una base dada, es el exponente al cual se debe

elevar la base para obtener el nmero.Siendo a la base, x el nmero e y el

logartmo. con a>0 y a1

Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o

L(x).

Por ejemplo:

De la definicin de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un nmero con base negativa.

No existe el logaritmo de un nmero negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.



El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el

logaritmo del divisor:

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo

de la base:

4. El logaritmo de una raz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el

ndice de la raz:



5. Cambio de base:

Ecuaciones logartmicas

1.

2.

3.

4.

5.

Logaritmo natural o neperiano

El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota ln x, esto

quiere decir, que ln x es la inversa de la funcin exponencial definida por f(x) =

ex.



e

n

LnA n

Log A n

A e

2,718281828 eLog Log LnA A A

eLog A LnA

El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el nmero

2,718281828

Debido a que es muy incmodo trabajar con un nmero que tiene muchos

decimales, se le ha asignado la letra e:

e = 2,718281828

El logaritmo natural de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para

obtener x.

El nombre de logaritmo neperiano proviene del escocs John Neper, inventor de

los primeros logaritmos y su uso es fundamentalmente en el clculo diferencial.

Algunas propiedades bsicas de los logaritmos naturales son las siguientes:

ln 1 = 0

ln e = 1

ln ex = x

eln x = x

ln (x * y) = ln x + ln y

ln(x/b) = ln x ln y

ln (x)r = rln x

As que cuando se aplica la definicin de logaritmos a un ejercicio cualquiera

debemos tomar en cuenta este cambio de notacin. Por ejemplo:



Otro ejemplo

Ejercicios Propuestos

1) Hallar el logaritmo de:

a) log2 4 =

b) log3 27 =

c) log2 16 =

d) log5 125 =

e) log3 243 =

f) log2 0,5 =

g) log2 0,25 =

h) log2 0,125 =

i) log6 216 =

j) log 100000 =

Respuesta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) 1, g) 2,

h) 3, i) 3, j) 5

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.

a) log (5 . 3) = ? b) log (23 . 3) = ? c) log (7 : 3) = ? d) log (2 . 3 : 4)5 =?

e)

Respuesta.: a) log 5 + log 3, b) 3. log 2 + log 3, c) log 7 log 3,

d) 5. (log 2 + log 3 log 4), e) (log 3 + log 5) log 2.

3) Cambio de base:



a) log2 5 = ? c) log3 7 = ?

b) log32 = ? d) log5 24 = ?

Respuesta: a) log 5 / log 2, b) log 2 / log 3, c) log 7 / log 3, d) log 24 / log 5.

4) Ecuaciones:

Respuesta: a) 2 ; b) 4 y 4; c) 2; d) 2,3 y 1,3; e) 2.

5) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido

desarrollar una tcnica basada en la concentracin de material radiactivo en su

interior. Cuanto ms joven es la roca mayor concentracin de material radiactivo

encontraremos. C(x) = k. 3 t es la frmula que se utiliza, donde C (x) representa la

concentracin del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de

aos y "k" la concentracin del elemento en el momento de formarse la roca. Si k

= 4500 a)Cunto tiempo debe haber pasado para que hallemos una

concentracin de 1500?; b) Qu concentracin tendramos al cabo de dos

siglos?; c)En qu tiempo se acabara este material?.

Respuesta: a) como t = 1, pasaron cien aos. b) 1,7 .10 92 c) La ecuacin no

tiene como resultado el nmero cero, por lo que tericamente siempre quedara un

mnimo resto de material radiactivo.

Aplicaciones de Logaritmos en pH.

El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solucin. El pH es la

concentracin de iones o cationes hidrgeno [H+] presentes en determinada

sustancia. La sigla significa "potencial de hidrgeno" (pondus Hydrogenii o

potentia Hydrogenii; del latn pondus, n. = peso; potentia, f. = potencia;

hydrogenium, n. = hidrgeno).



Este trmino fue acuado por el qumico dans Srensen, quien lo defini como el

logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrgeno. Esto es:

Desde entonces, el trmino "pH" se ha

utilizado universalmente por lo prctico que

resulta para evitar el manejo de cifras largas

y complejas. En disoluciones diluidas, en

lugar de utilizar la actividad del ion

hidrgeno, se le puede aproximar empleando

la concentracin molar del ion hidrgeno.

Por ejemplo, una concentracin de [H+] = 1

107 M (0,0000001) es simplemente un pH

de 7 ya que: pH = log[107] = 7

El pH tpicamente va de 0 a 14 en disolucin

acuosa, siendo cidas las disoluciones con

pH menores a 7, y bsicas las que tienen pH

mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad

de la disolucin (donde el disolvente es

agua).

Se considera que p es un operador

logartmico sobre la concentracin de una

solucin: p = log[...] , tambin se define el

pOH, que mide la concentracin de iones

OH-.

Algunos valores comunes del pH

Sustancia/Disolucin pH

Disolucin de HCl 1 M 0,0

Jugo gstrico 1,5

Jugo de limn 2,4

Refresco de cola 2,5

Vinagre 2,9

Jugo de naranja o manzana 3,0

Cerveza 4,5

Caf 5,0

T 5,5

Lluvia cida < 5,6

Saliva (pacientes con cncer) 4,5 a 5,7

Orina 5,5-6,5

Leche 6,5

Agua pura 7,0

Saliva humana 6,5 a 7,4

Sangre 7,35 a 7,45

Agua de mar 8,0

Jabn de manos 9,0 a 10,0

Amonaco 11,5

Hipoclorito de sodio 12,5

Hidrxido sdico 13,5 a 14



Puesto que el agua est disociada en una pequea extensin en iones OH y H+,

tenemos que:

Kw = [H+][OH]=1014 en donde [H+] es la concentracin de iones de hidrgeno,

[OH-] la de iones hidrxido, y Kw es una constante conocida como producto inico

del agua.

Por lo tanto,

log Kw = log [H+] + log [OH]

14 = log [H+] + log [OH]

14 = log [H+] log [OH]

pH + pOH = 14

Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH.

En disoluciones no acuosas, o fuera de condiciones normales de presin y

temperatura, un pH de 7 puede no ser el neutro. El pH al cual la disolucin es

neutra estar relacionado con la constante de disociacin del disolvente en el que

se trabaje.

El valor del pH se puede medir de forma precisa mediante un potencimetro,

tambin conocido como pH-metro, un instrumento que mide la diferencia de

potencial entre dos electrodos: un electrodo de referencia (generalmente de

plata/cloruro de plata) y un electrodo de vidrio que es sensible al in hidrgeno.

Tambin se puede medir de forma aproximada el pH de una disolucin empleando

indicadores, cidos o bases dbiles que presentan diferente color segn el pH.

Generalmente se emplea papel indicador, que se trata de papel impregnado de

una mezcla de indicadores. Algunos compuestos orgnicos que cambian de color

en funcin del grado de acidez del medio en que se encuentren se utilizan como

indicadores cualitativos para la determinacin del pH. El papel de litmus o papel

tornasol es el indicador mejor conocido. Otros indicadores usuales son la

fenolftalena y el naranja de metilo.

A pesar de que muchos potencimetros tienen escalas con valores que van desde

1 hasta 14, los valores de pH pueden ser menores que 1 y mayores que 14. Por



ejemplo el cido de batera de automviles tiene valores cercanos de pH menores

que cero, mientras que el hidrxido de sodio vara de 13,5 a 14.

Un pH igual a 7 es neutro, menor que 7 es cido y mayor que 7 es bsico a 25 C.

A distintas temperaturas, el valor de pH neutro puede variar debido a la constante

de equilibrio del agua (Kw).

La determinacin del pH es uno de los procedimientos analticos ms importantes

y ms usados en ciencias tales como qumica, bioqumica y la qumica de suelos.

El pH determina muchas caractersticas notables de la estructura y actividad de

las biomacromolculas y, por tanto, del comportamiento de clulas y organismos



INTRODUCCIN A LA ESTADISTICA Por: Bhylenia Rios y Willy Portugal

La estadstica es una ciencia que nos proporciona un conjunto de mtodos que

se utiliza para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos con

respecto a una caracterstica que es materia de estudio o investigacin.

Una vez analizada la informacin o los datos, la estadstica entra en otros temas

como ser tomar decisiones y predecir respecto a la fuente de datos.

Concepto de Estadstica.

1. Es un conjunto de mtodos que permiten la recoleccin, agrupacin,

presentacin de los datos mediante graficas o formulas, con los cuales se

pueden tomar decisiones.

2. La Estadstica es una disciplina que utiliza recursos matemticos para

organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e

inferir conclusiones respecto de ellos.

Tipos de Estadstica.

a) Estadstica Descriptiva. El objetivo de la estadstica descriptiva es

describir un conjunto de datos, organizar los datos de forma tal que se

puedan ver las tendencias y normas, se pueda dibujar grficos, calcular

estadsticos y redactar informes se llama estadstica descriptiva, para esto

se realizan los siguientes pasos:

Ordenar los datos

Recopilarlos en tablas estadsticas: distribuciones de frecuencias.

Grficos de la distribucin de frecuencias.

Clculo de estadsticos: resumen de datos.

Interpretar resultados: presentacin informe.



b) Estadstica Inferencial. Es el conjunto de mtodos o tcnicas que

posibilitan la generalizacin o toma de decisiones en base a una

informacin parcial obtenida mediante tcnicas descriptivas, es la

exposicin de predicciones y toma de decisiones. El objetivo de la

Inferencia Estadstica es hacer afirmaciones sobre la poblacin basadas en

la informacin disponible en la muestra.

Prediccin Probabilidad

Estimacin de parmetros.

Toma de decisiones.

Variables y sus clasificaciones.

Los datos estadsticos son nmeros que representan objetos concretos,

cantidades o medidas, como ser peso de una persona, nmero de alumnos,

etctera, los cuales permiten contarlos y medirlos. Las unidades estadsticas son

todos los elementos componentes de la poblacin que son objeto de estudio, por

ejemplo en el Censo de poblacin la unidad estadstica que es objeto de estudio

es la persona.

Las variables se pueden representar con letras como ser X,Y,, ..,Z; por ejemplo se

quiero representar la edad de varias personas se realiza de la siguiente forma.

X: edad de la persona

x1 = 20, x2 = 10, x3 = 19, x4 = 15, , xn=21

a) Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que

representan las cualidades de lo que se est estudiando, como ser sexo,

religin, estado civil, nivel de instruccin.



Cualitativas Nominal. Los elementos solo pueden ser clasificados en

categoras, pero no se da un orden o jerarqua, pueden ser color de los

ojos, barrio de residencia, etctera.

Cualitativas Ordinal. Son elementos que pueden ser clasificados en

categoras que tienen un orden o jerarqua, la diferencia entre valores no

se pueden realizar o no son significativas, por ejemplo grado de estudio,

cargo en una empresa, etctera.

b) Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se

caracterizan por que pueden ser cuantificables y a su vez pueden ser:

Ejemplo: Edad Precio de un producto ingreso mensual estatura peso, etc. X = Edad del Individuo

Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a simple

pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, nmeros de hijos,

etctera.

Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un intervalo

para reducir la cantidad de inversiones como ser ingreso, estatura, etctera.

Poblacin y Muestra.

a) Poblacin (N). Para la estadstica poblacin es algo mas general que solo la

agrupacin de individuos, es el conjunto de cosas, animales, etc. que poseen

algunas caractersticas en comn y que conforman la totalidad de lo que se

estudia.

b) Muestra (n). Es un subconjunto de la poblacin total la cual debe ser

representativa, la cual sirve para estudiar a toda la poblacin que es representada

por ella, por lo tanto la muestra siempre es menor que la poblacin.



Construccin de tablas de Frecuencias. Despus de realizar una encuesta, el primer paso que se debe dar es ordenar, clasificar

a los datos de una forma simple, obtener conclusiones tiles ya sea directamente o por

clculos posteriores con la finalidad de hacer un anlisis ms confiable de los mismos

para lo cual se realizan los siguientes pasos:

1. Revisin y correccin de los datos encuestados

2. Construccin de tablas de frecuencia

3. Representacin tabular, cuadros estadsticos o grficos

4. Interpretacin de datos

Datos No Agrupados

Son aquellos datos que normalmente son escasos, para la cual solo se los ordena de

manera creciente anotando las veces que aparece cada datos observado.

Ejemplo. Se obtuvieron 10 notas de estudiantes de su primer parcial sobre 25 puntos de

la materia de estadstica y se quiere construir la tabla de frecuencias de las siguientes

notas:

16 18 11 19 16 24 23 16 11 18 Obteniendo datos iniciales:

Nmero de datos(n)= 10 ni= Notas de primer parcial

Por ser escasos los datos la tabla de frecuencias ser: Primero se ordenan los datos de manera ascendente

11 11 16 16 16 18 18 19 23 24 Se puede observar que los datos se pueden agrupar de acuerdo a la cantidad de

repeticiones.

ni



Datos Agrupados

Son aquellos datos para los cuales se construye una tabla de frecuencias obteniendo el

rango, nmero de intervalos, ancho de clase y frecuencias.

a) Rango o Recorrido(R). Permite averiguar el rango o diferencia que existen entre

los datos encuestados para lo cual se halla el dato mximo y mnimo de los

observados.

R = mximo xi minino xi

b) Nmero de Intervalos (K). l nmero de intervalos proporciona la cantidad de

subconjuntos que agrupa a los datos o cantidad de filas que tendr la tabla de

frecuencias.

n= nmero de datos observados

c) Ancho de Clase (C). Indica cuantos valores se tomaron en cada clase los cuales

deben redondearse a un nmero entero en caso que el resultado sea real.

d) Frecuencia Absoluta (ni). Se llama frecuencia absoluta a los valores que se

obtienen en la encuesta los cuales estn agrupados en cada intervalo.

16

18

11

19

16

24

23

16

11

18

Notas ni

11 2

16 3

18 2

19 1

23 1

24 1



Ejemplo. Se obtuvieron las notas de 50 estudiantes del anterior semestre de la materia

de estadstica y se quiere construir la tabla de frecuencias de acuerdo a los siguientes

datos:

8 81 74 5 40 36 82 31 30 17

59 46 97 41 47 90 38 75 30 36

16 36 66 95 82 10 77 23 78 92

14 19 1 28 49 62 99 28 29 6

100 96 78 84 37 22 84 100 92 22

Obteniendo datos iniciales:

Nmero de datos(n)= 50

Nmero Mximo= 100 Nmero Mnimo= 1 Rango= 99 Numero de Intervalos= 7,071 7

Ancho de Clase= 14,14 14

Trazar la tabla de frecuencias colocando el Lmite Inferior (Li) y Limite Superior (Ls), el

numero de filas que tendr la tabla est determinado por el valor obtenido en el Nmero

de Intervalos = 7, por lo cual tendr 7 filas

Li - Ls ni

El lmite inferior se debe comenzar con el dato mnimo y a este valor se le suma el ancho

de clase para obtener el lmite superior y posteriormente se llena la columna de la

frecuencia absoluta (ni) contando el nmero de notas que existe en cada intervalo

Para Lmites Reales

Li - Ls ni 1 - 15 6

15 - 29 8 29 - 43 11 43 - 57 3 57 - 71 3 71 - 85 10

85 - 100 9

Intervalo 1

Intervalo 2

Intervalo 3

Intervalo 4

Intervalo 5

Intervalo 6

Intervalo 7

Ancho de clase=14

1+14=15

15+14=29

..



Para Lmites Aparentes

Li - Ls ni 1 - 15 6

16 - 30 11 31 - 45 8 46 - 60 4 61 - 75 4 76 - 90 9

91 - 105 8

e) Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni). Esta frecuencia nos permite acumular la

frecuencia Absoluta, lo cual implica ir sumando de la siguiente forma:

N1= n1

N2= n1+n2

N3= n1+n2+n3

.......

Nk = n1+n2+.+nk = n

f) Frecuencia Relativa (fi). Se llama frecuencia relativa al valor de porcentaje y

proporcin que ocupa en la muestra un determinado intervalo de datos.

Cuya ser igual a 1

Cuya ser igual a 100

g) Frecuencia Relativa Acumulada (Fi). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia relativa. F1= f1

F2= f1 + f2

F3 = f1 + f2+ f3

.......

Fk = f1 + f2 +.+ fk= 1 100

Ancho de clase=14

1+14=15

16+14=30

..



h) Punto Medio Marca De Clase (Xi). Se lo obtiene para el calculo de algunas formulas y obtiene el punto medio de cada intervalo.

Ejemplo. Del ejemplo anterior hallar la frecuencia relativa y absoluta, sus respectivas

frecuencias acumuladas y punto medio

Li - Ls ni Ni fi Fi fi% Fi% Xi 1 - 15 6 6 0,12 0,12 12 12 8

16 - 30 11 17 0,22 0,34 22 34 23 31 - 45 8 25 0,16 0,50 16 50 38 46 - 60 4 29 0,08 0,58 8 58 53 61 - 75 4 33 0,08 0,66 8 66 68 76 - 90 9 42 0,18 0,84 18 84 83

91 - 105 8 50 0,16 1 16 100 98

Grficos Estadsticos Para representar la informacin de manera grafica se pueden utilizar varios tipos de

grficos estadsticos:

a) Histograma. Es una serie de rectngulos proporcionales a la frecuencia

absoluta, para lo cual se usa en el eje horizontal se usa la clase (Limite Inferior y

Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).

b) Polgono de Frecuencia. Un polgono es un grfico de lnea trazada sobre los

puntos medios de los techos de los rectngulos del Histograma o directamente



graficando en el eje horizontal se usa el punto medio o marca de clase (xi) y en el

eje vertical la frecuencia absoluta (ni).

c) Ojivas. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el

eje vertical una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi% ), por lo cual el grafico se

mostrara la frecuencia de manera creciente.

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MATEMATICAS 2012