matematicas 3 guia para el maestro

SECUNDARIA TERCERO GRADO

Matemticas 3Gua para el maestro

Al maestro: La prctica docente exige cada da ms de diferentes recursos para enfrentarla y lograr una educacin de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para us-ted esta Gua para el maestro, una herramienta que le facilitar el trabajo diario en el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didctico de los Programas de estudio 2011:

Abordarloscontenidosdesdecontextosvinculadosalavidapersonal,culturalysocial de los alumnos.

Estimularlaparticipacinactivadelosalumnosenlaconstruccindesuscono-cimientos.

Contribuiraldesarrollodecompetenciasparalavida,alperfildeegresoyalascompetenciasespecficasdelaasignatura.

El trabajo con secuencias didcticas y proyectos, entendido como una estrategia de enseanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, en cuanto a su metodologa, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional de enseanza. Es por esto que la gua que ponemos a su alcance tiene comoprincipalobjetivoacompaarloencadaunadelasetapasqueconformanelproceso de trabajo con las secuencias, sealando, en primer lugar, los conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarn, y los antecedentes que sobre los conte-nidos tienen los estudiantes.

En cada una de las etapas de inicio, desarrollo y cierre, encontrar la explicacin de su intencin didctica, as como sugerencias didcticas complementarias y respues-tasacadaunadelasactividadesqueconformanlasecuencia.

Asimismo,enestaguaencontrarelsolucionariocorrespondientealasevaluacio-nes tipo pisa y enlacequeaparecenenellibrodelalumnoyunaevaluacinadicionalporbloquerecortableconlaqueustedpodr,siloconsideraconveniente,realizarunaevaluacindiferenteasusalumnos.

Aliniciodecadabloquelesugerimosunavanceprogramticoqueleayudarapla-near y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque en dondeseespecificanculessonlosaprendizajesesperadosylascompetenciasquesefavorecern.

Se incluyen recomendaciones de otros recursos, como el uso del CD Recursos di-gitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de apoyoasutrabajoenelaula,pginasdeInternet,audios,pelculas,videos, libros,museos, entre otros.

Los que participamos en la elaboracin de esta gua sabemos que con su experiencia ycreatividadlograrpotenciarlasintencionesdidcticasaquexpuestas,yasconse-guir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para ellogrodelosaprendizajesesperadosylascompetenciasparalavida.

Bloque 3 / secuencia 1 3presentacin 3

1010 BLOQUE 3

Bloque 3Contenidos del bloqueCompetencias que se favorecen Resolver problemas de manera autnoma. Comunicar informacin matemtica. Validar procedimientos y resultados. Manejar tcnicas eficientemente.

Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo

grado. Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utili-

zar estas propiedades en tringulos o en cualquier figura.

Sentido numrico y pensamiento algebraico. En este eje se concluir el aprendizaje esperado de resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado con el estudio de la frmula general y su aplicacin.

Forma, espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de trin-gulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven problemas geomtricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido, se concluye el aprendizaje esperado de resolver problemas de congruen-cia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en tringulos o en cualquier figura con la aplicacin de la semejanza en la construc-cin de figuras homotticas.

Manejo de la informacin. Uno de los temas que se estudian en este eje es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero consiste en la lectura y construccin de grficas de funciones cuadr-ticas para modelar diferentes fenmenos. En el segundo se extiende este mismo estudio a grficas formadas por secciones rectas y curvas. En el ltimo tema del eje y del bloque se estudia el clculo de la proba-bilidad de ocurrencia de dos eventos independientes.

12

Los alumnos refuerzan lo aprendido mediante la resolucin de problemas prcticos empleando la frmula general y manipulndola para observar su comportamiento con diferentes condiciones.

Consolido mis aprendizajes (pg. 117)

Los alumnos resolvern un problema a partir de su modelacin algebraica obteniendo una ecuacin completa de segundo grado para determinar las dimensiones de un rectngulo de rea conocida. A partir de la forma general de la ecuacin de segun-do grado, los alumnos identificarn los coeficien-tes de sta y el trmino independiente. Analizarn la naturaleza del discriminante de una ecuacin de segundo grado para determinar el nmero de so-luciones posibles de sta.

Resuelvo y aprendo (pgs. 112-117)

Se plantea un problema en que los alumnos ten-drn que relacionar el rea dada de una regin rectangular con una restriccin perimetral.

Inicio a partir de lo que s (pg. 112)

Prepararse para la secuenciaAprendizaje esperadoEsta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Resuelve problemas que impli-can el uso de ecuaciones de segundo grado.

Conceptos principles: ecuacin de segundo grado, incgnita, discriminante.

Antecedentes Resolucin de problemas que impliquen el uso de

ecuaciones cuadrticas sencillas, utilizando procedi-mientos personales u operaciones inversas.

Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situa-ciones y resolverlas usando la factorizacin.

Ideas errneas 1. Los alumnos suelen pensar que el trmino cuadrti-

co puede ser sumado con el trmino lineal.2. La incgnita no puede ser despejada a partir de los

primeros dos trminos de la ecuacin, donde los alumnos factorizan y tratan de resolver con este re-curso.

SD 14 La frmula infalible

BLOQUE 3 / SECUENCIA 14

Resolucin de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadrticas. Aplicacin de la frmula general para resolver dichas ecuaciones.

1111

Avance programticoAprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en tringulos o en cualquier figura.

Semanas Eje Tema Leccin Contenido Pginas

16

Sent

ido

num

ric

o

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico

Patrones y ecuaciones

14. La frmula infalible


112-117

17

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

15. Hgalo con tringulos!

Aplicacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin de problemas.

118-123

1816. Tales para cuales

Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de Tales. 124-129

19

17. Dadme un punto de apoyo y transformar la figura

Aplicacin de la semejanza en la construccin de figuras homotticas. 130-135

20

Man

ejo

de

la in

form

aci

n Proporcionalidad y funciones

18. Grficas de relaciones cuadrticas

Lectura y construccin de grficas de funciones cuadrticas para modelar diversas situaciones o fenmenos.

136-141

21

Anlisis y representacin de datos

19. Con rectas y curvas

Lectura y construccin de grficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etctera.

142-147

2220. Probabilidad de eventos independientes

Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 148-152

23 Habilidades digitales, Evaluacin pisa, Evaluacin enlace 153-158

Sugerencia. En el cd que acompaa a esta gua encontrar un generador de exmenes.

BLOQUE 3

Estructura de la guaEstructura de la gua

avance programtico

Es una propuesta para planear y organizar, de manera bi-mestral, el trabajo en el aula, atendiendo a los aprendizajes esperados del libro del alumno. En l se indican los conte-nidos a desarrollar, as como el tiempo sugerido para abor-darlos.

prepararse para la secuencia

Antes de iniciar la secuencia didctica, indicamos cules son los aprendizajes esperados, los conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarn; as como los anteceden-tes que tienen los alumnos sobre los contenidos. Tambin sealamos los propsitos de cada una de las fases de la secuencia: inicio, desarrollo y cierre.

contenidos del bloque

Al inicio de cada bloque encontrar un resumen de los aprendizajes esperados y las competencias que se de-sarrollarn a lo largo de cada bloque.

4

13

b) Identifiquen los coeficientes a, b y c en cada ecuacin cuadrtica. Realicen las operaciones necesarias para obtener ecuaciones equivalentes que les permitan responder cada situacin.

4x 2 1 3x 1 9 5 0 Coeficiente cuadrtico (a):

Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c):

x (2x 1 7) 5 0

Coeficiente cuadrtico (a): Coeficiente lineal (b):

Coeficiente independiente (c):

0 5 2x(5x 1 3)



190x 2 x 2 5 67



30 5 9x 2



(x 1 1) (x 1 9) 5 3



(x 2 2) (x 1 2) 5 0



En grupo expongan sus resultados y procedimientos; comprenlos y determinen si son correctos.

Una forma de resolver ecuaciones cuadrticas en su forma general consiste en apli-car la formula general de las ecuaciones de segundo grado, que se expresa de la siguien-te manera:

=

xb b ac

a4

2

2

donde a, b y c corresponden a los coeficientes de la forma general. El smbolo se lee ms, menos y significa que se deben hacer dos operaciones: una sumando la parte de la raz al valor de 2b y otra restndolo; es decir, se deben resolver dos ecuaciones para obtener la o las soluciones de la ecuacin de segundo grado:

xb b ac

a= 2 4

2 y x

b b aca

= + 2 4

2

113

Bloque 3

SEXMA3SB_B3_VB.indd 113 19/07/13 15:30

Pgina 114

c) Represntese con x el ancho del rectngulo. La ecuacin por resolver es x2+4x45=0, en la que a=1, b=4 y c=45.

x=

=

=

=

= ,

de donde x= 102

=5 y x= 182 =9, pero este

ltimo valor no tiene sentido. Como el largo mide 4 m ms que el ancho, las dimensiones del terre-no son 5 9 m, que coinciden con la solucin del problema del inciso a).

Manos a la ecuacin

2. a) 2 m La ecuacin tiene dos soluciones: 2 y 25.

Inicio a partir de lo que s

Pgina 112

Sugerencia didctica. Trace un dibujo del piso rec-tangular y seale en l las dimensiones por calcular.

a) x(14x)=46.75b) x=5.5c) Respuesta libre.

Resuelvo y aprendo

Pgina 112

La frmula general

1. a) x2+4x=45 x2+4x45=0 Las dimensiones son de 95 m.

Pgina 113

b) a=4, b=3, c=9 a=2, b=7, c=0 a=10, b=6, c=0 a=1, b=0, c=4 a=1, b=190, c=67 a=9, b=0, c=30 a=1, b=10, c=6

Solucionario y sugerencias didcticas

La f

rmula infalible Inicio a partir de lo que s

En equipos analicen y resuelvan el siguiente problema.

Sonia tiene un terreno que quiere utilizar como jardn para fi estas y eventos sociales; en medio del jardn pretende colocar un piso rectangular cubierto con mosaicos y rodearlo con cenefas como muestra la fi gura 3.1. Si tiene 46.75 m2 de mosaico y 28 metros lineales de cenefa, cules deben ser las dimensiones del piso para aprovechar el mosaico y la cenefa sin que falte ni sobre alguno de los dos materiales?

a) Formulen una expresin algebraica que represente el problema.

b) Resuelvan la expresin anterior e indiquen su procedimiento para encontrar la solucin, as como las difi cultades que enfrentaron.

c) Cmo podran comprobar si su respuesta es correcta?

Resuelvo y aprendo

Fig. 3.1

La frmula general

1. Formen equipos y resuelvan lo siguiente.

a) Calculen las dimensiones de un rectngulo si su largo mide 4 metros ms que su ancho y su rea es de 45 m2.

Formulen una ecuacin cuadrtica que represente el problema, la cual debe tener un trmino con la incgnita elevada al cuadrado.

Reescriban la ecuacin de modo que uno de los miembros sea igual a cero.

Cules son las dimensiones del rectngulo?

Toda ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica se puede escribir de la siguiente forma: ax 2 1 bx 1 c 5 0, que se conoce como forma general de las ecuacio-nes de segundo grado, donde a es el coefi ciente que acompaa al trmino cuadrtico (x 2) y debe ser distinto de 0 (por qu?); b corresponde al coefi ciente que acompaa al termino lineal (x), y c es el coefi ciente independiente.

112

SECUENCIA 14

SEXMA3SB_B3_VB.indd 112 19/07/13 15:30pg. 112

pg. 113

BLOQUE 3 / SECUENCIA 14

b b24ac2a

4 42 4(1) (45)2(1)

4 16 + 1802

4 1962

4 1962

36 BLOQUE 3 / HABILIDADES DIGIALES

Adivina y grafica la funcin cuadrtica

Ahora trabajaremos con un software para graficar, con el que aplicars tus conocimientos sobre funciones cuadrticas. Adelante!

1. Abre el programa (figura 1), da clic sobre el men Ventana y selecciona la opcin Adivinar: se desplegar una nueva ventana llamada Adivinar mi ecuacin, que muestra una grfica que corresponde a una funcin cuadrtica (figura 2).

Habilidades digitales

Te invito a

Entrar a la pgina http://www.edutics.mx/47J para obtener un programa graficador gratuito. (Consulta: 10 de julio de 2013).

Fig. 1

Fig. 2

2. Da clic sobre el men Ver, elige la opcin Cuadricula (figura 3), llena los campos rectangular y punteado, y presiona aplicar (figura 4). Con base en la informacin de la grfica completa la siguiente tabla con los valores de y que corresponden con los valores de x.

x 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7

y

a) Para qu valores de la variable x la funcin es igual a cero?

b) Qu valores de la variable x alcanzan los niveles mximo y mnimo?

Funcin cuadrtica

Nuevaventana

153

Bloque 3

SEXMA3SB_B3_VB.indd 153 19/07/13 15:31

Fig. 6

Fig. 7

4. Da clic sobre el men Ventana y seleccionen la opcin 2-dim: aparecer una nueva ventana con un plano cartesiano. Haz clic sobre el men Ecua y selecciona la opcin Explicita; se desplegar la ventana y 5 f ( x ) (figura 6). En el campo f ( x ) 5 escribe: C(x2A)(x2B) y presiona ok; surgir la ventana inventario (figura 7). Regresa a la ventana del plano cartesiano, da clic sobre el men Anim, selecciona la opcin Individual y da clic en A; en la pantalla aparecer la ventana valor actual de A. Sigue el mismo procedimiento para obtener las ventanas de los valores de B y C (figura 7).

5. En la ventana valor actual de C presiona las pestaas y para cambiar el valor de este parmetro; haz lo mismo para los parmetros A y B. a) Qu ocurre con la forma de la grfica de la funcin al cambiar los valores del

parmetro C?

b) Qu pasa con los valores en los que la funcin cambia a cero?

c) Qu ocurre cuando se modifican los parmetros A y B?

d) Explica qu significan los parmetros A y B en la ecuacin cuadrtica y por qu modifican la grfica en la forma en la que lo observas.

Compara tus respuestas con las de tus compaeros y en grupo valdenlas con ayuda de su profesor.

Ventana inventario

VentanasValor de A, B y C,respectivamenteGrfica la funcin

cuadrtica y 5 C (x 2 A) (x 2 B)

155

Bloque 3

SEXMA3SB_B3_VB.indd 155 19/07/13 15:31

3. Ahora haz clic en el men Ecua y elige la opcin Adivinar: aparecer una ventana donde podrs adivinar la ecuacin de la grfica. Obsrvala y en el respectivo campo escribe la ecuacin que pienses que le corresponde. Si la ecuacin que propones es incorrecta, sta se graficar junto a la original y podrs intentarlo de nuevo; por el contrario, si la ecuacin es correcta, aparecer la leyenda: Perfecto! (figura 5).

Ahora da clic sobre el men Ecua y selecciona la opcin Respuesta para obtener la ecuacin correcta en su forma factorizada. Compara tus resultados con los de tus compaeros.

Fig. 3

Fig. 5

Fig. 4

Ventanacuadrcula

Opcin cuadrcula

154

HABIlIDADeS DIGITAleS

SEXMA3SB_B3_VB.indd 154 19/07/13 15:31pg. 153

pg. 155

pg. 154

Respuestas

x 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 60 45 32 21 12 5 0 3 4 3 0 5 12 21 32

a) Para x=1 y x=3.b) El mnimo se alcanza en x=4 y el mximo se alcanza en x=7.

5. a) R. M. Cuando cambia el valor de C cambia el ancho de la parbola: si C crece, la parbola se desplaza hacia abajo y se hace ms delgada. Si C decrece, la pa-rbola se hace ms ancha y el vrtice se acerca al eje X.

b) R. M. Cuando la funcin es cero, ocurre que x=A o x=B.c) R. M. Cambia el ancho de la parbola y se desplaza de lugar.d) R. M. A y B son los valores de x para los cuales la funcin es cero, es decir, donde

la parbola interseca al eje X. Si estos valores cambian, los puntos de intersec-cin tambin, por lo que la parbola se ve modificada.

36

Evaluacin Bloque 3Nombre del alumno

Grupo Fecha

BLOQUE 3 / EVALUACIN

Subraya la respuesta correcta.

1. El nmero de soluciones que tiene la ecuacin x2+4x+6=0 es:A) Ninguna. B) Una.C) Dos. D) Una infinidad.

2. Las soluciones de la ecuacin (x1) (x+4)=16:A) 1 y 4 B) 1 y 4B) 17 y 12 D) Ninguna de las anteriores.

3. Con cul de los siguientes casos se construyen tringulos semejantes?A) Con cualquier tringulo equiltero.B) Con cualquier tringulo que sus ngulos sumen 180C) Con cualquier tringulo que tenga un lado igual a 8 cm, un ngulo de 30 y otro

lado de 5 cm.D) Con cualquier tringulo issceles.

4. Con qu criterio se obtienen tringulos congruentes al trazar la diagonal mayor de un romboide?A) Con ningn criterio, pues no se forman tringulos congruentes al trazar la diago-

nal mayor.B) Con el criterio de LAL, pues los lados de un romboide miden lo mismo y los dos

tringulos tiene un mismo ngulo de 90.C) Como la diagonal divide en dos partes iguales dos de los ngulos internos del

romboide, los tringulos son congruentes por el criterio de AA.D) Son congruentes por el criterio de ALA, pues comparten la diagonal como uno

de sus lados y los ngulos que forman la diagonal con lados son miden lo mismo.

5. Cul es la longitud del segmento EB en la siguiente figura?A) 1.84 B) 2.17C) 4.89 D) 2.26

6. Cul de las siguientes situaciones se puede resolver con el teorema de Tales?A) Conocer el permetro de las partes en la que se dividi una pieza triangular si se

le hizo un corte paralelo a su altura.B) Conocer el permetro de las partes en la que se dividi una pieza con forma de

un tringulo rectngulo si se le hizo un corte paralelo a su altura.C) Conocer el permetro de un tringulo rectngulo si slo de conocen dos de sus

lados.D) Conocer el rea de cualquier tringulo donde slo se conoce el permetro.

AD=3 DC = 2

AE=3.26 BE

CDA

solucionario y sugerencias didcticas

En cada una de las etapas de la secuencia encontrar los propsitosdelasactividades,algunassugerenciasdidcti-casadicionalesy las respuestasa lasactividadesdel librodel alumno. Encontrar la leyenda Respuesta libre cuando sea el caso.

Habilidades digitales, evaluacin pisa y evaluacin enlace

Alfinaldecadabloqueencontrarlossolu-cionarios correspondientes a la seccin Ha-bilidadesdigitalesyalasevaluacionestipopisa y tipo enlace que aparece en el libro del alumno.

evaluacin adicional

Comorecursoadicional, leofrecemos,conreactivos tipoenlace,evaluacionesbimestralesquepuedenser recorta-das para su reproduccin y aplicacin a los estudiantes.

5

El trabajo con secuencias didcticasUna secuenciadidcticaesunconjuntode actividades, textos, imgenes yotrosrecursos,organizadosapartirdeunniveldecomplejidadprogresivoentresfases:inicio, desarrollo y cierre, cuyo propsito es contribuir al logro de un aprendizaje.

Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos el aprendizaje esperado yunasituacinproblemticayarticuladora,cuyoobjetivoesmovilizarlosconoci-mientospreviosydespertarelintersdelosestudiantesentornoaloscontenidoscurriculares relacionados con dicho aprendizaje.

En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propsitos delasecuencia;queseasegurequesusestudiantesidentificanlarealidadqueserobjeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que inda-gueyreviselosposiblesesquemasdeactuacininicialqueproponensusalumnospara dar respuesta a la situacin problemtica.

Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividadesque constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imgenes y organizadores grficos. La intencin de presentarestosrecursosesladepromoverunacomprensinprofundadelasexplicacionesque ofrecen los libros.

Enesta fase losalumnosreflexionarn, resolvernyaplicarnestrategiasdiversas,lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos con-tenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimien-toquehayqueseguirylosconocimientosquedebenaplicarparapoderactuarefi-cientemente,pasandoprogresivamentedeconocimientosyprocedimientosemp-ricoshaciaprocedimientosmsexpertos.Entodomomento,esconvenientequeelmaestroofrezcaayudasespecficasenfuncindelascaractersticasdelosalumnos,yreviseconelloselesquemadeactuacin,laaplicacinconcretaquehacendesusconocimientos,yelprocesodeconstruccindenuevosconocimientos.

Enelcierredelassecuenciasserevisalasolucinqueofrecieronenuniniciolosalumnosa la situacinproblemticay sepresenta,bienunaactividadde transfe-renciaen laqueaplicarn loaprendidoenotroscontextos,bienunaactividaddesntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o enalgnorganizadorgrficoelaboradoporellos;estasactividadesatiendenellogrodel aprendizaje esperado.

Deestaforma,yunavezquelosalumnoscomprendenydominanelesquemadeactuacinquelosllevaaldesarrollodelacompetencia,sernecesarioqueelmaes-tro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompae a sus alumnos en la aplicacin deloaprendidoasituacionesdiversasvinculadasconlarealidaddesusestudiantesyevaleelprogresodesusalumnos,detectehastadnde fueronalcanzados losaprendizajesesperados,ypromuevalareflexincrticasobreloscontenidosabor-dados.

6

LaevaluacinLaevaluacinesunelementofundamentalenelprocesodeenseanza-aprendizaje,yaqueesunaoportunidadparaqueustedvaloreeldesarrollode lashabilidadesmatemticas de sus alumnos, lo cual le ser til en el diseo de sus propias estrate-giasdeenseanza.Tambinsonvaliosasparalosalumnos,yaquelespermitenserreflexivosencuantoasusavances.Conestepropsitosehanincluidoenellibrodelalumnotrestiposdeevaluacionesalfinaldecadabloque:Autoevaluacin,evalua-cin tipo enlaceyevaluacintipopisa.

Enlasautoevaluaciones,losalumnosleernunaseriedeenunciados,unoporcadaleccinvistaenelbloque,ytendrnquerespondersiconsideranquelograronelaprendizaje esperado. Despus debern escribir una propuesta para mejorar su des-empeo.Atravsdeesteejercicio,losalumnospodrnvalorarsuniveldeaprendi-zaje, pues les permitir detectar las reas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.

Las pruebas tipo enlace (EvaluacinNacionaldelLogroAcadmicoenCentrosEs-colares) estn elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cadauna.Estaevaluacinofreceunbeneficioadicionalparalapreparacindelosalumnosanteesteinstrumentodeevaluacinoficial.

En las pruebas tipo pisa(siglaseninglsdelProgramaparalaEvaluacinInternacio-nal de los Estudiantes) los estudiantes tendrn que responder preguntas de anlisis deproblemasque,ademsdeabarcarcontenidosdelbloque,implicanlamoviliza-cin de las habilidades y competencias adquiridas.

7

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1010 Bloque 3

Bloque 3Contenidos del bloqueCompetencias que se favorecen Resolver problemas de manera autnoma. Comunicar informacin matemtica. Validar procedimientos y resultados. Manejar tcnicas efi cientemente.

Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo

grado. Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utili-

zar estas propiedades en tringulos o en cualquier fi gura.

Sentido numrico y pensamiento algebraico. En este eje se concluir el aprendizaje esperado de resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado con el estudio de la frmula general y su aplicacin.

Forma, espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de trin-gulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven problemas geomtricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido, se concluye el aprendizaje esperado de resolver problemas de congruen-cia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en tringulos o en cualquier fi gura con la aplicacin de la semejanza en la construc-cin de fi guras homotticas.

Manejo de la informacin. Uno de los temas que se estudian en este eje es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero consiste en la lectura y construccin de grfi cas de funciones cuadr-ticas para modelar diferentes fenmenos. En el segundo se extiende este mismo estudio a grfi cas formadas por secciones rectas y curvas. En el ltimo tema del eje y del bloque se estudia el clculo de la proba-bilidad de ocurrencia de dos eventos independientes.

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Avance programticoAprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en tringulos

o en cualquier figura.

Semanas Eje Tema Leccin Contenido Pginas

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Patrones y ecuaciones

14. La frmula infalible


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Form

a, e

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Figuras y cuerpos

15. Hgalo con tringulos!

Aplicacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin de problemas.

118-123

1816. Tales para cuales

Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de Tales. 124-129

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17. Dadme un punto de apoyo y transformar la figura

Aplicacin de la semejanza en la construccin de figuras homotticas. 130-135

20

Man

ejo

de

la in

form

aci

n Proporcionalidad y funciones

18. Grficas de relaciones cuadrticas

Lectura y construccin de grficas de funciones cuadrticas para modelar diversas situaciones o fenmenos.

136-141

21

Anlisis y representacin de datos

19. Con rectas y curvas

Lectura y construccin de grficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etctera.

142-147

2220. Probabilidad de eventos independientes

Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 148-152

23 Habilidades digitales, Evaluacin pisa, Evaluacin enlace 153-158

Sugerencia. En el cd que acompaa a esta gua encontrar un generador de exmenes.

Bloque 3

12

Los alumnos refuerzan lo aprendido mediante la resolucin de problemas prcticos empleando la frmula general y manipulndola para observar su comportamiento con diferentes condiciones.


Los alumnos resolvern un problema a partir de su modelacin algebraica obteniendo una ecuacin completa de segundo grado para determinar las dimensiones de un rectngulo de rea conocida. A partir de la forma general de la ecuacin de segun-do grado, los alumnos identificarn los coeficien-tes de sta y el trmino independiente. Analizarn la naturaleza del discriminante de una ecuacin de segundo grado para determinar el nmero de so-luciones posibles de sta.


Se plantea un problema en que los alumnos ten-drn que relacionar el rea dada de una regin rectangular con una restriccin perimetral.


Prepararse para la secuenciaAprendizaje esperadoEsta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Resuelve problemas que impli-can el uso de ecuaciones de segundo grado.

Conceptos principales: ecuacin de segundo grado, incgnita, discriminante.

Antecedentes Resolucin de problemas que impliquen el uso de

ecuaciones cuadrticas sencillas, utilizando procedi-mientos personales u operaciones inversas.

Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situa-ciones y resolverlas usando la factorizacin.

Ideas errneas 1. Los alumnos suelen pensar que el trmino cuadrti-

co puede ser sumado con el trmino lineal.2. La incgnita no puede ser despejada a partir de los

primeros dos trminos de la ecuacin, donde los alumnos factorizan y tratan de resolver con este re-curso.

SD 14 La frmula infalible

Bloque 3 / secuencia 14


13

Pgina 114

c) Represntese con x el ancho del rectngulo. La ecuacin por resolver es x2+4x45=0, en la que a=1, b=4 y c=45.

x=

=

=

=

= ,

de donde x= 102

=5 y x= 182

=9, pero este ltimo valor no tiene sentido. Como el largo mide 4 m ms que el ancho, las dimensiones del terre-no son 5 9 m, que coinciden con la solucin del problema del inciso a).

Manos a la ecuacin

2. a) 2 m La ecuacin tiene dos soluciones: 2 y 25.


Pgina 112

Sugerencia didctica. Trace un dibujo del piso rec-tangular y seale en l las dimensiones por calcular.

a) x(14x)=46.75b) x=5.5c) Respuesta libre.

Resuelvo y aprendo

Pgina 112

La frmula general

1. a) x2+4x=45 x2+4x45=0 Las dimensiones son de 95 m.

Pgina 113

b) a=4, b=3, c=9 a=2, b=7, c=0 a=10, b=6, c=0 a=1, b=0, c=4 a=1, b=190, c=67 a=9, b=0, c=30 a=1, b=10, c=6


La f

rmula infalible Inicio a partir de lo que s

En equipos analicen y resuelvan el siguiente problema.

Sonia tiene un terreno que quiere utilizar como jardn para fi estas y eventos sociales; en medio

del jardn pretende colocar un piso rectangular cubierto con mosaicos y rodearlo con cenefas

como muestra la fi gura 3.1. Si tiene 46.75 m2 de mosaico y 28 metros lineales de cenefa, cules

deben ser las dimensiones del piso para aprovechar el mosaico y la cenefa sin que falte ni sobre

alguno de los dos materiales?

a)Formulen una expresin algebraica que

represente el problema.

b)Resuelvan la expresin anterior e

indiquen su procedimiento para encontrar

la solucin, as como las difi cultades que

enfrentaron.

c) Cmo podran comprobar si su respuesta

es correcta?

Resuelvo y aprendo

Fig.3.1

La frmula general

1. Formen equipos y resuelvan lo siguiente.

a) Calculen las dimensiones de un rectngulo si su largo mide 4 metros ms que su ancho y su rea es de 45 m2.

Formulen una ecuacin cuadrtica que represente el problema, la cual debe tener un trmino con la incgnita elevada al cuadrado.

Reescriban la ecuacin de modo que uno de los miembros sea igual a cero.

Cules son las dimensiones del rectngulo?

Toda ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica se puede escribir de la siguiente forma: ax 2 1 bx 1 c 5 0, que se conoce como forma general de las ecuacio-nes de segundo grado, donde a es el coefi ciente que acompaa al trmino cuadrtico (x 2) y debe ser distinto de 0 (por qu?); b corresponde al coefi ciente que acompaa al termino lineal (x), y c es el coefi ciente independiente.

112

SECUENCIA 14

SEXMA3SB_B3.indd 112 06/12/13 09:49

b) Identifiquen los coeficientes a, b y c en cada ecuacin cuadrtica. Realicen las operaciones necesarias para obtener ecuaciones equivalentes que les permitan responder cada situacin.

4x 2 1 3x 1 9 5 0 Coeficiente cuadrtico (a):

Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c):

x (2x 1 7) 5 0



0 5 2x(5x 1 3)



190x 2 x 2 5 67



30 5 9x 2



(x 1 1) (x 1 9) 5 3



(x 2 2) (x 1 2) 5 0



En grupo expongan sus resultados y procedimientos; comprenlos y determinen si son correctos.

Una forma de resolver ecuaciones cuadrticas en su forma general consiste en apli-car la formula general de las ecuaciones de segundo grado, que se expresa de la siguien-te manera:

=

xb b ac

a4

2

2

donde a, b y c corresponden a los coeficientes de la forma general. El smbolo se lee ms, menos y significa que se deben hacer dos operaciones: una sumando la parte de la raz al valor de 2b y otra restndolo; es decir, se deben resolver dos ecuaciones para obtener la o las soluciones de la ecuacin de segundo grado:

xb b ac

a= 2 4

2 y x

b b aca

= + 2 4

2

113

Bloque 3

SEXMA3SB_B3.indd 113 06/12/13 09:49p

g. 112

pg.

113


b b24ac2a

4 42 4(1) (45)2(1)

4 16 + 1802

4 1962

4 1962

14 Bloque 3 / secuencia 14

El problema tiene una solucin: 2 m.b) El doblez debe hacerse a 3 o 4 m de alguno de los

extremos de cada varilla. Dos. Respuesta libre.

Pgina 115

En el problema del inciso a) la ecuacin tiene dos soluciones, pero slo una de ellas resuelve el problema. En el problema del inciso b) la ecua-cin tiene dos soluciones y ambas resuelven el problema.

En el problema del inciso a) una solucin es 25, la cual no tiene sentido, pues no existen longitu-des negativas.

El discriminante de una ecuacin cuadrtica

3. a) Andrs tiene $2. El problema tiene una solucin. Una.

b) 3 y 4 o 4 y 3.

c) No existen dos nmeros opuestos entre s cuyo producto sea 9.

Respuesta libre. Respuesta libre.

Pgina 116

4. La primera es cero, una solucin, la segunda tiene raz real por lo que tiene dos soluciones, y la tercera no tiene solucin real, el discriminante es un nmero negativo.

a) S. Si el discriminante es cero, se tiene una solu-cin o dos iguales, si el discriminante es positivo

se tienen dos soluciones diferentes, por ltimo, un discriminante negativo impide obtener soluciones reales.

b)

Pgina Problema Valor del discri-

minante (b24ac)

Signo del dis-crimi-nante

Nmero de solu-ciones

112 a) 9 + 2

114a) 196 + 2

b) 729 + 2

115

c) 0 No tiene 1

b) 49 + 2

c) 36 0

Integracin

5. a) Dos soluciones.b) Una solucin.c) Ninguna solucin.

6. a) x2x2=0 b) x28x+16=0c) x22x+5=0d) Respuesta libre.

Pgina 117

e) Respuesta libre.

Consolido mis aprendizajes

Pgina 117

1. 5.58.5 ma) Hay dos soluciones y ambas resuelven el proble-

ma.b) Respuesta libre.c) Respuesta libre.d) Respuesta libre.

2. a) 6.067.94 m3. La altura es de 4 cm y la base, de 6 cm. El rea es de

12 cm2.

El discriminante de una ecuacin cuadrtica

3. Formen equipos y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la frmula general.

a) Andrs tiene cierta cantidad de dinero, pero debe cuatro veces esa cantidad, y sabe que si consiguiera el cuadrado de lo que tiene ms 4 pesos, entonces podra liquidar la deuda. Cunto dinero tiene Andrs?

Cuntas soluciones tiene el problema?

b) El producto de dos nmeros consecutivos es 14. Cules son esos nmeros? Planteen este problema como una ecuacin cuadrtica y resulvanla con la fr-

mula general.

Cuntas soluciones existen para el problema?

c) Encuentren dos nmeros opuestos cuyo producto sea 9. Utilicen mtodos personales para resolver el problema o, si consideran que no

hay solucin, expliquen sus razones.

Planteen una ecuacin cuadrtica para resolver el problema con la frmula gene-ral; utilicen su calculadora. Anoten sus resultados y observaciones.

Encontraron alguna dificultad para resolver la ecuacin? Si su respuesta es afir-mativa, expliquen en qu consiste.

En la frmula general x 5 =

xb b ac

a4

2

2

, la expresin b 2 4ac que est dentro de la raz se conoce como discriminante de la ecuacin.

En secuencias anteriores aprendieron que una ecuacin cuadrtica puede tener dos soluciones diferentes. Analicen los problemas de los incisos a) y b) anteriores y respondan en cules la ecuacin cuadrtica tiene dos soluciones diferentes, pero slo una resuelve el problema.

En los problemas que mencionaron expliquen por qu no tiene sentido usar como respuesta la otra solucin de la ecuacin.

En grupo expongan sus respuestas y procedimientos, y verifquenlos con ayuda de su profesor.

Nmeros opuestos: son los que sumados dan como resultado 0; tambin se definen como los nmeros con el mismo valor absoluto, pero diferente signo o aquellos que, en la recta numrica, estn separados la misma distancia del origen, pero en sentidos opuestos. Ejemplos: 4 y 24, 2 2

3 y 2

3, p

y 2p.

115

Bloque 3

SEXMA3SB_B3.indd 115 06/12/13 09:49p

g. 115

15

SD 15


Prepararse para la secuenciaAprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado en la leccin 17 de este bloque: aplicar los criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin de problemas.

Conceptos principales: congruencia y semejanza, explicitacin de los criterios de congruencia y seme-janza de tringulos a partir de construcciones con in-formacin determinada, construccin de figuras con-gruentes o semejantes.

Materiales: calculadora, escuadras, dos hojas de tama-o carta.

Antecedentes Construccin de tringulos dados ciertos datos. Anli-

sis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Construccin de figuras congruentes o semejantes (tringulos, cuadrados y rectngulos) y anlisis de sus propiedades.

Ideas errneas1. Por lo comn, los alumnos se confunden, no se dan

cuenta de que todo par de tringulos congruentes son tambin semejantes, pero no viceversa.

Hgalo con tringulos!Aplicacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin de problemas.

15

2. Los estudiantes suelen cometer errores al momento de asignar los lados correspondientes en tringulos semejantes que no estn en la misma posicin.

3. Algunos estudiantes presentan dificultad en esquema-tizar problemas que se resuelven geomtricamente.


Se plantea un problema que permite recuperar los conocimientos acerca de la semejanza de dos tringulos y poder resolverlo a partir de sus conocimientos previos.

El alumno aplicar los criterios de semejanza y congruencia para plantear y resolver problemas especficos, tambin construir figuras semejantes a otras.


El alumno resolver nuevamente el problema ini-cial, as como una variante del mismo y deber comparar ambos procedimientos. Tambin resol-ver un problema adicional de semejanza de trin-gulos.



Hg

alo co

n tring

ulos

!Inicio a partir de lo que sResuelvan en equipos el siguiente problema.

En un momento del da, las sombras de dos edifi cios contiguos coinciden. Observen la fi gura 3.4 y

respondan.

Resuelvo y aprendo

a)Cul es la altura del edifi cio ms alto?

b)Expliquen el procedimiento que siguieron para hacer el clculo

Fig.3.4

Problemas geomtricos con tringulos

1. En equipos realicen las siguientes actividades.a) Observen el rombo ABCD, cuyas diagonales son BD y AC y respondan. Los tringulos ADE y ABE son congruentes?

Con qu criterio de congruencia pueden demostrar su respuesta?

Si cada lado del rombo mide 15 cm y el segmento AE mide 13.5 cm, cul es la medida de los segmentos DE , EB y EC ?

Qu procedimiento usaron para encontrar las medidas?

A

BE

C

D

Fig.3.5

6 m

10 m

15 m

118

SECUENCIA 15

SEXMA3SB_B3.indd 118 06/12/13 09:49p

g. 118


16


Pgina 118

a) 35 mb) Respuesta libre.

Resuelvo y aprendo

Problemas geomtricos con tringulos

1. a) S. LLL DE=BE6.5 y EC=13.5 Respuesta libre.

Pgina 119

b) Respuesta libre.2. a) Figura de la izquierda: Se trazan dos rectas, una

que tenga como extremo el punto C y pase por el punto B y otra que tenga como extremo al punto C y pase por el punto A; con ayuda de las escuadras trazar una lnea paralela a AB, de forma que dicha lnea tenga sus extremos O y N en las lneas antes trazadas. Se trazan dos l-neas ms de forma que cada una tenga como extremo al punto C y una pase por el punto D y la otra por el E. Utilizando las escuadras se trazan los segmentos de recta OP y PQ, paralelos a AE y ED, respectivamente. Por ltimo, se trazan los segmentos QC y CN, con lo cual tenemos un pentgono ONCQP semejante a ABCDE.Figura de la derecha: Respuesta anloga.

Pgina 120

b)

Fig.3.7

b) Consigan dos hojas de papel tamao carta. Discutan una estrategia para doblar y recortar una y conseguir que sea semejante a la hoja de tamao original.

Dibujen en su cuaderno los dobleces para obtener la hoja semejante. Podrn usar el mismo procedimiento para cualquier tamao de hoja (oficio,

media carta, A4, etctera)? Por qu?

Comparen sus resultados y procedimientos con otros equipos, y decidan cules fue-ron los ms ingeniosos.

2. Realicen la siguiente actividad en parejas.

a) Observen dos procedimientos incompletos para trazar un polgono semejante a otro. Con apoyo de las escuadras se trazan lneas paralelas a los lados de los polgonos.

Expliquen en su cuaderno el procedimiento completo, y expliquen por qu se puede asegurar que as se obtienen figuras semejantes.

Completen los procedimientos realizando los trazos necesarios.

b) Observen los siguientes cuadrilteros.

C

D

E

AN

B

O

J

I

H

G

MK

L

F

Fig.3.6

Bloque 3

119

Bloque 3

SEXMA3SB_B3.indd 119 06/12/13 09:49p

g. 119

AN

B

C

DQ

P

O

E

O

H

GF

J

I

N

M

L

P

K

Bloque 3 / secuencia 1 1717

Para que esto sea posible, el cuadriltero debe tener dos pares de lados congruentes.

c)

Un paralelogramo. Como RQS=USQ, resulta que estos ngu-

los son alternos internos. Por tanto, US es parale-lo a QR.

Con un razonamiento anlogo resulta que UQ y SR son paralelos. As, el cuadriltero USRQ es un paralelogramo.

Respuesta libre. Tambin un paralelogramo.

Integracin

3. a) Por el criterio LAL los tringulos RTS y UTQ son congruentes. En consecuencia TSR=TQU y TRS = TUQ. Luego, QU es paralelo a RS, ya que los ngulos alternos internos son iguales.

Pgina 121

Clculo de distancias inaccesibles

4. a) El ancho del ro es de 14 m. Los tringulos MGR y MPJ son semejantes, por el

criterio AAA, de lo cual

PM7

= 105

.

Luego, PM = 14 m.

b) La altura de la Torre Latinoamericana es de 188 m. Respuesta libre. Respuesta libre.

Pgina 122

c) Respuesta libre. 5.147 815 km, aproximadamente. Respuesta libre. Respuesta libre.

d) 29 m, aproximadamente.

Pgina 123

e) Respuesta libre.


1. a) 35 m Respuesta libre.

b) 50 m2. 51.75 m3. Respuesta libre.


Con cules de ellos, al dividirlos por alguna de sus diagonales, se obtienen dos tringulos congruentes?

Analicen su respuesta y expliquen qu propiedades deben tener los cuadrilte-ros para que, al dividirlos por una de sus diagonales, se obtengan dos tringulos congruentes.

c) Construyan un cuadriltero a partir de las rectas de la figura 3.8. Consideren ambas rectas como diagonales del cuadriltero que se cortan en sus puntos medios.

Qu tipo de cuadriltero trazaron?

Apliquen sus conocimientos sobre tringulos congruentes, criterios de congruen-cia, semejanza de tringulos, ngulos que se forman en dos paralelas cortadas por una recta y ngulos opuestos al vrtice, para comprobar el tipo de cuadriltero que se forma con los vrtices de las rectas.

Tracen en sus cuadernos dos diagonales, distintas a las anteriores, que tambin se corten en sus puntos medios y construyan el cuadriltero correspondiente. De qu tipo de cuadriltero se trata?

Comparen su trabajo con el de otros equipos. Qu tipo de cuadriltero trazaron sus compaeros?

Fig.3.8

Integracin3. En grupo y con ayuda de su profesor realicen lo que se pide.

a)Escriban una afirmacin que relacione las caractersticas del cuadriltero que formaron con

las dos rectas que se cruzan en sus puntos medios y que son las diagonales del cuadriltero.

Esto ocurre para cualquier cuadriltero con las mismas caractersticas?

S

U

T

R

Q

120

SeCueNCIA 15

SEXMA3SB_B3.indd 120 06/12/13 09:49p

g. 12

0

Fig.3.9

Fig.3.10

Clculo de distancias inaccesibles

4. En parejas realicen la siguiente actividad.

a) Un grupo de ingenieros topgrafos necesita medir el ancho de un ro, y para ello colocaron postes en los puntos marcados con las letras G, M, J, P y R; la distancia entre algunos postes se indica en el diagrama.

Observa las figuras geomtricas que se forman, cmo son entre s?

Cunto mide el ancho del ro, es decir, cul es la distancia entre los

postes P y M?

Expliquen el procedimiento que siguieron para encontrar la respuesta.

b) Desde la Antigedad se ha utilizado la proyeccin de las sombras del sol para calcular la altura de rboles, pirmides o torres, y en general de alturas de objetos que sera muy difcil medir de manera directa. El siguiente esquema muestra la Torre Latinoamericana en el centro de la Ciudad de Mxico y una pequea casa. Las medidas de la sombra que proyecta la torre, la altura de la casa y la sombra de sta se pueden calcular de manera directa y son las que se muestran en la figura 3.10. Con esos datos calculen la altura de la Torre Latinoamericana.

P J

M

GR 5 m

7 m

10 m

Describan el mtodo que siguieron para calcularla.

Comparen su procedimiento con el de sus compaeros. Qu criterios utilizaron uste-des y cules sus compaeros? Los consideran correctos? Cmo podran validarlos?

Sombra proyectada de la casa 3 m

Altura de la casa 16 m

Sombra35.25 m

121

Bloque 3

SEXMA3SB_B3.indd 121 06/12/13 09:49p

g. 12

1

Q

R

T

U

S

Prepararse para la secuenciaAprendizaje esperadoEsta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Resuelve problemas de con-gruencia y semejanza que implican utilizar estas pro-piedades en tringulos o en cualquier figura.

Conceptos principales: teorema de Tales, divisin de un segmento en partes iguales, aplicacin del teorema de Tales.

Materiales: calculadora, regla, comps, un bolgrafo, un palito de madera delgado y una hoja de cuaderno de rayas.

Antecedentes Construccin de tringulos dados ciertos datos. Anli-

sis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Construccin de figuras congruentes o semejantes (tringulos, cuadrados y rectngulos) y anlisis de sus propiedades.

Explicitacin de los criterios de congruencia y seme-janza de tringulos a partir de construcciones con in-formacin determinada.

Aplicacin de los criterios de congruencia y semejan-za de tringulos en la resolucin de problemas.

Ideas errneas1. Los estudiantes suelen cometer errores al momento

de asignar los segmentos correspondientes al aplicar el teorema de Tales.

2. Algunos estudiantes presentan dificultad en interpretar los esquemas de problemas que se resuelven geom-tricamente.

3. Algunos estudiantes tienen dificultad para trazar cons-trucciones geomtricas con regla y comps.

Tales para cualesSD 16


Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de Tales.

El alumno resolver nuevamente el problema ini-cial, y deber comparar ambos procedimientos. Tambin resolver un problema adicional utilizan-do el teorema de Tales y otros conocimientos pre-vios.


El alumno comprender y aplicar el teorema de Tales para resolver problemas especficos. Tam-bin ser capaz de utilizarlo para dividir un seg-mento en partes iguales.


Se plantea un problema que introduce al teore-ma de Tales. Se espera que los alumnos lo re-suelvan a partir de sus conocimientos previos.


18

Integracin

2. Proporcional.

AB es proporcional a CE.

BF es proporcional a ED.

AF es proporcional a CD.

Pgina 126

3. a)

Segmento Medida Justificacin

OT 2 cm

TU 3 cm

UV 4 cm

NO 1.5 cm

PT 4.5 cm Medida dada.

QU 9 cm

SV 15 cm



Tales pa

ra cua

les Inicio a partir de lo que s

Resuelvan en equiposel siguiente problema.

El seor Martnez quiere cercar el terreno que se identifi ca como el lote 2 de la manzana 1 (L2M1)

del fraccionamiento Hroes de la independencia, el cual se representa en el croquis. Si los

segmentosAB , CD , EG y FH son paralelos entre s y perpendiculares al segmento BFBF

, cuntos

metros de cerca necesitar?

Resuelvo y aprendo

Fig.3.13

a)Qu procedimiento usaron para calcular la distancia DG ? Expliquen.

b)Qu procedimiento usaron para calcular las distancias CD y EG ?

El Teorema de Tales

1. En equipos resuelvan la siguiente situacin.

a) En el tringulo ABC se trazaron dos rec-tas paralelas al lado AB, originando los segmentos DF y EG .

Observen los tringulos ABC, FDC y GEC que se forman. Cmo son entre s? Justifi quen su respuesta en su cuaderno.

Si el segmento AB mide 9.7 cm, cunto miden los segmentos DF y EG ?

Cunto miden los segmentos FC y GC sabiendo que el segmento AC mide 8 cm.

Expliquen el procedimiento que usaron para determinar las medidas.

Fig.3.14

Calle Nios Hroes

Calle Reforma

Calle

de la Paz

AD

GH

FECB

18 m

14 m8 m 6 m

L1M1

L2M1

L3M1

8.24 m

9.7 cm

8 cm

A

F

G

CEDBBD 5 3 cm

AF 5 2 cm

DE 5 4 cm EC 5 5 cm

124

SECUENCIA 16

SEXMA3SB_B3.indd 124 06/12/13 09:49

Fig.3.13

Determinen las medidas del segmento FG .

Calculen los siguientes cocientes.

BDAF

5 DE

FG5

EC

GC5

Comparen los resultados. Qu observan?

b) Tracen un tringulo cualquiera con dos rectas paralelas a uno de los lados como en el ejercicio anterior. Intercambien su tringulo con el de otro equipo. Determinen las medidas de los segmentos que se forman entre las dos paralelas y los lados del tringulo, y calculen los cocientes. Anoten sus conclusiones en su cuaderno.

Comparen sus resultados con los de otros equipos. Qu tienen en comn los cocientes en cada tringulo?

c) Recapitulen. Completen el enunciado.

Al trazar dos rectas paralelas a uno de los lados de un tringulo que cortan los

otros dos lados, en ambos lados se forman segmentos entre s.

Integracin2.En grupo y con apoyo del profesor completen el siguiente texto.

a)Una generalizacin de la propiedad que relaciona los segmentos formados por dos rectas

paralelas que cortan dos lados de un tringulo es el teorema de Tales, el cual se enuncia de la siguiente manera:

Si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, cada uno de los

segmentos determinados en una de las rectas es al segmento

correspondiente en la otra recta.

Por ejemplo:

El segmento AB es proporcional al

segmento .

El segmento es proporcional al

segmento .

El segmento AF es proporcional al

segmento .Fig.3.15

A

C

E

B

F

D

125

Bloque 3

SEXMA3SB_B3.indd 125 06/12/13 09:49

3. Formen parejas y resuelvan los siguientes problemas.

a) En la siguiente construccin geomtrica, los segmentos NO , PT , QU y SV son paralelos entre s. Encuentren las medidas que se especifican en el cuadro y justi-fiquen cada resultado.

b) En la siguiente figura, las rectas AB , HI , FE y DG son paralelas. Calculen las distancias:

IE = EG =

Fig.3.16

Fig.3.17

Segmento Medida Justificacin

OT

TU

UV

NO

PT

QU

SV

Comparen sus resultados con los de otros equipos y verifquenlos aplicando el teo-rema de Tales.

A

O

U

V

T

N PQ

S

1 cm1 cm 2 cm

3 cm

4 cm

4.5 cm

A

B

IH

F

D G

EDF5 1.8

FH5 2.2

HA5 0.91BI5 0.91

126

SeCueNCIA 16

SEXMA3SB_B3.indd 126 06/12/13 09:49pg.

124

pg.

125

pg.

126


Pgina 124

57.02 m, aproximadamente.a) Respuesta libre. b) Respuesta libre.

Resuelvo y aprendo

El teorema de Tales

1. a) Los tringulos ABC, FDC y GEC son semejantes en-tre s por el criterio AAA.

DF=7.275 cm y EG4.041 6 cm FC=6 cm y GC=3.3 cm Respuesta libre.

Pgina 125

FG= 2.6 cm y GC= 3.3 cm

= =1.5; = 1.5;

= 1.5.

Todas las razones son iguales.b) Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas,

los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspon-dientes en la otra. Todas las razones son iguales.

c) Proporcionales.

BDAF

ECGC

DEFG

32

42.6

53.3

OT = 1(2)1

TU = 1(3)1

TU = 1(4)1

OTNP

= OTNP

;

TUPQ

= AOAN

;

UVQS

= AOAN

;

NO = 1(4.5)3

NOPT

= ANAP

;

QU = 6(4.5)3

QUPT

= AQAP

;

QU = 10(4.5)3

SVPT

= ASAP

;


b) IE=2.2 EG=1.8

Pgina 127

Divisin de un segmento en partes iguales

4. a) Observar la imagen.b) Iguales.

A partir de la siguiente figura:

ABAE

= BCED

; AB= BC AEED

,

pero AF=ED. Luego, AB=BC.

5. Respuesta libre.

Pgina 128

6. El procedimiento funciona porque los tringulos

ADM, AEN y AFB son semejantes entre s (por el criterio AAA, ya que DM, EN y FB son paralelas). Por el teorema de Tales:

AMAD

= MNDE

= NBEF

.

Y como AD= DE= EF, entonces

AM= MN= NB.

El mtodo es vlido mientras el segmento y la se-mirrecta no formen un ngulo llano. A excepcin de este caso, la amplitud del ngulo no altera los resultados de la construccin geomtrica. La abertura del comps tampoco afecta los resulta-dos obtenidos. La validez de este mtodo tiene su base en el teorema de Tales.

Pgina 129

Aplicacin del teorema de Tales

7. a) 1.875 m 3.75 m 1.25 m

b) El punto P divide al segmento en la forma que se pide.

c) Se traza el segmento AB sobre la hoja rayada, de manera que uno de sus extremos (A en este caso) est sobre una de las rayas del cuaderno. Luego se traza un segmento de recta AC, tal que C est sobre una raya del cuaderno y el segmento de rec-ta AB interseque seis veces con los renglones del cuaderno, incluyendo los extremos, de forma que el segmento AC quedar dividido en cinco partes iguales con los puntos de interseccin con las ra-yas del cuaderno. Al trazar el segmento BC y los segmentos paralelos a l, dividimos el segmento AB en cinco partes iguales, de modo que el punto

Divisin de un segmento en partes iguales

4. En equipos consigan un palito de madera delgado, un bolgrafo, una hoja de cuader-no de rayas y una regla.

a) Coloquen el palito inclinado sobre la hoja rayada, de modo que sus extremos coincidan con dos lneas del cuaderno. Observen la fi gura 3.18.

Fig.3.18

Fig.3.19

b) Marquen con el bolgrafo los puntos donde las lneas del cuaderno coinciden con el largo del palito.

Midan la distancias entre cada marca. Cmo son entre s?

Justifi quen el resultado a partir del teorema de Tales. Consideren que las lneas del cuaderno son equidistantes y paralelas.

5. En parejas dividan la recta AB en ocho partes iguales y la recta FG en cinco, utilicen el mtodo anterior. Expliquen sus procedimientos.

A

B G

F

Equidistantes:que se encuentran a la misma distancia.

127

Bloque 3

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g. 12

7

6. Un procedimiento experto para dividir una recta en n partes iguales es el siguien-te. Analcenlo en parejas y reprodzcanlo en su cuaderno utilizando su juego de geometra.

a) Tracen un segmento de recta AB. En la figura 3.20 puedes ver un ejemplo.b) Tracen una semirrecta AC que forme un ngulo cualquiera con el segmento AB.

El punto A es comn a ambas rectas.c) Tracen con el comps arcos de una medida cualquiera iniciando en el punto A;

consecutivamente, lo arcos deben iniciar en los puntos de interseccin de cada arco anterior con la semirrecta. Tracen tantos arcos como el nmero de partes en que quieran dividir el segmento AB.

d) Unan con una recta el punto donde coinciden la semirrecta y el ltimo arco con el punto B, y tracen paralelas que pasen por los puntos de interseccin entre la semirrecta y el resto de los arcos; las paralelas deben cortar el segmento AB. Los puntos de corte sealan la divisiones del segmento.

AM N B

D

E

F

C

Fig.3.20

Fig.3.21

Por qu funciona este procedimiento? Expliquen.

El mtodo seguira siendo vlido si el segmento y la semirrecta formaran un ngu-lo distinto? Y si cambiaran la abertura del comps? Justifiquen sus respuestas.

Compartan en grupo sus respuestas a las actividades 4 y 6, y con ayuda de su profe-sor concluyan cmo dividir un segmento de recta aplicando el teorema de Tales.

El teorema de Tales recibe su nombre en honor a Tales de Mileto, filosofo griego de la Antigedad que vivi en el siglo VI a. n. e. Tales enunci el teorema al analizar las pro-piedades de las rectas paralelas y su relacin con los tringulos semejantes. Observ que al trazar una recta paralela a uno de los lados de un tringulo se obtiene un nuevo tringulo semejante al primero y, por tanto, sus lados son proporcionales al original.

ABC DBEDe ah se obtiene el teorema de Tales, tal como lo has estudiado en esta secuencia.

A

CB

D

E

128

SeCueNCIA 16

SEXMA3SB_B3.indd 128 06/12/13 09:49p

g. 12

8

20

P

A

C D

EB


1. a) El seor Martnez necesitar 57.02 m, aproximada-mente.

CE+EG+DG+CD

14+12.57+14.42+16.03=57.02.

Procedimiento para calcular la longitud de DG. Por el teorema de Tales se tiene que

DG8.24

= 148

.

As, DG= 14(8.24)8

=14.42 m.

Procedimiento para calcular las longitudes de CD y EG. Para calcular estas longitudes, es necesario completar el tringulo que se forma al extender los segmentos BC, AH y BF hacia el lado donde stos se intersecan en el punto K, como lo muestra la siguiente figura.

Por el teorema de Tales se tiene que

v8.24 =w8 .

As, v= 8.24w8

=1.03w.

Como FH es perpendicular a BF, tambin lo es a BK y el tringulo HFK es rectngulo, por lo que

u2=v2w2

u= (1.03w)2w2

u=w 0.060 9.

Como los tringulos ABK y HFK son semejantes:

8+14+6+w18

= wu ,

28+w18

= w0.609w

.

As, w72.94 28=44.94.

Como los tringulos ABK y DCK son semejantes:

x18

= 14+6+w8+14+6+w

.

De donde

x= 64.94(18)72.94

16.03.

Luego, CD16.03 m.Como los tringulos ABK y GEK son semejantes:

y18

= 6+w8+14+6+w .

De donde

y= 50.94(18)

72.94 12.57.

Luego, EG 12.57 m.b) AH 1.662 unidades.

DH 2.4 unidades. FJ 1.6 unidades. JC 2.3324 unidades


K divide al segmento AB en dos partes donde sus longitudes mantienen una razn 2 a 3, como se muestra en la figura que sigue.

Aplicacin del teorema de Tales

7. En parejas resuelvan los siguientes problemas y valdenlos en grupo con ayuda de su profesor.

a) Una antena se instalar sujetndola con 12 cables tensores, tres orientados a cada uno de los puntos cardinales. Cada cable tensor debe ser paralelo a los otros dos del mismo punto cardinal como se muestra en la fi gura 3.22. Con base en la informacin de la imagen respondan.

A qu distancia de la base de la antena se encuentra el punto N?

A qu distancia de la base de la antena est el punto O?

Cul es la distancia entre los puntos O y K?

b) A partir del teorema de Tales dividan el siguiente segmento en dos partes, de manera que una de ellas mida el doble que la otra.

P Q R B

M

L

J

BK 5 5 mBM 5 3 m

LM 5 3 mJL 5 2 m

N O K

Fig.3.22

Fig.3.23

Fig.3.24

Te invito a

visitar las siguientes direcciones electrnicas: http://www.edutics.mx/4nChttp://www.edutics.mx/4nj, donde encontrars modelos interactivos para el teorema de Tales. (Consulta: 24 de junio de 2013).

c) Expliquen en su cuaderno cmo utilizar el mtodo de la hoja rayada para dividir un segmento en dos partes donde sus longitudes mantengan una razn de 2 a 3.

Consolido mis aprendizajes1. De manera individual resuelve los siguientes problemas.

a)Utiliza el teorema de Tales para resolver el problema inicial (pgina 124). Compara tu

resultado y procedimiento con el que hiciste al principio. Fue correcto? Cul es ms exacto?

b)Observa la siguiente fi gura. Considera que la cuadrcula es de 1 u2 y, sin necesidad de medir,

encuentra las distancias de los segmentos.

AH 5

DH 5

FJ 5

JC 5

A

B D

HI

J

K

E F G C

129

Bloque 3

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g. 12

9A

K

B

C

A8.24

18

8 614B

DG

Hv

w

uyx

K

C E F


Prepararse para la secuenciaAprendizaje esperadoAl terminar esta secuencia se espera que el alumno resuelva problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en tringulos o en cualquier figura.

Conceptos principales: semejanza, homotecia, cen-tro de homotecia, razn de homotecia.

Material: regla graduada.

Antecedentes Construccin de figuras congruentes o semejantes

(tringulos, cuadrados y rectngulos) y anlisis de sus propiedades.

Explicitacin de los criterios de congruencia y seme-janza de tringulos a partir de construcciones con in-formacin determinada.

Aplicacin de los criterios de congruencia y semejan-za de tringulos en la resolucin de problemas.

Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de Tales.

Ideas errneas1. Es posible que los alumnos se confundan al calcular

la razn de semejanza, es decir, que inviertan el nu-merador y el denominador.

Por ejemplo, si se tiene un tringulo equiltero de 1 cm por lado y otro tringulo homottico donde cada uno de sus lados mide 2 cm, se tienen dos ra-zones de semejanza 12 y 2 de acuerdo con la razn que se pida ser el resultado. En ocasiones, de las dos opciones, darn la razn incorrecta.

Dadme un punto de apoyo y transformar la figura

SD 17

Aplicacin de la semejanza en la construccin de figuras homotticas.

Los alumnos utilizarn lo aprendido para corrobo-rar la respuesta del problema inicial y resolvern problemas para fortalecer el conocimiento adqui-rido.


Los alumnos resolvern una serie de actividades con las que estudiarn el concepto de homotecia mediante la razn de semejanza entre figuras.


Se plantea un problema que los alumnos ten-drn que resolver utilizando la semejanza de fi-guras. Concepto que aprendieron en contenidos anteriores.



Dadme un

pun

to de apoyo...

y transformar la fi gu

ra Inicio a partir de lo que sResuelvan en equipos el problema siguiente.

En la clase de Artes, el equipo de Karina planea presentar

una obra de teatro basada en la obra Drcula de Bram Stoke. Para dar ms realismo a su presentacin planean proyectar

sombras de murcilagos de cartn, como el de la fi gura 3.25.

Cuando la fi gura original est a 10 cm de distancia del proyector, sobre la pared se ve un

murcilago 10 veces ms grande.

a)A qu distancia debern colocar el murcilago si quieren que la proyeccin sea cinco veces

ms grande que la original?

b)Y para que sea 12.5 veces ms grande?

Resuelvo y aprendo

Fig.3.25

Imgenes en un proyector

1. En equipos analicen las imgenes que se pro-ducen con un proyector.

Material- Una fuente de luz: linterna de mano, vela

o foco incandescente.- Una pantalla, puede ser una pared blanca

o un lienzo de tela sobre una pared.- Diferentes objetos planos para proyectar.

Procedimiento1. Dirijan la fuente de luz hacia la pantalla.2. Coloquen un objeto entre la fuente de luz y la pantalla; observen la sombra que

se proyecta.3. Modifi quen las distancias a las que colocaron la fuente de luz y el objeto de la pantalla.

Anlisis de resultados y conclusiones

Cmo son las imgenes que se forman sobre la pantalla en relacin con la forma

de las imgenes que se colocan frente a la linterna?; es decir, indiquen si son

semejantes, congruentes, distintas, etctera.

Qu sucede a la imagen si acercan el objeto a la fuente de luz?, se modifi ca su

tamao?, se modifi ca su forma?

Fig.3.26

130

SECUENCIA 17

SEXMA3SB_B3.indd 130 06/12/13 09:49pg.

130



Pgina 130

Sugerencia didctica. Si nota que los alumnos tie-nen dificultades para responder, trace un ejemplo en el pizarrn para obtener la razn de semejanza entre figuras. Despus, inctelos a que vinculen el ejemplo y la actividad.

a) El murcilago se debe colocar a 20 cm del proyec-tor para que se vea 5 veces ms grande.

b) El objeto debe estar a 8 cm del proyector.

Resuelvo y aprendo

Pgina 130

Imgenes en un proyectorAnlisis de resultados y conclusiones

1. Son semejantes entre s. La imagen en la pantalla se ver ms grande mien-

tras ms cerca est el objeto a la fuente de luz. La forma es la misma.

Pgina 131

Mientras ms lejos se coloque el objeto de la fuente de luz, ms grande se ver la imagen en la pantalla.

La imagen en la pantalla crece si disminuye la dis-tancia del objeto al proyector, y decrece si la misma distancia aumenta.

Respuesta libre.

Homotecia

2. a) La razn de semejanza es 3.3 y se obtuvo calcu-lando el cociente de un par de lados correspon-dientes, por ejemplo, DE

DE.

Que coinciden en un solo punto, en el punto O. La distancia es 1.3 cm. La distancia es 4.3 cm. El valor es 3.3. La distancia es 1.8 cm. La distancia es 6 cm. El valor es 3.3. La distancia es 1.2 cm. La distancia es 5.6 cm. El valor es 3.3. Que todos los valores son iguales. S. La relacin anterior se cumple porque los

tringulos OCB y OCB son semejantes, por lo que existe una relacin de proporcionalidad entre lados correspondientes. Esto mismo va a ocurrir con cada uno de los lados de la figura.

Por la razn de la respuesta anterior, el valor de los cocientes en ambos casos es la misma.

Pgina 132

b) Respuesta modelo. Todos tienen la misma razn de proporcionalidad.

Respuesta modelo. Es el mismo valor que el de la respuesta anterior.

Integracin

3. a) Las rectas no coincidirn en ningn punto porque son rectas paralelas.

b) Las rectas se intersecan en un punto.4. a) Respuesta modelo. Primero trazamos segmentos

de recta que unan cada vrtice de la figura con el centro de homotecia. Despus, en cada seg-mento marcamos, con un punto, a un cuarto de distancia partiendo del punto O al otro punto en la figura. Por ltimo, unimos cada punto trazado en el paso anterior obteniendo un cuarto de la figura original.

C

C

B

B

A

A

D

D

O


Pgina 133

b) Es el punto marcado en el centro de stas. Su razn de semejanza es 2.

c) El punto de homotecia se encuentra donde se intersecan las rectas que pasan por el vrtice de una estrella y el vrtice correspondiente de la otra estrella. La razn de semejanza es:

0.36= 411 .

En ambas actividades la razn de semejanza fue menor que 1, esto quiere decir que la figura nue-va es menor que la original. Por otro lado, obser-vamos que el punto de homotecia se encuentra en distintas posiciones.

d)

Pgina 134

La razn de semejanza es 2 que se obtuvo del cociente OA

OA.

La razn de semejanza es 1.5 o 32

que se obtu-vo del cociente OA

OA.

La razn de semejanza es 3 que se obtuvo del cociente OA

OA.

Se puede ver que si se multiplica la razn de se-mejanza que hay entre los polgonos ABCDEF y ABCDEF por la razn de semejanza entre ABCDEF y ABCDEF se obtiene la razn de semejanza entre los polgonos ABCDEF y ABCDEF.

Cmara oscuraAnlisis de resultados y conclusiones

5. Las imgenes se ven invertidas y ms pequeas. El tamao de la imagen es mayor si el objeto se

encuentra cerca del orificio. La imagen disminu-ye de tamao al alejar el objeto del orificio.

Pgina 135

Sugerencia didctica. Si lo considera pertinente, para realizar el dibujo, comente con los alumnos que el orificio de la caja representa el centro de homotecia.

Respuesta modelo.

Homotecia con razn negativa

6. a) S, porque aunque la orientacin y el tamao es distinto, la forma es la misma.

Que ahora la imagen aparece volteada respecto al objeto. Adems, se localiza del otro lado del centro de homotecia.

La razn de semejanza es 0.4.


Pgina 135

1. a) Se halla a 1 m de distancia, es decir, a 100 cm. El proyector se encuentra a 20 cm del punto de

homotecia. El murcilago se debe colocar a 8 cm del pro-

yector.2. Respuesta modelo.

3. Respuesta libre.a) La figura resultante es congruente con la original,

pero invertida.b) Respuesta modelo. Con una homotecia con razn 1.

4. Respuesta libre. La proporcin es de 9

4 el rea original.

Figuras homotticas: http://www.edutics.mx/4KN

Recursos adicionales

Q

O

JRK

UG

TH

S

JR

K

UG

T

HS

I

A

BC C

A

BO

Q

I

OA

BFC

EFigura 1

Figura 2

Figura 3

D

A A

DBC

EF B

C F

E

D


SD 18

Prepararse para la secuenciaAprendizaje esperado Esta leccin contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Lee y representa, grfica y alge-braicamente, relaciones lineales y cuadrticas.

Conceptos principales: variacin cuadrtica, parbo-la, valores mximos y mnimos, modelo matemtico y sus restricciones.

Material: geoplano casero.

Antecedentes Anlisis de representaciones (grficas, tabulares y al-

gebraicas), que corresponden a una misma situacin. Identificacin de las que corresponden a una relacin de proporcionalidad.

Representacin tabular y algebraica de relaciones de variacin cuadrtica identificadas en diferentes fen-menos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas.

Ideas errneas1. Es muy comn que los estudiantes crean que toda

grfica debe ser necesariamente una lnea continua, que no podra consistir en unos cuantos puntos.

2. Lo anterior puede deberse a que creen que es ms importante la expresin algebraica f(x) que el conjun-to de valores que puede tomar x (el dominio de la funcin), en realidad, son igual de relevantes.

3. Tambin pueden creer que si una relacin f(x) mode-la un fenmeno, lo hace de manera completa, esto no necesariamente es as.

Grficas de relaciones cuadrticasLectura y construccin de grficas de funciones cuadrticas para modelar diversas situaciones o fenmenos.


Con el problema inicial los estudiantes podrn recuperar sus conocimientos previos acerca de relaciones de variacin cuadrtica y observar la forma en que tales variaciones pueden usarse en problemas prcticos.No es un ejercicio de lgebra, no, se plantea un problema para que los estudiantes analicen la for-ma en que se construye el modelo matemtico de un fenmeno real, observen sus restricciones y obtengan informacin consistente con la reali-dad a partir de ello.

Durante el desarrollo de la secuencia, se trabajan pocos ejemplos de modelos matemticos aplica-dos a problemas diversos, pero se analizan con mu-cho detalle.Todos ellos ponen a discusin los puntos principa-les a considerar en la construccin de modelos ma-temticos: la obtencin de la expresin algebraica y los valores permitidos para las variables. A partir de esto se discuten sus alcances y limitaciones.


Se resuelve completamente el problema inicial en funcin de los procedimientos aprendidos durante el desarrollo de la secuencia.Tambin se retoman otros problemas del desa-rrollo de la secuencia para analizar los alcances y limitaciones del modelo matemtico construido a partir de ellos.Por ltimo, se invita a los estudiantes a proponer modelos propios con base en fenmenos de su inters y analizarlos.



Resuelvo y aprendo Representacin grfica de funciones cuadrticas

Pgina 137

1. a) Anlisis de resultados y conclusiones. Un cuadrado. S. Los cuatro tringulos que forman las esquinas y la

liga son congruentes, pues los lados correspon-dientes miden lo mismo y todos son rectngulos. De aqu se sigue que los cuatro lados del cuadri-ltero formado por la liga son iguales. Ahora, por ser tringulos rectngulos, la suma de sus ngulos agudos es 90, de esto se sigue que los ngulos del cuadriltero que forma la liga son todos de 90. Entonces, como la figura siempre tiene sus cuatro lados y sus cuatro ngulos iguales, siempre es un cuadrado.

Respuesta libre. Al ir aumentando el nmero seleccionado, el rea

del cuadrado disminuye, pero despus empieza a crecer de nuevo.

Tabla completa.x rea A(x) (cm2)0 1001 822 683 584 525 506 527 588 689 8210 100


Pgina 136

Sugerencia didctica. Discuta con los estudiantes las ideas errneas 1 y 2.

nmero de trabajadores Produccin(galletas/hora)

0 01 502 903 1204 1405 1506 1507 140

a)


Grfi cas de relacion

es cua

drticas Inicio a partir de lo que sEn parejas analicen la siguiente situacin y respondan.

Doa Elena tiene una pequea fbrica de galletas, y como sus recursos son limitados en trminos

de espacio de trabajo, almacenamiento, herramientas y utensilios, lleva un registro de la

productividad en relacin con el nmero de empleados que contrata, todo con la idea de optimizar

la produccin. Completen la siguiente tabla, que muestra algunos datos de doa Elena. Observen

cmo cambia la produccin y sigan ese patrn.

Resuelvo y aprendo

Nmero de trabajadores

Produccin (galletas/hora)

0 0

1 50

2 90

3 120

4 140

5 150

6

7

a)Consideren los datos de la tabla como pares ordenados (trabajadores, produccin) y

represntenlos en el plano cartesiano. Unan esos puntos trazando una lnea curva.

Con base en la grfi ca que construyeron diran que la produccin es directamente

proporcional al nmero de trabajadores? Por qu?

Qu pasara si el nmero de empleados contina aumentando?

Sealen y expliquen algunas causas que justifi quen el cambio en la produccin con relacin

al aumento de trabajadores.

Cul es la cantidad ptima de trabajadores para obtener la mayor produccin? Justifi quen

su respuesta.

Representacin grfi ca de funciones cuadrticas

1. En equipos resuelvan las siguientes situaciones.

a) En esta actividad formarn cuadrados en un geoplano.

Material- Un cuadrado de papel ilustracin o una tabla de 15 cm por lado - 40 clavos de

12 pulgada

- Una escuadra graduada - Una liga grande - Un martillo

Fig.3.37Nmero de trabajadoresProd

uccin

(galletas/ho

ra)

0

20406080100

120140160180

1 2 3 4 5 6 7

136

SECUENCIA 18

SEXMA3SB_B3.indd 136 06/12/13 09:49

Fig.3.38

Fig.3.39

Procedimiento1. Tracen un cuadrado de 10 cm por lado en el centro del papel ilustracin o de la

tabla.2. Coloquen los clavos en el permetro del cuadrado, de manera que queden sepa-

rados 1 cm entre s, y que haya uno en cada vrtice del cuadrado.3. Identifi quen del 0 al 10 las posiciones de los clavos en cada lado, comenzando

por un vrtice, de modo que la lectura siempre sea en el sentido horario como muestra la fi gura 3.38.

4. Seleccionen un nmero entero entre 0 y 10 y tensen la liga rodeando los cuatro clavos de cada lado del cuadrado con el nmero elegido (la fi gura 3.38 ilustra cmo luce la liga cuando se elige el nmero 3). Luego respondan.

Anlisis de resultados y conclusiones

Qu tipo de cuadriltero forma la liga?

Si eligen otro nmero se formar el mismo tipo de fi gura?

Justifi quen su respuesta a partir de sus conocimientos de geometra.

Discutan sus argumentos con otros equipos. Slo al fi nal, usen regla y trans-portador para corroborar sus respuestas.

Cul es el rea del cuadriltero que formaron con la liga? Sugerencia: observen

la fi gura que se forma con los clavos en lnea y la liga.

Comparen su resultado con el de otros equipos. Cmo vara el rea en relacin

con el nmero del clavo donde colocaron la liga?

Completen la tabla. Relacionen la posicin, x, de los clavos donde colocaron la liga con el rea del cuadriltero formado, A(x). Tracen los puntos (x, A(x)) en el plano cartesiano y construyan una curva que los una. Qu forma tiene la grfi ca?

x rea A(x) (cm2)

0 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nmero x

rea

(cm

2 )

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

2 4 6 8 10

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

0

12345678910 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

0

12345678910 0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

Bloque 3

137

Bloque 3

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136

pg.

137

No, porque la grfica no es una lnea recta. La produccin disminuir. Cuando los trabajadores son pocos, su trabajo

es eficiente y la produccin aumenta. Al haber ms trabajadores se imponen las limitaciones de espacio y de herramientas, entonces no todos pueden trabajar, y se estorban mutuamente, por ello la produccin deja de crecer.

Nmero de trabajadores

Pro

ducc

in

(gal

leta

s/ho

ra)

0

20406080

100120140160180

1 2 3 4 5 6 7


En grupo expongan sus procedimientos para obtener las reas y valdenlos con apoyo de su profesor. Elijan el que consideren ms adecuado.

Observen las figuras que forman los clavos en lnea y las ligas que forman el cua-

drado. de qu figuras se trata?

Expresa los lados de esta figura en trminos de x. Propongan una expresin algebraica para calcular el rea del cuadriltero que

forma la liga en trminos del nmero x.

Cmo cambia el rea del cuadriltero que forma la liga al variar el nmero x y cmo se aprecia este cambio en la grfica?

Es posible formar con la liga cuadrilteros de reas iguales eligiendo nmeros

distintos? Sealen con qu nmeros se obtienen reas iguales.

El rea del cuadriltero que forma la liga alcanza un valor mnimo, mximo o

ambos? Indiquen para qu valores de x ocurre esto.

Por la forma en que se ha construido el geoplano, x no puede tomar valores mayo-res a 10. La expresin algebraica que obtuvieron es consistente con este hecho?

Expliquen.

Analicen la tabla y la grfica, y decidan en cada una si se puede hablar de simetra.

Expliquen su respuesta.

Discutan su respuesta con otros compaeros y con su maestro.

Fig.3.40

b) La ganadera bovina de doble propsito consiste en la produccin de carne y leche, combinando el ordeo con el amamantamiento de los becerros hasta el destete. Para mejorarla, los investigadores agropecuarios cons-truyen modelos matemticos que faciliten la toma de decisiones relacionadas con el manejo del ganado. Aqu se muestra la grfica llamada curva de lactancia cons-truida a partir de registros de la produccin diaria de leche durante la lactancia. Analcenla y respondan.Fuente: http://www.corpoica.org.co/sitioweb/Archivos/

Revista/8_Determinacindelacurvadel.PDF

Das de lactancia

Prod

uccin

de lech

e (kg/da)

10

1

2

3

4

5

6

30 60 90 120 150 180 210 240 270

138

SeCueNCIA 18

SEXMA3SB_B3.indd 138 06/12/13 09:49

El sistema seo de los becerros alcanza su mximo desarrollo entre los 90 y 120 das. Observan alguna relacin entre este dato y la informacin que aporta la grfica?

De acuerdo con la grfica, en qu da, aproximadamente, ocurre la produccin mxima de leche?

La expresin algebraica que corresponde a la situacin tiene la forma

Y t = + 1t 2t2, donde Y t es la produccin de leche en el da t, y , 1, 2 son parmetros (cantidades constantes), con 2 < 1 muy pequeos. Los investigadores plantean que 1 es el factor relacionado con el aumento en la produccin que predo-mina durante los primeros 120 das del periodo, mientras que 2 refleja la disminu-cin diaria de la produccin, que predomina en los siguientes das. Este plantea-miento es razonable? Cmo se relacionan estos parmetros con el valor de t y la produccin de leche?

Qu relacin observan entre la expresin algebraica de la produccin de leche y la forma general de las ecuaciones de segundo grado? Expliquen.

Consideran que la grfica representa la informacin sobre un solo animal o es el promedio de la produccin de cierto nmero de ellos? Qu sera ms til?

c) En su curso de Ciencias 2 estudiaron el movimiento de ca-da libre y aprendieron que la ecuacin que relaciona la dis-tancia que recorre un objeto en este movimiento y el tiem-po de cada es cuadrtica. La figura 3.41 muestra la grfica de esta relacin.

Fig.3.41

Distan

cia (m

)

80

60

70

50

40

30

20

10

Tiempo (s)10 2 3 4 5 6

Entre qu valores est la produccin diaria de leche?

Cul fue la produccin en el primer da de lactancia?

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Bloque 3

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De acuerdo con la grfica, qu distancia recorre un objeto a los dos segundos de

haberlo soltado?

Si un objeto ha recorrido 45 m, cunto tiempo habr transcurrido desde que se solt?

Qu distancia ha recorrido a los 0 segundos?

Si la relacin entre la distancia recorrida y el tiempo es de tipo cuadrtico, enton-ces debe tener la forma de la ecuacin general de segundo grado, es decir, de la forma:

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