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MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 9: Cuerpos geométricos
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9 Cuerpos geométricos
Los poliedros regulares, llamados también “sólidos platónicos”, han fascinado a los científicos y filósofos de todas las épocas. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) supuso que las órbitas de los planetas habían de ser, en un mundo perfecto, las correspondientes a las esferas que circunscribían a los respectivos poliedros regulares.
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Arquímedes
Enlace a un breve resumen de la obra de Arquímedes
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Enlace al descubrimiento del palimpsesto de Arquímedes, descubierto en 2006
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Esquema de contenidos
Cuerpos geométricos
Poliedros
Caras, vértices y aristasRelación de EulerPoliedros duales
Tipos de poliedros
Poliedros regularesPrismasPirámidesDesarrollosÁreas
Cuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
La esfera terrestre
Ecuador, paralelos y meridianosLatitud y longitud
Volumen de los cuerpos geométricos
Principio de CavalieriFórmulas
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual.
Dibuja un cubo. Destaca los centros de sus caras y une con un segmento los centros de caras contiguas. ¿Qué figura resulta?
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual.
Dibuja un cubo. Destaca los centros de sus caras y une con un segmento los centros de caras contiguas. ¿Qué figura resulta?
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual.
Dibuja un cubo. Destaca los centros de sus caras y une con un segmento los centros de caras contiguas. ¿Qué figura resulta?
El poliedro dual del cubo es el octaedro. Recíprocamente, el dual de un octaedro es un cubo.
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual. Esta misma idea puede aplicarse a cualquier poliedro convexo cuyas caras sean polígonos regulares.
Dibuja un tetraedro. Destaca los centros de sus caras y une con segmentos los centros de caras adyacentes. ¿Qué figura resulta?
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual. Esta misma idea puede aplicarse a cualquier poliedro convexo cuyas caras sean polígonos regulares.
Dibuja un tetraedro. Destaca los centros de sus caras y une con segmentos los centros de caras adyacentes. ¿Qué figura resulta?
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual.
Dibuja un tetraedro. Destaca los centros de sus caras y une con segmentos los centros de caras adyacentes. ¿Qué figura resulta?
El poliedro dual del tetraedro es otro tetraedro. El tetraedro es dual de sí mismo. SIGUIENTE
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual.
Sobre un dodecaedro, destacamos los centros de sus caras. Si unimos con segmentos los centros de caras contiguas. ¿Qué figura resulta?
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Poliedro dual de otro poliedro
En cada cara de un poliedro regular hay un punto destacado: su centro. Si unimos con una arista los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, tenemos su poliedro dual.
Sobre un dodecaedro, destacamos los centros de sus caras. Si unimos con segmentos los centros de caras contiguas. ¿Qué figura resulta?
El poliedro dual del dodecaedro es el icosaedro. Recíprocamente, el icosaedro es dual del dodecaedro. SIGUIENTE
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Poliedro dual de otro poliedro
Como has visto, cada cara de un poliedro da lugar a un vértice de su dual. Por ello, los poliedros duales intercambian entre sí el número de caras y vértices. Mientras, tanto, el número de aristas se mantiene igual, para que se mantenga la relación de Euler, C + V – A = 2. Lo puedes confirmar en el cuadro:
N.° Caras N.° Vértices N.° Aristas C + V – A
Tetraedro 4 4 6 2
Cubo 6 8 12 2
Octaedro 8 6 12 2
Dodecaedro 12 20 30 2
Icosaedro 20 12 30 2
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
SIGUIENTE
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
Puesto que las caras laterales de una pirámide de este tipo han de ser triángulos equiláteros, sólo hay tres: el tetraedro (pirámide triangular con todas las caras formadas por triángulos equiláteros), una pirámide cuadrangular y una pentagonal.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Mira a los poliedros regulares a ver si puedes ver alguna.
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
Puesto que las caras laterales de una pirámide de este tipo han de ser triángulos equiláteros, sólo hay tres: el tetraedro (pirámide triangular con todas las caras formadas por triángulos equiláteros), una pirámide cuadrangular y una pentagonal.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado.
Es la mitad superior de un octaedro.
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
Puesto que las caras laterales de una pirámide de este tipo han de ser triángulos equiláteros, sólo hay tres: el tetraedro (pirámide triangular con todas las caras formadas por triángulos equiláteros), una pirámide cuadrangular y una pentagonal.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Es la mitad superior de un octaedro.
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
La pirámide pentagonal está formada por cinco triángulos y un pentágono regular. Mira entre los poliedros regulares a ver si puedes ver alguna.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Es la mitad superior de un octaedro
SIGUIENTE
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
La pirámide pentagonal está formada por cinco triángulos y un pentágono regular.
Es la parte superior de un icosaedro.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Es la mitad superior de un octaedro
SIGUIENTE
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
La pirámide pentagonal está formada por cinco triángulos y un pentágono regular.
Es una parte de un icosaedro.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Es la mitad superior de un octaedro
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
La pirámide pentagonal está formada por cinco triángulos y un pentágono regular. Es una parte de un icosaedro.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Es la mitad superior de un octaedro
Las caras laterales de los prismas de este tipo habrían de ser cuadrados. Luego, hay infinidad de prismas, con tal de que las bases sean polígonos regulares y las caras laterales cuadrados.
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Pirámides y prismas con polígonos regulares
¿Qué tipo de pirámides pueden construirse con polígonos regulares? ¿Qué tipo de prismas?
La pirámide pentagonal está formada por cinco triángulos y un pentágono regular. Es una parte de un icosaedro.
La pirámide cuadrangular está formada por cuatro triángulos y un cuadrado. Es la mitad superior de un octaedro
Las caras laterales de los prismas de este tipo habrían de ser cuadrados. Luego, hay infinidad de prismas, con tal de que las bases sean polígonos regulares y las caras laterales cuadrados.
Por ejemplo, éste es un prisma pentagonal de caras laterales cuadradas.
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Intuición espacial
Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontinuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
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Intuición espacial
SIGUIENTE
Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontinuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras. Nombra en esos casos los distintos vértices con las letras A, B, C y D apropiadas.
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontinuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras. Nombra en esos casos los distintos vértices con las letras A, B, C y D apropiadas.
SOLUCIÓN
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontínuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras. Nombra en esos casos los distintos vértices con las letras A, B, C y D apropiadas.
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontínuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras. Nombra en esos casos los distintos vértices con las letras A, B, C y D apropiadas.
SOLUCIÓN
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontínuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras. Nombra en esos casos los distintos vértices con las letras A, B, C y D apropiadas.
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontínuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras. Nombra en esos casos los distintos vértices con las letras A, B, C y D apropiadas.
SOLUCIÓN
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontínuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras.
En este último caso, traza el segmento dados los vértices A, B, C y D.
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Intuición espacial
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Al representar sobre el plano del dibujo las figuras tridimensionales, puede haber confusión. Esto se trata de resolver con la perspectiva, con la utilización de líneas discontínuas para los segmentos ocultos, etc. Es conveniente por ello realizar ejercicios de intuición espacial para adquirir agilidad visual para concebir objetos tridimensionales.
Sobre una cara del tetraedro ABCD de la figura se ha dibujado con trazo grueso una altura. Este mismo tetraedro aparece apoyado sobre bases diferentes en las restantes figuras.
SOLUCIÓN
En este último caso, traza el segmento dados los vértices A, B, C y D.
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La mosca y la araña
Una araña está sobre una pared de una habitación de 3 x 3 x 7,5 m en el centro de una pared, a 50 cm del techo (punto A). En la pared opuesta, hay una mosca (M), también en el centro a 50 cm del suelo. ¿Cuál es el camino más corto que puede hacer la araña para capturar a la mosca?
Un curioso problema -que ilustra cómo para encontrar la solución a un problema hay, a veces, que cambiar por completo nuestro punto de vista- propone hallar la ruta más corta entre una araña y una mosca situadas en una habitación.
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La mosca y la araña
Un curioso problema -que ilustra cómo para encontrar la solución a un problema hay, a veces, que cambiar por completo nuestro punto de vista- propone hallar la ruta más corta entre una araña y una mosca situadas en una habitación.
Una araña está sobre una pared de una habitación de 3 x 3 x 7,5 m en el centro de una pared, a 50 cm del techo (punto A). En la pared opuesta, hay una mosca (M), también en el centro a 50 cm del suelo. ¿Cuál es el camino más corto que puede hacer la araña para capturar a la mosca?
Parece que el camino más corto ha de ser el de trazo grueso de la figura, cuya longitud es:
0,5 m + 7,5 m + 2,5 m = 10,5 m
Sin embargo, vamos a encontrar un camino más corto.
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La mosca y la araña
Una araña está sobre una pared de una habitación de 3 x 3 x 7,5 m en el centro de una pared, a 25 cm del techo (punto A). En la pared opuesta, hay una mosca (M), también en el centro a 25 cm del suelo. ¿Cuál es el camino más corto que puede hacer la araña para capturar a la mosca?
Ese camino puede verse con claridad en el desarrollo del paralelepípedo:
0,5 m + 7,5 m + 2,5 m = 10,5 m
Encontraremos ahora un camino más corto.
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La mosca y la araña
Una araña está sobre una pared de una habitación de 3 x 3 x 7,5 m en el centro de una pared, a 25 cm del techo (punto A). En la pared opuesta, hay una mosca (M), también en el centro a 25 cm del suelo. ¿Cuál es el camino más corto que puede hacer la araña para capturar a la mosca?
Este nuevo camino obtenido al desarrollar (de otra manera diferente) el paralelepípedo que es la habitación, es más corto: mide 10,31 m, mientras que el anterior era de 10,50 m. Observa que en este camino la araña pasa por una pared lateral, además de por el techo.
¿Cómo puedes medir la longitud, 10,31 m, del segundo camino?
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La mosca y la araña
Una araña está sobre una pared de una habitación de 3 x 3 x 7,5 m en el centro de una pared, a 25 cm del techo (punto A). En la pared opuesta, hay una mosca (M), también en el centro a 25 cm del suelo. ¿Cuál es el camino más corto que puede hacer la araña para capturar a la mosca?
AM es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 9,5 m
y 4 m. Por tanto, AM = = 10,31m
106,25=4+9,5 22
Este nuevo camino obtenido al desarrollar (de otra manera diferente) el paralelepípedo que es la habitación, es más corto: mide 10,31 m, mientras que el anterior era de 10,50 m. Observa que en este camino la araña pasa por una pared lateral, además de por el techo.
¿Cómo puedes medir la longitud, 10,31 m, del segundo camino?
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La mosca y la araña
Una araña está sobre una pared de una habitación de 3 x 3 x 7,5 m en el centro de una pared, a 25 cm del techo (punto A). En la pared opuesta, hay una mosca (M), también en el centro a 25 cm del suelo. ¿Cuál es el camino más corto que puede hacer la araña para capturar a la mosca?
Al plegar de nuevo el paralelepípedo, esta solución para el camino más corto, de 10,31 m,, tiene el curioso aspecto del camino trazado en marrón:
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La esfera terrestre
Nuestro planeta Tierra tiene forma casi esférica. Has visto en el texto qué son el eje terrestre, el ecuador, los paralelos y los meridianos:
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La esfera terrestre
Como sabes, la Tierra tiene un movimiento de rotación alrededor del Sol en una órbita elíptica. El eje de rotación de la Tierra sobre sí misma tiene una inclinación de 23° 27’ con respecto a la perpendicular al plano de la órbita elíptica.
Posición Tierra-Sol
en el solsticio
de veranoSIGUIENTE
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La esfera terrestre
De los infinitos paralelos que podemos señalar sobre la Tierra, cinco son muy importantes y por ello tienen nombre propio.
Uno de ellos es el ecuador, ya citado, de 6.370 km de radio y 40.000 km de longitud, aproximadamente.
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La esfera terrestre
Otros dos son los círculos polares, Ártico y Antártico, determinados por los puntos más “altos” y más “bajos” sobre la órbita terrestre en el solsticio de verano, como se ve en la figura:
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La esfera terrestre
Además, son interesantes el paralelo sobre el que están los puntos en los que los rayos solares caen perpendiculares en el solsticio de verano -llamado trópico de Cáncer-, y su simétrico en el hemisferio Sur -trópico de Capricornio-.
¿Cuál es la latitud de cada uno de estos cinco paralelos citados? SIGUIENTE
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La esfera terrestre
¿Cuál es la latitud de cada uno de estos cinco paralelos citados?
Partiendo del ecuador (Latitud 0°), el trópico de Cáncer tiene latitud Norte de 23° 27’ y el círculo polar Ártico, 90° – 23° 27’ = 66° 33’.
Las mismas latitudes corresponden al trópico de Capricornio y al círculo polar Antártico, si bien será latitud Sur por estar en ese hemisferio.
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La esfera terrestre
Con los datos de la figura y sabiendo que el radio de la Tierra es de 6.370 km, halla la superficie de cada zona polar, templada y de la zona tropical.
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La esfera terrestre
Con los datos de la figura y sabiendo que el radio de la Tierra es de 6.370 km, halla la superficie de cada zona polar, templada y de la zona tropical.
Cada zona polar es un casquete esférico cuyo radio es 6.370 km y cuya altura es: 6.370 – 3.309 – 2.535 = 526 km. Su área es:
A = 2 π r h =
= 2 · 3,14· 6.370 · 526 = 21.041.893,6 km2
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La esfera terrestre
Con los datos de la figura y sabiendo que el radio de la Tierra es de 6.370 km, halla la superficie de cada zona polar, templada y de la zona tropical.
Cada zona templada es una zona esférica cuya altura es 3.309 km. Su área es:
A = 2 π r h =
= 2 · 3,14· 6.370 · 3.309 = 132.371.912,4 km2
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La esfera terrestre
Con los datos de la figura y sabiendo que el radio de la Tierra es de 6.370 km, halla la superficie de cada zona polar, templada y de la zona tropical.
La zona tropical es una zona esférica cuya altura es 2.535 x 2 = 5.070 km. Su área es:
A = 2 π r h =
= 2 · 3,14· 6.370 · 5.070 = 202.818.252 km2
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La esfera terrestre
En este mapamundi puedes ver los paralelos de los que ha tratado la actividad y las zonas geográficas que atraviesan.
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Enlaces de interés
Enciclopedia de poliedros
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Diseño con poliedros
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Actividad: En el mundo de los poliedros regulares y semirregulares
Un buen sitio interactivo donde manipular los poliedros platónicos (los cinco poliedros regulares y los trece semirregulares)
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección: http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Polyedres/Index_Polyedres.html
