Matematicas avanzadas 2

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Temario

Módulo 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Tema 1. Conceptos Básicos

1.1 Ecuación diferencial ordinaria y parcial 1.2 Orden de una ecuación diferencial ordinaria 1.3 Solución de una ecuación diferencial ordinaria 1.4 Solución general y solución particular 1.5 Problemas con valor inicial

Tema 2. Métodos de Solución

2.1 Método de variables separables y reducibles a la forma separable (Homogéneas)

2.2 Método de exactas y factores integrantes. 2.3 Resumen

Tema 3. Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

3.1 Solución general, utilizando el método del factor integrante 3.2 Resumen del método de factor integrante

Tema 4. Aplicación

4.1 Ecuaciones (Variables separables, exactas, lineal, etc.) 4.2 Ecuaciones diferenciales de problemas físicos, biológicos, químicos

Módulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Orden Mayor o Igual a Dos

Tema 5. Reducción de Orden y Solución General de la Ecuación Lineal Homogénea ó no Homogénea

5.1 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a ecuaciones de primer orden

5.2 Ecuación diferencial lineal homogénea o no homogéneas, propiedades de linealidad (Principios de superposición)

5.3 Soluciones linealmente independientes 5.4 Wronskiano de las soluciones de una ecuación diferencial lineal

Tema 6. Teorema de existencia, la ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes y problemas con valor inicial

6.1 Teorema de existencia y unicidad 6.2 Ecuación lineal homogénea de orden “n” con coeficientes constantes 6.3 Problemas con valor inicial

Tema 7. Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas

7.1 Método de coeficientes indeterminados 7.2 Método de variación de parámetros

Tema 8. Aplicaciones

8.1 Circuitos eléctricos RLC 8.2 Vibraciones mecánicas 8.3 Movimientos no amortiguados

Módulo 3. Solución de Ecuaciones Diferenciales por Series de Potencias y Transformadas de Laplace

Tema 9. Conceptos básicos de las series de potencia

9.1 Serie de potencias 9.2 Convergencia de una serie de potencias 9.3 Radio e intervalo de convergencia 9.4 Función analítica en un punto

Tema 10. Propiedades de las series de potencia


10.1 Suma y multiplicación de series de potencias 10.2 Derivada e integral de una serie de potencias 10.3 Radio de convergencia

Tema 11. Métodos de Solución por Series de Potencia en Puntos Ordinarios

11.1 Puntos ordinarios y puntos singulares 11.2 Teorema sobre la analiticidad 11.3 Representación de las funciones como serie de potencias 11.4 Serie de Taylor y de Maclaurin

Tema 12. Transformadas de Laplace y sus Propiedades

12.1 Propiedades 12.2 La transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace 12.3 Linealidad 12.4 Derivación e integración

Módulo 4. Métodos de solución y Aplicaciones físicas de transformadas de Laplace

Tema 13. Métodos de solución

13.1 El método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales 13.2 Método de fracciones parciales

Tema 14. Circuitos eléctricos

14.1 Propiedades de un circuito eléctrico 14.2 Procedimiento y solución

Tema 15. Vibraciones mecánicas

15.1 Introducción 15.2 Procedimiento y solución

Unidades Instrumento evaluador

Porcentaje unitario

Porcentaje total

3 Tareas

evaluables 8%

30%

1 Tareas

evaluables 6%

4 Exámenes rápidos 2.50% 10%

1 Proyecto Final 15% 15%

1 Participación en

clase 5% 5%

1 Examen final 40% 40%

Total 100%

Para el rubro de participación el tutor tomará en cuenta la puntualidad en la entrega de ejercicios y que respondas a los mensajes personalizados que te envía.

Actividad Porcentaje

Tarea evaluable Módulo 1 8%





Examen rápido del Módulo 1 2.50%




Proyecto final 15%

Participación en clase 5%

Examen final 40%

Total 100%


Actividad integradora 1

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Indica la clasificación de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. Comprueba si el valor de función es solución de la ecuación diferencial:

a. y la función:

b. y la función

c. y la función

d. y la función

e. y la función

3. Calcula la solución general y la particular para cada uno de los siguientes incisos:

a. en el punto

b. en el punto

c. en el punto

d. en el punto

e. en el punto 4. Utiliza el método de variables separables para resolver las siguientes ecuaciones


diferenciales:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h. 5. Determina si las siguientes ecuaciones son exactas de serlo, encuentra la

solución:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de factor integrante:

a.

b.

c.

d.

e.

f. 7. Analiza los siguientes problemas y aplica los conceptos de ecuaciones

diferenciales para resolverlos:

a. Un cultivo de bacterias tiene la cantidad inicial de . Cuando el tiempo es


igual a 0.5 horas el promedio de bacterias es de . Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presente, calcule el tiempo necesario para cuadruplicar la cantidad inicial de bacterias.

Ecuación diferencial: b. El isotopo radiactivo plutonio 241 decrece de acuerdo a la ecuación

diferencial . Donde Q se mide en miligramos y t en años. Si en este momento hay 57 mg del isotopo, ¿Cuánto quedará dentro de 11.3 años?

c. Se deposita una cantidad de dinero en un banco que paga una tasa anual r, compuesto continuamente.

i. Determina el tiempo T necesario para triplicar el valor de la suma original, en función de la tasa de interés r.

ii. Determina el tiempo T si iii. Determina la tasa de interés que debe de pagarse para triplicar en 9

años.

Consideraciones:

Cumpliendo la siguiente ecuación diferencial:



Instrucciones:


1. Encuentra otra solución de la ecuación diferencial por el método de reducción de orden:

a.

b.

c.

d.

e.

2. Determina la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el teorema de superposición.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

3. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.


i.

j.

5. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variación de parámetros:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

6. Resuelve los siguientes problemas utilizando las soluciones de las ecuaciones diferenciales:

a. Determinar la carga en el capacitor en un circuito RLC cuando

b. Determinar la carga en el capacitor en un circuito RLC cuando

c. Determinar la carga en el capacitor en un circuito RLC cuando

d. Una masa de 15 gramos alarga 15 cm un resorte, si una fuerza

amortiguada igual a de la velocidad de instantánea que actúa sobre el sistema. Determinar la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera

desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de e. Una masa de 65 gramos alarga 23 cm un resorte, si una fuerza

amortiguada igual a de la velocidad de instantánea que actúa sobre el sistema. Determinar la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera

desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de f. Una masa de 15 gramos alarga 23 In un resorte, si una fuerza amortiguada

igual a de la velocidad de instantánea que actúa sobre el sistema. Determinar la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la

posición de equilibrio con una velocidad ascendente de

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.



Instrucciones:


1. Encuentra el valor de convergencia de las siguientes series:

a.

b.

c.

d.

e.

2. Determina si las siguientes series son convergentes o no

a.

b.

c.

d.

e.

3. Calcula el desarrollo en series de potencias de las siguientes funciones (utiliza derivadas):

a.

b.

c.

d.

e.

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales utilizando el método de series de potencia


a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

2. Obtén la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

1. Aplica la transformada inversa de Laplace para las siguientes funciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.



Instrucciones:


1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace

a. con las condiciones

b. con las condiciones

c. con las condiciones

d. con las condiciones

e. con las condiciones

f. con las condiciones

g. con las condiciones

2. Aplica la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas: a. Un circuito en serie RC esta descrito por la siguiente ecuación

. Donde los valores de la resistencia , valor

del capacitor . Voltaje del circuito . El switch que

controla el circuito se cierra en , con . Calcula la corriente del circuito.

b. Un circuito en serie RC esta descrito por la siguiente ecuación

. Donde los valores de la resistencia ,

valor del capacitor . Voltaje del circuito . El

switch que controla el circuito se cierra en , con . Calcula la corriente del circuito.

c. Determina la corriente en un circuito RLC en serie con una impedancia de 0.2 h, resistencia de 250 kilohms, y una capacitancia de

0.01 faradios. y voltaje aplicado .

d. Determina la corriente en un circuito RLC en serie con una impedancia de 0.15 h, resistencia de 125 kilohms, y una capacitancia de

0.001 faradios. y voltaje aplicado .

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios


Instrucciones

Debes entregar a tu profesor tu proyecto final, el cual debe contener lo siguiente:

Realiza un reporte donde incluyas una investigación bibliográfica (incluir mínimo dos referencias de Biblioteca Digital) del tema Sistemas de Engranajes a Sistemas de Engranajes con Motor de DC Acoplado donde aparezcan los siguientes apartados:

o Descripción. o Tipos de sistemas. o Modelo del sistema. o Aplicaciones. o Solución de dos problemas con valores iniciales utilizando los métodos de

solución de ecuaciones lineales no homogéneas.

Utilizando el método de la transformada de Laplace, llena la siguiente tabla para el caso de Resortes Amortiguados para después graficar el comportamiento en el tiempo de cada ecuación del sistema usando algún paquete de software matemático para graficar la ecuación que resulte, donde k = 3, c = 1, no existe fuerza externa y se encuentra en posición vertical:

Posición inicial Velocidad

inicial Ecuación del

sistema

Comentarios y/u

observaciones

0.1 m 1 m/s

0 m 0 m/s

-0.1 m 4 m/s

0.1 m -4 m/s

Realiza las mismas indicaciones anteriores para un sistema de Resortes Amortiguados acoplados para llenar la siguiente tabla donde k = 3, c = 1 para el primer resorte, y k = 1, c = 3 para el segundo resorte, sin fuerza externa y ambos en posición vertical:

Pos. Inicial 1

Vel. Inicial 1

Pos. Inicial 2

Vel. Inicial 2

Ecuación Observaciones

0.1 m 1 m/s -0.1 m 0 m/s

0 m 0 m/s 0 m 0 m/s

-0.1 m 4 m/s 0.1 m 1 m/s

0.1 m -4 m/s -0.1 m 0 m/s

Responde las siguientes preguntas para ambos sistemas: o ¿Qué semejanza ó diferencia existe al variar los valores iniciales? o ¿Qué sucede cuando las condiciones iniciales son todas cero? o ¿De qué manera afecta el acoplamiento al sistema original?


Finalmente, redacta un reporte que incluya: o Portada. o Introducción. o Desarrollo.

Ecuaciones. Gráficas. Tablas. Preguntas.

o Conclusión. o Referencias.

Envía tu proyecto final, en formato de desarrollo de proyecto.

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