ESPACIOS VECTORIALES(Ejemplos) Fuentes

>Introducción al Álgebra LinealLarson*Edwards

>Algebra LinealKolman*Bernard

>Álgebra LinealLudlow*Wiechers

>Álgebra LinealGrossman Stanley I.

>Álgebra Lineal con AplicacionesSteve J. Leon

>Algebra LinealJohnson Richard E.

Oscar Arturo Granados Barberena

CONTENIDO

Tema Diapositiva

Vectores Rn 3

Espacios Vectoriales 5

Sub-Espacios vectoriales 7

Conjuntos generadores e independencia lineal 9

Bases y dimensiones 11

VECTORES RN

Vectores en el Plano

Se representan geométricamente por una recta del origen (x1) al punto terminal (x2)

x=(x1,x2)

Vectores Rn

Conjunto es el producto cartesiano R1,R2,R3,…,Rn=Rn, cuyos elementos son las n-uplas de números reales , llamados vectores de n componentes.

Ejemplos:

Operaciones vectoriales en R2

• u=(2,3)• v=(-1,2)• u+v=(2,3)+(-1,2)=(1,5)• c(u)=2(2,3)=(4,6)

Operaciones vectoriales en R3

• u=(0,-4,3)• v=(1,3,-2)• u+v

(0,-4,3)+(1,3,-2)=(1,-1,1)• 3u

3(0.-4,3)=(0,-12,9)• v-3u

(1,3,-2)-(0,-12.9)=(1,15,-11)

ESPACIOS VECTORIALES

Cualquier conjunto que satisface las siguientes 10 propiedades:1. u+v está en V

2. u+v=v+u

3. u+(v+w)=(u+v)+w Suma

4. u+0=u

5. u+(-u)=0

6. cu está por V

7. c(u+v)=cu+cv

8. c(du)=cu+du Multiplicación

9. c(du)=(cd)u

10. 1(u)=u

Ejemplos1. Sea V={1]. Es decir, V contiene solamente el numero 1. En este caso , V no es un

espacio vectorial, puesto que no cumple con el axioma (i). Para esto, simplemente notemos que 1+1=2Є V.

2. Sea V={(x,y):y=2x+1, xЄR3}. Esto, V es el conjunto de puntos sobre la recta y=2x+1. V no es un espacio vectorial por que la cerradura no se cumple, como en ejemplo 1. Para ver esto, supongamos que (x1,y1) y (x2,y2) están en V. Entonces:

(x1,y1)+( x2,y2)= (x1+x2,y1+y2)

Si este último vector estuviese en V, tendríamos quey1+y2=2(x1+x2)+1=(x1,y1)+(x2,y2)= 2x1+2x2+1

Pero y1=2x1+1 y y2= 2x2+1, así quey1+y2= (2x1+1)+(2x2+1)=2x1+2x2+2

De aquí se concluye que(x1+x2, y1+y2)ЄV si (x1,y1)ЄV y (x2,y2)ЄV

SUB-ESPACIOS VECTORIALES

Son subconjuntos de un espacio vectorial, que satisface las condiciones de del espacio vectorial

Sea 𝑆 = ቚ𝑥1𝑥2

𝑥2 = 2𝑥1 . S es un subconjunto de R2. Si 𝑐

2𝑐es un elemento

cualquiera de S y α es un escalar cualquiera entonces

𝛼𝑐

2𝑐=

𝛼𝑐

𝛼2𝑐

que es un elemento de S. Si 𝑎

2𝑎y

𝑏

2𝑏son dos elementos cualquiera de S, su

suma𝑎 + 𝑏2𝑎 + 2𝑏

=𝑎 + 𝑏

2 𝑎 + 𝑏

es también un elemento de S. Se observa sin dificultad que el sistema matemático que consta del conjunto S(en lugar de R2), junto con las operaciones de R2, es también un espacio vectorial.

CONJUNTOS GENERADORES E INDEPENDENCIA LINEAL

Un subconjunto puede considerarse generador si todo el vector puede expresarse como una combinación lineal de vectores.

Dependencia Lineal e Independencia Lineal: Un conjunto de vectores S en un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial solamente tiene una solución trivial. Si también hay soluciones no triviales se denomina linealmente dependiente.

Ejemplo

Determine si el siguiente conjunto de vectores en P2 es linealmente independiente o dependiente.

v1 v2 v3

S={1-x-2x2,2+5x-x2, x+x2}Al desarrollar la ecuación c1v1+c2v2+c3v3=0 se obtiene

𝑐1 1 + 𝑥 − 2𝑥2 + 𝑐2 2 + 5𝑥 − 𝑥2 + 𝑐3 𝑥 + 𝑥2 = 0 + 0𝑥 + 0𝑥2

𝑐1 + 2𝑐2 + 𝑐1 + 5𝑐2 + 𝑐3 𝑥 + −2𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐3 𝑥2 = 0 + 0𝑥 + 0𝑥2

Al igualar los coeficientes que corresponden a potencias iguales de x se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales en c1, c2 y c3.c1+c2=0c1+5c2+c3=0-2c1-c2+c3=0La matriz aumentada de este sistema se reduce por eliminación de Gauss-Jordan como se muestra a continuación.

1 2 0 01 5 1 0−2 −1 1 0

====>

1 2 0 0

0 11

30

0 0 0 0Lo anterior implica que el sistema tiene infinidad de soluciones. Por consiguiente, el sistema debe tener soluciones no triviales, por lo que el conjunto S es linealmente dependiente.

BASES Y DIMENSIÓN

Se llama base de un espacio/sub-espacio vectorial a un sistema generador de dicho espacio/sub-espacio, que es linealmente independiente.

EjemploDemuestre que el siguiente conjunto es una base de R3.

S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}S es linealmente independiente por que la ecuación vectorial

c1(1,0,0)+c2(0,1,0)+c3(0,0,1)=(0,0,0)tiene por solución solamente la trivial, c1=c2=c3=0. Por consiguiente. S es una base de R3.

La base S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} se denomina base normal de R3. Este resultado puede generalizarse al espacio n-dimensional. Es decir, los vectores

e1=(1,0,…,0)e2=(0,1,…,0)

………

en=(0,0,…,0)

forman una base Rn denominada base normal de Rn.