matematicas basicas

SISTEMA ABIERTO Y ADISTANCIA

“MATEMATICAS BASICAS”

ALUMNO: Jesús Del Rio Chavez

ASESOR: José Medina Contreras

LICENCIATURA: Administracion

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MATEMATICAS BASICAS

INDICE GENERAL

INTRODUCCION GENERAL………………………………….………4

OBJETIVOS GENERALES………………………………………..……5

UNIDAD I: CONCEPTOS GENERALES DE LAS MATEMATICAS

PARA LA ADMINISTRACION Y CIENCIAS AFINES

INTRODUCCION A LA UNIDAD................................................ 6

1. OBJETIVO.......................................................................................7

2. CONTENIDO TEMATICO.............................................................7

3. EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJE........................................... 25

4. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA....................................... 26

UNIDAD II: MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACION


1. OBJETIVO.......................................................................................27




2

UNIDAD III: ALGEBRA DE MATRICES


1. OBJETIVO.......................................................................................50




UNIDAD IV: DERIVACION


1. OBJETIVO.......................................................................................61




CONCLUCION……………………………………………………...……85

BIBLIOGRAFIAS ESPECIALIZADAS………………….......................86

3

INTRODUCCION GENERAL

La matemática es una rama de la lógica que presenta una estructura sistemática dentro de la cual se pueden estudiar las relaciones cuantitativas. Históricamente podemos dividirla en matemáticas tradicionales y las llamadas matemáticas modernas; siendo la ciencia exacta por antonomasia su evolución se debe al análisis hecho por cada generación al paso del tiempo.

Su aplicación en la Administración y la Contabilidad se remota a la creación de ésta ciencia y es donde su uso es imprescindible, como piedra angular para su comprensión y utilización.

El propósito de esta Guía es apoyarte para el estudio de las carreras de Administración y Contaduría. En cada una de las Unidades, tú encontrarás algunos conceptos matemáticos básicos que deberás aprender para la comprensión de temas como análisis de operaciones, elasticidades, proporciones y costos, entre otros.

Este material se ha elaborado siguiendo el razonamiento lógico matemático; la Unidad 1 inicia con el manejo de conceptos de álgebra y números reales, la dos continua con teoría de conjuntos, funciones lineales y sus gráficas; en la Unidad tres se aborda el álgebra de matrices y, en la última Unidad, se atiende a la derivación. Todas ellas te ayudarán a comprender temas posteriores como los de Matemáticas Financieras.

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OBJETIVOS GENERALES

Al terminar el curso resolverás problemas matemáticos en los campos de la Administración y la Contabilidad, aplicando los conocimientos adquiridos. Para ello:

1. Analizarás el comportamiento de funciones mediante el uso del álgebra de los conjuntos, así como de los conceptos matemáticos de matriz y de derivadas.

2. Interpretarás correctamente los resultados de situaciones complejas a partir de análisis graduales y lógicos.

3. Identificarás las interrelaciones que puedan existir entre todas las partes componentes de un problema.

4. Determinarás distintas alternativas de acción, combinando los elementos de una solución dada y evaluando la interacción disponible que te permita separar lo fundamental de lo moderante.

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UNIDAD I

CONCEPTOS GENERALES

DE LAS MATEMATICAS

INTRODUCION

El análisis matemático toma las definiciones y supuestos tal como se dan y obtienen las

conclusiones que se desprenden lógicamente, es este razonamiento lo que fundamenta el

presente tema, en el cual, al concluir su estudio, podrás entender la función instrumental de

las matemáticas en la solución de problemas, la representación de la realidad en símbolos

matemáticos y sus aplicaciones como instrumento para la comprensión de conceptos

fundamentales en la Administración, la Contaduría y otras ciencias afines.

El manejo de los símbolos es esencial para resolver ecuaciones, cambiar o reducir

expresiones: El conocer y manejar símbolos que representan números reales, revisar el

sistema de éstos y algunas de sus propiedades, proporcionan las reglas básicas para muchas

de las maneras de utilizar los símbolos en álgebra.

Los temas de esta Unidad son fundamentales para la comprensión y aplicación de

conceptos que se manejan en posteriores Unidades.

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1. OBJETIVO.

Al finalizar el estudio de esta Unidad, serás capaz de:

Aplicar los conceptos del álgebra elemental y los números reales con fluidez, por ser éstos

los antecedentes indispensables para el estudio del álgebra lineal, el cálculo diferencial e

integral, y la estadística descriptiva, entre otras.

2. CONTENIDO TEMATICO.

2.1. Algebra y números reales.

es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras

abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados

como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una

generalización y extensión de la aritmética.2 3 En el álgebra moderna existen áreas del

álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra

abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

enn número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene

del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los

números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo,

incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve

(9) y, por lo general, al cero (0).

2.1.1. Sistema de números reales.

Números enteros Z

Son los números reales que se denotan por Z ; así que se escribe

Z = {...,−2,−1,0,1,2...}

Números racionales Q

Los números racionales son los números reales que se pueden expresar como razón de

dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por Q , así que

Q = {q/p x / donde x = p ∈ Z , q ∈ Z }

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Números naturales N

También conocidos como números para contar o enteros positivos.

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}

Números Irracionales I

Son los números que no pueden expresarse como un cociente de enteros y su desarrollo

decimal es infinito no periódico.

/2 = 1.41421356... π = 3.14159265...

2.1.1.1. Representación de números reales en la recta.

La unión del conjunto de los números racionales y del de los números irracionales se

conoce como el conjunto de los números reales.

Una manera bastante práctica es representar los conjuntos de números en una recta a la

que denominaremos recta numérica como la que aparece en la siguiente figura.

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2.1.1.2. Relación de orden.

Paso 1. Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado.

Paso 2. Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o corchetes.

Inicie con el conjunto más interno y trabaje hacia fuera.

Si no hay paréntesis o corchetes:

Paso 1. Aplique todos los exponentes.

Paso 2. Haga las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparezcan,

trabajando de izquierda a derecha.

Paso 3. Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda

a derecha.

2.1.1.3. Comparación de los números: el signo de igualdad y el signo de desigualdad.

Suma de números reales

Signos iguales. Para sumar dos números con el mismo signo, deben sumarse sus

valores absolutos. El signo de la suma (+ o - ) es el mismo que el signo de los dos

números.

Signos diferentes. Para sumar dos números con signos diferentes debe restarse el valor

absoluto más pequeño del más grande. La suma es positiva si el número positivo tiene

el valor absoluto más grande. La suma es negativa si el número negativo posee el valor

absoluto más grande.

2.1.1.4. Propiedades básicas de los números reales para la adición y la multiplicación.

Multiplicación de números reales

Signos iguales. Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique sus

valores absolutos. El producto es positivo.

Signos diferentes. Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique sus

valores absolutos. El producto es negativo.

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2.1.1.4.1. Axioma de Cerradura.

Si queremos interpretar con simbología o graficas una función por decir un ejemplo se

establece condiciones en la que se limita los valores agregados y se establece una condición

que consiste en agregar ese valor hasta cierto limite de valores, es decir que ese valor se

incluye y se utiliza una cerradura.

2.1.1.4.2. Propiedad Conmutativa.

Este axioma establece que cualquier número sumado o multiplicado no debe importar el

orden en que estos se encuentren por ejemplo.

5*4 = 4*5 en el caso de la multiplicación

4+2 = 2+4

2.1.1.4.3. Propiedad Asociativa.

Indica que no importa el orden en que se encuentran el producto o la suma de los números

El axioma distributivo aplica cuando queremos factorizar un resultado mediante un

producto.

2.1.1.4.4. Elementos de Identidad.

1.- Cuando sumamos un número con cualquiera con cero el resultado es el mismo número.

5+ 0 = 5

2.- Los números reales multiplicados por uno el resultado es el mismo número real.

10*1= 10

La conclusión es la siguiente.

El cero es el elemento de identidad para la suma y el uno es el elemento de identidad par la

multiplicación.

10

2.1.1.4.5. Elementos Inversos.

Un ejemplo seria el cinco denotado por -5 da cero.

Cuando un numero real denotado por 1/a tal que a* = 1 esto quiere decir que podemos

simplificar esa expresión poniendo un uno abajo del numero para poder multiplicarlo y este

a su ves de cómo resultado una unidad.

2.1.1.4.8.1. Axioma de Comparación.

Si a y b representan números reales, entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones

es verdadera a b.

Para evitar confundir los símbolos de desigualdad, <; y >;, imaginémoslos como flechas

que apuntan siempre al numeral del número menor. Una proposición del tipo “x <2 ó x=2”

se escribe x ≤ 2 y se lee “x es menor que o igual a 2”. En forma semejante, a ≥ b significa

“a es mayor que o igual a b”. Sobre una recta números se puede indicar cualquier

subconjunto del conjunto de los números reales, como un conjunto de puntos, y se llama la

grafica del subconjunto.

Axioma del Cero

El conjunto de números reales contiene un elemento único 0, tal que, si a representa

cualquier número real, 0+a= a y a +0= a.

Axioma del 1

El conjunto de números reales contiene un elemento único 1, tal que, si a representa

cualquier número real, 1*a= a y a*1=a-

.

2.1.1.4.9. Propiedad de la igualdad.

cuando se habla de igualdad en matematicas, se establece una comparacion de valores

representada por el signo igual, que es el que separa al primer miembro del segundo.

Primer miembro = Segundo miembro

En la igualdad se dan cinco propiedades

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2.1.1.4.9.1. Reflexiva, Simétrica.

Propiedad, reflexiva: establece que toda cantidad o expresion es igual a si misma.

Ejemplos:

2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad simatrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la

igualdad se altere.

Ejemplos:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11

Si a - b = c, entonces c = a - b

Si x = y, entonces y = x

2.1.1.4.9.2. Transitiva.

enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros

también son iguales.

Ejemplos:

Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5

Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b

Si m = n y n = p, entonces m = p

2.1.1.5. Uso de los axiomas.

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una

base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y no debe, en consecuencia,

demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales

de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de

cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto,

afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en

ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

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El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial",

son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas

2.1.1.6. Adición y sustracción de números reales.

Para suma y resta de números racionales se realiza el mismo procedimiento que ya has

estudiado en cursos anteriores para las fracciones y números decimales.

Para sumar o restar números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos debes

transformarlos a fracción para poder sumarlos con otro número racional.

2.1.1.7. Multiplicación y división de números reales.

la multiplicación es una suma abreviada. Por ejemplo, si necesitamos escribir 8 + 8 + 8 + 8

+ 8 + 8, esto es, sumar 6 ochos, para no escribir tanto, el mundo se puso de acuerdo y mejor

lo escribimos como 6 x 8. De la misma manera 7 x 5 quiere decir sumar 7 cincos (o

también sumar 5 sietes. ¿Podrías decir por qué es lo mismo sumar 5 sietes que sumar 7

cincos?). También como resultado de esto nos tuvimos que aprender las tablas de

multiplicar para hacer operaciones rápidamente. Las tablas de multiplicar de la aritmética

siguen siendo válidas aquí.

Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado se llama el producto o

multiplicación

2.2. Exponentes.

es exponentes también se llaman potencias o índices el exponente de un número nos dice

cuántas veces se usa el número en una multiplicación..

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

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En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente

"8 al cuadrado"

2.2.1. Propiedades adicionales de los exponentes.

como simplifica 72 × 76?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto

significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más

simplemente como:

78

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes!

72 × 76 = 7(2 + 6) = 78

En general, para todos los números reales a, b, y c,

ab × ac = a(b + c)

Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las

otras propiedades.

2.3. Exponentes racionales.

i a es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real no negativo cuyo

cuadrado es a. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 42 = 16. De modo parecido, la

raíz cuarta del número no negativo a es el número real no negativo cuya curta potencia es a.

Por lo tanto, la raíz cuarta de 16 es 2, pues 24 = 16. Se puede definir raíces sexta, octava, y

así sucesivamente.

P Muy bien, ¿Y qué tal las raíces impares?

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R Hay una diferencia pequeña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de

cualquier número a es el número único cuyo cubo es a. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2

(pues 23 = 8). Note que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo,

negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es -2, pues (-2)3 = -8. Al contrario de las

raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. En realidad, la raíz cúbica de a tiene

siempre el mismo signo que a. Las otras raíces impares son definidas en la manera

parecida.

2.4. Radicales. Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.

Ejemplo: √2 (la raíz cuadrada de 2) no se puede simplificar más así que es un radical.

Pero √4 (la raíz cuadrada de 4) sí se puede simplificar (queda 2), así que no es un radical.

Fíjate en estos:

Número Simplificado En decimal ¿Radical

o no?√2 √2 1.4142135(etc) Radical

√3 √3 1.7320508(etc) Radical

√4 2 2 No es radical

√(1/4) 1/2 0.5 No es radical3√(11) 3√(11) 2.2239800(etc) Radical3√(27) 3 3 No es radical5√(3) 5√(3) 1.2457309(etc) Radical

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2.4.1. Cambio de las formas radicales.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente

obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor

dentro del radicando.

2.4.3. Simplificación.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del

radicando, se obtiene un radical equivalente.

Simplificación de radicales

2.5. Expresiones algebraicas, operaciones básicas.

Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas

(adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta

un informe Teórico práctico donde describas el

procedimiento para realizar cada operación y al menos

una demostración de cada operación descrita.

Operaciones básicas:

Adición y sustracción.

Para realizar ambas operaciones, se colocan los términos uno

debajo de otro, de modo que cada termino quede de forma

vertical o en forma de columna con su semejante y luego se

reduce a un total, esto si los términos son semejantes.

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total.

Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son

semejantes.

Cuando los elementos son de diferente especie se dice que no son

semejantes.

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Ejemplo:

El conjunto A = 5 Aviones

El conjunto B = 4 Aviones

El conjunto A y el B son de la misma especie, se dice que son

semejantes.

El conjunto C = 3 Carros

El conjunto D = 2 Motores

El conjunto C y D no son semejantes porque pertenecen a

diferentes especies.

2.5.1. Expresiones algebraicas y polinomios. Se multiplica al monomio por cada término

del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras

iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.

También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre

paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro

los ejemplos

resueltos de las dos maneras.

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

B = 3x - 6

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

-24x3 + 30x2 - 12x - 6

+

12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x

_________________________

12x4 - 39x3 + 36x2- 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo porcada término del primer

polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan

también

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completos y ordenados, y es más fácil ponerlo en columna según,su grado, porque van

saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es

un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la

diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el

resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una

columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los

términos de igual grado queden en la misma columna.

2.5.2. Suma y resta.

En la primera escena de este apartado se trata de evaluar expresiones algebraicas en uno o

más valores de x. El propósito es que el estudiante adquiera la habilidad de sumar términos

semejantes. La forma de interacción se explica por sí misma.

Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los

paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

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Ejemplo: Resta los siguientes

2.5.3. Multiplicación.

1

Primero hay que factorizar totalmente a todos los polinomios que se puedan en ambas

fracciones. Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre

tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x + 3), que está

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en el denominador de la primera fracción y en el numerador de la segunda. Finalmente hay

que multiplicar las fracciones que quedaron, del mismo modo que se multiplican las

fracciones numéricas: numerador con numerador, y denominador con denominador.

Y si lo piden, aclarar que la simplificación vale solamente para x ≠ 3.

2.6. Factorización.

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una

expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.)

en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los

objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en

términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por

ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles

2.6.1. Conceptos generales.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para

la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de

números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos

sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de

algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

2.6.2. Factores comunes.

trata de extraer de un polinomio, un monomio como factor común a cada uno de los

términos del polinomio en cuestión. El procedimiento empieza por extraer el Máximo

Común Divisor (M.C.D.) de los coeficientes del polinomio de esta manera. Ejemplo:

12y^3 x^2 + 30x^5 y^3 - 18m^3 x y^4

Los coeficientes sin sus respectivos signos son: 12, 30 y 18. El M.C.D. de ellos es 6, luego

dividimos cada uno de los coeficientes entre el número 6 por lo tanto se puede expresar

que:

6(2y^3 x^2 + 5x^5 y^3 - 3m^3 x y^4)

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Luego debemos identificar que variables o literales poseen en común todos los términos, y

observamos que todos los términos cuentan con las variables "x" e "y", excepto "m" que no

esta en todos. Luego de identificar la variables comunes debemos observar cual es el menor

exponente al que esta elevada la variable en los términos en cuestión; y podemos observar

que el exponente menor de "x" es 1 y el menor exponente de "y" es 3. Por lo tanto podemos

extraer como factor común también a x y^3 . Para hacerlo debemos dividir cada término

entre x y^3 . Quedando la expresión factorizada de la siguiente forma:

6x y^3 (2x + 5x^4 - 3m^3 y)

2.6.3. Factorización por agrupamiento.

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro

términos. Consideremos . No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo podemos

factorizar a y por separado: Por lo tanto . Podemos utilizar la propiedad distributiva una

vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones

con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

2.6.4. Fórmulas especiales de factorización.

son casos frecuentes de multiplicación de polinomios, se usan para decomposición de los

polinomios a multiplicadores, la simplificación de fórmulas, la simplificación de

polinomios.

Fórmulas de cuadrados

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – cuadrado de la suma

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 – cuadrado de la diferencia

a2 – b2 = (a – b)(a + b) – diferencia de los cuadrados

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

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Fórmulas de cubos

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – cubo de la suma

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – cubo de la diferencia

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) – suma de los cubos

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) – diferencia de los cubos

Fórmulas para la cuarta potencia

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)

2.7. Fracciones.

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis,

roto, o quebrado)1 es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que

representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les

llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que

contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales

2.7.1. Suma y resta.

Suma y resta con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Ejemplo:

22

Suma y resta con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Ejemplo:

2.7.2. Multiplicación y división.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:

1 Por numerador el producto de numeradores.

2 Por denominador el producto de denominadores.

Ejemplo:

23

División de fracciones

La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:

1 Por numerador el producto de los extremos.

2 Por denominador el producto de los medios.

Ejemplo:

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3. EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJE.

Con todas las lecturas y ejercicios que realizaste, elabora un resumen con los conceptos que consideres más importantes.

La factorización es un procedimiento por el cual se deshace la multiplicación, y su importancia es grande ya que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones y en general, dentro del proceso de solución de problemas de diferentes temas de la matemática, ayuda sistemáticamente, a encontrar la solución buscada. Los primeros números que se utilizaron fueron los naturales, sin embargo, estos números no son suficientes para representar todas las situaciones cotidianas. Por ello, se dio el surgimiento de otros números como los enteros, los racionales, etc.Si preguntamos a la gente qué es una fracción, probablemente muchos nos responderán diciendo que:Es una parte de un todo.Otros, sin embargo contestarán a la pregunta diciendo:Es un par de números separados por una raya. Si precisamos que nos referimos a una fracción en el ámbito de la matemática, quizá la respuesta se extienda a:y, en seguida, optarán por darnos unos ejemplos:1/4 ,3/7 ,1/6 ,2/5 , y otros similares.

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4. BIBLOGRAFIA COMPLEMENTARIA

Definicon,numerosreales,2008

http://definicion.de/numeros-reales/#ixzz3qLqQgFlm

(ultimo acceso 2 de noviembre del 2015)

Utj,teoría,2014

http://www.utj.edu.mx/matematicas/archivos/teoria.pdf


Edmedia,videoteca,2006

http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso2/htmlb/SEC_48.HTM


Mundo real, exponentes,2003 http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_2B.html


Matematicaylisto,polinomio,2014

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/multipli.htm


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http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/multipli.htm

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_2B.html

http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso2/htmlb/SEC_48.HTM

http://www.utj.edu.mx/matematicas/archivos/teoria.pdf

http://definicion.de/numeros-reales/#ixzz3qLqQgFlm

UNIDAD II

MATEMATICAS APLICADAS A LA

ADMINISTRACION Y A LA CONTADURIA

INTRODUCCION

La llamada matemática moderna no sólo abarca la matemática tradicional sino que da, además, reconocimiento explícito y, hace uso frecuente de algunos conceptos como los de conjunto, elemento, miembro de un conjunto, conjunto de ordenadas, funciones, función rango, función de intervalo; así mismo da reconocimiento a todos los niveles de definiciones, terrenos y demostraciones; su función instrumental se justifica en la solución de problemas a través de la construcción de modelos o representaciones de la realidad en símbolos matemáticos; sus aplicaciones cumplen una importante función como instrumento, que te llevará a relaciones de orden lógico de los números reales; al paso del estudio de sus propiedades te conduce a considerar conceptos como unión, interacción, conjunto vacío, entre otros.

1. OBJETIVO

Al finalizar el estudio de esta unidad, serás capaz de aplicar los elementos básicos de la teoría de conjuntos y temas afines; para ello deberás saber:

1.1. Determinar la consistencia o inconsistencia de un sistema, encontrando en su conjunto solución.

1.2. Usar las determinantes para definir un sistema de ecuaciones lineales.

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1.3. Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

2. CONTENIDO TEMATICO

2.1. Teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

2.1.1. Conceptos básicos.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

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Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

2.1.2. Orden de conjuntos de los números reales.

Representación de los números reales

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

Ejemplo:

Represente en la recta numérica los números y

Solución:

y

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Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica y de la siguiente manera.

2.1.3. Operaciones con conjuntos.

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

2.1.4. Propiedades de adición y multiplicación.

La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí.

La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:

Propiedad Interna:

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El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

Propiedad del Elemento neutro:

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces

El opuesto del opuesto o inverso de un número es igual al mismo número.

2.2. Subconjuntos e igualdad.

Dos conjuntos A y B se dice que son iguales, lo que se escribe A=B si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

x∈A⇔x∈B

Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro B, si cada elemento de A es también elemento de B, es decir, cuando se verifique:

31

x∈A⇒x∈B

sea cual sea el elemento x. En tal caso se escribeA⊆B

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si A⊆B, se cumpla A=B. Si B tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto A, pero si todo elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A es un subconjunto propio de B, lo que se representa por A⊂B.Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.Si A es un subconjunto de B, se dice también que B es un superconjunto de A, lo que se escribe B⊇A y se dice que B es un superconjunto propio de A si B⊃A.

Por el principio de identidad, es siempre cierto que

x∈A⇒x∈A

para todo elemento x, por lo que todo conjunto es subconjunto y superconjunto de sí mismo.

2.3. Variables.

En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificados.

En contraste, una constante es un valor que no cambia (aunque puede no ser conocido, o indeterminado). En este contexto, debe diferenciarse de una constante matemática, que es una magnitud numérica específica, independientemente de la naturaleza Variables independientes y variables dependientes[editar]

En cálculo, álgebra y geometría analítica, suele hacerse la distinción entre variables independientes y variables dependientes. En una expresión matemática, por ejemplo una función y=f(x) , el símbolo x representa a la variable independiente, y el símbolo y representa a la variable dependiente. Se define variable independiente como un símbolo x que toma diversos valores numéricos (argumentos), dentro de un conjunto de números específicos y que modifica el resultado o valor de la variable dependiente.a del problema dado.

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2.4. Relaciones y funciones.

Hay muchos tipos de relaciones. Entre las más importantes relaciones algebraicas están las funciones. Una función es una relación en la cual una variable especifica un valor determinado de otra variable. Por ejemplo, cuando avientas la pelota, cada segundo que pasa tiene una y sólo una altura correspondiente. El tiempo sólo avanza hacia adelante, y nunca se repite. La altura de la pelota depende de qué tanto tiempo ha pasado desde que dejó tu mano. Ésta es una relación en una sola dirección — a pesar de que cada momento del tiempo es único, es posible que la pelota esté a una altura particular más de una vez cuando va hacia arriba y cuando va hacia abajo. El saber el tiempo te dará la altura, pero el saber la altura no te dará el tiempo.

Las partes de una función se llaman entradas y salidas. Una entrada es la cantidad independiente que no se repite. La salida es la cantidad dependiente. El valor de la salida depende del valor de la entrada. Para cada entrada, hay una salida única. En el caso de aventar la pelota al el aire, el tiempo es la entrada y la altura es la salida.

2.4.1. Composición de funciones.

dadas f:A⊆R⟶R y g:B⊆R⟶R dos funciones reales de variable real, tales que f(A)⊆B, definimos la función compuesta de f con g, la función que se representa por g∘f:A⊆R⟶R en la forma: (g∘f)(x)=g[f(x)];∀x∈A

Descriptores: Funciones reales de una variable

Funciones

Enlaces interactivos: Composición de funciones

Ejemplo:

Dadas las funciones f(x)=3x2+x y g(x)=(1/x), calcular las funciones compuestsa (f∘g)(x) y (g∘f)(x)

1. (g∘f)(x)=g(f(x))=(1/(f(x)))=(1/(3x2+x))

2. (f∘g)(x)=f(g(x))=3[g(x)]2+g(x)=3((1/x))2+(1/x)

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2.4.1.1. Gráfica de una función.

2.4.2. Límites de una función.

l concepto de limite es funadamental dentro de las áreas del calculo diferencial e Integral. Por lo que iniciaremos por describir los conceptos y definiciones de este tema en esta sección.

34

El concepto de límite lo iniciaremos con un ejemplo de manera númerica para su mejor comprensión, antes de su definición formal:

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http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/definicion/lim-1.png?attredirects=0

36

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39

http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/definicion/LIM-LATERALES.png?attredirects=0

40

http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/definicion/LIM-LATERALES-1.png?attredirects=0

2.5.Funciones lineales y sus gráficas.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

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http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/definicion/EJEM-LIM-1A.png?attredirects=0

http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/definicion/EJEM-LIM-1.png?attredirects=0

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

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2.6. Las rectas.

Una recta es una sucesión infinita de puntos , si tuados en

una misma dirección .

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud .

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una

letra minúscula .

Dos puntos determinan una recta .

2.6.1. Pendientes de una recta.

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.1

En geometría analítica, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta(o coeficiente angular2 ) como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.

43

2.6.2. Ecuaciones de la recta.

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y elpunto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

y − y1 = m(x − x1)

y – b = m(x – 0)

y – b = mx

44

y = mx + b

2.6.3. Familias de recta.

2.6.3.1. Rectas paralelas.

2.6.3.2. Rectas perpendiculares.

2.6.3.3. Rectas intersecantes.

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2.7. Desigualdades lineales.

Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]--13/7]

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-3/8[

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El conjunto solución lo escribimos así: S = ]30/17, +[

2.8. Aplicaciones de la gráfica rectilínea; su administr ación y economía.

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3. EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJE

3.1. Elabora un resumen de los conceptos aprendidos.

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros (positivos o negativos) son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. La recta numérica fué inventada por John Wallis. Dentro de la recta podemos encontrar los intervalos, que son los espacios que se da de un punto a otro , el cual puede ser negativo si se encuentra hacia el lado izquierdo del “cero”, o positivo si se encuentra del lado derecho del “cero”. Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

4. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

Matemáticas,conjuntos,2007

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/7.do


Acreditación,definición,2005

http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/definicion


Geometría,recta,2009

http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Recta_Ecuacion_de.html(ultimo acceso 3 de noviembre del 2015)

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UNIDAD III

ALGEBRA DE MATRICES

INTRODUCCION

El álgebra de matrices proporciona una notación precisa y clara para la información y resolución de algunos problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria. El álgebra matricial también llamada teoría de matrices tiene hoy aplicaciones en diversos campos, ésta nos permite la expresión de un sistema complejo de ecuaciones en forma simplificada, proporcionando un método abreviado para determinar si existe una solución, antes de tratar de obtenerla, facultando además los medios para resolver los sistemas de ecuaciones; es un gran auxiliar en el control de inventarios, análisis de costos, problemas de estrategias en planeación y análisis de datos entre otro.

Sólo se puede aplicar a sistemas de ecuaciones, por lo que se puede pensar que es una limitación, pero no es así, ya que nos resuelve una gran dificultad, puesto que si el problema no ésta planteado en ecuación lineal se puede transformar en relación lineal para su solución.

En esta Unidad se defienden las matrices, así como las operaciones correspondientes, se consideran tipos especiales de matrices, transpuesta de una matriz, matrices subdivididas y determinantes de una matriz, propiedades de éstas, Regla de Cramer, también se analiza el tema de inversión de una matriz, algunos métodos de inversión, la inversión de matrices subdivididas y las propiedades de éstas.

Este aprendizaje lo utilizarás concretamente en inventarios, producción, modelo de mercado, salario, etc.

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1. OBJETIVO.

Al finalizar el estudio de esta Unidad, serás capaz de:

1.1. Expresar matricialmente cuestiones factibles de representar por este medio, como: Producción, modelos de mercado, inventarios, etc.

1.2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales y otro tipo de problemas que pueden expresarse, matricialmente.

1.3. Aplicar el modelo de insumo-producto para análisis y como herramienta de planeación.


2.1. Definición de matriz.

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. La notacion de una matriz tiene la forma:

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representartransformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

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2.2. Algebra matricial (operaciones).

2.2.1. Adición y sustracción de matrices.

Como en el anterior tema, consideraremos fijado un cuerpo k de coeficientes.

Nos referiremos a los elementos del cuerpo como numeros ´ o escalares.

Alguna de las definiciones de este tema serán espec´ıficas para el caso en que k es el

cuerpo C de los números complejos. En ese caso se advertirá espec´ıficamente.

Si es necesario pondremos el orden de la matriz como sub´ındice. As´ı escribiremos

Am×n para indicar que la matriz A es de orden m × n.

Denotaremos también [A]ij a entrada de la fila i y la columna j en la matriz A.

Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y las entradas correspondientes

son iguales, [A]ij = [B]ij .

Suma de matrices

Si A y B son matrices de orden m×n, la suma de A y B se define como

la matriz de orden m × n notada por A + B, cuyas entradas verifican

[A + B]ij = [A]ij + [B]ij para cada i, j.

La matriz −A, llamada opuesta de A, se define como

[−A]ij = −[A]ij .

La diferencia de A y B es

A − B = A + (−B).

2.2.2. Multiplicación de una matriz por un escalar.

Multiplicacion por un escalar ´

51

El producto de un escalar α por una matriz A de orden m × n, notada

por αA, se define como la matriz de orden m × n que verifica

[αA]ij = α[A]ij .

Propiedades de la multiplicacion por un escalar ´

Sean A, B matrices de orden m × n, y α, β escalares.

αA es una matriz m × n.

(αβ)A = α(βA).

α(A + B) = αA + αB.

(α + β)A = αA + βA.

1A = A.

2.2.3. Multiplicación de matrices.

Multiplicacion de matrices ´

Dos matrices A y B se dicen ajustadas para multiplicación en el

orden AB cuando el número de columnas de A es igual al número

de filas de B, esto es, si A es de orden m×p y B es de orden p×n.

Para matrices ajustadas Am×p y Bp×n, la matriz producto AB, de

orden m × n, se define como

[AB]ij = [A]i1[B]1j+[A]i2[B]2j+. . .+[A]ip[B]pj =Xp

k=1

[A]ik[B]kj

2.2.3.1. Productos punto.

Supongamos que Am×p y Bp×n.

[AB]i∗ = Ai∗B; esto es, la i-ésima fila de AB es la i-esima fila

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de A multiplicada por B.

[AB]∗j = AB∗j

; esto es, la j-ésima fila de AB es A multiplicada

por la j-ésima fila de B.

[AB]i∗ = [A]i1B1∗ + [A]i2B2∗ + . . .+ [A]ipBp∗ =

Pp

k=1[A]ikBk∗.

[AB]∗j = A∗1[B]1j+A∗2[B]2j+. . .+A∗p[B]pj =

Pp

k=1 A∗k[B]kj .

2.3. Tipos de especiales de Matrices.

2.3.1. Matrices Diagonales.

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

Ejemplo:

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

2.3.2. Matrices Identidad.

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en álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario e_i \, de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa a la aplicación identidad que va de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo.

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,

2.3.3. Matrices Nulas.

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn definida sobre un anillo K asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz nilpotente y matriz singular.

2.4. Transpuesta de una Matriz.

54

2.4.1. Transpuesta de una suma de una diferencia de matrices.

(A t) t = A

(A + B) t = A t + B t

2.5. Determinante de una Matriz.

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

2.6. Regla Cramer.

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor aGabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

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Si es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ha de ser no nulo.

2.7. Inversa de una Matriz.

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que:

,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

2.7.1. Inversión de Matrices 2 x 2. Y de orden mayor.

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:1

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Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Ejemplo numérico:

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

Donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, está fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

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3. EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE

3.1. Elabora un resumen de la revisión de los textos utilizados.

El objeto con que se representan las conexiones en la anterior página es una matriz. En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

GENERADOR DE MATRICES

En las escenas que irás encontrando, el botón inicio permite comenzar la escena y genera matrices de dimensión variable (entre 1 y 6 filas y columnas).

Haz variar el número de filas y de columnas (dimensión de la matriz) utilizando los botones nº filas y nº columnas.

Al pulsar el botón Regenerar obtendrás una nueva matriz conservando el número de filas y columnas de la anterior.

El botón Tipo de Matriz te permite observar la clasificación de algunas matrices atendiendo a su forma. Selecciona un criterio y descubre distintos tipos de matrices, dependiendo del número de filas y columnas que tengan.

Observa también cómo se identifican los elementos con los botones fila y columna.

4. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

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Gcfaprendelibre, conjuntos,2006


(ultimo acceso el 3 de noviembre del 2015)

Acreditación,definicon,2008



Profesorenlinea,geometría,2010

http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Recta_Ecuacion_de.html


.

UNIDAD IV

DERIVACION

59

http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Recta_Ecuacion_de.html




INTRODUCCION

La consideración de un problema de resultados óptimos nos conduce a un problema geométrico relacionado con él; el de calcular la pendiente de una recta; la técnica que se desarrolla para resolver este problema geométrico se denomina derivación y se convierte en una herramienta matemática notablemente poderosa.

No solamente nos da información útil acerca de la forma de las gráficas, sino que puede usarse para resolver una amplia gama de problemas prácticos de obtención de resultados óptimos.

El estudio del concepto derivada de una función, es el de un concepto unido al de función y límites; constituye parte medular de temas de Administración y Contaduría; se utiliza al analizar algunos indicadores económicos en los cuales la derivada está presente como explicar el comportamiento de las funciones, elasticidades y productividad, entre otras; es de igual forma un valioso auxiliar para el estudio del comportamiento de las funciones, elasticidades y productividad, entre otras; el análisis y la comprensión del punto de equilibrio indispensable en estas materias.

De aquí aprenderás la utilización de la derivada y su interpretación, tanto física como geométrica; calcularás la derivada a partir de su definición; aprenderás las técnicas de la derivación, la regla de cadena, la derivada de una función de función, funciones implícitas, valores máximos y números de una función, máximos y mínimos, absolutos y relativos; así como a resolver problemas prácticos de obtención de resultados óptimos.

1. OBJETIVO.

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Al concluir el estudio de esta Unidad, serás capaz de:

1.1. Utilizar la derivada para lograr un análisis cada vez más preciso de las funciones.

1.2. Explicar el comportamiento de las funciones económicas, como elasticidades, y productividad entre otras.


2.1. Derivada.

2.1.1. Introduccion

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación. La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles. La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales acción.

2.1.2. Definición.

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

2.1.3. Incrementos.

61

Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento simbolizado de la siguiente manera . Despues de la formula que tiene se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

2.2. Interpretación física y geométrica de la derivada.

nterpretación geométrica de la derivada

62

Cuando h t iende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante t iende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β .

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m t = f'(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x 2 , calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

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La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1 .

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

64

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x 2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b 2x3+ bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

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f '(1) = f'(2)

f'(x) = 3b 2x2 + 2bx + 3

f'(1) = 3b2 + 2b + 3

f'(2) = 12b 2 + 4b + 3

3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3

9b2 + 2b = 0

b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio

recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt) .

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Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el l ímite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, laderivada del

espacio respecto al tiempo .

67

Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t 2 . Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

68

¿Cuál es la velocidad que l leva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t 2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

69

2.3. Cálculo de la derivada a partir de la definición.

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

70

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul

por lo que:

tg ah tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por

el que después entenderás otros conceptos,

si no es así, dímelo 'Calculo de derivadas'

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

'(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

Puesto que

71

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.

Calcular la derivada de la función

f(x) = 'Calculo de derivadas'en el punto 2.Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

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Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.

Resolución:

La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma y - y0 = m (x - x0) y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2) y - 4 = 4x - 8

4x - y - 4 = 0.

Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

73

2.12. Regla de cadena.

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

2.14. Funciones Implícitas.

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

2.15. Valores Máximos y Mínimos de una Función.

Máximos

Si f y f ' son derivables en a, a es un máximo relativo o

local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f' '(a) < 0

Mínimos

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Si f y f ' son derivables en a, a es un mínimo relativo o

local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f' '(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x 3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus

raíces.

f '(x) = 3x 2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo

que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f' '(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f ' ' (x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

75

f ' ' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los

extremos relativos.

f(−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

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77

78

79

Problemas

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo , para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x3 + ax2 + bx + c f ′(x) = 3x2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′(x) = 3ax 2 + 2bx + c

80

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0 c = 0

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

81

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x 1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

82

3 EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJE

3.1, Realiza cuidadosamente todos los ejercicios resueltos razonando su desarrollo.

1

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4. BIBLOGRAFIA COMPLEMENTARIA

Devor, derivadas,2005

http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

(ultimo acceso del 3 de noviembre del 2015)

Derivadas,derivadas, 2007

http://www.derivadas.es/


Vitutor, ejercicios, 2005

http://www.vitutor.com/fun/4/b_2.html


84

http://www.vitutor.com/fun/4/b_2.html



CONCLUSION

El aprendizaje de las matemáticas es un aprendizaje directo, ya que este consiste en explorar cada una de las propiedades que están inmersas en cada una de las operaciones básicas de las matemáticas y repasarlas constantemente.

• El temor a las matemáticas debe ser erradicado de raíz, brindando herramientas de base para disminuir la frustración de los estudiantes en el futuro.

• Para el aprendizaje de las matemáticas es necesario que exista actitud positiva para la adquisición de tales conocimientos.

A lo largo del trabajo se puede observar el gran número de actividades relacionadas con la historia de la matemática que podemos afrontar con el uso de la calculadora, y cómo estas tareas permiten conocer más sobre las ideas que llevaron a los matemáticos a asumir ciertas posiciones, a su forma de pensamiento. En esta materia también se encuentra varias actividades algebraicas como factorización, derivar, y sobre el manejo de las matrices etc.

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BIBLOGRAFIAS ESPECIALIZADAS

Devor, derivadas,2005



Derivadas,derivadas, 2007



Gcfaprendelibre, conjuntos,2006



Acreditación,definicon,2008



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matematicas basicas