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Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE
Matemáticas Discretas
Cursos Propedéuticos 2011Ciencias Computacionales
INAOE
Dr. Enrique Muñoz de [email protected]
http://ccc.inaoep.mx/~jemcOficina 8210
Diapositivas basadas en previas iteraciones de:
Dr. Enrique SucarDr. Luis Villaseñor
Series Una serie o secuencia o sucesión es una lista donde
se toma en cuenta el orden. Cada elemento en la serie tiene un número índice asociado Puede ser infinita
Una sumatoria es una notación compacta para la suma de todos los términos en una serie posiblemente infinita
3
Series Se denota por s ó {sn}, y por sn identificamos al n-
ésimo elemento de la serie Una secuencia o serie {an} se identifica con una
función generatriz f :S → A de algún subconjunto S⊆N y para algún conjunto A.
Si f es una función generatriz de una serie {an}, entonces para n ∈ S, el símbolo an denota f(n), también llamado término n de la serie. El índice de an es n (comúnmente se intercambia por i)
4
Series Una serie se denota comúnmente por una lista de sus
primeros y/o últimos elementos. Ejemplo
“{an} = 0, 1, 4, 9, 16, 25, …” es equivalente a ∀n∈N, an = n2.
5
Ejemplos de secuencias o series Un ejemplo de una serie infinita:
Considere la serie {an} = a1, a2, … donde (∀n≥1) an= f(n) = 1/n
Equivalentemente: {an} = 1, 1/2, 1/3, …
Una serie puede contener instancias repetidas de un elemento Considere la secuencia {bn} = b0, b1, … (notar que 0 es un
índice) donde bn = (−1)n. {bn} denota una secuencia infinita de 1’s y −1’s, no el
conjunto con 2 elementos {1, −1}.
6
Inferencia de secuencias Algunas veces sólo se proporcionan los primeros
términos de una secuencia Encontrar cuál es la función generatriz, ó Procedimiento para enumerar la secuencia
¿Cuál es el siguiente elemento de la secuencia? 1, 2, 3, 4, ... 1, 3, 5, 7, 9, … 2, 3, 5, 7, 11, …
7
Cadenas Sea Σ un conjunto finito de símbolos, i.e. un alfabeto
Una cadena sobre el alfabeto Σ es cualquier secuencia {si} de símbolos, si∈Σ , normalmente indexados por N.
Si a, b, c, … son símbolos, la cadena s = a, b, c, … puede escribirse como abc…
Si s es una cadena finita y t es cualquier otra cadena, entonces la concatenación de s con t, se denota como st
8
Cadenas La longitud |s| de una cadena finita s es el número de
posiciones (i.e., el número de valores del índice i). Si s es una cadena finita y n∈N,
Entonces sn denota la concatenación de n copias de s.
Ejemplos s = abc | s | = 3 t = de | t | = 2 st = abcde ts = deabc s2t3 = abcabcdedede
9
Notación sumatorias Dada una serie {an}, una cota inferior entera (o
límite) j≥0, y una cota superior entera k≥ j, entonces la sumatoria de {an} de j a k se define y denota por:
i se denomina índice de la sumatoria
10
kjj
k
jii aaaa +++= +
=∑ ...1
Sumatorias generalizadas Para una serie infinita, se puede denotar:
Para sumar una función sobre todos los miembros de un conjunto X={x1, x2, …}:
Si X={x|P(x)}, se puede escribir
11
...1 ++= +
∞
=∑ jj
jii aaa
...)()()( 21 ++=∑∈
xfxfxfXx
...)()()( 21)(
++=∑ xfxfxfxP
Ejemplo: sumatoria
32
17105
)116()19()14(
)14()13()12(1 2224
2
2
=++=
+++++=
+++++=+∑=i
i
12
Sumatoria finita
Ejemplos: sumatoria Una serie infinita con un resultado finito
Uso de predicados para definir un conjunto de elementos sobre una sumatoria
13
2...1...222 41
2110
0
=+++=++= −∞
=
−∑i
i
874925947532 2222
10 primo) es (
2 =+++=+++=∑<
∧x
x
x
Operaciones de sumatorias Algunas identidades útiles:
14
∑∑
∑ ∑∑
∑∑
+
+==
−=
+
=+
=
nk
nji
k
ji
x xx
xx
nifif
xgxfxgxf
xfcxcf
)()(
)()()()(
)()(
Operaciones de sumatorias Otras identidades útiles:
15
∑∑
∑∑∑
==
+===
−=
<≤+
=
k
i
k
i
k
mi
m
ji
k
ji
ikfif
kmjififif
00
1
)()(
if )()()(
Sumatorias múltiples Ejemplo:
Note la independencia de los límites de sumatoria
16
( )
60106
)4321(666
321
4
1
4
1
4
1
4
1
3
1
4
1
3
1
4
1
3
1
=⋅=
+++===
++=
=
=
∑∑
∑∑ ∑∑ ∑∑∑
==
== == == =
ii
ii ji ji j
ii
ijiijij
Ejemplo Evalué la sumatoria:
1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n
Hay n/2 pares de elementos que suman n+1
17
…n+1n+1
n+1
∑=
n
i
i1
Ejemplo Evalué la sumatoria:
1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n
Hay n/2 pares de elementos que suman n+1
18
…n+1n+1
n+1
2/)1(1
+=∑=
nnin
i
Progresión geométrica Una progresión geométrica es una serie de la forma
a, ar, ar2, ar3, …, ark, donde a, r ∈ R Por ejemplo, 5,15,45,135… es una progresión
geométrica con razón r=3, ya que:5 × 3 = 15
5 × 32 = 45
5 × 33 = 135 y así sucesivamente.
19
Progresión geométrica
Dejen: s = a+ar+ar2+...+arn-1
Al multiplicar por r
sr =ar+ar2+ar3+...+arn
Entonces
s – sr = s(1-r) = a - arn
Por lo tanto:
20
€
ark = a1− rn
1− rk= 0
n−1
∑
€
s = ark = a1− rn
1− rk= 0
n−1
∑
Progresión geométrica
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma.
21
€
s = ark = a1− rn
1− rk= 0
n−1
∑
Progresión geometrica: cuando n tiende a infinito Cuando n tiende a infinto, el valor absoluto de r tiene
que ser < 1 para que la serie no diverga Para r < 1, la suma queda:
22
€
ark = a1
1− rk= 0
∞
∑
Convergencia para r < 1DemostraciónDejen: s = 1 + r + r2 + …
Al multiplicar por r
sr =r+r2+r3+...
Entonces
s – sr = s(1-r) = 1
Por lo tanto:
Y
23
€
rk =1
1− rk= 0
∞
∑
€
ar k = a1
1− rk= 0
∞
∑
Recordemos: ¿Qué es una sucesión?
Observemos las siguientes sucesiones:
3;6;9;12;15;...... Se suma ... a cada término.
2;6;18;54;162;... Se multiplica por ... a cada término.
5;6;8;11;15;........ Se suma un______________________
1;4;9;16;25;...... Se eleva al _______________________
SUCESIÓN
Es un conjunto de números ordenados y consecutivos que tienen una ley de formación.
3;6;9;12;15;18.
SUCESIÓN
De lo observado, se tiene:
Es una Progresión Aritmética.
2;6;18;54;162;486.Es una Progresión Geométrica
PROGRESIÓN
CLASES DE PROGRESIONES:
a) Progresión Aritmética:
•) Es aquella progresión donde los términos siguientes se obtienen sumando un misma número real al término anterior.
b) Progresión Geométrica:
•) Es aquella progresión donde los términos siguientes se obtienen multiplicando una misma cantidad real al término anterior.
• Es una sucesión, donde los términos siguientes se obtienen sumando o multiplicando, un número real llamado razón, a un término anterior.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Consideremos la sucesión de término general:an = 5, 8, 11, 14, 17, 20,...
Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión.
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3. En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n
primeros términos de la progresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada.
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ELEMENTOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Pn a1 a2 a3 a4 a5 a1 d n anP1 6 10 14 18 22 6 4 5 22P2 32 27 22P3 -9 -6 -3 0 3P4 -9 -
12-15
-18
P5 7 7a1 : primer término d: diferencia comúnan : último término n: número de términos
Profundiza
33
• Calcular el término de lugar 26 de la siguiente P. A., para ello resuelve y pulsa la alternativa correcta:PA: 25;31;37;43;.....a)105 b)125 c)155 d)175
• Calcular el término de lugar 40 de la siguiente P. A., para ello resuelve y pulsa la alternativa correcta:PA: 180;171;162;153;.....a)-151 b)-161 c)-171 d)-181
Convergencia y divergencia
35
Sea una sucesión, entonces una serie, viene dada por:
Convergencia Serie.
Dada una seria , tal que , entonces:
Si existe y es igual a S, entonces la serie Converge a S.
Si no existe entonces la serie Diverge.
{ }na
∑∞
=
+++++=1
321n
nn aaaaa
∑∞
=1nna
nn
n Sa =∑∞
=1
nn
S∞→
lim
nn
S∞→
lim
Propiedades de las Series
36
• Dadas las series convergente ,
y c un número real, entonces las
siguientes series también son convergentes, y
sus sumas son:
• Si es convergente y es
divergente, entonces:
es Divergente
Aan =∑ Bbn =∑
cAac n =∑ BAba nn +=+∑ )( BAba nn −=−∑ )(
∑ na ∑ nb
BAba nn ±=±∑ )(
Importante: Si y son Divergente, entonces no se tiene certeza si
es Convergente o Divergente
∑ na ∑ nb
BAba nn ±=±∑ )(
Serie Geométrica
37
A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:
o
se denomina serie geométrica.
La Convergencia o no de una serie geométrica
viene dada por:
• Si , entonces la serie Diverge.
• Si , entonces la serie Converge y su
suma es
∑∞
=0n
nra ∑∞
=
−
1
1
n
nra
1≥r
1≤rr
aS
−=
1
Serie de potencias Una serie de potencias es aquella que tiene la forma:
en donde x es una variable y los cn son constantes llamadas coeficientes de la serie.
De una manera más general, la serie de la forma:
se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a.
++++=∑+∞
=
33
2210
0
xcxcxccxcn
nn
+−+−+−+=−∑+∞
=
33
2210
0
)()()()( axcaxcaxccaxc n
nn
Convergencia Una serie de potencias es convergente en
un valor especificado de x si su sucesión de sumas parciales {SN(x)} converge, es decir, existe
Si el límite no existe en x, entonces se dice que la serie es divergente.
n
nn axc )( −∑
+∞
=0
.)()( ∑+∞
=
−∞→
=∞→ 0n
nnN axC
N
LimxS
N
Lim
Ejemplo La serie:
es una serie de potencias con cn=1 para toda n.Esta serie es una serie geométrica que converge si -1<x<1.El valor de convergencia de la serie es:
++++=∑+∞
=
32
0
1 xxxxn
n
xxxxx
n
n
−=++++=∑
+∞
= 1
11 32
0
Prueba de la razónLa convergencia de una serie de potencias
suele determinarse mediante el criterio de la razón. Suponga que para toda n y que
Si L<1, la serie converge absolutamente.Si L>1, la serie diverge y
Si L=1, el criterio no es concluyente.
0≠nC
LC
C
n
Limax
axC
axC
n
Lim
n
nn
n
nn =
∞→−=
−−
∞→+
++ 1
11
)(
)(
Series de Taylor y de Maclaurin
Suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias:
xf =)(
0)( caf =
+− )(1 axc+0c +− 22 )( axc +− 3
3 )( axc ...)( 44 +− axc Rax <−
1
xf =)('
1)(' caf =
+− )(2 2 axc+1c +− 23 )(3 axc ...)(4 3
4 +− axc Rax <−2
xf =)(''
22)('' caf =
Rax <−3
+22c +−⋅ )(32 3 axc ...)(43 24 +−⋅ axc
Series de Taylor y de Maclaurin
43
xf =)('''
33 !332)(''' ccaf =⋅=
Rax <−4
!
)()(
n
afc
n
n =
nnn cnncaf !...432)()( =⋅⋅⋅⋅=
+⋅ 332 c +−⋅⋅ )(432 4 axc ...)(543 25 +−⋅⋅ axc
Series de Taylor y de Maclaurin
44
!
)()(
n
afc
n
n =
Rax <−
5
∑∞
=
−=0
)()(n
nn axcxf
Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, si
Los coeficientes están expresados por la fórmula
Series de Taylor y de Maclaurin
45
+= )(af
6 ∑∞
=
−=0
)(
)(!
)()(
n
nn
axn
afxf
+− )(!1
)('ax
af+− 2)(
!2
)(''ax
af...)(
!3
)(''' 3 +− axaf
+)0(f7 ∑∞
=
==0
)(
!
)0()(
n
nn
xn
fxf +x
f
!1
)0('...
!2
)0('' 2 +xf
Ejemplo
46
EJEMPLO 1 – Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia
1)0( 0 == ef nSOLUCIÓN – Si f(x) = ex , de modo que para toda n.
En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es
∑∞
=
=0
)(
!
)0(
n
nn
xn
f...
!3!2!11
32
++++ xxx∑∞
=
=0 !n
n
n
x
Para hallar el radio de convergencia, sea . Entonces
101
!
)!1(
11 <→
+=⋅
+=
++
n
x
x
n
n
x
a
an
n
n
n
!/ nxa nn =
De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia ∞=R
Serie de Maclaurin En el caso especial de que a=0, la serie de Taylor se
transforma en:
Esta serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.
++++== ∑+∞
=
32
0
)(
)(!3
)0´´´()(
!2
)0´´()(
!1
)0´()0()(
!
)0()( x
fx
fx
ffx
n
fxf n
n
n
Problemas:
Obtenga la serie de Maclaurin para cada una de las siguientes funciones:
1. f(x) = ex
2. f(x) = Sen(x)
3. f(x) = Cos(x)
Nota: Son analíticas en x=0.
+−+−=
+−+−=
++++=
!!!
!!!
!!!
6421
753
3211
642
753
32
xxxCosx
xxxxSenx
xxxe x
Formulae
49
Taylor Polynomials at x=a
2 3( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1
2! 3!p p p p p p
x px x x− − −+ = + + + +K
The Binomial Series
2 4 2
0
1 1 ( 1)cos( ) 1
2! 4! (2 )!
kk
k
x x x xk
∞
=
−= − + − = ∑K1
2 13 5
0
1 1 ( 1)sin( ) .
3! 5! (2 1)!
k k
k
xx x x x
k
+∞
=
−= − + − =+∑K2
2 3
0
1 1 1e 1
2! 3! !x k
k
x x xk
∞
=
= + + + = ∑K3
Maclaurin series = Taylor series at x = 0. Basic Maclaurin series:
Formulae 1 – 3 can be used for all x.
Valid only if -1 < x < 1.
Encontrar la serie de Maclaurin
50
( ) ( )( )
2 1
0
1Start with the Taylor series sin .
2 1 !
k
k
k
z zk
∞+
=
−=
+∑
( )2Find the Maclaurin series of the function sin x .
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2
2 12 2 4 2
0 0
Substitute to get
1 1 sin .
2 1 ! 2 1 !
k kk k
k k
z x
x x xk k
∞ ∞+ +
= =
=
− −= =
+ +∑ ∑
Problem
Solution
Encontrar la serie de Maclaurin
51
( ) ( )( )
∞+
=
−=
+∑ 2 1
0
1Start with the Maclaurin series sin .
2 1 !
k
k
k
x xk
( )sin xFind the Maclaurin series of the function .
x
( ) ( )( )
( )( )
2 1 2
0 0
Divide all terms by to get
sin 1 11 .
2 1 ! 2 1 !
k k
k k
k k
x
xx x
x x k k
∞ ∞+
= =
− −= =
+ +∑ ∑
Problem
Solution
Encontrar la serie de Maclaurin (3)
52
( ) 2
2
1Observe that f . This is the sum of a geometric
1
series with first term 1 and ratio of two subsequent terms .
xx
q x
′ =+
= −
( ) ( )=Find the Maclaurin series for the function f arctan .x x
( ) ( )2 4 6 2
0
Hence f 1 1 .k k
k
x x x x x∞
=
′ = − + − + = −∑K
Problem
Solution
( ) ( ) 1
3 5 7 2 1
0
This implies by integration that
11 1 1f .
3 5 7 2 1
k
k
k
x C x x x x xk
+∞+
=
−+ = − + − + =
+∑K
To determine the constant of integration C, insert x = 0 in the above equation to get C = 0.
Serie Telescópica
53
Es aquella serie que se puede expresar de la forma:
La serie telescópica siempre converge a L si .
Serie Armónica.
Es aquella serie que se puede expresar de la forma:
La serie armónica siempre es Divergente.
∑∞
=+−
11
nnn aa
Lann
=∞→
lim
∑∞
=1
1
n n
Serie p
54
A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:
se denomina serie p.
La Convergencia o no de una serie p viene
dada por:
• Si , entonces la serie Diverge.
• Si , entonces la serie Converge.
∑∞
=1
1
npn
1≤p
1≥p
Criterio de la Divergencia
55
Si la serie infinita converge, entonces
, con lo cual se puede concluir que:
Si , entonces la serie es Divergente.
Importante: Si no implica que la
serie sea Convergente, por lo tanto se debe
utilizar otro criterio.
∑∞
=1nna 0lim =
∞→ nn
a
0lim ≠∞→ n
na
0lim =∞→ n
na
Criterio de Comparación
56
Si , para todo n entonces:
• Si Converge, entonces
también Converge.
• Si Diverge, entonces también
Diverge.
∑∞
=1nnb
∑∞
=1nna
∑∞
=1nna
∑∞
=1nnb
nn ba ≤≤0
Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, no se tiene certeza si la serie converge o no, por
lo tanto se debe elegir otro criterio.
Criterio de Comparación
57
Sean y , dos series de términos
positivos entonces:
• Si , entonces ambas series
Converge o Divergen.
• Si y Converge, entonces
Converge.
• Si y Diverge, entonces
Diverge.
∑ na ∑ nb
0lim ≥∞→
n
n
n b
a
0lim =∞→
n
n
n b
a ∑ nb ∑ na
∞=∞→
n
n
n b
alim ∑ nb ∑ na