Fundacin Universitaria Panamericana - Compensar

Matemtica Financiera

Andrs Roa VarnBanca Patrimonial Davivienda

Economista Diplomado en Gestin FinancieraEspecialista Mercado de Capitales

Especialista en FinanzasCandidato: Maestra Gerencia de Innovacin

Empresarial garoav@unipanamericana.edu.com

Skype: Andres.Roa.v

Twitter: @andresroav

mailto:groavaro@davivienda.com

Andrs Roa Varn

Esta presentacin es una herramienta de apoyo acadmico, de propiedad intelectual desu autor, Andrs Roa Varn. Fue preparada como material de los programas de Pregradode la Facultad de finanzas de la universidad Panamericana. Las cifras presentadasfueron tomadas del diferentes fuentes, con fines exclusivamente acadmicos. Estematerial se entregar a los estudiantes para estudio personal exclusivamente, no estpermitida su reproduccin o uso diferente al aqu definido.

Elementos

1. Calculadora, preferible financiera2. Excel y la calculadora financiera son

herramientas de apoyo, ms no las herramientascentrales con las cuales se trabajar en el cursoya que ste estar fundamentado en aritmticabsica.

Reglas de Juego

Moddle

E-Mail

Contrato didctico

Gua de Matemticas Financieras

Sistema de calificacin por Ciclos

Ppt Modelo basado en Competencias

Modelo Basado en Competencias XLS

Material de apoyo

Taller Generalidades (Matemticas Bsicas no Evaluable)

MATEMTICAS FINANCIERAS

Andrs Roa Varn

Andrs Roa Varn

OBJETIVO GENERAL

Al terminar la unidad debe diferenciar entre monto, inters, tasa de inters, tiempoy capital, as como hacer los caculos respectivos para obtener cada concepto.

Matemtica Financiera

Andrs Roa Varn

CONCEPTOS BSICOS

1. Valor de Dinero en el tiempo2. Inters3. Tasa de Inters4. Equivalencia5. Smbolos y Significado6. Flujo de caja

Matemtica Financiera

Smbolos y Significado

1. Valor Futuro = VF

2. Valor Presente = VP

3. Intereses = I

4. Tasa de Inters = i

5. Periodos de capitalizacin = n

Lneas de tiempo de valor

Son un instrumento que permite llevar un problema a un formato grafico (Flujograma, Diagrama de flujo)

Permite identificar donde esta la pregunta

Egresos

Ingresos

Inters Simple N

1. Ao2. Semestres3. Cuatrimestre4. Trimestre6. Bimestre12. Meses24 Bi mensualidades52 Semanas360 Dias comerciales365 Dias calendario366 Dias reales

Proceso de toma de decisiones

1. Definir el problema

2. Analizar el problema

3. Generacin de alternativas de soluciones

4. Evaluacin de alternativas

5. Implementar la solucin

6. Evaluar los resultados de la decisin

Andrs Roa Varn

Andrs Roa Varn

1. Concepto2. Monto, Capital, Tasa de Inters y Tiempo3. Tipos de Inters

Inters Simple (I)

Cuando el valor de dinero en el tiempo (VDT) se utiliza sincapitalizacin de intereses es igual a Inters Simple.

Las utilidades de cada periodo no se reinvierten.

El ahorro no se consume.

Liquidacin nicamente sobre el capital inicial.

Capital inicial o principal no varia.

El valor del inters es el producto de un capital multiplicado por uninters determinado en una fraccin de tiempo determinado smbolo (I).

Es esttico, Lineal, y no es exponencial.

Inters SimpleVF = VP(1+i(n)) I = InteresesVF = Valor FuturoVP = Capital iniciali = Tasa de intersn = Perodo de tiempo

La expresin anterior permite calcular el capital inicial o valor presente (P), tasa de interes porpagar o por ganar, nmero de periodos, segn la informacin con la que se cuente.

ImportanteEn esta formula i es la tasa de una unidad de tiempo y n es l nmero de unidades detiempo. Debe entenderse que si i es una tasa anual, n deber ser l nmero de aos, si i esmensual, n deber expresarse en meses..

Inters Simple

Mes CapitalInicial ($)

Interesesgenerados ($)

Capital final ($)

Interesesacumulados ($)

1 100,000,000 2,000,000 100,000,000 2,000,000

2 100,000,000 2,000,000 100,000,000 4,000,000

3 100,000,000 2,000,000 100,000,000 6,000,000

4 100,000,000 2,000,000 100,000,000 8,000,000

5 100,000,000 2,000,000 100,000,000 10,000,000

6 100,000,000 2,000,000 100,000,000 12,000,000

Final en cuentas 100,000,000 12,000,000

Total por cancelar 112,000,000

Capital principal = $100,000,000Tiempo = 6 mesesTasa de inters = 2% mensual

Inters Simple con Valor Futuro

Flujo gramaVF = $13.720.000

n = 4 aos

i = 2% mensual

VP = 7.000.000

VF = VP (1 + i x n) VF = 7.000.000 (1 + 2% (48)) VF = $13.720.000

Nota: Significa que se obtiene $6.720.000 adicionales a los 7.000.000 invertidos por Juliana en el periodo o mes cero.

1. Cunto dinero acumulara Juliana Lopez dentro de 4 aos si invierte hoy $7.000.000 a una tasa de interssimple del 2% mensual.

Inters Simple Valor Presente

VP =

VP = VF/ (1 + i x n) VP = 7.560.000/(1 + 3% (36)) = $3.634.615 Nota : Este es el valor que invirti Lina hace 12 trimestres es decir 36 meses.

VF = 7.560.000

N = 12 trimestres

I = 3% mensual

2. Lina Marulanda recibio $7.560.000 por una inversin que realiz hace doce trimestres en el Banco deOccidente; si la tasa acordada entre las partes es de 3% mensual simple, determinar el valor invertido.

Inters Simple Tasa de inters

3. Eva Rey recibo un crdito de $7.000.000 que debe pagar en 24 meses. Si al final delplazo cancela $9.520.000, calcular la tasa de interes simple.

VP = $7.000.000

VF = 9.520.000

n = 36 meses

i = 1,5% mensual

i = ((9.520.000/7.000.000)- 1/36)) = 1.5% mensual simple

i = ((VF/VP)-1/n))

Inters Simple Tiempo/Periodo

4. Armando Mendoza recibo un prstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzn, si cancelo$10.500.000 y la tasa de inters fue del 2% mensual simple, calcular cual fue elplazo del prstamo.

VP = $7.000.000

VF = 10.500.000

i = 2%

n = 25 meses

n = ((10.500.000/7.000.000)- 1/2%) = 25 meses

n = ((VF/VP)-1/i)

Ejercicios

5. Cunto dinero tendr acumulado Alejandro Sanz dentro de 5 aos si ingresa hoy 30,000euros al BBVA a una tasa de inters del 0,5% mensual simple.

Flujo gramaVF = ?

n = 5 aos

i = 0,6% mensualVP = 30,000

VF = VP (1 + i x n) VF = 30,000 (1 + 0,5% (60)) VF = $39,000

Ejercicios6. Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguienteforma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un ao y $5.000.000 en ao ymedio. Si la tasa de inters es del 10% semestral simple, determinar cunto dinero le prestoel Banco Santander a Sofa.Flujo grama

VF = VP (1 + i x n) VP1 = 3,000,000/(1+0,10(1)) = 2,727,272 VP2 = 4,000,000/(1+0,10(2)) = 3,333,333 VP3 = 5,000,000/(1+0,10(3)) = 3,846,153 VP = 9,906,759

VF = 7.560.000

3,000,000

i = 10%

4,000,000 5,000,000

Semestral

VP = ?

Ejercicios7. Natalia Pars desea realizar por el continente europeo dentro de un ao y se propone el siguienteplan de ahorros para realizar su sueo: hoy ahorra $1.000.000; dentro de tres meses ahorrar$1.000.000; dentro de un semestre, ahorrar $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrar $1.700.000Cunto dinero tendr exactamente dentro de un ao, si la tasa de inters que le paga al banco es de1% mensual simple.Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)VF1 = 1,000,000(1+0,01(12)) = 1,120,000VF2 = 1,000,000(1+0,01(9)) = 1,090,000VF3 = 1,500,000(1+0,01(6)) = 1,590,000VF4 = 1,700,000(1+0,01(2)) = 1,734,000VF = 5,534,000

VF = 7.560.000

i = 1%

1,000,000 1,000,000 1,500,000 1,700,000

0 3 6 1210Meses

Ejercicios8. Bianca Gambino cancelo hoy, en un pago nico. $8.600.000 por un crdito que le fueotorgado del BBVA hace dos aos a una tasa de inters del 3% mensual simple. Determinarcul fue el valor del prstamo.

Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)VP = 8,600,000/(1+0,03(24))VP = 5,000,000

i = 3% mensual

VP = 0

VF = 8,600,000

n = 24 meses

Ejercicios9. Se prestan $1.000. al 14 % anual, por 12 aos Cunto dinero se debe al cabo de tres aossi se utiliza inters simple

Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)VP = 1,000(1+0,14(3)) = 1,420

i =

VP =

n =

VF =

Ejercicios10. Marcela posee un capital de $60.000. Invierte 70% de su capital al 3.6% trimestral y elresto al 5.1% semestral. Cuanto recibe cada mes de inters total.

Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)

3.6%/3=1.2% Mensual5.1%/6=0.85 MensualVF = 42,000(1+0.012)(1)= 42,504 VF = 18,000(1+0.0085)(1)= 18,153Inters total = 657

i =

VP =

n =

VF =

Ejercicios

11. Ramn tiene una deuda por $20.000 que debe pagar dentro de 12 quincenas. Si laoperacin fue pactada a una tasa de inters simple igual a la TIIE vigente al inicio delprstamo ms 16 puntos porcentuales. Cuanto deber pagar para saldar su deuda, sabiendoque la TIIE es igual 11.2%.

Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)

Inters =11.2% + 16% Puntos = 27.2% Anual VF = 20.000(1+0.272/24)(12)) = 22.720

i =

VP =

n =

VF =

Ejercicios

12. Francisco pidi prestado $100.000 a 6 meses de plazo y una tasa de inters simple de24% anual. Calcular el valor presente de la deuda, 2 meses antes de su vencimiento.

Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)

VF = 100,000 (1+(0,24%/12)(6)) = 112.000 VP=112000/1+(24%/12)(2)) = 107.692

i =

VP =

n =

VF =

Ejercicios

13. Cul es el precio de contado de un telfono celular que se paga dando un enganche del10% del precio de contado y se firma un pagare a 2 meses por $1754.47 que incluyeintereses a una tasa 39.15% anual

Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)

VP = 1,754/(1+(39.15%/12)(2)) = 1,647

Precio de contado -10% = 1,647 0.90PC = 1,647 0.90PC = 1,647 1,647/0.90=1,830

i =

VP =

n =

VF =

Inters Compuesto

Andrs Roa Varn

Inters Compuesto (I)

En el inters compuesto, el inters (I) ganado en cada periodo (n) es agregado al capitalinicial (P) para constituirse en un nuevo capital (S) sobre el cual se calcula un nuevointers producindose lo que se conoce como capitalizacin la cual puede ser anual,trimestral, mensual, diaria; y se sigue aplicando hasta que vence la transaccin de acuerdoa lo pactado.

Los problemas de inters compuesto deben expresarse i y n en la misma unidad de tiempoefectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentesperodos de tiempo.

Capital inicial cambia

Los intereses se capitalizan

Los intereses se convierten en capital

La tasa de inters se aplica sobre un capital diferente

Los intereses peridicos son siempre mayores

Inters Compuesto

VF = VP(1+i)n

I = InteresesVF = Valor FuturoVP = Capital iniciali = Tasa de intersn = perodo de tiempo

La expresin anterior permite calcular el capital inicial o valor presente (P), tasa deinters por pagar o por ganar, nmero de periodos, segn la informacin con la que secuente.

ImportanteEn esta frmula i es la tasa de una unidad de tiempo y n es l nmero de unidadesde tiempo. Debe entenderse que si i es una tasa anual, n deber ser l nmero de aos,si i es mensual, n deber expresarse en meses..

Inters Compuesto

Mes CapitalInicial ($)

Interesesgenerados ($)

Capital final ($)

Interesesacumulados ($)

1 100,000,000 2,000,000 102,000,000

2 102,000,000 2,040,000 104,040,000

3 104,040,000 2,080,800 106,120,800

4 106,120,800 2,122,416 108,243,216

5 108,243,216 2,164,864 110,408,080

6 110,408,080 2,208,162 112,616,242

Total por cancelar 112,616,242

Capital principal = $100,000,000Tiempo = 6 mesesTasa de inters = 2% mensual

Inters Compuesto con Valor Futuro (VF)14. Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos si invierto hoy $4.000.000 a unatasa de inters compuesto del 3% mensual.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VF = 4.000,000 ( 1+0,03)60 = $ 23,566,412

i = 3% Mensual

VP = 4,000,000

n = 5 aos

VF =

Inters Compuesto con Valor Presente (VP)15. Usted recibi hoy $6.691,13 euros del Banco Santander por un ingreso o inversin que realizhace 5 aos a una tasa de inters de 6% anual compuesto. Cul fue el valor del dinero invertido.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VP = 6,691,13/ ( 1+0,06)5 = $ 5,000

i = 6% Mensual

VP = 0

n = 5 aos

VF = 6,691,13

Inters Compuesto con Tasa de Inters (i)16. Antonio Beltrn recibi un crdito de $3,000,000 que debe pagar en 18 meses, si al final delplazo debe cancelar $3,850,000. Cual es la tasa de inters.

Flujo grama

i = [(VF/VP)^1/n 1)]

i = ((3,850,000/3,000,00)-1/ 18) = 1,4% mensual

3,850,000 = 3,000,000 (1+ i)18

3,8500,000/3,000,000 = (1+ i)18

1,283333 = (1+ i)1818 1. 2833333 - 1 = 1.4% mensual

i = ?

VP = 3,000,000

n = 18 meses

VF = 3,850,000

Inters Compuesto Tiempo (n)17. Antonio Beltrn recibi un crdito del Banco Davivienda de $7,000,000, si cancelo $10,500,000 yla tasa de inters que se pacto fue de 2% mensual compuesto. Calcular cual fue el plazo delprstamo.Flujo grama

n = [ln(VF/VP)]/Ln(1+i)

i = [(10,500,000/7,000,000)]/Ln (1+0,02) = 20,47 meses

10,500,000 = 7,000,000 (1+0,02)n

10,500,000/7,000,000 = (1+0,02)n

Ln 1,5 = nLn(1,02)

n = 20,47

i = 2%

VP = 7,000,000

n = ?

VF = 10,500,000

Ejercicios 18. Armando Rico recibi hoy $3.450.000 del Banco Bogot por una inversin que realiz hace tressemestres; si la tasa de inters es del 2% mensual compuesto, cunto dinero invirti Armando

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VP = 3,450,000/ ( 1+0,02)18 = 2,415,549

i = 2% Mensual

VP = 0

n = 3 Semestres

VF = 3,450,000

Ejercicios19. Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma:$3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un ao y $5.000.000 en ao y medio. Si la tasade inters es del 10% semestral Compuesto, determinar cunto dinero le presto el Banco Santander aSofa.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VP1 = 3,000,000/(1+0,10)1 = 2,727,272VP2 = 4,000,000/(1+0,10)2 = 3,305785VP3 = 5,000,000/(1+0,10)3 = 3,756,574VP = 9,789,631

VF = 7.560.000

3,000,000

i = 10%

4,000,000 5,000,000

Semestral

VP = ?

Ejercicios20. Natalia Pars desea realizar por el continente europeo dentro de un ao y se propone el siguienteplan de ahorros para realizar su sueo: hoy ahorra $1.000.000; dentro de tres meses ahorrar$1.000.000; dentro de un semestre, ahorrar $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrar $1.700.000Cunto dinero tendr exactamente dentro de un ao, si la tasa de inters que le paga al banco es de1% mensual Compuesto.Flujo grama

VF = VP (1 + i x n)VF1 = 1,000,000(1+0,01)12 = 1,126,825VF2 = 1,000,000(1+0,01)9 = 1,093,685VF3 = 1,500,000(1+0,01)6 = 1,592,280VF4 = 1,700,000(1+0,01)2 = 1,734,170VF = 5,546,960

VF = 7.560.000

i = 1%

1,000,000 1,000,000 1,500,000 1,700,000

0 3 6 1210Meses

Ejercicios 20. Catalina Gmez cancelo hoy, en un pago nico. $12.750.000 por un crdito que le fue otorgado delBanco Santander hace tres aos a una tasa de inters del 3% bimestral. Determinar cul fue el valordel prstamo.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VP = 12,750,000/( 1+0,03)18 = 7,489,285

i = 3% Bimestral

VP = 0

n = 3 Aos

VF = 12,750,000

Ejercicios 21. Calcular el valor acumulado despus de 38 das, si se depositan $25.000.000 en una cuenta de ahorros que reconoce el 3% mensual.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VF = 25,000,000( 1+0,03)38/30 = 25,953,772

i = 3% mensual

VP = 25,000,000

n = 38 dias

VF = ?

Ejercicios 22. El sr Carlos Beltrn necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de lamatrcula de su hijo. Si una corporacin le ofrece 3.5% mensual.Cuanto deber depositar hoy para lograr su objetivo.Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

VP = 300,000/( 1+0,035)6 = 244,050

i = 3% mensual

VP = 25,000,000

n = 38 dias

VF = ?

Ejercicios 23. Si en el da de hoy se invierten $100 y despus de una ao y medio se tiene acumulado $200.Cul es la tasa de inters.

i = [(VF/VP)^1/n 1)]

i = ((200/100)-1/ 18) = 3,93% mensual

200 = 100 (1+ i)18

200/100 = (1+ i)18

2 = (1+ i)1818 2 - 1 = 3,93% mensual

i = ?

VP = 100

n = ao y medio

VF = 200

Ejercicios 24. Determine el monto compuesto despus de 4 aos, si se invierte $100.000 a una tasa del 18% con capitalizacin trimestral

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

Inters = 18/4 = 4,5% Capitalizable cada trimestre El tiempo de inversin es de 4 aos es decir 48/3=16 trimestres porque un ano costa de 4 trimestres. Periodos de capitalizacin son de 16

VF = 100,000(1+0,045)16 = 202,237

i = 18% Capitalizacin Trimestral

VP = 100,000

n = 4 aos

VF = ?

Ejercicios 25. Que cantidad de dinero se habr acumulado al cabo de 10 aos si se invierten $28.000 al 1%mensual con inters capitalizables cada bimestre.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

La tasa es 1% mensual pero se paga bimestral es decir 2% bimestralTiempo de inversin 10 aos, es decir 60 bimestres porque cada ao costa de 6 bimestres

VF = 28,000(1+0,02)60 = 91,868

i = 1% Mensual

VP = 28,000

n = 10 aos

VF = ?

Ejercicios 26. Qu inters producir un capital de 50.000 invertido al 15% anual compuesto cada 28 das, en 2aos.

Flujo grama

VF = VP (1 + i )n

Compuesto significa capitalizable cada 28 das 365/28=13.035 periodos de 28 das 15%/13.035 =1.15068% por periodo de 28 das En dos aos= (2) x (13.035)=26.07

VF = 28,000(1+0,0115068)26,0717 = 67,377

donde 67,377-50,000 = 17,377 de intereses

i = 15% Anual

VP = 50,000

n = 2 aos

VF = ?

Gracias