TREBALL MATEMÀTIQUESTEMA 12: ESTADÍSTICA

Itziar Serrano Vañó4 ESO A

1

Índex d'apartats del tema:

1. Població i mostra. Variables estadístiques.

2. Taules de freqüències.3. Gràfics estadístics.4. Mesures de centralització.5. Mesures de posició.6. Mesures de dispersió.7. Anàlisi de mesures estadístiques.8. Problemes d'estadística

2

1. Població i mostra.Variables estadístiques.

Població: és el conjunt d' elements sobre el qual es realitza un estudi estadístic.

Mostra: és la part de la població que estudiem. La seua grandària és el nombre d' elements que la formen.

Una mostra és representativa quan recull les característiques de la població. Tenim el mostreig proporcional (conserva la proporció) o el

mostreig aleatori (tots els individus tenen la mateixa possibilitat de ser elegits)

Individu: és cada un dels elements de la població o la mostra.

3

Exemple d'exercici:

Volen fer un estudi estadístic sobre el percentatge de persones casades en una localitat de 122.594 habitants. Per a fer-lo, trien

2.325 habitants i estenen les conclusions a tota la població.

Variables estadística: si una persona és o no és casada

Població: els 122.594 habitants d'una localitat

Mostra: els 2.325 habitants triats aleatòriament

Grandària de la mostra: 2.325 persones

Una variable estadística es cada una de les propietats o característiques de podem estudiar en una població o mostra.

Les variables es poden classificar en:

1. Qualitatives: Els valors que prenen son qualitats. Per exemple: raça o idioma.

2. Quantitatives: Els seus valors son nombres. Poden ser:

a) Discretes: En cada interval, la variables nomes pot prendre un nombre finit de valors. Per exemple: nombre de cromos, entre 2 i 5 només puc tenir 3 o 4 cromos, però no 3,5 o 3,6 cromos.

b) Continues: La variable pot prendre tants valor com vulguem per menut que siga l' interval. Per exemple: pes, entre 70 kg i 80 kg tenim 71 kg; 71,5 kg; 76,7 kg...

4

Imatge on ens relaciona cada concepte de Població, Mostra i Individu.

2. Taules de freqüències. Freqüència absoluta (fi): d'una dada és el nombre de

vegades que ix en la mostra. Freqüència relativa (hi): d'una dada és el quocient de la

freqüència absoluta i el nombre total de dades, N. Freqüència absoluta acumulada (Fi): d'una dada és la suma

de totes les freqüències absolutes dels valors menors o iguals que aquesta.

Freqüència relativa acumulada (Hi): d'una dada és la suma de totes les freqüències relatives dels valors menors o iguals que aquesta.

Una vegada fet el recompte de dades, els valor de la variable i les freqüències s'organitzen en una taula que s'anomena taula de

freqüències.

Exemple d'exercici:

Organitza en una taula les estatures, en cm, d’un grup de xiquets.

130 128 141 139 137 126 135 136 134 131143 140 129 128 137 136 142 138 144 136

5

L’estatura és una variable estadística quantitativa continua, per tant podem agrupar les dades en intervals que s’anomenen classes.

L’amplitud de cada interval és donada per la fórmula:

Màx. - Mín. , on : Max .= Dada amb valor màxim

N Mín. = Dada amb valor mínim

N= Nombre total de dades

Com que 144-126/20 = 4,02 aproximadament, l’amplitud de cada interval és de 5 cm.

6

130,135) 2= 3 2/N= 0,15 4+3=7 0.35

135,140) 8 0.4 7+8= 15 0.75

140,145) 5 0.25 20 1

3. Gràfics estadísticsPer a organitzar i interpretar les dades obtingudes en un estudi estadístic, utilitzem gràfics estadístics.

Segons el tipus de variable estadística que estudiem, utilitzarem distints gràfics estadístics. Els més usuals són els gràfics de barres, l’ histograma i el diagrama de sectors.

Diagrama de barres

7

Histograma

Diagrama de sectors

També podem encontrar altres gràfics estadístics com els següents:

-Pictograma

8

- Histograma de freqüències acumulades

Diagrama de barres adossades

En el diagrama de barres i podem unir els extrems superiors de les barres, i en l' histograma, els punts mitjans dels costats superiors dels rectangles. Aquest nou gràfic és un polígon de freqüències.

El gràfic triat dependrà del tipus de variable que representem.

Qualitativa: Diagrama de barres o diagrama de sectors.

9

Quantitativa discreta: Diagrama de barres, polígon de freqüències o diagrama de sectors.

Quantitativa contínua: Histograma o plígon de freqüències.

Si volem representar dades corresponents a diferents períodes de temps, o a distintes qualitats, per a comprar situacions, podem construir un

diagrama de barres adossades.

4. Mesures de centralitzacióLes mesures de centralització resumeixen la informació de la

mostra.

10

La mitjana aritmètica, , és el quocient de la suma de totes les dades multiplicades per la seua freqüència entre el nombre total de dades. En el

cas de variables continues, , és la marca de classe.

La moda, Mo, és la dada que té major freqüència. Si la variable és contínua, parlem d'interval modal. Hi pot haver més d'una moda.

La mediana, Me, és el valor que ocupa la posició central de les dades, després d'ordenar-les, o la mitjana de les dades centrals, si el nombre de

dades és parell. Si la variable és contínua, parlem d'interval mitjà.

Exemple de problema:

Una enquesta realitzada a 10 pilots, en què els preguntaven sobre el nombre d’hores de vol diàries, mostra les dades següents.

Hores X2 1 F1

0.2) 1 2 22,4) 3 4 64.6) 5 3 96.8) 7 1 10

La mitjana aritmètica és:

= 2·1+4·3+3·5+1·7/10 = 3,6 hores

La freqüència major és 4; aleshores, d’interval modal és 2,4) i Mo= 2+4/2= 3 hores

La primera freqüència acumulada major o igual que la meitat de les dades és 6 5; per tant, d’interval mitjà és 2,4) i Me = 3 hores.

11

La mitjana indica que el nombre mitjà d’hores de vol és 3,6; és a dir, els pilots volen entre 3 i 4 hores.

La moda assenyala que el més freqüent és volar entre 2 i 4 hores, concretament 3 hores.

I la mediana indica que hi ha tants pilots que volen 3 o més hores com pilots que ho fan 3 hores o menys.

5. Mesures de posicióLes mesures de posició són valors de la variable que informen del lloc que ocupa una dada dins el conjunt ordenat de valors. Per a

calcular aquestes mesures, la variable ha de ser quantitativa.

Les mesures de posició ens permeten realitzar un altre tipus de gràfic estadístic que s'anomena diagrama de caixa.

12

Els quartils, Q1,Q2 i Q3, són mesures que divideixen el conjunt de dades ordenades en quatre iguals. és a dir, en cada tram hi ha el 25% de les dades recollides en l'estudi.

Els centils o percentils, Pk, són mesures que divideixen el conjunt de dades en 100 parts iguals.

6. Mesures de dispersióLes mesures de dispersió permeten conèixer el grau d'agrupament de les dades entorn de les mesures de

centralització.

Mesura Càlcul Definició

Rang o recorregut

R = Màx. – Mín.

És la diferencia entre el major i el menor valor de la variable

Desviació mitjana

n

i xi - DM= i=1

N

És la mitjana aritmètica dels valors absoluts de les

desviacions de cada dada.

Variància

n

i xi - 2

2 = i=1

NÉs la mitjana dels quadrats de

les desviacions.

13

Desviació típica

n

i xi - 2

2= i=1

NÉs l’arrel quadrada positiva de

la variància.

Coeficient de variació

CV=

És el quocient de la desviació típica i la desviació mitjana.

7. Anàlisi de les mesures estadístiques

Les mesures de centralització i de dispersió proporcionen major informació quan s' analitzen conjuntament.

El problema següent ens mostra un anàlisi complet estadístic:El nombre d'encerts de 100 alumnes en una prova de 30 preguntes es presenta en aquesta taula.

ENCERTS X1 1 F1 1* X1 1*X2

1 1* X1-

0,5) 2.5 3 3 7.5 18.75 41.75,10) 7.5 10 13 75 562.5 8910,15) 12.5 25 38 312.5 3906.25 97.515,20) 17.5 38 76 665 11637,5 41.820,25) 22.5 16 92 360 8100 97.625,30) 27.5 8 100 220 6050 88.8Total 100 1640 30275 456.4

14

Les mesures de centralització són:

= 1640:100=16,4 Me= 17.5 Mo= 17.5

i les mesures de dispersió són:

Rang: R = Màx. – Mín. = 30-0 = 30

Desviació mitjana: n

i xi - DM= i=1 = 456.4/100= 4,564

N

Variància:

n

i xi - 2

2 = i=1 - x2 = 30275/100 – 16,42= 33.79 N

Desviació típica:

2= 2 = 33,79= 5,81

Coeficient de variació: CV= = 5,81/16,4= 0,35 = 35%

El rang i la desviació mitjana no aporten informació rellevant. La Variància i la desviació típica sí, ja que comparar-les amb la

mitjana, veiem que són moderadament grans, igual que el coeficient de variació.

La conclusió és que les dades presenten una agrupació relativament menuda respecte de la mitjana, la mediana i la moda.

15

16