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Matemticas Financieras

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Contenido

El concepto de equivalencia Tasa de inters de oportunidad Valor del dinero en el tiempo Anualidades Gradientes uniformes Perpetuidades Tasa de Inters (Efectiva y Nominal) Inflacin Intereses en dlares o en UVR Inters Continuo

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Flujo de caja

Recepcin prstamo

Realizacin inversin

Devolucin Inversin + Rendimiento

Devolucin Prstamo + Intereses

El concepto de inters Sirve para cuantificar la oportunidad que el

dinero tiene de crecer. Segn la Teora Monetarista, resulta

principalmente de anticipaciones sobre la tasa de inflacin.

Segn la Teora Keynesiana, se excluye el efecto de la inflacin, y se considera que es el resultado entre la oferta y demanda de dinero.

Es un concepto relativo a quien posee o controla el dinero, ya que depende de las oportunidades de inversin del individuo o entidad.

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El concepto de inters En qu invertira $20000.000 que se le asigna

a cada uno de ustedes al inicio de clases, y qu alternativa de inversin escogera para entregar cuentas el da del examen final?

Oportunidad Rentabilidad Anual Riesgo Caja Fuerte % Bajo ? Cuenta de Ahorros % Bajo CDT % Bajo Comercio % Medio Taxi % Medio Ganadera % Medio Casino % Alto

El concepto de inters

La tasa de inters de oportunidad depende del inters que se est dispuesto a aceptar/ceder. Es un concepto relativo a las oportunidades que posee cada persona o entidad.

P.e.j. quien tenga la oportunidad de invertir el dinero asignado en ganadera, no estara dispuesto prestar su dinero a menos del 80%.

La tasa de inters de mercado representa el promedio general de la tasa de inters de oportunidad de los individuos y entidades que constituyen la comunidad econmica.

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Inters simple: se caracteriza porque los intereses causados y no retirados, no ganan inters.

Ejemplo 1:

Pedro coloca $10 000 en la modalidad de inters simple al 2% mensual. Cunto acumula a final de ao si no retira los intereses mensualmente y los deja acumular hasta el final?

imensual= $ianual = $Total a fin de ao = $


Inters simple:

F = P (1 + in)

Ft+1= Ft + iP; con Ft =P

Ft= P(1 + it)

5


Inters compuesto: se caracteriza porque los intereses causados y no retirados, entran a ganar inters.

Ejemplo 2:

!"

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F = P(1+i)n = $

Total a fin de ao = $

Inters simple y compuesto

1 2 3 4 5Perodos Inters Valor Interspor simple luego de compuesto

ao perodo (1 x 2) un ao anual

1 6% 6% %

2 3 6

4 1.5 6

12 .5 6

52 .1154 6

365 .0164 6

6


02468

1012141618

0 4 8 12 16 20 24 28

Nmero de Aos

VF

de $

1

10% Simple

10% Compuesto

El concepto de equivalencia

)1( iPiPP +=+

Cuando un inversionista es indiferente entre recibir $P hoy o recibir ($P + iP) dentro de un perodo de tiempo, se dice que para l hay equivalencia entre los montos de dinero.

El concepto de equivalencia es en realidad el de indeferencia financiera.

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Por ejemplo, si Juan tiene abierta la posibilidad de hacer crecer su dinero un 40% anual, cada peso actual equivale de hecho para l, a $1,40 dentro de un ao.

$1 = $P (1 + 0.4)

)1( iPiPP +=+


Si Juan decide hacerlo por dos perodos:

F = P (1 + i)n

$P (1 + i) (1 + i)=$P(1+i)2

Ft+1= (1+ i) Ft; con F0 =P

Ft= P(1 + i)n

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Variables requeridas:

Inters (i): Es el alquiler que se paga por una suma de dinero tomada en prstamo.

Tiempo (t): Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operacin financiera en estudio.

Perodo (n): Intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de inters


Ejemplo 3Pedro le presta a su amigo Juan $3000.000 durante tres aos con el fin de que pueda adelantar una inversin. Cunto le debe entregar al final del perodo si el inters que pactaron es del 45% anual?

9

El concepto de equivalenciaEjemplo 4Usted planea hacer un viaje a Roma dentro de dos aos, y desea reservar los tiquetes areos desde ahora. Si reserva los tiquetes hoy, deber pagar M$3,000 al momento de hacer el viaje. Si usted puede ganar intereses sobre su dinero al 8%, cunto dinero debe apropiar hoy para poder hacer el viaje dentro de dos aos?


Algunas Observaciones (Serrano pg. 29): 1. Se supone reinversin de intereses (inters

compuesto en oposicin a inters simple).2. Se supone que los intereses se pagan

perodo vencido, lo que implica modificaciones para intereses anticipados.

3. Se supone tasa de inters constante durante todo el tiempo que el flujo se est analizando, lo que se puede resolver fcilmente en las hojas de clculo.

4. Cmo manejar una situacin de tasas variables debido a la inflacin?

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El concepto de equivalenciaEjemplo 5 Si usted invierte hpy $4000.000 durante dos aos y medio en una institucin, y el inters que pactaron es de 3% mensual pero con una unaretencin cada mes del 2% sobre los intereses devengados. Cul ser la suma acumulada al final del perodo?

El concepto de equivalenciaEjercicioFinanciar una deuda hoy por valor de $1200.000, a un ao en cuatro pagos as: $400.000 dentro de dos meses, $500.000 dentro de seis meses, $100.000 dentro de diez meses y el resto dentro de un ao, sabiendo que el acreedor cobra un inters del 3% mensual. Definir la ecuacin de equivalencia y el valor del ltimo pago:

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Series UniformesSerie Uniforme (A o R): es una serie de pagos, uniformes y peridicos. Ejemplos: Sueldos Arrendamientos Dividendos sobre acciones Intereses sobre bonos Cuotas de amortizacin de un prstamo

Series Uniformes

Serie Uniforme (A)

AN

A(1+i)(n-1)

A(1+i)2(n-2)

.

A(1+i)n-33

A(1+i)n-22

A(1+i)n-11

Eq. FuturoEgresos

( )

+= trrr

C1

11annuity of PVValor Futuro A (1 + i)n 1

i

F= A[(1+i)n-1 +(1+i)n-2 ++ (1+i)2 +(1+i) +1] (1)Multiplicando ambos lados por (1+i) se obtine (2), y restndolas

F(1+i) - F= A[(1+i)n-1]

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Series UniformesEjemplo 6:Una compaa de inversiones acepta dinero al 3% mensual de inters si el inversionista se compromete a hacer depsitos mensuales iguales durante 34 meses y a esperar hasta el final del mes 34 para retirar el acumulado de capital depositado e intereses devengados. Pedro est interesado en ese plan y desea saber cunto acumula si deposita $1000 mensuales al final de los 34 meses prximos?

Series UniformesEjemplo 7:Determinar el rendimiento que se obtiene por una cdula de capitalizacin en el que se abonan $100.000 trimestrales durante 4.5 aos, si al cabo de este tiempo se logran ahorrar $4000.000?

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Ejemplo 8:Supongamos que se desea alquilar un apartamento por 6 meses, con un canon de arrendamiento de $700.000 mensuales. Su dueo permite que se le paguen todos los arrendamientos al final del sexto mes, siempre y cuando le reconozcamos un inters del 3% mensual en el acuerdo. Cul ser el valor final a pagar en esas condiciones ?

Series Uniformes

Ejemplo 9:Se hace una contra-oferta al dueo del apartamento, y se le ofrece pagar un canon de arrendamiento de $500.000 mensuales, con el mismo inters del 3%, pero en una nica suma por adelantado. Cul ser el ste valor?

Series Uniformes

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Ejemplo 10:Usted desea hacer un leasing por un carro durante 4 aos con pagos de $300 mensuales. Ud. no debe pagar ninguna otra cifra al inicio fin del acuerdo. Si el inters es de 0.5% mensual, cul es el costo del leasing?

Series Uniformes

Series Uniformes Crecientes

Serie Uniforme Creciente: es una serie de pagos peridicos, que van incrementando en valor en una cantidad g.

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Serie Uniforme (A): es una serie de pagos peridicos, que van incrementando en valor en una cantidad g.

A = g(1 + i)n 1

1 n

i

'

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)*+(,-.

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Series Uniformes CrecientesEjemplo 11:Un empresario se ha comprometido a pagar cuotas de $10.000, $20.000, $30.000, $40.000 y $50.000 a partir del prximo ao, para adquirir los derechos de presentacin de una obra. Desea saber a qu couta uniforme anual equivalen estos pagos crecientes, si su tasa de inters de oportunidad es del 20% anual.

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16

Ejemplo 11:Un empresario se ha comprometido a pagar cuotas de $10.000, $20.000, $30.000, $40.000 y $50.000 a partir del prximo ao, para adquirir los derechos de presentacin de una obra. Desea saber a qu couta uniforme anual equivalen estos pagos crecientes, si su tasa de inters de oportunidad es del 20% anual.


Otras EquivalenciasPerpetuidad: Concepto financiero en el que los flujos de caja se reciben tericamente por siempre.

rC

PV 1

ratediscount flow cash

FlowCash of PV

=

=P de Flujos de CajaFlujos de Caja

Tasa Inters

i

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Modelo de Gordon: Los flujos de caja se reciben tericamente por siempre, y crecientes de acuerdo a un gradiente g.

rC

PV 1

ratediscount flow cash

FlowCash of PV

=

=P de Flujos de CajaFlujos de Caja

i - g

Tasa i grad.

Otras Equivalencias

Inters simple y compuesto1/2

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iperidico vencido =inominal anual

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18

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iefectivo = (1 + iperidico )n - 1

inominal = (1 + iefectivo )1/n - 1


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Tasa vencida y anticipada#

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ianticipado

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(1 - ianticipada)ianticipada

=(1 + ivencida)

ivencida

Tasa vencida y anticipada

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ianticipada1 + - 1

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inominal anticipadon

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Tasa de inters continuoI/

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Tasa de inters continuo

S = P x ern

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31

Tasas CompuestasUna tasa se llama compuesta cuando ella es el resultado de la aplicacin simultnea de dos tasas, as estas operen en condiciones diferentes:

UPAC = inters + tasa correccin monetaria Operaciones Monedas Extranjeras = inters + tasa de devaluacin/revaluacin Prstamos con comisiones

La tasa equivalente de las dos tasas es comnmente llamada tasa de inters real

2$5/

"(

2$5#5

P)6.)6.7P)6.

D

ireal = (1 + i1 ) (1 + i2 )

ireal = i1 + i2 + i1 x i2

Tasas Compuestas

32

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Tasas Compuestas

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Id(real) = (if ii )/(1 + ii )

Tasas Compuestas

33

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7)-BG -.F)6-.78,8,

if = ii + id + ii x id

Tasas Compuestas

Valores corrientes nominales: es un valor que contiene la inflacin.Valores constantes reales: es un valor que no contiene la inflacin.

Si la tasa de inflacin no es la misma para todos los perodos, simplemente se va cargando o inflando la cantidad cada perodo con la tasa correspondiente, y en forma similar, si se deflacta.

Tasas Compuestas

34

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$2500 $3000

$1000

$500

$2000

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Tasas Compuestas

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Tasas Compuestas

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Ireal crdito = id+ ic + id x ic

Tasas Compuestas

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Tasas Compuestas

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Tasas Compuestas

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Tasas Compuestas

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