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PCNA - Matemática
AULA 1
PCNA - Matemática Aritmética: • Operações básicas com frações • Potenciação • Radiciação • Módulo
Necessário para o Cálculo 1:
• Polinômios
• Operações com expressões algébricas
• Intervalos, inequações e módulo
• Funções
• Geometria
• Trigonometria
1. Aritmética e Expressões Algébricas
1.1 Ordem e precedência dos
cálculos • Exemplos:
1) 2 + 1 × 2 −6
2 × 5 + 3
2) 2 + 1 . 2 −6
2 . 5 + 3
3) 2 + 1 . 2 −6
2 . 5 + 3
1.2 Operações com Números
Fracionários
1.2.1 Soma e Subtração
• 1º Caso: 𝑎
𝑐±
𝑏
𝑐
• 2º Caso: 𝑎
𝑐±
𝑏
𝑑
Exemplos
Ex 1: 2
5+
4
5
Ex 2: 23
10+
3
10
Ex 3: 9
8+
2
8−
1
8
Ex 4: 2
3+
9
4
Ex 5: 2
5+
8
9 -
7
12
1.2.2 Multiplicação de
Números Fracionários
𝑎
𝑐×
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐×
𝑏
𝑑
Exemplos
Ex 1: 3
14×
21
15
Ex 2: 1
10×
2
5
Ex 3: 10 ×5
3+
2
4
1.2.3 Divisão de Números
Fracionários
Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda
𝑎𝑐𝑏𝑑
Exemplos
Ex 1:
1
72
5
Ex 2:
11
52
10
Ex 3: 35
1428
12
Resolva
1) Encontre o valor de A
𝐴 =
1 −14
+1
1 +14
1 +14
−1
1 +14
1.3 Expressões Algébricas • Recebe o nome de expressão algébrica a
expressão matemática na qual se faz uso de letras,
números e operações aritméticas.
Exemplos:
1)2 x
3−
7
x
2) 2 x:y
x−
4 x
y
Exemplos: Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo:
1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
3) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
4) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
• A fatoração consiste em representar um número ou
uma expressão algébrica como produto,
respetivamente, de outros números ou de outras
expressões algébricas.
• Exemplos:
1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏
2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦
3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦
1.3.1 Simplificação de Frações
Algébricas • Exemplos:
1)2x;4y
2x
2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥
𝑎 + 𝑏
Resolva
2) Calcule a expressão 2𝑎
𝑥 − 3+
𝑎
𝑥−
2𝑎𝑥
𝑥2 − 3𝑥.
𝑥
2𝑎
3) Resolva a expressão
(𝑥 + 1𝑥 − 2 +
𝑥 − 3𝑥 + 2)
2𝑥2 − 2𝑥 + 8𝑥 − 2
1.4 Potenciação
• Potenciação
- Forma:
𝑎m
• Exemplos:
1) 24
2) −2 2
3) 33
4) −3 3
PROPRIEDADES
• Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚
inteiros:
1) Potência de expoente nulo e igual a 1:
𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎
2) Potência de base igual a 1:
1𝑛 = 1
3) Potencia de expoente negativo:
𝑎;𝑛 =1
𝑎𝑛
4) Multiplicação de potências de mesma base:
𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛:𝑚
5) Divisão de potências de mesma base: 𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛;𝑚
6)Multiplicação de potências de expoentes iguais:
𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛
7) Divisão de potências de expoentes iguais: 𝑎𝑛
𝑏𝑛=
𝑎
𝑏
𝑛
8) Potência de uma potência:
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎 𝑛.𝑚
Exemplos
Ex 1: 44 × 41 Ex 2: 24 ÷ 21
Ex 3: 103 2
Ex 4: 2
7
;3
Ex 5: 2 × 11 5
Exemplos Ex. 6:
24
2+
42
22 + −3 ;3
Ex. 7: −3 ;2 −;3
7
;3
Ex. 8: 𝑥3 𝑦 𝑥 𝑦 ;2
Nos exemplos abaixo,
determine o valor de 𝑥. Ex. 9: 3𝑥 = 9
Ex. 10: 2𝑥 + 2𝑥:1 = 24
Ex. 11: 6𝑥;2 + 5 ∙ 6𝑥;1 = 6𝑥 − 5
Resolva 4) A expressão é igual a:
2 𝑥2𝑦 . 3(𝑥2𝑦3)
𝑥²𝑦²
5) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0
a) (𝑎4..𝑏2)³
(𝑎.𝑏2)²
b) 𝑎4.. 𝑏3 3. (𝑎2. 𝑏)²
Resolva 6)Calcule o valor das expressões:
a)2−1; ;2 2:(;2)−1
22+2−2
b) 32;3−2
32:3−2
c)
−1
2
2.
1
2
3
−1
2
2 3
Resolva * Encontre o valor de x que satisfaz a equação:
22𝑥:1 − 3. 2𝑥:2 = 32
1.5 Radiciação • A radiciação é uma operação matemática inversa
da potenciação, ou seja,
𝑠𝑒 𝑎𝑛 = 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑛 = 𝑎
𝒂𝒏 = 𝒃
índice
radicando raiz
• Propriedades:
Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0
1) Raiz de radicando nulo:
0𝑛
= 0
2) Raiz de índice unitário nulo:
𝑎1 = 𝑎
3) Produto de radicais de mesmo índice:
𝑎𝑛 . 𝑏𝑛
. 𝑐𝑛 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
4) Divisão de radicais com mesmo índice:
𝑎𝑛
𝑏𝑛 =
𝑎
𝑏
𝑛 Ex: (
4
5)
3=
43
53
1.5 Radiciação
5) Potência de uma raiz:
( 𝑎𝑛 )𝑚= 𝑎𝑚𝑛 Ex: 4
2 3= 432
6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:
( 𝑎𝑛 )𝑛= 𝑎
7) Raiz de uma raiz:
𝑎𝑛𝑚= 𝑎𝑛.𝑚
8) Multiplicação de raiz por uma constante
𝑎 𝑏𝑛
= 𝑎𝑛𝑏𝑛
Ex: 3 42
= 4.3^22
= 362
= 6
• A raiz é apenas uma forma de representar a
potenciação com expoente fracionário. Assim,
toda raiz pode ser escrita em forma de potência
como:
𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
Exemplos
Ex 1: 5
Ex 2: 16
Ex 3: 20
Ex 4: 83
Ex 5: 723
Exemplos
• Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas:
Ex. 6: −273
. 108
Ex. 7: 356 ∙
3
33
• Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0
EX.. 8: 𝑎 . 𝑎
Ex. 9: 𝑎3 . 𝑎3
1.6. Racionalização de
denominadores • 1° Caso:
𝒂
𝒃
• Exemplos:
30
2
3
4 × 6
2 + 5
7
• 2° Caso:
𝒂
𝒄 ± 𝒃
Exemplo:
23
4 : 7
• 3° Caso
𝒂
𝒃𝒏𝒎
Exemplo:
21
725 3
673
Resolva 1) Reduza à expressão mais simples
(𝒂 𝒃. 𝒃𝟒
)/ 𝒂. 𝒃𝟑
2) Encontre o Valor de y
𝑦 =3;2 + 2;1
1 − 7. 2;33
AULA 2
PCNA - Matemática Aritmética: • Logaritmos • Módulo
1.7. Logaritmos
log𝑏 𝑎 = c 𝑏𝑐 = 𝑎
onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1
Exemplos: 1) log 100 = 𝑥
2) log 0,1 = 𝑥
3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥
4) 𝑙𝑜𝑔2
1
32= 𝑐
5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥
6) 𝑙𝑜𝑔14
(2 2) = 𝑥
7) ln1
𝑒= 𝑐
8) ln 𝑒 = 𝑐
1.7.1. Propriedades dos
logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.
𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0
2) Logaritmo da base é 1.
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1
3) Logaritmo de um produto
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
4) Logaritmo de um quociente
𝑙𝑜𝑔𝑏
𝑎
𝑐= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
5) Logaritmo de uma potência
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
6) Mudança da base b para a base c
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
7) Igualdade de logaritmos de mesma base
𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦
8) Potência de base b e expoente log𝑏 𝑎 é igual a a.
𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎
Exemplos
1) 𝑙𝑜𝑔 0,1 ∙ 10
2) 𝑙𝑜𝑔21
16
3) 2𝑙𝑜𝑔2 4
4) 4𝑙𝑜𝑔2 4
5) 𝑒;3 𝑙𝑛 𝑥
6) 3 ln 𝑎 + ln 𝑏 − ln(𝑒)
Exemplos: 7) log 2 𝑥 = −3
8) 3 ln 𝑥 = 2
9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4
10)3 𝑒4𝑥:8 = 1
1.3.2. Tipos particulares de logaritmos
log 𝑎 e ln 𝑎
Exemplos
Ex 1: log 100
Ex 2: log 1000
Ex 3: log1
10
Ex 4: log1
10000
Exemplos
Ex 1: ln 𝑒
Ex 2: ln 𝑒3
Ex 3: ln1
𝑒4
1) Encontre o valor de:
𝑙 =𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔2
12
𝑙𝑜𝑔 100+
𝑙𝑛 𝑒;3 + 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔4 1/16
𝑙𝑛 𝑒2 + 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔 100
2) Obtenha o valor da expressão:
log3 1 : log 0,01
log21
64 × log4 8
Resolva
Questões da Apostila
12) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois
terremotos estão relacionadas pela fórmula
𝑅1 − 𝑅2 = log10
𝑀1
𝑀2
Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos
terremotos sob a forma de ondas que se propagam
pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um
correspondente a R1=8 e outro correspondente a
R2=6. Calcule a razão 𝑀1
𝑀2
Resolva
Resolva Questões da apostila:
13) Calcule o valor de S: 𝑆 = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)
Resolva Questões da Apostila
14) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥:4)
para que y seja igual a 8.
AULA 3
PCNA - Matemática • Módulo
1.8. Módulo ou Valor Absoluto A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto,
também chamado de módulo, representado por 𝑥
definido por :
𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
• Interpretação Geométrica
• Propriedades
1) 𝑥 ≥ 0
2) 𝑥 = | − 𝑥|
3) 𝑥. 𝑦 = 𝑥 . |𝑦|
4) 𝑥/𝑦 = 𝑥 /|𝑦| com 𝑦 ≠ 0
5) 𝑥 = 𝑦 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦
6) 𝑥𝑛𝑛=
𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
; 𝑥 ∈ ℛ
• Observação: 𝑥 ± 𝑦 ≠ 𝑥 ± |𝑦|
Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule:
𝑎) −3 + 5
𝑏) −3 − 5 − −3
𝑐) −2 . 3
𝑑) −3 2
𝑒) −3 33
𝑓) 2 𝑥 + 1
𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3
Exemplos: 2) Considerando 𝑎 = 10, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:
𝑎) 𝑎2. 𝑏
𝑏) 𝑎
𝑐
𝑐) 𝑐22
𝑑) 𝑐33
𝑒) 𝑎 − 𝑏
Exemplos: 3) Resolva as equações abaixo:
𝑎) 𝑥 + 2 = 8
𝑏) 2𝑥 + 1 = 3
𝑐) 4𝑥 + 1 = |5 − 2𝑥|
𝑑) 𝑥2 = 8
Resolva • Questões da apostila
22) Resolva as equações:
a) 5𝑥 − 3 = 12
c) 3𝑥 + 1 = |𝑥 − 3|
f) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0
Resolva 23) Elimine o módulo:
a) 𝑥 + 1 + |𝑥|
b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1|
1.9. Polinômios Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 da seguinte
forma:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + 𝑎𝑛;2𝑥𝑛;2 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0𝑥0
Exemplos:
𝑎 𝑥 = 4𝑥4 − 2𝑥2 + 5
𝑏 𝑥 = 3 −5
2𝑥2 + 𝑥
𝑐 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥
1.9.1. Adição e Subtração de Polinômios
Dado dois polinômios:
• 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥0
• 𝑞 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0𝑥0
Soma:
• 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛+𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ +(𝑎0 +𝑏0)𝑥0
Subtração:
• 𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛−𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ + (𝑎0−𝑏0)𝑥0
Exemplo • Calcule 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) e 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥), sendo:
𝑝 𝑥 = −3𝑥2 + 5 − 𝑥 + 2𝑥3 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2
• Calcule 𝑟 𝑥 = 2 𝑝 𝑥 − 3 𝑞(𝑥), onde:
𝑝 𝑥 = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2
𝑞 𝑥 = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1
1.9.2. Multiplicação de
Polinômios
𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑓
Ex: Determine os produtos 𝑔 𝑥 𝑘(𝑥) e
𝑥 𝑚(𝑥), sendo:
• 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1
• 𝑘 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥
• 𝑥 = −𝑥 + 𝑥3
• 𝑚 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥3
1.9.3. Produtos Notáveis
• Produto da soma pela diferença de dois termos:
𝑥 + 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2
• Quadrado da soma de dois termos:
𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥 + 𝑎 . 𝑥 + 𝑎 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
• Quadrado da diferença de dois termos:
𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥 − 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2
• Cubo da soma de dois termos:
𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3
• Cubo da diferença de dois termos:
𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3
Exemplos: 1) 𝑘 − 5 2
2) 2 𝑡 + 3 2
3) 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥
4) 9𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑦𝑥
1.9.4. Divisão de Polinômios
𝑎 𝑥 ÷ 𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 +𝑟 𝑥
𝑏 𝑥
Exemplo 1) Calcule 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1
Resolva Determine o quociente e o resto da seguinte divisão:
2𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 1
AULA 4
PCNA - Matemática • Polinômios
1.9.5. Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥) são os valores
de 𝑥 que tornam 𝑝(𝑥) = 0.
• Polinômio de 1ª Grau
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Possui uma raiz 𝑥1 que pode ser calculada como:
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =−𝑏
𝑎
• Polinômio de 2º Grau
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Possui duas raízes 𝑥1 e 𝑥2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara.
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐
• Se ∆> 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e distintas
• Se ∆= 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e iguais
• Se ∆< 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes complexas
• Caso 1 – Raízes Reais Distintas
• Caso 2 – Raízes Reais Iguais
• Caso 3 – Raízes Complexas
Exemplos 1) Verifique se 𝑥 = −3 é raiz dos polinômios abaixo:
𝑝 𝑥 = 3 𝑥 + 9
𝑟 𝑥 = 𝑥2 + 6 𝑥 + 9
Exemplos 2) Encontre as raízes dos polinômios abaixo:
a) 𝑝 𝑥 = 3𝑥 − 6
b) 𝑔 𝑥 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16
c) 𝑝 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
1.9.6. Fatoração de Polinômios Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) pode ser
fatorado como:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥𝑛;1 𝑥 − 𝑥𝑛
Exemplos 1) Fatore os polinômios abaixo:
a) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2
b) 𝑘 𝑥 = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6
AULA 5
PCNA - Matemática • Intervalos; • Inequações
2.1. Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica.
Intervalos
Limitados Ilimitados
2.1.1. Intervalos Limitados • Intervalo aberto de a até b
• Intervalo fechado de a até b
• Intervalo fechado em a e aberto em b
• Intervalo fechado em b e aberto em a
2.1.2. Intervalos Não Limitados
• Intervalo aberto de a até +∞
• Intervalo fechado de a até +∞
• Intervalo aberto de −∞ até a
• Intervalo fechado de −∞ até a
Exemplos 1) Dado o intervalo represente-o na reta numérica
a) ] − 2, 5]
b) [−1, 2]
Exemplos 1) Descreva o intervalo dado na reta numérica
a) 𝐼 = −2, +∞ = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≥ −2}
b) 𝐼 = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}
2.2. Inequações 2.2.1 Propriedades da desigualdade
Sejam a, b, c, e d números reais
• 1) Somar ou subtrair um número qualquer em
ambos os lados da inequação não altera o sinal da
mesma.
• i) Se 𝑎 < 𝑏 então:
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
• ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑑 então:
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
• 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da
inequação por um número POSITIVO não altera o
sinal da mesma.
• i) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então:
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐
• ii) Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então:
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐
• 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do
inequação por um número NEGATIVO inverte o
sinal da desigualdade.
• i) Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐
• ii) Se 𝑎 > 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐
• 4) Desigualdade Triangular: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + |𝑦|.
Obs.: 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem
simultaneamente positivos ou negativos.
• 5) 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
• 6) 𝑥 ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎
• 7) 𝑥𝑛𝑛=
𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Exemplos • 1) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1
• 2) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5
Resolva! d) 𝑥2 + 1 < 2𝑥2 − 3 ≤ −5𝑥
𝒅) 𝑥 − 3 4 ≤ 16
AULA 6
PCNA - Matemática Função: • Definição; • Domínio, Contradomínio e Imagem; • Tipo de função; • Gráfico de Funções.
3.1 Definição Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por 𝑓:𝐴→𝐵, se todos
os elementos do conjunto A estão associados a um e
somente um elemento do conjunto B.
3.1 Definição • Funções definidas por fórmula
y pode ser calculado a partir de x, por meio de uma
fórmula (ou regra, ou lei).
• Lei de Correspondência
Lei que associa cada número real x ao número y,
Ex.: sendo y o dobro de x, temos:
y = 2x ou f(x) = 2x
3.2 Domínio e Contradomínio
Domínio
𝐷(𝑓) = { −3, 0, 3 }
Contradomínio
𝐶𝐷(𝑓)={ 0, 9, 18 }
Imagem
𝐼𝑚(𝑓)= { 0, 9 }
3.2 Domínio e Contradomínio
• Exemplo – Dada a função 𝑓(𝑥)=4𝑥²−2, determine:
[𝑓(0)−𝑓(2)]/𝑓(1).
Resolva – Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1.
Calcule o valor da constante 𝑏 = {[𝑓(1)]2− 2.𝑓(1)}/4𝑓(0)
e um número real 𝑎 de modo que 𝑓 (𝑥) = 0.
3.2 Domínio e Contradomínio
• Exemplo 2 – Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 4
Resolva – Calcule o domínio da função:
𝑓(𝑥) =5
𝑥 + 1
𝑓 𝑥 =𝑥 − 2
3 − 𝑥.
3.3 Tipos de Função
Função Injetora
Função Bijetora
Função Sobrejetora
𝐶𝐷(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓)
3.3 Tipos de Função • Função Constante
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é
denominada função constante. 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘
3.3 Tipos de Função • Função Constante
Exemplo – Plote o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2
3.3 Tipos de Função • Função Par
Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se:
𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)
Gráfico?
• Função ímpar
Uma função 𝑓 é dita ser uma função impar se:
𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
Gráfico?
3.3 Tipos de Função
Exemplo – Dada a função 𝑓, determine se ela é
uma função par ou uma função impar.
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1;
b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
3.3 Tipos de Função Resolva – Verificar se a função é par ou ímpar.
a) cosx
b) senx
3.4 Gráfico de Funções • O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos
os pares ordenados (𝑥,𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥
pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼(𝑓).
Pares ordenados (𝑥,𝑓(𝑥)), pois 𝑦=𝑓(𝑥).
Exemplo – Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥)= 9 − 𝑥
3.4 Gráfico de Funções • Análise de Gráficos
Escolha da atividade a ser feita no simulador
Exercícios
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
AULA 7
PCNA - Matemática • Função Polinomial de 1° grau;
• Função Polinomial de 2° grau.
3.5 Função polinomial do 1° grau
• Definição
A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau:
𝑓(𝑥)=𝑎.𝑥+𝑏, com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0. 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ.
Exemplos:
f(x) = 5x – 3, em que a = 5 e b = -3
f(x) = - 2x – 7, a = -2 e b = -7
f(x) = 11x, a = 11 e b = 0
Função
Afim Linear
3.5 Função polinomial do 1° grau
• Coeficientes da função Afim
y = ax + b a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
• Zero da função
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1°grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.
Assim, a raiz de f(x) é x = ;𝑏
𝑎.
3.5 Função polinomial do 1° grau
• Gráfico de uma função Afim
Reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
3.5 Função polinomial do 1° grau
• Exemplo – Plote o gráfico da função dada pela
equação y= 2x+4
3.5 Função polinomial do 1° grau
Resolva – Plote o gráfico das funções dadas pelas
equações.
a) 𝑦 = −2 𝑥 − 2
b) 𝑦 = 3𝑥 − 9
c) 𝑦 = − 𝑥
2
d) 𝑦 = 3𝑥
3.5 Função polinomial do 1° grau
Resolva (definir questões)
3.6 Função do 2° Grau • Definição
Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau
quando ela for dada por uma lei da forma:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0 .
Exemplos
f(x) = 2x² + 3x +5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = x² - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = -x² + 2x, sendo a = -1, b = 2 e c = 0
3.6 Função do 2° Grau • Zero da função
Chamam-se zeros ou raízes da função do 2° grau f(x) = ax² +bx + c, a ≠ 0, os números reais x tal que f(x) = 0.
As raízes são solução da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0. Logo, pela fórmula de Bláskara:
𝑥1 𝑒 𝑥2 = −𝑏 ± 𝑏² + 4𝑎𝑐
2𝑎
A quantidade de raízes depende do valor de ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐
3.6 Função do 2° Grau • Zero da função
Soma e produto das raízes
Função genérica do 2° grau com raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2.
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑟2𝑥 − 𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑟2
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑟1𝑟2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² − 𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑎𝑟1𝑟2
Logo:
𝑏 = −𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) → 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. −𝑎
𝑐 = 𝑎𝑟1𝑟2 → 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. 𝑎
3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Obter os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6
Caminho 1 – Fórmula de Bháskara
Caminho 2 – Soma e Produto de raízes
∗ 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
Resolva – Obter os zeros da função f(x) = x² + 9x + 14
3.6 Função do 2° Grau • Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau,
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada
parábola.
• Coordenadas do vértice do gráfico
𝑉 = −𝑏
2𝑎, −
∆
4𝑎
3.6 Função do 2° Grau • Gráfico
Concavidade da parábola e vértice
Domínio e imagem da função de 2º grau S𝑒 𝑎>0 , 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[𝑦𝑣 ,+∞)
S𝑒 𝑎<0 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=(−∞ ,𝑦𝑣 ]
3.6 Função do 2° Grau • Construção da Parábola
1° O valor do coeficiente “a” define a concavidade
2° Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo x
3° O vértice V indica o ponto de mínimo (se a>0) ou
de máximo (se a<0)
4° A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é
o eixo de simetria da parábola
5° Para x = 0, temos 𝑦 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐; então, (0,c) é o
ponto em que a parábola toca o eixo y
3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Esboçar o gráfico 𝑓(𝑥)=3𝑥²−9𝑥+6.
Resolva – Esboçar o gráfico𝑓 𝑥 = 2𝑥² − 5𝑥 + 2
3.6 Função do 2° Grau Resolva – Uma empresa de armamentos bélicos
realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está
sendo fabricado. A empresa pretende determinar a
altura máxima que o míssil atinge após o lançamento
e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória
descrita pelo míssil é uma parábola representada
pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida
pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também
em quilômetros). Quais serão os valores encontrados
pela empresa?
Exercícios
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
AULA 8
PCNA - Matemática • Função Exponencial
• Função Logarítmica
• Função Inversa
3.7 Função Exponencial • Definição
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , em que a é um número real dado, sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é denominada de função exponencial.
Ex.: 𝑓(𝑥) = 0.5𝑥
𝑓 𝑥 = 0.8𝑥 Para 0 < 𝑎 < 1
𝑓(𝑥) = 10𝑥
Para 𝑎 > 1 𝑓(𝑥) = 4𝑥
3.7 Função Exponencial • Gráfico
Intercepta o eixo Y no ponto (0,1)
Nunca intercepta o eixo X
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ∗ = (0, +∞)
3.7 Função Exponencial Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 2𝑥
Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓 𝑥 = 2𝑥
X Y
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.7 Função Exponencial Resolva – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥e depois compare
com o gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
*Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓 𝑥 =1
2
𝑥
3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de
Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥
3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de
Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖
𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = −𝑒;𝑥
3.7 Função Exponencial Exemplo – Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Resolva – Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
3.8 Função Logarítmica • Definição
Dado um número real 𝑎 (com 0 < 𝑎 ≠ 1 ), chama-se
função logarítmica de base 𝒂 a função de ℜ∗: em ℜ
dada pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥.
Exemplos
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔10𝑥
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥
𝐷(𝑓)= ℜ∗: =(0,+∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ
3.8 Função Logarítmica Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥
Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥
𝑋 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔1/𝟐𝑥
-2
-1
0
1
2
3.8 Função Logarítmica Resolva – Plote o gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 e compare
com o gráfico de 𝑓 𝑥 = 2𝑥.
Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
X 𝑌 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.8 Função Logarítmica • Gráfico da função logarítmica
Intercepta o eixo X
no ponto (1,0)
Nunca intercepta
o eixo Y
3.8 Função Logarítmica • Gráfico
Estudo comparativo entre a função exponencial e a
função logarítmica
3.9 Função Inversa • Se 𝑓:𝐴→𝐵 for uma função bijetora então, ela
admite uma função inversa 𝑓−1:𝐵→𝐴.
• Exemplo
Dada a função 𝑓 calcule sua inversa 𝑓;1
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 6
𝑓 𝑥 = 2𝑥
3.9 Função Inversa • Resolva (a definir)
Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se
o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos
A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1(inversa de f ) é:
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Alunos Online – Site oficial” Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/grafico-da-funcao-exponencial.html> Acesso: Jul. 2015
AULA 9
PCNA - Matemática • Função Composta;
*Função Modular.
* Tópico em anexo ao material didático do PCNA
3.10 Função Composta Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que entre eles
existam as seguintes funções: 𝑓:𝐴→𝐵 𝑒 𝑔:𝐵→𝐶
Assim, irá existir outra função ∶𝐴→𝐶 tal que (𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada de função composta de 𝑔 e 𝑓
denotada por (𝑔∘𝑓)(𝑥).
3.10 Função Composta Exemplo/Resolva (a definir)– Considere as funções
𝑔 𝑥 = 2𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
Determine
• 𝑔 𝑜 𝑓
• 𝑓 𝑜 𝑔
• 𝑓 𝑜 𝑓
• 𝑔 𝑜 𝑔
* Função Modular • Função definida por mais de uma sentença
Sendo f uma função definida pelas sentenças:
Se x < 0, então f(x) = 1
Se x ≥ 0, então f(x) = x +1
Calcular f(-3), f(-√2), f(0), f(2) e construir o gráfico de f.
Y é uma função de x definida por 2 sentenças. Assim,
usa-se uma sentença ou outra, dependendo do
intervalo em que o valor de x se enquadra.
* Função Modular Chama-se função modular a função f de IR em IR
dada pela lei f(x) = I x I.
Utilizando o conceito de módulo de um número real,
a função modular pode ser caracterizada:
F(x) = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0− 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
* Função Modular • Gráfico
D = IR
Im = IR+
* Função Modular • Exemplo 1.
Se f(x) = x – 1 e g(x) =|x|, construa o gráfico da função
h(x), que é a composta de g com f.
De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = |f(x)|:
1° quando f(x) ≥ 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico
de f(x).
2° quando f(x) < 0, o gráfico de h(x) é o gráfico de -f(x).
* Função Modular • Exemplo 2.
Se f(x) = x² - 4 e g(x) =|x|, então a composta de g
com f é dada pela lei:
h(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) =|x² - 4|
Construa o gráfico da função h(x) =|x² - 4|.
* Função Modular • Exemplo 2.
* Função Modular • Resolva
Construa o gráfico das seguintes funções definidas
em IR:
a) h(x) = |x|-1
b) f(x) = |3x|
c) r(x) = |x² + 4x|
d) g(x) = ||2x + 3|-2|
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
AULA 10
PCNA - Matemática •Geometria Plana e Espacial.
4.1. Ponto 4.2. Reta
4.2.1 Postulados da Reta a)
b)
c)
4.3. Plano 4.3.1 Postulados do Plano
a) c)
b) d)
4.3.2. Posições Relativas de duas Retas no Plano
4.4. Espaço 4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço
• Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares
quando existe um plano que as contêm.
• Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas
quando não existe um plano que as contêm.
Exemplo 1) De acordo com a figura abaixo, dê a
classificação em relação à posição relativa dos pares
de retas indicadas:
4.5. Segmento de Retas
4.5.1. Razão entre Segmentos de Reta • A razão os entre os segmentos (AB ̅) e (CD ̅ ),
respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é
determinada por:
AB/CD=6/3=3
4.5.2. Segmentos Proporcionais • Exemplos:
1) Verifique se os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄, nesta
ordem, são proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.
2) Considere os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄,
proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos
segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sabendo que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 3 𝑐𝑚 , 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚
4.5.3. Teorema de Talles “Um feixe de retas paralelas determina, em duas
retas transversais, segmentos que são proporcionais”.
𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝑀𝑁
𝑁𝑃
Exemplos: • 1) Determine o valor de 𝑥 na figura abaixo.
Exemplos: • 2) A figura abaixo mostra dois terrenos cujas laterais
horizontais são paralelas. Determine as medidas 𝑥 e
𝑦.
4.6. Circunferência e Círculo
4.6.1. Elementos da
Circunferência e do Círculo • Corda e Segmento Circular
• Arco e Setor Circular
• Diâmetro, Semicircunferência e Semicírculo
4.7. Ângulo
• Grau Radiano
Exemplos: 1) Determine o valor de 𝛼 = 45° em radianos.
2) Determine o valor de 𝛼 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 em graus.
4.7.2. Classificação dos
Ângulos • ângulos agudo
• Obtuso
• Reto
• Raso
• de uma volta
• e côncavo.
Exemplos: 1) Determine o valor do ângulo 𝑎, na figura abaixo,
sabendo que = 40°.
Exemplos: 2) Na figura, determinar os valores dos ângulos x , y e
z.
4.8.1. Semelhança de Polígonos • Ângulos correspondentes iguais:
𝐴 = 𝐴’; 𝐵 = 𝐵’; 𝐶 = 𝐶’; …
• Lados correspondentes proporcionais 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′= ⋯ = 𝑘
onde 𝑘 é a razão de semelhança
Exemplos: 1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos
da figura, sabendo que eles são semelhantes.
4.8.2. Semelhança de Triângulos a) Quanto aos lados c) Quanto a dois lados e um
ângulo
b) Quanto aos ângulos
Exemplos: 1) Determine o valor de x na figura.
AULA 11
PCNA - Matemática • Geometria.
4.9. Perímetro e Área • Perímetro: é a medida do contorno de um objeto
bidimensional.
• Área: é uma função que associa a cada figura um
número positivo que representa a medida de sua
superfície.
Exemplo • Considere uma sala cuja planta baixa está
indicada:
• a) Quantos metros de rodapé serão necessários
para contornar a sala?
• b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas
quadradas de 1 𝑚2.Quantas lajotas serão
necessárias?
Resolva 5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é
igual a 83 𝑐𝑚2. Determine a área o quadrado maior.
4.9.1 Círculo
𝑆 = 𝜋. 𝑟2
4.9.2. Paralelogramo
4.9.3. Triângulo
4.9.4 Losango
𝑆 =𝐷. 𝑑
2
4.9.5. Trapézio
4.9.6. POLÍGONO REGULAR
Exemplo: • 1) Calcule a área da superfície composta pelas
áreas hachuradas e pontilhadas da figura.
Exemplo: 2) Calcule a área da coroa circular de raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚
e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚, indicada na figura 4.53, isto é,
calcule a área da superfície colorida na figura.
4.10. Volume • Definição: é o espaço ocupado por um corpo e
também a capacidade do corpo de comportar
alguma substância.
• Unidades:
4.10.1 Cubo 𝑉 = 𝐿3
4.10.2 Paralelepípedo 𝑉 = 𝐿 ∙ 𝑙 ∙
4.10.3 Prisma V=Área da base x h
4.10.4 Cilindro 𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙
4.10.5 Pirâmide 𝑉 =
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙
3
4.10.6 Cone 𝑉 =
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙
3
4.10.7 Esfera 𝑉 =
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3
3
Resolva • 6) Na figura 4.68, 𝐴𝐵𝐶 é um quadrante de um
círculo de raio igual a 3 𝑐𝑚 e 𝐴𝐷𝐸𝐹 é um quadrado
de lado igual a 1 𝑐𝑚. Considere o sólido gerado
pela rotação de 360° da região hachurada da
figura em torno da reta 𝐴𝐵. Determine o volume
deste sólido de revolução.
AULA 12
PCNA - Matemática • Geometria Analítica.
5.1. Sistema de Coordenadas
Unidimensional
5.2. Sistema de Coordenadas
Cartesianas Retangulares ou Plano
Cartesiano
Onde: 𝑃𝑥 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo x 𝑃𝑦 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo y O = origem (interseção entre os eixos)
5.3. Distância Entre Dois
Pontos No Plano Cartesiano
y
x
.
B(x2, y2)
A(x1, y1)
∆x
∆y
y2
y1
x1 x2
B
A
∆x
∆y
Exemplos
1 5
3
x
y
A(1, 3) B(5, 3)y
x
.
B(3, 6)
A(6, 2)
3
4
6
2
3 6
Determine a distância entre A e B nas duas figuras:
Resolva Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um
engenheiro caminhou, sempre em linha reta, de P1 até A,
de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas
distâncias. Os valores medidos estão indicados na figura:
Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias
medidas, o engenheiro estimou que a distância entre P1 e
P2 é de, aproximadamente:
5.4. Coeficiente Angular e
Equação da Reta
• 5.4.1 - Coeficiente angular de uma reta
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶
y
x
.
B(x2, y2)
A(x1, y1)
∆x
∆y
y2
y1
x1 x2
r
Casos: 1º) Se 𝛂 = 0° 𝑜𝑢 𝛂 = 180°:
x
y
0
r
• 2º) Se 0° < 𝛂 < 90°, temos tan 𝛂 > 0 ⇒ 𝑚 > 0
x
y
0
r
α
• 3º)Se 90° < 𝛂 < 180°temos tan 𝛂 < 0 ⇒ 𝑚 < 0
x
y
0
r
α
• 4º) Se 𝛂 = 90°, a tan 𝛂 não é definida. Então dizemos
que quando 𝛂 = 90°, ou seja, quando uma reta é
vertical, ela não tem declividade.
x
y
0
r
. α
5.4.2- Equação da reta quando
conhecidos um ponto 𝐏(𝐱𝟎, 𝐲𝟎) e o
coeficiente angular da reta
y
x
.
P
P0
y
y0
x0 x
r
.
.
α
α
C
EXEMPLOS: • Determine a equação da reta que passa pelo
ponto A(-1, 4 ) e tem coeficiente angular 2.
RESOLVA: • Determine a equação da reta que passa pelo
ponto 𝐴 1, −2 e que tem coeficiente angular igual
a 1.
5.4.3 – Equação da reta quando
conhecidos dois pontos
𝐷𝑒𝑡 = 0
EXEMPLO: • Determine a equação da reta que passa pelos
pontos A(-1, -2) e B (5, 2)
• As retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e se interceptam
no ponto 2,4 . A reta 𝑠 contém o ponto 0,5 .
Determine a equação da reta 𝑟.
RESOLVA
• Um ponto móvel 𝑃 −2 + 𝑡,4𝑡
3+ 2 desloca-se no
plano cartesiano e suas coordenadas variam em
função do tempo 𝑡(com 𝑡 ≥ 0). Qual a distância
percorrida pelo ponto entre os tempos 𝑡 = 0 e 𝑡 =6?
RESOLVA
5.4.4. FORMA REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DA RETA
5.4.5. Retas paralelas e retas
perpendiculares
5.4.5. Retas paralelas e retas
perpendiculares
EXEMPLOS • Se as retas de equações (a+3)x + 4y – 5 = 0 e
x + ay + 1 = 0 são paralelas. Calcule o valor de a.
RESOLVA • 1) Trace o gráfico das retas 𝑟 e s e determine a
interseção entre elas. Sabendo que:
• →A reta 𝑟 é a reta de equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8.
• → A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟 e um de seus
pontos é o ponto 𝑃 2,2 .
AULA 13
PCNA - Matemática Trigonometria - 1
6.1. Conceitos Iniciais
6.1.1. Arcos e Ângulos
• Ângulo entre
retas
• Ângulo formando
um setor circular
6.1.2. Unidades de Ângulos
• Grau • Radiano
6.1.3. Tipos de Ângulos
• Ângulo Reto • Ângulo raso
• Ângulo
agudo • Ângulo
obtuso
• Ângulo de uma
volta
Ex 1: Um arco AB de uma circunferência tem
comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4
cm, qual a medida em radianos do arco AB se L=22
cm?
Exemplo:
6.1.4. Triângulo Retângulo
1. Possui um ângulo reto.
2. O maior lado, chamado
de hipotenusa, é oposto
ao ângulo reto,
3. Os outros lados são
chamados catetos.
• Teorema de Pitágoras
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Para todo triângulo
retângulo tem-se que “o
quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos
quadrados dos catetos”
• Relações Trigonométricas
cos 𝜃 =𝑏
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐
𝑎
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑐
𝑏
sec 𝜃 =𝑎
𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 𝑎
𝑐
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 = 𝑏
𝑐
Exemplo: Ex 2: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.
Simulador: Triângulo Retângulo
• Lei dos Cossenos
Para um triângulo qualquer:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos (∝)
Onde ∝ é o ângulo oposto ao
lado 𝑎.
Exemplo 3) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.
Calcule o ângulo o menor, Â , do triângulo.
• Lei dos Senos Para um triângulo qualquer:
𝑎
𝑠𝑒𝑛(Â)=
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵 )=
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶 )
Sendo o lado 𝑎
oposto ao ângulo Â.
Exemplo 4) Calcule o valor do segmento AB do Triângulo
representado pelo desenho a seguir:
6.2. Círculo Trigonométrico
• 6.2.1 – Definição • Divisões em
Quadrantes
• Sentido positivo =
sentido anti-horário
•Sentido negativo =
sentido horário.
• Seno
6.2.2 - Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico
2. Redução ao
primeiro quadrante
1. Análise de
Sinal
•Cosseno
1. Análise de
Sinal
2. Redução ao
primeiro quadrante
• Ângulos correspondentes
• No II Quadrante: 180º − 𝛼;
• No III Quadrante: 180º + 𝛼;
• No IV Quadrante: 360º − 𝛼.
Exemplos: 5) Determine o valor de :
a) 𝑠𝑖𝑛;𝜋
3:
b) 𝑐𝑜 𝑠;𝜋
3:
•Tangente
1. Análise de
Sinal
2. Redução ao
primeiro quadrante
6) Determine o valor de:
• 𝑡𝑔(7𝜋
6):
• 𝑡𝑔3𝜋
4:
Exemplos:
Simulador: Círculo Trigonométrico
Resolva: • Calcule o valor da expressão:
𝑦 = sen 105° − cos 75°
• Calcule o valor numérico da expressão:
𝑦 = sen13𝜋
12. cos(
11𝜋
12)
• Ângulos notáveis
AULA 14
PCNA - Matemática Trigonometria - 2
6.3 – Relações Trigonométricas Inversas
• sec ∝ = 1
cos (∝)
• 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 ∝ = 1
sin (∝)
• 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ = cos (∝)
sin (∝)
Simulador: Geogebra
Exemplos: Ex 1: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ =
1
2, com 0 < ∝ <
𝜋
2. Determine o valor
de 𝑠𝑒𝑐 ∝ .
Ex 2: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ = ;2
3, com
3𝜋
2< ∝ < 2𝜋. Determine o
valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔(∝).
6.4 - Identidades Trigonométricas
• Obtida por simples aplicação de Pitágoras no
círculo trigonométrico.
• 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 (relação fundamental)
• 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
• 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
• sin 𝑎 + 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎
• sin 𝑎 − 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎
• cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
• cos 𝑎 − 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin (𝑏)
• sen 2𝑥 = 2. sen 𝑥 . cos(𝑥)
• cos 2𝑥 = cos² 𝑥 − sen²(𝑥)
• sen 𝑥
2= 1−cos (x)
2
• cos 𝑥
2= 1+cos x
2
Ex 3: Determine o valor de:
a) sen(105°)
b) cos(15°)
Exemplos:
• Dado que sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑚, calcule o valor de
𝑦 = sin4 𝑥 + cos4(𝑥) 𝑒 𝑧 = sin6 𝑥 + cos6(𝑥)
Resolva
Transformação de SOMA em PRODUTO
• 𝑠𝑖𝑛 𝑝 + 𝑠𝑖𝑛 𝑞 = 2 sin𝑝:𝑞
2cos (
𝑝;𝑞
2)
• sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 sin𝑝;𝑞
2cos (
𝑝:𝑞
2)
• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 + 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2 cos𝑝:𝑞
2cos
𝑝;𝑞
2
• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 − 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = −2 sin𝑝:𝑞
2sin
𝑝;𝑞
2
Exemplos: Ex 4: Transforme em produto:
a) cos 30º + cos 10º
b) sen 70º - sen 30º
Resolva • Transforme em produto:
a) 𝑦 = 1 + sin 2𝑥 :
b) 𝑦 = cos 3𝑥 + cos (𝑥)
AULA 15
PCNA - Matemática Trigonometria - 3
6.5. Funções Trigonométricas
6.5.1 Função Seno:
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
Domínio: ℝ
Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1
Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo
trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu
caráter oscilatório.
Período: 2𝜋
Simulador: Geogebra
Modificações no gráfico da função
• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. sen 𝑐𝑥 + 𝑑 ,
as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:
• A = deslocamentos verticais;
• B = alongamento vertical ou horizontal;
• C = encurtamento horizontal;
• D = deslocamentos horizontais.
• Se 𝑓 𝑥 = sen 𝑎𝑥 , 𝑎 > 1 , há o encurtamento
horizontal.
Ex 1: 𝑓 𝑥 = sen(2𝑥)
• Se 𝑓 𝑥 = B. sen(𝑥):
• B>1, ocorre um alongamento vertical;
• B<1, ocorre um alongamento horizontal.
Ex 2: 𝑓 𝑥 = 0,5. sen(𝑥):
Ex 3: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = −0,5 + 0,5 . 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + π)
6.5.2 Função Cosseno:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
Domínio: ℝ
Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1
Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo
trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu
caráter oscilatório.
Período: 2𝜋
Simulador: Geogebra
Modificações no gráfico da função
• Processo semelhante ao da função seno.
• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. cos 𝑐𝑥 + 𝑑 ,
as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:
• A = deslocamentos verticais;
• B = alongamento vertical ou horizontal;
• C = encurtamento horizontal;
• D = deslocamentos horizontais.
𝑓 𝑥 = 0.5𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
Exemplo: Ex 5: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = 2 + 3 . 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + π)
6.5.4 Função Tangente:
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (𝑥) Domínio:
ℝ − (𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑜𝑠 à 𝜋
2 𝑜𝑢
3𝜋
2)
Imagem: −∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞
Obs.: quando 𝑥 =𝜋
2,3𝜋
2, ou seus correspondentes depois de N
voltas, a função não existe.
Período: 𝜋
Modificações no gráfico da função
• Processo semelhante aos das funções seno e
cosseno.
• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. t𝑔 𝑐𝑥 + 𝑑 ,
as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:
• A = deslocamentos verticais;
• B = alongamento vertical ou horizontal;
• C = encurtamento horizontal;
• D = deslocamentos horizontais.
𝑓 𝑥 = 5𝑡𝑔 (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(2𝑥)
Exemplo: Ex 6: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥 − 𝜋)
6.5.4. Função Arco-Seno • O arco-seno (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) é um ângulo definido pela
variável ∝ dependente de um valor x tal que
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∝ isto é, 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑥.
∝ = arcsin (𝑥)
Exemplo: Ex 7: Para um triângulo retângulo de hipotenusa
2 cm e cujo ângulo 𝛼 é oposto a um cateto de
1cm, determine o valor de 𝛼.
6.5.5 Função Arco-Cosseno
• O arco-cosseno (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) é um ângulo ∝ cujo
valor de seu cosseno vale x, isto é, ∝ depende de x
tal que 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = ∝, cos ∝ = 𝑥.
∝ = arccos (𝑥)
Exemplo: 8) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um
ângulo ∝ tal que o cateto adjacente a este
ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo
triângulo possui valor de 4 cm. Determine o
ângulo ∝.
6.5.6 Função Arco-Tangente
• O arco-tangente (arctan (𝑥)) de um valor x, de
modo que seu resultado que é o ângulo 𝜃 é o
ângulo cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja,
se tan 𝜃 = 𝑥, tem-se que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥).
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Exemplo: 9) Um triângulo retângulo possui um ângulo ∝ o
qual tem como cateto oposto b = 2.√2,e o cateto
adjacente valendo c =2.√2. Determine o ângulo ∝.
6.6. Sistema de Coordenadas Polares
• 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎: 𝑥, 𝑦
• 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟, 𝜃
• 𝑥, 𝑦 → (𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 )
• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦
𝑥)
Coordenadas polares no AutoCAD
• É definido o ângulo e o tamanho do segmento.
Exemplos: Ex 1: Converta as coordenadas polares dadas para
coordenadas cartesianas:
𝑎) 𝑟, 𝜃 = 2 ,3𝜋
2
𝑏) 𝑟, 𝜃 = −4 ,−𝜋
3
Ex 2: Converta as coordenadas cartesianas dadas
para coordenadas polares.
a) 𝑥, 𝑦 = 4 , 4
b) 𝑥, 𝑦 = −1 , − 3