Matematická analýza I....Nejaký úvod na úvod I. Císelné množinyˇ (Jeden) pár uvodných zamyslení II: O com by malo byt’ štúdium (a výuˇ cba) matematiky?ˇ Matematika

Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny

Matematická analýza I.(prezentácia k prednáške MANa/10)

doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.1

[email protected]/analyza/texty/predmety/MANa.html

Prednáška 1

18. septembra 2018

Ondrej Hutník Matematická analýza I.

umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANa.html


Podmienky

nepovinná úcast’ na prednáškach (!nie na cviceniach!)

jedinecná možnost’ pýtat’ sa!!!

podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra)

Obsah

I. Císelné množiny – reálne císla, ohranicenost’, supremum ainfimum [cca 4 prednášky]

II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnostireálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohranicenost’,monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky]

III. Postupnosti reálnych císel – základné vlastnosti, konvergencia[cca 4 prednášky]

IV. Rady reálnych císel – súcet nekonecného radu, kritériákonvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky]



Podmienky

nepovinná úcast’ na prednáškach (!nie na cviceniach!)

jedinecná možnost’ pýtat’ sa!!!

podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra)

Obsah

I. Císelné množiny – reálne císla, ohranicenost’, supremum ainfimum [cca 4 prednášky]

II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnostireálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohranicenost’,monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky]

III. Postupnosti reálnych císel – základné vlastnosti, konvergencia[cca 4 prednášky]

IV. Rady reálnych císel – súcet nekonecného radu, kritériákonvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky]



Literatúra k prednáškam

1. Mihalíková, B. – Ohriska, J.: Matematická analýza 1, el. skriptáUPJŠ, Košice, 2012. http://www.upjs.sk/public/media/

5596/Matematicka-analyza-I.pdf

2. Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I., Alfa,Bratislava, 1966 (v závislosti od vydania).

3. casti elektronického textu sprístupnovaného na stránkeumv.science.upjs.sk/analyza pri predmete MANa/10

4. d’alšie dostupné texty...


http://www.upjs.sk/public/media/5596/Matematicka-analyza-I.pdf

http://www.upjs.sk/public/media/5596/Matematicka-analyza-I.pdf

umv.science.upjs.sk/analyza


(Jeden) pár uvodných zamysleníI: Co je vlastne matematika?

Matematika môže byt’ definovaná ako jav, pri ktorom nikdy nevieme, ocom je rec, anici to, co sme povedali, je pravda.Bertrand Russell

Mathematics is not a deductive science – that’s a cliche. When you try to prove a theorem, you don’t just list thehypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork.

Paul R. Halmos:I want to be a Mathematician(1985)

Boh je matematik... Matematika je prostriedok špeciálne prispôsobený na osvojenie si rôznych abstraktných pojmov, acosa toho týka, jej moc je neohranicená.

Paul Dirac



(Jeden) pár uvodných zamysleníII: O com by malo byt’ štúdium (a výucba) matematiky?

Matematikaby nemala byt’ o vzorcoch, úpravách výrazov,ci formálnom reprodukovaní algoritmických postupov bezvnútorného porozumenia.Mala by študentov naucit’

vyjadrovat’ sa jasnea jednoznacne

vštepovat’ im potrebuneustálesi klást’ otázku PRECO?

vyžadovat’ argumentya zároven vecne a logicky diskutovat’ a argumentovat’...

Burjan: zdrojhttp://www.sme.sk/c/4163724/koniec-prirodnych-vied.html

To teach effectively a teacher must develop a feeling for his subject; he cannot make his students sense its vitality if hedoes not sense it himself. He cannot share his enthusiasm when he has no enthusiasm to share. How he makes his pointmay be as important as the point he makes; he must personally feel it to be important.

George Pólya:Mathematical Discovery(1981)


http://www.sme.sk/c/4163724/koniec-prirodnych-vied.html


Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes

oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz

kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange

upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor

20. storocie – konglomerát teórií

MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.











































Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky

ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875

Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675

⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638

limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒

spojité funkcie⇒

zobrazenia

– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita

– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita

– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita

– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo

A co vlastne to císlo je???






⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638


spojité funkcie⇒

zobrazenia











⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638


spojité funkcie⇒

zobrazenia











⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638


spojité funkcie⇒

zobrazenia











⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638


spojité funkcie⇒

zobrazenia











⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638


spojité funkcie⇒

zobrazenia











⇒Weierstrass

⇒Dedekind

Fermat 1638


spojité funkcie⇒

zobrazenia








Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania

Reálne císla

... the definition of irrational numbers, on which geometric representations have often had a confusing influence... I takein my definition a purely formal point of view,calling some given symbols numbers, so that the existence of thesenumbers is beyond doubt.

Eduard Heine:Die Elemente der Funktionenlehre(1872)

At that point, my sense of dissatisfaction was so strong that I firmly resolved to start thinking until I should find a purelyarithmetic and absolutely rigorous foundation of the principles of infinitesimal analysis... I achieved this goal onNovember 24th, 1858, ... but I could not really decide upon a proper publication, because, firstly, the subject is not easy topresent, and, secondly, the material is not very fruitful.

Dedekind:Stetigkeit und irrationale Zahlen(1872)

√3 is thus only a symbol for a number which has yet to be found, but is not its definition. This definition is, however,

satisfactorily given by my method as, say{1,7, 1,73, 1,732, ...}Georg Cantor:Bemerkung mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen(1889)

Dnes vieme elegantne odpovedat’ na položenú otázku:Reálne císla sú

triedy ekvivalencií racionálnych Cauchyovských postupností;Dedekindove rezy na množine racionálnych císel;jediné najmenšie úplné komutatívne archimedovské pole;??? nejak inak (hlavne „l’udsky“) ???




Reálne císla












Reálne císla












Elementy výrokového po ctu

Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:

vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),

udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,

ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.

Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).


















































Tvorenie nových výrokova) negácia ... nie je pravda, že platí A; ozn. non A, ¬A

– platí výrok alebo jeho negáciab) konjunkcia ... A a B, A a zároven B; ozn. A ∧ B

– je pravdivá, ak obidva výroky A, B sú pravdivéc) disjunkcia (alternatíva) ... A alebo B; ozn. A ∨ B

– je pravdivá, ak aspon jeden z výrokov A, B je pravdivýd) implikácia ... A implikuje B, z A vyplýva B; ozn. A ⇒ B

– je nepravdivá v prípade, ak A je pravdivý výrok a B jenepravdivý výrok– A je postacujúcou podmienkou pre B a výrok B je zasa nutnoupodmienkou pre A– A ⇒ B, A je predpoklad, B je záver– B ⇒ A je iný výrok ako A ⇒ B, nedá sa vo všeobecnostiobrátit’! (je to obrátená veta k vete A ⇒ B)









































Tvorenie nových výrokov

e) ekvivalencia ... A platí práve vtedy ked’ platí B, A platí vtedy a lenvtedy, ked’ platí B; ozn. A ⇔ B, A ≡ B– je pravdivá, ak obidva výroky sú pravdivé alebo obidva výrokysú nepravdivé– A je nutnou a zároven postacujúcou podmienkou pre B– ak A ⇒ B a B ⇒ A sú pravdivé, je pravdivý aj výrok A ⇔ B

Dôkazy viet tvaru A ⇒ Ba) priamo ... vychádzame z predpokladu A a využitím d’alších

tvrdení dôjdeme k záveru B, t.j. A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ Bb) nepriamo ... je to priamy dôkaz obmenenej vety, t.j. vety

¬B ⇒ ¬Ac) sporom ... vychádzame z negácie výroku A ⇒ B

(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)) a pokúsime sa získat’ spor s výrokom A,¬B, nejakým platným výrokom (axiómou).


































Elementy množinovej matematiky

Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok

Kvantifikátory:

∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)

∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)

(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)

Negácia kvantifikátorov:

¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)






Kvantifikátory:





¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)






Kvantifikátory:





¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)






Kvantifikátory:





¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)






Kvantifikátory:





¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)






Kvantifikátory:





¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)






Kvantifikátory:





¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)

¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)





Operácie s množinami: Uvažujme množiny A, B.

A ⊂ B (podmnožina) ... (∀a ∈ A) a ∈ B

A ∩ B (prienik) ... A ∩ B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ B}A ∪ B (zjednotenie) ... A ∪ B = {a : a ∈ A ∨ a ∈ B}A \ B (rozdiel) ... A \ B = {a : a ∈ A ∧ a /∈ B}A = B (rovnost’) ... A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

pre A ⊂ B definujeme Ac (doplnok, komplement) ...Ac = B \ A = {b : b ∈ B ∧ b /∈ A}




Please forget everything you have learned in school; for you haven’t learned it... My daughters have been studying(chemistry) for several semesters already, think they have learned differential and integral calculus in school, and eventoday don’t know whyx · y = y · x is true.

Edmund Landau:Grundlagen der Analysis(1930)

Definícia – množina reálnych císel

Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• (R,+, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.

S1: (∀x , y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);

S2: (∀x , y , z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);

S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);

S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).







Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• (R,+, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.

S1: (∀x , y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);

S2: (∀x , y , z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);

S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);

S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).







Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• (R \ {0}, ·, 1) je abelovská multiplikatívna grupa kompatibilná s aditívnougrupou (R,+, 0), t.j.

N1: (∀x , y ∈ R) x · y = y · x (komutativita násobenia);

N2: (∀x , y , z ∈ R) (x · y) · z = x · (y · z) (asociativita násobenia);

N3: (∃1 ∈ R, 1 6= 0)(∀x ∈ R) x · 1 = x (existencia multiplikatívnej jednotky);

N4: (∀x ∈ R \ {0})(∃y ∈ R) x · y = 1 (existencia prevrátenej hodnoty);

N5: (∀x , y , z ∈ R) x · (y + z) = x · y + x · z (distributivita násobeniavzhl’adom na scítanie).







Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• Pre každé dva prvky x , y ∈ R platí aspon jeden zo vzt’ahov x ≤ y aleboy ≤ x , pricom

U1: (∀x , y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria ≤);

U2: (∀x , y , z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita ≤);

U3: (∀x , y , z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adomna ≤);

U4: (∀x , y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobeniavzhl’adom na ≤).







Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• Axióma (H) o hornej hranici: Každá neprázdna zhora ohranicenápodmnožina množiny R má najmenšie horné ohranicenie, t.j. ak M ⊂ R,M 6= ∅ a (∃z ∈ R)(∀x ∈ M) x ≤ z, tak (∃!S ∈ R)

(i) (∀x ∈ M) x ≤ S (S je horné ohranicenie M);

(ii) (∀t ∈ R, t < S)(∃x0 ∈ M) t < x0 (S je najmenšie horné ohranicenie M).




Axiómy scítania reálnych císel

S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).

Veta I.1

(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x ;(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x ;(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;(iv) (∀x ∈ R, x 6= 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.

Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y . Získaná operácia sanazýva odcítanie.

Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin

x · 1y budeme písat’ v tvare

xy

a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.

Takto získanú operáciu nazývame delenie (okrem delenia prvkom 0).






Veta I.1





xy








Veta I.1





xy








Veta I.1





xy








Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y .



xy


Tvrdenie I.2

(i) (∀x , y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);(ii) (∀x , y ∈ R, x 6= 0, y 6= 0) 1

x·y = 1x ·

1y .

Veta I.3

(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;(ii) (∀a, b ∈ R, a 6= 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.









xy


Tvrdenie I.2


x·y = 1x ·

1y .

Veta I.3










xy


Tvrdenie I.2


x·y = 1x ·

1y .

Veta I.3





Axiómy usporiadania reálnych císel

U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).

Veta I.4

(∀x , y , z ∈ R)

(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;

(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;

(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;

(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;

(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.

Císlo x ∈ R budeme nazývat’ nezáporné (kladné), akk 0 ≤ x (0 < x) anekladné (záporné), akk x ≤ 0 (x < 0).

Veta I.5 (trichotómia relácie ≤)

(∀x , y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)






Veta I.4

(∀x , y , z ∈ R)

(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;

(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;

(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;

(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;

(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.



(∀x , y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)






Veta I.4

(∀x , y , z ∈ R)

(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;

(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;

(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;

(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;

(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.



(∀x , y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)






Tvrdenie I.6

(∀x , y ∈ R)

(i) 0 < x ⇒ −x < 0 ∧ 0 < 1x ;

(ii) (0 < x ∧ 0 < y) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ 0 < x · y ;

(iii) (0 < x ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ 0 < y) ⇒ x · y < 0;

(iv) (x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1y < 1

x .

Tvrdenie I.7

(∀x , y , z ∈ R)

(i) (x ≤ y ∧ 0 < z) ⇒ xz ≤ yz;

(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ yz ≤ xz.






Tvrdenie I.6

(∀x , y ∈ R)

(i) 0 < x ⇒ −x < 0 ∧ 0 < 1x ;

(ii) (0 < x ∧ 0 < y) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ 0 < x · y ;

(iii) (0 < x ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ 0 < y) ⇒ x · y < 0;

(iv) (x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1y < 1

x .

Tvrdenie I.7

(∀x , y , z ∈ R)

(i) (x ≤ y ∧ 0 < z) ⇒ xz ≤ yz;

(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ yz ≤ xz.






Úlohy na (pre)cvi cenie

Dokážte nasledujúce tvrdenia:

3 (∀x ∈ R) 0 · x = 0;

3 (∀x , y ∈ R) x · y = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0;

3 (∀x ∈ R) − x = (−1) · x ;

3 (∀x , y ∈ R) x · (−y) = −x · y ;

3 (∀a, b, c, d ∈ R, b 6= 0, d 6= 0)ab· c

d=

acbd

;

3 (∀a, b, c, d ∈ R, b 6= 0, d 6= 0)ab

=cd⇔ ad = bc;

3 (∀a, b, c, d ∈ R, b 6= 0, d 6= 0)ab

+cd

=ad + bc

bd.


Documents

Matematická analýza I....Nejaký úvod na úvod I. Císelné množinyˇ (Jeden) pár uvodných zamyslení II: O com by malo byt’ štúdium (a výuˇ cba) matematiky?ˇ Matematika