Matematická analýza III

Jan Malý

Obsah

Kapitola 1. Eukleidovský prostor 51. Eukleidovský prostor 52. Obecn¥j²í pohled na prostor 73. Spojitost a limita 84. Kontrolní otázky 10

Kapitola 2. Diferenciální po£et funkcí více prom¥nných 131. Derivace 132. Derivace vy²²ích °ád· 143. Inverzní zobrazení a implicitní funkce 154. Implicitní variety 16

Kapitola 3. Extrémy funkcí více prom¥nných 171. Lokální extrémy 172. Globální extrémy 183. Vázané extrémy 19

Kapitola 4. Pokro£ilý integrální po£et 211. Riemann·v integrál 212. Lebesgue·v integrál 223. Po£ítání jednorozm¥rných integrál· 254. Funkce Gamma 29

Kapitola 5. Vícerozm¥rné integrály 311. Vícerozm¥rné integrály 31

Kapitola 6. K°ivkový integrál 351. Plochy a k°ivky 352. K°ivkový a plo²ný integrál prvého druhu 353. K°ivkový integrál druhého druhu 374. Elementy teorie pole 38

Kapitola 7. Plo²ný integrál 391. Plo²ný integrál kodimenze 1 392. V¥ta o divergenci 40

Kapitola 8. Obecn¥j²í plo²ný integrál a Stokesova v¥ta 431. Integrování p°es variety 432. Stokesova v¥ta 443. Praktické hledání parametrizace a ur£ování orientace 45

3

Doporu£ená literatura:[MAFII] J. Kopá£ek: Matematická analýza pro fyziky II. Matfyzpress Praha 1998.[MAFIII] J. Kopá£ek: Matematická analýza pro fyziky III. Matfyzpress Praha 2002.[PMFII] J. Kopá£ek a kol.: P°íklady z matematiky pro fyziky II. Matfyzpress Praha 2003.[PMFIII] J. Kopá£ek a kol.: P°íklady z matematiky pro fyziky III. Matfyzpress Praha 2002.

4

KAPITOLA 1

Eukleidovský prostor

1. Eukleidovský prostor

K vy²et°ování funkcí více prom¥nných nás motivuje p°edev²ím

• pot°eba zkoumat funkce závislé na více veli£inách (nap°. na £ase a teplot¥).• pot°eba zkoumat funkce závislé na více m¥°eních jedné veli£iny (takové úlohy mohou vést k prácina prostorech velké dimenze).

• pot°eba zkoumat funkce závislé na prostorové prom¥nné.

Prostorová prom¥nná je formáln¥ po°ád jedna prom¥nná, ale pokud chceme popsat závislost napoloze bodu v prostoru vzorcem, nejefektivn¥j²í moºnost je vyuºít vyjád°ení bodu v n¥jaké sou°adnicovésoustav¥. Popis závislosti je pak funkce závislá na sou°adnicích bodu, kterých je jiº více. Sou°adnicem·ºeme voli nekone£n¥ mnoha zp·soby. Ov²em, pokud zadání úlohy, kterou °e²íme, nezávisí na volb¥sou°adnic, výsledek by na ní také nem¥l záviset.

Pokud má tedy obecný bod x sou°adnice [x1, x2, x3], m·ºeme uvaºovat nap°. funkci f(x) = x1 −sin(x2x3). Na takovou funkci pohlíºíme jako na funkci jedné vektorové prom¥nné f(x) £i t°í reálnýchprom¥nných f(x1, x2, x3), podle toho, který p°ístup nám momentáln¥ lépe vyhovuje.

Prostor Rn, denovaný jako lineární prostor, který vznikne kartézským sou£inem reálných os, senazývá eukleidovský prostor. Prvky eukleidovského prostoru se nazývají body nebo vektory. Skalár budepro nás reálné £íslo. Pokud pot°ebujeme zd·raznit vektorový charakter objektu, zna£íme jej jiným fontem,nap°. u v ti²t¥ném textu nebo nebo ~u v ru£n¥ psaném textu.

Hranice mezi pouºitím pojm· bod a vektor není p°esná a ur£uje se spí²e citem. Termín vektorup°ednost¬ujeme, pokud zacházíme s prvky Rn jako s prvky vektorového lineárního prostoru. Intuitivn¥,bod je veli£ina, která má polohu, zatímco vektor má sm¥r a velikost (nebo délku? Stejn¥ této veli£in¥budeme °íkat norma). Typická vektorová veli£ina je rychlost, uv¥domte si, ºe nulová rychlost £i s£ítání(skládání) rychlostí má dobrý názorný smysl, ale nulový bod a s£ítání bod· p·sobí um¥le. Je²t¥ sek tématu vrátíme v druhé kapitole.

Na vektory lze pohlíºet i jako na matice o jednom °ádku nebo jednom sloupci. Za primární budemepovaºovat sloupcový zápis, který vede k svislým vektor·m. Abychom odli²ili na²e vektory od vodorov-ných vektor· a neztratili typograckou výhodu psaní do °ádku, domluvíme se, ºe vektor, jehoº so°adnicejsou napsány vodorovn¥ v hranatých závorkách, je ve skute£nosti svislý, tedy maticí bychom ho násobilizleva.

P°ipome¬me, ºe v Rn, jokoº v kaºdém lineárním prostoru, m·ºeme vektory s£ítat a násobit skalárem.Od nepam¥ti matematiky vzru²ovala otázka násobení vektor· mezi sebou. V dvourozm¥rném prostoruna²li operaci sou£inu, p°i níº sou£inem dvou dvourozm¥rných vektor· je op¥t dvourozm¥rný vektor a R2

s touto operací spl¬uje axiomy komutativního t¥lesa. Tyto vlastnosti totiº spl¬uje algebraická strukturakomplexních £ísle. Ve vy²²í dimenzi nic tak dokonalého neexistuje. Vektory m·ºeme násobit po sloºkách,to ale není p°íli² zajímavé a pro vektory jako prvky prostoru to nemá fyzikální význam. Uºite£n¥j²íjsou vektorový sou£in v dimenzi 3 kvaterniony v dimenzi 4, maticové sou£iny v dimenzi n2, kuriozitou jeCaleyova algebra v dimenzi 8. Kaºdý z t¥chto sou£in· postrádá aspo¬ n¥kterou z vlastností komutativníhot¥lesa. Pak se jest¥ pouºívají sou£iny, jejichº výstup má vy²²í dimenzi neº vstupy (tenzorové, vn¥j²í).Sou£in, který brzy zavedeme, má naprosto fundamentální význam. Jeho výstup má dimenzi niº²í neºvstupy, totiº je to skalární sou£in, neboli výstup má dimenzi jedna.

1.1. Definice (Skalární sou£in). Standardní skalární sou£in n-rozm¥rných vektor· x = [x1, . . . , xn]a y = [y1, . . . , yn] ∈ Rn denujeme jako £íslo

x · y =

n∑i=1

xiyi.

5

ekn¥me, ºe vektory x a y jsou navzájem kolmé, jestliºe x · y = 0.

1.2. Definice (Vzdálenost, norma). Standardní eukleidovská vzdálenost bod· x = [x1, . . . , xn] ay = [y1, . . . , yn] ∈ Rn je dána vzorcem

ρ(x, y) =√

(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2.

Normu bodu x = [x, . . . , xn] ∈ Rn denujeme p°edpisem

|x| =√x2

1 + · · ·+ x2n.

(Norma bodu je vlastn¥ jeho vzdálenost od po£átku.) Pak zápis vzdálenosti bod· x a y m·ºeme zjedno-du²it na

ρ(x, y) = |y − x|.

V dimenzi jedna se norma redukuje na oby£ejnou absolutní hodnotu.

1.3. Poznámka. Vzorec pro vzdálenost bod· se nedá odvodit, není z £eho! D·leºité je, ºe kdyºm¥°íme vzdálenost podle tohoto vzorce, dostáváme výsledky v souladu s na²imi zku²enostmi z reálnéhosv¥ta.

1.4. V¥ta (Vlastnosti skalárního sou£inu). Pro v²echna x, y, z ∈ Rn, λ ∈ R platí

(1) x · y = y · x,(2) (λx) · y = λ(x · y),(3) (x+ y) · z = x · z + y · z,(4) x 6= 0 =⇒ x · x > 0.

1.5. V¥ta (Vztah normy a skalárního sou£inu).

(1) |x| =√x · x,

(2) x · y = 12

(|x+ y|2 − |x|2 − |y|2

)= 1

4

(|x+ y|2 − |x− y|2

),

(3) 2x · y ≤ |x|2 + |y|2,(4) |x · y| ≤ |x| |y| (Cauchy-Bu¬akovského nerovnost).

D·kaz. Z (3) dostaneme (4) trikem:

2x

|x|· y

|y|≤∣∣∣ x|x| ∣∣∣2+

∣∣∣ y|y| ∣∣∣2= 2.

1.6. V¥ta (Vlastnosti normy). Pro v²echna x, y ∈ Rn, λ ∈ R platí

(1) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0,(2) |λx| = |λ| |x|,(3) |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

1.7. V¥ta (Vlastnosti vzdálenosti). Pro v²echna x, y, z ∈ Rn platí

(1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,(2) ρ(x, y) = ρ(y, x),(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost).

1.8. Definice (Úhel). Úhel mezi vektory x = [x1, . . . , xn] a y = [y1, . . . , yn] ∈ Rn denujeme jako£íslo α ∈ [0, π] které vyhovuje rovnici

x · y = |x| |y| cosα.

1.9. Poznámka. Op¥t, jako v p°ípad¥ vzdálenosti, vzorec pro úhel mezi vektory je denice a nemásmysl se ho pokou²et odvodit. V²imn¥te si, ºe vektory svírají pravý úhel α = π/2 podle denice 1.8,práv¥ kdyº jsou navzájem kolmé podle denice 1.1!

6

2. Obecn¥j²í pohled na prostor

Prostor z reálného sv¥ta vnímáme po jisté abstrakci jako mnoºinu, v níº rozeznáváme body p°ímky,roviny, dovedeme m¥°it úhly a pom¥°ovat vzdálenosti. Zna£ný význam má grupa shodných zobrazení:pevné p°edm¥ty se p°emís´ují pomocí shodných zobrazení a práv¥ p°emíst¥ní m¥°ítka nám umoº¬ujepom¥°ovat vzdálenosti. Zvolíme-li jednotku délky, m·ºeme vzdálenosti nejen pom¥°ovat (srovnávat), alei m¥°it.

Zavedení sou°adnic vná²í do geometrického prostoru dodate£nou strukturu. Pokud bychom se tomucht¥li vyhnout, m·ºeme volit alternativní cestu axiomatického budování prostoru. P°i ní vycházímez abstraktní mnoºiny, na níº uvaºujeme strukturu, která je svázaná axiomy.

Eukleides (365-300 p°ed n. l.) vycházel ve své axiomatice z pojm· jako bod, p°ímka, rovnob¥ºnostapod. (Paradoxn¥ zde uvádíme Eukleid·v p°ístup jako protiváhu k práci s eukleidovským prostorembod·, které mají sou°adnice. Zavedení sou°adnic se p°ipisuje Descartovi (1596 - 1650); na toho pama-tujeme termíny kartézské sou°adnice a kartézský sou£in.) Efektivn¥j²í cestou k axiomatickému budováníprostoru je vycházet z algebraických operací. Axiomatický p°ístup je snaº²í u prostoru vektor·, neº uprostoru bod·. Lineární prostor uº jsme m¥li v lineární algeb°e. V holém lineárním prostoru neumímem¥°it úhly (ani pravý). Abychom dali smysl úhl·m, m·ºeme strukturu obohatit o skalární sou£in, takvznikne unitární prostor.

Axiomatická stavba prostoru bod· je t¥º²í a zmíníme se o ní jen informativn¥. Tzv. anní prostorje zaloºený na operaci anní kombinace. Bod·m x1, . . . , xm a £ísl·m λ1, . . . , λm p°i°adí tato operacebod

∑i=1 λix

i, jestliºe je spln¥na podmínka∑λi = 1. Nap°íklad 1

2x + 12y je bod, který leºí p°esn¥

v p·lce mezi x a y. Mnoºina v²ech anních kombinací dvou r·zných bod· je p°ímka. Podobn¥ ze t°íbod· m·ºeme dostat rovinu apod. Anní prostor nezveme geometrickým, pokud trojici bod· umímep°i°adit úhel. Axiomy anního prostoru a geometrického prostoru se zde nebudeme zabývat. Ostatn¥,z kaºdého anního prostoru lze vyrobit lineární prostor volbou po£átku.

V matematice se vyplácí studovat struktury na r·zných stupních obecnosti. Obecn¥j²í struktury£asto zahrnují víc model·, na n¥º se dá aplikovat teorie. Nap°íklad poznatky získané pro obecný pojemt¥leso se dají aplikovat jak na reálná, tak na komplexní £ísla. Mén¥ obecné, konkrétn¥j²í struktury jsouzase bohat²í.

Na holém lineárním prostoru nemáme k dispozici ani skalární sou£in, ani relaci kolmosti vektor·.M·ºeme si doplnit skalární sou£in, který nám vytvo°í normu. V n¥kterých úlohách (zvlá²t¥ v nekone£-n¥rozm¥rném p°ípad¥) je v²ak t°eba zavést normu jinak neº skalárním sou£inem. Jindy pot°ebujemeuvaºovat vzdálenost bod·, která není odvozená od normy.

K abstraktním prostor·m pot°ebujeme modely, nap°. proto, abychom vid¥li, ºe námi denovanéstruktury existují (mohlo by se nám teoreticky stát, ºe se pustíme do studia soustavy axiom·, kteráv sob¥ obsahuje spor). Jeden typ abstraktního prostoru m·ºe mít víc r·zných model·. (Nap°. R2 a R3.jsou r·zné modely lineárního prostoru.) Struktury, které zde budeme uvaºovat, se dají v¥t²inou modelovatna Rn.

2.1. Definice (Unitární prostor). Lineární prostor X se nazývá unitární prostor, jestliºe je vybavenoperací skalární sou£in, která kaºdé uspo°ádané dvojici (x, y) ∈ X ×X p°i°adí £íslo x · y ∈ R a spl¬ujeaxiomy (pro v²echna x, y, z ∈ X, λ ∈ R)(1) x · y = y · x,(2) (λx) · y = λ(x · y),(3) (x+ y) · z = x · z + y · z,(4) x 6= 0 =⇒ x · x > 0.

Jestliºe X je unitární prostor, normu na X denujeme p°edpisem

(1) |x| :=√x · x

Nech´ X je unitární prostor. Zobrazení A : X → X se nazývá unitární, jestliºe A je lineárníizomorsmus a zachovává skalární sou£in, tedy platí vzorec

(Ax) · (Ay) = x · y, x, y ∈ X.Unitární zobrazení v R2 jsou nap°íklad oto£ení kolem po£átku nebo osová symetrie (kdyº osa soum¥rnostiprochází po£átkem).

2.2. Definice (Normovaný lineární prostor). Lineární prostor X se nazývá normovaný lineárníprostor, zkracujeme NLP, jestliºe je vybaven unární operací norma, která kaºdému vektoru x ∈ Xp°i°adí nezáporné £íslo ‖x‖ ∈ R a spl¬uje axiomy (pro v²echna x, y ∈ X, λ ∈ R)

7

(1) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0,(2) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖,(3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.Vzálenost bod· x a y na NLP denujeme p°edpisem

(2) ρ(x, y) := ‖y − x‖.Kaºdý unitární prostor je vybaven normou. (Ov¥°te, ºe norma na unitárním prostoru spl¬uje axiomynormy!) Tudíº na unitárním prostoru je dána vzdálenost.

2.3. Poznámka. Vzniká otázka, zda na kaºdém NLP lze zavést skalární sou£in tak, aby se stalunitárním prostorem a platil vzorec (1). Návod, jak po£ítat skalární sou£in z normy nám dává vzorec1.5 (2). Pomocí tohoto vzorce m·ºeme na kaºdém NLP zavést pokus o skalární sou£in. (Vzorec má dv¥pravé strany, pokud se nerovnají, je to pro nás varování.) Problém je, ºe tato operace nemusí obecn¥spl¬ovat axiomy skalárního sou£inu. O tom, zda tvorba skalárního sou£inu z normy vzorcem 1.5 (2)povede k úsp¥chu rozhoduje test rovnob¥ºníkovým pravidlem

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

Pokud lineární prostor, by´ normovaný, není vybaven skalárním sou£inem, nemá smysl mluvit o kolmosti£i úhlech!

2.4. Definice (Metrický prostor). Abstraktní mnoºina X se nazývá metrický prostor, zkracujemeMP, jestliºe je vybavena operací vzdálenost (nebolimetrika), která kaºdé uspo°ádané dvojici bod· (x, y) ∈X ×X p°i°adí nezáporné £íslo ρ(x, y) ∈ R a spl¬uje axiomy (pro v²echna x, y, z ∈ X)(1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,(2) ρ(x, y) = ρ(y, x),(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost).Otev°enou kouli v metrickém prostoru se st°edem a ∈ X a polom¥rem r > 0 denujeme jako mnoºinu

B(a, r) := x ∈ X : ρ(x, a) < r.Speciáln¥ v NLP máme

B(a, r) = x ∈ X : ‖x− a‖ < r.Nech´ a ∈ X a U ⊂ X. ekneme, ºe U je okolí bodu a, jestliºe existuje r > 0 tak, ºe B(a, r) ⊂ U .ekneme, ºe U je redukované okolí bodu a, jestliºe existuje r > 0 tak, ºe B(a, r) \ a ⊂ U . (Význampojmu okolí v literatu°e není jednotný, n¥kte°í auto°i nap°. pouºívají slovo okolí ve smyslu koule.)

2.5. Poznámka. Holý metrický prostor nemá lineární strukturu, ba ani po£átek. I kdybychompo£átek nebo dokonce lineární struktoru doplnili, není zaru£eno, ºe vzdálenost od po£átku bude spl¬ovataxiomy normy.

2.6. Definice (Podprostory). Nech´ X je lineární prostor. Mnoºina Y ⊂ X se nazývá anní podpro-stor, jestliºe kaºdá anní kombinace prvk· Y je prvkem Y (a pohlíºíme pak na Y jako na anní prostors p°edpisem anní kombinace p°evzatým z p·vodního prostoru).

Nech´ X je metrický prostor. Mnoºina Y ⊂ X se nazývá metrický podprostor, pokud na ni pohlíºímejako na metrický prostor s p°edpisem metriky p°evzatým z p·vodního prostoru, tj. vzdálenost prvk·x, y ∈ Y v Y je stejná jako jejich vzdálenost v X.

2.7. Poznámka. Rozmanitost podprostor· je jedním z motiv· p°echodu k chud²ím strukturám.P°ímka procházející po£átkem v R2 je lineární podprostor. P°ímka, která neprochází po£átkem, jiº nenílineární podprostor. Se£teme-li dva body na této p°ímce, dostaneme bod leºící mimo ni. Tato p°ímka jeale stále anní podprostor. Obecn¥, mnoºina v²ech anních kombinací d + 1 bod· je anní podprostordimenze nejvý²e d. Kruºnice není anní podprostor R2, je to ale metrický podprostor.

3. Spojitost a limita

S eukleidovským prostorem jsme jiº pracovali v lineární algeb°e. Jaký je rozdíl mezi algebrou a ana-lýzou? V algeb°e se studují operace: unární, binární, ternární atd. Po£et operand· je kone£ný. V analýzenavíc uznáváme nekone£nární operace, k ur£ení výstupu je t°eba znát nekone£ný po£et vstup·. P°íklad:

Algebra: kone£ná suma. Analýza: nekone£ná suma.Algebraickou analogií základnímu pojmu analýzy limita posloupnosti je triviální algebraická operace

poslední prvek seznamu.

8

3.1. Definice (Limita posloupnosti). ekneme, ºe posloupnost x(k)∞k=1 prvk· Rd má limitu a ∈Rd, pí²eme

limk→∞

x(k) = a nebo x(k) → a,

jestliºe

∀ ε > 0 ∃ m ∈ N ∀k ∈ N[k ≥ m =⇒ |x(k) − a| < ε

].

Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní.Limitu m·ºeme denovat i pro posloupnosti prvk· NLP nebo dokonce MP. V metrických prostorech

nemá smysl výraz typu |x− a| a nahrazujeme ho tedy výrazem ρ(x, a).

3.2. Pozorování.(a) Posloupnost nemusí mít nutn¥ limitu. Pokud ji ale má, je ur£ena jednozna£n¥.(b) Má-li posloupnost limitu a, má i kaºdá její podposloupnost limitu a.(c) Limita sou£tu je sou£et limit. Jestliºe x(k) → x a λk jsou reálná £ísla, λk → λ , pak λkx(k) → λx.

Jestliºe x(k) → x a y(k) → y, potom x(k) · y(k) → x · y.(d) limk→∞ x(k) = x, práv¥ kdyº pro v²echna i = 1, . . . , d platí limk→∞ x

(k)i = xi, tj. posloupnost má

limitu po sou°adnicích.

V dal²ím se budeme zabývat chováním zobrazení (funkcí) více prom¥nných. Nech´ n, d ∈ N a Ω ⊂ Rn.Zobrazení f : Ω → Rd se také nazývá vektorová funkce nebo vektorové pole. Pro d = 1 °íkáme £ast¥jifunkce, m·ºeme pouºívat i skalární funkce £i skalární pole.

3.3. Definice (Limita funkce). Nech´ Ω ⊂ Rn a a ∈ Rn. Nech´ f : Ω → Rd je zobrazení a M ⊂ Ω.ekneme, ºe zobrazení f má v bod¥ a limitu L ∈ Rd vzhledem k mnoºin¥ M , pí²eme

limx→ax∈M

f(x) = L,

jestliºe je spln¥no:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈M[0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε

].

Obecn¥ji, podmínku M ⊂ Ω lze oslabit na existuje redukované okolí U bodu a tak, ºe M ∩U ⊂ Ω, pakv denici je t°eba psát ∀ x ∈M ∩ Ω.

Vsuvku vzhledem k mnoºin¥M vynecháváme, jestliºe Ω je aspo¬ redukované okolí bodu a aM = Ω.Pak také zna£íme jednodu²e lim

x→af(x).

Pojem limity lze zobecnit na zobrazení mezi metrickými prostory (X, ρX) a (Y, ρY ), výrazy |x− a|,|f(x)− L| v tom p°ípad¥ nahrazujeme ρX(x, a), ρY (f(x), L).

3.4. Pozorování.(a) Zobrazení nemusí mít nutn¥ limitu. Pokud ji ale má, je ur£ena jednozna£n¥ ... za p°edpokladu, ºe

M protíná kaºdé redukované okolí a.(b) Má-li zobrazení limitu L vzhledem k M , má ji i vzhledem ke kaºdé M ′ ⊂M .(c) Limita sou£tu je sou£et limit. Limita sou£inu je sou£in limit (pro d = 1 nebo skalární sou£in).(d) limx→a f(x) = L, práv¥ kdyº pro v²echna i = 1, . . . , d platí limk→∞ fi(x) = Li, tj. zobrazení má

limitu po sou°adnicích.(e) Jestliºe g : Ω → R má limitu 0 v bod¥ a vzhledem k M a f : Ω → Rd, |f | ≤ g na pr·niku M s

redukovaným okolím a, pak f má limitu 0 v bod¥ a vzhledem k M .

3.5. Heineho v¥ta. Zobrazení f : Ω → Rd má v a ∈ Rn limitu L vzhledem k M ⊂ Ω, práv¥ kdyºpro kaºdou posloupnost x(k)∞k=1 bod· mnoºiny M \ a platí

x(k) → a =⇒ f(x(k))→ L.

3.6. Poznámka. Heineho v¥ta je p°esným vyjád°ením intuitivního popisu limity kdyº x jde k a,tak f(x) jde k L.

3.7. Definice (Spojitost). ekneme, ºe zobrazení f : Ω → Rd je spojité v bod¥ a ∈ Ω vzhledemk M ⊂ Ω, jestliºe

limx→ax∈M

f(x) = f(a).

Obecn¥ji, podmínku M ⊂ Ω lze oslabit na existuje okolí U bodu a tak, ºe M ∩ U ⊂ Ω.

9

Vsuvku vzhledem k M vynecháváme, je-li Ω okolí a a M = Ω. ekneme, ºe zobrazení f je spojiténa Ω, jestliºe f je spojité v kaºdém bod¥ Ω vzhledem k Ω; v tom p°ípad¥ nepoºadujeme, aby Ω bylookolí svých bod·.

3.8. Poznámka. Podle na²í denice je nap°. funkce spojitá na uzav°eném intervalu 〈a, b〉, pokud jespojitá v kaºdém vnit°ním bod¥ oboustrann¥, v bod¥ a zprava a v bod¥ b zleva. Uvaºujte Dirichletovufunkci D : R→ R, která p°i°adí kaºdému racionálnímu £íslu x hodnotu 1 a kaºdému iracionálnímu £íslux hodnotu 0. Potom D je spojitá na mnoºin¥ Q v²ech racionálních £ísel, ale není spojitá v ºádném bod¥mnoºiny Q. To proto, ºe spojitost na mnoºin¥ se rozumí vzhledem k této mnoºin¥, ale spojitost v bod¥se rozumí vzhledem k okolí.

3.9. Pozorování.(a) Sou£et nebo sou£in spojitých funkcí je spojitá funkce.(b) Zobrazení je spojité, práv¥ kdyº je spojité po sou°adnicích.(c) Funkce, která bodu x p°i°adí jeho i-tou sou°adnici xi, je spojitá.(d) Funkce x 7→ |x| je spojitá.(e) Jestliºe f : Ω → Rd má v a limitu L, E ⊂ Rd obsahuje f(Ω) ∪ L a g je funkce spojitá na E, pak

sloºená funkce g f má v a limitu g(L).

3.10. Poznámka. Podle pozorování 3.9(c) platí nap°íklad toto: Jestliºe f je nezáporná funkce na Ω

a limx→a

f(x) = L, pak limx→a

√f(x) =

√L.

3.11. Metodika po£ítání limit funkcí více prom¥nných. Po£ítáme-li limitu

limx→a

f(x),

kde f je funkce dvou prom¥nných denovaná na redukovaném okolí a, zkusíme nejprve spo£ítat limitufunkce jedné prom¥nné

L∗ = limx1→a1

f(x1, a2),

která je totéº jakolimx→ax∈M∗

f(x) pro M∗ = x : x2 = a2.

Pokud tato limita neexistuje, nem·ºe ani existovat zadaná limita. Pokud limita L∗ existuje, máme dv¥moºnosti. Chceme-li dokázat, ºe f má v a limitu L = L∗, snaºíme se odhadnout |f − L| funkcí g, o níºvíme, ºe má v a limitu 0. Nap°íklad pro limitu

limx→0

f(x), f(x) =x1x

22

x21 + x2

2

najdeme odhadf(x) ≤ |x2| ≤ |x|

a pouºijeme znalost, ºe limx→0|x| = 0.

Pokud naopak chceme dokázat, ºe funkce nemá limitu, zkusíme najít mnoºinu M tak, ºe

limx→ax∈M

f(x) 6= L∗ (nebo neexistuje).

Také se m·ºe stát, ºe funkce má limitu nekone£no (zkuste denovat!) Pak samoz°ejm¥ nemá ºádnoulimitu L ∈ R.

4. Kontrolní otázky

4.1. Cvi£ení. Denujte na R2 operaci

(x, y) 7→ x1y1 + 2x2y2

a ukaºte, ºe spl¬uje axiomy skalárního sou£inu.

4.2. Cvi£ení. Uvaºujte na R2 normy

|x|1 = |x1|+ |x2|,|x|∞ = max|x1|, |x2|

(a) Ov¥°te axiomy normy.

10

(b) Srovnávejte s eukleidovskou normou |x| i navzájem a pokuste se ur£it p°esnou konstantu. Nap°.

|x|1 ≤√

2 |x|(c) Jaký tvar mají koule?(d) Spl¬uje operace (x, y) 7→ 1

2 (|x+ y|2p− |x|2p− |y|2p) axiomy skalárního sou£inu pro p = 1, resp. p =∞?

4.3. Cvi£ení. Denujte na R2 vzdálenost ρs bod· jako délku nejkrat²í lomené £áry, která je spojujea je sloºena jen z úse£ek, které sm¥°ují do pevného bodu a. Ukaºte, ºe tato vzdálenost spl¬uje axiomymetrického prostoru ale vzdálenost od po£átku nespl¬uje vlastnosti normy. Výjimku tvo°í volba a = 0,kdy vzdálenost od po£átku je norma, ale neplatí obecn¥ vztah ρs(x, y) = ‖y − x‖.

4.4. Otázka. Které veli£iny z reálného sv¥ta krom¥ eukleidovské vzdálenosti p°ipomínají svýmivlastnostmi metriku? (Cena ºelezni£ní jízdenky, geodetická vzdálenost, vzdálenost beroucí v úvahu sí´cest £i prostupnost terénu.) Vzdálenost musí být symetrická, takºe modely beroucí v úvahu námahu p°istoupání do kopce nevedou k metrice.

4.5. Otázka. Vymyslete si sv·j vlastní metrický prostor.

4.6. Otázka. Nakreslete schéma, které srovnává podle obecnosti následující struktury: lineární pro-stor, NLP, geometrický prostor, Rn, metrický prostor, unitární prostor, anní prostor.

4.7. Cvi£ení. Najd¥te deni£ní obor funkce x 7→√x1 − x2 a zd·vodn¥te její spojitost.

4.8. Cvi£ení. Pro£ jsou následující funkce nespojité?(a)

f(x) =

1, x1 > 0,

0, x1 ≤ 0.

(b)

f(x) =

x1

|x| , x 6= 0,

0, x = 0.

11

KAPITOLA 2

Diferenciální po£et funkcí více prom¥nných

1. Derivace

1.1. Definice (Lineární zobrazení, lineární forma, duál). Nech´ X,Y jsou lineární prostory. P°ipo-me¬me, ºe zobrazení T : X → Y se nazývá lineární, jestliºe pro v²echna x, y ∈ X, λ ∈ R platí(1) T (x+ y) = Tx+ Ty,(2) T (λx) = λTx.Pokud cílový prostor je R, lineární zobrazení ϕ : X → R se nazývá lineární forma nebo lineární funkcionál(druhému z termín· dáváme p°ednost v nekone£né dimenzi). V kone£né dimenzi zna£íme L(X,Y ) lineárníprostor v²ech lineárních zobrazení X do Y a X∗ je lineární prostor v²ech lineárních forem na X. ProstorX∗ se nazývá duál k X. Pokud prostor X je nekone£n¥ rozm¥rný, vyºadujeme na X a Y strukturu NLPa symbol L(X,Y ) se rezervuje pro prostor v²ech spojitých lineárních zobrazení X do Y . Podobná úmluvaplatí i pro duál X∗. Zatím se v²ak budeme v¥novat jen kone£n¥rozm¥rným prostor·m.

1.2. Zna£ení. Vektory kanonické báze prostoru Rn budeme zna£it ei, i = 1, . . . , n. Tedy e1 =[1, 0, . . . , 0], e2 = [0, 1, 0, . . . , 0],. . . , en = [0, . . . , 0, 1]. Prostor v²ech matic o d °ádcích a n sloupcíchbudeme zna£it Rd×n. Speciáln¥ pro d = 1 dostáváme (Rn)∗, prostor v²ech vodorovných n-rozm¥rnýchvektor·. Poznamenejme, ºe prostor (Rn)∗ je skute£n¥ duál k Rn ve smyslu p°edchozí denice. Totiº,jestliºe (a1, . . . , an) ∈ (Rn)∗, potom

x 7→n∑i=1

aixi, x ∈ Rn

je lineární forma na Rn a obrácen¥, kaºdá lineární forma na Rn se dá takovým zp·sobem vyjád°it.Podobn¥, je-li A ∈ Rd×n, potom

x 7→ Ax, x ∈ Rn

je lineární zobrazení Rn do Rd a obrácen¥, kaºdé lineární zobrazení Rn do Rd lze takto reprezentovat n¥-jakou maticí A ∈ Rd×n. Nebude-li hrozit nedorozum¥ní, nebudeme rozli²ovat mezi lineárním zobrazeníma jeho maticí.

1.3. Definice (Derivace). Nech´ Ω je okolí bodu x a f : Ω→ Rd je zobrazení.(a) Prvek b ∈ Rd nazveme parciální derivací f v bod¥ x podle i-té prom¥nné a zna£íme Dif(x) nebo

∂f∂xi

(x), jestliºe b je oby£ejná derivace v xi zobrazení

s 7→ f(x1, . . . , xi−1, s, xi+1, . . . , xn).

Tedy

Dif(x) = limt→0

f(x+ tei)− f(x)

t.

(b) Nech´ v ∈ Rn je vektor. Prvek b ∈ Rd nazveme derivací f v bod¥ x ve sm¥ru v a zna£íme Dvf(x),jestliºe b je oby£ejná derivace v nule zobrazení

t 7→ f(x+ tv).

Tedy

Dvf(x) = limt→0

f(x+ tv)− f(x)

t.

(Parciální derivace podle i-té prom¥nné je tedy derivace ve sm¥ru ei.)(c) Prvek A ∈ Rd×n nazveme totálním diferenciálem f v bod¥ x a zna£íme f ′(x), jestliºe

limh→0

f(x+ h)− f(x)−Ah|h|

= 0.

13

V této denici jde o limitu funkcí více prom¥nných, protoºe h ∈ Rn. ekneme, ºe funkce f jediferencovatelná v bod¥ x, jestliºe má v x totální diferenciál.

1.4. Dal²í terminologie a zna£ení. Totální diferenciál se také nazývá derivace, silná derivacenebo Fréchetova derivace. P°esn¥ji m·ºeme rozli²ovat, ºe derivace je lineární zobrazení a totální dife-renciál je matice, která toto zobrazení reprezentuje. Pro d = 1 je totální diferenciál vodorovný vektor,zatímco v¥t²inou pracujeme s prostorem svislých vektor· Vodorovný vektor m·ºeme postavit operacítranspozice. Transponovaný totální diferenciál funkce f v bod¥ x se nazývá gradient a zna£í ∇f(x).

1.5. Pozorování. Nech´ f je diferencovatelná v bod¥ x. Potom f je diferencovatelná ve v²ech sm¥-rech, totiº pro v ∈ Rn je f ′(x)v (maticový sou£in) derivace f ve sm¥ru v. Speciáln¥, f má v²echnyparciální derivace v bod¥ x a Dif(x) je i-tý sloupec matice f ′(x) (resp. pro d = 1 je to i-tá sou°adnicevodorovného vektoru f ′(x)). Tedy Dif(x) = f ′(x)ei.

1.6. Pozorování. Pro derivování skalární funkce f : Ω→ R platí vzorce

(1) Di(f + g) = Dif +Dig,(2) Di(λf) = λDif ,(3) Di(fg) = fDig + gDif .

1.7. V¥ta. Nech´ Ω je okolí bodu a ∈ Rn. Nech´ f : Ω→ R má v bod¥ a totální diferenciál. Pak f jespojitá v a.

1.8. V¥ta. Nech´ Ω je okolí bodu a ∈ Rn. Nech´ f : Ω → R má v bod¥ a spojité parciální derivace.Pak f má v a totální diferenciál.

1.9. P°íklady. Funkce f(x) = x1x2

|x|2 dodenovaná nulou v po£átku má v nule parciální derivace, alenení v nule spojitá a nemá tam totální diferenciál. Funkce

f(x) =

x2

2, x1 > 0,

0, x1 ≤ 0

má v nule totální diferenciál, ale není spojitá na ºádném okolí nuly a na ºádném okolí nuly nemá parciálníderivace. (Tyto výroky je t°eba chápat následovn¥: pro kaºdé okolí nuly U platí, ºe není pravda, ºe byf byla spojitá na U). Funkce f(x) = |x| je spojitá v nule, ale nemá tam parciální derivace. Funkcef(x) =

x1x32

x21+x6

2dodenovaná nulou v po£átku má v nule v²echny derivace ve sm¥ru nulové, p°esto nemá

v nule totální diferenciál a není tam spojitá. Funkce f(x) =x1x

32

x21+x4

2dodenovaná nulou v po£átku má

v nule v²echny derivace ve sm¥ru nulové a je tam spojitá, p°esto nemá v nule totální diferenciál.

1.10. V¥ta (O derivování sloºené funkce neboli etízkové pravidlo). Nech´ Ω ⊂ Rn je okolí x ∈ Rn,f : Ω → Rd má v x totální diferenciál A, U ⊂ Rd je okolí bodu y = f(x) a g : U → Rm má v y totálnídiferenciál B. Potom sloºené zobrazení g f má v x totální diferenciál BA (maticový sou£in). Speciáln¥,pro kaºdé i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n platí

∂(gi f)

∂xj(x) =

d∑k=1

∂gi∂yk

(y)∂fk∂xj

(x).

2. Derivace vy²²ích °ád·

Derivace vy²²ích °ád· získáme podobn¥ jako v jednorozm¥rném p°ípad¥ iterováním derivací prvního°ádu. Nap°. DiDjf(a) denujeme jako Dig, kde funkce g je Djf . Aby DiDjf(a) mohla mít smysl, jenutné, aby Djf(x) m¥la smysl na okolí bodu a. Zna£íme také nap°.

∂2f

∂xi∂xj(x) = DiDjf(x).

Exponent 2 u horního derivátka zna£í, ºe jde o derivaci druhého °ádu. Za rozumných p°edpoklad· m·ºemezam¥nit po°adí derivování.

2.1. V¥ta (o zám¥nnosti parciálních derivací). Nech´ Ω je okolí bodu a ∈ Rn a f : Ω → R má v Ωparciální derivace Dif , Djf , DiDjf . Jestliºe DiDjf je spojitá v a, potom DjDif(a) existuje a

DjDif(a) = DiDif(a).

14

2.2. P°íklad. Uvaºujme funkci f(x) =x1x

32

|x|2 dodenovanou v po£átku nulou. Máme

∂f

∂x1(0, x2) = x2,

∂2f

∂x2∂x1(0, 0) = 1,

∂f

∂x2(x1, 0) = 0,

∂f2

∂x1∂x2(0, 0) = 0.

2.3. Definice. Nech´ funkce f je denovaná na okolí Ω bodu a a p je polynom. ekneme, ºe p jeTaylor·v polynom stupn¥ k funkce f v bod¥ a, jestliºe p je polynom stupn¥ k a

limx→a

f(x)− p(x)

|x− a|k= 0.

Funkce f m·ºe mít v bod¥ a nejvý²e jeden Taylor·v polynom stupn¥ k.

2.4. V¥ta (Taylorova). Nech´ Ω je okolí bodu a ∈ Rn a f : Ω→ R má v a spojité parciální derivaceaº do °ádu k. Potom

f(a) +

n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai) + · · ·+ 1

k!

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)(xi1 − ai1) . . . (xik − aik)

je Taylor·v polynom f v bod¥ a.

3. Inverzní zobrazení a implicitní funkce

Uvaºujme zobrazení f : Ω → Rd, kde Ω ⊂ Rn je otev°ená mnoºina. Místo f má spojité parciálníderivace budeme °íkat jak je zvykem f je spojit¥ diferencovatelná. P°ipome¬me, ºe podle v¥ty 1.8 odtudvyplývá, ºe f má v²ude totální diferenciál a ten také spojit¥ závisí na x, nebo´ jeho sou°adnice jsouony parciální derivace.

3.1.Definice (Jacobiho matice, jakobián). Uvaºujme zobrazení f : Ω→ Rd, kde Ω ⊂ Rn je otev°enámnoºina. Matice, která reprezentuje derivaci f ′(x) se nazývá Jacobiho matice. Je to matice

f ′(x) =

∂f1∂x1

(x), . . . , ∂f1∂xn

(x)

. . .∂fd∂x1

(x), . . . , ∂fd∂xn

(x)

V prvé £ásti kapitoly se budeme zabývat p°ípadem n = d. Pak je Jacobiho matice £tvercová a jejídeterminant se nazývá jakobián. Jakobián funkce f v bod¥ x se zna£í Jf(x). Tedy

Jf(x) = det f ′(x).

Poznat, zda daná funkce je invertibilní, není lehké. Následující v¥ta dává v n¥kterých situacích uspoko-jivou odpov¥¤ lokáln¥.

3.2. V¥ta (o inverzním zobrazení). Nech´ Ω ⊂ Rn je otev°ená mnoºina a a ∈ Ω. Nech´ f : Ω →Rn je spojit¥ diferencovatelné zobrazení. Nech´ Jf(a) 6= 0. Potom existuje otev°ené okolí U bodu a aotev°ené okolí V bodu f(a) tak, ºe f je bijekce U na V , inverzní zobrazení g = f−1 : V → U je spojit¥diferencovatelné a platí vzorec

g′(y) =(f ′(g(y))

)−1, y ∈ V, neboli

g′(f(x)) =(f ′(x)

)−1, x ∈ U ;

symbol(f ′(x)

)−1znamená inverzní matici k f ′(x).

V dal²í £ásti se budeme zabývat funkcemi, které jsou zadané implicitn¥, tedy není dán funk£ní p°edpis,ale vztah mezi prom¥nnými x a y, který by mohl umoº¬ovat vyjád°ení y jako funkce prom¥nné x. Situaci,kdy je to aspo¬ lokáln¥ moºné, nám m·ºe pomoci poznat následující v¥ta. Je-li Φ zobrazení o dvou (obecn¥vícerozm¥rných) prom¥nných, zna£íme Φ(·, y) zobrazení o jedné prom¥nné x, které vznikne zaxovánímprvní prom¥nné na hodnot¥ y a Φ(x, ·) zobrazení o jedné prom¥nné y, které vznikne zaxováním prvníprom¥nné na hodnot¥ x; tedy

Φ(·, y)(x) = Φ(x, ·)(y) = Φ(x, y).

Derivace Φ(·, y)′, Φ(x, ·)′ jsou pak parciální derivace, ale podle obecn¥ vícerozm¥rných prom¥nných, tj.

Φ(·, y)′(x) =∂Φ

∂x(x, y), Φ(x, ·)′(y) =

∂Φ

∂y(x, y).

15

3.3. V¥ta (o implicitních funkcích). Nech´ Ω ⊂ Rn × Rd je otev°ená mnoºina a [a, b] ∈ Ω. Nech´Φ : Ω→ Rd je spojit¥ diferencovatelné zobrazení. Nech´ Φ(a, b) = 0 a

(3) JΦ(a, ·)(b) 6= 0

Potom existuje otev°ené okolí U bodu a, otev°ené okolí V bodu b a funkce f : U → V tak, ºe platí

∀ x ∈ U ∀y ∈ V : Φ(x, y) = 0 ⇐⇒ y = f(x).

Funkce f je spojit¥ diferencovatelná a platí vzorec

(4) f ′(x) = −(

Φ(x, ·)′(y))−1

Φ′(·, y)(x).

(jde o invertování matice a sou£in matic).

3.4. Poznámka. Pokud d = 1, tedy prom¥nná y je jednorozm¥rná, pak se klí£ový p°edpoklad (3)zjednodu²uje na

∂Φ

∂y(a, b) 6= 0

a vzorec (4) na∂f

∂xi(x) = −

∂Φ∂xi

(x, y)∂Φ∂y (x, y)

.

4. Implicitní variety

P°ipome¬me se nejd°íve následující fakt: uvaºujme v Rd soustavu d−n (homogenních) lineárníchrovnic. Nech´ matice soustavy má hodnost d−n. Potom mnoºina v²ech °e²ení je lineární prostor dimenzen. Nelineární analogie vede k denici zak°ivené n-rozm¥rné plochy dimenze n. Termín plocha je v²akv analýze natolik pouºíván v r·zných významech, ºe je n¥kdy lépe se mu vyhnout. Proto budeme rad¥jipouºívat název varieta.

4.1. Definice (Implicitní varieta). Nech´ U ⊂ Rd je otev°ená mnoºina, 0 ≤ n ≤ d a g : U → Rd−nje spojit¥ diferencovatelné zobrazení. Nech´ Jacobiho matice g′ má v²ude v U hodnost d−n. Potommnoºina Γ = x ∈ U : g(x) = 0 se nazývá n-rozm¥rná implicitní varieta zadaná rovnicí (soustavourovnic) g(x) = 0 na U . Nech´ x ∈ Γ. Lineární obal vektor· ∇g1(x), . . . ,∇gd−n(x) se nazývá normálovýprostor k Γ v x a zna£í Nx(Γ), je to lineární prostor dimenze n−d. Jeho ortogonální dopln¥k se nazýváte£ný prostor k Γ v x a zna£í Tx(Γ), je to lineární prostor dimenze n. Tedy

Tx(Γ) =u ∈ Rd : ∇g1(x) · u = 0, . . . ,∇gd−n(x) · u = 0

Te£ný ani normálový prostor nezávisejí na konkrétní podob¥ soustavy rovnic která ur£uje Γ, ale pouzena této mnoºin¥ samotné.

4.2.Definice (Parametrizace, k°ivo£aré sou°adnice). Nech´ Γ ⊂ Rd je n-rozm¥rná implicitní varieta.Zobrazení ϕ : G→ Rd se nazývá parametrizace Γ, jestliºe G ⊂ Rn je otev°ená mnoºina, ϕ : G :→ Rd jeprosté spojit¥ diferencovatelné zobrazení, Jacobiho matice ϕ′ má v²ude v G hodnost n a ϕ(G) = Γ.

Nahradíme-li podmínku ϕ(G) = Γ slab²ím ϕ(G) ⊂ Γ, mluvíme o lokální parametrizaci. Nech´ t =[t1, . . . , tn] ∈ G. Veli£iny t1, . . . , tn m·ºeme chápat jako k°ivo£aré sou°adnice bodu ϕ(t) ∈ Γ. Mluvito k°ivo£arých sou°adnicích má smysl i v mezním p°ípad¥ n = d. Zobrazení, které bodu p°i°adí jehok°ivo£aré sou°adnice, je vlastn¥ inverzní zobrazení k ϕ.

4.3. V¥ta. Nech´ Γ ⊂ Rd je n-rozm¥rná implicitní varieta a x ∈ Γ. Potom existuje lokální para-metrizace ϕ : G → Rd variety Γ a t ∈ G tak, ºe ϕ(t) = x. Dále platí, ºe prostor Tx(Γ) je generovanýbází ( ∂ϕ

∂t1(t), . . .

∂ϕ

∂tn(t))

a

Nx(Γ) =v ∈ Rd :

∂ϕ

∂t1(t) · v = 0, . . . ,

∂ϕ

∂t1(t) · v = 0

4.4. V¥ta. Nech´ G ⊂ Rn je otev°ená mnoºina a ϕ : G → Rd je spojit¥ diferencovatelné zobrazení.

Nech´ a ∈ G a Jacobiho matice ϕ′(a) má hodnost n. Potom existuje otev°ené okolí G′ ⊂ G bodu a tak,ºe ϕ(G′) je n-rozm¥rná implicitní varieta v Rd a ϕ : G′ → Rd je její parametrizace.

16

KAPITOLA 3

Extrémy funkcí více prom¥nných

1. Lokální extrémy

1.1. Definice (Extrémy, stacionární bod). Nech´ Ω ⊂ Rn je okolí bodu a a f : Ω → R je funkce.ekneme, ºe f má v a lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe f(x) ≥ f(a) pro v²echnax ∈ U . ekneme, ºe f má v a ostré lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe f(x) > f(a)pro v²echna x ∈ U r·zná od a. Podobn¥ denujeme lokální minimum a ostré lokální minimum, pouzezm¥níme orientaci nerovnosti. (Ostrý) lokální extrém je (ostré) lokální minimum nebo (ostré) lokálnímaximum. ekneme, ºe funkce f má v a stacionární bod (také se °íká kritický nebo singulární), jestliºef ′(a) = 0.

1.2. V¥ta (Eulerova nutná podmínka). Nech´ funkce f má v bod¥ a lokální extrém. Potom

(a) v²echny parciální (£i sm¥rové) derivace, které existují, jsou nulové,(b) pokud je f v a diferencovatelná, pak a je stacionární bod f .

1.3. Definice (Kvadratické formy a jejich klasikace). Bilineární forma na lineárním prostoru X jezobrazení A : X ×X → R, které je lineární v kaºdé prom¥nné. Kvadratická forma na lineárním prostoruX je zobrazení Φ : X → R, které vznikne z n¥jaké bilineární formy p°edpisem Φ(x) = A(x, x). Je-liA ∈ Rn×n matice, pak zobrazení

(x, y) 7→ Ax · y =

n∑i,j=1

aijxjyi

je bilineární forma na Rn a obrácen¥, kaºdou bilineární formu na Rn lze reprezentovat tímto zp·sobem.Pokud pouºijeme A pouze jako kvadratickou formu, tedy

x 7→ Ax · x,

ztráta informace se projeví tím, ºe reprezentující matici m·ºeme volit symetrickou. Pokud nebude hrozitnedorozum¥ní, nebudeme rozli²ovat mezi kvadratickými formami na Rn a symetrickými maticemi n×n.

Kvadratickou formu (symetrickou matici) A ∈ Rn×n nazveme(a) indenitní, jestliºe jako kvadratická forma nabývá kladných i záporných hodnot,(b) pozitivn¥ denitní, jestliºe Ax · x > 0 pro kaºdé x ∈ Rn, x 6= 0,(c) pozitivn¥ semidenitní, jestliºe Ax · x ≥ 0 pro kaºdé x ∈ Rn.Pojmy negativn¥ denitní, negativn¥ semidenitní denujeme analogicky se znaménky <, ≤.

1.4. Poznámka. Nech´ E je jednotková matice. Ko°eny λi charakteristické rovnice det(A−λE) = 0se nazývají vlastní £ísla matice A. Platí: kvadratická forma A je(a) pozitivn¥ semidenitní, práv¥ kdyº v²echna vlastní £ísla jsou nezáporná,(b) pozitivn¥ denitní, prav¥ kdyº v²echna vlastní £ísla jsou kladná,(c) indenitiní, práv¥ kdyº existuje kladné vlastní £íslo a záporné vlastní £íslo.V mnohých p°ípadech se v²ak dá uhodnout chování kvadratické formy. Nap°íklad kvadratická forma,která má na diagonále záporný prvek, nem·ºe být pozitivn¥ semidenitní. Kvadratická forma v dimenzi2 je pozitivn¥ denitní, práv¥ kdyº a11 > 0 a detA > 0.

1.5. Definice (Druhý diferenciál). Nech´ Ω ⊂ Rn je okolí bodu a a funkce f : Ω→ R je diferenco-vatelná v Ω. Potom (p°ípadný) diferenciál funkce ∇f (p°ipome¬me: ∇f = (f ′)T ) v a se nazývá druhýdiferenciál funkce f v a a zna£í f ′′(a). Druhý diferenciál funkce je výhodné brát jako kvadratickou formu.Jestliºe f má v a spojité parciální derivace druhého °ádu, potom má v a gradient

b =[ ∂f∂x1

(a), . . . ,∂f

∂xn(a)],

17

druhý diferenciál

A : h 7→n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(a)hihj

a Taylor·v polynom druhého °ádu

p(x) = f(a) + b · (x− a) + 12 A(x− a) · (x− a).

Zkoumání extrém· funkce f v bod¥ a lze do jisté míry p°evést na zkoumání extrém· jejího Taylorovapolynomu druhého °ádu v a.

1.6. V¥ta (Lagrangeova nutná podmínka). Nech´ funkce f má v bod¥ a lokální minimum a spojitéparciální derivace druhého °ádu. Potom f ′′(a) je pozitivn¥ semidenitní.

1.7. V¥ta (Lagrangeova posta£ující podmínka). Nech´ funkce f má na okolí bodu a spojité parciálníderivace druhého °ádu a f ′(a) = 0.

(a) Jestliºe f ′′(a) je pozitivn¥ denitní, pak f má v a ostré lokální minimum.(b) Jestliºe f ′′(x) je pozitivn¥ denitní na redukovaném okolí bodu a, pak f má v a ostré lokální minimum.(c) Jestliºe f ′′(x) je pozitivn¥ semidenitní na redukovaném okolí bodu a, pak má f v a lokální minimum.

2. Globální extrémy

2.1. Definice (Otev°ená, uzav°ená mnoºina). ekneme, ºe mnoºina G ⊂ Rn je otev°ená, jestliºe jeokolím kaºdého svého bodu. Dopl¬ky otev°ených mnoºin se nazývají uzav°ené mnoºiny.

2.2. V¥ta. Mnoºina F ⊂ Rn je uzav°ená, práv¥ kdyº pro kaºdou konvergentní posloupnost x(k)prvk· F platí

limkx(k) ∈ F.

2.3. P°íklady.(a) Mnoºiny ∅, Rn jsou otev°ené i uzav°ené.(b) Mnoºiny (0, 1)n, B(0, 1) = x : |x| < 1 jsou otev°ené.(c) Mnoºiny 〈0, 1〉n, x : |x| ≤ 1 jsou uzav°ené.(d) Mnoºina (0, 1〉n není ani otev°ená, ani uzxav°ená.(e) Mnoºina v²ech racionálních £ísel v R není ani otev°ená, ani uzxav°ená.

2.4. V¥ta.(a) Jestliºe Fi ∈ Rn jsou uzav°ené a je jich kone£n¥ mnoho, pak

⋃i Fi je uzav°ená.

(b) Jestliºe Gi ∈ Rn jsou otev°ené a je jich kone£n¥ mnoho, pak⋂iGi je otev°ená.

(c) Jestliºe Fi ∈ Rn jsou uzav°ené a je jich by´ nekone£n¥ mnoho, pak⋂i Fi je uzav°ená.

(d) Jestliºe Gi ∈ Rn jsou otev°ené a je jich by´ nekone£n¥ mnoho, pak⋃iGi je otev°ená.

2.5. V¥ta.(a) Jestliºe f je spojitá funkce na uzav°ené mnoºin¥ F a α ∈ R, pak mnoºiny

x ∈ F : f(x) ≥ α, x ∈ F : f(x) ≤ αjsou uzav°ené.

(b) Jestliºe f je spojitá funkce na otev°ené mnoºin¥ G a α ∈ R, pak mnoºiny

x ∈ F : f(x) > α, x ∈ F : f(x) < αjsou otev°ené.

2.6. Definice (Globální extrémy, omezenost). Nech´ M je libovolná mnoºina. ekneme, ºe funkcef : M → R nabývá minima v bod¥ a ∈ M , jestliºe f(x) ≥ f(a) na M . Hodnota f(a) (nikoli bod a)se pak nazývá minimum funkce f na M . Bod a se v této situaci nazývá minimizér. Podobn¥ se denujímaximum, nabývání maxima a maximizér. Maximum a minimum funkce f na M jsou tzv. globálníextrémy, pokud chceme zd·raznit, ºe nejsou jen lokální, °íkám¥ globální minimum (maximum).

ekneme, ºe funkce f : M → R je omezená, jestliºe existuje C ∈ R tak, ºe

|f(x)| ≤ C na M.

ekneme, ºe mnoºina A ⊂ Rn je omezená, jestliºe funkce |x| je omezená na A.

18

2.7. P°íklady. (a) Funkce f(x) = |x| nabývá minima na Rn v bod¥ 0, av²ak nenabývá maxima. Jeneomezená.

(b) Funkce f(x) = arctgx je omezená na R a nenabývá tam maxima ani minima.(c) Rn je neomezená mnoºina, ∅ je omezená mnoºina.(d) Mnoºina x ∈ R2 : |x1|+ |x2| < 1 je omezená.(e) Mnoºina x ∈ R2 : |x1| |x2| < 1 je neomezená.

2.8. V¥ta. Kaºdá omezená posloupnost v Rn má konvergentní podposloupnost.

2.9. V¥ta. Kaºdá spojitá funkce na uzav°ené omezené mnoºin¥ K ⊂ Rn je omezená a nabývámaxima a minima.

2.10. Poznámka. V¥ta 2.9 bývá £asto jedinou rozumnou moºnosti jak ov¥°it, ºe funkce f nabýváglobálního minima na M v bod¥ a. Nap°. funkce f(x) = x3− 3x má v bod¥ 1 jediné lokální minimum naR, ale to není záruka, ºe jde o globální minimum. Ve skute£nosti tato funkce ºádné globální minimumna R nemá. Naopak, uvaºujeme-li stejný funk£ní p°edpis na mnoºin¥ A = (0,∞), m·ºeme postupovatnásledujícím zp·sobem:1. f musí nabývat minima na mnoºin¥ M = 〈0, 2〉, protoºe M je uzav°ená a omezená. Podez°elý bod jea = 1, protoºe je tam f ′(a) = 0. V²imn¥me si, ºe f(a) = −2.

2. Body 0, 2 nemohou být body minima f na M , protoºe je v nich f ≥ 0.3. Body x ∈ (0, 1) ∪ (1, 2) nemohou být body minima f na M , protoºe je v nich f ′ 6= 0.4. Tedy f nabývá minima na M v bod¥ a = 1. Tedy f(x) ≥ f(a) na A ∩M .5. Je-li x > 1, pak x2 > 3, tedy f(x) = x(x2 − 3) > 0 > f(a). Tedy f(x) ≥ f(a) na A \M .6. Záv¥r: f(x) ≥ f(a) na A, f nabývá minima na A v a.

3. Vázané extrémy

V této kapitole budeme vy²et°ovat extrémy funkce více prom¥nných vzhledem k mnoºin¥ M ⊂ Rn.V situaci, kterou budeme vy²et°ovat, bude zadaná soustavou nelineárních algebraických rovnic, p·jdetedy o implicitní varietu.

3.1. Definice. Nech´ Ω,M ⊂ Rn. ekneme, ºe funkce f : Ω → R nabývá na M lokálního minimav bod¥ a ∈ M ∩ Ω, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe U ∩M ⊂ Ω a pro v²echna x ∈ U ∩M platíf(x) ≥ f(a). Podobn¥ se denuje lokální maximum na mnoºin¥. Mnoºin¥ M , vzhledem k níº extrémyvy²et°ujeme se °íká vazba, proto mluvíme o vázaných extrémech.

3.2. V¥ta (O Lagrangeových multiplikátorech). Nech´ G ⊂ Rn je otev°ená mnoºina a M ⊂ G je(n− k)-rozm¥rná implicitní varieta. Nech´ funkce f : G→ R nabývá lokálního minima na M v bod¥ a aje v bod¥ a diferencovatelná. Potom

(5) ∇f(a) ∈ Na(M).

Jinými slovy lze (5) vyjád°it takto: Je-li M zadaná soustavou rovnic g1(x) = · · · = gk(x) = 0, kde gjjsou spojit¥ diferencovatelné a Jacobiho matice g′(a) má hodnost k, potom existují λ1, . . . , λk ∈ R (tzv.Lagrangeovy multiplikátory) tak, ºe

∇f(a) =

k∑j=1

λj∇gi(a).

3.3. Poznámka. Prakticky se bod a, v n¥mº se nabývá lokálního minima nebo maxima naM , hledájako °e²ení soustavy n+k nelineárních algebraických rovnic o n+k neznámých x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk.První skupinu rovnic tvo°í n-tice

∂f

∂xi(x) =

k∑j=1

λj∂gj∂xi

(x), i = 1, . . . , n.

Druhou skupinu rovnic tvo°í k-ticeg1(x) = 0, . . . , gk(x) = 0.

3.4. Poznámka. Máme dv¥ metody hledání vázaných extrém·: lokální parametrizace a Lagrangeovymultiplikátory. V obou p°íkladech nám mohou zbýt body, na které metoda nedosáhne, a tudíº se musíaspo¬ do£asn¥ pojmout jako podez°elé. Obraz p°i lokální parametrizaci nemusí pojmout celou vazebnímnoºinu. P°i metod¥ multiplikátor· zase se mohou objevit nap°. body, kde Jacobiho matice g′(x) mámen²í hodnost neº k.

19

KAPITOLA 4

Pokro£ilý integrální po£et

1. Riemann·v integrál

P°i studiu integrálního po£tu si musíme dob°e rozmyslet, kterou denici integrálu se budeme u£it.Riemannova denice je pon¥kud elementárn¥j²í a krom¥ didaktického má i historický význam. Pokud sev²ak chceme matematikou zabývat váºn¥ji, m·ºeme narazit na to, ºe nám Riemannova denice nebudesta£it. Profesionální denice integrálu je Lebesgueova. Pokud se rozhodneme pro Lebesgue·v integrál,Riemannovu denici nepot°ebujeme.

1.1. Definice (Interval). Mnoºina I ⊂ R, která zaujímá jeden z tvar· (a, b), 〈a, b), (a, b〉, 〈a, b〉, kde−∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, se nazývá (jednorozm¥rný) interval. V prostoru Rn denujeme (n-rozm¥rný) intervaljako kartézský sou£in jednorozm¥rných interval·. Systém v²ech omezených n-rozm¥rných interval· v Rnzna£íme I = In.

1.2. Definice (Elementární délka a objem). Na I1 denujeme mnoºinovou funkci délka intervalup°edpisem

(6) `1(I) = b− a, I ∈〈a, b〉, 〈a, b), (a, b〉, (a, b)

Na In denujeme mnoºinovou funkce elementární objem p°edpisem

`n(I1 × · · · × In) = `1(I1) . . . `1(In).

1.3. Definice (D¥lení). Mnoºina D jednorozm¥rných interval· se nazývá d¥lení intervalu [a, b],jestliºe existují t0, . . . , tm ∈ R tak, ºe

a = t0 < t1 < · · · < tm = b

aD = [t0, t1], [t1, t2], . . . [tm−1, tm].

Mnoºina D n-rozm¥rných interval· se nazývá d¥lením intervalu [a1, b1] × · · · × [an, bn], jestliºe existujíjednorozm¥rná d¥lení Di interval· [ai, bi], i = 1, . . . , n, tak, ºe

D = I1 × · · · × In : (I1, . . . , In) ∈ D1 × · · · ×Dn.Tedy nap°íklad máme-li jednorozm¥rná d¥lení

D1 = [s0, s1], [s1, s2], . . . [sp−1, sp],D2 = [t0, t1], [t1, t2], . . . [tm−1, tm]

jejich vynásobením dostaneme dvourozm¥rné d¥lení

D =

[s0, s1]× [t0, t1], [s1, s2]× [t0, t1], . . . [sp−1, sp]× [t0, t1],[s0, s1]× [t1, t2], [s1, s2]× [t1, t2], . . . [sp−1, sp]× [t1, t2],

...[s0, s1]× [tm−1, tm], [s1, s2]× [tm−1, tm], . . . [sp−1, sp]× [tm−1, tm].

Mnoºinu v²ech d¥lení intervalu Q budeme zna£it ∆(Q), p°i£emº dimenze bude jasná z kontextu.

1.4. Definice (Dolní a horní sou£et, dolní a horní integrál). Nech´ Q ⊂ Rn je omezený interval a fje funkce na Q. Je-li D ∈ ∆(Q), pak p°íslu²ný dolní riemannovský sou£et k funkci f bude

s(f,D) :=∑

I∈D, I⊂Ω

`(I) infx∈I

f(x),

horní riemannovský sou£et k funkci f bude

S(f,D) :=∑

I∈D, I⊂Ω

`(I) supx∈I

f(x),

21

Denujeme

(7)

(R)

∫Q

f(x) dx := supD∈∆(Q)

s(f,D) (dolní Riemann·v integrál),

(R)

∫Q

f(x) dx := infD∈∆(Q)

S(f,D) (horní Riemann·v integrál),

1.5. Definice (Riemann·v integrál). Nech´ M ⊂ Rn je omezená mnoºina a f : M → R je funkce.Najdeme takový omezený uzav°ený interval Q, ºeM ⊂ Q (lze ukázat, ºe na jeho volb¥ v dal²ím nezáleºí).Poloºme

fM (x) =

f(x), x ∈M,

0, x ∈ Q \M.

Jestliºe

−∞ < (R)

∫Q

fM (x) dx = (R)

∫Q

fM (x) dx <∞,

pak °ekneme, ºe funkce f je riemannovsky integrovatelná a spole£nou hodnotu nazýváme Riemannovýmintegrálem funkce f p°es M a zna£íme

(R)

∫M

f(x) dx.

Speciáln¥ £íslo

(R)

∫M

1 dx

se nazývá objem mnoºiny M , p°esn¥ji Jordan-Pean·v objem.

1.6. V¥ta. Nech´ M ⊂ Rn je uzav°ená a omezená a funkce f : M → R je spojitá. Potom f jeriemannovsky integrovatelná p°es M .

1.7. Poznámka. Kaºdá riemannovsky integrovatelná funkce je omezená. Pokud (by´ omezená)funkce je hodn¥ nespojitá, pak riemannovsky integrovatelná není. Také existují omezené mnoºiny, kterénemají Jordan-Pean·v objem. Integrály∫ 1

0

dx√x

= 2,

∫ ∞0

e−x dx = 1

jsou mimo sféru p·sobnosti neupraveného Riemannova integrálu (první integrand je neomezený, v druhémp°ípad¥ integrujeme p°es neomezenou mnoºinu).

2. Lebesgue·v integrál

2.1. Definice (Míra). Nech´ E ⊂ Rn je mnoºina. Vn¥j²í míru mnoºiny E denujeme p°edpisem

λ∗(E) = inf ∞∑j=1

`(Qj) : Qj ∈ In, E ⊂⋃j

Qj

Inmum tedy je p°es v²echna pokrytí mnoºiny E n¥jakým spo£etným systémem interval·. Máme-litakové pokrytí, pak p°íslu²ný sou£et objem· nazveme horním sou£tem k λ∗(E). ekneme, ºe mnoºinaE je m¥°itelná, jestliºe pro kaºdý interval Q ⊂ Rn platí

`(Q) = λ∗(Q ∩ E) + λ∗(Q \ E).

Význam tohoto testu je ten, ºe £íslo `(Q) − λ∗(Q \ E) nám dává dolní odhad míry Q ∩ E. Pokud obaodhady jsou náleºit¥ p°esné, m¥ly be se rovnat.

Je-li mnoºina E m¥°itelná, smíme její vn¥j²í míru nazývat prost¥ mírou mnoºiny E. Místo symbol·`(E) (kdyº E je interval), λ∗(E) (kdyº E je libovolná), λ(E) (kdyº E je m¥°itelná) se £asto pouºívá |E|.

2.2. Poznámka. Lze dokázat existenci nem¥°itelné mnoºiny, ale prakticky kaºdá mnoºina je m¥-°itelná. Rozhodn¥ je m¥°itelných mnoºin mnohem víc, neº mnoºin, které mají Jordan-Pean·v objem.

2.3. Definice (M¥°itelná funkce). . Nech´ M ⊂ Rn je m¥°itelná mnoºina. ekneme, ºe funkcef : M → R je m¥°itelná, jestliºe v²echny úrov¬ové mnoºiny

x ∈M : f(x) > c, c ∈ R,jsou m¥°itelné.

22

2.4. V¥ta. Kaºdá otev°ená nebo uzav°ená mnoºina je m¥°itelná. Kaºdá spojitá funkce na m¥°itelnémnoºin¥ je m¥°itelná.

2.5. Definice (Lebesgue·v integrál). . Nech´ M ⊂ Rn je m¥°itelná mnoºina. Kone£ný systém(E1, . . . , Em) m¥°itelných podmnoºin M se nazývá lebesgueovské d¥lení mnoºiny M , jestliºe mnoºiny Eijsou po dvou disjunktní a jejich sjednocení dává M . Nech´ f : M → R je nezáporná m¥°itelná funkce aD = (E1, . . . , Em) je lebesgueovské d¥lení mnoºiny M . Potom £íslo

s(f,D) =

m∑i=1

λ(Ei) infEi

f

nazveme dolní sou£et k∫Mf(x) dx. Supremum v²ech dolních sou£t· k

∫Mf(x) dx nazveme Lebesgueovým

integrálem funkce f , zna£íme∫Mf(x) dx. (P°ipou²tíme i hodnotu +∞.)

Jestliºe m¥°itelná funkce f : M → R nabývá i záporných hodnot, denujeme

(8)∫M

f(x) dx =

∫M

f+(x) dx−∫M

f−(x) dx,

kdef+ = maxf, 0, f− = max−f, 0

jsou kladná, resp. záporná £ást funkce f . Je f+ ≥ 0, f− ≥ 0 a f = f+ − f−, tedy je celkem logickéo£ekávat, ºe bude platit (8). M·ºe se stát, ºe oba integrály na pravé stran¥ (8) jsou ∞. Potom ov²emjejich rozdíl je neur£itý výraz a v takovém p°ípad¥ integrál funkce f p°es M nedenujeme. ekneme, ºefunkce f je integrovatelná, má-li kone£ný Lebesgue·v integrál.

2.6. Poznámky. Mohlo by se zdát, ºe v denici integrálu nezáporné funkce chybí kontrola hor-ními sou£ty. Ta v²ak není zapot°ebí, protoºe m¥°itelnost funkce f dává záruku, ºe dolní sou£ty bubouaproximovat dostate£n¥ p°esn¥.

Situace není symetrická (funkce m·ºe být shora neomezená) a v p°ípadných horní sou£tech bychommusely p°ipustit nekone£n¥ mnoho s£ítanc·, tím by se denice zkomplikovala.

Následující v¥ty (i v dal²í kapitole) jsou formulovány pro Lebesgue·v integrál. Pokud bychom je cht¥lipouºívat pro Riemann·v integrál, museli bychom v²ude navíc p°edpokládat existenci v²ech integrál·,které se v nich vyskytují.

2.7. V¥ta. Nech´ Ω ⊂ Rn je m¥°itelná mnoºina. Nech´ f, g : Ω → R jsou integrovatelné funkce aλ ∈ R. Potom funkce f + g, λf jsou integrovatelné a platí∫

Ω

(f(x) + g(x)) dx =

∫Ω

f(x) dx+

∫Ω

g(x) dx,∫Ω

λf(x) dx = λ

∫Ω

f(x) dx.

2.8. V¥ta. Nech´ Ω ⊂ Rn je mná mnoºina. Nech´ f : Ω→ R je integrovatelná funkce. Potom funkce|f | je integrovatelná.

2.9. V¥ta (Leviho v¥ta). Nech´ Ω ⊂ Rn je m¥°itelná mnoºina. Nech´ f, fk jsou m¥°itelné funkce naΩ,

0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . .a f = lim

k→∞fk. Potom ∫

Ω

f(x) dx = limk→∞

∫Ω

fk(x) dx.

2.10. V¥ta. Nech´ Ω ⊂ Rn je m¥°itelná mnoºina. Jestliºe f a g jsou integrovatelné funkce na Ω af ≤ g, pak

∫Ωf ≤

∫Ωg.

2.11. Definice (Integrovatelná majoranta). Nech F je systém m¥°itelných funkcí na m¥°itelné mno-ºin¥ Ω ⊂ Rn. ekneme, ºe funkce g : Ω→ R je majoranta k F , jestliºe pro v²echna f ∈ F platí |f | ≤ g.Majorantou k jednotlivé funkci f se rozumí majoranta k systému f. Integrovatelná majoranta nezna-mená nic jiného, neº majoranta, která je integrovatelná.

2.12. V¥ta. Nech´ Ω ⊂ Rn je m¥°itelná mnoºina. Jestliºe funkce f : Ω→ R je m¥°itelná a má na Ωintegrovatelnou majorantu, pak je integrovatelná.

23

2.13. V¥ta (Lebesgueova v¥ta). Nech´ f, fj jsou m¥°itelné funkce na m¥°itelné mnoºin¥ Ω ⊂ Rn.Nech´ posloupnost fj má integrovatelnou majorantu a fj → f . Potom f je integrovatelná a∫

Ω

f(x) dx = limj

∫Ω

fj(x) dx.

2.14. V¥ta (Leviho v¥ta pro °ady). Nech´ fj jsou nezáporné m¥°itelné funkce na m¥°itelné mnoºin¥Ω ⊂ Rn. Nech´ °ada funkcí

∑∞j=1 bodov¥ konverguje. Potom∫

Ω

∞∑j=1

fj(x) dx =

∞∑j=1

∫Ω

fj(x) dx.

2.15. V¥ta (Lebesgueova v¥ta pro °ady). Nech´ fj je posloupnost integrovatelných funkcí na m¥-°itelné mnoºin¥ Ω ⊂ Rn a posloupnost sk £áste£ných sou£t· (sk = f1 + · · · + fk) má integrovatelnoumajorantu. Nech´ °ada funkcí

∑∞j=1 bodov¥ konverguje. Potom∫

Ω

∞∑j=1

fj(x) dx =

∞∑j=1

∫Ω

fj(x) dx.

2.16. V¥ta (Zám¥na °ady a integrálu). Nech´ fj je posloupnost integrovatelných funkcí na m¥°i-telné mnoºin¥ Ω ⊂ Rn. Nech´ °ada funkcí

∑∞j=1 bodov¥ konverguje. Jestliºe

∞∑j=1

∫Ω

|fj(x)| dx < +∞,

pak ∫Ω

∞∑j=1

fj(x) dx =

∞∑j=1

∫Ω

fj(x) dx.

2.17. Integrály závislé na parametru. V dal²ím budeme vy²et°ovat chování integrálu, v je-hoº integrandu je dal²í prom¥nná (podle které neintegrujeme), zajímá nás závislost integrálu na tétoprom¥nné, tedy funkce

t 7→∫

Ω

ϕ(t, x) dx.

Je-li ϕ zobrazení o dvou (obecn¥ vícerozm¥rných) prom¥nných, zna£íme ϕ(·, x) zobrazení o jedné pro-m¥nné t, které vznikne zaxováním první prom¥nné na hodnot¥ x a ϕ(t, ·) zobrazení o jedné prom¥nnéx, které vznikne zaxováním první prom¥nné na hodnot¥ t; tedy

ϕ(·, x)(t) = ϕ(t, ·)(x) = ϕ(t, x).

2.18. V¥ta (Integrál závislý na parametru spojitost). Nech´ U ⊂ Rd a Ω ⊂ Rn jsou m¥°itelnémnoºiny. Nech´ ϕ je spojitá funkce prom¥nných t ∈ U a x ∈ Ω. P°edpokládejme, ºe systém funkcí

ϕ(t, ·) : t ∈ Umá integrovatelnou majorantu. Potom funkce f : U → R denovaná p°edpisem

f(t) =

∫Ω

ϕ(t, x) dx

je spojitá na U .

2.19. V¥ta (Integrál závislý na parametru derivace). Nech´ U ⊂ Rd a Ω ⊂ Rn jsou m¥°itelnémnoºiny. Nech´ ϕ je spojitá funkce prom¥nných t ∈ U a x ∈ Ω. P°edpokládejme, ºe ϕ je diferencovatelnápodle prom¥nné t a ∂ϕ

∂t je spojitá na U × Ω. P°edpokládejme, ºe integrály∫Ω

ϕ(t, x) dx

konvergují a ºe systém funkcí ∂ϕ∂t

(t, ·) : t ∈ U

má integrovatelnou majorantu. Potom funkce f : U → R denovaná p°edpisem

f(t) =

∫Ω

ϕ(t, x) dx

24

je diferencovatelná na U a

f ′(t) =

∫Ω

∂ϕ

∂t(t, x) dx.

2.20. Poznámka. Symbolem ∂ϕ∂t zde zna£íme derivaci podle by´ vícerozm¥rné prom¥nné t.

3. Po£ítání jednorozm¥rných integrál·

3.1. Definice (Newton·v integrál). Nech´ funkce f má na intervalu (a, b) primitivní funkci F .ekneme, ºe Newton·v integrál f konverguje, jestliºe F má v krajních bodech kone£né limity

F (a+) := limx→a+

F (x), F (b−) := limx→b−

F (x).

V tom p°ípad¥ £íslo F (b−)− F (a+) nazveme Newtonovým integrálem f od a do b a zna£íme

(N)

∫ b

a

f(x) dx.

Integrálu ve smyslu denice 1.4 budeme °íkat prost¥ integrál.

3.2. V¥ta (Srovnání integrálu a Newtonova integrálu). Nech´ f je spojitá funkce na intervalu (a, b).Potom(a) Jestliºe konverguje Newton·v integrál funkce |f | od a do b, potom konvergují integrál a Newton·v

integrál funkce f od a do b a ∫ b

a

f(x) dx = (N)

∫ b

a

f(x) dx.

(b) Jestliºe diverguje Newton·v integrál k |f | od a do b, potom diverguje i integrál funkce f (by´ by jejíNewton·v integrál konvergoval)

3.3. V¥ta (Limitní srovnávací kritérium). Nech´ f, g jsou spojité funkce na (a, α〉, g > 0.

(a) Jestliºe∫ αag konverguje a

limx→a+

|f(x)|g(x)

<∞,

pak∫ αaf konverguje.

(b) Jestliºe∫ αag diverguje a

limx→a+

|f(x)|g(x)

> 0,

pak∫ αaf diverguje.

3.4. Poznámka (Metodika zji²´ování konvergence integrálu). Jestliºe f je spojitá funkce na (a, b),k ov¥°ení £i vyvrácení konvergence integrálu

∫ baf posta£í zjistit, zda konvergují integrály∫ α

a

f,

∫ b

β

f

pro n¥jakou volbu a < α ≤ β < b, zbylý integrál∫ βαf totiº konverguje vºdy. Konvergenci integrálu

u a zjistíme podle limitního srovnávacího kritéria a konvergenci u b podle jeho zrcadlové verze. Pokudje n¥který z krajních bod· (dejme tomu a) kone£ný a funkce je v n¥m spojitá, není t°eba d¥lit na t°iintervaly, posta£í 〈a, β〉 a 〈β, b). D¥lení na dva intervaly téº sta£í, pokud se spokojíme s α = β.

3.5. P°íklad (Metoda primitivní funkce). Pro t > 0 po£ítejme integrál∫ ∞0

e−tx dx.

Substitucí spo£teme

(N)

∫ ∞0

e−tx dx = (N)

∫ ∞0

e−y

tdy =

1

t.

Jelikoº integrand je nezáporný, takºe podle v¥ty 3.2 máme i pro integrál ve smyslu denice 1.4∫ ∞0

e−tx dx =1

t.

25

3.6. P°íklad (Konvergence). Bu¤ f(x) = e−√x. Zajímá nás konvergence integrálu∫ ∞

0

e−√x dx

V duchu metodiky rozd¥líme na dva integrály, p°es 〈0, 1〉 a p°es 〈1,∞). Na intervalu 〈0, 1〉 je f spojitá aomezená, není problém. Na intervalu 〈1,+∞) srovnáme s funkcí g(x) = 1/x2 a pomocí limitního kritériaov¥°íme konvergenci.

3.7. P°íklad (Konvergence). Bu¤ f(x) = 1−cos xx2 . Zajímá nás konvergence integrálu∫ ∞

0

1− cosx

x2dx.

V duchu metodiky rozd¥líme na dva integrály, p°es (0, 1〉 a p°es 〈1,∞). Jelikoº

limx→0+

f(x) =1

2,

integrál p°es (0, 1〉 konverguje podle limitního srovnávacího kritéria srovnáním s funkcí g(x) ≡ 1. Naintervalu 〈1,+∞) má funkce f integrovatelnou majorantu h(x) = 1/x2 a tudíº je tam f integrovatelná.

3.8. P°íklad (Divergence). Bu¤ f(x) = x−1/2

log x . Zajímá nás konvergence integrálu∫ ∞e

x−1/2

log xdx.

V duchu metodiky rozd¥líme aspo¬ na dva integrály, p°es 〈e, 3〉 a p°es 〈3,∞). Na intervalu 〈3,+∞)srovnáme s funkcí g(x) = x−3/4 a pomocí limitního kritéria ov¥°íme divergenci.

3.9. P°íklad. Bu¤ f(x) = sin xx −

1−cos xx2 . Máme

(N)

∫ ∞0

( sinx

x− 1− cosx

x2

)dx = (N)

∫ ∞0

(1− cosx

x

)′dx = 0,

zatímco ∫ ∞0

∣∣∣ sinxx− 1− cosx

x2

∣∣∣ dx =

∞∑k=1

∫ kπ

(k−1)π

∣∣∣ sinxx− 1− cosx

x2

∣∣∣ dx≥∞∑k=1

∣∣∣∫ kπ

(k−1)π

( sinx

x− 1− cosx

x2

)dx∣∣∣

=

∞∑n=1

4

(2n− 1)π= +∞.

V takových situacích °íkáme, ºe Newton·v integrál f je neabsolutn¥ konvergentní a integrál funkce f (vesmyslu 1.4) pak nemá smysl. V²imn¥me si, ºe f je rovna rozdílu g−h, kde g(x) = sin x

x a h(x) = 1−cos xx2 .

Protoºe h je integrovatelná podle p°íkladu 3.7, musí divergovat i integrál∫ ∞0

sinx

xdx.

3.10. P°íklad (Metoda derivování podle parametru). Z p°íkladu 3.9 vidíme mezi °ádky, ºe

(N)

∫ ∞0

sinx

xdx =

∫ ∞0

1− cosx

x2dx.

Integrál vlevo konverguje jen jako Newton·v, zatímco integrál vpravo je absolutn¥ konvergentní. Zkusmesi jej spo£ítat. Metoda primitivní funkce nevede k cíli. Uvaºujme funkci

f(t) =

∫ ∞0

1− cosx

x2e−tx dx.

Potom f je spojitá na 〈0,∞) (majoranta x−2(1− cosx)) a pro t ∈ (0,∞) je

f ′(t) = −∫ ∞

0

1− cosx

xe−tx dx,

f ′′(t) =

∫ ∞0

(1− cosx) e−tx dx.

26

Zde jiº nem·ºeme najít majorantu najednou pro t ∈ (0,∞), poslouºí

x 7→ 1− cosx

xe−ax,

x 7→ (1− cosx) e−ax

pro t ∈ (a,∞). Metodou Newtonova integrálu spo£teme

f ′′(t) =t

t2− t

t2 + 1=

1

t(t2 + 1).

Jelikoºlimt→∞

f(t) = limt→∞

f ′(t) = 0,

snadno ov¥°íme

f ′(t) =1

2ln(

1 +1

t2

), t ∈ (0,∞),

f(t) =π

2− arctg t− 1

2t ln(

1 +1

t2

), t ∈ 〈0,∞).

Speciáln¥ dostáváme

(9)∫ ∞

0

1− cosx

x2dx = f(0) =

π

2.

3.11. P°íklad (Metoda derivování podle parametru). Máme spo£ítat integrál∫ 1

0

x− 1

lnxdx

Metoda primitivní funkce nevede k cíli. Bystrý student vy²et°uje funkci

f(t) =

∫ 1

0

xt − 1

lnxdx, t ∈ (−1,∞)

a derivováním podle parametru (majoranty∣∣∣xt − 1

lnx

∣∣∣ ≤ xa − 1

| lnx|, xt ≤ xa pro t > a, kde a ∈ (−1, 0))

zjistí

f ′(t) =

∫ 1

0

xt dt =1

t+ 1, p°i£emº f(0) = 0.

Tedyf(t) = ln(t+ 1)

a dosazením t = 1 dostaneme ∫ 1

0

x− 1

lnxdx

Mén¥ bystrý student podcení ov¥°ování p°edpoklad· a stejnou metodou ov¥°i

g′(t) =

∫ 1

0

xt dt =1

t+ 1

pro funkci

g(t) =

∫ 1

0

xt

lnxdx.

Ve skute£nosti ov²em funkce g má prázdný deni£ní obor, protoºe integrál diverguje pro v²echny hodnotyt.

3.12. P°íklad (Metoda derivování podle parametru). Máme spo£ítat integrál

I =

∫ 1

0

ln 1t

1− t2dt.

Vy²et°ujme funkci

f(t) =

∫ ∞0

arctg tx

1 + x2dx, t ∈ R.

27

Metodou derivování parametru (ov¥°te p°edpoklady!) dostaneme

f ′(t) =

∫ ∞0

x

(1 + x2)(1 + t2x2)dx, t 6= 0.

Integrál spo£teme rozkladem na parciální zlomky. Dostaneme

f ′(t) =ln 1

t

1− t2

Tedy

I =

∫ 1

0

f ′(t) dt = f(1)− f(0) =

∫ ∞0

arctg x

1 + x2dx.

Poslední integrál spo£teme pomocí primitivní funkce, coº je 12 arctg2 x. Tedy

I = [ 12 arctg2 x]∞0 =

π2

8.

3.13. P°íklad (Metoda rozvoje v °adu). Po£ítejme∫ 1

0

ln 1x

1− x2dx.

Rovojem v geometrickou °adu dostaneme

ln 1x

1− x2=

∞∑k=0

x2k ln 1x ,

takºe pomocí Leviho v¥ty pro °ady 2.14∫ 1

0

ln 1x

1− x2dx =

∞∑k=0

x2k ln 1x dx =

∞∑k=0

1

(2k + 1)2=

1

12+

1

32+ . . .

Tím jsme ov²em nespo£etli zadaný integrál, ale pouze dokázali zajímavou identitu ledaºe bychomodn¥kud v¥d¥li, ºe suma vpravo je rovna t°eba π2/8. Podobn¥ nap°.∫ 1

0

ln 1x

1 + x2dx =

1

12− 1

32+

1

52− . . . ,

zde ov²em místo 2.14 musíme pouºít 2.15 nebo 2.16

3.14. P°íklad (Se£tení °ady). Kdybychom um¥li s£ítat °ady, metoda rozvoje v °adu by vedla k vý-po£tu integrál·. Ukáºeme, ºe v na²em p°ípad¥ spí²e vede k se£tení °ady. Spojením p°íklad· 3.13 a 3.12totiº dostaneme

1

12+

1

32+

1

52+ . . . =

∫ 1

0

ln 1x

1− x2dx =

π2

8

Ozna£me

S =1

22+

1

42+

1

62+

1

82+ . . . ,

L =1

12+

1

32+

1

52+

1

72+ . . . ,

V =1

12+

1

22+

1

32+

1

42+ . . . .

Potom máme

V = L+ S, V = 22S, L =π2

8,

a odtud∞∑k=1

1

k2= V =

4

3L =

π2

6.

28

4. Funkce Gamma

4.1. Definice (Funkce Gamma). Funkci Gamma denujeme na intervalu (0,∞) p°edpisem

(10) Γ(s) =

∫ ∞0

xs−1 e−x dx.

(Ov¥°te samostatn¥ konvergenci integrálu!) Integrováním per partes zjistíme pro s > 0

(11) Γ(s+ 1) =

∫ ∞0

xs e−x dx =

∫ ∞0

s xs−1 e−x dx = sΓ(s).

Odtud dostaneme indukcíΓ(n+ 1) = n!, n = 0, 1, 2, . . . .

Funkce Γ je tedy p°irozeným roz²í°ením faktoriálu na necelá £ísla.

4.2. Derivování funkce Γ. Formálním derivováním za integra£ním znamením dostaneme reku-rentn¥

Γ(k)(s) =

∫ ∞0

xs−1(lnx)k e−x dx.

Vzorec lze od·vodnit pouºitím v¥ty o derivování podle parametru pro s ∈ (p, q), kde 0 < p < q < ∞,s majorantou

g(x) = (xp−1 + xq−1) | lnx|k e−x.Funkce Gamma je tedy nekone£n¥ diferencovatelná, tím spí² spojitá na (0,∞).

4.3. Pr·b¥h funkce Gamma. Z°ejm¥ Γ(s) > 0 pro s > 0. Druhá derivace je z°ejm¥ kladná, tedyGamma je striktn¥ konvexní na (0,∞). Jelikoº Γ(1) = Γ(2) = 1, z v¥ty o st°ední hodnot¥ existujeξ ∈ (1, 2) tak, ºe Γ′(ξ) = 0. Γ′ je ov²em rostoucí, tedy Γ′ > 0 na (ξ,∞) a Γ′ < 0 na (0, ξ). Funkce Γje tedy rostoucí na 〈ξ,∞) a klesající na (0, ξ〉. Musí tedy existovat limity v nule zprava a v nekone£nuzleva. Jelikoº

limn→∞

n! =∞,

(n probíhá p°irozená £ísla), mámelims→∞

Γ(s) =∞.

(Zde s probíhá reálná £ísla: odhad funkce v dírách mezi p°irozenými £ísly práv¥ dostaneme z monotonie).Ze vzorce (11) dostaneme

Γ(s) =Γ(s+ 1)

sa tudíº

lims→0+

Γ(s) = +∞.

29

KAPITOLA 5

Vícerozm¥rné integrály

1. Vícerozm¥rné integrály

1.1. Definice (ezy). Nech´ Ω ⊂ Rd × Rn je m¥°itelná mnoºina. Pro x ∈ Rd ozna£me

Ωx,∗ = y ∈ Rn : [x, y] ∈ Ω.Podobn¥ pro y ∈ Rn ozna£me

Ω∗,y = x ∈ Rd : [x, y] ∈ Ω.Tyto mnoºiny se nazývají °ezy.

1.2. Definice (Dvojný integrál). Symbol dx u integrálu funkce vícerozm¥rné prom¥nné m·ºemerozepsat do jednotlivých prom¥nných jako nap°. dx1 dx2. V tom p°ípad¥ také zpravidla zdvojujeme (i t°íprom¥nných ztrojujeme) znaménko integrálu, nap°. v zápisu∫

Ω

f(x) dx =

∫∫Ω

f(x1, x2) dx1 dx2.

je pravá strana jen rozpisem levé strany do sou°adnic. Podobn¥ m·ºeme párovat i vícerozm¥rné prom¥nné.

1.3. Fubiniova v¥ta. Nech´ Ω ⊂ Rd × Rn je m¥°itelná mnoºina a a f : Ω → R je nezápornám¥°itelná funkce. Potom platí

(12)∫∫

Ω

f(x, y) dx dy =

∫Rd

(∫Ωx,∗

f(x, y) dy)dx

1.4. Poznámky. 1. M·ºeme zam¥nit roli x a y a dostat vzorec∫∫Ω

f(x, y) dx dy ==

∫Rn

(∫Ω∗,y

f(x, y) dx)dy.

2. Vn¥j²í integrál ve vzorci (12) je psaný p°es Rd, ale v praxi jsou vn¥j²í meze p°es mnoºinu, kdevnit°ní integrály vycházejí nenulové.

3. Iterováním Fubiniovy v¥ty m·ºeme p°evést vícerozm¥rné integrály na sled jednorozm¥rné inte-grace, nap°.∫∫∫

x2+y2+z2≤1f(x, y, z) dx dy dz =

∫ 1

−1

(∫∫x2+y2≤1−z2

f(x, y, z) dx dy)dz

=

∫ 1

−1

(∫ √1−z2

−√

1−z2

(∫ √1−z2−y2

−√

1−z2−y2f(x, y, z) dx

)dy)dz

nebo ∫∫∫x2+y2+z2≤1

f(x, y, z) dx dy dz =

∫∫x2+y2≤1

(∫ √1−x2−y2

−√

1−x2−y2f(x, y, z) dz

)dx dy

=

∫ 1

−1

(∫ √1−x2

−√

1−x2

(∫ √1−x2−y2

−√

1−x2−y2f(x, y, z) dz

)dy)dx.

1.5. V¥ta (V¥ta o substituci, zám¥na prom¥nných v integrálu). Nech´ G ⊂ Rn je otev°ená mnoºinaa ϕ : G → Rn je prosté spojit¥ diferencovatelné zobrazení. Nech´ u je m¥°itelná funkce na otev°enémnoºin¥ M ⊂ ϕ(G). Potom ∫

M

u(x) dx =

∫ϕ−1(M)

u(ϕ(t))|Jϕ(t)| dt,

pokud alespo¬ na jedné stran¥ integrál dává smysl.

31

1.6. Definice (Polární sou°adnice). Nech´

G =

[r, α] ∈ R2 : r > 0, −π < α < π.

Zobrazení ϕ : G→ R2 dané p°edpisem

ϕ(r, α) :=

(x(r, α)

y(r, α)

),

x(r, α) := r cosα,

y(r, α) := r sinα

se nazývá zobrazení polárních sou°adnic. Body mnoºiny

(13) N = (−∞, 0]× 0

z·stávají nepokryty, tato mnoºina je v²ak malá a m·ºeme ji p°i integraci zanedbat.

1.7. V¥ta o polárních sou°adnicích. Nech´ ϕ : G→ R2 je zobrazení polárních sou°adnic. Potomϕ je prosté spojit¥ diferencovatelné zobrazení, Jϕ(r, α) = r a ϕ(G) = R2 \N , kde N je mnoºina z (13).Je-li M ⊂ R2 otev°ená a u m¥°itelná funkce na M , potom

(14)∫∫

M

u(x, y) dx dy =

∫∫G∩ϕ−1(M)

u(r cosα, r sinα) r dr dα,

pokud alespo¬ na jedné stran¥ integrál dává smysl.

1.8. Definice (Sférické sou°adnice). Nech´ tentokrát

G =

[r, α, β] ∈ R3 : r > 0, −π < α < π, −π/2 < β < π/2.

Zobrazení ϕ : G→ R3 dané p°edpisem

ϕ(r, α, β) :=

x(r, α, β)y(r, α, β)z(r, α, β)

,

x(r, α, β) := r cosβ cosα,

y(r, α, β) := r cosβ sinα,

z(r, α, β) := r sinβ

se nazývá zobrazení sférických sou°adnic. Body mnoºiny

(15) N = (−∞, 0]× 0 × R

z·stávají nepokryty, tato mnoºina je v²ak malá a m·ºeme ji p°i integraci zanedbat.

1.9. V¥ta o sférických sou°adnicích. Nech´ ϕ : G → R3 je zobrazení sférických sou°adnic.Potom ϕ je prosté spojit¥ diferencovatelné zobrazení, Jϕ(r, α, β) = r2 cosβ a ϕ(G) = R3 \N , kde N jemnoºina z (15). Je-li M ⊂ R3 otev°ená a u m¥°itelná funkce na M , potom

(16)∫∫∫

M

u(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫G∩ϕ−1(M)

u(r cosβ cosα, r cosβ sinα, r sinβ) r2 cosβ dr dα dβ,

pokud alespo¬ na jedné stran¥ integrál dává smysl.

1.10. P°íklad. Pomocí polárních sou°adnic dostaneme∫∫R2

e−x2−y2 dx dy =

∫∫r>0,−π<α<π

r e−r2

dr dα

=

∫ ∞0

(∫ π

−πr e−r

2

dα)dr

=

∫ ∞0

2πr e−r2

dr = π.

32

P°ímé pouºití Fubiniovy v¥ty dává∫∫R2

e−x2−y2 dx dy =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

e−x2

e−y2

dy)dx

=

∫ ∞−∞

e−y2

dy

∫ ∞−∞

e−x2

dx

=(∫ ∞−∞

e−t2

dt)2

.

Porovnáním obou výsledk· dostaneme hodnotu tzv. Laplaceova integrálu∫ ∞−∞

e−t2

dt =√π.

33

KAPITOLA 6

K°ivkový integrál

1. Plochy a k°ivky

Pojmy plocha a k°ivka se v matematice pouºívají v mnoha r·zných významech. V této sekci jezavedeme tak, jak se hodí pro ú£ely integrace.

1.1. K°ivka. K°ivka (p°esn¥ji C1-k°ivka) v Rd je spojit¥ diferencovatelné zobrazení γ intervalu〈a, b〉 ⊂ R do Rd. Derivace γ v krajních bodech a, b chápeme jako jednostranné. Interval 〈a, b〉 nazvemereferen£ním intervalem k°ivky γ.

1.2. Plocha, zobecn¥ná k°ivka. Nyní bychom cht¥li denovat n¥co jako k°ivka ve vy²²í dimenzi.Deni£ní obor by v tomto p°ípad¥ mohl být vícerozm¥rný interval, ale takové pojetí je p°ecijen n¥kdyp°íli² omezující.

Budeme tedy denovat n-rozm¥rnou plochu v Rd, n ≥ 1, jako spojit¥ diferencovatelné zobrazení ϕotev°ené mnoºiny G ⊂ Rn do Rd. Mnoºinu G nazveme referen£ním oborem plochy ϕ.

1-rozm¥rnou plochu budeme nazývat zobecn¥nou k°ivkou. Kaºdé k°ivce γ : 〈a, b〉 → Rd odpovídázobecn¥ná k°ivka γ = γb(a, b), tedy o°ízneme hodnoty v krajních bodech referen£ního intervalu.Ztráta informace je jen zdánlivá, chyb¥jící krajní body k°ivky m·ºeme znovu zrekonstruovat jakolimity v krajních bodech referen£ního intervalu.

Zobecn¥ná k°ivka zobec¬uje pojem k°ivky ve dvou sm¥rech:• v krajních bodech nepoºadujeme existenci jednostranných limit,• referen£ní obor nemusí být souvislý.

K°ivky a plochy jsou denované jako zobrazení, ale intuitivn¥ je £asto vnímáme jako mnoºiny, tj.plochu ϕ vnímáme jako mnoºinu ϕ(G). P°i takové intuitivní p°edstav¥ je t°eba zachovávat opatrnost,nap°íklad v denici plochy jsme nepoºadovali prostotu, tj. plocha se m·ºe k°íºit sama se sebou nebon¥kde dokonce t°eba zdvojit. N¥j£ast¥ji se v²ak prostota objeví v dodate£ných p°edpokladech.

Zd·razn¥me, ºe (zobecn¥né) k°ivky pokládáme za zvlá²tní p°ípad ploch a zformulujeme-li tvrzení(denici, poznámku,...) pro plochy, máme tím na mysli i aplikaci na k°ivky. Pojem k°ivka pouºíváme jenmluvíme-li o specikách jednorozm¥rného p°ípadu.

1.3. Regularita. ekneme, ºe plocha ϕ je regulární v bod¥ t, jestliºe Jacobiho matice ϕ′(t) máhodnost n. Regulární plocha znamená regulární v kaºdém bod¥.

2. K°ivkový a plo²ný integrál prvého druhu

2.1. Motivace. Na²ím cílem je vybudovat integrál (úhrn veli£iny) p°es n-rozm¥rné mnoºiny v Rd.Nejsch·dn¥j²í cestou je vhodná volba k°ivo£arých sou°adnic, coº odpovídá tomu, ºe neintegrujeme p°esmnoºiny, ale p°es plochy.

2.2. Gram·v determinant. Nech´ ϕ : G→ Rd je n-rozm¥rná plocha v Rd. Máme

ϕ′(t)Tϕ′(t) =

(∂ϕ

∂ti(t) · ∂ϕ

∂tj(t)

)ni,j=1

.

Determinant z této matice se nazývá Gram·v determinant, jeho odmocnina se pouºívá jako jakobiánpro plo²né integrály druhého druhu a zna£í |Jϕ(t)|. Tedy

|Jϕ(t)| :=√ϕ′(t)Tϕ′(t).

Symbol | . . . | zde je pouºit k zd·razn¥ní faktu, ºe jde o nezápornou veli£inu, na rozdíl od oby£ejnéhoobjemového jakobiánu.

Také si lze správn¥ myslet, ºe samotnému výrazu Jϕ lze také p°i°adit smysl, tím se v²ak budemezabývat pozd¥ji.

35

2.3. Plo²ný integrál prvého druhu. Nech´ ϕ : G→ Rd je n-rozm¥rná plocha v Rd a f je funkcena (ϕ). Denujeme

(17)∫ϕ

f dS =

∫ϕ

f(x) dS(x) :=

∫G

f(ϕ(t)) |Jϕ(t)| dt.

Denici (a podobným denicím v dal²ím) rozumíme tak, ºe integrál vlevo má smysl, kdyº má smyslintegrál vpravo.

2.4. Definice (Nulové mnoºiny). ekneme, ºe mnoºina N ⊂ Rd je k-nulová, jestliºe pro kaºdé ε > 0existují koule B(xj , rj), j ∈ N, tak, ºe

N ⊂⋃j

B(xj , rj) a∑j

rkj < ε.

Jako p°íklady k-nulových mnoºin slouºí nap°. variety niº²í dimenze, nebo obrazy ϕ(A), kde A je Lebes-gueovsky k-nulová a ϕ je k-rozm¥rná plocha. Je-li N k-nulová, pak v²echny její k-rozm¥rné projekce jsouLebesgueovsky k-nulové.

Pro k = d pojmy k-nulovosti a lebesgueovské nulovosti splývají.

2.5. Parametrizace. Nech´ M ⊂ Rd a ϕ : G → Rd je n-rozm¥rná plocha. ekneme, ºe ϕ je(n-rozm¥rná) lokální parametrizace M , jestliºe ϕ je prostá, regulární a relativn¥ otev°ená do M (Toznamená, ºe ϕ(G) ⊂ M a ϕ zobrazuje otev°ené podmnoºiny G na relativn¥ otev°ené podmnoºiny M .Inverzní zobrazení je potom spojité.)

ekneme-li, ºe ϕ je globální parametrizace M , znamená to, ºe navíc ϕ(G) = M .Uºite£ný kompromis mezi lokální a globální parametrizací je zobecn¥ná parametrizace, to je taková

lokální parametrizace M , ºe M \ ϕ(G) je n-nulová mnoºina.

2.6. V¥ta (nezávislost plo²ného integrálu na parametrizaci). Nech´ M ⊂ Rd a f : M → R je funkce.Nech´ ϕ : G→ Rd, ψ : H → Rd jsou zobecn¥né parametrizace M . ºe ϕ(G) = ψ(H) = M . Potom bu¤∫

ϕ

f dS =

∫ψ

f dS,

nebo ºádný z t¥chto integrál· nemá smysl.

2.7. Integrál prvého druhu p°es mnoºinu. Nech´ M ⊂ Rd a f : M → R je funkce. Potomdenujeme (n-rozm¥rný) plo²ný integrál f p°es M p°edpisem∫

M

f dS =

∫ϕ

f dS,

kde ϕ je zobecn¥ná parametrizaceM . Pokud ºádná zobecn¥ná parametrizaceM neexistuje nebo integrálvpravo nemá smysl, z·stává integrál vlevo nedenovaný. Z p°edchozí v¥ty plyne, ºe taková denice jekorektní.

2.8. K°ivkový integrál prvého druhu. Nech´ ϕ : G→ Rd je zobecn¥ná k°ivka. Potom Jacobihomatice ϕ′(t) má d °ádk· a jen jeden sloupec, je to tedy vlastn¥ jen svislý vektor. Potom Jϕ = ϕ′ a prok°ivkový integrál prvého druhu funkce f platí vzorec∫

ϕ

f ds =

∫ϕ

f(x) ds(x) =

∫G

f(ϕ(t)) |ϕ′(t)| dt.

V²imn¥te si, ºe pro k°ivkovou integraci se zpravidla pí²e diferenciál ds místo dS. Integrál∫ϕ

ds =

∫G

|ϕ′(t)| dt

má geometrický význam délky (zobecn¥né) k°ivky. (Bez ohledu na to, zda k°ivka je prostá £i ne, m·ºe sei protínat £i dokonce probíhat n¥které úseky vícekrát. V takovém p°ípad¥ se ov²em i délka p°íslu²néhoúseku objeví ve výsedku vícekrát a délka k°ivky se m·ºe li²it od délky mnoºiny ϕ(G).)

2.9. Vektorový sou£in. Vektorový sou£in vektor· u1, . . . ,ud−1 ∈ Rd je vektor

u1 × · · · × ud−1 :=

d∑i=1

det(ei,u1, . . . ,ud−1) ei.

36

Vektorový sou£in je kolmý na své £initele. P°i liché permutaci £initel· zm¥ní vektorový sou£in znaménko,p°i sudé z·stane zachován.

V dimenzi t°i je vektorovým sou£inem vektor· u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) vektor

u× v =

(det

(u2, v2

u3, v3

), det

(u3, v3

u1, v1

), det

(u1, v1

u2, v2

)).

V dimenzi 2 má vektorový sou£in jen jednoho £initele. Roli vektorového sou£inu plní zde operátoroto£ení o pravý úhel proti sm¥ru hodinových ru£i£ek

∗[u1, u2] = [−u2, u1].

Vektorový sou£in p°i°adí vektoru −u vektor ∗u (pozor na znaménko !).

2.10. Vektorový jakobián a plo²ný integrál kodimenze jedna. Vektorový jakobián (d−1)-rozm¥rné plochy ϕ : G→ Rd v bod¥ t ∈ G ⊂ Rd−1 denujeme p°edpisem

Jϕ(t) =∂ϕ

∂t1(t)× · · · × ∂ϕ

∂td−1(t).

Podle tzv. Cauchy-Binetovy formule je |Jϕ(t)| = |Jϕ(t)|, tedy jakobián pro kalkulus plo²ného integráluprvého druhu lze v kodimenzi 1 po£ítat alternativním zp·sobem∫

ϕ

f dS =

∫ϕ

f(x) dS(x) :=

∫G

f(ϕ(t)) |Jϕ(t)| dt.

Integrál ∫ϕ

dS =

∫G

|Jϕ(t)| dt

má geometrický význam obsahu (area) plochy. Podobn¥ jako u k°ivky, o obsahu plochy m·ºeme mluviti tehdy, kdyº plocha není prostá, pak se ale m·ºe li²it od obsahu mnoºiny ϕ(G).

3. K°ivkový integrál druhého druhu

3.1. K°ivkový integrál druhého druhu. Nech´ ϕ = (ϕ1, . . . , ϕd) : G→ Rd je zobecn¥ná k°ivkaa f = (f1, . . . , fd) : ϕ(G)→ Rd je vektorové pole. Denujeme

(18)∫ϕ

f · ds =

∫ b

a

f(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt.

Také pro index i a skalární funkci u : ϕ(G)→ Rd pí²eme

(19)∫ϕ

u dxi :=

∫ b

a

u(ϕ(t)) · ϕ′i(t) dt.

Denice (18), (18) chápeme tak, ºe integrál vlevo má smysl, pokud má smysl integrál vpravo.Z°ejm¥ m·ºeme p°epsat ∫

ϕ

f · ds =

∫ϕ

f1 dx1 + · · ·+ fd dxd.

K°ivkový integrál (18) má velký význam ve fyzice, k°ivkovým integrálem druhého druhu se integrujíveli£iny, u nichº není zajímavý úhrn celkové velikosti, ale úhrn te£né sloºky. Nap°íklad práce je k°ivkovýintegrál druhého druhu síly po dráze.

3.2. Pole. Pojmy skalární pole, vektorové pole se pouºívají jako synonyma pro skalární, resp. vek-torovou funkci. Jejich pouºívání v n¥kterých situacích je dáno zvyklostmi.

3.3. Te£né pole. Nech´ ϕ : G → Rd je prostá regulární zobecn¥ná k°ivka. Je-li x = ϕ(t), t ∈ G,denujeme

(20) τ (x) =ϕ′(t)

|ϕ′(t)|.

Funkce τ : ϕ(G) → Rd se nazývá pole jednotkových te£ných vektor· (zkrácen¥ te£né pole) ke k°ivce ϕ.Zahrnuje v sob¥ informaci o te£ném prostoru v kaºdém bod¥ a sm¥ru probíhání k°ivky. Je-li G intervala má-li ϕ prosté spojité roz²í°ení do G, existují jen dv¥ moºnosti jak m·ºe vypadat te£né pole na ϕ(G),tedy kaºdá jiná parametrizace ψ dá jednu z t¥chto moºností: jestliºe ψ−1 ϕ je rostoucí, pak p·vodníτ , jinak −τ .

37

3.4. V¥ta (Vztah mezi k°ivkovým integrálem prvého a druhého druhu). Nech´ M ⊂ Rd má n-rozm¥rnou zobecn¥nou parametrizaci ϕ : G→ Rd. Nech´ f : M → Rd je vektorové pole. Potom∫

ϕ

f · ds =

∫M

f · τ ds,

má-li integrál aspo¬ na jedné stran¥ smysl.

4. Elementy teorie pole

4.1. Divergence, gradient, rotace. Nech´ U ⊂ Rd je otev°ená mnoºina, u : U → R je spojit¥diferencovatelná funkce a f = (f1, . . . , fd) : U → Rd je spojit¥ diferencovatelné vektorové pole (vektorovépole znamená zobrazení s hodnotami v Rd). Nech´ (e1, . . . , ed) je kanonická báze v Rd. Denujeme

∇u = grad u :=

d∑i=1

∂u

∂xiei , (gradient u),

div f :=

d∑i=1

∂fi∂xi

, (divergence f)

curl f :=∂f2

∂x1− ∂f1

∂x2(rotace f , d = 2),

curl f :=( ∂f3

∂x2− ∂f2

∂x3

)e1 +

( ∂f1

∂x3− ∂f3

∂x1

)e2 +

( ∂f2

∂x1− ∂f1

∂x2

)e3 (rotace f , d = 3).

4.2. V¥ta o potenciálu. Nech´ W ⊂ Rd je otev°ená mnoºina. Nech´ ψ : 〈a, b〉 → Rd je k°ivka,〈ψ〉 ⊂W , A = ψ(a), B = ψ(b). Nech´ u : W → R je spojit¥ diferencovatelná funkce. Potom

u(B)− u(A) =

∫ψ

∇u · ds,

pokud integrál vpravo konverguje.

4.3. Definice (Hv¥zdovitá mnoºina). ekneme, ºe mnoºina U ⊂ Rd je hv¥zdovitá, jestliºe existujea ∈ U tak, ºe pro kaºdý bod x ∈ U je celá úse£ka a + t(x − a) : t ∈ 〈0, 1〉 podmnoºinou U . Kaºdákonvexní mnoºina je hv¥zdovitá.

4.4. V¥ta (Hlavní v¥ta teorie pole). Nech´ W ⊂ Rd je otev°ená mnoºina a f = (f1, . . . , fd) : W →Rd je spojité vektorové pole. Uvaºujme následující podmínky:

(i) (Existence potenciálu.) Existuje spojit¥ diferencovatelná funkce u : W → R tak, ºe f = ∇u.(ii) (Nezávislost integrálu na dráze.) Pro kaºdé dva body A,B ∈ W existuje £íslo c = c(A,B) tak, ºe a

kaºdou k°ivku ψ : 〈a, b〉 →W s po£áte£ním bodem A = ψ(a) a koncovým bodem B = ψ(b) je∫ψ

f · ds = c.

(iii) (Nulová rotace.) Pro kaºdou dvojici i, j index· z 1, . . . , d je∂fi∂xj

=∂fj∂xi

.

Potom platí následující vztahy:

(a) (i)⇐⇒ (ii),(b) Je-li f spojit¥ diferencovatelná, pak (i) =⇒ (iii).(c) Je-li f spojit¥ diferencovatelná a W hv¥zdovitá, pak pak (iii) =⇒ (ii).

4.5. Poznámka. Nulovost rotace je rovnost curl f = 0 v dimenzi 2 a rovnost curl f = 0 v dimenzi 3.

38

KAPITOLA 7

Plo²ný integrál

1. Plo²ný integrál kodimenze 1

1.1. Plo²ný integrál druhého druhu. Nech´ ϕ : G→ Rd je (n−1)-rozm¥rná plocha v Rn. Nech´f = (f1, . . . , fn) : ϕ(G)→ Rn je vektorové pole. Potom denujeme

(21)∫ϕ

f · dS :=

∫G

f(ϕ(t)) · Jϕ(t) dt.

Integrály typu (21) se hojn¥ vyskytují ve fyzice, mají nap°. význam toku plochou.

1.2. Zápis pomocí diferenciál·. Jestliºe n = 2, je ϕ zobecn¥ná k°ivka a integrál uvedený vý²elze p°epsat ve tvaru ∫

ϕ

f · dS =

∫ϕ

f1 dx2 − f2 dx1.

Zde velikost symbolu S v diferenciálu hraje významnou roli. Musíme striktn¥ rozli²ovat mezi integrálem∫ϕf · dS a integrálem ∫

ϕ

f · ds =

∫ϕ

f1 dx1 + f2 dx2.

V dimenzi t°i, pro dvourozm¥rnou plochu ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) : G → R3, skalární pole u a dvojici index·(i, j) ∈ 1, 2, 32 denujeme ∫

ϕ

u dxi dxj =

∫G

u(ϕ(t))∂(ϕi, ϕj)

∂(t1, t2)dt.

V²imn¥ne si, ºe takový integrál závisí znaménkem na po°adí diferenciál· a pro i = j je nulový!Pak lze psát ∫

ϕ

f · dS =

∫ϕ

f1 dx2 dx3 − f2 dx1 dx3 + f3 dx1 dx2.

Podobn¥ lze zapisovat r·zné integrály ve vy²²ích dimenzích, a nejen pro plochy dimenze £i kodimenzejedna, podrobn¥ji se v²ak tomuto tématu budeme v¥novat pozd¥ji.

1.3. Normálové pole. Nech´ ϕ : G → Rn je prostá regulární (n−1)-rozm¥rná plocha. Je-li x =ϕ(t), t ∈ G, denujeme

(22) ν(x) =Jϕ(t)

|Jϕ(t)|.

Funkce ν : ϕ(G) → Rn se nazývá pole jednotkových normálových vektor· (zkrácen¥ normálové pole)k plo²e ϕ. Zahrnuje v sob¥ informaci o te£ném prostoru v kaºdém bod¥ a orientaci ve smyslu rub nebolíc. Je-li G souvislá otev°ená mnoºina a má-li ϕ prosté spojité roz²í°ení do G, existují jen dv¥ moºnostijak m·ºe vypadat normálové pole na ϕ(G), tedy kaºdá jiná parametrizace ψ dá jednu z t¥chto moºností:p·vodní ν nebo −ν.

1.4. V¥ta (Vztah mezi integrálem prvého a druhého druhu). Nech´ M ⊂ Rn má zobecn¥nou (n−1)-rozm¥rnou parametrizaci ϕ : G→ Rn. Nech´ f : M → Rn je vektorové pole. Potom∫

ϕ

f · dS =

∫M

f · ν dS,

pokud aspo¬ jeden z integrál· má smysl.

39

2. V¥ta o divergenci

2.1. Ohrani£ení otev°ené mnoºiny. Bu¤ n > 1. Nech´ Ω ⊂ Rn je omezená otev°ená mnoºinaa ϕ : G → Rn je prostá regulární (n−1)-rozm¥rná plocha v Rn. ekneme, ºe ϕ ohrani£uje Ω v bod¥z = ϕ(t) ∈ ∂Ω, jestliºe existuje okolí U bodu z a spojit¥ diferencovatelná rozhrani£ující funkce h : U → Rtak, ºe ∇h(z) 6= 0, Jϕ(t) je kladným násobkem ∇h(z) (test orientace) a

x ∈ U =⇒

[x ∈ Ω ⇐⇒ h(x) < 0,

x ∈ ϕ(G) ⇐⇒ h(x) = 0

].

P°i na²em zp·sobu orientace sm¥°uje normála ν ke ϕ vºdy ven z Ω. Proto se jí °íká vn¥j²í normála.ekneme, ºe ϕ ohrani£uje Ω aº na (n−1)-nulovou mnoºinu, jestliºe ϕ je zobecn¥ná parametrizace ∂Ω aohrani£uje Ω v kaºdém bod¥ ϕ(G).

2.2. V¥ta o divergenci. Nech´ Ω ⊂ Rn je omezená otev°ená mnoºina a ϕ : G → Rn je (n−1)-rozm¥rná plocha ohrani£ující Ω aº na (n−1)-nulovou mnoºinu. Nech´ f je spojit¥ diferencovatelné vek-torové pole na Ω ∪ ϕ(G). Potom

(23)∫ϕ

f · dS =

∫Ω

div f(x) dx,

pokud integrály na obou stranách konvergují.

2.3. Poznámky. V¥ta o divergenci se také nazývá Gaussova, Gauss-Greenova nebo Ostrogradského.asto se zapisuje ve tvaru ∫

∂Ω

f · ν dS =

∫Ω

div f(x) dx.

2.4. Test orientace pro Greenovu v¥tu. Následující varianta je d·sledek v¥ty o divergenci.Jedná se o to, ºe v dimenzi 2 je mno6ina Ω ohrani£ena zobecn¥nou k°ivkou, takºe integrál p°es krajm·ºeme vnímat i jako k°ivkový integrál. V tom p°ípad¥ je p°irozen¥j²í integrovat s te£ným polem neº snormálovým, ale tomu se musí uzp·sobit diferenciální operátor na druhé stran¥ rovnosti. Test orientacev tomto p°ípad¥ v bod¥ a = ϕ(t) je

det(∇h(a), ϕ′(t)) > 0.

kde h je rozhrani£ující funkce v a.

2.5. Greenova v¥ta. Nech´ Ω ⊂ R2 je omezená otev°ená mnoºina ohrani£ená zobecn¥nou k°ivkouϕ : G → R2 aº na 1-nulovou mnoºinu. Nech´ f je spojit¥ diferencovatelné vektorové pole na Ω ∪ ϕ(G).Potom ∫

ϕ

f · ds =

∫Ω

curl f(x) dx

pokud integrály na obou stranách konvergují.

2.6. P°íklad (Koule). Bu¤ Ω = x ∈ R3 : |x| < 1. K ohrani£ení pouºijeme sférické sou°adnice:ϕ1 = cos γ cosα,

ϕ2 = cos γ sinα,

ϕ3 = sin γ,

(α, γ) ∈ (−π, π)× (−π/2, π/2)

2-nulová mnoºina x ∈ ∂Ω : x2 = 0, x1 ≤ 0 je nepokryta. Vektorový jakobián v bod¥ (α, γ) je∂ϕ1

∂α∂ϕ2

∂α∂ϕ3

∂α

×∂ϕ1

∂γ∂ϕ2

∂γ∂ϕ3

∂γ

=

− cos γ sinαcos γ cosα

0

×− sin γ cosα− sin γ sinα

cos γ

= cos γ

cos γ cosαcos γ sinα

sin γ

.

Rozhrani£ující funkce v bod¥ x = ϕ(α, γ) je h(x) = |x|2 − 1 = x21 + x2

2 + x23 − 1, tedy ∇h(x) = 2x.

P°esv¥d£ili jsme se, ºe jakobián je kladný násobek normály, test orientace pro²el.

2.7. P°íklad (tverec). Bu¤ Ω = (0, 1)2 £tverec v R2. Nech´ zobecn¥ná k°ivka ϕ je denována na(0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) p°edpisem

ϕ(t) =

[t, 0], t ∈ (0, 1),

[0, t− 1], t ∈ (1, 2),

[3− t, 0], t ∈ (2, 3),

[0, 4− t], t ∈ (3, 4).

40

Potom ϕ ohrani£uje Ω. Vrcholy £tverce Ω z·stávají nepokryty, ale ty tvo°í 1-nulovou mnoºinu. Podmínkydenice ov¥°íme t°eba na stran¥ 1× (0, 1), pokryté úsekem na (1, 2). Rozhrani£ující funkce na (0, 2)×(0, 1) je h(x) = x1− 1. Normála v bod¥ [1, x2] je e1 = [1, 0]. Test orientace v bod¥ x = ϕ(t) = [0, t− 1] je

0?< det(∇h(x), ϕ(t)) = det

( ∂h∂x1

(0, t−1), ϕ′1(t)∂h∂x2

(0, t−1), ϕ′2(t)

)= det

(1, 00, 1

)= 1

2.8. P°íklad (Krychle). Abychom ohrani£ili krychli Ω = (0, 1)3, pot°ebujeme plochu, která bynám nakryla v²echny st¥ny. Za tímto ú£elem zvolíme G jako sjednocení ²esti disjunktních £tverc·, nap°.(k − 1, k) × (0, 1), k = 1, . . . , 6, a kaºdý z nich p°i°adíme jedné st¥n¥ krychle. Nap°íklad, st¥nu (0, 1) ×0 × (0, 1) m·ºeme nakrýt zobrazením (t1, t2) 7→ [t1, 0, t2], t ∈ (4, 5) × (0, 1). Rozhrani£ující funkce jeh(x) = −x2, x ∈ (0, 1)× (−1, 1)× (0, 1). Vektorový jakobián ϕ v bod¥ t je1

00

×0

01

=

0−10

,

coº by m¥l být v p°ípad¥ správné orientace kladný násobek ∇h(t1−4, t2). Snadno se p°esv¥d£íme, ºevýsledek testu orientace je kladný.

41

KAPITOLA 8

Obecn¥j²í plo²ný integrál a Stokesova v¥ta

1. Integrování p°es variety

1.1. Mapa. Nech´ M ⊂ Rd. Inverzní zobrazení k lokální parametrizaci mnoºiny M se nazývá (n-rozm¥rná) mapa na M . Deni£ní obor mapy µ budeme zna£it Dµ.

1.2. Atlas. Nech´ Γ ⊂ Rd a A je mnoºina map na Γ. ekneme, ºe A je atlas (p°esn¥ji C1-atlas) naΓ, jestliºe

Γ =⋃µ∈ADµ.

V tom p°ípad¥ se dvojice (Γ,A) nazývá n-rozm¥rná varieta v Rd (p°esn¥ji varieta t°ídy C1). Strukturavariety se dá budovat i na vhodné mnoºin¥ Γ která není dána jako £ást Rd, pak je nutno denici uzp·sobit.

I nadále, pokud budeme mluvit o map¥ na variet¥, nemusí být nutn¥ prvkem daného atlasu.

1.3. Orientovaná varieta. Nech´ (Γ,A) je varieta. ekneme, ºe lokální parametrizace ϕ : G→ Γje kladná. jestliºe µ ϕ má kladný jakobián pro kaºdou mapu µ ∈ A. (Jako deni£ní obor µ ϕ beremep°irozen¥ t ∈ G : ϕ(t) ∈ Dµ.) Inverzní zobrazení ke kladné lokální parametrizaci se nazývá kladnámapa.

V obecném p°ípad¥ kladné mapy nemusí existovat. ekneme, ºe (Γ,A) je orientovaná varieta, jestliºekaºdá mapa z A je kladná.

1.4. P°íklady. (a) Nech´ ϕ : G → Rd je prostá regulární n-rozm¥rná plocha v Rd a Γ = ϕ(G).P°edpokládejme, ºe ϕ−1 je spojité zobrazení. Potom (Γ, ϕ−1) je n-rozm¥rná orientovaná varieta v Rd,tzv. parametrická varieta.

(b) Nech´ ϕ je speciálního tvaru

ϕ : t 7→ (t, ψ(t)) ∈ Rd, t ∈ H,

kde H ⊂ Rn je otev°ená mnoºina a ψ : H → Rd−n je C1 zobrazení. Bu¤ Γ graf ψ, tedy

Γ = x ∈ Rd : xi = ψi−n(x1, . . . , xn), i = n+ 1, . . . , d.

Potom (Γ, ϕ−1) je n-rozm¥rná orientovaná varieta v Rd, tzv. explicitní varieta.(c) Nech´ W ⊂ Rd je otev°ená mnoºina a g : W → Rd−n je C1 zobrazení. P°edpokládejme, ºe g′

má v celém W hodnost d−n. Bu¤ Γ = x ∈ W : g(x) = 0. ekneme, ºe n-rozm¥rná prostá regulárníplocha ϕ : G → Rd je kladná lokální parametrizace Γ vzhledem k implicitní funkci g, jestliºe pro kaºdýbod x = ϕ(t) ∈ ϕ(G) je

det(∇g1(x), . . .∇gd−n(x),

∂ϕ(t)

∂t1(t), . . . ,

∂ϕ(t)

∂tn(t))> 0.

Nech´A = ϕ−1 : ϕ je kladná lokální parametrizace Γ.

Potom (Γ,A) je n-rozm¥rná orientovaná varieta v Rd, tzv. implicitní varieta.

1.5. Poznámka. Implicitní popis variet vypadá dost sloºit¥, p°esto má nesporné výhody:• M·ºe být pro danou mnoºinu p°irozený, nap°. pro sféru v Rn je p°irozený popis pomocí impli-citní rovnice |x|2 = 1, naopak parametrické popisy, nap°. pomocí polárních £i (zobecn¥ných)sférických sou°adnic, jsou um¥lé.

• Sféra Rn nemá globální parametrizaci, dá se parametrizovat pouze po kouskách lokáln¥. Isférické sou°adnice ponechávají nepokrytý poledník.

• Implicitní popis je výhodný v kodimenzi 1, protoºe pak soustava rovnic g(x) = 0 se redukujena jednu (skalární) rovnici.

43

1.6. V¥ta (o zobecn¥né parametrizaci). Nech´ (Γ,A) je n-rozm¥rná varieta v Rd. Pak Γ má zobec-n¥nou parametrizaci. Jestliºe Γ je orientovaná, existuje kladná zobecn¥ná parametrizace Γ.

1.7. P°íklad. Sférické sou°adnice

x1 = cos γ cosα

x2 = cos γ sinα

x3 = sin γ

, (α, γ) ∈ (−π, π)× (−π/2, π/2)

tvo°í zobecn¥nou parametrizace sféry S = x ∈ R3 : |x| = 1. 2-nulová mnoºina x ∈ S : x2 = 0, x1 ≤0 je nepokryta. Tento p°íklad je typický.

1.8. Integrál druhého druhu. Nech´ ϕ : G → Rd je n-rozm¥rná plocha, u je funkce na ϕ(G) aα = (α1, . . . , αn) ∈ 1, . . . , dn je uspo°ádaná n-tice index· (tzv. multiindex). Potom denujeme∫

ϕ

u dxα1. . . dxαk

=

∫G

u(ϕ(t))∂(ϕα1 , . . . , ϕαn)

∂(t1, . . . , tn)(t) dt.

Je-li (Γ,A) orientovaná n-rozm¥rná varieta v Rd, u je funkce na ϕ(G) a α = (α1, . . . , αn) je multiindex,denujeme ∫

Γ

u dxα1. . . dxαk

=

∫ϕ

u dxα1. . . dxαk

,

kde ϕ je kladná parametrizace Γ. Podle v¥ty 1.6 denice nezávisí na volb¥ ϕ.

2. Stokesova v¥ta

2.1. Ohrani£ení variety. Bu¤ n > 1. Uvaºujme n-rozm¥rnou varietu G v Rd a její podvarietu (tj.relativn¥ otev°enou podmnoºinu) Ω. Nech´ ϕ : G→ Rd je prostá regulární (n−1)-rozm¥rná plocha v Rd.ekneme, ºe ϕ ohrani£uje Ω v bod¥ z = ϕ(t) ∈ G, jestliºe existuje kladná mapa µ k G tak, ºe z ∈ Dµ aµ ϕ ohrani£uje µ(Dµ ∩ Ω) v µ(z). ekneme, ºe ϕ ohrani£uje Ω aº na (n−1)-nulovou mnoºinu, jestliºeϕ je zobecn¥ná parametrizace mnoºiny Ω \Ω a ohrani£uje Ω v kaºdém bod¥ ϕ(G). Mnoºina Ω \Ω hrajeroli hranice. Zde zd·razn¥me, ºe Ω je absolutní uzáv¥r (vzhledem k Rd), m·ºe p°esáhnout ven z G.Z p°edpokladu v²ak plyne, ºe její p°esah p°es G musí být (n−1)-nulový.

2.2. Stokesova v¥ta. Nech´ G ⊂ Rd je n-rozm¥rná orientovaná varieta a Ω ⊂ G je její omezenárelativn¥ otev°ená podmnoºina. Nech´ ϕ : G→ Rd je (n−1)-rozm¥rná plocha ohrani£ující Ω aº na (n−1)-nulovou mnoºinu. Nech´ u spojit¥ diferencovatelná funkce na okolí G a (α1, . . . , αn−1) je uspo°ádaná(n−1)-ice index· z 1, . . . , d. Potom∫

Γ

u dxα1. . . dxαn−1

=

∫G

d∑i=1

∂u

∂xidxi dxα1

. . . dxαn−1,

pokud integrály na obou stranách konvergují.

2.3. Test orientace pro speciální Stokesovu v¥tu. Nejd·leºit¥j²í p°ípad Stokesovy v¥ty jed = 3 a n = 2. Pak bývá zpravidla G zadaná jako implicitní varieta rovnicí g = 0 a orientovanánormálovým polem

ν(x) =∇g(x)

|∇g(x)|Její podvarieta Ω je ohrani£ená zobecn¥nou k°ivkou ϕ : G→ R3 a ke kaºdému bodu z ∈ ϕ(G) najdemejeho okolí U v R3 a na n¥m spojit¥ diferencovatelnou rozhrani£ující funkci h tak, ºe ∇g(z)×∇h(z) 6= 0a

x ∈ U ∩ G =⇒

[x ∈ Ω ⇐⇒ h(x) < 0,

x ∈ ϕ(G) ⇐⇒ h(x) = 0.

].

Test orientace v takovém bod¥ se dá vyjád°it tak, ºe je ψ′(t) je kladným násobkem ∇g(x)×∇h(x), neboºe

det(∇g(x),∇h(x), ϕ′(t)) > 0.

44

2.4. Speciální Stokesova v¥ta. Nech´ G ⊂ R3 je omezená 2-rozm¥rná orientovaná varieta aΩ je její podvarieta, ohrani£ená zobecn¥nou k°ivkou ψ aº na 1-nulovou mnoºinu. Nech´ f je spojit¥diferencovatelné vektorové pole na okolí G. Potom∫

ψ

f · ds =

∫Ω

curl f · dS,

pokud integrály na obou stranách konvergují.

3. Praktické hledání parametrizace a ur£ování orientace

3.1. Poznámka. Sehranost orientací pro Greenovu a Stokesovu v¥tu se heuristicky kontroluje pomocínázorných pom·cek. Kladná parametrizace kraje otev°ené mnoºiny Ω ⊂ R2 je k°ivka, která obíhá Gproti sm¥ru hodinových ru£i£ek. Kladná parametrizace kraje 2-rozm¥rné variety G ⊂ R2 orientovanépomocí normály se pozná podle pravidla pravé ruky: sm¥°uje-li palec ve sm¥ru normály p°íslu²né G, pakzak°ivené prsty ukazují sm¥r obíhání k°ivky, která parametrizuje kraj. Zde pouºíváme konvenci, ºe osax sm¥°uje doprava, osa y dozadu a osa z nahoru. Tyto pom·cky nem·ºou nahradit výpo£et, ale mohounám nazna£it, zda jsme p°i výpo£tu neud¥lali numerickou chybu.

3.2. Poznámka. Je-li ϕ : G → Rd plocha, o níº chceme rozhodnout, zda ohrani£uje mnoºinu nebozda je kladnou lokální parametrizací variety, pak platí, ºe pokud G je souvislá (nap°. interval), sta£íprovést test orientace v jednom bod¥. V n¥kterých následujících cvi£eních budeme ze cvi£ných d·vod·ov¥°ovat znaménko ve v²ech bodech. Samostatn¥ zkontrolujte, zda nalezené parametrizace jsou prostáregulární zobrazení do dané mnoºiny a nepokrytá £ast je nulová.

3.3. Poznámka. Pokud nám test orientace dá, ºe nalezená parametrizace je záporná, nezoufejme.Kladnou parametrizaci lze vyrobit prohozením po°adí prom¥nných (u plochy) nebo zám¥nou prom¥nnýchs = −t (u k°ivky).

3.4. Cvi£ení. Nech´ 0 < r < R a M = (√x2 + y2 −R)2 + z2 = r2. Najd¥te zobecn¥nou parame-

trizaci a rozhodn¥te o znaménku, víte-li, ºe kladná jednotková normála v bod¥ [R+ r, 0, 0] je [1, 0, 0].

e²ení. Pouºijeme-li válcové sou°adnice Φ:

x = ρ cos α,

y = ρ sin α,

z = z,

[ρ, α, z] ∈ (0,∞)× (−π, π)× R,

rovnice se nám p°evede na(ρ−R)2 + z2 = r2.

Tuto varietu m·ºeme parametrizovat posunutými polárními sou°adnicemi ψ:

ρ = R+ r cosβ,

z = r sinβ,

α = α,

[α, β] ∈ (−π, π)2,

takºe sloºením parametrizací Φ ψ dostáváme ϕ:

x = (R+ r cosβ) cosα,

y = (R+ r cosβ) sinα,

z = r sinβ,

[α, β] ∈ (−π, π)2.

Znaménko parametrizace ur£íme z pravidla, ºe vektorový jakobián kladné parametrizace v [α, β] je klad-ným násobkem jednotkové normály v ϕ(α, β). Sta£í tedy kontrolovat x-ovou sou°adnici Jϕ(α, β), a toje

∂(y, z)

∂(α, β)(α, β) = det

((R+ r cosβ) cosα, −r sinβ sinα

0, r cosβ

).

Jelikoº ná² bod [R+ r, 0, 0] je ϕ(0, 0), po£ítáme

∂(y, z)

∂(α, β)(0, 0) = det

(R+ r, 0

0, r

)= r(R+ r) > 0.

Tedy nalezená parametrizace je kladná.

45

3.5. Cvi£ení. Nech´ g = x2 +y2 +z2−1 aM = g = 0 je orientovaná implicitní funkcí g ve smyslup°íkladu 1.4 (c). Spo£t¥te

∫Mx dy dz.

e²ení. Pouºijeme-li sférické sou°adnice

x = r cos γ cos α,

y = r cos γ sin α,

z = r sin γ,

[r, α, γ] ∈ (0,∞)× (−π, π)× (−π2,π

2),

dostaneme z rovnice g = 0 podmínku r = 1. Tedy zvolíme zobecn¥nou parametrizaci ϕ,

x = cos γ cosα,

y = cos γ sinα,

z = sin γ,

[α, γ] ∈ G := (−π, π)× (−π2,π

2).

PotomM \ ϕ(G) = M ∩ x < 0 ∩ y = 0,

coº je 2-nulová mnoºina. Pro [x, y, z] = ϕ(α, γ) máme

∇g(x, y, z) = [2x, 2y, 2z] = [2 cos γ cosα, 2 cos γ sinα, 2 sin γ]

takºe

det

(∇g, ∂ϕ

∂α,∂ϕ

∂γ

)= det

2 cos γ cosα, − cos γ sinα, − sin γ cosα2 cos γ sinα, cos γ cosα, − sin γ sinα

2 sin γ, 0, cos γ.

= 2

Tedy parametrizace je kladná a∫M

x dy dz =

∫G

cos γ cosα∂(cos γ sinα, sin γ)

∂(α, γ)dα dγ

=

∫ π/2

−π/2

(∫ π

−πcos3 γ cos2 α dα

)dγ =

4

3π .

3.6. Cvi£ení. Nech´ g = x2 + y2 + z2 − 1, h =√

32 − x. Nech´ G = [x, y, z] ∈ R3 : g(x, y, z) = 0,

orientace implicitní funkcí g (tedy normálové pole je identita na sfé°e). Nech´ Ω = [x, y, z] ∈ G : h(x) <0. Najd¥te k°ivku, která ohrani£uje Ω.

e²ení. Varieta G je daná implicitn¥ rovnicí g = 0, rozhrani£ující funkce je h. Hledaná k°ivka máparametrizovat varietu g = h = 0. Pouºijeme-li válcové sou°adnice

x = x,

y = ρ cos α,

z = ρ sin α,

[ρ, α, x] ∈ (0,∞)× (−π, π)× R,

vyjád°íme danou soustavu rovnic jakox2 + ρ2 = 1,

x =

√3

2.

Odtud dostaneme zobecn¥nou parametrizaci ϕ:

x =√

32 ,

y = 12 cosα,

z = 12 sinα,

α ∈ (−π, π).

Zobecn¥ná k°ivka ϕ pokrývá g = h = 0 aº na bod [√

32 ,−

12 , 0]. Máme

∇g = [2x, 2y, 2z] = [√

3, cosα, sinα], ∇h = [−1, 0, 0], ϕ′ = [0,−1

2sinα,

1

2cosα].

46

Test orientace je kladnost determinantu

det (∇g,∇h, ϕ′) = det

√3, −1, 0,cosα, 0 − 1

2 sinαsinα, 0, 1

2 cosα

=

1

2det

(cosα, − sinαsinα, cosα

)=

1

2,

takºe nalezená parametrizace je kladná.

47