Matematicka Geografija - Dio Predavanja

8/10/2019 Matematicka Geografija - Dio Predavanja

1/255

1

MATEMATIKA GEOGRAFIJA


2/255

2

1.9. IZRAUNAVANJE DUINE VIDLJIVOG I NEVIDLJIVOG LUKASUNCA I ZVIJEZDA NA RAZLIITIM HORIZONTIMA

1.9.1. Duina trajanja dana i noi na horizontu izmeu polarnika (pojasizmeu 66 33' 18'' )

- Izraunavanje duine vidljivog luka Sunca i zvijezda nad nekimhorizontom svodi se na izraunavanje satnog kuta od momenta njihovogizlaza do momenta zalaza.

-

Duina vidljivog i nevidljivog luka Sunca odraava duinu trajanja dana inoi za bilo kojidan godine i bilo koji horizont.

- Duina trajanja dana i noi nad nekim horizontom ima znaaj ugeografskim, posebno klimatskim, poleogeografskim i urbanistikimprouavanjima, jer duina dana daje i teoretski broj sati Sunca, tj. duinuosunavanja na nekom horizontu.

-

Postoji razlika u nainu odreivanja duine trajanja dana i noi zahorizonte u pojasu Zemljine kugle izmeu sjevernog i junog polarnika iza horizonte na kuglinim kalotama, tj. izmeu polarnika i polova.

- Sunce se za horizonte izmeu polarnika javlja uvijek kaonecirkumpolarna zvijezda, dok se za horizonte sjeverne i june Zemljinekalote javlja kao necirkumpolarna, kao cirkumpolarna i kaoanticirkumpolarna zvijezda.

- Na horizontima koji se nalaze u pojasu izmeu polarnika, Sunce svakidan izlazi i zalazi.

- Na horizontima kalota Sunce vei broj dana uope ne zalazi(cirkumpolarno) i vei broj dana uope ne izlazi (anticirkumpolarno), ali iizvjestan broj dana izlazi i zalazi (necirkumpolarno).


3/255


4/255

4

1.9.2 Uticaj refrakcije na duinu trajanja dana

-

Refrakcija (lat. refringere= prelomiti, prelamati), lom Sunevih zrakaprilikom prolaza kroz Zemljinu atmosferu.

- Refrakcija utie na produavanje trajanja dana-prilikom suneva izlaskai zalaska.

- Zbog refrakcije Sunce i zvijezde su vidljivi iako se stvarno nalaze 35'ispod horizonta.

- Vidljiv luk Sunca i zvijezda ne poinje, dakle, kad Sunce odnosnozvijezda ima visinu 00 00'00'' , nego kod jedne prividne visine od

00 35'00'' i zbog toga je taj luk neto dui.

- Ako se produenje polovine vidljivog luka Sunca oznai sa dt, to znaida se i njegov satni kut poveao za tu vrijednost, tj.

)cos(coscossinsin'35sin dtt++=

Ranije je bilo: sin sin sin cos cos cosh t = +

Iz ove dvije jednaine izlazi:t

dtsincoscos

'35

=

Ova je formula za izraunavanje iznosa za koji se polovina vidljivog lukaSunca ili zvijezde nad horizontom produi povea usljed refrakcije.

Ako se 35' izrazi u vremenskim jedinicama, onda to iznosi 2 m 20 s, pa je:

27,sincoscos

140formula

t

sdt

=

Moe se dtuiniti nezavisnim od satnog kuta i na taj nain se iznos produenja

dobija sam za sebe: )cos()cos(

'35

+=dt

ili


5/255

5

28for,)cos()cos(

140

+=

sdt

Izvod formule (27)

27,sincoscos

140formula

t

sdt

=

Primjer:

1.Kolika je duina dana s obzirom na njegovo produenje usljed refrakcije nahorizontu Sarajeva 43 51'33"= + na dan 22. juna, tj. kad je sunevadeklinacija 23 26'42'' = + ?

Rjeenje:

1. Iz prethodno rijeenih zadataka (za horizont Sarajeva) vidjeli smo da najduidan traje 15 12 3h m s . Taj dan je usljed refrakcije povean za iznos koji se

dobija iz formule 28.35' 35 'cos( ) cos( ) cos20 24 '51'' cos67 18 '15 ''

0,5833333 0,5833333

cos 20, 414167 cos67,304167 0,9371957 0,3858389

0,5833333 0,58333330,9700601 58' 12''

0,60133730,361606

58' 12''

dt

dt

= = = +

= = =

= = = =

=

Za toliki iznos se produi polovina vidljivog luka Sunca tj. od izlaza dokulminacije. Cijeli vidljivi luk se prema tome produi za: 2 1 56 '24"dt= ,

odnosno u vremenskim jedinicama za 7 45, 6m s .Prema tome e nad horizontom

Sarajeva, 22. juna vidljivi luk Sunca trajati 15 19 48 .h m s


6/255

6

1.9.3 Duina trajanja dana i noi na horizontima izmeu polarnika ipolova (od 66 33' 18'' do 90 )

-

Izmeu polarnika i polova vlada posebna situacija u pogledu duinetrajanja dana i noi.

- U toku godine na svim takama sjeverne i june Zemljine kalote postojedani kad Sunce uope ne zalazi, kad je stalan dan.

- Postoje dani kad Sunce izlazi i zalazi, kad je u toku 24 sata normalnasmjena izmeu dana i noi, slino kao na horizontima izmeu sjevernog i

junog Zemljinog polarnika i

- Postoje dani kad Sunce uope neizlazi, kad je stalna no.

- Sunevi zraci bez obzira na doba godine obasjavaju Zemljinu kuglu takoda je granica izmeu osvijetljenog i neosvijetljenog dijela uvijek velikikrug koji polovi zemljin ekvator.

-

Taj granini krug izmeu osvijetljenog i neosvijetljenog dijela Zemljinekugle naziva se granica svijetljenja.

- Granica osvjetljenja dijeli Zemlju u dvije polukugle: osvijetljenu ineosvijetljenu.

- Kuda e prolaziti granica osvjetljenja i koja e od Zemljinih polulopti sjeverna ili juna biti vie osvijetljena zavisi od Suneve deklinacije,

odnosno od poloaja Zemlje prema Suncu u toku njenog godinjegkruenja oko Sunca.

- Na 22 juna, dan ljetnog solsticija, Suneva deklinacija ima najveupozitivnu vrijednost. Sunevi zraci obasjavaju vie sjevernu nego junuZemljinu poluloptu. Granica osvjetljenja tangira suprotne take napolarnicima T1T2 (slika 44).


7/255

7

- Dan na sjevernoj polulopti traje due od noi - sve due to su geografskeirine vee. Granica osvjetljenja polovi ekvator. Zato na takama naekvatoru dan i no traju jednako dugo. Na svim ostalim takama sjevernepolukugle, na 22 juna, dan traje najdue od svih dana godine, a na junojpolukugli najkrae. Na takama na sjevernom polarniku dan traje puna 24

sata, kao i na svim ostalim takama sjeverne kalote (slika 45).


8/255

8

- Nakon priblino tri mjeseca, tanije 23 septembra suneva deklinacija sesmanjila za 23 26'42'' i iznosi 00 00'00'' .

- Sunevi zraci obasjavaju podjednako sjevernu i junu Zemljinu

poluloptu. Granica svijetljenja prolazi tano kroz sjeverni i juni Zemljinpol. Ona lei u meridijanu i polovi sve paralele i ekvator. Dan i no nasjevernoj i junoj Zemljinoj polulopti traju jednako dugo po 12 sati(slike 46 i 47).

- Nakon tri mjeseca, tanije 23 decembra, Suneva deklinacija je ponovonarasla na 23 26' 42'', samo ovaj put ima negativnu vrijednost jer se Suncespustilo ispod ravnine nebeskog ekvatora.

- Sunevi zraci obasjavaju vie junu nego sjevernu Zemljinu poluloptu.Granica svijetljenja tangira suprotne take na polarnicima. Dan nasjevernoj polulopti traje krae od noi i to je sve krai to su geografskeirine vee.

- Na sjevernom polarniku na dan 22 decembra dana uope nema, a notraje 24 sata. Granica osvjetljenja plovi ekvator. Zato na takama

ekvatora dan i no traju jednako dugo. Na svim ostalim takama sjevernepolulopte na dan 22 decembra dan traje najkrae od svih ostalih dana ugodini, a na junoj najdue.


9/255

9

- Na svim takama sjeverne kalote dana uope nema, a no traje 24 sata idue, (slika 48 i 49).

Razmotrimo sada sluaj trajanja dana i noi u toku godine na taci (bilo kojoj)

koja lei na paraleli 80= + , (slika 50).


10/255

10

- Od 22 juna, kad granica svijetljenja tangira take na polarniku, pa dodatuma kad tangira take na paraleli +80, Suneva deklinacija od

23 26'42''+ se smanji za 13 26' 42'', tj. bude 10 00'00' .+

- Kroz sve to vrijeme taka na paraleli +80 imat e stalan dan. Sunce nee

zalaziti ispod horizonta bilo koje take na toj paraleli.

- Od datuma kada Suneva deklinacija bude 10 00'00',+ do datuma kadadeklinacija Sunca bude 10 00'00', sve take na paraleli imat e normalnusmjenu dana i noi.

- Sunce e izlaziti i zalaziti na svim horizontima taaka na paraleli +80.

-

Od datuma kada suneva deklinacija bude 10 00'00', do 22 decembra, svetake na paraleli +80 imat e stalnu no.

- Sunce nee izlaziti iznad horizonta bilo koje take koja lei na tojparaleli.

- Od 22 decembra pa do datuma kada e suneva deklinacija biti ponovonegativna, tj. 10 00'00', sve take na paraleli +80 imat e i dalje stalnu

no koja e postajati sve kraa.

- Od datuma suneve deklinacije 10 00'00', do datuma suneve deklinacije10 00'00',+ biti e na takama paralele +80 ponovo normalna smjena dana

i noi.

- I konano, od suneve deklinacije 10 00'00',+ do maksimalne pozitivnedeklinacije 23 26'42''+ na dan 22 juna, sve take na paraleli +80 imat estalan dan.

- Prema tome, na horizontima izmeu polarnika i polova, trajanje dana inoi zavisi samo i direktno od suneve deklinacije.


11/255

11

1.9.4. SUTON I SVIJETLE NOI

1.9.4.1.

Korekcija duine trajanja dana i noi

- I nakon zalaza Sunca ispod prividnog horizonta, Sunevi zraci obasjavajuslojeve Zemljine atmosfere visoko iznad horizonta, pa se ta svjetlost vidijo prije Sunevog izlaza i poslije Sunevog zalaza na horizontu.

- Ovo osvjetljenje neba koje vidimo prije Sunevog izlaza i poslijeSunevog zalaza nazivamo sumrakom.

- Ve prema tome da li se sumrak javlja u jutro ili na veer, sumrak senaziva jutarnjim ili veernjim sumrakom (postoje i nazivi: zora isuton).

- Veernji sumrak nastupa sa Sunevim zalazom. Kada se Sunce spusti 6ispod horizonta zavrava se tzv. graanski sumrak. U kuama se palesvijetla.

- Kad se Sunce spusti 18 ispod horizonta, zavrava se tzv. astronomskisumrak i nastupa potpuna, mrkla no. Na nebu se pojavljuju zvijezdenajslabijeg sjaja. Jutarnji sumrak nastupa od momenta kad je visini Suncaispod horizonta 18 i traje do sunevog izlaza.

- Oba sumraka e biti kraa to je visina nevidljivog luka Sunca ispodhorizonta vea, tj. to je visina Sunca u donjoj kulminaciji vea.

- Na paraleli 48= + visina Sunca u donjoj kulminaciji za vrijeme ljetnogsolsticija 1969. godine, iznosi: 90 90 23 26 '36 '' 48 18 33'24 '',h = = = toznai da se Sunce na taj dan sputa za samo 33'24'' nie od one visine dokoje nastaje astronomski sumrak, tj. do 18, pa e zato veernji i jutarnjisumrak biti razmaknuti jednom kratkom, pravom noi i to oko ponoi.


12/255

12

- Na veim paralelama visina Sunca e u donjoj kulminaciji, oko ljetnogsolsticija, biti jo manja, pa prava, mrkla no nee uope nastupiti negoe se oba sumraka spojiti i tako e nastupiti tzv. bijele noi. Najjunijaparalela od koje se na sjevernoj Zemljinoj polukugli prema sjevernom

polu javljaju bijele noi dobije se iz formule: 90 .h =

- Ako je 18 ,h= onda je u vrijeme ljetnog solsticija:90 23 26 '36 '' 18 48 33'24 ''= =

- Od te paralele na sjevernoj odnosno junoj hemisferi, do sjevernogodnosno junog pola, nastupaju svijetle noi.

-

One traju za neku paralelu od datuma kad je deklinacija Sunca bila tolikada je uslovila da se Sunce u donjoj kulminaciji ne sputa nie od 18, dodatuma kad je prvi put visina Sunca u donjoj kulminaciji bila vea od

18 .

Primjer:

U kojim su datumima 1969. godine nastupile i prestale bijele noi i koliko su

trajale na 60 sjevernoj paraleli:

Rjeenje:Bijele noi su nastupile i prestale:

a)na paraleli 60= bijele noi e nastupiti u onaj datum kad iznos sunevedeklinacije bude toliki, da njegova visina u donjoj kulminaciji ne bude veaod 18, a to e biti:

90 90 60 18 12h = = = + U astronomskom kalendaru za 1969. godinu nae se datum kada se sunevadeklinacija prvi put pojavila od poetka godine kao 12 00'00''.+ To je bilo 22aprila. Zatim se trai datum kada se u godini posljednji put pojavila deklinacijaSunca od +12. To je bilo 19 augusta. U tom periodu su se javljale bijele noina svim takama 60 paralele. Kako u tom periodu ima 119 dana, to znai de seu toku 1969. godine 119 dana pojavilo sa bijelim noima. Kroz to vrijeme,praktino, prave mrkle noi nije ni bilo.


13/255

13

1.10. ODREIVANJE UDALJENOSTI NEBESKIH TIJELA

-

Odreivanje udaljenosti zvijezda i nebeskih tijela uope, svodi se naslian princip koji upotrebljavamo pri odreivanju udaljenosti izmeutaaka na Zemljinoj povrini.

- Princip se sastoji u tome da se sa krajeva neke baze, ija je duinapoznata, viziranjem (pomou za toprikladnih instrumenata) na taku ijase udaljenost trai, dobiju kutevi, a onda se pomou formula,uvrtavanjem dobivenih kutnih vrijednosti, moe doi i do udaljenosti.

- Slino je i kod odreivanja udaljenosti dalekih nebeskih tijela.

- Odreuju se kutevi, a iz njih se izraunava udaljenost. Kut na osnovukojeg se odredjuje udaljenost naziva se paralaktiki kut ili paralaksa(gr. para = s one strane; allaso= mijenjati, promijeniti).

- Pod paralaksom izvjesne take odnosno tijela na nebu, podrazumijeva se

onaj kut ppod kojim bi se sa te take vidio poluprenik Zemlje R. Ili, toje kut pkojeg zatvaraju linije povuene iz centra Zemlje i naeg stojitaka nebeskom tijelu kut SLT na slici 59.


14/255

14

- Ukoliko je nebesko tijelo dalje to je i kut paralakse manji.

- Ako se u taci stojita S povue tangencijalna ravnina, koja predstavljaravninu naeg horizonta H', a kroz centar Zemlje ravninu paralelnu sa tim

horizontom (pravi ili matematski horizont) H, onda kut pod kojim se vidinebesko tijelo L, sa ravnine horizonta (kut LSH1), predstavlja prividnuvisinu h', a kut pod kojim se to tijelo vidi sa ravnine pravog ilimatematskog horizonta LTH, predstavlja pravu visinu nebeskog tijela(visina h). Ovim kutevima su komplementarni z' i z koji predstavljajuprividnu i pravu zenitnu udaljenost nebeskog tijela. Direktno se mjerisamo prividna visina h'. Iz slike 59 se vidi da je:

180 ' 180 ; ' 0;

' ; '

z p z z p z

z z p z z p

+ + = + =

= = +

Rijeima reeno: prava zenitna udaljenost tijela z je za paralaksu manja odprividne (izmjerene) z'. Ako se zenitna udaljenost zamjeni komplementnimkutem tj. ' 90 ', a 90 ,z h z h= = onda iz navedenih formula( ' 0; ' ; ' )z p z z z p z z p+ = = = + slijedi: ' ' 'h h p h h p p h h= + = =

Prava visina nebeskog tijela hje za paralaksu vea od prividne (izmjerene)visine h'.

S pribliavanjem nebeskih tijela zenitu posmatraa, paralaksa postaje svemanja, dok je u samom zenitu 0. Najvea je kad je nebesko tijelo u ravn inihorizonta. Mogunostodreivanja paralakse vidi se iz slike 60.


15/255

15

U njoj je:

C = sredite Zemlje,A = taka stojita,

R = Zemljin poluprenik,A H' = prividni horizont take A,C H = pravi horizont take A,L = zvijezda nad prividnim horizontom,L' = zvijezda nad pravim horizontom,LC = D = udaljenost zvijezde od Zemljina sredita,p = paralaktiki kut zvijezde iznad horizonta,= paralaktiki kut zvijezde u horizontu.

Iz trokuta ACL, na osnovu sinusnog pravila izlazi: )'90sin(:sin: hpCLCA += odnosno, )'90sin(:sin: hpDR +=

p

RD

sin

cosh'= u kojoj je '.p h h=

U prethodnoj formuli pje paralaksa koja se za ovaj sluaj nebeskog tijela iznadhorizonta, naziva visinska paralaksa.

Ako se zvijezda spusti do horizonta A H', u taku L', tada je : h' = 0 , a cos0 =1. U tom sluaju paralaksa nebeskog tijela nee biti pnego . Taj kut se nazivahorizontska paralaksa nebeskog tijela.Iz trokuta A C L' izlazi: 1:sin: =DR

sin

RD= Kako su lijeve strane jednaine

sin

RD= jednake za oba sluaja

poloaja nebeskog tijela u odnosu na horizont, tj. 'CL CL D= = , to su im i desne

strane jednake, pa je:sinsin

cosh' R

p

R=

na taj nain izmeu p i

postoji ovaj

odnos: cosh'sinsin =p ;cosh'

sinsin

p=

- Ako se vri posmatranje zvijezda onda se moe smatrati da je s obziromna veliku udaljenost zvijezda poluprenik Zemlje jednak nuli, pa je i kutpod kojim se vidi taj poluprenik jednak nuli. Zato se i ekvatorskekoordinate zvijezda (rektascenzija i deklinacija) ne mijenjaju spromjenom mjesta posmatraa na Zemljinojpovrini.


16/255

16

- Ako udaljenost nebeskih tijela nije velika u odnosu na dimenzije Zemlje(naprimjer tijela Sunevog sistema), onda e rektascenzija i deklinacijaistog tijela odreena u istom momentu sa raznih taaka Zemljine povrineimati razliite vrijednosti. U astronomskim godinjacima daju se

ekvatorske koordinate bliih nebeskih tijela, ali u odnosu na samo jednu,uvijek istu taku Zemlje. Dogovorno, ta je taka Zemljino sredite. Zatose pri izraunavanju prividnih poloaja nebeskih tijela Sunevog sistema,obavezno uzima u obzir razlika izmeu ekvatorskih koordinata kojima jeodreen poloaj nebeskog tijela prema Zemljinom sreditu i koordinataodreenih u odnosu na taku stojita na Zemljinoj povrini. Koordinatekoje se odnose na Zemljino sredite nazivaju se geocentrine, a one kojese odnose na taku na njenoj povrini zovu se topocentrine.


17/255

17

2.ZEMLJA I NEBO POSMATRANI SA TAKE U SVEMIRSKOMPROSTORU

Sa take stojita na Zemljinoj povrini vidimo sasvim mali dio Zemljine kugle ipolovinu nebeske sfere. Ako zamislimo, da nam se taka stojita nalazi vanZemljine kugle, negdje u svemirskom prostoru, onda sa te take zapaamoitavu Zemlju kao nebesko tijelo - planetu, uoavamo njen oblik i veliinu,mogunosti orijentacije na njenoj povrini, njena kretanja, kao i njen poloaj usvemirskom prostoru.

2.1.

Oblik i veliina Zemlje

O obliku Zemlje formirala su se kroz historiju uglavnom ova stanovita:

Zemlja je ravna ploa= Najstarija shvatanja Egipana, Babilonaca, Asiraca uVIII i VII vijeku p.n.e.

Zemlja je kugla = Pitagora VI i Anaksagora V vijek p.n.e., ali bez stvarnih

dokaza.

Zemlja je sferoid (elipsoid):

a)produeni (Cassini 1700. godine),b)spljoteni, Newton, Huyghens 1690.

Zemlja je geoid: Listing 1873. godine.

U cilju utvrivanja oblika Zemlje vrena su na Zemljinoj povrini raznamjerenja, a time se dolazilo i do spoznaja o njenoj veliini i dimenzijama. Svamjerenja oblika Zemlje svode se na:a)astronomsko - geodetska,b)fizika,c)geofizika.


18/255

18

2.1.1. Astronomsko - geodetska mjerenja oblika Zemlje

Sastoje se odreivanju prave udaljenosti (najkrae udaljenosti) izmeu dvije

take na Zemljinoj povrini, a to je duina luka izmeu dvije take kaogeodetski rad i odreivanje centralnog kuta koji odgovara tom luku (zenitnikut). Iz poznavanja veliine centralnog kuta i duine njemu odgovarajueg lukana Zemljinoj povrini, moe se izraunati obim i poluprenik Zemlje kaokugle, na osnovu proporcije (slika 61):

360 180: 360 : 2 2 57,29578

l l ll R R R R

= = = = =

Prva ovakva mjerenja izvrili su Eratosten (II v. p.n.e.) i Posidonije ( I v.p.n.e.). Poto je princip koji je prvi upotrijebio Eratosten u sutini do danaszadran, to e se ova prva mjerenja izloiti detaljnije.


19/255

19

a)Eratostenovo mjerenje veliine Zemlje

Luk na Zemljinoj povrini koji je Eratosten trebalo da izmjeri, pruao se

izmeu Aleksandrije Ai Siene S(dananji Asuan) slika 62.

Eratosten je pretpostavio da oba mjesta lee na istom meridijanu i da je prema

tome taj luk najkrae udaljenje izmeu njih.

Eratosten nije obavio geodetski rad, tj. nije izveo mjerenje duine tog luka, jerje u biblioteci u Aleksandriji, gdje je i radio doao do podatka, da je Sienaudaljena od Aleksandrije oko 5000 aleksandrijskih stadija.

Odreivanje kuta koji odgovara tom luku, dakle, astronomski rad, Eratostenje izveo ovako: saznao je da u jednom danu godine Sunce u asu gornje

kulminacije potpuno osvjetljava dno jednog bunara u Sieni. Iz tog podatka jesasvim pravilno zakljuio da je Sunce u taj as u zenitu nad tim bunarom i da jeprema tome zenitna udaljenost Sunca u Sieni 00 00'00''. U taj isti dan i as on jeu Aleksandriji pomou skafiona, izmjerio zenitnu udaljenost Sunca i naao daona iznosi 712'.Kako se taj kut nalazi 50 puta u punom krugu (360), to se injemu odgovarajui luk na Zemljinoj povrini, u itavom obimu kruga, moratakoe nalaziti 50 puta, tj. obim velikog kruga zemljine povrine je 50 putavei od duine dijela njegovog luka. Odnosno, kut =

'(paralelni kraci kao

sunevi zracipresjeeni transverzalom daju naizmjenine kuteve jednake).


20/255

20

360 360: 360 : 2 2 5000 250000 stad.

7,2

ll R R

= = = =

Da bi dobio okrugao broj stadija za 1 Eratosten je obim Zemlje poveao na

258000 stadija i tako za luk od 1 dobio duinu od 700 stadija. Prema novijimproraunima jedan aleksandrijski stadij iznosio je 158 metara, pa je prematome Zemljin obim na osnovu Eratostenovog mjerenja iznosio 39815 km, a topredstavlja vrijednost koja je vrlo blizu stvarnom obimu Zemlje ( oko 40000km).

Greka kod Eratostenovog mjerenja nastupila je ne samo zbog nesavrenostimjerenja i nepouzdanosti odreivanja udaljenosti izmeu Aleksandrije i Siene,

nego i zbog pogrene Eratostenove pretpostavke da Aleksandrija i Sijena leena istom meridijanu, dok je stvarno Aleksandrija za oko 3 zapadnije odAsuana.

b) Posidonijevo mjerenje veliine Zemlje

Po principu je slino Eratostenovom mjerenju. Luk mjerenja se pruao izmeu

Aleksandrije i Rodosa (otok u Sredozemnom moru Juni Sporadi) za koje je iPosidonije pretpostavio da lee na istom meridijanu. Ni on nije izvriogeodetski rad tj. izmjerio duinu tog luka, nego je uzeo da ta duina iznosi tatakoe 5000 stadija. Astronomski rad se sastojao u odreivanju visine zvijezdeCanopus ( u sazvijeu Cari), koja je zvijezda june nebeske hemisfere( 52 38 '). Njena gornja kulminacija je neto malo iznad horizonta Rodosa, dok

je u Aleksandriji znatno via.

Na slici 63, mali krug predstavlja meridijan na kojem se prema Posidonijevojpretpostavci nalaze Aleksandrija A i Rodos R. Vei krug je nebeska sfera.


21/255

21

1 2A A = horizont Aleksandrije1 2R R = horizont Rodosa1 2A' A' = matematski horizont Aleksandrije

1 2R' R' = matematski horizont Rodosa.Zvijezda Canopus L je u gornjoj kulminaciji. U tom trenu njena visina nadhorizontom Rodosa odgovara luku R1L, a u Aleksandriji luku A1L. Ali kakosu zvijezde jako udaljene, to se prividni i matematski horizont moguizjednaiti, pa e tada visina zvijezde L biti: 1 1' : ' .A Rh A L h R L= =

Razlika u visini zvijezde L je 1 1 1 1' ' ' 'A Rh h A L R A R = = Tom luku odgovara kut Z koji je jednak kutu AOR, jer su kraci tih kutevameusobno okomiti.

Posidonije je odredio visinu zvijezde Canopus u asu njene gornje kulminacijenad horizontom Aleksandrije (pono) i dobio ugao od 7 30' i taj je ugao uzeokao razliku visine zvijezde Canopus nad horizontom Rodosa i Aleksandrije uasu gornje kulminacije. Ta razlika u visini odgovara centralnom uglu Z i

njemu odgovarajuem luku AR izmeu Aleksandrije i Rodosa. Prema tome je:360 360

2 5000 240000 stadija7,5

lR

Z

= = =

Dobivena vrijednost stadija preraunata u kilometra (1 158 m)stadij= daje 37920km. Poveana razlika izmeu stvarnog obima Zemlje i izmjerenog kodPosidonija u odnosu na Eratostenovo mjerenje, posljedica je veih greaka.Rodos i Aleksandrija ne lee na istom meridijanu niti im je udaljenost tana, ani izmjereni kut koji bi trebalo da iznosi 5 15 '. Eratosten i Posidonije nisu obavljali najtei dio posla - mjerenje duine lukaizmeu dva mjesta, nego su poli od ve gotovih ranije odreenih vrijednosti.


22/255

22

Znaaj njihovog rada lei u tome, to su oni prvi, shvativi Zemlju kao kuglu,najedan vrlo domiljat nain pokuali da odrede i veliinu te kugle.

c)Arapsko mjerenje veliine Zemlje

Prvi za koje se zna da su osim astronomskih vrili i geodetska mjerenja bili suArapi. Oni su. mjerenja obavljali u Sirijskoj pustinji oko 827. godine. Grupamjeraa, odredila je na jednoj taci u pustinji visinu pola (sjevernog nebeskog).Od te take nekoliko mjeraa krenulo je prema sjevernoj taci na horizontu, anekoliko prema junoj, stalno kontroliui visinu pola i mjerei usputprevaljeni put. Duinu prevaljenog puta mjerili su pomou lakta, ondanjearapske mjere za duinu, koja je iznosila oko 0,5 metara. Oni mjerai koji su

krenuli prema sjeveru ili su sve dotle dok im se visina pola nije poveala za1. Oni mjerai koji su krenuli prema jugu, ili su sve dotle dok im se visinapola nije smanjila za 1. Zatim su se obje grupe mjeraa vratile na poetnutaku. Jedni su dobili da je duina prevaljenog puta od 1 56,66 = arapskih milja,a druga okruglo 56 arapskih milja, ali je odlueno da se usvoji vea vrijednost.Arapska milja ima 4000 lakata, a lakat oko 0,5 metara, to znai da 1 arapskamilja ima oko 2000 metara, pa prema tome 1 ima 113.332 metra. To je dostataan rezultat, jer 1 po meridijanu odgovara duini luka od oko 111.111

metara kao srednja vrijednost.

d) Fernelovo mjerenje veliine Zemlje

U novom vijeku je Jean Fernel (1497 1558.) odredio 1528. godine visinuSunca u gornjoj kulminaciji nad horizontom Pariza i nad horizontom Amien-a,koji se priblino nalaze na istom meridijanu. Fernel je idui od Pariza prema

sjeveru traio mjesto u kome je visina Sunca u gornjoj kulminaciji za 1 manja.To je bio Amien. Pomou obrtaja takana kolima odredio je udaljenost izmeuPariza i Amiena, a uticaj okuka i visina korigirao je od oka. Na taj nain doaoje do vrlo tanog rezultata: 1 56746 110598 .toaza metara = = (1 1,94904 ).toaza m=


23/255

23

e)Keplerovo mjerenje veliine Zemlje

Nakon Fernelovog mjerenja veliine Zemlje, javlja se niz naunika koji daju

svoje prijedloge za mjerenje veliine Zemlje. Meu njima je najvaniji Kepler.On u svom radu: " Epitome astronomiae Copernicanae", Linz 1618, str. 28,predlae svoju metodu odreivanja dimenzija Zemlje koju su tek kasnije (1655.godine) Riccioli i Grimaldi praktino primijenili u Bologni. Pomou sljedeeslike objasniemo Keplerov metod za mjerenje veliine Zemlje (slika 64).Oznake na slici imaju sljedee znaenje:O = sredite Zemlje, a opisani krug je bilo koji veliki krug na zemljinojpovrini,

Ai B= take na Zemljinoj povrini koje su na razliitim apsolutnim visinama.Taka A ima veu apsolutnu visinu od take B,C'AC= pravci vertikala u takama A iB,C' iD= take zenita,CD= dio luka velikog kruga,

= centralni kut koji odgovara luku l,OC= poluprenik Zemlje R.

Kepler predlae mjerenje kuteva i

u takama A iB, tj. kuteva izmeuvertikala u takama A iBi pravca koji vee te take. Kutevi i predstavljaju

suplemente kutevima i , tj. 180 ; 180 = =


24/255

24

Centralni kut prema punom kutu odnosi se kao njemu odgovarajui luk lprema obimu punog kruga, tj.

Rl 2:360: = )(180 += ili

+= 180 naime:=++ 180

=++ 180180180 =+ 180 += 180

=

3602

lR ;

=

180lR

)180(

180

+

=

lR

Ako je luk lpoznat, tj. udaljenost izmeu mjesta Ai Bi ako su poznati kutevii

koji se mogu lako izmjeriti onda se iz navedene formule moe izraunatipoluprenik Zemlje, odnosno njen obim, a odatle i druge veliine. Metoduslinu Keplerovoj dao je Dubrovanin Marin Getaldi u XVII vijeku.

Englez Richard Norwood je u svom djelu: "The Seamans Practice", 1636.

godine, opisao kako je izmjerio visinu pola u Londonu i Yorku. A zatimudaljenost izmeu oba grada direktno pomou kompasa i lanca. Naao je dasrednja vrijednost duine 1 po meridijanu iznosi 367196 engleskih stopa(1 30,479947 ).engleska stopa cm=

I uveni sicilijanski matematiar Riccardi dao je svoj prijedlog za mjerenjeveliine Zemlje, koji su prihvatili i primijenili Belli 1565., Clavius 1612. iWright 1610. godine.


25/255

25

2.1.2. Savremene metode mjerenja duine luka meridijanskog stepena.

Od prvih jednostavnih, direktnih, geodetskih mjerenja, duine meridijanskogluka u starom, srednjem i poetkom novog vijeka, dolo se pomouSnelliusove metode triangulacije (lat. triangulus = trokut, trougao) poetkomXVII v. do savremene metode mjerenja udaljenosti.

a)Snelliusova metoda triangulacije

Holananin Willebrord Snellius (1591 - 1626. g.), pronaao metodu mjerenjaduine meridijanskog luka, pomou koje nije vie direktno, nego posredstvomjednog reda meusobno uklopljenih i povezanih trokutova, mogao da izmjeri ijako velike udaljenosti izmeu dvije take na Zemljinoj povrini. Ta metodanazvana je triangulacija, a osnovni razlog za njenu primjenu lei u tome to sekutevi mogu lake i bre izmjeriti nego duine. Snellius je 1615. godine elioda izmjeri duinu meridijana koji je prolazio kroz grad Leyden. Luk meridijanase protezao izmeu grada Alkmara na sjeveruA i Bergena Op Zoom na jugu B,

(slika 65).

Linije AC i BD su okomice na meridijan iz taaka A i B, a duinameridijanskog luka je CD. Od Ldo Eje duina baze koja je precizno i direktnoizmjerena. Iznosila je 326 rajanskih ruta. Odreen je i azimut baze kut .Nakon toga izabrao je Snelius, u prostranoj holandskoj niziji, nekolikoistaknutih taaka, uglavnom vrhova tornjeva crkava: K, H, F, J, G I N.Iz taaka E i L (krajevi baze) vizirao je Snelius na taku F i odredio kuteve

ELF (1) i FEL (1), a prema taci G kuteve ELG (2) i LEG (2).Poznavajui dva kuta u trokutu LEF i jednu njegovu stranicu (bazu) i dva kutau trokutu LEG, mogao je odrediti trei kut (

1 i 2) i preostale dvije stranice(a1b1i a2b2).

)(180 111 += )(180 221 +=

111 sin:sin: =bc 222 sin:sin: =ac

1

11

sinsin

cb = ;

2

22

sinsin

ca =


26/255

26

Na taj nain je linije b1 i a2dobio kao nove poznate baze, za nove trokutoveEFH i LGJ.

Tad je postupak mjerenja kutova ponovljen. Iz take E vizirana je taka H iodreen kut HEF (

3), a iz take F kut HFE (3). Rjeenjem tog novog trokutaHEF, dobio je novu poznatu bazu HF iz vrhova koje, opet odreuje kuteveKHF (

4) i (4) i na taj nain je rijeio i zavrne trokutove ACK i BDJ.

Traena duina meridijanskog luka .CD CL LD= + Ta se duina na osnovuizraunatih trokutova izrauna ovako: Na meridijan CL povuku se okomice K-K1, F-F1, E-E1. Na taj nain, duina CL je:

1 1 1 1 1 1 1 1 .CL CK K F F L CH H E E L= + + = + +

Iz pravokutnog trokuta FF1L, stranica:)cos( 11 = LFLF


27/255

27

Kut 1je ve ranije odreen, a je kut izmeu meridijana i bazne linije(dopuna azimuta bazne linije do 360). Tako je odreena duina dijelameridijanskog luka LF1.

Ostali dijelovi luka meridijana se odreuju po konanoj formuli:

)cos(

)cos()cos(

+++

++++=

FLEKFLAKFAK

FLEKFLKFFLELFCL

Nakon izraunavanja duine meridijanskog luka vri se astronomsko mjerenjeradi odreivanja kuta koji odgovara izmjerenom luku. Kad se odredi veliinatog kuta, onda se po ve poznatoj proporciji moe izraunati i duina luka od1 po meridijanu. Snellius je na taj nain naao da 1 ima duinu od 55021toaze, odnosno oko 107235 metara. Snellius-ovu metodu triangulacije su

upotrijebili:

Godine 1645. italijani Riccioli i Grimaldi, ali su dobili pogrene rezultate (1 =62650 toaze), Godine 1670. francuski astronom Jean Picard (1620 1682. g.)upotrijebio je triangulaciju za mjerenje duine luka meridijana izmeuMalvoisina (juno od Pariza) i Amiena, dakle, isti luk kao i Fernel. Za 1 dobioje vrijednost od 57060 toaza (111212 metara). Njegova mjerenja su bila zanauku znaajna i zato to se Newton posluio njegovim proraunima veliine

Zemlje za svoju teoriju privlanog dejstva Zemlje na Mjesec. PremaPisardovim proraunima Zemlja ima oblik kugle iji je obim 20541000 toaza(4003632 km), a prenik 6538593 toaze (12743,95 km).


28/255

28

2.2.ZEMLJA ELIPSOID (SFEROID)

2.2.1. Zemlja spljoteni elipsoid

Ozbiljnije sumnje u kuglast oblik Zemlje nastupile su jo vrijeme Picard-a.Holandski fiziar i astronom Christian Huyghens i engleski matematiar IsacNewton pretpostavili su da se Zemlja u ranijoj svojoj geolokoj historiji dok jebila u uarenom - tekuem stanju, morala spljosnuti du rotacione osovine i nataj nain se od Zemlje formiralo tijelo oblika rotacionog elipsoida (obrtni

elipsoid). To je takvo tijelo koje opie elipsa kada se zarotira oko jedne odosovina. Ako je ta njihova hipoteza bila tana, onda za njenu potvrdu nije bilodovoljno jedno mjerenje duine luka 1 na meridijanu (kao to bi bilo dovoljnokod kugle), nego vie mjerenja, na razliitim geografskim irinama. Ako jeZemlja rotacioni elipsoid, tj. spljoten na polovima, onda duina meridijanskogluka od 1 mora biti vea u blizini polova nego u blizini ekvatora.

Plohi vee zakrivljenosti (na ekvatoru) odgovara manja linearna duina luka

odreenog broja stepeni. Plohi manje zakrivljenosti (u blizini polova),odgovara vea linearna duina luka istog broja stepeni (slika 66).

Luk AB i luk CD mogu se smatrati kao dijelovi krugova koji imaju razliitepoluprenike. Luk AB prema tome ima manji poluprenik zakrivljenosti od

luka CD, to znai da je linearna duina tog luka manja od linearne duine lukaCD, iako oba imaju jednak centralni kut od 10.


29/255

29

2.2.2. Fizika mjerenja oblika Zemlje

Sastoje se u tome da se pomou poznatih fizikih zakona, primijenjenih naneka tijela (klatno, vaga, visak i sl.) odredi njihovo ponaanje u zavisnosti odneke konstante Zemljine sile uvjetovane njenim oblikom koja djeluje naponaanje tih tijela.

a)Richer-ova zapaanja o duini sekundnog klatna

Godine 1672. i 1673. boravio je francuski fiziar i astronom Jean Rier uCayenni ( 4 56 '28''),= + glavnom gradu francuske kolonije Gvajane, radiodreivanja nekih astronomskih veliina u vezi sa Suncem. Pored ostalihinstrumenata, Rier je imao i sekundno klatno koje je, doavi iz Pariza uSajenu, morao da skrati za 2,66 mm, da bi klatno klatilo sa periodom od 1sekunde. Naime, doavi iz Pariza u Sijenu zapazio je da jedan njihaj klatna neiznosi jednu sekundu kao u Parizu nego neto vie od jedne sekunde. Kada jeduinu klatna skratio za 2,66 mm, klatno je ponovo poelo da se klati sa

periodom od jedne sekunde. On je tu pojavu i opisao, ali je nije mogaoprotumaiti.To je uspjelo tek Huyghensu 1690. godine, na osnovu svog zakonao sekundnom klatnu.

b) Huyghens-ov fiziki dokaz za sferoidan oblik Zemlje

Matematsko klatno je takvo zamiljeno klatno, kod kojeg je nit duine l bezteine, a na kraju te niti je objeena taka mase m. Huyghens je ispitivajui

klatno doao do formule1

:

G

lt = u kojoj je t vrijeme jednog klaenja; l duina klatna, a G

privlana sila Zemlje u taci klaenja (gravitacija). Iz prethodne formule slijedida uz istu duinu klatna, vrijeme jednog njihaja je krae to je gravitacija vea iobrnuto.Pri istoj gravitaciji, vrijeme jednog njihaja je upravno razmjerno drugomkorijenu iz duine klatna. to je klatno due vrijeme jednog njihaja je vee i

obrnuto.

1Wessel, Physik, Basel, 1947., str. 35.


30/255

30

Ako je vrijeme jednog njihaja sekunda onda je duina tog tzv. sekundnogklatna:

GGsekunda

l == 10132,01

2

odnosno gravitacija (zemljina tea) na nekoj geografskoj irini je:10132,0

lG=

To znai da je mogue odrediti gravitaciju na nekom mjestu ako se duinaklatna podesi tako da jedan njihaj traje 1 sekundu, a onda se ta duina izmjeri iizrauna po formuli .

0,10132

lG= Od jedinica dobiju se milimetri koji

predstavljaju akceleracija slobodnog pada, tj. ubrzanje koje neko tijelo, kojeslobodno pada dobija pod uticajem sile zemljine tee.

Iz formule Gsekunda

l = 21

slijedi da je duina sekundnog klatna na nekommjestu to vea to je gravitacija na tom mjestu vea i obratno. Kako je Rier uSajeni morao da duinu klatna smanji za 2,66 mm, a u Parizu povea za istuvrijednost (da bi mu klatno u oba mjesta njihalo sa periodom od jednesekunde), to znai da je u Sajeni gravitacija slabija nego u Parizu.

Prema Newton-ovom zakonu ope gravitacije, kojeg je Newton objavio trigodine prije Huyghens-a (1687), gravitacija slabi sa kvadratom udaljenosti, to

u sluaju Rierovog klatna znai da je Sajena dalje od centra Zemlje negoPariz, jer je u Sajeni gravitacija slabija, a to kao krajnja konsekvenca znai daje Zemlja ispupena na ekvatoru, a spljotena na polovima. Dakle, Zemlja jerotacioni elipsoid ili sferoid. Brojna mjerenja sekundnim klatnom na raznimgeografskim irinama jasno su pokazala da se duina klatna poveava sapoveanjem geografske irine, to upuuje i na srazmjerno poveanjegravitacije sa irinom. To se najbolje vidi iz sljedee tabele2:

Geografskairina

Duinasekundnog

klatna umm

Gravitacijau cm/s2

0 990,97 978,04645 993,59 980,63250 994,04 981,08280 996,06 983,068

90 996,22 983,232

2H., Wagner, Lehrbuch der Geographie, Hannower und Leipzig, 1912., str, 112.


31/255

31

c)Newtonov fiziki dokaz za sferoidni oblik Zemlje

Primjenjujui svoj zakon univerzalne gravitacije na Zemlju i povezujui ga

sa Huyghens-ovim zakonom o centripetalnoj i centrifugalnoj sili, Newtoniznosi fiziki dokaz za sferoidan na polovima spljoten oblik Zemlje. Da bi setaj dokaz mogao shvatiti u potpunosti, potrebno je prethodno objasnitiHuyghens-ov zakon o centripetalnoj i centrifugalnoj sili, kao i Newtonovzakon gravitacije i silu Zemljine tee.

d) Huyghens-ov zakon o centrifugalnoj i centripetalnoj sili

Ovaj zakon otkrio je Huyghens krajem XVI vijeka (1690 godine). Kod svakogkrunog kretanja nastaju dvije sile jednake po veliini, ali suprotnog smjeradjelovanja.

Centripetalna sila(lat. centrum = sredite, centar; petere = teiti), dakle, silakoja tei ka sreditu kretanja, koja nastoji da tijelo koje se kruno kree privuecentru kretanja.

Centrifugalna sila (lat. centrum = sredite; fugere = bjeati od), dakle, silakoja nastoji da tijelo odvue od centra okretanja.Pod uticajem centripetalne sile, tijelo bi, kreui se prema centru okretanja,dobivalo neko ubrzanje izraeno u cm/s, pa se tako govori o centripetalnomubrzanju izraenom u cm/s i centripetalnoj sili izraenoj u dyn-ima (gr.dynamis = sila).

Dyn je sila koja jedinici mase (1 gram) daje ubrzanje od 1 cm u 1 sekundi, ili toje sila koja masu od 1 grama pomjeri iz stanja mirovanja za 1 cm u 1 sekundi.Prema Huyghens-ovom zakonu, centripetalno ubrzanje je direktno srazmjernodrugom stepenu rotacione brzine v, a obrnuto srazmjerno poluprenikurotirajueg tijelar.

2

.v

fr

= Brzina vje odnos izmeu duine preenog putasi vremena za koje je

taj put prevaljen, tj. .svt

= Kako se kod rotirajuih tijela radi o rotacionoj

brzini, to je potrebno vidjeti ta ona znai za Zemljinu kuglu.


32/255

32

e)Rotaciona, brzina taaka na Zemljinoj povrini

Rotaciona brzina taaka na Zemljinoj povrini je izraena odnosom duine puta

kojeg taka prevali za vrijeme jednog punog okretaja Zemlje i vremena koje jepotrebno za taj puni okretaj. Kad neka taka na Zemljinoj povrini doeponovo u isti poloaj prema nekoj zvijezdi onda je Zemlja napravila puniokretaj. Proao je jedan tzv. zvjezdani dan. Zvjezdani dan ima 86164 sekunde.

Razliite take na Zemljinoj povrini prevale prilikom Zemljine rotacijerazliito duge puteve. Ti su putevi, zapravo, duine krugova paralela, njihoviobimi, na kojima se nalaze te take Najdui put prevale take na Zemljinom

ekvatoru, to je i razumljivo, jer ekvator ima najvei obim u odnosu na sveostale paralele (oko 40000 km). Prema tome, rotaciona brzina taaka na

ekvatoru iznosi: 002

.O R

vt t

= = Obimi paralela Ose smanjuju sa kosinusom

geografske irine paralele, tj. cos2cos0 == ROO Prema tome se i rotaciona brzina taaka na pojedinim paralelama, takoesmanjuje sa kosinusom geografske irine te paralele.

cos2

cos0 ===t

R

t

O

t

Ov

a kako jet

Rv

20 = , to je rotaciona brzina take na nekoj paraleli:

cos0=vv

Prema tome je centripetalno ubrzanje:2

0

( )

.

s

tfr

= Na ekvatoru centripetalno

ubrzanjef0 iznosi:R

vf

2

00 =

Kako je rotaciona brzina taaka na povrini Zemlje ovisna o kosinusugeografske irine, to je centripetalno ubrzanje na nekoj geografskoj

irini: cos2

0 =R

vf , a kako je

R

vf

2

00 = , to je: cos0 = ff


33/255

33

f)Kutna (ugaona) brzina Zemlje

Kutna brzina Zemlje je kut za koji se Zemlja okrene u jednoj vremenskoj

sekundi.360 60' 60 '' 1296000''

15, 40''/86164 86164

sekundusekunde sekunde

= =

To znai: Zemlja se u vremenu od 1 sekunde zaokrene (rotacija) za kut od15,40''. Ovom kutu od 15,40'' odgovara luk od 0,000073 radijana/sekundu.

Kutna brzina je zavisna od rotacione brzine s kojom je upravno srazmjerna i

poluprenika rotacije pojedinih taaka s kojima je obrnuto srazmjerna tj.2

2 20,000073/

86164

s R

v t t sR R R t sekunde

= = = = = =

a to je izraz za ugaonu brzinu u radijanima. Kako je kutna brzina Zemlje:

R

v= , to je Rv = , tj. rotaciona brzina take na Zemljinoj povrini je

upravno srazmjerna proizvodu kutne brzine te take i njenog poluprenika.Kako se poluprenici paralela smanjuju sa kosinusom geografske irine, to sekonana formula za rotacionu brzinu taaka na razliitim geografskimirinama, moe napisati: cos= Rv

Kako je po Huyghens-u centripetalno ubrzanje za take na ekvatoru:R

vf

2

00 = , a

kako je Rv =0 , to je:R

Rf

22

0

=

, odnosno Rf = 20 ili za take na nekoj

irini cos2 = Rf

Prema tome, centripetalno ubrzanje taaka na Zemljinoj povrini moemo

izraunati ili iz njihove rotacione brziner

vf

2

= ili iz kutne brzine Zemlje:

cos2 = Rf

Kako su izrazi za centripetalno ubrzanje jednaki izrazima za centrifugalno, tose s pomou formula navedenih formula moe doi i do iznosa centrifugalnog

ubrzanja taaka na Zemljinoj povrini.


34/255


35/255

35

3.

a)smm

mm

sRf

/9,3337,6329,51037,6

10329,51037,6

)103,7(

9

99

252

0

==

=

==

Ovaj zadatak moe se rijeiti i na drugi nain:22

222

2

0

/9,33/0339,0

6370000

/465)

2(

smmsm

m

sm

R

t

R

R

vf

==

====

To znai da bi usljed djelovanja centrifugalne sile neka neuvrena taka naekvatoru, kad ne bi djelovala Zemljina tea, krenula u prostor sa ubrzanjem od33,9 mm/s.

b)22

00

/97,23707,0/9,33

45coscos

smmsmm

fff

==

===

Ako se, medjutim, govori o centripetalnoj i centrifugalnoj sili onda se uformule za centrifugalno odnosno centripetalno ubrzanje mora ubaciti izraz zamasu, tj.

2 2 2 2 2

2

2000 9 2000200 200

90 10

m v kg m s kgm sf kgms N

r m m

= = = = =

1.

2

25

5 2 2 2

10

sec 7, 4935 10

sec (1,0232 10 ) /

sec 3, 8442 10

masa Mje a g

v brzina rotacije Mje a cm s

r udaljenost Mje a od Zemlje cm

=

= =

= =

2 25 10 2 2

10

25 2 225

7, 4935 10 1, 046 103, 8442 10

7,8382010 102, 0409 10

3,8442

m v g cm sfr cm

cm gsdyna

cm

= = =

= =


36/255

36

g)Newtonov zakon gravitacije

Newton je posao od pretpostavke da ista sila koja na Zemljinoj povrini

privlai sva tijela djeluje i na udaljeni Mjesec i odrava ga u stalnom krunomkretanju. Zbog udaljenosti Mjeseca od Zemlje, ta je sila u blizini Mjesecaslabija nego pri povrini Zemlje. Newton je doao do zakljuka da ta sila slabisa kvadratom udaljenosti. Ako je Njutnova pretpostavka o obrnutojproporcionalnosti privlane sile prema kvadratu udaljenosti tana ondaprivlana sila Zemlje na udaljenosti Mjeseca mora biti 60 puta slabija nego priZemljinog povrini, jer je Mjesec od Zemljinog sredita udaljen za oko 60Zemljinih poluprenika.

Mjesec krui oko Zemlje kao centra po putanji koja je priblino krunice.Mjeseevo kretanje je, dakle, centralno kretanje. Usljed njegovog kruenjajavlja se centripetalna sila koja Mjesec vue prema Zemlji. Njutn je zakljuioda je centripetalna sila isto to i privlana sila Zemlje i to je ovako dokazao:

Centripetalno ubrzanje Mjeseca iznosi:R

vfM

2

= Brzina kruenja Mjeseca oko

Zemlje je:t

RvM

2=

Udaljenost Zemlja - Mjesec 60R r= (r= Zemljin poluprenik), a to je:60 6370 km = 60 6,37 108cm.t= vrijeme punog okretaja Mjeseca oko Zemlje i iznosi 27 dana i 7 sati i 43minute, odnosno 62, 36 10 sekundi. Prema tome je:

2

212

12

212

8

212

8

226

82

/273,01057,5

105059,11057,5

1015059

1057,5

1037,6604,39

)1036,2(

1037,6604

scms

cms

cm

s

cm

s

cmfM

=

=

=

=

=

=

=

Toliko je, dakle, ubrzanje Zemljine privlane sile na udaljenju Mjeseca. PriZemljinoj povrini, ubrzanje Zemljine privlane sile iznosi oko 9,81 m/s, pa seprema tome 0,273 cm/sec u 981 cm/sec nalazi priblino 3600 puta, a to jeupravo iznos kvadrata udaljenosti Zemlja - Mjesec, ( 60 r).

Podudaranje ovih vrijednosti pokazuje da privlana sila Zemlje stvarno opadaobrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti od Zemlje i da je centripetalnasila Mjeseca istovjetna sa Zemljinom privlanom silom.


37/255

37

Dokazavi da privlana sila djeluje po istom zakonu izmeu Zemlje i tijela kojaka njoj padaju, kao i izmeu Zemlje i nebeskih tijela, Njutn je zakljuio da uitavom Svemiru djeluje jedna opa, univerzalna sila, kojom se meusobnoprivlae sva tijela bezobzira na veliinu njihovih masa i njihove udaljenosti.

Tu je silu nazvao gravitacija (lat, gravis = teak) i za njeno djelovanje postavioovaj zakon:

Dva tijela privlae se meusobno silom koja je direktno proporcionalnaproizvodu njihovih masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihoveudaljenosti.

Izraen formulom ovaj zakon glasi:

Gd

mmF =2

21

Ovaj svoj zakon i njegovu matematsku obradu objavio je Newton u Londonu1687. godine u svom dijelu: Principia Naturalis Philosophiae Mathematica(matematiki principi prirodne filozofije), u kojem pored ostalog daje idefinicije osnovnih zakona i pojmova fizike: mase, sile, kretanja, apsolutnogprostora, vremena i dr. u tom djelu daje i svoje zakone o inerciji, o akciji ireakciji i zakon o nezavisnosti djelovanja sile. S tim djelom Newton je udario

temelje klasinoj mehanici.

U formuli za gravitaciju Gpredstavlja tzv. konstantu gravitacije(lat. constare= stalna veliina) i ona iznosi 8 3 26,67 10 /cm g s ili 11 2 2(6,672 10 / ).Nm kg Ova konstanta je odreene mjerenjem u laboratoriji, jer se iz astronomskihopaanja ne moe odrediti. Konstantu je u laboratoriji odredio Cawendish(Kevendi) na ovaj nain:Stvarna svemirska tijela nadomjetena su u laboratoriji kuglama razliitih

masa. Dvije vee kugle od metala imale su mase M, a dvije manje kugle imalesu neznatne mase m. Manje kuglice bile su uvrene na krajevima ipke kojaje visila na metalnoj niti oko koje se ipka mogla okretati. To je tzv. torzionavaga(lat. torsio = uvrtanje, uvijanje), slika 67.


38/255

38

Kada se velike kugle M pomaknu centralno oko niti onda e se zbog djelovanjagravitacije izmeu velikih i malih kugla, zaokrenuti i ipka koja nosi obje malekuglice mase m. Ovo kruno kretanje malih kuglica je jednoliko ubrzano.Mjerenjem je utvreno ubrzanjea, pa je sila ;F m a= a kako je po formuli:

1 2

2 2,

m m m M F G F G

d d

= = a ;

Fm

a= to uvrtanjem izraza za masu m

slijedi:23311

2

1067,6 == skgm

M

daG

Dobivenom konstantom gravitacije G, moe se izraunati masa Zemlje, jer je:

G

dFMZ

2= , Newton-ov zakon gravitacije je osnova nebeske mehanike. Sunce

svojim gravitacionim djelovanjem dri planete na njihovim putanjama,gravitaciona sila dri na okupu materiju neke zvijezde, dvojne zvijezde seokreu jedna oko druge po tom zakonu. Konano, gravitacija odrava na okupu

tijela velikih zvjezdanih sistema - galaktika. Albert Einstein (1879 -1955.) usvojoj specijalnoj i opoj teoriji relativiteta, proiruje Newton-ov zakon opegravitacije i prilagoava ga svojoj teoriji.


39/255

39

ZADACI:

1.Kolika je gravitacijska sila kojom se privlae 2 mase od po:8

1 2200 i 10 ,m g m g= = na udaljenosti od 5 cm?

2.Kolika je privlana sila izmeu Zemlje i Mjeseca?

3.Kolika je razlika u teini tijela mase 1 g na polu i na ekvatoru?

RJEENJA:

1.

Iz formule: Gd

mmF =2

21 slijedi

kN

m

kgkgkgNmF

53376

)05,0(

102,010672,6

2

52211

=

=

=

2.rjeenje:24

22

8

5,98 10 ,

sec 7,39 10 ,

3,8 10 .

masa Zemlje m kg

masa Mje a m kg

udaljenost d m

=

=

=

201 2

2 2,03271 10 .

m mF G F N

d

= =

3.24

1

4

4

2

5,98 10 ,

: 636,0 10

: 637,0 10

1,0 ,

p

e

masa Zemlje m kg

polupre nik zemlje na polu R m

polupre nik zemlje na ekvatoru R m

masa tijela m g

=

=

=

=

Teina tijela je posljedica Zemljine privlane sile, jer je definisana pritiskomto ga tijelo vri na podlogu pod uticajem Zemljine privlane sile. Izmjerititeinu tijela znai izmjeriti silu kojom se privlae Zemlja i to tijelo, odnosnoznai izmjeriti ubrzanje to ga tijelo dobiva pod uticajem Zemljine privlanesile.

Gd

mmFp

=

2

21

Nm

kgkg

kgNmFp

83,9)100,636(

1098,5001,0

10672,6

24

24

2211

=

=


40/255

40

Teina mase 1 grama iznosi na polu 983 dyna, a na ekvatoru (kad se na sliannain srauna ) iznosi 978 dyna, to znai da je tijelo na polu za oko 5 (5promila) tee nego na ekvatoru. Tijelo teko na ekvatoru 80 kg, na polu je za0,4 kg tee.

2.2.3. Sila Zemljine tee

Sila Zemljine tee je poseban sluaj ope gravitacije. To je sila gravitacijeprimijenjena na Zemlju. Zemlja svojom gravitacionom silom, teom, privlaisva tijela. Sila Zemljine tee izraava se ubrzanjem, akceleracijom, (lat.acceleratio = ubrzanje) tijela koje slobodno pada, pri emu je slobodni pad

jednoliko ubrzano kretanje. Pod uticajem Zemljine tee svako tijelo kojeslobodno pada nad nekom takom Zemljine povrine dobija u svakoj sekundiisti iznos ubrzanja. Zbog razliite udaljenosti taaka na Zemljinoj povrini odnjenog sredita (Zemlja elipsoid), u kojem se smatra da je skoncentrisanagravitaciona sila Zemlje, take na Zemljinoj povrini imaju razliitu vrijednostgravitacione sile. Prema tome, ubrzanje sile Zemljine tee, zavisi odgeografske irine i nadmorske visine.

Opa formula za iznos gravitacije na razliitim geografskim irinama i nanadmorskoj visini od 0 metara glasi3:

)2sin000006,0sin

005288,01(78049,9

22

2

+= msF

Ova jednaina gravitacione sile prihvaena je od Meunarodnog geodetskogudruenja u tokholmu 1930. godine. Gravitacija opada sa rastuomnadmorskom visinom, pa se F moe izraunati i za neku visinuh, po formuli:

20 )00030852,0( cmshFFh =

(visinahse daje u metrima).

Fh predstavlja gravitaciju na ekvatoru i daje se u m/s2 , a faktor uz h

(0,00030852) dat je za 49 ,= dok inae varira izmeu 0,00030877 na ekvatorui 0,00030833 na polu. Sam faktor predstavlja razliku Zemljine tee nanadmorskoj visini od 100 metara i one na 0 metara (FF0), a na paraleli 49 .=

3M., Brezinak, Mjere i sistemi jedinica, Zagreb, 1961., str. 75.


41/255

41

Usljed promjenjive sile Zemljine tee, jedna ista masa nekog tijela, bit erazliito teka. To znai da se masa tijela ne mijenja. Ona je konstantna bezobzira gdje se tijelo nalazilo u prostoru.

Teina tijela, medjutim, se mijenja i zavisi od mjesta gdje se tijelo nalazi. Tako

naprimjer, tijelo mase 1 g, na nadmorskoj visini od 0 ,h m= na geografskoj iriniod 45 ,= na taci na kojoj ubrzanje sile Zemljine tee iznosi 29,8062939 / ,F m s= ima teinu, odnosno ubrzanje od 29,310 / .m s Drugim rijeima, masa od 1 g imana toj taci 9,810 .N

U tehnici i svakodnevnom ivotu ne izraavamo teinu u Njutnima, nego uteinskim kilogramima, odnosno teinskim gramima. Normalno ubrzanje sileZemljine tee iznosi: 29, 80665 / ,

NF m s= to predstavlja redukciju izmjerene

vrijednosti F u Breteuil-u kod Pariza, na geografskoj irini od 45 ,= i nanadmorskoj visini od 0 metara. U praktinim raunanjima vrijednost normalneF se zaokruuje na 29,310 / .m s

U sljedeoj tablici dati su podaci za ubrzanje sile Zemljine tee na nadmorskojvisini od 0 metara i za razliite geografske irine.


42/255

42

Ubrzanje sile Zemljine tee na nadmorskoj visiniod 0 metara i za razliite geografske irine.4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90cm/s 978 978 978 979 980 981 981 982 983 9830 49 204 652 333 180 79 924 614 65 2211 51 237 711 417 270 167 *001 671 942 55 272 772 497 359 255 *077 725 1213 63 310 836 578 449 343 *151 777 1444 74 350 902 661 539 429 *224 827 1655 88 394 969 746 629 515 *294 373 1826 105 440 *039 831 720 399 *362 917 196

7 125 489 *111 917 810 682 *429 958 2078 149 541 *185 *004 900 764 *493 997 2159 175 595 *261 *092 989 845 *554 *032 220

* ovaj znak ispred broja u tabeli znai da se tetri cifre treba da veu kao decimale uz sljedei

broj u drugoj vertikalnoj koloni.

Nakon ovih razmatranja o centripetalnoj i centrifugalnoj sili, Njutnovomzakonu gravitacije i zemljinoj tei, moe se prei na Njutnov fiziki dokaz zasferoidni oblik Zemlje. Pri tome e se poi od nekoliko pretpostavki:

a)Zemlja ne rotira i okrugla je

U tom sluaju bi njena sila tee bila na svim takama njene povrine jednaka(reducirana na morski nivo) i iznosila bi sadanju veliinu tee na ekvatoru,uveanu za iznos centrifugalne sile na ekvatoru, jer centrifugalna sila koja sejavlja kod rotirajue Zemlje umanjuje veliinu tee zaiznos svoje jaine.

2 2 2978,049 33,9 981,439ZF cms mms cms

= + =

4F.G., Gauss, Logaritamske tablice, Sarajevo. 1962., str 164.


43/255

43

b) Zemlja rotira i okrugla je

Pri tome se stvara centrifugalna sila (AB), koja opada sa kosinusom geografske

irine, ali jednom komponentom (AC) djeluje nasuprot sile Zemljine tee iumanjuje je, slika 68.

Veliina komponente cosAC AB = ,AB f= pa je prema tome cosAC f =

Kako je 0 cos ,f f = to je: 20 cosAC f =

To znai da komponenta centrifugalne sile na nekoj geografskoj irini djelujenasuprot Zemljinoj tei veliinom koja je za kvadrat kosinusa te irine manjaod centrifugalne sile na ekvatoru ( f0 ). Za tu veliinu centrifugalna silaumanjuje silu Zemljine tee. Prema tome, kod rotirajue i okrugle Zemlje,ubrzanje sile Zemljine tee iznosilo bi:

2 2

0 0

2 2 2

9,81439 cos

9,81439 33,9 9,78049

ZF F AC ms f

ms mms ms

= = =

= =

2 2

45 0

2 2 2

9,81439 cos 45

9,81439 33,9 9,79745

F ms f

ms mms ms

= =

= = 2

60 80592,9

= msF 2

90 81439,9

= msF

Razlika sile Zemljine tee za ovaj sluaj na ekvatoru i polu je 33,9 mm/s2. Toznai da bi Zemljina tea kod rotirajue i okrugle Zemlje, imala na polovimaisti iznos kao i kod okrugle i ne rotirajue Zemlje na svim takama njene

povrine. Polovi su take koje i kod rotirajue Zemlje miruju, pa se zato nanjima ne javlja centrifugalna sila.


44/255

44

c)Zemlja ne rotira i spljotena je na polovima

U tom sluaju sila Zemljine tee ne bi bila jednaka na svim takama Zemljine

povrine nego bi se poveavala od ekvatora do pola, ali bez prisustvaumanjujue centrifugalne sile.

2

0 cos+= fFF 2

0 81439,9 = msF

2

45 82323,9 = msF

2

60 82771,9

= msF 2

90 86611,9

= msF

Razlika u sili Zemljine tee izmeu ekvatora i pola je 51,72 mms

-2

. Poveanjesile Zemljine tee od ekvatore prema polovima je normalna posljedica veeblizine polova Zemljinom sreditu, nego taaka na ekvatoru.

d) Zemlja rotira i spljotena je na polovima ( stvarno stanje).

Usljed Zemljine rotacije javit ese centrifugalna sila koja e, kako je to vereeno, jednom komponentom djelovati nasuprot Zemljine tee i umanjivati je.

2

0 78049,9 = msF

2

45 80629,9 = msF

2

60 81924,9

= msF 2

90 83221,9

= msF Na osnovu poreenja sile Zemljine tee kod rotirajue i okrugle Zemlje, sasilom Zemljine tee kod rotirajue i spljotene Zemlje, vidi se da je iznosgravitacije na istim geografskim irinama vei kod spljotene nego kod okrugle

Zemlje, to je posljedica blieg poloaja taaka na istim paralelama Zemljinomcentru kod spljotene nego kod okrugle Zemlje.

Razlika u sili Zemljine tee izmeu ekvatora i polova kod rotirajue i okrugleZemlje iznosi 33,9 mm s2, a kod rotirajue i spljotene 51,72 mm s2. Kako je irazlika u centrifugalnoj sili takoe 33,9 mm s2, to znai da je kod rotirajue ispljotene Zemlje, Zemljina tea za 17,82 mm s2 vea od iznosa centrifugalnesile, a to je mogue samo ako je Zemlja spljotena, jer je onda i iznos

gravitacije vei nego to je umanjujui uinak centrifugalne sile.


45/255

45

2.2.3.1. Geodetski dokaz za sferoidni oblik Zemlje - Zemlja spljotenielipsoid

Da bi se okonala polemika o obliku Zemlje (da li je Zemlja produeni ili

spljoteni elipsoid), poslate su iz Francuske dvije ekspedicije u tropske ipolarne predjele da tamo izvre mjerenje duine meridijanskog stepena.Jedna ekspedicija pod vodstvom Bouguer- a (Buere) i La Condamina(Kondamen), otputovala je maja 1735. godine u Peru (srednja geografska irinaluka koji se mjerio iznosila je 131'), a druga ekspedicija pod vodstvomMaupertuis-a (Moperis), Lemonnier-a (Lemonije) i Camus-a (Kami),otputovala je 1736. u Laplandiju (Finska) (srednja irina mjerenogmeridijanskog luka iznosila je 6620').

Nakon obavljenog mjerenja i izvrenih raunanja luka meridijana, prvaekspedicija je nala da je duina meridijanskog stepena u blizini ekvatora110575 metara, a druga, da je u Laplandiji - duina luka meridijanskog stepena111947 metara, ali je jedna kasnije organizovana vedska ekspedicijaustanovila da rezultati mjerenja laplandske ekspedicije nisu bili tani i daduina luka jednog meridijanskog stepena u irinama Laplandije iznosi 111477metara.

Na taj nain zavrena je dugogodinja, rasprava o obliku Zemlje kaoproduenom odnosno spljotenom elipsoidu, s tim to je ovim geodetskimmjerenjima konano dokazano da je Zemlja elipsoid spljoten na polovima.

ZADACI:

1.Kolika je sila Zemljine tee (ubrzanje slobodnog pada) na geografskoj iriniod 43 i na nadmorskoj visini od 0 metara?

RJEENJA:

1.Na osnovu formule slijedi uvrtavanjem vrijednosti:

2 2 2 29,78049 (1 0,005288 sin 0,000006 sin 2 )F ms ms = +

2

43 9,78049 (1 0,005288 0,465124 0,000006 0,99512F ms

= + 243 8044,9

= msF


46/255

46

2.2.3.2. Elementi Zemljinog elipsoida

Nakon utvrivanja oblika Zemlje kao rotacionog i spljotenog elipsoida i

brojnih mjerenja duina lukova po meridijanima u razliitim geografskimirinama u drugoj polovini XVIII i prvoj polovini XIX vijeka, prelo se udrugoj polovini XIX i poetkom XX vijeka na izraunavanje matematsko geometrijskih elemenata Zemljinog elipsoida. Kako se u tim raunanjimapolazi od nekih osnovnih veliina (male) i velike poluosovine elipsoida), kojesu pojedini autori na osnovu razliitih mjerenja dobivali razliite rezultate, tose i podaci o elementima Zemljinog elipsoida meusobno razlikuju.


47/255

47

2.2.3.3. GLAVNI ELEMENTI ZEMLJINOG ELIPSOIDA

a)Spljotenost Zemljinog elipsoida

Kao i svaki elipsoid i Zemljin ima dvije poluosovine - veliku a i malu bpoluosovinu, iji odnos omoguava utvrivanje stepena spljotenosti Zemlje.

65formula;a

ba=

Ova nam formula objanjava za koliki dio velike poluosovine je kraa mala,

rotaciona poluosovina.

b) Ekscentricitet Zemljinog elipsoida(lat. ex = iz, od; centrum = sredite)

Pod ekscentricitetom Zemljinog elipsoida shvatamo udaljenost fokusa (ie)meridijanske elipse od sredita. Postoje dvije vrste ekscentriciteta:

- Linearni ekscentricitet e, koji predstavlja udaljenost arine take (fokusa)meridijanske elipse od njenog sredita:

2 2 formula 66.e a b=

- numeriki ekscentricitet predstavlja odnos izmeu linearnogekscentriciteta prema velikoj poluosovini elipsoida:

2 2 2

21 ; fr. 67

e a b bE

a a a

= = =

c)Normala N je pravac okomit na tangencijalnu ravninu elipsoida u ma kojojtaci. Ona ne pada u pravac koji vodi od centra Zemlje do odgovarajuetake na njenoj povrini. To je osnovna razlika izmeu Zemlje kao elipsoidai Zemlje kao kugle. Normala sijee Zemljinu osovinu izvan centra elipsoida,ali sve normale koje pripadaju jednom paralelnom krugu, sijeku ga naosovini Zemlje u istoj taci. Duina normale na nekoj paraleli je:

68form.;sin1 22

EaN

=


48/255

48

to je ujedno i poluprenik zakrivljenosti poprenog presjeka ili prvog vertikalau kojem lei normala, a on presijeca meridijan od zapada prema istoku.

d) Radijus zakrivljenosti meridijana M za neku taku na meridijanu, a nageografskoj irini:

69ff.;)sinE-a(1

b

)sin1(

)1(3/222

2

2/322

2

=

=

E

EaN

Tabela 5. Poluprenik zakrivljenostiparalela N i meridijana M na paralelama i

poluprenici paralelar(Elipsoid F. N. Krasovskog iz 1942. g.)

N M r

0 6373245 6335553 63782455 6373407 6336036 635413510 6373889 6337471 628197915 6379675 6339816 616229320 6380743 6343001 599593825 6382061 634931 578411230 6383588 6351438 552834935 6385279 6356537 523051440 5387083 6361926 489279045 6388945 6367491 4517666

50 6390808 6373065 410793355 6392617 6378476 366665460 6394315 5383561 319715865 6395851 6388163 270300370 6397178 6392139 218796475 6398255 6395368 165599080 6399049 6397749 111118385 6399535 6399208 55775690 6399699 6399699 0

e)

Obim i poluprenik paralela i stepen duine.

Duina luka paralele na elipsoidu ne opada jednostavno sa kosinusomgeografske irine kao na Zemlji - kugli, nego zavisi od duine pripadajuenormaleN. Poluprenik paralele:

70form.;cos = Nr ;

Obim paralele: 71form.;cos2 = NO

Stepen duine:2 cos1 cos ; 72.360 180

NN F

= =


49/255

49

f)Luk meridijana od ekvatora do neke geografske irine ()

Da bi se dobila formula za izraunavanje duine meridijanskog luka, potrebno

je geografsku irinu reducirati na tzv. geocentrinu irinu .Geografska irina je kut izmeu normale neke take na povrini elipsoida iravnine ekvatora.Geocentrina irine je kut izmeu ravnine ekvatora i pravca koji iz centraelipsoida sijee krug opisan u ravnini meridijanske elipse, sa poluprenikomkoji je jednak maloj poluosovini u taci na tom krugu. Taka na tom krugu sedobije, kad se iz take F na elipsoidu, koja ima irinu spusti okomica narotacionu osovinu elipsoida (slika 69).

Oba kuta isu vezana formulama:

tg1tga

2

2

2

== Eb

tg

73formulatg9932593,0 =tg

74formulatg2

2

=b

atg

Najvea razlika izmeu geografske i geocentrine irine je na geografskoj irini

od 45 05'48,8". Na toj geografskoj irini geocentrina irina iznosi 44 54'11,2'', = pa je na taj nain najvea razlika 11'37,6'' =


50/255

50

Pomou geocentrine irine mogu se izraunati srednji radijus zakrivljenostiZemlje za bilo koju taku njene povrine. On iznosi:

75for.)cos(cos

cos

NMaR =

=

Tabela 6. Geografskeigeocentrine irine.5

-

0 0000'00'' 0000'00''10 0956'2,82'' 0357'18''20 1952'33,99'' 07'26,01''30 2949'58,55'' 10'01,45''40 3948'35,31'' 11'24,69''50 4948'34,51'' 11'25,49''60 5949'56,52'' 10'03,48''70 6952'31,08'' 07'28,32"80 7956'01,30'' 03'58,69''90 9000'00,00'' 00'00,00''

Na taj nain formula za izraunavanje duine luka meridijana od ekvatora doneke geografske irine glasi:6

2 2 2 22' 3 1 ' ' '

(1 ' ) ( ) sin 2 sin 4 for. 764 64 2 4 16 256

E E E E

l E b b b= +

i kojoj je E' tzv. drugi ekscentricitet: '2

222

b

baE

=

g)Ukupna povrina Zemljinog elipsoida

77formula;)2(34 22 baPe +=

h) Ukupna volumen Zemljinog elipsoida

77formula;)(3

4 2baVe =

Na osnovu ovih formula izraunali su razni autori sljedee dimenzije

Zemljinog elipsoida (tabela 7):

5Landlot Bornstein, Zahlenwerte und Funktionen, Berlin, 1952., str. 250.6H., Wagner, Lehrbuch der Geographie, Hannower und Leipzig, 1912., str, 117.


51/255

51

Tabela 7a. Dimenzije Zemljinog elipsoida.Bassel 1841. g. Clarce 1858. g.

poluosovinaa 6377397,55 m 6378206,51

poluosovinab 6356078,963 m 6356583,88Spljotenosts 1/299,1528 1/294,979Obim ekvatora 40070368,097 m

Obim po meridijanu 40003423,00 mMeridijanski kvadrant 10000855,76 m 10001887Duina 1 po ekvatoru 111307,00 m

Duina srednjegmeridijanskog stepena

111121 111132

Povrina 509950714,00 km2

Volumen 1082841,3 x 106

km3

Numerikiekscentricitet

0,081696831

Numerikiekscentricitet II

0,08197084

Poluprenik kugle 6370283,157 m

Tabela 7b. Dimenzije Zemljinog elipsoida.

Hayford 1910.Meunarodni elipsoid

1924.

poluosovinaa 6378388 m 6378388,00 mpoluosovinab 6356911,946 m 6356911,95 mSpljotenosts 1/297,0 1/297Obim ekvatora 40086594 m 40076593,76 m

Obim po meridijanu 40009153,20 mMeridijanski kvadrant 10002288,30 m 10002288,30 m

Duina 1 po ekvatoru 111323,87 mDuina srednjeg

meridijanskog stepena 111136,54 mPovrina 510100800 km2 510100933,00 km2Volumen 1083320 x 106km3 108331978 x 104 km3

Numeriki ekscentricitet 0,0819919Numeriki ekscentricitet II 0,0822689

Poluprenik kugle

Potrebno je navesti jo elemente od Krasowskog (CNIIGAiK, 1946.):a= 6378245 i b= 6356863 metara; =1/298,3.


52/255

52

2.3.ZEMLJA GEOID

2.3.1. Poremeaji Zemljine tee

Ako se pomou formule za Zemljinu teu:

)2sin000006,0sin

005288,01(78049,9

22

2

+= msF

izraunaju vrijednosti tee za razne geografske irine, onda bi se linije kojepovezuju sva mjesta na Zemljinoj povrini sa istom teom, svedene na morskinivo, morale poklapati sa paralelama. Meutim, stvarna mjerenja Zemljine teena razliitim geografskim irinama pokazuju znatna odstupanja od teoretskihvrijednosti. To je posljedica nehomogenosti Zemljinog sastava i nejednakeraspodjele Zemljinih masa na njenoj povrini i u unutranjosti.

Tako je Segi 1842. godine ukazao na injenicu da tea mjerena sekundnimklatnom pokazuje vee vrijednosti na oceanskim otocima i na obalama, negona takama u unutranjosti kontinenata na istoj geografskoj irini.

Slina opaanja vrena su i pomou viska. Visak spada u geometarski pribor.Sainjava ga olovni konus koji je bazom privezan za tanki kanap. Slobodnoobjeen visak treba da je u smjeru normale, tj. da lei okomito na ravninuhorizonta u taci stojita. Meutim, konstatovani su otkloni viska od normalekao posljedica privlane sile razliito rasporeenih masa na Zemljinoj povrinii u unutranjosti Zemlje. Prva dostupna opaanja izvodio je Bouguer (Bue) uperuanskim Andama gdje su zapaeni otkloni viska od normale i za 7 do 8

kutnih sekundi. I mnogi drugi: Liesganig, Beccaria, Maskelyn, vrili suopaanja sa viskom. Zbog otklona viska dolazi i do nesklada izmeuvrijednosti geografskih koordinata sraunatih po elementima Zemljinogelipsoida i stvarnih mjerenja.Sve ovo dovelo je do zakljuka da Zemlja nema oblik elipsoida, pa je Listing1873. godine uveo za oblik Zemlje novi pojam - geoid, (gr. geoeides = slianZemlji). Geoid, dakle, predstavlja pravi oblik Zemlje omeen plohom koju biinila mirna povrina svih mora i oceana uz uslov da su meusobno povezani i

produeni kroz kontinente. Ta bi povrina u svakoj svojoj taci bila okomita nasmjer sile tee u toj taci. Na taj nain, ploha geoida na kontinentima nadvisujeplohu elipsoida, a na oceanima je ispod nje. Geoidska povrina je nepravilna i


53/255

53

ne moe biti odreena nikakvim metodama prostorne analitike geometrije.Takvo se tijelo ne moe ni izraditi jer bi bilo potrebno izvriti bezbroj mnogomjerenja Zemljine tee na povrini Zemlje, pa na tako dobivene vrijednostipredstavljene vektorom (smjerom i silom djelovanja tee u nekoj taci)okomito postavljati plohe geoida.

Odstupanje geoida od elipsoida ne iznosi vie od 115 m. Da bi elipsoid posvojim dimenzijama bio to blii pravom obliku Zemlje - geoidu, potrebno jeda ispunjava sljedee uslove:- da volumen elipsoida bude jednak volumenu geoida,- da geometrijski centar elipsoida lei u centru Zemljine tee,- da se mala osovina elipsoida podudara sa obrtnom osovinom Zemlje.

Elipsoid koji ispunjava ove uslove najvie odgovara geoidu i zove se opiZemljin Elipsoid. Njegove se dimenzije smatraju kao dimenzije Zemlje, anjegova povrina kao matematska povrina na koju se vri projektovanje taakasa fizike, stvarne povrine Zemlje.Od svih do sada poznatih elipsoida, odreenih na osnovu raznih mjerenja iraunanja, za nas je najvaniji elipsoid odreen po Bessel-u 1841. godine, nakome i po kome se vre sva kartografska i geodetska raunanja u naoj dravi.

2.3.2. Zemlja elipsoid i Zemljina kugla

Za praktine potrebe u geografiji, posebno u matematskoj geografiji ikartografiji (za izradu sitnorazmjernih karata), Zemljin elipsoid se zamjenjujeZemljinom kuglom. Ova zamjena je mogua, jer je oblik Zemlje kao elipsoidavrlo blizu obliku kugle. Zemljinom elipsoidu najbolje odgovara kugla koja imaisti volumen kao i Zemljin elipsoid. Na taj nain Zemljina kugla ima

poluprenik:2

4( ) ; formula 77

3eV a b=

34 ;3

kV R= dvije desne strane ovih jednaina treba da se izjednae, 2 34 4

;3 3

a b R =

tj. 3 2 3 2; ; 78R a b R a b formula= =

Takav poluprenik Zemljine kugle nazvan je srednji Zemljin poluprenik.Prema Bessel-ovim elementima on iznosi: 6370283,157 metara.kR = Ova se vrijednost radi lakeg obraunavanja zaokruuje, tako da poluprenikZemljine kugle iznosi okruglo: 6370000,00 .R m=

Na taj nain izraunate osnovne veliine za Zemljinu kuglu iznose:


54/255

54

Obim ekvatora 40024 kmObim po meridijanu 40024 kmMeridijanski kvadrant 10006 km

1 po meridijanu i ekvatoru 111,111 km1' po meridijanu i ekvatoru 1852 m1'' po meridijanu i ekvatoru 31 mPovrina 510 106 km2

Poluprenik kugle 6370 km

U nastavku emo se zadrati na izraunavanjima nekih elemenata Zemljine

kugle koji se najee javljaju u geografskim, posebno kartografskimradovima.

a)Poluprenici i obimi paralela na Zemljinoj kugli

Svaki presjek kugle ravninom je krunicama. Na svakom presjeku sa kuglom,ravnina koja prolazi kroz sredite kugle obrazuje krug koji se naziva veliki

krug.


55/255

55

Svi meridijani i ekvator su veliki krugovi. Obim svakog velikog kruga je 2R,gdje je R poluprenik Zemlje (6370 km). Paralele su mali krugovi, jer njihovepresjene ravnine ne prolaze kroz sredite kugle. Poluprenik rsvake paralelepredstavlja katetu u jednom pravokutnom trokutu. Tako naprimjer, na slici 70poluprenik r predstavlja katetu pravokutnog trokuta ABO u kojem je

hipotenuza poluprenik Zemljine kugle R. U taci A je takoer kut , a to jegeografska irina take A, jer su dvije paralelne linije AB i AO presjeenetransverzalom AO.Iz pravokutnog trokuta ABO slijedi:

79formula;cos= Rr Kako je obim ekvatora 2R, a obim svake paralele 2r, a kako je

cos= Rr to je i obim bilo koje paralele na kugli:80formula;cos2 = RO

b) Duine lukova paralela i meridijana na Zemljinoj kugli

CO = r poluprenik paralele ( cos )r R = CADC = obim paralele (O =2R cos ), CPA = kut , a to je razlika geografskih duina meridijana PCEP' i meridijana

PABP'


56/255

56

l = luk paralele izmeu taaka C i A. Tom luku odgovara kut , asrazmjeran mu je luk lona ekvatoru, izmeu taaka E i B. Duinu luka lnaparaleli moemo dobiti iz proporcije:

0 0: : : cos :l l r R l l r R = =

81.coscos

00 frl

R

Rll =

=

Duina luka neke paralele izmeu dvije take sa nekom razlikom geografskihduina jednaka je odgovarajuem luku na ekvatoru (iste razlike duina)pomnoenim sa kosinusom geografske irine dotine paralele.

Duina luka na ekvatoru lo dobija se iz sljedee proporcije:0: 2 '' : 360 60 ' 60 ''l R =

0

2 ''

360 60 ' 60 '' 360 60 ' 60 ''

Rl R

= =

kako je:

''

1

''60'60180

=

, gdje je

'' 206265 =

(broj sekundi u jednom radijana), onda:0

'' ''cos .82

'' ''

R Rl l for

= =

Slina formula vai i za luk meridijanam

AB l= kome odgovara neki kut

geografske irine :''

''

=

Rlm

ZADACI:

1.

Koliki je poluprenik paralela:a) 10=

Rjeenje:10

cos 6370 cos10 6370 0,98481 6273,24r R km km km= = = =

2.Koliki je obim paralelaa) 20=

Rjeenje:20 2 cos 40.000 0,8660 37.560O R km km = = =


57/255

57

c)Duine lukova velikih krugova na Zemljinoj kugli(odreivanje udaljenosti dva mjesta na Zemljinoj kugli)

Udaljenost izmeu dva mjesta na Zemljinoj kugli A-B, odreena je duinomluka velikog kruga izmeu ta dva mjesta. To je ujedno i najkraa udaljenostizmeu ta dva mjesta. Zakrivljena linija koje predstavlja tu udaljenost , nazivase ortodroma(gr. ortos = prav, dromos = put), (slika 72).

Kut izmeu meridijana take A i ortodrome, predstavlja azimut ortodrome utaci A(), a kut izmeu meridijana take Bi ortodrome, predstavlja azimutortodrome u taci B(1) pri emu je kut 1180 . =

Ortodroma ne sijee sve meridijane pod istim kutem (azimutom). To znai, daortodroma sve meridijane izmeu taaka Ai Bsijee pod razliitim kutevima.Samo onda kad je azimut ortodrome 0 ili 180, ne sijee ni jedan meridijan,jer je ortodroma meridijan. Ako su dvije take na ekvatoru, onda je ekvatorortodroma azimuta 90 ili 270 i jedino u tom sluaju ortodroma sijee svemeridijane pod istim kutem. Ako se, prema tome, kreemo po ortodromi, ondase mora nakon svakog kraeg prevaljenog puta mijenjati azimut kretanja. Time

se dobija na vremenu, odnosno putu, jer kreui se po ortodromi prelazi senajkraa udaljenost izmeu dva mjesta.


58/255

58

Ortodroma sa dijelovima meridijana izmeu taaka A i P, Bi P, obrazujekosokutni sferni trokut ABP u kojem su stranice 90

AAP = ; 90

BBP = ; i , a

kutevi , te, kao razlika geografskih duina meridijana taaka Ai B.Sa zadanim geografskim koordinatama ( i ), odnosno polarnimudaljenostima (90 i 90 )A B i kutem izmeu njih (), moe se udaljenost

nai na osnovu kosinusovog pouka za stranice za kosokutni sferni trokut:

+

+=

cos)90sin()90sin(

)90cos()90cos(cos

BA

BA

Kako je AA sin)90cos( = , a

AA cos)90sin( = , to je:

BB sin)90cos( = , a

BB cos)90sin( = .

Prema tome:

+

+=

coscoscos

sinsincos

BA

BA

nakon izraunavanja luka ortodrome , mogu se izraunati i azimuti i posinusovom pravilu:

85.sin:)90sin(sin:sin fB = 86.sin

cossinsin fB

=

odnosno za kut :

87.sin

cossinsin fA

=

Do kuteva i moe se doi i bez poznavanja udaljenosti , a na osnovusljedeih formula:

88.cos

;)sin(

cos

ftg

tgN

N

Ntgtg

B

A

=

=

89.cos

'

;)'sin(

'cos

ftg

tgN

N

Ntgtg

A

B

=

=

Pomou tzv. Neperovih pravila mogu se najprije odrediti i

90.2

2

)90()90(cos

2

)90()90(cos

2

fctg

tgAB

AB

+

=+


59/255

59

91.2

2

)90()90(sin

2

)90()90(sin

2

fctg

tgAB

AB

+

=

odnosno:

92.2

)(2

1sin

)(2

1cos

2fctgtg

BA

BA

=

+

93.2

)(2

1cos

)(2

1sin

2fctgtg

BA

BA

=

Formule (92) odnosno (93) vae kad je geografska irina take A vea odgeografske irine take B. Ako je manja, onda simboli: , , A i Bzamjenjuju mjesta, a formula ne mijenja oblik. Nakon izraunavanja i izgornjih jednaina, moe se udaljenost izraunati po sinusovom pravilu:

94.sin

cossinsin

;sin

cossinsin

for

odnosno

A

B

=

=

Ortodromna udaljenost se moe izraunati i iz daljnjeg nastavka Neperovihformula:

95.

)(2

1cos

)(2

1cos

2

)(

2fctgtg BA

+

+=

Izraunavanje sa Neperovim formulama je naroito podesno, ako je azimutpoetne take ortodrome blizu 90 ili ako ortodroma lei u blizini ekvatora.

esto se trai da se odrede geografske irine, odnosno polarne udaljenosti1 290 , 90 ...A A , taaka A1, A2, A3 kroz koje e prolaziti ortodroma izmeu

poetnih taaka A i B, kao i azimuti koje e imati ortodroma u tim takama(slika 73).


60/255

60

Nadalje se mogu odrediti i duine dijelova ortodrome izmeu poetne take A isljedeih taaka A1, A2, A3, dakle da se odrediti: 1, 2, 3.Za tu svrhu je najbolje da se ortodroma podijeli na jednake dijelove tako, daoni imaju jednaku razliku duina, (npr. po 10). Zavrni dio ortodrome kod Bimat e najee kut manji od 10. Na taj se nain dobije vei broj malihsfernih trokuta ANA1; A1NA2; A2NA3i tako redom. U njima ima zadan kut uvrhu , a trae se stranice ....)90(;)90( 2211 == AA i dijelovi ortodrome

33222111 ;; === AAAAAA

96.

2cos

2cos

2

90

2

11 ftgtg A +

=+

97.

2sin

2sin

2

90

2

11 ftgtg A +

=

Za odreivanje geografskih irina tih taaka imamo formule:

98.

2cos

2cos)2

45(2

1 ftgctg A +

+

=+

99.

2sin

2sin)2

45(2

1 ftgctg A +

+=

u kojima je: .90;90 2211 itd==

Dva mjesta na povrini Zemljine kugle mogu se spojiti sa bezbroj krivulja.Jedna od njih je najkraa, to je ortodroma.

Druga karakteristina krivulja nije najkraa, ali sijee sve meridijane pod istimazimutom. Njen azimut na poetnoj i zavrnoj taci ostaje nepromijenjen. Ta se


61/255

61

krivulja naziva loksodroma(gr. loksos = kriv, dromos - put) ili kursna linija(lat. cursus = tok, putanja, pravac).

Loksodroma je dua od luka velikog kruga - ortodrome. Ona na Zemljinojpovrini predstavlja spiralnu liniju koja se postepeno pribliava polu, ali ga

nikad ne dostie, jer se na polu presijecaju svi meridijani, pa je tu nemoguezamisliti takvu krivulju, koja bi sa svim meridijanima zatvarala isti kut. Ako jepoetna taka loksodrome na ekvatoru, a njen azimut: 0, 90, 180 ili 270,onda je loksodroma dio luka velikog kruga, jer se pod azimutima 90 i 270protee tano po ekvatoru, a pod azimutom 0 i 180 tano po meridijanu. Aekvator i meridijani su veliki krugovi. Ako je poetna taka loksodrome naparaleli, azimut loksodrome: 0 ili 180, onda se loksodroma protee po lukuvelikog kruga, tj. po meridijanu. U sluajevima azimuta 90 ili 270,

loksodroma se protee po paraleli koja sijee sve meridijane pod istim kutem(90), pa je loksodroma dotina paralela. Ako se na npr. brod upravlja premakompasu i pri tome zadrava stalan azimut (kurs plovidbe), onda on plovi poloksodromi. Loksodroma je dua od luka velikog kruga (ortodroma), kojiprolazi kroz dvije zadane take.

Kad je rastojanje izmeu dvije take na Zemljinoj povrini kratko, onda jepovoljnije ploviti po loksodromi, jer se unaprijed odreeni azimut iz polazne

take ka taci u koju treba da se stigne, tokom itavog puta ne mijenja. Ako je,meutim, potrebno izvriti dug put, od nekoliko hiljada kilometara i ako se jouz to prevozi neki lako kvarljivi teret (meso i sl.), onda bi plovljenje poloksodromi iziskivalo vie vremena, a to znai i vie reijskih trokova, apostojala bi i mogunost kvarenja prevoene robe. Zato je takvu plovidbupotrebno obavljati po luku velikog kruga kao najkraoj udaljenosti izmeu dvamjesta. Pri tome se unaprijed konstruie ortodroma izmeu dva mjesta(poetnog i zavrnog), pa se izdijeli u male loksodrome, po kojima se onda vri

plovidba, s tim, to se uvijek pri zavretku plovidbe po jednoj maloj, kratkojloksodromi, odreuje novi kurs za sljedeu malu loksodromu. Tako se kursneprekidno mijenja, pri prolasku s jedne loksodrome na drugu, dok se ne stigneu zavrnu taku ortodrome, odnosno same plovidbe.

I loksodroma se moe izraunati. U prvom redu njen azimut:

)2

45(ln)2

45(ln 21

++

=

tgtg

tg

)452

log452

(log7045,7915 21 ++=

tgtg

tg


62/255

62

u kojoj ' znai uveanu geografsku irinu. Duina loksodrome izmeu dvijetake:

.101cos

formulaS

=

se daju u minutama, a duina loksodrome (S) dobije se u miljama.

ZADACI

1)Izraunati udaljenost (po ortodromi) izmeu Sarajeva( 43 51'33"; 18 25'44") = + = + i Pariza ( 48 50 '47" i 02 20 '49") = + = + Prikazatigrafiki.

2)

Izraunati azimute koje ortodroma ini sa meridijanom Sarajeva imeridijanom Pariza.

3)Izraunati azimute to ih ini ortodroma izmeu rta Auderville (Normandija)49 42 ' 18" ; 01 46 ' 24" = + = +

i New York-a40 42 ' 44" ; 74 00 ' 24 '' = + = + u poetnim takama. Iz toga odrediti duinu

ortodrome, zatim duinu i kurs loksodrome i utvrditi razliku u duinama

izmeu loksodrome i ortodrome.

RJEENJA

1)U sfernom trokutu PPaSa, poznate su dvije sfernice i kut izmeu njih (slika74):

1 2 1 2(90 ); (90 ); =


63/255

63

Trea stranica d, koja se i trai predstavlja najkrau udaljenost izmeu Sarajevai Pariza. Tu udaljenost moemo sraunati pomou kosinusovog pravila zastranice za kosokutni sferni trokut:

+= coscoscossinsincos 2121d

cos sin 43, 8592 sin 48, 8464

cos 43,8592 cos 48,8464 cos16,0819

0,5217087 0,45594 0,977645

cos 0,977645

12 08'15,76''

d

d

d

= +

+ =

= + =

=

=

12,137778 111111 1348640,6

1348,641

d m m

d km

= =

=

Udaljenost izmeu Sarajeva i Pariza po ortodromi iznosi priblino 1348633,4m, odnosno 1348,6 km

2)

Kako su zadane dvije stranice i kut izmeu njih, tj. );90();90( 21 do azimuta ortodrome 1, 2u takama Sai Padolazimo pomou Neperovihjednaina u kojima , te Ai Bzamjenjuju mjesta jer je: B A> , pa premaslici 75 i formulama (92, 93) slijedi:


64/255

64

2)(

2

1sin

)(2

1cos

212

122

+

=

+ctgtg

2)(

2

1cos

)(2

1sin

212

122

+

=

ctgtg

2

2

1 1cos (48,8464 43,8592) cos 4,9872

16,08192 2 8,040971 12 2

sin (48,8464 43,8592) sin 92, 70562 2

cos 2, 4936 0,999053 7,07193668,04097 7,07864 9,7732205

sin 46,3528 0,7236035 0,7236035

9,77322

tg ctg ctg

ctg

tg

+= = =

+

= = = =

+=

2

205

84,157804 84 09' 28,09''2

+= =

''47'01242

2 =

''34'0348

''56'18168

2

2

=

=+

2 2

2

( ) ( ) 168 18 '56 '' 48 03'34 ''

2 216 22 '30 ''

+ + = + =

=

''15'111082 =


65/255

65

''41''0760

''22'151202

''34'0348''56'18168

)()(2 22

=

=

==

=+=

Azimut ortodrome u taci Saprema Parizu je: ''19'52299360 = Do udaljenosti d, tj. ortodrome izmeu Sarajeva i Pariza na osnovu izraunatihazimuta 1i 2moemo doi pomou sljedeih formula:

94.sin

cossinsin

;sin

cossinsin

for

odnosno

A

B

=

=

3)Kako je NA > to emokoristiti ove formule:

92.2

)(2

1sin

)(2

1cos

2fctgtg

BA

BA

=

+

93.2

)(2

1cos

)(2

1sin

2fctgtg

BA

BA

=

''00'07362

;''31'1245

2;''47'294

2

=

=+

=

NANA

''10'4082

''08'33

Documents

Matematicka Geografija - Dio Predavanja