Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologijeZavod za matematikuPoslijediplomski studij: Kemijsko inenjerstvoKolegij: Elementi inenjerske matematikeAkademska godina: 2009./2010.Postdiplomant: Katarina Dodik

Matematiki modeli u ekologijiLotka- Volterra model

Elementi inenjerske matematike

Sadraj1. Matematiki modeli u ekologiji1.1 Uvod1.2 Klasifikacija matematikih modela u ekologiji1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli1.2.3 Modeli s usredotoenim i raspodijeljenim parametrima1.2.4 Modeli budueg i prolog vremena1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli1.2.6 Deterministiki i stohastiki modeli1.2.7 Analitiki i numeriki modeli1.2.8 Dominantni i subdominantni modeli 2. Lotka- Volterra2.1 Uvod2.2 Rjeavanje diferencijalnih jednadbi2.2.1 Plijen2.2.2 Grabeljivac2.3 Rjeenje problema2.4 Vektorski prikaz3. Literatura

Elementi inenjerske matematike

Elementi inenjerske matematike

1.Matematiki modeli u ekologiji

1.1 UvodMatematiki modeli ine nae procjene i predvianja u ekologiji objektivnijim i pouzdanijim.

Matematiki model stvarnog objekta ini ukupnost logikih veza, ovisnosti i jednadbi koje omoguuju prouavanje populacija, zajednica i ekosustava.

Eksperimenti na takvim objektima nisu mogui, jer mogu dovesti do promjena ili ak unitenja ekolokog objekta.

U takvim situacijama je oito da matematiko modeliranje igra kljunu ulogu u istraivanju ekosustava.

Elementi inenjerske matematike

1.2 Klasifikacija matematikih modela u ekologiji1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli

Matematiki model je izomorfan kada su zadovoljeni sljedei uvjeti:

Svaki element objekta predstavljen je odgovarajuim elementom modela i obratno.Svaka funkcija definirana elementom objekta opisana je odgovarajuom funkcijom, definirana odgovarajuim elementom modela i obratno.Svaki odnos elemenata objekta je predstavljen odgovarajuim odnosima elemenata modela i obratno.

Elementi inenjerske matematike

Cijeli ekosustav je vrlo kompleksan i nemogue je opisati sve znaajke takvih objekata modelom.

Za homomorfni model vrijedi: sve komponente modela imaju analogne komponente u objektu, ali ne obratno!

Jasno je da su svi matematiki modeli u ekologiji homomorfni.

Elementi inenjerske matematike

1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli

U procesu modeliranja neke od sljedeih komponenti e biti argumenti a ostali funkcije koje ovise o tim argumentima:Gi = f(G1,G2, . . .,Gi1,Gi+1, . . .,Gn)(1)Gi- parametar koji elimo predvidjetiG1,G2 ,Gi1, Gi+1 ,Gn- argumenti koji definiraju predvieni parametar GiPojednostavljeno: G = f(g)(2)

Poto su ekoloki objekti rasporeeni na odreeni nain u svemiru s prostornim koordinatama x,y i z i poto se mijenjaju u vremenu t moemo pisati: G = f [g(x, y, z, t)](3)Kada parametar G ovisi o prostornim koordinatama i vremenu kao to je prikazano u jednadbi (3) govorimo o vremenski ovisnom modelu. Kada parametar G ovisi samo prostornim koordinatama kao to je prikazano u jednadbi (4) govorimo o stacionarnom modelu. G = f [g(x, y, z)](4)

Elementi inenjerske matematike

1.2.3 Modeli s usredotoenim i raspodijeljenim parametrima

Ako generalizirani argument g ovisi samo o vremenu, ne o prostornim koordinatama, kaemo da se radi o tokastom modelu ili modelu s usredotoenim parametrima.G = f [g(t)](5)

Ako generalizirani argument g ovisi o vremenu i o prostornim koordinatama, kaemo da se radi o modelu s raspodijeljenim parametrima.

Moemo rei da:model s raspodijeljenim parametrima ~ vremenski ovisan model

Elementi inenjerske matematike

1.2.4 Modeli budueg i prolog vremena

Veina se modela u ekologiji koristi za predvianje buduih stanja ekolokih objekata, takve modele moemo nazvati modelima budueg vremena.U takvom sluaju naemo predvieni parametar G iz izraza (3) u vremenu t=0 (poetak modeliranja) i onda ga definiramo u odreenom trenutku u buduem vremenu tk.

Istraivanje ekolokih objekata u prolosti relativno prema poetku modeliranja je od velikog znaaja.Kada govorimo o modelima prolog vremena: razmotrit emo sadanji trenutak u vremenu tk kao poetak modeliranja i definirati predvieni parametar G za taj trenutak u vremenu, koristei jednadbu (3) moemo definirati predvieni parametar g u vremenu t=0 koji lei u prolosti prema vremenu tk.

Elementi inenjerske matematike

1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli

Kontinuirani modeli predstavljaju kontinuiranu promjenu objekta u vremenu. Ovakav tip modela nam doputa definirati generalizirani argument g i predvieni parametar G u izrazu (3) u svakoj toki u vremenskom intervalu [t0, tn] koji je modeliran.

Diskretni modeli koriste diskretne vremenske korake t0 < t1