MængderEn definition på mængder: En mængde er en velafgrænset samling af ting opfattet som en helhed.De enkelte ting kaldes mængdens elementer.

Man kan skrive elementerne op i listeform og i ufuldstændiglisteform.

Eks.: A={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3…1000}

Ved den ufuldstændige listeform skal det fremgår hvordan det fortsætter.

Mængdebygger:

Eks.: A = {x∈N| x < 7

Tegn:∈ = element i∉ = ikke element i∩ = fællesmængden. De elementer som er i mængden A og B. Dem de har fælles∪ = foreningsmængden. Består af de elementer som ligger i A eller i B eller i dem begge \ = Differensmængde. A\B læses A minus B. Altså A uden nogen Fællesmængde = komplementærmængden. Har man en mængde A som indeholdt i mængden B, så er komplementærmængden til A lig med B⊆ = delmængde. 2 mængder A (6 tabellen) og B(3 tabellen). Alle B’s elementer er indeholdt i A’s. B ⊆ A⊂ = ægte delmængde. Hvis ethvert element ligger i A og B og der mindst ligger et i B som ikkeligger i A.

Eks01:∩ = fællesmængde ∪ = foreningsmængden B\A B minus A Det grå er komplemtær- mængden til A

Ø = tomme mængde. Har to mængder hvor deres fællesmængde er tomme kan man skrive:A∩B = Ø (A og B er disjunkte)

2 mængder A (6 tabellen) og B(3 tabellen). Alle B’s elementer er indeholdt i A’s. B ⊆ A

2 mængder A er 1,2,3,4,5,6 og B er 1,2,3,4,5. Så er B en ægte delmængde af A

Talemængder:

N = naturlige tal. N = hele positive tal. eks.: N={1,2,3,4….} Bemærk: 0 er ikke et naturligt tal

Z = Alle hele tal. Z = {–3,-2,-1,0,1,2,3} Der kan igen opdeles i Z- og Z+ (N = Z+) N⊂Z

Q = De rationelle tal. Dette er alle tal som kan skrives som brøker. Altså alle hele tal og decimaler.

Eks.: 0,56 = 100

56 , 5 =

1

5

R = reelle tal. Samtlige kendte tal.

Bevis ( 2 ):

Vi vil bevise at 2 er et irrationalt tal. Dette gør vi idet at vi antager at den er rational. Hvis den errational kan den som bekendt skrives som brøk. Vi forudsætter at brøken er uforkortelig, hvilkebetyder at der ingen hele tal går op i brøken. Altså eksisterer der hele tal p og q i denne brøk.Vi får så:

2 = q

p⇔ pq =2 ⇔ 2q2 = p2

Nu er q et helt positivt tal. Da q nu er et lige tal, må p2 også være lige, eftersom der nu står:lige= lige .Eftersom p2 er lige så må p også være. Altså findes det tal s som går to gange op i p:2s = qVi får så: 2q2 = (2s)2 ⇔ 2q2 = 4s ⇔ q2 = 2s

Da p og q nu er lige kan de forkortes, hvilke er i modstrid med det vi forudsættede. Derfor må 2være irrational.

Brøk til decimaltal:

3

2= 2:3 = 0,66666…

Periodiske decimalbrøker:

Har man et decimaltal fx 0,746464646

1000x = 746,4646 (fordi den er 3 decimaler bag kommaet) x = 0,7464646

Trækker dem fra hinanden og får:

999x = 745,254 ⇔ 999000x = 745254 ⇔ x = 999000

745254

Intervaller:

Tænk på koordinatsystemer.

[a;b] ={x | a ≤ x ≤ b} [-3;6] = {x | -3 ≤ x ≤ 6}

]a;b] ={x | a < x ≤ b} ]-3;6] = {x | -3 < x ≤ 6}

[a;b[ ={x | a ≤ x < b} [-3;6[ = {x | -3 ≤ x < 6}

]a;b[ ={x | a < x <b} ]-3;6[ = {x | -3 < x < 6}

[a;∞ ] = {x | x ≥ a}

]a;∞ [ = {x | x > a}

]-∞ ;b] = {x | x ≤ b}

]-∞ ;b[ = {x | x ≤ b}

Geometri

Trekanter: Et polygon med tre sider, den består af tre punkter (vinkelspidserne) og de tresidestykker som forbinder dem. Dens vinkler giver tilsammen 180º. Det er det polygon som harfærrest sider. Ethvert polygon kan opdeles i trekanter.Enhver trekant har en indskrevet cirkel, hvor centrumet befinder sig i skæringspunktet forvinklernes halveringslinjer.Enhver trekant har en omskrevet cirkel, hvor centrumet befinder sig i skæringspunktet for de tresiders halveringsnormaler.

Ligebenet trekant = har 2 sider lige lange.Ligesidet trekant = har alle sider lige lang. Midtnormal, vinkelhalv., højder falder sammenRetvinklet trekant = har en vinkel på 90ºSpidsvinklet trekant = har alle vinkler under 90ºStumpvinklet trekant = har en vinkel på over 90º

Ligedannede/ensvinklede trekanter1) To trekanter kaldes ensvinklet hvis deres vinkler er parvis lige store eller to vinkler i den ene erlig to vinkler i den anden.2) en vinkel i den ene er lig med en vinkel i den anden og vinklens to hosliggende sider har sammeforhold som de tilsvarende hosliggende sider i den anden.3) tre sidestykker i den ene har samme forhold i den anden trekant.

Altså hvis: A=D, B=E C=F.

I ensvinklede trekanter er forholdet ensliggende sider konstant. Hvilke er det samme som :

f

c

e

b

d

a== .

Kongruens:To trekanter er kongruente/identiske, hvis:

1) de har alle sider parvis lige store2) De har en vinkel og to hosliggende sider lige store3) De har to vinkler og den mellemliggende side lige store4) De har to vinkler og en ikke-mellemliggende side lige store

1) 2) 3) 4)

Har man to kongruente trekanter ABC og DEF kan man skrive ABC DEF

Ikke kongruens:Hvis alle vinkler er givet kan siderne stadig være længer i den ene. Forholdet er dog så konstantmellem de to trekanter og derfor er de så ensvinklede/ligedannede.

Det kan ske at der er to løsninger hvis der er givet to sider ogen vinkel. Er a mindre en c vil der kun være en løsning.Er a for lille kan det ske at det ikke komme til nogen formfor trekant. Skærer cirklen lige (tangerer) vil det komme til enretvinklet trekant.

Geometriske steder:

Et geometrisk sted er en punktmængde med en bestemt egenskab. Alle punkter på en cirkel harsamme afstand (radius) til centrum.

Man siger at en cirkel er det geometriske sted for de punkter, der har en given afstand til et givetpunkt.

Centrumet er det geo- Midtnormalen til linjestykket Det geometriske sted for demetriske sted for alle AB er det geometriske sted for punkter, hvis afstand til A erpunkter på omkredsen, punkter der har samme afstand k, er de to parallelle linjer derdet har samme afstand til A og B. |AP|=|BP| har afstanden k.til alle punkter på om- |AR|=|BR|kredsen.

Vinkelhalveringslinjen Der tegnes vinkelhalverings linjer igennem de 2 vinkler der er bleveter det geometriske sted dannet af de 2 ikke parallelle vinkler. Man tegner nu et vilkårligt punktfor de punkter der har P. Derefter kan man tegne vinkelbenene på 90º. Da dette nu er ensamme afstand til A og B ligebenet trekant må kateterne være lige lang (to ens vinkler).

Det geometriske sted for de punkter som har samme afstand til de2 linjer nm er de to vinkelhalveringslinjer der går gennemskæringspunktet

PythagorasDer tegnes først en retvinklet ABC trekant. A siddes til at værev og B sides til at være u. Da den rette vinkel er 90º måv + u = 90º. Man tegner nu en højde H. Der sidestilsvarende vinkler i den anden trekant (HCB). Virelaterer nu fra trekanten ABC til projektionerneABC til AHC (husk c1+c2 = c)

b

c

h

a

c

b==

2

222

ccbbcbc

b

b

c

c

b⋅=⋅⇔=⋅⇔= ⇔ b2 =c · c2

ABC til CHB

a

c

c

a

h

b==1

⇔=⋅⇔= cac

a

a

c

c

a

11a2 = c· c1

Ligger dem sammen:a2+ b2 = c · c2 + c· c1

Faktorierer:

a2+ b2 = c(c2 + c1)

Eftersom c2 + c1 = c

a2+ b2 = c2

Pythagoras sætning: I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med hypotenusenskvadrat

Pythagoras omvendte sætning: En trekant, hvor summen af kateternes kvadrat er lig medhypotenusens kvadrat, er retvinklet.

Midtpunktstransversaler: En midtpunktstransversal erhalv så lang den er parallel med. Man trækker en linjefra midtpunktet af |AB| som kaldes D parallel med linjen|CB|. Linjen |ED| går nu op i midtpunktet af |AC|.Trekanten ADE er ensvinklet med ABC og er halv så stor.

Medianer: En median er en linje der forbinder vinkelspidsenmed den modståendes sides midtpunkt.

Sætning: I en trekant går de tre medianer gennem sammePunkt, og dette punkt deler medianerne forholde 1:2 regnetFra fodpunkterne.

Bevis: (se tegning)2 medianer fra A til D og fra B til E. Eftersom ED erMidtpunktstransversal i trekanten ABC, er ED parallelmed AB, ED er også halv så lang som AB. Derfor ervinklerne lige store. Så er Trekanterne ABC og ECDensvinklede, hvilke trekanterne EDG og ABG også er.Da forholdet nu næsten overalt er 1:2.Specielt er: |DG| = _ |AG| eller |DG| = 1/3 |AD Ved dan anden trekant hvor jeg har tegnet den sidsteMedian med, er der de samme forhold.|DH| = _ |AH| eller |DH| = 1/3 |AD|Punkterne G oh H falder sammen da de begge ligger på|DA|. Den tredje median skærer i samme punkt hvilke mankan se ved inddelingerne af trekanten.

Midtnormaler:Sætning: I en trekant går midtnormalerne gennem sammePunkt, og dette punkt er centrum for trekantens omskrevneCirkel, hvilke er den cirkel der går gennem de 3Vinkelspidser. Bevis: Da det geometriske sted for en linje er enmidtnormal, er midtnormalen det geometriske stedfor den punktmængde der har samme afstand til linjeenderne. Derfor er afstanden fra|OC| = |OA| og |OB| = |OA| og |OB| = |OC| eller:|OC| = |OA| = |OB|. Da det nu er vist at der er lige langttil alle vinkelspidser så befinder O sig i centrumet forden omskrevne cirkel.

Vinkelhalveringslinjer: En linje som halverer vinklerne.Linjen er også det geometriske sted for de punkter derhar samme afstand til vinklens ben. Eftersom C ligger påC’s vinkelhalveringslinje så er afstanden fra |Ia| lig med |Ib|.I ligger også på vinkelhalveringslinjen for B, afstanden fra |Ia|

er lig med |Ic|. Det vil sige at afstanden fra I til a, b, c er den samme.Kalder vi nu den afstand for R kan vi tegne den indskrevne cirkel.

Højder:Sætning: I en trekant går højderne gennem sammepunkt. Bevis: Der ses nu tre parallelogrammer C1ACB , ’A1BAC, B1ABC. Eftersom de modstående sideri et parallelogram. Er lige lange får vi i B1ABC, at:|B1A| = |CB| i C1ACB fås |C1A| = |CB|leger vi dem sammen fås: |C1A| = |B1A|Så er midtpunktet i A.Eftersom højden A står vinkelret på |BC| og |C1B1| erparallel med |BC| så står A også vinkelret på |C1B1|.Da A nu er midtpunktet for |C1B1| og samtidigt stårVinkelret på linjen |C1B1| så er højden A midtnormalI trekanten. Da alle midtnormaler skærer hinanden i etPunkt har vi vist at højderne også skærer hinanden iet punkt.

Cirkel:Sætning: En periferivinkel er halvt så stor som den bue denspænder over.Spænder periferivinklen over diameter(180º) så er vinklerne90º. Modsat gælder der at en retvinklet trekant vil havediameteren som grundlinje.Bevis: Da både CB og CA er radiuser så er trekanten ABCLigebenet hvilket betyder at vinklerne ved grundlinjenEr ens. Det samme gælder for trekanten ACD.Eftersom ∠ACB = 180º-2x, er ∠BCE = 2x. Detsamme gælder for ∠DCE =2y. Eftersom denoprindelige periferivinkel spændte over BD havdeen størrelse på 2x+2y.

Analytisk GeometriKoordinatsystemet:To tallinje, hvor den vandrette kaldes x-aksenOg den lodrette kaldes y-aksen. De skærerHinanden i et punkt kaldes origo O.

Afstandsformlen:Bevis:Der er to tilfælde:1) Et linjestykke AB skråt iKoordinatsystemet2) Et linjestykke somligger parallelt med y eller x –aksen.

Ved den skrå linje prøver vi via pythagorasat finde frem linjens længde (|AB|).Da phytogras kun kan bruges på retvinkledetrekanter indtegner vi to hjælpelinjer. Vi harnu en retvinklet trekant ABC. Vi pythagorasessætning: a2+b2 = c2

Derfor får vi:|AB|2 = |x2-x1|

2 + |y2-y1|2 ⇔ AB| = |x2-x1|

2 + |y2-y1|2

Eftersom: |a|2 = a2 fås:|AB| = (x2-x1)

2 + (y2-y1)2

I det andet tilfælde hvor linjen er parallelmed y-aksen, kan vi ikke bruge det samme middel.Dog kan vi indsætte det i formlen og ser om detgiver samme resultat. x1 = x2

|AB| = |y2-y1|indsætter:|AB| = (y2-y1)

2 = |y2-y1|

Bemærk: a2 =|a|

Det er hermed vist at formlen gælder uanset linjensbeliggenhed.

Cirklens ligningVi ønsker at bestemme cirklens ligning, hvilkevil sige en ligning i de variabler x og y der netopopfyldes af P(x, y), der udgør cirkelperiferien.Da cirkelperiferien netop består af de punkter P,Hvis afstand til C er r, benytter vi afstandsformlen.|CP| = (x - a)2 + (y - b)2 = r ⇔

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Denne ligning, der kaldes cirklens ligning. Man sigerMan siger også at ligningen fremstiller cirklen med

Centrum i (a, b) og radius r.

Linjens Ligning:

Linjens ligninger er som bekendt af typen y = ax + bDe punkter(x,y) som opfylder ligningen ligger på en ret linje.

a = hældningskoefficienten. a > 0 peger linjen skråt op mod højre a > 0 peger linjen skråt ned mod højre a = 0 er linjen en vandret streg parallel med x-aksen. Parallelle linjer har somme hældningskoefficient

b = den y koordinat (0,b), hvor linjen skærer y-aksen. Dette er sådan, da man ved indsættelse af (x, y) = (0, b) i linjens ligning får: b = a · 0 + bb = 0 er linjen proportional og går igennem (0,0)

En lodret linje har ingen hældning og skærer ikke y-aksenDens ligning kan skrives som x = c eftersom alleDens punkter har samme x værdi.

Sætning: Ligninger for en ret linje, der går gennem(x0,y0)Og som har hældningskoefficienten a, kanskrives på formen:y-y0 = a(x-x0)

Bevis:Eftersom vi ved at linjens ligninger kan skrives på formen:y = ax + b (8)da koordinaterne (x0,y0) ligger på linjen, passer koordinaternei ligning. Vi får så:y0 = ax0 + b (9)Vi trækker nu (9) fra (8) og får:y - y0 = ax + b – (ax0 + b) ⇔y - y0 = ax –ax0 ⇔y - y0 = a(x- x0) ⇔ Faktoriser

Hældningskoefficient:Sætning 3: hvis A(x1,y1) og B(x2,y2) er to punkter på en ret linje, og x1≠ x2 (dvs. linjen er lodret),er hældningskoefficienten bestemt ved:

a = 12

12

xx

yy

−

−

Bevis:Da punktet A(x1,y1) ligger på linjen derfor: y - y1 = a(x- x1)Eftersom vi også ved at punktet B(x2,y2) ligger på linjen får vi: y2 - y1 = a(x2- x1)

Idet at jeg isolerer a (divider med (x2- x1)) får jeg a = 12

12

xx

yy

−

−

Linjens ligning kan også skrives som et førstegradsled af typen:ax + by+ c = 0

isolerer man y (b≠ 0) får man: y = b

cx

b

a−

− Dette er en linje der har hældningen x

b

a− og som

skærer y-aksen i koordinaten (0; b

c− )

b = 0 får man : ax + c = 0 ⇔ x = a

c− hvilke er en lodret linje der går gennem (

ac

− ,0 )

Forskellen på de to ligninger er at førstegradsligningen fremstiller alle linjer.

Ortogonale linjer:

Ortogonale linjer er linjer som ligger vinkelret på hinanden.Sætning: Linjerne 1: y= ax + b og m: y = cx +d er ortogonale, netop hvis a · c = -1

Bevis:Man benævner skæringspunktet af linjerne m og I med P.Derefter tegnes en vandret streg ud fra P. Denne streg er 1 lang.Derefter forbinder man linjerne m og I og S med en lodret streg.Man kan udfra linjernes ligning se at den enes hældning erpositiv og den andens negativ. Altså er a positiv og c negativ.Vi kan nu ved hjælp af pythagoras finde frem til hældningernesForhold.|QR|2 = (|SQ|2 + |PS|2) + ( |SR|2 + |PS|2)indsætter:(a+(-c))2 = ((a2 + 1) + (1+(-c)2)) ⇔(a-c) 2 =( a2 + 1) + (1-c2) ⇔-2ac+c2+a2 = a2 + 2 + c2⇔-2ac = 2⇔-ac = 1⇔ac = -1

Man kan også bevis det sådan:Eftersom de to trekanter ved drejning i rummet erEnsvinklede så er der et konstant forhold mellemtrekanternes sider:

c

a

−=1

1⇔ -ac = 1 ⇔ ac = -1

Afstand fra punkt til linje:Sætning: Afstanden dist(P,l) fra punkt P (x1,y1) linjen1 med ligningen y = ax + b er bestemt ved:dist(P,l) = |ax1 + b –y1| a2+1

Bevis:Man tegner først en linje l og derefter punktet P.P har koordinatsættet (x1, y1). Derefter tages der ettilfældigt punkt på linjen l som vi kalder A. Ud fraA tegnes en linje med en længde på 1. Den anden endeAf denne linje kalder vi C. Ortogonal på linjen tegnesder en lodret linje så den skæret med linjen l. Denne linjeer hældningen a. Eftersom hældninger kan være negativeer det |a|. Vi tegner nu til sidst en lodret linje fra P nedadså den skærer l, punktet hvor skæringen finder sted kaldesQ.Vinklen Q indtegnes. Eftersom siden |PQ| er parallel medsiden |BC|, så de vinkler hvorunder de skærer l, lige store.Da de to trekanter nu er ensvinklede er der visse konstanteforhold imellem dem. Vi får:

||

||

||

||

AB

PQ

AC

PR= ⇔

||

||

1 AB

PQd=

Eftersom vi ved at Q ligger på linjen og vi ved at denkoordinater er (x1,y2), hvilke er den samme x koordinatsom P kan vi finde frem til y2 viaLigningen.: y2 = ax1 + bVi ved også at |PQ| = y2-y1 = ax1 + b- y

|AB| Er hypotenusen i trekanten så derfor kanvi benytte pythagoras.

12 + |a| 2 ⇔ 1 + a 2

indsætter i: ||

||

1 AB

PQd= ⇔

21

|y1-b+ax1 |

ad

+=

Midtpunkt af linjestykke:Sætning: Midtpunktet M af linjestykket AB, hvor A(x1, y1) og B(x2, y2),er bestemt ved:M (x1+x2 , y1+y2) 2 2

Ligninger og uligheder

I matematik spiller udsagn en stor rolle. Det kan fx være 11 går op i 132. Et udsagn kan enten værefalsk eller sand.Et åbent udsagn som ligningen 4x-6 = 5 er ikke et udsagn dog bliver det til et hvis man indsætternoget for variablen x.

Tegn:⇒ = implikation læses: medfører eller hvis….så..⇔ = biimplikation . Læses: ensbetydende med.∨ = eller∧ = og

Eks.: 3x = 6⇒ x2 = 4

Eks.: 3x-7 = 17 ⇔ 3x = 24

Ligninger af første grad. Ved en ligning forstås et åbent udsagn, der indeholder et lighedstegn.Udtrykket løse ligningen betyder at man skal finde den mængde, dvs de værdier, der passeriligningen.

Regler:1) Man kan gange, dividere lige til og trække fra på begge sider. I de første 2 dog ikke med 02) Nulreglen. Et produkt er 0 netop hvis en af faktorerne er 0eks.: x· y = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 03) gange over kors. Er højre og venstre side brøker kan man gange over kors.

Eks.: d

c

b

a= ⇔ ad = bc

Divider aldrig en størrelse hvori den ubekendte indgår.

Uligheder:

En ulighed er et åbent udsagn, der indeholder et af ulighedstegnene: < , > , ≥ , ≤Udtrykket at løse en ulighed, betyder at man skal findeDen løsningsmængde, dvs. de værdier der gør uligheden sand.

Multiplikation og division:

Ganger man eller dividerer man med et negativt talalle led i en ligning, hvori der befinder sig et ulighedstegnskal tegnet vænnes.

Sætning: En ulighed kan multipliceres med et positivt talpå begge sider af ulighedstegnet, dvs. hvis c er et positivt tal, gæla > b ⇔ ac > bc

Bevis:

a > b , trækker a fra på begge sider

0 > b - a , bruger fortegnsregler

0 > (b – a)c , ganger ind i parentes

0 > bc –ac , ligger ac til på begge sider

ac > bc

Det viser at for c > 0 er a >b ensbetydende med ac > bc.

Sætning: En ulighed kan multipliceres med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet, hvisman samtidigt vender ulighedstegnet, dvs. hvis c er et negativt tal, gælder:

a > b ⇔ ac < bc.

Bevis:

a > b ,trækker a fra på begge sider

0 > b-a ,bruger fortegnsreglerne.

0 < ( b - a )c ,ganger c ind i parentes

0 < bc – ac , ligger ac til på begge sider

ac < bc

Det viser at for c < 0 er a > b ensbetydende med ac < bc.

Sætning: Hvis a og b er positive eller nul gælder a > b ⇔ a2 > b2

Bevis:

a > b ,ganger med a + b der er positive

a(a +b) > b(a +b) , ganger ind i parentesen

a2 + ab > ba +b2 ,trækker ab fra på begge sider

a2 > b2

Det er tilladt at kvadrer på begge sider af en ulighed, dog kun hvis siderne er ikke-negativeDette gælder dog ikke alle reelle tal

Dobbeltuligheder:Ved en dobbeltulighed forstås en ulighed af formen a < b < c

a < b < c ⇔ a < b ∧ b < cDe skal begge være opfyldt . Ulighedstegnene i en dobbeltulighed skal vende samme vej.

Numerisk værdi:

Definition: Den numeriske værdi |a| af et tal a er bestemt ved |a| = { a for a ≥ 0 {-a for a < 0

Den numeriske værdi kan illustreres på en tallinje, idet afstanden mellem a og b er |a-b|Generelt har vi |a-b| = |b-a|

Specielt er afstanden mellem 0 og a |a-0| = |0-a| = |a| afstanden mellem a og 0 er = |a|

Sætning: For reelle tal a og b gælder der, at:

1) |a·b| = |a||b| 2) |a ± b| ≤ |a| + |b|

3) a2 = |a|2 = |a2| 4) 0, ≠= bb

a

b

a

Rødder og potenser

Kvadratrødder og potenser er to sider af samme sag. Der kan ikke tages kvadratrod af et negativt tal

Rødder: kvadratroden af et positivt tal a er det positive tal hvis andenpotens er a

Rodprøven: a = b ⇔ b > 0 ∧ b2 = a

Kubikrødder: bba ⇔=3 3 = a.

Definition: Hvis a er et reelt tal og n et positivt helt tal , er den n-rod af a bestemt sådan:

a > 0 : n a er det positive tal, hvis n-te potens er a

a = 0 : n a = n 0 = 0

a < 0: Hvis n er lige er n a ikke defineret.

Hvis n er ulige er n a det negative tal, hvis n-te potens er a.

Regneregler for rødder:

Sætning: For ikke-negative reelle tal a og b gælder:

1. ba ⋅ = ba ⋅ 2 b

a

b

a= . 0≠b

For alle reelle tal gælder a 2 = |a|

Vigtigt er også: a · a = a (a ≥ 0) aa

a= fx 5

5

5=

Potens med hel eksponent:

Der gælder for alle reelle tal a og alle hele, positive tal n: an = a·a·a·a·a·….a (n faktorer)a er her grundtallet og n er eksponenten.

Potensregler:For potenser med hel, positiv eksponent gælder følgende regneregler:Sætning: For reelle tal a og b, og hele positive eksponenter m og n gælder.

1. an · am = an+m 2. an = an-m , a≠ 0 3. an·bn = (ab)n 4. an = n , b≠ 0 am bn

5. (an)m =an·m

Definition: For alle reelle tal a≠ 0 og n hel sættes:a0 =1 , a-n = 1 an

b

a

Potens med rational eksponent:Vi tillader nu at eksponenterne kan være rationale tal, dvs. tal, der kan skrives som brøker.Fx: 5_ , 0,5432,5

Grundtallet skal dog være positivt.

Eksponent 1/3 (a1/3)3 = a1 = a

Eksponent: 1/n (a1/n )n = a så a1/n = n a

Definition: Hvis n er et positivt helt tal og a er et positivt, reelt tal, sættes: a1/n = n a

Ikke stambrøk som eksponent

Definition: hvis a er et positivt tal, p er et helt og q er et positivt helt tal, sættes:

a qp

= q pa = q a p

Ved hjælp af denne definition kan vi omforme rødder til potenser.

TrigonometriSinus og cosinus:

Definition: Cosinus til en vinkel v er x-koordinaten tilretningspunktet P, forkortet cosv. Sinus til en vinkel v er y-koordinaten til retningspunktetP, forkortet sinv. Koordinaterne til retningspunktet P bliver altså P(cosv,sinv)

Eksempel. v = 59º (cos59º,sin59º) = (0,5150; 0,8572)

Grundrelation:

Eftersom cirklen har ligningen: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

Enhedscirklen har centrum i (0,0) og radius 1. DetteIndsættes nu i ligningen:(x - 0)2 + (y - 0)2 = 12 ⇔ x2 + y2 = 1

Er v en vilkårlig vinkel så ligger retningspunktet P medkoordinaterne (cosv, sinv) på cirklen. Vi indsætter:

cosv 2 + sinv 2 = 1 dette er grundrelationen

Tangens:

Definition. Ved tangens til en vinkel v forstås tallet:

conv

vv

sintan = , cosv ≠ 0

Hvilke vil sige at vinklen ikke må være -450º, -270º, -90º, 0, 90º, 270º, 450º

Man kan illustrere værdien af tangens ved hjælp afenhedscirklen. P er retningspunktet for vinklen v.P har derfor koordinaterne (cosv; sinv). TangentenI E (ret vinkel ) skærer linjen O P i T. T’s koordinatermå være (1,t) t = variabel.Vi kan nu via hældningsformlen finde t.

vv

v

conv

va tan

cos

sin

0

0sin==

−

−=

Eftersom linjen også går gennem (0,0) og (1,t) skalhældningen også være:

ttt

a ==−

−=

101

0

altså er t = tanv . T har derfor koordinaterne (1, tanv)

Vinkler mellem linjer:

Sætning: Linjen med ligningen y = ax+b danner en vinkel v med x-aksen, hvis tangens er lig medlinjens hældning. tanv = a

Den retvinklede trekant.Man tegner nu en retvinklet trekant med A ikoordinaten (0,0). Derefter indtegnes der enenhedscirkel. Da begge trekanter indeholderA som en af deres vinkler og de begge har en vinkel på 90ºSå er de ligedannede / ensvinklede. Hvilke betyder atderes sider er proportionale.Forholdene er derfor:

||

||

||

||

||

||

AB

AP

AC

AQ

BC

PQ==

Nu indsætter vi de bestående længder: tip: fin cosA, sinA, tanA

cb

A

a

A 1cossin==

ca

A 1sin= ⇔

c

aA =sin

cb

A 1cos= ⇔

c

bA =cos

b

a

b

c

c

a

c

bc

a

A

AA =⋅===

cos

sintan

Ville jeg finde sinB, cosB, tanB skulle jeg bare have taget ud fra B

Sætning: I en retvinklet trekant gælder der for sin, cos og tan til en af de spidse vinkler at:

sin(vinkel) = modstående katete divideret med hypotenusencos(vinkel) = hosliggende katete divideret med hypotenusentan(vinkel) = modstående katete divideret med hosliggende katete.

Sinus og cosinusrelationerne

sinB = c

h⇔ sinB · c = h

Arealet er som bekendt: A = _ · ah , indsætter værdien for hA = _ · a· c sinB

Dette gøres for de andre.

sinA =b

h⇔ sinA · b = h

A = _ · sinA · b · c

sinC =a

h⇔ sinC · b = h

A = _ · sinC · b · a

Sider dem lig med hinanden:

_ · sinC · b · a = _ · sinA · b · c = _ · a· c sinB tip: det er altid de 2 andre.

Ganger med 2:

sinC · b · a = sinA · b · c = a· c sinB

Dividerer med a·b·c

sinC · b · a = sinA · b · c = a· c sinB ⇔ ,reducer a·b·c a·b·c a·b·c

sinC = sinA = sinB c a b

Sætning: For en vilkårlig trekant gælder sinusrelationerne:

sinC = sinA = sinB eller c a b c a b sinC = sinA = sinB

Cosinusrelationerne

Eftersom man ikke altid kan benytte sig af sinusrelationerneHar vi brug for en formel at dække denne mangel.

Man tegner en vilkårlig trekant, Derefter indtegnes en højde hSkæringspunktet med grundlinjen a og h kaldes D. Afstanden|DC| kaldes x, hvilke betyder at |BD| nu heder a-xEftersom det er 2 retvinklede trekanter benyttes pythagoras. Tip: for hypotenuserne b og c

Trekant ABD c2 = (a-x)2 + h2

Trekant: ACD b2 = x2 + h2

Trækker den nederste fra den øverste:

b2 - c2 = (a-x)2 + h2 - x2 - h2 ⇔ c2 - b2 = (a-x)2 - x2 ⇔ c2 - b2 = a2 +x2 –2ax- x2 ⇔

c2 - b2 = a2 –2ax

Bruger nu: cos(vinkel) = hosliggende katete divideret med hypotenusen tip: husk det er b og ikke h

cosC = b

x ⇔ cosC · b = x ,indsætter

c2 - b2 = a2 –2ab · cosC ⇔ a2 + b2 - c2 = 2ab · cosC ⇔ a2 + b2 - c2 = cosC 2ab

Gør det samme som i den foregående.Anvender pythagoras :Får: Trekant ABD c2 = (a-x)2 + h2

Trekant: ACD b2 = x2 + h2

Trækker den nederste fra den øverste:

b2 - c2 = (a-x)2 + h2 - x2 - h2 ⇔ c2 - b2 = (a-x)2 - x2 ⇔ c2 - b2 = a2 +x2 –2ax- x2 ⇔

c2 - b2 = a2 –2ax

Af den retvinklede trekant ABC fås cosC = b

x⇔ cosC · h = x

Nu er v = 180º - C, så har vi efter overgangsformlen har: cosv = cos(180º -C) = -cosCIndsætter:c2 - b2 = a2 –2ax ⇔ c2 - b2- a2 = -2ab · cosC ⇔ c2 - b2- a2 = cosC ⇔ cosC = -c2 + b2 + a2

-2ab 2ab

Andengradsligningen

En ligning af typen: ax2 + bx +c = 0 ,a ≠ 0

Sætning: For andengradsligningen ax2 + bx +c = 0 med diskriminanten d = b2 –4ac

Hvis d < 0 har ligningen ingen løsning

Hvis d > 0 har ligningen to løsninger, nemlig x = a

db

2

±−

Hvis d = 0 er der én løsning, nemlig x = a

b

2

−

Bevis:

ax2 + bx +c = 0 ⇔ ,ganger med 4a4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 ⇔ , lægger b2-4ac på begge sider4a2x2 + 4abx + c+ b2 = b2-4ac ⇔ , sætter b2-4ac = d(2ax)2 + 2·2abx + c+ b2 = d , faktoriser

Benytter nu formlen: (p+q) 2 = p2 + q2 + 2pq hvor p = 2ax og q = b

(2ax + b)2 = d (1)

Vi deler nu på i to tilfælde.

d < 0 Hvis d < 0 er højresiden i (1) negativ. Venstresiden stor i anden potens og er derfor positiveller lig med 0. Da noget positivt eller 0 ikke kan være lig med noget negativt er der ingen løsning.

d ≥ 0 Er højre side positiv eller lig 0 kan vi lave en omskrivning:

2ax + b = d± ⇔ x = -b d± det ses at hvis d er = med 0 så er det -b

2a 2a

Funktioner

En funktion er en forskrift, der til være x i definitionsmængden Dm(f) lader svare præcis et tal y iværdimængden Vm(f).Tallet y kaldes funktionsværdien af x og betegnes y = f(x).Sekundærmængden har værdimængden som delmængde.

Definitionsmængde: Den mængde, inden for hvilken x kan variere, kaldes funktionensdefinitionsmængde eller primærmængde Dm(f).Værdimængden: Den mængde, inden for hvilken funktionsværdierne kan variere, kaldesværdimængden Vm(f).

Monotoniforhold:f voksende: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)f aftagende: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

f kaldes monoton hvis f enten er voksende eller aftagende igennem hele funktionsgrafen

Lige og ulige funktioner:

Funktionen f kaldes lige, hvis f(-x) = f(x) for alle x i definitionsmængden. Dens graf er symmetriskom y-aksen.

Funktionen g kaldes ulige, hvis g(x) = -g(-x) for alle x i definitionsmængden. Dens graf ersymmetrisk om (0,0)

Injektiv

Funktionen er injektiv, hvis forskellige x-værdier har forskellige funktionsværdier:x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) I så fald vil enhver linje parallel med x-aksen skære grafen i højst étpunkt.

En monoton funktion er injektiv.

Parallelforskydning: Hvis parablen med ligningen y = ax2 parallelforskydes så (0,0) overføres tilpunktet (h,k), fås den parallelforskudte parabel ligning: y = a(x-h)2 + k

y = a(x-h)2 + k ⇔ y = a(x2-2xh + h2) +k⇔ Y = ax2-2axh+ah2 + k

ønsker den skal være ensbetydende med:

y = ax2+bx+c

Andengradsleddende stemmer overens så vi skal bestemme h:

Bx = -2axh ⇔ b = -2ah ⇔ h = a

b

2−−

Nu bestemmes k

c = ah2 + k ⇔ k = c –ah2

indsætter værdien for h:

k = c –a(a

b

2−− )2 = c –a

24

2

a

b = c -

24

2

a

ab = c -

a

b

4

2 =

a

bac

4

24 −=

a

acb

4

42 −−=

a

d

4

sætning: grafen for andengradspolynomiet

f(x) = ax2 + bx +c

er en parabel, der fremgår af parablen med ligningen y = ax2 ed den parallelforskydning der fører

(0,0) over i punkter (a

b

2−− ;

a

d

4) som er toppunktet.