X PREDAVANJE

INTEGRALNI RACUN FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE

POLINOMI

Definicija. Algebarski polinom je funkcija P : C 7→ C, zadata izrazom

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

=n∑

k=0

akxk,

gde je n ∈ N ∪ {0}, a0, a1, . . . , an ∈ C.

Brojevi ai (i = 0, . . . , n) zovu se koeficijenti polinoma P .Ako je koeficijent an 6= 0, kaze se da je polinom P n−tog stepena, ili n je red

polinoma. Pisemodeg(P ) = n

an se zove najstariji koeficijent.

Ako je an = 1, polinom se zove monican.

Polinom P je nula-polinom ako su ai = 0 (i = 0, . . . , n).

Definicija. Polinomi P i Q su identicki jednaki ako vazi

(∀x ∈ C) P (x) = Q(x),

sto zapisujemo u obliku P (x) ≡ Q(x).

P- skup svih polinoma

U skupu P definisemo operacije:

1) (P + Q)(x) = P (x) + Q(x)2) (P ·Q)(x) = P (x) ·Q(x)

(P, +, ·) je komutativni prsten.

DELJIVOST POLINOMA

Teorema. Za svaki polinom P i svaki nenula polinom Q, postoje jedinstveno odred-jeni polinomi S i R takvi da vazi jednakost

P (x) = S(x)Q(x) + R(x),

pri cemu je ili R nula-polinom ili je deg(R) < deg(Q).

Polinom S(x) zove se kolicnik pri deljenju polinoma P polinomom Q a R jeostatak pri deljenju:

P (x)Q(x)

= S(x) +R(x)Q(x)

.

1

2

Bezuov stav:.Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x− a (a ∈ C) jednak je vrednosti poli-

noma P u tacki a, tj. P (a).

Broj a ∈ C zove se nula polinoma P ako je P (a) = 0.

Teorema. Polinom P deljiv je polinomom S(x) = x− a ako i samo ako je broj anula polinoma P .

OSNOVNA TEOREMA ALGEBRE

Teorema. Svaki polinom Pn(x) ima nulu u skupu C.

FAKTORIZACIJA POLINOMA

Neka jePn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0

Posledica 1. Postoji broj a ∈ C takav da je

Pn(x) ≡ an(x− a)Qn−1(x),

pri cemu je Qn−1 monican.

Posledica 2. Postoje brojevi x1, x2, . . . , xn ∈ C takvi da je

Pn(x) ≡ an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn).

Posledica 3. Polinom Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 ima tacno n nula.

Ako polinom Pn napisemo u obliku

Pn(x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn),

kazemo da smo izvrsili faktorizaciju na linearne faktorex− xi (i = 1, . . . , n).

Za nulu ξ polinoma Pn kazemo da je visestruka reda k (k ≤ n) ako postojipolinom Qn−k takav da je

Pn(x) = (x− ξ)kQn−k(x).

Ako je k = 1, tada je ξ prosta ili jednostruka nula.

Ako su x1, x2, . . . , xp medjusobno razlicite nule polinoma Pn, pri cemu su njihoviredovi respektivno k1, k2, . . . , kp, tada je

k1 + k2 + · · ·+ kp = n

i

Pn(x) ≡ an(x− x1)k1(x− x2)k2 · · · (x− xp)kp .

3

Teorema. Kompleksan broj ξ je visestruka nula reda k polinoma P ako i samo je

P (ξ) = P ′(ξ) = · · · = P (k−1)(ξ) = 0 i P (k)(ξ) 6= 0.

PRIMER. P (x) = x6 − 2x3 + 1

Teorema o identicnosti polinoma

Teorema. Polinomi P i Q su identicki jednaki ako i samo ako su istog stepena iako su im koeficijenti uz iste stepene promenljive x jednaki.

Dokaz. Neka su polinomi

P (x) = amxm + · · ·+ a0

Q(x) = bnxn + · · ·+ b0

identicki jednaki i neka je m > n. Tada iz

P (x) ≡ Q(x) ⇔ P (x)−Q(x) ≡ 0

sledi

amxm + am−1xm−1 + · · ·+

(an − bn)xn + (an−1 − bn−1)xn−1 + · · ·+ a0 − b0 ≡ 0.

Prema definiciji nula-polinoma, svi koeficijenti moraju biti jednaki nuli, tj.

am = am−1 = · · · = am−(n−1) = 0 ∧

an = bn, an−1 = bn−1, . . . , a0 = b0.

=⇒ P i Q su istog stepena i svi koeficijenti su im jednaki.

HORNEROVA SEMA

Na osnovu prethodne teoreme Horner je izveo semu za skraceno deljenje polinomaPn pomocu x− α. Ovo se svodi na odredjivanje polinoma

Qn−1(x) = bn−1xn−1 + · · ·+ b0

i broja d ∈ C tako da vazi

Pn(x) = (x− α)Qn−1(x) + d.

Tada je d = Pn(α)

4

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ akxk + · · ·+ a0

≡ (x− α)(bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + · · ·+ bkxk + · · ·+ b0) + d

≡ bn−1xn + (bn−2 − αbn−1)xn−1 + · · ·+ (bk−1 − αbk)xk + · · ·+ (d− αb0)

Odavde je

bn−1 = an, bn−2 = an−1 + αbn−1, . . . ,

bk−1 = ak + αbk, . . . ,

d = a0 + αb0

an an−1 · · · ak · · · a0α bn−1 bn−2 · · · bk · · · d

PRIMER.Dat je polinom P (x) = 4x4 − 4x3 + 13x2 − 16x− 12. Izracunati P (2).

REALNI POLINOMI

Za polinom P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 kazemo da je realan ako su svi

njegovi koeficijenti realni.

Teorema. Ako je kompleksan broj c = a + ib (a, b ∈ R, b 6= 0) nula reda k realnogpolinoma Pn, tada je

c = a− ib

takodje njegova nula.

Dokaz: Neka je c ∈ C nula polinoma P reda k. Tada vazi faktorizacija

P (x) = (x− c)kQ(x).

Ako je x ∈ C, tada je i vrednost P (x) ∈ C. Kako su koeficijenti ai realni brojevii

P (x) = an(x)n + · · ·+ a1x + a0 = P (x),

sledi da je P (x) = P (x) = (x− c)kQ(x) a odatle je P (x) = (x− c)kQ(x), sto znacida je c takodje nula reda k polinoma P .

POSLEDICA. Realan polinom Pn ima kompleksne nule samo u obliku konju-govano kompleksnih parova. Ako je Pn neparnog stepena, tada on ima bar jednurealnu nulu.

5

Teorema. Ako polinom P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 sa celobrojnim

koeficijentima ima nulu ξ, koja je racionalan broj, tj. ξ = p/q, pri cemu sup i q uzajamno prosti celi brojevi, tada je p delilac koeficijenta a0 a q je delilackoeficijenta an.

Dokaz: Neka je ξ = p/q ∈ Q nula polinoma P . Tada je

P

(p

q

)= an

(p

q

)n

+ · · ·+ a1p

q+ a0 = 0

anpn + an−1pn−1q + · · ·+ a1pqn−1 + a0q

n = 0

RAZLAGANJE RACIONALNIH FUNKCIJA NAELEMENTARNE RAZLOMKE

Definicija. Neka su P i Q realni polinomi i degQ 6= 0. Funkcija

f(x) =P (x)Q(x)

zove se racionalna funkcija.

Ako je degP < degQ, tada je f prava racionalna funkcija. Neprava racionalanfunkcija je zbir polinoma i prave racionalne fukcije.

PRIMER.

P (x) =x2 − 1

x3 + x2 − x + 2

P (x) =x4 + x2 + 3x

x2 + 1=

x2(x2 + 1) + 3x

x2 + 1= x2 +

3x

x2 + 1

Definicija. Racionalne funkcije oblika

A

(x− a)ki

Mx + N

(x2 + px + q)k,

pri cemu su A, M, N, a, p, q ∈ R, k ∈ N i p2 − 4q < 0, zovu se elementarneracionalne funkcije.

Teorema. Ako je Q(x) = (x − a)kR(x), R(a) 6= 0, a ∈ R, k ∈ N i f(x) =P (x)/Q(x) prava racionalna funkcija, tada postoji broj A ∈ R i polinom S, cijije stepen manji od stepena polinoma T (x) = (x− a)k−1R(x), tako da vazi

P (x)Q(x)

≡ A

(x− a)k+

S(x)(x− a)k−1R(x)

.

Posledica ove teoreme je da ako je a nula reda k polinoma Q, tada se pravaracionalna funkcija f(x) = P (x)/Q(x) moze napisati u obliku

P (x)Q(x)

≡ A1

x− a+

A2

(x− a)2+ · · ·+ Ak

(x− a)k+

U(x)R(x)

,

gde su A1, . . . , Ak konstante i U(x) polinom stepena manjeg od R.

6

Teorema. Neka je Q(x) = (x2 +px+q)kR(x), k ∈ N, R(c) 6= 0, gde je c komplek-sna nula polinoma x2 + px + q (p2 − 4q < 0) i f(x) = P (x)/Q(x) prava racionalnafunkcija. Tada postoje brojevi M, N ∈ R i polinom S, ciji je stepen manji odstepena polinoma T (x) = (x2 + px + q)k−1R(x), tako da vazi

P (x)Q(x)

≡ Mx + N

(x2 + px + q)k+

S(x)T (x)

.

PRIMER. Razloziti na elementarne razlomke sledece elementarne funkcije:

a) P (x) =2x2 + 6x2 − 1

b) P (x) =3x2 + 3x + 12

(x− 1)(x + 2)xc) P (x) =

8x3 + 21x− 11(x− 1)2(x2 + x + 1)

NEODREDJENI INTEGRAL

Neka je data funkcija f : (a, b) → R.

Definicija. Za funkciju f definisanu na intervalu (a, b) kaze se da ima primitivnufunkciju F na (a, b) ako ∀x ∈ (a, b) ⇒ F ′(x) = f(x).

Primer: f(x) = x2 ⇒ F (x) = x3

3 + C (C ∈ R) i F ′(x) = x2

Iz definicije ne sledi da svaka funkcija ima primitivnu funkciju, to vazi samo zafunkcije neprekidne na (a, b).

Pitanje jednoznacnosti primitivne funkcije resava sledeca teorema.

Teorema. Ako je na intervalu (a, b) funkcija F primitivna za funkciju F , tada jei F + C, gde je C proizvoljna konstanta, takodje primitivna za f .

Dokaz: ∀x ∈ (a, b)F ′(x) = f(x) ⇒ ∀x ∈ (a, b)(F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x)

Definicija. Proizvoljna primitivna funkciju date funkcije f na intervalu (a, b) zovese neodredjeni integral funkcije f i obelezava se

∫f(x)dx = F (x) + C.

Iz definicije sledi da je neodredjeni integral skup svih primitivnih funkcija funkcijef na (a, b).

Operacija kojom se odredjuje integral funkcije, zove se integracija i ovo jeoperacija inverzna diferenciranju.

Osnovne osobine neodredjenog integrala

a) Izvod (diferencijal) neodredjenog integrala jednak je podintegralnoj funkciji:(∫

f(x)dx

)′= f(x), ili d

(∫f(x)dx

)= f(x)dx.

b) Neodredjeni integral diferencijala funkcije F jednak je F (x) + C, tj.∫

dF (x) =∫

F ′(x)dx = F (x) + C.

7

Ako postoje integrali∫

f(x)dx i∫

g(x)dx, tada su tacna tvrdjenja:1)

∫Cf(x)dx = C

∫f(x)dx

2)∫(f(x)± g(x))dx =

∫f(x)dx± ∫

g(x)dx

INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

1)∫

dx = x + C

2)∫

xndx =xn+1

n + 1+ C,

3)∫

xndx =xn+1

n + 1+ C

4)∫

dx

x= ln |x|+ C

5)∫

axdx =ax

ln a+ C(a > 0, a 6= 1),

∫exdx = ex + C,

6)∫

sin xdx = − cosx + C7)

∫cos xdx = sin x + C

8)∫

dx√1− x2

= arcsinx + C

9)∫

dx

1 + x2= arctg x + C

Primer:∫

4√

xdx,

∫(2 sin x− 5

x)dx,

∫2

x2 + 4dx,

∫2x2 + 6x2 − 1

dx.

INTEGRACIJA POMOCU SMENE

U nekim slucajevima moguce je pogodnom smenom nezavisno promenljive x,svesti dati integral na tablicni integral.

Neka je dat integral∫

f(x)dx = F (x), x ∈ (a, b) i neka je x = ϕ(x) neprekidnai diferencijabilna funkcija po t ∈ (α, β). Izvod slozene funkcije F (ϕ(t)) je

[F (ϕ(t))]′ = F ′(ϕ(t)) · ϕ′(t).

Kako je F ′(x) = f(x), imamo

[F (ϕ(t))]′ = f(ϕ(t)) · ϕ′(t) ⇔∫

f(ϕ(t)) · ϕ′(t)dt = F (ϕ(t)) + C.

Odavde sledi ∫f(x)dx =

∫f(ϕ(t)) · ϕ′(t)dt,

gde je x = ϕ(t) i dx = ϕ′(t)dt.

Primer:∫

eat+bdt,∫

sin(ax + b)dx,∫

x2e2x3−1dx,∫

xex2+1dx,∫

x3√

x4 + 5dx,∫

ecos x sin xdx,∫ et

1 + etdt.