MATEMATIKA 15 KÖZÉPSZINTŰ . február PRÓBAÉRETTSÉGI … · Matematika – középszint Név: Írásbeli próbavizsga, I. összetevő 2 / 8 2020. február 15. Fontos tudnivalók

MATEMATIKA

KÖZÉPSZINTŰ

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

2020. február 15.

I.

Az írásbeli próbavizsga időtartama: 45 perc

Kérjük, nyomtatott nagy betűkkel töltse ki!

Név

E-mail cím

SG-s szombati

tanítás teremszáma

Pontszám

STUDIUM GENERALE

MATEMATIKA SZEKCIÓ

PR

ÓB

AÉ

RE

TT

SÉ

GI

VIZ

SG

A

●

20

20

. fe

bru

ár

15

.

Matematika – középszint Név:

Írásbeli próbavizsga, I. összetevő 2 / 8 2020. február 15.

Fontos tudnivalók

1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie.

2. A megoldások sorrendje tetszőleges.

3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas

zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más

elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos!

4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak

akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad!

5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. Az ábrákon kívül a ceruzával

írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy

megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető.

6. Minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető. Több megoldási próbálkozás esetén

egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek!

7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon!



1. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

6 2+ =x

2. Adottak az : 1;5−A , a : 2;8B és a : 0;4C halmazok.

a) Adja meg az A B halmazt!

b) Határozza meg a \B C halmazt!

3. Egy ruhaüzletben az egyik nadrág árát először felemelték 20%-kal, majd később egy

leárazás során 25%-kal csökkentették. Az árváltozások után a nadrág 8100 Ft-ba került.

Mennyi volt a nadrág eredeti ára?

=x 2 pont

=A B 1 pont

\B C = 1 pont

Az eredeti ár: 2 pont



4. Mekkora az szög, ha 90 180 és sin 0,5 = ?

5. Adja meg a 4;3− intervallumon értelmezett 1 2− +x x függvény értékkészletét!

6. A 294b egy olyan négyjegyű szám, amely osztható hattal. Adja meg b lehetséges értékeit!

= 2 pont

2 pont

=b 3 pont



7. Egy sakkversenyen 8 versenyző játszik körmérkőzést (mindenki egyszer játszik

mindenkivel). Lehetséges-e, hogy a verseny szünetében egy versenyző van, aki öt, kettő,

aki három, egy, aki kettő és négy, aki egy mérkőzést játszott le? Válaszát indokolja!

8. Az ábrán látható háromszög AB oldala 20 egység hosszú, és ez az oldal a háromszög köré

írható kör átmérője. Milyen hosszú az AC oldal, ha tudjuk, hogy a BC oldal hossza 16

egység? Megoldását részletezze!

2 pont

2 pont

=AC 1 pont

20

16



9. Anna, Béla, Cili, Dénes és Erik moziba mennek. Hányféleképpen tudnak leülni egymás

mellé?

10. Egy mértani sorozat negyedik tagja 108− , a hetedik tagja pedig 2916 . Adja meg a sorozat

első öt tagjának összegét! Megoldását részletezze!

2 pont

3 pont

5 =S 1 pont



11. Andi az év során 9 érdemjegyet kapott matematikából, melyeket az alábbi táblázat foglal

össze:

Érdemjegy 1 2 3 4 5

Érdemjegyek száma 0 1 2 2 4

Mennyivel növekedne Andi átlaga matematikából, ha kapna még egy ötöst?

12. Zoli bácsi egy 8200 négyzetméteres területen fogja levágni a füvet. A fűnyíró traktorának

tankja téglatest alakú, melynek élei 35 cm, 20 cm és 10 cm hosszúságúak. Minimum

hányszor kell majd újratöltenie az üzemanyagtartályt, ha tele tankkal indul és a fűnyíró

fogyasztása 20,3 l /100 m ? Megoldását részletezze!

2 pont

3 pont

1 pont



maximális

pontszám

elért

pontszám

I. rész

1. feladat 2

2. feladat 2

3. feladat 2

4. feladat 2

5. feladat 2

6. feladat 3

7. feladat 2

8. feladat 3

9. feladat 2

10. feladat 4

11. feladat 2

12. feladat 4

ÖSSZESEN 30

________________________________________

javító tanár

MATEMATIKA

KÖZÉPSZINTŰ

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

2020. február 15.

II.

Az írásbeli próbavizsga időtartama: 135 perc

Kérjük, nyomtatott nagy betűkkel töltse ki!

Név

E-mail cím

SG-s szombati

tanítás teremszáma

Pontszám

STUDIUM GENERALE

MATEMATIKA SZEKCIÓ

PR

ÓB

AÉ

RE

TT

SÉ

GI

VIZ

SG

A

●

20

20

. fe

bru

ár

15

.


Írásbeli próbavizsga, II. összetevő 2 / 16 2020. február 15.

Fontos tudnivalók

1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie.

2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges.

3. A II. részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania. A nem választott

feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító

tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor

a 18. feladatra nem kap pontot.

4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas

zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más

elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos!

5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható

pontszám jelentős része erre jár!

6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek!

7. A gondolatmenet kifejtése során a zsebszámológép használata – további matematikai

indoklás nélkül – a következő műveletek elvégzésére fogadható el: összeadás, kivonás,

szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, n!, n

k

kiszámítása, a függvénytáblázatban

fellelhető táblázatok helyettesítése (sin, cos, tg, log és ezek inverzei), a π és az e szám

közelítő értékének megadása, nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeinek

meghatározása. További matematikai indoklás nélkül használhatók a számológépek

bizonyos statisztikai mutatók kiszámítására (átlag, szórás) abban az esetben, ha a feladat

szövege kifejezetten nem követeli meg az ezzel kapcsolatos részletszámítások bemutatását

is. Egyéb esetekben a géppel elvégzett számítások indoklás nélküli lépéseknek

számítanak, azokért nem jár pont.

8. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott

tételeket (pl. Pitagorasz-tétel, magasságtétel) nem kell pontosan megfogalmazva

kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden

indokolnia kell.

9. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges

megfogalmazásban is közölje!

10. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. Az ábrákon kívül ceruzával írt

részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet

áthúz, akkor az nem értékelhető.

11. Minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető. Több megoldási próbálkozás esetén

egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek!

12. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon!



13.

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

29 5 3 324 8 3 +− = + x x x

b) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlet?

2

2 1

2

log log 4 0x x+ =

a) 6 pont

b) 6 pont

Ö.: 12 pont





14. Adott a következő állítás: Minden rombusz húrnégyszög.

a) Adja meg az állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)!

b) Tagadja a fenti állítást!

c) Egy egységnyi oldalú négyzetben egy félkör helyezkedik el úgy, hogy a félkör

átmérője a négyzet egyik oldala. Határozza meg a félkört F pontban érintő BE szakasz

hosszát!

a) 2 pont

b) 2 pont

c) 7 pont

Ö.: 11 pont

B

A

C

D

E

F

x 1





15. Egy zöldségesnél négyféle gyümölcsöt lehet vásárolni: mangót, grapefruitot, pomelót és

ananászt. December 10-én 540 kg gyümölcs volt az üzlet raktárában. A négy gyümölcs

készleten belüli arányát a következő kördiagramm szemlélteti:

a) Adja meg, hogy fajtánként hány kilogramm gyümölcs volt az üzlet raktárában

december 10-én!

Két hónappal később, február 10-én, a raktárban lévő készletek a következőképpen

alakultak:

b) Az üzlet február 10-ei készletét tekintve, számítsa ki 1 kg gyümölcs átlagos árát és a

gyümölcsök kilogrammonkénti árainak szórását! A kapott eredményeket két

tizedesjegyre kerekítse!

c) Adott az 2 26 10 15x x y y+ + − = egyenletű kör és az

: 4 7 27+ =e x y egyenletű egyenes. Adja meg annak

az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a kör

középpontján és merőleges az e egyenesre!

Gyümölcs Mangó Grapefruit Pomelo Ananász

Mennyiség (kg) 85 200 135 120

Ár (Ft/kg) 750 350 600 500

a) 3 pont

b) 6 pont

c) 4 pont

Ö.: 13 pont

Grapefruit

Ananász

Pomelo

Mangó







A 16-18. feladatok közül tetszése szerint választott kettőt kell megoldania.

A kihagyott feladat sorszámát írja be a 2. oldalon található üres négyzetbe!

16. János cége zsírkréta gyártással foglalkozik. Az általuk gyártott zsírkréták egy egyenes

hengerből és egy csonkakúpból állnak. A henger alapkörének sugara 2,9 mm , a

zsírkréta hegyének átmérője 2 mm , a csonkakúp alkotója 18,1 mm , magassága a

henger magasságának ötöd része. A zsírkréta sűrűsége 30,9 kg/dm .

a) Hány kilogramm alapanyag szükséges 1000 zsírkréta legyártásához, ha a gyártás

során alapanyag-veszteség nem keletkezik?

A zsírkrétákat gyártás után ezresével kartondobozokba csomagolják és kiszállítják az

üzletekbe. Egy kartondoboz 0,1 valószínűséggel tartalmaz selejtes zsírkrétát.

b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az egyik üzletbe leszállított 10 doboz

közül legalább 9 csak hibátlan zsírkrétákat tartalmaz?

János cége év végi beszámolóját tanulmányozva megállapította, hogy a vállalkozása

10 millió forint nyereséget termelt az év során. Az elmúlt évek statisztikái alapján

János úgy számol, hogy cége minden évben 12,5%-kal növeli nyereségét, az azt

megelőző évhez képest.

c) Ha feltételezzük, hogy az elkövetkező években ez nem változik, akkor hány év

múlva éri el a cég, éves szinten, a 19 millió forintos nyereséget?

a) 6 pont

b) 6 pont

c) 5 pont

Ö.: 17 pont







17. Pali hétfőnként iskola után zeneiskolába jár zongoraórára. Az előző héten pontosan 5-kor

indult el otthonról és 95 méter/perc sebességgel sétált a zeneiskoláig, így 1 percet késett az

órájáról. Ezen a héten Pali szintén 5-kor indult otthonról, de a sebességét 105 méter/percre

növelte, így ezúttal 1 perccel az óra kezdete előtt érkezett meg a zeneiskolába.

a) Milyen sebességgel kéne Palinak sétálnia, hogy 5-kor indulva otthonról, pontban a

zongoraóra kezdetére érjen a zeneiskolába?

A zeneiskolában háromféle hangszeren tanulhatnak a diákok: zongorán, hegedűn és

trombitán. A zeneiskola elsőéves diákjai 18-an vannak, ők még csak egy hangszeren

tanulhatnak a három közül. A másodévesek ugyanannyian vannak, mint az elsőévesek,

közülük mindenki pontosan két hangszeren tanul. Azok a diákok, akik két évnél régebben

tanulnak a zeneiskolában mindhárom hangszeren játszanak. Ők negyed annyian vannak,

mint a hegedülni nem tanuló másodévesek. Tudjuk, hogy azoknak a másodéveseknek a

száma, akik tanulnak hegedülni megegyezik azoknak a tanulóknak a számával a

zeneiskolában, akik egyszerre tanulnak zongorázni és trombitálni.

b) Hány diák jár a zeneiskolába?

A zeneiskolából 5 tanuló fellép egy hangversenyen. Közülük ketten fognak zongorázni,

ketten hegedülni, egy diák pedig trombitán fog játszani.

c) Hányféle sorrendben követhetik egymást a különböző hangszerek a hangverseny

során?

d) Mekkora a valószínűsége, hogy két fiú egymás után fog fellépni, ha az öt diák közül

három lány, kettő pedig fiú, és a fellépés sorrendjét véletlenszerűen határozzák meg?

a) 4 pont

b) 7 pont

c) 3 pont

d) 3 pont

Ö.: 17 pont







18. Egy cirkuszi sátor alapterületét egy szabályos nyolcszög alkotja,

melynek oldalai 9 méter hosszúak. A sátor méreteit az alaprajzról

készült ábra szemlélteti.

a) Számítsa ki a sátor alapterületét!

Az esti előadáson az állatidomár a produkciója során öt elefántot

és három tigrist fog sorban bevezetni a porondra. A bevezetés alatt

figyelnie kell arra, hogy két tigris nem mehet egymás után, illetve

a sort a legidősebb elefántnak kell kezdenie.

b) Hány különböző sorrendben vezetheti fel az állatokat az

állatidomár?

A cirkusz esti előadására 1200 forintos áron vehetnek jegyet a

nézők. Az előadás fellépői a jegyértékesítésből származó bevétel 60%-án osztoznak. A

maradék bevételből a cirkusznak ki kell fizetnie a sátor bérleti díját, ami egy nézőszámtól

független összeg.

c) Mennyi a sátor bérleti díja, ha a tulajdonos számításai alapján legalább 280 jegyet kell

értékesíteni ahhoz, hogy az előadás ne legyen veszteséges?

a) 6 pont

b) 7 pont

c) 4 pont

Ö.: 17 pont

9 m





a feladat sorszáma

maximális

pontszám

elért

pontszám összesen

II. A

rész

13. 12

14. 11

15. 13

II. B

rész

17

17

nem választott feladat

ÖSSZESEN 70

maximális

pontszám

elért

pontszám

I. rész 30

II. rész 70

Az írásbeli vizsgarész pontszáma 100

_____________________________________

javító tanár

Documents

MATEMATIKA 15 KÖZÉPSZINTŰ . február PRÓBAÉRETTSÉGI … · Matematika – középszint Név: Írásbeli próbavizsga, I. összetevő 2 / 8 2020. február 15. Fontos tudnivalók