2006. február 10.

Statisztika-valószínűség Statisztika-valószínűség I.I.

Telefonos feladatTelefonos feladatA TV egyik műsorában igennel vagy nemmel A TV egyik műsorában igennel vagy nemmel

lehetett „szavazni”. Egy alkalommal 2452 lehetett „szavazni”. Egy alkalommal 2452 telefonáló közül 82%-a válaszolt igennel. Milyen telefonáló közül 82%-a válaszolt igennel. Milyen

következtetést lehet ebből levonni?következtetést lehet ebből levonni?

Mondjon legalább három okot, amiért ebből a Mondjon legalább három okot, amiért ebből a felmérésből a társadalom egészének felmérésből a társadalom egészének véleményére egyáltalán nem lehet véleményére egyáltalán nem lehet

következtetni!következtetni!

1. feladat1. feladat

Az alábbi grafikon alapján válaszoljon a Az alábbi grafikon alapján válaszoljon a kérdésekre! kérdésekre!

KérdésekKérdések Soroljon fel legalább két negatívumot az Soroljon fel legalább két negatívumot az

ábrával kapcsolatban!ábrával kapcsolatban! Hogyan alakult az élveszületések száma Hogyan alakult az élveszületések száma

1960, 1970, 1980, 1990, 2000 és 2004-1960, 1970, 1980, 1990, 2000 és 2004-ben? Adja meg a megadott évek adatait!ben? Adja meg a megadott évek adatait!

Mit gondol, mi lehet az oka a látható Mit gondol, mi lehet az oka a látható változásnak? változásnak?

ÁbrázoljaÁbrázolja a terhességmegszakítások száma a terhességmegszakítások száma és az élveszületések száma hányadosés az élveszületések száma hányadosa a változását a megadott években!változását a megadott években!

VálaszokVálaszok

a)a) Az egyik, hogy két dolgot ábrázol Az egyik, hogy két dolgot ábrázol egyszerre, ami zavaró ilyen formában főleg egyszerre, ami zavaró ilyen formában főleg mivel egészen más a „lépték”. Másrészt a mivel egészen más a „lépték”. Másrészt a nagy csillagok nehezítik az adatok nagy csillagok nehezítik az adatok tényleges leolvasását a grafikonról. Mi is tényleges leolvasását a grafikonról. Mi is csak közelítőleg fogunk tudni számolni.csak közelítőleg fogunk tudni számolni.

b)b) Az abortuszok száma a grafikon szerint kb.:Az abortuszok száma a grafikon szerint kb.:

164000, 195000, 66000, 87000, 60000, 164000, 195000, 66000, 87000, 60000, 5200052000

Száz élve születésre jut rendre:Száz élve születésre jut rendre:

115, 130, 56, 74, 60, illetve 57.115, 130, 56, 74, 60, illetve 57.

Tudjuk, hogy mennyi abortusz volt, s azt is, Tudjuk, hogy mennyi abortusz volt, s azt is, hogy 100 élve születésre hány jut. Akkor hogy 100 élve születésre hány jut. Akkor ebből egyszerű arányossággal meg lehet ebből egyszerű arányossággal meg lehet kapni az élve születések számát, formálisankapni az élve születések számát, formálisan

Eszerint az élve születések száma rendre: Eszerint az élve születések száma rendre:

142600, 150000, 118000, 117500, 100000, 142600, 150000, 118000, 117500, 100000, 91000.91000.

Összesen pedig (ennyi gyerek született volna, Összesen pedig (ennyi gyerek született volna, ha nincs abortusz):ha nincs abortusz):

302600, 345000, 184000, 204500, 160000, 302600, 345000, 184000, 204500, 160000, 143000143000

számaszületésekélveaz100jutószületésreélveszáz

számaabortuszok

c) A változás oka (ez nem matematikai c) A változás oka (ez nem matematikai kérdés) a fogamzásgátlók elterjedése a kérdés) a fogamzásgátlók elterjedése a 70-es években. 345 000-ről majdnem a 70-es években. 345 000-ről majdnem a felére 184000-re esik vissza a felére 184000-re esik vissza a fogantatások száma.fogantatások száma.

d) A grafikonhoz észre kell venni, hogy d) A grafikonhoz észre kell venni, hogy semmi újat nem kell számolni, a semmi újat nem kell számolni, a „csillagok” értékeit kell csak százzal „csillagok” értékeit kell csak százzal osztani: 1,15; 1,30; 0,56; 0,74; 0,60; osztani: 1,15; 1,30; 0,56; 0,74; 0,60; 0,57.0,57.

Ez az abortuszok arányának csökkenését Ez az abortuszok arányának csökkenését mutatja.mutatja.

A grafikonA grafikon

Terhesség és megszakítása

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

év

ab

ort

us

z/é

lve

szü

leté

si

ará

ny

Adatsor1

2. feladat2. feladat

Egy kórházban megkérdezték a Egy kórházban megkérdezték a diabéteszes betegeket háziállat tartási diabéteszes betegeket háziállat tartási szokásaikról. Kiderült, hogy a betegek szokásaikról. Kiderült, hogy a betegek 60%-a kutyát tart. 60%-a kutyát tart.

Levonható-e az a következtetés, hogy a Levonható-e az a következtetés, hogy a kutyatartás növeli a diabétesz kutyatartás növeli a diabétesz megbetegedés kockázatát?megbetegedés kockázatát?

Válaszát konkrét számpéldákkal Válaszát konkrét számpéldákkal támassza alá!támassza alá!

A válasz az, hogy semmilyen következtetés nem A válasz az, hogy semmilyen következtetés nem vonható le a megadott adatokból. Más vonható le a megadott adatokból. Más

információra is szükség lenne. Mutatunk két információra is szükség lenne. Mutatunk két példát, amelyek ellentétesek, azaz nincs helyes példát, amelyek ellentétesek, azaz nincs helyes

következtetés.következtetés.

I. példa: Legyen a diabéteszesek aránya 0,1 a I. példa: Legyen a diabéteszesek aránya 0,1 a kórházban. Ennek 60%-a tehát a betegek kórházban. Ennek 60%-a tehát a betegek 0,06-odrésze kutyatartó 0,06-odrésze kutyatartó ésés diabéteszes. diabéteszes. Ha a kutyatartók a kórházban például Ha a kutyatartók a kórházban például 70%-ot képviselnek, akkor a kutyatartás 70%-ot képviselnek, akkor a kutyatartás feltételezése mellett a diabéteszesek feltételezése mellett a diabéteszesek esélye: 0,086; tehát a kutyatartás ebben esélye: 0,086; tehát a kutyatartás ebben az esetben csökkenti a diabétesz az esetben csökkenti a diabétesz fennállásának esélyét. fennállásának esélyét.

folytatásfolytatásII. példa: Legyen a diabétesz arány II. példa: Legyen a diabétesz arány

változatlan, de legyen a betegeknek változatlan, de legyen a betegeknek csak 20%-a kutyatartó, ekkor az előző csak 20%-a kutyatartó, ekkor az előző feltételes valószínűség 0,3-ra nő, feltételes valószínűség 0,3-ra nő, tehát háromszor nagyobb lesz a tehát háromszor nagyobb lesz a kutyatartás feltételezése mellett a kutyatartás feltételezése mellett a diabétesz fennállásának az esélye. diabétesz fennállásának az esélye.

A példák világosan mutatják, hogy a A példák világosan mutatják, hogy a kórház kutyatartó betegeinek kórház kutyatartó betegeinek arányán múlik a dolog, ezen adat arányán múlik a dolog, ezen adat ismerete nélkül nem lehet nyilatkozni. ismerete nélkül nem lehet nyilatkozni.

3. feladat3. feladat

Három iskola diákjai írják meg ugyanazt a Három iskola diákjai írják meg ugyanazt a felmérő feladatsort. Az egyes iskolák felmérő feladatsort. Az egyes iskolák diákjainak átlagos teljesítménye rendre diákjainak átlagos teljesítménye rendre 63%, 48% illetve 72%. Az egyes 63%, 48% illetve 72%. Az egyes iskolákból ugyanebben a sorrendben 23, iskolákból ugyanebben a sorrendben 23, 30 illetve 15 tanuló vett részt.30 illetve 15 tanuló vett részt.

a) Hány százalékos az összes tanuló a) Hány százalékos az összes tanuló átlagteljesítménye?átlagteljesítménye?

b) Ha az egyes iskolák szórásai rendre 4, 8 b) Ha az egyes iskolák szórásai rendre 4, 8 és 6 voltak, akkor mennyi lehet az összes és 6 voltak, akkor mennyi lehet az összes diák teljesítményének szórása?diák teljesítményének szórása?

Megoldás:Megoldás: a) a) azaz kicsit jobb, mint 58%-os az átlagos azaz kicsit jobb, mint 58%-os az átlagos

teljesítmény.teljesítmény.b)b) Használjuk az alábbi összefüggést:Használjuk az alábbi összefüggést:

Levezetése a definíció felírása után egyszerű átalakítással adódik. Eszerint

37,5868

721548306323

x

2

1

2 )(1

xxn

n

ii

folytatásfolytatás

→→ 223

1

2 )63(23

14

iix

253

24

2 )48(30

18

iix

268

54

2 )72(15

16

iix

23

1

2 91655i

ix

53

24

2 71040i

ix

68

54

2 78300i

ix

→

→

→

Ezek szerint az összes teljesítmény négyzetének összege 240 0995.

Eszerint az összes diák teljesítményének Eszerint az összes diák teljesítményének szórása:szórása:

75,1136,5824099568

1)(

1 22

1

2

xxn

n

ii

4. Feladat4. Feladat

Orvos statisztikai felmérésekből tudjuk, hogy Orvos statisztikai felmérésekből tudjuk, hogy hazánkban legfeljebb 5000 HIV fertőzött hazánkban legfeljebb 5000 HIV fertőzött van.van.

Egy gyors és olcsó HIV-teszt bemérésekor Egy gyors és olcsó HIV-teszt bemérésekor megállapították, hogy 100 fertőzöttből 98-megállapították, hogy 100 fertőzöttből 98-at „felismer”, de 100 egészségesből 5-öt at „felismer”, de 100 egészségesből 5-öt tévesen pozitívnak (fertőzöttnek) mutat. tévesen pozitívnak (fertőzöttnek) mutat. Mindkét hibaszázalék kicsit tehát 2 és 5%. Mindkét hibaszázalék kicsit tehát 2 és 5%. Valaki egy anonim HIV-tesztet végeztet és Valaki egy anonim HIV-tesztet végeztet és az pozitív.az pozitív.

Mekkora az esélye, hogy valóban fertőzött?Mekkora az esélye, hogy valóban fertőzött?

1. Megoldás1. MegoldásAz eredmény megdöbbentő, noha legtöbben Az eredmény megdöbbentő, noha legtöbben

elég magas esélyt gondolnak (orvosok is!).elég magas esélyt gondolnak (orvosok is!).Mutatunk két könnyen követhető megoldást Mutatunk két könnyen követhető megoldást

is.is.Kerekítsük 10 000 000-ra a magyar Kerekítsük 10 000 000-ra a magyar

állampolgárok számát és vegyünk 5000 állampolgárok számát és vegyünk 5000 fertőzöttet. Ekkor az adatok szerint ennek fertőzöttet. Ekkor az adatok szerint ennek 98%-a, azaz 4900 kapna a teszten pozitív 98%-a, azaz 4900 kapna a teszten pozitív eredményt. A 9 995 000 nem fertőzöttnek eredményt. A 9 995 000 nem fertőzöttnek pedig az 5%, azaz 499 750. Az összes pedig az 5%, azaz 499 750. Az összes pozitív tehát 504 650, s ebből ténylegesen pozitív tehát 504 650, s ebből ténylegesen 4900 a fertőzött. A keresett esély tehát 4900 a fertőzött. A keresett esély tehát kevesebb, mint 1%.kevesebb, mint 1%.

2. Megoldás, kettősfa 2. Megoldás, kettősfa diagramdiagram

Az első részben Az első részben leírt leírt gondolatmenet gondolatmenet szemléltetése.szemléltetése.