Matematika 3. Program

Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens

Köves Gabriella fôiskolai adjunktus

Novák Lászlóné tanár

Scherlein Márta tanító

Matematika 3.PROGRAM

általános iskola 3. osztály számára

Átdolgozott kiadás

MÛSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

Alkotó szerkesztô:DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens

Bírálta:HEINCINGER VIKTORNÉ matematika szaktárgyi szakértô

KÖVES GABRIELLA fôiskolai adjunktus

© Dr. Hajdu Sándor, Köves Gabriella, Novák Lászlóné, Scherlein Márta, 1999, 2002

© Mûszaki Könyvkiadó, 2002

ISBN 963 16 2847 7Azonosító szám: CAE 179U

Hajdu program 3 3UJP0 2002. február 26. {15:45 (1. old.)

Tartalom

Általános tudnivalók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

A tantervi anyag áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Tananyagbeosztás, követelmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Módszertani ajánlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A számok 200-ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Összeadás és kivonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Szorzás és osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Az 5-ös és a 10-es szorzótábla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A 2-es szorzótábla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Páros és páratlan számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A m¶veletek sorrendje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Hosszúságmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Az ¶rtartalom mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A tömeg mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Kerek tízesek hozzáadása, elvétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Maradékos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Egyjegy¶ számok hozzáadása, elvétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A 4-es és a 8-as szorzótábla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A 7-es szorzótábla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Zárójelek használata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Számok összeadása, kivonása 200-ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Mer®legesség, párhuzamosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Téglatest, kocka, téglalap, négyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671. tájékozódó felmérés, gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A számkörb®vítés áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A számok 2000-ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71M¶veletek kerek számokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Római számírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Számok ábrázolása számvonalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A számok kerekítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Hosszúságmérés milliméterrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85�rtartalommérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A tömegmérésr®l tanultak alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Az összeg becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Írásbeli összeadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A különbség becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Írásbeli kivonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Összetett feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Egyenletek, egyenl®tlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3


Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Ellentétes mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Geometriai játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A szorzás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A szorzat becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Írásbeli szorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Következtetés egyr®l többre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Vegyes feladatok a szorzásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Hosszúságmérés kilométerrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140�rtartalommérés hektoliterrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Tömegmérés grammal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Az id® mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Az osztás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Osztó, többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Írásbeli osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Következtetés többr®l egyre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Vegyes feladatok az osztásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Ismerkedés a törtekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Nagyítás, kicsinyítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Alaprajzok, térképek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Kerület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Terület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Testek építése, ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Ismétlés, rendszerezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Hányféleképpen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Biztos, lehetséges, lehetetlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Kitekintés 10 000-ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A felmér® feladatsorok értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

1. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2172. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6/I. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296/II. felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

A tájékozódó felmér® feladatsorok értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

1. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2342. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355. tájékozódó felmérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4


Általános tudnivalók

Egységes program az alsó és a fels® tagozat számára

A 3. osztály számára írt taneszközök olyan tankönyvcsalád részei, amely 1. osztálytól8. osztályig, majd az érettségiig egységes koncepció alapján építi fel a matematika-tananyagot. Ezért az alsó tagozatos tankönyvek el®zményei a fels® tagozatban általá-nosan használt matematikakönyveknek.

Ha az alsó tagozatban nem ugyanabból a tankönyvcsaládból tanítjuk a matematikát, minta fels® tagozatban, akkor 5. osztályban mintegy 4{6 hónap alatt tudjuk kiküszöbölni azo-kat a hiányosságokat, amelyek az eltér® koncepcióból, követelményekb®l és tananyag-ból adódnak. Ez nemcsak a tanító és a fels® tagozatos matematikatanár összehangoltmunkáját nehezíti meg, hanem súlyos gondot okozhat a fels® tagozatba lép® gyermekekbeilleszkedésében is.

Az egységes tankönyvcsalád alkalmazása lehet®séget nyújt a tananyag azonos elvekés követelmények szerinti felépítésére, ami zökken®mentessé teheti az alsó és a fels®tagozat közti átmenetet.

3. osztályban ezt az egységes rendszert a következ® kiadványok képviselik:

Matematika 1{8. Mintatanterv

A szerz®k �gyelembe vették a Kerettanterv el®írásait, matematikatanításunk hagyomá-nyait, a különböz® követéses vizsgálatok és felmérések eredményeit, az eltér® körül-mények között dolgozó iskolák igényeit (szociális háttérb®l adódó különbségek, heti óra-szám, képesség szerinti bontás stb.). Ez a tantervi minta könyv alakban vagy lemezentérítésmentesen kapható a M¶szaki Könyvkiadónál.

Matematika 3. Program

A tankönyv alapjául szolgáló program felépítése biztosítja, hogy az alsó tagozat végérea gyermekek magas szinten teljesítsék a Kerettanterv negyedik osztályos követelmény-rendszerét.

A program els® részében részletes, 1{3 órás tömbökre lebontott tananyagbeosztás van.Ebben taglaljuk az ajánlott hat felméréshez kapcsolódó, illetve a félév végi és az év végi(minimumszint¶ és a minimumszintet meghaladó) követelményeket is.

A program második részében módszertani ajánlásokat találunk, amelyek a konkrétanyagrészekhez és a feladatok megoldásához kapcsolódnak. A befejez® rész a kö-vetelményrendszert lefed® felmér® feladatsorok értékelését tartalmazza.

A mintatanterv, a program, illetve a közölt tananyagbeosztás csak ajánlás. A tananyagota helyi tanterv tartalmazza. A feldolgozás mélységének és ütemének megállapítása atanító joga és kötelessége. Ehhez els®sorban az osztályába járó gyermekek képességeitkell �gyelembe vennie a helyi tanterv ajánlásai mellett.

A tankönyv és a gyakorlófeladatokat tartalmazó munkafüzet kétféle változatban jelentmeg.

5


Els® változat

Matematika 3. Tankönyv { külön kötetben

Kétszínnyomással készült. Tartalmazza a tananyagot, a magyarázatokat, a kidolgozottmintapéldákat és azokat a feladatsorokat, amelyekbe nem kell a tanulóknak beleírniuk.

Matematika 3. Gyakorló { külön kötetben

Els®sorban a gyakorlást, felzárkóztatást és a folyamatos ismétlést szolgáló feladatsoro-kat tartalmazza { így �alulról támogatja" a tankönyvet.

Ebben a kötetben vannak azok a feladattípusok is, amelyekbe a gyermekek beírják amegoldást (el®re elkészített táblázatok, számegyenesek, félkész gra�konok stb.).

A tankönyv a gyakorlóban található feladatsorokkal válik teljessé. A tankönyvben uta-lásokat találunk arra, hogy a gyakorló egyes feladatsorai hogyan kapcsolódnak a tan-könyvhöz.

Második változat

El kívántuk érni, hogy a gyermekek a matematikaórán csak egy taneszközt használ-janak, amely a tananyagot és a gyakorló feladatsorokat is tartalmazza, ugyanakkornem túlságosan vaskos. Ezért a tankönyvet és a gyakorlót a következ® változatban ismegjelentettük külön az els® félév, illetve a második félév számára:

Matematika 3. Els® kötet

A tankönyv és a gyakorló els® félévi tananyaga egy kötetbe kötve.

Matematika 3. Második kötet

A tankönyv és a gyakorló második félévi tananyaga egy kötetbe kötve.

A két változat sem a feladatok számozásában, sem az oldalszámozásban nem tér elegymástól.

Matematika 3{4. Feladatgy¶jtemény

A 3. és a 4. osztályos, átlagosnál tehetségesebb gyermekek optimális fejlesztésétszolgálja. Segítségével szervezhet® meg a képesség szerinti di�erenciálás.

Jól alkalmazható szakköri foglalkozásokon, illetve a tanulók versenyre való felkészítésesorán is. (Például minden témakörrel kapcsolatosan tartalmaz olyan feleletválasztásosfeladatsorokat, amelyek segítségével a közismert Zrínyi-versenyekre lehet felkészülni.)

A tankönyvben a lap alján jelöljük, hogy az egyes anyagrészekhez a feladatgy¶jteménymely feladatai kapcsolódnak.

6


Felmér® feladatsorok, matematika 3. osztály

A mintatantervben, illetve a programban megfogalmazott követelményeket �lefed®" fel-adatsorok. Els®dleges céljuk a helyi tantervek eltér® követelményrendszereinek össze-hangolása.

A felmér® feladatsorok négy változatát dolgozták ki a szerz®k:

Az A és a B változatot tartalmazó füzet kereskedelmi forgalomban is kapható, ezt aszül®k is megvásárolhatják. Segítségével tudatosíthatjuk a követelményeket (fejleszt®értékelés), így felkészíthetjük a tanulókat a dolgozatírásra.

A C változatot és külön a D változatot tartalmazó, egyszer¶bb kivitel¶ (és így olcsóbb)füzeteket csak az iskolák rendelhetik meg a M¶szaki Könyvkiadónál.

Di�erenciálás

A fenti taneszközök �széles sávban", tartalmilag és módszertanilag sokszín¶en dolgoz-zák fel a tananyagot. A feladatok egy része a tehetséggondozást, más része a fel-zárkóztatást szolgálja. A szerz®k egyaránt �gyelembe vették a halmozottan hátrányoskörnyezetb®l jöv®, lassabban fejl®d®, illetve a már 3. osztályban a nyolc évfolyamosgimnáziumba tudatosan készül®, jó adottságokkal rendelkez® gyermekek tudásszintjétés képességeit. Ezért a taneszközök több feladatot tartalmaznak, mint amennyit egyátlagos vagy annál gyengébb osztályban feldolgoztathatunk. Nem föltétlenül kell töre-kednünk arra, hogy minden tanuló minden feladatot megoldjon. Az osztály tudásszint-jéhez igazodva, a helyi tanterv ajánlásait �gyelembe véve válogassunk a feladatokközül.

A különböz® színvonalú feladatok sorszámát tipográ�ailag is megkülönböztetjük (a tan-könyvben és a gyakorlóban egyaránt). A minimumszint¶ feladatok sorszámát �üres"keretbe írtuk. A tehetségfejlesztésre szánt, átlagosnál nehezebb feladatok sorszámanyolcszög alakú keretben található. A többi feladat átlagos nehézség¶, ezek sorszámátnégyzet alakú �tele" keret jelöli.

A program módszertani ajánlásokat tartalmazó része segítséget nyújthat a tananyag sze-lektálásában és a megfelel® feladatok kiválasztásában.

Javasolt óraszám

A Kerettanterv 3. osztályban minimálisan heti 4 matematikaórát ír el®. Az összóraszámkét részb®l tev®dik össze, a kötelez® órakeretb®l és a �szabadon tervezhet®" órákból.Így a helyi tantervben a heti 4 kötelez® óra kiegészíthet® további fél, illetve 1 órával.

A tananyagot csak heti 5 órában dolgozhatjuk fel megnyugtató módon. Ezért a fejlettországokban alsó tagozatban mindennap van matematikaóra. Ennyi id® föltétlenülszükséges lenne a szóbeli számolási rutin kialakításához, a szövegértelmez® és a prob-lémamegoldó képesség fejlesztéséhez, illetve az írásbeli m¶veletek begyakoroltatásá-hoz. Csak heti 5 órában biztosíthatjuk a matematikatanítás során tapasztalt hiányossá-gok kiküszöbölését, a társtantárgyak tanításához nélkülözhetetlen matematikai alapoklerakását, illetve a tehetséges tanulóinknak a kiegészít® anyagrészek megtanítását.

A tanmenetjavaslatunkat három változatban dolgoztuk ki, heti 4 (évi 148) órára, kéthe-tenkénti 9 (évi 166) órára, illetve heti 5 (évi 185) órára.

7


A tantervi anyag áttekintése

A gondolkodási módszerek alapozása

Alsó tagozatban nem tanítunk halmazelméletet, logikát, kombinatorikát. Ezért egyalfejezet (Hányféleképpen?) kivételével az ide tartozó követelmények a többi témakörhözkapcsolódóan, azokat átsz®ve jelennek meg, így szolgálva a matematikai szemlélet, aproblémameglátó és -megoldó képesség fejlesztését.

Bármely anyagrész tárgyalása során törekednünk kell arra, hogy tanulóink képessé vál-janak a fogalmak közti kapcsolatok felismerésére, meg�gyeléseik, gondolataik kife-jezésére (tevékenységben, szóban, írásban, matematikai jelekkel), illetve egyszer¶szövegek értelmezésére, lejegyzésére, a megoldási terv elkészítésére, a megoldásmegbeszélésére.

Számtan, algebra

A számkör b®vítését, a m¶veletfogalom és a szóbeli m¶veletvégzés kiterjesztését, azegyszer¶ szöveges feladatok, az összetett számfeladatok megoldásának gyakorlását�spirálisan" építjük föl, míg az írásbeli m¶veletek tanítását lényegében �lineárisan".

Az els® ciklusban kiterjesztjük a 200-as számkörre a számokról és az összeadásról, ki-vonásról 2. osztályban tanultakat. Ebben a b®vebb számkörben, magasabb tudatosságiszinten, összetettebb gondolkodási terveket igényl® feladatokkal ismételjük át és gya-koroltatjuk be a korábbi tananyagot, illetve készítjük el® a további számkörb®vítést ésaz írásbeli m¶veletek tanulását. Cél a biztos szám- és m¶veletfogalom, illetve számo-lási rutin kialakítása. Már ebben a ciklusban nagy súlyt fektetünk egyrészt a szövegesfeladatok megoldásmenetének elsajátíttatására, másrészt a m¶veleti tulajdonságok tu-datosítására és az összetett számfeladatok megoldásának gyakoroltatására.

A második ciklusban 2000-ig b®vítjük a számkört, így a 20-as, majd a 200-as szám-körben elsajátított szóbeli számolási tervek analógiájára kerek százasokkal, illetve ke-rek tízesekkel megtanulhatnak számolni a tanulók. Ebbe a ciklusba épül be az írásbeliösszeadás, kivonás, egyjegy¶ szorzóval való szorzás és az egyjegy¶ osztóval valóosztás algoritmusának elsajátítása. A második ciklusban az újonnan tanultakat újra ésújra alkalmazzák a tanulók egyszer¶ szöveges feladatok, illetve összetett számfelada-tok, függvények, sorozatok megoldásában. A 2000-es számkör nagyobb mozgásteretenged az írásbeli m¶veletek elvégzésére, illetve a tanultak alkalmazására is.

Az egyjegy¶ osztóval való írásbeli osztás megtanítását a Kerettanterv nem írja el®. A Ke-rettanterv ugyanis a tananyagnak csupán azt a minimumát tartalmazza, amelyet mindeniskolában tanítanunk kell. Ez a teljes tananyag mintegy 75%-a. A tananyag fennmaradórészét a helyi tanterv tartalmazza. Az írásbeli osztás tanítását egyrészt azért javasol-juk, mert rendkívüli módon fejleszti a tanulók algoritmikus gondolkodását, számolásiképességét, másrészt így is igyekszünk enyhíteni a kés®bbi évfolyamok tananyagánakzsúfoltságát. Azonban a Kerettanterv el®írását �gyelembe véve, a tanulók értékelésénélne legyen minimumkövetelmény az osztás hibátlan végrehajtása.

A harmadik ciklusban kitekintésként 10 000-ig b®vítjük a számkört. (Ez a ciklus gyen-gébb csoportban el is maradhat.)

8


Geometria és mérés

Harmadik osztályban is fontos a geometriai látásmód és a képi problémamegoldó gon-dolkodás fejlesztése, a térszemlélet alakítása. Bár a tankönyvben, a gyakorlóban ésa feladatgy¶jteményben sok feladat található ebb®l a témakörb®l, csupán ezekkel afeladatokkal nem érhetjük el a nevelési célkit¶zéseinket. Ehhez szükséges, hogy a gyer-mekek ténylegesen végezzék el különböz® mennyiségek becslését, összehasonlítását,megmérését, kimérését; dolgozzák fel a mozgásos élményeket, illetve a mérési eredmé-nyeket; kapjanak kézbe vagy konstruáljanak síkidom-, illetve testmodelleket; rajzolással,kivágással, színezéssel, építéssel oldjanak meg geometriai problémákat.

A tevékenység megtervezése, a meg�gyelések tudatosítása, szavakba öntése feltételezia bal agyfélteke fogalmi és a jobb agyfélteke képi gondolkodásának az összehangolá-sát, amely ebben az életkorban már �ziológiailag és pszichológiailag lehetséges, és amatematikai gondolkodásmód alakításában központi szerepet játszik. Az el®z®ek miattebben az évben is fordítsunk különös gondot erre a témakörre.

A 2000-es számkörben tanultakat alkalmazzuk a mérésr®l, mértékegységekr®l tanultakkib®vítésére. Lehet®ség nyílik a méter{kilométer, méter{milliméter, liter{hektoliter, liter{milliliter, gramm{kilogramm, év{nap kapcsolatok tudatosítására, e mértékegységekátváltására.

Fontos tantervi feladat, hogy a szabványos mértékegységeket a tanulók képesek le-gyenek egyrészt tényleges mérésekben, alaprajzok, térképek, illetve nézeti rajzok ér-telmezésében és elkészítésében, másrészt gyakorlati jelleg¶ szöveges feladatok meg-oldásában is alkalmazni. Ezt a feladatot csak úgy oldhatjuk meg maradéktalanul, hanemcsak a helyi tantervben, hanem tanmeneti szinten is egyeztetjük a matematika ésa társtantárgyak (környezetismeret, technika) tanítását, és a matematika programbana megszokottnál nagyobb súllyal foglalkozunk e társtantárgyak tananyagának matema-tikai megalapozásával. Erre a tanmenetben és a módszertani ajánlásokban részletesenkitérünk.

Relációk, függvények, gra�konok, sorozatok

A tanulók nem külön fejezetben, hanem a számtan, algebra, illetve a geometria, mé-rés témakör tananyagának feldolgozása és gyakorlati alkalmazása során értelmeznekkülönböz® konkrét relációkat. Például:

Kisebb, nagyobb, egyenl®, nem kisebb, nem nagyobb, nem egyenl®, megközelít®enegyenl® stb. (<, >, =, �, 5, =, 6<, 6>, 6=, 65, 6=); tízesre, százasra kerekítettértéke; osztható, ugyanannyit ad maradékul (például 5-tel osztva); hosszabb, rövidebb,magasabb, alacsonyabb, nehezebb, könnyebb, id®sebb, �atalabb; ugyanolyan szín¶;párhuzamos, mer®leges, tükörképe, ugyanolyan alakú, ugyanolyan alakú és méret¶;stb.

A hiányos táblázatok kitöltése, sorozatok folytatása adott, illetve felismert szabály alap-ján el®segíti a számokról, mennyiségekr®l tanultak elmélyítését, összefüggések felis-mertetését (például a szorzótábla sorai között), illetve a tanult m¶veletek gyakorlását,problémaszint¶ alkalmazását.

A szövegértelmez® képesség, a m¶veletfogalom elmélyítése és a matematikai gondol-kodás fejlesztése szempontjából egyaránt fontos a szöveggel adott függvények szabá-lyának felíratása többféle alakban, táblázatának kitöltése, vizsgálata. Ennek speciális

9


eseteként (a szorzás, illetve az osztás értelmezéséhez kapcsolódva) foglalkozunk azegyenes arányossági következtetésekkel.

Ugyancsak összetett fejlesztési feladatot oldhatunk meg, ha gra�konokkal, diagramokkalábrázoltatunk szöveggel vagy táblázattal adott, illetve meg�gyeléssel vagy mérésselnyert adatokat. Ezek a feladatok komplex módon egyszerre kapcsolódnak a számtan,algebra, a mérések, a függvények és a statisztika tantervi témakörökhöz, illetve amatematika gyakorlati alkalmazásaként a környezetismeret tantárgyhoz.

Statisztika, valószín¶ség

A matematikában és a környezetismeretben egyaránt követelmény, hogy a tanuló képeslegyen megmérni saját testének adatait (tömegét, magasságát, fejkörfogatát, araszának,illetve lábfejének hosszúságát, percenkénti pulzusszámát stb.). Követelmény az is, hogyezeket az adatokat képes legyen összehasonlítani társai megfelel® adataival. Ha e kéttantárgy tanmenetét kell®en összehangoljuk, akkor esetenként két-két órát összevon-va (pédául kiscsoportos foglalkozás keretében) a tanulók megmérhetik és lejegyezhetik,majd statisztikailag feldolgozhatják ezeket az adatokat. Ezeknek az összevont óráknaka következ® csomópontjai lehetnek:

Adatgy¶jtés, a mért adatok lejegyzése, ellen®rzése.

Az adatok rendezése például nagyság szerint (mennyiségi sorok).

Táblázatok készítése adott szempontok alapján.

Oszlopdiagramok rajzolása.

Az adatok elemzése. A tanulók által is meghatározható mutatók (elnevezés nélkül):

az adatszóródás terjedelme: a legnagyobb és a legkisebb elem különbsége,

az adatsor mediánja: a nagyság szerint rendezett sorban a középs® adat,

az adatsor módusza: az adatsorban legtöbbször el®forduló adat értéke.

A negatív számok tanításához kapcsolódva, ugyancsak a környezetismeret tantárggyalösszehangolva meg�gyeltethetjük és gra�konnal szemléltethetjük a h®mérséklet alaku-lását.

Kerettanterv által el®írt tananyag a valószín¶ségi kísérletek kimeneteleinek meg�gyelé-se, az egyes konkrét kimenetelek lejegyzése, gyakoriságuk megállapítása. Sejtésekmegfogalmazása, összehasonlítása az eredménnyel. A valószín¶bb és a kevésbé va-lószín¶, illetve a �lehetetlen", a �biztos" és a �lehetséges, de nem biztos" eseményekmegkülönböztetése. A mindennapi élettel kapcsolatos véletlen események meg�gyelé-se, lejegyzése.

10


Tananyagbeosztás, követelmények

A tananyagbeosztást 3. osztályban is három lehetséges óraszámhoz igazítva állítottukössze.

I. A Kerettanterv által el®írt minimális óraszám heti 4 óra, évi 148 óra:

1. hét 2. hét 3. hét

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

A tanmenetben ez az órabeosztás látható az els® helyen szürke keretben.

A nehezebben haladó tanulók ennyi id® alatt csak segítséggel képesek megnyugta-tó módon elsajátítani a továbbhaladáshoz szükséges ismereteket, ezért föltétlenüljavasoljuk a �leszakadók" felzárkóztatásának megszervezését.

II. A Kerettanterv alapján a kötelez® óraszámon felül 1 óra szabadon tervezhet®. Ha en-nek az óraszámnak a felét a helyi tanterv a matematika tanítására biztosítja, akkorez az óraszám kedvez® feltételek mellett már elégséges a teljes tananyag feldol-gozására és begyakoroltatására. A tehetséggondozásra, illetve a felzárkóztatásraebben az esetben is további foglalkozásokat kell biztosítanunk. A következ® eseteklehetségesek:

a) Kéthetes ciklusonként 9, tanévenként 166 matematikaóra van:


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

A tanmenetben ez az órabeosztás látható a második helyen szürke alapon fehérszámokkal.

b) Az els® félévben 4, a másodikban 5 matematikaóra van. Vagyis az els® fél-évben az I., míg a második félévben (18-cal kevesebb óraszám mellett) a III.órabeosztás szerint haladhatunk.

c) Az els® félévben 5, a másodikban 4 matematikaóra van. Ezért az els® félévben aIII., a második félévben (18-cal több óraszám mellett) az I. órabeosztást vehetjük�gyelembe. Így az els® féléves tananyag feldolgozására elegend® id® jut. Ezzelaz id®beosztással elérhet®, hogy a 2. osztályból fennmaradt esetleges hiányokatpótolni tudjuk, és kell®en felkészítsük a tanulókat az intenzívebb munkára.

III. Kedvez® változat a heti 4 alapóra + 1 szabadon tervezhet® óra; évi 185 óra:


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

A tanmenetben ez az órabeosztás látható a harmadik helyen, vastag keretben.

A következ®kben bemutatunk egy lehetséges tananyagbeosztást. Természetesen a le-írtak csupán módszertani ajánlásnak tekinthet®k. A tényleges haladási ütemet, a fel-dolgozható feladatok mennyiségét és színvonalát mindig az adott osztály tudásszintje,illetve a helyi tanterv követelményrendszere határozza meg.

11


Óra: 1. 1. 1{2. A számok 200-ig

A tanultak elmélyítése, kiegészítése: A számok írása, olvasása, helyiérték szerintibontása többféle alakban, képzése 200-ig. A sorszám fogalma, írása, használata.

Tk. 5/példa, 6/1{4.; Gy. 5/1{2., 6/3{5.

Óra: 2{3. 2{3. 3{4.

Számosságok összehasonlítása (több, kevesebb, ugyanannyi), számok sorba rendezé-se. Az egyesével beosztott számegyenes (számvonal) alkalmazása.

Számok egyes és tízes szomszédai.

Az egyjegy¶, a kétjegy¶ és a háromjegy¶ szám fogalmának elmélyítése.A következ® feladatok egy részét folyamatos ismétlés keretében oldassuk meg.

Tk. 7/5{8., 8/9{12.; Gy. 7/6{9., 8/10{11., 9/12{13.; Fgy. 1.01{04.

Óra: 4{5. 4{5. 5{6. Összeadás és kivonás

Az összeadás, kivonás értelmezése és gyakorlása 20-ig. A két m¶velet kapcsolata.

Analóg számítások: kerek tízesek összeadása, kivonása 200-ig.

Az összeg és a különbség változásainak meg�gyelése.Folyamatos ismétlés: számok értelmezése, tulajdonságai, összegalakjuk.

Tk. 9/1{4., 10/5{8., 11/9., 11/példa, Gy. 12/1{3., 13/4{6., 14/8{9.

Óra: 6. 6{7. 7{8.

Szöveges feladatok; a szöveges feladatok megoldásmenetének tudatosítása.A következ® feladatok egy részét folyamatos ismétlés keretében oldassuk meg.

Tk. 13/14{16.; Gy. 13/7., 14/10., 15/11{12.; Fgy. 1.17{18., 1.26.

Óra: 7{8. 8{9. 9{10. Szorzás és osztás

A tanultak felelevenítése: a szorzás és az osztás értelmezése.A szorzótábla sorai közti kapcsolatok vizsgálata. A szorzás m¶veleti tulajdonságainak�felfedeztetése".

Tk. 14/1{4., 15/5{6., 15/példa, 16/7{10., 17/példa, 17/11.; Gy. 24/1{3., 25/4{7.; Fgy.1.05{08.

Óra: 9{10. 10{11. 11{12. Az 5-ös és a 10-es szorzótábla

Az 5-ös és a 10-es szorzótábla ismétlése, kapcsolatuk. Soralkotások: ötösével és tíze-sével növekv®, illetve csökken® sorrendben. Ismerkedés az 5-tel és a 10-zel oszthatószámokkal.Számok ábrázolása ötösével, tízesével beosztott számegyenesen.Következtetés egyr®l többre, többr®l egyre. Szöveges feladatok.

Folyamatos ismétlés: Kerek tízesek összeadása, kivonása.

Tk. 12/10{13.; 18/1{6., 19/7{9., 19/példa; Gy. 26/8{11., 10/14{16.; Fgy. 1.34.

12


Óra: 11. 12. 13. A 2-es szorzótábla

A 2-es szorzótábla ismétlése. A fél fogalma. Soralkotások: számlálás kettesével növek-v®, illetve csökken® sorrendben.Számok ábrázolása kettesével beosztott számegyenesen. Analóg számítások.

A következ® feladatok egy részét folyamatos ismétlés keretében oldassuk meg.

Tk. 20/1{6., 21/7{12., Gy. 27/12{15., 28/16{18., 11/17.; Fgy. 1.43.

Óra: 12. 13. 14. Páros és páratlan számok

A páros szám fogalmának általánosítása.Folyamatos ismétlés: szóbeli számolás.

Tk. 22/példa, 22/1{5.; Gy. 11/18{19.

Óra: 13. 14. 15. A m¶veletek sorrendje

Szöveges feladatok és összetett számfeladatok megoldása analóg számításokhoz kap-csolódóan is. A m¶veleti sorrendr®l tanultak felelevenítése és alkalmazása.

Folyamatos ismétlés: Kerek tízesek összeadása, kivonása, a tanult szorzótáblák gyakorlása.A következ® feladatok egy részét { folyamatos ismétlés keretében { a mérésekkel kapcsolatos tananyagfeldolgozása során oldassuk meg.

Tk. 23/példa, 23/1{2.; Gy. 29/19{22.; Fgy. 1.55.

Óra: 14. 15{16. 16{17. Hosszúságmérés

A mérésekr®l, mér®eszközökr®l, mértékegységekr®l korábban tanultak felelevenítése. Amértékegység és a mér®szám fogalma.

Teremtsünk kapcsolatot a technika, illetve a környezetismeret tantárgyban tanultakkal. Ha van rá le-het®ségünk, akkor a különböz® tantárgyakban tanmenetileg is hangoljuk össze a mérésekkel, mérték-egységekkel kapcsolatos anyagrészek feldolgozását. Ez történhet például olymódon, hogy nem egytömbben, hanem három-négy hétre szétosztva, a környezetismeret és a technika órákhoz is kapcsolódvafoglalkozunk a mérésekkel. Így a folyamatos ismétlést is hatékonyabban szervezhetjük meg.

Hosszúságok becslése, összehasonlítása, megmérése, kimérése alkalmilag választottegységgel, illetve centiméterrel, deciméterrel, méterrel. Mértékegységek átváltása.

Folyamatos ismétlés: Kerek tízesek összeadása, kivonása, a 2-es, az 5-ös és a 10-es szorzótábla.Összetett szám- és szöveges feladatok.

Tk. 24/összefoglaló, 24/1., 25/2{7.; Gy. 15/13., 75/1{4., 76/5{6., 77/7{8. 78/9.

Óra: 15. 17. 18.

Oszlopdiagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata, készítése, a tanulók testméretei-nek statisztikai feldolgozása.

Környezetismeret órával összevonva két órában célszer¶ feldolgozni ezt az anyagrészt.A következ® feladatok többségét folyamatos ismétlés keretében, szükség szerint di�erenciált otthonimunkában oldathatjuk meg.

Tk. 26/8., 27/9{11.; Gy. 78/9{10., 79/11., 80/12{17., 81/18{19.

13


Óra: 16. 18. 19. Az ¶rtartalom mérése

Az ¶rtartalommérésr®l tanultak áttekintése. A tanult mértékegységek átváltása a 200-asszámkör �gyelembevételével.

Folyamatos ismétlés: Hosszúság-mértékegységek átváltása. Kerek tízesek összeadása, kivonása.Összetett szám- és szöveges feladatok.

Tk. 28/összefoglaló, 28/1{2., 29/3{7.; Gy. 84/27{29.

Óra: 17. 19. 20{21. A tömeg mérése

A tömegmérésr®l tanultak áttekintése. A tanult mértékegységek átváltása; becslés, mé-rés, összehasonlítás a 200-as számkör �gyelembevételével. Diagramok, gra�konokértelmezése, vizsgálata, készítése, a mérési adatok statisztikai feldolgozása.

A mérésekkel kapcsolatos ismeretek alkalmazása szám- és szöveges feladatokban.Környezetismeret órával összevonva, két órában célszer¶ feldolgozni ezt az anyagrészt.Folyamatos ismétlés: Kerek tízesek összeadása, kivonása, hosszúság-, ¶rtartalom-mértékegységekátváltása.

Tk. 30/összefoglaló, 30/1{2., 31/3{4.; Gy. 86/33{35.; Fgy. 1.36., 6.29.

Óra: 18{19. 20{21. 22{23. Kerek tízesek hozzáadása, elvétele

Az összeadás és a kivonás gyakorlása 200-ig: kerek tízesek hozzáadása, kivonása.Egyenletek, szöveges feladatok. Sorozatok folytatása, táblázatok kiegészítése.Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása.

Folyamatos ismétlés: mértékegységek átváltása.A következ® feladatok egy részét folyamatos ismétlés keretében, esetleg otthoni munkában oldathatjukmeg.

Tk. 32/1{4., 33/5{8., 34/példa, 34/9{11., 35/példa, 35/12{13.; Gy. 16/14{17.,17/18{20.

Óra: 20{21. 22{23. 24{25. A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla

Soralkotások: számlálás hármasával, hatosával, kilencesével.

A szorzótáblák közti kapcsolatok vizsgálata.

Analóg számítások: kerek tízesek szorzása, osztása a 200-as számkörön belül.Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása.

Folyamatos ismétlés: mértékegységek átváltása.A következ® feladatok egy részét folyamatos ismétlés keretében, esetleg otthoni munkában oldathatjukmeg.

Tk. 36/példa, 37/1{5., 38/példa, 39/6{9., 40/10{12.; Gy. 30/23{26., 31/27{29.,32/30{33.; Fgy. 1.19., 1.37., 1.49., 1.54.

Óra: 22. 24. 26{27. Maradékos osztás

A maradékos osztás fogalma, elvégzése a szorzótáblák közvetlen alkalmazásával.

Ismerkedés a maradékosztályokkal.

Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése.

Tk. 41/példa, 41/1{3.; Gy. 33/34{38., 34/39{41.

14


Óra: 23. 25. 28. Egyjegy¶ számok hozzáadása,elvétele

Kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összege, különbsége a tízesek átlépésével is.Analóg számítások: 100-nál nagyobb számok és egyjegy¶ számok összege, különbségea tízesek átlépésével is. Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása.

Folyamatos ismétlés: mértékegységek átváltása.A következ® feladatok többségét a következ® órákon, folyamatos ismétlés keretében oldathatjuk meg.

Tk. 42/1{4., 43/5{9., 44/10{12.; Gy. 18/21{24.; Fgy. 1.30., 1.35., 1.67{69.

Óra: 24. 26{27. 29{30. A 4-es és a 8-as szorzótábla

Soralkotások: számlálás négyesével, nyolcasával növekv®, illetve csökken® sorrend-ben. A szorzótábla sorai közti kapcsolatok vizsgálata. Analóg számítások: kerek tízesekszorzása, osztása. A negyed és a nyolcad fogalma.

Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása.Folyamatos ismétlés: összeadás, kivonás; mértékegységek átváltása.

Tk. 45/1{6., 46/7{11.; Gy. 35/42{45.; Fgy. 1.20., 1.40{41., 1.44{48.

Óra: 25. 28. 31. A 7-es szorzótábla

Soralkotások: számlálás hetesével növekv®, illetve csökken® sorrendben.

Gyakorlás: szorzás, osztás, összetett számfeladatok megoldása.A szorzótáblák közti kapcsolatok vizsgálata.

A következ® feladatok többségét a geometriai tananyag feldolgozása során adjuk fel.

Tk. 47/1{5., Gy. 24/1., 25/4{7., 36/46., 37/47{48., 38/49.; Fgy. 1.42.

Óra: 26{27. 29{30. 32{33. Zárójelek használata

Összetett számfeladatok, a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek használatáról tanultakfelelevenítése.

Szöveges feladatok, a számítási terv felírása többféleképpen.A következ® feladatok egy részét a geometriai tananyag feldolgozása során adjuk fel.

Tk. 48/példa, 48/1., 49/példa, 49/2{3., 50/példa, 50/4., 51/5{7.; Fgy. 1.58{66.

Óra: 28{29. 31{32. 34{35. Számok összeadása, kivonása200-ig

Számok összege és különbsége a tízesek és a 100 átlépésével is a 200-as számkörben.A m¶veletek helyes sorrendjér®l és a zárójelek használatáról tanultak gyakorlása.

Szöveges feladatok, szöveggel adott függvények és összetett számfeladatok.Folyamatos ismétlés: Szorzótáblák gyakorlása. Mértékegységek átváltása konkrét becslésekhez, méré-sekhez kapcsolódóan. A hiányosságok pótlására föltétlenül szervezzünk korrepetálást.A következ® feladatok többségét a geometriai tananyag feldolgozásával párhuzamosan, a számolási rutinés a problémamegoldó képesség di�erenciált fejlesztése céljából adjuk fel.

Tk. 52/példa, 52/1{2., 53/példa, 53/3{5., 54/6{9., 55/10{12.; Gy. 19/25{26., 20/27{28., 21/29{32., 22/33{35., 23/36{39., 39/50{53., 40/54.; Fgy. 1.21{29., 1.38{39.,1.50{57., 1.70{80.

15


Óra: 30{31. 33{34. 36{37. Mer®legesség, párhuzamosság

A számolási rutin és a szövegértelmez® képesség fejlesztése hosszadalmas, kitartó munkát igényl® fela-dat. Ezért 3. osztályban a geometriát feldolgozó órákon is legalább 6-8 percet számoljanak a gyermekek.Otthoni munkára folyamatosan adjunk fel e témakörb®l feladatokat.

Metsz®, mer®legesen metsz®, illetve párhuzamos egyenespárok szemléletes fogalmá-nak kialakítása sokféle tevékenységgel.

Az egyenes és a szakasz fogalmának megkülönböztetése.

Párhuzamos és mer®leges egyenesek keresése térben.Folyamatos ismétlés: a m¶veletekr®l eddig tanultak gyakorlása, m¶veletek sorrendje.

Tk. 56/példa, 57/1{5., 58/példa, 58/6{9.; Gy. 89/3{5., 90/6{7., 91/8.; Fgy. 5.01{06.

Óra: 32{33. 34{35. 38{39. Téglatest, kocka, téglalap, négyzet

A testekr®l, a téglatestr®l és a kockáról tanultak felelevenítése, kiegészítése. Elnevezé-sek: él, lap, csúcs.

A téglalapról, négyzetr®l tanultak felelevenítése. Elnevezések: oldal, csúcs.

A téglalap párhuzamos és mer®leges oldalainak, a téglatest párhuzamos és mer®legeséleinek megkeresése. A téglalap és a négyzet tükörtengelyeinek megrajzolása.

Tk. 59/1{2., 59/példa, 60/példa, 60/3{5., 61/6{9., 62/10{12; Gy. 88/1{2., 91/9{10.

Óra: 34. 36. 40{41. 1. tájékozódó felmérés, gyakorlás

Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.

A számolási rutin és a szövegértelmez® képesség di�erenciált fejlesztése.Geometriai ismeretek gyakorlása.

Az osztály tudásszintjének megfelel®en válogassunk az eddig fel nem dolgozott feladatok közül. A hiá-nyosságok pótlására szervezzünk korrepetálást.

Óra: 35. 37. 42{43. 1. felmérés

Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.Redukált óraszám mellett a hibák javítását folyamatos ismétlés keretében oldhatjuk meg. A hiányosságokpótlására szervezzünk korrepetálást.

Minimális teljesítmények

Számok írása, olvasása, helyes használata 200-ig, nagyság szerinti összehasonlítá-suk, felsorolásuk növekv®, illetve csökken® sorrendben. Az =, <, > jelek helyeshasználata. Számok helyének megtalálása egyesével beosztott számegyenesen, illetveközelít® helyének megtalálása tízesével beosztott számegyenesen. Az egyes, illetvetízes számszomszédok megállapítása. Az egyjegy¶, kétjegy¶, háromjegy¶, illetve apáros és a páratlan szám fogalmának ismerete.

A sorszám fogalmának ismerete, sorszámok írása, olvasása, helyes használata.

Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás értelmezése. Az összeadás és a kivonáselvégzése a 100-as számkörben.

A szorzótáblák ismerete.

16


Hosszúságmérés. A hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg tanult mértékegységeinekismerete.

Egyszer¶ szöveges feladatok értelmezése, megoldása a fenti témakörökhöz kapcsoló-dóan.

A párhuzamos és a mer®leges egyenespárok felismerése.

A téglalap, a négyzet, a téglatest és a kocka felismerése, tulajdonságaik és a fogalmakközti kapcsolatok ismerete.

A minimumszintet meghaladó követelmények

Számok közelít® helyének megtalálása kettesével, ötösével beosztott számegyenesen.

Az egyjegy¶, kétjegy¶, háromjegy¶, illetve a páros és a páratlan szám fogalmánakalkalmazása.

Az összeadás, kivonás elvégzése a 200-as számkörben.

Összetett számfeladatok megoldása, a m¶veletek helyes sorrendjének és a zárójelekhasználatának ismerete.

A hosszúság, az ¶rtartalom, a tömeg és az id® tanult mértékegységeinek alkalmazása,átváltásuk.

Összetett szöveges feladatok értelmezése, megoldása a fenti témakörben. Szabállyalvagy néhány elemével adott sorozat folytatása. Szabállyal, szöveggel vagy néhányelempárjával adott függvény értelmezése, táblázatuk kitöltése.

Óra: 36. 38{39. 44{45. A számok 2000-ig

A számok írása, olvasása, összehasonlítása (több, kevesebb, ugyanannyi) 2000-ig. Anégyjegy¶ szám, illetve az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalma. A számokhelyiérték szerinti bontása többféleképpen.

Folyamatos ismétlés: A felmérésben feltárt hiányosságok pótlása.

Tk. 63{64/példa, 64/1{3., 65/4{8., 66/példa, 66/9{10.; Gy. 41/1., 42/2{4., 43/5{8.,44/9{11.

Óra: 37. 40. 46.

A számokról tanultak elmélyítése, alkalmazásuk kombinatorikai és logikai feladatok meg-oldásában. A problémamegoldó képesség di�erenciált fejlesztése.

Folyamatos ismétlés: A felmérésben feltárt hiányosságok pótlása.

Tk. 67/11{13., 68/14{18.; Gy. 45/12{15., 46/16{17., 47/18{19.; Fgy. 2.01{11.

Óra: 38. 41{42. 47{48. M¶veletek kerek számokkal

Analóg számítások kerek százasokkal, tízesekkel a 2000-es számkörben. A számolásirutin és a problémamegoldó képesség di�erenciált fejlesztése.

Az összeg és a különbség változásainak meg�gyelése.

Szöveges feladatok. Szöveggel adott függvények.A feladatok egy részét folyamatos ismétlésre, az esetleges hiányosságok pótlására tartalékoljuk.

Tk. 69/1{3., 70/4{6., 71/7{11., 72/12{15.; Gy. 48/20{22., 49/23{25.; Fgy. 3.01{07.

17


Óra: 39. 43. 49.

A kétjegy¶ számok szorzása 10-zel. A 20-nál nem nagyobb számok szorzása 100-zal.

Szöveges feladatok.

A számolási rutin és a szövegértelmez® képesség di�erenciált fejlesztése.A feladatok egy része a di�erenciált folyamatos ismétlés céljait szolgálhatja.

Tk. 73/példa, 73/16{18., 74/19{21.; Gy. 50/26{27.; Fgy. 3.08{16.

Óra: 40. 44. 50. Római számírás

A római számírás: a D és az M számjegy megismerése, a korábban tanultak kiterjeszté-se a 2000-es számkörre. A római számírás legalapvet®bb szabályainak összefoglalása.

Folyamatos ismétlés: számok összegalakja.

Tk. 75/példa, 75/1{3.; Gy. 51/28.; Fgy. 2.20{29.

Óra: 41{42. 45{46. 51{52. Számok ábrázolása számvonalon

A számok közelít® helyének ábrázolása tízesével, százasával beosztott számegyene-sen. Lépegetés a számvonalon.

Egyenl®tlenségek igazsághalmazának ábrázolása.Folyamatos ismétlés: A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése.

Tk. 76/1{2., 77/példa, 77/3{4., 78/5{8.; Gy. 51/29., 52/30{31.; Fgy. 2.12{13.

Óra: 43{44. 47{48. 53{54. A számok kerekítése

Pontos érték, kerekített érték. A közelebbi tízes szomszéd megkeresése. A számokkerekítése tízesre.

A számok százas szomszédai. A közelebbi százas szomszéd megkeresése. Számokkerekítése százasra.

Számok hozzávet®leges helyének megállapítása százasával beosztott számegyenesen.Folyamatos ismétlés: Számok ábrázolása számvonalon.

Tk. 79/példa, 80/1{4., 81/összefoglaló, 82/5{10.; Gy. 53/32{34., 54/35{37.; Fgy.2.14{19.

Óra: 45{46. 49{50. 55{56. Hosszúságmérés milliméterrel

Hosszúságok becslése (a kerekítésr®l tanultak alkalmazása), összehasonlítása, meg-mérése, kimérése. A mértékegységek (milliméter, centiméter, deciméter, méter)rendszerezése. Átváltások.

Hosszúságok leolvasása látszati rajzokról, alaprajzokról { az ismerkedés szintjén.Kapcsolat a környezetismerettel, technikával.Folyamatos ismétlés: A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése.

Tk. 83/összefoglaló, 84/1{5., 85/6{8.; Gy. 82/20{24., 83/25{26.

18


Óra: 47{48. 51{52. 57{58. �rtartalommérés

�rtartalmak becslése (a kerekítésr®l tanultak alkalmazása), összehasonlítása, megmé-rése, kimérése. A mértékegységek (milliliter, centiliter, deciliter, liter) rendszerezése.Átváltások. �rtartalom mérésére használt eszközök a háztartásban.

Kapcsolat a térfogatszámítással, a technika és a környezetismeret tantárggyal, illetve a mindennapiélettel.Folyamatos ismétlés: A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése.

Tk. 86{88/összefoglaló, 88/1{4.; Gy. 85/30{32.

Óra: 49. 53. 59. A tömegmérésr®l tanultak alkalma-zása

A tömegmérésr®l korábban tanult ismeretek kiterjesztése a 2000-es számkörre.Kapcsolat a technika és a környezetismeret tantárggyal, illetve a mindennapi élettel.Folyamatos ismétlés: A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése.

Gy. 87/36{38.

Óra: 50. 54. 60. Az összeg becslése

Háromjegy¶ számok összegének becslése százasra kerekített, majd tízesre kerekítettértékekkel történ® számolással, illetve két érték közé szorítással.Az összeg változásainak meg�gyelése.A közelít® számításokról és a mérésekr®l tanultak alkalmazása.

Folyamatos ismétlés: számok kerekítése, kerek számok összeadása.

Tk. 89/példa, 89/1{3., 90/4{5.

Óra: 51{52. 55{56. 61{62. Írásbeli összeadás

Két szám írásbeli összeadása helyiérték átváltás nélkül. Az eredmény ellen®rzése azösszeadás fordított sorrendben történ® elvégzésével, illetve a becsült érték és az összegösszehasonlításával.Szöveges feladatok, a szöveges feladat megoldásmenetének tudatosítása.

A szöveg értelmezése: esetleg rajz, táblázat készítése, az adatok lejegyzése stb.;a matematikai modell felírása;becslés kerekített értékekkel történ® számítással;a számítás elvégzése;ellen®rzés a szöveg alapján;szöveges válasz, az eredmény értelmezése a szöveg alapján.

Tk. 91/példa, 91/1., 92/2{5.; Gy. 55/1{2., 56/3{4., 57/5{6.

Óra: 53. 57. 63.

Két szám írásbeli összeadása legfeljebb egy helyiértéken történ® átváltással.

Az összeg változásainak meg�gyelése.

Tk. 93/példa, 94/6{9.; Gy. 58/7{9., 59/10{11., 60/12.

19


Óra: 54. 58. 64{65.

Írásbeli összeadás több helyiértéken történ® átváltással.

Többtagú összeg.

Szöveges feladatok, szöveggel adott függvények az írásbeli összeadás alkalmazására.

Tk. 95/példa, 96/10{13., 97/példa, 97/14{15.; Gy. 61/13{14.

Óra: 55. 59. 66. 2. tájékozódó felmérés, gyakorlás


A számfogalom kiterjesztésér®l, a mérésekr®l, mértékegységekr®l és az írásbeli összea-dásról tanultak gyakorlása. A számolási rutin, a problémamegoldó és a szövegértelmez®képesség di�erenciált fejlesztése.

Az összeg hiányzó tagjának megállapítása; a hiányzó számjegyek pótlása.Az osztály tudásszintjének megfelel®en válogassunk az eddig fel nem dolgozott feladatok közül.

Tk. 97/14{15., 98/16{19., 99/20{23.; Gy. 87/36{38., 62/15{16., 63/18.

Óra: 56. 60. 67{68. 2. felmérés

Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.A hiányosságok pótlására szervezzünk korrepetálást.


Háromjegy¶ számok bontása százasok, tízesek, egyesek összegére. Az alakiérték,helyiérték, tényleges érték ismerete, alkalmazása.

Számok írása, olvasása, helyes használata 1000-ig, nagyság szerinti összehasonlítá-suk, felsorolásuk növekv®, illetve csökken® sorrendben.

Számok közelít® helyének megtalálása tízesével, illetve százasával beosztott száme-gyenesen.

A tízes, illetve a százas számszomszédok megállapítása, kerekítés tízesre, százasra.

Az egyjegy¶, kétjegy¶ és háromjegy¶, illetve a páros és páratlan szám fogalmánakismerete.

Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás értelmezése, kerek százasok összeadása,kivonása 1000-ig. Az összeg becslése, az összeadás elvégzése írásban az 1000-esszámkörben, ellen®rzés a becsült értékkel történ® összevetéssel.

A milliméter fogalma, mérés milliméterrel. A hosszúság és az ¶rtartalom tanult mérték-egységei közti kapcsolatok ismerete.

A fentiek alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok megoldásában.


A minimális teljesítményben felsorolt követelményeket ezen a szinten a 2000-es szám-körben várjuk el. Ennek megfelel®en a négyjegy¶ szám fogalmát, helyiérték szerintibontását, valamint a szám ezres szomszédainak a meghatározását is megköveteljük.

20


Az egyjegy¶, a kétjegy¶, a háromjegy¶ és a négyjegy¶, illetve a páros és a páratlanszám fogalmának alkalmazása számok rendezésében, adott szempont szerinti szétvá-logatásában, állítások logikai értékének meghatározásában.

Számok közelít® helyének megtalálása nem csak egyesével, tízesével, illetve százasá-val beosztott számegyenesen.

Számjegyek pótlása hiányos összeadásban.

A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es számkörben.

A fentiek alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok, szöveggel adott függvények meg-oldásában.

Óra: 57. 61. 69. A különbség becslése

Számok különbségének becslése százasra, majd tízesre kerekített értékekkel történ®számolással. A különbség változásainak meg�gyelése. Szöveges feladatok.

Folyamatos ismétlés: Kerek százasok, illetve kerek tízesek kivonása 2000-ig. Írásbeli összeadás.

Tk. 100/példa, 100/1., 101/2{7.

Óra: 58{59. 62{63. 70{71. Írásbeli kivonás

Írásbeli összeadás hiányzó tagjának pótlása az összeg ismeretében. Hiányos összeadásfelírása kivonásként.

Írásbeli kivonás helyiérték átváltás nélkül. A kivonás ellen®rzése összeadással, másikkivonással, illetve a becsült érték és az eredmény összehasonlításával.

Szöveges feladatok, függvények az írásbeli kivonás alkalmazására.

Tk. 102/példa, 104/1{4.; Gy. 63/17., 64/1{2., 65/3{4., 66/5{6.

Óra: 60. 64. 72.

Írásbeli kivonás elvégzése legfeljebb egy helyiértéken történ® átváltással.

Tk. 103/példa, 105/5{8., Gy. 67/7{8., 68/9{10.

Óra: 61. 65{66. 73{74.

Írásbeli kivonás több helyiértéken történ® átváltással.

Szöveges feladatok, szöveggel adott függvények.Folyamatos ismétlés: A mérésr®l, mértékegységekr®l tanultak alkalmazása írásbeli összeadással és ki-vonással megoldható szöveges feladatokban.

Tk. 106/9{11., 107/12{15.; Gy. 69/11{12., 70/13{16., 71/17{21.

Óra: 62{63. 67{68. 75{76. 3. tájékozódó felmérés, gyakorlás


Az írásbeli kivonás gyakorlása képesség szerinti di�erenciálással. Az esetleges hiányos-ságok pótlása. Az írásbeli kivonás alkalmazása sorozatok, függvénytáblázatok hiányzóelemeinek meghatározásában. A különbség változásainak meg�gyelése.

A kivonandó, illetve a kisebbítend® meghatározása hiányos kivonásban.

Tk. 108/16{19., 109/20{23., 110/24{26., 111/27{30.; Gy. 72/22., 73/23.

21


Óra: 64{65. 69{70. 77{79. Összetett feladatok

Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása, a m¶veletek helyes sorrendjének ésa zárójelek használatának ismerete (a szorzást és az osztást fejben végzi a tanuló).

Folyamatos ismétlés. Szorzótáblák gyakorlása.

Tk. 112/1{4., 113/5{7., 114/8{12.; Gy. 73/24., 74/25{26.; Fgy. 3.17.

Óra: 66. 71{72. 80{81. Egyenletek, egyenl®tlenségek

Az egyenletek, egyenl®tlenségek próbálgatással történ® megoldásáról szerzett tapasz-talatok rendszerezése.

Di�erenciálásra szánt anyagrész. Az átlagosnál nehezebben haladó tanulókkal célszer¶ a minimumköve-telményekhez kapcsolódó anyagrészeket gyakoroltatni.

Tk. 115/példa, 115/1{2., 116/3{5.; Fgy. 6.24., 6.29.

Óra: 67. 73{74. 82{83. Vegyes feladatok

Az els® félévben tanultak gyakorlása, elmélyítése:

Számok írása, olvasása, ábrázolása számegyenesen 2000-ig.

Számhalmazok vizsgálata, összehasonlítása. Számok rendezése adott, illetve felismertszempont szerint.

Állítások igazságának eldöntése, igaz és hamis állítások megfogalmazása. Érdekeslogikai, kombinatorikai feladatok.

Tk. 117/1{5., 118/6.; Gy. 92/1.

Oszlopdiagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata.A tanulók által gy¶jtött adatok feldolgozása.

Óra: 68. 75{76. 84{85.

A mérésr®l, mértékegységekr®l tanultak alkalmazása változatos feladathelyzetekben.Tényleges mérések végzése.

Tk. 118/7{11., 119/12{15.; Gy. 93/2{5.

Óra: 69{70. 77{78. 86{87.

Számok írásbeli összeadása és kivonása a 2000-es számkörben, több helyiértéken islehet átváltás. Többtagú összeg kiszámítása. Az összeg és a különbség változásainak,az összeadás és a kivonás tulajdonságainak vizsgálata. Az összeg és a különbségbecslése, az eredmény összevetése a becsült értékkel.

Szorzótáblák gyakorlása. Analóg számítások a szorzótáblák közvetlen alkalmazására (a2000-es számkörben maradva). A szorzás tulajdonságainak vizsgálata.

Az írásbeli összeadásról, kivonásról, valamint a szorzásról, illetve a mérésekr®l tanul-tak alkalmazása összetett szám- és szöveges feladatokban, geometriai számításokban,szöveggel, táblázattal adott függvények vizsgálatában.

Képesség szerinti di�erenciálás, a hiányosságok pótlása.

Tk. 120/16{19.; Gy. 94/6., 95/7{9., 96/10.

22


Óra: 71{72. 79{80. 88{90. 3. felmérés


A teljesítmények értékelése, az esetleges hiányosságok pótlása.

Minimális teljesítmények az 1. félév végén

Számok írása, olvasása, helyes használata 1000-ig, nagyság szerinti összehasonlí-tásuk, felsorolásuk növekv®, illetve csökken® sorrendben. Számok közelít® helyénekmegtalálása tízesével, százasával beosztott számegyenesen.

A tízes, illetve a százas számszomszédok megállapítása, kerekítés tízesre, százasra.Az egyjegy¶, kétjegy¶ és háromjegy¶, illetve a páros és a páratlan szám fogalmánakismerete.

Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás értelmezése.

Az összeg és a különbség helyes becslése százasra kerekített értékekkel számolva. Azösszeadás és a kivonás elvégzése írásban az 1000-es számkörben, több helyiértékentörtén® átváltással is. Az összeadás ellen®rzése fordított sorrendben való számolással,a kivonás ellen®rzése összeadással. A szorzótábla biztos ismerete.

A hosszúság-, az ¶rtartalom- és a tömegmérésr®l tanultak ismerete.

A fentiek alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok megoldásában, egyszer¶ oszlopdi-agramok vizsgálatában, mérésekkel kapcsolatos egyszer¶ számításokban.


Az egyjegy¶, a kétjegy¶, a háromjegy¶ és a négyjegy¶, illetve a páros és a páratlanszám fogalmának alkalmazása logikai feladatokban.

Az összeg és a különbség helyes becslése tízesre kerekített értékekkel számolva, abecslés alkalmazása az eredmény ellen®rzésében. A kivonás ellen®rzése az inverzkivonással is. Analóg számítások szorzásra, osztásra. Összetett számfeladatok megol-dása, a m¶veletek sorrendjének és a zárójelek használatának ismerete, alkalmazása (aszorzást és az osztást fejben végzi a tanuló).

A hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg tanult mértékegységeinek átváltása.

A fentiek alkalmazása összetett szöveges feladatok megoldásában, szöveggel adottfüggvények táblázatának kitöltésében, sorozatok képzésében, mérésekkel kapcsolatosszámításokban.

Egyszer¶ oszlopdiagramok, gra�konok készítése, elemzése.

Óra: 73{74. 81{82. 91{92. Ellentétes mennyiségek

Ellentétes mennyiségek jellemzése. A h®mérséklet mérése. Negatív mér®számok ér-telmezése, leolvasásuk számskáláról. H®mérséklet-változások követése, ábrázolásaszámegyenes, gra�kon segítségével. A h®mérséklet alakulása különböz® napszakok-ban, illetve évszakokban. A tanulók által gy¶jtött adatok feldolgozása.

Környezetismeret órával összevonva célszer¶ feldolgozni ezt az anyagrészt.

Tk. 121/összefoglaló, 121/1., 122/2{6., 123/7{8.; Gy. 97/1{3., 98/4{5.

23


Óra: 75. 83{84. 93{94.

Adósságcédula{készpénz modell. Lépegetés a számegyenesen.

Tk. 124/példa, 124/9{11., 125/12{15.; Gy. 99/6{9.

Óra: 76{77. 85{86. 95{96. Geometriai játékok

Alakzatok tengelyes tükörképének el®állítása hajtogatással, papírkivágással stb.

Tengelyesen tükrös alakzatok, speciálisan a téglalap és a négyzet tulajdonságainakmeg�gyeltetése (a 2. osztályban tanultak felelevenítése, tudatosítása, kiegészítése).

Folyamatos ismétlés: az írásbeli összeadás és a kivonás gyakorlása, alkalmazásuk szöveges feladatok-ban, az esetleges hiányosságok pótlása.

Tk. 126/1{3., 127/4{7., 128/8{9.; Gy. 150/1{2., 151/3{4.;

Óra: 78. 87. 97{98.

Transzformációk végrehajtása különböz® rácsok segítségével. Parkettázások. Adotttranszformáció szabályának megkeresése.

Folyamatos ismétlés: a szorzótáblák gyakorlása, az esetleges hiányosságok pótlása.

Tk. 129/10., 130/11{12., 131/13{15.; Gy. 152/5{6., 153/7.

Óra: 79. 88. 99.

Tapasztalatszerzés térbeli transzformációkról, térfogatról. Testek építése.Folyamatos ismétlés: összetett számfeladatok megoldása, az esetleges hiányosságok pótlása.

Tk. 132/összefoglaló, 132/16., 133/17{19.

Óra: 80{81. 89{90. 100{101. A szorzás tulajdonságai

A szorzás tulajdonságairól tanultak rendszerezése.A szorzótáblák gyakorlása. A szorzat változásainak meg�gyelése, analóg számítások.Összeg szorzása egyjegy¶ számmal, az írásbeli szorzás el®készítése.

Tk. 134/példa, 134/1., 135/2{3., 135/példa, 136/4{7.; Gy. 102/1{3., 103/4{6.

Óra: 82. 91. 102. A szorzat becslése

A közelít® számításokról és a mérésekr®l tanultak alkalmazása, szöveges feladatok.Ha a tanulók bizonytalanul végzik az analóg számításokat, akkor szervezzünk korrepetálást.

Tk. 137/példa, 137/1{3., 138/4{6.; Gy. 100/1{2., 101/3{4.

Óra: 83{84. 92{93. 103{104. Írásbeli szorzás

Háromjegy¶ számok írásbeli szorzása egyjegy¶ szorzóval. Az eredmény ellen®rzése abecsült érték és a szorzat összehasonlításával. Az írásbeli szorzás alkalmazása egy-szer¶ szöveges feladatok megoldásában.

Folyamatos ismétlés: írásbeli összeadás, mértékegységek átváltása.

Tk. 139/példa, 140/1{3.; Gy. 104/7{9., 105/10{11.

24


Óra: 85. 94{95. 105{106.

Háromjegy¶ számok írásbeli szorzása egyjegy¶ szorzóval, a tanultak elmélyítése.Szöveges feladatok megoldása.

Tk. 141/példa, 141/4., 142/5{9., 143/10{14.; Gy. 106/12{14., 107/15{17.

Óra: 86. 96{97. 107{108.

Az írásbeli szorzás gyakorlása, a tanultak elmélyítése. Szöveges feladatok megoldása.

A számolási rutin, a szövegértelmez® és problémamegoldó képesség di�erenciált fej-lesztése.

Tk. 144/példa, 144/15., 145/16{18.; Gy. 108/18., 109/19{22., 110/23{25.

Óra: 87{88. 98{99. 109{110. Következtetés egyr®l többre

Az írásbeli szorzás alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatokban (egyenes arányosságikövetkeztetésekben), táblázatok kitöltésében.

Folyamatos ismétlés: mértékegységek átváltása, gra�konok készítése.Életvitel: Az áru mennyisége és ára közti összefüggés.

Tk. 146/példa, 146/1., 147/2{3., 148/4{5.; Gy. 111/26., 112/27{28.

Óra: 89. 100. 111{112. Vegyes feladatok a szorzásra

Az írásbeli szorzás gyakorlása. Egyszer¶ szám- és szöveges feladatok megoldása. Aszorzat változásainak meg�gyelése.

Tk. 149/1{3., 150/4{7.; Gy. 113/29.

Óra: 90. 101. 113.

Az írásbeli szorzás alkalmazása geometriai problémák megoldásában, a kerület-, terület-és térfogatszámítás el®készítése.

Mérésekkel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása.

Tk. 151/8{9., 152/10{11., 153/példa, 153/12.; Gy. 113/30.



Az írásbeli szorzás gyakorlása képesség szerinti di�erenciálással. Az esetleges hiányos-ságok pótlása.

Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról tanultak alkalmazása összetett számfe-ladatokban és szöveges feladatokban. A m¶veletek sorrendje, zárójelek használata.

A számolási rutin, a szövegértelmez® és a problémamegoldó képesség di�erenciáltfejlesztése.

Az osztály tudásszintjének megfelel®en válogassunk a következ®, illetve a korábban fel nem dolgozottfeladatok közül.

Tk. 154/13{18.; Gy. 114/31., 115/32{34., 116/35{39.; Fgy. 3.18.

25


Óra: 93. 104. 117{118. 4. felmérés



A m¶veletek értelmezése. Következtetés egyr®l többre.

Az összeg, különbség és a szorzat helyes becslése százasra kerekített értékekkel tör-tén® számolással. Az összeadás, a kivonás és a szorzás elvégzése írásban az 1000-esszámkörben, több helyiértéken történ® átváltással is. A kivonás ellen®rzése.

A hosszúság-, az ¶rtartalom- és a tömegmérésr®l tanultak ismerete.

A fentiek alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok megoldásában, táblázatok kiegé-szítésében.

A téglalap, négyzet tulajdonságainak ismerete, tükörtengelyeik megrajzolása.


Az összeg, különbség és a szorzat helyes becslése tízesre kerekített értékekkel történ®számolással. Az eredmény ellen®rzése a becsült értékkel történ® összehasonlítással,kivonás ellen®rzése másik kivonással.

Összetett számfeladatok összeadásra, kivonásra, szorzásra; a m¶veletek sorrendjénekés a zárójelek használatának ismerete, alkalmazása.

A hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg tanult mértékegységeinek átváltása, ahosszúság-, az ¶rtartalom- és a tömegmérésr®l tanultak alkalmazása.

A fentiek alkalmazása összetett szöveges feladatok megoldásában, szöveggel adottfüggvények táblázatának kitöltésében, sorozatok képzésében, geometriai számítások-ban.

Rácson vagy parkettázással adott geometriai transzformáció szabályának felismerése.A transzformációval kapott kép adott vagy felismert szabály alapján történ® el®állításaszínezéssel, megrajzolása rácson.

Óra: 94{95. 105{106. 119{120. Hosszúságmérés kilométerrel

A kilométer fogalma. Mérések, becslések, feladatok a hosszúság tanult mértékegysé-geinek alkalmazásával, a tanulók mindennapi életével kapcsolatosan.

Folyamatos ismétlés: írásbeli szorzás, következtetés egyr®l többre.Kapcsolat a technika és a környezetismeret tantárgyakkal, illetve a mindennapi élettel.

Tk. 155/összefoglaló, 155/1., 156/2{6.; Gy. 144/1{4.

Óra: 96{97. 107{108. 121{122. �rtartalommérés hektoliterrel

A hektoliter fogalma; mérések, feladatok az ¶rtartalom tanult mértékegységeinek alkal-mazásával.

Folyamatos ismétlés: következtetés egyr®l többre.Kapcsolat a technika és a környezetismeret tantárgyakkal, illetve a mindennapi élettel.


26


Óra: 98{99. 109{110. 123{124. Tömegmérés grammal

A gramm fogalma; mérések, feladatok a tömeg mértékegységeinek alkalmazásával.Folyamatos ismétlés: következtetés egyr®l többre.Kapcsolat a technika és a környezetismeret tantárgyakkal, illetve a mindennapi élettel.


Óra: 100{101. 111{113. 125{127. Az id® mérése

Az id®mérésr®l tanultak felelevenítése. Napok átváltása órákra, órák átváltása percekre(az írásbeli szorzás alkalmazásával). A másodperc fogalma, átszámítások.

Folyamatos ismétlés: következtetés egyr®l többre.Kapcsolat a technika, környezetismeret tantárgyakkal, illetve a mindennapi élettel. Ha lehet®ségünk vanrá, akkor ebb®l az anyagrészb®l is tartsunk környezetismeret órával összevont kétórás foglalkozást.

Tk. 161/összefoglaló, 162/1{4., 163/5{11.; Gy. 147/13{17., 148/18{20., 149/21{24.

Óra: 102{103. 114{115. 128{129. Az osztás tulajdonságai

Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról tanultak rendszere-zése. A hányados változásainak meg�gyelése, analóg számítások. Szöveges feladatok.Összeg osztása, az írásbeli osztás el®készítése.

Tk. 164/példa, 164/1., 165/példa, 165/2., 166/3{4., 167/példa, 167/5{7.; Gy. 121/1{3.

Óra: 104{106. 116{119. 130{133. Osztó, többszörös

Ismerkedés az �osztója", �többszöröse" fogalmakkal, a kétjegy¶ számok oszthatóságá-nak vizsgálata a szorzótáblák közvetlen alkalmazásával.

A 2-vel, az 5-tel és a 10-zel való oszthatóság.

Számhalmazok vizsgálata, összehasonlítása. Számok csoportosítása egy vagy kétadott, illetve felismert szempont szerint, halmazábrák, táblázatok alkalmazása.

Állítások igazságának eldöntése, igaz és hamis állítások megfogalmazása. A logikai�és", ��, de nem", �sem �, sem", �minden", �van olyan, �" kifejezések használata.

Érdekes fejtör® (például kombinatorikai) feladatok.Folyamatos ismétlés: a szorzótáblák gyakorlása.A tanulók képességeinek megfelel® szinten és mélységben dolgozzuk fel ezt az anyagrészt. A feladatokegy részét folymatos ismétlés keretében, a problémameglátó és -megoldó képesség fejlesztése céljábóloldathatjuk meg.

Tk. 168/példa, 169/1{5., 170/példa, 171/6{10., 172/11{15.; Gy. 117/1{2., 118/3{6.,119/7{9., 120/10{11.; Fgy. 2.30{37.

Óra: 107{108. 120{121. 134{135. Írásbeli osztás

Az osztás értelmezéseinek felelevenítése: az osztás mint a szorzás inverz m¶velete, azosztás mint bennfoglalás, az osztás mint részekre osztás.

2000-nél nem nagyobb számok írásbeli osztása. Az osztás ellen®rzése.Folyamatos ismétlés: írásbeli szorzás.

Tk. 173{174/példa, 174/1{3.; Gy. 122/4{7., 123/8{9.

27


Óra: 109. 122. 136.

Az írásbeli osztásról tanultak gyakorlása, elmélyítése: 0 a hányadosban.Folyamatos ismétlés: írásbeli szorzás.

Tk. 175/példa, 175/4{5.; Gy. 124/10.

Óra: 110{111. 123{124. 137{138.

Az írásbeli osztás gyakorlása.

Az írásbeli osztás alkalmazása szöveges feladatokban.Folyamatos ismétlés: írásbeli szorzás, mérés, mértékegységek átváltása.

Tk. 176/6{9.; Gy. 124/11., 125/12{14., 126/15{16., 127/17{18.

Óra: 112{113. 125{126. 139{140. Következtetés többr®l egyre

Az írásbeli osztás alkalmazása gyakorlati jelleg¶ szöveges feladatok megoldására.Folyamatos ismétlés: írásbeli szorzás és osztás, mérés, mértékegységek átváltása.Kapcsolat a technika, környezetismeret tantárgyakkal, illetve a mindennapi élettel.

Tk. 177/példa, 177/1., 178/2{5.; Gy. 128/19{21., 129/22{24., 130/25{27., 131/28.

Óra: 114{115. 127{128. 141{142. Vegyes feladatok az osztásra

Az írásbeli osztásról tanultak gyakorlása, elmélyítése: a hányados változásainak meg�-gyelése (tapasztalatszerzés).

Tk. 179/1{4., 180/5{8.; Gy. 132/29{31., 133/32{34.



Az írásbeli osztás gyakorlása képesség szerinti di�erenciálással. Az esetleges hiányos-ságok pótlása.

Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról és osztásról, illetve a mérésekr®ltanultak alkalmazása összetett számfeladatokban, szöveges feladatok megoldásában,geometriai számításokban, szöveggel, táblázattal adott függvények vizsgálatában.

Oszthatósági vizsgálatok.

A számolási rutin, a szövegértelmez® és a problémamegoldó képesség di�erenciáltfejlesztése.

Az osztály tudásszintjének megfelel®en válogassunk a következ®, illetve a korábban fel nem dolgozottfeladatok közül.

Tk. 180/9., 181/10{13., 182/14{16., 183/17{19., 184/20{23.; Gy. 134/35{37., 135/38.,136/39{40.

Óra: 118. 131. 146{147. 5. felmérés


28



Természetes számok rendezése egy szempont szerint. Az oszthatósággal kapcsolatosalapvet® fogalmak ismerete.

1000-nél nem nagyobb számok írásbeli osztása egyjegy¶ osztóval. Az osztás ellen®rzé-se. Az írásbeli osztás alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok megoldásában.

A hosszúság-, az ¶rtartalom-, a tömeg- és az id®mérésr®l tanultak ismerete.


Természetes számok tulajdonságainak vizsgálata, rendezésük egyidej¶leg két szempontszerint. Az oszthatósággal kapcsolatos legalapvet®bb fogalmak alkalmazása.

2000-nél nem nagyobb számok írásbeli osztása egyjegy¶ osztóval. Az osztás ellen®r-zése. A hányados változásainak felismerése.

Az írásbeli összeadás, kivonás, szorzás és osztás alkalmazása összetett szám- ésszöveges feladatokban, szöveggel vagy táblázattal adott függvények vizsgálatában.

A m¶veletek helyes sorrendjének, illetve a zárójelek használatának ismerete és alkal-mazása.

A hosszúság-, az ¶rtartalom-, a tömeg- és az id®mérésr®l tanultak alkalmazása szöve-ges feladatokban, szöveggel vagy táblázattal adott függvények vizsgálatában, a táblázatkiegészítésében.

Óra: 119{120. 132{134. 148{150. Ismerkedés a törtekkel

A tört fogalmának alakítása (a számláló 1).

Különböz® mennyiségek (hosszúságok, id®tartamok, ¶rtartalmak) törtrészének fogalma.Törtrész el®állítása rajzzal, hajtogatással, kiméréssel stb.

Ugyanazon mennyiség különböz® törtrészeinek nagyság szerinti összehasonlítása.Folyamatos ismétlés: részekre osztás fogalma; mennyiségek, mértékegységek.

Tk. 185/példa, 186/1{4., 187/5{8., 188/9{14., 189/15.

Óra: 121{122. 135{136. 151{153.

A tört fogalmának alakítása (a számláló nem csak 1). Törtrész kiegészítése 1 egészre.Az 1 egész el®állítása a törtrész ismeretében.

Adott mennyiség törtrészeinek nagyság szerinti összehasonlítása.

Különböz® mennyiségek (hosszúságok, tömegek, id®tartamok, ¶rtartalmak) törtrészé-nek fogalma, el®állítása rajzzal, építéssel, kiméréssel stb.

Folyamatos ismétlés: mennyiségek, mértékegységek; a �deci-", a �centi-" és a �mili-" el®tag jelentésénektudatosítása;a terület és a térfogat fogalmának el®készítése, testek építése, a képi gondolkodás és a térszemléletfejlesztése.

Tk. 189/példa, 190/16{19., 191/20{25., 192/26{30.; Gy. 137/1{2., 138/3{5., 139/6{7.,140/8{10., 141/11{13.

29


Óra: 123{124. 137{138. 154{155.

Számok, mennyiségek törtrészének kiszámítása többr®l egyre, majd többr®l többrekövetkeztetéssel, az írásbeli szorzás és osztás alkalmazásával.A fentiekkel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása.

Ezt az anyagrészt a tanulók tudásszintjének, illetve a rendelkezésünkre álló id®nek megfelel® szinten ésrészletességgel dolgozzuk fel.Folyamatos ismétlés: mennyiségek, mértékegységek.

Tk. 193/példa, 193/31{33., 194/34{37.; Gy. 142/14{18., 143/19.

Óra: 125{126. 139{140. 156{157. Nagyítás, kicsinyítés

Az új anyag feldolgozásával párhuzamosan ismételjük át és rendszerezzük a geometriában eddig tanul-takat.

Nagyított, illetve kicsinyített kép el®állítása rácson, vetítéssel, építéssel stb. A nagyításés a kicsinyítés megkülönböztetése a �nyújtástól", �zsugorítástól", illetve egyéb (nemhasonlósági) transzformációktól.

A hasonló (mint ugyanolyan alakú) és az egybevágó (mint ugyanolyan alakú és méret¶)alakzatok felismerése.

Folyamatos ismétlés: az írásbeli m¶veletek és a szöveges feladatok megoldásának gyakorlása. A ge-ometriában tanult fogalmak (mer®legesség, párhuzamosság; tükrösség; téglalap, négyzet) ismétlése,rendszerezése. Igaz, illetve hamis állítások logikai értékének eldöntése.

Tk. 195/példa, 195/1{2., 196/3{4., 197/5{6.; Gy. 154/1{2., 155/3{4., 156/5.

Óra: 127{128. 141{142. 158{159. Alaprajzok, térképek

Alaprajzok, térképek értelmezése, készítése. Mérés (becslés, megmérés, kimérés). F®világtájak.

Tényleges mérések terepen, a tanterem, az iskolaudvar stb. alaprajzának elkészítése.Tájékozódás terepen térkép segítségével.

Célszer¶ a matematika, illetve a környezetismeret és a technika tanmenetét összehangoltan megszer-keszteni. Így lehet®ségünk nyílik arra, hogy összevont órák keretében koncentráltan dolgozzuk fel ezt azanyagrészt.Folyamatos ismétlés: Hosszúságméréssel, illetve a hosszúság mértékegységeinek átváltásával kapcso-latos gyakorlati feladatok, számítások. Az �ugyanolyan alakú" (hasonló), és az �ugyanolyan alakú ésméret¶" (egybevágó) fogalmak tudatosítása. Meger®síthetjük a �mer®leges", �párhuzamos", �metsz®",�téglatest", �kocka", �téglalap", �négyzet" fogalmakat is.

Tk. 198/példa, 199/1{3.; Gy. 157/6., 164/3.

Óra: 129{130. 143{144. 160{161. Kerület

Sokszögek kerületének meghatározása konkrét esetekben (a képleteket még nem tanít-juk meg, de szavakkal fogalmaztassuk meg a kiszámítás módját).

Az írásbeli m¶veletek alkalmazása a kerületszámítással kapcsolatos méréses és szöve-ges feladatokban.

Folyamatos ismétlés: számfogalom; az írásbeli m¶veletek gyakorlása. Hosszúságméréssel, illetve ahosszúság mértékegységeinek átváltásával kapcsolatos szöveges feladatok, számítások. Alaprajzokértelmezése. A téglalap, négyzet tulajdonságairól tanultak gyakorlása.

Tk. 200/példa, 200/1{2., 201/3{6.; Gy. 158/1{2.

30


Óra: 131{132. 145{146. 162{164. Terület

A területszámítás el®készítése, sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal.Átdarabolások.

Hasonló síkidomok kerületének, illetve területének összehasonlítása.Folyamatos ismétlés: a téglalap, négyzet tulajdonságairól tanultak ismétlése, gyakorlása.

A képi problémamegoldó gondolkodás optimális fejlesztése céljából a tanulók tudásszintjének megfelel®enválogassunk a következ® feladatok közül. A feladatok egy részét kés®bb, folyamatos ismétlés, illetveotthoni munka keretében is megoldathatjuk.

Tk. 202/1{3., 203/példa, 203/4{7., 204/8{11., 205/12{13., 206/14{16.; Gy. 159/1.,160/2{4., 161/5{7., 162/8{10.

Óra: 133{134. 147{148. 165{166. Testek építése, ábrázolása

Alaprajzok, nézeti rajzok értelmezése, a kicsinyítés és a nagyítás fogalma.Célszer¶ a technikában tanultakkal összevonva feldolgozni ezt az anyagrészt.

Tk. 207/példa, 207/1{2., 208/3{4.; Gy. 163/1{2.

Óra: 135{139. 149{154. 167{172. Ismétlés, rendszerezés

A helyiértékes írásmód tudatosítása.

M¶veleti tulajdonságok, m¶veletek közti összefüggések.

Az írásbeli m¶veletek alkalmazása összetett számfeladatokban, sorozatok hiányzó ele-meinek meghatározásában, egyenletek, egyenl®tlenségek próbálgatással történ® meg-oldásában, szöveges feladatokban, geometriai számításokban, szöveggel, táblázattaladott függvények vizsgálatában. Gra�konok.

A tanulók tudásszintjének megfelel®en válogassunk a korábban fel nem dolgozott, illetve a következ®feladatok közül. A feladatok egy részét kés®bb, a hiányosságok pótlása során is megoldathatjuk.

Tk. 215/1{5., 216/6{10., 217/11{15., 218/16{19., 219/20{23., 220/24{28., 221/29{31.,222/32{34., 223/35{39., 224/40.; Gy. 175/1{3., 176/4{7., 177/8{10., 178/11-12.,179/13{15., 180/16{20., 181/21{23., 182/24{26., 183/27{30., 184/31{32., 185/33{34.,186/35{36., 187/37., 188/38., 189/39{42., 190/43{44., 191/45{46.

A dolgozatok megíratása el®tt töltessük ki a Gyakorló 168/2. feladata táblázatának els®sorát.

Óra: 140. 155. 173. 6/I. felmérés


Óra: 141{142. 156{157. 174{175. 6/II. felmérés


A teljesítmények értékelése, az esetleges hiányosságok pótlása.

Föltétlenül tisztázzuk az esetleges hibák okát.

A hiányosságokat a folyamatos ismétlés keretében a tanév végéig pótoljuk.

Az év végi követelmények a tananyagbeosztás végén (a következ® oldalon) találhatók.

31


Óra: 143{144. 158{159. 176{177. Hányféleképpen?

Játékos kombinatorikai feladatok megoldása, többféle megoldási mód keresése.A tanulók képességeinek megfelel® szinten dolgozzuk fel, esetleg képesség szerinti csoportbontásban.

Tk. 209/példa; Gy. 165/1{4., 166/5{8., 167/9{11.

Óra: 145{146. 160{161. 178{179. Biztos, lehetséges, lehetetlen

Valószín¶ségi játékok. Biztos, lehetséges, de nem biztos, lehetetlen események (ta-pasztalatszerzés). �Nagy a valószín¶sége", �kicsi a valószín¶sége".

Kapcsolat a kombinatorikával.

Tk. 210/példa, 211/1{3.; Gy. 168/1{3., 169/4{5.; 192/47{49.

Óra: { 162{163. 180{183. Kitekintés 10 000-ig

A számokról tanultak kiterjesztése a 10 000-es számkörre. A 2000-nél nagyobb szám-nevek írása. Az írásbeli m¶veletek végrehajtása a 10 000-es számkörben.

Mértékegységek átváltása.A tanulók képességeinek megfelel® szinten dolgozzuk fel ezt a fejezetet. Id®hiány esetén esetleg el ishagyhatjuk.

Tk. 212/példa, 212/1. 213/példa, 213/2{5., 214/6{10.; Gy. 170/1{3., 171/4{7.,172/8{12., 173/13{15., 174/16{17.

Óra: 147{148. 164{166. 184{185. Matematikai játékok, vizsgálatok

A testméretekkel kapcsolatos év eleji mérések és vizsgálatok megismétlése. Az ered-mények összehasonlítása. A gyermekek mindennapi életével kapcsolatos statisztikaiadatok gy¶jtése, táblázatba rendezése, gra�konok, diagramok készítése.

Valószín¶ségi játékok.

Igaz, illetve hamis állítások logikai értékének eldöntése.Pótoljuk az esetleges hiányosságokat. A tanulók tudásszintjének és a helyi tanterv követelményeinekmegfelel®en válogassunk a még fel nem dolgozott feladatok közül.

Minimális teljesítmények az év végén

Számok írása, olvasása, helyes használata legalább 1000-ig, nagyság szerinti össze-hasonlításuk, felsorolásuk növekv®, illetve csökken® sorrendben. Számlálás tízesével,százasával. Számok bontása százasok, tízesek és egyesek összegére. Az alakiérték,helyiérték, tényleges érték ismerete.

A tízes, illetve a százas számszomszédok megállapítása, kerekítés tízesre, százasra.

Az egyjegy¶, a kétjegy¶, a háromjegy¶ és a négyjegy¶, illetve a páros és a páratlan,az 5-tel osztható, a 10-zel osztható, a 100-zal osztható számok felismerése. A számokszétválogatása e szempontok szerint. Számok közelít® helyének megtalálása tízesével,százasával beosztott számegyenesen.

Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás értelmezése.

32


Az összeg és a különbség helyes becslése százasra kerekített értékekkel számolva. Azösszeadás és a kivonás elvégzése írásban az 1000-es számkörben. Az összeadás és akivonás ellen®rzése.

A szorzótáblák biztos ismerete. Az egyjegy¶vel való írásbeli szorzás és osztás elvégzéseaz 1000-es számkörben. Az osztás ellen®rzése szorzással.

A fentiek alkalmazása egy m¶velettel megoldható, egyszer¶ szöveges feladatok megol-dásában.

Két m¶veletet tartalmazó, összetett feladatok megoldása, a m¶veleti sorrend és a záró-jelek használatának ismerete.

Modellr®l, rajzról törtrész leolvasása.

Egyszer¶ összefüggések összetartozó elempárjainak leolvasása táblázatból, gra�konról,diagramról. Táblázat kiegészítése egyszer¶ szabály alapján. Állandó különbség¶ sorozatszabályának felismerése, a sorozat folytatása.

A hosszúság-, ¶rtartalom-, tömeg- és id®mérés és a tanult mértékegységek, a köztüklév® kapcsolatok ismerete.

A párhuzamos és a mer®leges egyenespárok felismerése.

A téglalap, a négyzet, a téglatest és a kocka felismerése, tulajdonságaik és a fogalmakközti kapcsolatok ismerete.

Az egyszer¶ alakzatok tükrösségének felismerése.


A minimumszinten megfogalmazott követelményeket a 2000-es számkörben kell teljesí-teni.

A �nem", �és", �minden", �van olyan, �" kifejezések megértése, alkalmazása.

Alaphalmaz különböz® részhalmazainak megadása, elemek elhelyezése táblázatban,halmazábrán.

Számok közelít® helyének megtalálása kettesével, ötösével, húszasával, ötvenesévelbeosztott számegyenesen is.

Egyszer¶ oszlopdiagramok, gra�konok vizsgálata.

Az egyjegy¶, kétjegy¶, �, illetve páros és páratlan szám fogalmának alkalmazásalogikai feladatokban.

Az összeg és a különbség helyes becslése tízesre kerekített értékekkel számolva, aszorzat becslése például két érték közé szorítással. A becsült érték alkalmazása az ered-mény ellen®rzésében. A kivonás ellen®rzése az inverz kivonással is. Analóg számításokszorzásra, osztásra. Összetett számfeladatok megoldása, a m¶veletek sorrendjének ésa zárójelek használatának ismerete, alkalmazása.

Modellr®l, rajzról negatív szám leolvasása.

A hosszúság, az ¶rtartalom, az id® és a tömeg tanult mértékegységeinek átváltása.

A fentiek alkalmazása összetett szöveges feladatok megoldásában, szöveggel adottfüggvények táblázatának kitöltésében, sorozatok képzésében, mérésekkel kapcsolato-san.

Síkbeli tükrözés végrehajtása építéssel, négyzetrácson stb.

33

Hajdu program 3 3UJP3A 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

Módszertani ajánlások

A tananyagbeosztásban a felméréssel együtt mintegy 9 hetet szánunk a 2. osztálybantanultak átismétlésére. A program jellemz® vonása (a fels®bb osztályokban is), hogy eztaz ismétlést magasabb szinten, b®vebb számkörben, új ismeretek beépítésévelhajtjuk végre.

Átlagosnál jobb csoportban, ha a tanulók biztosan tudják a 2. osztályban tanultakat,rutinosan számolnak a 100-as számkörben, akkor néhány héttel lerövidülhet az ismét-lésre, a korábban tanultak elmélyítésére, kib®vítésére szánt id®. Az ilyen csoportoknaka következ® óratervet javasoljuk:

1{3. óra A számok 200-ig. Páros és páratlan számok.4{7. óra Összeadás és kivonás,

a tanultak kiterjesztése a 200-as számkörre.8{10. óra Szorzás, osztás.

Az 5-ös, 10-es és a 2-es szorzótábla ismétlése.Folyamatos ismétlés: az összeadás és a kivonás gyakorlása.

11{15. óra A további szorzótáblák átismétlése, gyakorlása.Folyamatos ismétlés: az összeadás és a kivonás gyakorlása.

16. óra Maradékos osztás.17{19. óra A m¶veletek sorrendje. Zárójelek használata.20{24. óra A mérésr®l, mértékegységekr®l tanultak felelevenítése.

Folyamatos ismétlés: Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.25{28. óra A geometriából tanultak ismétlése, elmélyítése

Folyamatos ismétlés: Összeadás, kivonás, szorzás, osztás,mértékegységek.

Az így felszabadult 5{10 órát többféle, egymást nem kizáró módon használhatjuk fel atanítás színvonalának emelésére:

Minden témakörben többet foglalkozunk a szöveges feladatokkal.

Külön órákat biztosítunk a dolgozatok javítására, az esetleges hiányosságok pótlására.

Néhány órában a Matematika 3{4. Feladatgy¶jtemény 1. fejezetének feladatait dol-gozzuk fel. Kés®bb az év folyamán újra és újra beiktatunk néhány órát az érdekes,fejleszt® feladatok megoldására.

Tartalékoljuk ezt az órakeretet kés®bbre, összetett szám- és szöveges feladatok, soro-zatok, függvények, egyenletek, egyenl®tlenségek megoldásának alapos gyakorlására.

Év végén több id®t szánunk a 10 000-es számkör megismerésére.

Ha heti 5 matematikaórát biztosít a helyi tanterv, akkor a tananyagnak ezt a színvonala-sabb feldolgozását már átlagos képesség¶ csoporttal is megvalósíthatjuk.

A következ®kben a tankönyv felépítéséhez igazodva részletezzük a tananyagbeosztást.

34


A számok 200-ig

Óra: 1{3. 1{3. 1{4.

Felelevenítjük, hogy mit tanultunk 2. osztályban a tízes számrendszerr®l, és kiterjesztjüka 200-as számkörre. Mélyítjük, tudatosabbá tesszük az egyjegy¶, kétjegy¶ számokróltanultakat, kialakítjuk a háromjegy¶ szám fogalmát. Cél, hogy a tanulók legyenekképesek helyiérték szerint bontani és képezni a számokat 200-ig. Tudják a számokatszámegyenesen ábrázolni, nagyság szerint összehasonlítani, rendezni.

Jó, ha ezen rutinok kialakítását sokoldalú szemléltetéssel, modellezéssel segítjük el®:táblázatba rendezés, kirakás játék pénzzel, számegyenes használata stb.

Fektessünk hangsúlyt a számok pontos, illetve közelít® helyének megkeresésére aszámegyenesen, igazodva a számegyenes beosztásához. Keressük meg a számokegyes és tízes szomszédait.

Tk. 5. oldal, mintapéldák: A tankönyvben zöld alapra szedve találjuk a kidolgozott min-tapéldákat, szemléltetéseket, magyarázatokat. Itt összegezzük a korábban tanultakat,illetve a feladatsorok feldolgozásával felfedezett új ismereteket, összefüggéseket is.

Összefoglaljuk, amit a számfogalom alakítása kapcsán a helyiérték szerinti bontásróleddig tanultunk, kiegészítve analóg példákkal, amelyek el®segítik a 200-as számkörrevaló továbblépést.

Tk. 6/1{3., 7/6.; Gy. 5/1., 6/3. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dé-sét. A tantárgyak közötti koncentrációban kapcsolódik a háztartásismerethez. Fontosnaktartjuk, hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a gyermek el®tt, illetve tudjon egyszámot többféle alakban megjeleníteni.

Gy. 5/2. feladat: A szám helyiérték szerinti bontott alakjának szemléltetése segít a 100-nál nagyobb számok nagyság szerinti összehasonlításában.

A tanulóknak el® kell állítaniuk a számot összeadással, meg kell állapítaniuk a négyszámosság közötti páronkénti relációt.

Gy. 7/6. feladat: A Gy. 5/2. feladatot b®vítettük azzal, hogy meg kell keresni a számokhelyét egyesével beosztott számegyenesen.

Tk. 6/4., 7/5.; Gy. 6/4{5., 7/7. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gya-koroltató feladatok. A bontott alak meg�gyelése segíti a számok összehasonlítását. Afeladatok megoldása során hívjuk fel a tanulók �gyelmét a számok helyesírására.

35


Tk. 7/7.; Gy. 8/10., 9/12. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt szá-mok felismertetésével, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a szám-fogalom fejl®dését.

Tk. 7/8.; Gy. 8/11. feladat: A számegyenesen a számok helyének meg�gyelése segítiaz egyes, illetve tízes szomszédok meghatározását. Az ilyen feladatnál, ha a gyermekigényli, engedjük a számegyenes használatát. Figyeltessük meg, hogy a 0, a 100, a200 is lehet egyes, illetve tízes szomszéd, valamint azt is, hogy mely számok lehetnekaz el®bb említetteknek egyes, illetve tízes szomszédaik. A kerekítések el®készítéseként�gyeltessük meg, hogy az 5-re végz®d® számok a számegyenesen ugyanolyan távolvannak mindkét tízes szomszédjuktól.

Gy. 7/8., 9/13. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása számegyenes segítségével. Afeladat megoldása kapcsán lehet®ség nyílik a <, =, >, 5, = fogalmak ismétlésére,illetve ezek tagadására (nem kisebb, nem egyenl®, nem nagyobb; jobb csoportokban anem kisebb-egyenl®, nem nagyobb-egyenl®).

Gy. 7/8. feladat: Jobb csoportokban megkérdezhetjük, hogy az adott számhalmazonmely számokra nem igaz az egyenl®tlenség.

96 < a < 10290 100 110

� � � � �

106 > b > 9290 100 110

� � � � � � � � � � � � �

153 5 c 5 161150 160 170

� � � � � � � � �

200 = d = 185 180 190 200� � � � � � � � � � � � � � � �

A megoldáshalmaz pontjai a számegyenesen nem köthet®k össze folytonos vonallal,hiszen a természetes számok halmaza az értelmezési tartomány.

Tk. 8/9{12.; Gy. 7/9. feladat: A tankönyv 8. oldalán lév® számtáblázat segíti a feladatokmegoldását. Amennyiben szükséges, minden feladatnál újra és újra �gyeltessük meg.

Tk. 8/9. feladat:

a) 10 b) 90 c) 101 d) 21 e) 111 f) 55 g) 100

Tk. 8/10. feladat: Törekedjünk az összes megoldás megkerestetésére. A megoldáskapcsán feleleveníthetjük az összeadás és a szorzás tulajdonságairól tanultakat. Például16 megoldása az e pontnak, akkor a 61 is, mert 1 � 6 = 6, illetve 6 � 1 = 6.

a) 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162, 172,182, 192

b) 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127,128, 129

c) 200

d) 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150

e) 16, 23, 32, 61, 116, 123, 132, 161

36


Tk. 8/11. feladat:

a) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

b) 21, 42, 63, 84

c) 12, 24, 36, 48

d) 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97

e) 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79

Tk. 8/12. feladat:

a) A legkisebb kétjegy¶ szám ! 10 >1

9 A legnagyobb egyjegy¶ szám.

b) A legnagyobb kétjegy¶ szám ! 99 >89

10 A legkisebb kétjegy¶ szám.

c) A legkisebb háromjegy¶ szám ! 100 >90

10 A legkisebb kétjegy¶ szám.

d) A legnagyobb kétjegy¶ szám ! 99 >90


e) A legkisebb háromjegy¶ szám ! 100 >91


Gy. 7/9. feladat:

a) 150 b) 109 c) 186 d) 100

e) 120 f) 200 g) 105 h) 100

Összeadás és kivonás

Óra: 4{6. 4{7. 5{8.

Elevenítsük föl az összeadás, illetve a kivonás különböz® értelmezéseit. Következetesenhasználjuk e két m¶velettel kapcsolatos elnevezéseket (lásd Tk. 11. oldal).

A szemléletre támaszkodva (játék pénz rakosgatásával, számegyenesen lépegetésselstb.) ismertessük fel azt az analógiát, amely az egyesek és a kerek tízesek összeadása,illetve kivonása között van. Törekedjünk arra, hogy minden tanuló biztosan hajtsa végreezeket a m¶veleteket a kerek tízesekkel, hiszen egyrészt ez az alapja a további szóbeliszámolásnak, másrészt az analógiák tudatos alkalmazása elmélyíti a számfogalmat is.

Az analóg számítások gyakoroltatása során �gyeltessük meg és tudatosítsuk, a követ-kez®ket:

az összeadás tagjai felcserélhet®k (az összeadás kommutatív), ezt a m¶veleti tulajdon-ságot felhasználhatjuk az összeadás eredményének ellen®rzésére;

a kivonásban a kisebbítend® és a kivonandó nem cserélhet® fel;

hogyan változik az összeg a tagok változásainak hatására;

hogyan változik a különbség a kisebbítend® vagy a kivonandó változásainak hatására;

az összeadás inverz m¶velete a kivonás;

a kivonás egyik inverz m¶velete egy összeadás, másik inverz m¶velete egy kivonás, azinverz m¶veletek segítségével ellen®rizhetjük a kivonás eredményét.

37


Az alsó tagozat egyik legfontosabb feladata, hogy minden tanuló önálló némaolvasás alapján képessé váljék egyszer¶ szövegek értelmezésére. Ezért mindentémakörben, szinte minden órán oldassunk meg szöveges feladatokat.

Tk. 9/1{2., 10/5{6., 11/9.; Gy. 12/1{2. feladat: A pénzhasználat, a számegyene-sen való lépegetés szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. Az eszközöket csak addighasználjuk, amíg a gyermek igényli. Figyeltessük meg az analógiákat. Például:

4 + 3 = 7 14 + 3 = 17 4 + 13 = 17

40 + 30 = 70 140 + 30 = 170 40 + 130 = 170

Gy. 10/16. feladat: Számok szétválogatása adott szempont szerint. Tudatosítsuk, hogya 0 is kerek tízes!

Kerek tízesek Nem kerek tízesek

20, 100, 0,

180, 200

32, 5, 83,

146, 125

Tk. 11. oldal, mintapéldák: A tankönyvben (zöld alapon) az összeadást és a kivonástértelmezzük. Meg�gyeltethetjük e m¶veletek tulajdonságait és a két m¶velet kapcsola-tát. Beszéljük meg, hogy egy-egy képr®l több relációt, illetve egyenletet is írhatunk.Mindegyiket szóban indokoltassuk. Emeljük ki a matematikában szokásos elnevezése-ket.

Gy. 12/3. feladat: Például az a feladatban több reláció, illetve egyenlet is írható a képr®l.

1 4 0 + 3 0 = 1 7 0 140 Ft-om volt, kaptam még 30 Ft-ot.

Így 170 Ft-om lett.

3 0 + 1 4 0 = 1 7 0 30 Ft-om volt, kaptam még 140 Ft-ot.

Így 170 Ft-om lett.

1 7 0 { 3 0 = 1 4 0 170 Ft-ból elköltöttem 30 Ft-ot.

Így 140 Ft-om maradt.

1 7 0 { 1 4 0 = 3 0 170 Ft-ból elköltöttem 140 Ft-ot.

Így 30 Ft-om maradt.

1 4 0 { 3 0 = 1 1 0 140 Ft mennyivel több, mint 30 Ft?

110 Ft-tal.

Tk. 9/3., 10/7., 12/10{12.; Gy. 13/4{6., 14/8{9., 15/11. feladat: Analóg számítások aszámolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg az összeg és a különbség változásait.

Tk. 9/4., 10/8.; Gy. 15/12. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyel-tessük meg az összeadás és a kivonás közti kapcsolatot. A szöveg alapján mondassukel, majd írassuk le a �matematika nyelvén" a szabály többféle alakját. Beszéljük meg,hogy mit jelent a bet¶szimbólum. Például a �P" nem a persely rövidítése, hanem aperselyben lév® pénzé. Figyeljük meg, mennyire képesek a tanulók követni a szabályt.

Tk. 9/4., feladat: A szabály lehet: P + T = Ö; T + P = Ö; Ö { P = T; Ö { T = P.

38


Gy. 15/12. feladat: A szabály leírása a matematika nyelvén:

Dávidnak és Editnek együtt 150 Ft-ja van. D +E = 150, E +D = 150Hány forintja lehet Dávidnak? 150 { E = DHány forintja lehet Editnek? 150 { D = E

D (Ft) 120 130 50 0 10 40 60 70 1

E (Ft) 30 20 100 150 140 110 90 80 149

Tk. 12/13. feladat: Kreatív gondolkodást fejleszt®, optimumszint¶ feladat. Kerestessünktöbbféle megoldást! Figyeltessük meg (szemléltetéssel), hogy ha az ábrákat elforgatjuk,tükrözzük, akkor csak látszólag kapunk más megoldást.

90 40 70

60 80

50

200

30 70 100

80 40

90 50 60

200

70 30 100

80 40

50 90 60

200

Tk. 13/14. feladat: Tapasztalatszerzés szintjén �gyeltessük meg az összeg változásait,ne várjuk minden gyermekt®l az általánosítást.

Ha egy összeg egyik tagja n® (csökken), és a többi tag nem változik, akkor az összegis ugyanannyival n® (csökken).

Ha egy kéttagú összeg egyik tagja n®, és a másik tag ugyanannyival csökken, akkor azösszeg nem változik. Ha szükséges, minden feladatot rakassunk ki játék pénzzel.

Tk. 13/15. feladat: Hasonlíttassuk össze a két mennyiséget. Figyeltessük meg, mikorn®, mikor csökken, mikor nem változik a két érték közötti különbség.

Tk. 13/16.; Gy. 13/7., 14/10., 15/13. feladat: Szöveges feladatok az összeadás, kivonásköréb®l. Javasoljuk, hogy el®ször a gyakorló rész feladatait oldassuk meg, mivel itt amegoldás lépéseit jelzi a könyv.

Az egy m¶velettel megoldható (nehezítést nem tartalmazó) egyszer¶ szöveges feladatokmegoldása minimumkövetelmény. Természetesen év elején még nem mindegyik tanulóképes önállóan megbirkózni ezekkel a szöveges feladatokkal. Ezért eleinte a megoldá-sok során újra és újra tudatosítsuk a szöveges feladatok megoldásának a menetét.

Például a Gy. 14/10. feladat megoldása:

a) Nórának 140 Ft-ja volt. 70 Ft-ért tízórait vásárolt. Hány forintja maradt?

Adatok: v = 140 Ft, t = 70 Ft, m = ?

Terv: m = v { t (Ft)

Számítás: Ellen®rzés:m = 1 4 0 { 7 0 = 7 0 7 0 + 7 0 = 1 4 0

Válasz: Nórának 70 Ft-ja maradt.

39


b) Beának 150 Ft-ja van, Édának 80 Ft-tal kevesebb. Hány forintja van Édának?

Adatok: B = 150 Ft, B 80> É, É = ? Ft

Terv: É = B { 80 (Ft)

Számítás: Ellen®rzés:

É = 1 5 0 { 8 0 = 7 0 7 0 + 8 0 = 1 5 0

vagy1 5 0 { 7 0 = 8 0

Válasz: Édának 70 Ft-ja van.

c) Dórának 70 Ft-ja van, 40 Ft-tal kevesebb, mint Gabinak. Hány forintja van Gabinak?

Adatok: D = 70 Ft, D<40 G, G = ? Ft

Terv: D = G { 40 (Ft) vagy G = D + 40 (Ft)

Számítás: Ellen®rzés:G = 7 0 + 4 0 = 1 1 0 1 1 0 { 4 0 = 7 0

Válasz: Gabinak 110 Ft-ja van.

Hívjuk fel a tanulók �gyelmét arra, hogy az adatok kigy¶jtésénél és a szöveges válaszsorán a mér®szám és a mértékegység nem választható el egymástól. Ezzel is el®készít-jük annak a szokásrendszernek az alakítását, amely olyan, mennyiségekkel kapcsolatosfeladatok megoldásánál válik szükségessé, amelyekben mértékváltás van.

Megjegyezzük, hogy most még a becslésnek nincs funkciója, hiszen a tanulók ele-ve kerek tízesekkel számolnak. Az eredmény ellen®rzésére már most szoktassuk rá atanulókat.

Szorzás és osztás

Óra: 7{8. 8{9. 9{10.

Felelevenítjük a szorzás és az osztás többféle értelmezését, de most sem jelöljük különjellel a bennfoglalást és a részekre osztást. Meg�gyeltetjük és tudatosítjuk az összeadásés a szorzás, az osztás és a szorzás közti kapcsolatot, illetve a szorzás tényez®inekfelcserélhet®ségét.

Az 5-ös és a 10-es szorzótábla ismétlése, ezek kapcsolatának vizsgálata. Soralkotásokötösével és tízesével növekv®, illetve csökken® sorrendben a számegyenes bejárásával.Az analógiák felismerésével a tanulók tapasztalatot szereznek kétjegy¶ számok 10-zelvaló szorzásáról is. Az így szerzett tapasztalatok egyrészt megalapozzák a számok ábrá-zolását ötösével, tízesével beosztott számegyenesen, másrészt a tanulók ismerkednekaz 5-tel és a 10-zel osztható számokkal, tehát a szorzótábla ismétlését összeköthetjüka számfogalom elmélyítésével.

Ha biztos számolási rutint akarunk kialakítani a gyengébben haladó tanulók esetébenis, akkor kell® id®t kell biztosítanunk a szóbeli m¶veletek gyakorlására. Ezt úgy old-hatjuk meg, hogy az összeadással, kivonással és a szorzásal, osztással kapcsolatosanyagrészeket egymással párhuzamosan dolgozzuk fel, és folyamatosan gyakoroltatjuk

40


mind a négy m¶veletet. Ezért ezeken az órákon is adunk fel feladatokat a kerek tízesekösszeadására, kivonására a 200-as számkörben.

A szöveges feladatok között a fogalomalkotás és a gyakorlati alkalmazás szempontjá-ból egyaránt fontos szerepet játszanak az egyenes arányossági következtetések (egyr®ltöbbre, többr®l egyre).

Tk. 15. oldal, mintapélda: A zöld alapon lév® mintapéldában a szorzást ismételt össze-adásként értelmezzük. Bemutatjuk, hogy egy képet többféleképpen értelmezhetünk,ennek következtében többféle egyenletet írhatunk róla. Ez a meg�gyelés vezet el annaka felismertetéséhez, hogy a szorzás tényez®i felcserélhet®k (a szorzás kommutatív).Ezért nem különböztetjük meg a szorzót a szorzandótól, hanem mint a kés®bbi mate-matikai tanulmányaikban is megszokott, tényez®kr®l beszélünk.

Tk. 14/1{4., 18/1.; Gy. 26/10. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájé-kozódást. A lépegetéssel szemléletessé tehetjük az összeadás és a szorzás kapcsolatát.Figyeltessük meg a 10-es és az 5-ös szorzótábla közti összefüggéseket!

Tk. 15/6.; Gy. 24/3. feladat: Az összeadás és a szorzás, a szorzás és az osztás közöttikapcsolatot, illetve a szorzás tényez®inek felcserélhet®ségét szemléltetik a feladatok.

A Tk. 15/6. feladat megoldása:

10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50; 5 � 10 = 50;5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 50; 10 � 5 = 50.

Gy. 24/3. feladat:

a) b)

7 � 5 = 3 5

5 � 7 = 3 5

3 5 : 5 = 7

3 5 : 7 = 5

1 0 � 2 = 2 0 2 0 : 2 = 1 0

2 � 1 0 = 2 0 2 0 : 1 0 = 2

c)0 30

6 � 5 = 3 0 3 0 : 5 = 6

5 � 6 = 3 0 3 0 : 6 = 5

Tk. 15/5.; Gy. 26/8. feladat: Az analógiákat meg�gyeltetve a kerek tízesek szorzását isértelmezhetjük a 200-as számkörben.

a) 5 + 5 + 5 = 15 3 � 5 = 15

50 + 50 + 50 = 150 3 � 50 = 150

Természetesen az 5 � 3 = 15, illetve az 50 � 3 = 150 is megoldása a feladatnak. Enneka nyelvi megfogalmazása lehet például: 50 Ft-ot háromszor tettem a borítékba.

Tk. 16/7{8. feladat: A bennfoglalás (mint ismételt kivonás) szemléltetése számegye-nesen való lépegetéssel. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, illetve az 5-telosztható számokról.

A feladatokkal el®készíthetjük a tízesével, illetve ötösével beosztott számegyenesenvaló tájékozódást.

41


Tk. 16/9{10. feladat: Az osztás értelmezését el®készít® feladatok.

A fogalom kialakítása szempontjából fontos, hogy az osztás mindkét értelmezéséreadjunk szöveges feladatokat, és a tanulóktól várjuk el a pontos szöveges választ. (Abennfoglalás eredménye egy arányszám, a részekre osztásé egy mennyiség.)

Mindkét esetben az elvont matematikai modell az osztás, ezért ne jelöltessük két külön-böz® jellel az osztás kétféle értelmezését.

Tk. 16/9. feladat:

b) Megnézzük, hányszor van meg a 20 Ft-ban az 5 Ft.

20 : 5 = 4 Ellen®rzés: 4 � 5 = 20

Válasz: 20 Ft-ban az 5 Ft 4-szer van meg.

20 Ft 4 ötforintosra váltható be.

Tk. 16/10. feladat:

b) 20 golyót 5 egyenl® részre osztunk:

20 : 5 = 4 Ellen®rzés: 5 � 4 = 20

Válasz: 4 golyót kap egy-egy gyermek.

Tk. 17. oldal, mintapéldák: Az osztást mint a szorzás inverz m¶veletét értelmezzük(lásd a zöld alapon a mintapéldákat). Tudatosítsuk az osztásban szerepl® elnevezéseket.Vetessük észre, hogy egy-egy képr®l többféle osztás olvasható le.

A részekre osztást és a bennfoglalást csupán a szöveges feladatok értelmezése soránés a szöveges válaszban különböztetjük meg, de nem használunk különböz® jelet, mertmindkét esetben az elvont matematikai modell az �osztás".

A m¶veletek közti összefüggések alapján meg�gyeltethetjük, hogy az osztás ellen®riz-het® szorzással vagy egy másik osztással.

Tk. 17/11. feladat: Az el®bb említett ismereteket mélyíti el a feladat. Megoldás például:

a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 b) 10 + 10 = 205 + 5 + 5 = 15 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20

3 � 5 = 15 10 � 2 = 205 � 3 = 15 2 � 10 = 20

15 : 3 = 5 20 : 2 = 10

15 : 5 = 3 20 : 10 = 2

Minden egyenletet szóban indokoltassunk.

Az 5-ös és a 10-es szorzótábla

Óra: 9{10. 10{11. 11{12.

Tk. 18/1{3.; Gy. 24/1{2., 26/9. feladat: A szorzótábla ismétlését, a 2. osztálybantanultak felelevenítését segít® feladatok. Figyeltessük meg a szorzótábla sorai köztikapcsolatokat. Tudatosíthatjuk, hogy a hiányzó tényez® megkeresésekor a szorzásfordított m¶veletét, az osztást hajtjuk végre.

42


Tk. 18/4{6. feladat: Maradékos osztás gyakorlása, maradékok meg�gyelése. A számokrendezése 10-zel való oszthatóság szerint. Tudatosítsuk, hogy a 0 osztható 10-zel, amaradék pedig nulla.

Tk. 19/8.; Gy. 26/11. feladat: Egy órán dolgozzuk fel ezeket a szöveges feladatokat!Törekedjünk az önálló szövegértelmezésre, megoldási modell keresésére. Kérjük amegoldás során a szöveges feladat megoldásának lépéseit!

Gy. 26/11. feladat:

a) Egy héten öt munkanap van. 8 hét hány munkanapból áll?

Adatok: 1 hét 5 mnap, 8 hét x mnap. Terv: x = 8 � 5

x = 8 � 5 = 4 0 Válasz: 8 hét 40 munkanapból áll.

Tk. 19. oldal, mintapélda; Tk. 19/9.; Gy. 10/14{15. feladat: A 10-es és az 5-ös szor-zótáblához kapcsolva tanítjuk a 10-esével, illetve 5-ösével beosztott számegyenesen aszámok közelít® helyének megkeresését. A mintapéldában (zöld alapon) megmutatjuk,hogyan lehet a számok közelít® helyét megkeresni. A feladatok ennek begyakorlásáraszolgálnak. A közelít® hely megtalálása fontos lépés a számfogalom fejl®désében, ezértkell® �gyelmet fordítsunk rá!

Tk. 19/7. feladat: Az 5-tel való oszthatóság vizsgálata során szerzett tapasztalatok al-kalmazására szánt feladat. A megoldás nem minimumszint¶ követelmény.

a) 15 : 0; 5

b) 1 5 : 0; 1; 2; 3; 4; 5

c) 16 : nincs megoldás

d) 10 : 0; 5

A 2-es szorzótábla

Óra: 11. 12. 13.

A 2-es szorzótábla ismétlése 20-ig, illetve analóg számítások kerek tízesekkel 200-ig a2-es szorzótábla közvetlen alkalmazásaként.

A kett®vel való oszthatóság vizsgálata, a maradékosztályok meg�gyelése, a korábbantanultak általánosítása.

A fél fogalma el®készíti a törtekhez kapcsolódó fogalomalkotást.

Soralkotások: számlálás kettesével növekv®, illetve csökken® sorrendben. Számok áb-rázolása kettesével beosztott számegyenesen.

Tk. 20/2{5.; Gy. 27/12{14., 28/16. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak felidézése,közvetlen alkalmazása.

Analóg számítások: kerek tízesek 2-szerese, illetve a 20 többszörösei. Szemléltetésjáték pénzzel.

43


Gy. 27/12. feladat:

a) 2 2 2 4 � 2 = 820 20

4 � 2 0 = 8 0

2 8 : 2 = 420 20

8 0 : 4 = 2 0

8 : 4 = 2 8 0 : 2 0 = 4

b) 2 2 6 � 2 = 1 2 6 � 2 0 = 1 2 0

2 2 1 2 : 2 = 6 1 2 0 : 6 = 2 0

2 2 1 2 : 6 = 2 1 2 0 : 2 0 = 6

20 20

20 20

20 20

Gy. 28/17. feladat: A táblázat kitöltésével újabb tapasztalatokat szerezhetnek a tanulóka 10-zel és az 5-tel, illetve a 2-vel és a 20-szal való osztás hányadosainak összehason-lításában.

Tk. 20/6. feladat: A maradékos osztás gyakorlását segít® feladat. El®készíti a páros,illetve a páratlan számok fogalmának a kiterjesztését a nagyobb számokra. Figyeltessükmeg, hogy kett®vel osztva milyen maradékokat kaphatunk (0, 1). Beszéljük meg, miértnem kaphatunk ezekt®l különböz® maradékot.

Tk. 21/7{12. feladat: Osztás 2-vel, 20-szal. Az osztás különböz® értelmezését bemutatófeladatsor (mint részekre osztás és mint bennfoglalás). Beszéljük meg a �valaminek afele" fogalom jelentését.

Újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy azosztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó ismeretlen), másik fordítottm¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók azosztandó és a hányados, illetve az osztó és a hányados változásairól!

Gy. 28/18. feladat: Pénzhasználathoz kapcsolódó szöveges feladatok a 2-es, az 5-ös ésa 10-es szorzótábla és az analóg számításokkal kapcsolatosan tanultak alkalmazására.Ha szükséges, egy-egy feladatnál használhatnak játék pénzt a tanulók.

Páros és páratlan számok

Óra: 12. 13. 14.

A 2-es szorzótáblához kapcsolódva a számegyenesen való lépegetések meg�gyelésesorán a páros, illetve a páratlan szám fogalmának az általánosítására kerül sor. A tanu-lókkal mondassuk el a feladatmegoldás során szerzett tapasztalataikat. (Ne szabályokattanítsunk!) Figyeltessük meg, hogy a kerek tízesek párosak (a 0 és a kerek százasokis kerek tízesek), így elegend® csupán az egyesek helyén álló számot vizsgálni. Haaz egyesek helyén álló szám páros, akkor maga a szám is páros, ellenkez® esetbenpáratlan.

Tk. 20/1.; Gy. 27/15., 11/17. feladat: A számegyenesen kettesével lépegetve meg�gyel-tetjük, hogy páros vagy páratlan számokra lépünk-e. Vizsgáljuk meg a páros (páratlan)számok egyes szomszédait. Páros számok egyes szomszédai páratlanok, és fordítva.

44


Gy. 27/15. feladat: Kettesével növekv® számtani sorozat elemeit meg�gyelések alapjánábrázoljuk a kettesével beosztott számegyenesen.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

50 52 54 56 58 60 62 64 66 68

130 132 134 136 138 140 142 144 146 148

Tk. 22. oldal, mintapélda; Tk. 22/1.; Gy. 11/18. feladat: A zöld alapon lév® ábraszemlélteti, hogy a kerek százasok, kerek tízesek párosak, így az egyesek helyén állószám dönti el a szám paritását. A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítésétszolgálják.

Tk. 22/2{3. feladat: A kett®vel való osztás, illetve a kett®vel való osztás maradékai-nak meg�gyelésére irányuló feladatok. Beszéljük meg, hogy pontosan azok a számokpárosak, amelyek 2-vel osztva 0-t adnak maradékul.

Tk. 22/4.; Gy. 11/19. feladat:

Számok rendezése paritásuk szerint. Hívjuk fel a �gyelmet arra, hogy a 0 is páros szám.

Tk. 22/5. feladat: A 2-vel való oszthatóság vizsgálata során szerzett tapasztalatok al-kalmazására szánt feladat. A megoldás nem minimumszint¶ követelmény.

a) 15 : 0; 2; 4

b) 1 5 : nincs megoldás

c) 16 : 1; 2; 3; 4; 5

d) 10 : 0; 2; 4

A m¶veletek sorrendje

Óra: 13. 14. 15.

A m¶veletek sorrendjével már 2. osztályban is foglalkoztunk. Az ott tanultakat elevenítjükföl és alkalmazzuk szöveges feladatok és összetett számfeladatok megoldásánál, analógszámításokhoz kapcsolódóan is.

Tk. 23. oldal, mintapéldák: Felidézzük a m¶veleti sorrendr®l tanultakat:

Ha csak egyenrangú m¶veletek szerepelnek a m¶veletsorban (összeadás, kivonás, il-letve szorzás, osztás), és nem szerepel zárójel, akkor balról jobbra haladhatunk am¶veletvégzésben.

Ha nem csak egyenrangú m¶veletek szerepelnek a m¶veletsorban, és nem szerepelzárójel, akkor a szorzást, osztást végezzük el el®ször, majd az így kapott eredményekkelaz összeadást és a kivonást.

45


A szorzást és az osztást ebben az esetben ne tegyük zárójelbe. Tanuláslélektani meg-fontolásból jobb, ha a zárójelet csak a szükséges esetekben tesszük ki. Ugyanis hafeleslegesen használjuk a zárójelet, akkor kialakulhat az a rossz szokás, hogy csak azárójelek esetén �gyel a tanuló a m¶veletek helyes sorrendjére, és nem rögzülnek a fentrészletezett szabályok.

A zárójelek használatát kés®bb, a m¶veleti sorrendr®l tanultak begyakorlása után érde-mes felelevenítenünk és begyakoroltatnunk.

Tk. 23/1.; Gy. 29/19. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlá-sára. A számolás el®tt a tanulók tervezzék meg és írják be a kis körökbe a m¶veleteksorrendjét.

Tk. 23/2.; Gy. 29/21{22. feladat: Összetett szöveges feladatok.

A Tk. 23/2. feladatsor feldolgozását egy órára javasoljuk. Segítségével felmérhetjükaz ért® szövegolvasást. Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel azösszefüggéseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt.

Ne feledkezzünk meg a szöveges feladat megoldási lépéseir®l!

Gy. 29/21. feladat: A tervhez hozzátartozik a m¶veleti sorrend megtervezése is.

A: gy = 120, cs = 8, 1 csónakba 5 gyerek fér, m = ?

T: m = gy2:{ cs

1:� 5 m = 1 2 0 { 5 � 8 = 8 0

V: m = 80. 80 gyerek maradt a táborban.

Gy. 29/20. feladat: Függvényre vezethet® szöveges feladat. A feladat megoldása atáblázat kitöltése. Figyeljünk az összefüggések felismerésére és a szabálykövetésre.

Beszéljük meg, hogyan jelölhetjük bet¶kkel az egyes mennyiségeket. Például:

Ennyi pénz volt = V; ennyi 5 -os = Ö; ennyi pénz marad = M.

Szabály lehet: V { Ö � 5 = M.

Ennyi pénz volt V 42 95 100 148 167 180 156 113

Ennyi 5 -os Ö 4 8 10 20 6 30 30 20

Ennyi pénz marad M 22 55 50 48 137 30 6 13

Hosszúságmérés

Óra: 14{15. 15{17. 16{18.

A hosszúságmérésr®l tanultak felidézését konkrét mérésekhez, meg�gyelésekhez kap-csoljuk. A hosszúságok összehasonlítása, megmérése, kimérése, összemérése történ-het alkalmilag választott egységgel vagy a szabványmértékegységek közül centiméter-rel, deciméterrel, méterrel. Minél többet mérnek a gyermekek, annál több tapasztalatuklesz a mértékegységek közti kapcsolatról, illetve a mér®szám és a mértékegység közöttikapcsolatról.

46


A matematika, a környezetismeret és a technika tananyaga és követelményrendszereátfedéseket tartalmaz. Sokkal hatékonyabban fejleszthetjük a tanulók ismereteit és ké-pességeit, ha ennek az anyagrésznek a tárgyalását tanmenetileg is összehangoljuk ahárom tantárgyban.

Fontosnak tartjuk, hogy a méréseket minden esetben el®zze meg a hosszúságok becs-lése, majd a mérést kövesse a becsült érték és a ténylegesen mért eredmény összeha-sonlítása (ezzel is fejlesztve a gyermekek térbeli tájékozódását).

A Kerettanterv statisztikából, illetve környezetismeretb®l el®írt követelményeit �gyelembevéve az adatokat föltétlenül dolgozzuk fel statisztikai szempontból is. Például:

Rendezzük nagyság szerint az adatokat, állapítsuk meg a legnagyobb, a legkisebb,illetve a középs® értékeket (számtani közép, módusz, medián). Külön színnel ábrázol-juk és hasonlítsuk össze a lányok és a �úk adatait. Vizsgáljuk meg, hogy melyik értékhányszor fordul el® (ezt is ábrázolhatjuk oszlopdiagramon). Mérjük meg év elején, majdév végén ugyanazokat a dolgokat, például a tanulók testméreteit (testmagasság, fejkör-méret, lábfej hossza stb.). A mérési adatokat ábrázoljuk közös diagramban. Vizsgáljuka változásokat.

Gy. 75/1{2. feladat: A különböz® mennyiségek és mér®eszközeik párosítása. Átismé-teljük, mit mivel mérünk. Elevenítsük fel a mérésr®l, mér®eszközökr®l, mennyiségekr®l(mértékegység és mér®szám), különböz® mennyiségek mértékegységeir®l tanultakat.

Gy. 75/3. feladat: A pohár tejhez tartozó mértékegység és mér®szám lehet a 2 dl (lehetekkora az ¶rtartalma), 20 dkg (ennyi lehet a tömege), illetve az 5 perc (ennyi id® alatttudom meginni).

A szelet kenyérhez tartozó mértékegység és mér®szám lehet a 3 dkg (lehet ekkora atömege), az 5 perc (ennyi id® alatt tudom megenni), illetve az 1 cm (ilyen vastag lehet).

Gy. 75/4. feladat: A tanulók számára érdekes és tanulságos lehet, ha ezeket az adatokatév végén is megmérjük, és az eredményeket összehasonlítjuk. (Kapcsolat a környeze-tismeret követelményeivel.)

A testnevelésórán egyéb adatokat is megmérhetünk.

Tk. 24. oldal, összefoglaló: A hosszúság-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel.Meg�gyeltetjük az 1 méter, az 1 deciméter és az 1 centiméter közötti kapcsolatot.

Tk. 24/1., 25/7. feladat: Mélyíti a mértékegységekr®l tanultakat becslésekkel, mérésiadatok összehasonlításával.

Tk. 25/7. feladat:

a) 135 dm helyett 135 cm;

b) 5 m helyett 5 cm;

c) 7 cm helyett 7 dm.

Tk. 25/2.; Gy. 76/5{6. feladat: Mennyiségek ki- és megmérése kapcsán gyakoroltatjuka vonalzó használatát. Követeljük meg, hogy a tanulók soha se feledkezzenek meg abecslésr®l, és törekedjenek a pontos munkavégzésre.

47


Gy. 76/5. feladat:

Az a oldalnál hosszabb: b , c , e

Az a oldalnál nem hosszabb: f , d

A b oldal felénél rövidebb: a , d , f

A d oldal kétszeresénél hosszabb: b , e

a b c d e f

Mérés 3 cm 8 cm 4 cm 2 cm 7 cm 3 cm

Gy. 77/7{8. feladat: Konkrét becslések, mérések végrehajtása, az adatok táblázatbarendezése, összehasonlítása. (Kapcsolat a technikával.)

Tk. 25/3{6.; Gy. 78/9., 80/12{17. feladat: Mértékváltások gyakorlása. A folyamatosismétlések kapcsán sok ezekhez hasonló feladatot adjunk az ismeretek mélyítésére.

Tk. 26/8., 27/9{10.; Gy. 78/10., 79/11. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapél-dáknak tekintsük, és az osztály tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontokszerint, ábrázoltassuk gra�konon, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat.

A feladatok feldolgozásával nagyon összetett nevelési és oktatási célokat érhetünk el:számfogalom elmélyítése, a függvényfogalom el®készítése, tapasztalatszerzés elemistatisztikai vizsgálatokról, a matematika gyakorlati hasznosságának tudatosítása. Kap-csolat a technikával és a környezetismerettel (háztartási ismeretek, egészségtan stb.).Ezért kell® id®t biztosítsunk a feladatok megoldására.

Tk. 27/9. feladat:

Ki a legalacsonyabb �ú? F. S.

Ki a legmagasabb �ú? H. S.

Hány �ú magasabb 130 cm-nél? 4 (B. L., H. S., P. A., T. P.)

Hány �ú alacsonyabb 130 cm-nél? 5 (A. K., E. E., F. S., P. T., V. Z.)

Kinek a magassága 130 cm? 2 (B. M., N. L.)

Tk. 27/10. feladat:

Mennyi az osztály létszáma? 23 f®

Melyik a leggyakoribb fejkörméret? 50 cm

Melyik a legkisebb fejkörméret az osztályban? 47 cm

Melyik a legnagyobb fejkörméret az osztályban? 53 cm

Hány gyereknek van 48 cm-es fejkörmérete? 4

Hány gyereknek van 50 cm-nél nagyobb fejkörmérete? 7

Tk. 27/11.; Gy. 81/18{19. feladat: Beszéljük meg, hogy a mennyiségekkel kapcsolatosszöveges feladatok adatainak lejegyzésekor ügyelni kell a mértékegységek egyezteté-sére. Az adatok lejegyzése lehet egy megfelel® ábra, vagy táblázat is.

A számításokat a mér®számokkal végezzük. Itt nem célszer¶ jelölni a mértékegységeket.

A szöveges válaszban az eredmény tükrében újra kell értelmezni a szöveget, ekkor amér®szám �visszanyeri" a dimenzióját. Megint fontos, hogy a mennyiség tartalmazza amértékegységet is.

48


Például a Gy. 81/18. a) feladat megoldása:

Egy 2 m hosszú szalagból levágunk 5 dm-t. Milyen hosszú szalag marad?

2 m = 20 dmz }| {

| {z }

5 dm

Terv és számolás:

2 0 { 5 = 1 5

Válasz: 1 m 5 dm hosszú szalag marad.

Az ¶rtartalom mérése

Óra: 16. 18. 19.

Az ¶rtartalommérésr®l a 2. osztályban tanultak áttekintése, felidézése. Becsültessük ésméressük meg, majd hasonlíttassuk össze néhány mindennapi életben használt edény¶rtartalmát. Méressünk ki adott ¶rtartalmú vizet (homokot vagy f¶részport). Figyeltessükmeg az 1 liter, az 1 deciliter és az 1 centiliter közötti kapcsolatot. Beszéljük meg, hogya �deci" szót �tized", a �centi" szót �század" értelemben használjuk (ezek latin eredet¶szavak). Ismételjük át a tized, század fogalmakat.

A tanulók tanulják meg a fürd®szobamérleg használatát saját tömegük mérésére, illetvea konyhamérleg használatát tárgyak megmérésére, kimérésére. (A �deka" és a �kilo"görög eredet¶ szavak jelentését csak kés®bb tudjuk megbeszélni.)

Jól gyakoroltassuk be a tanult mértékegységek átváltását a tanult számkörben.

Ebben a témakörben is fontos feladat a diagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata,készítése, a mérési adatok statisztikai feldolgozása, valamint a mérésekkel kapcsolatosismeretek alkalmazása szám- és szöveges feladatokban, kapcsolódva a környezetisme-rethez és a technikához.

Tk. 28. oldal, összefoglaló: A zöld alapon az ¶rtartalom mértékegységeir®l 2. osztály-ban tanultakat idézzük föl és foglaljuk össze.

Tk. 28/1.; Gy. 84/27. feladat: Becslési és mérési eredmények összehasonlításávalmélyítjük az ¶rtartalom mértékegységeir®l tanultakat. Figyeltessük meg a mér®számés a mértékegység közötti kapcsolatot. Ha ugyanazzal az egységgel nagyobb (kisebb)mennyiséget mérünk, a mér®szám nagyobb (kisebb) lesz. Ha ugyanazt a mennyiségetnagyobb (kisebb) mér®egységgel mérjük, a mér®szám kisebb (nagyobb) lesz.

Gy. 84/28. feladat: A tanulók a nyilak behúzása el®tt váltsák át a mértékegységeket.Beszéljük meg, hogy a �nem több" jelentése: �kevesebb vagy ugyanannyi", ezért mindenadatból saját magába visszatér® nyilat is kell rajzolnunk.

1 l 3 dl 13 dl 13 dl1 l 3 dl

103 cl 1 l 33 cl 1 l 33 cl103 cl

49


Tk. 28/2., 29/3{6.; Gy. 84/29. feladat: Mértékváltások gyakorlása.

Tk. 29/7. feladat: Mérési adatokból gra�kon készítése, illetve adatok leolvasása agra�konról. Statisztikai adatok elemzése.

A tömeg mérése

Óra: 17. 19. 20{21.

A tömegmérésr®l tanultak ismétlését is célszer¶ összehangolni a környezetismeretbenebben a témakörben tanultakkal. Így ezt az anyagrészt környezetismeret-órával össze-vonva két órában igen hatékonyan dolgozhatjuk fel.

Tk. 30. oldal, összefoglaló; Tk. 30/1{2.; Gy. 86/33. feladat: A tömegmérésr®l és mér-tékegységekr®l 2. osztályban tanultakat idézzük föl és terjesztjük ki a 200-as számkörre.Meg�gyeltetjük a kilogramm és a dekagramm közötti kapcsolatot. A �század" fogalmát a�részekre osztás" fogalmára támaszkodva részletesen el kell magyaráznunk.

A feladatok megoldását el®zze meg a gyermek környezetében lév® tárgyak tömegénekbecslése, mérése, összehasonlítása.

Tk. 31/3{4.; Gy. 86/34{35. feladat: A tankönyvi részben lév® feladat a tömegmérésselkapcsolatos statisztikai elemzésekre mutat példát, míg a gyakorlóban lév® feladatokmegoldása feltételezi a tényleges vizsgálat elvégzését:

mérés, adatgy¶jtés, az adatok lejegyzése;a mért adatok nagyság szerinti rendezése;az adatok ábrázolása gra�konon, a �úk és lányok adatainak megkülönböztetése.

További vizsgálatok lehetnek:

a sorban középs® érték (medián) meghatározása;a legnagyobb és a legkisebb érték közti különbség (terjedelem) meghatározása;a lányok és a �úk adatainak összehasonlítása.

Érdekes lehet a mérések év végi megismétlése és a két adatsor összehasonlítása.

Kerek tízesek hozzáadása, elvétele

Óra: 18{19. 20{21. 22{23.

Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 200-as számkörben. Kerek tízesek hozzáadásaegy számhoz, kivonása egy számból.

Analóg számítások végzése: a 100-as számkörben, illetve a kerek tízesekkel végzettm¶veletek során elsajátított számolási eljárásokat és az összeg, különbség változásairóltanultakat alkalmazva léphetünk tovább.

A tanultak alkalmazása összetett szám- és szöveges feladatok megoldásában (az átis-mételt szorzótáblákhoz kapcsolódva), sorozatok folytatásában, táblázatok kiegészítésé-ben.

50


A szöveges feladatok alkalmasak a különböz® mennyiségekr®l és mértékegységekr®ltanultak folyamatos ismétlésére.

A feladatok egy részét a következ® órákon, folyamatos ismétlésként (részben otthonimunkában) dolgoztassuk fel.

Tk. 32/1., 33/5. feladat: Szükség esetén több hasonló feladatot oldjanak meg a gyer-mekek. Az összeadás játék pénzzel való kirakása segíti a feladatok megoldását. Haszükséges, többször is végeztessük el a kirakást. Figyeltessük meg az analógiákat!Ezek alkalmazása biztosabbá teszi a m¶veletvégzést.

Kés®bb a számkör b®vítésénél építhetünk az itt szerzett tapasztalatokra.

Tk. 32/2{4., 33/6{8.; Gy. 16/14{17. feladat: Figyeltessük meg az összeg, különbségváltozását, az összeadás és a kivonás közti kapcsolatot. Fedeztessük fel az analógiákat!

Tk. 34/9. feladat: Sorozat folytatása felismert szabály alapján.

Tk. 34. oldal, mintapélda: Figyeltessük meg és beszéljük meg a megoldás lépéseit:

adatok kigy¶jtése az adatok közti kapcsolat jelzésével (a szöveg elemz® értelme-zése), szükség esetén a mértékegységek megfelel® átváltása,

terv készítése,

a számítás elvégzése,

a számítás ellen®rzése a szöveg alapján is (a m¶veleti tulajdonságok vagy a m¶-veletek közti kapcsolat alkalmazásával),

szöveges válasz, mennyiségek esetén a megfelel® mértékegység alkalmazásával(a szöveg újraértelmezése magasabb szinten az eredmény alapján).

Tk. 34/10.; Gy. 17/18. feladat: Egyenes, illetve fordított szövegezés¶, egy m¶velettelmegoldható egyszer¶ szöveges feladatok.

Egy-egy összetartozó feladatsort célszer¶ egy órán földolgoztatni. A feladatok meg-oldása során ne elégedjünk meg csupán az eredménnyel, hanem kérjük számon afeladatmegoldás lépéseit.

Gy. 17/20. feladat: Táblázattal adott számpárokhoz szabály keresése, szabály alapjána táblázat kitöltése.

Szabály: a { 50 = b, b + 50 = a, 50 + b = a, a { b = 50

a 106 132 200 113 158 121 185 197 146 93

b 56 82 150 63 108 71 135 147 96 43

Tk. 34/11. feladat: Szöveggel adott függvény. A szabályt mondassuk el többféle alak-ban!

A felismert szabály alapján töltessük ki a táblázatot!

Szabály: I + J = 156, J + I = 156, 156 { J = I, 156 { I = J

I (dkg) 110 66 70 150 1 16 126 151 46 100

J (dkg) 46 90 86 6 155 140 30 5 110 56

Tk. 35. oldal, mintapélda: Olyan két m¶velettel megoldható összetettebb szövegesfeladat, amelyben mértékegységek átváltására is szükség van a feladat megoldásához.

51


Az adatok kigy¶jtésénél a mér®szám és a mértékegység elválaszthatatlanok.

A megoldás terve egy matematikai modell, ahol már nem szerepeltetjük a mértékegysé-get. A számolásnál sem.

A szöveges válaszban az eredményt újra a megfelel® mértékegységgel kell megadni.

Tk. 35/12.; Gy. 17/19. feladat: Összetett szöveges feladatok, amelyek megoldásasorán alkalmazzuk a m¶veleti sorrendr®l tanultakat.

Szoktassuk rá a tanulókat, hogy az adatok kigy¶jtésénél hajtsák végre a szükségesmértékváltásokat.

Tk. 35/13. feladat: Összetett számfeladatok az átismételt szorzótáblák és a m¶veletisorrend folyamatos gyakorlására.

A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla

Óra: 20{21. 22{23. 24{25.

A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla ismétlése jó alkalmat biztosít a szorzótáblák köztikapcsolatok vizsgálatára. Soralkotások: számlálás hármasával, hatosával, kilencesé-vel. Végeztessünk analóg számításokat kerek tízesek szorzására, osztására a 200-asszámkörön belül.

A folyamatos ismétlés anyagát az összetett szám- és szöveges feladatok köréb®l vá-lasszuk. Szükség esetén gyakoroltassuk az összeadást és a kivonást is.

Tk. 36. oldal, mintapéldák: Színesrudak segítségével szemléltetjük az összeadás ésa szorzás, illetve a kivonás és a szorzás közötti disztributív kapcsolatot. (A zárójelekhasználatának el®készítése.) Gyengébb csoportokban, ha szükséges, más számokkalis rakassuk ki, �gyeltessük meg ezeket az összefüggéseket!

Szánjunk kell® id®t a szorzótáblák közti kapcsolat tudatosítására, mert ez biztosabbszámolási rutint eredményezhet!

Tk. 37/1{2.; Gy. 30/23{25. feladat: A táblázatok kitöltése során meg�gyeltethetjük,alkalmaztathatjuk a szorzótáblák közötti kapcsolatokat.

Például a Gy. 30/23. feladat megoldásakor, ha bet¶szimbólumokat vezetünk be, akkorkönnyebben leírhatjuk a meg�gyelt összefüggéseket:

Rudak száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

V: Világoskék (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

L: Lila (cm) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

S: Sötétkék (cm) 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99

Kapcsolatok a táblázat egyes sorai között például:

V � 2 = L, V � 3 = S, L : 2 = V, S : 3 = V, S : 3 � 2 = L, L : 2 � 3 = S, V + L = S.

Tk. 37/3{5., 39/6{8.; Gy. 30/26., 31/27., 32/30. feladat: A számolási rutin fejlesztésétsegít® feladatok. Figyeltessük meg az analógiákat.

52


Tk. 38. oldal, mintapéldák: Játék pénz segítségével az osztás különböz® értelmezésé-re mutatunk példát. Az osztás mint részekre osztás, mint bennfoglalás, mint a szorzásinverz m¶velete.

Az írásbeli osztás el®készítése szempontjából fontos a hányados változásainak meg�-gyeltetése, és ennek alkalmazásával a kerek tízesek osztása a 200-as számkörben.

Tk. 39/9., 40/10., 40/12.; Gy. 31/28., 32/32{33. feladat: Szöveges feladatok aszorzás és az osztás gyakorlására. Fontos feladat a szöveg értelmezése, a megfelel®matematikai modell elkészítése, a számolás, az ellen®rzés és a szöveges válasz is.Hívjuk fel a �gyelmet a helyes m¶veleti sorrendre.

Gy. 31/29. feladat: Szöveggel adott függvény egyenletének leírása többféle alakban,majd a szabály alapján a táblázat kitöltése.

a) Szabály: A � 2 = B, 2 � A = B, B : 2 = A, B : A = 2

A 5 6 0 10 7 15 14 50 25 34

B 10 12 0 20 14 30 28 100 50 68

b) Szabály: N : 3 = U, U � 3 = N, N : U = 3

N 12 15 0 21 30 27 24 36 90 63

U 4 5 0 7 10 9 8 12 30 21

Tk. 40/11.; Gy. 32/31. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlá-sára, a számolási rutin fejlesztésére, a folyamatos ismétlésre.

Maradékos osztás

Óra: 22. 24. 26{27.

A szorzótáblák ismétléséhez kapcsolódva foglalkozunk a maradékos osztás fogalmával,elvégzésével. Ha szükséges, többféleképpen szemléltessük a maradékos osztást. Pél-dául: játék pénzzel; számegyenesen való lépegetéssel; korongok, pálcikák, színesrúdkirakásával.

A következ® órákon ismételten térjünk vissza a maradékos osztás folyamatos gyakor-lására. A vizsgálatok szerint ez a leghatékonyabb módja a szorzótábla alkalmazásraképes megtanításának, az írásbeli osztás el®készítésének.

Figyeltessük meg az osztás maradékait különböz® osztók esetén. (Ismerkedés a mara-dékosztályokkal.)

A tanulók ne feledkezzenek meg az ellen®rzésr®l!

Tk. 41. oldal, mintapélda: Szöveges feladat megoldása kapcsán mutatjuk be a mara-dékos osztás elvégzését, írásmódját, ellen®rzését, a szöveges feladatra adott választ.

Tk. 41/1.; Gy. 33/34{35., 34/39. feladat: A maradékos osztás értelmezése, gyakorlása,ellen®rzése.

53


Gy. 33/35. feladat:

15 Ft 19 Ft 20 Ft1 5 : 2 = 7

11 9 : 2 = 9

12 0 : 2 = 1 0

0

7 � 2 + 1 = 1 5 9 � 2 + 1 = 1 9 1 0 � 2 = 2 0

24 Ft 36 Ft 45 Ft2 4 : 5 = 4

43 6 : 5 = 7

14 5 : 5 = 9

0

4 � 5 + 4 = 2 4 7 � 5 + 1 = 3 6 9 � 5 + 0 = 4 5

Gy. 33/36{38. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése. Az osztásmaradékának meg�gyelése.

Gy. 33/36. feladat:

Váltsd be az 1 -osokat 10 -osokra! Hány forint marad?

Ennyi 1 -os van 46 75 100 107 140 63 121 159

Ennyi 10 -osra váltható 4 7 10 10 14 6 12 15

Ennyi 1 -os marad 6 5 0 7 0 3 1 9

Gy. 33/37. feladat:

Egy csokorba 3 szál virágot kötnek. Hány csokrot lehet kötni, és hány szál marad?

Ennyi virág volt 21 28 32 61 96 20 120 151

Ennyi csokor lett 7 9 10 20 32 6 40 50

Ennyi szál maradt 0 1 2 1 0 2 0 1

Gy. 33/38. feladat:

Egy tojástartóba 6 tojás fér. Hány doboz telik meg, és hány tojás marad?

Ennyi tojás volt 30 45 50 121 185 123 182

Ennyi doboz telt meg 5 7 8 20 30 20 30

Ennyi tojás maradt 0 3 2 1 5 3 2

Tk. 41/2{3.; Gy. 34/40. feladat: Szöveges feladatok a maradékos osztás gyakorlására.

Gy. 34/41. feladat: Természetes számok maradékosztályokba rendezése.

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5

54


Egyjegy¶ számok hozzáadása, elvétele

Óra: 23. 25. 28.

100-as számkörben kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összege, különbsége tízesekátlépésével is, majd ennek analógiájára a 100-nál nagyobb számok és egyjegy¶ számokösszege, különbsége tízesek átlépésével is. Külön gyakoroltassuk a 100 átlépését.

Figyeltessük meg az összeg és a különbség változásait.

Tk. 42/1{2., 43/7. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat.

Ha szükséges, szemléltessük a feladatot számegyenesen lépegetéssel, játék pénzzel.

Például a Tk. 42/2. feladat megoldása:

a) 46 + 4 = 50 146 + 4 = 150

4 + 46 = 50 4 + 146 = 150

50 { 4 = 46 150 { 4 = 146

50 { 46 = 4 150 { 146 = 4

Mondhatjuk azt is, hogy a perselyben 42 Ft-tal van több pénz, mint kívül, illetve aperselyben 142 Ft-tal van több pénz, mint kívül.

46 >42

4 146 >142

4

A perselyb®l 42 Ft-ot kell kivenni ahhoz, hogy annyi pénz legyen benne, mint kívül,illetve a perselyb®l 142 Ft-ot kell kivenni ahhoz, hogy annyi pénz legyen benne, mintkívül.

46 { 42 = 4 146 { 142 = 4

4 <42

46 4 <142

146

4 + 42 = 46 4 + 142 = 146

b) 68 + 7 = 75 168 + 7 = 175

7 + 68 = 75 7 + 168 = 175

75 { 7 = 68 175 { 7 = 168

75 { 68 = 7 175 { 168 = 7

68 >61

7 168 >161

7

68 { 61 = 7 168 { 161 = 7

7 <61

68 7 <161

168

7 + 61 = 68 7 + 161 = 168

Tk. 42/3., 43/5., 43/8.; Gy. 18/21{22. feladat: Gyakorlófeladatok a számolási rutinfejlesztésére. A feladatok egy részét folyamatos ismétlésként dolgoztassuk fel.

Tk. 42/4., 43/6.; Gy. 18/23{24. feladat: Hiányos összeadás és kivonás gyakorlására,az összeadás és a kivonás közötti kapcsolat elmélyítésére szánt feladatok. A feladatmegoldását a kapott eredmény behelyettesítésével ellen®riztessük!

Tk. 43/9. feladat: Egyenlettel adott függvény értékeinek kiszámítása. Írassuk fel aszabályt többféle alakban.

55


Tk. 44/10., 44/12. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkal-mazására.

Tk. 44/11. feladat: Szöveges feladatok. A megoldás során törekedjünk az önálló mun-kavégzésre, betartva a szöveges feladatok megoldásának tanult lépéseit.

A 4-es és a 8-as szorzótábla

Óra: 24. 26{27. 29{30.

A négyesével, nyolcasával növekv® vagy csökken® sorozatok képzése, számok rende-zése maradékosztályokba, a maradékok vizsgálata el®készíti a maradékos osztást.

Ismertessük fel a negyed és a nyolcad fogalmát, illetve a fél, a negyed és a nyolcadközti kapcsolatot. Analóg számítások: kerek tízesek szorzása, osztása.

Tk. 45/1.; Gy. 35/42. feladat: Figyeltessük meg a 2-es, a 4-es és a 8-as szorzótábla kö-zötti összefüggéseket. Használjuk a fele, kétszerese; negyede, négyszerese; nyolcada,nyolcszorosa kifejezéseket.

Gy. 25/4{7. feladat: A szorzás tulajdonságainak vizsgálata a szorzótábla segítségével.

Megvizsgáltathatjuk a 4-es és az 5-ös, a 4-es és a 3-as, a 7-es és a 8-as, a 9-es és a8-as stb. szorzótábla közti kapcsolatokat is.

A tapasztalatok segítik a számolási rutin fejl®dését.

Tk. 45/2{6.; Gy. 35/43. feladat: A szorzótábla folyamatos gyakorlására, a számolásirutin fejlesztésére szánt feladatok.

A tanultak alkalmazása analóg számításokban a 200-as számkörben.

Tk. 46/7; Gy. 35/45. feladat: Az osztás mint részekre osztás meg�gyeltetése. A tört,illetve a törtrész fogalmának el®készítése.

Tk. 46/8. feladat: Szöveges feladatok. A feladatok lehet®séget biztosítanak a szorzás,illetve az osztás különböz® értelmezéseinek meg�gyeltetésére. A feladatok megoldásasorán ösztönözzük a gyermekeket az önálló munkavégzésre.

Tk. 46/9. feladat: Szöveggel adott függvény. A szabály alapján töltessük ki a táblázatot.A feladat megoldásával a maradékos osztást gyakoroltatjuk. Ne feledkezzünk meg aszámolás ellen®rzésér®l sem.

Tk. 46/10. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása.

6 � 7 < a < 9 � 5 a : 43; 44.

8 � 3 > b > 4 � 4 b : 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23.

8 � 6 < c < 7 � 8 c : 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55.

2 � 9 > d > 3 � 4 d : 13; 14; 15; 16; 17.

40 : 8 < e < 72 : 9 e : 6; 7.

24 : 3 > f > 24 : 4 f : 7.

56


Gy. 35/44. feladat: A néggyel való osztás maradékainak ábrázolása gra�konon. Figyel-tessük meg a maradékokat.

4 8 12 16 2001234

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

Tk. 46/11. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására.

a) 543.+ 5

1:� 4

| {z }

20

4.+ 6

2:: 2

| {z }

3

= 77 b) 403.+ 3

1:� 8

| {z }

24

4.+ 18

2:: 9

| {z }

2

= 66

c) 763.{ 7

1:� 8

| {z }

56

4.{ 8

2:: 4

| {z }

2

= 18 d) 923.{ 4

1:� 3

| {z }

12

4.{ 72

2:: 8

| {z }

9

= 71

A 7-es szorzótábla

Óra: 25. 28. 31.

A szorzótáblák ismétlésének befejezéseként beszéljük meg a 0 és az 1 többszöröseinek,illetve a számok 0-szorosának, 1-szeresének értelmezését is.

Tk. 47/1. feladat: A 7-es szorzótábla ismétlését segít® táblázat. Figyeltessük meg aszorzás és az osztás közötti kapcsolatot. Használjuk a hetede, hétszerese kifejezéseket.

Tk. 47/2. feladat: Beszéljük meg, hogy ha 0-t bármelyik számmal megszorozzuk, illetveelosztjuk, akkor 0-t kapunk eredményül. 0-val viszont nem lehet osztani, az utolsó osztásnem értelmezhet®.

Tk. 47/3{5. feladat: A 7-es szorzótábla és az id®mértékegységek közül a nap és a hétközötti kapcsolat meg�gyeltetése, a naptár használata. A héttel való osztás és a hétnapjai közötti kapcsolat szemléltetése.

A szöveges feladatok megoldása során törekedjenek a tanulók az önálló munkavégzés-re.

Gy. 36/46., 37/47 feladat: A szorzótábla folyamatos gyakorlására, a számolási rutinfejlesztésére szánt feladatok.

Gy. 37/48 feladat: A maradékos osztás folyamatos gyakorlására, fejlesztésére szántfeladatok.

57


Gy. 38/49. feladat: A törpéknek minden számot érinteniük kell, amelyre igaz az állítás.

3 � 57 � 5

1 � 3 5 � 1 3 � 3 3 � 8 6 � 6

7 � 4

1 � 1

2 � 85 � 5

9 � 19 � 3

7 � 1

2 � 2

7 � 8

6 � 4 9 � 0

8 � 9

2 � 6 4 � 5

7 � 10

10�1010 � 5

10 � 9

8 � 5

8 � 6

5 � 9

6 � 10

6 � 9

7 � 6

7 � 79 � 9

4 � 10

9 � 7

8 � 8

9 � 11

Szende

Kuka

Tudor

Morgó

58


Zárójelek használata

Óra: 26{27. 29{30. 32{33.

Összetett számfeladatok, a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek használatáról tanultakfelelevenítése, gyakorlása. A tankönyvi mintapéldák segítséget nyújtanak az összetettszöveges feladatok önálló megoldásához.

Figyeltessük meg a gyermekekkel a zárójelek módosító szerepét. Mutassunk példákatarra, hogy mely esetekben változik és melyekben nem változik az eredmény a zárójelhatására.

A zárójelek felbontását készítjük el®, amikor az összetett zárójeles számfeladatokat átí-ratjuk zárójel nélkülivé, illetve szöveges feladatok számítási tervének felírását zárójellelés anélkül is elvárjuk.

Folyamatosan gyakoroltassuk a szorzótáblákat, az összeadást és a kivonást.

Tk. 48. oldal, mintapélda; Tk. 48/1. feladat: Fedeztessük fel az összeadás asszociatívtulajdonságát: tetsz®legesen zárójelezhetjük azt a m¶veletsort, amely csak összeadásttartalmaz, az eredmény nem változik.

A Tk. 48/1. feladatban megoldási tervek lehetnek:

a) I = 47 + (30 + 8); l = 47 + 30 + 8.

b) A megoldás el®tt jegyezzük meg, hogy kezdetben csak ®szibaracklé volt a büfében.

D = (64 + 20) + 9; D = 64 + (20 + 9); D = 64 + 20 + 9.

c) J = 48 + (40 + 20); J = 48 + 40 + 20.

d) D = (15 + 25) + 48; D = 15 + 25 + 48.

Például a b) feladat megoldásakor az els® zárójelezéssel el®ször az ®szibaracklé-dobozokat összegeztük, és ehhez adtuk hozzá az almalédobozok számát.

A második zárójelezéssel el®ször az újonnan hozott dobozokat vettük számba, és eztadtuk hozzá az eredetileg meglév® dobozok számához.

Számolhattunk úgy is, hogy (zárójelek használata nélkül) összegeztük a dobozok szá-mát.

Tk. 49. oldal, mintapélda; Tk. 49/2. feladat: A szöveges feladatok megoldásakortapasztalatot szerezhetnek a tanulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni,illetve hogyan hagyható el a zárójel, ha el®tte kivonásjel van.


a) M = 120 { (40 + 6); M = 120 { 40 { 6.

b) M = 135 { (70 + 3); M = 135 { 70 { 3.

c) M = 100 { (60 { 20); M = 100 { 60 + 20.

Például az a) feladat megoldásakor az els® tervben els® lépésként kiszámítjuk az eltá-vozott gyerekek számát, majd ennek segítségével a táborban maradtakét.

A második terv szerint kiszámítjuk, hányan maradtak, amikor elmentek a kerékpártúrá-zók, majd második lépésként, amikor a maradékból elmentek a vitorlázók.

59


Tk. 49/3. feladat: Összeadást és kivonást tartalmazó összetett számfeladatok. A záró-jelek felbontására gy¶jthetnek tapasztalatot a tanulók.

Tk. 50. oldal, mintapélda; Tk. 51/5. feladat: Összeadással, kivonással, szorzással,illetve osztással leírható összetett szöveges feladatok megoldása során mutatjuk be azárójelek szerepét, a zárójelfelbontást, a feladat megoldási menetét.


a) V = (3 + 5) � 7; V = 3 � 7 + 5 � 7.

b) E = (90 + 60) : 3; E = 90 : 3 + 60 : 3.

c) C = (36 + 54) : 3; C = 36 : 3 + 54 : 3.

d) E = (120 { 80) : 4; E = 120 : 4 { 80 : 4.

e) E = 56 : (7 { 3); nem bontható fel a zárójel.

f) G = (20 + 15) : 5; G = 20 : 5 + 15 : 5.

g) G = 20 + 15 � 5.

Tk. 50/4., 51/6{7. feladat:

Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek használatáról tanultak gya-korlására. Figyeltessük meg, mikor változtat az eredményen a zárójel, és mikor nem.


a) (20 + 8) � 7 = b) (140 + 7) : 7 = c) 6 � (30 + 2) =

= 20 � 7 + 8 � 7; = 140 : 7 + 7 : 7; = 6 � 30 + 6 � 2;

d) (20 + 3) � 8 = e) (160 + 8) : 8 = f) 80 : (10 { 2),

= 20 � 8 + 3 � 8; = 160 : 8 + 8 : 8; nem bontható fel a zárójel;

g) (50 { 7) � 3 = h) (60 { 6) : 9 = i) 48 : (2 + 4),

= 50 � 3 { 7 � 3; = 54 : 9; nem bontható fel a zárójel;

j) (30 { 4) � 4 = k) (200 { 8) : 4 = l) 7 � (27 { 14) =

= 30 � 4 { 4 � 4; = 200 : 4 { 8 : 4; = 7 � 27 { 7 � 14;

m) (30 { 8) � 5 = n) (90 { 45) : 5 = o) 72 : (3 + 6),

= 30 � 5 { 8 � 5; = 90 : 5 { 45 : 5; nem bontható fel a zárójel;

p) (30 + 8) � 5 = q) (30 + 6) : 6 = r) 54 : (9 { 6),

= 30 � 5 + 8 � 5; = 30 : 6 + 6 : 6; nem bontható fel a zárójel.

Számok összeadása, kivonása 200-ig

Óra: 28{29. 31{32. 34{35.

A szóbeli számolási eljárások tanulásának befejezéseként tetsz®leges kétjegy¶ számokösszegét, különbségét számoljuk ki a 200-as számkörben. A m¶veletek helyes sorrend-jér®l és a zárójelek használatáról tanultakat gyakoroltatjuk. Ezt alkalmazzuk összetettszám- és szöveges feladatok megoldásában.

60


Ezeknek a feladatoknak egy részét az elkövetkez® órákon, a geometriai témakör fel-dolgozásával párhuzamosan folyamatos ismétlésként, nagyrészt otthoni munkában, atanulók képessége szerint di�erenciálva oldassuk meg.

Többféle megoldási modellt mutatunk a számok összegének és különbségének kiszámí-tására a tízesek és a 100 átlépésével is a 200-as számkörben. A gyermekek többségénélhagyjuk, hogy saját maguk válasszák ki a számukra legkönnyebben követhet® modellt.Lehetséges, hogy feladattípustól függ®en alkalmazzák a különböz® modelleket. Egymodellt csak azokkal a tanulókkal gyakoroltassunk, akiknek nehezen megy a számolás.

Tk. 52., 53. oldal, mintapéldák: Különböz® számolási modelleket mutatunk be, több-féleképpen szemléltetve a m¶veletvégzést. A többi feladatot hasonló módon szemléltet-hetjük.

Tk. 52/1{2., 53/3{4.; Gy. 19/25{26., 20/27{28., 21/29{31., 23/36. feladat: Kü-lönböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlására, a számolási rutinfejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg, hogy az összeg és akülönbség változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számításokban.

A Gy. 23/36. feladat megoldása: A fejszámolási tervek közös vonása, hogy egy m¶ve-letet több m¶velettel helyettesítünk. Ezt többféleképpen valósíthatjuk meg.

37

+ 9 7

+ 1001 3 7

{ 31 3 4 37

+ 9 7

+ 901 2 7

+ 71 3 4

125

{ 9 6

{ 903 5

{ 62 9 125

{ 9 6

{ 1002 5

+ 42 9

Gy. 21/32. feladat: Az összeadásról, kivonásról tanultak alkalmazása néhány eleméveladott számsorozat hiányzó elemeinek meghatározására.

Tk. 53/5. feladat: Szabálykövetés, táblázat kitöltése. Mondassuk el a szabályt többfélealakban!

Tk. 54/6{7. feladat: A helyes m¶veleti sorrend, illetve a zárójelek használatának gya-korlása összetett számfeladatokban. Figyeltessük meg az összeg, illetve a különbségváltozásait.

Gy. 39/50. feladat: Figyeltessük meg, hogy ha a nyitó zárójel el®tt összeadásjel vagyszorzásjel van, akkor a zárójelezés nem változtatja meg az eredményt.

a) 1601.: 4

2.� 2 = 8 0 b) 97

1.{ 54

2.+ 28 = 7 1

1602.: (4

1.� 2) = 2 0 97

2.{ (54

1.+ 28) = 1 5

(1601.: 4)

2.� 2 = 8 0 (97

1.{ 54)

2.+ 28 = 7 1

61


Gy. 39/51. feladat:

a) 602.+ 20

1.� 2 = 1 0 0 b) 100

2.{ 20

1.: 5 = 9 6

(601.+ 20)

2.� 2 = 1 6 0 (100

1.{ 20)

2.: 5 = 1 6

601.� 2

2.+ 20 = 1 4 0 100

1.: 5

2.{ 20 = 0

601.� 2

3.+ 20

2.� 2 = 1 6 0 100

1.: 5

3.{ 20

2.: 5 = 1 6

Gy. 39/53. feladat: Szabálykövetés. Figyeltessük meg, hogy ugyanazon számok eseténmás eredményre juthatunk, ha más a m¶veleti sorrend és a m¶veleti jel.

a) 80� 2

1 6 0+ 20

1 8 0: 3

6 0{ 10

5 0

b) 80+ 20

1 0 0� 2

2 0 0: 10

2 0{ 3

1 7

c) 80{ 20

6 0� 3

1 8 0+ 10

1 9 0: 2

9 5

Gy. 40/54. feladat:A B C D

1

2

3

4

A1 : 102 C1 : 124A2 : 44 C2 : 20A3 : 125 C3 : 7A4 : 80 C4 : 104B1 : 34 D1 : 60B2 : 43 D2 : 55B3 : 40 D3 : 15B4 : 200 D4 : 70

Tk. 54/8. feladat: Egyenes és fordított szövegezés¶, egy m¶velettel megoldható fela-datok.

a) a <56

124, a + 56 = 124, 124 { 56 = a, a = 68;

b) 124 <56

b, b { 56 = 124, 124 + 56 = b, b = 180;

c) c = 124 + 56, c = 180;

d) d = 124 { 56, d = 68;

e) e >56

124, e { 56 = 124, 124 + 56 = e, e = 180;

f) f <56

124, f + 56 = 124, 124 { 56 = f, f = 68.

62


Gy. 39/52. feladat:

a) 140 felének és 56-nak az összege: a = 140 : 2 + 56 a = 126

b) 140-nek és 56 felének a különbsége: b = 140 { 56 : 2 b = 112

c) 140 és 56 összegének a fele: c = (140 + 56) : 2 c = 98

d) 140 és 56 különbségének a fele: d = (140 { 56) : 2 d = 42

e) 140-nek és 56 kétszeresének a különbsége: e = 140 { 56 � 2 e = 28

f) 140 és 56 különbségének a kétszerese: f = (140 { 56) � 2 f = 168

Tk. 54/9. feladat: Az összefüggéseket többféleképpen is leírhatjuk. Például:

(1) F = G + 15 , H = F + 18; (2) F = G + 15, F = H { 18;

(3) G = F { 15 , F = H { 18; (4) G <15

F <18

H stb.

a) F = 127 cm, G = 112 cm, H = 145 cm;

b) F = 109 cm, G = 94 cm, H = 127 cm;

c) F = 142 cm, G = 127 cm, H = 160 cm.

Tk. 55/10{11. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok. Hívjuk fel a gyermekek �gyelmét,hogy ügyeljenek a mértékegységekre.


a) m = 136 { 58, m = 78 cm;

b) l = 74 + 48, l = 122 cm;

c) P = 130 < 143 = R, P <13 cm

R;

d) r = (12 { 4) : 2, r = 4 cm, h = r + 4, h = 8 cm, vagyr = (12 { 4) : 2, r = 4 cm, h = (12 + 4) : 2, h = 8 cm.

Gy. 22/33{35. feladat: Egy-egy feladatsort egy órán dolgoztassunk fel a szövegértésfejlesztése érdekében. Az adatok kigy¶jtése során �gyeltessük meg, melyek a szüksé-ges, illetve felesleges adatok, melyekb®l hiányoznak adatok.

Gy. 22/33. feladat:

a) t = 47 + 58 t = 105

b) Tisztázzuk a legalább (amelynél kevesebb nem lehet) és a legfeljebb (amelynél többnem lehet) fogalmakat.

43 53

U

S É95 1 52

U

S É

Legalább 96 tanuló Legfeljebb 148 tanulójárhat összesen sportkörre vagy ének-karra; ha minden énekkaros egybensportkörre is jár, akkor 43 tanuló csaksportkörös, és 53 tanuló sportkörös ésénekkaros.

járhat összesen sportkörre vagy ének-karra; ha 1 tanuló van, aki énekkarosés egyben sportkörre is jár, akkor 95tanuló csak sportkörös, és 52 tanulócsak énekkaros.

c) l = 102 { 48 l = 54

63


d) Az adatokból nem derül ki, hogy a hiányzó tanulók közül mennyi a �ú és mennyi alány. Legalább 159, legfeljebb 187 �ú lehetett jelen attól függ®en, hány �ú volt ahiányzók között.

e) Felesleges adat: közülük 26 lány.

j = 143 { 56 j = 87

Gy. 23/37. feladat: Többféleképpen írható föl mindegyik feladat egyenlete. Például:

a) a = 85 + 68 { 45, a = 85 + (68 { 45), a = (85 + 68) { 45, a = 108 Ft;

b) b = 132 { 67 + 15, b = 132 { (67 { 15), b = (132 { 67) + 15, b = 80 Ft;

c) c = 197 { 58 { 47, c = 197 { (58 + 47), c = (197 { 58) { 47, c = 92 cm;

d) d = 75 + 37 + 83, d = 75 + (37 + 83), d = (75 + 37) + 83, d = 195 Ft.

Gy. 23/38. feladat:

a) A szemléletre építve oldjuk meg a feladatot. Akkor lenne egyforma hosszú a kék ésa piros szalag, ha el®bb levágnánk a 60 cm különbözetet.

160 cmz }| { k = (160 { 60) : 2 , k = 50 cm,

60 cm p = k + 60 , p = 110 cm.

| {z }

kék

| {z }

piros

Gondolkozhatunk úgy is, hogy akkor lenne egyforma hosszú a kék és a piros szalag,ha a rövidebbhez hozzátennénk a 60 cm-t. Így a két szalag együttes hossza 160 +60 = 220 cm. Ennek a fele épp a hosszabbik szalag hossza.

160 + 60 = 220 cmz }| { p = (160 + 60) : 2 , p = 110 cm,

60 cm k = p { 60 , k = 50 cm.

| {z }

piros

| {z }

kék

b)

F = (153 { 33) : 2, F = 60, L = 60 + 33, L = 93;

vagy

L = (153 + 33) : 2, L = 93, F = 93 { 33, F = 60;

vagy

F + L = 153, F + 33 = L.

Gy. 23/39. feladat:

a) a + b = 100, a { b = 50, a = 75, b = 25;

b) a + b = 100, a { b = 10, a = 55, b = 45;

c) a + b = 100, a { b = 82, a = 91, b = 9;

d) a + b = 100, a { b = 0, a = 50, b = 50;

e) a + b = 100, a { b = 100, a = 100, b = 0.

64


Tk. 55/12. feladat: A szöveges feladat megoldása során gyakoroltatjuk a zárójelfelbon-tásról tanultakat.

a) d = (180 { 150) : 6, d = 180 : 6 { 150 : 6, d = 5 Ft;

b) p = 150 { 180 : 6, p = 120 Ft;

c) c = (180 { 150) � 6, c = 180 Ft.

Mer®legesség, párhuzamosság

Óra: 30{31. 33{34. 36{37.

Sok és sokféle tevékenységre alapozva alakítsuk ki a metsz®, mer®legesen metsz®,párhuzamos és kitér® egyenespárok szemléletes fogalmát. Kerestessünk különböz®síkidomokon párhuzamos, metsz®, mer®legesen metsz® oldalpárokat. Ezeknek a vizs-gálatoknak a során adjunk a tanulók kezébe síkidom-, illetve testmodelleket.

Kezdetben típushiba, hogy a tanulók összetévesztik a �mer®leges" és a �párhuzamos",illetve a �mer®leges" és a �metsz®" fogalmakat, elnevezéseket. E fogalmak sokfélealkalmazásával és az elnevezések következetes használatával kiküszöbölhetjük ezt ahibát. A fogalmak meger®sítése céljából a következ® fejezet feldolgozása során újraés újra vizsgáljuk a különböz® síkidomok oldalainak, illetve a testek éleinek kölcsönöshelyzetét.

A számolási rutin és a szövegértelmez® képesség fejlesztése érdekében folyamatosanismételjük és gyakoroltassuk a m¶veletekr®l, a m¶veletek sorrendjér®l eddig tanulta-kat. 3. osztályban a geometriát feldolgozó órákon is legalább 5-6 percet számoljanak agyermekek. Otthoni munkára is folyamatosan adjunk fel e témakörb®l feladatokat.

Tk. 56. oldal, mintapéldák és összefoglaló; Tk. 57/1{5. feladat: A �metsz®", illetve a�mer®legesen metsz®" egyenespár fogalmának kialakítása. A mer®leges egyenespárokkiválasztása, illetve el®állítása papírhajtogatással, rajzzal.

Fontos, hogy a mer®leges egyenespárokat �ferde" helyzetben is felismerjék és létretudják hozni a tanulók.

Tk. 58. oldal, mintapélda; Tk. 58/6{9.; Gy. 89/4{5., 91/8. feladat: A �párhuzamos"egyenespár fogalmának kialakítása. A párhuzamos egyenespárok kiválasztása, illetveel®állítása papírhajtogatással, színezéssel, rajzzal.

Figyeltessük meg, hogy a párhuzamos egyenesek között mindig ugyanakkora a távol-ság. Ez a távolság 0 is lehet, ezért az egyenest önmagával párhuzamosnak tekintjük.Fontos, hogy a párhuzamos egyenesekkel is sokféle helyzetben találkozzanak a tanulók.

Például a Gy. 89/4. feladatban:

65


Gy. 89/3. feladat:

.

.

.

.

. . . .

.

. .

Gy. 90/6. feladat:

1..

.

2..

.

.3.

.

.

4..

.

.

.

5.

.

. 6.

. .

.

7.

Van párhuzamos oldalpárja. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.

Van mer®leges oldalpárja. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.

Van mer®leges oldalpárja és párhuzamos oldalpárja is. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.

A fenti vizsgálatokon túl tükör segítségével kerestessük meg az egyes sokszögek tükör-tengelyeit is. Ismertessük fel, hogy a 4. téglalap átlója nem tükörtengely, illetve, hogy a7. paralelogrammának nincs tükörtengelye.

Gy. 90/7. feladat:

a) . .

. .

.

.

.

.

. .

..

.

.

.

.

66


b) c). .

. .

. .

..

. .

. .

. .

. .

. .

Téglatest, kocka, téglalap, négyzet

Óra: 32{33. 34{35. 38{39.

Ismételjük át és egészítsük ki a térgeometriai ismeretek közül a testekr®l, a téglatestr®lés a kockáról tanultakat. A különböz® testek, köztük a téglatest és speciálisan a koc-ka lapjainak vizsgálatával el®készítjük a testháló fogalmának kialakítását. Figyeltessükmeg, hogy a kocka speciális téglatest.

Elevenítsük fel, majd b®vítsük ki a síkgeometriai ismeretek közül a síkidom, a négyszögfogalmát, a téglalap és a négyzet fogalmát. Vizsgáltassuk meg a síkidomok tulajdon-ságait, ismertessük fel a téglalap és speciálisan a négyzet tengelyes szimmetriáját.Rajzoltassuk meg a tükörtengelyeiket. Ismételten tudatosítsuk, hogy a négyzet speciálistéglalap.

Figyeljünk arra, hogy a tanulók helyesen használják az elnevezéseket. (Tanítsuk megaz egyenes és a szakasz fogalma közti különbséget. A téglalapnak oldalai és csúcsaivannak, a téglatestnek élei, lapjai és csúcsai.)

A hasábok, f®leg a téglatest, kocka tulajdonságait) vizsgálva kerestessünk párhuzamos,metsz®, mer®legesen metsz® és kitér® éleket; párhuzamos, metsz®, mer®leges lapokat.

Tk. 59{60. oldal, összefoglaló; Tk. 59/1{2., 60/3.; Gy. 88/1. feladat: Összefoglaljuka testekr®l, a téglatestr®l, speciálisan a kockáról tanultakat. Vizsgáljuk ezeknek atesteknek a lapjait. Adjunk a gyermekek kezébe különböz® testmodelleket.

A téglalapot, speciálisan a négyzetet mint a téglatest lapjait értelmezzük.

Értelmezzük az �egyenes" és a �szakasz", valamint az �él", a �lap" és a � csúcs" fogalmát.

Tk. 60/4. feladat: Fontos a térfogat fogalmának el®készítése, illetve a képi gondolkodásrugalmasságának fejlesztése szempontjából, hogy a feladat második kérdésére minéltöbb megoldást kerestessünk.

12 egységkockából 4 különböz® téglatest építhet®, amelyeknek az éle:

1, 1, 12 egység; 1, 2, 6 egység; 1, 3, 4 egység; 2, 2, 3 egység.

67


Gy. 88/2. feladat: A fogalomalkotás szempontjából nélkülözhetetlen, hogy a tanulók(kiscsoportos munkában) ténylegesen építsenek minél több testet.

6 2 0 0 1

0 4 2 3 0

0 0 2 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 2 4

Lapok száma 6 6 6 5 5

Csúcsok száma 8 8 8 6 5

Élek számal 12 12 12 9 8

Tk. 60/5. feladat: A �négyszög", a �téglalap" és a �négyzet" fogalmak közti kapcsolattudatosítása.

a) 1., 5., 6., 8., 11., 12.

b) 1., 8., 11.

c) 8., 11.

Tk. 61/6{9., 62/10{11.; Gy. 91/9{10. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, apárhuzamos egyenesekr®l, illetve a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkal-mazzuk téglalapok (négyzetek) el®állításában hajtogatással, rajzzal, illetve a téglalap(négyzet) és a téglatest (kocka) tulajdonságainak vizsgálatában.

Gy. 91/9. feladat:

30 mm

25 mm

30 mm

15 mm

14 mm22 mm

68


Gy. 91/10. feladat:

a) b) c)

Tk. 62/12. feladat: A mer®leges, illetve párhuzamos oldalpárok megkeresése mellettrajzoltassuk be a síkidomok tükörtengelyeit is. Típushiba lehet:

az 1. paralelogrammát is tengelyesen tükrösnek vélik a tanulók,

a 4. téglalap átlóját is tükörtengelynek gondolják.

Tükör segítségével �bizonyítsuk be", hogy ez az elképzelés nem helyes.

1. tájékozódó felmérés, gyakorlás

Óra: 34. 36. 40{41.

Célszer¶ gyakorlóóra keretében megoldatni a Felmér® feladatsorok, Matematika3. osztály 1. tájékozódó felmérésének feladatsorát. Ezt még ugyanazon az órán kö-zösen kijavíthatjuk és értékelhetjük. Így a tipikus hibákra és a hiányosságok pótlásáramég felhívhatjuk a tanulók �gyelmét.

1. felmérés

Óra: 35. 37. 42{43.

Lásd a Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály 1. felmérésének feladatsorát. AzA), B), C), D) változat azonos tartalmú és körülbelül egyforma nehézség¶ feladatsorokattartalmaz.

A javítási útmutatót ennek a könyvnek az utolsó fejezetében találjuk.

Ha a helyi tanterv a matematikai nevelés számára nem biztosít elegend® id®t, akkor adolgozatok értékelését és a hibák javítását csak akkor végezzük egy teljes külön órában,ha nagyon gyenge az osztály teljesítménye. Ellenkez® esetben folyamatos ismétléskeretében térjünk vissza az esetleges tipikus hibákra, illetve korrepetáláson, di�erenciáltotthoni munkában pótoltassuk a hiányosságokat.

69

Hajdu program 3 3UJP3B 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

A számkörb®vítés áttekintése

Az elkövetkez® három hétben 2000-ig b®vítjük a számkört.

A b®vítés logikai csomópontjai:

(1) A szemléletre támaszkodva meg�gyeltetjük a számok képzését, elnevezését, írását200-tól 2000-ig.

(2) Tudatosítjuk a tízes számrendszerben a helyiértékes írásmódot, az alakiérték, he-lyiérték, tényleges érték fogalmát. Begyakoroltatjuk a számok helyiérték szerintibontását többféleképpen. Kiterjesztjük a �kisebb", �nagyobb", �nem kisebb", �nemnagyobb", �ugyanannyi" relációk értelmezését az új számkörre.

(3) Kiterjesztjük a páros, páratlan szám, a kerek tízes, kerek százas, illetve a háromje-gy¶ szám fogalmát az új számkörre. Kialakítjuk a négyjegy¶ szám fogalmát.

(4) Kiterjesztjük a m¶veletek fogalmát és a tanult számolási eljárásokat az új számkörre.Ezzel összetett didaktikai feladatot oldunk meg: Továbbfejlesztjük a szóbeli számo-lási rutint. Elmélyítjük a számfogalmat, ugyanis a kerek százasokkal, tízesekkelvégzett m¶veletekkel mintegy �bejárjuk" az új számkört. Végül el®készítjük az írás-beli m¶veletek tanítását.

(5) Kiterjesztjük az új számkörre a római számírásról tanultakat.

(6) Ábrázoljuk a számokat az egyesével, tízesével, százasával beosztott számvonalon.

(7) Megbeszéljük a tízes szomszéd, a százas szomszéd és az ezres szomszéd, apontos érték, közelít® érték fogalmát, a kerekítés (százasra és tízesre) szabályait,alkalmazását közelít® számításokban.

(8) A számfogalomról tanultakat alkalmazzuk játékos kombinatorikai és logikai feladatokmegoldásában.

(9) A számkörb®vítésr®l tanultakat alkalmazzuk a mértékegységekr®l tanultak általáno-sítására, kib®vítésére.

Mi indokolja ezt a megszokottnál b®vebb számkört?

A tapasztalatok szerint 3. osztályban ez nem okoz gondot a tanulóknak. Egyrészta 200-as számkörben végzett munka jól el®készítette ezt a b®vítést, másrészt amindennapi életben naponta találkoznak ekkora, illetve ennél nagyobb számokkal agyermekek.

Tudatosabbá válhat a tízes számrendszer és a helyiértékes írásmód fogalma, kia-lakíthatjuk a négyjegy¶ szám fogalmát. A 2000-es számkör alapos megismerésejobban el®készíti a 4. osztályban esedékes további számkörb®vítéseket. (4. osz-tályban a program szerint el®ször a 20 000-es számkörben dolgozunk, majd halehet®ségünk van rá, akkor 100 000-ig b®vítjük a számkört.)

A 200-as számkörben megtanult számolási eljárások analógiájára számolhatunk ke-rek százasokkal, illetve kerek tízesekkel.

Az 1000-es számkör túlságosan sz¶k az írásbeli m¶veletek tanítására, ebben aszámkörben nagyobb lesz a �mozgásterünk" m¶veletek végrehajtásakor.

70


A számok 2000-ig

Óra: 36{37. 38{40. 44{46.

Nemcsak b®vítjük, hanem tudatosabb szintre is emeljük a korábban tanultakat.

Gy. 41/1., 43/5. feladat: A kerek százasok értelmezése 1000-ig.

Tisztázzuk, hogy a 0 és az 1000 is kerek százas: 0 = 0 � 100; 1000 = 10 � 100.

A játék pénzes szemléltetésre támaszkodva értelmezhetjük a kerek százasokat 1000-t®l2000-ig. Figyeltessük meg, hogyan helyezhet®k el a kerek százasok a számvonalon.

Tk. 63. oldal, mintapélda; Tk. 64/1{2.; Gy. 42/2., 43/6{7. feladat: A 2000-nél nemnagyobb számok értelmezése sokféle szemléltetéssel.

A 200-nál nem nagyobb számok értelmezésér®l, a helyiérték szerinti bontásról tanultakatkell összefoglalnunk és kiterjesztenünk a 2000-es számkörre, miközben tudatosítjuk az1000, illetve a �négyjegy¶ szám" fogalmát.

Rakassuk ki a számokat játék pénzzel. Olvastassuk le, hasonlíttassuk össze a kirakottszámokat. Figyeltessük meg egy szám többféle alakját (játék pénzzel kirakva, számje-gyekkel leírva, szavakkal kifejezve, helyiérték szerinti összegre bontva stb.).

A játék pénzzel vagy másféleképpen szemléltetett számok leírása többféle alakban abiztos számfogalom alakítását segíti. Ha nehezen megy a számok írása, olvasása,összehasonlítása, többször adjunk hasonló feladatot.

Gy. 43/7. feladat:

a) b) c) d)

1438 1403 1074 1003

Tk. 64. oldal, mintapélda; Tk. 68/14.; Gy. 42/3{4., 45/12. feladat: Számok bontásahelyiérték szerint, illetve bontott alakban felírt számok írása számjegyekkel.

Az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogalmát készítjük el®.

Gy. 42/3. feladat:

E sz t e

568 5 � 100 + 6 � 10 + 8 � 1 5 6 8

1245 1 � 1000 + 2 � 100 + 4 � 10 + 5 � 1 1 2 4 5

1054 1 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 4 � 1 1 0 5 4

1504 1 � 1000 + 5 � 100 + 0 � 10 + 4 � 1 1 5 0 4

1050 1 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 0 � 1 1 0 5 0

1240 1 � 1000 + 2 � 100 + 4 � 10 + 0 � 1 1 2 4 0

71


Gy. 42/4. feladat:

a) 5 sz + 6 t + 4 e = 5 6 4 b) 1 E + 5 sz + 2 t = 1 5 2 0

36 t + 5 e = 3 6 5 15 sz + 6 e = 1 5 0 6

7 sz + 28 t = 9 8 0 1 E + 3 t + 43 e = 1 0 7 3

Tk. 64/3.; Gy. 45/13{15. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-esszámkörben. A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk.

Meg�gyeltethetjük a mér®szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiájátis: Ugyanazt a mennyiséget kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk.Ugyanazzal az egységgel nagyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk.A fordított, illetve az egyenes arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.

Tk. 65/6.; Gy. 44/11. feladat: Számjegyekkel leírt számok írása bet¶kkel, illetve bet¶k-kel írt számok leírása számokkal. Beszéljük meg a számok helyesírását.

Tk. 65/4.; Gy. 44/9. feladat: Játék pénz segítségével, az alaki-, helyi- és a ténylegesérték fogalmának alkalmazásával �gyeltetjük meg a számok közötti nagyságviszonyokat.

Tk. 65/5., 65/7{8.; Gy. 43/8., 44/10. feladat: A számok nagyság szerinti összeha-sonlítása, növekv®, illetve csökken® sorozatba rendezése a helyiértékes írásmódról, aszámok helyiérték szerinti bontásáról tanultak alkalmazásával. A feladatok feldolgozása,szükség esetén további ezekhez hasonló feladat megoldása nagyon fontos a számfoga-lom alakulása szempontjából.

Gy. 43/8. feladat:

a) 1 E + 5 sz + 9 e = 1 5 0 9 > 1 0 5 9 = 1 E + 5 t + 9 e

b) 1 E + 4 sz + 6 t = 1 4 6 0 > 1 0 6 4 = 1 E + 6 t + 4 e

c) 1 E + 7 sz + 5 e = 1 7 0 5 = 1 7 0 5 = 1 E + 5 e + 7 sz

d) 1 E + 6 sz + 42 e = 1 6 4 2 = 1 6 4 2 = 1 E + 64 t + 2 e

Tk. 66. oldal, összefoglaló: Az eddigi tapasztalatokra építve bevezetjük az alakiérték,helyiérték és tényleges érték fogalmát. A kés®bbiekben rendszeresen térjünk vissza atémára a pontos fogalom kialakítása érdekében.

Tk. 66/9{10.; Gy. 46/16. feladat: Az alakiértékr®l, helyiértékr®l és tényleges értékr®ltanultak elmélyítését segít® feladatok.

Gy. 46/17. feladat: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmáról tanultakatkell alkalmazni a feladat megoldása során. Kerestessük meg az összes megoldást.

a) 1541, 1543, 1545, 1547, 1549.

b) 1545, 1535, 1525, 1515, 1505.

c) 1960, 1970, 1980, 1990.

Tk. 67/11.; Gy. 47/18{19. feladat: Számok rendszerezése adott, illetve felismert szem-pont szerint.

A Gy. 47/18. feladatban a címkével adott halmazokon kívül vannak

b) az egyjegy¶ és a kétjegy¶ számok;

c) az 1000.

72


A Gy. 47/19. feladatban sokféle megoldás van. Lehetséges címkék például:

a) Kerek tízes; Nem kerek tízes.

b) 200-nál kisebb; 200-nál nem kisebb.

c) Kétjegy¶; Nem kétjegy¶.

Tk. 67/12. feladat: Állítások igazsághalmazának meghatározása, illetve igaz állításokmegfogalmazása a �mindegyik", �egyik sem", �van olyan", �nincs olyan" kifejezésekhasználatával.

Tk. 67/13. feladat: A feladatoknak sok megoldásuk van. Ezek felkutatása fejleszti atanulók logikus gondolkodását és problémaérzékenységét, megszilárdítja a számfogal-mukat. Például:

a) Mindegyik szám nagyobb 5-nél / kisebb 1234-nél / legalább kétjegy¶ / legfeljebbháromjegy¶ / stb.

b) Van olyan szám, amelyik kétjegy¶ / kerek tízes / kisebb 1000-nél / csupa 9-es szám-jegyb®l áll / páros / stb.

c) Nem mindegyik szám háromjegy¶ / kerek százas / páratlan / osztható 10-zel / négy-jegy¶ / stb.

d) Nincs olyan szám, amelyik osztható 100-zal / négyjegy¶ / stb.

e) Egyik szám sem osztható 100-zal / négyjegy¶ / stb.

f) Van olyan szám, amelyik nem háromjegy¶ / kerek százas / páratlan / osztható 10-zel/ négyjegy¶ / stb.

Jobb csoportban megbeszélhetjük a következ®ket:

Az a) kijelentésnek tagadása a c) kijelentés és az f) kijelentés, ha a kipontozott helyreugyanazt a kiegészítést írjuk.

Például: a) Mindegyik szám nagyobb 5-nél. c) Nem mindegyik szám nagyobb 5-nél.f) Van olyan szám, amelyik nem nagyobb 5-nél.

A c) és az f) kijelentés ugyanazt jelenti, csak másképpen fogalmaztuk meg ®ket.

A b) kijelentésnek tagadása a d) kijelentés és az e) kijelentés.

A d) és az e) kijelentés ugyanazt jelenti, ha a kipontozott helyre ugyanazt a kiegészítéstírjuk.

Tk. 68/15. feladat:

456 > a 56 a: 1; 2; 3. 2 b 8 < 258 b: 0; 1; 2; 3; 4.

596 < 6 c 6 c: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 66 d < d 66 d: 7; 8; 9.

e 54 < 5 e 4 e: 1; 2; 3; 4. 4 f 3 > 493 Nincs megoldás.

Tk. 68/16. feladat: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmának elmélyítésétsegít® komoly kombinatorikai feladatok. A feltételeknek eleget tev® összes megoldásmegkeresését nem várjuk el minden tanulótól.

a) Figyeltessük meg, hogy egy szám akkor kisebb 300-nál, ha a százasok helyén állószámjegy kisebb 3-nál! A százasok helyén 0 nem állhat, mert 0-val nem kezd®diktermészetes szám. Tehát a százas helyiértéken lev® számjegy alakiértéke 1 vagy 2lehet.

73


Általánosan: Összesen 6 helyre kell elosztani a 6 különböz® számkártyát.

1: 2: 3:| {z }

1: szám

j 4: 5: 6:| {z }

2: szám

hely, : : :| {z }

1: szám

j : : :| {z }

2: szám

Az els® helyre kétféleképpen választhatok, vagy 1-est, vagy 2-est. A negyedik helyremár csak 1-féleképpen. 2 : :

| {z }

1: szám

j 1 : :| {z }

2: szám

A második helyre a maradék 4 kártyából akármelyiket elhelyezhetem. Ez 4-féleválasztási lehet®ség. A harmadik helyre a maradék 3 kártyából stb. választhatok.2 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 1 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 48 eset.

Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma 48 : 2 = 24.

103, 245; 103, 254; 104, 235; 104, 253; 105, 234;

105, 243; 130, 245; 130, 254; 134, 205; 134, 250;

135, 204; 135, 240; 140, 235; 140, 253; 143, 205;

143, 250; 145, 203; 145, 230; 150, 234; 150, 243;

153, 204; 153, 240; 154, 203; 154, 230.

b) Figyeltessük meg, hogy egy szám mikor nagyobb 300-nál! A százas helyiértéken állószámjegy alakiértéke 3, 4 vagy 5 lehet. Ha a százasok helyén 3 áll, a tízesek és azegyesek helyén egyszerre nem állhat 0, de erre az esetre most nem kell �gyelnünk.

Az els® szám százas helyiértékén 3-féleképpen, a második szám százas helyiér-tékén 2-féleképpen; az els® számban a tízesek helyére 4-, az egyesek helyére 3-;illetve a második számban a tízesek helyére 2-, az egyesek helyére 1-féleképpenválaszthatok számjegyet. 3 � 4 � 3

| {z }

1: szám

� 2 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 144 eset.


Meg�gyeltethetjük, hogyan változik a megoldáshalmaz, ha mind a két szám na-gyobb 400-nál! A százas helyiértéken álló számjegy alakiértéke 4 vagy 5 lehet.2 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 1 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 48 eset.


401, 523; 410, 523; 420, 513; 430, 512;

401, 532; 410, 532; 420, 531; 430, 521;

402, 513; 412, 503; 421, 503; 431, 502;

402, 531; 412, 530; 421, 530; 431, 520;

403, 512; 413, 502; 423, 501; 432, 501;

403, 521; 413, 520; 423, 510; 432, 510.

c) Figyeltessük meg, hogy egy szám mikor páros! Ha az egyes helyiértéken lev®számjegy páros. Alakiértéke 0, 2 vagy 4 lehet.

Általánosan: Bontsuk 3 részre a feladatot.1. rész: Számoljuk össze azokat az eseteket, amikor a 0 az els® számban azegyesek helyén áll. : : 0

| {z }

1: szám

j : : :| {z }

2: szám

74


A második számban az egyesek helyére 2-féleképpen választhatok, vagy 2-est,vagy 4-est. Így elhasználtam már két számkártyát. Maradt 4. Az els® számban aszázasok helyére 4-féleképpen, a tízesekére 3-féleképpen, a második számban aszázasok helyére 2-féleképpen, a tízesekére 1-féleképpen választhatok számkár-tyát. 4 � 3 � :

| {z }

1: szám

� 2 � 1 � 2| {z }

2: szám

= 48 eset lehetséges.

2. rész: Ugyanennyi esetet kapok, ha a 0-t a második számba teszem az egyeshelyiértékre.

3. rész: A 0-t nem teszem az egyes helyiértékre.

Az els® számban az egyesek helyére 2-féleképpen választhatok. A második szám-ban az egyesek helyére már csak 1-féleképpen.

A százas helyiértékre nem kerülhet 0, így az els® számban a százas helyiértékre 3-,a második számban 2-féleképpen, a tízesekére 2-, illetve 1-féleképpen választhatokszámkártyát. 3 � 2 � 2

| {z }

1: szám

� 2 � 1 � 1| {z }

2: szám

= 24 eset.

Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma:(48 + 48 + 24) : 2 = 60

130, 452; 210, 354; 310, 254; 510, 342; 102, 354;

130, 542; 210, 534; 310, 524; 510, 432; 102, 534;

140, 352; 230, 154; 320, 154; 530, 142; 132, 504;

140, 532; 230, 514; 320, 514; 530, 412; 152, 304;

150, 342; 250, 134; 350, 124; 540, 132; 302, 154;

150, 432; 250, 314; 350, 214; 540, 312; 302, 514;

120, 354; 310, 452; 410, 352; 510, 234; 312, 504;

120, 534; 310, 542; 410, 532; 510, 324; 352, 104;

130, 254; 340, 152; 430, 152; 520, 134; 502, 134;

130, 524; 340, 512; 430, 512; 520, 314; 502, 314;

150, 234; 350, 142; 450, 132; 530, 124; 512, 304;

150, 324; 350, 412; 450, 312; 530, 214; 532, 104.

d) Összesen 70 lehet®ség. Ha az els® szám 103, a második 254, 452, 542, � lehet.

103; 254, 452, 542, 524; 245; 310;

105; 234, 324, 342, 432; 251; 304, 340, 430;

123; 450, 504, 540; 253; 410;

125; 304, 340, 430; 301; 452, 524, 542;

135; 204, 240, 402, 420; 305; 412;

143; 250, 502, 520; 315; 402, 420;

145; 230, 302, 320; 321; 450, 504, 540;

153; 204, 402; 325; 410;

201; 354, 534; 341; 502, 520;

203; 514; 351; 402, 420;

205; 314; 401; 532;

75


213; 450, 504, 540; 403; 512;

215; 304, 340, 430; 413; 502, 520;

231; 450, 504, 540; 421; 530;

235; 410; 423; 510;

241; 350, 530; 431; 502, 520.

243; 510;

Tk. 68/17. feladat: A feladat megoldása el®tt elevenítsük fel az egy-, két-, három-,négyjegy¶ szám, illetve a kerek tízes, százas, ezres fogalmát.

a) 1000 >1 999 b) 1000 >

900 100 c) 1000 >990 10

d) 990 >90 900 e) 1000 = 1000 f) 0 = 0

Tk. 68/18. feladat: A jobb képesség¶ tanulóktól elvárhatjuk az összes megoldás megke-resését. A megoldások megtalálásában segítséget jelent, ha felírjuk, milyen alakiérték¶számokat szerepeltethetünk.

a) 2 = 0 + 2 = 1 + 1 = 0 + 1 + 1. Tehát a számunkban szerepelhet 0 és 2, vagy 0 és 2darab 1-es, vagy 2 darab 1-es.

A számok: 2, 20, 200, 2000, 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100.

b) 3 = 0 + 3 = 1 + 2 = 1 + 2 + 0 = 1 + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 + 1

A számok: 3, 30, 300, 12, 21, 102, 120, 201, 210, 1002, 1020, 1200, 111, 1011,1101, 1110.

c) 4 = 0 + 4 = 1 + 3 = 1 + 3 + 0 = 2 + 2 = 2 + 2 + 0 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 0 = 1 + 1 + 1 + 1

A számok: 4, 40, 400, 13, 31, 103, 130, 301, 310, 1003, 1030, 1300, 22, 202, 220,112, 121, 211, 1012, 1021, 1102, 1120, 1201, 1210, 1111.

M¶veletek kerek számokkal

Óra: 38{39. 41{43. 47{49.

A 200-as számkörben tanultak kiterjesztése a 2000-es számkörre: analóg számításokkerek százasokkal, majd tízesekkel. A kétjegy¶ számok szorzása 10-zel. A 20-nálnem nagyobb számok szorzása 100-zal. Azért célszer¶ már most foglalkozni ezekkela számolási eljárásokkal, hogy mire az írásbeli m¶veletek eredményének becslésekorszükség lesz rájuk, akkorra már a tanulók kell® gyakorlatot szerezzenek a kerek szá-mokkal történ® számításokban. Minden témakörben oldjunk meg kell® számú egyszer¶,illetve összetett szöveges feladatot, vizsgáljunk szöveggel adott függvényeket.

Tk. 69/1{3.; Gy. 48/20{22. feladat: Összeadás, kivonás egyesekkel a 20-as, kerektízesekkel a 200-as, kerek százasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számoslehet®séget nyújtanak az analógiák meg�gyelésére.

Tk. 70/4. feladat: Szöveggel adott függvények. Fogalmaztassuk meg a szabályt többfélealakban. Vezessük rá a tanulókat a szabály tudatos követésére.

76


a) A + 800 = B, B { 800 = A, B { A = 800

A 100 200 300 600 500 1100 0 1200 700 800

B 900 1000 1100 1400 1300 1900 800 2000 1500 1600

b) Cs +D = 800, 800 { Cs = D, 800 { D = Cs

Cs 100 600 500 800 700 400 10 300 790 799

D 700 200 300 0 100 400 790 500 10 1

Tk. 70/5. feladat: Egy órán oldassuk meg a feladatsort! Figyeljük meg, hogy a tanulókmilyen szintre jutottak a szöveg értelmezésében, az összefüggések megtalálásában, amegoldási modell elkészítésében.

Gy. 49/25. feladat: A feladat megoldásakor kétféle gondolatmenetre számíthatunk.

1. Ha Nórának 800 Ft-tal kevesebb pénze lenne, Nóra és Éda vagyona egyenl® lenne.Ekkor kett®jük vagyona is 800 Ft-tal kevesebb lenne. Az így kapott közös vagyon feleÉdáé, a másik fele és a �félretett" 800 Ft Nóráé.

100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100 100

| {z }

Éda vagyona

| {z }

Nóra vagyona

Egyenlettel:

É = (1600 { 800) : 2 = 400, N = 1600 { 400 = 1200, vagy N = 400 + 800 = 1200

2. Ha Édának 800 Ft-tal több pénze lenne, Nóra és Éda vagyona egyenl® lenne. Ekkorkett®jük vagyona is 800 Ft-tal több lenne. Az így kapott közös vagyon fele Nóráé, Édavagyona pedig 800 Ft-tal kevesebb, mint Nóráé.

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

| {z }

Nóra vagyona| {z }

Éda vagyona

Egyenlettel:

N = (1600 + 800) : 2 = 1200, É = 1200 { 800 = 400, vagy É = 1600 { 1200 = 400

Tk. 70/6. feladat: Figyeltessük meg, hogy az ábra hogyan segítheti a megoldást.

a)K L1600 m

| {z }

700 m| {z }

1600 m { 700 m

e = 1600 { 700 = 900, 900 m-t mentek együtt.

77


b) K L1600 m

| {z }

500 m| {z }

1600 m { 500 m { 700 m| {z }

700 m

m = 1600 { 500 { 700 = 400, 400 m-re voltak egymástól.

Tk. 71/7{8.; Gy. 49/23{24. feladat: Összeadás, kivonás a 2000-es számkörben kerektízesekkel, a korábban megismert számolási modellek alkalmazásával.

Ismételten �gyeltessük meg az összeg változásait kéttagú összeg esetén.

Ha az egyik tagot növeljük (csökkentjük), a másikat nem változtatjuk, az összeg isugyanannyival n® (csökken).

Ha az egyik tagot növeljük (csökkentjük), a másikat ugyanannyival csökkentjük (nö-veljük), az összeg nem változik.

A különbség változásainak meg�gyeltetése.

Ha a kisebbítend®t növeljük (csökkentjük), a kivonandót nem változtatjuk, a különb-ség is ugyanannyival n® (csökken).

Ha a kisebbítend®t nem változtatjuk, a kivonandót növeljük (csökkentjük), a különb-ség is ugyanannyival csökken (n®).

Ha a kisebbítend®t és a kivonandót is ugyanannyival növeljük (csökkentjük), a kü-lönbség nem változik.

A tanulók alkalmazzák a számolások során a meg�gyelt összefüggéseket.

Tk. 71/9{11., 72/12{13. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és akülönbség változásairól tanultak tudatos alkalmazása.

Tk. 72/12. feladat:

900 + 700 = 1600

a) 900 + 700 { 200 = 1600 { 200 = 1400

b) 900 + 200 + 700 = 1600 + 200 = 1800

c) 900 { 200 + 700 + 200 = 1600 { 200 + 200 = 1600d) 900 + 200 + 700 + 200 = 1600 + 200 + 200 = 2000

e) 900 { 200 + 700 { 200 = 1600 { 200 { 200 = 1200

Tk. 72/13. feladat:

Sanyi Tamás1400 >

500 900

a) 1400 >300 900 + 200

b) 1400 + 200 >700 900

c) 1400 { 200 >300 900

d) 1400 >700 900 { 200

e) 1400 + 200 >500 900 + 200

f) 1400 { 200 >500 900 { 200

78


Tk. 72/14. feladat:

a) El®ször gy¶jtsük össze, mely három szám összege 1000. 300

320

380 280 340

3601000

280 + 340 + 380,

300 + 340 + 360,

300 + 320 + 380.

Két felbontásban szerepel a 300, 340, 380.

Ezek a számok kerülnek a háromszög csúcsaira.

b) Az eljárás itt is lehet ugyanaz, mint az el®bb. Gy¶jtsük össze, mely három számösszege 1000.

260 + 340 + 400, 280 + 320 + 400, 300 + 320 + 380,

260 + 360 + 380, 280 + 340 + 380, 300 + 340 + 360.

Mindegyik szám két felbontásban szerepel, így több megoldás is lehetséges.

1000

260 340 400

360 280

380 300 320

1000

340 260 400

360 280

300 380 320

300 360 340

260

400280320

380 1000

Tk. 72/15. feladat:

150 140 300 180 120 160 170

260 480 150 450 430 850 180

680 520 900 550 270 150 490

390 170 130 140 130 400 910

280 330 400 540 200 300 300

Tk. 73. oldal, mintapélda; Tk. 73/16{18.; Gy. 50/26. feladat: Játék pénz segítségévelszemléltetjük a 10-zel, 100-zal való szorzást, illetve a kerek tízesek, százasok szorzását.Ha szükséges, több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.

A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, 100-zal való oszthatóság felismerésére.

Figyeltessük meg a szorzat, illetve a hányados változásait:

Ha az egyik tényez®t tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) növeljük, a másiktényez®t ugyanannyiad részére csökkentjük, akkor a szorzat értéke nem változik. (Apénz értékével kapcsolatosan is felismertethetjük a mér®szám és a mértékegység közöttifordított arányosságot.)

79


Gy. 50/26. feladat: Analóg számítások: kerek tízesek, százasok szorzása, osztása.

a)

7 � 2 = 1 4 7 � 2 0 = 1 4 0 7 � 2 0 0 = 1 4 0 0

1 4 : 7 = 2 1 4 0 : 7 = 2 0 1 4 0 0 : 7 = 2 0 0

1 4 : 2 = 7 1 4 0 : 2 0 = 7 1 4 0 0 : 2 0 0 = 7

b)

3 � 5 = 1 5 3 � 5 0 = 1 5 0 3 � 5 0 0 = 1 5 0 0

1 5 : 3 = 5 1 5 0 : 3 = 5 0 1 5 0 0 : 3 = 5 0 0

1 5 : 5 = 3 1 5 0 : 5 0 = 3 1 5 0 0 : 5 0 0 = 3

Tk. 74/19. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzás gyakorlására szánt feladatok.

Gy. 50/27. feladat: A kerek tízesek, százasok szorzásának gyakorlása.

Tk. 74/20. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzás, osztás gyakorlása, mértékváltásokkalösszekapcsolva. A �tizedrész" és a �századrész" fogalmát el kell magyaráznunk.

Tk. 74/21. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzásról, osztásról, illetve a kerek tízesek,százasok szorzásáról; a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása szöveges feladatokmegoldásában.

Római számírás

Óra: 40. 44. 50.

Tk. 75. oldal, összefoglaló mintapéldák: Összefoglaljuk a római számírás alapvet®szabályait, a korábban tanultakat kiterjesztjük a 2000-es számkörben. Új számjegy aD = 500 és az M = 1000.

Figyeltessük meg az egyesek, a tízesek és a százasok írása közötti összefüggést. Különemeljük ki a 4, 40, 400, illetve a 9, 90, 900 számok írását.

Tk. 75/1. feladat:

a) 100|{z}

C

+ (50 + 10)| {z }

LX

+ (1 + 1)| {z }

II

= CLXII

b) (500 + 100)| {z }

DC

+ (50 { 10)| {z }

XL

+ (1 + 1)| {z }

II

= DCXLII

80


c) 1000| {z }

M

+ (500 + 100)| {z }

DC

+ 1|{z}

I

= MDCI

d) (1000 { 100)| {z }

CM

+ (50 + 10)| {z }

LX

+ 5|{z}

V

= CMLXV

e) 1000| {z }

M

+ (100 + 100)| {z }

CC

+ (5 + 1)| {z }

VI

= MCCVI

f) (500 + 100 + 100)| {z }

DCC

+ (10 + 10 + 10)| {z }

XXX

= DCCXXX

Gy. 51/28. feladat: El®ször bontva írják le a tanulók a számokat, majd a bontott alakalapján római számírással.

a) 756 = (500 + 100 + 100)| {z }

DCC

+ 50|{z}

L

+ (5 + 1)| {z }

VI

= DCCLVI

b) 263 = (100 + 100)| {z }

CC

+ (50 + 10)| {z }

LX

+ (1 + 1 + 1)| {z }

III

= CCLXIII

c) 435 = (500 { 100)| {z }

CD

+ (10 + 10 + 10)| {z }

XXX

+ 5|{z}

V

= CDXXXV

d) 974 = (1000 { 100)| {z }

CM

+ (50 + 10 + 10)| {z }

LXX

+ (5 { 1)| {z }

IV

= CMLXXIV

e) 1301 = 1000| {z }

M

+ (100 + 100 + 100)| {z }

CCC

+ 1|{z}

I

= MCCCI

Tk. 75/2. feladat: Arab számírással írt számok felírása római számírással, az eddigtanultak alkalmazásával.

a) 356 = CCCLVI, 204 = CCIV, 713 = DCCXIII,

825 = DCCCXXV, 1001 = MI, 968 = CMLXVIII.

b) 179 = CLXXIX, 407 = CDVII, 652 = DCLII,

936 = CMXXXVI, 1053 = MLIII, 1104 = MCIV.

Tk. 75/3. feladat: Római számírással írt számok felírása arab számírással, az eddigtanultak alkalmazásával.

a) CLXII = 162, CCCXLVII = 347, DVIII = 508,

CD = 400, MCCI = 1201, MCDVI = 1406.

b) CCXXXVIII = 238, CDXL = 440, DCCLXX = 770,

CMLVII = 957, MCMXLV = 1945.

c) CDXIII = 413, DCIX = 609, DCCCLXXXVIII = 888,

CMI = 901, MDCLXVI = 1666.

81

Hajdu program 3 3UJP3C 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

Számok ábrázolása számvonalon

Óra: 41{42. 45{46. 51{52.

A számok közelít® helyének ábrázolása tízesével, százasával beosztott számegyene-sen. Fontosnak tartjuk, hogy többször, többféle módon járják be a tanulók a különböz®számvonalakat. A számok ábrázolása, elhelyezkedésük leolvasása lehet®séget nyújta számok összehasonlítására, a nagysági viszonyok eldöntésére, tulajdonságaik tu-datosítására. A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése céljából a számokszámegyenesen való ábrázolása mellett térjünk ki a számok írásáról, olvasásáról, kép-zésér®l, bontásáról, összehasonlításáról, szomszédairól, tulajdonságairól tanultakra is {megfelel® indirekt di�erenciálással alkalmazkodva az egyes tanulók tudásszintjéhez.

Tk. 76/1{2., 77/4. feladat: Lépegetés egyesével beosztott számvonalon, számokhelyének megkeresése.

Soroltassuk fel a kerek tízeseket növekv®, illetve csökken® sorrendben, a tanulókkövessék ezt a felsorolást a számvonalon.

Beszéljük meg, melyik szám nagyobb, melyik kisebb. A számok nagyság szerintiösszehasonlítása szemléletessé teszi a számok közötti viszonyt, segíti a számfoga-lom fejl®dését.

Határoztassuk meg az egyes számok számszomszédait, páros, páratlan, illetvetízes, százas és ezres szomszédait.

Ha szükségesnek tartjuk, többször térjünk vissza ehhez a számvonalhoz.

Tk. 77. oldal, mintapélda; Tk. 77/3. feladat: A természetes számok halmazán értel-mezett egyenl®tlenségek igazsághalmazának ábrázolása számegyenesen.

Ha eddig nem tanítottuk a kisebb-egyenl®, nagyobb-egyenl® (5,=) nem kisebb, nemnagyobb, nem egyenl® (6>,6<,6= ) fogalmakat, akkor ezzel a témával most részletesebbenkell foglalkoznunk, többször vissza kell térnünk rá.

Tk. 77/3. feladat:

a) 20 < a < 3020 30

� � � � � � � � �

b) 220 < b 6> 230220 230

� � � � � � � � � �

c) 550 6> c < 560, és c páros550 560� � � � �

d) 550 6> d < 560, és d páratlan550 560

� � � � �

e) e < 50, és az e kerek tízes0 50� � � � �

Tk. 78/5{6. feladat: Különböz® beosztású számegyeneseken jelölt számok meghatáro-zása. Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a számok közelít® helyének meghatározásátkülönböz® beosztású számegyeneseken.

Figyeltessük meg az analógiákat. Például az 5. feladatban d: 4, 40, 400; a 6.feladatban d: 15, 415, 915.

82


Tk. 78/7{8.; Gy. 51/29., 52/30{31. feladat: A számok közelít® helyének megkeresésetízesével, százasával, ötösével, ötvenesével beosztott számegyenesen.

Például a tízesével beosztott számegyenesen a feladatot úgy végezhetjük el a legpon-tosabban, ha a két kerek tízes közötti szakaszt gondolatban tíz egyenl® részre osztjuk,és így határozzuk meg a keresett szám helyét.

Az ábrázolás során �gyeltessük meg a szám tízes, kés®bb százas szomszédait, és aztis, melyik szomszédhoz áll közelebb a szám (a számok kerekítésének el®készítése).

A számok kerekítése

Óra: 43{44. 47{48. 53{54.

Tk. 79. oldal, mintapéldák; Tk. 80/1{3.; Gy. 53/32., 54/35. feladat: A mintapéldák,illetve a feladatok feldolgoztatásával el®készíthetjük a számok kerekítését:

megkerestetjük a számok közelebbi tízes, illetve százas szomszédját;

meg�gyeltetjük, hogy az 5-re végz®d® számok egyenl® távolságra vannak mindkéttízes szomszédjuktól, az 50-re végz®d® számok egyenl® távolságra vannak mindkétszázas szomszédjuktól;

tudatosítjuk, hogy a 0 lehet tízes, százas, ezres szomszédja is egy számnak;a kerek százasok is lehetnek tízes szomszédok, illetve kerek ezresek is lehetnektízes, százas szomszédok.

Tk. 80/2. feladat: A megoldásnál és a közös ellen®rzésnél használhatjuk a 76. oldalonlév® számvonalat.

a) 56; 57; 58; 59; 60; 61; 62; 63; 64.

Beszéljük meg, hogy az 55 és a 65 egyenl® távol van a tízes szomszédaitól.

b) 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104.

c) 576; 577; 578; 579; 580; 581; 582; 583; 584.

d) 1496; 1497; 1498; 1499; 1500; 1501; 1502; 1503; 1504.

e) 0; 1; 2; 3; 4.

Gy. 54/35. feladat:

Szám Egyes szomszédok Tízes szomszédok Százas szomszédok

kisebb nagyobb kisebb nagyobb kisebb nagyobb

475 474 476 470 480 400 500

958 957 959 950 960 900 1000

1237 1236 1238 1230 1240 1200 1300

1862 1861 1863 1860 1870 1800 1900

83


Tk. 80/3. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy az 50-re végz®d® számok egyenl®távolságra vannak mindkét százas szomszédjuktól. Beszéljük meg, hogy a ��" aztjelenti, hogy folytatódik a felsorolás a három pont után adott számig.

A számegyenesen már nem tudjuk egyenként jelölni a számokat, ezért csak azt jelöljük,hogy mely szakaszon helyezkednek el ezek a számok. Az üres karika azt jelenti, hogyaz a szám már nem tartozik a megoldáshoz.

a) 450 < a < 550 a = f451 , 452 , . . . 548 , 549g.

400 500 600b) 950 < b < 1050 b = f951 , 952 , . . . 1048 , 1049g.

900 1000 1100

Tk. 80/4. feladat: A pontos érték, közelít® érték közötti különbség érzékeltetése a feladatcélja. Kérjünk a tanulóktól is hasonló példákat.

a) Pontos érték. b) Közelít® érték. c) Közelít® érték. d) Pontos érték.

Tk. 81. oldal, összefoglaló: Megfogalmazzuk az eddigi tapasztalatok alapján a �pontosérték", �kerekített érték", illetve a �közelít® érték" fogalmakat. A kerekítésre ne mecha-nikus szabályt fogalmaztassunk meg, hanem olyat, amely a matematikai tartalmat istükrözi. Beszéljük meg: az 5-re, 50-re, � végz®d® számokat azért kerekítjük felfelé,mert a matematikusok ebben állapodtak meg (másképpen is megegyezhettek volna).

Tk. 82/5{6.; Gy. 53/33{34. feladat: Számok tízesre, százasra kerekítése.

Gy. 54/36{37. feladat: Adott számok jelölése a számegyenesen, a tízes, illetve aszázas számszomszédok meg�gyelése, a számok tízesre, illetve százasra kerekítettértékének meghatározása.

Tk. 82/7. feladat: Célszer¶ el®ször az egyik feltételnek eleget tev® számhalmazt meg-határozni. x jelentse azoknak a számoknak a halmazát, amelyek százasra kerekítettértéke 500, x � 500; x: 450; 451; . . . 548; 549.

a) 450; 451; 452; 453; 454; 455; 456; 457; 458; 459.

b) 540; 541; 542; 543; 544; 545; 546; 547; 548; 549.

c) 495; 496; 497; 498; 499; 500; 501; 502; 503; 504.

Tk. 82/8. feladat:

a) 996; 998; 1000; 1002; 1004. b) 1010; 1012; 1014; 1016; 1018.

c) Nincs ilyen szám. Ha az egyesek helyén 1 áll, a szám nem lehet páros.

d) 950; 960; 970; 980; 990 1000; 1010; 1020; 1030; 1040.

Tk. 82/9. feladat:

a) c = 2; d = 2; e = 5; f = 6;

g: 5, 6, 7, 8, 9; h: 0, 1, 2, 3, 4.

b) i = 3; j = 4; k: 5, 6, 7, 8, 9;

l: 0, 1, 2, 3, 4; m: 0, 1, . . . 8, 9;

n: 0, 1, . . . 8, 9.

84


Tk. 82/10. feladat: Könnyebb eldönteni az állítások igaz vagy hamis voltát, ha megha-tározzuk, mely számoknak 70 a tízesre kerekített értéke.

x � 70, x: 65; 66; 67; 68; 69; 70; 71; 72; 73; 74.

a) Igen, pl.: 66; 67.

b) Nem, mert a legkisebb és a legnagyobb szám különbsége kevesebb 10-nél.(74 { 65 = 9)

c) Igen, 65; 70. d) Nem.

Hosszúságmérés milliméterrel

Óra: 45{46. 49{50. 55{56.

A hosszúságmérésr®l tanultak gyakorlása, tartalmi kib®vítése kedvez® alkalmat nyújt a2000-es számkörr®l tanultak alkalmazására, folyamatos ismétlésére és gyakorlására.

Tk. 83. oldal, összefoglaló: Bevezetjük a milliméter fogalmát. A tanult mértékegysé-geket (milliméter, centiméter, deciméter, méter) rendszerezzük. Tisztázzuk a �deci-",�centi-", �milli-" latin eredet¶ el®tagok jelentését.

A fogalomalakítás szempontjából fontosnak tartjuk, hogy a tanulók sok mérést végez-zenek teremben, terepen egyaránt. Különböz® távolságokat mérjenek meg, mérjenek

össze, illetve mérjenek ki. A mérést minden esetben el®zze meg a hosszúságok becs-

lése. A gyakorlatok során alkalmazzuk a kerekítésr®l tanultakat. Sok tapasztalatszerzésután kerüljön csak sor az átváltásokra.

A milliméterskála használata, az átváltások mélyítik és biztosabbá teszik a számfogal-mat.

Ennél a témánál lehet®ségünk nyílik a tantárgyak közötti koncentrációra (környezetisme-rettel, technikával).

Tk. 84/4{5.; Gy. 82/20{21. feladat: Különböz® hosszúságok becslése.

A Gy. 82/20. feladat megoldása:

a) A tábla szélessége 20 dm, magassága 1 m, vastagsága 25 mm.

b) Egy öv hosszúsága 7 dm, szélessége 3 cm, vastagsága 1 mm.

c) Egy könyv hosszúsága 2 dm 35 mm, szélessége 15 cm 5 mm, vastagsága 15 mm.


a) Magassága: 13 dm.

b) Araszának hossza: 160 mm.

c) Lépésének hossza: 46 cm.

Gy. 82/22{24. feladat: Távolságok becslése, kimérése, megmérése. Figyeltessük mega mérés és a becslés közötti eltéréseket.

85


Gy. 83/25. feladat: A kerület fogalmát készítjük el® a négyszögek oldalhosszúságánakmegmérésével, félegyenesre való kimérésével.

a) a = 25 mm, b) a = 28 mm, c) a = 20 mm,

b = 32 mm, b = 38 mm, b = 45 mm,

c = 25 mm, c = 23 mm, c = 45 mm,

d = 32 mm, d = 22 mm, d = 20 mm,

K = 104 mm; K = 111 mm; K = 130 mm.

Tk. 84/1{3.; Gy. 83/26. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor amértékváltások gyakoroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.

Tk. 85/6. feladat: Ismerkedés a térképhasználattal. (Kapcsolat a környezetismerettel.)

Tk. 85/7. feladat: A kerekítésr®l tanultak alkalmazása a hosszúságok közelít® megha-tározásában.

42 cm <3 mm

42 cm 3 mm <7 mm

43 cm, 423 mm � 420 mm = 42 cm;

30 cm <5 mm

30 cm 5 mm <5 mm

31 cm, 305 mm � 310 mm = 31 cm;

99 cm <7 mm

99 cm 7 mm <3 mm

100 cm, 997 mm � 1000 mm = 100 cm;

100 cm <4 mm

100 cm 4 mm <6 mm

101 cm, 1004 mm � 1000 mm = 100 cm.

Tk. 85/8. feladat:

3 dm <58 mm

3 dm 58 mm <42 mm

4 dm, 358 mm � 400 mm = 4 dm;

6 dm <12 mm

6 dm 12 mm <88 mm

7 dm, 612 mm � 600 mm = 6 dm;

9 dm <49 mm

9 dm 49 mm <51 mm

10 dm, 949 mm � 900 mm = 9 dm;

10 dm <54 mm

10 dm 54 mm <46 mm

11 dm, 1054 mm � 1100 mm = 11 dm.

�rtartalommérés

Óra: 47{48. 51{52. 57{58.

Az ¶rtartalommérésr®l tanultak áttekintése, kib®vítése, alkalmazása a 2000-es szám-körben. �rtartalmak becslése, összehasonlítása, megmérése, kimérése alkalmilagválasztott egységekkel, illetve szabványmértékegységekkel, milliliterrel, centiliterrel, de-ciliterrel, literrel. Új fogalom a milliliter, ezért itt is beszéljük meg, hogy a �milli" latin szótmilyen értelemben használjuk.

Az ¶rtartalom becslése a tapasztalat hiánya miatt sokkal nehezebb, mint a hosszúságbecslése, így erre nagy �gyelmet fordítsunk.

86

Hajdu program 3 3UJP3D 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

Mutassunk be különböz® alakú, közel azonos ¶rtartalmú edényeket. Becslés alapjánrendeztessük ezeket ¶rtartalmuk szerint. A becslést ellen®riztessük méréssel. A mé-résnél hívjuk fel a �gyelmet arra, hogy a mér®edényt mindig pontosan töltsék meg, afolyadékot ne lötyögtessék szét.

Tk. 86{88. oldal, összefoglaló: A tanult mértékegységek értelmezése, rendszerezése:Mutassunk be 1 dm3 térfogatú, vagyis 1 l ¶rtartalmú, például kartonpapírból készültkockát, 1 dl ¶rtartalmú �tepsit" stb. Így a tanulók tapasztalatot szereznek (el®készítésszintjén) az ¶rtartalommérés és a térfogatmérés egységei közti kapcsolatok felismeré-séhez.

Tk. 88/1{2.; Gy. 85/31{32. feladat: A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es szám-kör �gyelembevételével. A fogalomalkotás mélyítése érdekében a feladat megoldatásael®tt több becslést, mérést végezzenek a tanulók alkalmi, valamint szabványos mér®-eszközökkel.

Tk. 88/3{4.; Gy. 85/30. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg mega-lapozó feladatok. A fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezeket a mér®edényeketténylegesen bemutatjuk.

A tömegmérésr®l tanultak alkalmazása

Óra: 49. 53. 59.

A tömegmérésr®l tanultakat tekintjük át. Nem tanulunk új fogalmat, de komoly er®próbátjelent a korábban tanultak alkalmazása a 2000-es számkörben.

A tanulók becsüljék meg, hasonlítsák össze, mérjék meg különböz® testek tömegét.Mérjenek ki adott tömeg¶, különböz® s¶r¶ség¶ anyagokat (f¶részport, homokot, vasportstb.). Szerezzenek tapasztalatokat a különböz® s¶r¶ség¶ anyagok tömegének becslé-sében, vizsgálatában.

Csak a konkrét mérések után foglalkozzanak a tanulók a tanult mértékegységek átváltá-sával a 2000-es számkör �gyelembevételével.

A mérési adatokat rendeztessük táblázatba, esetleg készíttessünk diagramot, gra�konta mérési adatok felhasználásával.

A téma feldolgozását hangoljuk össze a környezetismerettel is.

Gy. 87/36. feladat: Tisztázzuk, hogy egy doboz kakaó tömege 40 dkg.

Ennyi doboz kakaó 4 10 15 7 12

Ennyi a tömege 160 dkg 4 kg 6 kg 280 dkg 840 dkg

Gy. 87/37. feladat:

Ennyi volt 5 kg 10 kg 2 kg 1 kg

Ennyi elfogyott 1 kg 40 dkg 4 kg 80 dkg 15 dkg 0 dkg

Ennyi maradt 3 kg 60 dkg 5 kg 20 dkg 185 dkg 100 dkg

87


Gy. 87/38. feladat:

Tej Kenyér Tejföl Tojás A tömeg

összesen

1 kg 70 dkg 20 dkg 6 dkg

1 doboz 2 db 3 pohár 10 db

100 dkg 140 dkg 60 dkg 60 dkg 3 kg 60 dkg





A feladatnak több megoldása lehet.





Az összeg becslése

Óra: 50. 54. 60.

Tk. 89. oldal, mintapélda: Az írásbeli összeadás els® lépésében meg kell becsülnünkaz összeget. Ezért most tisztázzuk a becslés fogalmát. Megbeszéljük, hogy a kerekí-tésr®l és a kerek számok összeadásáról tanultakat hogyan alkalmazhatjuk háromjegy¶számok összegének becslésére.

Minimumszinten elégedjünk meg a százasra kerekített értékekkel történ® számolással.A biztosabban számoló tanulóktól elvárható, hogy képesek legyenek alkalmazni a másikkét modellt, a tízesre kerekített értékekkel történ® számolást, illetve az összeg �két értékközé szorítását".

A becsült közelít® érték és a tényleges összeg összevetésekor a tanulóknak tudatosanalkalmazniuk kell az összeg változásairól korábban meg�gyelteket.

Tk. 89/1{3., 90/4{5. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges értékösszehasonlítása az összeg változásainak �gyelembevételével.

88


Írásbeli összeadás

Óra: 51{55. 55{59. 61{66.

Az írásbeli összeadás algoritmusa jól szemléltethet® játék pénzzel. A tankönyvi ábrastatikus, ha például a táblán kirakva ténylegesen �eljátsszuk" két érték összeadását,akkor ez a dinamikus szemléltetés lényegesen hatékonyabb lehet (ebben az esetben atankönyvi ábra �emlékeztet®" szerepet játszik). Adjunk a gyerekek kezébe játék pénzt.

Az írásbeli összeadás tanulása során az �átváltás" okozhat gondot a tanulóknak, ezértezen a téren (több órán át) fokozatosan nehezítjük a feladatokat (nincs átváltás, egyátváltás van, több átváltás van).

Kezdetben típushiba lehet, hogy a tanulók nem veszik �gyelembe a helyiértéket a szá-mok egymás alá írásakor, ezért mindig adjunk olyan feladatokat, amelyekben a gyer-mekeknek kell egymás alá írniuk a számokat.

A m¶veletvégzés el®tt mindig becsültessük meg az eredményt (lásd az összeg becs-lésénél leírtakat). A becslésnél ne írják egymás alá a számokat a tanulók, �fejben"számoljanak. Tipikus, hogy az írásbeli m¶velet eredményét kerekíti a tanuló, és ezt írjabe becsült értékként. Ne fogadjuk el ezt a �megoldást".

Az eredményt ellen®riztessük az összeadás fordított sorrendben történ® elvégeztetésé-vel, illetve a becsült érték és az összeg összehasonlíttatásával.

Az írásbeli m¶veletek elsajátíttatását, gyakoroltatását a tanítás minden fázisában kössükössze egyszer¶ szöveges feladatok megoldatásával. Most válik teljessé a szövegesfeladatok megoldásának menete (hiszen korábban nem volt funkciója a becslésnek):

A szöveg értelmezése: esetleg rajz, táblázat készítése, az adatok lejegyzése stb.Az adatokat úgy kell lejegyezni, hogy az adatok közti összefüggés is értelmezhet®legyen.

A matematikai modell felírása.

Becslés kerekített értékekkel történ® számítással.

A számítás elvégzése.

Ellen®rzés: a becsült érték és a számított érték összehasonlítása, az összeg válto-zásainak �gyelembevételével.

Szöveges válasz, az eredmény értelmezése a szöveg alapján.

Tk. 91. oldal, mintapélda; Tk. 91/1.; Gy. 55/1{2., 56/3{4. feladat: Két szám írásbeliösszeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekítettértékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassukössze a becsült és a számított értékeket.

Például a Gy. 56/3. feladatban a kell® begyakorlás érdekében leírjuk, hogyan becsülünk�fejben". A tagok kerekített értékével végezzük el az összeadást.

a) Százasra kerekített értékekkel becsülve:

336 + 452 Sz:B: 3 0 0 + 5 0 0 = 8 0 0

3 3 6+ 4 5 2

7 8 8

89


Tízesre kerekített értékekkel becsülve:

336 + 452 Sz:B: 3 4 0 + 4 5 0 = 7 9 0

3 3 6+ 4 5 2

7 8 8

Tk. 92/2. feladat: Taszilóval gyakran fognak még találkozni könyvünkben a tanulók.Típushibákra hívjuk fel ily módon a �gyelmet. Beszéljük meg, hol tévedett Tasziló:

Az írásbeli összeadásnál helyiérték szerint kell egymás alá írni a számokat.

Javíttassuk ki a hibákat a gyermekekkel.

Tk. 92/3{4.; Gy. 57/6. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és azösszeg változásainak meg�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletekelvégzése el®tt meg tudja mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.

Gy. 57/5. feladat: Az írásbeli összeadás alkalmazása direkt és indirekt szövegezés¶szöveges feladatok megoldásában. A tanulóknak új, hogy az eredményt el®re meg kellbecsülniük, és az ellen®rzéskor az eredményt össze kell hasonlítaniuk a becsült értékkel.

Az egyszer¶ (nehezítést nem tartalmazó) szöveges feladatok önálló néma olvasássaltörtén® értelmezése és megoldása 3. osztályban minimumkövetelmény.

Tk. 92/5. feladat: Négy útvonal lehetséges. A m¶veletek elvégzése el®tt a mennyisége-ket fejezzük ki azonos mértékegységekkel.

Tk. 93. oldal, mintapéldák; Tk. 94/6{9.; Gy. 58/7{9. feladat: Írásbeli összeadástízesek, illetve százasok átlépésével. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértékenaz összeadást a tanulók, kevésbé feledkeznek meg róla.

Csak akkor lépjünk át erre az anyagrészre, ha az átváltás nélküli összeadás algoritmusátmár elsajátították a tanulók. El®ször két szám írásbeli összeadását legfeljebb egy helyi-értéken történ® átváltással, kés®bb több helyiértéken történ® átváltással végeztessük.Végül több tag összegét számíttassuk ki.

Rendszeresen térjünk vissza az összeg változásainak meg�gyeltetésére.

Tk. 95. oldal, mintapélda; Tk. 96/10., Gy. 61/13{14. feladat: Több szám írásbe-li összeadásának modelljét mutatjuk be több helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.A m¶veletvégzés el®tt megbecsüljük az eredményt. Az eredményt ellen®rizhetjük azösszeadás fordított sorrendben történ® elvégzésével, illetve a becsült érték és az összegösszehasonlításával.

Tk. 96/13. feladat: Az átváltásokkal kapcsolatos típushibákat becslés segítségével fel-ismertetjük, majd javíttatjuk a tanulókkal.

Tk. 96/11. feladat: Azt kell észrevenniük a tanulóknak, hogy a két legdrágább játékotÁgi meg tudja vásárolni, (még pénze is marad), de a három legolcsóbbat már nem.

641 + 716 < A < 624 + 328 + 456

1357 < A < 1408

Tk. 96/12.; Gy. 62/16. feladat: Az adatok kigy¶jtésekor döntsék el a tanulók, melyek aszükséges és melyek a felesleges adatok a kérdés megválaszolásához.

Fogalmaztassunk meg más kérdéseket is a tanulókkal az alaptörténethez.

90


Tk. 96/12. feladat:

a) Szükséges adatok: alma = 612 kg, körte = 203 kg.

Felesleges adatok: répa = 385 kg, sz®l® = 356 kg, karalábé = 78 kg.

b) Szükséges adatok: sz®l® = 356 kg, karalábé = 78 kg.

Felesleges adatok: alma = 612 kg, körte = 203 kg, répa = 385 kg.

c) Szükséges adatok: alma = 612 kg, sz®l® = 356 kg, körte = 203 kg.

Felesleges adatok: répa = 385 kg, karalábé = 78 kg.

Tk. 97. oldal, mintapélda; Tk. 97/14{15., 98/16.; Gy. 59/10., 62/15. feladat: Szövegesfeladatok az írásbeli összeadás, illetve a mértékváltások gyakoroltatására. A szükségesadatok nem azonos mértékegységgel vannak megadva, így az adatok kigy¶jtésénél átkell váltani a mértékegységeket.

Törekedjünk az önálló feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megol-dást (adatok kigy¶jtése, terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosanjussunk el a szöveges válasz utáni ellen®rzéshez.

Gy. 59/10. feladat:

a) Adatok: k = 468 kg, a = 1325 kg,Terv: gy = k + a Becslés: 1800 kgVálasz: Andor bácsinak 1793 kg gyümölcse termett.

4 6 8+ 1 3 2 5

1 7 9 3

b) A: P = 5 m 47 cm = 547 cm P < Sz

T: Sz = P + 602 B: 1150 cmV: 11 m 49 cm hosszú vezeték kellene Pálnak.

5 4 7+ 6 0 21 1 4 9

c) A: C = 5 kg 72 dkg = 572 dkg C < P

Több: 4 kg 15 dkg-mal = 415 dkg-mal.T: P = C + 415 B: 990 dkgV: Pista 9 kg 87 dkg tömeg¶ dinnyét vett.

5 7 2+ 4 1 5

9 8 7

d) A: L = 4 dm 6 cm 8 mm = 468 mmM = 315 mm

T: V = L + 315 B: 790 mmV: A szalag 7 dm 8 cm 3 mm hosszú volt.

4 6 8+ 3 1 5

7 8 3

Tk. 98/18. feladat: Célszer¶ a mennyiségeket azonos mértékegységekkel (dekagram-mal) kifejezni. Tisztázzuk a legfeljebb, legalább fogalmakat. A legalább 3 kg azt jelenti,hogy 3 kg vagy annál több, a legfeljebb 5 kg azt jelenti, hogy 5 kg vagy annál kevesebbaz áru tömege. Azaz 300 dkg 5 áru tömege 5 500 dkg. Jelöljük bet¶kkel az árukat:

k: kenyér, f: felvágott, s: sajt, p: paradicsom, q: paprika, c: cukor.

a = k + f + s + c + q = 75 + 58 + 76 + 100 + 172 = 481, a = 481 dkg = 4 kg 81 dkg;

a = k + f + s + c + p = 75 + 58 + 76 + 100 + 154 = 463, a = 463 dkg = 4 kg 63 dkg;

a = k + f + p + q = 75 + 58 + 154 + 172 = 459, a = 459 dkg = 4 kg 59 dkg;

91


a = f + s + p + q = 58 + 76 + 154 + 172 = 460, a = 460 dkg = 4 kg 60 dkg;

a = k + s + p + q = 75 + 76 + 154 + 172 = 477, a = 477 dkg = 4 kg 77 dkg;

a = f + s + c + q = 58 + 76 + 100 + 172 = 406, a = 406 dkg = 4 kg 6 dkg;

a = f + k + c + q = 58 + 75 + 100 + 172 = 405, a = 405 dkg = 4 kg 5 dkg;

a = f + s + c + p = 58 + 76 + 100 + 154 = 388, a = 388 dkg = 3 kg 88 dkg;

a = f + k + c + p = 58 + 75 + 100 + 154 = 387, a = 387 dkg = 3 kg 87 dkg;

a = k + s + c + q = 75 + 76 + 100 + 172 = 423, a = 423 dkg = 4 kg 23 dkg;

a = k + s + c + p = 75 + 76 + 100 + 154 = 405, a = 405 dkg = 4 kg 5 dkg;

a = f + k + s + c = 58 + 75 + 76 + 100 = 309, a = 309 dkg = 3 kg 9 dkg;

a = f + k + s + p = 58 + 75 + 76 + 154 = 363, a = 363 dkg = 3 kg 63 dkg;

a = f + k + s + q = 58 + 75 + 76 + 172 = 381, a = 381 dkg = 3 kg 81 dkg;

a = f + k + q = 58 + 75 + 172 = 305, a = 305 dkg = 3 kg 5 dkg;

a = f + s + q = 58 + 76 + 172 = 306, a = 306 dkg = 3 kg 6 dkg;

a = f + c + p = 58 + 100 + 154 = 312, a = 312 dkg = 3 kg 12 dkg;

a = f + c + q = 58 + 100 + 172 = 330, a = 330 dkg = 3 kg 30 dkg;

a = f + p + q = 58 + 154 + 172 = 384, a = 384 dkg = 3 kg 84 dkg;

a = k + s + p = 75 + 76 + 154 = 305, a = 305 dkg = 3 kg 5 dkg;

a = k + s + q = 75 + 76 + 172 = 323, a = 323 dkg = 3 kg 23 dkg;

a = k + c + p = 75 + 100 + 154 = 329, a = 329 dkg = 3 kg 29 dkg;

a = k + c + q = 75 + 100 + 172 = 347, a = 347 dkg = 3 kg 47 dkg;

a = k + p + q = 75 + 154 + 172 = 401, a = 401 dkg = 4 kg 1 dkg;

a = s + c + p = 76 + 100 + 154 = 330, a = 330 dkg = 3 kg 30 dkg;

a = s + c + q = 76 + 100 + 172 = 348, a = 348 dkg = 3 kg 48 dkg;

a = s + p + q = 76 + 154 + 172 = 402, a = 402 dkg = 4 kg 2 dkg;

a = c + p + q = 100 + 154 + 172 = 426, a = 426 dkg = 4 kg 26 dkg;

a = p + q = 154 + 172 = 326, a = 326 dkg = 3 kg 26 dkg.

A tanulóktól nem várjuk el az összes megoldás megtalálását.

Tk. 98/17.; Gy. 60/12. feladat: Szöveg, illetve ábra értelmezése alapján változtatjuk atagokat, és �gyeltetjük meg az összeg változásait.

Tk. 98/19. feladat: Tisztázzuk a �legfeljebb" és a �legalább" kifejezések jelentését.

A �legfeljebb" 2 �nomságot vesz azt jelenti, hogy kett®t vagy annál kevesebbet vehet,azaz 0-t, 1-et, 2-t.

A �legalább" 3 �nomságot vesz azt jelenti, hogy hármat vagy annál többet vehet, azaz3-at vagy 4-et.

A feladat feltételrendszere nem teljes. Jobb csoportokban a tanulóktól várhatjuk a kiegé-szít® feltételeket, és vizsgálhatjuk a megoldáshalmaz változását. Más csoportokban miegészítsük ki. (Például: Mindegyik áruból csak egyet vásárolhat Anna. Mindegyik árubóltöbbet is vásárolhat. Jégkrémb®l többet, a többi áruból csak 1-et vásárolhat stb.)

Azt az esetet közöljük, amikor mindegyik áruból csak 1-et vásárolhat Anna.

Jelöljük a �nomságokat: j: jégkrém, c: csoki, b: bonbon, s: sütemény.

92


a) 0 �nomságot vesz: 0 Ft;

1 �nomságot vesz: j = 162 Ft, c = 136 Ft, b = 545 Ft, s = 494 Ft;

2 �nomságot vesz: j + c = 162 + 136 = 298, 298 Ft-ot �zet;

j + b = 162 + 545 = 707, 707 Ft-ot �zet;

j + s = 162 + 494 = 656, 656 Ft-ot �zet;

c + b = 136 + 545 = 681, 681 Ft-ot �zet;

c + s = 136 + 494 = 630, 630 Ft-ot �zet;

b + s = 545 + 494 = 1039, 1039 Ft-ot �zet;

b) 3 �nomságot vesz: j + c + b = 162 + 136 + 545 = 843 , 843 Ft-ot �zet;

j + c + s = 162 + 136 + 494 = 792 , 792 Ft-ot �zet;

j + b + s = 162 + 545 + 494 = 1201 , 1201 Ft-ot �zet;

c + b + s = 136 + 545 + 494 = 1175 , 1175 Ft-ot �zet;

4 �nomságot vesz: j + c + b + s = 162 + 136 + 545 + 494 = 1337 , 1337 Ft-ot �zet.

Gy. 59/11. feladat: Szabálykövetés.

a 648 863 1237 1543 1847 543 1345 734

b 342 204 548 285 51 1104 284 814

a + b 990 1067 1785 1828 1898 1647 1629 1548

Tk. 99/23. feladat: Szöveggel adott függvény az írásbeli összeadás gyakorlati alkalma-zására. A szabályt többféle alakban fogalmaztassuk meg. A + B = C, C { A = B,C { B = A.

Tk. 99/20. feladat: A kreativitást fejleszt® feladat, alkalmas az indirekt di�erenciálásra.(Ki talál több megoldást?) A feladat megoldatása el®tt �gyeltessük meg, hogy két há-romjegy¶ szám összege mindig kisebb 2000-nél, így az összeg ezres helyiértékére csak1-es számjegy kerülhet. A többi számjegyet próbálgatással keressék meg a tanulók.

Természetesen az összes megoldás megtalálását nem várjuk el.

4 3 7+ 5 8 91 0 2 6

4 3 9+ 5 8 71 0 2 6

4 8 7+ 5 3 91 0 2 6

4 8 9+ 5 3 71 0 2 6

4 7 3+ 5 8 91 0 6 2

4 7 9+ 5 8 31 0 6 2

4 8 3+ 5 7 91 0 6 2

4 8 9+ 5 7 31 0 6 2

2 4 6+ 7 8 91 0 3 5

2 4 9+ 7 8 61 0 3 5

2 8 6+ 7 4 91 0 3 5

2 8 9+ 7 4 61 0 3 5

2 6 4+ 7 8 91 0 5 3

2 6 9+ 7 8 41 0 5 3

2 8 4+ 7 6 91 0 5 3

2 8 9+ 7 6 41 0 5 3

3 4 7+ 8 5 91 2 0 6

3 4 9+ 8 5 71 2 0 6

93


3 5 7+ 8 4 91 2 0 6

3 5 9+ 8 4 71 2 0 6

7 4 3+ 8 5 91 6 0 2

7 4 9+ 8 5 31 6 0 2

7 5 3+ 8 4 91 6 0 2

7 5 9+ 8 4 31 6 0 2

4 2 6+ 8 7 91 3 0 5

4 2 9+ 8 7 61 3 0 5

4 7 6+ 8 2 91 3 0 5

4 7 9+ 8 2 61 3 0 5

6 2 4+ 8 7 91 5 0 3

6 2 9+ 8 7 41 5 0 3

6 7 4+ 8 2 91 5 0 3

6 7 9+ 8 2 41 5 0 3

Tk. 99/21. feladat: A kreativitást fejleszt® feladat. Figyeljük meg az egyes eseteket. Me-lyek lehetnek a nyer® stratégiák? Minden próbálkozásnál beszéljük meg, kinek sikerülta megoldás, kinek nem, és miért. A meglév® számokból más elrendezéssel lehet-e afeltételnek megfelel® megoldást találni?

Tk. 99/22.; Gy. 63/17{18. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számje-gyeinek meghatározása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakor-lását. A feladatok megoldásával el®készítjük az írásbeli kivonás gyakorlását.

2. tájékozódó felmérés

Az összeadásra szánt gyakorlóórák egyikén célszer¶ megíratni a Felmér® feladatsorokmegfelel® feladatsorát. Így tájékozódhatunk arról, hogy tanulóink számolási készségeelérte-e a megkívánt szintet.

2. felmérés

Óra: 56. 60. 67{68.

Lásd Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály A){D) változat cím¶ kiadványokat.

A minimumszint¶ és a minimumszintet meghaladó követelményeket a Tananyagbeosz-tás, követelmények címszó alatt, míg a javítási útmutatót és az értékelési normákat azutolsó fejezetben közöljük.

94

Hajdu program 3 3UJP3E 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

A különbség becslése

Óra: 57. 61. 69.

Az írásbeli kivonás el®készítéseként a háromjegy¶ számok különbségének becslésévelfoglalkozunk.

Mélyítjük a közelít® számításokról és a mérésekr®l tanultakat, valamint gyakoroltatjuk akerek számok kivonását szöveges feladatok megoldásában is.

Figyeltessük meg a különbség változásait.

(Ugyancsak az írásbeli kivonás el®készítése végett oldassunk meg olyan feladatokat is,amelyekben az összeg hiányzó tagját kell meghatározni.)

Tk. 100. oldal, mintapélda: A különbség becslésére két modellt mutatunk be. Százasravagy tízesre kerekített értékekkel számolva végeztetjük el a kivonást. A �két érték közészorítás" a kivonás esetén a tanulók többsége számára túlságosan nehéz lenne, ezértezt a modellt legfeljebb csak megmutatjuk, de alkalmazását csak a legtehetségesebbtanulóktól várhatjuk el. Azzal a modellel foglalkozzunk részletesebben, amelyet a helyitanterv meghatároz, esetleg di�erenciáljunk a tanulók képességei szerint.

Tk. 100/1. feladat: A játék pénzzel való kirakás segíti a tanulókat a becslés, illetve akivonás elvégzésében.

Tk. 101/2{4. feladat: A kivonásban szerepl® elnevezések (kisebbítend®, kivonandó,különbség) használatának gyakorlása, a különbség változásainak meg�gyelése.

Ha a kisebbítend® valamennyivel n® (csökken), a kivonandó változatlanul marad,akkor a különbség is ugyanannyival n® (csökken).

Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor akülönbség is ugyanannyival csökken (n®).

Tk. 101/5{6. feladat: Gyakorlófeladatok a kivonás becslésére tízesre és százasra kere-kített értékekkel számolva. A különbség változásairól tanultak alkalmazásával hasonlít-tassuk össze a becsült és a valódi értéket.

Tk. 101/7. feladat: A szöveges feladatok megoldása során alkalmazni kell a hosszúságmérésér®l, a kerekítésr®l és a közelít® számításokról tanultakat.

Írásbeli kivonás

Óra: 58{63. 62{68. 70{76.

Az írásbeli kivonás tanításánál is tartsuk be a fokozatosság elvét:

Az írásbeli kivonás végrehajtása tízesátlépés nélkül. Itt szemléltethetjük a kivonástjáték pénzzel (a fogalomalkotás szemléleti megalapozása). Már ebben a szakasz-ban felismertetjük, hogy az ellen®rzést a m¶veletek közti kapcsolatokat alkalmazvavégezhetjük el.

95


Az írásbeli kivonás végrehajtása úgy, hogy egy helyen van átváltás. Ekkor már nemcélszer¶ játék pénzzel szemléltetni az eljárást. Ugyanis ez a szemléltetés nem iga-zodik a kivonás algoritmusához, hiszen a kisebbítend®ben kellene a tízest átváltani.

Ha az el®z® lépést megértették és begyakorolták a tanulók, akkor adhatunk olyanfeladatokat, amelyekben több helyiértéken van átváltás.

Az írásbeli kivonásra három különböz® algoritmus terjedt el. Csak egy algoritmus meg-tanítását és alapos begyakoroltatását javasoljuk.

A kivonás tanításának minden fázisában adjunk szöveges feladatokat. Ha kell® gya-korlatra tettek szert a tanulók, akkor alkalmazzuk az újonnan tanult eljárást függvényekvizsgálatában, sorozatok képzésében is.

Tk. 102{103. oldal, mintapéldák: Az itt bemutatott eljárás az írásbeli kivonást a �hiá-nyos" írásbeli összeadás kiegészítésére vezeti vissza, amikor az összeg és az egyik tagismeretében a hiányzó tagot kell megadni.

A mintapéldákban szemléletes szöveges feladatokkal ismertetjük fel, hogyan írható felez a hiányos összeadás kivonásként, illetve hogyan alkalmazhatjuk az összeadásróltanultakat a kivonás végrehajtásában.

Ennek az algoritmusnak az el®nyei:

Az új algoritmus a jól begyakorolt írásbeli összeadás algoritmusának közvetlen alkal-mazása.

Kevesebb gondolati lépésb®l áll, ezért gyorsabb, mint a másik két algoritmus. Kisebba hiba lehet®sége.

Jól ismert összefüggésre épül: a kivonás az összeadás fordított m¶velete. Ezértminden tanuló megérti, hogy ugyanazzal az elvi meggondolással számolhatunk (vé-gezhetjük el például a tízes átlépését), mint az összeadásnál.Például az elterjedtebb, de sokkal nehézkesebb pótlásos algoritmusnál az átváltást a kisebbítend® ésa kivonandó ugyanolyan mérték¶ növelésével magyarázzuk, amely az átlagos vagy annál gyengébbképesség¶ gyermekek számára már alig követhet®. Így az algoritmusból csak a mechanikus eljárásttanulják meg, de nem tudják indokolni a lépéseket.

Hátránya ennek az algoritmusnak, hogy a szül®k (és a kollégák) többsége nem eztgyakorolta be, ami zavart okozhat, ha a szül® segít a gyermeknek.

A kivonás ellen®rzését háromféle módon tanítjuk. Összeadással, másik kivonással,illetve a becsült érték és az eredmény összehasonlításával. Ügyeljünk arra, hogy azellen®rzés ne legyen nehezebb, mint maga a számítás.

Tk. 104/1. feladat: Hiányos összeadás átírása kivonássá. Figyeltessük meg az összea-dás és a kivonás közötti inverz kapcsolatot.

Tk. 104/2.; Gy. 64/1{2., 65/3{4. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlé-pés nélkül. A m¶velet elvégzése el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésttöbbféleképpen végeztessük el. Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés.

Csak akkor menjünk tovább, ha a számolás algoritmusát már elsajátították a tanulók.

96


Például a Gy. 65/3. feladatban tízesre kerekített értékekkel becsülve:

a) 1567 { 425 � 1 5 7 0 { 4 3 0 = 1 1 4 0

Sz: 1 5 6 7{ 4 2 5

1 1 4 2

E: 1 1 4 2+ 4 2 5

1 5 6 7

1 5 6 7{ 1 1 4 2

4 2 5

Százasra kerekített értékekkel becsülve meg�gyeltethetjük, hogy a kerekítésnél a kiseb-bítend®t növeltük, a kivonandót pedig csökkentettük, tehát a becsült érték biztosan többlesz, mint a tényleges eredmény. Erre a meg�gyelésre az ellen®rzésnél visszatérünk.

a) 1567 { 425 � 1 6 0 0 { 4 0 0 = 1 2 0 0

Sz: 1 5 6 7{ 4 2 5

1 1 4 2

E: 1 1 4 2+ 4 2 5

1 5 6 7

1 5 6 7{ 1 1 4 2

4 2 5

Tk. 104/3. feladat: Az írásbeli kivonás és összeadás alkalmazása függvénytáblázatkitöltésében felismert szabály alapján. Írassuk le a szabályt többféle alakban. Figyel-tessük meg az összeadás és a kivonás, illetve a kivonás és az inverz kivonás közöttikapcsolatot.

a) a + b = c , b + a = c , c { a = b , c { b = a;

b) d { e = f , d { f = e , e + f = d , f + e = d.

Tk. 104/4.; Gy. 66/5{6. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére.Figyeltessük meg, hogy a fordított szövegezés¶ feladat jól mutatja az összeadás és akivonás kapcsolatát. Tartassuk be a szöveges feladat megoldásának tanult lépéseit.Egyre nagyobb önállóságot kérjünk a tanulóktól.

Gy. 66/5. feladat:

a) Adatok: v = 1465 Ft, e = 342 FtTerv: m = v { eBecslés: m � 1500 { 300 = 1200Válasz: Albertnek 1123 Ft-ja maradt.

1 4 6 5{ 3 4 2

1 1 2 3

1 1 2 3+ 3 4 2

1 4 6 5

b) Az adatok kiírásakor az adatok közti összefüggést is tüntessék fel a tanulók.

Adatok: B = 1726 Ft B >412 FtJ

Terv: J = B { 412Becslés: J � 1730 { 410 = 1320 FtVálasz: Jutkának 1314 Ft-ja van.

1 7 2 6{ 4 1 2

1 3 1 4

1 3 1 4+ 4 1 2

1 7 2 6

c) Az adatok közti összefüggés feltüntetése különösen fontos a fordított szövegezés¶feladatoknál.

Adatok: N = 1854 Ft N >613 FtÉ

Terv: É = N { 613Becslés: É � 1850 { 610 = 1240 FtVálasz: Édának 1241 Ft-ja van.

1 8 5 4{ 6 1 3

1 2 4 1

1 2 4 1+ 6 1 3

1 8 5 4

97


Tk. 105/5. feladat: Hiányos összeadások. Az összeadás és a kivonás kapcsolatáróltanultak mélyítése. Legalább egy helyen találkoznak a tanulók helyiérték-átlépéssel, ígyel®készítjük az írásbeli kivonás következ® szakaszát is.

Tk. 105/6.; Gy. 67/7{8. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.

Tk. 105/7. feladat: A típushibákra, illetve a becslés fontosságára hívjuk föl a tanulók�gyelmét. Részletesen beszéljük meg a tévedés okát, javíttassuk ki a hibákat.

Tk. 105/8., 106/9. feladat: Ellen®rizhetjük, hogy a tanulók mennyire sajátították el atanult szakkifejezéseket. Itt is követeljük meg a becslést és az ellen®rzést is.

Figyeltessük meg az összeadás és a kivonás közötti kapcsolatot.

Tk. 106/10. feladat: A kivonás gyakorlására szánt egyszer¶ szöveges feladatok (egyhelyiértéken történ® átlépéssel). Figyeljük meg, mennyire sajátították el a tanulók aszöveges feladatok megoldásának menetét.

Tk. 106/11.; Gy. 68/9{10. feladat: Szöveggel adott függvények a kivonás és az össze-adás gyakorlására. A szabályt többféle alakban is fogalmaztassuk meg. Figyeljük meg,mennyire ismerik föl a tanulók az összeadás és a kivonás közötti összefüggéseket.

Tk. 106/11. feladat:

a) Szabály: A +B = 945 , B +A = 945 , 945 { A = B , 945 { B = A.

A 321 430 238 536 372 264 537 53 73 27

B 624 515 707 409 573 681 408 892 872 918

b) Szabály: D + 345 = C , 345 +D = C , C { 345 = D , C { D = 345.

C 756 468 876 754 909 662 1058 1068 1567 1628

D 411 123 531 409 564 317 713 723 1222 1283

Gy. 68/9. feladat:

a) Szabály: G +H = 1542 , H +G = 1542 , 1542 { G = H , 1542 { H = G.

G (Ft) 521 1126 920 707 679 774

H (Ft) 1021 416 622 835 863 768

b) Szabály: M + 328 = I , 328 +M = I , I { 328 = M , I { M = 328.

I (Ft) 658 603 913 1354 1026 1241

M (Ft) 330 275 585 1026 698 913

c) A feladat megoldása során észre kell vennünk, hogy 646 Ft, 647 Ft, 648 Ft, 649 Ftmaradhatott. Ha ezeket az értékeket beírjuk a táblázatba, kiszámítható a könyv ára.Egyenl®tlenséget is írhatunk.

Szabály: 645 < 1245 { K < 650 vagy 1245 { K = M , 645 < M < 650

98


K (Ft) 599 598 597 596

M (Ft) 646 647 648 649

A táblázatban több rovat szerepel, mint ahány megoldás van. Ezzel egyrészt helyetkívántunk biztosítani a próbálkozásoknak, másrészt nem akartuk sugallni a helyesmegoldások számát.

Gy. 68/10. feladat:

a) Az összefüggéseket többféle alakban is leírhatjuk.

K <126 Ft J

<126 Ft L; K + 126 = J, J + 126 = L;

J { 126 = K, L { 126 = J; J { K = 126, L { J = 126.

K (Ft) 541 415 289 1014 888 762

J (Ft) 667 541 415 1140 1014 888

L (Ft) 793 667 541 1266 1140 1014

b) Ottónak és Robinak együtt 1024 Ft-ja van. Hármójuknak sem lehet ennél kevesebbpénzük. Hármójuk vagyona 1024 Ft, 1025 Ft, 1026 Ft, 1027 Ft, 1028 Ft, 1029 Ftlehet. Innen könnyen kiszámítható Peti vagyona.

O +R = 1024 Ft,

1024 Ft 5 O +R + P < 1030 Ft,

1024 Ft { 1024 Ft 5 P < 1030 Ft { 1024 Ft.

O (Ft) 528 528 528 528 528 528

R (Ft) 496 496 496 496 496 496

P (Ft) 0 1 2 3 4 5

O +R +P 1024 1025 1026 1027 1028 1029

Gy. 69/11{12. feladat: Írásbeli kivonás több helyiértéken történ® átlépéssel.

Tk. 107/12. feladat: Tisztázzuk a legalább, legfeljebb kifejezések jelentését.

a) A legalább 300 Ft marad azt jelenti, hogy 300 Ft-ja vagy annál több pénze maradédesanyának, azaz legfeljebb 956 Ft-ot költhet.

1256 = 300 + V; 956 = V.

Jelöljük az élelmiszereket: a: alma, p: paprika, d: dinnye, t: tök, b: bab, s: saláta.

Ha egyfajta élelmiszert vásárol, 6-féleképpen választhat.

1256 { a = 1256 { 248 = 1008; 1256 { t = 1256 { 546 = 710;

1256 { p = 1256 { 317 = 939; 1256 { b = 1256 { 125 = 1131;

1256 { d = 1256 { 413 = 843; 1256 { s = 1256 { 139 = 1117.

Ha kétfajta élelmiszert vásárol, 14-féleképpen választhat.

1256 { (248 + 317) = 1256 { 248 { 317 = 691;

99


1256 { (248 + 413) = 1256 { 248 { 413 = 595;

1256 { (248 + 546) = 1256 { 248 { 546 = 462;

1256 { (248 + 125) = 1256 { 248 { 125 = 883;

1256 { (248 + 139) = 1256 { 248 { 139 = 869;

1256 { (317 + 413) = 1256 { 317 { 413 = 526;

1256 { (317 + 546) = 1256 { 317 { 546 = 393;

1256 { (317 + 125) = 1256 { 317 { 125 = 814;

1256 { (317 + 139) = 1256 { 317 { 139 = 800;

1256 { (413 + 125) = 1256 { 413 { 125 = 718;

1256 { (413 + 139) = 1256 { 413 { 139 = 704;

1256 { (546 + 125) = 1256 { 546 { 125 = 585;

1256 { (546 + 139) = 1256 { 546 { 139 = 571;

1256 { (125 + 139) = 1256 { 125 { 139 = 992.

Ha háromfajta élelmiszert vásárol, 12-féleképpen választhat.

1256 { (248 + 317 + 125) = 1256 { 248 { 317 { 125 = 566;

1256 { (248 + 317 + 139) = 1256 { 248 { 317 { 139 = 552;

1256 { (248 + 413 + 125) = 1256 { 248 { 413 { 125 = 470;

1256 { (248 + 413 + 139) = 1256 { 248 { 413 { 139 = 456;

1256 { (248 + 546 + 125) = 1256 { 248 { 546 { 125 = 337;

1256 { (248 + 546 + 139) = 1256 { 248 { 546 { 139 = 323;

1256 { (248 + 125 + 139) = 1256 { 248 { 125 { 139 = 744;

1256 { (317 + 413 + 125) = 1256 { 317 { 413 { 125 = 401;

1256 { (317 + 413 + 139) = 1256 { 317 { 413 { 139 = 387;

1256 { (317 + 125 + 139) = 1256 { 317 { 125 { 139 = 675;

1256 { (413 + 125 + 139) = 1256 { 413 { 125 { 139 = 579;

1256 { (546 + 125 + 139) = 1256 { 546 { 125 { 139 = 446.

Ha négyfajta élelmiszert vásárol, 2-féleképpen választhat.

1256 { (248 + 317 + 125 + 139) = 1256 { 248 { 317 { 125 { 139 = 427;

1256 { (248 + 413 + 125 + 139) = 1256 { 248 { 413 { 125 { 139 = 331.

b) A legfeljebb 300 Ft marad azt jelenti, hogy 300 Ft-ja vagy annál kevesebb pénzemarad édesanyának, azaz legalább 956 Ft-ot költ.

Ha ötfajta élelmiszert vásárol, 1-féleképpen választhat.

1256 { (248 + 317 + 413 + 125 + 139) = 1256 { 248 { 317 { 413 { 125 { 139 = 14.

Ha négyfajta élelmiszert vásárol, 8-féleképpen választhat.

1256 { (248 + 317 + 413 + 125) = 1256 { 248 { 317 { 413 { 125 = 153;

1256 { (248 + 317 + 413 + 139) = 1256 { 248 { 317 { 413 { 139 = 139;

1256 { (248 + 317 + 546 + 125) = 1256 { 248 { 317 { 546 { 125 = 20;

1256 { (248 + 317 + 546 + 139) = 1256 { 248 { 317 { 546 { 139 = 6;

1256 { (248 + 546 + 139 + 125) = 1256 { 248 { 546 { 139 { 125 = 198;

100


1256 { (317 + 413 + 125 + 139) = 1256 { 317 { 413 { 125 { 139 = 262;

1256 { (317 + 546 + 125 + 139) = 1256 { 317 { 546 { 125 { 139 = 129;

1256 { (413 + 546 + 125 + 139) = 1256 { 413 { 546 { 125 { 139 = 33.

Ha háromfajta élelmiszert vásárol, 8-féleképpen választhat.

1256 { (248 + 317 + 413) = 1256 { 248 { 317 { 413 = 278;

1256 { (248 + 317 + 546) = 1256 { 248 { 317 { 546 = 145;

1256 { (248 + 413 + 546) = 1256 { 248 { 413 { 546 = 49;

1256 { (317 + 546 + 125) = 1256 { 317 { 546 { 125 = 268;

1256 { (317 + 546 + 139) = 1256 { 317 { 546 { 139 = 254;

1256 { (413 + 546 + 125) = 1256 { 413 { 546 { 125 = 172;

1256 { (413 + 546 + 139) = 1256 { 413 { 546 { 139 = 158.

Ha kétfajta élelmiszert vásárol, 1-féleképpen választhat.

1256 { (413 + 546) = 1256 { 413 { 546 = 297.

Gy. 70/13. feladat: Szöveges feladat az írásbeli kivonás gyakorlására. Gyakoroltathatjuka zárójelfelbontásról tanultakat is.

a) 1205 { 658 = 547; b) 1205 { 214 = 991;

c) 1205 { 156 = 1049; d) 1205 { 128 = 1077;

e) 1205 { (658 + 128) = 419; 1205 { 658 { 128 = 419;

f) 1205 { (156 + 214) = 835; 1205 { 156 { 214 = 835;

g) 1205 { (214 + 156 + 128) = 707; 1205 { 214 { 156 { 128 = 707;

h) 1205 { (658 + 214 + 156 + 128) = 49; 1205 { 658 { 214 { 156 { 128 = 49.

Gy. 70/14. feladat: A megoldáshoz ismerni kell a kivonásban használt elnevezéseket.A megoldáshalmazt a természetes számok halmazán értelmezzük.

a) 100 5 kivonandó < 110, azaz a

kivonandó: 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106; 107; 108; 109 lehet.

1001 { 109 5 a 5 1001 { 100, vagy 1001 { 110 < a 5 1001 { 100.

a = 892; 893; . . . 900; 901

b) 96 < kivonandó < 100, azaz a kivonandó: 97; 98; 99 lehet.

1001 { 99 5 b 5 1001 { 97, vagy 1001 { 96 > b > 1001 { 100.

c) 995 < kivonandó < 1000, azaz a

kivonandó: 996; 997; 998; 999 lehet.

1001 { 999 5 c 5 1001 { 996, vagy 1001 { 995 > c > 1001 { 1000.

Tk. 107/13{15.; Gy. 70/15{16., 71/17{21. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskoraz összeadás), valamint a hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®ltanultak alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok értelmezésében és megoldásában.

Ügyeljünk arra, hogy a tanulók tartsák be a szöveges feladat megoldásának tanult lépé-seit. Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonosmértékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket. A szöveges válaszban is ügyeljenek amegfelel® mértékegység használatára és az esetleges átváltásra.

101


Gy. 70/16. feladat:

Adatok: b = 10 kg 25 dkg = 1025 dkg, e = 5 kg 70 dkg = 570 dkg

Terv: m = b { e = 1025 { 570Becslés: 1000 { 600 = 400 dkgVálasz: 4 kg 55 dkg burgonya maradt.

1 0 2 5{ 5 7 0

4 5 5

4 5 5+ 5 7 01 0 2 5

Gy. 71/17. feladat:

Adatok: a = 12 m 50 cm = 1250 cm, t = 32 dm 5 cm = 325 cm

Terv: m = a { t = 1250 { 325Becslés: 920 cmVálasz: 9 m 25 cm hosszú a maradék.

1 2 5 0{ 3 2 5

9 2 5

9 2 5+ 3 2 5

1 2 5 0

Gy. 71/18. feladat:

Adatok: k = 12 dm 5 cm 5 mm = 1255 mm, k = p + 678 mm

Terv: p = k { 678 = 1255 { 678Becslés: 580 mm vagy 600 mm

Válasz: 5 dm 7 cm 7 mm hosszúa piros szalag.

1 2 5 5{ 6 7 8

5 7 7

5 7 7+ 6 7 81 2 5 5

Gy. 71/19. feladat:

Adatok: v = 7 l fél dl = 705 cl, k = 2 l 18 cl = 218 cl

Terv: m = v { k = 705 { 218Becslés: 500 clVálasz: 4 l 8 dl 7 cl tej maradt.

7 0 5{ 2 1 8

4 8 7

4 8 7+ 2 1 8

7 0 5

Gy. 71/20. feladat:

Adatok: o = 1 l 25 cl 5 ml = 1255 ml, v = 5 dl 72 ml = 572 ml

Terv: víz = o { v = 1255 { 572Becslés: 690 mlVálasz: 6 dl 8 cl 3 ml a víz az oldatban.

1 2 5 5{ 5 7 2

6 8 3

6 8 3+ 5 7 21 2 5 5

Gy. 71/21. feladat:

Adatok: l = 1000 dkg, b = 5 kg 75 dkg = 575 dkg, p = 2 kg 30 dkg = 230 dkg

Terv: m = l { (b + p) = 1000 { (575 + 230), vagy m = l { b { p = 1000 { 575 { 230

Becslés: 2 kg

Válasz: 1 kg 95 dkg liszt marad.

Tk. 108/16{19., 109/20{23.; Gy. 72/22. feladat: A különbség változásainak meg�gyel-tetése szemléletes szöveges, illetve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirektdi�erenciálásra alkalmas. Ha a tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket,akkor is el tudják végezni a kivonásokat, mások az összefüggések felismerése után azírásbeli m¶veletek elvégzése nélkül megkapják az eredményeket.

102


Ha a kisebbítend® valamennyivel n® (csökken), a kivonandó nem változik, akkor akülönbség is ugyanannyival n® (csökken).

Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor akülönbség is ugyanannyival csökken (n®).

Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbségnem változik.

Az osztály, illetve a tanulók képességei szerint válogassunk a feladatok közül.

Gy. 72/22. feladat:

a) 5 5 2{ 2 7 8

2 7 4

{ 2 0 0

{ 2 0 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

+ 1 0 0

+ 1 0 0

8 5 2{ 2 7 8

5 7 4

b) 7 5 2{ 7 8

6 7 4

{ 2 0 0+ 2 0 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

+ 1 0 0{ 1 0 0

7 5 2{ 3 7 8

3 7 4

c) 9 0 2{ 4 2 8

4 7 4

+ 1 5 0+ 1 5 0+ 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

{ 2 5 0{ 2 5 0{ 0

5 0 2{ 2 8

4 7 4

d) 9 3 7{ 9 3

8 4 4

+ 1 8 5{ 1 8 5+ 3 7 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

{ 1 5 8+ 1 5 8{ 3 1 6

5 9 4{ 4 3 6

1 5 8

Tk. 110/24. feladat: Sorozatok hiányzó elemeinek meghatározása az írásbeli összeadásés kivonás alkalmazásával. Figyeltessük meg az analógiákat.

a) A növekv® sorozatban a szomszédos elemek különbsége mindig 150.

185; 335; 485; 635; 785; 935; 1085; 1235; 1385.

205; 355; 505; 655; 805; 955; 1105; 1255; 1405.

b) A csökken® sorozatban a szomszédos elemek különbsége mindig 120.

1374; 1254; 1134; 1014; 894; 774; 654; 534; 414.

1574; 1454; 1334; 1214; 1094; 974; 854; 734; 614.

1174; 1054; 934; 814; 694; 574; 454; 334; 214.

Tk. 110/25.; Gy. 73/23. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzószámjegyek meghatározása kijelölt kivonásban.

Tk. 110/26. feladat: Érdekes matematikai játék. Vizsgáljuk meg az egyes megoldásokat.Beszéljük meg a megoldás gondolatmenetét. Ha nem sikerült megoldani a feladatota dobott számokból, �gyeljük meg ennek okát, nézzük meg, van-e megoldás. Afeladat lehet®séget biztosít a matematikai szakszavak használatára, a vitakészség, aszocializáció fejlesztésére.

103


Tk. 111/27. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok az írásbeli kivonás és összeadás al-kalmazásának gyakorlására. A változatos szövegezés a kivonás értelmezésének elmé-lyítését és a szövegértelmez® képesség fejlesztését szolgálja. Szoktassuk rá a tanulókata szöveg �gyelmes elolvasására. Figyeltessük meg, hogy ugyanaz a szó (�maradt", �ke-vesebb") más-más m¶velettel írható le a szöveg értelmének megfelel®en. Az adatokkigy¶jtésekor az adatok közti összefüggéseket is jegyezzék le a tanulók.

Tk. 111/28. feladat: A tanulók válasszák ki a kérdés megválaszolásához szükséges,illetve a felesleges adatokat.

a) Szükséges adatok: n = 526; f = 947; b = 263; a = 148.

Terv: ö = n + f + b + a = 526 + 947 + 263 + 148.

Becslés: 1800 fürd®z®. Számolás: ö = 1884.

Válasz: 1884-en fürödtek.

b) Szükséges adatok: n = 526; f = 947.

Terv: feln®tt = n + f = 526 + 947.

Becslés: 1400 feln®tt fürd®z®. Számolás: feln®tt = 1473.

Válasz: 1473 feln®tt fürdött.

c) Szükséges adatok: n = 526; f = 947; b = 263; a = 148.

Terv: c = (n + f) { (b + a) = (526 + 947) { (263 + 148),

vagy c = (n { a) + (f { b) = (526 { 148) + (947 { 263).

Becslés: 1070. Számolás: c = 1062.

Válasz: 1062-vel több feln®tt fürdött, mint gyermek.

d) A feladatnak nem teljes a feltételrendszere. A megoldhatósághoz ki kell egészíte-nünk például azzal a feltétellel, hogy mindenki öltöz®ben öltözött, mégpedig a �úk afér�öltöz®ben, a lányok a n®i öltöz®ben.

Természetesen más feltételeket is szabhatunk, például minden gyermek az anyuká-jával öltözött. Ekkor a feladat megoldása is más lesz.

Szükséges adatok: n = 526; f = 947; b = 263; a = 148.

Terv: d = (f + b) { (n + a) = (947 + 263) { (526 + 148).

Becslés: 530. Számolás: d = 536.

Válasz: 536-tal öltöztek többen a fér�öltöz®ben.

Tk. 111/29. feladat: Figyeltessük meg az összeadás és a kivonás közötti kapcsolatot.

a) Szabály: a { b = c b + c = a c + b = a a { c = b

b) Szabály: d + e = f e + d = f f { d = e f { e = d

Tk. 111/30. feladat: Sorozat elemeinek meghatározása ismételt összeadással.


A kivonásra szánt gyakorlóórák egyikén célszer¶ megíratni a 3. tájékozódó felmérést.Csak akkor lépjünk tovább, ha ez a felmérés megnyugtató eredményt ad.

104


Összetett feladatok

Óra: 64{65. 69{70. 77{79.

Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása, a m¶veletek helyes sorrendjénekés a zárójelek használatának ismeretében. Az összeadást, a kivonást írásban, a szor-zást és az osztást fejben végezzék a tanulók. Részletesen foglalkozzunk az összetettfeladatok becslésével.

Tk. 112/1{4.; Gy. 73/24. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶ve-letsor csak összeadást és kivonást tartalmaz, illetve hogyan módosítja a m¶veletvégzéssorrendjét a zárójel.

A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést. Az ellen®rzést abecsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók. Például:

Becslés százasra kerekített értékekkel: Becslés tízesre kerekített értékekkel:

900 + 500 { 200 = 1400 { 200 = 1200 850 + 480 { 190 = 1330 { 190 = 1140

Számolás: 854 + 476 { 187 = 1330 { 187 = 1143

Tk. 112/1. feladat:

a) 1143; 1143; 1143; 191; 1143.

b) 196; 196; 1274; 1274; 1274.

Tk. 112/2. feladat:

a) 1627; 1061; 1627; 1627; 1061.

b) 684; 684; 134; 468; 684.

Tk. 112/4. feladat:

a = 1337, b = 385, c = 959, d = 7, e = 959, f = 7, g = 1337, h = 385.

Tk. 113/5. feladat: Analóg számítások. Figyeltessük meg a tényez®k és a szorzat, illetveaz osztandó, az osztó és a hányados változásait.

Tk. 113/6{7.; Gy. 74/25. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶velet-sor az összeadás és a kivonás mellett szorzást vagy osztást is tartalmaz. Beszéljük mega zárójel sorrendmódosító szerepét. A számolás elvégzése el®tt minden esetben végez-tessünk becslést. A szorzást és az osztást �fejben", az összeadást és a kivonást írásbanvégezzék el a tanulók. Ellen®rzésként a becsült és a számított értéket hasonlítsák össze.

Tk. 113/6. feladat:

a) 136; b) 142; c) 1756;

132; 185; 652;

440; 518; 1488;

432; 673; 1910;

d) 422; e) 325; f) 1060;

467; 1182; 580;

1537; 1816; 1200.

105


Tk. 113/7. feladat:

a) 365; b) 42; c) 380;

80; 30; 2000;

d) 155; e) 1510; f) 16;

30; 1600; 5;

g) 430; h) 58; i) 50;

10; 80; 20.

Tk. 114/8{9., 114/11. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért®képességet fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák ela szöveget (nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre). Az adatkigy¶jtés-nél föltétlenül jegyezzék le, hogy melyik érték kevesebb (több), mennyivel.

Figyeltessük meg, hogy a matematikai modell leírásakor kell-e zárójelet használni. Aszámításokban a szorzást vagy az osztást (analóg számításként) fejben, az összeadástvagy a kivonást írásban hajtsák végre. Az eredményt a szöveg alapján ellen®rizzék.

Tk. 114/8. feladat:

a) 1204, b) 1356, c) 4, d) 156, e) 1356, f) 4.

Tk. 114/9. feladat:

a) 1200, b) 760, c) 38.


a) 1752, b) 1056.

Tk. 114/10.; Gy. 74/26. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® fela-datsorok.

A két vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldásátmég nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok ilyenfeladatot. Ugyanis 4. osztályban már minimumkövetelmény a két m¶velettel megoldhatószöveges feladatok elemzése és megoldása önálló néma olvasás alapján.


a) 536 Ft, b) 667 Ft, c) 1299 Ft, d) 718 Ft.

Gy. 74/26. feladat:

a) 759 kg, b) 971 kg, c) 55 kg, d) 1675 kg, e) 1105 kg, f) 625 kg, g) 110 db,h) 40 db.

Tk. 114/12. feladat: A megoldás során alkalom nyílik tapasztalati úton a zárójelfelbontásgyakorlására.

m = 1548 { 786 = 762

a) m = 1548 { (786 + 150) = 612, illetve m = 1548 { 786 { 150 = 612.

b) m = 1548 { (786 { 150) = 912, illetve m = 1548 { 786 + 150 = 912.

106


Egyenletek, egyenl®tlenségek

Óra: 66. 71{72. 80{81.

Tk. 115/mintapélda, 115/1{2., 116/3{5. feladat Az egyenletek, egyenl®tlenségek pró-bálgatással történ® megoldását várjuk el. Az így szerzett tapasztalatokat rendszerezzüka zöld alapon lév® mintapéldában. Di�erenciálásra szánt anyagrész. Az átlagosnál ne-hezebben haladó tanulókkal célszer¶ a minimumkövetelményekhez kapcsolódó anyag-részeket gyakoroltatni.

Tk. 115/1. feladat: A megoldásokat a természetes számok halmazán keressük:

a) 443. b) 444; 445; 446; . . . c) 443. 442; 441; . . . ; 0.

d) 487. e) 487; 486; 485; . . . ; 0. f) 488; 489; 490; . . .

g) 1291. h) 1290; 1289; 1288; . . . ; 0. i) 1292; 1293; 1294; . . .

Tk. 115/2. feladat: A feladat megoldása el®tt kössük ki, hogy mely számhalmazbólvárjuk a megoldást. Például a j, k, l 3-mal osztható szám legyen.

Jobb képesség¶ csoportokban a tanulók is kössenek ki feltételeket. Például: természetesszámok között, páros számok között, kerek tízesek között, öttel osztható számok közöttstb. keressük a megoldást.

A természetes számok halmazán a megoldás a következ®:

a) a = 7, b) d = 4, c) g = 7, d) j = 900,

b < 7, e > 4, h = 7, k 5 900,

c = 7; f 5 4; i < 7; l = 900.

Tk. 116/3. feladat: a) 396 Ft, b) 1034 Ft, c) 396 Ft.

Tk. 116/4. feladat: a) 9 , b) 7, c) 80 Ft.

Tk. 116/5. feladat:

a) a = (855 { 675) : 20 a = 9 darab

b) b = (1213 { 893) : 40 b = 8 db matrica

c) c = (1584 { 584) : 20 c = 50 Ft

d) (1500 { 1000) : 50| {z }

10

> d > (1500 { 1100) : 50| {z }

8

d = 9 nap

e) (750 { 360) : 10| {z }

39

< 7 � e < (900 { 360) : 10| {z }

54

e: 6; 7.

f) f > 5. Az eredményt harmadik osztályban általában próbálgatással és nem egyen-l®tlenség felírásával, megoldásával keressük meg.

107

Hajdu program 3 3UJP3F 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

Vegyes feladatok

Óra: 67{70. 73{78. 82{87.

A félév lezárása el®tt szánjunk id®t az els® félévben tanultak gyakorlására, elmélyítésére.

Ismételjük át a számok írását, olvasását, ábrázolását a számegyenesen a 2000-esszámkörben. Jól gyakoroltassuk be a tanult írásbeli m¶veletek végrehajtását, alkalma-zását egyszer¶ szöveges feladatok megoldásában.

Az osztály képességeit �gyelembe véve, esetleg képesség szerint di�erenciálva gyako-roltassuk a minimumszintet meghaladó feladatokat.

Hasonlíttassunk össze, vizsgáltassunk, rendeztessünk adott, illetve felismert szempontszerint számokat. Fogalmaztassunk meg igaz és hamis állításokat adott halmazról, il-letve állítások igazságát döntsék el a tanulók. Adjunk fel érdekes logikai, kombinatorikaifeladatokat. Újságokban, folyóiratokban keressünk olyan oszlopdiagramokat, gra�kono-kat, amelyeket 3. osztályban is értelmeztethetünk, vizsgáltathatunk.

A tapasztalatok alapján határozzuk meg az elkövetkezend® id®szak feladatait.

Tk. 117/1. feladat: Különféle alakban felírt számok összehasonlítása.

Gy. 92/1. feladat: A feladat megoldása el®tt ismételjük át az alaki-, a helyi- és a tényle-ges értékr®l, a számszomszédokról, a kerekítésr®l stb. tanultakat.

a b c d e

f g

h i j

k l m

n o p

q r

s t

1 9 1 4 4 5

5 0 0 8 0 0

1 0 8 5 0

0 9 0 1 2

6 1 9 6 0

5 0 0 4 0 0

4 0 2 0 0 0

Tk. 117/2. feladat:

a) Összesen 6 ilyen szám van. A százasok helyére háromféleképpen választhatunkszámot, a tízesek helyére már csak kétféleképpen, az egyesek helyére kerül azeddig ki nem választott szám. Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset:789; 798; 879; 897; 978; 987.

b) A megoldás gondolatmenete megegyezik a)-éval. Összesen 4 � 3 � 2 = 24 eset van:345; 346; 354; 356; 364; 365;435; 436; 453; 456; 463; 465;534; 536; 543; 546; 563; 564;634; 635; 643; 645; 653; 654.

Tk. 117/3. feladat: Beszéljük meg, hogy 0-val nem kezd®dhet háromjegy¶ szám.

a) 102; b) 103; c) 321; d) 320.

108


Tk. 117/4. feladat: Elemek válogatása adott szempont szerint. A megoldás el®tt idézzükföl a páros, páratlan számokról, a kerek tízesekr®l, százasokról, az egy-, két-, három-és négyjegy¶ számokról tanultakat.

a) A = f0; 4; 30; 72; 100; 1000; 1006; 2000g,B = f13; 95; 321; 679; 1207g.

b) A = f0; 30; 100; 1000; 2000g,B = f4; 13; 72; 95; 321; 679; 1006; 1207g.

c) A = f100; 321; 679g,B = f0; 4; 13; 30; 72; 95; 1000; 1006; 1207; 2000g.

Tk. 117/5. feladat: Több megoldás is lehetséges. Például:

A = fA tízes helyiértéken 5-ös alakiérték¶ számjegy állg

B = fA tízes helyiértéken nem 5-ös alakiérték¶ számjegy állg

C = fKerek százasokg

D = fNem kerek százasokg

E = f5-tel osztható számokg

F = f5-tel nem osztható számokg

Tk. 118/6. feladat: Sorozatok képzése, szabálykeresés, szabálykövetés. El®ször írjákfel a tanulók növekv® sorrendben az elemeket, azután keressenek szabályt.

Beszéljük meg, hogy ugyanazon szabályosság szerint folytassák a sorozatot, mintamelyet az els® négy elemnél felismertek.

Tk. 118/7.; Gy. 93/2{4. feladat: A mértékváltásról tanultak gyakorlása.

Gy. 93/5. feladat:�

�

Tk. 118/8{9. feladat: A mindennapi életben használt eszközök ¶rtartalmának becslése,majd megmérése. Pontosabban mérhetjük meg a kanál ¶rtartalmát, ha például 10 kanálfolyadék ¶rtartalmát mérjük meg.

109


Tk. 118/10{11. feladat: Szöveges feladat mennyiségekkel végzett m¶veletekre.

Ügyeljünk a szöveges feladat megoldásának lépéseire. Az adatok lejegyzését azonosmértékegységekkel végezzék a tanulók.

Tk. 119/12. feladat: Rajzos, játékos feladat hosszúságok összegzésére.

Tk. 119/13. feladat: Hosszúságok kerekített értékének meghatározása.


a)

P R S| {z }

628 m

| {z }

274 m

PS = 902 m

P RS| {z }

274 m

PS = 354 m

| {z }

628 m

Tk. 119/15. feladat:I B E F| {z }

1260 m

| {z }

216 m| {z }

347 ma) EF = 131 m b) IF = 1607 m

I F B E| {z }

1260 m

| {z }

216 m

347 mz }| {

a) EF = 563 m b) IF = 913 m

I B FE| {z }

1260 m

| {z }

347 m

216 mz }| {

a) EF = 563 m b) IF = 1607 m

I BF E

| {z }

216 m| {z }

347 m| {z }

1260 ma) EF = 131 m b) IF = 913 m

Tk. 120/16{18. feladat: Írásbeli összeadás, kivonás gyakorlása egyszer¶ és összetettszámfeladatokban. A m¶velet elvégzése el®tt a tanulók végezzenek becslést. Az ellen-®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával, illetve összeadásnál a mássorrendben végzett összeadással, kivonásnál az inverz m¶veletekkel, összeadássalvagy (és) kivonással végezzék.


a) 569; b) 606; c) 445;

1563; 1609; 581;

1077; 1621; 1710;

1297; 820; 795.

110



a) 834; 1142; 730; 1905; 1521; 1444;

b) 410; 398; 275; 925; 749; 117;

c) 270; 1120; 999; 1987; 1906; 1977;

d) 526; 752; 108; 1214; 630; 125.


a) 625 + 37 + 9 + 1001 = 1672

b) 324 + 608 + 930 + 6 = 1868

c) 261 + 142 + 506 + 80 + 934 = 1923

d) 521 + 146 + 1290 + 35 = 1992

Gy. 94/6. feladat:

1010 { 935 630 : 7 67 + 29 + 9 3 � 40 912 { 777

300 : 2 87 + 9 + 69 9 � 20 1043 { 848 840 : 4

643 { 418 8 � 30 1732 { 1477 3 � 90 1612 { 1327

1500 : 5 242 + 67 + 6 990 : 3 254 + 8 + 83 40 � 9


a) Minél kevesebb a tagok tényleges értéke, annál kisebb az összeg. A legnagyobbhelyiértékekre a lehet® legkisebb alakiérték¶ számjegyek kerüljenek.

1 3 5 1 4 5 1 3 6 1 4 6

+ 2 4 6 + 2 3 6 + 2 4 5 + 2 3 5

3 8 1 3 8 1 3 8 1 3 8 1

b) Az a) feladat megoldásaiból kell kiválasztani a páratlan összegeket. A megoldáshal-maz megegyezik az el®z® feladatéval.

c) 5 3 1 5 3 2 5 4 1 5 4 2

+ 6 4 2 + 6 4 1 + 6 3 2 + 6 3 1

1 1 7 3 1 1 7 3 1 1 7 3 1 1 7 3

111


d) Egy kéttagú összeg akkor páros, ha a tagok paritása megegyezik, azaz mind a kéttag vagy páros, vagy páratlan.

5 2 1 5 2 3 5 4 1 5 4 3

+ 6 4 3 + 6 4 1 + 6 2 3 + 6 2 1

1 1 6 4 1 1 6 4 1 1 6 4 1 1 6 4

Gy. 95/7{8. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend és a zárójelhasználattudatosítására, gyakorlására.

Gy. 95/7. feladat:

a) 61.� 300

2.{ 1258 = 542; b) 4

1.� 500

2.{ 1729 = 271; c) 7

1.� 200

2.{ 976 = 424;

d) 8172.+ 4

1.� 90 = 1177; e) 1396

2.+ 3

1.� 80 = 1636; f) 7

1.� 80

2.+ 958 = 1518;

g) 15062.{ 9

1.� 90 = 696; h) 1625

2.{ 7

1.� 90 = 995; i) 912

2.{ 5

1.� 50 = 662;

j) 81.� 70

2.+ 658 = 1218; k) 595

2.+ 6

1.� 70 = 1015; l) 2

1.� 600

2.+ 718 = 1918.

Gy. 95/8. feladat:

a) 6401.: 8

2.+ 379 = 459; b) 587

2.+ 420

1.: 6 = 657; c) 1276

2.+ 560

1.: 7 = 1356;

d) 9132.{ 480

1.: 8 = 853; e) 1032

2.{ 270

1.: 3 = 942; f) 1001

2.{ 900

1.: 3 = 701;

g) 92.� (176

1.+ 24) = 1800; h) (1052

1.{ 492)

2.: 7 = 80; i) 1200

2.: (9

1.{ 5) = 300.

Gy. 95/9. feladat: Szöveges feladatok az összeadás és a kivonás gyakorlására.

a) 618 { 356 = 262;

b) 578 { 142 = 436, 578 + (578 { 142) = 1014;

c) 456 + 397 = 853, (456 + 397) { 185 = 668;

d) 287 + 184 = 471, 287 + (287 + 184) = 758.

Gy. 96/10. feladat: Természetismerethez kapcsolódó szöveges feladatok, amelyeknekadatai megfelelnek a valóságnak, szakkönyvekb®l vettük át.

a) 1014 { 78 = 936 (m); b) 29 + 26 + 2 � 32 + 2 � 31 + 25 = 206;

c) 236 + 374 = 610 (cm); d) 315 { 219 = 96, (m);

e) 2 � 250 = 500 (cm); f) 60 � 3 = 180 (dkg);

g) 160 : 8 = 20-szorosa; h) 40 � 8 = 320 (kg);

i) 1800 : 3 = 600 (kg); j) 20 � 20 � 5 = 2000 (dl);

k) 928 { 578 = 350 (m).

112


3. felmérés

Óra: 71{72. 79{80. 88{90.

Lásd: Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály A){D) változat.

A követelmények a Tananyagbeosztás, követelmények cím¶ részében, a javítási útmu-tatók és az értékelési normák az utolsó fejezetben találhatók.

A félév végén id®hiány esetén is biztosítsunk külön órát a dolgozat javítására és értéke-lésére, illetve a hiányosságok pótlására.

Ellentétes mennyiségek

Óra: 73{75. 81{84. 91{94.

Tk. 121. oldal, összefoglaló; Tk. 121/1., 122/2{6.; Gy. 97/1{3., 98/5. feladat: Azellentétes mennyiségeket pozitív és negatív számokkal jellemzünk, és a h®mérsékletmérésével vezetjük be.

A h®mérséklet változását eszköz segítségével �gyeltessük meg. Így értelmezhetjük anegatív számokat, a tanulók tapasztalatot szerezhetnek az egész számok nagyságiviszonyairól, gyakorolhatják a negatív mér®számok számskáláról való leolvasását, ah®mérséklet-változások követését. El®készítjük az egész számok ábrázolását száme-gyenesen, illetve a h®mérséklet-gra�konok vizsgálatát, készítését.

A h®mér® megismerése, a h®mérséklet mérése, a h®mérséklet alakulása a különböz®napszakokban, illetve évszakokban mind-mind kapcsolódik a környezetismeret tana-nyagához, ezért hangoljuk össze a két tantárgy tanmenetét. Éppen amiatt célszer¶januárban feldolgozni ezt a tananyagot, mert így a tanulók feljegyezhetnek és példáulgra�konon ábrázolhatnak fagypont alatti, illetve fagypont fölötti értékeket is.

Gy. 97/1. feladat:

a) b) c)�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

+7 �C > +2 �C {4 �C > {8 �C {5 �C < +2 �C

113


Gy. 97/2. feladat:

a) b) c)�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

+5 �C > {5 �C {9 �C < 0 �C {1 �C > {10 �C

10 �C 9 �C 9 �C

Gy. 98/4. feladat:

a)�

C

+10

0

{10

6 12 18 24 �ora

b) Id®pont (óra) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

H®mérséklet (�C) +7 +5 +3 +1 { 1 { 3 { 5 { 7 { 9 { 11

Gy. 97/3. feladat: +8 �C > +2 �C > 0 �C > {3 �C > {4 �C > {10 �C

Tk. 123/7. feladat:

a) Legmelegebb: 13 órakor, leghidegebb: 7 órakor.

b) 9 órakor.

c) 11 órakor és 15 órakor.

d) Leh¶lt a leveg®, csökkent a h®mérséklet.

e) Felmelegedett a leveg®, n®tt a h®mérséklet.

f) 12 és 14 óra között.

g) 12 órától 14 óráig emelkedett, 14 órától 15 óráig csökkent a h®mérséklet.

114


Tk. 123/8. feladat:

Id®pont (óra) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

H®mérséklet (�C) { 4 { 5 { 3 { 1 0 +1 +3 +5 +4 +3 0 { 3 { 2 { 1

Jó, ha a tanulók több napon át például minden tanóra elején ténylegesen megmérik akinti leveg® h®mérsékletét, táblázatban rögzítik, majd gra�konon ábrázolják az adatokat.Így statisztikai vizsgálatokat, összehasonlító elemzéseket végezhetnek.

Tk. 124. oldal, mintapélda; Tk. 124/9{10.; Gy. 99/6{9. feladat: Ismerkedés azadósság-készpénz modellel egyaránt szolgálja a tartalom variálásának, illetve a szem-léltetés sokoldalúságának elvét. Ha szükségesnek ítéljük, a tanulók is készítsenek ha-sonló cédulákat, és rakosgassanak ki különböz® vagyonokat. Állapítsák meg az egészszámok nagysági viszonyait adósság-készpénz modell segítségével is.


Hétf®: +138 Ft Szerda: {241 Ft Péntek: +656 Ft

Kedd: +147 Ft Csütörtök: +1142 Ft Szombat: {741 Ft

Tk. 125/12{15. feladat: A számegyenesen lépegetés további szemléltetést ad az egészszámok nagysági viszonyairól, el®készíti az egész számokkal végzett összeadás éskivonás értelmezését.


a) +3; b) {5; c) +4; d) {7; e) +8; f) {8; g) {2; h) {5; i) +4.


a) +1; b) +8; c) {4; d) +4; e) {7; f) +3.


a) Jobbra 3-at; b) balra 5-öt; c) jobbra 3-at; d) balra 4-et;

e) balra 7-et; f) jobbra 5-öt; g) balra 4-et; h) jobbra 4-et.

Tk. 125/15. feladat: Tapasztalatszerzés az abszolútérték fogalmának el®készítéséhez.

a) { 4; +4 b) { 6; +6 c) { 2; +2

115

Hajdu program 3 3UJP3G 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

Geometriai játékok

Óra: 76{79. 85{88. 95{99.

Tengelyes tükrözéssel 1. és 2. osztályban is foglalkoztunk. Most felelevenítjük, és to-vábbi tapasztalatokat gy¶jtünk az alakzatok tengelyes tükörképének el®állításához. Haj-togatással, papírkivágással, kirakással, rajzzal stb. (Itt jegyezzük meg, hogy amikortükrözésr®l, tükrös alakzatokról beszélünk, minden esetben tengelyes tükrözésre, ten-gelyesen tükrös alakzatokra gondolunk.)

A tanulók további ismereteket szereznek a tengelyesen tükrös alakzatokról. Meg�gyel-tetjük a téglalap és a négyzet tulajdonságait. Felelevenítjük, tudatosítjuk, kiegészítjük a2. osztályban tanultakat.

Síkbeli és térbeli geometriai transzformációkat végeztetünk különböz® rácsok, testeksegítségével. Adott transzformációk szabályait kerestetjük meg.

El®készítjük a terület-, illetve a térfogatszámítást.

A geometriai tananyag feldolgozásával párhuzamosan folyamatosan ismételjük, áttekint-jük, rendszerezzük az els® félév számtan, algebra anyagát. Gyakoroltatjuk az írásbeliösszeadást, kivonást és a szorzótáblát, illetve ezek alkalmazását szöveges feladatok-ban, összetett számfeladatokban. Pótoltatjuk az esetleges hiányosságokat.

Tk. 126/1{3., 127/4{6. feladat: A tengelyesen tükrös alakzatok kiválasztása, a tükörten-gelyek keresése. 3. osztályban az összes tengely megtalálását elvárjuk. Az eredményttükörrel ellen®riztessük.

Tk. 126/1. feladat: Függ®leges tengelye van az 1. és a 6. ábrának, vízszintes tengelyea 4., 5., 6. és a 7. ábrának.

Típushiba, hogy a 2. és a 3. ábrát tengelyesen tükrösnek gondolják a tanulók.

Tk. 126/2. feladat:

a) Például a 3{7. oszlopot tartalmazó résznek két szimmetriatengelye van; a 10{14.oszlopot tartalmazó résznek négy szimmetriatengelye van.

b) Például az 1{7. oszlopot tartalmazó téglalapnak egy függ®leges tengelye van; ahárom szürke négyzetet tartalmazó téglalapnak két tengelye van; hat zöld és háromfehér négyzetet tartalmazó négyzetnek két tengelye van; stb.

c) Például a 2{26. oszlopot tartalmazó résznek van egy függ®leges tengelye; a 11szürke négyzetb®l álló alakzatnak két tengelye van; stb.

Tk. 127/4. feladat: A tükörtengelyek száma rendre: 0; 1; 2; 1; 1; 1; 0.

Tk. 127/5. feladat:

Nincs tükörtengelye: f), g); Egy tengelye van: a), b), d);

Két tengelye van: c); Négy tengelye van: e), h).

Tk. 127/6. feladat: Típushiba, hogy a harmadik és az ötödik alakzatot tengelyesentükrösnek gondolják a tanulók.

116


Tk. 127/7. feladat: Az alakzatok transzformáltjait (elforgatottjait, tengelyes tükörképeitstb.) nem tekintjük különböz® eseteknek.

Tk. 128/8{9.; Gy. 150/1{2., 151/3{4. feladat: Alakzatok tengelyes tükrözése. Atükörkép és az eredeti ábra vizsgálata.

Tk. 128/8. feladat: A második sor készülhetett tengelyes tükrözéssel.

Típushiba, hogy azt gondolják, az els® sor is tengelyes tükrözéssel készült.

Tk. 128/9. feladat: Az a) és az e) pontban tükrösek az alakzatok.

Gy. 150/1. feladat: A sok megoldás közül csak néhányat mutatunk be.

a)

Gy. 150/2. feladat: Itt is sok különböz® megoldás lehetséges. Az ellen®rzés alkalmá-val vitassunk meg egy-egy megoldást, ezzel is fejlesztve a tanulók vitakészségét, aszaknyelv használatát.

Beszéljük meg, hogy nem tekintjük különböz®nek azokat a megoldásokat, amelyektükörképei vagy elforgatottjai egymásnak.

a)

b)

117


c)

Gy. 151/3. feladat:

Gy. 151/4. feladat:

Tk. 129/10., 130/11{12., 131/13{15.; Gy. 152/5{6., 153/7. feladat: Geometriaitranszformációk végrehajtása különböz® rácsok segítségével. Ezen feladatok megoldá-sa során a tanulók szerezzenek tapasztalatot az ugyanolyan alakú (hasonló), illetve azugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok kiválasztásában, vizs-gálatában.

118


Tk. 129/10. feladat: Ugyanolyan alakú: b); c); f); ugyanolyan alakú és méret¶: b).

Ezek az ábrák vagy nagyított, vagy kicsinyített, vagy ugyanakkora méret¶re lemásoltképei az eredeti háznak. Beszéljük meg, hogy a házikó tükörképe megállapodás szerint�ugyanolyan alakú", mint az eredeti kép. Ismertessük fel, hogy a többi képet miért nemtekintjük ugyanolyan alakúnak. Például az a) ábra nem nagyított képe az eredetinek,hanem vízszintes irányban megnyújtott képe, ezért a háztet® két vonala nem mer®leges,a körablak nem kör, az ajtó nem négyzet stb.

Tk. 130/12. feladat: A hasonlóság (ugyanolyan alakú) fogalmát készíti el® a feladat.

Az 1 téglalap egyik oldala kétszerese a másik oldalnak. Ilyen alakú az 1 , 3 , 5 ,8 , 14 téglalap.

Ismertessük fel, hogy minden téglalap ugyanolyan alakú, mint saját maga, ezért fel kellsorolni a megoldásban.

A 2 téglalap nem ugyanolyan alakú, mint az 1 téglalap, mert a hosszabbik oldala csakmásfélszer akkora, mint a rövidebbik oldala. Ilyen alakú még a 6 és a 11 téglalap.

Minden négyzet ugyanolyan alakú, mint a 4 téglalap.

A 12 téglalap alakja egyik adott téglalap alakjával sem egyezik meg.

Egybevágók: 1 { 14 ; 2 { 6 ; 9 { 16 .

Tk. 131/13. feladat: A topologikus transzformáció fogalmának el®készítése. A gumi-hártya tetsz®legesen deformálódhatott, de nem szakadt el. Ezért csak a b) ábra nemjöhetett létre az eredetib®l.

Tk. 131/15. feladat: Az egybevágóság fogalmát készítjük el®. Két alakzat egybevágó,ha ugyanolyan alakúak és méret¶ek.

Beszéljük meg, hogy a 10 és a 11 háromszög miért nem ugyanolyan alakú, mint a többi.

Tk. 132. oldal, összefoglaló: A síkra tükrözésre mutatunk példát, illetve a téglatest(kocka) tükörsíkjait vizsgáljuk a tapasztalatgy¶jtés igényével.

Tk. 132/16., 133/17{19. feladat: Testek építése, vizsgálata. A tanulók térszemléleténekfejlesztése érdekében építtessük meg a különböz® testeket, és így vizsgáltassuk meg atükrösségüket.

A szorzás tulajdonságai

Óra: 80{81. 89{90. 100{101.

Tk. 134. oldal, mintapélda: A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszociativitás)eddig szerzett tapasztalatokat rendszerezzük és tudatosítjuk.

A szorzótábla gyakorlását összekapcsoljuk annak meg�gyeltetésével, hogy a szorzatváltozásairól tanultak hogyan alkalmazhatók analóg számításokban, kerek tízesek, szá-zasok szorzásában. Fontos lépés a többjegy¶ számok szorzásáról tanultak általánosítá-sa (összeg szorzása egyjegy¶ számmal).

119


Ezeket az ismereteket egyrészt a szorzat becslésében, másrészt az írásbeli szorzás al-goritmusának értelmezésében hasznosíthatjuk. A szorzás fogalmának mélyítését szol-gálja, hogy kés®bb a tanultakat alkalmazzuk szöveges feladatok megoldásában is.

Tk. 134/1., 135/2{3.; Gy. 102/1{2. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlá-sára. Ezekben a feladatokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyelteté-sére a tényez®k változásainak függvényében.

Tk. 135/2. feladat:

a) 12; 120; 120; 1200; 1200;

b) 12; 120; 120; 1200; 1200;

c) 16; 160; 160; 1600; 1600;

d) 18; 180; 180; 1800; 1800;

e) 16; 160; 160; 1600; 1600;

f) 15; 150; 150; 1500; 1500;

g) 14; 140; 140; 1400; 1400;

h) 20; 200; 200; 2000; 2000.

Tk. 135/3. feladat:

a1) 3 � 2 = 6; 3 � 20 = 60; 3 � 200 = 600;

a2) 2 � 3 = 6; 20 � 3 = 60; 200 � 3 = 600.

Ugyanúgy helyes megoldása a feladatnak az a1 és az a2 pont is. Az a1 pontnál a képhezés egyenlethez tartozó szöveg lehet: kétforintosból vettünk hármat, míg az a2 ponthoztartozó szöveg lehet: hármat vettünk a kétforintosból.

a) 6; 60; 600;

b) 12; 120; 1200;

c) 18; 180; 1800.

Gy. 102/1. feladat:

a) 120; 240; 480;

b) 120; 240; 360;

c) 100; 200; 2000;

d) 180; 360; 540;

e) 450; 900; 1800.

Gy. 102/2. feladat:

a) 12; 120; 1200;

b) 15; 150; 1500;

c) 18; 180; 1800;

d) 18; 180; 1800;

e) 12; 120; 1200;

f) 14; 140; 1400;

g) 20; 200; 2000;

h) 16; 160; 1600.

120


Tk. 135. oldal, mintapélda: Példát mutatunk a háromjegy¶ szám egyjegy¶vel való szor-zására. Ismertessük fel, hogy a számot összegalakra bontva tagonként szorozhatjukúgy, hogy a százasok, illetve a tízesek szorzásánál alkalmazzuk az analóg számítások-ban meg�gyelteket.

Tk. 136/4{6.; Gy. 102/3., 103/4. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶ számok,illetve háromjegy¶ kerek tízesek szorzása egyjegy¶ számmal. A szorzat változásainakalkalmazása analóg számításokban.

Gy. 102/3. feladat:

a) 3 � 160 =

300z }| {

3 � 1 0 0 +

180z }| {

3 � 6 0 = 4 8 0

b) 6 � 250 =

1200z }| {

6 � 2 0 0 +

300z }| {

6 � 5 0 = 1 5 0 0

c) 4 � 190 =

400z }| {

4 � 1 0 0 +

360z }| {

4 � 9 0 = 7 6 0

d) 5 � 280 =

1000z }| {

5 � 2 0 0 +

400z }| {

5 � 8 0 = 1 4 0 0

Gy. 103/4. feladat:

a) 168; 84; 84;

1680; 840; 840;

b) 136; 136; 136;

1360; 1360; 1360;

c) 144; 96; 96;

1440; 960; 960;

d) 168; 175; 182;

1680; 1750; 1820;

e) 144; 144; 72;

1440; 1440; 720;

f) 180; 175; 140;

1800; 1750; 1400.

Tk. 136/5. feladat:

a) 60; b) 50; c) 80; d) 70;

24; 45; 24; 42;

84; 95; 104; 112.

e) 60; f) 120; g) 100; h) 120;

21; 8; 35; 18;

81; 128; 135; 138.

121


Tk. 136/6. feladat:

a) 300; b) 400; c) 500; d) 800;

120; 240; 350; 160;

420; 640; 850; 960.

e) 700; f) 800; g) 800; h) 900;

210; 480; 320; 270;

910; 1280; 1120; 1170.

Tk. 136/7. feladat: A szorzás gyakorlása analóg számítások kapcsán. Figyeltessük mega szorzat változásait, a tényez®k felcserélhet®ségét.

a) 36; 360; 360;

b) 78; 780; 780;

c) 120; 1200; 1200;

d) 162; 1620; 1620;

e) 175; 1750; 1750;

f) 196; 1960; 1960.

Gy. 103/5{6. feladat: Két-, illetve háromjegy¶ szám egyjegy¶ számmal való szorzásá-nak szemléltetése többféleképpen.

Gy. 103/5. feladat:

a) 74 � 6 = 4 4 4

7 0 � 6| {z }

420

+ 4 � 6| {z }

24

b) 123 � 3 = 3 6 9

1 0 0 � 3| {z }

300

+ 2 0 � 3| {z }

60

+ 3 � 3| {z }

9

Gy. 103/6. feladat:

500 10 2 � 3 =

1500z }| {

500 � 3+

30z }| {

10 � 3+

6z}|{

2 � 3 = 1536

122


A szorzat becslése

Óra: 82. 91. 102.

Tk. 137. oldal, mintapélda: A kerekítésr®l és a szorzás tulajdonságairól tanultakatalkalmazzuk a szorzat becslésére. A tanulók többségét®l a százasra kerekített értékekkelszámolt becslést várhatjuk el. Ennek begyakorlása után célszer¶ felismertetni: a kétszázas szomszéd segítségével meghatározhatjuk, hogy melyik két szám közé esik aszorzat.

Tk. 137/1. feladat:

a) 1200; b) 1600; c) 1200; d) 1600;

B < Sz B > Sz B < Sz B < Sz

e) 1800; f) 1200; g) 2000; h) 1800.

B > Sz B > Sz B > Sz B > Sz

Tk. 137/2. feladat:

a) 1320; b) 1360; c) 1260; d) 1700;

B > Sz B > Sz B > Sz B > Sz

e) 1740; f) 1000; g) 1900; h) 1620.

B > Sz B < Sz B < Sz B > Sz

Tk. 137/3. feladat:

a) 1200 < Sz < 1600; b) 800 < Sz < 1600;

c) 1200 < Sz < 1500; d) 1600 < Sz < 1800;

e) 1200 < Sz < 1800; f) 800 < Sz < 1200;

g) 1500 < Sz < 2000; h) 1200 < Sz < 1800.

Tk. 138/4{6. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére. A közelít® számításokrólés a mérésekr®l tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában is.

Gy. 100/1. feladat: Figyeltessük meg a gyerekekkel, ha felfelé kerekítjük a szorzandót,akkor a becsült érték nagyobb lesz a valódi értéknél, ha lefelé kerekítünk, akkor abecsült érték kisebb lesz, mint a valódi érték.

a) 214 � 3 � 2 0 0 � 3 = 6 0 0

B < Sz, mert lefelé kerekítettünk.

b) 168 � 6 � 2 0 0 � 6 = 1 2 0 0

B > Sz, mert felfelé kerekítettünk.

c) 407 � 4 � 4 0 0 � 4 = 1 6 0 0


123


Gy. 100/2. feladat: Vetessük észre, ha a szorzandó helyett a kisebb százas szomszédjátszorozzuk meg a szorzóval, akkor a szorzat is kisebb lesz, ha a nagyobbik százasszomszédját szorozzuk meg a szorzóval, akkor a szorzat is nagyobb lesz, mint a valódiérték.

a) 562 � 3 5 0 0 � 3| {z }

1 5 0 0

< Sz < 6 0 0 � 3| {z }

1 8 0 0

b) 176 � 8 1 0 0 � 8| {z }

8 0 0

< Sz < 2 0 0 � 8| {z }

1 6 0 0

c) 209 � 6 2 0 0 � 6| {z }

1 2 0 0

< Sz < 3 0 0 � 6| {z }

1 8 0 0

d) 156 � 9 1 0 0 � 9| {z }

9 0 0

< Sz < 2 0 0 � 9| {z }

1 8 0 0

Gy. 101/3. feladat: A tízesre kerekített értékkel számolva alkalmaznunk kell az összegszorzásáról tanultakat. Itt is hasonlítsuk össze a becsült értéket a valódi értékkel.

a) 162 � 4 � 1 6 0 � 4 = 1 0 0 � 4| {z }

400

+ 6 0 � 4| {z }

240

= 6 4 0


b) 341 � 5 � 3 4 0 � 5 = 3 0 0 � 5| {z }

1500

+ 4 0 � 5| {z }

200

= 1 7 0 0


c) 208 � 7 � 2 1 0 � 7 = 2 0 0 � 7| {z }

1400

+ 1 0 � 7| {z }

70

= 1 4 7 0

B > Sz, mert mert felfelé kerekítettünk.

d) 479 � 3 � 4 8 0 � 3 = 4 0 0 � 3| {z }

1200

+ 8 0 � 3| {z }

240

= 1 4 4 0

B > Sz, mert mert felfelé kerekítettünk.

Gy. 101/4. feladat:

a) Hibás kerekítés. Helyesen: 352 � 3 � 400 � 3 = 1200

b) Hibás kerekítés. Helyesen: 352 � 3 � 350 � 3 = 300 � 3| {z }

900

+50 � 3| {z }

150

= 1050

c) Nem a százas szomszéddal számol. Helyesen: 352 � 3 300 � 3| {z }

900

< Sz < 400 � 3| {z }

1200

124


Írásbeli szorzás

Óra: 83{86. 92{97. 103{108.

Az írásbeli szorzás algoritmusát a tanulás során fokozatosan nehezítjük a helyiérték-átlépések számának növelésével és elhelyezésével (nincs; csak a legnagyobb helyiér-téknél van; egy helyen van; több, de nem szomszédos helyen van; két szomszédoshelyen van; stb.)

A szorzás tanítása során minden órán adjunk fel szöveges feladatokat is.

Az írásbeli szorzás algoritmusával, illetve a szöveges feladatokkal kapcsolatosan esetlegértelmezhetnénk a �szorzandó" és a �szorzó" fogalmát. Ezt továbbra sem javasoljuk akövetkez®k miatt:

Nem matematikai, hanem szakmódszertani fogalmak. A tanítási folyamat tervezése-kor esetleg használhatjuk ezeket a fogalmakat (például az írásbeli szorzás esetébenaz �egyjegy¶ szorzó" fogalmát), de nem célszer¶ ezeket tanítani, tudatosítani, agyermekek el®tt használni. A matematikában a �tényez®" kifejezést használjuk.

A szorzásban a tényez®k felcserélhet®k. Ha megkülönböztetjük a két tényez®t, akkormegnehezíthetjük és bizonytalanná tehetjük a helyes fogalomalkotást.

Ha a szöveges feladatok értelmezésekor megkülönböztetjük a �szorzandó" és a�szorzó" fogalmát, az zavart okozhat a feladat megoldásakor. Például:Egy gönci hordó ¶rtartalma 136 l. Mennyi az ¶rtartalma 5 gönci hordónak? A �szor-zó" egyjegy¶, el tudjuk végezni a szorzást.Egy kanna ¶rtartalma 5 l. Mennyi az ¶rtartalma 136 ugyanilyen kannának? A �szor-zó" háromjegy¶, ez megzavarhatja a tanulót, és emiatt nem tudja elvégezni a szor-zást.

Sohase tanítsunk olyat, amit kés®bb másként fogunk tanítani. A fels® tagozatbantényez®kr®l beszélünk.

Tk. 139. oldal, mintapélda: 2. osztályban a szorzást ismételt összeadásként értelmez-tük. Itt is erre építve vezetjük be a számok írásbeli szorzását egyjegy¶ szorzóval.

Az eredményt a becsült érték és a szorzat összehasonlításával ellen®rizzük, illetve szok-tassuk rá a tanulókat arra, hogy a szorzás elvégzése után lépésenként újra átszámolva�gyelmesen ellen®rizzék munkájukat. Az algoritmus elsajátításának kezdetén lehet®legolyan feladatokat adjunk, amelyekben nincs helyiérték-átlépés.

Tk. 140/1.; Gy. 104/8., 105/11. feladat: A szorzás algoritmusának visszavezetéseismételt összeadásra.

Gy. 104/8. feladat:

a) b)444

222

333+

1 2 6 9

B: 1 2 0 0

4 2 3 � 31 2 6 9

555

222

111+

1 5 6 3

B: 1 5 0 0

5 2 1 � 31 5 6 3

125


c) d)

+

3333

2222

1111

1 2 8 4

B: 1 2 8 0

3 2 1 � 41 2 8 4

+

2222

0000

2222

8 0 8

B: 8 0 0

2 0 2 � 48 0 8

Tk. 140/2.; Gy. 104/7., 104/9., 105/10. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzásalgoritmusának tudatosítására, begyakorlására. Ha a tanulóknak gondot jelent a szorzáselvégzése, akkor térjünk vissza az ismételt összeadáshoz, és ott �gyeltessük meg, mitkell tennünk. A megfelel® szokások kialakítása és a számolási rutin fejlesztése érdeké-ben többször írassuk le, mondassuk el, hogyan számolunk fejben, amikor megbecsüljükaz eredményt.

Tk. 140/3. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli szorzás gyakorlására.

A g) feladattal el®készíthetjük a tízesátlépés tanítását.

Tk. 141. oldal, mintapélda; Tk. 141/4.; Gy. 105/11., 106/13. feladat: Ismételt össze-adásra visszautalva �gyeltethetjük a háromjegy¶ számok írásbeli szorzását egyjegy¶szorzóval abban az esetben is, amikor (még nem szomszédos helyen) van helyiérték-átlépés. Beszéljük meg a szorzás és az összeadás kapcsolatát.

Gy. 106/13. feladat: A becslést például tízesre kerekített értékekkel végezhetjük el.

a) b)33333

11111

44444+

1 5 7 0

B: 1 5 5 0

B < Sz

3 1 4 � 51 5 7 0

11111

66666

11111+

8 0 5

B: 8 0 0

B < Sz

1 6 1 � 58 0 5

Tk. 142/5{7.; Gy. 106/12., 106/14., 107/15. feladat: Írásbeli szorzás egyjegy¶ szorzóvallegfeljebb két (nem szomszédos) helyiértéken történ® átlépéssel.

Tk. 142/5. feladat: A becslést háromféleképpen végezhetik a tanulók.

a) 378; 468; 530; 1090; 632;

b) 456; 644; 429; 783; 768;

c) 954; 1696; 1648; 486; 1890;

d) 884; 1456; 384; 1555; 1221;

e) 1863; 696; 0; 275; 1672;

f) 847; 1640; 1899; 780; 1842.

Tk. 142/7. feladat:

a) 848; b) 1519; c) 1570; d) 1872;

e) 1872; f) 1896; g) 1456; h) 0;

j) 575; j) 850; k) 1000; l) 1000.

Tk. 142/8{9.; Gy. 107/16{17. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére,gyakorlására.

126


Tk. 142/8. feladat: Figyeltessük meg, hogy a szorzás és az osztás kapcsolata alapjánhogyan értelmezhetjük a direkt és az indirekt szövegezés¶ feladatokat.

a) a = 72 � 9 = 648; a � 9 = 72 a = 8;

a = 72 : 9 = 8; a : 9 = 72 a = 648;

b) b = 250 � 5 = 1250; b � 5 = 250 b = 50;

b = 250 : 5 = 50; b : 5 = 250 b = 1250.

Tk. 142/9. feladat: A szorzás kommutativitását szemléltet® feladatsor, amely a terület-számítást is el®készíti.

a) 2 � 5 = 10, illetve 5 � 2 = 10

b) 7 � 5 = 35, illetve 5 � 7 = 35

c) 217 � 5 = 1085, illetve 5 � 217 = 1085

Tk. 143/10{13. feladat: Írásbeli szorzás gyakorlása közben felidézünk néhány geomet-riai alapfogalmat (négyzet, kör, háromszög, szakasz).


a) 172 m � 4 = 688 m, b) 423 m � 4 = 1692 m, c) 308 m � 4 = 1232 m.


a) 118 mm � 3 = 354 mm, b) 118 mm � 4 = 472 mm, c) 118 mm � 5 = 590 mm.


a) 72 � 6 = 432, b) 314 � 6 = 1884, c) 105 � 6 = 630, d) 210 � 6 = 1260.


a) 51 � 5 = 255, b) 102 � 5 = 510, c) 316 � 5 = 1580, d) 320 � 5 = 1600.

Tk. 143/14. feladat: Következtetés egyr®l többre típusú feladatok el®készítése. Azadatok lejegyzése mutassa az összefüggések közötti kapcsolatot is.

a) 1 láda 5 kg

142 láda a kg a = 142 � 5 = 710.

b) 1 zsák 70 kg

21 zsák b kg b = 21 � 70 = 1470.

Még nem tanítottunk kétjegy¶ számot ketjegy¶ számmal szorozni, a m¶veletet mégismeg tudják oldani, ha alkalmazzák a szorzás változásairól tanultakat.

Többször meg�gyeltettük, természetesen nem de�niáltuk, hogy a szorzás disztribu-tív az összeadásra nézve. Az ötletet felhasználva adódik:

21 � 70 = 20 � 70 + 1 � 70 = 1400 + 70 = 1470.

Egy másik lehetséges megoldás a szorzás asszociativitását használja ki. Természe-tesen ezzel is csak tapasztalati úton találkoztak a tanulók:

21 � 70 = 21 � 7 � 10 = 147 � 10 = 1470.

c) 1 háló 3 kg

182 háló c kg c = 182 � 3 = 546.

d) 1 vödör 5 l

215 vödör d l d = 215 � 5 = 1075.

127


e) 1 járólap 4 dm

150 járólap e dm e = 150 � 4, e = 600 dm = 60 m.

Tk. 144. oldal, mintapélda: Háromjegy¶ szám egyjegy¶vel való írásbeli szorzása,egymás melletti helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. Ha eddig kell® biztonsággalelsajátították a tanulók az algoritmust, akkor ez a lépés már nem okozhat gondot.


a) 474; 944; 890; 837; 1956.

b) 1664; 1545; 1992; 1988; 1971.

c) 1884; 1449; 1635; 1896; 1458.

d) 814; 1959; 1548; 1575; 1648.

e) 1430; 1872; 1946; 1845; 1804.

Gy. 108/18. feladat:

a) 224; 624; 780; 936.

b) 438; 438; 738; 1038.

c) 658; 1358; 1365; 1372.

d) 405; 1905; 1686; 1267.

e) 192; 1812; 1812; 1359.

f) 376; 441; 882; 1323.

g) 413; 1392; 1388; 1384.

h) 432; 1377; 1436; 1295.

i) 259; 1710; 1425; 1140.

Tk. 145/16.; Gy. 109/19{22., 110/23{24. feladat: Szöveges feladatok a szorzásértelmezésére, illetve az írásbeli szorzás alkalmazására.


a) 12 sorban: b) 124 sorban:��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

T: k = 12 � 8 T: k = 124 � 8 B: 960

Sz: 12 � 8 = 96 Sz: 124 � 8 = 992

V: 96 katona áll. V: 992 katona áll.


a) 13 m vezeték: b) 126 m vezeték:

7 Ft

�

7 Ft

T: v = 13 � 7 (Ft) T: v = 126 � 7 Ft B: 910 (Ft)

Sz: 13 � 7 = 91 Sz: 126 � 7 = 882 B > Sz

V: 91 Ft-ba kerül. V: 882 Ft-ba kerül.

128



a) 20 db ki i: b) 197 db ki i:

T: k = 20 � 9 (Ft) T: k = 197 � 9 Ft B: 1800 (Ft)

Sz: 20 � 9 = 180 Sz: 197 � 9 = 1773 B > Sz

V: 180 Ft-ba kerül. V: 1773 Ft-ba kerül.


a) 30 dobozba: b) 324 dobozba:

T: t = 30 � 6 db T: k = 324 � 6 db B: 1920

Sz: 30 � 6 = 180 Sz: 324 � 6 = 1944 B < Sz

V: 180 db tojás fér. V: 1944 db tojás fér.


a) 1 virágon 5 sziromlevél B: 1200

243 virágon a sziromlevél Sz: a = 243 � 5 = 1215.

b) 1 százlábúnak 478 lába van B: 1920

4 százlábúnak b lába van Sz: b = 478 � 4 = 1912.

c) 1 póknak 8 lába van B: 1680

205 póknak c lába van Sz: c = 205 � 8 = 1640.

d) 1 halnak 0 lába van B: 0

978 halnak d lába van Sz: d = 978 � 0 = 0.

e) 1 kutyának 1 feje van B: 514

514 kutyának e feje van Sz: e = 514 � 1 = 514.

Gy. 110/24. feladat: Direkt és indirekt szövegezés¶ feladatok, ezért nagyobb gondotfordítsunk a szöveg értelmezésére. A feladatsorban szerepelnek olyan feladatok is, me-lyeket az adatok alapján nem tudunk megoldani.

a) l = 190 � 4 = 760.

b) r = 320 : 4 = 80.

c) m = 196 � 7 = 1372.

d) f = 212 { 5 = 207.

e) Az adatok alapján a feladat nem oldható meg.

f) Az adatok alapján a feladat nem oldható meg. Nem tudjuk, hogy a többi naponmennyi palántát ültetett Flóra.


a) Ahhoz, hogy egy szorzat a lehet® legnagyobb legyen, a tényez®knek is a lehet®legnagyobbnak kell lenniük. Két eset merülhet föl: 321 � 4 = 1284 és 421 � 3 = 1263.

A tanulók próbálgatással keressék meg a megoldást.

b) A legkisebb tényez®k: 234 � 1 = 234.

129


c) Egy szorzat akkor páros, ha van páros tényez®je.

234 � 1 = 234; 134 � 2 = 268; 124 � 3 = 372; 123 � 4 = 492;

324 � 1 = 324; 143 � 2 = 286; 142 � 3 = 426; 132 � 4 = 528;

342 � 1 = 342; 314 � 2 = 628; 214 � 3 = 642; 213 � 4 = 852;

432 � 1 = 432; 341 � 2 = 682; 412 � 3 = 1236; 231 � 4 = 924;

413 � 2 = 826; 312 � 4 = 1248;

431 � 2 = 862; 321 � 4 = 1284.

d) Egy szorzat akkor páratlan, ha minden tényez®je páratlan.

1 � 243 = 243; 1 � 423 = 423; 3 � 241 = 723; 3 � 421 = 1263.


a) 4 1 3 � 28 2 6

3 2 1 � 39 6 3

2 3 4 � 24 6 8

1 0 6 � 66 3 6

b) 2 0 4 � 36 1 2

2 1 6 � 48 6 4

1 3 5 � 22 7 0

2 1 7 � 48 6 8

c) 1 5 2 � 46 0 8

1 7 1 � 58 5 5

1 5 1 � 69 0 6

1 8 3 � 35 4 9

d) 3 1 1 � 51 5 5 5

4 3 2 � 31 2 9 6

4 1 2 � 41 6 4 8

3 0 1 � 61 8 0 6

Tk. 145/18. feladat: Némelyik feladatnak több megoldása is lehet.

a) 3 2 0 � 39 6 0

4 3 2 � 28 6 4

vagy 4 8 2 � 29 6 4

2 1 4 � 36 4 2

1 6 1 � 58 0 5

vagy 1 6 3 � 58 1 5

1 6 5 � 58 2 5

1 6 7 � 58 3 5

1 6 9 � 58 4 5

b) 1 2 5 � 33 7 5

1 8 2 � 47 2 8

vagy 1 8 7 � 47 4 8

2 2 6 � 36 7 8

1 7 2 � 46 8 8

130

Hajdu program 3 3UJP3H 2002. február 26. {15:54 (1. old.)

Következtetés egyr®l többre

Óra: 87{88. 98{99. 109{110.

A szorzás értelmezéséhez kapcsolódnak az egyenes arányossági következtetések egy-

r®l többre. A szöveges feladatokban eddig is találkoztak a tanulók ilyen feladatokkal.Most a következ®kben fejleszthetjük tovább a korábban tanultakat, meg�gyelteket:

Tudatosítjuk a következtetés gondolatmenetét, különös hangsúlyt fektetve az egye-nes arányosság mint függvény fogalmának el®készítésére (táblázatok kitöltése, gra-�konok vizsgálata).

Szembeállítjuk azokat a példákat, amelyek megoldásakor következtethetünk egyadatról többre, és amelyekben nem végezhet® el ez a következtetés (a fogalom-alkotáshoz elengedhetetlen a példák és ellenpéldák sokaságának vizsgálata).

Az adatok kigy¶jtésénél alkalmazzuk azt a sémát, amelyet kés®bb a fels® tagozatbana matematika-, �zika- és kémiaórákon is használunk.

Folyamatos ismétlés: az írásbeli szorzás gyakorlása, mértékegységek átváltása, gra�-konok készítése, értelmezése.

Az áru mennyisége és ára közti összefüggés vizsgálata kapcsolódik a háztartástan ta-nanyagához, ezért ezt a helyi tanterv és a tanmenet tervezésekor vegyük �gyelembe.

Tk. 146. oldal, mintapéldák: Már eddig is következtettek a tanulók egyr®l többre. Azígy szerzett tapasztalatokat foglaljuk össze.

Tk. 146/1. feladat:

a) 1 perc alatt 125 m

8 perc alatt a m a = 8 � 125, a = 1000 m

b) A többi hajszál hosszáról nem tudunk semmit, így nem tudjuk a hosszukat semmegmondani.

c) A megadott adatokból nem tudunk következtetni a h®mérsékletre.


a) A: 1 db 8 Ft T: x = 209 � 8 Ft 2 0 9 � 81 6 7 2

B Sz>

209 db x Ft B: 1680 Ft

V: 209 zsemle 1672 Ft-ba kerül.

b) A: 1 db 584 Ft T: x = 3 � 584 Ft 5 8 4 � 31 7 5 2

B Sz<

3 db x Ft B: 1740 Ft

V: 3 könyv 1752 Ft-ba kerül.

c) A: 1 bögre 2 dl T: x = 728 � 2 dl 7 2 8 � 21 4 5 6

B Sz>

728 bögre x dl B: 1460 dl

V: 1456 dl = 145 l 6 dl kakaó fogyott el.

131


d) A: 1 db 9 Ft T: x = 216 � 9 Ft 2 1 6 � 91 9 4 4

B Sz>

216 db x Ft B: 1980 Ft

V: 1944 Ft-ot �zetett Peti.

e) A: 1 cs 5 dkg T: x = 384 � 5 dkg 3 8 4 � 5

1 9 2 0

B Sz<

384 cs x dkg B: 1900 dkg

V: 1920 dkg = 19 kg 20 dkg az éleszt® tömege.

f) A: 1 perc 4 cm T: x = 156 � 4 cm 1 5 6 � 46 2 4

B Sz>

156 perc x cm B: 640 cm

V: 624 cm = 6 m 2 dm 4 cm távolságra jut a csiga.

Tk. 147/2.; Gy. 112/28. feladat: Függvények értékkészletének meghatározása.

Tk. 147/2. feladat:

a) Id® (másodperc) 1 2 5 0 9 7

Út (mm) 217 434 1085 0 1953 1519

b) Alkatrész (db) 1 3 8 4 10 20

Tömeg (dkg) 98 294 784 392 980 1960

c) Tömeg (kg) 1 6 4 9 5 7

Ár (Ft) 208 1248 832 1872 1040 1456


a) Id® (perc) 1 2 7 5 9 10 0

Út (cm) 165 330 1155 825 1485 1650 0

b) Téglák száma (db) 1 10 156 204 217 248

Téglák tömege (kg) 8 80 1248 1632 1736 1984

c) Üvegek száma (db) 1 13 103 178 215 253

�rtartalma (dl) 7 91 721 1246 1505 1771

Tk. 147/3. feladat:

a) Nem tudjuk, hogy Karcsi az iskolán kívül ment-e máshová, vagy nem. Így ezekb®laz adatokból a feladat nem számítható ki.

132


b) A feladatnak több megoldása van.

Ha egy önmagába nem záródó kerítést épít, akkor:

| {z }

225 cm

x = 225 � 8x = 1800 cm

Ha egy önmagába záródó kerítést épít, akkor: x = 225 � 9, x = 2025 cm hosszú akerítés.

c) c = 9 � 205, c = 1845 mm = 1 m 8 dm 4 cm 5 mm.

d) Beugrató feladat.

e) e = 248 { 8 = 240

f)� � � � � � � � � �1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

| {z }

5 � 40 cm

| {z }

4 � 40 cm

| {z }

9 � 40 cm

Tk. 148/4. feladat: Gra�kon értelmezése. Adatok leolvasása és táblázatba foglalása.Az egyenes arányosság el®készítése.

Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Út (mm) 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600

Gy. 112/27. feladat: Következtetés egyr®l többre és mértékváltás gyakorlása szövegesfeladatokban.

Tk. 148/5. feladat: Egyenl®tlenségre visszavezethet® szöveges feladatok.

a) 3 � 124 < a < 4 � 124 a: 373; 374; . . . ; 494; 495

b) 4 � 105 5 b < 5 � 105 b: 420; 421; . . . ; 523; 524

c) 5 � 102 5 c 5 9 � 102 c: 510; 511; . . . ; 917; 918

d) 3 � 124 < d < 3 � 125 d: 373; 374

Vegyes feladatok a szorzásra

Óra: 89{92. 100{103. 111{116.

Az írásbeli szorzás gyakorlása. Figyeltessük meg a szorzat változásait:

Ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, a többit nem változtatjuk, a szorzat isugyanannyiszorosára n®.

Ha az egyik tényez®t valahányad részére csökkentjük, a többit nem változtatjuk, aszorzat is ugyanannyiad részére csökken.

A szorzat nem változik, ha egyik tényez®jét valahányszorosára növeljük, egy másiktényez®jét ugyanannyiad részére csökkentjük, a többit nem változtatjuk.

133


A szorzat nem változik, ha egyik tényez®jét valahányad részére csökkentjük, egy másiktényez®jét ugyanannyiszorosára növeljük, a többit nem változtatjuk.

Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról; a mérésekr®l; a m¶veletek sorrendjér®l,a zárójelek használatáról tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban és szövegesfeladatokban.

Egyes szöveges feladatokban el®készítjük a kerület-, terület- és térfogatszámítást.

Tk. 149/1. feladat:

a) 232; 348; 464; 580; 696.

b) 567; 570; 573; 576; 579.

c) 408; 408; 408; 408; 816.

d) 648; 648; 648; 1296; 648.

e) 172; 344; 688; 1376; 688.

Tk. 149/2. feladat: Következtetés többr®l többre.

a) 3 kg sz®l® 126 Ft

� 2 � 2 a = 252 Ft

6 kg sz®l® 2 � 126 Ft

b) 2 csoki 122 Ft

� 4 � 4 b = 488 Ft

8 csoki 4 � 122 Ft

c) 4 jégkrém 364 Ft

� 2 � 2 c = 728 Ft

8 jégkrém 2 � 364 Ft

d) 3 kg eper 306 Ft

� 3 � 3 d = 918 Ft

9 kg eper 3 � 306 Ft

e) 2 nyalóka 162 Ft

� 3 � 3 e = 486 Ft

6 nyalóka 3 � 162 Ft

f) 2 ceruza 102 Ft

� 5 � 5 g = 510 Ft

10 ceruza 5 � 102 Ft

g) 5 toll 510 Ft

� 2 � 2 h = 1020 Ft

10 toll 2 � 510 Ft

134


Tk. 149/3. feladat: Következtetés többr®l többre. Használjuk föl az el®z® feladat tapasz-talatait.

3 gyerek 3 óra 108

a) 6 gyerek 3 óra 2 � 108 = 216 szorzás

b) 3 gyerek 6 óra 2 � 108 = 216 szorzás

c) 6 gyerek 6 óra 2 � 2 � 108 = 432 szorzás

d) 6 gyerek 9 óra 2 � 3 � 108 = 648 szorzás

e) 9 gyerek 9 óra 3 � 3 � 108 = 972 szorzás

f) 3 gyerek másfél óra 108 : 2 = 54 szorzás

g) 6 gyerek másfél óra 2 � 108 : 2 = 108 szorzás

h) 9 gyerek másfél óra 3 � 108 : 2 = 162 szorzás

i) 1 gyerek 3 óra 108 : 3 = 36 szorzás

j) 1 gyerek 1 óra 108 : 3 : 3 = 12 szorzás

Tk. 150/4{7.; Gy. 113/30. feladat: A szorzat változásait �gyeltetjük meg, a tényez®kfüggvényében. A meg�gyeléseket zömében a jobb képesség¶ tanulóktól várjuk.

Tk. 150/4. feladat: a = 264; b = 396; c = 528.

A szorzást ismételt összeadásra vezethetjük vissza. Az a-nál a b 132-vel, az a-nál a c

2-szer 132-vel több, stb.

Tk. 150/5. feladat: a = 378; b = 678; c = 978.

Az összeadás és a szorzás kapcsolatát �gyelhetik meg a tanulók.

226 � 3 = (126 + 100) � 3 = 126 � 3 + 100 � 3 = 378 + 300;

illetve 326 � 3 = (126 + 200) � 3 = 126 � 3 + 200 � 3 = 378 + 600

Tk. 150/6. feladat: a = 488; b = 488; c = 488.

Ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, a másikat valahányszorosára csök-kentjük, a szorzat nem változik.

Tk. 150/7. feladat: a = 54; b = 216; c = 864.

Ha mind a két tényez®t kétszeresére növeljük, a szorzat 2 � 2 = 4-szeresére n®. Ha minda két tényez®t négyszeresére növeljük, a szorzat 4 � 4 = 16-szorosára n®.


a) b)

1 5 8 � 34 7 4

1 5 8 � 69 4 8

� 2

� 2

1 2 4 � 89 9 2

1 2 4 � 44 9 6

: 2

: 2

c) d)

1 6 4 � 69 8 4

1 6 4 � 23 2 8

: 3

: 3

1 0 8 � 33 2 4

1 0 8 � 99 7 2

� 3

� 3

135


e) f)

1 2 6 � 33 7 8

2 5 2 � 37 5 6

� 2

� 2

1 8 6 � 5

9 3 09 3 � 5

4 6 5

: 2

: 2

g) h)

4 3 � 73 0 1

1 2 9 � 79 0 3

� 3

� 3

5 4 � 42 1 6

2 1 6 � 48 6 4

� 4

� 4

Tk. 151/8. feladat: Adott hosszúságú szakasz megmérése, kimérése.A szorzat változásainak meg�gyelése.

a) A szakasz háromszorosának a fele háromszorosa az eredeti szakasz felének.

b) A szakasz kétszeresének a harmadrésze a kétszerese az eredeti szakasz harmad-részének.

c) A szakasz négyszeresének negyedrésze négyszer olyan hosszú, mint az eredetiszakasz negyedrésze, egyben megegyezik az eredeti szakasz hosszával.

Tk. 151/9. feladat: A kerületszámítás el®készítése. Többféle megoldási tervet kérjünk atanulóktól.

Pl.: K = a + b + a + b K = 2 � a + 2 � b K = 2 � (a + b)

a) a = 72 mm; b = 24 mm; K = 192 mm.

b) a = 8 mm; b = 24 mm; K = 64 mm.

c) a = 34 mm; b = 34 mm; K = 136 mm.

d) a = 12 mm; b = 24 mm; K = 72 mm.

e) a = 48 mm; b = 24 mm; K = 144 mm.

f) a = 54 mm; b = 18 mm; K = 144 mm.

Tk. 152/10. feladat: A területszámítás el®készítése. Többféle megoldási tervet készít-hetünk.

Számolják meg a tanulók, hogy egy sorban hány kis négyzet van, és ebb®l következ-tessenek több sorra.

Számolják meg a tanulók, hogy egy oszlopban hány kis négyzet van, és ebb®l követ-keztessenek több oszlopra.

a) 3 � 58 = 174; 58 � 3 = 174; 3 � 10 � 5 + 3 � 8 = 174.

b) 30 � 58 = 1740; 58 � 30 = 1740; 10 � 10 � 5 � 3 + 10 � 8 � 3 = 1740.

Tk. 152/11. feladat: A térfogatszámítás el®készítése. A térszemlélet fejlesztése érdeké-ben építtethetünk azonos méret¶ színesrudakból különböz® hasábokat. Számoltassukmeg, hány rúdból építettek egy-egy hasábot. Számíttassuk ki, hány egységkockábólépíthetnék meg ugyanazt a hasábot.

a) 6 � 4 � 9 = 216; b) 7 � 3 � 8 = 168;

c) 5 � 5 � 5 = 125; d) 5 � 4 � 12 = 240.

136


Tk. 153. oldal, mintapélda: Példa olyan szöveges feladat megoldására, ahol a mér-tékváltást is gyakoroltatjuk. Figyeltessük meg újra a megoldás lépéseit, különösen abecslést. Folyamatos ismétlésként a közelít® számításokról tanultakat beszéljük meg.


a) a = 6 m 4 dm 8 cm; e) e = 135 l 6 dl;

b) b = 9 dm 7 cm 5 mm; f) f = 18 l 4 dl 8 cl;

c) c = 5 dm 7 cm 5 mm; g) g = 200 l;

d) d = 18 m 6 dm 6 cm; h) h = 4 l 8 dl.

Tk. 154/13.; Gy. 114/31. feladat: A m¶veleti sorrend gyakorlása.


a) 176 +

952z }| {

238 � 4 = 1128; b) 413 {

381z }| {

127 � 3 = 32;704

z }| {

176 � 4 + 238 = 942;

1239z }| {

413 � 3 { 127 = 1112;414

z }| {

(176 + 238) � 4 = 1656;

286z }| {

(413 { 127) � 3 = 858;704

z }| {

176 � 4 +

952z }| {

238 � 4 = 1656.

1239z }| {

413 � 3 {

381z }| {

127 � 3 = 858.


a) 6481:� 3

2:{ 1295 = 649; b) 1851

2:{ 276

1:� 6 = 195;

c) (13521:{ 816)

2:� 3 = 1608; d) 243

1:� 7

2:+ 256 = 1957;

e) 6282:+ 156

1:� 8 = 1876; f) (147

1:+ 96)

2:� 5 = 1215;

g) 82:� (1216

1:{ 997) = 1752; h) 1902

2:{ 156

1:� 9 = 498;

i) 2282:+ 427

1:� 4 = 1936; j) 2

2:� (376

1:+ 287) = 1326.

Tk. 154/14., 154/16{17. feladat: A szorzat változásainak meg�gyelése.

Tk. 154/14. feladat: A kéttagú szorzat értéke nem változik, ha az egyik tényez®t vala-hányszorosára növeljük, a másikat ugyanannyiszorosára csökkentjük.

a = 2; b = 3; c = 8; d = 9; e = 2; f = 9.

Tk. 154/16. feladat: Ha az egyik tényez®t valahányszorosára változtatjuk, a szorzat isugyanannyiszorosára változik.

a = 6; b = 6; c = 436; d = 436.


a = 3; b = 4; c = 3; d = 2.

137


Tk. 154/15. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend gyakorlására. A megoldássorán alkalmazzuk a szorzat változásairól tanultakat.

a = 132; b = 108; c = 0; d = 306; e = 152; f = 622; g = 0; h = 633.

Tk. 154/18. feladat: Egyenl®tlenségek.

a = f536; . . . ; 547g b = f1431; . . . ; 1427g c = f465; . . . ; 468g

d = f1155; . . . ; 1154g e = f788; . . . ; 789g f = f1000g


Áru Mennyiség Egységár Érték

Kenyér 4 db 128 Ft 512 Ft

Ki i 25 db 9 Ft 225 Ft

Tej 1 doboz 216 Ft 216 Ft

Joghurt 3 doboz 96 Ft 288 Ft

Keksz 1 doboz 568 Ft 568 Ft

Végösszeg 1809 Ft

Gy. 115/33. feladat: A feladatnak több megoldása lehet.

Áru Mennyiség Egységár Érték

Autó 1 db 348 Ft 348 Ft

Könyv 1 db 628 Ft 628 Ft

Mackó 1 db 416 Ft 416 Ft

Pingpongüt® 1 db 342 Ft 342 Ft

Végösszeg 1734 Ft


a = 1735 Ft, b = 1195 Ft, c = 520 kg.

Gy. 116/35. feladat: Szöveges feladatok, melyekhez több megoldási terv is készíthet®.Beszéljük meg, mikor melyiket miért célszer¶ alkalmazni.

a = 1588 Ft, b = 624 Ft, c = 304 kg, d = 452 Ft.

Gy. 116/36. feladat: Szöveg alapján egyenlet írása, a m¶veleti sorrend gyakorlására.

a) a = (276 + 149) � 4 a = 1700

b) b = (276 { 149) � 4 b = 508

c) c = 276 + 149 � 4 c = 872

d) d = 276 � 4 { 149 d = 955

Gy. 116/37. feladat: Egyenl®tlenségek.

a : 264; 265 b : 303; 302; 301 c : 1289; 1290; 1291

138


Gy. 116/38. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend gyakorlására. A megol-dás során alkalmazzuk a szorzat változásairól tanultakat.

a = 1 b = 10 c = 100

Gy. 116/39. feladat: Ösztönözzük a tanulókat az összes megoldás megkeresésére.

a) Akkor a legkisebb a szorzat, ha a tényez®i a lehet® legkisebbek.108 � 3 = 324

b) Akkor a legnagyobb a szorzat, ha a tényez®i a lehet® legnagyobbak.456 � 4 = 1824

c) Akkor páros a szorzat, ha valamelyik tényez®je páros.

108 � 3 = 324 108 � 4 = 432 247 � 4 = 988

319 � 4 = 1276 456 � 3 = 1368 456 � 4 = 1824

d) Akkor páratlan a szorzat, ha mindegyik tényez®je páratlan.

247 � 3 = 741 319 � 3 = 957

e) Legalább 1000, azaz 1000 vagy annál több lehet a szorzat.

319 � 4 = 1276 456 � 3 = 1368 456 � 4 = 1824

f) Legfeljebb 1000, azaz 1000 vagy annál kevesebb lehet a szorzat.

108 � 3 = 324 108 � 4 = 432 247 � 3 = 741

247 � 4 = 988 319 � 3 = 957


Lásd a Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály megfelel® feladatsorát.

A tájékozódó felmérést egy gyakorlóórán célszer¶ elvégezni és értékelni. Így még ide-jében fel�gyelhetünk az esetleges hiányosságokra, és megszervezhetjük ezek kiküszö-bölését.

4. felmérés

Óra: 93. 104. 117{118.

Lásd a Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály megfelel® feladatsorát. Az A),B), C), D) változat körülbelül egyforma tartalmú és nehézség¶ feladatokat tartalmaz.


A követelményeket lásd a tananyagbeosztásban.

139

Hajdu program 3 3UJP3I 2002. február 5. {17:35 (1. old.)

Hosszúságmérés kilométerrel

Óra: 94{95. 105{106. 119{120.

Tk. 155. oldal, összefoglaló: A mindennapi életb®l már meglév® tapasztalatokra építvevezetjük be a kilométer fogalmát. A mértékváltás a számfogalom alakítását is szolgálja(például szemléleti alapot biztosít az �ezer" fogalmának elmélyítéséhez).

Beszéljük meg a �kilo" görög szó jelentését, és azt is, hogy más mennyiség esetébenis szoktuk ezt a kifejezést használni. (A tanulók már tanulták a kilogramm fogalmát,hallhattak a kilowattról stb.)

A hosszúságadatokkal végzett m¶veletek során megbeszélhetjük, hogy csak akkoradódnak össze a távolságok (additív tulajdonság), ha egy egyenes mentén, ugyanab-ban az irányban mérjük fel azokat. Így a tanuló tapasztalatokat szerezhet a háromszög-egyenl®tlenségr®l is. Ismertessük fel azt is, hogy a távolságok összeadása, kivonásael®tt azonos mértékegységekkel célszer¶ kifejeznünk az adott mennyiségeket.

Folyamatos ismétlésként, a hosszúságméréssel kapcsolatos feladatok feldolgozása so-rán alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek számokkal végzett analóg szá-mításokat.

Az ebben a fejezetben található feladatok egy részét kés®bb, folyamatos ismétléskéntdolgoztathatjuk fel.

Tk. 155/1. feladat: El®készítjük a környezetismeretben is tanult fogalmakat (légvonal-ban, vasútvonalon, közúton stb.).

Tk. 156/2. feladat: Egyenes arányosság meg�gyelése: következtetés egyr®l többre.Hasonló feladatok feldolgozásával el®készíthetjük a �sebesség" fogalmának kialakítását.

a = 354 km; b = 390 km; c = 1710 km; d = 300 km.

Tk. 156/3. feladat: Egyenes arányossági következtetések. Az analóg számításokatfejben végezzék a tanulók (szükség esetén beszéljük meg a szorzat változásait).

A tanulóktól is megkérdezhetjük, hogyan tehet® pontosabbá a feladat. Ki kell egészíteniaz adatokat: Egy egyenes út mentén állították a villanyoszlopokat; vagy a villanyoszlopokmentén haladva mekkora a távolság.

a = 420 m; b = 600 m; c = 1200 m; d = 1800 m.

Ha nem pontosítjuk az adatokat, akkor a helyes válasz az, hogy a felsorolt adatoknálkisebb is lehet a távolság (ha nem egyenes vonalban rakták le az oszlopokat).

Tk. 156/4. feladat: Azt kell észrevenniük a tanulóknak, hogy egy beosztás 100 m.

a) 400 m, 750 m, 1150 m;

b) 600 m, 250 m, 150 m;

c) 750 m.

Tk. 156/5.; Gy. 144/1{3. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a kilométer és a méterközötti kapcsolat alkalmazása.

140


Gy. 144/1. feladat:

a) 1400 m = 1 km 400 m, b) 1 km 470 m = 1470 m,

1860 m = 1 km 860 m, 1 km 50 m = 1050 m,

1080 m = 1 km 80 m, 1 km 7 m = 1007 m,

906 m = 0 km 906 m, 1 km 909 m = 1909 m,

1204 m = 1 km 204 m; 1 km 600 m = 1600 m.

Gy. 144/2. feladat:

a) 780 m + 220 m = 1 km, b) 2 km { 500 m = 1500 m,

1260 m + 740 m = 2 km, 2 km { 950 m = 1050 m,

1070 m + 930 m = 2 km, 1 km { 560 m = 440 m,

1350 m + 650 m = 2 km, 1268 m { 1 km = 268 m,

1700 m + 300 m = 2 km; 1540 m { 540 m = 1 km.

Gy. 144/3. feladat:

a) 400 m + 1 km 600 m = 2000 m = 2 km 0 m,

250 m + 1 km 350 m = 1600 m = 1 km 600 m;

b) 940 m + 460 m = 1400 m = 1 km 400 m,

1175 m + 505 m = 1680 m = 1 km 680 m;

c) 1 km 50 m + 505 m = 1555 m = 1 km 555 m,

1 km 305 m + 620 m = 1925 m = 1 km 925 m;

d) 1 km 600 m { 350 m = 1250 m = 1 km 250 m,

1 km 240 m { 1040 m = 200 m = 0 km 200 m.

Gy. 144/4. feladat: Adott mennyiség két érték közé szorítása.

a) 1 km < 1300 m < 2 km, 1300 m � 1 km;

b) 1 km < 1500 m < 2 km, 1500 m � 2 km;

c) 0 km < 625 m < 1 km, 625 m � 1 km;

d) 1 km < 1840 m < 2 km, 1840 m � 2 km;

e) 0 km < 499 m < 1 km, 499 m � 0 km.

Tk. 156/6. feladat: A biztos mennyiségfogalom kialakulását segít® feladat.

�rtartalommérés hektoliterrel

Óra: 96{97. 107{108. 121{122.

Az ¶rtartalom fogalmának alakítása érdekében végeztessünk minél több mérést, dol-goztassunk föl minél több feladatot a tanult mértékegységek alkalmazásával.

Folyamatos ismétlésként most is alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerekszámokkal végzett analóg számításokat. Az ¶rtartalmakkal végzett m¶veletek során atanuló tapasztalatokat szerezhet az ¶rtartalom (és így a térfogat) additív tulajdonságáról.

141


Figyeltessük meg, hogy a mennyiségek összeadása, kivonása el®tt azonos mértékegy-ségekkel célszer¶ kifejezni az adott ¶rtartalmakat.

Az ebben a fejezetben található feladatok közül néhányat a további órákon, folyamatosismétlésként oldathatunk meg. A következ® fejezetekben is találunk olyan feladatokat,amelyek lehet®vé teszik az itt tanultak felelevenítését, gyakorlását.

Tk. 157. oldal, összefoglaló: A hektoliter fogalmának kialakításához mutassunk be1 hektoliteres (m¶anyag) hordót, 10 darab tízliteres vödröt (az el®re megtöltött vödrök-b®l teletölthetjük a hordót). A tankönyv szemléltetését is modellezhetjük, amellyel atérfogatmérést készítjük el®.

Beszéljük meg a �hekto" görög szó jelentését, és azt is, hogy más (tanult) mennyiségesetében nem szoktuk ezt a kifejezést használni (a literrel viszont a �deka" és a �kilo"kifejezést nem szokás összekapcsolni). Tisztázzuk a �centi" és a �hekto" fogalma köztikülönbséget.

Tk. 158/3. feladat: Az ¶rtartalom becslése általában nehezebben megy a tanulóknak,mivel kevesebb a tapasztalatuk. A biztos mennyiségfogalom, illetve az egyes mérték-egységek fogalmának kialakulása érdekében konkrét mérésekhez kössük a feladatot.

Vödör: 12 l; kancsó: 12 dl; pohár: 12 cl; orvosságosüveg: 12 ml; tartály: 12 hl.

Tk. 157/1., 158/4{5.; Gy. 145/5{7. feladat: Mértékváltások a tanult ¶rtartalom-mértékegységekkel.

A hektoliter és a deciliter közti átváltásokat a matematikából nehezebben haladóktól neköveteljük meg.

Gy. 145/5. feladat:

a) 320 l = 3 hl 20 l, b) 8 hl 12 l = 812 l,

405 l = 4 hl 5 l, 5 hl 9 l = 509 l,

292 l = 2 hl 92 l, 10 hl 50 l = 1050 l,

1608 l = 16 hl 8 l, 6 hl 98 l = 698 l,

1010 l = 10 hl 10 l; 19 hl 78 l = 1978 l;

c) 1 hl 45 l 4 dl = 1454 dl, d) 1684 dl = 1 hl 68 l 4 dl,

1 hl 50 l 8 dl = 1508 dl, 1250 dl = 1 hl 25 l 0 dl,

1 hl 5 l 3 dl = 1053 dl, 1308 dl = 1 hl 30 l 8 dl,

1 hl 45 dl = 1045 dl, 1001 dl = 1 hl 0 l 1 dl,

1 hl 8 dl = 1008 dl; 1013 dl = 1 hl 1 l 3 dl.

Gy. 145/6. feladat:

a) 48 l + 52 l = 1 hl, b) 4 hl { 50 l = 350 l,

150 l + 50 l = 2 hl, 5 hl { 5 l = 495 l,

305 l + 195 l = 5 hl, 3 hl { 100 l = 200 l,

1340 l + 60 l = 14 hl, 10 hl { 150 l = 850 l,

1002 l + 98 l = 11 hl; 14 hl { 1340 l = 60 l.

142


Gy. 145/7. feladat:

a) 1 hl 50 l + 220 l = 370 l, b) 5 hl { 50 l = 450 l,

2 hl 25 l + 75 l = 300 l, 3 hl { 120 l = 180 l,

4 hl 80 l + 126 l = 606 l, 4 hl 30 l { 130 l = 300 l,

4 hl 98 l + 12 hl = 1698 l, 2 hl 25 l { 50 l = 175 l,

3 hl 6 l + 7 hl = 1006 l; 1 hl 10 l { 85 l = 25 l.

Tk. 158/6.; Gy. 145/8. feladat: A közelít® értékr®l tanultak alkalmazása, a tanult¶rtartalom-mértékegységek közötti kapcsolat vizsgálata. Adott mennyiség két érték közészorítása.

Gy. 145/8. feladat:

a) 1 hl < 148 l < 2 hl, 148 l � 1 hl;

b) 3 hl < 309 l < 4 hl, 309 l � 3 hl;

c) 11 hl < 1150 l < 12 hl, 1150 l � 12 hl;

d) 0 hl < 35 l < 1 hl, 35 l � 0 hl.

Tk. 157/2., 158/7. feladat: �rtartalomméréssel kapcsolatos egyenes arányossági kö-vetkeztetések, illetve összetett szöveges feladatok. A fokozatosan nehezed® feladatsorindirekt di�erenciálásra alkalmas. A m¶veletvégzés el®tt tisztázzák a tanulók, hogy melymértékegységgel célszer¶ elvégezni a számításokat.

Az összetett feladatok megoldása nem várható el minden tanulótól.

Tk. 157/2. feladat: A számítások �fejben" is elvégezhet®k.

a) 200 l = 2 hl, b) 625 l = 6 hl 25 l, c) 320 l = 3 hl 20 l,

d) 1500 dl = 1 hl 50 l,

e) 350 l = 3 hl 50 l, f) 200 l = 2 hl, g) 198 l = 1 hl 98 l, h) 480 l = 4 hl 80 l.

Tk. 158/7. feladat: A számításokat a c) és e) feladat kivételével írásban végezzék atanulók. Az e) feladathoz kerestessünk két megoldási tervet.

a) 1736 dl = 1 hl 73 l 6 dl; b) 1890 dl = 1 hl 89 l; c) 1250 dl = 1 hl 25 l;

d) 1745 dl = 1 hl 74 l 5 dl; e) 800 dl = 80 l; f) 1971 dl = 1 hl 97 l 1 dl.

Tömegmérés grammal

Óra: 98{99. 109{110. 123{124.

Tk. 159. oldal, összefoglaló: A gramm fogalmát értelmezzük már meglév® tapasztala-tokra és ismeretekre építve. A háztartásban a gyermekek gyakran találkoznak hasonlótömeg¶ árukkal. Törekedjünk arra, hogy minél többször becsüljenek meg, hasonlítsanakössze 10{20 grammnyi mennyiségeket.

A színesrúdkészlet fehér kockája 1 gramm tömeg¶ (ennek megfelel®en ahány centiméterhosszú a rúd, annyi gramm a tömege). Apró tárgyakat hasonlítsanak össze vele.

Konyhai vagy játék mérlegen mérjenek meg (ki) azonos anyagból különböz® mennyisé-geket, illetve különböz® s¶r¶ség¶ (fajsúlyú), azonos térfogatú anyagokat (vasreszelék,

143


homok, só, cukor, liszt stb.). Hasonlítsuk össze a mérési eredményeket, és �gyeltessükmeg a következ®ket:

Ugyanabból az anyagból kisebb ¶rtartalmú anyagnak arányosan kisebb, nagyobb¶rtartalmú anyagnak arányosan nagyobb a tömege.Különböz® anyagból készült (vas, fa, hungarocell stb.), de ugyanakkora méret¶ tár-gyaknak, illetve azonos térfogatú különböz® anyagoknak más-más lehet a tömege.Ha ugyanannak a testnek a tömegét megmérve különböz® színesrudakat alkalma-zunk egységként, akkor a nagyobb egységhez arányosan kisebb, a kisebb egy-séghez arányosan nagyobb mér®szám tartozik (nem mondjuk meg, hogy fordítottarányosságról van szó).

Az ebben a fejezetben található feladatok közül többet az elkövetkez® órákon, folyama-tos ismétlésként dolgoztathatunk fel. A kés®bbi fejezetekben is találunk olyan feladato-kat, amelyekkel feleleveníthet®k, gyakoroltathatók az itt tanultak.

Tk. 159/1. feladat: Alkalmazzuk a tömeg- és az ¶rtartalom-mértékegységek közötti kap-csolatot. (4 �C-os vízr®l van szó.)

a) 1 ml víz tömege = 1 g;

b) 1 cl víz tömege = 10 g = 1 dkg;

c) 1 dl víz tömege = 100 g = 10 dkg;

d) 1 l víz tömege = 1000 g = 100 dkg = 1 kg.

Tk. 159/2., 160/6.; Gy. 146/9{11. feladat: M¶veletvégzés mennyiségekkel, mértékvál-tás gyakorlása. Ügyeljenek a tanulók arra, hogy csak azonos mértékegységekkel adottmér®számokkal végezzék a m¶veleteket.

Tk. 160/5. feladat: Következtetés egyr®l többre. A fehér kocka tömege 1 gramm.

A feladat megoldását, illetve ellen®rzését kapcsoljuk konkrét méréshez. Tudatosítsuk,hogy a mért adat mindig közelít® érték.

a) 1 világoskék rúd tömege = 3 g

15 világoskék rúd tömege = 45 g = 4 dkg 5 g

b) 1 lila rúd tömege = 6 g

132 lila rúd tömege = 792 g = 79 dkg 2 g

c) 1 narancssárga rúd tömege = 10 g

200 narancssárga rúd tömege = 2000 g = 200 dkg 0 g = 2 kg

Tk. 160/7. feladat: A biztos mennyiségfogalom kialakulását segít® feladat. A Delmamargarin kapható 500 grammos és 25 dekagrammos csomagolásban is, így két címkévelis összeköthetjük.

Gy. 146/12. feladat: Adott mennyiség két érték közé szorítása, a kerekített értékr®ltanultak alkalmazása.

a) 4 dkg < 46 g < 5 dkg, 46 g � 5 dkg;

b) 9 dkg < 92 g < 10 dkg, 92 g � 9 dkg;

c) 15 dkg < 155 g < 16 dkg, 155 g � 16 dkg;

d) 127 dkg < 1271 g < 128 dkg, 1271 g � 127 dkg.

144


Tk. 159/3., 160/4. feladat: Következtetés egységnyi mennyiségr®l többre.

Tk. 159/3. feladat:

a) 120 g = 12 dkg 0 g; b) 161 g = 16 dkg 1 g; c) 112 g = 11 dkg 2 g;

d) 228 g = 22 dkg 8 g; e) 163 g = 16 dkg 3 g.


A huzal hossza tömege

10 m 200 g = 20 dkg = 0 kg 20 dkg,

5 m 100 g = 10 dkg = 0 kg 10 dkg,

15 m 300 g = 30 dkg = 0 kg 30 dkg,

50 m 1000 g = 100 dkg = 1 kg 0 dkg,

60 m 1200 g = 120 dkg = 1 kg 20 dkg,

100 m 2000 g = 200 dkg = 2 kg 0 dkg.

Az id® mérése

Óra: 100{101. 111{113. 125{127.

Tk. 161. oldal, összefoglaló: Felelevenítjük az id®mérésr®l tanultakat, új fogalom-ként a másodpercet vezetjük be. A tanulók legyenek képesek használni az id®mérésmindennapi eszközeit, az órát és a naptárt.

Az évezred, évszázad, évtized, év, évszak, hónap, hét, nap, óra, perc, másodpercmértékegységekkel a tanulók gyakran találkoznak a mindennapi életben, itt els®sorbanaz összefüggések meger®sítése a cél. Tudatosítsuk, hogy ezekkel a mértékegységekkelaz id®tartamot mérjük. Az �id®méréssel" kapcsolatos másik feladattípus az id®pontmeghatározása, amely egy adott kezd®ponttól (valamely id®számítás kezdetét®l, januárelsejét®l, a hét els® napjától, éjfélt®l, a tanítási óra kezdetét®l stb.) számított id®tartamotadja meg.

Az id®tartam becslése, összehasonlítása nehezebb, mint a többi mennyiségé, mivelszubjektív tényez®k jobban befolyásolják az érzékelést. A kellemesen töltött id®tartamotrövidebbnek érezzük a valóságosnál, a kellemetlenül töltöttet hosszabbnak.

A napok átváltása órákra, órák átváltása percekre stb. több id®t vesz igénybe, mivel aváltószám nem 10 hatványa.

Folyamatos ismétlés az írásbeli szorzás alkalmazása a számításokban.

Az ebben a fejezetben található feladatok közül jó néhányat a további órákon, folyamatosismétlésként oldathatunk meg. A következ® fejezetekben is találunk sok olyan feladatot,amelyek lehet®vé teszik az itt tanultak felelevenítését, gyakorlását, elmélyítését.

A tananyag feldolgozását hangoljuk össze a természetismeret és az életvitel tantárgytananyagával, követelményeivel.

Tk. 162/1. feladat: A tanulók mindennapi életéhez kapcsolódó id®tartamok meg�gyelé-se, mérése, mértékegységek alkalmazása.

145


Tk. 162/2{3. feladat: Az óra használata, id®pontok leolvasása.

Beszéljük meg az id®pontok meghatározásakor használatos különböz® kifejezéseket.

Például a Tk. 162/2. h) feladatban:

Fél tíz múlt 10 perccel. 5 perc múlva háromnegyed tíz.9 óra 40 perc, vagy 21 óra 40 perc.

Tk. 163/6.; Gy. 148/19{20. feladat: Az óra használata, id®tartamok meghatározása.


a = 1 óra 50 perc, b = 1 óra 30 perc, c = 3 óra 28 perc, d = 14 óra 10 perc.


Ett®l eddig eltelt

7 óra 45 perc 12 óra 15 perc 4 óra 30 perc








Ett®l eddig eltelt

5 perc 0 másodperc

4 perc 45 másodperc



Tk. 162/4., 163/5., 163/9{10.; Gy. 148/18. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc, illetve perc{másodperc) kapcsolata, mértékváltások gyakorlása.

Tk. 163/5. feladat:

a) 1 óra 8 perc, b) 1 óra 15 perc, c) 2 óra 15 perc, d) 5 óra 1 perc.

Tk. 163/9. feladat:

a) 180 másodperc, b) 480 másodperc, c) 315 másodperc,

d) 600 másodperc, e) 1500 másodperc, f) 1242 másodperc.


a) 2 perc 1 másodperc, b) 4 perc 10 másodperc, c) 6 perc 12 másodperc.


a) 1 óra 15 perc = 75 perc, b) 135 perc = 2 óra 15 perc,

3 óra 45 perc = 225 perc, 244 perc = 4 óra 4 perc,

2 óra 7 perc = 127 perc, 420 perc = 7 óra 0 perc,

10 óra 59 perc = 659 perc; 725 perc = 12 óra 5 perc;

146


c) 5 perc 45 másodperc = 345 másodperc,

10 perc 15 másodperc = 615 másodperc,

7 perc 8 másodperc = 428 másodperc,

30 perc 24 másodperc = 1824 másodperc;

d) fél perc = 30 másodperc, e) 120 másodperc = 2 perc,

1 negyed perc = 15 másodperc, 300 másodperc = 5 perc,

3 negyed perc = 45 másodperc, 900 másodperc = 15 perc,

1 harmad perc = 20 másodperc; 30 másodperc = fél perc.

Tk. 163/7{8.; Gy. 147/13{17. feladat: Id®tartamok meghatározása, mértékegységek(év{hónap{hét{nap) kapcsolata, mértékváltások gyakorlása.

Tk. 163/7. feladat:

a) 75 nap, b) 178 nap, c) 352 nap, d) 1 vagy 2 nap.

Tk. 163/8. feladat:

a) 4 hét 3 nap, b) 4 hét 2 nap, c) 4 hét 0 vagy 1 nap.


Ett®l a naptól eddig a napig eltelt

1996. március 1. 1996. június 1. 92 nap,

1992. január 15. 1992. március 15. 60 nap,

1993. június 20. 1994. január 15. 209 nap,

1991. szeptember 1. 1996. szeptember 1. 1827 nap.

Gy. 147/14. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztá-lyokat vesszük �gyelembe:

a) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 1-et ad maradékul. Például:áprilisban a napok sorszámát kell 7-tel osztani;májusban a napok sorszámához hozzá kell adni 30-at, az áprilisi napok számát, ésaz így kapott számot kell 7-tel osztani.Szerda: IV. 8.; IV. 15.; IV. 22.; IV. 29.; V. 6.; V. 13.

b) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 0-t ad maradékul.Kedd: IV. 7.; IV. 14.; IV. 21.; IV. 28.; V. 5.; V. 12.

c) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 2-t ad maradékul.Csütörtök: IV. 2.; IV. 9.; IV. 16.; IV. 23.; IV. 30.; V. 7.

d) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 5-öt ad maradékul.Vasárnap: IV. 5.; IV. 12.; IV. 19.; IV. 26.; V. 3.; V. 10.


Dátum V. 1. VII. 15. VIII. 20. XII. 24.

Napok száma 30 105 141 267

A hét napja péntek szerda csütörtök csütörtök

147


Gy. 147/16. feladat:a) 12 hét 6 nap = 90 nap, b) 48 nap = 6 hét 6 nap,

52 hét 1 nap = 365 nap, 148 nap = 21 hét 1 nap,45 hét 5 nap = 320 nap; 200 nap = 28 hét 4 nap.


a) A következ® évben január 1-je péntek,

b) két év múlva január 1-je szombat vagy vasárnap,

c) öt év múlva január 1-je szerda,

d) nyolc év múlva január 1-je vasárnap.

Tk. 163/11. feladat: Következtetés egyr®l többre, mértékváltások gyakorlása.a) 1036 l = 10 hl 36 l; b) 1320 m = 1 km 320 m; c) 1170 m = 1 km 170 m;d) 3 perc, ha a tojásokat egyszerre tesszük föl f®ni; e) 15 perc.


Menetid® Megtett út

30 másodperc 600 m

1 perc 1200 m

1 és fél perc 1800 m

50 másodperc 1000 m

45 másodperc 900 m

Megtett út Menetid®

120 m 6 másodperc

200 m 10 másodperc

600 m 30 másodperc

1200 m 1 perc

2000 m 1 perc 40 másodperc


�rtartalom 1 dl 3 dl 1 l 5 dl 2 l 20 l

Tömeg 9 dkg 27 dkg 135 dkg 180 dkg 18 kg


Id® (másodperc) 10 30 120 150 240

�rtartalom (dl) 30 90 360 450 720

�rtartalom (l) 3 9 36 45 72

Az osztás tulajdonságai

Óra: 102{103. 114{115. 128{129.

Tk. 164., 165. oldal, összefoglaló, mintapéldák; Tk. 164/1., 165/2. feladat Azosztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról tanultakat rendszerez-zük a �téglalapmodell" segítségével. Vetessük észre, hogy az osztásnak két �fordítottm¶velete" van:

148


az osztó és a hányados ismeretében szorzással kapjuk meg az ismeretlen osztandót;

az osztandó és a hányados ismeretében osztással kapjuk meg az ismeretlen osztót.

Figyeltessük meg a hányados változásait az osztó, illetve az osztandó változásainakfüggvényében. Ezzel el®készítjük az analóg számításokat, az összeg osztását, végül azírásbeli osztás algoritmusának tudatos elsajátítását.

Tk. 166/3.; Gy. 121/1{3. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására, a hánya-dos változásairól tanultak alkalmazásával.

Gy. 121/1. feladat:

a) 12 : 3 = 4 120 : 3 = 4 0 1200 : 3 = 4 0 0

b) 16 : 8 = 2 160 : 8 = 2 0 1600 : 8 = 2 0 0

c) 12 : 2 = 6 120 : 2 = 6 0 1200 : 2 = 6 0 0

d) 15 : 5 = 3 150 : 5 = 3 0 1500 : 5 = 3 0 0

e) 20 : 4 = 5 200 : 4 = 5 0 2000 : 4 = 5 0 0

Gy. 121/2. feladat:

a) 24 : 4 = 6 35 : 7 = 5 48 : 6 = 8

240 : 4 = 6 0 350 : 7 = 5 0 480 : 6 = 8 0

b) 54 : 9 = 6 72 : 8 = 9 28 : 4 = 7

540 : 9 = 6 0 720 : 8 = 9 0 280 : 4 = 7 0

c) 42 : 7 = 6 21 : 3 = 7 56 : 8 = 7

420 : 7 = 6 0 210 : 3 = 7 0 560 : 8 = 7 0

d) 27 : 3 = 9 30 : 6 = 5 32 : 4 = 8

270 : 3 = 9 0 300 : 6 = 5 0 320 : 4 = 8 0

e) 36 : 9 = 4 40 : 5 = 8 63 : 9 = 7

360 : 9 = 4 0 400 : 5 = 8 0 630 : 9 = 7 0

f) 45 : 5 = 9 81 : 9 = 9 36 : 6 = 6

450 : 5 = 9 0 810 : 9 = 9 0 360 : 6 = 6 0

Gy. 121/3. feladat: Szabály: a : b = c, a : c = b, b � c = a, c � b = a.

a 160 300 100 540 250 490 320 560 240 480

b 4 5 2 6 5 7 4 8 8 6

c 40 60 50 90 50 70 80 70 30 80

149

Hajdu program 3 3UJP3J 2002. február 26. {15:56 (1. old.)

Tk. 166/4. feladat: Az analóg számítások kapcsán szerzett tapasztalatok alkalmazásaszöveges feladatok megoldása során. A feladatok feldolgozásakor a tanulók tapasztala-tot szereznek az osztás különböz® értelmezéseivel kapcsolatosan:

Az osztás mint a szorzás inverz m¶velete.Az osztás mint az osztás inverz m¶velete.Az osztás mint bennfoglalás.Az osztás mint részekre osztás.

Tk. 167. oldal, mintapélda; Tk. 167/5{6.; Gy. 122/4{7. feladat: Az írásbeli osztásel®készítése az összeg osztásáról korábban meg�gyeltek felelevenítésével, tudatosítá-sával, kiterjesztésével a 2000-es számkörre.

Figyeltessük meg, az osztás úgy is elvégezhet®, hogy az osztandót összegalakbanfelírjuk, az osztást tagonként végezzük el, majd a hányadosokat összegezzük. Mindigbeszéljük meg az osztandó, osztó és a hányados változásait.

A feladatok egy részét az elkövetkez® 3-4 órán folyamatos ismétlésként oldassuk meg,ezzel megalapozva az írásbeli osztás tanulását.

Gy. 122/4. feladat: A szemléletre alapozva, az összeg osztásáról szerzett tapasztalatokfelhasználásával oldassuk meg a feladatot.

960 : 3 = 900 : 3 + 60 : 3 = 3 0 0 + 2 0 = 3 2 0

Gy. 122/5. feladat:

a) 840 : 4 = 8 0 0 : 4 + 4 0 : 4 = 2 0 0 + 1 0 = 2 1 0

b) 630 : 3 = 6 0 0 : 3 + 3 0 : 3 = 2 0 0 + 1 0 = 2 1 0

c) 650 : 5 = 5 0 0 : 5 + 1 5 0 : 5 = 1 0 0 + 3 0 = 1 3 0

d) 450 : 3 = 3 0 0 : 3 + 1 5 0 : 3 = 1 0 0 + 5 0 = 1 5 0

e) 910 : 7 = 7 0 0 : 7 + 2 1 0 : 7 = 1 0 0 + 3 0 = 1 3 0

f) 960 : 8 = 8 0 0 : 8 + 1 6 0 : 8 = 1 0 0 + 2 0 = 1 2 0

Gy. 122/6. feladat: Figyeltessük meg az osztó és a hányados változásait (fordított ará-nyosság).

a) 360 : 9 = 4 0 360 : 6 = 6 0 360 : 3 = 1 2 0

b) 480 : 8 = 6 0 480 : 4 = 1 2 0 480 : 2 = 2 4 0

c) 900 : 9 = 1 0 0 900 : 3 = 3 0 0 900 : 6 = 1 5 0

d) 660 : 6 = 1 1 0 660 : 3 = 2 2 0 660 : 2 = 3 3 0

Gy. 122/7. feladat: Vetessük észre, hogy egy feladaton belül az els® két sorban szerepl®osztandók összege kerül a harmadik sorba az osztandó helyére. Ezért az els® két sorbankapott hányados összege megegyezik a harmadik sor hányadosával.

a) 120 : 4 = 3 0 b) 150 : 3 = 5 0 c) 140 : 7 = 2 0

8 : 4 = 2 6 : 3 = 2 7 : 7 = 1

128 : 4 = 3 2 156 : 3 = 5 2 147 : 7 = 2 1

150


1200 : 4 = 3 0 0 1500 : 3 = 5 0 0 1400 : 7 = 2 0 0

80 : 4 = 2 0 60 : 3 = 2 0 70 : 7 = 1 0

1280 : 4 = 3 2 0 1560 : 3 = 5 2 0 1470 : 7 = 2 1 0

Tk. 167/7. feladat: A négy szöveges feladatot egy órán oldassuk meg. Figyeljük meg,tudják-e a tanulók értelmezni a szöveget, megtalálják-e a megoldási modellt.a) I = 104 Ft, J = 4 � 104 Ft; E = I + J; J = 416 Ft, E = 520 Ft.b) K = 104 Ft, L = 4 � 104 Ft; T = L { K; L = 416 Ft, T = 312 Ft.

K: Kitti pénze, L: Laura pénze, T: A két lány pénzének különbsége.c) M = 104 Ft, N = 104 : 4 Ft; E = M +N; N = 26 Ft, E = 130 Ft.d) O = 104 Ft, Ö = 104 : 4 Ft; A = (O { Ö) : 2; Ö = 26 Ft, A = 39 Ft.

Osztó, többszörös

Óra: 104{106. 116{119. 130{133.

Tk. 168. oldal, mintapélda, összefoglaló: Az ebben a fejezetben feldolgozott ismereteka Kerettanterv szerint csak 6. osztályban válnak követelménnyé. Ezért lehet®ségünkvan arra, hogy a feldolgozás alaposságát és színvonalát a tanulók képességeihez és ahelyi tanterv ajánlásaihoz igazítsuk. Alapvet® cél, hogy ezekkel a matematikában fontosszerepet játszó fogalmakkal játékos feladatokban megismerkedjenek a tanulók. Eközbenfejl®djék a számfogalmuk, logikus gondolkodásuk, rendszerez® és problémamegoldóképességük. Így ezek a feladatok közvetlenül kapcsolódhatnak a NAT Gondolkodásimódszerek alapozása cím¶ fejezetéhez, ezért nem javasoljuk a fejezet mell®zését.

Tisztázzuk, hogy az �osztója" és az �osztható" kifejezések mást jelentenek. Például:

A 6 osztói: 1; 2; 3; 6. A 6-tal osztható számok, a 6 többszörösei: 0; 6; 12; 18; �

Az oszthatósági vizsgálatok fejlesztik az írásbeli osztás végrehajtásához nélkülözhetet-len szóbeli számolási képességeket is.

A fejezet anyagának feldolgozásával párhuzamosan minden órán oldassunk meg összegosztásával kapcsolatos feladatokat (Gy.122/4{7.), hogy minél szilárdabb alapokra épít-hessünk az írásbeli osztás tanításakor.

Tk. 169/1{2.; Gy. 118/3{4. feladat: Adott számok osztóinak megkeresése a szorzótáblaközvetlen alkalmazásával.

Többféle szemléltetés egy szám összes osztójának megkeresésére. A �többszöröse"és az �osztója" fogalmak közti kapcsolat tudatosítása a szorzás és az osztás közöttikapcsolatról tanultak alkalmazásával (valamint a terület fogalmának el®készítése).

Tk. 169/3. feladat: Kombinatorikai feladat kétjegy¶ számok oszthatóságának vizsgála-tára. A feladat megoldására egyik lehetséges stratégia, ha felírjuk az összes esetet, ésezekb®l válogatjuk ki az adott feltételnek megfelel®ket.

Hat kártyából két különböz®t kell kiválasztani úgy, hogy számít a sorrend.

A tízesek helyére 5-féleképpen választhatok kártyát, mivel itt nem szerepelhet a 0. Azegyesek helyére szintén 5-féleképpen választhatok, mivel már egy kártyát elhasználtam.

151


Összesen 5 � 5 = 25 eset van.

A 2-vel (és az 5-tel) osztható számok képzését kezdhetjük az egyesekkel. Például:

Az egyesek helyére kerülhet a 0, a 2 és a 4. A tízesek helyére 5-féleképpen rakhatok lekártyát, 3 �5 = 15 eset van. Ebb®l el kell hagyni a két 0-val kezd®d® számsort (02, 04).

a) 10; 12; 14; 20; 24; 30; 32; 34; 40; 42; 50; 52; 54.

b) 12; 15; 21; 24; 30; 42; 45; 51; 54.

c) 12; 20; 24; 32; 40; 52.

d) 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50.

e) 14; 21; 35; 42.

Tk. 169/4{5.; Gy. 117/1{2. feladat: Számok csoportosítása egy, illetve több szempontszerint, a logikai m¶veleteket jelent® kifejezések használata számok tulajdonságainakvizsgálatában. Állítások igazságának eldöntése.

Figyeljük meg, mennyire értik és használják a tanulók az �és", �de", �is � is", �sem, �sem", �minden", �van olyan", �van olyan �, amely nem", �egyik � sem", �csak a �"kifejezéseket. Ezeknek a kifejezéseknek a következetes használatával érhetjük el, hogy4. osztály végére a tanulók többsége értse és alkalmazni is tudja ezeket a kifejezéseket.

Tk. 169/4. feladat: a) i, b) i, c) h, d) h, e) i, f) i, g) h.

Tk. 169/5. feladat:

a) 1; 2; 3; 6; 9; 18. b) 1; 3; 9. c) 1; 3; 5; 15.

d) 1; 3; 9. e) 1; 3. f) 1; 3.

Gy. 117/1. feladat:

A 4 többszörösei: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60.

Az 5-nek többszörösei: 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60.

A kék vonallal és a zöld pöttyel is megjelölt számok: 0; 20; 40; 60.

Csak kék vonallal megjelölt számok: 4; 8; 12; 16; 24; 28; 32; 36; 44; 48; 52; 56.

Csak zöld pöttyel megjelölt számok: 5; 10; 15; 25; 30; 35; 45; 50; 55.

Gy. 117/2. feladat: a) i, b) i, c) h, d) i, e) h, f) h, g) i, h) i, i) h,j) i, k) i.

Gy. 118/3. feladat:

Gy. 118/4. feladat: Egy szempont szerinti válogatás, vizsgálódás a 8-cal, 9-cel osztható,illetve nem osztható számok körében.

152


Gy. 118/5{6., 119/7{9. feladat: Tapasztalatszerzés a maradékos osztásra, a maradék-osztályok vizsgálata. (A �maradékosztály" kifejezést ne használjuk a gyerekek el®tt, hi-szen az �osztály" fogalmát nem értelmezzük.)

Figyeltessük meg, hogy egy adott osztó esetén

ugyanannyiféle maradék lehetséges, mint amekkora az osztó, hiszen a maradékkisebb, mint az osztó;

minden szám pontosan egyféle maradékot ad;

minden szám beletartozik valamelyik maradékosztályba.

Gy. 118/5. feladat: Figyeltessük meg, hogy valamely számot öttel osztva ötféle (0; 1; 2;3; 4) maradékot kaphatunk.

Nincs olyan szám, amely öttel osztva ezekt®l különböz® maradékot adna.

Gy. 118/6. feladat: A hárommal való osztás maradékait vizsgáljuk.

Szabály: Az a : 3 osztás maradéka b.

a 0 1 2 3 4 5 9 13 17 18 20 24

b 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 2 0

Gy. 119/7{9. feladat: El®ször írják be a megfelel® számokat a táblázatba a tanulók.

Gy. 119/7. feladat:

5-tel osztva a maradék0 1 2 3 4

0; 5;

10; 15;

20

1; 6;

11;

16

2; 7;

12;

17

3; 8;

13;

18

4; 9;

14;

190 5 10 15 20

5

� � � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Gy. 119/8. feladat:

6-tal osztva a maradék0 1 2 3 4 5

0; 6;

12;

18

1; 7;

13;

19

2; 8;

14;

20

3;

9;

15

4;

10;

16

5;

11;

170 5 10 15 20

5

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

Gy. 119/9. feladat:

7-tel osztva a maradék0 1 2 3 4 5 6

0;

7;

14

1;

8;

15

2;

9;

16

3;

10;

17

4;

11;

18

5;

12;

19

6;

13;

200 5 10 15 20

5

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

a) i, b) h, c) i, d) i.

153


Tk. 170. oldal, mintapélda; Tk. 171/6.; Gy. 120/10{11. feladat: A számok egy, illetvekét szempontú rendezésére mutatunk példát.

Alsó tagozatban nem tanítunk �halmazelméletet". Például ezekkel a feladatokkal kap-csolatosan nem értelmezzük a halmazok metszetének, különbségének fogalmát, nemtudatosítjuk a logikai �és" (konjunkció) és a halmazok metszete közti kapcsolatot. Ahalmazelméleti, logikai fogalmakat és eljárásokat mint �gondolkodási módszereket" al-kalmazzuk számok tulajdonságainak vizsgálatára, számhalmazok közti összefüggésekfelismertetésére, számelméleti fogalmak (osztó, közös osztó, többszörös, közös több-szörös) el®készítésére.

Fontos, hogy a halmazelméleti, logikai gondolkodási módszerek alkalmazása ne váljéksablonossá, és a gyermek is legyen képes rugalmasan alkalmazni ezeket. Ezért minéltöbbféle formában (halmazábrákkal, számegyeneseken megjelölve, táblázatba rendezvestb.) jelenítsük meg ezeket a gondolatokat, összefüggéseket.

A halmazábrák, táblázatok vizsgálatának tudatossá tétele, az összefüggések feltárá-sa érdekében fogalmazzunk meg, illetve fogalmaztassunk meg állításokat, és közösmunkában döntsék el a tanulók, hogy ezek az állítások igazak-e vagy sem.

Gy. 120/10. feladat::

25-nél kisebb számok

3 többszörösei

0; 3; 6; 9; 12;

15; 18; 21; 24

1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11;

13; 14; 16; 17; 19;

20; 22; 23


4 többszörösei

1; 2; 3; 5; 6; 7; 9;

10; 11; 13; 14; 15;

17; 18; 19; 21; 22; 23

0; 4; 8; 12;

16; 20; 24


3 többszörösei

4 többszörösei

1;

2;

5;

7;

10;

11;

13;

14;

17;

3; 6; 9; 15; 18; 21

0; 12; 24

4; 8; 16; 20

19;

22;

23

a) 3-nak többszörösei, és 4-nek nem többszörösei: 3; 6; 9; 15; 18; 21.

b) 4-nek többszörösei, és 3-nak nem többszörösei: 4; 8; 16; 20.

c) 3-nak és 4-nek is többszörösei: 0; 12; 24.

d) 3-nak sem és 4-nek sem többszörösei: 1; 2; 5; 7; 10; 11; 13; 14; 17; 19; 22; 23.


Számok

12 osztói

1; 2; 3; 4;

6; 12

0; 5; 7; 8; 9; 10;

15; 16; 18; 20; 21;

24; 30

Számok

30 osztói

0; 4; 7; 8; 9; 12;

16; 18; 20; 21; 24

1; 2; 3; 5; 6;

10; 15; 30

Számok

12 osztói

30 osztói

0;

7;

8;

9;

16;

18;

20;

21;

24

4; 12

1; 2; 3; 6

5; 10; 15; 30

154


a) Van olyan szám, amely 12-nek is és 30-nak is osztója. i

b) Minden szám, amely 12-nek osztója, osztója 30-nak is. h

c) Van olyan szám, amely 12-nek osztója, és 30-nak nem osztója. i

Tk. 171/6. feladat: 2-vel, 5-tel; 2-vel és 5-tel; 10-zel való oszthatóság meg�gyelése.

a) i, b) h, c) i, d) h, e) i.

Tk. 171/7. feladat: A feladat megoldása el®tt a tanulók fogalmazzanak meg igaz, hamisállításokat a számkártyákról. Figyeljük meg, hogy értik-e a �biztos", �lehet" fogalmakat,valamint ezek tagadását (�nem biztos", �nem lehet").

a) i, b) h, c) i, d) i, e) i, f) h.

Tk. 171/8{10., 172/11. feladat: A 2, 5, 10, 100 többszöröseir®l már sok tapasztalatotgy¶jtöttek a tanulók. Ezek felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.

Ebben az id®szakban még csak tapasztalatgy¶jtés az oktatási feladat, nem követeljükmeg az oszthatósági szabályok megfogalmazását. Ennek ellenére a tanulók (a legne-hezebben haladók kivételével) az eddig feldolgozott feladatok alapján már eljuthatnak akövetkez®k felismeréséhez:

A 2 többszörösei (a 2-vel osztható számok) pontosan a páros számok, ezek utolsószámjegye páros szám.

Az 5 többszörösei (az 5-tel osztható számok) pontosan a 0-ra vagy 5-re végz®d®számok.

A 10 többszörösei (a 10-zel osztható számok) pontosan a kerek tízesek, ezek utolsószámjegye 0.

A 100 többszörösei (a 100-zal osztható számok) pontosan a kerek százasok, ezekutolsó két számjegye 0.

Tk. 171/8. feladat:

a) 0; 2; 4; 6; 8. b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

c) 0; 2; 4; 6; 8. d) Nincs megoldás. e) 0; 2; 4; 6; 8.

Tk. 171/9. feladat:

a) 0; 5. b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

c) 0; 5. d) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. e) 0; 5.


a) 0. b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

c) 0. d) Nincs megoldás. e) 0.


a) 80; 114; 150; 700; 704. b) 75; 80; 150; 700; 715.

c) 80; 150; 700. d) 700.

Tk. 172/12. feladat: Vetessük észre, hogy ha egy szám osztható 3-mal, annak atöbbszörösei is oszthatók 3-mal. Például:

Ha a 3 osztója a 6-nak (6 osztható 3-mal), akkor a 6 bármelyik többszöröse, példáula 10-szer 6 is osztható 3-mal.(3j6 ) 3j(6 � 10), azaz 3j60.)

155


Ha egy összeg minden tagja osztható 3-mal, akkor az összeg is osztható 3-mal. Eztalkalmazhatjuk többjegy¶ számok oszthatóságának vizsgálatában. Például:

A 60 és a 9 osztható 3-mal, ezért a 69 is osztható.(3j60 és 3j9 ) 3j(60 + 9), azaz 3j69.)

Ha egy összegnek egy tag kivételével minden tagja osztható 3-mal, akkor az összegnem osztható 3-mal. Például:

Az 1500 osztható 3-mal, a 60 osztható 3-mal, de a 7 nem osztható, ezért az1567 sem osztható 3-mal.(3j1500 és 3j60, de 3 6 j 7 ) 3 6 j (1500 + 60 + 7), azaz 3 6 j 1567.)

Tk. 172/13. feladat: A föls® címkék: hárommal osztható, hárommal nem osztható. Aoldalsó címkék: kett®vel osztható, kett®vel nem osztható. Másként fogalmazva: háromtöbbszörösei, háromnak nem többszörösei, illetve kett® többszörösei, kett®nek nemtöbbszörösei.

Figyeltessük meg, mely számok oszthatók kett®vel, melyek kett®vel és hárommal. Mon-dassunk igaz állításokat. Pl.: Amelyik szám osztható kett®vel és hárommal, az oszthatóhattal is. Ha egy szám nem osztható kett®vel vagy hárommal, akkor hattal sem osztható.


a) Ha egy szám 8-nak többszöröse, akkor 4-nek is többszöröse. Tehát 20-nál nagyobb,30-nál kisebb, 8-cal osztható számot keresünk. (20 < a < 30 és 8ja) a = 24.

b) Ha egy szám 9 többszöröse, akkor 3-nak is többszöröse. Tehát 30-nál kisebb, 9-celosztható számokat keresünk. (b < 30 és 9jb) b: 0; 9; 18; 27.

c) Ha egy szám 2-nek és 5-nek is többszöröse, akkor 10-nek is többszöröse. Tehát80-nál nagyobb, 100-nál kisebb, 10-zel osztható számot keresünk. (80 < c < 100és 10jc) c = 90.

Tk. 172/15. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazzuk szövegesfeladatokban.a) 60; 70; 80; 90. b) 0; 12; 24. c) 0; 30; 60; 90.

Írásbeli osztás

Óra: 107{111. 120{124. 134{138.

Korábban az egyjegy¶ osztóval való írásbeli osztást 3. osztályban tanították. Azért tér-tünk vissza ehhez a gyakorlathoz, mert így több id® áll rendelkezésre az egyjegy¶, illetvea kétjegy¶ számmal való írásbeli osztás begyakorlására. Az ötödikes program épít errea számolási rutinra, és így zökken®mentesebb lesz az átlépés az alsó és a fels® tagozatközött.

Tk. 173{174. oldal, mintapélda: A zöld alapon az osztás algoritmusát mutatjuk beszemléletre alapozva. A hányados becslése a m¶veletvégzés els® lépése. Kétfélekép-pen végezhetjük, vagy két érték közé szorítjuk, vagy meghatározzuk az els® jegyet ésazt, hogy hány jegy¶ a hányados. A m¶veletvégzés során a tanulócsoport képessége-it®l függ®en írásban vagy fejben végeztethetjük a kivonást. Az írásbeli osztást mindenesetben ellen®riztessük szorzással.

156


Tk. 174/1.; Gy. 123/8{9. feladat: Az osztás gyakorlása.

Gy. 123/8. feladat:

a) B: 200 < Sz < 300 b) B: 100 < Sz < 200

80 40 70 : 4 = 2 1 10 4

0 73

E:

E sz t e sz t e

E sz t e2 1 1 � 48 4 4

+ 38 4 7

60 70 10 : 5 = 1 3 41 7

2 11

E:

E sz t e sz t e

E sz t e1 3 4 � 5

6 7 0+ 1

6 7 1

c) B: 100 < Sz < 200 d) B: 200 < Sz < 300

90 70 80 : 8 = 1 2 21 7

1 82

E:

E sz t e sz t e

E sz t e1 2 2 � 89 7 6

+ 29 7 8

80 50 20 : 3 = 2 8 42 5

1 20

E:

E sz t e sz t e

E sz t e2 8 4 � 38 5 2

+ 08 5 2

Gy. 123/9. feladat:

200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400

576 : 2 = 288 813 : 7 = 116 695 : 6 = 115 724 : 5 = 144 928 : 3 = 3090 1 5 4 1

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 400 < Sz < 500 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

817 : 6 = 136 672 : 4 = 168 913 : 2 = 456 957 : 7 = 136 896 : 8 = 1121 0 1 5 0

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

649 : 4 = 162 395 : 3 = 131 825 : 6 = 137 734 : 5 = 146 902 : 8 = 1121 2 3 4 6

300 < Sz < 400 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 200 < Sz < 300

735 : 2 = 367 879 : 7 = 125 654 : 4 = 163 929 : 8 = 116 764 : 3 = 2541 4 2 1 2

200 < Sz < 300 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

642 : 3 = 214 507 : 2 = 253 936 : 8 = 117 812 : 7 = 116 593 : 5 = 1180 1 0 0 3

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

716 : 6 = 119 928 : 7 = 132 653 : 4 = 163 810 : 6 = 135 314 : 2 = 1572 4 1 0 0

157


100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

817 : 5 = 163 623 : 4 = 155 978 : 8 = 122 735 : 5 = 147 807 : 7 = 1152 3 2 0 2

200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400

623 : 3 = 207 676 : 6 = 112 911 : 7 = 130 839 : 6 = 139 725 : 2 = 3622 4 1 5 1

Tk. 174/2{3. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó, osztandó, hányados,maradék) mélyítjük el.

Tk. 175. oldal, mintapélda: A zöld alapon az osztás algoritmusát mutatjuk be abbanaz esetben, amikor az osztandó els® számjegyében nincs meg az osztó, illetve 0 isszerepel a hányadosban.

Tk. 175/4. feladat: Tasziló típushibákra hívja föl a �gyelmünket.

Tk. 175/5.; Gy. 124/10{11. feladat: Az írásbeli osztás gyakorlása.


657 : 8 = 82 356 : 5 = 71 497 : 9 = 55 279 : 3 = 93 385 : 4 = 961 1 2 0 1

752 : 9 = 83 602 : 8 = 75 514 : 6 = 85 295 : 4 = 73 263 : 3 = 875 2 4 3 2

1216 : 2 = 608 1425 : 3 = 475 1672 : 4 = 418 1716 : 5 = 343 1839 : 6 = 3060 0 0 1 3

1916 : 8 = 239 1879 : 9 = 208 1537 : 7 = 219 1643 : 6 = 273 1912 : 5 = 3824 7 4 5 2

326 : 6 = 54 514 : 7 = 73 1243 : 3 = 414 1628 : 2 = 814 1472 : 4 = 3682 3 1 0 0

412 : 5 = 82 653 : 7 = 93 802 : 4 = 200 1429 : 3 = 476 1054 : 6 = 1752 2 2 1 4

435 : 7 = 62 416 : 4 = 104 518 : 5 = 103 1229 : 6 = 204 1625 : 8 = 2031 0 3 5 1

624 : 3 = 208 835 : 5 = 167 679 : 6 = 113 1602 : 8 = 200 1410 : 7 = 2010 0 1 2 3

Gy. 125/12. feladat: B: 60 < x < 70

E:

3 70 80 : 6 = 6 31 8

06 3 � 6

3 7 8

A:

xz }| {| {z }378 cm

T: x = 378 : 6 (cm)

V: 1 lépése 63 cm hosszú.

158



A: 105 és fél m = 1055 dm B: 100 < v < 200

| {z }7 dm E:

1 00 50 50 : 7 = 1 5 03 5

0 55 1 5 0 � 7

1 0 5 0+ 5

1 0 5 5

T: v = 1055 : 7 (dm)

V: 150 db vezetéket tud levágni,

és 5 dm-es darab marad.


A: 5 virág 1406 Ft B: 200 < x < 300

1 virág x Ft

E:

1 40 00 60 : 5 = 2 8 14 0

0 61 2 8 1 � 5

1 4 0 5+ 1

1 4 0 6

T: x = 1406 : 5

V: 1 szál virág 281 Ft.

Tk. 176/6{8. feladat: Szöveges feladatok megoldása során �gyeljük meg, mennyiretudják a tanulók önállóan értelmezni a szöveget, megtalálni a megoldási tervet!

Tk. 176/6. feladat:

a) a = 468 : 4 a = 117 Ft, b) b = 384 � 4 b = 1536 Ft,

c) c = 480 : 5 c = 96 Ft, d) d = 1347 : 5 d = 269 db 5 és 2 db 1 Ft-os.

Tk. 176/7. feladat:

a) x = 642 � 3 x = 1926, y � 3 = 642 y = 214,

b) x = 462 : 3 x = 154, y : 3 = 462 y = 1386,

c) x = 428 � 4 x = 1712, y � 4 = 428 y = 107,

d) x = 248 : 4 x = 62, y : 4 = 248 y = 992.

Tk. 176/8. feladat:

a) a = 492 : 4 a = 123 cm = 1 m 2 dm 3 cm,

b) b = 492 � 4 b = 1968 cl = 19 l 6 dl 8 cl,

c) c = 492 { 400 c = 92 dkg,

d) d = 492 + 492 + 4 d = 988 Ft.

Tk. 176/9. feladat: Az osztásban szerepl® elnevezések alkalmazása.

a) 1598 : 7 = 228 b) : 8 = 236 c) 1802 : = 3002 7 2

236 � 8 + 7 = 1895 1802 : 300 = 62

159


Gy. 126/15{16. feladat: Analóg szöveges feladatok az osztás gyakorlására.

Gy. 126/15. feladat:a) A: 12 m hosszú:

12 mz }| {| {z }

x m

T: x = 12 m : 4Sz: 12 : 4 = 3V: 3 m készült el.

b) A: 792 m hosszú: Sz:

E:

70 90 20 : 4 = 1 9 83 9

3 20 1 9 8 � 4

7 9 2

792 mz }| {| {z }

x m

T: x = 792 m : 4B: 800 : 4 = 200V: 198 m készült el.


a) A: 16 l víz volt:T: x = 16 l : 8

16 l

8>>><>>>:

x l

Sz: 16 : 8 = 2V : 2 l-t öntöttek ki.

b) A: 1576 l víz volt:Sz:

E:

1 50 70 60 : 8 = 1 9 77 7

5 60 1 9 7 � 8

1 5 7 6

1576 l

8>>><>>>:

x l

T: x = 1576 l : 8B: 100 < x < 200V: 197 l-t öntöttek ki.

Gy. 127/17{18. feladat: Szöveges feladatok. Hívjuk föl a tanulók �gyelmét arra, hogya megoldás során ne feledkezzenek meg egyetlen lépésr®l sem (adatok, terv, becslés,számolás, ellen®rzés, szöveges válasz)!

Gy. 127/17. feladat:a) 488, b) 244, c) 361, d) 183.

Gy. 127/18. feladat:a) a = 81 Ft, b) b = 162 Ft, c) c = 108 Ft, d) d = 1296 Ft,e) e = 1944 Ft, f) f = 216 Ft, g) g = 576 Ft, h) h = 81 Ft.

ö = 72 Ft,

160

Hajdu program 3 3UJP3K 2002. február 5. {17:36 (1. old.)

Következtetés többr®l egyre

Óra: 112{113. 125{126. 139{140.

Tk. 177. oldal, mintapélda: Az osztás értelmezésekor, illetve az osztás és a szor-zás kapcsolatának tudatosítása során korábban is találkoztak a tanulók olyan egyenesarányossági következtetésekkel, amelyekben több mennyiséghez tartozó értéket adtunkmeg, és ebb®l kellett következtetni az egy mennyiséghez tartozó értékre. A mintapéldá-ban a megoldás menetére, ezen belül az adatkigy¶jtésre mutatunk be egy jól áttekinthet®sémát.

Tk. 177/1.; Gy. 128/19{21., 129/22{24. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobbönállósággal oldják meg a tanulók a feladatokat.

Tk. 177/1. feladat:

a) 176 Ft, b) 243 Ft, c) 495 Ft, d) 279 Ft,

e) 390 mm, f) 314 Ft, g) 76 kg, h) 214 Ft,

i) i = 75 cm.


a) A: 1 sor 5 cs T: x = 30 : 5

x sor 30 cs Sz: 30 : 5 = 6

V: 6 sorba fér el 30 csempe.

b) A: 1 sor 5 cs

E:

1 90 70 50 : 5 = 3 9 54 7

2 5

0 3 9 5 � 51 9 7 5

x sor 1975 cs

T: x = 1975 : 5

B: 300 < x < 400

V: 395 sorba fér el.


a) A: 1 katica 7 p T: x = 21 : 7

x katica 21 p Sz: 21 : 7 = 3

V: 3 katicabogárnak van 21 pettye.

b) A: 1 katica 7 p

E:

90 20 40 : 7 = 1 3 22 2

1 40 1 3 2 � 7

9 2 4

x katica 924 p

T: x = 924 : 7

B: 100 < x < 200

V: 132 katicabogár.


a) 108, b) 137.

161



a) 122 Ft, b) 324 Ft, c) 255 Ft, d) 54,

e) 256, f) 114 Ft, g) 210 db.


a) 242 Ft, b) 343 Ft, c) 205 Ft.


a) 86, b) 120, c) 152.


A: 3 f 13 m 50 cm = 1350 cm Sz:

E:

1 30 50 00 : 3 = 4 5 01 5

0 00 4 5 0 � 3

1 3 5 0

1 f x

T: x = 1350 cm : 3

B: 400 cm < x < 500 cm

V: 450 cm = 4 m 50 cm

hosszú anyag kell egy ablakra.


A: 1 ü 7 dl Sz:

E:

1 70 50 : 7 = 2 53 5

02 5 � 7

1 7 5

x ü 17 és fél l = 175 dl

T: x = 175 dl : 7 dl

B: 20 < x < 30

V: 25 üveget töltött meg.


A: 5 cs 14 kg 45 dkg = 1445 dkg Sz:

E:

1 40 40 50 : 5 = 2 8 94 4

4 50 2 8 9 � 5

1 4 4 5

1 cs x

T: x = 1445 dkg : 5

B: 200 dkg < x < 300 dkg

V: 289 dkg = 2 kg 89 dkg

a tömege egy cs®nek.


a) a = 516 l : 2 l 200 < a < 300 a = 258 doboz.

b) b = 624 cl : 3 200 < b < 300 b = 208 cl = 2 l 8 cl.

c) c = 315 ml : 3 100 < c < 200 c = 105 ml.

d) d = 524 mm : 4 100 < d < 200 d = 131 mm = 1 dm 3 cm 1 mm.

e) e = 1436 cm : 4 300 < e < 400 e = 359 cm = 3 m 5 dm 9 cm.

f) f = 632 cm : 4 100 < f < 200 f = 158 cm = 1 m 5 dm 8 cm.

g) g = 875 g : 7 100 < g < 200 g = 125 g = 12 dkg 5 g.

h) h = 1845 dkg : 9 200 < h < 300 h = 205 dkg = 2 kg 5 dkg.

162


i) i = 1992 dkg : 8 200 < i < 300 i = 249 dkg = 2 kg 49 dkg.

j) j = 385 perc : 7 50 < j < 60 j = 55 perc.

k) k = 1974 nap : 7 200 < k < 300 k = 282 hét.

l) l = (9 � 24 óra + 12 óra) : 6 30 < l < 40 l = 38 óra.

Tk. 178/2. feladat: A szabályt többféle alakban fogalmaztassuk meg.

Ö : 5 = E, 5 � E = Ö, E � 5 = Ö, Ö : E = 5.

Tk. 178/3. feladat: A feladat kapcsolódik a mindennapi élethez. El®zetesen �gyeltessükmeg a tanulókkal a környezetükben lév® üzletekben az áruk árait.

Tk. 178/4. feladat: Figyeltessük meg, melyek a szükséges és melyek a feleslegesadatok, mely feladatoknál hiányoznak adatok.

a = 158 Ft. b) Nem lehet tudni. c) Nem lehet tudni. d = 9 perc. e = 27 nap.

Tk. 178/5. feladat:

a) Egy kislány 7 perc alatt egyenletesen haladva 420 m-t tesz meg. Mekkora utat teszmeg 1 perc alatt?

A: 7 perc 420 m a = 420 : 7

1 perc a m a = 60 m

b) Egy kerékpáros 1 perc alatt egyenletesen haladva 215 m-t tesz meg. Mekkora utattesz meg 9 perc alatt?

A: 1 perc 215 m b = 215 � 9

9 perc b m b = 1935 m

Vegyes feladatok az osztásra

Óra: 114{117. 127{130. 141{145.

A feladatok megoldása során tapasztalatokat szereznek a tanulók a hányados változá-sairól. Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról és osztásról, illetve a mérésekr®ltanultakat alkalmazzák összetett számfeladatokban, szöveges feladatok megoldásában,geometriai számításokban, szöveggel, táblázattal adott függvények vizsgálatában, oszt-hatósági vizsgálatokban.

Tk. 179/1{4., 180/5{6.; Gy. 132/29., 132/31., 133/32{34. feladat: Figyeltessük mega hányados változásait. Az osztandó változtatásával a hányados egyenes aránybanváltozik, míg az osztó változtatásával a hányados fordított arányban változik.

Tk. 179/1. feladat:

a) 416, b) 208, c) 104, d) 52, e) 26.

Tk. 179/2. feladat:

a) 988, b) 494, c) 247.

Tk. 179/3. feladat:

a) 232, b) 232, c) 232.

163


Tk. 179/4. feladat:

a) 864, b) 216, c) 54.

Tk. 180/5. feladat:

a) 70 < Sz < 80 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400 600 < Sz < 700

237 : 3 = 79 474 : 3 = 158 948 : 3 = 316 1896 : 3 = 6320 0 0 0

b) 20 < Sz < 30 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400 900 < Sz < 1000

72 : 3 = 36 216 : 2 = 108 648 : 2 = 324 1944 : 2 = 9720 0 0 0

c) 70 < Sz < 80 70 < Sz < 80 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400

234 : 3 = 38 468 : 6 = 78 936 : 6 = 156 1872 : 6 = 3120 0 0 0


a) b)40 30 20 : 4 = 1 0 80 3 2

0

� 2 � 2

80 60 40 : 4 = 2 1 60 6

2 40

60 80 40 : 3 = 2 2 80 8

2 40

: 2 : 2

30 40 20 : 3 = 1 1 40 4

1 20


760 m-t: x = 760 : 4 x = 190 másodperc

380 m-t: y = 380 : 4 y = 95 másodperc

1520 m-t: z = 1520 : 4 z = 380 másodperc


Fele 1 negyede 1 nyolcada 1 harmada 1 hatoda 1 kilencede

576 288 144 72 192 96 64

1152 576 288 144 384 192 128

648 324 162 81 216 108 72

1296 648 324 162 432 216 144

164



a) b)90 10 20 : 2 = 4 5 63 1

1 20

� 3 : 3

90 10 20 : 6 = 1 5 23 1

1 20

90 70 20 : 9 = 1 0 80 7 2

0

: 3 � 3

90 70 20 : 3 = 3 2 40 7

1 20


4 m utat tesz meg: 4 m

a = 1768 : 4 a = 442 másodperc


b = 1768 : 2 b = 884 másodperc


c = 1768 : 8 c = 221 másodperc

Tk. 180/7.; Gy. 132/30. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatát �gyeltetjük meg.

Tk. 180/7. feladat:

a = 304, c = 432, e = 966, g = 132.

b = 152, d = 216, f = 322, h = 528.


a)

344

: 88

� 84 3 688

: 88

� 88 6 1376

: 88

� 81 7 2

b)

427

: 77

� 76 1 854

: 77

� 71 2 2 1708

: 77

� 72 4 4

165


Tk. 180/8. feladat:

a) a = 248 + 8 a = 256 b) b + 8 = 248 b = 240

c) c = 248 { 8 c = 240 d) d { 8 = 248 d = 256

e) e = 248 : 8 e = 31 f) f : 8 = 248 f = 1984

g) g = 248 � 8 g = 1984 h) h � 8 = 248 h = 31

Tk. 180/9.; Gy. 134/35. feladat: Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról ésosztásról, illetve a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban.Ha a megoldás gondot okoz a tanulóknak, a további id®szak gyakorlásra szánt feladataitennek �gyelembevételével határozzuk meg.


a) b)

6241: 4

2+ 356 = 512 1248

1: 8

2{ 6 = 150

6242+ 356

1: 4 = 713 1248

2: (8

1{ 6) = 624

(6241+ 356)

2: 4 = 245 1248

1: 6

2{ 8 = 200

c) d)

1761� 8

2: 4 = 352 2000

1: 8

2: 2 = 125

1762� (8

1: 4) = 352 2000

2: (8

1: 2) = 500

1761: 4

2� 8 = 352 2000

1: 2

2: 8 = 125

e) f)1624

2{ 372

1: 4 = 1531 972

2+ 591

1: 3 = 1169

(16241{ 372)

2: 4 = 313 (972

1+ 591)

2: 3 = 521

16241: 4

3{ 372

2: 4 = 313 972

1: 3

3+ 591

2: 3 = 521


a = 936, b = 312, c = 78, d = 13,

e = 624, f = 156, g = 26, h = 13,

i = 468, j = 78, k = 39, l = 13,

m = 312, n = 156, o = 52, p = 13.


1416: 2 : 3

7 0 8

: 6

2 3 6 1976: 4 : 2

4 9 4

: 8

2 4 7

166


Tk. 181/11. feladat: Figyeltessük meg az osztó, osztandó, illetve a hányados változá-sait!

Tk. 181/12. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat. Figyeltessük meg az osztó, osztandó,illetve a hányados változásait, majd ez alapján határozzák meg a jobb képesség¶ tanulóka bet¶k értékét.

a = 103, b = 112, c = 366, d = 372, e = 391, f = 448.

Gy. 134/37. feladat: Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról és osztásról, illetvea m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett szöveges feladatokban.

a) 615 és 348 összegének a harmadrésze:

a = (615 + 348) : 3 a = 321

b) 615 és 348 különbségének a háromszorosa:

b = (615 { 348) � 3 b = 801

c) 615-nek és 348 harmadrészének a különbsége:

c = 615 { 348 : 3 c = 499

d) 615 harmadrészének és 348-nak az összege:

d = 615 : 3 + 348 d = 553

Tk. 181/13., 182/14{15.; Gy. 136/39{40. feladat: Az írásbeli összeadásról, kivonás-ról, szorzásról és osztásról, illetve a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetettszöveges feladatok megoldásában. Kérjünk a tanulóktól többféle megoldási tervet. Ke-restessük meg a szükséges, illetve a felesleges adatokat. Állapítsuk meg, hogy a kérdésszempontjából hiányzik-e adat.


a) 312 Ft, b) 1560 Ft, c) 214 Ft, d) L = 98 Ft, S = 1774 Ft,

e) 540 Ft.


a) a = (1204 + 784) : 2, a = 994 Ft. b) b = (1204 { 784) : 2, b = 210 Ft.

Tk. 182/15. feladat:Terv Becslés Eredmény Felesleges adata) a = 1547 : (3 + 4) 200 < a < 300 a = 221 Ft 42 sz. buszb) b = 540 : (4 + 5) b = 60 1200 lc) c = (870 + 1035) : (2 + 3) 300 < c < 400 c = 381 Ft 5 és 3 könyv

Gy. 136/39. feladat:Terv Becslés Eredmény

a) a = 572 { 4 � 128 a � 50 Ft a = 60 Ft

b) b = 572 { 128 : 4 b � 540 Ft b = 540 Ft

c) c = 572 + 4 � 128 c � 1090 Ft c = 1084 Ft

d) d = 572 + 128 : 4 d � 600 Ft d = 604 Ft

e) e = (572 + 128) : 4 100 < e < 200 (Ft) e = 175 Ft

f) f = (572 { 128) : 4 100 < f < 200 (Ft) f = 111 Ft

g) g = (572 { 128) � 4 g � 1760 Ft g = 1776 Ft

167


Gy. 136/40. feladat:Terv Becslés Eredmény

a) a = 325 + 325 � 5 a � 1980 Ft a = 1950 Fta = 325 � 6

b) b = 1345 + 1345 : 5 b � 1600 db b = 1614 db

c) c = 405 : 5 c = 81 db

d) d = 1405 : 5 d = 281 Ft, m = 1124 Ft

e) e = 275 � 5 e � 1400 Ft e = 1375 Ft

m = 1375 { 275 m = 1100 Ft

Tk. 182/16., 183/17.; Gy. 135/38. feladat: Szöveges feladatok, melyek megoldásakoralkalmazni kell a mértékváltásról tanultakat.

Az adatok kigy¶jtésekor a mennyiségeket olyan mértékegységre kell átváltatnunk,amellyel a számolás könnyen elvégezhet®.

A szöveges válaszban �gyeljenek a tanulók arra, hogy az eredmény mikor darabszám,illetve mikor mértékegységgel adott mennyiség!

Tk. 183/18. feladat: Oszthatósági vizsgálatok.

Összesen 6 különböz® számot tudunk képezni a megadott kártyákból. A százasok he-lyére 3-, a tízesekére 2-, az egyesekére 1-féleképpen választhatunk. Azaz 3 � 2 � 1 = 6eset.

a) 1032; 1230; 1302; 1320. 4 szám osztható 2-vel.

b) 1023; 1032; 1203; 1230; 1302; 1320. Mindegyik szám osztható 3-mal.

c) 1032; 1320. 2 szám osztható 4-gyel.

d) 1230; 1320. 2 szám osztható 5-tel.

e) 1230; 1320. 2 szám osztható 10-zel.

Tk. 183/19. feladat: Számok 2-vel, 3-mal való oszthatóságának vizsgálata, két szem-pont szerinti rendezés halmazábrába.

Tk. 184/20. feladat: A szakaszok hosszúsága:

a = 116 mm, b = 108 mm, c = 117 mm, d = 125 mm.

Tk. 184/21{22. feladat: Folyamatos ismétlésként a megoldás el®tt idézzük föl a tégla-lapról, ezen belül a négyzetr®l eddig tanultakat.


a = 156 cm, b = 93 m, c = 204 dm, d = 66 m, e = 303 mm, f = 408 cm.


a

b = 2 � a

a) b) c) d) e) f)

a = 104 cm, a = 62 m, a = 136 dm, a = 44 m, a = 202 mm, a = 272 cm,

b = 208 cm, b = 124 m, b = 272 dm, b = 88 m, b = 404 mm, b = 544 cm.

168

Hajdu program 3 3UJP3L 2002. február 5. {17:36 (1. old.)

Tk. 184/23. feladat: A megoldáshoz használhatnak eszközt a tanulók. Ha szükséges,játék pénzzel rakják ki az 1200 Ft-ot, majd bontsák kétfelé a feltételnek megfelel®en. Amásik bevált szemléltetés a rajzkészítés. 12 egységnyi szakaszt bontsanak megfelel®en.

a) 600, 600; b) 800, 400; c) 400, 800; d) 900, 300;

e) 300, 900; f) 1000, 200; g) 200, 1000; h) 150, 1050.


Egy gyakorlóórán írassuk meg és értékeljük a tájékozódó felmérést. Beszéljük meg atanulókkal az esetleges hiányosságok pótlását.

Lásd a Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály feladatsorát.

5. felmérés

Óra: 118. 131. 146{147.

A hiányosságok pótlásának megszervezése. A követelményeket lásd a tananyagbeosz-tásban.

Lásd a Felmér® feladatsorok, Matematika 3. osztály feladatsorát. Az A), B), C), D)változat körülbelül egyforma tartalmú és nehézség¶ feladatokat tartalmaz.


Ismerkedés a törtekkel

Óra: 119{124. 132{138. 148{155.

Tk. 185. oldal, mintapélda El®ször az egységtörteket (a számláló 1) értelmezzük.Egységtörtekr®l már vannak korábbi tapasztalataik a tanulóknak. Esetleg ismerik a fél,harmad, negyed, � (1 ketted, 1 harmad, �) kifejezéseket.

Csak az egységtörtek fogalmának kialakítása és megszilárdítása után foglalkozzunkolyan törtekkel, amelyekben a nevez® tetsz®leges szám. A fogalom alakításának id®-szakában a számlálót számjeggyel, a nevez®t bet¶vel írjuk. Jobb csoportban hamaráttérhetünk, és használhatjuk a matematikában megszokott írásmódot.

A fogalom tapasztalati megalapozásához állíttassuk el® rajzzal, hajtogatással, kirakás-sal, kiméréssel stb. különböz® mennyiségek (hosszúságok, területek, id®tartamok,tömegek, ¶rtartalmak) törtrészeit.

Tk. 186/1. feladat: Az egységtörtekr®l tanultak közvetlen alkalmazása. A c) feladatbannem egyenl® részre osztottuk a sajtot, így nem igaz az állítás.

Tk. 186/2{3. feladat: El®ször állapítsák meg a tanulók, hány egyenl® részre osztottukaz egészet, majd azt, hogy hány részt színeztünk ki.

169


Ha úgy ítéljük, hogy a tanulócsoportban az egységtört fogalmát kell®képpen elmélyítet-tük, vizsgálhatjuk azt is, hogy:

hány részt nem színeztünk ki,a ki nem színezett rész hányada az egésznek,egy ábrában a kiszínezett és a ki nem színezett részek összege egyenl® az 1egésszel.

Tk. 186/2. feladat:

a)18, b)

14, c)

17, d)

18, e)

14, f)

14, g)

12, h)

13.

Tk. 186/3. feladat: Figyeltessük meg azt is, hogy ha több részre osztjuk az 1 egészet,akkor kisebb lesz a törtrész.

a)12, b)

13, c)

14, d)

16, e)

112

.12>

13>

14>

16>

112

Tk. 186/4. feladat: Sok tevékenység alapján gy®z®djenek meg a tanulók arról, hogyegyenl® törtrészekb®l mikor kapunk pontosan egy egészet. Például: a papírcsíkot 12egyenl® részre osztom, és 12 részt veszek. (Ha a számláló és a nevez® megegyezik,akkor a tört értéke 1 egész.)

a) 5, b) 7, c) 6, d) 10, e) 8, f) 9.

Tk. 187/5., 187/8. feladat: Tudatosítsuk a törtrész meghatározásának gondolatmenetét.A nevez®nek megfelel® egyenl® részre osztjuk a mennyiséget, és számlálónyit veszünka részekb®l. Egységtörteknél nevez®nyi részekb®l 1-et veszünk.

Hasonlítsuk össze nagyság szerint is az egyes törtrészeket.

Tk. 187/5. feladat:

a)12, b)

14, c)

18, d)

12:

Tk. 187/8. feladat:

a) 6 négyzet, b) 2 négyzet, c) 3 négyzet, d) 4 négyzet,

e) 12 négyzet, f) 1 négyzet.

Tk. 187/6. feladat: A törtrészek tanításakor jól használható a színesrúdkészlet. Tetsz®-leges rudat egységül választva meghatározhatjuk a többi értékét.

a) világoskék, rózsaszín, fehér,

b) citromsárga, rózsaszín, fehér,

c) piros, rózsaszín, fehér.

Nagyság szerint is hasonlítsuk össze egy-egy színes rúd törtrészeit.

Tk. 187/7. feladat: Vetessük észre, hogy az egység adott törtrésze többféleképpen isel®állítható. Nagyság szerint is hasonlítsuk össze az egyes törtrészeket.

a) 1., 7.; b) 5.; c) 2., 8.; d) 3.; e) 4.; f) 6.

Tk. 188/9. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.

a)12, b)

13, c)

14, d)

16, e)

18, f)

112

.

Nagyság szerint is hasonlítsuk össze az egyes törtrészeket.

170


Tk. 188/10{14. feladat: Hosszúság-, ¶rtartalom- és id®mértékekhez kapcsolódó törtré-szek meghatározása.

Nagyság szerint is hasonlítsuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.

188/10. feladat:a) 50 mm, b) 20 mm, c) 10 mm, d) 25 mm.

188/11. feladat:a) 5 dm, b) 2 dm, c) 1 dm, d) 2 és fél dm.

Tk. 188/12. feladat:a) 5 dl, b) 15 dl, c) 2 dl, d) 1 dl.

Tk. 188/13. feladat:1. óra: 30 perc, 2. óra: 15 perc, 3. óra: 10 perc, 4. óra: 6 perc.


1. óra:13óra, 2. óra:

112

óra, 3. óra:15óra, 4. óra: 1 óra.


a)12részét, b)

14részét, c)

18részét.

Tk. 189. oldal, mintapélda: Miután az egységtörtek fogalmát kialakítottuk és megszi-lárdítottuk, foglalkozhatunk olyan törtekkel, amelyekben a nevez® tetsz®leges szám.

A mintapélda többféleképpen szemlélteti a tört fogalmát (a számláló már nem csak 1).Hangsúlyozzuk, hogy az 1 egészet hány egyenl® részre osztjuk, és hányat veszünk arészekb®l. Például a dinnye 2 harmad részét úgy állítjuk el®, hogy három egyenl® részreosztjuk, és abból veszünk 2 részt.

Ugyanúgy, mint az egységtörtek esetében, itt is állítsanak el® a tanulók különböz®mennyiségeket: hosszúságokat, területeket, id®tartamokat, tömegeket, ¶rtartalmakatrajzzal, hajtogatással, kiméréssel stb.

Figyeltessük meg, hogy egy-egy tört sokféle alakban felírható. Különböz® tevékeny-ségekkel szerezzenek tapasztalatot err®l a tanulók (színezés, kirakás színesrudakkal,papírhajtogatás stb.). Ezzel el®készítjük a törtek b®vítését, egyszer¶sítését.

Gy. 137/1. feladat: Itt is tudatosítsuk a törtrész meghatározásának algoritmusát.

A nevez®nek megfelel® egyenl® részekre osztjuk a mennyiséget, és számlálónyit ve-szünk a részekb®l.

a) 1 ketted 1 negyed 1 harmad 1 hatod 1 tizenketted

b) 2 ketted 2 negyed 2 harmad 2 hatod 2 tizenketted

171


c) 3 nyolcad 3 negyed 3 harmad 3 hatod 3 tizenketted

d) 4 nyolcad 4 negyed 4 tizenketted 6 hatod 6 tizenketted

Gy. 137/2. feladat: Törtrészb®l az 1 egész meghatározása.

a) 1 ketted része: b) 1 harmad része: c) 1 negyed része:

Jobb csoportokban beszéljük meg, hogy hányad részek adnak ki egy egészet.12+12= 1

13+23= 1

14+34= 1

d) 1 ketted része: e) 1 hatod része: f) 1 ötöd része:

12+12= 1

16+56= 1

15+45= 1

Gy. 138/3{4. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egész-b®l, illetve egész rész meghatározása a törtrészb®l.

Gy. 138/3. feladat:

a)

1 ketted 2 ketted

b)

1 harmad 2 harmad

c)

1 hatod 4 hatod

d)

1 negyed 3 negyed

172


e)

1 ötöd 3 ötöd

Gy. 138/4. feladat:

a)

b)

c)

d)

Gy. 138/5. feladat: Törtrész meghatározása. Tudatosítsuk a tört el®állításának az algo-ritmusát: hány egyenl® részre osztjuk a mennyiséget, hányat veszünk a részekb®l.

Gy. 139/6. feladat: Figyeltessük meg, mikor kisebb, mikor egyenl® és mikor nagyobb atört értéke 1 egésznél.

a)12,

22,

32. b)

13,

23,

33,

43.

c)14,

24,

44,

54. d)

26,

36,

66,

96.

Gy. 139/7. feladat: Az eddig szerzett tapasztalatok alapján a tanulók már képesekmegállapítani egy törtr®l, hogy kisebb, nagyobb-e egy egésznél, vagy egyenl®-e egyegésszel.

Mivel a törtet valamely mennyiség részeként értelmeztük, a megoldást a pozitív termé-szetes számok halmazán keressük.

a ketted < 1 egész a : 0; 1

b ketted = 1 egész b : 2

c ketted > 1 egész c : 3; 4; . . .

d hatod < 1 egész d : 0; 1; 2; 3; 4; 5

e hatod = 1 egész e : 6

f hatod > 1 egész f : 7; 8; . . .


a = 15 , b = 12 , c = 15 négyzetet kell kiszínezni.

Gy. 140/8{9., 141/11., 141/13. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.


a) 2 ötöd + 3 ötöd = 1; b) 3 negyed + 1 negyed = 1;

c) 2 hatod + 4 hatod = 1; d) 5 nyolcad + 3 nyolcad = 1;

e) 3 tized + 7 tized = 1; f) 5 huszad + 15 huszad = 1.

Gy. 141/12. feladat: Figyeltessük meg, hogy az egy egész rész változtatásával változika törtrész is.

a) Ha ez az 1 egész, akkor ez12része, ez

18része.

173


b) Ha ez az 1 egész, akkor ez 2 egész, ez14része.

c) Ha ez az 1 egész, akkor ez13=26része, ez

16része.

d) Ha ez az 1 egész, akkor ez 3 egész, ez12része.

e) Ha ez az 1 egész, akkor ez15=

210

része, ez110

része.

f) Ha ez az 1 egész, akkor ez 5 egész, ez12része.

Tk. 190/16{19., 191/20{21. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.


a)18+78, b)

28+68, c)

38+58, d)

48+48.


a)23, b)

24=12, c)

46=23, d)

512

,

e)22= 1, f)

34.


a)14+34= 1, b)

12+12= 1, c)

15+45= 1, d)

13+23= 1,

e)16+56= 1, f)

19+89= 1, g)

17+67= 1, h)

18+78= 1.


a)14+34= 1,

24+24= 1,

34+14= 1,

24+24= 1,

34+14= 1,

b)28+68= 1,

38+58= 1,

48+48= 1,

68+28= 1,

48+48= 1,

c)116

+1516

= 1,516

+1116

= 1,816

+816

= 1,816

+816

= 1,1216

+416

= 1.

174



a)14,

34,

18,

38,

58,

98.

b)13,

23,

19,

29,

59,

89.


a) fehér, világoskék, rózsaszín.

b) fehér, világoskék, lila.

Tk. 191/22{25. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.


a) 10 mm, b) 20 mm, c) 60 mm, d) 7 mm,

e) 40 mm, f) 60 mm, g) 50 mm, h) 100 mm.


a) 500 m, b) 1000 m, c) 250 m, d) 750 m,

e) 200 m, f) 800 m, g) 100 m, h) 200 m.


a) 500 g, b) 500 g, c) 1000 g, d) 1500 g,

e) 400 g, f) 400 g, g) 10 g, h) 1 g.


a) 50 l, b) 50 l, c) 10 l, d) 50 l,

e) 25 l, f) 50 l, g) 50 l, h) 100 l.


a) fél m = 5 dm = 50 cm = 500 mm;

b) 1 ötöd m = 2 dm = 20 cm = 200 mm;

c) 1 tized m = 1 dm = 10 cm = 100 mm;

d) 3 negyed m = 75 cm = 750 mm;

e) 7 tized m = 7 dm = 70 cm = 700 mm.


a) fél dl = 5 cl = 50 ml; d) 2 negyed dl = 5 cl = 50 ml;

b) 1 ötöd dl = 2 cl = 20 ml; e) 4 tized dl = 4 cl = 40 ml;

c) 1 tized dl = 1 cl = 10 ml; f) 3 ötöd dl = 6 cl = 60 ml.


a) fél kg = 50 dkg = 500 g;

b) 1 negyed kg = 25 dkg = 250 g;

c) 1 tized kg = 10 dkg = 100 g;

d) 3 negyed kg = 75 dkg = 750 g;

e) 2 ötöd kg = 40 dkg = 400 g.

175



a) fél óra = 30 perc; f) 5 hatod óra = 50 perc;

b) 1 negyed óra = 15 perc; g) 3 negyed óra = 45 perc;

c) 1 tized óra = 6 perc; h) 7 tized óra = 42 perc;

d) 1 harmad óra = 20 perc; i) 2 harmad óra = 40 perc;

e) 1 hatod óra = 10 perc; j) 3 ketted óra = 90 perc.


a) 1 negyed nap = 6 óra; d) 2 negyed nap = 12 óra;

b) 1 harmad nap = 8 óra; e) 2 harmad nap = 16 óra;

c) fél nap = 12 óra; f) 3 ketted nap = 36 óra.

Tk. 192/26{30. feladat: Testek építése kockából. A térfogat törtrészének megépítése.Törtrészb®l az egység megépítése, testek térfogatának összehasonlítása. A tanulóktérszemléletének fejlesztése érdekében építsék meg a különböz® testeket a színesrúd-készlet fehér kockáiból.

Tk. 193. oldal, mintapélda: Itt is mennyiségek törtrészét számíttatjuk ki, ahol kö-vetkeztetni kell többr®l egyre, majd egyr®l többre a szorzásról és az osztásról tanultakalkalmazásával. Ügyeljünk a szöveges feladat lépéseinek betartására.

Az ilyen típusú feladatokat els®sorban di�erenciálásra, tehetségfejlesztésre használhat-juk fel.

Tk. 193/31.; Gy. 143/19. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.Az írásbeli szorzás, osztás gyakorlása, következtetés egyr®l többre, többr®l egyre. Ahollehet, kérjünk több megoldási tervet. Hasonlítsuk össze ®ket, beszéljük meg, mikormelyiket célszer¶ alkalmazni, és miért.


a) a = 160 { 160 : 4, vagy a = 160 : 4 � 3 a = 120 Ft

b) b = 240 { 240 : 6, vagy b = 240 : 6 � 5 b = 200 Ft

c) c = 145 { 145 : 5, vagy c = 145 : 5 � 4 c = 116

d) d = 273 { 273 : 3, vagy d = 273 : 3 � 2 d = 182


a) 8 diós ki i maradt. Ez812

=46=23része az egésznek.

b) 6 süteményt evett meg Bogi.1016

=58része maradt meg a süteménynek.

c) 10 Ft-ot költött el Cili.818

=49része maradt meg a pénznek.

d) 6 matricát kapott Dani. A többi gyerek1420

=710

részt kapott.

e) 10 percig futottak a gyerekek. A tanóra79részében játszottak labdajátékokat.

f) 12 nap volt es®s áprilisban. Ez kevesebb a hónap felénél. A hónap35részében

nem esett az es®.

176


g) 183 napig nem f¶töttek ebben az évben. Ez12része az egész évnek.

12=24=36=48=

510

. . .


a) 72 ml b) 96 ml c) 36 ml d) 48 ml

216 ml 192 ml 180 ml 144 ml

144 ml 288 ml 252 ml 192 ml


a) 15 dm b) 2 m c) 1 m d) 75 cm = 7 dm 5 cm

45 dm 4 m 3 m 375 cm = 3 m 7 dm 5 cm

30 dm 6 m 4 m 300 cm = 3 m 0 dm 0 cm

60 dm 0 m 5 m 525 cm = 5 m 2 dm 5 cm

Tk. 194/34{37. feladat: Adott mennyiségeknek a különböz® törtrészeit hasonlítjuk összenagyság szerint.


a)18,

38,

78,

48,

28

18<

28<

38<

48<

78

b)14,

13,

18,

12,

15

18<

15<

14<

13<

12


a)14<

12

b)16<

14

c)512

<712


a)14rész 180 m =

28rész 180 m

b)46rész 480 m <

56rész 600 m

c)13rész 240 m <

12rész 360 m

d)23rész 480 m <

34rész 540 m

e)56rész 600 m >

79rész 560 m


a)23rész 80 m >

26rész 40 m;

b)45rész 160 kg =

810

rész160 kg;

177

Hajdu program 3 3UJP3M 2002. február 5. {17:36 (1. old.)

c)3

8rész 90 dl <

5

8rész 150 dl;

d)5

6rész 300 perc >

5

9rész 200 perc;

e)1

4rész 15 perc <

1

3rész 20 perc;

f)3

4rész 45 perc >

2

3rész 40 perc;

g)1

6rész 80 Ft <

2

4rész 240 Ft.

Nagyítás, kicsinyítés

Óra: 125{126. 139{140. 156{157.

Tk. 195. oldal, mintapélda: A �nagyított", �kicsinyített" képek segítségével a hasonló(ugyanolyan alakú), illetve az egybevágó (ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶)fogalmakkal ismerkednek a tanulók.

Szerezzenek minél több tapasztalatot nagyított, illetve kicsinyített kép el®állításában raj-zolással rácson, vetítéssel, építéssel stb. Adjunk feladatokat nem hasonlósági transzfor-mációkra (�zsugorításra", �nyújtásra", �torzításra") is. Figyeltessük meg a nagyítással ésa kicsinyítéssel, illetve a �nyújtással", �zsugorítással" el®állított képek közti különbséget.

Szerezzenek tapasztalatot arról, hogy az egybevágóság a hasonlóság speciális esete(az ugyanolyan alakú alakzat ugyanolyan méret¶ is). Vetessük észre, hogy a tengelyestükrözéssel is hasonlósági transzformációt határozunk meg.

Tk. 195/1. feladat: Három különböz® alakú kancsó képe látható. Azok �ugyanolyanalakúak", amelyek egymásnak pontosan kicsinyített, nagyított vagy ugyanolyan méret¶relemásolt képei.

Tk. 195/2. feladat: Az a; b; d ábrán hasonló a két téglalap egymáshoz.

Tk. 196/3. feladat: Az eredeti rajzhoz Anna, Bea, Cili, Eta, Feri rajza hasonló. Anna azeredeti rajz tükörképét rajzolta le, Eta a felére kicsinyítette, Cili a kétszeresére nagyította,Feri a felére kicsinyítette és tükrözte az eredeti rajzot. Anna és Bea rajza egybevágó azeredetivel.

Tk. 196/4. feladat: Indirekt di�erenciálásra alkalmas feladat. Figyeljük meg, ki hányfélekülönböz® szabályt tud alkalmazni.

Tk. 197/5. feladat: Hasonló a két háromszög az a, c, f, g, i feladatban; egybevágóa c, f, i feladatban, tükörképe egymásnak az f feladatban.

Tk. 197/6. feladat: Hasonló a két négyszög az a, c, d, e, g h, i feladatban;egybevágó a d, g, i feladatban.

Gy. 154/1. feladat: A B téglalapnak kétszeresére nagyított képe a H téglalap, felérekicsinyített képe a K téglalap. A J téglalap a B téglalapnak 3 negyed részére kicsinyített,illetve a K téglalapnak másfélszeresére nagyított képe.

178


Például a B és a C téglalapok alakja nem egyezik meg. A B �megnyúltabb", mint a Ctéglalap (a megfelel® oldalaik aránya nem azonos).

A D, E, L téglalapokhoz nincsen hasonló másik az ábrák között.

A

B C D

E F G

HI

JK

L

Gy. 154/2. feladat:

Mindegyik négyszögben a szemben lev® oldalak párhuzamosak (paralelogrammák).

Az A-nak kétszeresére nagyított képe a H.

A B és a C négyszögnek mind a négy oldala egyenl® (rombuszok), és a megfelel®szögeik megegyeznek.

A D és az F azonos alakúak és azonos méret¶ek (egybevágó paralelogrammák), csakaz elhelyezésük más.

Például a D és a H nem ugyanolyan alakú. Egyik oldaluk hosszúsága megegyezik, amásiké nem. (Megfelel® oldalaik aránya nem egyezik meg, az egyik �megnyúltabb".)

Az E és a G síkidomok (nem hasonló) téglalapok. A szomszédos oldalak mer®legesek.

179


Gy. 155/3. feladat: Kerestessünk a rajzok közül ugyanolyan alakúakat, ugyanolyanalakú és méret¶eket. Egy rajzon belül mer®leges, illetve párhuzamos egyenespárokat.Figyeltessük meg, hogy ezek a transzformációk szakasz- és szögtartók.

Gy. 155/4. feladat: A feladatsornak több megoldása is lehet.

a)

b)

c) d)

Gy. 156/5. feladat: Figyeljük meg, ki hány különböz® szabály alapján tudja transzformál-ni az adott ábrát. Megtalálják-e az eredetihez hasonlót, illetve az eredetivel egybevágót?Kerestessünk mer®leges, illetve párhuzamos egyenespárokat.

Alaprajzok, térképek

Óra: 127{128. 141{142. 158{159.

Tk. 198. oldal, mintapélda: Egy szoba alaprajzát mutatjuk be. Ennek kapcsán beszéljükmeg, mit jelent az alaprajz, térképvázlat, térkép. Készítsünk minél több alaprajzot,térképet, ezzel is gyakorolva a becslést, megmérést, kimérést.

A téma szorosan kapcsolódik a környezetismerethez és a technikához. A helyi tanterv-ben, illetve a tanmenetben is hangoljuk össze a különböz® tantárgyakban ennek azanyagrésznek a feldolgozását. Ha a fenti tantárgyak valamelyikével, esetleg a test-neveléssel is több órás összevont foglalkozást tartunk, akkor lehet®ségünk nyílik arra,hogy kimozduljunk a tanteremb®l. Térképezzük fel az iskolaudvart vagy egy közeli par-kot; kirándulás, túra alkalmával tájékozódjanak a tanulók a terepen térkép segítségével,ismerjék meg a világtájakat.

180


Tk. 199/1. feladat: Otthon készítsék el a tanulók a szobájuk alaprajzát. A feladat le-het®séget teremt a magyar, illetve az idegen nyelvvel való koncentrációra. Meséljeneka szobájukról.

Gy. 157/6. feladat:

a) A téglalap 1 2 3 4 5 6

A rajzon hosszúsága (mm) 128 59 20 46 10 80

szélessége (mm) 80 20 15 30 10 30

A valóságban hosszúsága (m) 128 59 20 46 10 80

szélessége (m) 80 20 15 30 10 30

b) A sportudvar távolsága a tornateremt®l a rajzon: 10 mm,

a valóságban: 10 m.

Tk. 199/2{3. feladat: Világtájak segítségével tájékozódunk a térképen. Beszéljük mega kicsinyítés mértékét.

Gy. 164/3. feladat: Ehhez a témakörhöz kapcsolódva is megoldathatjuk ezt a feladatot.

Kerület

Óra: 129{130. 143{144. 160{161.

Tk. 200. oldal, mintapélda: Példát mutatunk a sokszög kerületének kiszámításárakülönböz® hosszúságegységekkel. Figyeltessük meg, hogy ha nagyobb az egység,akkor arányosan kisebb a mér®szám.

Tényleges mérések alapján minél több sokszögnek (asztallapnak, teremnek, képnek,udvarnak) határozzák meg a kerületét a tanulók, hogy kell®en megszilárduljon ez afogalom. Az alsó tagozatban nem célunk képletek tanítása.

A kerületszámítással kapcsolatos feladatok megoldása során az írásbeli m¶veleteket isgyakoroljuk.

Tk. 200/1.; Gy. 158/1. feladat: Sokszög kerületének kiszámítása alkalmi mértékegy-séggel. Figyeltessük meg a mér®szám és a mértékegység közötti kapcsolatot.

Tk. 200/1. feladat:

a) 16, 16, 16, 24, 16.

b) 8, 8, 8, 12, 8.

c) 4, 4, 4, 6, 4.

Gy. 158/1. feladat:

a) K = 14 K = 7 K = 2

b) K = 20 K = 10 K = 5

c) K = 12 K = 6 K = 4

K = 3 K = 2

181

Hajdu program 3 3UJP3O 2002. február 5. {17:36 (1. old.)

Gy. 158/2. feladat: A sokszögek oldalait sorban mérjük rá a félegyenesre, majd hatá-rozzuk meg a kerületet.

a) K = 96 mm = 9 cm 6 mm;

b) K = 79 mm = 7 cm 9 mm;

c) K = 68 mm = 6 cm 8 mm.

Tk. 200/2. feladat:

a) 142 m, b) 128 m, c) 160 m, d) 726 m.

Tk. 201/3{6. feladat: Alaprajzról valóságos méretet, majd kerületet kell meghatározni.

Tk. 201/3. feladat:

a)1

10-re kicsinyítették az ábrát.

b) A rajzon a szélesség 3 cm, a hosszúság 4 cm, a valóságban a szélesség 30 cm, a

hosszúság 40 cm.

c) 14 cm. d) 140 cm.

Tk. 201/5. feladat:

a) Az alaprajzon a szélesség 32 mm, a hosszúság 40 mm, a valóságban a szélesség32 dm, a hosszúság 40 dm.

b) Az alaprajzon az ajtó 9 mm, az ablak 12 mm széles, a valóságban az ajtó 9 dm, azablak 12 dm széles.

c) Az ajtóban nem raknak szeg®lécet, az ablak alatt igen. h = 32 + 40 + 32 + (40 { 9)h = 135 dm = 13 m 5 dm.

Tk. 201/6. feladat: K = 160 dm = 16 m.

Terület

Óra: 131{132. 145{146. 162{164.

Tevékenységre alapozva, szemléletet fejlesztve készítjük el® a területszámítást. Minéltöbb sokszöget fedessünk le különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Hívjuk föl a tanulók�gyelmét arra, hogy egy rétegben és hézagmentesen fedjék le az egységekkel az alak-zatokat. Vetessük észre, hogy bizonyos esetekben könnyebben meg tudjuk határozni aterületet, ha átdaraboljuk a síkidomot.

Figyeltessük meg, hasonlítsuk össze hasonló síkidomok kerületét, illetve területét.

Tk. 202/1{3; Gy. 159/1. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ la-pokkal. Keressenek a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.

Ugyanazt a területet mérve nagyobb mértékegységgel kisebb mér®számot kapunk. (El®-készítés: A mértékegység és a mér®szám között fordított arányosság áll fenn, ha amennyiség változatlan.)

Ugyanazzal a mértékegységgel nagyobb területet mérve nagyobb mér®számot kapunk.(El®készítés: A mennyiség és a mér®szám között egyenes arányosság van, ha azonosmértékegységgel mérünk.)

182


Tk. 202/1. feladat:

a) 15 területegység; b) 14 területegység.

Tk. 202/2. feladat:

a) 60 területegység; b) 30 területegység; c) 15 területegység.

Tk. 202/3. feladat: Beszéljük meg, hogy a hézagmentes lefedéshez esetleg fel kelldarabolnunk néhány járólapot.

a) 96 területegység; b) 48 területegység; c) 32 területegység;

d) 16 területegység.

Tk. 203. oldal, mintapélda:

A zöld alapon példát mutatunk a téglalap területének kiszámítására. A módszerrel mártalálkoztak a tanulók (például a szorzótáblák tanulásánál).

Tk. 203/4{7. feladat: Területszámítás el®készítése tevékenységhez kapcsolva.Ha szükséges, rajzolják le a csempéket a tanulók.

Tk. 203/4. feladat: cs = 6 � 8 = 48 csempe; sz = 6 dm, h = 8 dm.

Tk. 203/5. feladat: T = 8 � 12 = 96 csempe; sz = 80 cm, h = 120 cm.

Tk. 203/6. feladat:

A falrész négyzet alakú. T = 7 � 7 = 49 csempe; sz = 105 cm, h = 105 cm.

Tk. 203/7. feladat: A betonlapok 40 sorba rakhatók. Egy sorba 40 betonlap fér.

1600 betonlappal fedhet® le az udvar.

Tk. 204/8. feladat: A három alakzat területe megegyezik. Az alakzatok átdarabolt válto-zatai egymásnak. T = 36

Tk. 204/9{11. feladat: Sokszögek átdarabolása téglalappá, majd a területük meghatá-rozása alkalmi mértékegységgel.

Tk. 204/9. feladat: Egyes alakzatok többféleképpen is átdarabolhatók téglalappá. Azutolsó alakzat az els®höz hasonlóan darabolható.

T = 8 te T = 16 te T = 16 te T = 8 te T = 8 te

183



T = 32 , T = 64 , T = 64 , T = 72 , T = 32 , T = 32 .


T = 2 , T = 4 , T = 4 , T = 4 és fél , T = 2 , T = 2 .

Tk. 205/12. feladat: Sokszögek kerületének, területének meghatározása.

K1 = 12 cm, K2 = 14 cm, K3 = 14 cm, K4 = 14 cm.

T1 = 8 , T2 = 8 , T3 = 8 , T4 = 6 .

K5 = 14 cm, K6 = 8 cm, K7 = 22 cm, K8 = 12 cm.

T5 = 8 , T6 = 3 , T7 = 24 , T8 = 5 .

Tk. 205/13., 206/14{16. feladat: Hasonló síkidomok kerületének, területének összeha-sonlítása. Figyeltessük meg, hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület,illetve a terület.

Tk. 205/13. feladat: A terület mindig a kétszeresére n®. (1; 2; 4; 8; 16; 32 .)


Ka = 6 , Kb = 12 , Kc = 18 , Kd = 24 , Ke = 30 .

Ta = 2 , Tb = 8 , Tc = 18 , Td = 32 , Te = 50 .


Ka = 5 , Kb = 10 , Kc = 15 , Kd = 20 .

Ta = 3 , Tb = 12 , Tc = 27 , Td = 48 .


Ka = 8 , Kb = 16 , Kc = 24 , Kd = 32 , Ke = 40 .

Ta = 3 , Tb = 12 , Tc = 27 , Td = 48 , Te = 75 .

Gy. 160/2. feladat:

a = 32 , b = 24 , c = 32 , d = 32 .

Gy. 160/3. feladat:

a) ekkora: b) ekkora: c) ekkora:

60 db 30 db 15 db

184


Gy. 160/4. feladat:

Hány kis négyzet a területe a négyzetnek? 36

Hány kis négyzet a területe a téglalapnak? 36

Gy. 161/5. feladat:

T = 1 6

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

4

4

1

1

2

23

3

4

4

5

5T = 2 4

Gy. 161/6. feladat:

1

1

2

2

3

3

4

4

185


Gy. 161/7. feladat: A 3. és a 4. ábra nem darabolható át a megadott hatszöggé.

Gy. 162/8{10. feladat: A feladatok megoldása során átismételhet®k a legfontosabbgeometriai fogalmak.

Gy. 162/8. feladat: A hosszúság mértékegysége felére, majd negyedére csökken, ezérta kerület mér®száma 2-szeresére, majd 4-szeresére n®.

A terület mértékegysége negyedére, majd tizenhatodára csökken, ezért a kerület mér®-száma 4-szeresére, majd 16-szorosára n®.

Vizsgáltassuk meg az oldalak mer®legességét, párhuzamosságát is. Rajzoltassuk be azalakzat tükörtengelyét.

Gy. 162/9. feladat:

a) 1-szer 6-os, K = 14 egység, 2-szer 3-as, K = 10 egység.

b) 1-szer 24-es, K = 50 egység, 2-szer 12-es, K = 28 egység,

3-szor 8-as, K = 22 egység, 4-szer 6-os, K = 20 egység.

Ugyanolyan alakú: az 1-szer 6-os és a 2-szer 12-es, illetve a 2-szer 3-as és a 4-szer6-os téglalap.


a) 1-szer 5-ös, T = 5 egység, 2-szer 4-es, T = 8 egység.

3-szor 3-as, T = 9 egység.

b) 1-szer 11-es, T = 11 egység, 2-szer 10-es, T = 20 egység,

3-szor 9-es, T = 27 egység, 4-szer 8-as, T = 32 egység,

5-ször 7-es, T = 35 egység, 6-szor 6-os, T = 36 egység.

Ugyanolyan alakú: az 1-szer 5-ös és a 2-szer 10-es, a 2-szer 4-es és a 4-szer 8-as,illetve a 3-szor 3-as és a 6-szor 6-os téglalap. A megfelel® téglalapok esetén 2-szeresnagyításról van szó, ezért a nagyobb téglalap területe mindig 4-szerese a kisebbének.

Az azonos kerület¶ téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb.

186

Hajdu program 3 3UJP3P 2002. február 5. {17:36 (1. old.)

Testek építése, ábrázolása

Óra: 133{134. 147{148. 165{166.

Tk. 207. oldal, mintapélda: Példát mutatunk egy test elöl-, felül- és oldalnézeti képé-r®l. A térszemlélet fejlesztése érdekében minél többször építsenek különböz® testeketa tanulók. Készítsék el ezek alaprajzát. Értelmezzenek nézeti rajzokat, építsék meg ahozzájuk tartozó testeket.

Tk. 207/1. feladat:

Mindegyik test alaprajza:

A testek 8; 12; 7 egységkockából építhet®k fel.

Tk. 207/2. feladat:

a) b) c)

Gy. 163/1. feladat:

a)2 2 1

1 1 1

1 1 1

b)3 2 1

2 1 1

1 1 1

c)3 2 2

2 1 1

1 1

Gy. 163/2. feladat:

Felülnézet Alaprajz Elölnézet Oldalnézet

a)2 2

1 1

187


Felülnézet Alaprajz Elölnézet Oldalnézet

b)2 1

1 2

c)2 1 1

1 1

d)1

1 2 1

1

Tk. 208/3{4.; Gy. 164/3. feladat: A gyermek környezetében található tárgyak alapraj-za, nézeti rajza. Az alaprajzról, a nézeti rajzról a tárgy felismerése.

Ismétlés, rendszerezés

Óra: 135{139. 149{154. 167{172.

Az átlagos képesség¶ osztályokban a Hányféleképpen?, a Biztos, lehetséges, lehe-tetlen és a Kitekintés 10 000-ig cím¶ fejezetek anyagának feldolgozása el®tt célszer¶összefoglalni a számtan, algebra, illetve a függvények, sorozatok témakörben tanulta-kat. Tárjuk fel és küszöböljük ki az esetleges hiányosságokat. Az átlagosnál nehezebbenhaladó csoportokban másra már nem is jut id®.

Az átlagosnál jobb képesség¶ osztályokban el®ször dolgozzuk fel az említett három fe-jezetet, így magasabb szinten rendszerezhetjük, foglalhatjuk össze a tanultakat.

Tk. 215/1{5.; Gy. 175/1{3. feladat: Számok írása olvasása, bontása többfélekép-pen, összehasonlításuk, rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk aszámjegyek �alaki-", �helyi-" és �tényleges értékének" a fogalmát.

�Gazdaságosan" foglalkozzunk a feladatokkal, adjunk további kérdéseket, utasításokat.Például:

Az egyes számokban mennyi a számjegyek alakiértéke, helyiértéke, tényleges érté-ke? (Lásd még az 5. feladat kérdéseit.)

Melyik szám páros, melyik páratlan? Melyik osztható maradék nélkül 5-tel, melyikosztható 10-zel?

Melyik szám a legnagyobb, melyik a legkisebb? Sorold föl növekv® sorrendben aszámokat! Sorold föl az 1500-nál nagyobb számokat!

Sorold föl a számok egyes (páros, páratlan, tízes, százas, ezres) szomszédait!

Sorold föl csökken® sorrendben két adott szám közti kerek tízeseket, százasokat!(Lásd még a 3. feladat kérdéseit.)

188


Tk. 215/1. feladat: a = 1352; b = 1205; c = 1034.

Gy. 175/1. feladat:

T E sz t e Számmal

4 százas + 2 tízes + 7 egyes 4 2 7 427

1 ezres + 3 tízes + 5 egyes 1 0 3 5 1035

1 ezres + 6 százas + 4 tízes 1 6 4 0 1640

16 százas + 61 egyes 1 6 6 1 1661

Gy. 175/2. feladat:

a)

T E sz t e Számmal

6 � 100 + 5 � 10 + 9 � 1 6 5 9 659

1 � 1000 + 4 � 100 + 0 � 10 + 2 � 1 1 4 0 2 1402

1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 6 � 1 1 0 7 6 1076

1 � 1000 + 9 � 100 + 8 � 10 + 0 � 1 1 9 8 0 1980

1 � 1000 + 0 � 100 + 6 � 10 + 0 � 1 1 0 6 0 1060

b)

800 + 60 + 9 8 6 9 869

1000 + 500 + 4 1 5 0 4 1504

1000 + 10 + 8 1 0 1 8 1018

1000 + 800 + 50 1 8 5 0 1850

1000 + 1 1 0 0 1 1001

Gy. 175/3. feladat:

T E sz t e Számmal

Kilencszázkilenc 9 0 9 909

Ezerötvenegy 1 0 5 1 1051

Ezerhatszáznégy 1 6 0 4 1604

Ezerkilenc 1 0 0 9 1009

Ezerhétszázötvennyolc 1 7 5 8 1758

Kétezer 2 0 0 0 2000

Tk. 215/3. feladat: Számok rendezése tulajdonságaik szerint.

a) 0 < 54 < 100 < 630 < 1002 < 1500.

b) 807 > 630 > 100.

c) 0 < 100 < 630 < 1500.

189


Tk. 215/5. feladat: Az alaki-, helyi- és a tényleges értékr®l tanultak rendszerezése,alkalmazása.

a) Egyes, százas, tízes, egyes, százas.

b) 1205.

c) 1; 0; 5; 0; 2.

d) A szám nem kezd®dhet 0-val, nincs ilyen szám.

Tk. 216/6. feladat: A római számírásról tanultak ismétlése.

a) CV =105, CXXXIX = 139, CXLVIII = 148.

b) CCL = 250, CCLXXXI = 281, CCCLXIV = 364.

c) CDVI = 406, DCCLIII = 753, DCCCXC = 890.

d) DCLX = 660, CMIX = 909, MCMXCVII = 1997.

Gy. 176/4{5. feladat: Számok nagysági viszonyainak elemzése.

Gy. 176/4. feladat:

a) 9 8 7 9 8 7 , b) 4 5 4 5 3 2 , c) 1 1 0 0 3 4 5 .

Gy. 176/5. feladat:

a) 9 8 7 9 8 7 , b) 4 5 4 5 3 2 , c) 1 1 0 0 3 4 5 .

Tk. 216/7.; Gy. 176/7. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen.Számok nagysági viszonyainak meghatározása, rendezésük adott szempont szerint.Kiegészíthetjük a feladatokat az egyes, tízes, százas, páros, páratlan számszomszédokfelsoroltatásával.

Tk. 216/7. feladat:

a = 512, b = 548, c = 588, d = 260, e = 420, f = 582, g = 740, h = 410,i = 460, j = 510.

Gy. 176/7. feladat:

200

a h d

300

400

c l e g j

450

600

b f i k

1000

A számok növekv® sorrendben:

205 < 250 < 278 < 432 < 455 < 486 < 490 < 500 < 640 < 1005 < 1075 < 1200.

A páros számok csökken® sorrendben:

1200 > 640 > 500 > 490 > 486 > 432 > 278 > 250

Tk. 216/8{9.; Gy. 177/8. feladat: Számok egyes, tízes, százas szomszédai; kerekítéstízesre, százasra, ezresre.

190


Gy. 177/8. feladat:

a) b)Szám Tízes szomszédai Tízesre

kisebb nagyobb kerekítés

4 0 10 0

28 20 30 30

95 90 100 100

105 100 110 110

341 340 350 340

450 440 460 450

500 490 510 500

996 990 1000 1000

1000 990 1010 1000

1245 1240 1250 1250

Szám Százas szomszédai Százasra

kisebb nagyobb kerekítés

4 0 100 0

28 0 100 0

95 0 100 100

105 100 200 100

341 300 400 300

450 400 500 500

500 400 600 500

996 900 1000 1000

1000 900 1100 1000

1245 1200 1300 1200

Tk. 216/8. feladat:

a) 1490; 1491; . . .; 1498; 1499.

b) 1501; 1502; . . .; 1598; 1599.

c) 1000; 1001; . . .; 1008; 1009.

d) 990; 991; . . .; 998; 999, illetve 1090; 1091; . . .; 1098; 1099.

e) 950.

Tk. 216/9. feladat:

a) 0; 40; 50; 100; 170; 600; 1000; 1050; 1500; 1850.

b) 0; 0; 100; 100; 200; 600; 1000; 1100; 1500; 1800.

c) 0; 0; 0; 0; 0; 1000; 1000; 1000; 2000; 2000.

Tk. 216/10.; Gy. 176/6. feladat: Számok képzése adott szempont szerint.


a) 102; 120; 201; 210.Összesen négy megoldás lehet, mert a százasok helyére kétféle számot írhatunk,az 1-est vagy a 2-est. (A 0 itt nem szerepelhet.) Így elhasználtunk egy kártyát. Atízesek helyére ugyancsak kétféle szám kerülhet, a maradék két kártyából választva.Az egyesek helyére a maradék 1 kártyát tehetjük. Ez összesen 2 � 2 � 1 = 4 eset.

b) 346; 354; 356; 364; 436; 456; 534; 536; 546; 564; 634; 654.Az egyesek helyére kétféle számjegy kerülhet, a 4-es vagy a 6-os. A tízesek helyére3-, a százasok helyére 2-féleképpen választhatunk. Ez összesen 2 � 3 � 2 = 12 eset.

Egy másik gondolatmenet: Mivel ugyanannyi páros és páratlan számunk van, ésezek bármelyik helyre kerülhetnek, ezért az összes megoldás fele páros, fele párat-lan szám lesz. (4 � 3 � 2) : 2 = 12.

191


c) 200; 202; 204; 206; 208; 220; 222; 224; 226; 228; 240; 242; 244; 246; 248;260; 262; 264; 266; 268; 280; 282; 284; 286; 288.A 0; 2; 4; 6; 8 számjegyeket használhatjuk föl, és ismétl®dhetnek a számok. Aszázasok helyére csak a 2-est írhatjuk. A tízesek helyére 5- és az egyesekére is5-féleképpen választhatunk számjegyet. Ez összesen 1 � 5 � 5 = 25 eset.

Gy. 176/6. feladat:

a) A számjegyek összege 3: 102; 111; 120; 201; 210; 300.Gondoljuk át, mely számok összege lehet 3: 1+1+1 = 3; 1+2+0 = 3; 0+0+3 = 3.Ezekb®l a számjegyekb®l állítjuk el® a megoldáshalmazt.

b) A számjegyek szorzata 4: 114; 122; 141; 212; 221; 411.Három szám szorzataként a 4-et a következ®féleképpen írhatjuk fel: 1 � 1 � 4 = 4;1 � 2 � 2 = 4. Ezek permutációja adja a megoldást.

c) A számjegyek összege 5: 104; 113; 122; 131; 140; 203; 212; 221; 230; 302;311; 320; 401; 410; 500.0 + 1 + 4 = 5; 0 + 2 + 3 = 5; 1 + 1 + 3 = 5; 1 + 2 + 2 = 5 alakban állítható el® az 5három szám összegeként.

d) A számjegyek szorzata 6: 123; 132; 213; 231; 312; 321; 116; 161; 611.Mert 1 � 1 � 6 = 6; és 1 � 2 � 3 = 6.

Gy. 177/9{10. feladat: 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság vizsgálata.

Gy. 177/9. feladat:

A szám páros páratlan

5-tel osztható 100; 0; 900; 5; 1215;

1000; 60; 1780 1605

5-tel nem 352; 834; 909; 217;

osztható 78 13


a) Minden kerek tízes osztható 2-vel. I

b) Van olyan páros szám, amely 5-re végz®dik. H

c) Minden 5-tel osztható szám kerek tízes. H

d) A 0 osztható 2-vel és 5-tel is. I

e) A 217 nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. I

f) A kerek tízesek oszthatók 2-vel és 5-tel is. I

Gy. 178/11{12. feladat: Számok rendezése adott szempont szerint. Adott rendezéshezszempont keresése.

Gy. 178/11. feladat: A feladatnak több megoldása is lehet. Például:

A: Háromjegy¶ számok E: Négyjegy¶ számok

B: Nem háromjegy¶ számok F: Nem négyjegy¶ számok

C: Páros számok G: Kerek tízesek

D: Páratlan számok H: Nem kerek tízesek

192


Gy. 178/12. feladat: A szürke részbe kerül® számok 3-nak és 4-nek is többszörösei,azaz többszörösei 12-nek.

Tk. 217/11{15., 218/16{19; Gy. 179/13{15., 180/16{20., 181/21{23., 182/24{26.feladat:

Az összeadás és a kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulajdon-ságok felelevenítése. Figyeltessük meg a két m¶velet közötti kapcsolatot.

Írásbeli összeadás, kivonás elvégzése (becslés, számolás, ellen®rzés), az írásbelim¶veletek alkalmazása összetett szám- és szöveges feladatokban. Szöveges feladatokmegoldási menete. Sorozatok hiányzó elemeinek meghatározása.

Egyenletek, egyenl®tlenségek próbálgatással történ® megoldása.

Tk. 217/14. feladat: Az összeg változásainak meg�gyeltetése.

Összesen = 1335 Ft. a) 1535 Ft; b) 1035 Ft; c) 1335 Ft.

Tk. 217/15. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése.

m = 867 Ft. a) 667 Ft; b) 1067 Ft; c) 1167 Ft; d) 567 Ft; e) 867 Ft.


a) B: 1260 + 490 + 70 = 1820 a = 1814 Ft;

b) B: 980 + 460 + 350 = 1790 b = 1795 Ft.


a) B: 260 + 530 = 790 a = 792;

b) B: 620 + 40 + 1290 = 1950 b = 1953.

Gy. 179/15. feladat: a) 779, 777, 1704; b) 986, 1584, 1435.


a) 954; b) 1576; c) 682; d) 1680;

e) 1847; f) 1584; g) 1655; h) 1447;

i) 1144; j) 1563; k) 1682; l) 1522.


a) 774; b) 1604; c) 787; d) 1791;

e) 1011; f) 1543; g) 1196; h) 1744;

i) 1794; j) 1082; k) 1404; l) 1265.


a) 376 + 8 7 2 = 1248; b) 578 + 469 + 6 4 3 = 1690;

c) 751 + 7 5 4 = 1505; d) 605 + 761 + 4 3 7 = 1803;

e) 239 + 7 7 5 = 1014; f) 782 + 219 + 9 9 9 = 2000;

g) 6 2 0 + 796 = 1416; h) 9 4 8 + 444 + 529 = 1921;

i) 7 8 1 + 527 = 1308; j) 4 5 9 + 315 + 736 = 1510;

k) 9 9 7 + 681 = 1678; l) 6 8 2 + 509 + 284 = 1475.

193



a) 287; b) 712; c) 723; d) 227;

e) 607; f) 944; g) 514; h) 33;

i) 109; j) 227; k) 642; l) 508.


a) 779; 303; 1653;

b) 1202; 1202; 710;

c) 309; 1065; 1065.


a) Becslés: 6 4 0 { 2 6 0 = 3 8 0

Számolás: 6 4 3{ 2 5 8

3 8 5

Ell.: 3 8 5+ 2 5 8

6 4 3

6 4 3{ 3 8 5

2 5 8

b) Becslés: 1 4 0 0 { 8 5 0 = 5 5 0

Számolás: 1 4 0 4{ 8 4 7

5 5 7

Ell.: 5 5 7+ 8 4 71 4 0 4

1 4 0 4{ 5 5 7

8 4 7


a) 915 { 674 9 1 5{ 6 7 4

2 4 1

E: 2 4 1+ 6 7 4

9 1 5

9 1 5{ 2 4 1

6 7 4B: 2 5 0

b) 1203 { 576 1 2 0 3{ 5 7 6

6 2 7

E: 6 2 7+ 5 7 61 2 0 3

1 2 0 3{ 6 2 7

5 7 6B: 6 2 0


6 4 8+ 3 7 6

1 0 2 4

1 4 7+ 1 2 5 7

1 4 0 4

9 1 3{ 7 3 8

1 7 5

1 0 5 0{ 4 8 7

5 6 3

Tk. 218/16.; Gy. 182/24. feladat: Szöveges feladatok. A megoldás során idézzük fel atanult megoldási menetet.


a = 1174 Ft, b = 458 Ft, c = 1246 Ft, d = 1337 Ft, e = 238 Ft.


a = 664 gyerek, b = 229 �ú, c = 184 lány, d = 343 �ú, e = 279 gyerek.

577 gyerek,

194


Gy. 182/25. feladat: Figyeltessük meg a kérdés szempontjából szükséges, illetve feles-leges adatokat.

a = 1355 tanuló. b = 1171 gyerek. c = 1041 nyaraló.


a) A + 280-at, illetve a { 175-öt jelent.

4 6 5+105

5 7 0 6 7 5 7 8 0

7 4 5+105

8 5 0 9 5 5 1 0 6 0

b) A { 378-at, illetve a + 196-ot jelent.

1 8 2 4{ 182

1 6 4 2 1 4 6 0 1 2 7 8

1 4 4 6{ 182

1 2 6 4 1 0 8 2 9 0 0

Tk. 218/17. feladat: Szöveggel adott egyenl®tlenség megoldása, majd az egyenl®tlen-séghez kapcsolódó állítások logikai értékének eldöntése.

x + 900 < 1000; x < 100.

a) i; b) h; c) i; d) i; e) i; f) i.

Tk. 218/18{19. feladat: A feladatokat próbálgatással oldják meg a tanulók. Több meg-oldás lehetséges.


a) 105 + 348 = 453, 145 + 308 = 453, 108 + 345 = 453, 148 + 305 = 453.

b) 841 + 530 = 1371, 840 + 531 = 1371, 831 + 540 = 1371, 830 + 541 = 1371.

A c) és a d) feladat megoldáshalmazának uniója kiadja az összes lehetséges esetet.

Hat számkártyából kell hármat-hármat kiválasztani úgy, hogy ne legyen ismétl®dés.Háromjegy¶ szám nem kezd®dhet 0-val. Az els® szám százas helyiértékére 5-féleképpen, a második szám százas helyiértékére 4-féleképpen választhatunk. Az els®szám tízes helyiértékére 4-féleképpen, egyes helyiértékére 3-féleképpen, a másodikszám tízes helyiértékére 2-féleképpen, egyes helyiértékére 1-féleképpen választhatunkszámot.

5 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 4 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 480 eset van.

Elégedjünk meg néhány megoldással. Például:

c) 301 + 845 = 1146 341 + 805 = 1146 305 + 841 = 1146 345 + 801 = 1146

501 + 834 = 1335 531 + 804 = 1335 504 + 831 = 1335 534 + 801 = 1335

304 + 851 = 1155 354 + 801 = 1155 301 + 854 = 1155 351 + 804 = 1155

d) 103 + 458 = 561 153 + 408 = 561 108 + 453 = 561 158 + 403 = 561

104 + 358 = 462 154 + 308 = 462 108 + 354 = 462 158 + 304 = 462

105 + 348 = 453 145 + 308 = 453 108 + 345 = 453 148 + 305 = 453

195


Tk. 218/19. feladat: Tervszer¶ próbálgatással oldassuk meg a feladatot.

a) A százasok helyén álló számjegyek különbsége a lehet® legkisebb, 1 legyen. 4 { 3vagy 5 { 4 lehet. Ha a tízesek helyén a kivonandóban nagyobb számjegy szerepel,mint a kisebbítend®ben, vagy a kisebbítend®ben 0 áll, a különbség két számjegy¶lesz. Ha az egyesek helyén a kivonandóban nagyobb számjegy szerepel, mint akisebbítend®ben, vagy a kisebbítend®ben 0 áll, a tízesátlépés miatt 1-gyel csökkena tízesek száma.

401 { 385 = 16

b) Két szám különbsége akkor a legnagyobb, ha a kisebbítend® a lehet® legnagyobb,a kivonandó a lehet® legkisebb.

854 { 103 = 751

c) Nem követeljük meg minden tanulótól az összes megoldást. Az összes megoldásmegkeresésére jó stratégia lehet a következ®: A kisebbítend® legyen a lehet® leg-nagyobb, a kivonandó a maradék három kártyából képzett szám. A kisebbítend®tfokozatosan csökkentjük, egészen addig, amíg a feltételnek eleget tesz a különbség.

854 { 103 = 751 , 854 { 130 = 724 , 854 { 310 = 544 , 854 { 301 = 553;

853 { 104 = 749 , 853 { 140 = 713; 851 { 304 = 547 , 851 { 340 = 511;

850 { 134 = 716 , 850 { 143 = 707 , 850 { 314 = 536 , 850 { 341 = 509;

845 { 103 = 742 , 845 { 130 = 715 , 845 { 301 = 544 , 845 { 310 = 535;

843 { 105 = 738 , 843 { 150 = 693; 841 { 305 = 536; 840 { 135 = 705 ,

840 { 153 = 687 , 840 { 315 = 525;

835 { 104 = 731 , 835 { 140 = 695;

834 { 105 = 729 , 834 { 150 = 684;

830 { 145 = 685 , 830 { 154 = 676;

815 { 304 = 511; 814 { 305 = 509;

805 { 134 = 671 , 805 { 143 = 662;

804 { 135 = 669 , 804 { 153 = 651;

803 { 145 = 658 , 803 { 154 = 649:

d) Mivel a megoldást a természetes számok halmazán keressük, a kisebbítend®neknagyobbnak kell lennie a kivonandónál.

853 { 401 = 452 , 853 { 410 = 443;

851 { 403 = 448 , 851 { 430 = 421;

850 { 431 = 419 , 850 { 412 = 438;

843 { 501 = 342 , 843 { 510 = 333;

841 { 305 = 536 , 841 { 350 = 491 , 841 { 503 = 338 , 841 { 530 = 311;

840 { 351 = 489 , 840 { 513 = 327 , 840 { 531 = 309;

835 { 401 = 434 , 835 { 410 = 425;

834 { 501 = 333 , 834 { 510 = 324;

831 { 405 = 426 , 831 { 450 = 381 , 831 { 504 = 327 , 831 { 540 = 291;

830 { 415 = 415 , 830 { 451 = 379 , 830 { 514 = 316 , 830 { 541 = 289;

815 { 340 = 475 , 815 { 403 = 412 , 815 { 430 = 385;

196


814 { 350 = 464 , 814 { 503 = 311 , 814 { 530 = 284;

813 { 405 = 408 , 813 { 450 = 363 , 813 { 504 = 309 , 813 { 540 = 273;

810 { 345 = 465 , 810 { 354 = 456 , 810 { 435 = 375 , 810 { 453 = 357 ,

810 { 534 = 276 , 810 { 543 = 267;

805 { 314 = 491 , 805 { 341 = 464 , 805 { 413 = 392 , 805 { 431 = 374;

804 { 315 = 489 , 804 { 351 = 453 , 804 { 513 = 291 , 804 { 531 = 273;

803 { 415 = 388 , 803 { 451 = 352 , 803 { 514 = 289 , 803 { 541 = 262;

801 { 345 = 456 , 801 { 354 = 447 , 801 { 435 = 366 , 801 { 453 = 348 ,

801 { 534 = 267 , 801 { 543 = 258;

584 { 103 = 481 , 584 { 130 = 454 , 584 { 301 = 283 , 584 { 310 = 274;

583 { 104 = 479 , 583 { 140 = 443 , 583 { 401 = 182 , 583 { 410 = 173;

581 { 304 = 277 , 581 { 340 = 241 , 581 { 403 = 178 , 581 { 430 = 151;

580 { 134 = 446 , 580 { 143 = 437 , 580 { 314 = 266 , 580 { 341 = 239 ,

580 { 413 = 167 , 580 { 431 = 149;

548 { 103 = 445 , 548 { 130 = 418 , 548 { 301 = 247 , 548 { 310 = 238;

543 { 108 = 435 , 543 { 180 = 363;

541 { 308 = 233 , 541 { 380 = 161;

540 { 138 = 402 , 540 { 183 = 357 , 540 { 318 = 222 , 540 { 381 = 159;

538 { 104 = 434 , 538 { 140 = 398 , 538 { 401 = 137 , 538 { 410 = 128;

534 { 108 = 426 , 534 { 180 = 354;

531 { 408 = 123 , 531 { 480 = 51;

530 { 148 = 382 , 530 { 184 = 346 , 530 { 418 = 112 , 530 { 481 = 49;

518 { 304 = 214 , 518 { 340 = 178 , 518 { 403 = 115 , 518 { 430 = 88;

514 { 308 = 206 , 514 { 380 = 134;

513 { 408 = 105 , 513 { 480 = 33;

510 { 348 = 162 , 510 { 384 = 126 , 510 { 438 = 72 , 510 { 483 = 27;

508 { 134 = 374 , 508 { 143 = 365 , 508 { 314 = 194 , 508 { 341 = 167 ,

508 { 413 = 95 , 508 { 431 = 77;

504 { 138 = 366 , 504 { 183 = 321 , 504 { 318 = 186 , 504 { 381 = 123;

503 { 148 = 355 , 503 { 184 = 319 , 503 { 418 = 85 , 503 { 481 = 22;

501 { 348 = 153 , 501 { 384 = 117 , 501 { 438 = 63 , 501 { 483 = 18;

485 { 103 = 382 , 485 { 130 = 355 , 485 { 301 = 184 , 485 { 310 = 175;

483 { 105 = 378 , 483 { 150 = 333;

481 { 305 = 176 , 481 { 350 = 131;

480 { 135 = 345 , 480 { 153 = 327 , 480 { 315 = 165 , 480 { 351 = 129;

458 { 103 = 355 , 458 { 130 = 328 , 458 { 301 = 157 , 458 { 310 = 148;

453 { 108 = 345 , 453 { 180 = 273;

451 { 308 = 143 , 451 { 380 = 71;

450 { 138 = 312 , 450 { 183 = 267 , 450 { 318 = 132 , 450 { 381 = 69;

197


438 { 105 = 333 , 438 { 150 = 288;

435 { 108 = 327 , 435 { 180 = 255;

430 { 158 = 272 , 430 { 185 = 245;

418 { 305 = 113 , 418 { 350 = 68;

415 { 308 = 107 , 415 { 380 = 35;

410 { 358 = 52 , 410 { 385 = 25;

385 { 104 = 281 , 385 { 140 = 245;

384 { 105 = 279 , 384 { 150 = 234;

380 { 145 = 235 , 380 { 154 = 226;

358 { 104 = 254 , 358 { 140 = 218;

354 { 108 = 246 , 354 { 180 = 174;

350 { 148 = 202 , 350 { 184 = 166;

348 { 105 = 243 , 348 { 150 = 198;

345 { 108 = 237 , 345 { 180 = 165;

340 { 158 = 182 , 340 { 185 = 155;

308 { 145 = 163 , 308 { 154 = 154;

305 { 148 = 157 , 305 { 184 = 121;

304 { 158 = 146 , 304 { 185 = 119:

Tk. 219/20{23., 220/24.; Gy. 183/27{30., 184/31{32., 185/33. feladat: A szorzásnakmint ismételt összeadásnak, illetve az osztásnak mint a szorzás fordított m¶veleténekértelmezése. A szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.


a)

1 � 3 5 0 = 3 5 0

b)

3 5 0 + 3 5 0 = 2 � 3 5 0 = 7 0 0

c)

3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 = 3 � 3 5 0 = 1 0 5 0

d)

3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 = 4 � 3 5 0 = 1 4 0 0

Gy. 183/28. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. A szorzótáblakiterjesztése a 2000-es számkörig.

a) 3 � 4 = 12, 3 � 40 = 120, 3 � 400 = 1200, 30 � 40 = 1200.

b) 7 � 2 = 14, 7 � 20 = 140, 7 � 200 = 1400, 70 � 20 = 1400.

Adjunk több hasonló feladatot!

198



a) B: 3 8 0 � 4 = 3 0 0 � 4 + 8 0 � 4 = 1 5 2 0

3 7 8 � 41 5 1 2

b) B: 2 6 0 � 4 = 2 0 0 � 4 + 6 0 � 4 = 1 0 4 0

2 5 6 � 41 0 2 4


a) B: 8 5 0 B: 1 1 9 0 B: 1 3 6 0 B: 1 5 3 0

1 7 3 � 58 6 5

1 7 3 � 7

1 2 1 11 7 3 � 8

1 3 8 41 7 3 � 9

1 5 5 7

b) B: 1 9 8 0 B: 1 6 8 0 B: 1 3 8 0 B: 1 0 8 0

6 5 8 � 31 9 7 4

5 5 8 � 31 6 7 4

4 5 8 � 31 3 7 4

3 5 8 � 31 0 7 4

Tk. 219/21. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának vizsgálata téglalapmodellel.

Gy. 184/31{32. feladat: Az osztás értelmezése. Az algoritmus elvégzése (becslés,számítás, ellen®rzés).


a) 672 : 3 = 224 816 : 5 = 163 938 : 7 = 134 708 : 4 = 1770 1 0 0

b) 1516 : 8 = 189 1329 : 9 = 147 1742 : 2 = 871 1095 : 6 = 1824 6 0 3

Tk. 219/22. feladat: A szorzat, illetve a hányados változásainak meg�gyelése.

a = 4 � 2 = 8, b = 4 : 2 = 2, c = 90 � 3 = 270, d = 90 : 3 = 30.

e = 4 : 2 = 2, f = 4 � 2 = 8, g = 80 � 5 = 400, h = 80 : 5 = 16.

Tk. 219/23. feladat: A szorzásról, osztásról tanultak alkalmazása szöveges feladatokmegoldásában.a) a = 1278, b) b = 142, c) c = 1744, d) m = 109, e) e = 48, marad 4 Ft.

d = 545,


a) 12, marad 2; b) 54, marad 4; c) 106, marad 4.

Tk. 220/25{27., 221/31. feladat: Idézzük fel a m¶veletekben szerepl® elnevezéseket.


a) 400 + 700 = 1100, b) 1550 { 550 = 1000,c) 100 � 100 = 10 000, d) 1800 : 60 = 30.

199



a) a = 378 + 596 a = 974 b) b = 1012 { 658 b = 354

c) c = 456 � 3 c = 1368 d) d = 1627 : 4 d = 406, és marad 3


a) a + 698 = 1215 a = 517 b) b { 356 = 498 b = 854

c) c � 5 = 1415 c = 283 d) d : 8 = 206 d = 1648

e) 903 { e = 576 e = 327 f) f � 9 = 1359 f = 151

g) 816 : g = 102 g = 8 h) h + 895 = 1923 h = 1028

i) i : 6 = 248, és marad 4 i = 1492


a) Többféle gondolatmenettel is megoldható a feladat. Számoljuk ki, mennyi szalvétátadott Lilla Ferinek, illetve Verának, és vegyük el Lilla szalvétáiból.

m = 516 { 516 : 4 { 516 : 3, vagy m = 516 { (516 : 4 + 516 : 3).

m = 215 szalvéta.

Lilla szalvétáinak negyedrészét Verának adta, akkor neki 3-szor 1 negyed rész ma-radt, amib®l még ki kell vonnunk a Ferinek adott részt.

m = 516 : 4 � 3 { 516 : 3. m = 215 szalvéta.

b) b = 6 � 775 : 5, vagy b = 775 : 5 � 6. b = 930 Ft.


a) (954 + 768) : 3 = 574 >16

(954 { 768) � 3 = 558

b) (982 + 866) : 4 = 462 <2

(982 { 866) � 4 = 464

c) 329 � 6 { 235 = 1739 = 329 + 235 � 6 = 1739

d) 168 � 7 { 882 = 294 = 168 + 882 : 7 = 294

Tk. 221/29{30. feladat: Idézzük föl a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a feladatsor megol-dása el®tt.


a1 = 912, b1 = 461, c1 = 64, d1 = 60, e1 = 204, f1 = 82,

a2 = 912, b2 = 461, c2 = 64, d2 = 1860, e2 = 804, f2 = 123,

a3 = 844; b3 = 573; c3 = 16; d3 = 1536; e3 = 144; f3 = 48.

Tk. 221/30. feladat: a) i; b) h; c) h; d) i.


a) a = 35 + 1165 a = 1200 dkg = 12 kg;

b) b = 20 � 16 � 1 b = 320 g = 32 dkg;

c) c = 1200 { 350 c = 850 kg;

d) d = 8 � 195 d = 1560 cm = 15 m 6 dm;

e) 900 : 10 � 15 5 e 5 900 : 10 � 20 1350 5 e 5 1800 (dkg);

f) f = (2000 { 1500) : 20 f = 25 nap.

200


Gy. 185/34. feladat: Beszéljük meg, hogy a sorozat többféleképpen folytatható, ittazonban olyan megoldást kell keresnünk, amely illeszkedik a keresztrejtvénybe.

a) Vízszintes: b) Függ®leges:

a: 1875, 1867, 1859, 1851 a: 297, 99, 33, 11

e: 1855, 1715, 1575, 1435 b: 106, 212, 424, 848

f: 779, 807, 835, 863 c: 266, 356, 446, 536

g: 530, 558, 586, 614 d: 24, 96, 384, 1536

i: 860, 1014, 1168, 1322 h: 880, 440, 220, 110

m: 16, 64, 256, 1024 i: 764, 894, 1024, 1154

n: 500, 516, 532, 548 j: 790, 628, 466, 304

o: 808, 404, 202, 101 k: 1299, 942, 585, 228

p: 5, 25, 125, 625 l: 648, 216, 72, 24

r: 69, 207, 621, 1863 o: 450, 810, 1170, 1530

s: 1955, 1970, 1985, 2000 p: 1055, 930, 805, 680

u: 904, 659, 414, 169 q: 1040, 780, 520, 260

x: 6, 36, 216, 1296 r: 324, 108, 36, 12

z: 15, 75, 375, 1875 t: 1480, 1357, 1234, 1111

v: 1054, 912, 770, 628

w: 538, 691, 844, 997

y: 520, 260, 130, 65

a b c d i j k l

e m

f n

g h

o t

p q u v w

r x y

s z

1 8 5 1 1 3 2 21 4 3 5 1 0 2 4

8 6 3 5 4 86 1 4

11 0 1

6 2 5 1 6 91 8 6 3 1 2 9 62 0 0 0 1 8 7 5

Gy. 186/36. feladat: Szöveggel adott függvények. Fogalmaztassuk meg a szabályt(esetleg többféle alakban).

a) I � 30 = U

Id® (óra) 1 4 7 6 10 20 24 48 50 56

Út (km) 30 120 210 180 300 600 720 1440 1500 1680

201


b) I � 20 = V; 4500 { V = T, vagy T = 4500 { I � 20

Id® (nap) 0 5 10 15 20 50 100

Veszteség (dkg) 0 100 200 300 400 1000 2000

Tömeg (dkg) 4500 4400 4300 4200 4100 3500 2500

Gy. 187/37. feladat: Idézzük fel a m¶veletekben szerepl® elnevezéseket.

a) Vízszintes:a b c d i j k

e l

f m

g h

n r

o s t

p u v

q x

1 2 2 1 1 3 4 4

1 0 7 6 2 5

6 3 2 5

6 4 0

1

1 7 1

7 5 9 2

3 4 3 7 2 7

1 2 4 9 1 8 7 5

a: 642 és 579 összege: 1221

e: 642 és 6 hányadosa: 107

f: 642 és 579 különbsége: 63

g: 423 és 217 összege: 640

i: 168 és 8 szorzata: 1344

l: 125 és 5 szorzata: 625

m: 125 és 5 hányadosa: 25

n: 513 és 3 hányadosa: 171

o: 375 és 5 hányadosa: 75

p: 796 és 453 különbsége: 343

q: 796 és 453 összege: 1249

s: 217 és 125 különbsége: 92

u: 402 és 325 összege: 727

x: 375 és 5 szorzata: 1875

b) Függ®leges:

b: A hányados, ha az osztandó 168, és az osztó 8: 21

c: A különbség, ha a kisebbítend® 423, és a kivonandó 217: 206

d: A szorzat, ha a tényez®k 217 és 8: 1736

h: A kisebbítend®, ha a kivonandó 46, és a különbség 371: 417

i: Az osztandó, ha az osztó 6, és a hányados 270: 1620

j: A kivonandó, ha a kisebbítend® 371, és a különbség 46: 325

k: Az egyik tényez®, ha a másik tényez® 6, és a szorzat 270: 45

n: Az osztandó, ha az osztó 3, és a hányados 513: 1539

o: Az összeg, ha a tagok 388 és 356: 744

p: Az egyik tag, ha a másik tag 356, és az összeg 388: 32

r: A szorzat, ha a tényez®k 219 és 9: 1971

t: A kisebbítend®, ha a különbség 9, és a kivonandó 219: 228

v: A kivonandó, ha a különbség 325, és a kisebbítend® 402: 77

202



6 7 8 6 7 9 6 8 7 6 8 9 6 9 7 6 9 8

7 6 8 7 6 9 7 8 6 7 8 9 7 9 6 7 9 8

8 6 7 8 6 9 8 7 6 8 7 9 8 9 6 8 9 7

9 6 7 9 6 8 9 7 6 9 7 8 9 8 6 9 8 7

Tk. 222/32.; Gy. 188/38. feladat: Függvényre vezethet® szöveges feladatok megoldásimenete. Szöveggel, táblázattal adott függvények vizsgálata.

Gra�kon értelmezése, adatok leolvasása, összehasonlítása. Függvényvizsgálat.

Tk. 222/32. feladat: Írott-k® 882 m, Badacsony 438 m, Kab-hegy 600 m, Zeng®680 m, Öreg-k® 375 m, Dobogó-k® 700 m, János-hegy 529 m, Gellért-hegy 220 m,Galya-tet® 964 m, Kékes 1014 m, Tokaji-hegy 516 m.

Beszéljük meg: melyik hegy a legmagasabb, legalacsonyabb; valamelyik hegynél melyekalacsonyabbak, magasabbak; valamelyik hegynél hány alacsonyabb, magasabb hegyvan; stb.


1. o. 2. o. 3. o. 4. o. 5. o. 6. o. 7. o. 8. o. Összesen

Fiú 22 28 15 26 27 29 25 24 196

Lány 26 21 24 26 24 28 30 27 206

Összesen 48 49 39 52 51 57 55 51 402| {z }

188

| {z }

214

a) 10-zel több lány jár az iskolába.

b) 26-tal több fels® tagozatos tanuló jár ebbe az iskolába.

c) 6. osztályba jár a legtöbb gyerek.

d) 3. osztályba jár a legkevesebb gyerek.

Tk. 222/33{34., Gy. 189/39{42. feladat: A mértékegységekr®l tanultak rendszerezése.

Gy. 189/39. feladat: A kilogramm és a dekagramm közötti reláció felelevenítése, mér-tékváltások gyakorlása.


a) 2 kg <98 dkg 298 dkg <

2 dkg 3 kg; b) 4 kg <50 dkg 450 dkg <

50 dkg 5 kg;

c) 7 kg <19 dkg 719 dkg <

81 dkg 8 kg; d) 9 kg <99 dkg 999 dkg <

1 dkg 10 kg;

e) 8 kg <45 dkg 845 dkg <

55 dkg 9 kg; f) 3 kg <7 dkg 307 dkg <

93 dkg 4 kg.

203



a) 5 kg 45 dkg + 3 kg 25 dkg + 2 kg 30 dkg = 11 kg 0 dkg,

1 kg 8 dkg + 4 kg 20 dkg + 220 dkg = 7 kg 48 dkg,

2 kg 50 dkg + 6 kg 75 dkg + 3 kg 28 dkg = 12 kg 53 dkg;

b) 14 kg 50 dkg { 5 kg 50 dkg = 9 kg 0 dkg,

12 kg 80 dkg { 10 kg 45 dkg = 2 kg 35 dkg,

10 kg 45 dkg { 3 kg 50 dkg = 6 kg 95 dkg.

Gy. 189/42. feladat: A mennyiségeket az összehasonlítás el®tt célszer¶ azonos egysé-gekkel kifejezni.

7 kg 7 dkg 707 dkg 7 kg 7 dkg 707 dkg

770 dkg 7 kg 77 dkg 770 dkg 7 kg 77 dkg

Tk. 223/35{37. feladat: A törtekr®l tanultak rendszerezése. Mennyiségek törtrészénekmeghatározása, összehasonlítása.


a)16,56;

26,46;

36,36;

46,26;

b)18,78;

28,68;

38,58;

48,48;

c)12,12;

13,23;

14,34;

d)12,12;

24,24;

48,48.

Tk. 223/38{39. feladat: Az ellentétes mennyiségekr®l tanultak rendszerezése.

Gy. 190/43. feladat: Az id®mérésr®l tanultak gyakorlása, id®pontok leolvasása hagyo-mányos óralapról. A mutatók mer®leges állásának megjelölésével felidézhetjük ezt afogalmat is.

Gy. 190/44. feladat: Párhuzamos és mer®leges egyenespárok megrajzolása.

Gy. 191/45{46. feladat: Tájékozódás a síkban; tükrözések (tengelyes, középpontos).Tapasztalatszerzés koordinátageometriai ismeretekhez.

204



�


�

� �

�

Gy. 192/47{49. feladat: Valószín¶ségi kísérletek. A 49. feladatban leírt vizsgálatokatmindkét el®z® feladattal kapcsolatosan végeztessük el.


A: Nem lehetetlen esemény, de kicsi a valószín¶sége.

B: Lehetséges, de nem biztos esemény. Nagy a valószín¶sége.

C: Biztos esemény.

D: Lehetetlen esemény.

205

Hajdu program 3 3UJP3Q 2002. február 5. {17:36 (1. old.)

Gy. 192/48. feladat: Háromféleképpen húzhatunk ki két egyforma szín¶ lapot:

P(1)P(2); P(1)P(3); P(2)P(3).

Hétféleképpen húzhatunk ki két különböz® szín¶ lapot:

P(1)S; P(2)S; P(3)S; P(1)K; P(2)K; P(3)K; S K.

Az A esemény bekövetkezésének kisebb a valószín¶sége, mint a B esemény bekövet-kezésének.

A C nem lehetetlen esemény, de kicsi a valószín¶sége annak, hogy bekövetkezik.

6. felmérés

Óra: 140{142. 155{157. 173{175.

Év végén két dolgozattal mérhetjük fel a tanulók tudásszitjét.

Lásd Felmér® feladatsorok, 6/I. és 6/II. felmérés feladatsorát. Az A), B), C), D) változatkörülbelül egyforma tartalmú és nehézség¶ feladatokat tartalmaz.

A követelmények a tananyagbeosztás végén találhatók. A javítási útmutatót ennek akönyvnek az utolsó fejezetében találjuk.

Biztosítsunk id®t a dolgozatok javítására és a teljesítmények értékelésére. A fennmaradóórákon feldolgozandó tananyagot és feladatokat az esetleges hiányosságok pótlásának�gyelembevételével válasszuk meg. A hiányosságok pótlásának megszervezése.

Hányféleképpen?

Óra: 143{144. 158{159. 176{177.

Kombinatorikai feladatokat a tanulók képességeinek megfelel® szinten dolgozzunk fel.

A feladatokat megoldathatjuk a tanév során különböz® órákon is (például az 50., a 100.és a 150. órán).

A tankönyvben máshol is találkozhattak a tanulók kombinatorikus gondolkodást igényl®feladatokkal. Ilyenek például a Tk. 19/7., 22/5., 68/6., 99/20., 183/8. feladatok.

Tk. 209. oldal, mintapélda: Négy gyerek közül kell kett®t úgy kiválasztanunk, hogy szá-mít a sorrend. Ez 4 elem másodosztályú ismétlés nélküli variációja. Hívjuk fel a tanulók�gyelmét arra, hogy fagráf vagy táblázat segítségével rendezni tudjuk a megoldásokatúgy, hogy ne maradjon ki egy megoldás sem, illetve egyet se számítsunk többszörösen.

Az els® helyre 4-féleképpen, a másodikra 3-féleképpen választhatunk a négy gyerekb®l.Összesen 4 � 3 = 12 eset van.

Gy. 165/1. feladat:

a) P P P K K K

S Z B S Z B

206


b)

P P P P P P P P P K K K K K K K K K

F F F N N N L L L F F F N N N L L L

S Z B S Z B S Z B S Z B S Z B S Z B

Gy. 165/2{4. feladat: Három elem ismétlés nélküli permutációja. A megoldások száma3! = 3 � 2 � 1 = 6.

Gy. 165/2. feladat: Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harmadik helyre 1-féleképpenválaszthatunk a gyerekek közül. Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset.

A B C A C B B A C B C A C A B C B A

Gy. 165/3. feladat: Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harmadik helyre 1-féleképpenválaszthatunk számot. Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset.

2 5 8 2 8 5 5 2 8 5 8 2 8 2 5 8 5 2

Gy. 165/4. feladat:

P B B M M L L

R M L B L B M

S L M L B M B

Gy. 166/5{6. feladat: Több feltétel együttes teljesülését kell �gyelni a megoldáshalmazel®állításához.

Gy. 166/5. feladat:

a) Beszéljük meg:

hogy minden számkártyából csak 1 darab áll rendelkezésünkre,

nullával nem kezd®dik háromjegy¶ szám,

az egyesek helyére csak 0 kerülhet.

A százasok helyére 3-féle szám kerülhet: 1, 2, 4. A tízesek helyére pedig 2-féle,mivel a 0-t és még egy számot már felhasználtunk.

1 2 0 1 4 0 2 1 0 2 4 0 4 1 0 4 2 0

b) Beszéljük meg, hogy az egyesek helyére csak 1-es kerülhet, valamint, hogy a számlegnagyobb helyiértékére nem kerülhet 0.

1 2 1 4 1 2 0 1 2 4 1 4 0 1 4 2 1

Gy. 166/6. feladat:

a) Az egyesek helyére 1-es vagy 3-as számjegy kerülhet.Ha 1-es kerül, akkor a tízesek helyén állhat: 2, illetve 3.Ha 3-as kerül, akkor a tízesek helyén állhat: 1, 2, illetve 3. Így összesen 5 megoldáslehetséges.

2 1 3 1 1 3 2 3 3 3

207


b) Az egyesek helyére csak a 2-es számjegy kerülhet.Ha 1-es kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 2, illetve 3.Ha 2-es kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 1, illetve 3.Ha 3-as kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 1, 2, illetve 3.

Így összesen 7 megoldás lehet

2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2

Gy. 166/7{8. feladat: A feladatok a ciklikus permutáció fogalmát készítik el® tapasztalatiúton.

Gy. 166/7. feladat: Vetessük észre, hogy a gyerekek egymáshoz viszonyított helyzetenem változik, ha a forgó elfordul.

a) b) c) d) e)

2 különböz® elhelyezkedés lehetséges. Az A-ból a B-be az óramutató járásával mege-gyez®, illetve ellentétes irányban juthatunk el. Ugyanaz az elhelyezkedés az a), b), d),illetve a c), e) forgón.

Gy. 166/8. feladat: Az elforduló forgókat nem tekintjük különböz® megoldásoknak. Ál-talában próbálgatással várjuk a megoldásokat. Tehetségesebb gyerekek eljuthatnakstratégiák fölállításához is. Az összes eset megtalálásához jó ötlet lehet a következ®:Rögzítsünk egy színt. Mondjuk bal oldalt a pirosat. Három színünk marad a három hely-re. (Három elem ismétlés nélküli permutációja.) Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, aharmadikra 1-féleképpen választhatunk színt. Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 megoldás.

Gy. 167/9. feladat: Szemet 2-, orrot 2-, szájat 3-féleképpen választhatunk. Ez összesen2 � 2 � 3 = 12-féle arc.


a) Az egyesek, tízesek és a százasok helyére is 2-féleképpen választhatunk számje-gyet. Ez összesen 2 � 2 � 2 = 8 szám.

111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.

208


b) Az egyesek és a tízesek helyére is 3-féleképpen választhatunk számjegyet. Ezösszesen 3 � 3 = 9 szám.

33; 32; 31; 23; 22; 21; 13; 12; 11.

Jobb csoportokban kib®víthetjük a feladatot a háromjegy¶ számokra, amikor3 � 3 � 3 = 27 lehetséges eset van.

111; 121; 131; 211; 221; 231; 311; 321; 331;112; 122; 132; 212; 222; 232; 312; 322; 332;113; 123; 133; 213; 223; 233; 313; 323; 333.

Gy. 167/11. feladat: A feladatok arról szólnak, hogyan lehet kiválasztani öt elemb®lkett®t úgy, hogy nem számít a sorrend. (Öt elem másodosztályú ismétlés nélküli kombi-nációja.)

a) Ugyanis ha a kétágyas szobába kiválasztottunk két kislányt, akkor meghatároztuk amásik szoba lakóit is. Az els® helyre 5-, a másodikra 4-féleképpen választhatunk.Ez összesen 5 � 4 = 20, így minden esetet kétszer számoltunk. Ha A kerül az els®, Ba második helyre, az ugyanaz az eset, mint ha B kerül az els®, A pedig a másodikhelyre. Tehát az összes lehetséges eset száma 5 � 4 : 2 = 10.

AB

CDE

AC

BDE

AD

BCE

AE

BCD

BC

ADE

BD

ACE

BE

ACD

CD

ABE

CE

ABD

DE

ABC

b) Egy kislány 4 másikkal játszik. Öt kislány 5 � 4 = 20-szor játszana, de így mindenesetet kétszer számoltunk, mert ha A játszik B-vel, akkor B is játszik A-val. Tehát azösszes lehetséges eset száma 5 � 4 : 2 = 10.

A

E B

D CMás szemléltetést is választhatunk:

Párosítást:

A | B A | C A | D A | EB | C B | D B | EC | D C | ED | E

Fadiagramot:�

A B C D

B C D E C D E D E E

209


Mátrixot, ahol a játszmákat jelöljük X-szel:

A B C D E

A X X X X

B X X X

C X X

D X

E

Táblázatot:

A A A A B B B C C D

B C D E C D E D E E

Biztos, lehetséges, lehetetlen

Óra: 145{146. 160{161. 178{179.

A tanulók matematikai szemléletét ezen a téren csak úgy fejleszthetjük, ha a valószín¶-ségi kísérleteket játékos formában ténylegesen elvégeztetjük. Az így szerzett tapaszta-latokra építve tudják értelmezni a következ® kifejezéseket: �kísérlet", �a kísérlet kimene-tele", �esemény", �lehetséges, de nem biztos", �lehetetlen esemény", �biztos esemény",�lehetséges, de kicsi a valószín¶sége", �nem biztos, de nagy a valószín¶sége".

Tk. 210. oldal, mintapélda; Tk. 211/1. Gy. 168/2. feladat: A valószín¶ségi játékoktényleges elvégzése után (kés®bb esetleg már a játékok elvégzése el®tt) kombinatorikuseszközökkel felfedeztethetjük, hogy kiknek van nagyobb esélyük a gy®zelemre. Perszeez nem jelenti azt, hogy tényleg ®k is gy®znek.

Tisztázzuk, hogy nem azok az igazi nyertesek, akik abba a csoportba tartoznak, amelya legtöbb pontot kapja, hanem azok, akik jól tippelnek.

Tk. 211/1. feladat: A tanulók könnyen felismerik, hogy a zöld lap húzásának van legna-gyobb esélye.

Gy. 168/1. feladat: Ha minden tanuló részt vesz a játékban, akkor a pénzérméketátlátszó fedel¶ m¶anyag dobozba célszer¶ rakni, így nem gurulnak el az érmék.

Négy lehetséges kimenetel van: K K, Í Í, Í K, K Í.

Ezért az F esemény bekövetkezésének van a legnagyobb esélye.

Tk. 211/2., Gy. 168/2. feladat: Adjunk fel további hasonló feladatokat, amelyek a tanu-lók mindennapi életével kapcsolatosak, a tanulók számára konkrétak és jól áttekinthet®k.

Gy. 168/2. feladat: A tippelést a dolgozat megíratása el®tt végeztessük el.

210


Tk. 211/3., Gy. 168/3. feladat: Két összetartozó feladat. A biztos esemény fogalmánakelmélyítését szolgálja.

Biztosan lesz a lapok közt sárga, ha 6 lapot húzunk ki, mert a legkedvez®tlenebbesetben kihúzhatunk 4 zöldet és 1 kéket, de hatodik lapként már sárgát húzunk.

Biztosan lesz a lapok közt zöld, ha 4 lapot húzunk ki.

Biztosan lesz a lapok közt két különböz®, ha 5 lapot húzunk ki.

Biztosan lesz a lapok közt két egyforma, ha 4 lapot húzunk ki.

Gy. 169/4. feladat:

P: Hamis, az összeg lehet 3.

R: Igaz, az összeg lehet például 3 + 2 + 5 = 10.

S: Igaz, az összeg legfeljebb 18 lehet.

T: Hamis, a 33 semmiképpen nem állítható el® a dobott számok szorzataként.

U: Hamis, mindhárom kockán lehet 1.

Gy. 169/5. feladat:

A: Lehetséges, de nem biztos esemény. Nagy a valószín¶sége.

B: Biztos esemény, ha mindhárom kockával 6-ost dobunk, akkor a szorzat 216.

C: Lehetetlen esemény, a dobott számok között nem lehet 7.

D: Lehetséges, de nem biztos esemény.

E: Lehetséges, de nem biztos esemény. Kicsi a valószín¶sége.

Gy. 192/47{50. feladat: Ha a kombinatorikára és a valószín¶ségi játékokra az év végiösszefoglalás után kerül sor, akkor ezeket a feladatokat itt dolgozzuk fel.

Kitekintés 10 000-ig

Óra: { 162{163. 180{183.

A fejezet anyagát többféleképpen építhetjük be a tanulási folyamatba:

Jobb csoportban az év végi összefoglalás el®tt dolgoztatjuk föl, és az év végi ismét-lést, rendszerezést már a b®vebb számkörhöz kapcsolódva, magasabb színvonalonhajtjuk végre.

Átlagos képesség¶ csoportban az év végi összefoglalással megteremtjük azt az ala-pot, amely már biztosítja ennek a fejezetnek a sikeres feldolgozását, és a tanulócso-port képességeinek megfelel® szinten foglalkozunk ezekkel a feladatokkal. Gyen-gébb csoportban csak 4. osztályban foglalkozzunk vele.

A számokról tanultakat terjesztjük ki a 10 000-es számkörre. Foglalkozhatunk a 2000-nél nagyobb számnevek írásával, az írásbeli m¶veletekkel. Tudatosítjuk, hogy az eddigmegismert m¶veleti tulajdonságok a b®vebb számkörben is érvényben maradnak.

Amennyiben sikerült a 2000-es számkörben tanultakat alaposan elsajátítaniuk a tanulók-nak, akkor ez a témakör sem okozhat különösebb gondot ebben az életkorban.

Tk. 212. oldal, mintapélda: A számkör b®vítése 10 000-ig.

211


Tk. 212/1. feladat: Figyeltessük meg a számegyenesen az analógiát az egyesek, kerektízesek, százasok, ezresek között.

Tk. 213. oldal, mintapélda; Tk. 213/2.; Gy. 170/1. feladat: 2000-es számkörbenmár jól begyakoroltuk a 4 jegy¶ számok írásának többféle formáját. Most a korábbantanultakat kiterjesztjük a 10 000-es számkörre. Játék pénzzel megadott értékeket kellmeghatározni. Figyeljük meg, tudnak-e ügyelni a helyiértékekre a tanulók.

Tk. 213/2. feladat: a) 4312 Ft, b) 5407 Ft, c) 6041 Ft, d) 5204 Ft.

Gy. 170/1. feladat: a) 1453 Ft, 4453 Ft, 6453 Ft. b) 1506 Ft, 3056 Ft, 8560 Ft.

Gy. 170/2. feladat: Adott értékeket kell játék pénzzel lerajzolniuk a tanulóknak.

A szám Ezresek Százasok Tízesek Egyesek

2456

3125

4051

Tk. 213/3.; Gy. 170/3. feladat: Bontott alakú számok leírása számjegyekkel. Idézzükföl az alaki-, helyi- és a tényleges értékr®l tanultakat.

Tk. 213/3. feladat: a: 1435, 6435; b: 1803, 5803; c: 1078, 9078; d: 1460, 7460.

Gy. 170/3. feladat:

T E sz t e Számmal

3 ezres + 5 százas + 2 tízes + 8 egyes 3 5 2 8 3528

7 ezres + 2 százas + 6 tízes 7 2 6 0 7260

8 � 1000 + 3 � 100 + 9 � 10 + 1 � 1 8 3 9 1 8391

4 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 8 � 1 4 0 5 8 4058

6000 + 400 + 30 + 7 6 4 3 7 6437

9000 + 600 + 4 9 6 0 4 9604

Ötezer-hatvannégy 5 0 6 4 5064

Tk. 213/4. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Vetessük észreaz analógiát.

a) e = 200, f = 400, g = 500, h = 800, i = 900.

b) e = 1200, f = 1400, g = 1500, h = 1800, i = 1900.

c) e = 5200, f = 5400, g = 5500, h = 5800, i = 5900.

d) e = 9200, f = 9400, g = 9500, h = 9800, i = 9900.

212


Tk. 213/5. feladat: A biztos számfogalom kialakítását segít® feladat. Figyeltessük mega szorzat változását.

a) 30 Ft, 300 Ft, 3000 Ft, 1500 Ft.

b) 50 Ft, 500 Ft, 5000 Ft, 1000 Ft.

Gy. 171/4. feladat: A 10000-es számkör bejárása a sorozat elemeinek el®állításával.

a) 800; 1000; 1200; 1400; 1600; 1800; 2000; 2200; 2400.

b) 4800; 5000; 5200; 5400; 5600; 5800; 6000; 6200; 6400.

c) 300; 600; 900; 1200; 1500; 1800; 2100; 2400; 2700.

d) 6300; 6600; 6900; 7200; 7500; 7800; 8100; 8400; 8700.

e) 3200; 2800; 2400; 2000; 1600; 1200; 800; 400; 0.

f) 9200; 8800; 8400; 8000; 7600; 7200; 6800; 6400; 6000.

g) 2500; 2300; 2100; 1900; 1700; 1500; 1300; 1100; 900.

h) 9500; 9300; 9100; 8900; 8700; 8500; 8300; 8100; 7900.

Gy. 171/5. feladat: Figyeltessük meg a sorok közötti analógiát.

a = 1800, b = 1600, c = 2200, d = 1300, e = 2000,

f = 4800, g = 4600, h = 5200, i = 4300, j = 5000,

k = 8800, l = 8600, m = 9200, n = 8300, o = 9000.

Gy. 171/6. feladat:

a) 1000, b) 9999, c) 1001, d) 9998, e) 2002, f) 8998.

Gy. 171/7. feladat:

a: 3000; . . .; 7000 b: 3000; 2000 c: 5000; 6000

d: 4100; . . .; 4900 e: 3700; . . .; 4100 f: 6000; . . .; 6200

g: 7640; . . .; 7610 h: 9170; . . .; 9210 i: 8360.

Gy. 172/8{9. feladat: Vetessük észre az egyes feladatok közötti analógiát. A biztosszámfogalom kialakításához szükséges, hogy a tanulók egységes rendszerben lássáka számkör felépítését.


a) p = 1130, r = 1170, s = 1185, t = 1230, u = 1255, v = 1280,

b) p = 5130, r = 5170, s = 5185, t = 5230, u = 5255, v = 5280,

c) p = 9130, r = 9170, s = 9185, t = 9230, u = 9255, v = 9280.


a) p = 1653, r = 1657, s = 1659, t = 1660, u = 1661, v = 1663, w = 1668.

b) p = 4653, r = 4657, s = 4659, t = 4660, u = 4661, v = 4663, w = 4668.

c) p = 7653, r = 7657, s = 7659, t = 7660, u = 7661, v = 7663, w = 7668.

Gy. 172/10{12., 173/13{15. feladat: A számfogalom mélyítését segít® feladatsorok.


a) 6000, b) 4751; 4752; . . .; 4759; 4760,

c) 6999, d) 8190; 8191; . . .; 8198; 8199.

213



900 2000

a bcd ef

4900 6000

g hij kl


1160 1200

a b cd e f

6160 6200

g h ij k l


3470 3500

a d h c k g

9630 9700

b f e i j l


Szám Tízes szomszédai Százas szomszédai Ezres szomszédai

kisebb nagyobb kisebb nagyobb kisebb nagyobb

1248 1240 1250 1200 1300 1000 2000

6173 6170 6180 6100 6200 6000 7000

2435 2430 2440 2400 2500 2000 3000

8199 8190 8200 8100 8200 8000 9000

7004 7000 7010 7000 7100 7000 8000

141 140 150 100 200 0 1000

4 0 10 0 100 0 1000

1500 1490 1510 1400 1600 1000 2000

2650 2640 2660 2600 2700 2000 3000

5000 4990 5010 4900 5100 4000 6000

zölddel a számhoz legközelebbi kerek tízest,

kékkel a számhoz legközelebbi kerek százast,

pirossal a számhoz legközelebbi kerek ezrest jelöltük.

Tk. 214/6{7. feladat: Az összeadás és a kivonás tulajdonságairól tanultak kiterjesztésea 10 000-es számkörre. Analóg számítások.

214


Tk. 214/8{10. feladat: A szorzás és az osztás tulajdonságairól tanultak kiterjesztése a10 000-es számkörre. Analóg számítások.

Gy. 174/17. feladat: Mértékegységek átváltása.

a) 1 km = 1000 m, 1 km 564 m = 1564 m,

2 km = 2000 m, 4 km 105 m = 4105 m,

7 km = 7000 m, 8 km 16 m = 8016 m;

b) 1 kg = 1000 g, 4 kg 18 dkg 5 g = 4185 g,

6 kg = 6000 g, 5 kg 6 dkg 7 g = 5067 g,

9 kg = 9000 g, 7 kg 78 g = 7078 g;

c) 1 m = 1000 mm, 1 m 4 dm 5 cm 6 mm = 1456 mm,

5 m = 5000 mm, 3 m 7 dm 2 mm = 3702 mm,

8 m = 8000 mm, 5 m 6 cm 3 mm = 5063 mm;

d) 1 l = 1000 ml, 1 hl 45 l 5 dl = 1455 dl,

4 l = 4000 ml, 3 hl 7 l 2 dl = 3072 dl,

7 l = 7000 ml, 9 hl 63 dl = 9063 dl.

215


A felmér® feladatsorok értékelése

A 2002/2003-as tanévre a felmér® feladatsorok négy változatát dolgoztuk ki. Az A és Bváltozatot tartalmazó, igényesebb kivitel¶ füzet kereskedelmi forgalomban kapható, ezt atanulók (szül®k) is megvásárolhatják.

A csak a C változatot, illetve csak a D változatot tartalmazó, egyszer¶bb kivitel¶, lénye-gesen olcsóbb füzeteket csak az iskolák rendelhetik meg.

Mindegyik füzet diagnosztikus céllal a min®sít® (dolgozati) feladatsorokon kívül úgyneve-zett �tájékozódó felméréseket" is tartalmaz.

Az egyes témakörökhöz tartozó feladattípusok kell® begyakorlása után a felmér® feladat-sorok megírása az átlagos tanuló számára körülbelül 40 percet vesz igénybe.

A tanulók olvasási képességeinek fejl®dését �gyelembe véve fokozatosan követeljük mega matematikai szövegek önálló néma olvasás alapján történ® értelmezését. Esetleg évelején a feladatok egy részének a szövegét még felolvashatjuk. Év végére már mindenkit®lelvárható, hogy 3-4 soros szövegek elemi információtartalmát értelmezni tudja.

A felmér® feladatsorok értékelési normáit a következ® elvek alapján állítottuk össze:

Minden feladatsorra 60 pont adható.

A 60 pontból 30 pont a minimumkövetelményekhez kapcsolódik. Ezeket a pontokat ajavítási útmutatóban vastagon szedtük.

Akkor fogadható el a tanuló munkája, ha a minimumkövetelményeknek körülbelül a80%-át teljesíti, vagyis legalább 24 pontot elér.

Minden feladatsorban körülbelül 12 olyan pont van, amely megszerzéséhez kiemelked®képesség és esetleg az optimumkövetelményeken is túlmutató tudás szükséges. Akkortekinthetjük kiválónak a tanuló teljesítményét, ha ezeknek a pontoknak legalább a felétmegszerzi, és a többi feladatban is legfeljebb két pontot veszít.

Ezeket az elveket �gyelembe véve a következ® értékelési normákat javasoljuk:

Nem felelt meg Megfelelt Kiváló

Elégtelen Elégséges Közepes Jó Jeles

0{23 24{32 33{42 43{51 52{60

A gyermek minden helyes megoldását pontozzuk. Egyes feladatokban esetleg több pontis szerezhet®, mint amennyit az összpontszámba beszámítottunk. Ezeket a plusz teljesít-ményeket külön értékeljük, nehogy elfedjék az egyéb területen esetleg meglév® hiányokat.

A követelményeket a Tananyagbeosztás, követelmények cím¶ fejezetben találjuk, an-nál a hétnél, amelynél a dolgozat megíratását javasoljuk. Ha a gyermekek átlagostudásszintjét vagy a helyi tanterv ajánlásait, esetleg saját pedagógiai elképzeléseinket�gyelembe véve módosítjuk a követelményrendszert, akkor a fenti ponthatárok is módo-sulhatnak.

El®fordulhat, hogy egy-egy feladatot másikra cserélünk, erre a feladatsor végén biztosítot-tunk helyet (lásd 9. feladat). Ha a feladatsor feladatai közül elhagyunk néhány feladatot,akkor ugyanolyan nehézség¶ feladatokat célszer¶ helyettük kit¶znünk.

216


1. felmérés

1. feladat

a) Beírja a helyes megoldásokat. 9 pont

b) Beírja a helyes megoldásokat. 5 pontAz utolsó feladat megoldása akkor jó, ha a maradékot is helyesen álla-

pítja meg.

c) Helyesen veszi �gyelembe a zárójelet. 1 pont

Jól végzi el a zárójelben lév® m¶veletet. 1 pont

Jól végzi el a számítás második lépését. 1 pontEzt a pontot akkor is megkapja a tanuló, ha az els® lépésben hibázik, de

jól számol tovább a hibás eredménnyel.

d) Helyesen veszi �gyelembe a m¶veleti sorrendet. 1 pont

Helyes részeredmény az els® lépésben. 1 pont

Jól végzi el a számítás második lépését. 1 pont 20 pont

2. feladat

A kerek tízeseket helyesen írja a számegyenes fölé. 1 pont

a) Az adott három nem kerek tízes szám helyét a megfelel®kerek tízesek között jelöli meg. 1 pont

Hibátlanul jelöli az adott négy szám (közelít®) helyét. 1 pont

b) Pontosan a páros (páratlan) számokat jelöli meg. 1 pont

c) Helyesen rendezi csökken® (növekv®) sorozatba a számo-kat. 1 pont

d) Helyesen írja le az adott szám mindkét tízes szomszéd-ját. 1 pont 6 pont

3. feladat

Helyesen folytatja a sorozatot 1-1 taggal. 1-1 pont

Megfogalmazza a sorozat szabályát.

A változat: A sorozat mindig 17-tel n®.

B változat: A sorozat mindig 19-cel csökken.

C változat: A sorozat mindig 13-mal n®.

D változat: A sorozat mindig 17-tel csökken. 1 pont 3 pont

4. feladat

A helyi tanterv alapján döntsük el, hogy a szöveget tanítói fel-olvasás vagy önálló néma olvasás alapján értelmezi a tanuló.

217


Felismeri az összefüggés szabályát. 1 pont

Legalább egyféleképpen megfogalmazza az összefüggésszabályát. Páldául: V + 26 = L, illetve V { 26 = M. 1 pont

Legalább kétféle alakban felírja a szabályt. 1 pont

Az els® három rovatot helyesen tölti ki. 1-1 pont

Az utolsó három rovatot helyesen tölti ki. 1-1 pont 9 pont

5. feladat

A legnehezebben haladó tanulók szövegért® képességét mér®feladat. Indokolt lehet a tanítói felolvasás.

Helyesen írja ki az adatokat. 1 pont

Helyes megoldási terv. 1 pont

Helyes eredmény. 1 pont

Helyes ellen®rzés. 1 pont

Helyes válasz. 1 pont 5 pont

6. feladat

Pontosan a helyes mennyiséget karikázza be:

A változat:

a) 5 m; b) 20 cl; c) 4 dkg; 1-1 pont

d) 10 dkg; e) 150 cl. 1-1 pont 5 pont

B változat:

a) 5 dm; b) 20 dl; c) 4 kg; 1-1 pont

d) 10 dkg; e) 105 cm. 1-1 pont 5 pont

C változat:

a) 2 cm; b) 12 l; c) 50 dkg; 1-1 pont


D változat:

a) 4 dm; b) 12 cl; c) 8 dkg; 1-1 pont


7. feladat

a) A és C változat:

A négyzetben, illetve a téglalapban hibátlanul kiszínezi azegymással párhuzamos oldalpárokat. 1-1 pont

218


Kiszínezi a párhuzamos oldalpárt, és nem színez ki hibá-san oldalt

A változat: a 3. trapézban,

C változat: az 1. trapézban. 1 pont

Hibátlanul színezi ki a párhuzamos oldalpárokat

A változat: a 2. paralelogrammában,

C változat: a 6. paralelogrammában. 1 pont

A többi sokszögben nem színez ki egyetlen oldalt sem. 1 pont

a) B és D változat:

A négyzetben, illetve a téglalapban hibátlanul jelöli megaz egymásra mer®leges oldalpárokat. 1-1 pont

Hibátlanul jelöli meg az egymásra mer®leges oldalpárokat

B változat: a 3. derékszög¶ trapézban,

D változat: a 6. trapézban. 1 pont

Hibátlanul jelöli meg az egymásra mer®leges oldalpárt aderékszög¶ háromszögben. 1 pont

Nem jelöl meg hibásan derékszöget. 1 pont

b) Pontosan a négyzet és a másik téglalap sorszámát kari-kázza be. 1 pont 6 pont

8. feladat

Felmérhetjük a tehetséges tanulók problémameglátó és szö-vegértelmez® képességét, ha önálló néma olvasás alapjánértelmezik a feladatot a tanulók.

A és B változat:

Helyesen választja ki a szükséges adatokat. 1 pont

Helyes a megoldás gondolatmenete. 1 pont

Helyesen állapítja meg, hogy 8 (5) hét hány nap. 1 pont

A megoldás tervét leírja a matematika nyelvén. 1 pont

Helyes végeredmény. 1 pont

Szöveges válasz. 1 pont 6 pont

C és D változat:

Helyesen választja ki a szükséges adatokat. 1 pont

A megoldás tervét leírja a matematika nyelvén. 1 pont


Helyes az ellen®rzés gondolatmenete. 1 pont


Szöveges válasz. 1 pont 6 pont

219


2. felmérés

1. feladat

Helyesen írja be az els® oszlop számait.

A változat: 642; 907; 540.

B változat: 426; 790; 405.

C változat: 537; 506; 360.

D változat: 648; 706; 670. 1-1 pont

Helyesen írja be a második oszlop számait.

A változat: 1507; 1028; 1560.

B változat: 1035; 1208; 1830.

C változat: 1470; 1206; 1506.

D változat: 1047; 1307; 1360. 1-1 pont

Pontosan a háromjegy¶ számokat sorolja fel növekv® (csök-ken®) sorrendben. 1 pont 7 pont

2. feladat

Helyesen írja a számegyenes fölé a kerek százasokat. 1 pont

Helyesen keresi meg a háromjegy¶ számok közelít® helyét aszámegyenesen. 1-1 pont

Helyesen keresi meg a négyjegy¶ szám közelít® helyét. 1 pont

Helyesen írja le a háromjegy¶ számok tízes, illetve százasszomszédait. 4 pont

Helyesen írja le a háromjegy¶ számok kerekített értékeit. 2 pont

Helyesen írja le a négyjegy¶ szám tízes, illetve százas szom-szédait. 2 pont

Helyesen írja le a négyjegy¶ szám kerekített értékeit. 1 pont 13 pont

3. feladat

Helyesen írja be az els® sorba a mér®számokat. 2 pont

Helyesen írja be a második sorba a mér®számokat. 2 pont

Helyesen írja be a harmadik sorba a mér®számokat. 1 pont 5 pont

220


4. feladat

a) Helyesen kerekíti százasra a tagokat. 1 pont

Helyes becslés. 1 pont

Elvileg helyesen végzi el az írásbeli összeadást. 1 pont


Helyesen hasonlítja össze a becsült értéket az ered-ménnyel. 1 pont

Helyes indoklás.

A és C változat: Mindkét tagot lefelé kerekítettük.

B és D változat: Mindkét tagot felfelé kerekítettük. 1 pont

b) Helyesen kerekíti tízesre a tagokat. 1 pont



Helyes az összehasonlítás és az indoklás. 1 pont 10 pont

5. feladat

A változat: a = 84 mm, b = 112 mm, c = 140 mm.

B változat: a = 45 mm, b = 119 mm, c = 127 mm.

C változat: a = 74 mm, b = 127 mm, c = 103 mm.

D változat: a = 54 mm, b = 125 mm, c = 113 mm.

Helyes mér®számok (�1 mm eltérés megengedhet®). 1-1 pont

Helyes mértékegység. 1 pont

Helyes a számítás terve. 1 pont

Helyes becslés (mér®szám, mértékegység). 1 pont

Helyes számítás. 1 pont

Helyes válasz (mér®szám, mértékegység). 1 pont 8 pont

6. feladat

Lehet®leg önálló néma olvasás alapján értelmezzék a szöve-get a tanulók.


Helyes terv. 1 pont


Helyes számolás. 1 pont


221


7. feladat

A mennyiségeket közös egységgel adja meg.

A változat: M = 5 l 6 dl = 560 cl.

B változat: L = 6 m 5 dm = 650 cm.

C változat: E = 2 m 6 dm = 260 cm.

D változat: E = 3 m 9 dm = 390 cm. 1 pont

Helyesen jegyzi le a két adat közti összefüggést.

Például az A változatban: M < E278 cl vagy M

+ 278 clE 1 pont

Helyes terv. 1 pont




8. feladat

Munkájából kit¶nik, hogy helyesen értelmezi a szöveggel adottfüggvényt. 1 pont

Helyesen írja fel az összefüggés szabályát.

A változat: L = V + Ö � 5

B változat: L = V + H � 20

C változat: L = V + K � 2

D változat: L = V + Ö � 50 1 pont

Helyesen írja be a táblázatba a hiányzó számokat. 1-1 pont 6 pont

3. felmérés

1. feladat

Az els® sorba helyes számokat és relációs jelet ír. 3 pont

A második sorba helyes számokat és relációs jelet ír. 3 pont

Helyesen karikázza be a legkisebb (legnagyobb) páros (párat-lan) számot. 1 pont

Helyesen ábrázolja az adott háromjegy¶ számokat a szám-egyenesen. 1-1 pont

Helyesen ábrázolja az adott négyjegy¶ számokat a szám-egyenesen. 1-1 pont 11 pont

222


2. feladat

a) Helyesen kerekíti százasra mindkét számot. 1 pont


Elvileg helyesen végzi el az írásbeli kivonást. 1 pont


Helyes ellen®rzés összeadással. 1 pont

Helyes ellen®rzés kivonással. 1 pont

b) Helyesen kerekíti tízesre mindkét számot. 1 pont



Helyes ellen®rzés. 1-1 pont 11 pontHa hibásan végzi el a kivonást, akkor a helyes ellen®rzésre adandó pontot

csak akkor kaphatja meg, ha megkísérli az kivonás javítását.

3. feladat

Helyesen egészíti ki a sorozat szabályát. 1 pont

Megállapítja a sorozat legalább egy további elemét. 1 pont

Helyesen állapítja meg a további két elemet. 1-1 pont 4 pont

4. feladat

Helyesen jegyzi le az adatokat (mér®szám, mértékegység). 1 pont

Helyesen váltja át a mértékegységeket. 1 pont

Helyes terv. 1 pont

Helyes becslés (kerekített értékekkel számol). 1 pont



Helyes válasz (mér®szám, mértékegység). 1 pont 7 pont

5. feladat

a) Helyes átváltás. 1-1 pont

b) A számolás során helyesen veszi �gyelembe a különböz®mértékegységeket. 1 pont


Az el®írt mértékegységben adja meg az eredményt.

A változat: 3 kg 77 dkg; B változat: 7 kg 39 dkg;

C változat: 8 kg 92 dkg; D változat: 5 kg 50 dkg. 1 pont 6 pont

223


6. feladat

Egy szabályt helyesen felír. 1 pont

Egy további szabályt helyesen leír, és nem ír le hibásat. 1 pont

Kett®nél több helyes szabályt leír, és nem ír le hibásat. 1 pont

Helyesen tölti ki a táblázatot. 1-1 pont 7 pont

7. feladat

a) Helyes válasz:

A változat: 560; B változat: 560;

C változat: 540; D változat: 350. 1 pont

b) Helyes válasz:

A változat: Cilifalva; B változat: Barnavár.

C változat: Cecíliának; D változat: Annának. 1 pont

c) A és B változat: Ábrázolja Egérlik lakosainak számát.

C és D változat: Ábrázolja Em®ke könyveinek számát. 1 pont

d) A és B változat: Helyesen állapítja meg a legkisebb (leg-nagyobb) lélekszámú falu nevét és lakosainak számát.

A változat: Barnavár, 340; B változat: Cilifalva, 650.

C és D változat: Helyesen állapítja meg, hogy kinek vanlegkevesebb (legtöbb) könyve, és hány könyve van neki.

C változat: Antalnak, 320; D változat: Cintiának, 580. 2 pont

e) A és B változat: Leírja Alsólak és Dongódomb nevét.

C változat: Leírja Ben® és Dénes nevét.

D változat: Leírja Anna, Bea, Dóra nevét. 1 pont 6 pont

8. feladat

a) Helyes számfeladatot ír. 1 pont


b) Helyes számfeladatot ír.

A változat: (450 + 350) � 2; B változat: (450 { 350) � 2;

C változat: (370 + 130) � 2; D változat: (370 { 120) � 2. 1 pont

Helyesen veszi �gyelembe a zárójelet. 1 pont


c) Helyes számfeladatot ír.

A változat: 450 � 2 { 350; B változat: 450 � 2 + 350;

C változat: 370 { 130 � 2; D változat: 370 + 120 : 2. 1 pont

Helyesen veszi �gyelembe a m¶veleti sorrendet. 1 pont

Helyes végeredmény. 1 pont 8 pont

224


4. felmérés

1. feladat

Helyesen írja be a hiányzó számokat. 1-1 pont 8 pont

2. feladat

a) Helyesen kerekít százasra. 1 pont


Ismeri az írásbeli szorzás algoritmusát. 1 pont


Helyesen hasonlítja össze a becsült értéket az ered-ménnyel. 1 pont

b) Helyes kerekítés. 1 pont

Helyesen alkalmazza az összeg szorzásáról tanultakat. 1 pont

Helyes számolás a becslés során. 1 pont

Hibátlanul végzi el az írásbeli szorzást. 1 pont

Jól hasonlítja össze a becsült értéket a számítás eredmé-nyével, és helyes indoklást ad:

B > Sz, mert felfelé kerekítettünk. 1 pont 10 pont

3. feladat


Helyes terv. 1 pont

Helyes becslés (bármilyen módon). 1 pont


Jól hasonlítja össze a becsült értéket a valódi értékkel. 1 pont

Helyes válasz. 1 pont

Helyes átváltás. 1 pont 7 pont

4. feladat

Leírja a szabály következ® alakjait.

A változat: b = a { c; a = b + c.

B változat: b = c { a; a = c { b.

C változat: b = a + c; c = b { a.

D változat: b = c { a; c = a + b. 1-1 pont

Helyesen egészíti ki a táblázatot. 1-1 pont 7 pont

225


5. feladat

a) Munkájából kit¶nik, hogy képes a vonalzót használni. 1 pont

Berajzolja a (nem négyzet) téglalap két tükörtengelyét, ésnem rajzol be hibásan tükörtengelyt. 1 pont

Berajzolja a (nem négyzet) rombusz két tükörtengelyét, ésnem rajzol be hibásan tükörtengelyt. 1 pont

A négyzetbe pontosan négy tükörtengelyt rajzol. 1 pont

Leírja, hogy a (nem téglalap és nem rombusz) paralelo-gramma tükörtengelyeinek száma 0. 1 pont

Helyesen sorolja fel a téglalapok sorszámát.

A változat: 1., 3. B változat: 1., 2.

C változat: 1., 3. D változat: 2., 4. 1 pont

b) Helyes tükrözés. 1-1 pont 9 pont

6. feladat

Helyesen határozza meg a m¶veleti sorrendet. 1 pont

Helyes kerekítés a becslés során. 1 pont

Helyes becslés.

A változat: (260 + 110) � 3 = 1110 vagy (300+ 100) � 3 = 1200.Hibás a becslés, ha a szorzat eredményét kerekíti tízesre (1120) vagy szá-

zasra (1100).

B változat: 590 + 140 � 3 = 1010 vagy 600 + 100 � 3 = 900.

C változat: (260 { 90) � 6 = 1020 vagy (300 { 100) � 6 = 1200.

D változat: (630 { 50) � 8 = 4640 vagy (600 { 100) � 8 = 4000. 1 pont

Helyes számolás. 2 pont 5 pont

7. feladat

Helyesen írja be a címkékbe a számokat. 1-1 pont

Helyesen köti össze a számokat a számegyenes megfelel®pontjával. 1-1 pont 6 pont

8. feladat

Helyesen gy¶jti ki az adatokat. 1 pont

Azonos mértékegységben fejezi ki az adatokat. 1 pont

Helyes terv. 1 pont


Helyes a m¶veleti sorrend. 1 pont



226


5. felmérés

1. feladat

A 0-ról tudja, hogy az 5 többszöröse. 1 pont

A 100-nál kisebb számokról hibátlanul dönti el, hogy az 5-nektöbbszörösei-e vagy sem. 1 pont

A 100-nál nem kisebb számokról hibátlanul dönti el, hogy az5-nek többszörösei-e vagy sem. 1 pont

Munkájából kit¶nik, hogy ismeri a páros (páratlan) szám fo-galmát. 1 pont

Legfeljebb 2 hibával tölti ki a halmazábrát. 1 pont

Hibátlanul tölti ki a halmazábrát. 1 pont 6 pont

2. feladat

Helyesen határozza meg az állítások logikai értékét.

A változat: a) H; b) I; c) H; d) I; e) I.

B változat: a) I; b) H; c) I; d) I; e) H.

C változat: a) H; b) I; c) H; d) I; e) I.

D változat: a) I; b) I; c) I; d) H; e) H. 1-1 pont 5 pont

3. feladat

a) Helyesen írja be a mér®számokat. 1-1 pont

b) Helyesen írja be a mér®számokat. 1-1 pont 8 pont

4. feladat

Munkájából kit¶nik, hogy ismeri az írásbeli osztás algoritmu-sát. (Tudja, hogyan kell osztani.) 1 pont

Az els® osztásban helyesen határozza meg a hányados nagy-ságrendjét. 1 pont

Hibátlanul végzi el az els® osztást. 1 pont

Tudja, hogyan kell a maradékos osztást ellen®rizni. 1 pont

Helyesen ellen®rzi az els® osztást. 1 pont

Ha hibásan végzi el az osztást, akkor a helyes ellen®rzésre adandó pontot

csak akkor kaphatja meg, ha megkísérli az osztás javítását.

Mindkét feladatban helyesen adja meg a hányados alsó ésfels® korlátját. 1 pont

Helyesen végzi el a második osztást. 1 pont

Helyesen ellen®rzi az osztást. 1 pont 8 pont

227


5. feladat A és D változat6. feladat B és C változat


Helyes terv. 1 pont

Helyes becslés. (A helyi tantervnek megfelel®en.) 1 pont



6. feladat A és D változat5. feladat B és C változat


Helyes terv. 1 pont

Helyes becslés az osztás els® lépése után. 1 pont


Tudja, hogy az osztás eredményét szorzással ellen®rizzük. 1 pont

Helyes számolás az ellen®rzés során. 1 pont


7. feladat

Az A változat javítási útmutatóját részletezzük.

a) Az adatok lejegyzése utal az adatok közti összefüggésre.

A = 200 Ft;A < E

5 Ft vagy A+ 5 Ft

E vagy E = A + 5 Ft 1 pont

Helyesen választja meg a m¶veletet. 1 pont


Helyes válasz. 1 pont

b) Az adatok lejegyzése utal az adatok közti összefüggésre.

B = 200 Ft; F < B� 5 vagy

F� 5

B vagy B = 5 � F vagy F = B : 5 1 pont

Helyesen választja meg a m¶veletet. Helyes számolás.Helyes válasz. 3 pont

c) Az adatok lejegyzése utal az adatok közti összefüggésre.

C = 200 Ft; C < G� 5 vagy

C� 5

G vagy G = 5 �C 1 pont

Helyes m¶velet, számolás, válasz. 3 pont 12 pont

A fordított szövegezés¶ feladat értelmezése és megoldása nemminimumszin-

t¶ követelmény a B, C, D változatban sem.

228


8. feladat

a) Helyesen állapítja meg a pontos id®t. 1 pont

Helyes válasz a további két kérdésre. 1-1 pont

b) Helyesen írja be a hiányzó adatokat. 1-1 pont

c) Helyesen írja be a hiányzó adatokat. 1-1 pont 9 pont

6/I. felmérés

1. feladat

a) Helyesen jelöli a számegyenesen a négy szám helyét (aközelít® helyét a megfelel® tízesek között). 1-1 pont

b) Helyesen írja be a táblázatba a két számot. 1 pontHa a tanuló hibás számot ír be, de annak megfelel®en helyesen tölti ki a

teljes táblázatot, akkor a táblázat kitöltéséért járó pontokat megkaphatja.

Meghatározza a táblázatba írt kétjegy¶ szám tízes szom-szédait és tízesre kerekített értékét. 2 pont

Meghatározza a táblázatba írt kétjegy¶ szám százasszomszédait (0 és 100). 1 pont

Meghatározza a táblázatba írt kétjegy¶ szám százasra ke-rekített értékét (49 � 0, 58 � 100, 34 � 0, 37 � 0). 1 pont

Meghatározza a táblázatba írt háromjegy¶ szám tízesszomszédait és tízesre kerekített értékét. 2 pont

Meghatározza a táblázatba írt háromjegy¶ szám százasszomszédait és százasra kerekített értékét (471 � 500,500 � 500, 272 � 300, 296 � 300). 2 pont

c) Helyesen rendezi növekv® sorrendbe a négy számot. 1 pont

Felismeri a következ® szabályt:

A változat: A sorozat mindig 211-gyel n®.

B változat: A sorozat mindig 221-gyel n®.

C és D változat: A sorozat mindig 2-szeresére n®. 1 pont

Helyesen írja fel a sorozat 5. elemét. 1 pont 16 pont

2. feladat

a) Helyesen egészíti ki az els® két egyenletet. 1-1 pont

Helyesen egészíti ki az utolsó egyenletet. 1 pont

b) Helyesen egészíti ki az els® két egyenletet. 1-1 pont

Helyesen egészíti ki az utolsó egyenletet. 1 pont

c) Helyesen egészíti ki az egyenleteket. 1-1 pont 9 pont

229


3. feladat

a) Helyesen egészíti ki az els® egyenletet. 1 pont

Helyesen egészíti ki az utolsó két egyenletet. 1-1 pont

b) Helyesen egészíti ki az els® egyenletet. 1 pont

Helyesen egészíti ki az utolsó két egyenletet. 1-1 pont

c) Helyesen egészíti ki az egyenleteket. 1-1 pont 9 pont

4. feladat

a) Helyesen kerekíti a tagokat (a helyi tanterv szerint). 1 pont

Helyes becslés (a kerekített értékekkel számolva helyeseredményt kap). 1 pont

Munkájából kit¶nik, hogy ismeri az írásbeli összeadás al-goritmusát. 1 pont


Helyesen hasonlítja össze a becsült értéket a végered-ménnyel, és helyesen indokolja a tapasztaltakat. 1 pont

b) Helyesen kerekíti a szorzandót (a helyi tanterv szerint). 1 pont

Helyes becslés, a kerekített értékekkel számolva helyeseredményt kap. 1 pont

Ismeri az írásbeli szorzás algoritmusát. 1 pont


Helyesen hasonlítja össze a becsült értéket a végered-ménnyel, és helyesen indokolja a tapasztaltakat. 1 pont 10 pont

5. feladat

A és C változat

Tudja, hogyan állapítható meg a hányados nagyságrendje. 1 pont

Helyesen állapítja meg, hogy a hányados melyik két értékközé esik. 1 pont

Munkájából kit¶nik, hogy tudja alkalmazni az írásbeli osztásalgoritmusát. 1 pont

Helyes részeredmények (legfeljebb egy hibát követ el a szá-mításban). 1 pont

Helyes végeredmény (hányados és maradék). 1 pont

Tudja, hogy a szorzás segítségével ellen®rizhet® az osztáseredménye. 1 pont

Tudja, hogy az ellen®rzéskor a szorzathoz hozzá kell adni amaradékot. 1 pont

Helyesen hajtja végre a maradékos osztás ellen®rzését 1 pont 8 pont

230


B és D változat

Helyesen kerekíti a számokat. 1 pont

Helyes becslés (a kerekített értékekkel helyesen számol). 1 pont

Munkájából kit¶nik, hogy tudja alkalmazni az írásbeli kivonásalgoritmusát. 1 pont


Helyes az eredmény és a becsült érték összehasonlítása. 1 pont

Helyes ellen®rzés összeadással. 1 pont

Tudja, hogy kivonással hogyan ellen®rizhet® a kivonás ered-ménye, helyes ellen®rzés. 2 pont 8 pont

6. feladat

Az összefüggést is feltüntetve gy¶jti ki az adatokat. 1 pont

Helyes tervet készít. 1 pont

A és C változat: Helyes kerekítések a becslés során. 1 pont

A kerekített értékekkel helyesen számol. 1 pont

B és D változat: Megállapítja a hányados nagyságrendjét. 1 pont

Megállapítja, hogy a hányados melyik kétérték közé esik. 1 pont

Ismeri az adott m¶velet algoritmusát. 1 pont




6/II. felmérés

1. feladat

a) Helyesen állapítja meg az els® sorban a törtrészeket. 1-1 pont

Helyesen állapítja meg a második sorban a törtrészeket. 1-1 pont

b) Jól színezi ki az els® két téglalap törtrészét. 1-1 pont

Jól színezi ki az utolsó két téglalap törtrészét. 1-1 pont 8 pont

2. feladat

a) Helyesen írja be az els® három mér®számot. 1-1 pont

Helyesen írja be a negyedik mér®számot. 1 pont

b) Helyesen írja be az els® két mér®számot. 1-1 pont

Helyesen írja be a harmadik mér®számot. 1 pont

231


c) Helyesen írja be az els® két mér®számot. 1-1 pont

Helyesen írja be a harmadik mér®számot. 1 pont

d) Helyesen írja be az els® két mér®számot. 1-1 pont

Helyesen írja be a harmadik mér®számot. 1 pont 13 pont

3. feladat

Munkájából kit¶nik, hogy képes a vonalzót használni. 1 pont

a) Helyesen írja be a mér®számokat (az általa választott mér-tékegységnek megfelel®en). 2 pont

Helyesen írja be a mértékegységet. 1 pont

b) Helyes a kerület kiszámításának a módja. 1 pont

Helyesen végzi el a számítást. 1 pont

Helyes mér®számokat ír az adott mértékegységekhez. 1-1 pont

c) A és C változat

Helyesen választja ki az a oldalra mer®leges oldalakat.

B és D változat

Helyesen választja ki az a oldallal párhuzamos oldalt. 1 pont 9 pont

4. feladat

Nem karikáz be hibásan sorszámot, és bekarikázza a helyessorszámot.

A változat: 6.; B változat: 3.;

C változat: 4.; D változat: 6. 1 pont

a) Legalább két tükörtengelyt megrajzol (és nem rajzol hibá-san tükörtengelyt). 1 pont

A négyzetbe pontosan négy tükörtengelyt rajzol. 1 pont

b) A változat: 1., 2., 4., 6; B változat: 1., 3., 4., 5;

C változat: 1., 2., 4., 5; D változat: 1., 3., 4., 6.

Legalább két téglalap sorszámát felsorolja, és nem sorolfel hibásan sorszámot. 1 pont

Hibátlanul felsorolja a négy sorszámot. 1 pont 5 pont

5. feladat

Feladatonként helyes a m¶veleti sorrend. 1-1 pont

Feladatonként helyes részeredmény. 1-1 pont

Feladatonként helyes végeredmény. 1-1 pont 6 pont

232


6. feladat

A változat: I, H, I, I, H, H, I;

B változat: I, I, H, H, I, I, H;

C változat: I, I, I, I, H, I, H;

D változat: H, I, H, H, I, I, I. 1-1 pont 7 pont

7. feladat


Helyes tervet készít. 1 pont

Helyes becslés. (Helyes kerekítések, és a kerekített értékek-kel helyesen számol.) 1 pont




8. feladat

Egy szabályt helyesen felír. 1 pont

További szabályokat ír fel helyesen, és nem ír fel hibás sza-bályt. 1 pont

Helyesen tölti ki a táblázatot. 1-1 pont 6 pont

233


A tájékozódó felmér® feladatsorok értékelése

A tájékozódó felmérések segítségével a tanulók szóbeli és írásbeli számolási képessé-geinek fejl®dését vizsgálhatjuk. Ezekben a felmérésekben nem különböztetjük meg aminimumszintet, de a feladatsorokat úgy állítottuk össze, hogy a feladatok mintegy feleegyszer¶bb, a másik fele kissé nehezebb legyen.

Az 1. tájékozódó felmérésre összesen 60 pont adható, az értékelési normái megegyeznekazzal, amit a min®sít® értékelésekre javasoltunk.

A többi tájékozódó felmérésre összesen 50 pont adható. Ezek értékelésére a következ®normákat javasoljuk:

Nem felelt meg Megfelelt Kiváló

elfogadható átlagos jó

0{18 19{26 27{34 35{42 43{50


1. feladat


2. feladat


3. feladat

Helyes osztás (hányados és maradék). 1-1 pont

Helyes ellen®rzés. 1-1 pont 4 pont


1. feladat


2. feladat


234


3. feladat

Helyes becslés. 1-1 pont

Helyes számolás. 1-1 pont 8 pont

4. feladat


Helyesen írja egymás alá a számokat. 1-1 pont

Helyes részeredmények. 1-1 pont

Helyes számolás. 1-1 pont 12 pont


1. feladat


2. feladat


3. feladat



Helyes számolás. 1-1 pont

Helyes ellen®rzés összeadással. 1-1 pont

Helyes ellen®rzés kivonással. 1-1 pont 20 pont


1. feladat


2. feladat


3. feladat


235


4. feladat


Az els® oszlop szorzásait helyesen végzi el. 1-1 pont

Helyes részeredmények a további hat feladatban. 1-1 pont

Helyes számolás a további hat feladatban. 1-1 pont 22 pont


1. feladat


2. feladat

Helyesen írja be a hiányzó számokat az els® oszlopba. 1-1 pont

Helyes m¶veleti sorrend a második oszlopban. 1-1 pont

Helyes számolás a második oszlopban. 2-2 pont 16 pont

3. feladat

Helyes becslés �két érték közé szorítással". 1-1 pont


Helyes számolás. 1-1 pont

Helyes az ellen®rzés módja. 1-1 pont

Helyes ellen®rzés. 1-1 pont 10 pont

236

Kiadja a Mûszaki KönyvkiadóFelelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató

Felelôs szerkesztô: Bosznai GáborSzerkesztô: Czakó Anita

Mûszaki vezetô: Abonyi FerencMûszaki szerkesztô: Ihász Viktória

Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika:Köves Gabriella

Terjedelem: 21,45 (A/5) ív2. kiadás

Nyomta és kötötte az Oláh Nyomdaipari Kft.Felelôs vezetô: Oláh Miklós

Documents

Matematika 3. Program