Matematika 4.Razred Srednje Skole

  • View
    365

  • Download
    7

Embed Size (px)

Transcript

1INTEGRALI ZADACI (I DEO) Ako je f(x) neprekidna funkcija i F `(x) = f(x) onda je ( ) ( ) f x dx F x C = +, gde je C proizvoljna konstanta. Morate nauiti tablicu osnovnih integrala: 211. 2. 23. najee se koristi...114. ln ili da vas ne zbuni ln5. ln6. 7. sin cos8. cos sin9. nnxxx xdx x Cxxdx Cxx dx Cndxdx x C x Cx xaa dx Cae dx e Cxdx x Cxdx x C+= += += ++= + = += += += += + + 222 2 22 2 21 sin110. cos ili1 1 111. to jest 1arcsin ili1 112. to jest arcsin1dx ctgx Cxdx tgx Cxarctgx C xdx dx arctg Carcctgx C x a x a ax C xdx dx Carccocx C ax a x= += ++= = + + + ++= = + + Ovo su osnovni tablini integrali. Neki profesori dozvoljavaju da se kao tablini koriste i : 2 2 2 2 22 2 22 2 21 1 1 113. ln odnosno ln to jest ln1 2 1 2 214. ln 1 odnosno ln 1dx x dx a x dx x aC C Cx x a x a a x x a a x adx dxx x C x x a Cx x a+ + = + = + = + += + + = + + www.matematiranje.com 2 Primeri: 1. 5 1 655 1 6x xx dx C C+= + = ++ kao 3. tablini 11nn xx dx Cn+= ++ 2. 77ln 7xxdx C = + kao 5. tablini lnxx aa dx Ca= + 3. xdx = pogledamo i vidimo da ga ovaj integral nema u tablici osnovnih integrala... Ideja je da se kod ovakvih integrala iskoristi pravilo za stepenovanje 12, odnosno nm n mx x x x = = . Na ovaj nain se integral svede na najee upotrebljavani tablini 11nn xx dx Cn+= ++. Dakle: 1 3 3112 2 2221 3312 2x x xxdx x dx C C C+= = + = + = ++ 4. 121dxx = I ovaj ga nema u tablici...Za njega emo upotrebiti pravilo za stepenovanje, da je 1 nn xx = ... 12 1 111212 111 112 1 11 11x xdx x dx C C Cx x + = = + = + = + + Najbolje je da se mi podsetimo svih pravila za stepenovanje i korenovanje: 1) 10= a 2) nnaa1= 3) n m n ma a a += 4) n m n ma a a = : 5) n m n ma a = ) ( 6) n nb a b a = ) ( 7) nnnbaba= 8) n nabba= www.matematiranje.com 3 1) nmn ma a = 2) n n nb a b a = 3) n n nb a b a : : = 4) ( ) n mmna a = 5) m n n ma a = 6) m pan p n ma = Nastavimo sa primerima 5. 3x xdx = Upotrebimo pravila za stepen i koren da pripremimo podintegralnu funkciju : 1 1 411 33 3 34 7 7143 3 33 334 7713 3x x x x x xx x xx xdx x dx C C C++ = = = = = + = + = ++ 6. 51 5 35 3 55 3 3ln3xxx x xxdx dx dx C = = = + 7. 78 2 3 4 3 7 4 48?"Spakujemo" podintegralnu funkciju x x x dxx x x x x x x x x x x x== = = = = 7 15 15178 8 8887 151518 8x x xx dx C C C+= + = + = ++ Da se upoznamo i sa osnovnim svojstvima neodredjenog integrala: 1) ( ) ( ) gde je A konstanta (broj) A f x dx A f x dx = Dakle, slino kao i kod izvoda, konstanta (broj) izlazi ispred integrala... www.matematiranje.com 4 Primeri: 8. 33 34 ?4 4 4x dxx dx x dx== = 44x4C x C + = + 9. 1?41 1 1 1ln4 4 4dxxdx dx x Cx x== = + 10. 2 sin ?2 sin 2 sin 2 ( cos ) 2 cosxdxxdx xdx x C x C == = + = + 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx = Opet slino kao kod izvoda: Ako imamo zbir ili razliku vie funkcija od svake traimo posebno integral... 11. 22 223 2 32(4 2 3) ?(4 2 3) 4 2 3 konstante izbacimo ispred integrala... 4 2 3 4 + 2 3 4 + 33 2 3x x dxx x dx x dx xdx dxx dx xdx dxx x xx C x x C+ =+ = + == + = + = + 12. 323 32 21 4 23(5cos 2 2 5 ) ?3 sin1 4 23 1 1(5cos 2 2 5 ) 5 cos 2 4 23 2 53 sin 3 sin1 5 sin3x xx x x xx e x dxx xdxx e x dx xdx e dx x dx dx dxx x x xx+ + + =+ + + = + + + == + 452 4ln 23( ) 24 ln5xx xe x ctgx C + + + www.matematiranje.com 5 13. 32?xdxx = Kod ovog i slinih integrala emo upotrebiti A B A BC C C = 2 3 2 33 3 32 1 3 12 2( ) ( 2 ) 2 = 22 1 3 1 x xdx dx x x dx x dx x dxx x xx xC + + = = = + + + 21 1 Cx x= + + 14. 1 12 5?10x xx dx+ = Da prisredimo najpre malo podintegralnu funkciju... 11 1 11 15 52 22 5 2 2 2 1 5 1 1 15 52 210 10 10 10 10 5 10 5 5 2x xxx x x xx x xx x x x+ = = = = 1 12 5 1 1 1 1 1 1[2 ] 210 5 5 2 5 5 21 11 1 1 1 5 22 21 15 5 2 5ln ln5 2x x x xx xxx xx xdx dx dx dxdx dx C+ = = = = = + 15. 22?1xdxx =+ Ovo je tip integrala koji najlake reavamo malim ''trikom'' ( dodamo 1 i oduzmemo 1) 2 2 2 22 2 2 21 1 1 1 11 1 1 1x x x xdx dx dx dxx x x x+ + += = =+ + + + 21 x +221111dx dxxdx dx x arctgx Cx+= = ++ I ovde e nam trebati znanje iz trigonometrije. Da se podsetimo nekih najvanijih formula: www.matematiranje.com 6 Osnovni trigonometrijski indetiteti 1) 1 cos sin2 2= + 2) cossin= tg 3) sincos= ctg 4) 1 = ctg tg Adicione formule sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin( )11( )tg tgtgtg tgctg ctgctgctg ctg + = ++ = ++ = + =+ ctg ctg ctg ctgctgtg tg tg tgtg + = + = + = = 1) (1) (sin sin cos cos ) cos(sin cos cos sin ) sin( Polovina ugla 1. 2cos 12sin = ili 2 21 cos 22sin 1 cos odnosno sin2 2 xx = = 2. 2cos 12cos + = ili 2 21 cos 22cos 1 cos odnosno cos2 2 xx += + = 3. cos 1cos 12 + = tg 4. cos 1cos 12 + = ctg Transformacije zbira i razlike u proizvod Dvostruki ugao 1. 2cos2sin 2 sin sin += + 1. cos sin 2 2 sin = 2. 2sin2cos 2 sin sin += 2. 2 2sin cos 2 cos = 3. 2cos2cos 2 cos cos += + 3.2122tgtgtg= 4. 2sin2sin 2 cos cos + = 4. ctgctgctg2122= 5. cos cos) sin( = tg tg 6. sin sin) sin( = ctg ctg www.matematiranje.com 7 16. 2 22 22 22 2 2 22 22 2 2 22cos 2? treba nam formula cos 2 cos sinsin coscos 2 cos sin rastavimo na dva integrala...sin cos sin coscos sin...sin cos sin coscosxdx x x xx xx x xdx dxx x x xx xdx dx skratimox x x xx= = = = = 2 2sin cos x x 2sin xdx 2sin x22 2 i dobijamo dva tablina integrala...cos1 1sin cosdxxdx dx ctgx tgx Cx x= = + 17. 2 22 22 22 2 2 2 2 22 22 2 2? treba nam formula sin cos 1sin cos1 1 sin cosuz dx je 1, zar ne?= rastavimo na dva integrala...sin cos sin cos sin cossin cossin cos sin codxx xx xdx x xdx dxx x x x x xx xdxx x x= + = += = = + 22...ssindx skratimoxx=2sin x22coscos xdxx +2 2sin cos x x 2 2 i dobijamo dva tablina integrala...1 1cos sindxdx dx tgx ctgx Cx x= = + + 18. 222 2 2 2 222 22 2 2?sin cossin kako je sin cos 1 sin 1 cos , pa je cos1 cos 1 cos =cos cos costg xdxxOvde koristimo tgxxxtg xdx dxxdx dxx x x === = + = = = 21cosdx dx dx tgx x Cx= = + www.matematiranje.com 8 19. 218 2?3 1xdxx = Probamo da sredimo podintegralnu funkciju, ako nee, mora se koristiti neki drugi trik( druga metoda)... 2 22 (3 1)18 2 2(9 1)3 1 3 1 xx xx x = = (3 1)3 1xx +2(3 1) 6 2 x x = + = + Sad je ve lake... 2 2218 2(6 2) 6 2 6 2 3 23 1 2x xdx x dx xdx dx x C x x Cx = + = + = + + = + + 20. 2 24?2(2 ) (2 )4 2 ( ) (2 )(2 )2 2 2xdxxx xx x x xx x x =+ + += = =+ + +2 x +123 31 12 22 22 24 2(2 ) 2 2 233 22x xx x xdx x dx dx x dx x C x Cx= = = = = + = ++ www.matematiranje.com 1INTEGRALI ZADACI ( II DEO) INTEGRACIJA POMOU SMENE Ako uvedemo smenu ( ) x g t onda je `( ) dx g t dt i poetni integral ( ) f x dx postaje: ( ) ( ( )) `( ) f x dx f g t g t dt Za poetak evo jednog saveta: za smenu birati izraz iji je izvod uz dx. Smena ustvari, prosto reeno, znai da u datom integralu neto (recimo )izaberemo da je t. Od toga nadjemo izvod i to zamenimo u poetni integral, koji je sada sve '' po t ''. ` tdx dt . Primeri: 1 22?12xdxx Vidimo da uz dx imamo izraz 2x. Razmiljamo od ega je izvod 2x ? Znamo da je 2( )` 2 x x i to emo izabrati kao smenu. Jo je pametnije da uzmemo ceo izraz 212 x da nam