ინფორმაციული ტექნოლოგიების

გამოყენება მათემატიკის გაკვეთილზე

პარაბოლა

პარაბოლას სტანდარტული განმარტების

დაკავშირება მის გეომეტრიულ განმარტებასთან

• მოსწავლეებმა იციან ალგებრული განტოლება რომლითაც

კვადრატული ფუნქცია მოიცემა:

• იციან ისიც რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა

• ამ აქტივობის მიზანია რომ მათ გაიგონ პარაბოლას

გეომეტრიული შინაარსი და მისი სტანდარტული განმარტება

დააკავშირონ გეომეტრიულ განმარტებასთან

2y ax bx c

გარდა პარაბოლას გეომეტრიული თვისებებისა და მათი

, კავშირისა რეალურ ობიექტებთან ამ გაკვეთილზე შემოვა

ისეთი ცნებები როგორ :ებიცაა , , პარაბოლას წვერო ფოკუსი

სიმეტრიის ღერძი და დირექტრისა

აქტივობა იწყება სამოტივაციო ამოცანით

• ზღვის ნაპირიდან 10 კმ მანძილზე დგას გემი. პირობითად

ჩავთვალოთ რომ ნაპირი არის წრფის მონაკვეთის ფორმის

• ნავი თანაბრადაა დაშორებული გემიდან და ნაპირიდან და ეს

მანძილები 5 კმ-ის ტოლია

• ნავი ცდილობს იმოძრაოს ისე რომ ნებისმიერ მომენტში თანაბრად

იყოს დაშორებული როგორც გემისაგან ასევე ნაპირისაგან

• შეკითხვა: როგორ ტრაექტორიაზე შეიძლება იმოძრაოს ნავმა?

ამოცანის შესაბამისი დინამიური მოდელი GeoGebra-ში

• მოვამზადოთ სამუშაო არე: დავმალოთ

საკოორდინატო ღერძები და

გამოვაჩინოთ ბადე

ჩვენება (ღერძები, ბადე)

ნახაზის აგება

• I - გავავლოთ ჰორიზონტალური

წრფე: წრფე ორ წერტილზე. ეს

არის “ნაპირი”

• დავსვათ წერტილი (“გემი”)

როგორ ავაგოთ წერტილი (“ნავი”),

რომელიც თანაბრადაა

დაშორებული “გემისაგან” და

“ნაპირისაგან”?

:შეკითხვა

1. “ნაპირზე” დავსვათ წერტილი. ამ წერტილზე

და “გემზე” გავავლოთ წრფე

2. გავავლოთ მიღებული კუთხის ბისექტრისა

3. “გემიდან” აღვმართოთ მართობი რომელიც

გადაკვეთს ბისექტრისას

4. ვიპოვოთ მათი გადაკვეთა, რომელიც იქნება

“ნავი”

“ ” “ ” ნავი თანაბრადაა დაშორებული როგორც გემისაგან ასევე“ ”ნაპირისაგან

ნავი

თანაბრად დაშორებული წერტილის აგების მეორე ხერხი

ამაში რომ დავრწმუნდეთ, შეგვიძლია შევადაროთ მანძილები:

1. “ნავი” შევაერთოთ “გემთან” და “ნაპირთან”

2. ალგებრის ფანჯარაში დავაკვირდეთ სიგრძეებს

მოდელის დინამიურობა იმაში მდგომარეობს, რომ დაფაზე ნახაზისაგან განსხვავებით შესაძლებელია მოვახდინოთ “ნავის” მოძრაობის სიმულაცია და დავაკვირდეთ იმას რომ მანძილები არ იცვლება

თუ ნავის შესაბამის წერტილს ჩავურთავთ კვალს, შეგვიძლია დავაკვირდეთ მის ტრაექტორიას

ტრაექტორია

შეგვიძლია გამოვაჩინოთ გეომეტრიული ადგილი

შეკითხვა: რას გვაგონებს მიღებული ტრაექტორია?

დავაკავშიროთ პარაბოლასთან

ჰიპოთეზა

• მიღებული ტრაექტორია არის პარაბოლის ნაწილი!

• შევამოწმოთ გამოთქმული მოსაზრება

იმისათვის რომ ჰიპოთეზა შევამოწმოთ საჭიროა მისი ზუსტად

ჩამოყალიბება. ე.ი. მისი ჩამოყალიბება მათემატიკურ ენაზე

თუ სიბრტყეზე მოცემულია წრფე და წერტილი, რომელიც

მასზე არ მდებარეობს, მაშინ სიბრტყის იმ წერტილთა

სიმრავლე, რომლებიც თანაბრადაა ამ წრფიდან და ამ

წერტილიდან, არის პარაბოლა

დასაბუთება

, განვიხილოთ ისეთი შემთხვევა როდესაც წრფე არის ღერძისპარალელური

X

საბოლოოდ განტოლება მიიღებს ასეთ სახეს:

, ეს არის პარაბოლას განტოლება რომელშიც

აქ შეიძლება შემოვიტანოთ ფოკუსის და დირექტრისას

ცნებები

შეკითხვა: თუ პარაბოლა მოცემულია სტანდარტული სახით:

მაშინ რომელი წერტილია მისი ფოკუსი და რომელი წრფეა მისი დირექტრისა?

2 x cy ax b

გამოვიყენოთ ადრე მიღებული ტოლობები, საიდანაც მივიღებთ:

შემოწმება GeoGebra-ში

• სახატავ არეში ჩავსვათ 3 სრიალა

კვადრატული სამწევრის

კოეფიციენტებისათვის

• ბრძანებების ველში ჩავწეროთ განტოლება

, ,a b c

2 x cy ax b

პარაბოლა სტანდარტული სახით

პარაბოლა ფოკუსისა და დირექტრისას საშუალებით

• GeoGebra-ს ბრძანებების ველში შევიტანოთ

გამოსახულებები:

p = (-b) / (2a)

q = (1-b^2+4ac)/(4a)

u = (-1-b^2+4ac)/(4a)

• ეს გამოსახულებები არის ფოკუსის და დირექტრისას

შესაბამისი გამოსახულებების ჩანაწერი GeoGebra-ს

ბრძანებების სინტაქსით

განვსაზღვროთ ფოკუსი და დირექტრისა

• ბრძანებების სტრიქონში შევიტანოთ

F=(p,q) (ფოკუსი)

• შემდეგ შევიტანოთ y = u

(დირექტრისა)

ავაგოთ პარაბოლა ამ ფოკუსისა და დირექტრისას საშუალებით

ფოკუსისა და დირექტრისას მონიშვნის შემდეგ აიგება

პარაბოლა, რომელიც დაემთხვევა თავდაპირველად

(სტანდარტული სახით) აგებულ პარაბოლას

ფერად პარაბოლას გადაეფარება

ახალი

სრიალების საშუალებით ცვლილების შედეგად პარაბოლების ქცევაზე

დაკვირვება

თუ სრიალების საშუალებით შევცვლით a, b და c კოეფიციენტებს, შეგვიძლია დავაკვირდეთ, რომ ორივე პარაბოლა კვლავ ერთმანეთს ემთხვევა

მეტი თვალსაჩინოებისათვის შეიძლება “შავი” პარაბოლა დავმალოთ, რის შემდეგაც გამოჩნდება ფერადი პარაბოლა. შემდეგ კი ისევ გამოვაჩინოთ

პარაბოლას გეომეტრიული თვისებები და მისი

კავშირი რეალურ ობიექტებთან

ამ აქტივობის მიზანია პარაბოლას გეომეტრიული

თვისებების შესწავლა და იმის ჩვენება რომ

პარაბოლა, როგორც გეომეტრიული ობიექტი

ფართოდ გამოიყენება რეალურ ვითარებებში.

პარაბოლას აგების კიდევ ერთი ხერხი

• გავიხსენოთ როგორ ავაგეთ პარაბოლა

წინა შემთხვევაში

• კიდევ როგორ შეიძლება სიბრტყეზე

მოცემული წერტილისაგან და წრფისაგან

თანაბრად დაშორებული წერტილის

აგება?

თანაბრად დაშორებული წერტილის აგება

თანაბრად დაშორებული წერტილის

ტრაექტორიის ჩვენება

• P წერტილს ჩავურთოთ კვალის ჩვენების რეჟიმი

• l წრფის გასწვრივ X წერტილის მოძრაობით

მივიღებთ P წერტილის ტრაექტორიას

თანაბრად დაშორებული წერტილის კვალი, რომელიც

მიიღება X-ის გადაადგილებით

ეს მოდელი უფრო მოსახერხებელია იმის საჩვენებლად, რომ

პარაბოლაზე დაშვებული დირექტრისას მართობული სხივები, არეკვლის

შედეგად პარაბოლას ფოკუსში იკვეთება

თუმცა ისმება შეკითხვა: რატომ არის S წრფე პარაბოლას მხები?

დამტკიცება საწინააღმდეგოს დაშვებით

ვთქვათ ეს წრფე პარაბოლას კვეთსკიდევ ერთ D წერტილში

რადგან D წერტილი პარაბოლაზეა, DE = DF

რადგან შუამართობზეა DX = DF

მაგრამ DX > DE

პარაბოლური ანტენა და მისი დინამიური მოდელის აგება