MATEMATIKA „A” Ismétl ő ıkfg.kormend.hu/katalogus/81_1_20101118152447.pdf · 2010-11-18 · TANÁRI ÚTMUTATÓ - Ismétl ı, rendszerez ı modul az emelt szint ő érettségire

MATEMATIKA „A” 12. évfolyam

Ismétlı, rendszerezı modul az emelt szintő érettségire készülıknek

Algebrai és transzcendens számok

Készítette: Klement András

2010

TANÁRI ÚTMUTATÓ - Ismétlı, rendszerezı modul az emelt szintő érettségire készülıknek: Algebrai és transzcendens számok 2

A modul célja Az emelt szintő érettségi vizsgakövetelményeiben szereplı ismeretanyag ismétlése, rend-

szerezése, kibıvítése; kitekintés a felsıbb matematika felé.

Idıkeret 4 tanóra (4x45 perc)

Ajánlott korosztály 12. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Fizika és más természettudományos tárgyak; az emberiséget fog-

lalkoztató tudományos problémák, mint pl. a kör négyszögesítése

Szőkebb környezetben: a középiskolai matematikaanyag megfelelı témakörei, ill. modul-

jai: számfogalom, geometriai tételek, szerkesztések, valószínőség-számítás

A képességfejlesztés fókuszai Rendszerezés, érvelés, bizonyítás, probléma-érzékenység, probléma-reprezentáció, ábrá-

zolás, kombinativitás, induktív és deduktív következtetés, mennyiségi következtetés, va-

lószínőségi következtetés, szövegértés, szövegértelmezés, relációszókincs, értelmes me-

mória, metakogníció

AJÁNLÁS: A modul elsıdleges célja, hogy a tanulókat felkészítse az emelt szintő érettségin várható bonyolultabb problémák megoldá-

sára, másrészt lehetıséget ad arra, hogy az érdeklıdı tanulók elmélyülhessenek a számhalmazok témakörében.


ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK

Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Bizonyítsa, hogy 2 irracionális szám. Irracionális kitevıjő hatvány értelmezése szemléletesen. TÁMOGATÓ RENDSZER

Power Point bemutató,

Szimulációs program a Buffon-féle tőproblémához,

Könyvtári, ill. internetes győjtımunka

ÓRABEOSZTÁS Óraszám Óracím

1. Számhalmazok

2. Algebrai és transzcendens számok

3. A π és az e szám

4. A Buffon-féle tőprobléma, a kör négyszögesítése


MODULVÁZLAT

Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök

I. Számhalmazok 1. A számfogalom felépítése (rendszerezı ismétlés

frontális és csoportmunkában) Figyelem, rendszerezés, kombinatív gondolko-dás, induktív és deduktív következtetés, elvo-natkoztatás.

Könyvtári, ill. internetes győjtımunka

2. Feladatok megoldása (csoportmunka) Kommunikáció, kooperáció, metakogníció, bi-zonyítási feladatok.

Feladatok

II. Algebrai és transzcendens számok 1. Az algebrai szám fogalma, tulajdonságai Figyelem, rendszerezés, kombinatív gondolko-

dás, elvonatkoztatás. Frontális munka Bemutató

2. Feladatok megoldása (csoportmunka) Kommunikáció, kooperáció, metakogníció, bi-zonyítási feladatok.

Feladatlap

III. A π és az e szám 1. A π és az e szám története, jelentısége

Figyelem, rendszerezés, kombinatív gondolko-dás, elvonatkoztatás. Frontális munka

Győjtımunka

2. A π értékének meghatározása (csoportmunka) Figyelem, rendszerezés, elvonatkoztatás. Mintapélda IV. A Buffon-féle tőprobléma, a kör négyszögesítése 1. Buffon-féle tőprobléma Figyelem, rendszerezés, kombinatív gondolko-

dás, induktív és deduktív következtetés, elvo-natkoztatás. Frontális munka

Szimuláció

2. A kör négyszögesítése, Hilbert 7. problémája Figyelem, rendszerezés, kombinatív gondolko-dás, induktív és deduktív következtetés, elvo-natkoztatás. Frontális munka

Körzı, egye-nes vonalzó, szerkesztés

TANÁRI ÚTMUTATÓ Algebrai és transzcendens számok 5

Bevezetés Ebben a modulban áttekintjük a számhalmazokat és új szempont szerint csopor-tosítjuk azokat algebrai, ill. transzcendens számokra. Külön foglalkozunk a két legnevezetesebb transzcendens számmal, a π-vel és az e-vel. Levezetünk egy nagyon szép közelítést π-re a körbe írt szabályos 2n olda-lú sokszög kerületének kiszámításával. A Buffon-féle tőprobléma néven híressé vált módszerrel, kísérletileg is meghatározzuk π értéket. Ehhez szemléltetésül segítségül hívunk egy szimulációs programot is. Foglalkozunk továbbá a mate-matika egyik leghíresebb problémájával, a kör négyszögesítésével is. I. Számhalmazok Tekintsük át a számfogalom kialakulását és fejlıdését!

Véges halmazok számosságai alkotják a természetes számokat. Az üres halmaz

számossága 0, az egyetlen elemet tartalmazó halmazé 1. Két halmaz számossága

azonos, ha a halmazok elemei között kölcsönösen egyértelmő hozzárendelést

tudunk létesíteni. A természetes számok halmaza N. Számosságát megszámlál-

hatóan végtelennek nevezzük.

1. Feladat. Igaz-e, hogy ha az A halmaz valódi részhalmaza B-nek, akkor kisebb

a számossága?

Megoldás:

Csak véges halmazokra, pl. a páros természetes számok halmazának számossága

azonos az 5-tel osztható természetes számok halmazának számosságával.

A természetes számok halmazában nem oldható meg az x+a=0 egyenlet, ezért

bevezették a negatív számokat. Együttesen az egész számok halmazát alkotják,

jele Z. Itt sem oldható meg azonban az x·a=1 egyenlet, így bevezették a racioná-

lis számokat is.


Definíció: Az a számot racionális számnak nevezzük, ha felírható két egész

szám hányadosaként. A racionális számok halmazának jele Q. Q már zárt az

összeadásra és a szorzásra nézve, s mindkét mőveletre nézve bármely 0-tól kü-

lönbözı racionális számnak van Q-ban inverze az egységelemekre nézve: – a,

ill. a

1. Ebbıl következik, hogy Q a kivonásra és az osztásra nézve is zárt.

Az összeadás és a szorzás is kommutatív, asszociatív mővelet, és a szorzás az

összeadásra nézve disztributív.

Tétel: A racionális számok halmaza azonos a véges és a végtelen szakaszos tize-

des törtek halmazával.

Bizonyítás:

1. Minden racionális szám véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakba

írható.

Az osztási maradék kisebb a nevezınél, így véges számú lépés után 0 lesz vagy

ismétlıdés kezdıdik.

2. Minden véges és a végtelen szakaszos tizedes tört racionális szám.

A végtelen mértani sor összegképlete racionális számokat tartalmaz, Q pedig

zárt az összeadásra, szorzásra, kivonásra és osztásra is.

2. Feladat. Írd fel két egész szám hányadosaként a 0,23456565656… végtelen

vegyes szakaszos tizedes törtet!

Megoldás:

1. módszer

0,23456565656…= ...10

56

10

56

10

561000234

975++++ =

1000234

+10

565·

10

11

1

2−

=


1000234

+99000

56=

990005699234 +⋅

=9900023222

2. módszer

x=0,23456565656…

100000x = 23456,56…

– 1000x = 234,56…

99000x = 23222,00…

Innen x=9900023222

A végtelen, nem szakaszos tizedes törtek nem racionális számok. Ezeket irracio-

nális számoknak nevezzük. A racionális és irracionális számok együtt alkotják a

valós számok halmazát. Jele R.

Cantor bizonyította, hogy Q megszámlálhatóan végtelen, viszont R nem az, te-

hát nagyobb számosságú, amit kontinuum számosságnak nevezünk.

Győjtımunka: Nézz utána a könyvtárban vagy az interneten, hogyan bizonyítha-

tók be a fenti tételek.

3. Feladat: Keress irracionális számokat!

Megoldás: Pl. ...282562481632641,0 vagy ...33353533533353,0

4. Feladat: Mutassuk meg, hogy a 2 irracionális szám!


Megoldás: Indirekt úton bizonyítjuk, hogy nem lehet racionális. Tegyük fel,

hogy 2 =q

p, ahol p és q természetes számok. Ekkor 2q2=p2 lenne, ami ellent-

mond a számelmélet alaptételének, a prímtényezıs felbontás egyértelmőségének.

A matematika két leghíresebb száma, az e és a π is irracionális.

Felsıbb matematikai eszközökkel bizonyítható, hogy a sinx és cosx függvények

az x=0 kivételével minden racionális helyen irracionális értéket vesznek fel, így

pl. 2sin irracionális.

5. Feladat: Döntsd el az alábbi számokról, hogy racionálisak vagy irracionálisak:

a= πsin , b= 9log2

, c= 5 100

1lg , d= 2

9log2

Megoldás:

� a=0 racionális.

� b irracionális, ez indirekt úton szintén könnyen bizonyítható.

Tegyük fel, hogy 9log2

=q

p, ahol p és q természetes számok. Ekkor 2 9log

2 =2q

p

lenne, ahonnan q-adik hatványra emelve 29pq = , ami ellentmond a számelmélet

alaptételének, a prímtényezıs felbontás egyértelmőségének.

� c=–5

2, tehát racionális.


� d nagyon érdekes eset, irracionális szám irracionális kitevıjő hatványa vajon

lehet-e racionális?

d=2 9log22

1⋅ =3, tehát d a legnagyobb meglepetésünkre racionális.

II. Algebrai és transzcendens számok

Az óra elején a győjtımunka megbeszélése, értékelése.

Egy link: http://www.cs.elte.hu/~pfeil/bs09o-1.pdf

A racionális számok halmazában nem oldható meg az x2 – a=0 egyenlet.

Ezért vált szükségessé a számfogalom további bıvítése, az algebrai számok ér-

telmezése a racionális számok halmazának lehetséges kiterjesztéseként.

Definíció: Az a számot algebrai számnak nevezzük, ha létezik olyan racionális

együtthatós, legalább elsıfokú polinom, melynek az a szám gyöke.

Az algebrai számok halmazának jele: A

6. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha a algebrai szám, akkor létezik olyan egész

együtthatós, legalább elsıfokú polinom is, melynek az a szám gyöke.

Megoldás:

Szorozzuk meg az egyenletet a polinom együtthatóinak nevezıiben szereplı

természetes számok legkisebb közös többszörösével.


7. Feladat: Igazoljuk, hogy minden racionális szám algebrai szám!

Megoldás:

Az a racionális szám gyöke az x–a racionális együtthatós polinomnak.

8. Feladat: Mutassuk meg, hogy az a= 53 725 és b=5 23+ irracionális

számok is algebrai számok!

Megoldás:

� Mivel a= 30 61510

725 ⋅⋅ , a gyöke az x30 – 510·215·76 polinomnak.

� A b szám pedig gyöke az (x2–3)5–2 polinomnak.

Bizonyítható, hogy bármely két nullától különbözı algebrai szám összege, kü-

lönbsége, szorzata és hányadosa is algebrai szám.

Látható, hogy minden racionális számokból álló gyökkifejezés algebrai szám.

Fordítva viszont nem igaz. Galois bizonyította be, hogy van olyan ötödfokú po-

linom, melynek nincs megoldó képlete, azaz a gyökei nem adhatók meg gyökki-

fejezés segítségével. Ilyen pl. az x5 – 4x – 2 polinom is.

Cantor bizonyította be 1874-ben, hogy az algebrai számok halmaza, ugyanúgy,

mint a természetes és a racionális számok halmaza, szintén csak megszámlálha-

tóan végtelen. Ez bizonyítja, hogy vannak nem algebrai számok is, ezeket

transzcendens számoknak nevezzük. Az elnevezés Eulertıl származik, és az a

magyarázata, hogy „ezek a számok túlhaladják az algebrai módszerek teljesítı-

képességét”.


Liouville 1851-ben bizonyította, hogy az

...10

1

10

1

10

1

10

1!3!2!1!0++++

Végtelen mértani sor összege transzcendens szám.

Összegzésül tekintsük át egy bemutató segítségével a megismert számhalmazo-

kat, most már az algebrai számok halmazának figyelembe vételével!

Lásd a mellékelt Power Point bemutatót!

A trigonometrikus, exponenciális és logaritmus függvényeket transzcendens

függvényeknek nevezik, mert bizonyítható, hogy egyikük sem halad keresztül

egynél több „algebrai ponton”, azaz olyan ponton, melynek mindkét koordinátá-

ja algebrai. Ezek az algebrai pontok valamelyik koordináta tengelyen vannak.


9. Feladat: Add meg a sinx, cosx, tgx, ctgx, 2x, 10x, log2x, lgx függvények algeb-

rai pontjait!

Megoldás:

Rendre: (0,0) , (0,1) , (0,0) , nincs, (0,1) , (0,1) , (1,0) , (1,0)

III. A π és az e szám

A π története, jelentısége 1739-ben javasolta Euler, hogy a kör kerületének és átmérıjének arányát a π

betővel jelöljük. A π története azonban sokkal korábban kezdıdött. Az egyipto-

mi Rhind-papiruszon (ie. 2000-1700) a kör területét a t=2

9

− dd képlet találha-

tó, ahol d a kör átmérıjét jelöli. Eszerint π= 1605,381

256≈ . Ugyanekkor Mezopo-

támiában a π=3 vagy a π=3,125 jóval durvább értékeket használták.

Az indiai „Szulvaszusztrák” kb. ie. 500-ból π értékére két érdekes kifejezést ad-

tak. Ezek a )223(18 −⋅=π és a

2

86298

1

6298

1

298

1

8

114

⋅⋅⋅+

⋅⋅−

⋅+−⋅≈π .

Más indiai mővekben π-t 10 -nek vették.

A görög Arkhimédész (ie. 287-212) KÖRMÉRÉS címő mővében a kör kerüle-

tét a körbe írt és a kör köré írt szabályos sokszögek kerületével közelítette meg.

A számítást a 96 oldalú szabályos sokszögre elvégezve azt találta, hogy

7

13

71

103 << π


A III. században élt kínai Huj a kör kerületét a körbe írt 3072 oldalú szabályos

sokszöggel közelítette meg, és így a π=3,14159 értéket kapta.

Mintapélda: Az egységsugarú kör kerületét a körbe írt 2n (n=2, 3, 4, 5, …) olda-

lú szabályos sokszöggel közelítjük.

Megoldás:

Jelölje sn a körbe írt szabályos n-szög oldalhosszúságát.

Az ábra szerint dA,B=2, sn = dD,E , dD,E =2 dC,D , s2n=dD,B

Az ABC derékszögő háromszög területe

t=2

,, dd DBDA ⋅ =

2,, dd DCBA ⋅

,


azaz

dddd DCBADBDA

2

,

2

,

2

,

2

,⋅=⋅ .

Mivel Pithagorasz tétele szerint ddd DBBADA

2

,

2

,

2

,−= , azt kapjuk, hogy

( )4

442

,2

,

2

,

ddd ED

DBDB ⋅=⋅− ,

azaz

( ) sss nnn

22

2

2

24 =⋅− .

Ezt az egyenletet megoldva, a geometriai feltételeknek megfelelı megoldás:

ss nn

2

2 42 −−= .

Mivel tudjuk, hogy

24=s , ezért 22

8−=s , 222

16+−=s , … ,

2...2222

+++−=s n ,

n-1 db egymásba skatulyázott négyzetgyökkel.

Ezek szerint a körbe írt 2n oldalú szabályos sokszög kerülete s nn

22 ⋅ ,

azaz az egységsugarú kör kerületét megközelíthetjük a

2...2222 +++−⋅= nk

értékkel, mely n-1 db egymásba skatulyázott négyzetgyököt tartalmaz.

Ez a kifejezés tehát 2π közelítı értékét adja meg.

A XVI. Században Ludolph 35 tizedes jegyig számította ki π értékét, ezért a π-t

szokás Ludolph-féle számnak is nevezni.


A π értéke 35 tizedes jegyig:

3,1415926535 8979323846 2643383279 50288

A XVII. században Leibniz egy végtelen sor segítségével adta meg 4

πértékét:

...15

1

13

1

11

1

9

1

7

1

5

1

3

11

4+−+−+−+−=π

Azóta is ez a π legegyszerőbb és legszebb kifejezése.

Lambert 1761-ben igazolta, hogy a π irracionális, majd Lindemann 1882-ben

igazolta a π transzcendenciáját is.

Az e szám 1748-ban vezette be Euler az e számot, a matematika egyik legfontosabb szá-

mát. Azonban ennél jóval korábban, Napier logaritmusról írt mővében jelentek

meg az elsı utalások az e számra 1618-ban.

Népszerőségére jellemzı, hogy vicc is született róla:

Rettegve rohannak a függvények az utcán, szinte fellökik egymást:

- Gyertek függvények, fusson, ki merre lát!

Az egyik nyugodtan szivarozva sétálgat tovább. A cosx majdnem keresztülesik rajta rohanás

közben és ráförmed:

- Te süket vagy? Miért nem futsz? Nyakunkon a mindent lederiváló rém!

- Na és? - sétál tovább nyugodtan a függvény: én az e ad x vagyok.

Ki nem érti a vicc poénját? İ nézzen utána az ex függvény differenciálhányadosának! ☺


Az e szám definíciói:

...!4

1

!3

1

!2

1

!1

1

!0

1 +++++=e

n

n ne

+=∞→

11lim

Harminc tizedes jegyre:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35…

Az e szám a természetes alapú logaritmus alapszáma és az ex függvény különle-

ges jelentıségét az adja, hogy a deriváltja önmaga.

1873-ban Hermite bizonyította be elıször, hogy az e szám transzcendens.

Győjtımunka: Keress érdekességeket a könyvtárban vagy az interneten a π és az

e számok történetével kapcsolatban, keress π-verseket!

IV. A Buffon-féle tőprobléma, a kör négyszögesítése

Az óra elején a győjtımunka megbeszélése, értékelése.

Két link: http://hu.wikipedia.org/wiki/Pi_(sz%C3%A1m)

http://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-f%C3%A9le_sz%C3%A1m


A Buffon-féle tőprobléma

1777-ben Buffon vetette fel a „tőprobléma” néven közismertté vált feladatot.

Ennek megoldásával nagyon érdekes lehetıséget adott a π kísérleti meghatáro-

zására. A feladatot a következıképpen fogalmazhatjuk meg:

Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos d távolságban levı párhuzamos egyene-

seket. Dobjunk erre a lapra véletlenszerően, irányítás nélkül egy l < d hosszúsá-

gú tőt. Mi a valószínősége annak, hogy a tő metszi valamelyik egyenest?

Feltehetjük, hogy a tő középpontja egy a párhuzamos egyenesekre merıleges e

egyenesre esik.

A tő helyzetét ekkor a metszés szempontjából egyértelmően jellemzik az ábrán

jelölt φ és x adatok, melyekre

dx ≤≤≤≤

0

0 πϕ

Könnyen látható, hogy a tő akkor metszi valamelyik egyenest, ha


ϕsin2

0l

x ≤≤

vagy

dxl

d ≤≤− ϕsin2

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az egyenlıtlenségek által meghatározott

ponthalmazokat:

A geometriai valószínőséget a kedvezı terület és az összes terület hányadosa-

ként kapjuk meg, tehát annak a valószínősége, hogy a tő metszi valamelyik

rácsvonalat:

( )d

l

d

l

d

l

d

dl

P⋅⋅=

⋅+⋅=

⋅−⋅

=⋅

⋅⋅=

∫

πππϕ

π

ϕϕ π

π

211cossin

22 ][

00


Innen kifejezhetjük a π közelítı értékét:

νπ

nd

l

Pd

l

⋅⋅≈

⋅⋅= 22

ahol νn a relatív gyakorisága annak, hogy n dobás esetén a tő metszi valamelyik

rácsvonalat. 1850-ben Wolf végezte el elıször a kísérletet, és 5000 dobás után π

értékére 3,1596-ot kapott.

A BuffonsNeedles.exe szimulációs programmal nekünk is lehetıségünk van rá,

hogy kísérleti úton meghatározzuk π értékét sokkal több véletlen dobás, és jóval

kényelmesebb körülmények között.

Egy kép a szimulációs programból:


A kör négyszögesítése

A matematika történetének évezredeken át az egyik legnépszerőbb feladata volt

a kör négyszögesítése, azaz olyan négyzet szerkesztése euklidészi szerkesztés-

sel, azaz csupán egyenes vonalzó és körzı segítségével, amelynek területe egy

adott r sugarú kör r2π területével egyenlı.

Az euklidészi szerkesztés fogalma

Nézzük meg elıször, mit is kell értenünk pontosan euklidészi szerkesztésen!

A vonalzót két adott ponton átmenı egyenes meghúzására, a körzıt pedig adott

középpontú és adott sugarú kör megrajzolására használhatjuk.

Definíció: Alapszerkesztéseknek nevezzük

a) két egyenes metszéspontjának meghatározását

b) egyenes és kör metszéspontjának meghatározását

c) Két kör metszéspontjának meghatározását.

Az alapszerkesztések véges számú ismétlésével végrehajtható szerkesztéseket

euklidészi szerkesztéseknek nevezzük.

10. Feladat: Egy adott egységszakasz, továbbá az a és b szakaszok ismeretében

szerkesszük meg euklidészi módon az

a+b, a–b, a·b, b

a ( 0≠b ) és a

hosszúságú szakaszokat!


Megoldás: A párhuzamos szelık tételét alkalmazhatjuk, az a·b és b

a szerkesz-

tésére (negyedik arányos szerkesztése), ill. a magasságtételt egy szakasz négy-

zetgyökének, a -nak a szerkesztésére.

Ennek alapján az egységszakasz ismeretében meg tudjuk szerkeszteni euklidészi

módon bármelyik racionális számot a számegyenesen, ezen kívül pedig azokat a

számokat, melyek racionális számok, alapmőveletek és négyzetgyökvonás segít-

ségével véges számú lépésben elıállíthatók. Nem szerkeszthetık meg viszont a

transzcendens számok, melyek nem állíthatók elı ilyen módon.


A kör négyszögesítésének lehetetlensége

Adott az r sugarú kör, ennek területe r2π, a vele azonos területő négyzet oldala

π⋅r .

Mivel a π transzcendens szám, ez nem szerkeszthetı meg euklidészi módon, ez-

zel eldılt, hogy a kör négyszögesítése lehetetlen feladat.

Hilbert 7. problémája

Végül egy érdekesség. Hilbert 1900-ban a párizsi matematikai kongresszuson

tartott híres elıadásában 23 egyszerően megfogalmazható matematikai problé-

mát vetett fel, melyek megoldatlanok voltak, és az akkori matematikai technika

számára nem is látszottak egyhamar megoldhatónak. Az egyik legreménytele-

nebbnek tőnı probléma annak a bizonyítása volt, hogy a 22

transzcendens

szám. Három évtizeden át a leghalványabb remény sem mutatkozott arra, hogy

valamilyen irányból meg lehetne közelíteni a problémát. Végül 1934-ben

Gelfond, majd 1935-ben Schneider egymástól függetlenül igazolták a követke-

zı tételt:

Gelfond-Schneider tétel: Ha a 0-tól és 1-tıl különbözı algebrai szám, és b nem

racionális algebrai szám, akkor ab transzcendens szám.

A Gelfond-Schneider tételbıl rögtön következik, hogy a 22

transzcendens

szám.


Megjegyzés: Az Euler-féle

1−=⋅e

i π

azonosságból, ahol i az imaginárius egység: 1−=i ,

( ) ( ) iii

e−−⋅ −= 1π

( ) i

e−−= 1π

Ez pedig a Gelfond-Schneider tétel szerint azt jelenti, hogy eπ transzcendens.

Documents

MATEMATIKA „A” Ismétl ő ıkfg.kormend.hu/katalogus/81_1_20101118152447.pdf · 2010-11-18 · TANÁRI ÚTMUTATÓ - Ismétl ı, rendszerez ı modul az emelt szint ő érettségire