Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Ekonomi Bisnis

Manajemen

Muhammad Kahfi, MSM

MATEMATIKA BISNIS

DERET

http://www.mercubuana.ac.id

Konsep

• Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.

• Deret (series) adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.

• Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.

Sistem Bilangan

Bilangan

Nyata

Irrasional Rasional

Bulat

Negatif Nol Positif

Pecahan

Khayal

Sistem Deret

Deret

Aritmatika Geometri

Terhingga Tak Terhingga

Konvergen Divergen

Sistem Deret

Deret

Aritmatika Geometri

Terhingga Tak Terhingga

Konvergen Divergen

Definisi Barisan Aritmatika• Definisi

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan

Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...

Contoh

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

Contohc. 30, 25, 20, 15, ...

-5 -5 -5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut:

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisanaritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.

Rumus Barisan AritmatikaU1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3bU5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

.

.

.

Un = Un-1 + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Keterangan: Un = suku ke-na = suku pertamab = bedan = banyak suku

Un = a + (n – 1)b

Contoh 1Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawab:

–3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan

Un = 40.Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga;

40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Definisi Deret Aritmatika• Definisi

Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D.

• Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-

suku dari suatu barisan aritmetika.

Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret aritmetika,

dengan Un = a + (n – 1)b.

Contoh 1Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab:Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.

D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 162D5 = 5 x 16 = 80D5 = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Rumus Deret AritmatikaMenentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahDn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

Un-1 = Un – bUn-2 = Un-1 – b = Un – 2bUn-3 = Un-2 – b = Un – 3b

Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un…(1)

Rumus Deret AritmatikaPersamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut:Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)

Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkanDn = a + (a + b ) + (a + 2b ) + … + (Un-2b) + (Un-b) + Un

Dn = Un + (Un – b) + (Un – 2b)+ ... + (a+2b) + (a+b) + a

2Dn = (a + Un ) + (a + Un ) + (a + Un) + ... + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)

n sukuDengan demikian, 2Dn = n(a + Un )

Dn = (1/2) n(a + Un ) = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))

Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Contoh 2Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....

Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

Dn = n (2a + (n – 1)b)

D100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}= 50 (202)= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

21

21

Contoh 3Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh : a = 3, b = 3, dan Un = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

Un = a + (n – 1)b99 = 3 + (n – 1)33n = 99

n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah: Dn = n (a + U )

D33 = x 33(3 + 99) = 1.683

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.6832121

Sistem Deret

Deret

Aritmatika Geometri

Terhingga Tak Terhingga

Konvergen Divergen

Definisi Barisan Geometri• Definisi

Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap

• Bilangan yang tetap tersebut disebut Rasio dan dilambangkan dengan r.

• Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah :

a2 = a1ra3 = a2r = a1r2

a4 = a3r = a1r3

an = a1r(n-1)

Contoh3, 9, 27, 81, ...x3 x3 x3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dikali 3. Dapat dikatakan bahwa Rasionya 3 atau r=3

Carilah suku ke delapan dari barisan geometri di mana suku pertama adalah 16 dan rasionya adalah 2

Jawab:Diketahui : a1 = 16 , r = 2, n=8Ditanyakan S8 = …?S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2048

Carilah suku ke-11 dalam satu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768Jawab: 3072

Definisi Deret Geometri• Definisi

Deret Geometri adalah jumlah n suku pertama barisan geometri. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D.

• Misalkan a1, a2, a3, ..., an merupakan suku-

suku dari suatu barisan geometri.

Dn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 disebut deret geometri

Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan geometri adalah

Dn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 ... (1), Kalikan persamaan 1 dengan r, sehingga :

rDn = a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 + ... + a1rn ... (2)

Dn – rDn = a1 + a1rn

Dn (1– r) = a1 + a1rn

= a1 (1 – rn)

Dn = a1 (1 – rn) untuk r < 1. Tapi jika r > 1, maka : Dn = a1 (rn – 1)

(1-r) (r – 1)Dan untuk r = 1, Dn = a1 + a1 + ... + a1

Dn = na1

Rumus Deret Geometri

Contoh 1Carilah jumlah 8 suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + 24 +....

Jawab:Diketahui bahwa a1 = 3, r = 6/3 = 2, dan n = 8

Dn = a1 (rn – 1) (r – 1)

Maka :D8 = 3 (28 – 1) = 765

(2-1)

Terima KasihMuhammad Kahfi, MSM