MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Nuryanto.ST.,MT

BARIS DAN DERET

PengertianBaris dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnyamerupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakananggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah:a1, a2, a3, . . . . . an

Dimana : suku ke 1 = S1 = a1

Dimana : suku ke 2 = S2 = a2

Dimana : suku ke 3 = S3 = a3

Baris di atas dapat disimbolkan dengan [an], sehingga kalau ditulis lagi dengan lengkap menjadi:Suatu baris yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan baris tak terhingga. Sedangkan baris yang banyaknya suku tertentu dinamakan baris terhingga.

Nuryanto.ST.,MT

BARIS DAN DERETBaris hitung adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Jadi, suatu baris = a1, a2, a3, . . . . . An

akan disebut dengan baris hitung apabila

a2 - a1 = b

a3 - a2 = b

a4 - a3 = b

...

an - an-1 = b

di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau negatif.

Contoh:

a. [n] = 1 , 2 , 3 , 4, . . . . . n

b = Sn - Sn-1 = 1

b. [5n] = 5 , 10 , 15 , 20 , . . . 5n

b = Sn - Sn-1 = 5

c. [12 - 2n] = 10 , 8 , 6 , 4 , .... (12 - 2n)

b = Sn - Sn-1 = -2Nuryanto.ST.,MT

BARIS DAN DERETBaris ukur adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai hasilbagi yang sama besarnya. Jadi untuk baris :[an] = a1 , a2 , a3 , . . . . . anakan disebut sebagai baris ukur jikaS2 / S1 = pS3 / S2 = p...Sn / Sn-1 = pdi mana p merupakan nilai banding ( ratio) yang besarnya tetap dan dapatbertanda positif atau negatif.

Contoh 2.8: a. [apn-1] = a , ap , ap2 , . . . ,apn-1

b. [5. 2n-1] = 5 , 10 , 20 , 40 , ...., 5(2n-1)

Nuryanto.ST.,MT

Bila suku-suku pada suatu baris dijumlah, maka jumlah tersebutdinamakan deret. Jadi deret merupakan penjumlahan semua suku suatu baris. Seirama dengan pembedaan baris, maka deret dapat dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.Deret hitung merupakan jumlah suku-suku baris hitung, deret ukur merupakan jumlah suku-suku baris ukur dan deret harmoni merupakan jumlah suku-suku baris harmoni.a. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + . . . + nb. Deret ukur : 5 + 10 + 20 + . . + 5(2n-1)c. Deret harmoni: 1+ ½ +1/3 +....+1/n

Nuryanto.ST.,MT

BARISAN DAN DERET

Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai:Jn = a1 + a2 + a3 + . . . . + anUntuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda Σ dan dibaca"sigma", sehingga deret dapat ditulis menjadi :∑ 푎푖 danuntukderettakhingga ∑ 푎푖

Apabila a adalah suku pertama suatu baris dan b adalah beda antara duasuku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung:suku pertama = asuku kedua = a + bsuku ketiga = a + 2bsuku keempat = a + 3b.....suku ke n = a + (n - 1)b = Sn

Nuryanto.ST.,MT

Nuryanto.ST.,MT

Jadi suku ke n suatu banjar hitung, ditentukan oleh

Sn = a + (n - 1)bDeret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

J = ½ n(s+Sn)di mana :n = banyaknya sukua = suku pertamaSn = suku ke nContoh:Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang sukupertamanya = 1 dan beda = 2 adalahSn = a + (n - 1)b= 1 + (7 - 1)2= 13Deret hitung dengan jumlah tujuh suku tersebut adalah:J = ½ n(s+Sn) = ½ 7 (1+13) = 49

Nuryanto.ST.,MT

Selain banjar hitung, kita telah mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur ditandai olehbanjar yang hasil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya merupakan bilangan konstan.Atau suku suatu banjar ukur diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan suatupengali yang besarnya konstan. Bila suatu banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengalisebesar p, maka secara matematis dapat ditulis:suku pertama = asuku kedua = apsuku ketiga = ap2

...suku ke n = apn-1 = SnJadi suku ke n suatu banjar ukur ditentukan oleh Sn = apn-1

Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus

Nuryanto.ST.,MT

Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a = 1 dan pengalinyap = 2 , maka besarnya suku ke 5 adalah:Sn = apn-1

S5 = 1(25-1)= 16

dan jumlah 5 sukunya adalah:

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

Bunga PinjamanBunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung denganmenggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanyadikenakan pada jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untukselanjutnya akan disebut dengan pokok pinjaman. Jika besarnyapokok pinjaman adalah p dengan bunga sebesar r persen setahundan lama meminjam adalah t tahun, maka besarnya bunga yangharus di bayar yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjamandan bunga dan lama meminjam, atau

Nuryanto.ST.,MT

I = P.r.t

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

CONTOHBerapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uangsebanyak Rp2.500,00 pada tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5Pebruari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen?Mulai tanggal 5 Juni 1992 sampai 5 Pebruari 1993 ada 8 bulan, atau waktupeminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman:I = P.r.t= 2.500 (0,14) (2/3)= 233,33Jumlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah denganbunga, atauRp2.500,- + Rp233,33 = Rp2.733,33

Nuryanto.ST.,MT

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

Nilai SekarangNilai sekarang dari jumlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering pula disebutdengan present value adalah nilai sejumlah uang yang saat ini dapat dibungakan untukmemperoleh jumlah yang lebih besar di masa mendatang. Misalkan P adalah nilaisekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang. Bila kemudiandiumpamakan tingkat bunga adalah r, maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiahadalah:

dan uang setelah t tahun menjadi:

Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, makaP(1 + rt) = Aatau

Nuryanto.ST.,MT

I = P.r.t

P + P.r.t = P(1 + rt)

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

CONTOHSetahun lagi Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,00. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun? Dalam masalah ini, A = 10.000,- r = 0,13 dan t = 1

Nuryanto.ST.,MT

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

Bunga MajemukBunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan seseorang membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i pertahun. Setelah satu tahun ia mendapatkan bunga sebesar:bunga tahun pertama = P.iBunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi:P + P.i = P(1 + i)Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhirtahun kedua bunga yang diterima sebesar :P(1 + i)(i)Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi ; P(1 + i) + P(1 + i)(i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2

Nuryanto.ST.,MT

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

Bunga MajemukPenggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun.Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (dalam 5 periode setahun), padatingkat bunga i pertahun, maka tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periodepembungaan (penghitungan bunga) adalah sebanyak nxm. Seandainya bunga yang diperolehdibungakan lagi selama n periode, maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruhuangnya menjadi:

Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,00 dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun? P = 1.000, i = 5% = 0,05 , m = 1 ,dan n = 6. Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi:

Nuryanto.ST.,MT

APLIKASI DALAM BIDANG EKONOMI

Model Pertumbuhan Penduduk Kegunaan model pertumbuhan penduduk ini adalah untuk penaksiran jumlah

penduduk. Rumusnya adalah :

Pt = P1 . Rt-1

Dimana R = 1+rContoh Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat

pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5% berapa jumlah 11 tahun kemudian

Penyelesaian P2006 = p16 = 1000.000 (1+0,4)15 = 1.800.943 jiwa P11tahun kemudian = 1.800.943 (1+0,25)10 = 2.305.359 jiwa

Nuryanto.ST.,MT

TUGAS

Nuryanto.ST.,MT

Thank You ............Nuryanto.ST.,MT