Matematika feladatgyűjtemény

Mat

emat

ika

fela

dat

gyjt

emn

yI.

9 7 8 9 6 3 1 9 7 4 9 6 6

Raktri szm: 13135/NATISBN 978-963-19-7496-6

Bartha GborBogdn ZoltnCsri JzsefDur Lajosn dr.dr. Gyapjas Ferencndr. Kntor Sndorndr. Pintr Lajosn

Matematikafeladatgyjtemny

I.a kzpiskolk tanuli szmra

Nemzedkek Tudsa Tanknyvkiad, Budapest

13135-1_Matematika FGY_Book.indb 113135-1_Matematika FGY_Book.indb 1 2013.11.21. 10:55:162013.11.21. 10:55:16

3Tartalom

Elsz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I. Halmazok tulajdonsgai s a matematikai logika elemei . . . 11

1. Halmaz, rszhalmaz fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Mveletek halmazokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. Halmaz elemeinek szma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234. Mveletek tulajdonsgai, azonossgok . . . . . . . . . . . . . . . 275. Mveletek tletekkel (lltsokkal) s logikai rtkekkel 296. Logikai fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337. Kvetkeztetsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II. Szmelmlet s aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1. Termszetes szmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392. Oszthatsg az egsz szmok halmazban . . . . . . . . . . . . 443. Legnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs . . . 604. Diofantoszi problmk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665. Szmrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696. Racionlis szmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767. Irrarionlis szmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828. A szmfogalom bvtsvel kapcsolatos nhny

feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879. Komplex szmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

III. Az algebra elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1. Mveletek polinomokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952. Polinomok szorzatt alaktsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


43. Algebrai trtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154. Negatv egsz kitevj hatvnyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255. A ngyzetgyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286. Az n-edik gyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437. Trtkitevj hatvnyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498. A logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

IV. Egyenletek s egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1. Elsfok s elsfokra visszavezethet egyenletek s egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2. Msodfok s msodfokra visszavezethet egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

3. Irracionlis egyenletek s egyenltlensgek . . . . . . . . . . . 2244. Nevezetes egyenltlensgek s alkalmazsuk . . . . . . . . . . 2335. Exponencilis s logaritmikus egyenletek s

egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406. Trigonometrikus egyenletek s egyenltlensgek . . . . . . . 255

V. Egyenletrendszerek, egyenltlensg-rendszerek . . . . . . . . . 267

1. Lineris egyenlet- s egyenltlensg-rendszerek . . . . . . . 2672. Msod- s magasabb fok egyenlet- s

egyenltlensg-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3053. Exponencilis, logaritmikus s trigonometrikus

egyenlet s egyenltlensg-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . 3224. Lineris programozsi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

VI. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

1. Permutcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372. Varicik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3393. Kombincik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3424. Vegyes feladatok a kombinatorika krbl . . . . . . . . . . . . 3435. A permutci inverzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3666. A binomlis egytthatra vonatkoz sszefggsek . . . . . 369


5VII. Grfelmlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

1. Grfelmleti fogalmak kialaktsa: cscs, szgpont, l, fokszm. Egyszer grfok. Irnytott grfok . . . . . . . . . . 373

2. lek, cscsok s fokszmok kzti sszefggsek. Grfkomplementere. Grfok izomorfi ja. Rszgrfok . . . . . . . 379

3. Grfok jellemzse mtrixokkal. Szomszdsgi mtrix . . . 3844. t, vonal, sta (lsorozat). sszefgg grfok. Fk,

erdk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885. Grf leinek s cscsainak bejersa: Euler-vonal, Hamil-

ton-t s Hamilton-kr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3956. Pros grfok, teljes rszgrfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4027. Sznezsi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4068. Algoritmusok. Jtkok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4109. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

tmutatsok s eredmnyek

I. Halmazok tulajdonsgai s a matematikai logika elemei . 419 II. Szmelmlet s aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 III. Az algebra elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 IV. Egyenletek s egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 V. Egyenletrendszerek, egyenltlensg-rendszerek . . . . . . . 516 VI. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 VII. Grfelmlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546


7Elsz

E feladatgyjtemny a gimnziumok s a szakkzpiskolk tanterve-inek matematika tananyaghoz illeszkedik. Nhny fejezetben olyan feladatok tallhatk, amelyek tlmutatnak a tananyagon. A klnbz tantervekhez kapcsold feladatokhoz nem tettnk jelzst, gy ter-mszetes, hogy a ms-ms tantervek alapjn tanulk felkszlt-sgktl fggetlenl sem tudhatnak minden feladatot megoldani. Javasoljuk ezrt, hogy a dikok nll, otthoni munkjukhoz, a feladatok kivlasztshoz krjenek tancsot tanraiktl. Arra is fel-hvjuk a fi gyelmet, hogy a csillaggal megjellt feladatok nem azrt nehezebbek, mert a tbb rban matematikt tanulk szmra ajnlottak, hanem azrt, mert a megoldsuk klnleges tlet felhasz-nlst, illetve az ismert sszefggsek szrevtelt ignylik.

A feladatgyjtemny vgn, az tmutatsok s eredmnyek cm rszben a tanulk vagy segtsget kapnak a megoldshoz, vagy pedig az eredmnyek megkeressvel ellenrizhetik munkjukat. Nem minden feladat megoldshoz adtunk tmutatst vagy ered-mnyt; amikor pldul a segtsggel mr magt a megoldst is k-zltk volna.

Ezek utn sszefoglaljuk azokat a legfontosabb jellseket, ame-lyek az utbbi vekben a kzpiskolai matematikaoktatsban elssorban az jabb tanknyvek hatsra elterjedtek. Elljr-ban is hangslyozzuk, hogy nem helyes merev, egyedl alkalmazha-t jellsek rgztse. A matematikai szakirodalom jellsei soha nem voltak egysgesek, klnsen nem azok az alkalmazsokban elfordul jellsek. Bizonyos clokra az egyik jells, msokra pedig egy msik jells lehet egyszerbb, alkalmasabb, a lnyeget


8jobban megmutat. rdemes megismerni tbbfle, a gyakorlaban elfordul jellst akkor is, ha a matematikarn esetleg csak egy-fajtt hasznlunk.

A feladatgyjtemnyben elfordul jellsek kzl a szok-sosakat, azokat, amelyeket hossz id ta vltozatlanul hasznlnak a kzpiskolai matematikban, nem soroljuk fel. gy zmmel a halma-zok jellseivel foglalkozunk. Megemltnk mg nhny, a matema-tikai logikban hasznlt jellst. Ahol tbbfle jells is elfogadott, hasznlatos, ott ezeket feltntetjk akkor is, ha a feladatgyjtemny-ben ezek kzl csak az egyik szerepel.

A jellsek s azok magyarzata

x ! A: az x eleme az A halmaznak; A , B: az A s B halmaz egyestse (unija); A + B: az A s B halmaz kzs rsze (metszete); A S B vagy A - B: az A s B halmaz klnbsge; A 1 B vagy A 3 B: az A halmaz a B halmaz rszhalmaza; 4: res halmaz; A : az A vges halmaz elemeinek szma (vgtelen A halmaz

esetn a halmaz szmossga); N: a termszetes (nemnegatv egsz) szmok halmaza; Z: az egsz szmok halmaza; Q: a racionlis szmok halmaza; I: az irracionlis szmok halmaza R: a vals szmok halmaza; C: a komplex szmok halmaza; [a; b]: az a E x E b felttelt kielgt vals szmok halmaza (az

a; b zrt intervallum); ]a; b[ vagy (a; b): az a 1 x 1 b felttelt kielgt vals szmok halmaza (az a; b nylt intervallumon).


9Szmhalmazok jellsekor gyakran hasznljuk pldul a kvet-kezt:

{x ! R ; x2 - 5x + 6 1 0} jelli azoknak a vals szmoknak a halmazt, amelyek kielgtik a ; utn ll felttelt, pldnkban ez egyenl a ]2; 3[ intervallummal.

Fggvnyeket ltalban a kvetkezkppen jellnk:Legyenek A s B adott szmhalmazok, ekkor pldulf : A " B, x 7 2x, vagyf : A " B, f(x) = 2x jell egy A-n rtelmezett, B-beli rtkeket

felvev fggvnyt.Ha A = B = R, akkor R " R tpus fggvnyrl is beszlnk, ek-

kor nem mindig rjuk ki kln az rtelmezsi tartomnyt s a kphal-mazt. Ha A 1 R s B 1 R, akkor clszer alkalmazni azt az egysze-rstst, hogy egy kplettel defi nilt fggvny esetben amennyiben A azonos azoknak a vals szmoknak a halmazval, amelyre a kpletnek rtelme van kln nem rjuk ki az rtelmezsi tarto-mnyt. Pldul f : f (x) = x 1- jelli azt a fggvnyt, amelynek rtelmezsi tartomnya [1; +[, egy kphalmaza R.

A jl ismert fggvnyek jellsre nllan hasznlhatjuk a sin, cos, tg, ctg, loga jellseket, de ugyanilyen rtelemben az expa jel-lst is az x 7 ax fggvnyre, de hasznlatos a rvidebb ax jells is, ha a szvegsszefggsbl vilgos, hogy fggvnyrl van sz.

A matematikai logika jellseibl a kvetkezket hasznljuk:A, B, C, : lltsok (kijelentsek); a gyakorlatban az lltsokat

sokszor azok logikai rtkvel szoktuk azonostani. JA vagy A : A negcija; A / B: A, B konjunkcija; A 0 B: A, B diszjunkcija; A " B: A implikci B; A ) B: A ekvivalencia B; 7: egzisztencilis kvantor (van olyan); 6: univerzlis kvantor (minden).


I.

11

I. HALMAZOK TULAJDONSGAI S A MATEMATIKAI LOGIKA

ELEMEI

1. Halmaz, rszhalmaz fogalma1. A kvetkez defi ncik kzl melyek hatroznak meg egyr-

telmen egy-egy halmazt? 1. {osztlyunk tanuli}; 2. {egy tetszleges osztly tanuli}; 3. {osztlyunk fi tanuli}; 4. {osztlyunk magas tanuli}; 5. {Magyarorszg vrosai ma}; 6. {Arany Jnos versei}; 7. {a termszetes szmok}; 8. {a termszetes szmok halmaza}; 9. {az x2 - 5x + 6 = 0 egyenlet};10. {az x2 - 5x + 6 = 0 egyenlet vals gykei};11. {egy egyenlet gykei};12. {az x2 + 1 = 0 egyenlet vals gykei};13. {az x5 - 2x4 + 1 = 0 egyenlet vals gykei};14. {az elsfok egyenletek, osztlyunk tanuli};15. {egy adott egyenlet, melynek 2 az egyik gyke};16. {egy olyan egyenlet, melynek egy vals gyke van};17. {tetszleges hrom egsz szm};18. {a prmszmok};19. {a legnagyobb prmszm};20. {nhny prmszm}.

2. Soroljunk fel a kvetkez halmazok elemei kzl legalbb kettt: 1. {a 0,5-nl kisebb egsz szmok}; 2. {Petfi versei};


12

3. {az 50-nl nagyobb prmszmok}; 4. {a prmszmokbl ll halmazok}; 5. {az x2 - 4x = 0 egyenlet vals gykei}; 6. {az olyan elsfok egyenletek, melyeknek a gyke 100}; 7. {1986 prmoszti}; 8. {192 s 729 kzs oszti}; 9. {a szablyos testek};10. {240 rtknek klnbz szmjegyei}.

3. Soroljuk fel a kvetkez halmazok elemeit: 1. {a 100-nl kisebb ngyzetszmok}; 2. {a 10-nl kisebb ngyzetszmok szma}; 3. {az xx 1 2- = egyenlet pozitv gykei}; 4. {az xx 1 2- = egyenlet pozitv gykeinek szma}; 5. {az x2 - 2x E 0 egyenltlensg egsz gykei}; 6. {az x2 + 4x 1 0 egyenltlensg egsz gykeinek szma}; 7. {a hromjegy pros szmok szma}; 8. {az olyan ktjegy szmok, melyek szmjegyeinek sszege 9}; 9. {az olyan hromjegy szmok szma, melyek szmjegyeinek sszege 9};10. {729 pozitv oszti}.

4. Vlasszuk ki a kvetkez halmazok kzl az egyenlket: 1. {a legkisebb prmszm}; 2. {egy prmszm pozitv osztinak szma}; 3. {az x3 - 2x2 = 0 egyenlet vals gykei}; 4. {az x3 - 2x2 = 0 egyenlet vals gykeinek a szma}; 5. {a (0; 2) szmpr}; 6. {a -1 s 3 kz es pros szmok}; 7. {a 1010 + 1 szm tzes szmrendszerbeli alakjban a szmjegyek sszege}; 8. {az x100 = 1 egyenlet vals gykei}; 9. {az x = 0 s y = 2 egyenlet egyenesek metszspontjnak koor-dinti};10. {(-1)n klnbz rtkei, ahol n tetszleges pozitv egsz szm}.


I.

13

5. Vizsgljuk meg, hogy a kvetkez lltsok kzl melyek igazak: 1. 2 ! {a prmszmok}. 2. A ngyzet eleme a trapzok halmaznak. 3. 240, 240 - 1 s 240 + 1 eleme az sszetett szmok halmaznak. 4. Ha a ! A s b ! B, akkor (a ! b) ! B, ahol A a prmszmok halmaza, B az sszetett szmok halmaza. 5. A ! A. 6. A ! {A}. 7. Az xn - 1 = 0 egyenlet vals gykei elemei a pozitv egsz sz-mok halmaznak, tetszleges n egsz szm esetn. 8. ,1 9o ! {a 2-hatvnyok}. 9. Ha a ! A s A ! B, akkor a ! B.10. A = B esetn A ! {B}.

6. Jellje N, P, Z, Q, I, R rendre a termszetes szmok, a prm-szmok, az egsz szmok, a racionlis szmok, az irracionlis sz-mok, a vals szmok halmazt. Dntsk el, hogy a kvetkez llt-sok kzl melyik igaz: 1. Ha a ! N s b ! N, akkor (a + b) ! N. 2. Ha a ! P s b ! P, akkor (a + b) ! P. 3. Ha a ! Z s b ! Z, akkor ab ! Z. 4. Ha a ! Z s b ! Q, akkor ab ! Z. 5. Van olyan a s b szm, hogy a ! Z s b ! Q esetn ab ! Z. 6. Ha a ! Q s b ! I, akkor (a - b) ! I. 7. Ha a ! Q s b ! R, akkor ab ! I. 8. Van olyan a s b, hogy a ! Q s b ! I esetn ab ! N. 9.

ba ! R, ha a ! R s b ! R.

10. a ! Z, b ! Q esetn b

a1 2

2

+ ! Q.

7. Legyen a ! X s b ! X. Vizsgljuk meg, hogy mely esetekben igazak a kvetkez lltsok: 1. (a + b) ! X. 2. (a - b) ! X. 3. ab ! X.4.

ba ! X, ha b ! 0, ahol X helybe rendre az elz feladatban sze-


14

repl N, P, Z, Q, I, R halmazokat helyettestjk s a, illetve b az X halmaz tetszleges eleme lehet.

8. Jellje az A halmaz elemeinek szmt A . Hatrozzuk meg A rtkt a kvetkez esetekben:

1. A = {a 20-nl kisebb prmszmok}; 2. A = {36 pozitv oszti}; 3. A = {a 100-nl kisebb ngyzetszmok}; 4. A = {az x2 1 100x egyenltlensg egsz gykei}; 5. A = {az x2 + x + 2 = 0 egyenlet vals gykei}; 6. A = {4, 2}; 7. A = {a legkisebb egsz szm}; 8. A = {a legkisebb termszetes szm}; 9. A = {114 klnbz szmjegyei};10. A = {a 102 1 x3 1 104 egyenltlensgrendszer egsz gykei}.

9. Az a s b egymstl klnbz egsz szm, eleme az A hal-maznak. Tudjuk, hogy A-nak eleme brmely kt klnbz elem-nek sszege is. Hatrozzuk meg A rtkt, ha az A halmaz vges s minden eleme egsz szm.

10. Soroljuk fel a kvetkez halmazok kzl azokat, amelyeknek vgtelen sok elemk van:A = {a prmszmok}; B = {egy sk flskjai};C = {egy sokszg cscsai}; D = {a pros prmszmok};

E = {az xx x11 12+- = - egyenlet vals gykei};F = {azok az x egsz szmok, amelyekre xx 100+ is egsz szm};G = {csak az 1 szmjegyet tartalmaz szmok};H = {azok a szmok, amelyek szmjegyeinek sszege 2};I = {a termszetes szmok szmjegyei};J = {a vals szmok halmaza}.

11. Az A halmaznak eleme az 1 s -1. A halmaz brmely kt elemnek szmtani kzepe is eleme a halmaznak. Bizonytsuk be, hogy az A halmaznak vgtelen sok eleme van.

12. Egy vges szmhalmaz brmely elemnek a reciproka is eleme


I.

15

a halmaznak, az adott elem -1-szeresvel egytt Igazoljuk, hogy a halmaz elemszma pros.

13. Az A szmhalmaz elemeinek szma 2. A halmaz brmely kt elemnek szorzata is az A halmaz eleme. Bizonytsuk be, hogy az A halmaz elemei kztt szerepel a 0, vagy az 1.

14. Tekintsk alaphalmaznak a vals szmok halmazt (R). Ha-trozzuk meg a kvetkez halmazok komplementert:1. Q = {a racionlis szmok};2. I = {az irracionlis szmok};3. {a pozitv vals szmok};4. R;5. 4.

15. Mivel egyezik meg egy adott halmaz komplementernek komplementere, illetve a kapott halmaz komplementere?

*16. Lehet-e egy vges halmaz komplementere is vges halmaz?17. Adjuk meg az {1; 2; 3; 4; 5} halmaz ktelem rszhalmazait.18. a) Hny hromelem rszhalmaza van egy hat elemet tartal-

maz halmaznak?b) Hny valdi rszhalmaza van egy egyelem halmaznak?

19. Bizonytsuk be, hogy az A = {1; 3; 5; 7} halmaznak ssze-sen 24 szm rszhalmaza van. rjuk fel kln-kln a 0; 1; 2; 3; 4 elem rszhalmazokat.

20. Legyen T a tglalapok, R a rombuszok, N a ngyzetek, P a paralelogrammk halmaza. Melyik halmaz melyiknek rszhalmaza T, R, N, P kzl?

*21. A 6. feladat jellseit hasznlva dntsk el, hogy melyik igaz a kvetkez lltsok kzl: 1. P 1 Q. 2. Z 1 I. 3. P 1 Z 1 Q. 4. N 1 Q 1 R. 5. N 1 I. 6. N 1 P 1 R. 7. P 1 N 1 Z 1 Q 1 R. 8. Zr 1 Q, ahol R az alaphalmaz. 9. Qr 1 R, ahol R az alaphalmaz.10. Rr 1 Qr 1 Zr, ha az alaphalmaz R.

22. Igaz-e, hogy a ! A esetn {a} 3 A?23. Bizonytsuk be, hogy A 3 B s B 3 A esetn A = B.

*24. Hatrozzuk meg az A halmazt, ha A 1 Ar .


16

25. Bizonytsuk be, hogy a rszhalmazkpzs tranzitv mvelet, azaz A 1 B s B 1 C esetn A 1 C.

26. Milyen felttel mellett igaz, hogy A 1 B esetn A B1 ?27. Bizonytsuk be, hogy n elem halmaz sszes rszhalmaz-

nak szma 2n.*28. Igazoljuk, hogy A 1 B esetn B A1 .

2. Mveletek halmazokkal

29. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitv oszti, a B halmaz elemei 24 pozitv oszti, a C halmaz elemei 12 pozitv oszti. Hat-rozzuk meg az A , B, B , C, C , A halmazokat. Lesz-e a kapott halmazok kztt kt egyenl halmaz?

30. rjunk fel olyan negyedfok egyenletet, melynek gykei az A s B halmaz unijnak elemei, ahol A = {az x3 = x egyenlet vals gykei}, B pedig az x3 + 2x2 - x - 2 = 0 egyenlet vals gykeinek halmaza.

31. Az A halmaz legyen a (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) koordintap-rokkal adott ngyszglap pontjainak halmaza; a B ponthalmaz legyen a (0; 0), (1; 1), (0; 2) koordintj cscsok ltal meghatro-zott hromszglap pontjainak halmaza; a C halmaz pedig legyen a (0; -1), (1; 0), (0; 1) cscspontokkal adott hromszglap pontjai-nak halmaza. Milyen alakzatokat hatroznak meg az A , B, B , C, C , A s (A , B) , C halmazok?

32. Jellje A s B az S sk kt klnbz flskjt. Milyen eset-ben lehet A , B = S?

*33. Jellje A s B az S sk hrom pronknt klnbz flskjt. Adjunk pldt olyan esetre, amikor A , B , C ! S.Lehet-e az A B C, , halmaz az S sk korltos tartomnya?

34. Bizonytsuk be, hogy A 1 B esetn A , B = B.35. Bizonytsuk be, hogy ha A s B vges halmaz, akkor

A B A B,F+ .


I.

17

36. Ha A s B vges halmaz, akkor A B A B,+ = esetn hny kzs eleme van az A s B halmaznak?

*37. Legyen A s B az S sk kt olyan korltos tartomnynak pontjaibl ll nem res halmaz, melyekre A B B, = . Igazak-e a kvetkez lltsok:1. A B S, = . 2. A A S, = . 3. B A S, = . 4. A B S, = .5. A B A S, , = . 6. A B A S, , = ,ahol az S sk pontjainak halmaza az alaphalmaz.

38. Bizonytsuk be, hogy ha az A s B halmaz vges halmaz, ak-kor A B A, = esetn A 4 B.

39. Mondjunk pldt olyan A s B halmazra, hogy A B A, = esetn ne teljesljn az A 4 B sszefggs.

40. Legyen A a 2-vel oszthat ktjegy szmok halmaza, B a 3-mal oszthat 100-nl kisebb pozitv szmok halmaza, C pedig a 30-cal oszthat egsz szmok halmaza. Hatrozzuk meg az A s B, B s C, C s A halmaz kzs rszt.

41. Adjunk pldt olyan A, B s C halmazra, hogy teljesljenek a kvetkez felttelek: A B C 1+ + = , A B C 2= = = s A B! , valamint B C! .

42. Bizonytsuk be, hogy A B B+ = esetn B 3 A.43. Jelljk (x; y)-nal a koordintask tetszleges pontjnak ko-

ordintit. Legyen A, B s C rendre az olyan (x; y) koordintk-kal rendelkez pontok halmaza, melyekre x y 1E+ , 1x y E- , illetve y

21E . A sk milyen tartomnyait hatrozzk meg az A B+

s A B C+ +^ h halmazok?44. Legyen D = { ;x y S x R! !^ h , y R! s x 21E }. A 43.

feladat feltteleit hasznlva hatrozzuk meg az A B C D+ + +^ ^h h halmazt. (S a sk pontjainak halmaza.)

45. Bizonytsuk be, hogy A B A B, += esetn A B= .46. Igazoljuk, hogy ha A s B vges halmazok, akkor

A BA B

2+ E

+ .

47. Legyen A s B a sk kt tetszleges tglalaptartomnya pont-


18

jainak halmaza. Legfeljebb hny rszre osztja a skot az A s B hal-maz?

48. Tekintsk a koordintask tengelyeivel prhuzamos oldal tglalapokat. Legfeljebb hny rszre osztja a skot n tglalap, ha n = 1, 2, 3, 4?

49. Az elz feladat n = 3 esetben hatrozzuk meg az A B C+ + , A B C+ + , A B C+ + , A B C+ + , A B C+ + , A B C+ + , A B C+ + , A B C+ + halmazokat, ahol A, B, C olyan tglalaptartomnyok pont-jaibl ll halmazok, melyek a skot a lehet legtbb rszre bontjk.

*50. Bizonytsuk be, hogy n olyan tglalap, melynek megfelel oldalai pronknt prhuzamosak, a skot legfeljebb 2n2 - 2n + 2 tartomnyra osztja.

51. Tekintsnk kt olyan krlapot, melyek a skot ngy rszre osztjk. A kt krlap pontjaibl ll halmaz legyen az A s B hal-maz. Bizonytsuk be, hogy a ngy tartomny pontjai a kvetkez ponthalmazok: A B+ , A B+ , A B+ , A B+ .

*52. Adjunk meg ngy olyan A, B, C, D ponthalmazt a skon, hogy az egyes halmazok hatrvonala zrt grbe legyen s a halma-zok a skot 16 rszre osszk gy, hogy a 16 tartomny mindegyike X Y Z V+ + + alakban legyen felrhat, ahol X, Y, Z s V rendre A vagy A , B vagy B , C vagy C , D vagy D halmazzal egyenl. (Az ilyen tpus diagramokat nevezik Venn-diagramoknak.)

*53. Legyen a termszetes szmok halmaza (N) az alaphalmaz s legyen A, B, illetve C a 2-vel, 3-mal, illetve 6-tal oszthat szmok halmaza. Adjuk meg az A, B, C halmazok ltal meghatrozott atomokat, ha atomnak nevezzk az olyan X Y Z+ + alakban felrha-t halmazokat, ahol X, Y s Z helybe rendre A vagy A , B vagy B , C vagy C kerlhet s egyik halmaz sem res.

54. Kt klnbz sugar koncentrikus krlap pontjainak halma-zt jelljk A-val, illetve B-vel. Hatrozzuk meg az ASB s BSA halmazokat, ha az A halmaz sugara a nagyobb.

55. Jelljk rendre A-, B-, C-, D-, E-vel a 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, illetve 6-tal oszthat pozitv egsz szmok halmazt. Hatroz-zuk meg a kvetkez halmazokat:1. ASB; 2. BSA; 3. ASC; 4. CSA; 5. (CSA)SB; 6. DSC; 7. DSA; 8. (DSC)SB; 9. (ESD)SA; 10. (ESD)S(CSB).


I.

19

56. Legyen az S koordintask pontjaibl ll halmaz az alap-halmaz. Jellje A, B s C rendre a (0; 0), (1; 0), (0; 1) kzppont egysgnyi sugar zrt krlapok pontjainak halmazt. Szemlltessk a kvetkez halmazokat:1. \A B ; 2. \A C ; 3. \B C A+^ h ;4. \ \A C B^ h ; 5. \ \A C B^ h; 6. \A B ;7. \ \ \A B B C C A, ,^ ^ ^h h h; 8. \ \ \A B B C C A, ,^ ^ ^h h h.

57. Bizonytsuk be, hogy ha \A B 4= , akkor A B3 .58. Milyen felttel teljeslse esetn lesz az A, B s C halmazra

igaz, hogy A B B C C A+ , + , + 4=^ ^ ^h h h ?59. Legyen ; ;A B 0 1 2= = " , . Hatrozzuk meg az A B# halmazt.60. Hny elembl ll az A A A# #^ h halmaz, ha 0; 1; 2; 3A = " ,?61. Legyen A x xR 1! E= " , , B y yR 1! E= " , . Mi-

lyen ponthalmazt hatroznak meg azon (x; y) koordintaprok, ame-lyek elemei az A B# halmaznak?

62. Hny kzs eleme van az A B# s B A# halmaznak, ha 0; 1; 2; 3A = " , , ; ; ;B 0 1 2 4= " ,?

63. Hatrozzuk meg az A B B A# + #^ ^h h s \A B B A# #^ ^h h halmazt, ha A B= .

64. Bizonytsuk be, hogy A B B A# #= esetn A B= .65. Igazoljuk, hogy A B41 1 esetn A B B B# #1 .66. Legyen ; ;A 1 2 3= " , , ; ;B 2 3 4= " , . Hatrozzuk meg a k-

lnbz halmazok elemszmt:1. \ \A B B A#^ ^h h; 2. A B A B, +#^ ^h h;3. \A B A B+#^ ^h h; 4. \B A B A,#^ ^h h.

*67. A s B olyan halmazok, melyekre teljesl, hogy A B 100# = . Hatrozzuk meg A B, s A B+ minimumt,

illetve maximumt.*68. Legyen A N1 , B N1 , ahol N a termszetes szmok

halmazt jelli. Ha az x s y szmokra teljesl, hogy y x 802 2- = , akkor x A! s y B! . Hatrozzuk meg az A s B halmazt, ha az sszetartoz rtkprokra x 1 y teljesl.

69. Az A s B halmazokrl tudjuk, hogy 1; 2; 3; 4; 5; 6A B, = " , , \ 2; 4; 6A B = " , , 1; 3A B+ = " , .

Hatrozzuk meg az A s B halmazt.70. Bizonytsuk be, hogy az A B, , A B+ , \B A halmazok isme-

retben egyrtelmen meghatrozhat az A s B halmaz.


20

71. Az A, B s C halmazokrl tudjuk, hogy \ 4; 6; 8A B = " , , \ ; ; ;B C 2 5 9 10= " , , \ ; ;C A 3 7 11= " , , A B C 1+ + = " , ,

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11A B, = " , ,1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 11C A, = " , .

Hatrozzuk meg az A, B, C halmazokat, ha C 5= .72. Adjunk meg hrom olyan ktelem halmazt, melyeknek p-

ronknt vett metszete nem res halmaz, de mindhrom halmaznak nincs kzs eleme.

73. Adjunk meg t olyan halmazt, amelyekre teljesl, hogy br-mely ngy halmaz metszete nem res halmaz, de az t halmaznak nincs kzs eleme.

74. Bizonytsuk be, hogy ha A s B kt tetszleges halmaz, akkor \ \A B A B B, =^ ^h h .

75. Az A, B, C ponthalmazok az S skot nyolc tartomnyra bont-jk szt. rjuk fel a nyolc tartomnyt az unikpzs s klnbsgkp-zs segtsgvel.

76. rjunk fel hat olyan halmazt, amelyek kzl brmely kettnek van kzs eleme, de semelyik hromnak nincs.

*77. Bizonytsuk be, hogy A, B, C tetszleges halmazok esetn az

.

A B C A B C A B C A B C

A B B C C A

+ + , + + , + + , + +

+ , + , +

=

=

^ ^ ^ ^^ ^ ^

h h h hh h h

78. Legyen f x x x x1 2= - +^ ^ ^h h h s g x x x x1 2= + +^ ^ ^h h h, ahol x R! .a) rjuk fel f(x ) s g (x) zrushelyeinek halmazt.

b) Hatrozzuk meg az x f x g x7 ^ ^h h, illetve xg xf x

7 ^^hh fggvny

zrushelyeinek halmazt.c) Lssuk be, hogy f(x) s g (x) zrushelyei halmaznak unija az f(x)g (x) fggvny zrushelyeinek halmaza, illetve azt, hogy az els

kt halmaz klnbsge az g xf x^^hh fggvny zrushelyeinek halmaza.

Jelljk az f(x) s g (x) polinomfggvnyek zrushelyeinek hal-mazt F-fel, illetve G-vel. Bizonytsuk be, hogy igazak a kvetke-z lltsok:


I.

21

d) Az f(x)g (x) fggvny zrushelyeinek halmaza az F G, halmaz.

e) Az g xf x^^hh zrushelyeinek halmaza az \F G halmaz.

f) Az f x g x 02 2+ =^ ^h h egyenlet gykeinek halmaza az F G+ halmaz.g) Az f x g x 0! =^ ^h h egyenlet gykei halmaznak rszhalmaza az F G+ halmaz, ha az alaphalmaz mindegyik esetben a vals sz-mok halmaza.

79. Az a, b, c polinomfggvnyek zrushelyeinek halmaza le-gyen rendre az 0; 1; 2A = " , , ; ;B 1 2 3= " , , ; ;C 0 2 4= " , halmaz.Hatrozzuk meg a kvetkez egyenletek gykeinek halmazt:

a) a x b x c x 0=^ ^ ^h h h ; b) c x

a x b x0=^

^ ^h

h h ;c)

b x c xa x

0=^ ^^h hh ; d) a x b x c x 02 2 2+ + =^ ^ ^h h h .

Az f, g, h polinomfggvnyek vals zrushelyeinek halmazt rend-re F-, G-, H-val jelljk. Adjuk meg a kvetkez egyenletek vals gykeinek halmazt:

e) f x g x h x 0=^ ^ ^h h h ; f) h x

f x g x0=^

^ ^h

h h ;g)

g x h xf x

0=^ ^^h hh ; h) f x g x h x 02 2 2+ + =^ ^ ^h h h .

80. Legyen az a x 0=^ h s b x 0=^ h egyenlet vals gykeinek halmaza A s B. Igaz-e, hogy az a x b x 0=^ ^h h , illetve

b xa x

0=^^hh

egyenlet vals gykeinek halmaza A B, , illetve \A B?*81. Az a x 0=^ h , b x 0=^ h , 0c x =^ h egyenletek vals gykei-

nek halmazt rendre A, B, C-vel jelljk. Mondjunk pldt olyan a x 0=^ h , b x 0=^ h , 0c x =^ h egyenletekre, amelyek vals gy-keire teljesl, hogy az a x b x c x 0=^ ^ ^h h h egyenlet vals gykei-nek halmaza nem egyezik meg az A B C, , halmazzal. Igaz-e, hogy az a x b x c x 02 2 2+ + =^ ^ ^h h h egyenlet gykeinek halmaza A B C+ + ?

*82. Bizonytsuk be, hogy az 0a x =^ h s 0b x =^ h egyenletbl kp-zett a x b x 0=^ ^h h egyenlet vals gykeinek halmaza lehet az res


22

halmaz is, fggetlenl attl, hogy hny gyke van az eredeti egyenle-teknek.

83. a) Tekintsk az xxx

1427

-- fggvnyt (x ! 1) s az

xx xx

22

27

+- fggvnyt (x ! 0 s x ! -2). Hatrozzuk meg az

xxx

x xx

14

222

27 $

--

+- fggvny rtelmezsi tartomnyt gy, hogy

az a lehet legbvebb halmaz legyen.b) Legyen az x f x7 ^ h s x g x7 ^ h fggvny rtelmezsi tartom-nya az A, illetve B halmaz. Igazoljuk, hogy az x f x g x7 ^ ^h h fgg-vny rtelmezsi tartomnya az A B+ halmaz.

84. Tekintsk a lehet legbvebb halmazon rtelmezett x f x7 ^ h s x g x7 ^ h fggvnyeket, ahol f x

x xx 4

2

2

=--^ h , illetve g x

xx x

2

2

=++^ h .

a) Hatrozzuk meg az f(x) s g (x) fggvny rtelmezsi tartom-nyt.b) Adjuk meg az f x 0=^ h s g x 0=^ h egyenlet zrushelyeinek halmazt.c) Mi lesz az f x g x 0=^ ^h h egyenlet zrushelyeinek halmaza?d) Az x f x7 ^ h s x g x7 ^ h fggvny rtelmezsi tartomnya le-gyen az A, illetve B halmaz. Legyen tovbb az f x 0=^ h s g x 0=^ h egyenletek vals gykeinek halmaza F, illetve G. Mutassuk meg, hogy az f x g x 0=^ ^h h egyenlet vals gykeinek halmaza A G B F+ , +^ ^h h.

85. Tekintsk a szmegyenes kvetkez zrt intervallumaibl ll ponthalmazokat: ;I 0 21 = 6 @, ;I 1 32 = 6 @, ;I 2 43 = 6 @, ;I 0 34 = 6 @. Ha-trozzuk meg az I I I1 2 3+ + , I I I1 2 4+ + , I I I41 3+ + , I I I2 3 4+ + hal-mazokat.

86. Mi a 85. feladatban szerepl ngy halmaz kzs rsze, illet-ve unija?

87. Hatrozzuk meg az ;In n1 1

n = -8 B intervallumsorozat egy kzs pontjt.

88. Bizonytsuk be, hogy a ;n

I0 1 n=8 B intervallumsorozat tagjai-nak egy kzs pontja van.


MI.

419

TMUTATSOK S EREDMNYEK

I. Halmazok tulajdonsgai sa matematikai logika elemei

1. Halmaz, rszhalmaz fogalma1. 1., 3., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 12., 13., 14., 15., 18., 19. egyrtelmen meghatrozottak. 2. 1. 0, -1; 2. Jnos Vitz, Nemzeti dal; 3. 53, 59; 4. {3}, {3; 5}; 5. 0, -2, 2; 6. Pldul x - 100 = 0, 2x - 1 = 199; 7. 2, 3; 8. 3, 1; 9. szablyos tetrader, kocka; 10. 1, 6. 3. 1. 0, 1,4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81; 2. 4; 3. 4 ; 4. 0; 5. 0, 1, 2; 6. 3; 7. 450; 8. 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90; 9. 45; 10. 1, 3, 32, 33, 34, 35, 36.4. Egyenlk: 1., 2., 4., 7., illetve 3., 63, ezeken kvl 5., 9., valamint 8., 10. 5. Igaz lltsok: 1., 2., 3., 6., 8., 10. 6. Igaz lltsok: 1., 3., 5., 6., 8., 10. 7. Igaz, ha X = N, Z, Q, R; 2. Igaz, ha X = Z, Q, R; 3. Igaz, ha X = N, Z, Q, R; 4. Igaz, ha X = Q, R.8. 1. 8; 2. 9; 3. 10; 4. 99; 5. 0; 6. 2; 7. 0; 8. 1; 9. 3; 10. 17. 9. 2,ha ,A b0= " , , 3, ha , ,A a a0= -" , . 10. A, B, E, G, H.11. Pldul A

21n! , ahol n ! N. 12. s 13. Vizsgljuk meg az

elemek lehetsges rtkeit. 14. 1. I; 2. Q; 3. 0 s a negatv szmok; 4. 4 ; 5. R. 15. Az eredeti halmazzal, illetve a halmaz komplemen-tervel. 16. Igen, ha az alaphalmaz vges. 17. ;1 2" , , ;1 3" , ,

;1 4" , , ;1 5" , , ;2 3" , , ;2 4" , , ;2 5" , , ;3 4" , , ;3 5" , , ;4 5" , . 18. a) 20; b) 1. 19. A rszhalmazok: 4 , 1" , , 3" , , 5" , , 7" , ,

;1 3" , , ;1 5" , , ;1 7" , , ;3 5" , , ;3 7" , , ;5 7" , , ; ;1 3 5" , , ; ;1 3 7" , , ; ;1 5 7" , , ; ;3 5 7" , , ; ; ;1 3 5 7" , . 20. N T P1 1 s N R P1 1 .

21. Igazak: 1., 3., 4., 7., 9., 10. 22. Igaz. 23. Bizonytsunk in-direkt mdon. 24. A 4= . 25. Hasznljuk a rszhalmaz defi n-cijt! 26. A halmazok vgesek. 27. Igazoljunk pldul teljes indukcival. 28. Ksztsnk brt.


420

2. Mveletek halmazokkal29. ; ; ; ; ; ; ; ;A B 1 2 3 4 6 8 12 16 24, = " , , B C B, = , C A, =

; ; ; ; ; ; ;1 2 3 4 6 8 12 16= " , , nincsenek egyenlk. 30. x x x2 1 02$+ - =^ ^h h . 31. A B, olyan derkszg trapz, melynek cscsai: (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 2), B C, az 58. brn lt-hat, C A, egy derkszg trapz, melynek cscsai (0; -1), (1; 0), (1; 1), (0; 1),

y

2

1

0 1 x

1

58. bra

A B C, , olyan szimmetrikus trapz, melynek cscsai: (0; -1), (1; 0), (1; 1), (0; 2). 32. Ha A s B hatrvonala prhuzamos vagy egybees, s a flskok ellenttes irnytsak. 33. Lsd az 59. brt! 34. Tekintsk az sszes lehetsges esetet. 35. Nzzk vgig, hogy milyen elemekbl llnak az egyes halmazok.36. 0. 37. 1., 4., 5. nem igaz, 2., 3., 6. igaz. 38. Igazoljunk indirekt mdon. 39. A = {a 2-nl nagyobb termszetes szmok},B = {a termszetes szmok}. 40. A B+ = {a 6-tal oszthat kt-jegy szmok}, B C+ = {30; 60; 90}, C A+ = {!30; !60; !90}. 41. ;A 1 2= " , , ;B 2 3= " , , ;C 2 4= " , . 42. Hasznljuk az adott mvelet defi ncijt.


RA

P

C

B

Q

y

B

C

A

x

1

11

1

MI.

421

59. bra

60. bra

43. Lsd a 60. brt! 44. A B C D+ + +^ ^h h egy ngyzetlap, melynek cscsai: ;

21

21- -c m, ;

21

21-c m, ;

21

21c m, ;

21

21-c m.

45. Hasznljuk a megfelel defi ncikat. 46. Hasznljuk fel, hogy

A nylt PQR hromszglap:A B C, ,

A B C+ + a vastagtott hatszglap pontjainak hal-maza.


422

,minA B A B+ E ^ h! 47. 10. 48. 2, 6, 14, 26. 49. Lsd a 61. brt! Az brn 7 halmazt lthatunk megszmozva, mg a nyol-cadik halmaz az res halmaz: A B C+ + 4= . 50. Szmoljuk le, hogy egy jabb tglalap felvtele hny j tartomnyt eredmnyez-het. 51. Rajzoljunk brt!52. Lsd a 62. brt! 53. A B C C+ + = , A B C+ + a 6k + 2 s

7A

B

C

6

6

2

1

2

5

4 3 3 4

5

5 5

D

C

BA

61. bra 62. bra

6k + 4 alak szmok halmaznak unija, A B C+ + a 6k + 3 alakszmok halmaza, A B C+ + a 6k + 1, illetve 6k + 5 alak szmokhalmaznak unija, ahol k tetszleges termszetes szm.54. \A B a krgyr pontjaibl ll, \B A 4= . 55. 1. \A B =

k n6 2 6 4,= + +" ", ,; 2. \B A k6 3= +" ,; 3. \A C k4 2= +" ,;4. \C A 4= ; 5. 4 ; 6. az olyan 5k alak szmok halmaza, ahol k4C ;7. az 5-re vgzd szmok halmaza; 8. az olyan 5k alak szmok hal-maza, ahol 4)k s 3)k, ahol k tetszleges termszetes szm; 9. 4 ;10. \E D , vagyis azon egszek halmaza, amelyek 6-tal oszthatak, de 5-tel nem. 56. Rajzoljuk le kln-kln az egyes eseteket.57. Hasznljuk a mveletek defi nciit! 58. Ha az A, B, C hal-mazok pronknt diszjunktak. 59. ; , ; , ; ,A B 0 0 0 1 0 2# = ^ ^ ^h h h"

; , ; , ; , ; , ; , ;1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h, . 60. 64. 61. A B# a(-1; -1), (1; -1), (1; 1), (-1; 1) cscspontokkal rendelkez ngy-zetlap pontjainak halmaza. 62. 9. 63. A A# , illetve 4 .64. Igazoljunk indirekt mdon. 65. Bizonytsunk a mveletekdefi ncii alapjn. 66. 1. 1; 2. 8; 3. 2; 4. 4. 67. A B10 ,E E

, A B101 0 10+E E E . 68. ; ;A 1 8 19= " , , ; ;B 9 12 21= " , .


AB

C

MI.

423

69. ; ; ; ;A 1 2 3 4 6= " , , ; ;B 1 3 5= " , . 70. Rajzoljunk Venn-diag-ramokat. 71. 1; ; ; ; ;A 2 4 6 8 9= " , , 1; ; ; ; ; 1 ; 1B 2 3 5 9 0 1= " , ,

1; ; ; ; 1C 3 4 7 1= " , . 72. Pldul: ;1 2" , , ;2 3" , , ;3 1" , .73. {a; c; d; e}, {a; b; d; e}, {a; b; c; d}, {a; b; c; e}, {b; c; d; e}.74. Hasznljuk a mveletek defi nciit. 75. Lsd a 63. brt!

63. bra

76. {1; 2; 3; 4; 5}, {1; 6; 7; 8; 9}, {2; 6; 10; 11; 12}, {3; 7; 10; 13; 14}, {4; 8; 11; 13; 15}, {1; 9; 12; 14; 15}. 77. Mutassuk meg, hogy mindkt oldalon ugyanazok az elemek szerepelnek.78. a) {-2; 0; 1}, illetve {-2; -1; 0}; b) {-2; -1; 0; 1}, illetve{1}; c) {-2; 0; 1},{-2; -1; 0} = {-2; -1; 0; 1}, illetve{-2; 0; 1} \ {-2; -1; 0} = {1}. 79. a) {0; 1; 2; 3; 4}; b) {1; 3};c) 4 ; d) {2}; e) F G H, , ; f) \F G H,^ h ; g) \F G H,^ h;h) F G H+ + . 80. Nem, pldul a x

xx

12=

--^ h , b x

xx

212=

--^ h .

81. a xx

x 1= -^ h , b xxx

1

2

=+

^ h , c xxx

12=

--^ h . 82. Pldul

b xa x

1=^ ^h h esetn teljesl az llts. 83. a) R \ {-2; 0; 1}.84. a) R \ {0, 1}, illetve R \ {-2}; b) {-2; 2}, illetve {-1; 0}; c) {-1; 2}.85. I I I1 2 3+ + = {2}, I I I1 2 4+ + = [1; 2], I I I1 3 4+ + = {2}, I I I2 3 4+ + = [2; 3].

A \ (B , C)

(A \ C) \ [A \ (B , C)]

(A \ B) \ [A \ (B , C)]

(C \ A) \ [C \ (A , B)]

C \ (A , B)

B \ (A , C) [A \ (A \ B)] \ (A \ C)


/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/SyntheticBoldness 1.000000 /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice

Documents

Matematika feladatgyűjtemény