Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 101 (4A, TUPŠ)
Izrazite a iz formule ( )2 .p a b a b v= ⋅ + ⋅ + ⋅
Rješenje 101 Ponovimo!
.a b b a= ⇒ =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( )2 2 2 2p a b a b v a b a b v p a b a v b v p= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒
( ) ( )2 2 2 2 2 21
/2
a b a v p b v a b v p b v a v bb
b pv
v⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅+
−⋅
= ⇒
2.
2
p b va
b v
− ⋅ ⋅⇒ =
+ ⋅ Vježba 101
Izrazite v iz formule ( )2 .p a b a b v= ⋅ + ⋅ + ⋅
Rezultat: ( )
.2
p a bv
a b
− ⋅=
⋅ +
Zadatak 102 (4A, TUPŠ)
Koji je broj rješenje jednadžbe ( ) ( ) ( )2 2
3 2 5 5 7 2 1 ?x x x x⋅ + − = ⋅ − ⋅ ⋅ + −
2 1 1 5. . . .
7 7 2 2A B C D− −
Rješenje 102 Ponovimo!
( ) ( )2 2
, , .2
,1
2n n n n m n m
a b a a b b a b a b a a a a a+
+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
( ) ( ) ( )2 2
3 2 5 5 7 2 1x x x x⋅ + − = ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⇒
2 2 29 12 4 5 10 5 14 7x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⇒
12 4 52
5 14 7 12 4 52 2
10 5 149 7x x xx x x x x x⇒ + ⋅ + − = + ⋅ − ⋅⋅ ⋅ −− ⇒ ⋅ + − = ⋅ − ⋅ − ⇒
612 5 14 7 4 5 21 6 21 / 216
2:
1x x x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − + ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = − ⇒
6
21
2.
7x x⇒ = − ⇒ = −
Odgovor je pod A.
2
Vježba 102
Koji je broj rješenje jednadžbe ( ) ( ) ( )2 2
5 3 2 7 5 2 1 ?x x x x− ⋅ + = − ⋅ ⋅ ⋅ + +
2 1 1 5. . . .
7 7 2 2A B C D− −
Rezultat: A.
Zadatak 103 (4A, TUPŠ)
Za koje vrijednosti realnog parametra a je rješenje x jednadžbe
( ) ( )2 3 5 3 6x a a x a x⋅ ⋅ + + ⋅ − = ⋅ ⋅ − veće od 2?
Rješenje 103 Ponovimo!
0 .,a b c a c b c> > ⇒ ⋅ > ⋅
Ako obje strane nejednadžbe pomnožimo (ili podijelimo) s pozitivnim brojem, znak nejednakosti se ne
mijenja.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Parametar
Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002.
Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka
funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata.
Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983.
Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje.
Iz dane jednadžbe izračunamo x.
( ) ( )2 3 5 3 6 2 6 5 3 6x a a x a x a x x a x a a x⋅ ⋅ + + ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒
2 6 23 536 5 6 6a x x a x a a x a x a xx a x a⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = − + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⋅⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ −⋅ ⇒
5 66 5 6 6 5 6 .
1
6/
6
ax a x a x
⋅ −⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ =⋅
Budući da rješenje jednadžbe mora biti veće od 2, slijedi:
5 65 6 5 6
2 2 5 6 12 5 1/ 6 2 666 6
2
ax a a
a a
x
⋅ −= ⋅ − ⋅ −
⇒ > ⇒ > ⇒ ⋅ − > ⇒ ⋅ > + ⇒⋅
>
185 18 5 1
18 / .
55a a a⇒ ⋅ > ⇒ ⇒ >⋅⋅ >
Vježba 103
Za koje vrijednosti realnog parametra a je rješenje x jednadžbe
( ) ( )2 3 5 3 6x a a x a x⋅ ⋅ + + ⋅ − = ⋅ ⋅ − manje od 2?
Rezultat: 18
.5
a <
Zadatak 104 (4A, TUPŠ)
Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 1500 poštanskih maraka. Ana je sakupila
dvostruko više maraka od Dijane, a Dijana trostruko više od Marije. Koliko je maraka sakupila Ana?
Rješenje 104 Ponovimo!
Kako zapisati da je broj b ''n puta'' veći od broja a?
3
, , .b b
b n a a nn a
= ⋅ = =
Kako zapisati da je broj b dvostruko veći od broja a?
2 22
, , .b b
b a aa
= ⋅ = =
Kako zapisati da je broj b trostruko veći od broja a?
3 33
, , .b b
b a aa
= ⋅ = =
Neka je x broj maraka koji je sakupila Marija.
Dijana je sakupila trostruko više maraka od Marije što iznosi
3 .x⋅
Ana je sakupila dvostruko više maraka od Dijane pa ima
( )2 3 6 .x x⋅ ⋅ = ⋅
Budući da sve tri zajedno imaju 1500 poštanskih maraka vrijedi jednadžba:
3 6 1500 10 150 / : 10 10 1 0 05 0 150.x x x x x x+ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Ana je sakupila
6 6 150 900x⋅ = ⋅ =
maraka.
Vježba 104
Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 1500 poštanskih maraka. Ana je sakupila
dvostruko više maraka od Dijane, a Dijana trostruko više od Marije. Koliko je maraka sakupila
Dijana?
Rezultat: 450.
Zadatak 105 (4A, TUPŠ)
Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 1500 poštanskih maraka. Sestre su svih
1500 maraka stavile u album koji ima paran broj stranica. Na svakoj neparnoj stranici ima mjesta za
17 maraka, a na svakoj parnoj za 30 maraka. Koliko stranica ima taj album ako im nedostaju još četiri
marke da bude popunjen?
Rješenje 105
Ponovimo!
.b a b
ac c
⋅⋅ =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Sestre su svih 1500 poštanskih maraka stavile u album i nedostaju im još četiri marke da bi ga
popunile što znači da u njemu ima mjesta za
1500 + 4 = 1504
poštanskih maraka.
Budući da album ima paran broj stranica, polovica njih su neparne, a polovica parne. Neka je x broj
4
stranica albuma. Tada neparnih stranica ima ,2
x a parnih, također, .
2
x
Na svakoj neparnoj stranici ima mjesta za 17 maraka pa je to ukupno
172
x⋅
poštanskih maraka.
Na svakoj parnoj stranici ima mjesta za 30 maraka pa je to ukupno
302
x⋅
poštanskih maraka.
Vrijedi jednadžba:
17 30 1504 17 30 1504 17 30 30082 2 2 2
/ 2x x x x
x x⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ =⋅ ⇒
47 3008 47 3008 64/ : 4 .7x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vježba 105
Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 3000 poštanskih maraka. Sestre su svih
3000 maraka stavile u album koji ima paran broj stranica. Na svakoj neparnoj stranici ima mjesta za 17 maraka, a na svakoj parnoj za 30 maraka. Koliko stranica ima taj album ako im nedostaje još osam
maraka da bude popunjen?
Rezultat: 128.
Zadatak 106 (Luka, gimnazija)
Rješenje jednadžbe x + 2 · x + 3 · x + … + 111 · x = 259 je:
1 1 1 1. . . .
4 8 12 24A B C D
Rješenje 106
Ponovimo!
1.
nn =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ Zbroj prvih n prirodnih brojeva
( )11 2 3 4 5 .. ..
2
n nn
⋅ ++ + + + + + =
( )2 3 ... 111 259 1 2 3 ... 111 259x x x x x+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⇒ ⋅ + + + + = ⇒
( )111 111 1 111 112 111259 259 25
112
2 29
2x x x
⋅ + ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
5
111 56259 111 56 259 6 216 259 6 2 /16 259
1: 6 216x x x x
⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
25259 1.
6 216 24
9
6 216x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =
Odgovor je pod D.
Vježba 106
Rješenje jednadžbe x + 2 · x + 3 · x + … + 111 · x = 518 je:
1 1 1 1. . . .
4 8 12 24A B C D
Rezultat: C.
Zadatak 107 (4A, TUPŠ)
Naknada za obavljeni dio posla u nekoj radionici računa se prema formuli:
( )307 20,
1.76
pn d
− ⋅= + gdje je p broj izrađenih proizvoda, a d dodatak na složenost posla. Koliko je
proizvoda izradio Josip ako je dobio 3417 kuna, a dodatak na složenost posla bio mu je 42 kune?
Rješenje 107
Ponovimo!
, .b a b
a b b a ac c
⋅= ⇒ = ⋅ =
Naknada n za obavljeni dio posla u nekoj radionici računa se prema formuli:
( )307 20.
1.76
n naknada za obavljeni dio poslap
p broj izrađenih proizvoda n d
d dodatak na složenost posla
−− ⋅
− ⇒ = +
−
Iz uvjeta zadatka dobijemo linearnu jednadžbu u kojoj je nepoznanica p, broj izrađenih proizvoda.
( ) ( ) ( )307 20 307 20 307 20
1.76 1.76 1.76
p p pn d d n n d
− ⋅ − ⋅ − ⋅= + ⇒ + = ⇒ = − ⇒
( )( ) ( )
307 20 1.76 1.76307 307
1.76 20
1.76/
2 200
pn d p n d p n d
− ⋅⇒ = − ⇒ − = − ⋅ ⇒ − ⋅ +⋅ = ⇒
( )1.76 1.76
3417 42 307 3375 307341
2
7
2 04 20
np
dp⇒ ⇒ = − ⋅ + ⇒ = ⋅
=+ ⇒
=
3375 1.76307 297 307 604.
20p p p
⋅⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
Josip je izradio 604 proizvoda.
Vježba 107
Naknada za obavljeni dio posla u nekoj radionici računa se prema formuli:
( )307 10,
0.88
pn d
− ⋅= + gdje je p broj izrađenih proizvoda, a d dodatak na složenost posla. Koliko je
proizvoda izradio Josip ako je dobio 3417 kuna, a dodatak na složenost posla bio mu je 42 kune?
Rezultat: 604.
6
Zadatak 108 (Ante, srednja škola)
Nejednadžba 2 8 1n
x x⋅ < ⋅ − nema rješenja ako je:
. 0 . 1 . 2 . 3A n B n C n D n= = = =
Rješenje 108
Ponovimo!
0 1,1 , , 0 .a a b c a c b c a a= < < ⇒ ⋅ > ⋅ =
Postavljenu nejednadžbu riješimo za svaki zadani n.
• 0
2 8 1 1 8 1 8 1 8 12 8 1
0x x x x x x x xn
x
n
x⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ < ⋅ − ⇒ − ⋅ < − ⇒
⋅ < ⋅ −
=
( )/ : 71
7 1 7 17
x x x−⇒ − ⋅ < − ⇒ − ⋅ < − ⇒ >
• 1
2 8 1 2 8 1 2 81
1 6 12 8 1
x x x x x x xnx x
n⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ < − ⇒ − ⋅ < − ⇒
⋅ < ⋅ −
=
( )/ : 61
6 16
x x⇒ − −⋅ < − ⇒ >
• 2
2 8 1 4 8 1 4 82
1 4 12 8 1
x x x x x x xnx x
n⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ < − ⇒ − ⋅ < − ⇒
⋅ < ⋅ −
=
( )/ : 41
4 14
x x⇒ − −⋅ < − ⇒ >
• 3
83
2 8 1 8 8 1 1 0 1.2 8
81
nx xx x x xn
x x⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ ⋅ < ⋅ − ⇒ < −
=⋅ ⋅ ⇒ < −
⋅ < ⋅ −
Nema rješenje.
Odgovor je pod D.
Vježba 108
Nejednadžba 3 9 1n
x x⋅ < ⋅ − nema rješenja ako je:
. 0 . 1 . 2 . 3A n B n C n D n= = = =
Rezultat: C.
Zadatak 109 (Vern, ekonomska škola)
Riješite nejednadžbu ( ) ( )24 3 .x x x x⋅ − > − +
Rješenje 109
Ponovimo!
, , ,, .1
0a b n m n m
a b c a c b c a b a a a a ac c
+> > ⇒ > + > + ⇒ > = ⋅ =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( )2 2 24 3 4 3
23
24x x x x x x x x x xxx−⋅ − > − + ⇒ ⋅ − > − − ⇒ ⋅ > − − ⇒
7
34 3 4 3 5 3 5 : ./3
55x x x x x x x⇒ ⋅ > − ⇒ ⋅ + > ⇒ ⋅ > ⇒ ⋅ > ⇒ >
Vježba 109
Riješite nejednadžb ( ) ( )24 3 .x x x x⋅ − < − +
Rezultat: 3
.5
x <
Zadatak 110 (4A, 4B, TUPŠ)
Ako je 0.1, 0.01, 1, tada je:x y x y z= = ⋅ ⋅ =
. 0.001 . 1000 . 10 . 0.1A z B z C z D z= = = =
Rješenje 110
Ponovimo!
, , .a c a c b a b a
a b ab d b d c c b
⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅
Decimalni broj množimo (dijelimo) dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, … ) tako da mu
decimalnu točku pomaknemo udesno (ulijevo) za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula.
Na primjer:
0.4 10 4 , 0.45 10 4.5 , 3.239 100 323.9 , 0.123 1000 123.⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Konačni decimalni broj piše se u obliku razlomka tako da se u brojnik napiše zadani decimalni broj
bez decimalne točke, a u nazivnik se napiše dekadska jedinica s onoliko nula koliko decimalni broj
ima decimala.
Na primjer:
3 749 239 23 10.3 , 7.49 , 0.239 , 0.023 , 0.01 .
10 100 1000 1000 100= = = = =
1.inačica
metoda
supstitucije
0.1 , 0.010.1 0.01 1 0.001 1
1
x yz z
x y z
= =⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
⋅ ⋅ =
/ 100. 00001 1 1000.z z⇒ ⋅ ⇒ =⋅=
Odgovor je pod B.
2.inačica
1 10.1 , 0.01 , 1 1
110 1001 10 100
metoda
supstitucije1
x y x yz
x y zx y z
= = = =⇒ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒
⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =
1 11 1 1000.
1000 1/ 1000
000z z z⇒ = ⇒ =⋅⋅ = ⇒ ⋅
Odgovor je pod B.
Vježba 110
Ako je 1, 0.1, 1, tada je:x y x y z= = ⋅ ⋅ =
. 0.001 . 1000 . 10 . 0.1A z B z C z D z= = = =
Rezultat: C.
8
Zadatak 111 (Vox, gimnazija)
Odredi skup rješenja nejednadžbe 1
za 1 i 0.2
x xm m
m m
+< < ≠
Rješenje 111
Ponovimo!
2, 0 0 , , 0 .a R a a a b c a c b c∈ ≠ ⇒ > < > ⇒ ⋅ < ⋅
, 0 , ., 0a b a b
a b c a b cc c c c
< < ⇒ > < > ⇒ <
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1 11 1
2 2
uvjet2
0 /
20
x x x xm x x m x x
m mm m
m m
m
+ +< ⇒ ⇒ < ⇒ ⋅ < + ⇒ ⋅ − <⋅ ⇒≠
>
( ) ( )
uvjet1
1 /1
11 1 1 1
11
.
0
m x m x xm
mm
m
⇒ − ⋅ < ⇒ ⇒ −< ⋅−
−
⋅ < ⇒ >
<−
Vježba 111
Odredi skup rješenja nejednadžbe 1
za 1 i 0.2
x xm m
m m
+< > ≠
Rezultat: 1
.1
xm
<−
Zadatak 112 (Katarina, gimnazija)
Riješi jednadžbu: 1.x y z x y y z z x x y z⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + = −
Rješenje 112
Ponovimo!
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.
0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =
Zadanu jednadžbu preoblikujemo na sljedeći način:
1 1 0x y z x y y z z x x y z x y z x y y z z x x y z⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + = − ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )metoda
grupiran1
ja0x y z x y y z y z x x z⇒ ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0x y z y z x z z⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 01 1 1z z z zx y y x z x y y x⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ + + ++ + + =+ ⇒
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 0 1 1 1 0metoda grupiranja
u drugoj zagradiz x y y x z y x x⇒ ⇒ + ⋅ ⋅ + + + = ⇒ + ⋅ ⋅ + + + = ⇒
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 01 1 1 1 0 1 1 1 01z y z x y xx y zx⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ + ⋅ + ⋅ ++ =+ ⇒
9
( ) ( )
1 0 1
1 0 1 , , 1, 1, 1 .
1 0 1
x x
y y x y z
z z
+ = = −
⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − − −
+ = = −
Vježba 112
Riješi jednadžbu: ( )1 .x y z z x y x z x z+ + + + ⋅ = − ⋅ ⋅ + +
Rezultat: ( ) ( ), , 1, 1, 1 .x y z = − − −
Zadatak 113 (Kaja, hotelijerska škola)
Pekar pomiješa 220 kg pšeničnoga brašna i 330 kg kukuruznoga brašna. Cijena kilograma
pšeničnoga brašna je 7 kn, a kukuruznoga brašna 10 kn. Kolika je cijena tako dobivenoga miješanoga
brašna?
. 7.80 za kilogram . 8.50 za kilogramA kn B kn
. 8.80 za kilogram 9.50 za kilogramC kn D kn
Rješenje 113
Ponovimo!
Jednostavni račun smjese
Ako pomiješamo dvije vrste robe:
• prve mase m1 kg po cijeni c1 kn
• druge mase m2 kg po cijeni c2 kn,
dobit ćemo smjesu mase (m1 + m2) kg po cijeni c kn.
( ) 1 1 2 21 1 2 2 2
1
.1
2
m c m cm c m c m m c c
m m
⋅ + ⋅⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ =
+
10 kn10 kn10 kn10 kn7 kn7 kn7 kn7 kn
330 kg330 kg330 kg330 kg220 kg220 kg220 kg220 kg
Računamo cijenu mješavine.
220 , 71 1
330 , 10
1 1 2 2
12 2 2
m kg c kn
m kg c kn
m c m cc
m m
= =⇒ ⇒
⋅ ⋅=
+= =
+
220 7 330 108.80 .
220 330
kg kn kg knc c kn
kg kg
⋅ + ⋅⇒ = ⇒ =
+
Odgovor je pod C.
Računanje džepnim računalom: ( ) ( )220 7 330 10 : 220 330⋅ + ⋅ + =
Vježba 113
Pekar pomiješa 440 kg pšeničnoga brašna i 660 kg kukuruznoga brašna. Cijena kilograma
pšeničnoga brašna je 7 kn, a kukuruznoga brašna 10 kn. Kolika je cijena tako dobivenoga miješanoga
brašna?
. 7.80 za kilogram . 8.50 za kilogramA kn B kn
. 8.80 za kilogram 9.50 za kilogramC kn D kn
Rezultat: C.
10
Zadatak 114 (Ana, ekonomska škola)
Koliko rješenja ima nejednadžba 3 7 1x x− ⋅ + ≥ − + u skupu prirodnih brojeva?
Rješenje 114
Ponovimo!
, 0 .a b
a b cc c
≥ < ⇒ ≤
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo:
{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , , , .. .1 .N n n= +
( )3 7 1 3 1 7 2 6 2 / : 3.26x x x x x x x− ⋅ + ≥ − + ⇒ − ⋅ + ≥ − ⇒ − ⋅ ≥ − ⇒ −− ⋅ ≥ − ⇒ ≤
U skupu prirodnih brojeva nejednadžba ima tri rješenja.
{ }1, 2, 3 .x ∈
Vježba 114
Koliko rješenja ima nejednadžba 3 7 5x x− ⋅ + ≥ − + u skupu prirodnih brojeva?
Rezultat: x = 1.
Zadatak 115 (Ana, ekonomska škola)
Koliko rješenja ima nejednadžba 3 7 1x x− ⋅ + > − + u skupu prirodnih brojeva?
Rješenje 115
Ponovimo!
, 0 .a b
a b cc c
> < ⇒ <
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo:
{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , , , .. .1 .N n n= +
( )3 7 1 3 1 7 2 6 2 / : 3.26x x x x x x x− ⋅ + > − + ⇒ − ⋅ + > − ⇒ − ⋅ > − ⇒ −− ⋅ > − ⇒ <
U skupu prirodnih brojeva nejednadžba ima dva rješenja.
{ }1, 2 .x ∈
Vježba 115
Koliko rješenja ima nejednadžba 3 7 5x x− ⋅ + ≥ − + u skupu prirodnih brojeva?
Rezultat: U skupu prirodnih brojeva nejednadžba nema rješenja.
Zadatak 116 (4A, 4B, TUPŠ)
Čemu je jednako z iz formule ( )?h
s t zm
= ⋅ −
. . . .h t m s h t m s
A z h t m s B z h t m s C z D zh h
⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ = =
Rješenje 116
Ponovimo!
, , .1
n b a b a c a d b cn a
c c b d b d
⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = − =
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
11
( ) ( ) ( )/h h
s t z s t z m s h t z m s h t hm zm m
= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⇒
/ : .h t m s
h z h t m s h z h t m s zh
h⋅ − ⋅
⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ =
Odgovor je pod C.
2.inačica
( ) /h h h h h
s t z s t z s t z m s h t h zm m m m
mm
= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒
/ : .h t m s
h z h t m s h z h t m s zh
h⋅ − ⋅
⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ =
Odgovor je pod C.
3.inačica
( ) ( ) /h h mm
h
m m ss t z s t z s t z z t s z t
m m h h h
⋅= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ ⋅ = − ⇒ = − ⋅ ⇒ = −⋅ ⇒
.1
t m s h t m sz z
h h
⋅ ⋅ − ⋅⇒ = − ⇒ =
Odgovor je pod C.
Vježba 116
Čemu je jednako z iz formule ( )?h
s z tm
= − ⋅ −
. . . .h t m s h t m s
A z h t m s B z h t m s C z D zh h
⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ = =
Rezultat: C.
Zadatak 117 (4A, 4B, TUPŠ)
Kolika je vrijednost y u rješenju sustava jednadžbi
1 13
?1 1
5
x y
x y
+ =
− =
. 2 . 1 . 1 . 2A B C D− −
Rješenje 117
Ponovimo!
, , .1
n a c b d a a an
b d a c b b b
−= = ⇒ = = − =
−
( )
metoda suprotnih
koefici
1 1 1 1 1 13 3 3
1 1 1 1 1 15 5 5
jenata/ 1
x y x y x y
x y x y x y
+ = + =
⋅ −
+ =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− = − = − + = −
2 2 2 1 12 1.
1 2/ 2
2 2 2
y yy
y y⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⇒⋅= − = −
Odgovor je pod B.
12
Vježba 117
Kolika je vrijednost y u rješenju sustava jednadžbi
1 13
?1 1
1
x y
x y
+ =
− =
. 2 . 1 . 1 . 2A B C D− −
Rezultat: C.
Zadatak 118 (Ana, ekonomska škola)
Za koju vrijednost od x razlomci 1 3
i2 4
x x
x x
+ +
+ + poprimaju recipročne vrijednosti?
5 2 2 3. . . .
2 5 3 2A B C D− −
Rješenje 118
Ponovimo!
, , , .1a c a c a c a
a d b c a b a b b ab d b d b d b
⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⇒ = = ⇒ =
⋅
Za svaki racionalan broj , , 0,a
a bb
≠ postoji racionalan broj b
a kojim treba pomnožiti
a
b da se dobije
broj 1, tj.
1.a b
b a⋅ =
Racionalan broj b
a zove se recipročan broj od broja .
a
b
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Budući da su razlomci 1 3
i2 4
x x
x x
+ +
+ + međusobno recipročni, vrijedi:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 31 31 1 1 3 2 4
2 4 2 4
x xx xx x x x
x x x x
+ ⋅ ++ +⋅ = ⇒ = ⇒ + ⋅ + = + ⋅ + ⇒
+ + + ⋅ +
2 22 23 3 4 2 8 3 3 4 2 8x x x x x xxx x x xx⇒ + ⋅ + + = + ⋅ + ⋅ + ⇒ + ⋅ + + = + ⋅ + ⋅ + ⇒
3 3 4 2 8 3 2 8 3 2 83 4x x x xx xx xx⋅ +⇒ ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⇒ + = + ⋅ + ⇒ = ⋅ +⋅ ⇒
52 8 3 2 3 8 2 5 2 / 25 .
2:x x x x x⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −
Odgovor je pod A.
Vježba 118
Za koju vrijednost od x razlomci 2 4
i1 3
x x
x x
+ +
+ + poprimaju recipročne vrijednosti?
5 2 2 3. . . .
2 5 3 2A B C D− −
Rezultat: A.
13
Zadatak 119 (Aca, strukovna škola)
Indeks zagađenja zraka u 7:00 h ujutro iznosi 25 čestica na milijun čestica zraka te raste do
16:00 h povećavajući se svaki sat za 13 čestica na milijun čestica zraka. Nakon 16:00 h indeks
zagađenja zraka linearno opada do 7:00 h ujutro kada ponovno iznosi 25 čestica na milijun čestica
zraka.
a) Koliki je indeks zagađenja zraka u 16:00 h?
b) U koliko sati indeks zagađenja zraka padne na 103 čestice na milijun čestica zraka nakon što je
dostigao maksimalnu vrijednost?
Rješenje 119
Ponovimo!
.1 24dan h=
a)
9 h
Od 7:00 h do 16:00 h prošlo je 9 sati.
16 : 00
7 : 00
9 : 00
−
U 7:00 h indeks zagađenja iznosio je 25 čestica na milijun čestica zraka i svaki se sat povećao za 13
čestica pa je nakon 9 sati, u 16:00 h, iznosio:
25 13 9 142.+ ⋅ =
b)
7 h8 h
Od 16:00 h do 7:00 h ujutro prošlo je ukupno 15 sati.
24 : 00
16 : 00
8 : 00
−
7 : 00
0 : 00
7 : 00
−
8 7 15 .h h h+ =
Indeks zagađenja od svoje najveće vrijednosti 142 u 16:00 h linearno opada do 25 u 7:00 h ujutro
smanjujući se svaki sat za n čestica na milijun čestica zraka. Izračunajmo broj n.
14
( )/ :142 15 25 15 25 142 15 117 15 117 7.8.15n n n n n− ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =−
Svaki sat indeks zagađenja smanji se za 7.8 čestica na milijun čestica zraka.
Računamo nakon koliko sati s je indeks zagađenja pao sa 142 na 103 čestice na milijun čestica zraka.
( )142 7.8 103 7.8 103 142 7 / : 7.8.8 39 7.8 39 5.s s s s s− ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − −⋅ = − ⇒ =
U 16:00 h indeks zagađenja je bio najveći, a nakon 5 sati smanjit će se na 103 čestice na milijun
čestica zraka. To će biti u 21 h.
16 5 21 .h h h+ =
Vježba 119
Indeks zagađenja zraka u 7:00 h ujutro iznosi 25 čestica na milijun čestica zraka te raste do
17:00 h povećavajući se svaki sat za 15 čestica na milijun čestica zraka. Koliki je indeks zagađenja
zraka u 17:00 h?
Rezultat: 175.
Zadatak 120 (BBB, ekonomska škola)
Koristeći ekvivalenciju 0 0 0a
a bb
= ⇔ = ∧ ≠ riješi jednadžbu 2 6
0.1
x
x
⋅ −=
+
Rješenje 120
Ponovimo!
0.0 0a
a bb
= ⇔ = ∧ ≠
2 6 0 2 6 2 6 32 60 .
1 0 1 1
/
1
:
1
2x x x xx
x x x xx
⋅ − = ⋅ = ⋅ = =⋅ −= ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ ≠ ≠ − ≠ − ≠ −+
Rješenje zadane jednadžbe je x = 3.
Vježba 120
Koristeći ekvivalenciju 0 0 0a
a bb
= ⇔ = ∧ ≠ riješi jednadžbu 3 12
0.1
x
x
⋅ −=
+
Rezultat: x = 4.
