Matematika I.

2. heti előadás

Deák Ottómestertanár

Műszaki Térinformatika 2015/2016. tanévszakirányú továbbképzés őszi félév

Mi az a Maple?

• Általános célú számítógép-algebrai rendszer

• Windows alapú kezelőfelület

• Interaktív kezelési mód

• Programozható

• Problémamegoldásra alkalmas eszközrendszer

• Elméletileg teljesen megalapozott algoritmusok

• Könnyű kezelhetőség

1. lecke

Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha egy negyedfokú polinom négy valós gyöke számtani soro-zatot alkot, akkor ugyanez igaz a derivált-jára is!

Értelmezés: •Egy negyedfokú polinomnak 4 gyöke van;•A számtani sorozat négy egymást követő tagja:

a, a+d, a+2·d, a+3·d:•A polinom felírható gyöktényezős alakban:

p(x)=(x-x1) ·(x-x2) ·(x-x3) ·(x-x4);•A p’(x) polinomnak 3 gyöke lesz;•Kérdés: Ezek számtani sorozatot alkotnak?

1. lecke megoldása

Mit tanultunk a Maple-ből?

• A parancsokat pontosvesszővel zárjuk le. Egy pa-rancs több sorból is állhat és egy sorban több pa-rancs is megadható. Több soros parancsnál az Enter billentyűvel lépünk az újabb sorba.

• Az értékadás operátora a := jelsorozat.• A diff(f,x) parancs az f kifejezés x szerinti deri-

váltját állítja elő.• A solve(f=0,x) parancs az f=0 egyenletet oldja meg x-re.

• Sorozat a Maple-ben: olyan adattípus, ami a Maple objektumok vesszővel elválasztott sorozatából áll. Elemeire index segítségével hivatkozhatunk.

Az 1. lecke gyakorló feladatai

1.feladat: Keressük meg az alábbi egyenletek gyö-keit!

a) x3 - 5 ·x2 - 4 ·x + 2 = 0

b) 3 ·x3 - 5 ·x2 + x - 6 = 0

c) a ·x2 + b ·x + c = 0

2.feladat: Tekintsük az f(x) = x3 - 3 · x2 függvényt,

és a belőle származtatott y(x)=x·f(x-1) negyedfokú polinomot. Mutassuk meg, hogy az y deriváltjának gyökei mértani sorozatot alkotnak!

Az 1. gyakorló feladat megoldásai

A 2. gyakorló feladat megoldása

A 2. lecke

Feladat: Tekintsük az f=4·x4+4·x3-13·x2-7·x+8 po-linomot!

a) Határozzuk meg az f összes valós gyökét!b) Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk!c) Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=0 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!

A 2. lecke megoldása

A 2. lecke megoldása

A 2. lecke megoldása

A 2. lecke megoldása

A 2. lecke megoldása

A 2. lecke megoldása

Mit tanultunk a Maple-ből (I.)?

• A solve eljárás elfogad egyenlet helyett kifejezést is, és ekkor a kifejezés=0 egyenletet oldja meg.

• A max és a min eljárás a paraméterként megadott sorozat legnagyobb illetve legkisebb elemét hatá-rozza meg.

• A plot eljárás legegyszerűbb hívása: plot(kifejezés,x=a..b). Ennek hatására a kifejezés által meghatározott görbét a rendszer az [a,b] zárt intervallumon ábrázolja.

• Ha a plot eljárásnak kifejezések halmazát adjuk meg, akkor a görbéket a rendszer egy ábrán jeleníti meg, különböző színekkel.

Mit tanultunk a Maple-ből (II.)?

• Kifejezések helyettesítési értékét a subs eljárással állíthatjuk elő. Ennek legegyszerűbb formája a subs(változó=kifejezés1,kifejezés2). Hatására a változó minden egyes kifejezés2-beli előfordulása a kifejezés1 értékével helyettesítődik. Figyelem: a helyettesítés a kifejezés2-t nem változtatja meg!

• A halmaz adattípus MAPLE objektumok kapcsos zárójelbe zárt sorozata, mely elemeinek rende-zetlen összessége. A halmazokkal műveletek is végezhetők: union, intersect és minus.

A 2. lecke gyakorló feladatai

3.feladat: Rajzoljuk fel a következő függvényeket különböző intervallumokon!a) x4 -2 · x3 - 7 ·x2 + 8 ·x + 12b) x3 + 5 ·x2 - 4 ·x - 20

4.feladat: Tekintsük az f=4·x4+4·x3-13·x2-7·x+8 polinomot!a) Határozzuk meg az f összes valós gyökét!b) Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk!c) Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=1.2 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!

A 3/a. gyakorló feladat megoldása

A 3/b. gyakorló feladat megoldása

A 4. gyakorló feladat megoldása (I.)

A 4. gyakorló feladat megoldása (II.)

A 3. lecke

Feladat: Készítsük el az f=(x5+8*x2-2*x-6)/(x5+1) függvény ábráját úgy, hogy az jól mutassa az f viselkedését!

Kérdés: Mi jellemzi egy függvény „viselkedését”?Válasz: Zérushelyek

SzélsőértékekHatárértékek (véges és végtelen)

A 3. lecke megoldása

A 3. lecke megoldása

A 3. lecke megoldása

A 3. lecke megoldása

A 3. lecke megoldása

A 3. lecke megoldása

A 3. lecke megoldása

Mit tanultunk a Maple-ből (I.)?

• Az fsolve eljárás megadja a függvények gyökeinek valós közelítését. Polinom esetében fsolve az összes gyököt; minden más esetben egy gyököt közelít. Az fsolve-nak opcióként megadható, hogy a gyököt milyen intervallumban keresse: fsolve (f,x,x=a..b).

• A numer eljárás a paraméterként adott tört vagy törtfüggvény számlálóját adja. A nevező a denom eljárással állítható elő.

• A realroot egyváltozós polinomok gyökeit izolál-ja. Outputja [[a1..b1],…[an..bn]] alakú, ahol az [ai..bi] intervallumok mindegyike egy-egy gyököt tartalmaz.

Mit tanultunk a Maple-ből (II.)?

• A realroot egyéb könyvtári eljárás, amit a readlib(realroot) utasítással kell elérhetővé tenni.

• Az f kifejezés i-dik deriváltját a diff(f,x$i) parancs közvetlenül előállítja.

• A limit eljárás függvények végesben és végtelenben vett határértékeit határozza meg. Tehát limit(f,x=a) nem más, mint az f határértéke, miközben x tart az a-hoz.

• A plot eljárásban harmadik paraméternek op-cióként megadhatjuk a függvényértékek ábrázolási tartományát. Tehát a plot szintaxisa:

plot(f,x=a..b,y=c..d);

A 3. lecke gyakorló feladatai

5.feladat: Izoláljuk az alábbi polinomok gyökeit, és adjuk meg mindegyik intervallumra a gyököt!a) x3 -3 · x2 - 1 b) x4 - x - 1c) x3 -7 ·x2 - 2 ·x - 1 d) x4 + x2 - 1

6.feladat: Határozzuk meg az alábbi határértékeket!a) limit(sin(x)/x,x=0)b) limit(n/(3 · n2+1),n=infinity)c) limit((n2+1)/(2 · n+1)-(3 ·n2 + 1)/(6 ·n+2), n=infinity)

7.feladat: Vizsgáljuk meg az alábbi függvények szélső-érték helyeit és rajzoljuk fel egy ábrába az első és a második deriváltakat!a) f = x5- 5 ·x4 + 5 ·x3 + 7b) f = sin(x) + x ·cos2(x)