Embed Size (px)
Citation preview
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACHSTAVEBNÁ FAKULTA
ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU VSTAVEBNÍCTVE
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY
RNDr. Pavol PURCZ, PhD.
Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ
MATEMATIKA IZBIERKA ÚLOH
KOŠICE 2008
Copyright c© 2008, RNDr. Pavol Purcz, PhD. - Mgr. Adriana Šugárová
Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná tlačenou, elektronickou alebo inouformou bez písomného súhlasu autora a vydavateľa.
Neprešlo jazykovou úpravou.
Recenzenti: Doc.RNDr. František Olejník, CSc.,Doc.RNDr. Csaba Török, CSc.
Vydala Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta
ISBN 978-80-553-0078-8
Úvod
Tieto skriptá sú napísané pre študentov 1.ročníka bakalárskeho štúdia TU Stavebnejfakulty a Fakulty umení v Košiciach. Skriptá obsahujú tieto kapitoly: Lineárna algebra,Reálna funkcia jednej reálnej premennej, Diferenciálny počet funkcie jednej premennej aAnalytická geometria. Posledná kapitola pozostáva z výsledkov riešenia daných úloh.
Na začiatku každej kapitoly sú uvedené definície niektorých pojmov a ich vlastnosti,potrebné na riešenie príslušných úloh. Skriptá ďalej obsahujú riešené príklady a príkladyna samostatné riešenie s výsledkami. Nakoľko tieto skriptá sú koncipované ako zbierkaúloh, neobsahujú definície všetkých pojmov a ani dôkazy matematických viet.
Na záver si dovoľujeme poďakovať doc.RNDr. Františkovi Olejníkovi, CSc. a doc.RNDr.Csabovi Törökovi, CSc. za starostlivé prečítanie celého textu a pripomienky, ktorými pris-peli k zlepšeniu tejto učebnej pomôcky.
Autori
3
1 Lineárna algebra
1.1 Matice. Operácie s maticami.
Maticou typu m× n nazývame tabuľku čísel pozostávajúcu z m riadkov a n stĺpcov
A = (aij) =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...am1 am2 . . . amn
.
Čísla aij (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n) nazývame prvky matice A.Ak všetky prvky matice sú rovné nule, maticu nazývame nulovou maticou. Ak m =
n, matica A sa volá štvorcová matica. Prvky aii, i = 1, 2, . . . , n štvorcovej matice tvoriajej hlavnú diagonálu. Ak všetky prvky hlavnej diagonály štvorcovej matice sú rôzne odnuly a všetky prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule, hovoríme o trojuholníkovejmatici. Štvorcová matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sú rovné číslu 1 a všetkyjej ostatné prvky sú rovné nule, sa nazýva jednotková matica. Budeme ju označovaťE.Rovnosť dvoch matícDve matice A = (aij) a B = (Bij) považujeme za rovnaké a píšeme A = B, ak sú toho
istého typu m× n a ak všetky prvky obidvoch matíc na rovnakých miestach sú rovnaké,t.j. aij = bij (i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n).Súčet dvoch matícSúčtom dvoch matíc A = (aij) a B = (bij) toho istého typu m×n rozumieme maticu
C = (cij) typu m× n, pre ktorej prvky platí cij = aij + bij (i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n).Násobenie matice reálnym číslomMaticu násobíme reálnym číslom tak, že každý jej prvok násobíme týmto číslom.Súčin dvoch matícNech A = (aij) je matica typu m × n a B = (bij) je matica typu n × p. Maticu
C = (cij) typu m× p, pre prvky ktorej platí
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj (i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , p)
nazývame súčinom matíc A a B a píšeme C = A ∗B.Súčin dvoch matíc je definovaný práve vtedy, ak počet stĺpcov prvej matice sa rovná
počtu riadkov druhej matice, t.j. i-tý riadok matice A násobíme j-tým stĺpcom maticeB.Maticu
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2...
......
...a1n a2n . . . anm
označujeme AT a nazývame transponovanou maticou k matici A.
Príklad 1. Nájdime maticu X, pre ktorú platí 3A+ 2X = B, kde
A =
(5 2−8 1
), B =
(3 42 7
).
4
Riešenie. Matica X musí byť typu 2× 2, X =(x11 x12x21 x22
). Po dosadení dostaneme
X =12
[(3 42 7
)− 3
(5 2−8 1
)]=12
[(3 42 7
)−(15 6−24 3
)]=12
(−12 −226 4
)=
(−6 −113 2
). �
Príklad 2. Určme súčin matíc A ∗ B a B ∗ A, kde A =
4 2 −1 23 −7 1 −82 4 −3 1
, B =2 3−3 01 53 1
.
Riešenie. Súčin A∗B má zmysel, pretože počet stĺpcov matice A sa rovná počtu riadkov
matice B. Matica C = A ∗B je typu 3× 2, C =
c11 c12c21 c22c31 c32
. Prvok cij je súčinom i-teho
riadku matice A a j-teho stĺpca matice B. Tedac11 = 4.2 + 2.(−3) + (−1).1 + 2.3 = 7c12 = 4.3 + 2.0 + (−1).5 + 2.1 = 9c21 = 3.2 + (−7).(−3) + 1.1 + (−8).3 = 4, atď.Dostaneme
C =
7 94 6−8 −8
. �
Súčin B ∗ A nemá zmysel, pretože počet stĺpcov matice B je rôzny od počtu riadkovmatice A.
Úlohy
1. Pre aké čísla x, y, z, u platí rovnosť medzi nasledujúcimi dvojicami matíc?a) (
2y + 1 94 2x+ 5y
)=
(3 94 12x+ 9
)b) (
4 6 8 42x+ 3 12 6z + 2 8
)=
(2y + 3 6 8 410x+ 1 3u 8 + 5z 8
)c) (
4 6 8 42x+ 3 12 6 8
)=
(2y + 3 6 8 410x+ 1 6z + 2 3u 8
).
2. Vypočítajte A+B, A−B, 2A− 3B, ak:
a) A =
(1 −23 4
), B =
(7 0−3 2
); b) A =
5 4 23 1 −12 −3 0
, B =
1 1 12 0 11 2 3
.
5
3. Vypočítajte:
a)
1 3 23 4 −12 1 1
+2 1 21 0 −12 3 0
; b)
2 1 −3 1−1 2 −3 11 1 −1 2
− 20 1 −1 31 2 −1 11 3 2 −1
;c) 2
[(2 −1 03 2 1
)+ 3
(1 −5 42 1 2
)].
4. Vypočítajte súčin matíc:
a)
(3 −25 −4
)∗(3 42 5
); b)
(1 57 0
)∗(2 −13 2
); c)
(−1 00 −1
)∗(1 −42 −2
);
d)
(2 3 5−1 2 4
)∗
3 1−2 41 3
; e)
−2 31 40 −5
∗ ( 1 8 2−5 0 1
);
f)
1 0 −1−1 1 12 0 1
∗2 0 −10 −3 14 1 −1
; g)
2 3 −18 7 62 1 5
∗−1 0 −12 1 00 1 1
.
5. Pre dané matice A a B vypočítajte súčiny A ∗B a B ∗ A (ak existujú).
a) A =(2 1 −1
), B =
123
; b) A =(1 2 3 4
), B =
340−1
;c) A =
(2 −1 03 7 −5
), B =
2 4 −2 1−3 0 4 71 4 −5 2
;d) A =
1 3−2 10 2
, B =
(3 0 −4−2 1 3
);
e) A =
1 2 32 4 63 6 9
, B =
−1 −2 −4−1 −2 −41 2 4
;f) A =
2 −1 31 2 03 −2 1
, B =
−2 5 61 7 −38 −1 −5
;g) A =
1 −2 32 3 −43 −4 1
, B =
2 0 12 1 40 −1 0
;h) A =
(−2 3 0 11 1 2 −1
), B =
2 01 −1−1 21 3
;i) A =
4 15 07 8
, B =
2 8 01 1 10 1 0
;j) A =
(−6 2−1 3
), B =
(−3 2 −1 0−1 −2 3 4
).
6
6. Vypočítajte súčin matíc:
a)
(4 37 5
)∗(−1 02 1
)∗(7 32 1
);
b)
(2 11 3
)∗(2 11 3
)∗(2 11 3
);
c)
(−5 43 1
)∗(1 −20 1
)∗(72
);
d)
(1 2 22 −3 2
)∗
1 40 2−1 1
∗ (3 45 −1
).
7. Vypočítajte x, y, z, t, u, v tak, aby platilo:(x 3 y 0z 1 x+ 1 −2
)∗
1 1 1x −t u0 0 3v z t
= (8 5 −17 0 12
).
8. Vypočítajte A2, B2 − 3A, (A−B) ∗ (A+B) a A2 −B2, ak:
A =
(2 −51 3
); B =
(1 −22 −3
).
9. Vypočítajte hodnotu f(A), keď: A =
(2 −1−3 3
);
a) f(x) = x2 − 5x+ 3 b) f(x) = x2 − x− 1
10. Je daná matica A =
(3 −10 −2
). Nájdite maticu X, ktorá spĺňa podmienku:
a) X + 4A = O b) 5A− 3X = O
11. Je daná matica A =
(2 123 8
). Nájdite maticu X, ktorá spĺňa podmienku:
a) A+X = E b) 2A+ 3X = E
12. Riešte maticové rovnice s neznámou maticou X:
a) 2A− 3X = B, kde A =(1 2−3 0
), B =
(−1 4−12 9
);
b) 3A+ 2X = 2B, kde A =
(1 23 4
), B =
(1 −10 −1
);
c) 6X − 3A = 2B, kde A =(3 −45 0
), B =
(0 01 0
);
d) 2(13X + 2A
)= X −B, kde A =
(1 2−2 0
), B =
(−1 −76 2
);
e) 2AT − 3X = B, kde A =
2 1−3 01 2
, B =
(1 2 −40 5 1
);
7
f) 5X − 2A = E, kde A =
1 2 0−1 0 23 1 1
.
13. Určte rozmery matice A a jej prvky:
a)
1 12 −13 0
∗ A =033
; b) A ∗
1−11
= (0) ;c) A ∗
(3 1
)=
(6 −23 −1
); d)
(2 −1 11 −3 2
)∗ A =
(57
).
1.2 Determinanty
Každej štvorcovej matici A typu n× n
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...an1 an2 . . . ann
môzeme priradiť číslo, ktoré nazývame determinantommatice A a označujemeD, det Aalebo ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .V determinante D si zvolíme ľubovoľný prvok aij a symbolom Sij označíme deter-
minant, ktorý vznikne z determinantu D vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Sij
nazývame subdeterminantom (minorom) determinantuD patriacim prvku aij.Al-gebraickým komplementom Aij patriacim prvku aij nazývame subdeterminant Sij soznamienkom, t.j.
Aij = (−1)i+jSij.
Hodnota determinantu D matice A je definovaná takto
1. Ak n = 1, tak D = a11.2. Ak n ≥ 2, tak hodnotou determinantu D matice A nazývame číslo, ktoré dostanemetak, že prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) determinantu vynásobíme príslušnými al-gebraickými komplementami a všetko spolu spočítame (rozvoj determinantu podľariadku (stĺpca)).
Z definície hodnoty determinantu D vyplýva
D =
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21,
D =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11A11 + a21A21 + a31A31 = a11∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣++a21
(−∣∣∣∣a12 a13a32 a33
∣∣∣∣)+ a31 ∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣8
Poznámka. Pre n = 3 je možné použiť Sarusovo pravidlo:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13. . . �
a21 a22 a23
�. . . �. . .a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31
−a23a32a11 − a33a12a21.
�. . . �. . .a11 a12 a13
� . . .a21 a22 a23
Vlastnosti determinantov
1. Determinant matice sa rovná determinantu matice k nej transponovanej.2. Ak determinant D má dva riadky rovnaké, tak D = 0.3. Ak niektorý riadok determinantu D je nulový, tak D = 0.4. Ak v determinante D vymeníme navzájom dva riadky, tak sa zmení znamienkodeterminantu.
5. Determinant násobíme číslom tak, že týmto číslom násobíme jeden ľubovoľný ria-dok.
6. Hodnota determinantu sa nezmení, ak k ľubovoľnému riadku pripočítame číselnýnásobok iného riadku.
Poznámka. Z vlastnosti 1 vyplýva, že vlastnosti 2-6 platia aj pre stĺpce.
Príklad 3. Vypočítajme determinant
∣∣∣∣ 7 −2−5 3
∣∣∣∣ .Riešenie.
∣∣∣∣ 7 −2−5 3
∣∣∣∣ = 7.3− (−2).(−5) = 21− 10 = 11. �
Príklad 4. Vypočítajme determinant D =
∣∣∣∣∣∣−5 6 13 4 21 −1 −3
∣∣∣∣∣∣Riešenie.∣∣∣∣∣∣−5 6 13 4 21 1 3
∣∣∣∣∣∣ = (−5).4.3 + 3.1.1 + 1.6.2− [1.4.1 + (−5).1.2 + 3.6.3] = −45− 48 = −93.−5 6 13 4 2
Príklad 5. Vypočítajme determinant
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1 −1−1 −1 −1 11 2 3 48 7 6 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ .9
Riešenie. Determinant môžme rozvinúť podľa ľubovoľného riadku (stĺpca) a počítať po-dobným spôsobom ako v predchádzajúcom príklade. Ukážme teraz inú modifikáciu tohtospôsobu. Najprv determinant upravíme tak, aby v niektorom riadku (stĺpci) boli všetkyprvky okrem jedného rovné nule. Pripočítaním prvého riadku k druhému a následnýmrozvojom podľa druhého riadku dostaneme
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1 −10 0 −2 01 2 3 48 7 6 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.A21+0.A22+(−2).A23+0.A24 = (−2).(−1)2+3
∣∣∣∣∣∣1 1 −11 2 48 7 5
∣∣∣∣∣∣ = 2.18 = 36. �
Úlohy
14. Vyčíslite determinanty:
a)
∣∣∣∣3 −24 6
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣1 −56 7
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣−1 46 −3
∣∣∣∣ ; d)
∣∣∣∣4 −12 3
∣∣∣∣ ; e)
∣∣∣∣ sinα cosα− cosα sinα
∣∣∣∣ .15. Riešte rovnice:
a)
∣∣∣∣2 x− 41 4
∣∣∣∣ = 0; b)
∣∣∣∣3x −1x 2x− 3
∣∣∣∣ = 32 ; c)
∣∣∣∣x2 6x3 2x
∣∣∣∣ = 0.16. Vyčíslite determinanty:
a)
∣∣∣∣∣∣3 2 0−1 4 15 3 −2
∣∣∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣∣∣2 1 35 3 21 4 3
∣∣∣∣∣∣ ; d)
∣∣∣∣∣∣2 1 34 5 1−2 −1 6
∣∣∣∣∣∣ ;e)
∣∣∣∣∣∣2 1 11 1 21 2 1
∣∣∣∣∣∣ ; f)
∣∣∣∣∣∣2 1 −51 3 41 2 3
∣∣∣∣∣∣ ; g)
∣∣∣∣∣∣2 0 03 2 04 3 2
∣∣∣∣∣∣ ; h)
∣∣∣∣∣∣−x 1 x0 −x −1x 1 −x
∣∣∣∣∣∣ ;i)
∣∣∣∣∣∣1 a 10 a 0a 0 −a
∣∣∣∣∣∣ ; j)
∣∣∣∣∣∣a −a aa a −aa −a −a
∣∣∣∣∣∣ .17. Vypočítajte x z rovníc:
a)
∣∣∣∣∣∣x2 4 9x 2 31 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0; b)
∣∣∣∣∣∣1 7 38 x 8x 2 x
∣∣∣∣∣∣ = 0; c)
∣∣∣∣∣∣x2 3 2x −1 10 1 4
∣∣∣∣∣∣ = 0.18. Nasledujúce determinanty vypočítajte rozvinutím podľa niektorého riadku (stĺpca).
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −1 −10 −1 −1 1a b c d−1 −1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 1 x1 2 1 y1 1 2 z1 1 1 t
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 1 1b 0 1 1c 1 0 1d 1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ .19. Vyčíslite determinanty:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1 32 5 2 13 4 2 −1−5 −4 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 4 53 0 0 25 1 2 72 0 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
10
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣0 5 0 28 3 4 57 2 1 40 4 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; e)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; f)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 30 −1 −2 00 3 −3 11 2 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
g)
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 −1 0 12 1 −2 −10 1 2 −2−1 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; h)
∣∣∣∣∣∣∣∣3 6 5 41 2 3 33 3 2 22 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; i)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 1 00 1 2 −13 −1 2 33 1 6 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
j)
∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 −3 42 1 −1 26 2 1 02 3 0 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; k)
∣∣∣∣∣∣∣∣8 7 2 0−8 2 7 104 4 4 50 4 −3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; l)
∣∣∣∣∣∣∣∣5 4 0 02 1 0 03 8 −1 1−10 9 3 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
1.3 Inverzná matica
Majme štvorcovú maticu A. Maticu A−1, pre ktorú platí
A ∗ A−1 = A−1 ∗ A = E
nazývame inverznou maticou k matici A. Matica A má inverznú maticu A−1 právevtedy, ak determinant D matice A je rôzny od nuly a vypočítame ju podľa vzorca
A−1 =1DA∗, (1)
kde A∗ je adjungovaná matica k matici A,
A∗ =
A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2...
......
A1n A2n . . . Ann
,
kde Aij sú algebraické komplementy k prvkom aij matice A.
Príklad 6. Nájdime inverznú maticu (ak existuje) k matici
a) A =
1 1 11 2 31 3 4
, b) B =
3 2 42 0 41 1 1
, c) C =
(cosx − sin xsin x cosx
).
Riešenie.
a) D =
∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 31 3 4
∣∣∣∣∣∣ = −1. Preto matica A má inverznú maticu A−1. Vypočítame prvky Aij
adjungovanej matice
A∗ =
A11 A21 A31A12 A22 A32A13 A23 A33
,
kde Aij sú algebraické komplementy k prvkom aij matice A.
11
A11 =
∣∣∣∣2 33 4∣∣∣∣ = −1, A12 = −
∣∣∣∣1 31 4∣∣∣∣ = −1, A13 =
∣∣∣∣1 21 3∣∣∣∣ = 1,
A21 = −∣∣∣∣1 13 4
∣∣∣∣ = −1, A22 =
∣∣∣∣1 11 4∣∣∣∣ = 3, A23 = −
∣∣∣∣1 11 3∣∣∣∣ = −2,
A31 =
∣∣∣∣1 12 3∣∣∣∣ = 1, A32 = −
∣∣∣∣1 11 3∣∣∣∣ = −2, A33 =
∣∣∣∣1 11 2∣∣∣∣ = 1.
Podľa vzorca (1) dostaneme
A−1 =1−1
−1 −1 1−1 3 −21 −2 1
= 1 1 −11 −3 2−1 2 −1
.
b)
D =
∣∣∣∣∣∣3 2 42 0 41 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0.Z toho vyplýva, že matica B nemá inverznú maticu.c)
D =
∣∣∣∣cosx − sin xsinx cosx
∣∣∣∣ = cos2 x+ sin2 x = 1 6= 0.Preto matica C má inverznú maticu C−1. Vypočítame prvky Cij adjungovanej matice
C∗ =
(C11 C21C12 C22
).
Postupne zisťujeme, že C11 = cos x, C12 = − sin x, C21 = sin x, C22 = cos x. Podľavzorca (1) dostaneme
C−1 =11
(cosx sin x− sin x cosx
)=
(cosx sin x− sin x cosx
). �
Úlohy
V úlohách 20. a 21. vypočítajte inverznú maticu A−1 pre danú maticu A.20.
a) A =
(1 23 4
); b) A =
(3 45 7
); c) A =
(1 22 5
); d) A =
(3 72 5
).
21.
a) A =
1 1 −1−4 −5 6−3 −3 4
; b) A =
3 −4 52 −3 13 −5 −1
;c) A =
1 2 22 1 −22 −2 1
; d) A =
2 5 76 3 45 −2 −3
;e) A =
4 2 12 2 15 1 2
; f) A =
2 2 31 −1 0−1 2 1
;12
g) A =
1 0 03 1 00 3 1
; h) A =
1 2 −30 1 20 0 1
.
22. Riešte maticové rovnice s neznámou maticou X.
a)
(1 23 4
)∗X =
(3 07 2
); b)
(1 23 4
)∗X =
(3 55 9
);
c)
(2 11 0
)∗X =
(3 21 1
); d) X ∗
(3 2−2 −1
)=
(−1 2−1 1
);
e) X ∗(3 −25 −4
)=
(−1 2−5 6
);
f)
(3 −15 −2
)∗X ∗
(5 67 8
)=
(14 169 10
);
g)
(2 51 4
)∗X ∗
(2 11 2
)=
(−3 3−3 3
);
h)
(2 −10 3
)∗X =
(0 1−1 4
)−(2 −10 3
);
i) X ∗
5 3 11 −3 −2−5 2 1
=−8 3 0−5 9 0−2 15 0
;j)
1 2 −33 2 −42 −1 0
∗X = 1 −3 010 2 710 7 8
.1.4 Sústavy lineárnych rovníc
Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi má tvar
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm.
(1)
Čísla aij sa nazývajú koeficienty a čísla bi (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n) sa nazý-vajú absolútne členy sústavy (1); x1, x2, . . . , xn sa nazývajú neznáme. Ak všetkyabsolútne členy sú rovné nule, sústava sa nazýva homogénna. Maticu
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...am1 am2 . . . amn
13
nazývame maticou sústavy (1). Maticu
A′ =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...am1 am2 . . . amn
∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2
bm
nazývame rozšírenou maticou sústavy (1).
A. Gaussova eliminačná metóda
Dve sústavy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné, ak majú tie isté neznáme a akkaždé riešenie jednej sústavy je riešením aj druhej sústavy a obrátene. Úpravy sústavy,ktorými z danej sústavy dostaneme sústavu s ňou ekvivalentnú, nazývame ekvivalentnéúpravy. Budeme používať tieto ekvivalentné úpravy:
1. zmena poradia rovníc (neznámych),2. násobenie ľubovoľnej rovnice sústavy ľubovoľným číslom rôznym od nuly,3. pripočítanie číselného násobku ľubovoľnej rovnice sústavy k inej rovnici sústavy.
Ekvivalentnými úpravami sa menia len koeficienty a absolútne členy sústavy. Pretonamiesto sústavy môžeme pracovať s rozšírenou maticou sústavy. Každej ekvivalentnejúprave sústavy odpovedá úprava rozšírenej matice sústavy:
1’. zmena poradia riadkov (stĺpcov),2’. násobenie ľubovoľného riadku rozšírenej matice ľubovoľným číslom rôznym od nuly,3’. pripočítanie číselného násobku ľubovoľného riadku rozšírenej matice k inému riadkutejto matice.
Úpravami 1’-3’ sa snažíme docieliť, aby na hlavnej diagonále matice sústavy bolivšetky prvky rôzne od nuly a pod hlavnou diagonálou všetky prvky rovné nule.Môže sa stať, že používaním týchto úprav dostaneme nulový riadok: 0 0 . . . 0|0.
Tomuto riadku odpovedá rovnica sústavy 0.x1 + 0.x2 + · · · + 0.xn = 0. Tejto rovnicivyhovujú ľubovoľné čísla x1, x2, . . . , xn. Preto táto rovnica pre výpočet nemá význama zo sústavy ju môžeme vynechať. Z toho vyplýva, že nulový riadok rozšírenej maticemôžeme vynechať.Po konečnom počte použití úprav 1’-3’ a vynechaní nulových riadkov nastane jedna
z týchto troch možností:
1. Dostaneme riadok tvaru 0 0 . . . 0|bi, kde bi 6= 0. Tomuto riadku odpovedá rovnica0.x1 + 0.x2 + · · · + 0.xn = bi, ktorá nemá riešenie (je sporná). Z toho vyplýva, žesústava (1) nemá riešenie.
2. Matica sústavy má trojuholníkový tvar (t.j. m = n, teda počet riadkov maticesústavy je rovnaký ako počet jej stĺpcov, alebo inak povedané, počet rovníc sarovná počtu neznámych). V tomto prípade má sústava jediné riešenie.
3. Počet riadkov matice sústavy je menší ako počet jej stĺpcov, (t.j. m < n), tedapočet rovníc sa rovná počtu neznámych. V tomto prípade má sústava nekonečnemnoho riešení.
14
V prípadoch 2 a 3 napíšeme sústavu rovníc odpovedajúcu výslednej rozšírenej maticia obdržanú sústavu riešime.
Príklad 7. Riešme sústavu
2x + y + 3z = 34x + 2y + 5z = 53x + 4y + 7z = 2.
Riešenie. Napíšeme rozšírenú maticu sústavy a upravujeme ju 2 1 34 2 53 4 7
∣∣∣∣∣∣352
∼1
1 2 32 4 54 3 7
∣∣∣∣∣∣352
∼2
1 2 30 0 −10 −5 −5
∣∣∣∣∣∣3−1−10
∼3
1 2 30 1 10 0 1
∣∣∣∣∣∣321
.
∼1: Vymenili sme navzájom druhý a tretí stĺpec (aby prvok a11 na hlavnej diagonálebol rovný jednej).
∼1: Prvý riadok sme násobili postupne číslami -2 a -4 a pripočítali k druhému a tretiemuriadku.
∼2: Vymenili sme navzájom druhý a tretí riadok (aby prvok a22 na hlavnej diagonálebol rôzny od nuly) a zároveň vydelili druhý riadok číslom −1 a tretí riadok číslom−5.
Výsledná matica sústavy má trojuholníkový tvar a teda riešenie je jediné. Napíšeme sú-stavu odpovedajúcu výslednej rozšírenej matici
y + 2x + 3z = 3x + z = 2
z = 1.
Pri jej riešení postupujeme zdola nahor. Z tretej rovnice vypočítame z = 1, dosadíme dodruhej rovnice a vypočítame x = 1. Napokon, dosadíme do prvej rovnice a vypočítamey = −2. �
Príklad 8. Riešme sústavu
−x + 2y + z − u = −1− y − z + 3u = 3
x + 3y + 2z − 4u = −45x + 2y + + 4u = 4.
Riešenie.−1 2 1 −10 −1 −1 31 3 2 −45 2 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣−13−44
∼1
−1 2 1 −10 −1 −1 30 5 3 −50 12 5 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣−13−5−1
∼2
∼2
−1 2 1 −10 −1 −1 30 0 −2 100 0 −7 35
∣∣∣∣∣∣∣∣−131035
∼3
−1 2 1 −10 −1 −1 30 0 1 −50 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣−13−50
∼4
15
∼4
−1 2 1 −10 −1 −1 30 0 1 −5
∣∣∣∣∣∣−13−5
.
∼1: Prvý riadok sme postupne násobili číslami 1 a 5 a pripočítali k tretiemu a štvrtémuriadku.
∼2: Druhý riadok sme postupne násobili číslami 5 a 12 a pripočítali k tretiemu a štvr-tému riadku.
∼3: Tretí riadok sme najprv vydelili číslom −2 a potom násobili číslom 7 a pripočítalik štvrtému riadku.
∼4: Vynecháme nulový riadok.
Výsledná matica sústavy má lichobežníkový tvar. Preto sústava má nekonečne mnohoriešení. Napíšeme sústavu odpovedajúcu výslednej rozšírenej matici
−x + 2y + z − u = −1− y − z + 3u = 3
z − 5u = −5.
Za jednu z neznámych, napr. za neznámu u si zvolíme ľubovoľné číslo a potom z tretej ,druhej a prvej rovnice vypočítame z = −5 + 5u, y = 2− 2u, x = 0. �
Príklad 9. Riešme sústavu
x + y − 3z − u = 73x − 2y + z + u = 411x − 4y − 3z + u = 10
.
Riešenie. 1 1 −3 −13 −2 1 111 −4 −3 1
∣∣∣∣∣∣7410
∼1
1 1 −3 −10 −5 10 40 −15 30 12
∣∣∣∣∣∣7−17−67
∼2
1 1 −3 −10 −5 10 40 0 0 0
∣∣∣∣∣∣7−17−16
∼1: Prvý riadok sme postupne vynásobili číslami −3 a −11 a pripočítali k druhému atretiemu riadku.∼2: Druhý riadok sme vynásobili číslom −3pripočítali k tretiemu riadku.
Poslednému riadku odpovedá sporná rovnica 0.x+ 0.y + 0.z + 0.u = −16. Preto sústavanemá riešenie. �
Príklad 10. Pre aké hodnoty a má systém
2x1 − x2 + x3 + x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = t
riešenie?
Riešenie. 2 −1 1 11 2 −1 41 7 −4 11
∣∣∣∣∣∣12t
∼1
1 2 −1 40 −5 3 −70 5 −3 7
∣∣∣∣∣∣2−3t− 2
∼2
16
∼2
1 2 −1 40 −5 3 −70 0 0 0
∣∣∣∣∣∣2−3t− 5
∼1: Vymeníme prvú a druhú rovnicu. Potom prvú rovnicu postupne násobíme číslami
−2,−1 a pripočítame k druhej a tretej rovnici.∼2: Druhú rovnicu pripočítame k tretej rovnici.
Keďže sústava odpovedajúca výslednej rozšírenej matici má mať riešenie, nesmie obsa-hovať spornú rovnicu. Z toho vyplýva t− 5 = 0 a t = 5. �
B. Cramerovo pravidlo
Ak počet rovníc sústavy (1) sa rovná počtu neznámych a ak determinant D maticesústavy (1) je rôzny od nuly, táto sústava má jediné riešenie, ktoré nájdeme Cramero-vým pravidlom
x1 =D1D, x2 =
D2D, . . . , xn =
Dn
D.
Di je determinant, ktorý dostaneme z determinantu D tak, že v D i-ty stĺpec nahradímestĺpcom absolútnych členov sústavy (1), i = 1, 2, . . . , n.
Príklad 11. Riešme sústavu
x1 + x2 + 2x3 = −12x1 − x2 + 2x3 = −44x1 + x2 + 4x3 = −2
.
Riešenie. Najskôr vypočítame determinant D danej sústavy.
D =
∣∣∣∣∣∣1 1 22 −1 24 1 4
∣∣∣∣∣∣ = 6 6= 0.Z toho vyplýva, že sústava má jediné riešenie a nájdeme ho Cramerovým pravidlom
x1 =D1D, x2 =
D2D, x3 =
D3D.
D1 =
∣∣∣∣∣∣−1 1 2−4 −1 2−2 1 4
∣∣∣∣∣∣ = 6, D2 =
∣∣∣∣∣∣1 −1 22 −4 24 −2 4
∣∣∣∣∣∣ = 12, D3 =
∣∣∣∣∣∣1 1 −12 −1 −44 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = −12.Po dosadení dostaneme
x1 =66= 1, x2 =
126= 2, x3 =
−126= −2. �
17
Príklad 12. Vypočítajme t tak, aby homogénna sústava
ax1 + x2 + x3 = 0x1 + ax2 + x3 = 0x1 + x2 + ax3 = 0
mala aj nenulové riešenie.
Riešenie. Pre determinant D sústavy musí platiť D = 0 (keby platilo D 6= 0, tak sústavaby mala jediné riešenie, teda nulové). Teda∣∣∣∣∣∣
a 1 11 a 11 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 0.Po výpočte determinantu dostaneme rovnicu a3 − 3a+ 2 = 0, čo môžme upraviť najprvtakto a3 − a − 2a + 2 = 0 a ďalej a(a2 − 1) − 2(a − 1) = (a − 1)[a(a − 1) − 2] =(a− 1)(a2 − a− 2) = (a− 1)2(a+ 2), ktorej korene sú a1 = 1, a2 = −2. �
C. Riešenie sústavy pomocou inverznej matice
Predpokladajme, že počet rovníc sústavy (1) sa rovná počtu n neznámych. Pre sústavu(1) uvažujme tieto matice
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...an1 an2 . . . ann
, X =
x1x2...xn
, B =
b1b2...bn
.
Potom sústavu (1) môžeme zapísať jednou maticovou rovnicou
A ∗X = B.
Túto rovnosť nazývame maticový zápis sústavy (1). Ak matica A má inverznú maticuA−1, rovnicu násobíme zľava maticou A−1 a dostaneme
X = A−1 ∗B.
Príklad 13. Riešme sústavu
x1 + 2x2 − x3 = 2x1 − x3 = −22x1 + x2 + x3 = 7
.
Riešenie. Najskôr prejdeme k maticovému zápisu sústavy A∗X = B. Zostavíme maticuA sústavy, maticu X neznámych a maticu B absolútnych členov sústavy
A =
1 2 −11 0 −12 1 1
, X =
x1x2x3
, B =
2−27
.
18
K matici A existuje inverzná matica
A−1 = −16
1 −3 −2−3 3 01 3 −2
.
Potom z maticového zápisu A ∗X = B môžeme vyjadriť X = A−1 ∗B a dosadiťx1x2x3
= −16
1 −3 −2−3 3 01 3 −2
2−27
= −16
−6−12−18
=123
,
čo znamená, že x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. �
Úlohy
Riešte sústavy lineárnych rovníc:
23. x + y − 2z = 3−3x − 3y + 5z = −82x + 4y − 3z = 5
24. x + y − z = 1− 4x − 5y + 6z = 2− 3x − 3y + 4z = 3
25. 2x + y + z = 2x + 3y + z = 5x + y + 5z = −7
26. 2x − y + z = 23x + 2y + 2z = −2x − 2y + z = 1
27. 2x + 2y + 3z = 1x − y = 3
− x + 2y + z = −228. 2x − 3y + z = 0
x + 2y − z = 32x + y + z = 12
29. 2x1 − x2 − x3 = 43x1 + 4x2 − 2x3 = 113x1 − 2x2 + 4x3 = 11
30. x + 2y + z = 43x − 5y + 3z = 12x + 7y − z = 8
31. 2x + y = 5x + 3z = 16
5y − z = 10
19
32. x + 2y − 4z = 12x + y − 5z = −1x − y − z = −2
33. 2x − y + z = −2x + 2y + 3z = −1x − 3y − 2z = 3
34. 3x − y + 2z = 52x − y − z = 24x − 2y − 2z = −3
35. 2x + y − z = 0x + 2y + z = 02x − y + 3z = 0
36. x − y − z = 0x + 4y + 2z = 03x + 7y + 3z = 0
37. x + y = 1x − 2y − 6z = 1x − 2z = 2
38. 3x1 + 4x2 + 2x3 − 8 = 0x1 + 5x2 + 2x3 − 5 = 02x1 + 3x2 + 4x3 − 3 = 0
39. x1 + 3x2 + 2x3 − 4 = 02x1 + 6x2 + x3 − 2 = 04x1 + 8x2 − x3 − 2 = 0
40. 2x + y + z = 2x + 3y + z = 5x + y + 5z = −72x + 3y − 3z = 15
41. x + y − 3z = −12x + y − 2z = 1x + y + z = 3x + 2y − 3z = 1
42. x + 3y + 2z = 02x − y + 3z = 03x − 5y + 4z = 0x + 17y + 4z = 0
43. 2x − y + z = 4x + y − z = −13x − 7y − 2z = −1
− 2x + 5y + z = 1
44. x + 2y − z = 23x − y + 2z = 7x − z = −22x + y + z = 7
20
45. x − 2y + 3z − 4u = 4y − z + u = −3
x + 3y − 3u = 1− 7y + 3z + u = −3
46. x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 112x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 123x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 134x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14
47. 2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 12x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3
48. 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 20x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 112x1 + 10x2 + 9x3 + 7x4 = 403x1 + 8x2 + 9x3 + 2x4 = 37
49. 2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 44x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 68x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 123x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 6
50. 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = −33x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 = −66x1 + 8x2 + x3 + 5x4 = −83x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 = −8
51. 3x1 − 2x2 + x3 + x4 = 4x1 + x2 − 3x3 − x4 = 711x1 − 4x2 − 3x3 + x4 = 10
52. x1 + x2 − x3 − x4 = 02x1 − x2 + x3 + 2x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + x4 = 5
− x1 + x2 + x3 − x4 = 4
53. 2x2 + 4x3 − 3x4 − 6 = 02x1 + x2 + 3x3 + x4 = 06x1 + 5x2 + 13x3 − 8 = 02x1 + 3x2 + 7x3 − 2x4 + 5 = 0
54. x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 13x1 + 2x2 + x3 − x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 12x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2
21
V úlohách 55.-58. určte hodnotu parametra a tak, aby sústava malaa) jediné riešenie b) žiadne riešenie c) nekonečne mnoho riešení.
55. 3x1 + 2x2 + x3 = −17x1 + 6x2 + 5x3 = a5x1 + 4x2 + 3x3 = 2
56. ax + y + z = 05x + y − 2z = 2
− 2x − 2y + z = −357. x + y + az = 2
x + ay + z = −1ax + y + z = −1
58. x1 + x2 + x3 = 22x1 + 3x2 + 4x3 = 33x1 + 2x2 + ax3 = 6
59. Určte parameter a tak, aby sústava rovníc
2x1 − x2 + x3 + x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = a
mala riešenie.
60. Určte parameter a tak, aby sústava rovníc
3x − 2y + z = 0ax − 14y + 15z = 0x + 2y − 3z = 0
mala nenulové riešenie a nájdite ho.
61. Stavebná firma zaplatila za 1 balík stavebných zmesí, 3 balíky cementu a 7 balíkovkameniva 3.530,-Sk. Pri objednávke 1 balíka stavebných zmesí, 4 balíkov cementu a 10balíkov kameniva uhradila 4.310,-Sk. Koľko zaplatí stavebná firma za 2 balíky stavebnýchzmesí, 3 balíky cementu a 5 balíkov kameniva?
22
2 Funkcie jednej reálnej premennej
2.1 Definičný obor a základné vlastnosti funkcií
Množinu všetkých reálnych čísel označme R.Definičným oborom D(f) (ak D(f) nie je daný) funkcie danej rovnicou y = f(x)rozumieme množinu všetkých x ∈ R, pre ktoré f(x) ∈ R.Oborom hodnôt H(f) funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkýchy ∈ R, pre ktoré existuje x ∈ R tak, že y = f(x).Grafom funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkých usporiadanýchdvojíc [x, y] ∈ RxR takých, že x ∈ D(f) a y ∈ H(f).Funkcia y = f(x) je párna, ak f(−x) = f()x pre každé x ∈ D(f).Funkcia y = f(x) je nepárna, ak f(−x) = −f()x pre každé x ∈ D(f).Funkciu f(x) nazývame ohraničenou, ak jej obor hodnôt H(f) je ohraničená množina.Podobne definujeme pojem funkcie ohraničenej zhora (zdola).Nech pre funkciu y = f(x) platí: ak x1 6= x2 (pre všetky x1, x2 ∈ D(f)), tak aj f(x1) 6=f(x2). Potom k funkcii y = f(x) existuje inverzná funkcia x = g(y), pre ktorú platí, žeD(g) = H(f) a ku každej hodnote y ∈ D(g) existuje také x ∈ D(f), pre ktoré y = f(x).Rovnice y = f(x) a x = g(y) vyjadrujú tú istú krivku. Grafy funkcií y = f(x) a y = g(x)sú symetrické podľa priamky y = x. Inverznú funkciu k funkcii f označujeme aj ako f−1.
Úlohy
V úlohách 1 - 60 načrtnite grafy daných funkcií, určte definčný obor D(f) a obor hodnôtH(f). Zistite vlastnosti ako párnosť, nepárnosť, ohraničenosť zhora a zdola. Ak funkciamá inverznú funkciu f−1(x), určte ju spolu s grafom, D(f−1) a H(f−1).
1. y = |x|. 2. y = |x| − 3.3. y = −|x| − 3. 4. y = |x− 3|.5. y = −|x− 3|. 6. y = x2 + 8; x ∈< 0,∞).7. y = x2 − 4. 8. y = 4− x2; x ∈< 0,∞).9. y = (x+ 1)2; x ∈< −1,∞). 10. y = (x− 1)2 + 4; x ∈< 1,∞).11. y = (x− 1)2 − 4. 12. y = x|x|.13. y = (x− 1)|x|. 14. y = x|x− 1|.15. y = x2 − 2|x|+ 1. 16. y = |x2 − 9|.17. y = |9− x2|. 18. y = 1 + 3
x−2 .
19. y = 1− 3x−2 . 20. y = 2− 3
x−1 .
21. y = 2− 3x+1 . 22. y = | 1
x|.
23. y = 2 + 1(x−1)2 . 24. y = 2 + 1
(x+1)2 .
25. y =√x. 26. y =
√x− 1.
27. y =√3− x− 4. 28. y =
√x+ 5.
29. y = sinx+ 1; x ∈< −π2 ,
π2 > . 30. y = 5 sin 2x.
31. y = sin(x− π)− 1. 32. y = 2 sin(x+ π2 ).
33. y = 2 sin(−x) + 1. 34. y = 5 sin 2x+ 3.35. y = − cos x
2 . 36. y = 3 cos x2 + 1.
37. y = 2 cos(x− π2 ). 38. y = −2 cos 2x+ 1.
39. y = sin |x|. 40. y = | sin x| − 1.41. y = tg 4x+ 1; x ∈ (−π
8 ,π8 ). 42. y = − tg x
4 ; x ∈ (−2π, 2π).43. y = 3 tg(x+ π
2 ). 44. y = tg(2x− π).
23
45. y = cotg x4 ; x ∈ (0, 4π). 46. y = cotg(x− π); x ∈ (π, 2π).
47. y = −3x+1. 48. y = (13)x+1.
49. y = 2x+3. 50. y = 2x + 3.51. y = 2|x|. 52. y = log3(x+ 1).53. y = log 1
3(x+ 1). 54. y = − log3(x− 2).
55. y = − log3(x+ 2). 56. y = log2 |x|+ 5.57. y = arcsinx− π. 58. y = arccos(x+ 1).59. y = 2arctg x. 60. y = 2| arctg x|+ 3.
2.2 Limita a spojitosť funkcie
Limita funkcie v bode x0 nezávisí od toho či je funkcia definovaná v bode x0 alebo nie.Napriek tomu tento fakt má pri výpočte limít dôležitú úlohu.
1. Ak funkcia f je spojitá v bode x0, tak jej limitu v bode x0 počítame dosadením x0 za x.
limx→x0
f(x) = f(x0). (1)
Príklad 1. Vypočítajme
limx→2
√x2 + 52x− 3
.
Riešenie. Funkcia je definovaná v bode x0 = 2. Preto môžeme použiť (1) a dostaneme
limx→2
√x2 + 52x− 3
=
√22 + 52.2− 3
= 3. �
2. Ak funkcia nie je spojitá v bode x0 (alebo ak x0 = ±∞), je situácia zložitejšia. Oso-bitnú pozornosť treba venovať limitám typu
00,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, (+0)0, ∞0, 1∞. (2)
Pre hodnotu limity typov (2) môžu byť všetky možnosti: limita je vlastná, nevlastnáalebo neexistuje vlastná ani nevlastná limita.Výpočet limity funkcie začíname tak, že do tejto funkcie dosadíme bod, v ktorom
limitu počítame. Ak dostaneme limitu niektorého z typov (2), použijeme úpravy ktorýmiodstránime takéto typy. Používame pritom vety a výsledky o limitách funkcie.
Príklad 2. Vypočítajme limitu
limx→−∞
8x3 − 5x+ 63x2 + x− 1
.
Riešenie. Najskôr vypočítame limitu čitateľa a menovateľa.
limx→−∞
(8x3 − 5x+ 6) = limx→−∞
x3(8− 5x2+6x3) = −∞, lim
x→−∞(3x2 + x− 1) =∞.
24
Čitateľa aj menovateľa delíme najvyššou mocninou premennej x v menovateli a dosta-neme
limx→−∞
8x3 − 5x+ 63x2 + x− 1
= limx→−∞
8x− 5x+ 6
x2
3 + 1x− 1
x2
=83lim
x→−∞x = −∞. �
Príklad 3. Vypočítajme limity
a) limx→π
2−(tg x− 1
cosx), b) lim
x→∞x sin
2x.
Riešenie. Ľahko sa presvedčíme, že ide o limity typu ∞ −∞ a ∞.0 a ďalej urobímevýpočet.a)
limx→π
2−(tg x− 1
cosx) = lim
x→π2−(sin xcosx
− 1cosx
) = limx→π
2−
sin x− 1cosx
=
= limx→π
2−
(sinx− 1)(sin x+ 1)cosx(sinx+ 1)
= limx→π
2−
sin2 x− 1cosx(sinx+ 1)
= limx→π
2−
− cos2 xcosx(sinx+ 1)
=
= limx→π
2−
− cosxsin x+ 1
=− cos π
2
sin π2 + 1
=02= 0.
b)
limx→∞
x sin2x= lim
x→∞
sin 2x1x
= limx→∞
sin 2x
2x.12= 2 lim
x→∞
sin 2x2x
= 2. �
Úlohy
61. Načrtnite grafy nasledujúcich funkcií a určte body nespojitosti.
a) y =
{x+ 3, x ∈< 1,∞)5x− 1, x ∈ (−∞, 1)
; b) y =
{2x+ 3, x ∈ (−∞,−2 >−3x− 2, x ∈ (−2,∞) ;
c) =
2, x = 0, x = ±24− x2, |x| < 24, |x| > 2
.
62. Funkcia je definovaná nasledujúcim spôsobom
y =
0 pre x < 0ax pre 0 ≤ x < 1
−x2 + 4x− 2 pre 1 ≤ x < 3b− x pre x ≥ 3
.
Určte a, b tak, aby funkcia bola spojitá na celom D(f). Načrtnite graf funkcie.
25
63. Funkcia je definovaná nasledujúcim spôsobom:
y =
{x+ 1 pre x 5 13− ax2 pre x > 1
.
Pri akej hodnote čísla a bude funkcia spojitá? Načrtnite jej graf.
64. Vypočítajte nasledujúce limity funkcií.
a) limx→∞(x2 + 8); b) lim
x→∞(4− x2); c) lim
x→−∞[(x− 1)2 + 4];
d) limx→3
|9− x2|; e) limx→0
|x2 − 9|; f) limx→2+(1 +
3x− 2
);
g) limx→2−(1 +
3x− 2
); h) limx→3(1 +
3x− 2
); i) limx→2+(1− 3
x− 2);
j) limx→2−(1− 3
x− 2); k) lim
x→5(1− 3
x− 2); l) lim
x→∞(2− 3
x− 1);
m) limx→−∞
(2− 3x− 1
); n) limx→−∞
(2 +1
(x− 1)2); o) lim
x→1+(2 +
1(x− 1)2
);
p) limx→0(2 +
1(x− 1)2
); q) limx→2(√3− x− 4); r) lim
x→−1(√x+ 5);
s) limx→∞(13)x+1; t) lim
x→−∞(13)x+1; u) lim
x→1(13)x+1;
v) limx→∞[log3(x+ 1)]; w) lim
x→0[log3(x+ 1)]; x) lim
x→−1+[log3(x+ 1)];
y) limx→∞(2 arctg x); z) lim
x→0(2| arctg x|+ 3);
65. Vypočítajte nasledujúce jednostranné limity:
a) limx→1+
3x+ 1x− 1
; b) limx→1−
3x+ 1x− 1
; c) limx→2+
x+ 22x− 4
; d) limx→2−
x+ 22x− 4
;
e) limx→3+
x+ 32x− 6
; f) limx→3−
x+ 32x− 6
.
26
3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premen-nej
3.1 Derivácia funkcie
A. Derivácie základných elementárnych funkcií
(c)′
= 0(sinx)
′= cosx
(cosx)′= − sin x
(tg x)′= 1
cos2 x
(cotg x)′= − 1
sin2 x
(loga x)′= 1
x ln a
(lnx)′= 1
x
(ax)′
= ax ln a(ex)
′= ex
(xα)′
= αxα−1
(arcsinx)′= 1√
1−x2
(arccos x)′= − 1√
1−x2
(arctg x)′= 1
1+x2
(arccotg x)′= − 1
1+x2.
B. Pravidlá derivovania
Majme funkcie f(x), g(x) a konštantu c. Potom platí
(cf)′= cf
′
(f + g)′= f
′+ g
′
(fg)′= f
′g + fg
′
(fg)′= f
′g−fg
′
g2.
Z funkcií y = f(u) a u = g(x) utvorme zloženú funkciu y = f(g(x)). Pre deriváciuzloženej funkcie platí:
[f(g(x))]′= f
′(g(x))g
′(x),
čo môžme zapísať aj takto:[f(u)]
′= f
′(u)u
′,
kdeu = g(x); u
′= g
′(x).
Potom pre derivácie zložených základných elementárnych funkcií môžme predchádzajúcevzorce používať aj v tomto tvare:
(c)′
= 0(sin(u))
′= cos(u).u
′
(cos(u))′= − sin(u).u′
(tg(u))′= 1
cos2(u) .u′
(cotg(u))′= − 1
sin2(u).u
′
(loga(u))′= 1
(u) ln a.u
′
(ln(u))′= 1
(u) .u′
(au)′
= au ln a.u′
(eu)′
= eu.u′
(uα)′
= αuα−1.u′
(arcsin((u)))′= 1√
1−u2.u
′
(arccos(u))′= − 1√
1−u2.u
′
(arctg(u))′= 1
1+u2.u
′
(arccotg(u))′= − 1
1+u2.u
′.
Príklad 1. Vypočítajme deriváciu funkcií
a) y = 23√x2 + 5 tg x− 3 arcsinx, b) y = x3 lnx, c) y =
x
cosx.
27
Riešenie.a)
y′ = (23√x2)′ + (5 tg x)′ − (3 arcsinx)′ = 2(x
23 )′ + 5(tg x)′ − 3(arcsinx)′ =
= 2.23x−
13 + 5
1cos2 x
− 3 1√1− x2
=4313√x+
5cos2 x
− 3√1− x2
.
b)
y′ = (x3 lnx)′ = (x3)′ lnx+ x3(lnx)′ = 3x2 lnx+ x3.1x= x2(3 lnx+ 1).
c)
y′ = (x
cosx)′ =
x′ cosx− x(cosx)′
cos2 x=1. cosx− x(− sin x)
cos2 x=cosx+ x sin xcos2 x
. �
Príklad 2. Vypočítajme deriváciu zložených funkcií
a) y = sin(3x+ 1), b) y = earctg 2x, c) y = ln2(x+√x2 − 4).
Riešenie.a) Funkcia je zložená z týchto funkcií y = sin z, z = 3x+ 1. Podľa vzorca (1) je deriváciazloženej funkcie rovná súčinu derivácii funkcií, z ktorých je zložená. Použijeme vzorec (1)a dostaneme
[sin(3x+ 1)]′ = (sin z)′(3x+ 1)′ = cos z · 3 = 3 cos(3x+ 1).
b) Funkcia je zložená z týchto dvoch funkcií y = ez, z = arctg 2x. Podľa vzorca (1)dostaneme
(earctg 2x)′ = (ez)′(arctg 2x)′ = ez(arctg 2x)′.
Funkcia z = arctg 2x je opäť zložená funkcia, a to z funkcií z = arctg u, u = 2x. Znovupoužijeme vzorec (1) a máme
ez(arctg 2x)′ = ez(arctg u)′(2x)′ = ez 11 + u2
· 2 = 2earctg x
1 + 4x2.
Môžme počítať aj priamo, bez zavádzania pomocných premenných.c)
[ln2(x+√x2 − 4)]′ = 2 ln(x+
√x2 − 4) · 1
x+√x2 − 4
[1 +12(x2 − 4)−
12 · 2x] =
= 2 ln(x+√x2 − 4) · 1
x+√x2 − 4
√x2 − 4 + x√x2 − 4
=2√
x2 − 4ln(x+
√x2 − 4). �
Príklad 3. Vypočítajme deriváciu funkcie y = (1 + x2)x.
Riešenie. Funkciu nemôžeme hneď derivovať podľa žiadneho z uvedených vzorcov, pre-tože funkcia nemá konštantný základ, ani exponent.
28
Najskôr funkciu upravíme tak, aby mala konštantný základ. Použijeme pritom rovnosťz = eln z, platnú pre každé z > 0. Za z dosadíme z = (1 + x2)x, funkciu upravíme a ažpotom derivujeme.
y = (1 + x2)x = eln(1+x2)x = ex ln(1+x2).
y′ = [ex ln(1+x2)]′ = ex ln(1+x2) · [ln(1+x2)+x 11 + x2
2x] = (1+x2)x[ln(1+x2)+2x2
1 + x2]. �
Takýto postup používame vždy pri derivovaní funkcie tvaru [f(x)]g(x).
Úlohy
1. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkcií
a) y = x√x, b) y =
3√x5, c) y =
1√x3,
d) y =
√x
√x√x, e) y =
3
√x3
√x 3√x, f) y = 4x − x4.
2. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkcií
a) y = (x3+1)(x−4), b) y = (x3−3x+2)(x4+x2−1), c) y = x arcsin(x)+√1− x2,
d) y = x. lnx− x, e) y = x2ex, f) y =√x arccos(x),
g) y = −x cotg x+ x2
2, h) y = x2 log3(x), i) y = x
√1 + x2.
3. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkcií
a) y =x+ 1x− 1
, b) y =3t2 + 1t− 1
, c) y =1
1 + t+ t2,
d) y =2x4
b2 − x2, e) y =
1 + lnxx
, f) y =3− lnx
x,
g) y =1− ln(x)1 + ln(x)
, h) y =x
1− cos(x), i) y =
cosx1− sin x
,
j) y =cotg xex
, k) y =x2 + 13(x2 − 1)
+ (x2 − 1)(1− x).
4. Vypočítajte derivácie nasledujúcich zložených funkcií
a)y = sin2(x) + sin(2x2) + 2 sin(x), b) y = cos(x2) + 3 sin2(x)− sin3(x),
c) y = y = tg(4x+ 3), d) y = arctg√x, e) y = arctg
x+ 1x− 1
,
f) y = arccotg1
1 + x2, g) y = arccos sinx, h) y =
√1 + x1− x
,
29
i) y = 3x3, j) y = 10
√sinx, k) y = 2
1cos(x) ,
l) y = e−x, m) y = ex5 , n) y = e−x2 ln(x),
o) y = ln(x2 + 3x+ 5), p) y = ln arcsinx, q) y = ex2. lnx,
r)y = log3(x2 − 1), s) y = log3(x
2 − sin(x)), t) y = ln(x+√1 + x2).
5. Vypočítajte derivácie nasledujúcich zložených funkcií
a)y = (1 + sin2(x))4, b) y =
√tgx
2, c) y = cos
√11 + x
,
d) y = sin
√1
x− 1, e) y = arcsin3
x− 12
, f) y = arcsin cos1x,
g)y = earcsin(2x), h)y = ln1√
x2 − 1, i) y = log22(x
2),
j) y = 5 sin2 x− 2 cos x3, k)y =12ln1 + x1− x
, l) y = e− cos2 x + 2−x2 .
6. Vypočítajte derivácie zložených funkcií
a) y = ln cos arctgex − e−x
2, b) y = 2(
√ex − 1− arctg
√ex − 1),
c) y =sinx4 cos4 x
+3 sin x8 cos2 x
+38ln1 + tg x
2
1− tg x2
, d) y = ln tgx
2− cotg x · ln(1 + sinx)− x,
e) y =124(6x3 + 2x2 + x− 11)
√x2 + 2x+ 2 +
924ln(x+ 1 +
√x2 + 2x+ 2),
f) y =16ln(x+ 1)2
x2 − x+ 1+1√3arctg
2x− 1√3
, g) y =14lnx− 1x+ 1
− 12arctg x,
h) y =x√1− x2
arcsinx+12ln(1− x2), i) y =
√1 + 2x− x2 − arcsin 2x+ 1√
3,
j)y = ln arctg√1 + x2, k) y = ln cos
√ex + 1,
l) y = x(arcsin(x))2−2x+2√1− x2 arcsin(x), m)y =
12(3−x)
√1− 2x− x2+2arcsin
x+ 1√2.
7. Vypočítajte deriváciu funkcií tvaru y = [f(x)]g(x)
a) y = 4x−2x, b) y = xcosx, c) y = (x2 + 1)arctg x,
d) y =
(1 + x1− x
) 1−x1+x
, e) y = x1/x, f) y = xx,
g) y = (tg x)1cos x , h) y = xlnx, i) y = (arctg x)lnx,
j) y = (sin x)cosx, k) y = xex
, l) y = (tg(2x))cotgx2 .
30
8. Určte f (n)(x), ak
a) f(x) = x8 − 3x6 + 5x4 − 7x2 + 9, n = 4; b) f(x) = 11 + 3x
, n = 6;
c) f(x) = arccotg x, n = 3; d) f(x) = cos2 x, n = 3;
e) f(x) = x3 · lnx, n = 4; f) f(x) = 10x10
, n = 10;
g) f(x) = log2 x, n = 4; h) f(x) = cos(2x), n = 5.
9. Vypočítajte y′′(x), ak
a) y = (x2 + 1)3, b) y = ln(x+
√1 + x2), c) y =
x2 + xx− 1
.
3.2 Geometrický a fyzikálny význam derivácie
Ak priamka má smernicu k a prechádza bodom P0(x0, y0), tak jej rovnica je
y − y0 = k(x− x0). (1)
Majme priamky p1 a p2 so smernicami k1 a k2. Ak priamky p1 a p2 sú rovnobežné, takk1 = k2, ak sú kolmé, tak
k1.k2 = −1 (2)
a ak nie sú kolmé, tak pre ich uhol ϕ platí
tgϕ = | k1 − k21 + k1k2
|. (3)
A. Geometrický význam derivácie f v bode x0
Geometrický význam derivácie funkcie f v bode x0 je smernica kt dotyčnice t ku grafufunkcie f v bode P0(x0, f(x0)), t.j.
f ′(x0) = kt.
Z (1) vyplýva, že rovnica dotyčnice v bode P0 je
y − f(x0) = f′(x0)(x− x0). (4)
Príklad 4. Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f(x) = x2− 2x+ 3,ak dotyčnica je kolmá na priamku x+ 2y + 1 = 0.
Riešenie. Smernica danej priamky p je kp = −12 . Chceme vypočítať smernicu kt dotyč-nice. Pretože dotyčnica je kolmá na priamku p, podľa (2) platí
ktkp = −1,
kt = −1kp
= − 1−12= 2.
31
Teraz vypočítame x-ovú súradnicu x0 dotykového bodu. Pretože f ′(x) = 2x − 2, mámef ′(x0) = 2x0 − 2. Použijeme geometrický význam derivácie a dosadíme
f ′(x0) = kt
2x0 − 2 = 2x0 = 2, f(x0) = 3.
Dosadíme do (4) a máme rovnicu dotyčnice
y − 3 = 2(x− 2), 2x− y − 1 = 0.
Normála je rovnobežná s priamkou p. Preto pre jej smernicu kn platí kn = kp = −12 .Dosadíme do (1) a máme rovnicu normály
y − 3 = −12(x− 2), x+ 2y − 8 = 0. �
Príklad 5. Nájdime uhol kriviek f1(x) = e2x, f2(x) = e3x.
Riešenie. Uhol dvoch kriviek v ich spoločnom bode je uhol ich dotyčníc v tomto bode.Nájdime body, v ktorých sa pretínajú dané krivky. Postupne dostaneme
e2x = e3x, e2x − e3x = 0, e2x(1− ex) = 0, ex = 1,
x = 0, y = e0 = 1.
Krivky sa pretínajú v jednom bode P (0, 1). Nájdeme smernice k1, k2 dotyčníc v tomtobode ku daným krivkám a použijeme vzorec (3).
f ′1(x) = 2e2x
k1 = f ′1(0) = 2f ′2(x) = 3e
3x
k2 = f ′2(0) = 3
tgϕ =
∣∣∣∣ 2− 31 + 2 · 3
∣∣∣∣ = 17 , ϕ = arctg17. �
B. Fyzikálny význam derivácie
Ak hmotný bod sa pohybuje po priamke a jeho dráha s je funkciou času s = s(t), takderivácia dráhy s v čase t0 je rovná jeho rýchlosti v čase t0, t.j.
s′(t0) = v(t0).
Druhá derivácia dráhy s v čase t0 je rovná jeho zrýchleniu a v čase t0, t.j.
s′′(t0) = a(t0).
Príklad 6. Hmotný bod sa pohybuje po priamke tak, že jeho vzdialenosť s od začia-točného bodu sa za t sekúnd rovná
s =14t4 − 4t3 + 16t2.
32
a) Určme čas, v ktorom sa pohybujúci hmotný bod nachádza v začiatočnom bode.b) V akom čase sa jeho rýchlosť rovná nule?
Riešenie.a) Položíme s = 0 a postupne dostaneme
14t4 − 4t3 + 16t2 = 0, t2(t2 − 16t+ 64) = 0, t2(t− 8)2 = 0,
t1 = 0, a t2 = 8.
Hmotný bod sa nachádza v začiatočnom bode v čase t1 = 0 a t2 = 8 sekúnd.b) Rýchlosť v = s′ = t3 − 12t2 + 32t. Položíme v = 0 a máme
t3 − 12t2 + 32t = 0, t(t2 − 12t+ 32) = 0, t1 = 0, t2 = 4, t3 = 8.
Hmotný bod má rýchlosť rovnú nule v čase t1 = 0, t2 = 4 a t3 = 8 sekúnd. �
Úlohy
10. Napíšte rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie
a) y = x2 − 4x v bode T (1, ?); b) y =5
1 + x2v bode T (2, ?);
c) y = ln x v bode T (?, 1); d) y =3x− 42x− 3
v bode T (2, ?);
e) y =√x v bode T (4, ?); f) y = e−x cos(2x) v bode T (0, ?).
11. V ktorom bode je dotyčnica k parabole y = x2
a) rovnobežná s priamkou y = 4x− 5,
b) kolmá na priamku 2x− 6y + 5 = 0,
c) taká, že zviera s priamkou 3x− y + 1 = 0 uhol ϕ = π4?
Napíšte rovnice týchto dotyčníc.12. Napíšte rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie
a) y = x3 − 3x tak, aby t‖ox; b) y =lnxx
tak, aby t‖0x;
c) y = ln x tak, aby t‖p : 2x− y − 3 = 0;
d) y = ex/2 + 1 tak, aby t‖p : x− 2y + 1 = 0;
e) y =ex
2+ 1 tak, aby t‖p : x− 2y + 1 = 0;
f) y = 2x lnx tak, aby t‖p : 2x− y + 5 = 0;
g) y = x2 − 2x+ 3 tak, aby t‖p : 3x− y + 5 = 0.
33
13. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie
a) y = x2 − 2x+ 3 tak, aby t⊥p : x+ y − 1 = 0;
b) y = x lnx tak, aby t⊥p : 2x− 2y + 3 = 0;
c) y = x3 − 11x− 15 tak, aby t⊥p : 2x+ 2y − 7 = 0;
d) y = −√2x3 tak, aby t⊥p : 4x− 3y + 2 = 0.
14. Zistite, v ktorom bode je dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) rovnobežná s osouOx, ak:
a) y =lnxx; b) y = x2(x− 2)2; c) y = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 20.
15. Zistite, v ktorom bode dotyčnica ku kubickej parabole y = x3
3 zviera s osou Ox
uhol π4 .
16. Vypočítajte uhol, pod ktorým pretína graf funkcie y = f(x) os Ox, ak:
a) y = ln(x+ 1); b) y = ex − 1; c) y = sinx; d) y = tg(2x).
17. Určte také číslo b, aby graf funkcie y = bx−x3
4 pretínal os x pod uhlom π4 .
18. Vypočítajte uhol, pod ktorým pretínajú grafy funkcií:
a) y = x2, y = x3; b) y = (x− 2)2, y = 4x− x2 + 4.
19. Raketa odpálená zo Zeme sa pohybuje kolmo nahor tak, že pre jej vzdialenosťx v km od Zeme platí x = 20 + 110t − 18t2, kde t je čas v minútach od okamihu kedyprestali motory rakety pôsobiť. Určte rýchlosť rakety v čase t = 3 minúty, čas, v ktoromsa pohyb rakety nahor skončí a najväčšiu výšku, ktorú raketa dosiahne.20. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 2t3 − 15t2 + 36t + 2, kde s jedráha v m a t je čas v sekundách. Zistite, v ktorom čase je rýchlosť telesa nulová.21. Keď teleso vyhodíme zvisle nahor, výška telesa nad povrchom počítaná v metrochje daná rovnicou s = 100t− 4, 9t2, kde t je čas v sekundách. Nájdite:a) rýchlosť v čase t = 2;b) za aký čas dosiahne teleso najväčšiu výšku;c) akú najväčšiu výšku teleso dosiahne.22. Rýchlosť telesa pohybujúceho sa priamočiaro je daná rovnicou v = 3t + t2. Akézrýchlenie bude mať teleso o štyri sekunky po začiatku pohubu?23. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 1 + 2t + t2, kde s je dráha vmetroch a t je čas v sekundách. Určte jeho rýchlosť v čase t = 2.24. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 1
4t4 − 4t3 + 16t2, kde s je dráha
v metroch a t je čas v sekundách. Zistite, v ktorom čase je:a) teleso na začiatku dráhy; b) rýchlosť telesa nulová.
34
3.3 L’Hospitalovo pravidlo
Predpokladajme, že
limx→x0
f(x) = limx→x0
g(x) = 0 alebo limx→x0
|f(x)| = limx→x0
|g(x)| =∞
a nech existuje
limx→x0
f ′(x)g′(x)
.
Potom existuje aj
limx→x0
f(x)g(x)
a platí rovnosť
limx→x0
f(x)g(x)
= limx→x0
f ′(x)g′(x)
.
Toto pravidlo platí aj pre x0 =∞ alebo x0 = −∞.L’Hospitalovo pravidlo sa teda prakticky používa na počítanie limít podielu dvoch funkciíf(x)g(x) typu
00 a
∞∞ . Po istých úpravách môžeme L’Hospitalovo pravidlo použiť aj na limity
typu ∞−∞, 0 · ∞, a iné.
Príklad 7. Vypočítajme limitu
limx→∞
2x2 − 3x+ 25x3 − 2x2 + 1
.
Riešenie.Limita je typu ∞
∞ . Úlohu môžme riešiť dvoma spôsobmi.a) Vyberieme najvyššiu mocninu premennej x pred zátvorku a vykrátime. Použitím
viet o počítaní limít je možné ľahko určiť limity dielčich výrazov ako aj následne vypočítaťcelkovú hodnotu hľadanej limity.
limx→∞
2x2 − 3x+ 25x3 − 2x2 + 1
= limx→∞
x2(2− 3x+ 2
x2)
x3(5− 2x+ 1
x3)= lim
x→∞
2− 3x+ 2
x2
x(5− 2x+ 1
x3)= 0.
b) Na výpočet použijeme L’Hospitalovo pravidlo.
limx→∞
2x2 − 3x+ 25x3 − 2x2 + 1
= limx→∞
4x− 315x2 − 4x
= limx→∞
430x− 4
= limx→∞
030= 0. �
Príklad 8. Vypočítajme limity
a) limx→π
2
1− sin xπ − 2x
, b) limx→0
(cotg x− 1
2x
)c) lim
x→∞x2e−x.
35
Riešenie.a) Dosadením x = π
2 zistíme, že limita je typu00 . Môžeme použiť L’Hospitalovo pravidlo.
limx→π
2
1− sinxπ − 2x
= limx→π
2
− cosx−2
=12limx→π
2
· cosx = 12cos
π
2=12· 0 = 0.
b) Limita je typu ∞−∞ (pre x → 0+ je to typ +∞− (+∞), pre x → 0− je to typ−∞− (−∞)). Upravíme na typ 00 .
limx→0
(cotg x− 1
2x
)= lim
x→0
2x− tg x2x tg x
= limx→0
2− 1cos2 x
2(tg x+ x 1
cos2 x
) == lim
x→0
2 cos2 x− 12(sinx cosx+ x)
= limx→0
2 cos2 x− 1sin 2x+ 2x
= limx→0
−4 cos x sin x2 cos 2x+ 2
=−4 · 1 · 02 · 1 + 2
= 0.
c) Máme počítať limitu súčinu f(x)g(x). Súčin fg prepíšeme na podiel f1g
alebo g1f
a
máme typ 00 alebo∞∞ . Ak sa výpočet limity skomplikuje po úprave na jeden z týchto
typov, použijeme úpravu na druhý typ. V našom príklade je limita typu∞· 0. Upravímeju na typ ∞
∞ .
limx→∞
x2e−x = limx→∞
x2
ex= lim
x→∞
2xex= 2 lim
x→∞
1ex= 2 · 0 = 0. �
Úlohy
Vypočítajte nasledujúce limity.
Typ ∞∞
25.
a) limx→∞
3x4 + 5x− 12x4 − 3x3 + 2x
, b) limx→∞
2x3 + x2 − x+ 15x2 − 6x+ 3
c) limx→∞
7x2 − 2x+ 64x3 + 5x− 2
,
d) limx→∞
2x3 − 4x− 16x+ 3x2 − x3
, e) limx→∞
x3 − 100x2 + 1100x2 + 15x
f) limx→∞
x2 − 13− x3
,
g) limx→∞
(x+ 1)2
2x2, h) lim
x→∞
(x− 1)(x+ 3)3x2 + 5
i) limx→∞
(2x− 1)2
(4x− 1)(3x+ 2).
26.
a) limx→0+
ln sinxln sin 5x
, b) limx→0+
ln sin 2xln sinx
, c) limx→π
2
tg 5xtg 3x
,
d) limx→0+
lnxcotg x
, e) limx→∞
lnxx2
, f) limx→∞
x
ln(1 + x),
g) limx→∞
lnxx, h) lim
x→π2
ln(π2 − x)
tg x, i) lim
x→∞
ex
x2.
Typ 00
27.
a) limx→2
x2 − 4x2 − 3x+ 2
, b) limx→1
x4 + 2x2 − 3x2 − 3x+ 2
c) limx→1
x3 − 4x2 + 5x− 2x5 − 3x+ 2
,
36
d) limx→1
x2 − 2x+ 1x3 − x
, e) limx→ 1
2
8x3 − 16x2 − 5x+ 1
f) limx→−1
x3 + 1sin(x+ 1)
,
g) limx→0
sin 3xx
, h) limx→0
sin 8xsin 9x
i) limx→0
sin 4x+ sin 7xsin 3x
,
j) limx→π
2
cos 3xcosx
, k) limx→0
1− cosxx2
, l) limx→0
x− sin xx3
,
m) limx→0
x− sin x1− cosx
, n) limx→0
ln cos xx
, o) limx→1
sin(1− x)√x− 1
,
p) limx→1
x− 1lnx
, q) limx→0
e2x − 1sin x
, r) limx→1
ex − e
x− 1,
s) limx→e
lnx− 1x− e
, t) limx→0
e2x − 13x
, u) limx→0
ex − e−x
sin x.
Typ (∞−∞)28.
a) limx→0
(1x− 1ex − 1
), b) lim
x→1
(1lnx
− x
lnx
), c) lim
x→1
(1lnx
− 1x− 1
),
d) limx→0
(1sin x
− 1tg x
), e) lim
x→0
(cotg x− 1
x
), f) lim
x→1
(12 ln x
− 1x2 − 1
).
Typ 0 · ∞29.
a) limx→0+
x lnx, b) limx→∞
x ln(1 +1x), c) lim
x→0x cotg
x
4,
d) limx→0+
x · e1/x, e) limx→0−
x · e1/x, f) limx→∞[x(e1/x − 1)],
g) limx→∞(π − 2 arctg x) ln x, h) lim
x→2
x2 − 4x2
tgπx
4, i) lim
x→ 12
sin(2x− 1) tg(πx).
3.4 Rastúce a klesajúce funkcie. Lokálne extrémy.
A. Majme funkciu f , ktorá je spojitá na intervale I a má deriváciu v každom vnútornombode intervalu I. Ak f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0) v každom vnútornom bode x intervalu I, takf je rastúca (klesajúca) na intervale J .
Príklad 9. Nájdime intervaly, na ktorých je funkcia
f(x) = ln(1− x2)
rastúca a na ktorých je klesajúca.
Riešenie. Najskôr určíme definičný obor D(f). Vyjde nám D(f) = (−1, 1). Vypočítamederiváciu funkcie f . Dostaneme
f ′(x) = − 2x1− x2
.
37
a) Zaujíma nás, kde je funkcia f rastúca, teda pre ktoré x platí, že f ′(x) > 0. Pretopoložíme f ′(x) > 0 a dosadíme. Máme
−2x1− x2
> 0.
Riešením nerovnice je x ∈ (−1, 0) ∪ (1,∞). Nemôžeme povedať, že funkcia f je rastúcana týchto dvoch intervaloch. Môže byť rastúca len tam, kde je definovaná. Preto nájdemespoločnú časť tejto množiny a D(f).Dostaneme
[(−1, 0) ∪ (1,∞)] ∩ (−1, 1) = (−1, 0).Funkcia f je rastúca na intervale (−1, 0).b) Skúmame, kde je funkcia klesajúca. Položíme f ′(x) < 0 a podobným postupom zis-tíme, že funkcia f je klesajúca na intervale (0, 1). �
B. Body, v ktorých má funkcia f lokálne extrémy hľadáme týmto postupom1. Nájdime stacionárne body funkcie f , t.j. body, pre ktoré platí f ′(x) = 0 a body, vktorých funkcia f nemá deriváciu.2. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v týchto bodoch. O tom, či funkcia f má vtýchto bodoch lokálny extrém, rozhodneme podľa niektorého z nasledujúcich dvoch pra-vidiel:
pravidlo 1. Ak f ′(x0) = 0 a f ′′(x0) 6= 0, tak funkcia má v bode x0 lokálny extrém,a toa) lokálne minimum, ak f ′′(x0) > 0,b) lokálne maximum, ak f ′′(x0) < 0.Nech x0 je stacionárny bod funkcie f alebo bod v ktorom funkcia f nemá deriváciu.Potom platí
pravidlo 2. Ak funkcia f je spojitá v bode x0 a ak existuje také okolie bodu x0, žev tomto okolí naľavo od bodu x0 je funkcia rastúca (klesajúca) a napravo je klesajúca(rastúca), tak funkcia f má v bode x0 lokálne maximum (minimum).
Príklad 10. Nájdime lokálne extrémy funkcie
f(x) =x3
3− x2 − 3x.
Riešenie. Definičný obor funkcie f je D(f) = (−∞,∞).
f ′(x) = x2 − 2x− 3.
Upravíme a dostanemef ′(x) = (x− 3)(x+ 1).
Funkcia f má deriváciu v každom bode definičného oboru D(f). Nájdeme stacionárnebody. Položíme f ′(x) = 0 a získame stacionárne body x1 = −1 a x2 = 3. Lokálne extrémymôže funkcia mať len v týchto dvoch bodoch. Či skutočne má, rozhodneme teraz napr.podľa pravidla 1.
f ′′(x) = 2x− 2
38
f ′′(−1) = −4 < 0, f ′′(3) = 4 > 0.
Funkcia nadobúda v bode x1 = −1 lokálne maximum f(−1) = 53 a v bode x2 = 3 má
lokálne minimum f(3) = −9. �
Príklad 11. Nájdime lokálne extrémy funkcie
f(x) = (10− x)3√x2.
Riešenie. Definičný obor je D(f) = (−∞,∞).
f ′(x) = − 3√x2 + (10− x)
23x−
13 = − 3
√x2 +
2(10− x)3 3√x
.
Derivácia neexistuje v bode x = 0. Hľadáme stacionárne body, teda postupne riešimerovnicu f ′(x) = 0
− 3√x2 +
2(10− x)3 3√x= 0, −3x+ 20− 2x = 0, x = 4.
Funkcia f má stacionárny bod x = 4. Teda lokálny extrém môže byť len v bodoch x = 0a x = 4. (Lokálne extrémy teraz vyšetrujeme podľa pravidla 2.) Tieto body rozdeliadefiničný obor D(f) na intervaly (−∞, 0), (0, 4), (4,∞). V každom z týchto intervalovderivácia f ′(x) nemení znamienko. Sú to intervaly, v ktorých funkcia f(x) je rastúca (akf ′(x) > 0), prípadne klesajúca (ak f ′(x) < 0). Pretože f ′(x) má rovnaké znamienko v ce-lom intervale, znamienko f ′(x) v každom intervale stanovíme tak, že nájdeme znamienkof ′(x) v ľubovoľnom jednom bode tohoto intervalu. V jednotlivých intervaloch si zvoľmenapr. tieto body
−1 ∈ (−∞, 0), 1 ∈ (0, 4), 8 ∈ (4,∞)
a vypočítajme deriváciu f ′(x) v zvolených bodoch.
f ′(−1) = − 3√(−1)2 + 2(10+1)
3 3√−1 = −1− 22
3 < 0,
f ′(1) = − 3√1 + 2(10−1)
3 3√1
= 5 > 0,
f ′(8) = − 3√64 + 2(10−8)
3 3√8
= −4 + 23 < 0.
Získané výsledky zapíšeme do tabuľky. Ak funkcia rastie (klesá) použijeme šípku ↗ (↘)
x (−∞, 0) (0, 4) (4,∞)f ′(x) − + −f(x) ↘ ↗ ↘
Funkcia f je spojitá na D(f) (pretože je elementárna), a teda aj v bodoch x = 0 a x = 4.Podľa pravidla 2 má funkcia f v bode x = 0 lokálne minimum f(0) = (10− 0) · 0 = 0 av bode x = 4 má lokálne maximum f(x) = (10− 4) 3
√16 = 12 3
√2. Stacionárny bod x = 4
(ale nie bod x = 0) by sme mohli vyšetriť aj podľa pravidla 1. �
39
Úlohy
30. Určte intervaly, na ktorých sú funkcie rastúce a klesajúce:
a) f(x) = x3 + 4x2 − 3x+ 6, b) f(x) =x3
3− x2
2− 2x+ 1,
c) f(x) = x4 − 4x2 + 5, d) f(x) = x3e−x,
e) f(x) =x2
lnx, f) f(x) = arctg(x)− x.
31. Určte lokálne extrémy funkcií
a) y = x5 − 5x4 + 5x3 + 4, b) y = x3 + 3x2 − 4,
c) y =3x2 − 1x2
, d) y = y =(x+ 2)2
x,
e) y =x2 − 2x+ 2
x− 1, f) y =
x3
x− 1,
g) y = x− arctg x, h) y = ln(x) +1x.
3.5 Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie
A. Medzi časté aplikácie matematiky patrí úloha nájsť najväčšiu hodnotu (maximum) anajmenšiu hodnotu (minimum) funkcie f na danom intervale I.Nech I je uzavretý interval, I =< a, b > a funkcia f je spojitá na I. Potom podľa
Weierstrassovej vety má funkcia f na I maximum aj minimum. Maximum a minimumfunkcie f hľadáme takto1. Nájdeme body z intervalu (a, b) v ktorých je f ′(x) = 0 a body z tohoto intervalu,
v ktorých f ′(x) neexistuje.2. Zistíme, v ktorých z týchto bodov má funkcia f lokálny extrém.3. Vypočítajme hodnoty f(a), f(b) a hodnoty funkcie f v bodoch, v ktorých má
lokálny extrém. Najväčšie z týchto čísel je maximum a najmenšie je minimum funkcie fna intervale < a, b >.Ak I nie je uzavretý interval, nemôžeme použiť Weierstrassovu vetu. Môžeme si po-
môcť skúmaním jednostranných limít v koncových bodoch. Môže sa stať, že funkcia naI nemá maximum ani minimum.Môžme použiť aj nasledujúcu vlastnosť (v) spojitých funkcií: ak f je spojitá funkcia
na intervale I a má práve v jednom bode x0 ∈ I lokálne maximum (lokálne minimum),tak f(x0) je najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie f na intervale I.
Príklad 12. Nájdime najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie
a) f(x) = x3 + 3x2 − 9x− 3 na intervale < −4, 4 >,
b) f(x) = 2 tg x− tg2 x na intervale < 0,π
2).
40
Riešenie.a) 1. Najskôr vypočítame deriváciu f ′(x).
f ′(x) = 3x2 + 6x− 9.
Nájdeme stacionárne body funkcie f . Položíme f ′(x) = 0, teda 3x2+6x−9 = 0. Riešeniarovnice x1 = 1, x2 = −3 sú stacionárne body, 1 ∈ (−4, 4), −3 ∈ (−4, 4). Body, v ktorýchf nemá deriváciu neexistujú.2. Funkcia môže mať lokálny extrém len v bodoch x1 = 1 a x2 = −3. Či skutočne má,rozhodneme použitím druhej derivácie.
f ′′(x) = 6x+ 6, f ′′(1) = 12 > 0, f ′′(−3) = −12 < 0.
Funkcia f má v bode x1 = 1 má lokálne minimum a v bode x2 = −3 lokálne maximum.3. Počítame hodnoty funkcie f v bodoch x1 = 1, x2 = −3 a v koncových bodoch x3 = −4a x4 = 4.
f(1) = −8, f(−3) = 24, f(−4) = 17, f(4) = 73.
Funkcia f má najväčšiu hodnotu v bode x4 = 4, pričom f(4) = 73 a najmenšiu hodnotumá v bode x1 = 1, pričom f(1) = −8.
b) 1. Vypočítame f ′(x).
f ′(x) = 21cos2 x
− 2 tg x · 1cos2 x
= 21− tg xcos2 x
.
Položíme f ′(x) = 0.
21− tg xcos2 x
= 0, tg x = 1, x =π
4∈(0,π
2
).
Máme jeden stacionárny bod x = π4 ležiací v intervale
(0, π2
). Funkcia f má deriváciu v
každom bode daného intervalu.2. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v bode x = π
4 . Použijeme druhú deriváciu.
f ′′(x) = 2− 1cos2 x
· cos2 x− (1− tg x)2 cosx(− sin x)cos4 x
=
= 2−1 + (1− tg x) sin 2x
cos4 x, f ′′
(π4
)= 2
−1(√22
)4 < 0.Funkcia f má v bode x = π
4 lokálne maximum. Podľa vlastnosti (v) má v tomto bodenajväčšiu hodnotu, a to f(π4 ) = 1.3. Pri hľadaní najmenšej hodnoty si všímame len koncové body. Platí f(0) = 0. Funkciaf nie je definovaná v bode x = π
2 , preto nemôžeme počítať f(π2 ). Skúmame limitu zľava
v bode x = π2 .
limx→π
2−
(2 tg x− tg2 x
)= lim
x→π2−
(2sin xcosx
− sin2 x
cos2 x
)= lim
x→π2−
2 sin x cosx− sin2 xcos2 x
= −∞.
Funkcia f najmenšiu hodnotu nemá. �
41
B. Pomocou predchádzajúcich úvah o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie na da-nom intervale je možné riešiť aj rôzne slovné úlohy. Postupujeme takto:1. Veličinu V , ktorá má mať najväčšiu (najmenšiu) hodnotu vyjadríme pomocou inýchpremenných.2. V tomto vyjadrení, (ak je to nutné) vylúčime všetky premenné okrem jednej, napr. x.Potom V je funkcia tejto jednej premennej x.3. Určíme interval I pre túto premennú x.4. Hľadáme najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie V (x) na intervale I (ako v odsekuA).
Príklad 13. Cisterna tvaru valca má objem 32m3. Vypočítajme rozmery cisterny tak,aby na jej zhotovenie sa spotrebovalo najmenej plechu.
Riešenie.1. Veličina, ktorá má mať minimum je povrch S valca daného objemom V = 32. Mámevypočítať výšku v a polomer r podstavy valca. Vyjadríme teda veličinu S pomocoupremenných v a r na základe známych vzorcov:
S = 2πr2 + 2πrv.
2. Vieme, že V = πr2v. Potom v = Vπr2= 32
πr2. Dosadíme do vyjadrenia veličiny S.
S = 2πr2 + 2πr32πr2= 2πr2 +
64r.
S je teraz už funkciou len jednej premennej r.3. r ∈ (0,∞).4. S ′ = 4πr − 64
r2. Položíme S ′ = 0 a vypočítame r.
4πr − 64r2= 0, r = 3
√16π∈ (0,∞).
Funkcia S má v intervale (0,∞) jeden stacionárny bod x = 3
√16π. Derivácia S ′ existuje v
každom bode intervalu (0,∞).Zistíme, či S má v bode r = 3
√16πlokálny extrém. Použijeme druhú deriváciu.
S ′′ = 4π +128r3, S ′′
(3
√16π
)= 12π > 0.
Teda S má v bode r = 3
√16πlokálne minimum. Podľa vlastnosti (v) z toho vyplýva, že v
tomto bode má S najmenšiu hodnotu. Ešte vypočítame v.
v =32r2=
32
π(3
√16π
)2 = 2 3√16πm, teda v = 2r.
Na cisternu sa spotrebuje najmenej plechu, ak r = 3
√16πa v = 2r. �
42
Úlohy
32. Určte najmenšiu a najväčšiu hodnotu nasledujúcich funkcií na daných intervaloch
a) f(x) = x3− 9x2 + 24x− 10, x ∈< 0, 5 >; b) f(x) = x4− 2x2 + 5, x ∈< −2, 2 >;
c) f(x) = x+ 2√x, x ∈< 0, 4 >; d) f(x) = x3 − 3x2 + 6x− 2, x ∈< −1, 1 >;
e) f(x) = x3 + 3x− 5, x ∈< −2, 2 >; f) f(x) = x2 − 6x+ 10, x ∈< −1, 5 >;
g) f(x) = x5 − 5x4 + 5x3 + 1, x ∈< −1, 1 >; h) f(x) = x− 2 ln x, x ∈< 1, e > .
33. Určte dve kladné čísla so súčtom 8 tak, aby súčet ich tretích mocnín bol najmenší.34. Číslo 28 rozložte na dva kladné sčítance tak, aby ich súčin bol najväčší.35. Určte také kladné číslo x, ktoré má tú vlastnosť, že súčet tohto čísla a jehoprevrátenej hodnoty je najmenší.36. Určte také číslo x, aby súčet tohto čísla a jeho druhej mocniny bol najmenší.37. Rozložte číslo 36 na dva sčítance tak, aby ich súčin bol najväčší.38. Určte také kladné číslo x, aby rozdiel tohto čísla a jeho tretej mocniny bol naj-väčší.39. Rozložte číslo 36 na súčin dvoch kladných čísel, ktoré majú najmenší súčet štvor-cov.40. Určte rozmery pravouhlého rovnobežníka daného obsahu P , ktorý má najmenšíobvod.41. Zo všetkých obdĺžnikov, ktoré majú obvod o = 10 cm určte ten, ktorý má najväčšíplošný obsah.42. Aké rozmery musí mať pravouhlý rovnobežník daného obvodu o = 42 cm, abyjeho uhlopriečka bola najmenšia?43. Kartón tvaru obdĺžnika má rozmery 60× 28 cm. V rohoch sa nastrihnú štvorce azvyšok sa zahne do otvorenej škatule. Aká veľká musí byť strana nastrihnutých štvorcov,aby objem škatule bol najväčší?44. Okno, ktoré má tvar rovinného obrazca pozostávajúceho z obdĺžnika a polkruhunad jeho kratšou stranou, má obvod a. Aké musia byť rozmery obdĺžnika, aby okno malonajväčší plošný obsah?45. Jama slúžiaca na hospodárske účely má mať tvar kvádra s objemom 200m3. Dĺžkamá byť štvornásobok šírky. Vnútorný obklad základne je dvakrát lacnejší ako stien. Akémusia byť rozmery danej jamy, aby jej vnútorné obloženie vyšlo čo najlacnejšie?46. Kus drôtu s dĺžkou a máme rozdeliť na dve časti, z ktorých prvá sa zohne dotvaru štvorca a druhá do tvaru kruhu. Na ktorom mieste treba zvoliť rez, aby súčetobsahu štvorca a obsahu kruhu bol najmenší?47. Do kružnice s polomerom r = 4 cm vpíšte rovnoramenný trojuholník najväčšiehoobsahu.48. Kruhový valec má daný objem 16π. Aké musia byť jeho rozmery, aby povrch bolnajmenší?49. Do gule s polomerom R vpíšte rotačný kužeľ najväčšieho objemu.50. Určte rozmery otvoreného bazéna so štvorcovým dnom daného objemu 32 m3
tak, aby sa na obloženie jeho dna a stien spotrebovalo čo najmenej materiálu.
43
3.6 Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod funkcie.
A. Nech funkcia f je spojitá na intervale I a nech v každom vnútornom bode tohotointervalu má deriáciu. Funkciu f nazývame konvexnou (konkávnou) na intervale I, akvšetky body jej grafu ležia nad (pod) dotyčnicou zostrojenou v ľubovoľnom bode grafu(okrem dotykových bodov).Na zisťovanie konvexnosti a konkávnosti funkcie používame nasledujúce tvrdenie:
majme funkciu f spojitú na intervale I. Ak v každom vnútornom bode x tohoto in-tervalu platí f ′′(x) > 0 (f ′′(x) < 0), tak funkcia f je konvexná (konkávna) na intervaleJ .
Príklad 14. Nájdime intervaly, v ktorých je konvexná, resp. konkávna funkcia
f(x) = ln(1 + x2).
Riešenie. Definičný obor D(f) = (−∞,∞). Vypočítame f ′′(x) a vyriešime nerovnicef ′′(x) > 0 a f ′′(x) < 0.
f ′(x) =2x1 + x2
, x ∈ D(f),
f ′′(x) =2(1 + x2)− 2x2x(1 + x2)2
= 21− x2
(1 + x2)2, x ∈ D(f).
a) Položíme f ′′(x) > 0
21− x2
(1 + x2)2> 0, 1− x2 > 0, x2 < 1, x ∈ (−1, 1).
b) Položíme f ′′(x) < 0 a dostaneme
21− x2
(1 + x2)2< 0, 1− x2 < 0, x2 > 1, x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞).
Funkcia f je konvexná na intervale (−1, 1). Funkcia f je konkávna na intervale (−∞,−1)a na intervale (1,∞). �B. Nech funkcia f má deriváciu v bode x0. Bod x0 nazývame inflexným bodom fun-kcie f , ak existuje také okolie bodu x0, že v tomto okolí naľavo od bodu x0 je funkciakonvexná (konkávna) a napravo od bodu x0 je konkávna (konvexná). Názov ”inflexnýbod” používame aj pre bod P (x0, f(x0)) grafu funkcie f . Graf funkcie f v inflexnombode prechádza z jednej strany dotyčnice na jej druhú stranu. Inflexné body funkcie fhľadáme týmto postupom:1. Nájdeme body, v ktorých f ′′(x) = 0 a body, v ktorých neexistuje f ′′(x) (existuje všakf ′(x)).2. Inflexnými bodmi funkcie f môžu byť len tieto body. Či skutočne sú, rozhodnemepodľa definície alebo použitím tretej derivácie (ak existuje) nasledujúcim pravidlom:
ak f ′′(x0) = 0 a f ′′′(x0) 6= 0, tak x0 je inflexný bod funkcie f .
Príklad 15. Nájdime inflexné body funkcie f(x) = lnxx.
44
Riešenie. Definičný obor D(f) = (0,∞).
f ′(x) =1xx− lnxx2
=1− lnxx2
, x ∈ D(f)
f ′′(x) =− 1
xx2 − (1− lnx)2x(x2)2
=2 ln(x)− 3
x3, x ∈ D(f).
Položíme f ′′(x) = 0, teda 2 ln(x)−3x3
= 0, odkiaľ dostaneme lnx = 32 a x = e
32 . Inflexným
bodom môže byť len bod x = e32 . Bod x = e
32 rozdelí definičný obor D(f) na intervaly
(0, e32 ) a (e
32 ,∞). V každom intervale určíme znamienko druhej derivácie, a to určením
jej znamienka v jednom ľubovoľnom bode príslušného intervalu. Zvoľme napríklad body1 ∈ (0, e 32 ) a e2 ∈ (e 32 ,∞) a dostaneme
f ′′(1) =2 ln(1)− 31
= −3 < 0, f ′′(e2) =2 ln(e2)− 3(e2)3
=4 ln(e)− 3
e6=1e6> 0.
Zistené výsledky zaznačíme do tabuľky.
x (0, e32 ) (e
32 ,∞)
f ′′(x) − +f(x) konkávna konvexná
Potom x = e32 je inflexný body funkcie f . To, či je bod x = e
32 inflexným bodom funkcie
f , môžeme zistiť aj použitím tretej derivácie:
f ′′′(x) =2xx3 − (2 ln(x)− 3)3x2
(x3)2=11− 6 ln x
x4, x ∈ D(f).
Keďže
f ′′′(e32 ) =
11− 6 ln e 32
e324 =
11− 632 ln ee 122
=2e66= 0,
tak x = e32 je inflexným bodom danej funkcie f. �
Úlohy
51. Určte intervaly, na ktorých je funkcia y = f(x) konvexná, konkávna a určteinflexné body.
a) f(x) = x4−2x3−12x2+7x−3; b) f(x) = x4−6x2+5; c) f(x) = x3−6x2+12x+4;
d) f(x) = x+1x2; e) f(x) = x− ln(x2 − 9); f) f(x) = x2 lnx.
3.7 Asymptoty grafu funkcie
A. Priamku x = x0 nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie f , ak platíniektorá z týchto štyroch možností
limx→x0+
f(x) = ±∞, limx→x0−
f(x) = ±∞
45
Z definície vyplýva, že asymptoty bez smernice môžu byť len v bodoch nespojitosti.
Príklad 16. Nájdime asymptoty bez smernice grafu funkcie f(x) = x3
4−x2.
Riešenie. Funkcia f je elementárna, a teda jej body nespojitosti sú body v ktorých nieje definovaná. Sú to body x = −2 a x = 2. Vypočítame jednostranné limity v týchtobodoch.
limx→−2−
x3
4− x2=−80−=∞, lim
x→−2+
x3
4− x2=−80+= −∞,
limx→2−
x3
4− x2=80+=∞, lim
x→2+
x3
4− x2=80−= −∞.
Priamky x = 2 a x = −2 sú asymptoty bez smernice. �
B. Priamka y = kx + q je asymptotou so smernicou grafu funkcie f pre x → ∞práve vtedy, ak platia rovnosti
k = limx→∞
f(x)x
, q = limx→∞(f(x)− kx).
Z toho vyplýva, že ak niektorá z uvedených limít neexistuje, tak nexistuje ani asymptotaso smernicou pre x → ∞. Podobné tvrdenia platia pre asymptotu so smernicou prex→ −∞.Príklad 17. Nájdime asymptotu so smernicou grafu funkcie f(x) = 3x2−2x+5
x+3 .
Riešenie. Počítajme
k = limx→∞
f(x)x= lim
x→∞
3x2 − 2x+ 5x2 + 3x
= 3,
q = limx→∞(f(x)− kx) = lim
x→∞
(3x2 − 2x+ 5
x+ 3− 3x
)= lim
x→∞
−11x+ 5x+ 3
= −11.
Priamka y = 3x− 11 je asymptotou so smernicou pre x → ∞. Podobne vypočítame, žetáto priamka je asymptotou so smernicou aj pre x→ −∞. �
Príklad 18. Nájdime asymptoty bez smernice aj so smernicou grafu funkcie f(x) = ex
x.
Riešenie.a) Asymptota bez smernice. Asymptota bez smernice môže byť len v bode x = 0.
limx→0+
ex
x=e0
0+=10+=∞, lim
x→0−
ex
x= lim
x→0−
e0
0−=10−= −∞.
Priamka x = 0 je asymptotou bez smernice.b) Asymptota so smernicou.
k = limx→∞
f(x)x= lim
x→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Asymptota so smernicou pre x→∞ neexistuje.
k = limx→−∞
f(x)x= lim
x→−∞
ex
x2= lim
x→−∞
1x2e−x
= 0,
q = limx→−∞
(f(x)− kx) = limx→−∞
ex
x= lim
x→−∞
1xe−x
= 0.
Priamka y = 0.x+ 0, teda y = 0 je asymptotou so smernicou pre x→ −∞. �
46
Úlohy
52. Napíšte rovnice asymptot ku grafu funkcie y = f(x).
a) y =x
1 + x2; b) y =
x
x− 1; c) y =
1ex − 1
; d) y =3x2 − 1x3
;
e) y =1− x3
x2; f) y =
11− x2
; g) y =1x+ 4x2; h) y =
x2 − 2x+ 2x− 1
;
i) y = ln(x2 + 1); j) y =x2
2+ lnx.
3.8 Priebeh funkcie
Pri zisťovaní priebehu funkcie obvykle určujeme
1. definičný obor a body nespojitosti,2. intervaly, v ktorých je funkcia rastúca, resp. klesajúca a lokálne extrémy,3. intervaly, v ktorých je funkcia konvexná, resp. konkávna a inflexné body,4. asymptotya) bez smernice,b) so smernicou,
5. graf.
Príklad 19. Vyšetrime priebeh funkcie f(x) = x+ 32x2.
Riešenie.1. D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞).2. Funkcia f je elementárna, a preto je spojitá na D(f). Body nespojitosti sú teda body,v ktorých f nie je definovaná. To je len jeden bod x = 0.3. f ′(x) = 1− 64
x3, x ∈ D(f).
f ′(x) = 0, 1− 64x3= 0, x3 = 64, x = 4.
Stacionárny bod x = 4 rozdelí D(f) na intervaly (−∞, 0), (0, 4), (4,∞). Nájdeme zna-mienko prvej derivácie v týchto intervaloch a zostavíme tabuľku.
x (−∞, 0) (0, 4) (4,∞)f ′(x) + − +f(x) ↗ ↘ ↗
Funkcia f je rastúca na intervale (−∞, 0) a na intervale (4,∞). Klesajúca je na intervale(0, 4). V bode x = 4 má lokálne minimum, f(4) = 4 + 32
16 = 6.4. f ′′(x) = −64(−3)x−4 = 192
x4, x ∈ D(f)
f ′′(x) = 0,192x4= 0.
Rovnica nemá riešenie. Preto f nemá inflexný bod. Zistíme znamienko druhej deriváciena intervaloch (−∞, 0), (0,∞) a zostavíme tabuľku.
47
x (−∞, 0) (0,∞)f ′′(x) + +f(x) konvexná ∪ konvexná ∪
Funkcia je konvexná na intervale (−∞, 0) aj na intervale (0,∞).5. a) Asymptoty bez smernice môžu byť len v bodoch nespojitosti, teda len v bode x = 0.Počítame jednostranné limity.
limx→0+
f(x) = limx→0+
(x+32x2
)= 0 +
320+=∞,
limx→0−
f(x) = limx→0−
(x+32x2
)= 0 +
320+=∞.
Priamka x = 0 je asymptota bez smernice.b) Asymptota so smernicou y = kx+ q.
k = limx→∞
f(x)x= lim
x→∞
x+ 32x2
x= lim
x→∞
(1 +32x2
)= 1,
q = limx→∞(f(x)− kx) = lim
x→∞
(x+32x2− x
)= lim
x→∞
32x2= 0.
Priamka y = x je asymptota so smernicou pre x→∞. Podobne zistíme, že táto priamkaje asymptota so smernicou aj pre x→ −∞.6. Graf.
–10
–8
–6
–4
–20
2
4
6
8
10
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
�
Príklad 20. Vyšetrime priebeh funkcie f(x) = x− 2 arctg x.
Riešenie.1. D(f) = (−∞,∞).2. Funkcia je elementárna, a teda je spojitá všade, kde je definovaná. Preto body nespo-jitosti nemá.3.
f ′(x) = 1− 21 + x2
=x2 − 1x2 + 1
, x ∈ D(f),
f ′(x) = 0,x2 − 1x2 + 1
= 0, x2 − 1 = 0, x1 = 1, x2 = −1.
Stacionárne body x1 = −1, x2 = 1 rozdelia D(f) na intervaly (−∞,−1), (−1, 1), (1,∞).Určíme znamienko f ′(x) v každom z týchto intervalov a zostavíme tabuľku.
x (−∞,−1) (−1, 1) (1,∞)f ′(x) + − +f(x) ↗ ↘ ↗
48
Funkcia f je rastúca na intervale (−∞,−1) a na intervale (1,∞). Na intervale (−1, 1)je klesajúca. V bode x1 = −1 má lokálne maximum, f(−1) = −1 − 2 arctg(−1) =−1 + 2 arctg 1 = −1 + 2 · π
4 = −1 +π2 . V bode x2 = 1 má lokálne minimum, f(1) =
1− 2 arctg 1 = 1− 2 · π4 = 1−
π2 .
4.
f ′′(x) =2x(x2 + 1)− 2x(x2 − 1)
(x2 + 1)2=
4x(x2 + 1)2
, x ∈ D(f),
f ′′(x) = 0,4x
(x2 + 1)= 0, 4x = 0, x = 0.
Bod x = 0 rozdelí D(f) na intervaly (−∞, 0), (0,∞). Určíme znamienko druhej deri-vácie f ′′(x) v týchto intervaloch a zostavíme tabuľku.
x (−∞, 0) (0,∞)f ′′(x) − +f(x) konkávna ∩ konvexná ∪
Bod x = 0 je inflexný bod, f(0) = 0.5. a) Asymptoty bez smernice funkcia f nemá, lebo nemá body nespojitosti.b) Asymtota so smernicou y = kx+ q.
k = limx→∞
f(x)x= lim
x→∞
x− 2 arctg xx
= limx→∞
(1− 2arctg x
x
)= 1,
q = limx→∞(f(x)− kx) = lim
x→∞(x− 2 arctg x− x) = −2 lim
x→∞arctg x = −2 · π
2= −π.
Priamka y = x − π je asymptota so smernicou pre x → ∞. Podobne zistíme, že k = 1aj pre x → −∞, ale q = π pre x → −∞ (pretože limx→−∞ arctg x = −π
2 ). Priamkay = x+ π je asymptota so smernicou pre x→ −∞.6. Graf.
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8x
�
Úlohy
Vyšetrite priebeh funkcií.53. y = 2x3 − 3x2. 54. y = x3 − 3x+ 2.55. y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 7. 56. y = 4x3−x4
5 .
57. y = (x+1)2
x−2 . 58. y = 2x−1(x−1)2 .
59. y = x3
x−1 . 60. y = xx2−1 .
61. y = x3
3−x2. 62. y = 1
1−x2.
63. y = x2 + 1x2. 64. y = x2
x2−4 .
49
65. y = x3+2x2+7x−32x2 . 66. y = x3
2(x+1)2.
67. y = x4
(1+x)3. 68. y = 3x4+1
x3.
69. y = x+ 2arccotg x. 70. y = arctg 1x.
71. y = xex . 72. y = ex
x.
73. y = e1x . 74. y = x2e−x.
75. y = x3 · e−x. 76. y = 1ex−1 .
77. y = x+ e−x. 78. y = ln(x2 + 1).79. y = ln(4− x2). 80. y = x− ln(x+ 1).81. y = x lnx. 82. y = x
lnx.
3.9 Taylorova veta a diferenciál funkcie
V inžinierskych disciplínach je niekedy potrebné nahradiť (aproximovať) danú funkciu vokolí nejakého bodu jednoduchšími funkciami. Jedna z možností je aproximácia polynó-mom. Voľbu aproximujúceho polynómu spolu s udaním chyby, akej sa pritom dopustímerieši nasledujúca veta:
Taylorova veta. Nech f je funkcia definovaná na intervale < a, b >. Predpokladajme,že funkcia f má na intervale < a, b > spojitú deriváciu (n)-vého rádu a vnútri tohotointervalu má deriváciu rádu n + 1. Nech x0 a x sú dva rôzne body intervalu < a, b >.Potom existuje bod x1 ležiaci medzi bodmi x0 a x taký, že platí
f(x) = f(x0) +f ′(x0)1!(x− x0) +
f ′′(x0)2!(x− x0)
2 + · · ·+ f (n)(x0)n!
(x− x0)(n)+
+f (n+1)(x1)(n+ 1)!
(x− x0)n+1.
Táto rovnosť sa nazýva Taylorov vzorec. Polynóm n-tého stupňa
Tn(x) = f(x0) +f ′(x0)1!(x− x0) + · · ·+
f (n)(x0)n!
(x− x0)n
nazývame Taylorov polynóm funkcie f(x) v bode x0 a
Rn+1(x) =f (n+1)(x1)(n+ 1)!
(x− x0)n+1
nazývame zvyšok v Taylorovom vzorci po n-tom člene. Potom Taylorov vzorecmôžeme zapísať v tvare
f(x) = Tn(x) +Rn+1(x). (1)
Ak v Taylorovom vzorci zvolíme x0 = 0, dostaneme Mac Laurinov vzorec
f(x) = f(0) +f ′(0)1!
x+f ′′(0)2!
x2 + · · ·+ f (n)(0)n!
xn +f (n+1)(x1)(n+ 1)!
xn+1,
x1 leží medzi 0 a x.Ak v (1) funkciu f nahradíme Taylorovým polynómom, dostaneme približný vzorec
f(x).= Tn(x).
50
Dopustíme sa pritom chyby, ktorá sa rovná tomu, čo sme v (1) vynechali, t.j.
chyba = Rn+1(x).
Obyčajne počítame absolútnu hodnotu chyby. Presnú hodnotu chyby nepoznáme. Chybuiba odhadujeme, a to tak, že ju zhora ohraničíme nejakým číslom.
Diferenciál funkcie. Ak uvažujeme n = 1 v Taylorovom polynóme Tn(x) pre bodx0, potom výraz
dy = f ′(x0)(x− x0)
nazývame diferenciálom funkcie y = f(x) v bode x0 a výraz
4y = f(x)− f(x0)
nazývame prírastok funkcie f . Ak bod x sa nachádza v dostatočne malom okolí bodux0, potom platí približná rovnosť
4y .= dy.
Po dosadení za 4y a dy dostaneme f(x)− f(x0).= f ′(x0)(x− x0), alebo
f(x).= f ′(x0)(x− x0) + f(x0).
Pri riešení príkladov za x0 volíme bod blízky bodu x, v ktorom vieme pomerne hladkovypočítať hodnoty f(x0) a f ′(x0).
Príklad 21. Vypočítajme približne arccos 0, 2.
Riešenie. Číslo arccos 0, 2 je hodnotou funkcie f(x) = arccosx v bode x = 0, 2. Tedaf(x) = f(0, 2) = arctg 0, 2. Zvoľme x0 = 0. Potom x − x0 = 0, 2, f(x0) = f(0) =arccos 0 = π
2 . Ďalej máme
f ′(x) =−1√1− x2
f ′(x0) = f′(0) =
−1√1− 0
= −1.
Dosadením do posledne uvedeného vzorca dostaneme
arccos 0, 2.= (−1)0, 2 + π
2.= 1, 37. �
Príklad 22. Vyjadrime funkciu f(x) = x5 − 2x4 + x3 − x2 − x + 5 pomocou mocnín(x+ 1).
Riešenie. Napíšeme Taylorov vzorec funkcie f v bode x0 = −1. Platí:
f(x) = x5 − 2x4 + x3 − x2 − x+ 5 f(−1) = 1f ′(x) = 5x4 − 8x3 + 3x2 − 2x− 1 f ′(−1) = 17f ′′(x) = 20x3 − 24x2 + 6x− 2 f ′′(−1) = −52f ′′′(x) = 60x2 − 48x+ 6 f ′′′(−1) = 114f (4)(x) = 120x− 48 f (4)(−1) = −168
f (5)(x) = 120 f (5)(−1) = 120f (6)(x) = f (7)(x) = · · · = 0. f (6)(−1) = · · · = 0.
51
Dosadením do Taylorovho vzorca dostaneme
f(x) = 1 +171!(x+ 1) +
−522!(x+ 1)2 +
1143!(x+ 1)3 +
−1684!(x+ 1)4 +
1205!(x+ 1)5 =
= 1 + 17(x+ 1)− 26(x+ 1)2 + 19(x+ 1)3 − 7(x+ 1)4 + (x+ 1)5. �
Úlohy
83. Použitím diferenciálu vypočítajte približne:
a) 4√17; b) e0,2; c) y = 31,003; d) (1, 03)4;
e) y = ln 1, 01; f) log 9999; g) y = arctg 1, 1; h) y = arctg 0, 96.
84. Vypočítajte diferenciál funkcie f(x) v bode x0 pre prírastok h, ak
a) f(x) = 3x5, x0 = 2, x = 2, 1;
b) f(x) = x4 − 3x3 + 2x2 − 8x+ 3, x0 = 0, x = −0, 3;
c) f(x) =√x, x0 = 100, x = 99;
d) f(x) = arctg x, x0 = 1, h = 0, 9.
85. O koľko sa približne zväčší (zmenší) obsah kruhu s polomerom r = 12cm, ak sazväčší (zmenší) polomer o 0, 5cm?
86. O čo sa približne zväčší (zmenší) objem gule s polomerom r = 10cm, ak sa zväčší(zmenší) polomer o 0, 5cm?
Napíšte Taylorov polynóm pre funkciu f(x) v danom bode x0.
87. f(x) = x3+3x2−2x+4, x0 = −1. 88. f(x) = x3 − 2x2 + 3x+ 5, x0 = 2.89. f(x) = x3 − 2x+ 5, x0 = 3. 90. f(x) = x4 − 3x2 − 10x+ 11, x0 = 2.Určte Taylorov polynóm pre funkciu f(x) v bode x0 a pre dané n.
91. f(x) = ln cos x, x0 = 0, n = 4. 92. f(x) = arctg x, x0 = 0, n = 3.93. f(x) = lnx, x0 = 3, n = 4. 94. f(x) = 1
x, x0 = 2, n = 4.
95. f(x) = ex, x0 = −1, n = 3. 96. f(x) = xx−1 , x0 = 2, n = 3.
3.10 Funkcia určená parametricky a jej derivácia
A. Uvažujme o systéme dvoch spojitých funkcií na intervale I.
x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈M. (1)
Rovnice (1) vyjadrujú v rovine nejakú krivku k a nazývame ich parametrickýmirovnicami krivky k. Sústava rovníc (1) môže, ale nemusí definovať y ako funkciu x.Ak funkcia x = ϕ(t) má inverznú funkciu t = g(x), tak môžeme zostrojiť zloženú funkciupremennej x :
y = ψ(ϕ(x)) = f(x),
52
ktorej definičný obor je obor funkčných hodnôt funkcie ϕ(t). O funkcii f hovoríme, žeje určená parametricky rovnicami (1). Prechod od rovníc (1) k funkcii f(x) sa nazývaeliminácia parametra.B. Nech funkcia x = ϕ(t) je rastúca, prípadne klesajúca na intervale I. Potom má
inverznú funkciu x = g(t), a teda rovnice (1) vyjadrujú funkciu f(x). Jej deriváciu f ′(x)môžeme vypočítať aj bez hľadania inverznej funkcie g.Nech existujú derivácie ϕ′(t), ψ′(t) podľa t v bode t ∈ I, pričom ϕ′(t) 6= 0. Potom funkciaf(x) má deriváciu v odpovedajúcom bode x = ϕ(t). Deriváciu f ′(x) vypočítame podľavzorca
f ′(x) =ψ′(t)ϕ′(t)
. (2)
Funkcia f ′(x) je určená parametricky rovnicami
x = ϕ(t), y =ψ′(t)ϕ′(t)
. (3)
Príklad 23. Vypočítajme prvú deriváciu funkcie f(x) danú parametrickými rovnicamix = 1− t2, y = t− t3, t ∈ (−∞,∞).
Riešenie. Označme ϕ(t) = 1−t2, ψ(t) = t−t3. Funkcie ϕ a ψ majú na intervale (−∞,∞)derivácie ľubovoľného rádu. Dané rovnice definujú funkciu f(x). Jej derivácia podľa (2)je
f ′(x) =ψ′(t)ϕ′(t)
=1− 3t2
−2t=3t2 − 12t
, t ∈ (−∞,∞). �
Príklad 24. Napíšeme rovnicu dotyčnice ku cykloide x = t − sin t, y = 1 − cos t,t ∈ (0, 2π) v bode, kde t = π
2 .
Riešenie. Označme f1(t) = t − sin t, f2(t) = 1 − cos t. Platí f ′1(t) = 1 − cos t > 0 prekaždé t ∈ (0, 2π). Z toho vyplýva, že daný systém rovníc určuje parametricky funkciuf(x). Rovnica dotyčnice je
y − y0 = f′(x0)(x− x0).
Nájdeme súradnice x0 a y0 dotykového bodu.
x0 =π
2− sin π
2=π
2− 1, y0 = 1− cos
π
2= 1.
Podľa vzorca (2) vypočítame f ′(x).
f ′(x) =f ′2(t)f ′1(t)
=(1− cos t)′
(t− sin t)′=
sin t1− cos t
,
f ′(x0) =sin π
2
1− cos π2
=11= 1.
Dosadením do rovnice dotyčnice máme
y − 1 = 1 · (x− π
2+ 1), 2x− 2y + 4− π = 0. �
53
Úlohy
97. Určte f ′(x) funkcie f(x) určenej parametricky:
a) x = t3+ t, y = t2+4t; b) x = ln(1+ t2), y = t−arctg t; c) x = arctg t, y =12t2;
d) x = a sin t, y = a · cos t, a > 0; e) x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), a > 0;
f) x = 3 cos3 t, y = 3 · sin3 t; g) x = 2 cos3 t, y = 4 · sin3 t; h) x = ln t, y =11− t
.
98. Funkcia f(x) je určená parametricky x = k sin t + sin kt, y = k cos t + cos kt.Vypočítajte f ′(x) v bode kde t = 0.
99. V ktorých bodoch krivky x = t− 1, y = t3 − 12t+ 1 je dotyčnica rovnobežná
a) s osou x, b) s priamkou 9x+ y + 3 = 0.
Napíšte rovnice dotyčnice a normály v obidvoch prípadoch.
100. Na krivke x = t2 + 1, y = 3− t2 určte body, v ktorých je dotyčnica rovnobežná sosou x.
101. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie určenej parametricky:
a) x = 2et, y = e−t, v bode t0 = 0;
b) x = sin t, y = cos(2t), v bode t0 =π
6;
c) x = 2√3 cos t, y = 2 sin t, v bode t0 =
π
6;
d) x = cos3(t), y = sin3(t), v bode t) =π
4;
a) x = (t− sin t), y = (1− cos t), v bode t0 =32π.
102. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie určenej parametrickýmirovnicami x = t2 − 4t+ 4, y = t2 − 3t+ 2 v bode A(1; 0).
54
4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovinea v priestore.
4.1 Pravouhlé súradnice bodu v rovine a vektory v rovine.
Zvoľme pravouhlú súradnicovú sústavu so súradnicovými osami ox a oy, začiatkom Oa jednotkou dľžky. Obrazom každej usporiadanej dvojice reálnych čísel [x, y] v súradni-civej rovine je jediný bod P a naopak. Čísla x, y, ktoré udávajú v súradnicovej rovinevzdialenosť bodu P od osí ox a oy sú súradnice bodu P . Píšeme P = [x, y].Vzdialenosť dvoch bodov v rovine definujeme ako veľkosť úsečky ohraničenej danými
bodmi. Nech A = [x1, y1] a B = [x2, y2] sú dané body v rovine. Potom vzdialenosť v(A,B)určíme podľa vzťahu:
v(A,B) =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Vektor a = (a1, a2), ktorého umiestnenie je také, že jeho začiatok je v bode A = [x1, y1]a koniec v bode B = [x2, y2], značíme tiež B − A, pričom a1 = x2 − x1 a a2 = y2 − y1.Veľkosť vektora a = (a1, a2) je:
|a| =√a21 + a
22.
Skalárny súčin dvoch vektorov a = (a1, a2) a b = (b1, b2) v rovine definujeme akočíslo:
ab = |a||b| cosϕ,
kde ϕ je uhol, ktorý zvierajú vektory a a b. Potom platí aj ab = a1b1 + a2b2.Nech a a b sú dva nenulové vektory. Potom ab = 0 práve vtedy, ak a a b sú naczájom
na seba kolmé (a⊥b).
4.2 Rovnica priamky v rovine.
A) Rovnica priamky v parametrickom tvare .Nech A = [x1, y1] a B = [x2, y2] sú dva rôzne body priamkym v rovine. Nech P = [x, y]
je ľubovoľný bod priamky m. Potom vektorová rovnica tejto priamky m je tvaru:
P = A+ t(B − A) = A+ ts,
pričom s = (s1, s2) nazývame smerový vektor priamkym, s = B−A, kde s1 = x2−x1 as2 = y2−y1 a t je parameter (ľubovoľné reálne číslo). V systéme súradníc môžme vektorovúrovnicu priamky rozpísať pomocou dvoch vzťahov, ktoré nazývame parametrickýmirovnicami priamky m v rovine takto:
x = x1 + t(x2 − x1), y = y1 + t(y2 − y1),
alebo:
x = x1 + ts1, y = y1 + ts2.
55
Poznámka. Ak v rovnici P = A + t(B − A) uvažujeme t ∈< 0, 1 >, dostanemeparametrické vyjadrenie úsečky AB.
B) Všeobecný tvar rovnice priamky.Vylúčením parametra t z parametrických rovníc priamky m dostaneme jednu lineárnu
rovnicu s dvoma neznámymi x a y tvaru:
ax+ by + c = 0,
kde aspoň jedno z čísel a a b je rôzne od nuly. Túto rovnicu nazývame všeobecnourovnicou priamky. Vektor n = (a, b) nazývame normálovým vektorom, pričomnormálový vektor znamená vektor kolmý (v tomto prípade na danú priamku m alebo jejsmerový vektor s.Všeobecnú rovnicu priamky môžme vyjadriť pomocou vlastnosti skalárneho súčinu (prekolmé vektory) aj vo vektorom tvare takto:
(P − A).n = 0,
alebo
a(x− x1) + b(y − y1) = 0,
kde P = [x, y] je ľubovoľný bod priamky m a A = [x1, y1] je jeden konkrétne zadanýbod priamky m.
C) Rovnica priamky v smernicovom tvare.Priamka m určená dvomi rôznymi bodmi A = [x1, y1] a B = [x2, y2] zviera s osou ox
uhol ϕ (kladne orientovaný uhol s počiatkom na kladnej časti osi ox), ktorý nazývame /bfsmerový uhol priamky m. Tangens tohto smerového uhla nazývame smernicou priamkya označujeme ju k = tgα. Platí:
tgα =y2 − y1x2 − x1
= k.
Smernica k nie je definovaná, ak x2 = x1 (priamka m je kolmá na os ox). Ak y2 = y1,(x2 6= x1), potom k = 0 (priamka m je rovnobežná s osou ox).Nech k je smernica priamky m a q je úsek, ktorý priamka m vytína na osi oy. Potom
jej smernicová rovnica má tvar:
y = kx+ q.
D) Rovnica priamky určená dvoma bodmi.Nech A = [x1, y1] a B = [x2, y2] sú dva rôzne body, potom rovnica priamky m určená
týmito bodmi má tvar:
y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x− x1),
kde x a y sú súradnice ľubovoľného bodu priamky m. Pretože y2−y1x2−x1
= k, potom
y − y1 = k(x− x1)
je rovnica priamky m určenej bodom A = [x1, y1] a smernicou k.
56
E) Rovnica priamky v úsekovom tvare.Nech priamka m vytína na súradnicových osiach úseky p 6= 0 a q 6= 0. Potom jej
rovnica má tvar:
x
p+y
q= 1.
Príklad 1. Priamka m prechádza bodmi A = [2,−3] a B = [1, 2]. Vyjadrime priamkuma) vo všeobecnom tvare;b) v parametrickom tvare;c) v smernicovom tvare;d) v úsekovom tvare.
Riešenie.Vektor s = B − A má súradnice s = (−1, 5).a) Jedným z vektorov kolmých na vektor s je napr. vektor n = (5, 1), pretože z vlastnostiskalárneho súčinu pre kolmé vektory platí: ns = 5.(−1)+1.5 = 0. Z rovnice (P−A).n = 0potom dostaneme:
5(x− 2) + 1(y + 3) = 0,
alebo
5x+ y − 7 = 0
b) Rovnicu P = A + ts rozpíšememe do dvoch rovníc pomocou súradníc, čím rovnoobdržíme hľadané parametrické rovnice:
x = 2− t
y = −3 + 5t,
kde t ∈ R.
c) Smernicový tvar rovnice priamky m môžme získať napr. vyjadrením y z jej všeobecnejrovnice, teda:
y = −5x+ 7,
pričom smernica k = −5 a ďalší parameter q = 7;
d) Úsekový tvar priamky môžme tiež získať napr. zo všeobecnej rovnice určitými al-gebraickými úpravami:
5x+ y = 7
5x7+y
7= 1
x75
+y
7= 1,
kde parameter p = 75 a parameter q = 7. �
57
Príklad 2. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky q, ktorá je kolmá na priamkup : x
3 +y4 = 1 a prechádza bodom A = [2,−5].
Riešenie.Priamku p prepíšeme na všeobecný tvar 4x+3y−12 = 0, z ktorého vidíme, že np = (4, 3).Keďže priamka q má byť kolmá na priamku p, z vlastnosti skalárneho súčinu pre kolmévektory dostaneme napr. nq = (3,−4). Teda všeobecná rovnica má zatiaľ neúplný tvar3x− 4y + c = 0.Po dosadení súradníc bodu A = [2,−5] do tohto neúplného tvaru dostaneme, že
c = −26 a teda výsledná všeobecná rovnica priamky q je 3x− 4y − 26 = 0. �
Úlohy.
1. Priamka m prechádza bodmi A = [3,−1] a B = [−2, 4]. Vyjadrite priamku ma) vo všeobecnom tvare;b) v parametrickom tvare;c) v smernicovom tvare;d) v úsekovom tvare.
2. Sú dané body A = [3,−4] a B = [2, 1]. Napíštea) parametrické vyjadrenie priamky AB;b) všeobecnú rovnicu priamky AB;c) smernicový tvar rovnice priamky AB;d) úsekový tvar rovnice priamky AB.
3. Napíšte všeobecný, parametrický, smernicový a úsekový tvar priamky prechádza-júcej bodmi A = [0, 2] a B = [3, 0].
4. V rovnici 2x+ by− 13 = 0 vypočítajte koeficient b tak, aby priamka prechádzalabodom A = [4,−5]. Napíšte aj smernicový a úsekový tvar rovnice danej priamky.
5. Napíšte všeobecnú rovnicu, parametrické vyjadrenie a smernicový tvar priamkyAB, ak je dané A = [5, 4] a B = [−1, 8].
6. Nájdite všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [1,−2] a zvieras osou ox uhol 23π.
7. Vypočítajte číslo a tak, aby bod A = [3, a] ležal na priamke, ktorá má smernicuk = 4 a prechádza bodom B = [1, 4].
8. Vypočítajte číslo b tak, aby bod A = [b, 3] ležal na priamke, ktorá má smernicuk = −2 a prechádza bodom B = [−1, 3].
9. Zistite, či na priamke AB, ak je dané A = [1, 3] a B = [0, 2] leží bod C = [−1, 8].
10. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá má smernicu k = −2 a prechádza bo-dom D = [3, 1].
58
11. Určte smernicu priamky, ktorá prechádza bodmi A = [8, 1] a B = [6, 5].
12. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [2,−3] rovno-bežnea) s osou ox;b) s osou oy;c) s priamkou x− 3y − 7 = 0.
13. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A = [3,−1] rov-nobežnea) s osou ox;b) s osou oy;c) s osou I. a III. kvadrantu.
14. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [−3, 5] a jerovnobežná s priamkoua) 5x+ 2y − 42 = 0;b) x = 3− 2t, y = t, t ∈ R.
15. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky q, ktorá je kolmá na priamku p a prechádzabodom A, aka) p: 2x− y − 1 = 0, A = [−3, 3];b) p: x = 3 + 2t, y = −4 + 5t, t ∈ R, A = [1, 4];c) p: x
2 +y3 = 1, A = [3, 1].
16. Daná je priamka p: x = 1 + 3t, y = −2 − 2t, t ∈ R. Napíšte rovnicu priamky,ktorá prechádza bodom A = [2, 1]a) rovnobežne s priamkou p;b) kolmo na priamku p.
17. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [−4,−5] a prie-sečníkom priamok 5x− 8y + 34 = 0 a 4x+ 9y − 19 = 0.
18. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodomM = [15,−3] a prie-sečníkom priamok 3x− 5y + 12 = 0 a 5x+ 2y − 42 = 0.
19. Dané sú priamkyp1: 2x− 3y + 6 = 0,p2: 3x+ 4y − 25 = 0,p3: 7x− 2y + 14 = 0.Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza priesečníkom priamok p1 a p2 a jea) rovnobežná s priamkou p3;b) kolmá na priamku p3.
20. Nájdite hodnoty koeficientov a a b, pri ktorých sústava rovníc x = a+3t, y = 4−bt,t ∈ R vyjadruje priamku určenú bodmi A = [1, 0] a B = [3,−1].
21. Zistite, či bod M = [−1, 2] leží na osi úsečky AB, ak A = [2, 4] a B = [4, 2].
59
4.3 Vektory v priestore.
Nech i, j,k sú jednotkové vektory súradnicových osí ox, oy a oz. Vektor a sa dá jednoznačnevyjadriť v tvare
a = a1i+ a2j+ a3k,
kde a1, a2, a3, sú čísla nazývané súradnice vektora a. Vektory a1i, a2j, a3k nazývame zlož-kami vektora a. Vektor a často stotožňujeme s jeho súradnicami a píšeme a = (a1, a2, a3).Veľkosť (dĺžku) vektora a budeme označovať |a| alebo a. Platí
|a| =√a21 + a
22 + a
23.
Jednotkový vektor nenulového vektora a je a◦ = a|a| .
Smerovými kosínusmi vektora a nazývame kosínusy uhlov α, β, γ, ktoré vektor a tvorí sosami ox, oy a oz. Platí
cosα =a1|a|, cos β =
a2|a|, cos γ =
a3|a|,
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.
Operácie s vektormia+ b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3),a− b = (a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3),λa = (λa1, λa2, λa3), kde λ ∈ R.
Dva vektory a, b sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak jeden z nich je číselnýmnásobkom druhého b = λa.
Príklad 3. Sily F1 a F2 pôsobia v tom istom bode a majú veľkosti |F1| = 6N , |F2| = 35N .Sila F1 má smer aj orientáciu ako v1 = i+2j−2k. Sila F2 má smer ako v2 = 6i+3j−2ka opačnú orientáciu. Vypočítajme výslednicu týchto dvoch síl.
Riešenie.Najskôr nájdeme zložky síl F1 a F2. F1 je rovnobežný s v1 a rovnako orientovaný. PotomF1 je číselným násobkom v1.
F1 = λ1v1 = λ1i+ 2λ1j− 2λ1k, λ1 > 0.|F1| =
√λ21 + (2λ1)2 + (−2λ1)2 =
√9λ21 = 3|λ1|.
Keďže |F1| = 6, z toho dostávame, že |λ1| = 2. Pretože λ1 > 0, platí λ1 = 2. Po dosadeníza λ1 dostaneme, že F1 = 2i + 4j − 4k. Podobne ako sme vypočítali F1, vypočítameaj vektor F2. F2 je číselným násobkom v2. Keďže F2 je opačne orientovaný λ2 < 0.Dostaneme, že λ2 = −5 a teda F2 = −30i− 15j+ 10k. Pre výslednicu F platí
F = F1 + F2 = (2i+ 4j− 4k) + (−30i− 15j+ 10k) = −28i− 11j+ 6k. �
Príklad 4. Nájdime vektory a a b, ktoré majú smer a orientáciu ako vektor v =−i− 2j+ 2k. Vektor a je jednotkový vektor a vektor b má dĺžku 9.
Riešenie.Vypočítame najskôr dĺžku vektora v.
60
|v| =√(−1)2 + (−2)2 + 22 =
√9 = 3.
Potom
a = v|v| =
13(−i− 2j+ 2k) = −
13 i−
23j+
23k,
b = 9a = 9(−13 i−23j+
23k) = −3i− 6j+ 6k. �
Úlohy.
22. Vypočítajte dĺžku vektora a = (6, 3,−2).23. Daný je bod M [5,−3, 4]. Určte dĺžku vektora OM.24. Daný je vektor a = (4,−12, az). Vypočítajte súradnicu az, ak dĺžka vektora je13.25. Dané sú body A[3,−1, 2] a B[−1, 2, 1]. Určte súradnice vektora AB a BA.26. Určte súradnice bodu N , ktorý je koncovým bodom vektora a = (3,−1, 4), akzačiatočný bod je v bode M [1, 2,−3].27. Určte súradnice bodu M , ktorý je začiatočným bodom vektora a = (2,−3,−1),ak koncový bod je v bode N [1,−1, 2].28. Daná je dĺžka vektora |a| = 2 a uhly α = 45◦, β = 60◦, γ = 120◦ so súradnicovýmiosami. Vypočítajte súradnice vektora a.29. Vypočítajte smerové kosínusy vektora a:a) a = (12,−15,−16) b) a = ( 313 ,
413 ,
1213).
30. Môže vektor tvoriť so súradnicovými osami nasledujúce uhly:a) α = 45◦, β = 60◦, γ = 120◦
b) α = 45◦, β = 135◦, γ = 60◦
c) α = 90◦, β = 150◦, γ = 60◦?31. Môže vektor tvoriť s dvoma súradnicovými osami nasledujúce uhly:a) α = 30◦, β = 45◦
b) β = 60◦, γ = 60◦
c) α = 150◦, γ = 30◦?32. Vektor tvorí s osami ox a oz uhly α = 120◦, γ = 45◦. Aký uhol tvorí s osou oy?33. Vektor a tvorí so súradnicovými osami ox a oy uhly α = 60◦, β = 120◦. Vypočítajtejeho súradnice, ak |a| = 2.34. Určte súradnice bodu M , ak vektor OM tvorí so súradnicovými osami rovnakéuhly a |OM| = 3.35. Vektor OM zviera so súradnicovými osami ostré uhly rovnakej veľkosti. Určtetieto uhly, ak |OM| = 2
√3.
36. Vektor zviera so súradnicovymi osami oy a oz uhly β = π3 , γ =
2π3 . Aký uhol zviera
s osou ox?37. Dané sú 3 za sebou nasledujúce vrcholy rovnobežníkaA[1,−2, 3],B[3, 2, 1], C[6, 4, 4].Určte súradnice vrcholu D.38. Určte dĺžku vektora, ktorý je súčtom a rozdielom vektorov a = (3,−5, 8) ab = (−1, 1,−4).39. Je daný vektor c = 16i − 15j + 12k. Vyjadrite vektor d, ktorý je rovnobežný svektorom c, opačne orientovaný a jeho veľkosť je 75.40. VektoryAB = (2, 6,−4),AC = (4, 2,−2) sú vektormi na stranách4ABC. Určtesúradnice vektorov, ktoré ležia na ťažniciach AM , BN , CP v 4ABC.
61
4.4 Skalárny súčin dvoch vektorov.
Skalárnym súčinom dvoch vektorov a a b nazývame číslo (skalár), ktoré označujeme a.ba definujeme ho takto
1. Ak a a b sú nenulové vektory a ϕ je ich uhol, tak a.b = |a||b| cosϕ.2. Ak niektorý z vektorov a, b je nulový vektor, tak a.b = 0.
Ak a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), tak a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Príklad 5. Dané sú vektory u = a− 3b a v = 2a− b, pričom veľkosti vektorov a a bsú |a| = 4, |b| = 1 a zvierajú uhol 60◦. Vypočítajme cosϕ, kde ϕ je uhol medzi vektormiu a v.
Riešenie.Zo vzťahu pre skalárny súčin dostaneme, že
cosϕ = u.v|u||v| .
Najprv vypočítame skalárny súčin u.v
u.v = (a− 3b)(2a− b) = 2a.a− 7a.b+ 3b.b
Vyjadrime si skalárny súčin a.a (uhol, ktorý zviera vektor a so sebou samým je 0◦)
a.a = |a||a| cos 0◦ = 16,
a tiež
a.b = |a||b| cos 60◦ = 2,b.b = |b||b| cos 0◦ = 1.
Z toho dostaneme, že u.v = 2.16− 7.2 + 3.1 = 21.Keďže u.u = |u||u| cos 0◦ = |u|2, môžme si vyjadriť |u| takto
|u| =√u.u =
√(a− 3b)(a− 3b) =
√a.a− 6a.b+ 9b.b =
√13,
|v| =√v.v =
√(2a− b)(2a− b) =
√4a.a− 4a.b+ b.b =
√57.
A teda cosϕ = 21√13√57. �
Úlohy.
41. Vypočítajte skalárny súčin a.b, aka) |a| = 8, |b| = 5, ∠(a,b) = 60◦b) |a| = |b| = 1, ∠(a,b) = 135◦c) |a| = 3, |b| = 1, a ‖ b je rovnobežný a súhlasne orientovanýd) |a| = 3, |b| = 1, a ‖ b je rovnobežný a nesúhlasne orientovanýe) a = (1, 3,−5), b = (5, 0, 1)f) a = (12 ,
13 ,23),b = (0, 2; 0, 15; 0, 1)
g) a = 3p− 2q a b = p+ 4q, kde vektory p a q sú jednotkové a navzájom kolmé.42. Určte uhol medzi vektormi a = −i+ j a b = i− 2j+ 2k.43. Nech |a| = 2, |b| = 1, ∠(a,b) = π
3 .Vypočítajte kosínus uhla medzi vektormi:a) a, a+ b, b) b, a− b, c) a+ b a a− b.
62
44. Určte vnútorné uhly 4ABC s vrcholmi A[2,−1, 3], B[1, 1, 1] a C[0, 0, 5].45. Určte dĺžky uhlopriečok rovnobežníka zostrojeného nad vektormi a = 2m + n ab =m− 2n, kde m a n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol π
3 .46. Dané sú tri za sebou nasledujúce vrcholy rovnobežníka ABCD. A[−3,−2, 0],B[3,−3, 1] a C[5, 0, 2]. Určte súradnice vrchola D a uhol medzi vektormi AC a BD.47. Určte uhol medzi vektormi a = 2m+ 4n a b =m− n, kde m a n sú jednotkovévektory zvierajúce uhol 2π3 .48. Daný je vektor a = 2m − n, kde m a n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol120◦. Vypočítajte cos∠(a,m) a cos∠(a,n).49. Určte číslo c, aby vektory a = i+5j− 6k a b = 2i− j+ ck boli navzájom kolmé.50. Vypočítajte vektor x, ktorý spĺňa podmienky x.k = 0, x.a = 1, x.b = 4, kdea = (2,−1, 5),b = (3, 1, 1).51. Určte vektor x, ktorý spĺňa podmienky ax = −4, bx = 5, cx = 2, kde a = (1, 2,−3),b = (5, 1, 2), c = (−3, 0, 1).52. Vypočítajte súradnice vektora, ktorý zviera s vektorom i uhol π
4 , s vektorom kuhol π
3 , s vektorom j ostrý uhol a jeho dĺžka je 8.
4.5 Vektorový a zmiešaný súčin.
A. Vektorový súčin. Vektorovým súčinom nenulových vektorov a a b sa nazýva vektorc, pre ktorý platí
1. |c| = |a||b| sinϕ, kde ϕ je uhol medzi vektormi a a b,2. c ⊥ a, c ⊥ b,3. orientovaný je tak, že vektory a,b, c tvoria pravotočivý systém.
Označujeme ho c = a× b. Pre vektorový súčin platí
a× a = 0,a× b = −b× a,|λ(a× b)| = |λ||a× b|, kde λ ∈ R.
Plošný obsah rovnobežníka zostrojeného na vektoroch a a b vypočítame
P = |a× b|.
Plošný obsah trojuholníka zostrojeného na vektoroch a a b vypočítame
P =12|a× b|.
Ak a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), tak platí
a× b =
∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ .B. Zmiešaný súčin. Zmiešaným súčinom vektorov a,b, c nazývame číslo a.(b× c).Ak a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3), tak
a.(b× c) =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ .Ak tri lineárne nezávislé vektory a,b, c majú spoločný začiatočný bod, tak určujú
63
rovnobežnosten, ktorého objem V = |a.(b× c)|,štvorsten, ktorého objem V = 1
6 |a.(b× c)|.
Príklad 6. Uhol vektorov a a b je 30◦, |a| = |b| = 5. Vypočítajme plošný obsahrovnobežníka zostrojeného z vektorov u = a− 2b a v = 3a+ 2b.
Riešenie.Veľkosť vektorového súčinu vektorov u a v je rovná plošnému obsahu P obdĺžnika.
P = |u×v| = |(a−2b)×(3a+2b)| = |a×(3a)+a×(2b)+(−2b)×(3a)+(−2b×(2b)| == |3a× a+ 2a× b− 6b× a− 4b× b| = |0+ 2a× b+ 6a× b− 0| = |8a× b| =
= 8|a× b| = 8|a||b| sin 30◦ = 8.5.5.12 = 100. �
Príklad 7. Určme objem V štvorstena A,B,C,D ak A[1, 0,−2], B[2, 1, 1], C[3,−2, 0],D[−1, 4, 2].
Riešenie.Hrany vychádzajúce z vrchola A sú a = AB = (1, 1, 3), b = AC = (2,−2, 2), c = AD =(−2, 4, 4). Potom
a.(b× c) =
∣∣∣∣∣∣1 1 32 −2 2−2 4 4
∣∣∣∣∣∣ = −16,V = 1
6 |a.(b× c)| =16 | − 16| =
83 . �
Úlohy.
53. Vypočítajte vektorový súčin a× b a obsah rovnobežníka nad vektormi a,b, ak:a) a = 3i,b = 2kb) a = i+ j,b = i− jc) a = 2i+ 3j,b = 3j+ 2k.54. Vypočítajte a× b, ak:a) a = i+ 2j,b = 3kb) a = i+ 2j− 2k,b = 7i+ 4j+ 6k.55. Nech |a| = |b| = 3,∠(a,b) = 60◦. Vypočítajte:a) |a× b|b) |(a+ b)× (a− b)|c) |(3a+ b)× (a− 3b)|.56. Vypočítajte |a× b|, ak |a| = 3, |b| = 4, a.b = −6.57. Vypočítajte obsah trojuholníka s vrcholmi A[7, 3, 4], B[1, 0, 6], C[4, 5,−2].58. Vektory a,b zvierajú uhol π
4 . Určte obsah trojuholníka zostrojeného nad vektormia− 2b, 3a+ 2b, ak |a| = |b| = 5.59. Určte obsah rovnobežníka, ktorého uhlopriečky sú vektory 2m−n, 4m− 5n, kdem a n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol π
4 .60. Vypočítajte obsah trojuholníka s vrcholmi A[1,−2, 8], B[0, 0, 4], C[6, 2, 0] a dĺžkuvýšky BD spustenej z bodu B na stranu AC.61. Určte obsah trojuholníka zostrojeného na vektoroch a =m− 2n a b = 3m+2n,kde |m| = |n| = 6 a zvierajú uhol π
4 .62. Určte obsah rovnobežníka zostrojeného na vektoroch a =m+2n a b = 2m+n,kde m,n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol π
6 .
64
63. Určte obsah rovnobežníka zostrojeného na vektoroch AB = 6m − 3n a AD =3m+ 2n, kde |m| = 4, |n| = 5 a zvierajú uhol π
6 .64. Vypočítajte súradnice vektora x, ktorý je kolmý na vektory a = (2, 3,−1), b =(1,−1, 3), zviera s vektorom i tupý uhol a |x| =
√138.
65. Vypočítajte dĺžku výšky va v trojuholníku ABC, ak AB = (−3,−2, 6) a BC =(−2, 4, 4).66. Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými stranami rovnobežníka ABCD,ktorý je zostrojený na vektoroch AB = (6, 0, 2) a AD = (32 , 2, 1).67. Vypočítajte obsah rovnobežníka, ktorého uhlopriečkami sú vektory p = 3m+ na q =m− 5n, ak m a n sú jednotkové vektory a zvierajú uhol 45◦.68. Je dané |a| = 8, |b| = 15, |a× b| = 72. Vypočítajte skalárny súčin a.b.69. Vypočítajte sínus uhla medzi vektormi:a) a = (11, 10, 2) a b = (2, 2, 1)b) a = (−2, 2, 1) a b = (2, 3,−2)c) a = 6j+ k a b = i+ 3jd) a = i+ 2j− 3k a b = 2k.70. Vypočítajte zmiešaný súčin vektorov:a) a = i+ 2j+ k,b = i+ 2j− k, c = 8i+ 6j+ 4kb) a = (1, 3, 5),b = (2, 4, 6), c = (8, 9, 7).71. Vypočítajte objem rovnobežnostena zostrojeného nad vektormi a = 3i + 4j,b = −3j+ k, c = 2j+ 5k.72. Vypočítajte objem štvorstena OABC, obsah steny ABC a výšku štvorstena spus-tenú na stenu ABC, keď O[0, 0, 0], A[5, 2, 0], B[2, 5, 0], C[1, 2, 4].73. Načrtnite štvorsten s vrcholmi A[2, 0, 0], B[0, 3, 0], C[0, 0, 6], D[2, 3, 8]. Vypočí-tajte jeho objem a výšku spustenú na stenu ABC.74. Ukážte, že body A[2,−1,−2], B[1, 2, 1], C[2, 3, 0], D[5, 0,−6] ležia v jednej rovine.75. Ukážte, že vektory a = −i+ 3j+ 2k,b = 2i− 3j− 4k, c = −3i+ 12j+ 6k ležia vjednej rovine (sú komplanárne) a vyjadrite vektor c pomocou a a b.76. Ukážte, že vektory ležia v jednej rovine (sú komplanárne):a) a = i+ 2j− k,b = 9i− 11j+ 13k, c = 2i+ 4j− 2kb)a = (−2,−1, 1),b = (4,−4, 1), c = (4,−6, 2).77. Ukážte, že vektory a = i+ j+ 4k,b = i− 2j, c = 3i− 3j+ 4k sú komplanárne aurčte lineárnu závislosť medzi nimi.78. Vypočítajte objem rovnobežnostena ABCDA′B′C ′D′, v ktorom sú dané 3 vrcholydolnej podstavy A[0, 0, 0], B[2,−3, 0], D[3, 2, 0] a vrchol hornej podstavy C ′[3, 0, 4] ležiacina bočnej hrane CC ′, ktorá je protiľahlá k hrane AA′.79. Zistite, či sú vektory komplanárne:a) a = (2, 3,−1),b = (1,−1, 3), c = (1, 9,−11)b) a = (3,−2, 1),b = (2, 1, 2), c = (3,−1,−2)c) a = (2,−1, 2),b = (1, 2,−3), c = (3,−4, 7).80. Dokážte, že štyri body A[1, 2,−1], B[0, 1, 5], C[−1, 2, 1], D[2, 1, 3] ležia v jednejrovine.
4.6 Rovina v priestore.
Rovnica roviny % prechádzajúcej bodom P [x0, y0, z0], ktorá má normálový vektor n =(a, b, c) je
% : a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.
65
Po úprave dostaneme% : ax+ by + cz + d = 0.
Táto rovnica roviny sa volá všeobecná rovnica roviny.Ak rovina % vytína nenulové úseky p, q, r na súradnicových osiach, rovnicu roviny môžemevyjadriť v úsekovom tvare
% :x
p+y
q+z
r= 1.
Príklad 8. Napíšme rovnicu roviny % prechádzajúcej bodmi M [1,−1,−2], N [3, 1, 1]kolmo na rovinu σ : x− 2y + 3z − 5 = 0.
Riešenie.
Normálový vektor roviny σ je nσ = (1,−2, 3), u =MN = (2, 2, 3). Potom
n% = nσ × u =
∣∣∣∣∣∣i j k1 −2 32 2 3
∣∣∣∣∣∣ = −12i+ 3j+ 6k,a rovina % má rovnicu
% : −12(x− 1) + 3(y + 1) + 6(z + 2) = 0.
Po úprave dostaneme rovnicu roviny % vo všeobecnom tvare
% : 4x− y − 2z − 9 = 0. �
66
Úlohy.
81. Dané sú body A[0,−1, 3], B[1, 3, 5]. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bo-dom A a je kolmá na vektor n = AB.82. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza:a) bodom A[−1, 2, 3] a je rovnobežná s rovinou Oxy, Oxz, Oyz.b) bodom A[3,−1, 2] a osou ox, oy, oz.c) bodom A[2,−3, 3] rovnobežne s rovinou Oxy.d) bodom A[1,−2, 4] rovnobežne s rovinou Oxz.e) bodom A[−5, 2,−1] rovnobežne s rovinou Oyz.f) bodom A[4,−1, 2] a osou ox.g) bodom A[1, 4,−3] a osou oy.h) bodom A[3,−4, 7] a osou oz.i) bodom A[0,−2, 3] a osou ox.j) bodom A[2,−4, 3] a osou oz.k) bodom A[4, 0, 3] a osou oy.l) bodom A[2, 0, 3] rovnobežne s vektormi a = (1, 0, 1),b = (2, 1, 3).m) bodom A[0, 0, 1] rovnobežne s vektormi a = (2, 1, 5),b = (1, 0, 1).83. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi:a) A[1, 2, 3], B[2,−1, 3] rovnobežne s vektorom a = (1, 2, 2).b) A[−1, 0, 0], B[0, 0, 1] rovnobežne s vektorom a = (2, 1, 2).c) A[7, 2,−3], B[5, 6,−4] rovnobežne s osou ox.d) A[2,−1, 1], B[3, 1, 2] rovnobežne s osou oy.e) A[3,−2, 5], B[2, 3, 1] rovnobežne s osou oz.f) A[0, 1, 3], B[2, 4, 5] rovnobežne s osou ox
84. Určte priesečníky roviny % so súradnicovými osami:a) % : 2x− 3y − 4z − 24 = 0b) % : 2x− y + 3z − 6 = 0c) % : x− 2y + 4z + 4 = 0d) % : 5x+ 2y + 5z − 10 = 0e) % : x+ y + z + 2 = 0.85. Napíšte rovnicu roviny % v úsekovom tvare:a) 2x− y + 3z + 2 = 0b) 12x− 3y + z + 1 = 0c) ktorá prechádza bodmi A[1, 1, 1], B[3, 1, 5], C[1, 2, 2]d) x+ 2y − 3z − 6 = 086. Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s osou oy a na osiach ox a oz vytínaúseky a a c.87. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[2,−1, 3] a na súradnicovýchosiach vytína rovnaké úseky.88. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[−4, 0, 4] a na súradnicovýchosiach ox, oy vytína úseky a = 4, b = 3.89. Určte úseky, ktoré rovina 3x−4y−24z+12 = 0 vytína na súradnicových osiach.90. Vypočítajte objem štvorstena, ktorého tvorí rovina 2x − 3y + 6z − 12 = 0 sosúradnicovými rovinami.91. Rovina prechádza bodom A[6,−10, 1] a vytína na osi ox úsek a = −3 a na osi oz
úsek c = 2. Napíšte rovnicu roviny v úsekovom tvare.92. Rovina prechádza bodmi A[1, 2,−1], B[−3, 2, 1] a na osi oy vytína úsek b = 3.Napíšte rovnicu roviny v úsekovom tvare.
67
93. Napíšte rovnicu roviny, ktorá je:a) rovnobežná s osou oz a vytína na osi ox úsek dĺžky a = 3 a na osi oy úsek b = −4.b) rovnobežná s osou ox a vytína na osiach oy, oz rovnaké úseky dĺžky b = c = 4.94. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A a vytína na súradnicovýchosiach nenulové úseky rovnakej dĺžky:a) A[3, 2, 4]b) A[2,−3,−4]95. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[−1, 4,−1], B[−13, 2− 10] a naosiach ox a oz vytína nenulové úseky rovnakej dĺžky.96. Napíšte rovnice rovín, ktoré prechádzajú bodom A[4, 3, 2] a vytínajú na súradni-cových osiach nenulové úseky rovnakej dĺžky.97. Napíšte rovnicu roviny, ktorá je kolmá k rovine 2x− 2y+ 4z − 5 = 0 a vytína nasúradnicových osiach ox a oy úseky a = −2, b = 2
3 .98. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[0, 0, a], je kolmá k rovinámx− y − z = 0 a 2y = x.99. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[2, 2,−2] a je rovnobežná srovinou x− 2y + 3z = 0.100. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[−1,−2, 0] a B[1, 1, 2] a je kolmána rovinu x+ 2y + 2z − 4 = 0.101. Bodom A[−5, 6, 12] veďte dve roviny, z ktorých jedna prechádza osou ox, druháosou oy. Vypočítajte uhol týchto dvoch rovín.102. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[1,−1, 2], B[2, 1, 2], C[1, 1, 4].103. Určte vzdialenosť bodu M [4, 3, 0] od roviny, ktorá prechádza bodmi A[1, 3, 0],B[4,−1, 2], C[3, 0, 1].104. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[1,−2, 3] a rovnobežne s rovinouurčenou bodmi M [1, 1, 1], N [2, 0,−1], P [3, 4, 5].105. Vypočítajte vzdialenosť bodu A od roviny %, aka) A[4, 3,−2], % : 3x− y + 5z + 1 = 0b) A[1,−2, 2], % : 2x+ y + 2z − 7 = 0.
106. Vypočítajte vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín % a σ:a) % : x− 2y + 2z − 6 = 0, σ : x− 2y + 2z + 18 = 0b) % : x− y + 5z + 27 = 0, σ : x− y + 5z − 54 = 0.
107. Určte vzdialenosť bodu M [5, 1,−1] od roviny x− 2y − 2z + 4 = 0.108. Určte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami: 4x + 3y − 5z − 8 = 0 a 4x +3y − 5z + 12 = 0.109. Napíšte rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné s rovinou % a vzdialených od nej ovzdialenosť d:a) % : x− 2y + 2z − 5 = 0 d = 2b) % : 2x+ 2y + z − 8 = 0 d = 4.
110. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín 4x− y+3z− 6 = 0 ax+ 5y − z + 10 = 0 a je kolmá k rovine 2x− y + 5z − 5 = 0.111. Zistite, ktoré z uvedených rovín sa pretínajú, sú rovnobežné alebo splývajú:a) x− y + 3z + 1 = 0, 2x− y + 5z − 2 = 0b) 2x+ y + 2z + 4 = 0, 4x+ 2y + 4z + 8 = 0.
112. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín 4x− y + 3z − 1 = 0,x+ 5y − z + 2 = 0 aa) je rovnobežná s osou oy
b) je kolmá na rovinu 2x− y + 5z − 3 = 0.
68
4.7 Priamka v priestore.
Priamka p prechádzajúca bodom P [x0, y0, z0], ktorej smerový vektor je s = (a, b, c), máparametrické rovnice
p : x = x0 + at,y = y0 + bt,z = z0 + ct, t ∈ (−∞,∞).
Kanonický tvar priamky p
p :x− x0a
=y − y0b=z − z0c
.
Priamku p v priestore môžeme určiť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín %1 a %2
p
{%1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0,%2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0.
Tieto rovnice nazývame všeobecnými rovnicami priamky p.
Príklad 9. Dané sú body A[1, 1, 1], B[2, 3, 3], C[3, 3, 2]. Napíšme parametrické rovnicepriamky prechádzajúcej bodom A kolmo na vektory AB a AC.
Riešenie.Máme AB = (1, 2, 2), AC = (1, 0,−1). Vektor
s = AB×AC =
∣∣∣∣∣∣i j k1 2 21 0 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2i+ 3j− 2kje smerový vektor hľadanej priamky p. Priamka p má parametrické rovnice
p : x = 1− 2t,y = 1 + 3t,z = 1− 2t, t ∈ (−∞,∞).
Z každej rovnice vyjadríme t a dostaneme t = x−1−2 , t =
y−13 , t =
z−1−2 . Potom kanonické
rovnice priamky p sú
p : x−1−2 =
y−13 =
z−1−2 . �
69
Príklad 10. Priamku p danú všeobecnými rovnicami %1 : 2x − y + z − 3 = 0, %2 :x+ 2y − z − 5 = 0 vyjadrime v parametrickom tvare.
Riešenie.Treba nájsť bod P na priamke p a smerový vektor s priamky p. Súradnice bodu P musiavyhovovať sústave rovníc priamky p. To je sústava dvoch rovníc s tromi neznámymi. Zajednu neznámu zvolíme nejaké číslo a dalšie dve neznáme potom vypočítame. Zvoľme,napr. x = 0. Po dosadení do sústavy dostaneme
−y + z − 3 = 02y − z − 5 = 0.
Riešením tejto sústavy je y = 8, z = 11, teda P [0, 8, 11]. Normálové vektory rovín %1 a%2 sú n1 = (2,−1, 1), n2 = (1, 2,−1). Potom smerový vektor s priamky p je
s = n1 × n2 =
∣∣∣∣∣∣i j k2 −1 11 2 −1
∣∣∣∣∣∣ = −i+ 3j+ 5k.Parametrické rovnice priamky p sú
p : x = −t,y = 8 + 3t,z = 11 + 5t, t ∈ R. �
Príklad 11. Nájdime vzájomnú polohu priamok p1 : x = 1+t1, y = 15+2t1, z = 14−t1a p2 : x = −t2, y = 8 + 3t2, z = 11 + 5t2.
Riešenie.Smerové vektory priamok p1 a p2 sú s1 = (1, 2,−1), s2 = (−1, 3, 5). Vidíme, že ani jeden znich nie je číselným násobkom druhého, a preto priamky p1 a p2 nie sú rovnobežné. Môžubyť rôznobežné alebo mimobežné. Budeme zisťovať, či sa pretínajú. Za x, y, z dosadímez rovníc priamky p1 do rovníc priamky p2 a dostaneme sústavu
1 + t1 = −t215 + 2t1 = 8 + 3t214− t1 = 11 + 5t2.
Po úprave máme sústavut1 + t2 = −12t1 − 3t2 = −7−t1 − 5t2 = −3
ktorú, ak vyriešime, napr. Gaussovou eliminačnou metódou, dostaneme riešenia t1 = −2,t2 = 1. Z toho vyplýva, že priamky p1 a p2 sa pretínajú. Dosadíme t1 = −2 do rovnícpriamky p1 alebo (t2 = 1 do rovníc priamky p2) a dostaneme x = −1, y = 11, z = 16.Tento bod P [−1, 11, 16] je priesečník priamok p1 a p2. �
70
Úlohy.
113. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza:a) bodom A[2, 0, 3] rovnobežne s vektorom a = (3,−2,−2)b) bodom A[1, 2, 3] rovnobežne s osou ox.
114. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A[1,−1,−3] rov-nobežne s priamkou p:a) p : x−1
2 =y+25 , z = 1
b) p : x = 3t− 1, y = −2t+ 3, z = 5t+ 2.115. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza dvoma bodmi:a) A[3,−1, 2], B[2, 1, 1]b) A[1, 1,−2], B[3,−1, 0]c) A[0, 0, 1], B[0, 1,−2]
116. Napíšte kanonický tvar rovnice priamky p prechádzajúcej:a) bodmi A[2,−3, 12 ], B[3, 5,
32 ]
b) bodom A[2, 1,−3] a rovnobežnej s vektorom a = (1,−3, 1).117. Zistite, či body A[3, 0, 1], B[0, 2, 4], C[1, 43 , 3] ležia na jednej priamke.118. Bodmi M [−6,−6,−5] a N [12,−6, 1] prechádza priamka. Určte priesečníky tejtopriamky so súradnicovými rovinami.119. Dané sú vrcholy trojuholníka A[3, 6,−7], B[−5, 2, 3] a C[4,−7,−2]. Napíšte pa-rametrické rovnice ťažnice spustenej z vrcholu C.120. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá je daná ako priesečnica rovín % a σ:a) % : 5x+ y + z = 0, σ : 2x+ 3y − 2z + 5 = 0b) % : 3x− 2y + z − 2 = 0, σ : 4x+ y − 3z − 2 = 0c) % : 2x− 3y − 3z − 9 = 0, σ : x− 2y + z + 3 = 0
121. Priamka je daná ako priesečnica rovín 2x+ y + 8z − 16 = 0, x− 2y − z + 2 = 0.Napíšte jej rovnicu v kanonickom tvare. Určte priesečníky priamky so súradnicovýmirovinami.122. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom M [−1, 2,−2] a jerovnobežná s priamkou, ktorá je daná ako priesečnica rovín x = y + 2, y = 2z + 1.123. Napíšte kanonický tvar rovnice priamky, ktorá je daná ako priesečnica 2 rovín:a) x− 2y + 3z − 4 = 0, 3x+ 2y − 5z − 4 = 0b) 5x+ y + z = 0, 2x+ 3y − 2z + 5 = 0c) x− 2y + 3z + 1 = 0, 2x+ y − 4z − 8 = 0.
124. Zistite, či sa priamky x−11 =
y−83 =
z−6−2 a
x+12 =
y−35 =
z−24 pretínajú, alebo nie.
Určte súradnice priesečníka.125. Ukážte, že priamky p : x+3
1 =y+12 =
z+11 a q : x = 3z − 4, y = z + 2 sa pretínajú.
Určte ich priesečník.126. Presvedčte sa, že priamky p : 2x + 2y − z − 10 = 0, x − y − z − 22 = 0 aq : x+7
3 =y−5−1 =
z−94 sú rovnobežné a vypočítajte ich vzdialenosť.
127. Dokážte, že priamky p : x−12 =
y+2−3 =
z−54 a q : x = 3t+7, y = 2t+2, z = −2t+1
ležia v jednej rovine a napíšte rovnicu tejto roviny.128. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza dvoma rovnobežnými priamkami p :x−23 =
y+12 =
z−3−2 a q :
x−13 =
y−22 =
z+3−2 .
129. Ukážte, že priamky sú mimobežky a vypočítajte najkratšiu vzdialenosť medzinimi:a) p : x+7
3 =y+44 =
z+3−2 a q :
x−216 =
y+5−4 =
z−2−1
b) p : x = 2t− 4, y = −t+ 4, z = −2t− 1 a q : x = 4t− 5, y = −3t+ 5, z = −5t+ 5
71
130. Dokážte, že nasledujúce priamky sú mimobežné a vypočítajte najkratšiu vzdia-lenosť medzi nimi:a) p : x+ 2y − z + 1 = 0, x+ y + z − 9 = 0 a q : x+ y + z − 9 = 0, 2x− y − z = 0b) p : x−3
1 =y−1−1 =
z−22 a q :
x−1 =
y−23 =
z3
131. Určte najkratšiu vzdialenosť medzi priamkami p : x = −2y, z = −2y a q : x = 2,y = 2.132. Dokážte, že nasledujúce priamky sú rovnobežné a vypočítajte vzdialenosť medzinimi:a) p : x−1
−2 =y3 =
z+21 a q :
x−74 =
y−5−6 =
z−4−2
b) p : x+y−3z+1 = 0, x−y+ z+3 = 0 a q : x+2y−5z−1 = 0, x−2y+3z−9 = 0c) p : x = 2t, y = 0, z = −2t a q : x+ y + z − 3 = 0, x− y + z − 1 = 0.
4.8 Vzdialenosť bodu od priamky a od roviny.
A. Vzdialenosť bodu P [x0, y0, z0] od roviny % : ax+ by + cz + d = 0 je
v =|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2.
B. Vzdialenosť bodu P [x0, y0, z0] od priamky p môžme vypočítať buď podľa vzorca:
v =|PX× sp||sp|
, kde X je ľubovoľný bod priamky p, sp je smerový vektor priamky p,
alebo môžme použiť tento postup:
1. Bodom P vedieme rovinu % kolmú na priamku p.2. Nájdeme priesečník Q priamky p a roviny %.3. v = |PQ|.
Príklad 12. Dve steny kocky ležia v rovinách %1 : 2x− 2y + z − 1 = 0, %2 : 4x− 4y +2z + 7 = 0. Vypočítajme objem kocky.
Riešenie.Normálové vektory daných rovín %1 a %2 sú n1 = (2,−2, 1), n2 = (4,−4, 2). Pretožen2 = 2n1, roviny %1 a %2 sú rovnobežné. Dĺžka hrany kocky sa rovná vzdialenosti v rovín%1 a %2, ktorú určíme tak, že v jednej z rovín, napr. v rovine %1 si zvolíme ľubovoľný bodM . V rovnici roviny %1 položíme napr. x = 0, y = 0 a vypočítame z = 1, teda M [0, 0, 1].Potom v je vzdialenosť bodu M od roviny %2.Dosadením do vzorca pre vzdialenosť bodu od roviny dostaneme
72
v = |4.0+(−4).0+2.1+7|√42+(−4)2+22
= |9|√36= 96 =
32 .
Potom objem V kocky je
V = v3 = 278 . �
Príklad 13. Presvedčte sa, že priamky p1 : x = −3t1, y = −4 + t1, z = −18 − 4t1 ap2 : x = −7 + 3t2, y = 5− t2, z = 9 + 4t2 sú rovnobežné a vypočítajte ich vzdialenosť.
Riešenie.Smerové vektory s1 a s2 priamok p1 a p2 sú s1 = (−3, 1,−4), s2 = (3,−1, 4). Platís1 = (−1)s2. Z toho vyplýva, že priamky p1 a p2 sú rovnobežné.
Na jednej z nich, napr. na p1 zvolíme ľubovoľný bod P . V rovniciach priamky p1 položímenapr. t = 0 a dostaneme x = 0, y = −4, z = −18, teda P [0,−4,−18]. Vzdialenosť vpriamok p1 a p2 je vzdialenosť bodu P od priamky p2. Bodom P vedieme rovinu % kolmúna priamku p2. Za normálový vektor n roviny %môžeme zobrať smerový vektor s2 priamkyp2, n = s2 = (3,−1, 4). Potom rovnica roviny % je
% : 3(x− 0)− (y + 4) + 4(z + 18) = 0.
Po úprave máme
% : 3x− y + 4z + 68 = 0.
Priesečník Q roviny % a priamky p2 nájdeme tak, že rovnice priamky p2 dosadíme za x,y, z do rovnice roviny % a dostaneme
3(−7 + 3t2)− (5− t2) + 4(9 + 4t2) + 68 = 0.
Z tejto rovnice vypočítame t = −3. Dosadením do rovníc priamky p2 dostaneme x = −16,y = 8, z = −3, teda Q[−16, 8,−3].
v = |PQ| =√(−16− 0)2 + (8 + 4)2 + (−3 + 18)2 =
√625 = 25. �
Príklad 14. Preverme, že priamky p1 : x+53 =
y+52 =
z−1−2 a p2 : x = 9 + 6t2, y = −2t2,
z = 2− t2 sú mimobežné a vypočítajte vzdialenosť medzi nimi.
Riešenie.Smerové vektory priamok p1 a p2 sú s1 = (3, 2,−2) a s2 = (6,−2,−1). Pretože ani jedenz nich nie je číselným násobkom druhého, priamky p1 a p2 nie sú rovnobežné. Môžu
73
byť mimobežné alebo rôznobežné. Budeme hľadať ich priesečník. Najskôr priamku p1vyjadríme parametricky, a potom dosadíme za x, y, z do rovníc priamky p2.
−5 + 3t1 = 9 + 6t2−5 + 2t1 = −2t21− 2t1 = 2− t2.
Najskôr vyriešime sústavu posledných dvoch rovníc a dostaneme, že t1 = 12 , t2 = 2. Tieto
čísla nevyhovujú prvej rovnici sústavy. Teda sústava nemá riešenie. Z toho vyplýva, žepriamky p1 a p2 sa nepretínajú, a teda sú mimobežné.
Priamkou p1 vedieme rovinu % rovnobežne s priamkou p2. Normálový vektor roviny % je
n = s1 × s2 =
∣∣∣∣∣∣i j k3 2 −26 −2 −1
∣∣∣∣∣∣ = −6i− 9j− 18k.Rovnica roviny % je
% : −6(x+ 5)− 9(y + 5)− 18(z − 1) = 0% : 2x+ 3y + 6z + 19 = 0.
Na priamke p2 zvolíme ľubovoľný bod P2. Položme, napr. t2 = 0 a dostaneme P2[9, 0, 2].Vzdialenosť v priamok p1 a p2 je vzdialenosť bodu P2 od roviny %. Dosadením do vzorcapre vzdialenosť bodu od roviny dostaneme
v = |2.9+3.0+6.2+19|√4+9+36
= 7. �
Úlohy.
133. Vypočítajte vzdialenosť d bodu A od priamky p ak:a) A[7, 9, 7], p : x−2
4 =y−13 =
z2
b) A[1,−1,−2], p : x+33 =
y+22 =
z−8−2
c) A[2,−1, 3], p : x+13 =
y+24 =
z−15 .
134. Vypočítajte vzdialenosť d bodu A[2, 3,−1] od priamky p:a) p : x−5
3 =y2 =
z+25−2
b) p : x = t+ 1, y = t+ 2, z = 4t+ 13c) p : 2x− 2y + z + 3 = 0, 3x− 2y + 2z + 17 = 0.
135. Vypočítajte vzdialenosť d bodu A[3, 0, 4] od priamky p : y = 2x+ 1, z = 2x.136. Vypočítajte vzdialenosti bodov M,N od roviny %:a) M [4, 2,−1], N [−3, 5,−7], % : x− 2y + 2z − 3 = 0
74
b) M [−2, 5, 1], N [9, 1, 2], % : 2x+ 3y − 6z − 7 = 0c) M [0, 1,−2], N [6,−1, 2], % : 10x− 11y + 2z − 45 = 0
137. Určte smerové kosínusy a dĺžku kolmice vedenej z počiatku súradnicovej sústavyk rovine 2x+ 10y − 11z − 60 = 0.138. Daný je štvorsten s vrcholmi A[1, 1, 1], B[−11, 3,−3], C[5, 2, 4], D[2, 2,−5]. Vy-počítajte dĺžku výšky spustenej z vrcholu D na stenu ABC.139. Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami %, σ:a) % : 2x+ y − 2z − 6 = 0, σ : 2x+ y − 2z − 15 = 0b) % : 3x− 2y + 6z − 7 = 0, σ : 3x− 2y + 6z − 35 = 0c) % : x+ 2y + 2z − 9 = 0, σ : 2x+ 4y + 4z + 15 = 0d) % : 2x− 10y + 11z + 30 = 0, σ : 2x− 10y + 11z − 45 = 0.
140. Na osi ox určte bod, ktorý má od roviny 6x+2y+3z−12 = 0 vzdialenosť d = 6.141. Na osi oy určte bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od rovín 3x+2y− 6z− 1 = 0,16x+ 12y − 15z − 7 = 0.142. Na osi oz určte bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od bodu M [2,−2, 6] a odroviny x+ y + z − 2 = 0.143. Napíšte rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné s rovinou 2x − 2y − z − 6 = 0 avzdialené od nej o vzdialenosť d = 7.
4.9 Priamka a rovina.
Príklad 15. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza dvoma rovnobežnými priamkamip : x−4
4 =y+11 =
z−21 a q :
x−24 =
y+51 =
z−51 .
Riešenie.Priamka p prechádza bodom P [4,−1, 2] so smerovým vektorom sp = (4, 1, 1) a priamkaq prechádza bodom Q[2,−5, 5] so smerovým vektorom sq = (4, 1, 1). Keďže sp = sqpriamky p a q sú rovnobežné. Vektor PQ = (−2,−4, 3) a vektor sp (al. sq) ležia vhľadanej rovine, preto normálový vektor hľadanej roviny % bude
n = PQ× sp =
∣∣∣∣∣∣i j k−2 −4 34 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7i+ 14j+ 14k = (−7, 14, 14).Pretože poznáme normálový vektor roviny n a bod P (al. Q), ktorým rovina prechádza,môžeme napísať rovnicu hľadanej roviny
% : −7(x− 4) + 14(y + 1) + 14(z − 2) = 0% : x− 2y − 2z − 2 = 0. �
Príklad 16. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou p : 2x+ y − z + 1 = 0,y − 2 = 0 a je kolmá na rovinu % : x+ y + z − 1 = 0.
Riešenie.Vypočítame smerový vektor priamky p
s = (2, 1,−1)× (0, 1, 0) =
∣∣∣∣∣∣i j k2 1 −10 1 0
∣∣∣∣∣∣ = i+ 2k = (1, 0, 2).
75
Potrebujeme ešte nájsť bod P , ktorý leží na priamke p. Súradnice bodu P musia vy-hovovať sústave rovníc priamky p. Za jednu neznámu zvolíme napr. x = 0 a ďalšie dveneznáme vypočítame zo sústavy
y − z + 1 = 0y − 2 = 0.
Riešením tejto sústavy je y = 2, z = 3, teda P [0, 2, 3].Normálový vektor roviny % je n% = (1, 1, 1). Označme normálový vektor hľadanej rovinyn. Pretože n ⊥ n% a n ⊥ s, platí
n = n% × s =
∣∣∣∣∣∣i j k1 1 11 0 2
∣∣∣∣∣∣ = 2i− j− k = (2,−1,−1).Keďže hľadaná rovina prechádza priamkou p, a teda aj jej bodom P , môžeme napísaťrovnicu roviny
σ : 2(x− 0)− (y − 2)− (z − 3) = 0σ : 2x− y − z + 5 = 0. �
Úlohy.
144. Určte vzájomnú polohu priamky a roviny:a)x+12 =
y−34 =
z3 , 3x− 3y + 2z − 5 = 0
b)x−138 =y−12 =
z−43 , x+ 2y − 4z + 1 = 0
c)x−75 =y−41 =
z−54 , 3x− y + 2z − 5 = 0
d)x−11 =y+1−2 =
z6 , 2x+ 3y + z − 1 = 0
e)x+33 =y−2−1 =
z+1−5 , x− 2y + z − 15 = 0
f)x+2−2 =y−13 =
z−32 , x+ 2y − 2z + 6 = 0
g)x+52 =y−21 =
z−8−1 , x+ 2y − 4z + 1 = 0
145. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou x+53 =
y−21 =
z4 a je rovnobežná
s rovinou x+ y − z + 15 = 0146. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza dvoma rovnobežnými priamkami x
7 =y+23 =
z−15 a
x−17 =
y−33 =
z+25
147. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza priesečníkmi roviny 2x+y−3z+1 = 0a priamkami x−3
1 =y−5−5 =
z+12 a
x−52 =
y−34 =
z+4−6
148. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou x−21 =
y−32 =
z+13 a bodom
A = [3, 4, 0]
76
149. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou x−11 =
y+12 =
z+22 a je kolmá
na rovinu 2x+ 3y − z − 4 = 0150. Priesečníkom priamky x−1
1 =y−123 =
z−93 a roviny x+3y−5z−2 = 0 veďte rovinu
kolmú k danej priamke151. Určte bod Q, ktorý je súmerne združený s bodom P = [1, 3,−4] podľa roviny3x+ y − 2z = 0152. Určte bod B, ktorý je súmerne združený s bodom A = [6,−5, 5] podľa roviny2x− 3y + z − 4 = 0153. Určte bod Q, ktorý je súmerne združený s bodom P = [2,−5, 7] podľa priamkyprechádzajúcej bodmi M = [5, 4, 6] a N = [−2,−17,−8]
77
5 Riešenia úloh
5.1 Lineárna algebra
1.a)x = −2/5, y = 1;b)x = 1/4, y = 1/2, z = 6, u = 4;c)x = 1/4, y = 1/2, z = 5/3, u = 2.
2.
a)
(8 −20 −2
),
(−6 −26 −6
),
(−19 −415 −14
);
b)
6 5 35 1 03 −1 3
,4 3 11 1 −21 −5 −3
,7 5 10 2 −51 −12 −9
.3.
a)
3 4 44 4 −24 4 1
; b) 2 −1 −1 −5−3 −2 −1 −1−1 −5 −5 4
; c) (10 −32 2418 10 14
).
4.
a)
(5 27 0
); b)
(17 914 −7
); c)
(−1 4−2 2
); d)
(5 29−3 19
);
e)
−17 −16 −1−19 8 625 0 −5
; f)−2 −1 02 −2 18 1 −3
; g)4 2 −36 13 −20 6 3
.5.
a)(1),
2 1 −14 2 −26 3 −3
; b)(7),
3 6 9 124 8 12 160 0 0 0−1 −2 −3 −4
;c) AB =
(7 8 −8 −5−20 −8 47 42
), súčin BA nie je definovaný;
d)
−3 3 5−8 1 11−4 2 6
,
(3 1−4 1
); e)
0 0 00 0 00 0 0
, 17
−1 −2 −3−1 −2 −31 2 3
;f)
19 0 00 19 00 0 19
, AB = BA;
g)
−2 −5 −710 7 14−2 −5 −13
,
5 −8 716 −17 6−2 −3 4
; h)
(0 00 0
),
−4 −6 0 2−3 2 −2 24 −1 4 −31 6 6 −2
;i) súčin AB nie je definovaný,
48 216 95 0
;j) AB =
(16 −16 12 80 −8 10 12
), súčin BA nie je definovaný.
78
6. a)
(20 931 14
); b)
(15 2020 35
)= 5
(3 44 7
); c)
(−711
); d)
(47 −1420 −4
).
7.x = 2, y = −1, z = 1, t = −1, u = 0 v = −2;
8.(−1 −255 4
);
(−9 19−7 −4
);
(−6 −715 7
);
(2 −299 −1
).
9.
a)
(0 00 0
); b) 4
(1 −1−3 2
).
10.
a)
(−12 40 8
); b) 13
(15 −50 −10
).
11. a)
(−1 −12−3 −7
); b)
(−1 −8−2 −5
).
12. a)
(1 02 −3
); b) 12
(−1 −8−9 −14
); c) 16
(4 −1217 0
);
d)
(9 3−6 6
); e) 13
(3 −8 62 −5 3
); f) 15
3 4 0−2 1 46 2 3
.
13.
a) A =
(1−1
); b) A =
(b− c b c
); c) A =
(21
); d) A =
(8− c)/5(−9 + 3c)/5
c
;14.a) 26; b) 37; c) −21; d) 14; e) 1.
15.a) x = 12; b) 6x2− 8x− 3
2 = 0, x1 = −16 , x2 = 32 ; c) x1 = 0, x2 = 3, x3 = −3.
16.a) −27; b) 0; c) 40; d) 54; e) −4; f) 8; g) 8; h) −2x; g) −2a2; h) −4a3.
17.a) x2 − 5x+ 6 = 0, x1 = 2, x2 = 3; b) −2x2 + 32 = 0, x1 = 4, x2 = −4;c) 5x2 + 10x = 0, x1 = 0, x2 = −2.
18.a) 3a− b+ 2c+ d; b) 4t− x− y − z; c) 2a− b− c− d.19. a) 1; b) 64; c) −10; d) −60; e) 160; f) −51;g) −10; h) −6; i) 0; j) 48; k) 180; l) 60.
20.
a)
(−2 132 −12
); b)
(7 −4−5 3
); c)
(5 −2−2 1
); d)
(5 −7−2 3
).
79
21.
a)
2 1 −12 −1 23 0 1
; b)−8 29 −11−5 18 −71 −3 1
; c) 191 2 22 1 −22 −2 1
;d)
1 −1 1−38 41 −3427 −29 24
; e) 16 3 −3 01 3 −2−8 6 4
; f) 1 −4 −31 −5 −3−1 6 4
;g)
1 0 0−3 1 09 −3 1
; h)1 −2 70 1 −20 0 1
.22.
a)
(1 21 −1
); b)
(−1 −12 3
); c)
(1 11 0
);
d)
(5 83 5
); e)
(3 −25 −4
); f)
(1 21 −1
);
g)
(1 −1−1 1
); h) 16
(−7 7−2 2
);
i)
1 2 34 5 67 8 9
; j)6 4 52 1 23 3 3
.
23. (1, 0,−1).24. (1, 6, 6).25. (1, 2,−2).26. (2,−1,−3).27. (−5,−8, 9).28. (2, 3, 5).29. (3, 1, 1).30. (1, 1, 1).31. (1, 3, 5).32. (2z − 1, z + 1, z).33. nemá riešenie.34. nemá riešenie.35. (0, 0, 0).36. (2t,−3t, 5t).37. nemá riešenie.38. (2, 1,−1).39. (3,−1, 2).40. nemá riešenie.41. nemá riešenie.42. (−117 a,−
a7 , a), a ∈ R.
43. nemá riešenie.44. (1, 2, 3).45. (−8, 3 + u, 6 + 2u, u), u ∈ R.46. (2, 1, 1, 1).47. (−2, 0, 1,−1).48. (1, 2, 2, 0).49. (1, 1,−1,−1).50. (2,−2, 1,−1).
80
51. nemá riešenie.52. (0, 3, 2, 1).53. nemá riešenie.54. (1+5a6 , 1−7a6 , 1+5a6 , a), a ∈ R.55.Ak a = 5 sústava má nekonečne veľa riešení (k,−52 − 2k, k + 4), k ∈ R.Ak a 6= 5 sústava nemá riešenie.56.D = −3(a+ 3), Dx = 3, Dy = −4a− 11, Dz = a+ 11;Pre a 6= −3 sústava má jediné riešeniex = −1
a+3 , y =−4a−11−3(a+3) , z =
a+11−3(a+3) .
Pre a = −3 sústava nemá riešenie. Prípad c) nenastane.57.D = 3a− a3 − 2, Dx = a2 + a− 2, Dy = a2 + a− 2, Dz = −2(a2 + a− 2);a 6= 1, a 6= −2 jediné riešeniex = y = −1
a−1 , z =2
a−1a = 1 žiadne riešeniea = −2 nek.veľa riešení (1 + z, 1 + z, z), z ∈ R.58.Ak a = 1 sústava nemá riešenie.Ak a 6= 1 sústava má jediné riešenie.59. a = 5.60. a = 5, (m/2, 5/4m,m), m ∈ R.61. 4720,−Sk.
5.2 Funkcie jednej reálnej premennej1. f−1 neexistuje 2. f−1 neexistuje 3. f−1 neexistuje4. f−1 neexistuje 5. f−1 neexistuje 6. f−1 : y =
√x− 8
7. f−1 neexistuje 8. f−1 : y =√4− x 9. f−1 : y =
√x− 1
10. f−1 : y =√
x− 4 + 1 11. f−1 neexistuje 12. f−1 neexistuje13. f−1 neexistuje 14. f−1 neexistuje 15. f−1 neexistuje16. f−1 neexistuje 17. f−1 neexistuje 18. f−1 : y = 2 + 3
x−119. f−1 : y = 2− 3
x−1 20. f−1 : y = 1− 3x−2 21. f−1 : y = −1− 3
x−222. f−1 neexistuje 23. f−1 neexistuje 24. f−1 neexistuje25. f−1 : y = x2 26. f−1 : y = x2 + 1 27. f−1 : y = 3− (x+ 4)228. f−1 : y = x2 − 5 29. f−1 arcsin(x− 1) 30. f−1 neexistuje31. f−1 neexistuje 32. f−1 neexistuje 33. f−1 neexistuje34. f−1 neexistuje 35. f−1 neexistuje 36. f−1 neexistuje37. f−1 neexistuje 38. f−1 neexistuje 39. f−1 neexistuje40. f−1 neexistuje 41. f−1 : y = 1
4 arctg(x− 1) 42. f−1 : y = 4arctg(−x)43. f−1 neexistuje 44. f−1 neexistuje 45. f−1 : y = 4arccotg(x)46. f−1 : y = arccotg(x) + π 47. f−1 : y = log3(−x)− 1 48. f−1 : y = log 1
3(x)− 1
49. f−1 : y = log2(x)− 3 50. f−1 : y = log2(x− 3) 51. f−1 neexistuje52. f−1 : y = 3x − 1 53. f−1 : y = 1
3x − 1 54. f−1 : y = 3−x + 2
55. f−1 : y = 3−x − 2 56. f−1 neexistuje 57. f−1 sin(x+ π)58. f−1 : y = cos(x)− 1 59. f−1 : y = tg(x2 ) 60. f−1 neexistuje61. a) nemá bod nesp.; b) x = −2; c) x1 = −2, x2 = 2, x3 = 0.62. a = 1, b = 4.63. a = 1.64. a) ∞; b) −∞; c) ∞; d) 0; e) 9; f) ∞; g) −∞; h) 4; i) −∞;j) ∞; k) 0; l) 2; m) 2; n) 2; o) ∞; p) 3; q) −3; r) 2; s) 0; t) ∞;u) 19 ; v) ∞; w) 0; x) −∞; y) π; z) 3.
81
65. a) +∞; b) −∞; c) +∞; d) −∞; e) +∞; f) −∞.
5.3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej1.
a) 32√
x; b) 53x23 ; c) − 32x
−52 ; d) 78x
− 18 ; e) 1327x
−1427 ; f) 4x ln(4)− 4x3;
2.a) 4x3 − 12x2 + 1; b) 7x6 − 10x4 + 8x3 − 12x2 + 4x+ 3; c) arcsinx;
d) lnx; e) ex(x2 + 2x); f) 12√
xarccos(x)−
√x√
1−x2;
g) x− cotg(x) + xsin2x ; h) x(2 log3(x) +
1ln 3 ); i) 1+2x
3√1+x2.
3.a) −2(x−1)2 ; b) 3t
2−6t−1(t−1)2 ; c) − 1+2t
(1+t+t2)2; d) 4x
3(2b2−x2)(b2−x2)2
; e) − ln xx2 ; f) −4+ln x
x2 ;
g) −2x(1+ln x)2
; h) 1−cos(x)−x sin(x)(1−cos x)2 ; i) − sin x
(1−sin x)2 ; j)−1−sin2(x) cotg(x)
sin2(x)ex ; k) −4x3(x2−1)2 + 1 + 2x− 3x
2.
4.a) sin(2x) + 4x cos(2x2) + 2 cos(x); b) −2x sin(x2) + 3 sin(2x)− 3sin2(x) cos(x); c) 4
cos2(4x+3) ;
d) 12√
x(1+x) ; e) −11+x2 ; f) 2x
2+2x2+x4 ; g) − cos x√1−sin2(x)
; h) 1
(1−x)32 (1+x)
12; i) 3x
3+1x2 ln 3;
j) 10√sin x ln 10 cos x
2√sin x; k) 2
1cos x ln 2 sin x
cos2(x) ; l) −e−x; m) 5x4ex5 ; n) e−x2( 1x − 2x lnx);
o) 2x+3x2+3x+5 ; p) 1√
1−x2 arcsin x; q) ex2 ln xx(2 ln(x) + 1); r) 2x
(x2−1) ln 3 ; s) 2x−cos x(x2−sin x) ln 3 ; t) 1√
1+x2.
5.a) 4(1 + sin2(x))
3sin(2x); b) 1
4√tg x
2 cos2( x2 ); c) 1
2√(1+x)3
sin√
11+x ; d) −
12
1√(x−1)3
cos√
1x−1 ;
e) 1√3+2x−x2
3arcsin2(x−12 ); f) sin 1xx2√1−cos2 1x
; g) 2earcsin(2x)√1−4x2 ; h) x
1−x2 ;
i) 4x ln 2 log2(x
2); j) 5 sin(2x) + 6x2 sin(x3); k) 11−x2 ; l) e−cos
2(x) sin(2x) + 2−x2(−2x) ln 2.
6.a) e−x−ex
e−x+ex ; b)√
ex − 1; c) 1cos5 x ; d)
ln(1+sin x)sin2 x
; e) x2√
x2 + 2x+ 2; f) 1x3+1 ; g) 1
x4−1 ;
h) arcsin x(1−x2)3/2 ; i)− x√
1+2x+x2; j) x
arctg√1+x2(2+x2)
√1+x2; k) −ex tg
√ex+1
2√
ex+1; l) (arcsinx)2; m) x2√
1−2x−x2.
7.a) 4e−2x ln x(−2 ln(x)− 2); b) ecos x·ln x
(cos x
x − sinx · lnx);
c) earctg x·ln(x2+1)
x2+1
(2x · arctg x+ ln(x2 + 1)
); d)
2e1−x1+x ·ln 1+x
1−x
(1+x)2
(1− ln 1+x
1−x
);
e) e1x ·ln xx2 (1− lnx); f) ex·ln x(lnx+ 1); g) e
1cos x
·ln tg x
cos2 x
(sinx · ln tg x+ 1
sin x
);
h) 2eln2 x
x · lnx; i) eln x·ln arctg x(ln arctg x
x + ln x(1+x2)·arctg x
); j) (sinx)cos x
(cos2(x)sin x − sinx ln sinx
);
k) exxex
(ln(x) + 1x ); l) (tg(2x))
cotg x2
(4 cotg x
2sin(4x) −
ln tg(2x)2sin( x
2 )
).
8.a) 1680x4 − 1080x2 + 120; b) 36·6!
(1+3x)7 ; c) 2(1−3x2)
(1+x2)3 ;
d) 4 sin 2x; e) 6x ; f) 10·19!9! x20 ; g) − 3!ln 2x
−4; h) −32 sin(2x).
9.a) 6(5x4 + 6x2 + 1); b) −x√
(1+x2)3; c) 4
(x−1)3 .
10.a) t : 2x+ y + 1 = 0, n : x− 2y − 7 = 0; b) t : 4x+ 5y − 13 = 0, n : 5x− 4y − 6 = 0;c) t : x− ey = 0, n : xe+ y − e2 − 1 = 0; d) t : x+ y − 4 = 0, n : x− y = 0;e) t : 4y − x− 4 = 0, n : y + 4x− 18 = 0; f) t : x+ y − 1 = 0, n : x− y + 1 = 0.
82
11.a) T (2; 4), 4x− y − 4 = 0; b) T
(−32 ;94
), 12x+ 4y + 9 = 0;
c) T1(−1; 1), 2x+ y + 1 = 0, T2(14 ;116
), 8x− 16y = 1.
12.a) t1 : y = −2, n1 : x = 1, t2 : y = 2, n2 : x = −1; b) t : y = 1
e , n : x = e;c) t : 2x− y − 1− ln 2 = 0, n : 2x+ 4y − 1 + 4 ln 2 = 0; d) t : x− 2y + 4 = 0, n : 2x+ y − 2 = 0;e) t : x− 2y + 3 = 0, n : 4x+ 2y − 3 = 0; f) t : 2x− y − 2 = 0, n : x+ 2y − 1 = 0;g) t : 12x− 4y − 13 = 0, n : 4x+ 12y − 61 = 0.
13.a) t : 4x− 4y + 3 = 0, n : 4x+ 4y − 15 = 0; b) t : x+ y + e−2 = 0, n : x− y − 3e−2 = 0;c) t1 : y − x+ 31 = 0, n1 : x+ y + 27 = 0, t2 : x− y + 1 = 0, n2 : y + x+ 3 = 0;d) t : 24x+ 32y − 1 = 0, n : 64x− 48y − 11 = 0.
14.a) (e, 1e ); b) (0, 0), (1, 1), (2, 0); c) (0, 20), (1, 15), (−2,−12).
15.(1, 13 ) a (−1,−
13 ).
16.a) π4 ); b) π
4 ); c)π4 ); d) arctg 2.
17.b = 4.
18.a) arctg 17 ; b) arctg
815 .
19.v = 33, 3 ms−1, t0 = 3, 05, xmax = 188, 05 km.
20.t1 = 2s, t2 = 3s.
21.a)80, 4 ms−1; b) 10, 2 s; c) 510, 2 m.
22.a(4) = 11 ms−2.
23.v(2) = 6 ms−1.
24.a) t1 = 0, t2 = 8; b) t1 = 0, t2 = 4, t3 = 8.
25.a) 32 ; b) ∞; c) 0; d) −2; e) ∞; f) 0; g) 12 ; h) 13 ; i) 13 .
26.a) 1; b) 1; c) 35 ; d) 0; e) 0; f) ∞; g) 0; h) 0; i) ∞.
27.a) 4; b) −8; c) 0; d) 0; e) 6; f) 3; g) 3; h) 89 ; i) 113 ; j) −3; k) 12 ;l) 16 ; m) 0; n) 0; o) −2; p) 1; q) 2; r) e; s) 1e ; t) 23 ; u) 2.
83
28.a) 12 ; b) −1; c) 12 ; d) 0; e) 0; f) 12 .29.a) 0; b) 1; c) 4; d) ∞; e) 0; f) 1; g) 0; h) − 4π ; h) − 2π .
30.a) rastie na (−∞;−3) ∪
(13 ;∞
), klesá na
(−3; 13
);
b) rastie na (−∞;−1) ∪ (2;∞), klesá na (−1; 2);c) rastie na
(−√2, 0)∪(√2,+∞
), klesá na
(−∞,−
√2) ∪ (0,
√2);
d) rastie na (−∞; 3), klesá na (3;∞);e) rastie na (
√e,∞), klesá na (0, 1) ∪ (1,
√e);
f) klesá na R.
31.a) A(3;−23) - lokálne minimum, B(1, 5) - lokálne maximum, C(0; 4) - inflexný bod;b) A(0;−4) - lokálne minimum, B(−2, 0) - lokálne maximum;c) nemá lokálne extrémy;d) A(2; 8) - lokálne minimum, B(−2, 0) - lokálne maximum;e) A(2; 2) - lokálne minimum, B(0,−2) - lokálne maximum;f) A
(32 ,274
)- lokálne minimum, C(0, 0) - inflexný bod;
g) nemá lokálne extrémy, A(0, 0) - inflexný bod;h) A(1, 1) - lokálne minimum.
32.a) min f(0) = −10, max f(2) = f(5) = 10; b) min f(−1) = f(1) = 4, max f(−2) = f(2) = 13;c) min f(0) = 0, max f(4) = 8; d) min f(−1) = −12, max f(1) = 2;e) min f(−2) = −19, max f(2) = 9; f) min f(3) = 1, max f(−1) = 17;g) min f(−1) = −10, max f(1) = 2; h) min f(2) = 2− 2 ln 2, max f(1) = 1.
33. 4, 4 34. 14, 14 35. 136. − 12 37. 18, 18 38.
√33
39. 6, 6 40. a = b =√
P 41. x = y = 52
42. 6, 6 43. 6 cm 44. x = 2a4+π , y = a
4+π
45. a = 20m, b = 5m, c = 2m 46. x = 4aπ+4 47. 6 cm
48. r = 2, v = 4 49. v = 43R, r = 2
√23 R 50. 4x4x2 m
51.a) konvexná na (−∞,−1) ∪ (2,+∞), konkávna na (−1, 2), A(−1,−19), B(2,−37) - inflexné body;b) konvexná na (−∞,−1) ∪ (1,+∞), konkávna na (−1, 1), A(1, 0), B(−1, 0) - inflexné body;c) konvexná na (2,+∞), konkávna na (−∞, 2), A(2, 12) - inflexný bod;d) konvexná na (−∞, 0) ∪ (0,+∞), nemá inflexný bod;e) konvexná na (−∞,−3) ∪ (3,+∞), nemá inflexný bod;f) konvexná na (e−
32 ,+∞), konkávna na (−∞, e−
32 ), A(e−
32 ,− 32e
−3) - inflexný bod.
52.a) y = 0; b) x = 1, y = 1;c) x = 0, y = 0 pre x → +∞, y = −1 pre x → −∞;d) x = 0, y = 0; e) x = 0, y = −x; f) x = 1, x = −1, y = 0; g) x = 0;h) x = 1, y = x− 1; i) neex. asymptoty; j) x = 0.
53.D(f) = (−∞,∞), y′ = 6x(x− 1), y′′ = 6(2x− 1),(−∞, 0) ∪ (1,∞) - rastie, (0, 1) - klesá,(−∞, 12 ) - konk., v (
12 ,∞) - konv.,
[0, 0] - lok.max, [1,−1] - lok.min, [ 12 ,−12 ] - infl.bod.
54.D(f) = (−∞,∞), y′ = 3(x2 − 1), y′′ = 6x,
84
(−∞,−1) ∪ (1,∞) - rastie, v (−1, 1) - klesá,(−∞, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,[−1, 4] - lok.max, [1, 0] - lok.min, [0, 2] - infl.bod.
55.D(f) = (−∞,∞), y′ = 6(x2 + x− 2), y′′ = 6(2x+ 1),(−∞,−2) ∪ (1,∞) - rastie, v (−2, 1) - klesá,(−∞,− 12 ) - konk., v (−
12 ,∞) - konv.,
[−2, 27] - lok.max, [1, 0] - lok.min, C(− 12 ,
272
)- infl.bod.
56.D(f) = (−∞,∞), y′ = 4
5x2(3− x), y′′ = 12
5 x(2− x),(−∞, 3) - rastie, v (3,∞) - klesá,(0, 2) - konv, (−∞, 0) ∪ (2;∞) - konk.,[3; 5, 4] - lok.max, [0, 0] a [2; 3, 2] - infl. body.
57.D(f) = (−∞, 2) ∪ (2,∞) , y′ = x2−4x−5
(x−2)2 , y′′ = 18(x−2)3 ,
(−∞,−1) ∪ (5,∞) - rastie, v (−1, 2) ∪ (2, 5) - klesá,(−∞, 2) - konk., v (2,∞) - konv.,[−1, 0] - lok.max, [5, 12] - lok.min,x = 2 a y = x+ 4 - asymptoty.
58.D(f) = (−∞, 1) ∪ (1,∞), y′ = −2x
(x−1)3 , y′′ = 2(2x+1)(x−1)4 ,
(−∞, 0) ∪ (1,∞) - klesá, v (0, 1) - rastie,(−∞,− 12 ) - konk., v (−
12 , 1) ∪ (1,∞) - konv.,
[0,−1] - lok.min, [− 12 ;−89 ) - infl.bod,
x = 1 a y = 0 - asymptoty.
59.D(f) = (−∞, 1) ∪ (1,∞), y′ = x2(2x−3)
(x−1)2 , y′′ = 2x(x2−3x+3)(x−1)3 ,
(−∞, 1) ∪ (1, 32 ) - klesá, v (32 ,∞) - rastie,
(0, 1) - konk., v (−∞, 0) ∪ (1,∞) - konv.,[32 ,274
]- lok.min, [0, 0] - infl.bod,
x = 1 - asymptota.
60.D(f) = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞), y′ = −(x2+1)
(x2−1)2 , y′′ = 2x(x2+3)(x2−1)3 ,
na celom D(f) klesá,(−∞,−1) ∪ (0, 1) - konk., v (−1, 0) ∪ (1,∞) - konv.,[0, 0] - infl.bod,x = 1, x = −1 a y = 0 - asymptoty.
61.D(f) = (−∞,−
√3) ∪ (−
√3,√3) ∪ (
√3,∞), y′ = x2(9−x2)
(3−x2)2 , y′′ = 6x(9+x2)(3−x2)3 ,
(−∞,−3) ∪ (3,∞) - klesá, v (−3,−√3) ∪ (−
√3,√3) ∪ (
√3, 3) - rastie,
(−√3, 0) ∪ (
√3,∞) - konk., v (−∞,−
√3) ∪ (0,
√3) - konv.,
[−3; 4, 5] - lok.min, [3;−4, 5] lok.max, [0, 0] - infl.bod,x =
√3, x = −
√3 a y = −x - asymptoty.
62.D(f) = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞), y′ = 2x
(1−x2)2 , y′′ = 2(1+3x2)(1−x2)3 ,
(−∞,−1) ∪ (−1, 0) - klesá, v (0, 1) ∪ (1,∞) - rastie,(−∞,−1) ∪ (1,∞) - konk., v (−1, 1) - konv.,[0, 1] - lok.min,x = 1, x = −1 a y = 0 - asymptoty.
85
63.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,+∞), y′ = 2(x4−1)
x3 , y′′ = 2(x4+3)x4 ,
(−∞,−1) ∪ (0, 1) - klesá, v (−1, 0) ∪ (1,∞) - rastie,na celom D(f) - konv.,[1, 2] a [−1, 2] - lok.min,x = 0 - asymptota.
64.D(f) = (−∞,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,∞), y′ = −8x
(x2−4)2 , y′′ = 8(3x2+4)(x2−4)3 ,
(−∞,−2) ∪ (−2, 0) - rastie, v (0, 2) ∪ (2,∞) - klesá,(−∞,−2) ∪ (2,∞) - konv., v (−2, 2) - konk.,[0, 0] - lok.max,x = −2, x = 2, a y = 1 - asymptoty.
65.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), y′ = x3−7x+6
2x3 , y′′ = 7x−9x4 ,
(−∞,−3) ∪ (0, 1) ∪ (2,∞) - rastie, v (−3, 0) ∪ (1, 2) - klesá,(−∞, 0) ∪ (0, 97 ) - konk., v (
97 ,∞) - konv.,[
1, 72]a[−3,− 116
]- lok.max,
[2, 278
]- lok.min,
[97 , y(
97 )]- infl.bod,
x = 0 a y = 12x+ 1 - asymptoty.
66.D(f) = (−∞,−1) ∪ (−1,∞), y′ = x2(x+3)
2(x+1)3 , y′′ = 3x(x+1)4 ,
(−∞,−3) ∪ (−1,∞) - rastie, v (−3,−1) - klesá,(−∞,−1) ∪ (−1, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,[−3,− 278 ] - lok.max, [0, 0] - infl.bod,x = −1 a y = 1
2x− 1 - asymptoty.
67.D(f) = (−∞,−1) ∪ (−1,∞), y′ = x3(x+4)
(x+1)4 , y′′ = 12x2
(x+1)5 ,(−∞,−4) ∪ (0,∞) - rastie, v (−4,−1) ∪ (−1, 0) - klesá,(−∞,−1) - konk., v (−1,∞) - konv.,[−4,− 6427 ] - lok.max, [0, 0] - lok.min,x = −1 a y = x− 3 - asymptoty.
68.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), y′ = 3(x4−1)
x4 , y′′ = 12x5 ,
(−∞,−1) ∪ (1,∞) - rastie, v (−1, 0) ∪ (0, 1) - klesá,(−∞, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,[−1,−4] - lok.max, [1, 4] - lok.min,x = 0 a y = 3x - asymptoty.
69.D(f) = (−∞,+∞), y′ = x2−1
1+x2 , y′′ = 4x(1+x2)2 ,
(−∞,−1) ∪ (1,∞) - rastie, v (−1, 1) - klesá,(−∞, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,[−1, 32π − 1
]- lok.max, [1, π/2 + 1] - lok. min, [0, π] infl.bod,
y = x pre x → +∞ a y = x+ 2π pre x → −∞ - asymptoty.
70.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), y′ = −1
x2+1 , y′′ = 2x(x2+1)2
,
na celom D(f) klesá,(−∞, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,y = 0 - asymptota.
86
71. D(f) = (−∞,∞), y′ = 1−xex , y′′ = x−2
ex ,(−∞, 1) - rastie, v (1,∞) - klesá,(−∞, 2) - konk., v (2,∞) - konv.,[1, 1e]- lok.max, [2, 2e2 ] - infl.bod,
y = 0 - asymptota pre x → +∞.
72.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), y′ = ex(x−1)
x2 , y′′ = ex(x2−2x+2)x3 ,
(−∞, 0) ∪ (0, 1) - klesá, v (1,∞) - rastie,(−∞, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,[1, e] - lok.min,x = 0, y = 0 - asymptota pre x → −∞.
73.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), y′ = −1
x2 e1x , y′′ = e
1x ( 2x+1x4 ),
na celom D(f) klesá,(−∞,− 12 ) - konk., v (−
12 , 0) ∪ (0,∞) - konv.,
[− 12 , e−2] - infl.bod,
x = 0+ a y = 1 - asymptoty.
74.D(f) = (−∞,∞), y′ = e−x(2x− x2), y′′ = e−x(x2 − 4x+ 2),(−∞, 0) ∪ (2,∞) - klesá, v (0, 2) - rastie,(−∞, 2−
√2) ∪ (2 +
√2,∞) - konv., v (2−
√2, 2 +
√2) - konk.,[
2, 4e2]- lok.max, [0, 0] - lok.min, x = 2±
√2 x-ové súradnice infl. bodov,
y = 0 - asymptota pre x → +∞.
75.D(f) = (−∞,∞), y′ = e−x(3x2 − x3), y′′ = e−x(x3 − 6x2 + 6x),(−∞, 0) ∪ (0, 3) - rastie, v (3,∞) - klesá,(−∞, 0) ∪ (3−
√3, 3 +
√3) - konk., v (0, 3−
√3) ∪ (3 +
√3,∞) - konv.,[
3, 27e3]- lok.max, 0, 3±
√3 x-ové súradnice infl. bodov,
y = 0 - asymptota pre x → +∞.
76.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,+∞), y′ = −ex
(ex−1)2 , y′′ = ex(ex+1)(ex−1)3 ,
na celom D(f) klesá,(−∞, 0) - konk., v (0,∞) - konv.,x = 0, y = 0 pre x → +∞ a y = −1 pre x → −∞ - asymptoty.
77.D(f) = (−∞,∞), y′ = 1− e−x, y′′ = e−x,v (0,∞) - rastie, v (−∞, 0) - klesá,na celom D(f) konv.,[0, 1] - lok.min,y = x - asymptota pre x → +∞.
78.D(f) = (−∞,+∞), y′ = 2x
x2+1 , y′′ = 2(1−x2)(x2+1)2 ,
(0,∞) - rastie, v (−∞, 0) - klesá,(−∞,−1) ∪ (1,∞) - konk., v (−1, 1) - konv.,[0, 0] - lok.min, [−1, ln 2] a [1, ln 2] - infl. body.
79.D(f) = (−2, 2), y′ = −2x
4−x2 , y′′ = −2(4+x2)(4−x2)2 ,
(0, 2) - klesá, v (−2, 0) - rastie,na celom D(f) konk.,[0, 2 ln 2] - lok.max.
87
80.D(f) = (−1,∞), y′ = x
x+1 , y′′ = 1(x+1)2 ,
(−1, 0) - klesá, v (0,∞) - rastie,na celom D(f) konv.,[0, 0] - lok.min,x = −1+ - asymptota.
81.D(f) = (0,∞), y′ = ln(x) + 1, y′′ = 1
x ,(0, 1e ) - klesá, v (
1e ,∞) - rastie,
na celom D(f) konv.,[ 1e ,− 1e ] - lok.min.
82.D(f) = (0, 1) ∪ (1,∞), y′ = ln x−1
ln2x , y′′ = 2−ln xx·ln3 x
,(0, 1) ∪ (1, e) - klesá, v (e;∞) - rastie,(0, 1) ∪ (e2,∞) - konk, v (1, e2) - konvex., [e, e] - lok.min,
[e2, e2
2
]- infl.bod,
x = 1 asymptota.
83.a) 2, 031; b) 1, 2; c) 3, 00989; d) 1, 12; e) 0, 01; f) 3, 999956571; g) 0, 835398; h) 0, 765.
84.a) 24; b) 2, 4; c) −0, 05; d) −0, 05.
85. 12π, −12π. 86. 200π, −200π.
87. 8− 5(x+ 1) + (x+ 1)3.
88. 11 + 7(x− 2) + 4(x− 2)2 + (x− 2)3.
89. 26 + 25(x− 3) + 9(x− 3)2 + (x− 3)3.
90. −5 + 10(x− 2) + 21(x− 1)2 + 8(x− 2)3 + (x− 2)4.
91. f(x) = − 12x2 − 1
12x4.
92. f(x) = x− 13x3.
93. f(x) = ln 3 + 13 (x− 3)−118 (x− 3)
2 + 181 (x− 3)
3 − 1324 (x− 3)
4.
94. f(x) = 12 −
14 (x− 2) +
18 (x− 2)
2 − 116 (x− 2)
3 + 132 (x− 2)
4.
95. f(x) = 1e [1 + (x+ 1) +
12 (x+ 1)
2 + 16 (x+ 1)3].
96. f(x) = 2− (x− 2) + (x− 2)2 − (x− 2)3.
97.a) y′ = 2t+4
3t2+1 ; b) y′ = t2 ; c) y′ = (1 + t2)t; d) y′ = − tg t;
e) y′ = sin t1−cos t ; f)y′ = − tg t; g) y′ = −2 tg t; h) y′ = t
(1−t)2.
98. f ′(x) = − sin t+sin ktcos t+cos kt , f
′(t=0) = 0.
99. a) T1(1,−15), T2(−3, 17); y = −15, x = 1; y = 17, x = −3;b) T1(0,−10), T2(−2, 12), t1 : 9x + y + 10 = 0, t2 : 9x + y + 6 = 0, n1 : x − 9y − 90 = 0,n2 : x− 9y + 110 = 0.
88
100. Takých bodov niet.
101.a) t : x+ 2y − 4 = 0, n : 2x− y − 3 = 0; b) t : 4x+ 2y − 3 = 0, n : 2x− 4y + 1 = 0;c) t : x+ y − 4 = 0, n : x− y − 2 = 0; d) t : 2x+ 2y −
√2 = 0, n : x− y = 0;
e) t : x+ y − ( 3π+42 ) = 0, n : x− y + 32π = 0.
102. t : y = 12 (x− 1), n : y = −2(x− 1), t0 = 1.
5.4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovine a v pries-tore.
1. a) x+ y − 2 = 0 b) x = 3− 5t, y = −1 + 5t c) y = −x+ 2 d) x2 +
y2 = 1.
2. a) x = 3− t, y = −4 + 5t b) 5x+ y − 11 = 0 c) y = −5x+ 11 d) x115+ y11 = 1.
3. 2x+ 3y − 6 = 0; x = 3t, y = 2− 2t; y = − 23x+ 2;x3 +
y2 = 1.
4. b = −1; y = 2x− 13; x132+ y
−13 = 1.
5. 2x+ 3y − 22 = 0; x = 5− 6t, y = 4 + 4t; y = − 23x+223 .
6.√3x+ y + 2−
√3 = 0. 7. a = 12. 8. b = −1.
9. neleží. 10. 2x+ y − 7 = 0. 11. k = −2.
12. a) y + 3 = 0 b) x− 2 = 0 c) x− 3y − 11 = 0.
13. a) x = 3 + t, y = −1; b) x = 3, y = −1 + t; c) x = 3 + t, y = −1 + t.
14. a) 5x+ 2y + 5 = 0 b) x+ 2y − 7 = 0.
15. a) x+ 2y − 3 = 0 b) 2x+ 5y − 22 = 0 c) 2x− 3y − 3 = 0.
16. a) 2x+ 3y − 7 = 0 b) 3x− 2y − 4 = 0.
17. 4x− y + 11 = 0. 18. x+ y − 12 = 0.
19. a) 7x− 2y − 13 = 0 b) 2x+ 7y − 34 = 0.
20. a = −7, b = 1, 5. 21. neleží.
22. 7. 23. 5√2. 24. ±3.
25. (−4, 3,−1), (4,−3, 1). 26. N [4, 1, 1]. 27. M [−1, 2, 3].
28. (√2, 1,−1). 29. a)( 1225 ,−
1525 ,
1625 ), b)(
313 ,
413 ,
1213 ).
30. a)môže b)nemôže c)môže. 31. a)nemôže b)môže c)nemôže.
32. 60◦, 120◦. 33. (1,−1,±√2). 34. ±[
√3,√3,√3].
35. ( 1√3, 1√3, 1√3). 36. 45◦, 135◦. 37. D[4, 0, 6].
38. 6, 14. 39. d = −48i+ 45j− 36k.
40. (3, 4,−3), (0,−5, 3), (−3, 1, 0).
89
41. a) 20 b) −√22 c) 3 d) − 3 e) 0 f) 1360 g) − 5.
42. 135◦. 43. a) 5√7
14 b)0 c)√37 . 44. β = γ = 45◦.
45.√7,√13. 46. D[−1, 1, 1], ϕ = 120◦. 47. 120◦.
48. 5√7
14 , − 2√7
17 . 49. − 12 . 50. (1, 1, 0).
51. (0, 1, 2). 52. (4√2, 4, 4).
53. a)− 6j, S = 6; b)− 2k, S = 2; c)6i− 4j+ 6k, S = 2√22.
54. a) (−6, 3, 0); b) (20,−20,−10).
55. a) 92√3; b) 18
√3; c) 45
√3.
56. 6√3. 57. 24, 5. 58. 50
√2.
59. 32
√2. 60. S = 7
√5 |BD| = 2
3
√21. 61. 72
√2.
62. 32 . 63. 210. 64. x = (8,−7,−5).
65. 83
√5. 66. 13
20
√10. 67. 4
√2.
68. 96. 69. a)√8945 ; b)1; c)
√23185 ; d)
√514 .
70. a)− 20; b)6. 71. 51. 72. V = 14, v = 73
√3.
73. V = 14, v =√14. 74. a) áno. 75. c = 5a+ b.
76. a) áno; b) nie. 77. c = a+ 2b. 78. 52.
79. a) áno; b) nie; c) áno. 80. a) áno. 81. x+ 4y − 2z = 2.
82. a) z = 3, y = 2, x = 1; b) z + 2y = 0, 2x− 3z = 0, x+ 3y = 0; c) z = 3;d) y = −2; e) x = −5; f) z + 2y = 0; g) 3x+ z = 0; h) 4x+ 3y = 0; i) 3x+ 2z = 0;j) 2x+ y = 0; k) 3x− 4z = 0; l) x+ y − z + 1 = 0; m) x+ 3y − z = −1.
83. a) 6x+2y−5z+5 = 0; b)x−z+1 = 0; c) y+4z+10 = 0; d)x−z−1 = 0; e)5x+y−13 = 0;f) 2y − 3z + 7 = 0.
84. a) [12, 0, 0], [0,−8, 0], [0, 0,−6] b) [3, 0, 0], [0,−6, 0], [0, 0, 2] c) [−4, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0,−1]d) [2, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 2] e) [−2, 0, 0], [0,−2, 0], [0, 0,−2]
85. a) x−1 +
y2 +
z− 23= 1 b) x
−2 +y13+ z
−1 = 1 c) x32+ y
32+ z
−3 = 1 d) x6 +
y3 +
z−2 = 1.
86. xa +
zc = 1. 87. x+ y + z = 4. 88. x
4 +y3 +
z2 = 1.
89. −4, 3, 12 . 90. 8. 91. x−3 +
y−4 +
z2 = 1.
92. x−3 +
y3 +
z32= 1. 93. a)x3 +
y−4 = 1b)
y4 +
z4 = 1.
94. a)x+ y + z = 9,−x+ y + z = 3, x− y + z = 5, x+ y − z = 1 b)x+y+z=-5.
95. 2x− 21y + 2z + 88 = 0, 2x− 3y − 2z + 12 = 0.
96. x+ y + z = 9, x− y − z = −1, x− y + z = 3, x+ y − z = 5.
90
97. x− 3y − 2z + 2 = 0. 98. 2x+ y + z − 1 = 0. 99. x+ 3z + 8 = 0.
100. 2x− 2y + z − 2 = 0. 101. arccos 413 . 102. 2x− y + z − 5 = 0.
103.√6. 104. 2x− 8y + 5z − 33 = 0. 105. a)0,b)1.
106. a)8,b)12 . 107. 3. 108. 2√2.
109. a)x− 2y + 2z = 11, x− 2y + 2z = −1; b)2x+ 2y + z = 20, 2x+ 2y + z = −4.
110. 7x+ 14y + 24 = 0. 111. a) pretínajú sa b) splývajú.
112. a)21x+ 14z − 3 = 0; b)7x+ 14y + 5 = 0.
113. a)x = 2 + 3t, y = −2t, z = 3− 2t; b)x = 1 + t, y = 2, z = 3.
114. a)x = 1 + 2t, y = −1 + 5t, z = −3; b)x = 1 + 3t, y = −1− 2t, z = −3 + 5t.
115. a)x = 2 + t, y = 1− 2t, z = 1 + t; b)x = 3 + t, y = −1− t, z = t; c)x = 0, y = t, z = 1− 3t.
116. a)x−21 =y+38 =
z− 121 ,b)x−21 =
y−1−3 =
z+31 .
117. ležia. 118. (9,−4, 0), (3, 0,−2), (0, 2,−3).
119. a)x = 5 + 4t, y = −7− 11t, z = −2.
120. a)x = −5t, y = −1 + 12t, z = 1 + 13t; b)x = 1 + 5t, y = 1 + 13t, z = 1 + 11tc)x = 9t, y = 5t, z = −3 + t.
121. x−6−3 =
y−4−2 =
z1 , (6, 4, 0), (0, 0, 2).
122. x = −1 + 2t, y = 2 + 2t, z = −2 + t.
123. a) napr.x−22 =y+17 =
z4 ,b) napr.
x−5 =
y+112 =
z−113 , c) napr.x−31 =
y−22 =
z1 .
124. áno, P (1, 8, 6). 125. (−1, 3, 1). 126. 25.
127. 2x− 16y − 13z + 31 = 0. 128. 6x− 20y − 11z + 1 = 0. 129. a)13,b)3.
130. a) 16√102
,b) 18√110
. 131. 6√5. 132. a)
√127714 ,b)13
√347, c)
√3.
133. a)√22,b)7, c) 310
√38. 134. a)21,b)6, c)15. 135.
√17.
136. a)dM = 53 , dN = 10; b)dM = dN = 2
7 ; c)dM = 4, dN = 2.
137. ( 215 ,23 ,−
1115 ); d = 4. 138. 5. 139. a)3,b)4, c) 112 ,d)9.
140. M(9, 0, 0); N(−5, 0, 0). 141. M(0, 3667 , 0); N(0, 1217 , 0). 142. N(0, 0, 8).
143. 2x− 2y − z − 27 = 0; 2x− 2y − z + 15 = 0.
144. a)p ‖ ρ,b)p ⊂ ρ, c)P = [2, 3, 1],d)P = [2, 3, 6], e)p ‖ ρ, f)p ⊂ ρ, g)P = [3, 6, 4].
145. x+ y − z + 3 = 0. 146. 17x− 13y − 16z = 0. 147. x−35 =
y+1−7 =
z−21 .
148. x− 2y + z + 5 = 0. 149. 8x− 5y + z − 11 = 0. 150. x− 4y + 3z + 54 = 0.
151. Q[−5, 1, 0]. 152. B[−2, 7, 1]. 153. Q[4, 1,−3].
91
Obsah1 Lineárna algebra 41.1 Matice. Operácie s maticami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Inverzná matica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Sústavy lineárnych rovníc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Funkcie jednej reálnej premennej 232.1 Definičný obor a základné vlastnosti funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Limita a spojitosť funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej 273.1 Derivácia funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Geometrický a fyzikálny význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Rastúce a klesajúce funkcie. Lokálne extrémy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod funkcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Asymptoty grafu funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Priebeh funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9 Taylorova veta a diferenciál funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.10 Funkcia určená parametricky a jej derivácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovine a v priestore. 554.1 Pravouhlé súradnice bodu v rovine a vektory v rovine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Rovnica priamky v rovine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Vektory v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Skalárny súčin dvoch vektorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Vektorový a zmiešaný súčin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Rovina v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Priamka v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.8 Vzdialenosť bodu od priamky a od roviny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.9 Priamka a rovina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Riešenia úloh 785.1 Lineárna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Funkcie jednej reálnej premennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovine a v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . 89
92
Literatúra[1] Berman, G.N.: Sbornik zadač po kursu matematičeskogo analiza, Moskva 1956.
[2] Budinský, B. – Charvát, J.: Matematika I, Praha 1987.
[3] Černáková, B. – Ducsaiová, M.: Matematika I (Zbierka úloh), Košice 1991.
[4] Eliáš, J. – Horváth, J. – Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, časť I. (3.vyd.1971), časť II.(3.vyd.1972), Bratislava.
[5] Charváth, J. – Hála, M. – Šibrava Z.: Příklady k matematice I, Praha 1997.
[6] Ivan, J.: Matematika I, Bratislava 1983.
[7] Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, New York 1993.
[8] Minorskij, V.P.: Sbírka úloh z vyšší matematiky, Praha 1958.
[9] Šoltés, V. – Juhásová, Z.: Zbierka úloh z vyššej matematiky I, Košice 1995.
[10] Černák, Š. – Pavluš M.: MATEMATIKA I. (Stručný prehľad teórie a príklady), Košice 2006.
93
