MATEMATIKA II

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky

SjF TU Košice

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Prednáška

Lokálne extrémy funkcieviac premenných

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

DefiníciaHovoríme, že funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) nadobúda v bode Alokálne maximum (minimum), ak existuje δ-okolie Oδ(A)bodu A také, že pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , platí

f (X ) ≤ f (A), (f (X ) ≥ f (A)).

Ak pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , X 6= A, platí

f (X ) < f (A), (f (X ) > f (A)),

hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode A ostré lokálnemaximum (minimum).

Body, v ktorých funkcia f nadobúda lokálne minimá a lokálnemaximá, nazývame lokálnymi extrémami funkcie f .

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

DefiníciaHovoríme, že funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) nadobúda v bode Alokálne maximum (minimum), ak existuje δ-okolie Oδ(A)bodu A také, že pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , platí

f (X ) ≤ f (A), (f (X ) ≥ f (A)).

Ak pre každý bod X , X ∈ Oδ(A) ∩ Df , X 6= A, platí

f (X ) < f (A), (f (X ) > f (A)),

hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode A ostré lokálnemaximum (minimum).

Body, v ktorých funkcia f nadobúda lokálne minimá a lokálnemaximá, nazývame lokálnymi extrémami funkcie f .

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Veta (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému)

Nech existujú ∂f (A)∂x1 ,. . . ,∂f (A)∂xn

a nech f nadobúda v bode A lokálnyextrém, potom

∂f (A)

∂x1= · · · = ∂f (A)

∂xn= 0.

Body, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu funkcie frovné nule, nazývame stacionárnymi bodmi funkcie f .

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Veta (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému)

Nech existujú ∂f (A)∂x1 ,. . . ,∂f (A)∂xn

a nech f nadobúda v bode A lokálnyextrém, potom

∂f (A)

∂x1= · · · = ∂f (A)

∂xn= 0.

Body, v ktorých sú všetky parciálne derivácie prvého rádu funkcie frovné nule, nazývame stacionárnymi bodmi funkcie f .

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

y

z

x

4

z = 4− x2 + y2

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Nech A je bod, v ktorom sú všetky parciálne derivácie druhého rádufunkcie f spojité. Označme

aij = aji =∂2f (A)

∂xi∂xj, i , j = 1, 2, . . . , n,

D1(A) = a11, D2(A) =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22∣∣∣∣ ,

D3(A) =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , . . . , Dn(A) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Veta (Postačujúca podmienka existencie lokálnehoextrému)

Nech v bode A existujú spojité parciálne derivácie druhého rádu

funkcie f a nech ∂f (A)∂x1 =∂f (A)∂x2

= · · · = ∂f (A)∂xn = 0. Ak1 D1(A) > 0, D2(A) > 0, . . . , Dn(A) > 0, tak funkcia f

nadobúda v bode A ostré lokálne minimum,

2 D1(A) < 0, D2(A) > 0, D3(A) < 0, . . . (znaky nerovnosti sapravidelne striedajú), tak funkcia f nadobúda v bode A ostrélokálne maximum,

3 pri ľubovoľnej inej kombinácii ostrých znakov nerovnosti, nežsú prípady 1 a 2, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Špeciálne pre z = f (x , y) :1 D2(A) > 0, D1(A) > 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne minimum,

2 D2(A) > 0, D1(A) < 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne maximum,

3 D2(A) < 0, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém. V bode A je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Špeciálne pre z = f (x , y) :1 D2(A) > 0, D1(A) > 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne minimum,

2 D2(A) > 0, D1(A) < 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne maximum,

3 D2(A) < 0, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém. V bode A je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Špeciálne pre z = f (x , y) :1 D2(A) > 0, D1(A) > 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne minimum,

2 D2(A) > 0, D1(A) < 0, tak funkcia f nadobúda v bode Aostré lokálne maximum,

3 D2(A) < 0, funkcia f nenadobúda v bode A lokálnyextrém. V bode A je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.

Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x

a∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.

Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13.

Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = 1 + 6y − y2 − xy − x2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= −y − 2x a ∂f

∂y= 6− 2y − x .

−y − 2x = 0 a 6− 2y − x = 0.Riešením je [−2, 4], pričom f (−2, 4) = 13. Parciálne deriváciedruhého rádu sú∂2f (−2, 4)

∂x2= −2, ∂

2f (−2, 4)∂y2

= −2 a ∂2f (−2, 4)∂x ∂y

= −1.

Teda

D2(A = [−2, 4]) =∂2f (−2, 4)

∂x2∂2f (−2, 4)

∂y2−(∂2f (−2, 4)∂x ∂y

)2= 3 > 0.

Funkcia má lokálne maximum v bode A = [−2, 4].KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.

Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.

Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].

Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 2. Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x , y) = x2 − y2.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 2x a

∂f

∂y= −2y .

2x = 0 a − 2y = 0.Máme teda jediný stacionárny bod A = [0, 0].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f (0, 0)∂x2

= 2,∂2f (0, 0)∂y2

= −2 a ∂2f (0, 0)∂x ∂y

= 0.

Teda

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −4 < 0.

Funkcia nemá lokálne extrémy, v bode A = [0, 0] je sedlový bod.KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.

Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.

Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].

Parciálne derivácie druhého rádu sú∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 3. Nájdime lokálne extrémy funkcief (x , y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1.Riešenie Parciálne derivácie prvého rádu sú

∂f

∂x= 3x2 − 6y , a ∂f

∂y= 24y2 − 6x .

3x2 − 6y = 0 a 24y2 − 6x = 0.Riešenia sú A = [0, 0] a B = [1, 12 ].Parciálne derivácie druhého rádu sú

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 48y , a

∂2f

∂x ∂y= −6.

D2(A = [0, 0]) =∂2f (0, 0)∂x2

∂2f (0, 0)∂y2

−(∂2f (0, 0)∂x ∂y

)2= −36 < 0.

Funkcia nemá lokálny extrém v bode A = [0, 0]; bod A = [0, 0] jesedlový bod.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

D2(B = [1, 12 ]

)=∂2f (1, 12)∂x2

∂2f (1, 12)∂y2

−(∂2f (1, 12)∂x ∂y

)2= 144− 36 = 108 > 0.

Teda v bode B = [1, 12 ] má funkcia lokálny extrém.Keďže

D1(B = [1, 12 ]

)=∂2f (1, 12)∂x2

= 6 > 0,

funkcia má v bode B = [1, 12 ] lokálne minimum.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

D2(B = [1, 12 ]

)=∂2f (1, 12)∂x2

∂2f (1, 12)∂y2

−(∂2f (1, 12)∂x ∂y

)2= 144− 36 = 108 > 0.

Teda v bode B = [1, 12 ] má funkcia lokálny extrém.

Keďže

D1(B = [1, 12 ]

)=∂2f (1, 12)∂x2

= 6 > 0,

funkcia má v bode B = [1, 12 ] lokálne minimum.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

D2(B = [1, 12 ]

)=∂2f (1, 12)∂x2

∂2f (1, 12)∂y2

−(∂2f (1, 12)∂x ∂y

)2= 144− 36 = 108 > 0.

Teda v bode B = [1, 12 ] má funkcia lokálny extrém.Keďže

D1(B = [1, 12 ]

)=∂2f (1, 12)∂x2

= 6 > 0,

funkcia má v bode B = [1, 12 ] lokálne minimum.

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 4. Nájdime lokálne extrémy funkcie

f (x , y) =2x+

4y+ xy

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Ďakujem za pozornosť

KAMaI Lokálne extrémy funkcie viac premenných