MATEMATIKA II4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie Deﬁnícia Nechfunkciaf jedeﬁnovanánaintervaleha;b) anech lim x!b jf(x)j = 1.Nech

MATEMATIKA II

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky

SjF TU Košice

4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM

4. prednáška

Aplikácie určitéhointegrálu.

Nevlastný integrál.


Obsah prednášky

Geometrické aplikácie určitého integrálu.Fyzikálne aplikácie určitého integrálu.Nevlastný integrál.


Geometrické aplikácie určitého integrálu

Geometrické aplikácie určitého integrálu:

Obsah časti roviny.Objem rotačného telesa.Dĺžka rovinnej krivky.Obsah rotačnej plochy.


Elementárna oblasť

Nech sú funkcie f a g spojité na 〈a, b〉 a nech na (a, b) jeg(x) < f (x). Množinu bodov [x , y ] roviny, pre ktoré platí

a ≤ x ≤ b,g(x) ≤ y ≤ f (x)

nazývame elementárnou oblasťou určenou funkciami f , ga intervalom 〈a, b〉.


Obsah časti roviny

VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉. Potom pre plošný obsah PM tejto oblasti platí

PM =

b∫a

[f (x)− g(x)] dx .


Obsah časti roviny

Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.

xy = 4, x + y = 5

Príklad 2.

y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14

Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4


Objem rotačného telesa

VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉 a nech je g(x) ≥ 0 na 〈a, b〉. Potom pre objem VM telesa,ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okolo osi ox platí

VxM = π

b∫a

[f 2(x)− g2(x)

]dx ,

a pre objem VM telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okoloosi oy , ak a ≥ 0, platí

VyM = 2π

b∫a

x [f (x)− g(x)] dx .


Objem rotačného telesa

Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.

y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0

okolo osi ox a oy .

Príklad 2.

y = −x2 + 3x , y = 1+ x , x = 0

okolo osi ox a oy .

Príklad 3.y = x3, y =

√x

okolo osi ox a oy .


Dĺžka rovinnej krivky

VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre dĺžku lK krivky K platí

lK =

b∫a

√1+ [f ′(x)]2 dx .


Dĺžka rovinnej krivky

Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.

y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y =

√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1

2


Plošný obsah rotačnej plochy

VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre obsah PK rotačnej plochy,ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi ox platí

PK = 2π

b∫a

|f (x)|√

1+ [f ′(x)]2 dx .


Plošný obsah rotačnej plochy

Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :

Príklad 1.

y =x3

3, 0 ≤ x ≤ 2

Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5

Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9+ x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.


Fyzikálne aplikácie určitého integrálu

Fyzikálne aplikácie určitého integrálu:

Ťažisko hmotnej oblasti.Hmotnosť hmotnej oblasti.Statický moment hmotnej oblasti.



Ťažisko hmotnej oblastiMajme hmotnú rovinnú oblasť M, ktorej tvar je určenýelementárnou oblasťou a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x), pričom funkcief a g sú spojité na intervale 〈a, b〉. Nech plošná hustota oblasti Mje h = h(x).Statický moment hmotnej oblasti M vzhľadom k osi ox , resp.osi oy je

Sox =12

b∫a

h(x)[f 2(x)− g2(x)

]dx ,

resp.

Soy =

b∫a

h(x)x [f (x)− g(x)] dx .



Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí

m =

b∫a

h(x) [f (x)− g (x)] dx

a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti

xT =Soym, yT =

Soxm.


Nevlastný integrál

RozlišujemeNevlastný integrál na neohraničenom intervaleNevlastný integrál z neohraničenej funkcie


Nevlastný integrál na neohraničenom intervale

Nevlastný integrál na neohraničenom intervale 〈a,∞)



DefiníciaNech funkcia f je definovaná na intervale 〈a,∞) a nech pre každé

k > a existujek∫af (x) dx . Ak existuje limita

limk→∞

k∫a

f (x) dx , (1)

tak hovoríme, že existuje nevlastný integrál funkcie f naintervale 〈a,∞). V takom prípade definujeme

∞∫a

f (x) dx = limk→∞

k∫a

f (x) dx .



DefiníciaAk limita

limk→∞

k∫a

f (x) dx

existuje a je vlastná, tak hovoríme, že nevlastný integrál funkcie fna intervale 〈a,∞) konverguje.

Ak limita

limk→∞

k∫a

f (x) dx

neexistuje alebo existuje ale je nevlastná, tak hovoríme, že nevlastnýintegrál funkcie f na intervale 〈a,∞) diverguje (neexistuje).



Analogicky definujeme nevlastný integrál funkcie f na intervale(−∞, b〉:

b∫−∞

f (x) dx = limk→−∞

b∫k

f (x) dx .

Nevlastný integrál na neohraničenom intervale (−∞, b〉



Nevlastný integrál na neohraničenom intervale (−∞,∞)



DefiníciaAk pre každé číslo c existujú nevlastné integrály

c∫−∞

f (x) dx ,∞∫c

f (x) dx , (2)

tak hovoríme, že existuje nevlastný integrál funkcie f na intervale(−∞,∞) a definujeme

∞∫−∞

f (x) dx =c∫

−∞

f (x) dx +∞∫c

f (x) dx .

Ak pre nejaké číslo c niektorý z nevlastných integrálov (2) diverguje(neexistuje), hovoríme, že nevlastný integrál funkcie f na intervale(−∞,∞) diverguje (neexistuje).



Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ ∞

2

ln xx

dx

Príklad 2. ∫ ∞1

e1x

x2dx

Príklad 3. ∫ ∞−∞

1x2 + 1

dx


Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie




Definícia

Nech funkcia f je definovaná na intervale 〈a, b) a nech limx→b−

|f (x)| = ∞. Nech

pre každé t ∈ 〈a, b) existujet∫a

f (x) dx . Ak existuje limita

limt→b−

t∫a

f (x) dx , (3)

tak túto limitu nazveme nevlastný integrál funkcie f na intervale 〈a, b〉 adefinujeme

b∫a

f (x) dx = limt→b−

t∫a

f (x) dx .

Definícia

Ak limita (3) neexistuje alebo je nevlastná, hovoríme, že nevlastný integrálfunkcie f na intervale 〈a, b〉 neexistuje alebo diverguje.



Analogicky definujeme nevlastný integrál funkcie f definovanej naintervale (a, b〉:

b∫a

f (x) dx = limt→a+

b∫t

f (x) dx .




Teda:b∫

a

f (x) dx = limt→b−

t∫a

f (x) dx .

b∫a

f (x) dx = limt→a+

b∫t

f (x) dx .

Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ 2

1

x√x − 1

dx

Príklad 2. ∫ π2

0tg xdx

Príklad 3. ∫ e1

1x ln4 x

dx


Ďakujem za pozornosť


Documents

MATEMATIKA II4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie Deﬁnícia Nechfunkciaf jedeﬁnovanánaintervaleha;b) anech lim x!b jf(x)j = 1.Nech