MATEMATIKA II - Strojnícka fakulta TUKE...6. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM Diferenciálna rovnica 1. rádu Diferenciálna rovnica 1. rádu jerovnicatvaru F(x;y;y0) = 0; kdeF

MATEMATIKA II

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky

SjF TU Košice

6. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM

6. prednáška

Diferenciálne rovnice

Obsah prednášky

Základné pojmy z obyčajných diferenciálnych rovníc.Diferenciálne rovnice 1. rádu.

Diferenciálne rovnice

(Obyčajná) diferenciálna rovnica

(Obyčajná) diferenciálna rovnica je rovnica tvaru

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0,

t. j. rovnica, ktorej neznámou je funkcia jednej premennej a vktorej sa vyskytujú derivácie tejto neznámej funkcie.

Pod rádom DR rozumieme rád najvyššej derivácie v DR.

Pod stupňom DR rozumieme najväčší mocniteľ mocninyderivácie najvyššieho rádu, ktorá sa v tejto DR vyskytuje.

Napríklad:y ′2 + xy − 1 = 0 . . . je DR 1. rádu a 2. stupňa

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0,

Riešenie DR

Riešením DR

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0 (1)

na neprázdnej množine M nazývame každú takú funkciu

y = ϕ(x),

ktorá je definovaná na množine M, má na množine M derivácien-tého rádu a pre každé x ∈ M platí

F (x , ϕ(x), ϕ′(x), ϕ′′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0.

Niekedy je riešením DR (1) funkcia, ktorá je určená implicitnerovnicou

Φ(x , y) = 0.

Túto rovnicu nazývame riešením DR alebo častejšieintegrálom DR.

Riešenie DR

Riešením DR

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0 (1)

na neprázdnej množine M nazývame každú takú funkciu

y = ϕ(x),

ktorá je definovaná na množine M, má na množine M derivácien-tého rádu a pre každé x ∈ M platí

F (x , ϕ(x), ϕ′(x), ϕ′′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0.

Niekedy je riešením DR (1) funkcia, ktorá je určená implicitnerovnicou

Φ(x , y) = 0.

Túto rovnicu nazývame riešením DR alebo častejšieintegrálom DR.

Riešenie DR

Graf riešenia DR (1) sa nazýva integrálna krivka DR (1).

OTÁZKY:

1 Má každá DR riešenie? NIENapríklad:

y ′2

+ x2 + y2 + 1 = 0.

Predpokladajme, že daná DR má riešenie

y = ϕ(x)

na nejakej množine M.Potom by muselo platiť

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

OTÁZKY:

1 Má každá DR riešenie?

NIENapríklad:

y ′2

+ x2 + y2 + 1 = 0.

y = ϕ(x)

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

OTÁZKY:1 Má každá DR riešenie?

NIENapríklad:

y ′2

+ x2 + y2 + 1 = 0.

y = ϕ(x)

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

OTÁZKY:1 Má každá DR riešenie? NIE

Napríklad:y ′

2+ x2 + y2 + 1 = 0.

y = ϕ(x)

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

Napríklad:y ′

2+ x2 + y2 + 1 = 0.

y = ϕ(x)

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

Napríklad:y ′

2+ x2 + y2 + 1 = 0.

y = ϕ(x)

na nejakej množine M.

Potom by muselo platiť

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

Napríklad:y ′

2+ x2 + y2 + 1 = 0.

y = ϕ(x)

[ϕ′(x)]2 = −(x2 + ϕ2(x) + 1)

SPOR

Riešenie DR

OTÁZKY:2 Ak má DR riešenie, koľko ich je?

Platí, ak má DR riešenie, tak je ich nekonečne veľa.

Niekedy nás nezaujímajú všetky riešenia, ale niektoré, ktorévyhovujú počiatočným podmienkam. Počet počiatočnýchpodmienok sa musí rovnať rádu DR. Hovoríme, že hľadámepartikulárne riešenie DR, ktoré prechádza nejakýmbodom, resp. riešime Caucheho (počiatočnú) úlohu.

Riešenie DR

OTÁZKY:3 Ako nájsť riešenie DR?

Spôsob riešenia závisí od typu DR.DR 1. rádu:

DR so separovanými a separovateľnými premennýmilineárna DR 1. ráduBernouliho DRhomogénna DR 1. rádu

DR vyššieho rádulineárna DR vyššieho rádu s konštantnými koeficientami

homogénnanehomogénna

systémy DRsústavy (obyčajných) lineárnych DR s konštantnýmikoeficientami

homogénnenehomogénne

Riešenie DR

Spôsob riešenia závisí od typu DR.

DR 1. rádu:DR so separovanými a separovateľnými premennýmilineárna DR 1. ráduBernouliho DRhomogénna DR 1. rádu

Riešenie DR

Diferenciálna rovnica 1. rádu

Diferenciálna rovnica 1. rádu je rovnica tvaru

F (x , y , y ′) = 0,

kde F je funkcia troch premenných.Tento tvar nazývame implicitný tvar DR 1. rádu.

Vyjadrením y ′ z predchádzajúceho tvaru dostávame explicitnýtvar DR 1. rádu

y ′ = f (x , y),

kde f je funkcia dvoch premenných.

Diferenciálna rovnica 1. rádu

Diferenciálna rovnica 1. rádu je rovnica tvaru

F (x , y , y ′) = 0,

kde F je funkcia troch premenných.Tento tvar nazývame implicitný tvar DR 1. rádu.

Vyjadrením y ′ z predchádzajúceho tvaru dostávame explicitnýtvar DR 1. rádu

y ′ = f (x , y),

kde f je funkcia dvoch premenných.

DR so separovateľnými premennými

DR so separovateľnými premennými je rovnica tvaru

P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,

kde

P(x , y) = p1(x)p2(y),

Q(x , y) = q1(x)q2(y).

Tedap1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0,

t. j.p1(x)

q1(x)dx +

q2(y)

p2(y)dy = 0.

Túto DR 1. rádu nazveme DR so separovanými premennými.Jej všeobecné riešenie je∫

p1(x)

q1(x)dx +

∫q2(y)

p2(y)dy = 0.

P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,

kde

P(x , y) = p1(x)p2(y),

Q(x , y) = q1(x)q2(y).

t. j.p1(x)

q1(x)dx +

q2(y)

p2(y)dy = 0.

p1(x)

q1(x)dx +

∫q2(y)

p2(y)dy = 0.

P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,

kde

P(x , y) = p1(x)p2(y),

Q(x , y) = q1(x)q2(y).

t. j.p1(x)

q1(x)dx +

q2(y)

p2(y)dy = 0.

Túto DR 1. rádu nazveme DR so separovanými premennými.

Jej všeobecné riešenie je∫p1(x)

q1(x)dx +

∫q2(y)

p2(y)dy = 0.

P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,

kde

P(x , y) = p1(x)p2(y),

Q(x , y) = q1(x)q2(y).

t. j.p1(x)

q1(x)dx +

q2(y)

p2(y)dy = 0.

p1(x)

q1(x)dx +

∫q2(y)

p2(y)dy = 0.

Riešme DR so separovateľnými premennými.Príklad 1.

sin x cos y + y ′tg y cos x = 0

Príklad 2. Riešme Caucheho úlohu

y√

1 + x2 − xy + (1 + x2)y ′ = 0

spĺňajúce počiatočnú podmienku y(0) = 1.

Riešme DR so separovateľnými premennými.Príklad 1.

sin x cos y + y ′tg y cos x = 0

Príklad 2. Riešme Caucheho úlohu

y√

1 + x2 − xy + (1 + x2)y ′ = 0

spĺňajúce počiatočnú podmienku y(0) = 1.

Lineárna DR 1. rádu

Lineárna DR 1. rádu je rovnica tvaru

y ′ + p(x)y = q(x),

kde p(x), q(x) sú spojité funkcie na (a, b).

Ak q(x) = 0, tak dostávame

y ′ + p(x)y = 0

LDR bez pravej strany (homogénna).Poznámka: daná DR je SDR.

Lineárna DR 1. rádu je rovnica tvaru

y ′ + p(x)y = q(x),

kde p(x), q(x) sú spojité funkcie na (a, b).

Ak q(x) = 0, tak dostávame

y ′ + p(x)y = 0

LDR bez pravej strany (homogénna).Poznámka: daná DR je SDR.

Postup pri riešení LDR 1. rádu.1 Vyriešime DR bez pravej strany.

y ′ + p(x)y = 0∫dyy

= −∫

p(x)dx

ln |y | = −∫

p(x)dx + c1

y = ce−∫p(x)dx

Všeobecné riešenie DR bez pravej strany.

2 Metódou variácie konštánt riešime rovnicu s pravoustranou

c → c(x).

Teda predpokladáme, že funkcia

y = c(x)e−∫p(x)dx

je riešením rovnice s pravou stranou.Potom

y ′ = c ′(x)e−∫p(x)dx − c(x)e−

∫p(x)dxp(x).

Dosadením do pôvodnej rovnice dostávame

y ′ + p(x)y = q(x)

c ′(x)e−∫p(x)dx − c(x)e−

∫p(x)dxp(x) + p(x)c(x)e−

∫p(x)dx = q(x)

c ′(x) = q(x)e∫p(x)dx .

c → c(x).Teda predpokladáme, že funkcia

je riešením rovnice s pravou stranou.

Potom

y ′ = c ′(x)e−∫p(x)dx − c(x)e−

∫p(x)dxp(x).

y ′ + p(x)y = q(x)

∫p(x)dx = q(x)

c ′(x) = q(x)e∫p(x)dx .

y ′ = c ′(x)e−∫p(x)dx − c(x)e−

∫p(x)dxp(x).

y ′ + p(x)y = q(x)

∫p(x)dx = q(x)

c ′(x) = q(x)e∫p(x)dx .

y ′ = c ′(x)e−∫p(x)dx − c(x)e−

∫p(x)dxp(x).

y ′ + p(x)y = q(x)

∫p(x)dx = q(x)

c ′(x) = q(x)e∫p(x)dx .

Teda

c(x) =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx + c .

Všeobecné riešenie LDR s pravou stranou je

y = e−∫p(x)dx

[∫q(x)e

∫p(x)dxdx + c

]

Teda

c(x) =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx + c .

Všeobecné riešenie LDR s pravou stranou je

y = e−∫p(x)dx

[∫q(x)e

∫p(x)dxdx + c

]

Riešme lineárnu DR 1. rádu.Príklad 1.

y ′ + 3y = x

Príklad 2.y ′ + 2y = e2x

Príklad 3.xy ′ = 2y + x + 1

Príklad 4. Riešme lineárnu DR 1. rádu

y ′ + ycotg x = sin x

spĺňajúce počiatočnú Caucheho podmienku y(π2 ) = 1.

y ′ + 3y = x

Bernoulliho DR

Bernoulliho DR je rovnica tvaru

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x),

kde a(x), b(x) sú spojité funkcie na I , α ∈ R.

Ak α = 0, tak dostávame LDR.Ak α = 1, tak dostávame SDR.(Ak α > 0, tak jedno z riešní danej DR je funkcia y = 0.)

Bernoulliho DR

Bernoulliho DR je rovnica tvaru

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x),

kde a(x), b(x) sú spojité funkcie na I , α ∈ R.

Ak α = 0, tak dostávame LDR.Ak α = 1, tak dostávame SDR.(Ak α > 0, tak jedno z riešní danej DR je funkcia y = 0.)

Bernoulliho DR

Postup pri riešení Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x)

/ 1yα(x)

Predpokladajme, že y(x) 6= 0. (Funkcia y = 0 je triviálne riešenie.)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

Zavedieme substitúciu y1−α(x) = z(x). Zderivujeme

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Dostali sme LDR, ktorú už vieme riešiť.

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x)

/ 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x) / 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x) / 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x) / 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

Zavedieme substitúciu y1−α(x) = z(x).

Zderivujeme

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x) / 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− α

Dosaďmez ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x) / 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Bernoulliho DR

y ′(x) + a(x)y(x) = b(x)yα(x) / 1yα(x)

y−α(x)y ′(x) + a(x)y1−α(x) = b(x)

(1− α)y−α(x)y ′(x) = z ′(x)

y−α(x)y ′(x) =z ′(x)

1− αDosaďme

z ′(x)

1− α+ a(x)z(x) = b(x)

z ′(x) + (1− α)a(x)z(x) = (1− α)b(x)

Dostali sme LDR, ktorú už vieme riešiť.6. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM

Bernoulliho DR

Riešme Bernoulliho DR.Príklad 1.

y ′ + 2y

x= −x4exy3

Homogénna DR 1. rádu

Homogénna DR 1. rádu je rovnica tvaru

y ′(x) = F( yx

),

kde F je spojitá funkcia.

Táto DR sa rieši substitúciou

z(x) =y(x)

x.

Zderivujme

y(x) = xz(x)

y ′(x) = z(x) + xz ′(x).

Dosaďme

z(x) + xz ′(x) = F (z)

xz ′(x) = F (z)− z(x).Dostali sme DR so separovateľnými premennými, ktorú už viemeriešiť.

y ′(x) = F( yx

),

z(x) =y(x)

x.

Zderivujme

y(x) = xz(x)

y ′(x) = z(x) + xz ′(x).

Dosaďme

z(x) + xz ′(x) = F (z)

y ′(x) = F( yx

),

z(x) =y(x)

x.

Zderivujme

y(x) = xz(x)

y ′(x) = z(x) + xz ′(x).

Dosaďme

z(x) + xz ′(x) = F (z)

y ′(x) = F( yx

),

z(x) =y(x)

x.

Zderivujme

y(x) = xz(x)

y ′(x) = z(x) + xz ′(x).

Dosaďme

z(x) + xz ′(x) = F (z)

xz ′(x) = F (z)− z(x).

Dostali sme DR so separovateľnými premennými, ktorú už viemeriešiť.

y ′(x) = F( yx

),

z(x) =y(x)

x.

Zderivujme

y(x) = xz(x)

y ′(x) = z(x) + xz ′(x).

Dosaďme

z(x) + xz ′(x) = F (z)

Riešme homogénnu DR 1. rádu.Príklad 1.

xy ′ − y = xeyx

DR 1. rádu

Vzťah medzi spomínanými DR.

Ďakujem za pozornosť

Documents

MATEMATIKA II - Strojnícka fakulta TUKE...6. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM Diferenciálna rovnica 1. rádu Diferenciálna rovnica 1. rádu jerovnicatvaru F(x;y;y0) = 0; kdeF