MATEMATIKA - pmf.ni.ac.rs · 2 Naslov master rada Spektralna analiza stacionarnih vremenskih nizova Mentor Dr Biljana Popović Studijski program Matematika Modul Kratak sadržaj rada

1

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet

Departman za matematiku

T E M E MASTER RADOVA

MASTER AKADEMSKE STUDIJE : MATEMATIKA

Nastavni program akreditovan 2008/2009. godine

_____________________________________________________________________________________________________

Niš, 20.12.2017. godine

2

Naslov master rada Spektralna analiza stacionarnih vremenskih nizova Mentor Dr Biljana Popović

Studijski program Matematika Modul Kratak sadržaj rada

Vremenski nizovi, odnosno praćenje pojava uz pomoć vremenskih nizova, je nezaobilazni deo proučavanja pojava u mnogim oblastima, hidrologiji, astronomiji, ekonomiji itd. Uz pomoć raznih modela vremenskih nizova nastoji se da se prate i predvide posmatrane pojave. Rad treba da se bavi modelima stacionarnih vremenskih nizova u frekventnom domenu s obzirom na to da je spektar stacionarnog procesa Furijeova transformacija apsolutno sumabilne autokovarijansne funkcije procesa.

Spisak reprezentative literature

1. Wei W.S. William: Time series analysis: univariate and multivariate methods, Pearson Education, 2006

2. Brockwell P.S., Davis R.A.: Time series: Theory and Methods, Springer, 1987

3. Wayne A. Fuller: Introduction to Statistical Time Series, John Wiley & Sons, 1976

Predlog članova komisije

1. Dr Biljana Č. Popović 2. Dr Miroslav M. Ristić 3. Dr Aleksandar S. Nastić

3

Naslov master rada

Bulove algebre

Mentor

dr Snežana Ilić

Studijski program

Matematika

Modul

Kratak sadržaj rada

Iako svoju najvažniju ulogu Bulove algebre imaju u Logici i Računarstvu, one su uspostavile jaku vezu sa problemima Topologije, Teorije mera, Funkcionalne analize,.. . Parcijalno uredjen skup (A,≤) je mreža ako za svaka dva elementa postoji supremum i infimum. Na mreži se definišu operacije i . Za a,bA: a b=inf ,a b , a b=sup ,a b . Na taj način je definisana algebra (A, , ), za koju kažemo da je pridružena mreži (A,≤). Za tvrdjenje u jeziku mreža, d označava njegovo dualno tvrdjenje dobijeno zamenom simbola , redom simbolima , . Važi sledeća teorema, Princip dualnosti: Ako tvrdjenje važi u svakoj mreži, tada važi i dualno tvrdjenje d . Mreža koja zadovoljava jedan od identiteta: x (y z)=(x y) (x z) ili x (y z)=(x y) (x z) je distributivna. Mreža A je kompletna ako svaki neprazan podskup od A ima supremum i infimum. Neka je A mreža koja ima najmanji element 0, najveći 1 i aA. Za element bA kažemo da je komplement od a ako je a b=0 i a b=1. Ako svaki element ima komplement, kažemo da je A mreža sa komplementiranjem. Algebarska struktura (B,+, ,-,0,1) u kojoj su operacije + i asocijativne i komutativne, važe distributivni zakoni i zakon apsorpcije jedne operacije prema drugoj, x+(-x)=1 i x (-x)=0 je Bulova algebra. Bulove algebre su distributivne mreže sa komplementiranjem. Za Bulove algebre, takodje, važi princip dualnosti formulisan za mreže, s tim što se ovde vrši i zamena simbola 0, 1 jednog drugim. Uvodi se pojam Bulovog prstena, atoma, atomične Bulove algebre, podalgebre Bulove algebre generisane podskupom, homomorfizma, kongruencije, ideala, filtra, ultrafiltra, proizvoda Bulovih algebri i proučavaju se njihove osobine. Veoma važna veza se uspostavlja izmedju Bulovih algebri i jedne klase topoloških prostora. Svaka Bulova algebra se može potopiti u kompletnu Bulovu algebru. Posebna pažnja posvećena je problemu nalaženja najmanje takve kompletne Bulove algebre, kao i konstrukciji slobodne Bulove algebre.


1. Ž. Perović: Bulove algebre, Prosveta Niš, 1998. 2. S. Roman: Lattices and Ordered Sets, Springer


1. dr Snežana Ilić, 2. dr Miroslav Ćirić, 3. dr Vladimir Pavlović.

4

Naslov master rada

Univerzalna algebra

Mentor

dr Snežana Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


Pojam grupe, prstena i polja se ovde ponovo razmatraju, ali sa apstraktnijeg nivoa, odnosno sa stanovišta univerzalnih algebarskih struktura. Na ovaj način se omogućava da se kompaktno prikažu pojedine oblasti algebre i izbegne u osnovi nepotrebno ponavljanje definicija ključnih pojmova kod konkretnih algebarskih struktura. I što je važnije, student može da stekne uvid u suštinske algebarske pojmove i konstrukcije, zajedničke svim algebarskim strukturama (kao, na primer, pojmovi i konstrukcije: term, algebarski zakon, algebarski varijetet, homomorfizam, proizvod algebri, kongruencija i količnička algebra). Neka je A neprazan skup. Algebarska struktura ili algebra je svaka uredjena n-torka A =(A,f 1 ,f 2 ,...,f k ,a 1 , a 2 ,...,a m ) gde su n,k i m prirodni brojevi, n=k+m+1, f 1 ,f 2 ,...,f k operacije skupa A i a 1 , a 2 ,...,a m A. Najznačajnija klasifikacija algebri je prema jeziku, tj. prema broju i vrsti algebarskih operacija i konstanti koje učestvuju u njihovoj definiciji. Razne osobine algebarskih struktura izražavaju se algebarskim zakonima. Algebarski zakoni su, zapravo, posebna vrsta formula zapisanih na jeziku razmatrane algebre. Algebarsku strukturu održavaju specijalna preslikavanja-homomorfizmi. Posledica ove činjenice je da homomorfne slike čuvaju mnoge algebarske osobine polazne algebre. Proizvod algebri, Dekartov stepen algebre, podalgebra generisana podskupom i količnička algebra su primeri konstrukcije novih algebri. Algebarski varijeteti predstavljaju jednu moguću klasifikaciju algebri datog jezika. S druge strane, mnoge značajne klase algebri ne mogu se u tom formalizmu na pogodan način predstaviti. Ne postoji algebarska teorija koja opisuje tačno klasu svih algebarskih polja. Isto tako ima važnih primera algebri na kojima su definisane odredjene relacije koje su u vezi sa operacijama date algebre (na primer, uredjena polja). Takve proširene strukture nisu obuhvaćene formalnom definicijom algebre. Stoga su razvijeni formalni sistemi koji, izmedju ostalog, dopuštaju izučavanje i takvih primera algebarskih struktura. Jedan od tih formalizama, kojim ćemo se baviti, je teorija modela. Smatra se da je teorija modela oblast smeštena izmedju algebre i logike. Jedan deo ove oblasti zasnovan je na predikatskom računu.


1. Ž. Mijajlović: Algebra 1. deo, Milgor 1993.; 2. S. Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin.


1. dr Snežana Ilić, 2. dr Jelena Ignjatović, 3. dr Vladimir Pavlović.

5

Naslov master rada

Moduli

Mentor

dr Snežana Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


U ovom radu student bi se bavio proučavanjem modula. Modul predstavlja uopštenje pojma vektorskog prostora, koje se sastoji u tome da se umesto polja F uzima komutativan prsten R sa jediničnim elementom. Specijalno, posmatraju se moduli nad prstenima glavnih ideala.


1. Veselin Perić: Algebra – prsteni i moduli, linearna algebra, „Svjetlost“, OOUR Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo, 1987.

2. B.L.van der Waerden: Algebra I, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1976.


1. dr Snežana Ilić 2. dr Vladimir Pavlović 3. dr Milica Kolundžija

6

Naslov master rada Energija krivih i površi

Mentor Dr Ljubica Velimirović

Studijski program Matematika

Modul


U radu bi se najpre razmotrili krivina i torzija krive i zakrivljenost povrsi kao bitnih elemenata za razmatranje energije krivih i površi. zatim bi se razmatrale energija savijanja i Vilmorova energija krivih i povrsi. Diskutovale bi se razlicite primene ove teorije i generalizacije.

Spisak reprezentativne literature

1. Svetislav M. Minčić Ljubica S. Velimirović, Diferencijalna geometrija krivih I površi, Faculty of Science and Mathematics, University of Niš, 2006, Niš, ISBN 86-83481-34-4.

2. Ljubica S. Velimirović, Predrag S. Stanimirović, Milan Lj. Zlatanović, Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Faculty of Science and Mathematics, University of Niš, 2010 (monograph).

3. Lj.S. Velimirovic, M. S. Ćirić, M. D. Cvetković, Change of the Willmore energy under infinitesimal bending of membranes, ´ Comput. Math. Appl. 59 (12) (2010) 3679–3686.

4. Lj. S. Velimirovic, M. S. Ćirić, N. M. Velimirović On the Willmore energy of shells under infinitesimal deformations, Comput. ´ Math. Appl. 61 (11) (2011) 3181–3190.

Predlog članova komisije 1. Dr Mića Stanković 2. Dr Milan Zlatanović 3. Dr Ljubica Velimirović

7

Naslov master rada Generalisani Rimanovi prostori

Mentor Dr Ljubica Velimirović


Modul


U radu bi se najpre razmotrili Rimanovi prostori i njihove osnovne karakteristike. Daće se osnovni razlozi razmatranja opštijih klasa prostora i njihove osnovne karakteristike. Razmatraće se specijalno diferencijabilne mnogostrukosti sa nesimetričnim osnovnim tenzorom i sa nesimetričnom koneksijom.Prvi radovi iz ove oblasti pripadaju Eisenhartu ali tek nakon pojave radova A. Einsteina oni dobijaju na značaju.


1. Svetislav M. Minčić, Ljubica S. Velimirović:Diferencijabilne mnogostrukosti, Faculty of Science and Mathematics , University of Nis ,2011

2. Svetislav M. Minčić, Mića Stanković ,Ljubica S. Velimirović: Generalized Riemannian Spaces, monograph

3. Eisenhart, L. P., Generalized Riemannian spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 37, (1951), 311–315..

Predlog članova komisije 1. Dr Mića Stanković 2. Dr Milan Zlatanović 3. Dr Ljubica Velimirović

8

Naslov master rada

Holomorfno-projektivna preslikavanja Kelerovih prostora

Mentor

Dr Mića Stanković

Studijski program

Математика

Modul

Matematički modeli u fizici


U uvodnom delu obraditi osnovne pojmove vezane za Rimanove prostore. Zatim uvesti pojam Kelerovog prostora. Mogu se razmatrati i neke generalizacije Kelerovih prostora. Glavni deo posvetiti holomorfno projektivnim preslikavanjima Kelerovih prostora sa posebnim osvrtom na tenzor Vejlovog tipa.


1. S. Minčić, Lj. Velimirović, Tenzorski račun, PMF u Nišu, Niš, 2009. 2. J. Mikeš, A. Vanžurovna, I. Hinterleitner, Geodesic mappings and some

generalizations, Olomouc, 2009. 3. N.S. Sinjukov, Geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora, Nauka,

Moskva, 1979. 4. M.S. Stanković, S.M. Minčić, Lj. S. Velimirović, On Holomorphically Projective

Mappings of Generalized Kahlerian Spaces, Matematički vesnik 54(2002), 195-202.

5. M.S. Stanković, S.M. Minčić, Ljubica S. Velimirović, On equitorsion holomorphically projective mappings of generalised Kahlerian spaces, Czechoslovak Mathematical Journal, 54 (129) No. 3, (2004), 701-715.


1. Dr Ljubica Velimirović 2. Dr Milan Zlatanović 3. Dr Mića Stanković

9

Naslov master rada

Projektivna geometrija krivih drugog reda

Mentor

Dr Mića Stanković

Studijski program


Modul


Kratak sadraj rada

Potrebno je najpre obraditi projektivna preslikavanja jednodimenzionih i dvodimenzionih mnogostrukosti. U glavnom delu obraditi Paskalovu, Brijanšonovu i Dezargovu teoremu, kao i harmonijsku četvorku krive drugog reda. Posebnu pažnju posvetiti projektivnom preslikavanju krive drugogv reda.


1. Mileva Prvanović, Projektivna geometrija, Naučna knjiga , Beograd, 1986.

2. B. Alimpić, N. Stojaković, Z. Šnajder, Zbirka zadataka iz projektivne i nacrtne geometrije, Naučna knjiga, Beograd, 1981.

1. J. Ulčar, Projektivna i diferencijalna geometrija, Naučna knjiga, Beograd, 1969.



10

Naslov master rada

Specifičnosti eliptičke geometrije

Mentor

Dr Mića Stanković

Studijski program


Modul


Kratak sadraj rada

Potrebno je obraditi aksiomatiku eliptičke geometrije. Posebnu pažnju obratiti na polaritet u elkiptičkoj ravni i eliptičkom prostoru. Jedan deo rada posvetiti konjugovanim pravama, Klifordovim paralelama i Klifordovim površima. Obraditi interesantne yadatke


1. M. Prvanović, Neeuklidske geometrije, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 1974. 2. M. Stanković, M. Zlatanović, Neeuklidske geometrije, Prirodno matematicki fakultet, Niš, 2014. 3. R. Tošić, Zbirka zadataka iz neeuklidske geometrije, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 1971.

Predlog članova komisije 1. Dr Ljubica Velimirović 2. Dr Milan Zlatanović 3. Dr Mića Stanković

11

Naslov master rada

O broju kroz istoriju

Mentor

Dr Mića Stanković

Studijski program


Modul



Najpre dati uopštenu priču o broju π. Zatim obraditi geomertijski period odredjivanja konstante π analizirajući egipatske, grčke, kineske, indijske i vavilonske proračune o odnosu obima i prečnika kruga. Obraditi i novije metode iz perioda razvijene aritmetike i algebre, tj iz perioda od sredine sedamnaestog veka kada su objavljeni radovi Džona Volisa, Vilijama Bruknera, Džejmsa Gregorija i Isaka Njutna, pa sve do prvih kompjutersih izračunavanja broja π. Na kraju obratiti pažnju na kompjutersko izračunavanje broja π.


1. Zoran Lučić, Ogledi iz istorije antičke geometrije, JP Službeni glasnik, 2009.

2. Miloš Radojčić, Opšta matematika-Matematika Egipta, Mesopotamije i Stare Grčke, Matematički fakultet, Beograd, 2008.

3. D.Trajković , Istorija matematike kroz razvoj broja π, Matematicki fakultet Beograd

4. J. Pereljman,: Zanimljiva geometrija, , Drustvo matematicara, fizicara i astronoma SR Srbije, Beograd, 1978.

5. Mirjana Mrmak, Broj p- i na računaru, članak Matematički list, XX, 5, Beograd 1986.

6. M. Mirković, Počeci. Matematika starog Vavilona, Egipta i Kine,članak “Matematickilist”, XXIV, 2, Beograd 19897.

7. Dirk J. Strojk, Kratak pregled istorije matematike , treće izdanje, ZUNS Beograd, 1991.

8. Snežana Sovilj, Razvoj aproksimacija broja π kroz istoriju, Matematički fakultet Beograd, 2016.



12

Naslov master rada

Izometrijske transformacije hiperboličkog prostora

Mentor

Dr Mića Stanković

Studijski program


Modul



Najpre obraditi izometrijske transformacije apsolutnog prostora. Drugi deo posvetiti izometrijskim transformacijama hiperboličkog prostora. Napraviti poredjenje sa slučajem Euklidskog prostora.


1. M. Prvanović, Neeuklidske geometrije, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 1974. 2. M. Stanković, M. Zlatanović, Neeuklidske geometrije, Prirodno matematicki fakultet, Niš, 2014. 3. M. Stanković, Euklidska geometrija, Prirodno matematicki fakultet, Niš, 2014. 4. M. Stanković, Osnovi geometrija, Prirodno matematicki fakultet, Niš, 2006.



13

Naslov master rada

Homomorfizmi i Fredholmova teorija

Mentor

Snežana Živković-Zlatanović

Studijski program

Matematika

Modul


U ovom radu se izučava Harteova generalizacija Fredholmove teorije za ograničene linearne operatore na Banachovom prostoru, na teoriju u opštim Banachovim algebrama. Harteova generalizacija je motivisana Atkinsonovom teoremom prema kojoj je ograničen linearan operator na Banachovom prostoru Fredholmov ako i samo ako je njegova klasa ekvivalencije invertibilan elemenat u Banachovoj algebri B(X)/K(X) gde je B(X) Banachova algebra ograničenih linearnih operatora na X, a K(X) ideal kompaktnih operatora u B(X). Prema Harteovoj definiciji, elemenat a algebre A je Fredholmov u odnosu na homomorhizam T:A→B ako je Ta invertibilan elemenat u algebri B. U okviru ove teme izučavaju se i T- Weylovi i T- Browderovi elementi, perturbacione klase i komutativne perturbacione klase ovih skupova kao i spektri indukovani ovim skupovima.


1. R.E. Harte, Fredholm theory relative to a Banach algebra homomorphism, Math. Zeit. 179 (1982) 431-436 2. R.E. Harte, Invertibility and singularity, Dekker 1988. 3. R. Heymann, Fredholm theory in general Banach

algebras, M.Sc. Thesis, Stellenbosch University (2010). 4. S.Č. Živković-Zlatanović, D. S. Đorđević and R.E. Harte, Ruston,

Riesz and perturbation classes, J. Math. Anal. Appl. 389(2012), 871-886.


1. Vladimir Rakočević 2. Dragan Đorđević 3. Snežana Živković-Zlatanović

14

Naslov master rada

Operatorske veličine u Fredholmovoj teoriji

Mentor

Snežana Živković-Zlatanović

Studijski program

Matematika

Modul


U okviru ove teme izučavaju se razne operatorske veličine koje karakterišu pojedine podskupove skupa semi-Fredholmovih operatora, kao i razne mere nekompaktnosti opratora, mere ne-stroge-singularnosti i mere ne-stroge-kosingularnosti operatora. Izlažu se i rezultati o asimptotskom ponašanju ovih operatorskih veličina i njihovoj vezi sa esencijalnim spektrima, kao i perturbacioni rezultati za neke podskupove skupa semi-Fredholmovih operatora.


1. R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskij, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskij, Measures of noncompactness and condensing Operators (in Russian), Nauka, Novosibirsk, 1986. 2. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knjiga, Beograd, 1994. 3. V. Müller, Spectral theory of linear operators and spectra systems in Banach algebras, Birkhäuser 2007. 4. A. Martinon, Cantidades operacionales en teoria de Fredholm, Doctoral thesis, University of La Laguna,1989. 5. A. Martinon, Operational quantities, Comment. Math. Univ. Carolinae 38,3 (1997), 471-484. 6. S. Živković, Mere nekompaktnosti i teorija operatora, Magistarski rad, Univerzitet u Nišu, Filozofski fakultet, 1995.


1. Vladimir Rakočević 2. Dragan Đorđević 3. Snežana Živković-Zlatanović

15

Naslov master rada

Bifurkacije

Mentor dr Jelena Manojlović

Studijski program

Matematika

Modul


Teorija bifurkacija je deo kvalitativne analize dinamičkih sistema. Naime, ako se struktura faznog portreta dinamičkog sistema menja sa promenom parametra u dinamičkom sistemu, kažemo da dolazi do bifurkacije. Može doći do promene u broju položaja ravnoteže ili graničnih cikla, kao i do promene u stabilnosti ili tipu postojećih položaja ravnoteže ili graničnih cikla. U radu će biti izložene osnove teorije bifurkacija dinamičkih sistema na pravoj i u ravni. Biće razmatrani osnovni oblici bifurkacija: sedlo-čvor, transkritična, račvasta i Hopf bifurkacija. Svi oblici bifurkacija biće interpretirani odgovarajućim primerima iz biologije, fizike ili hemije.


(1) Stephen Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica,

Birkhauser, Boston, 2007.

(2) S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics,

Biology, Chemistry and Engineering, Perseus Books Publishing, 1994


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Miljana Jovanović 3. dr Jelena Milošević

16

Naslov master rada

Lorencov dinamički sistemi

Mentor Jelena Manojlović

Studijski program

Matematika

Modul


U radu će biti ispitivan najpoznatiji dinamički haotični sistem – Lorencov meteorološki dinamički sistem. Lorencov meteorološki dinamički sistem daje odgovor na pitanje koliko je zaista pouzdana vremenska prognoza i da li uopšte treba verovati dugoročnim vremenskim prognozama. Biće izložena osnovna svojstva tog dinamičkog sistema, uveden pojam Poenkareovih preslikavanja i haotičnog atraktora, a zatim i detaljno ispitan Lorencov atraktor kroz haotično ponašanje Lorencovog dinamičkog sistema. Programski paket Mathematica i DynaPack biće korišćen za grafičku interpretaciju faznih portreta Lorencovog dinamičkog sistema.


(1) M.W.Hirisch, S. Smale, R.L. Devaney, Differential equations, Dynamical systems & An Introduction to Chaos, Second Edition, Elsevier Academic Press, 2004. (3) Stephen Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica, Birkhauser, Boston, Bazel, Berlin (4) S. H. Strogatz , Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, (Perseus Books Publishing, 1994)


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Jelena Milošević 3. dr Marija Krstić

17

Naslov master rada

Asimptotska svojstva rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda tipa Emden-Fowlera


Studijski program

Matematika

Modul


U radu će biti detaljno razmotrena neoscilatorna rešenja nelinearnih DJ drugog reda. Neoscilatorna rešenja se najpre klasifikuju u disjunktne podklase prema svojim asimptotskim svojstvima, a zatim se detaljno ispituju potrebni i dovoljni uslovi za egzistenciju rešenja koja pripadaju svim uočenim podklasama, u zavisnosti od odgovarajućih integralnih uslova koje zadovoljavaju koeficijenti DJ. Egzistencija singularnih rešenja prve i druge vrste takođe se posebno ispituje. Korišćenjem svih dobijenih rezultata i generalizacije Fubinije teoreme, struktura skupa svih neoscilatornih rešenja može se potpuno opisati u zavisnosti od odgovarajućih integralnih uslova.


(1) O. Došly, P. Rehak: Half-linear differential equations, Elsevier 2005. (2) Ravi P. Agarwal, Said R. Grace, Donal O'Regan: Oscillation theory for second order linear, half-linear, superlinear and sublinear dynamic equations, Kluwer Academic Publishers, 2002.



18

Naslov master rada

Laplasove tranformacije


Studijski program

Matematika

Modul


Metod Laplasovih transfrmacija je odličan “alat” za pre svega rešavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina ali za rešavanje mnogih drugih matematičkih problema kao što su izračunavanje Gama funkcije, sumiranje redova, određivanje Dirakove delta funkcije itd. Zato će u radu biti izložene i pokazane osnovne osobine Laplasovih transformacija, a zatim i njihova različita primena.


(1) Joel L. Schiff, The Laplace Transform: Theory and Applications, 1999. Springer (2) Svetlana V. Jankovi, Petar Protić, Katica Hedrih, Parcijalne diferencijalne jednačine i integralne jednačine – sa primenama u inženjerstvu, Univerzitet u Nišu, 1999.


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Snežana Živković Zlatanović 3. dr Jelena Milošević

19

Naslov master rada

Sistemi linearnih diferencnih jednačina


Studijski program

Matematika

Modul


U radu se najpre daju teorijske osnove linearnih sistema diferencnih jednačina - egzistencija i jedinstvenost rešenja. Zatim će biti izloženi osnovni metodi rešavanja sistema, nakon ćega će biti razmatrana stabilnost sistema - određivanje faznog portreta i ispitivanje stabilnosti po Ljapunovu, pri ćemu će biti dokazane osnovne diskretne teoreme Ljapunova. Biće razmatrana i razna primena linearnih sistema diferencnih jednačine - matematički modeli u epidemiologiji, populacionoj biologiji, finansijama itd.


(1) Saber Elaydi, An Introduction to Difference Equations, 2005. Springer (2) Walter G. Kelley, Alan C. Peterson, Difference equations – An Introduction with Application, Harcourt/Academic Press, 2000.



20

Naslov master rada

Fraktali


Studijski program

Matematika

Modul


Fraktal je geometrijski lik koji se može razložiti na manje delove tako da je svaki od njih, makar približno, umanjena kopija celine. Kaže se da je takav lik sam sebi sličan. Termin je izveo Benoa Mandelbrot 1975. godine i potiče od latinske reči fractus što znači slomljen. Pored toga što su izlomljeni, za fraktale je karakteristično da se isti oblik stalno ponavlja. Ako se neki deo fraktala uveća izgledaće kao celi fraktal. Fraktal često ima sledeće osobine:

finu strukturu na proizvoljno malom uvećanju; previše je nepravilan da bi mogao biti opisan tradicionalnim euklidskim

jezikom; sam je sebi sličan; Hauzdorfovu dimenziju koja je veća od njegove topološke dimenzije; jednostavnu i rekurzivnu definiciju.

Fraktali su svuda oko nas. Ne samo u obliku i izgledu stvari koje nas okružuju, već i u samoj srži raznih fenomena, u funkcijama koje opisuju jednostavnije i kompleksnije sisteme i procese. Veoma važnu primenu našli su u teoriji haosa. Naravno, umetnost ih takođe iskorišćava do krajnjih granica , na primer u izradi fantastičnih slika fraktala, najčešće kompjuterski generisanih. Posebnu primenu fraktali su pronašli u kinematografiji u izradi specijalnih efekata. Prirodni oblici koji aproksimiraju fraktale do izvesne granice su oblaci, planinski venci, munje, morske obale, snežne pahuljice, ali i neke biljke i životinje

U radu bi bili uvedeni pojmovi fractalne I Hausdorfove dimenzije, zatim izvršena osnovna klasifikacija fraktala i izloženi postupci konstrukcije najpoznatijih fractala (Kantorov skup, Kohova pahuljica, Mengerov sunđer, Truogao Sierpinskog itd.)


(1) Kenneth Falconer, Fractal geometry - mathematical foundations and applications, Wiley, UK, 2003. (2) Arthur C. Clarke, Benoit Mandelbrot, David Pennock, Gary Flake, Ian Stewart, Michael Barnsley, Nigel Lesmoir-Gordon, Will Rood, The Colours of Infinity: The Beauty and Power of Fractals, Springer, 2010. (3) BenoˆIt Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, Science, New Series, Vol. 156, No. 3775 (May 5, 1967), 636–638 (4) S. H. Strogatz , Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, (Perseus Books Publishing, 1994)


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Marko Petković 3. dr Milan Zlatanović

21

Naslov master rada

Bifurkaciona analiza predator-plen modela sa nemonotonim funkcionalnim odgovorom


Studijski program

Matematika

Modul


Biće izvršena globalna i bifurkaciona analiza jednog predator-plen dinamičkog sistema sa ciljem određivanja globalne dinamike ovog matematičkog modela. Bifurkaciona analiza različitih parametara matematičkog modela pokazaće da u dinamičkom sistemumože nastati više različite tipove bifurkacija: sedlo-čvor bifurkacija, podkritična i nadkritična Hopf bifurkacija, kao i homociklična bifurkacija. Kroz različite model probleme za dinamiku matematičkog modela biće dato odgovarajuće biološko tumačenje i izvedeni odgovarajući zaključci. Zacrtanjefaznihportretadinamičkihsistemaiodgovarajućihbifurkacionihdijagramakoristiće se softverskipaketMathematica


(1) Liujuan Chena,_FengdeChenb, LijuanChenb, Qualitative analysis of a predator_prey model with Holling type IIfunctional response incorporating a constant prey refuge, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (2010) 246_252 (2) S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Perseus Books Publishing, 1994 (3) ShiguiRuan, Dongmei Xiao, Global Analysis In A Predator-Prey System WithNonmonotonic Functional Response, SIAM J. APPL. MATH. Vol. 61, No. 4, pp. 1445–1472 (4) H.W. Broer, Vincent Naudot, Robert Roussarie, Khairul Saleh, Bifurcations of a predator-prey model with non-monotonic response function, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 601–604



22

Naslov master rada

Fiksne tačke za parove preslikavanja na parcijalnim metričkim prostorima

Mentor Dr Dejan Ilić


Modul


U radi bi se izložili najnoviji rezultati koji bi se odnosili na parcijalne metričke prosotre, i egzistenciju fiksne tačke za parove preslikavanja, sa mogućnošću dobijanja novih rezulteta.


1. Dejan Ilić, Vladimir Rakočević, Kontraktivna preslikavanja na metričkim

prostorima i uopštenja, PMF, Niš, 2014. 2. R. Agarwal, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University

Press, 2001. 3. Lj.B. Ćirić, Some Recent Results in Metrical Fixed Point Theory,

University of Belgrade, Belgrade, 2003.

Predlog članova komisije 1. Dr Vladimir Rakočević

2. Dr Dejan Ilić 3. Dr Vladimir Pavlović

23

Naslov master rada Fiksne i periodične tačke za pojedina preslikavanja

Mentor Dr Dejan Ilić


Modul


U radu bi se izložili najnoviji rezultati koji bi se odnosili na egzistenciju fiksnih i periodičnih tačaka preslikavanja, sa mogućnošću dobijanja novih rezultata.


1. Dejan Ilić, Vladimir Rakočević, Kontraktivna preslikavanja na metričkim

prostorima i uopštenja, PMF, Niš, 2014. 2. R. Agarwal, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University

Press, 2001. 3. Lj.B. Ćirić, Some Recent Results in Metrical Fixed Point Theory,

University of Belgrade, Belgrade, 2003.

Predlog članova komisije 1. Dr Vladimir Rakočević

2. Dr Dejan Ilić 3. Dr Vladimir Pavlović

24

Naslov master rada

Osobine operatora A+CX

Mentor Dragana Cvetković-Ilić


Modul


U ovom radu za date operatore A,C B(H) izučavaćemo potrebne i dovoljne uslove za egzistenciju operatora XB(H) tako da je operator A+CX: -invertibilan -injektivan -surjektivan -guste slike, U nekim slučajevima biće dat detaljan opis odgovarajućih klasa operatora. Motivacija za izučavanje ovakvih problema kao i njihova primena biće detaljno objašnjeni.


1. B. Aupetit, A primer on spectral theory, Springer, New York, 991.

2. K. Takahashi, Invertible completions of operator matrices, Integr. Equ.

Oper. Theory 21 (1995) 355-361.

3. D.S. Cvetković-Ilić, V. Pavlović, An analogue to a result of Takahashi, Journal of Math. Anal. Appl., 446(1), (2017) 264-275.

4. V. Pavlović, D.S. Cvetković-Ilić, On surjectivity and denseness of range of the operator A+CX, Journal of Spectral Theory, (accepted).


1. Dragana Cvetković-Ilić 2. Vladimir Pavlović 3. Jovana Nikolov

25

Naslov master rada

Preslikavanja na K(H) koja očuvavaju *- parcijalno uredjenje



Modul


U ovom radu izložićemo definiciju i osnovne osobine *-uredjenja na algebri ograničenih linearnih operatora B(H), kada je H beskonačno-dimenzionalan kompleksan prostor. Prikazaćemo vezu između ovog i nekih drugih uređenja definisanih na B(H) kao što su minus parcijalno uređenje, core uređenje i diamond uređenje. Posebno ćemo razmotriti osobine *-uredjenja na skupu svih kompaktnih operatora K(H), u slučaju kada je H beskonačno-dimenzionalan separabilan kompleksan Hilbertov prostor kao i karakterizaciju svih aditivno, bijektivnih, neprekidnih preslikavanja definisanih na K(H), koja očuvavaju *- parcijalno uredjenje u oba smera.


1. J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, New York, 1990. 2. G. Dolinar, J.Marovt, Star partial order on B(H) , Linear Algebra Appl. 434 (2011), 319–326. 3. A. E. Guterman, Monotone additive matrix transformations, Math. Notes 81 (2007), 609–619. 4. P. Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by the star order, Linear and Multilinear Algebra, 54 (2006), 157–188. 5. G. Dolinar, A. Guterman, J. Marovt, Automorphisms of K(H) with respect to the star partial order, Operators and matrices, 7(1) (2013), 225–239.


1. Dragana Cvetković-Ilić 2. Vladimir Rakočević 3. Vladimir Pavlović

26

Naslov master rada

Njutnovi i Kvazi-Njutnovi metodi optimizacije i primene



Modul


U uvodnom delu će se obrađivaiti osnovni pojmovi iz Nelinearne optimizacije i matrične algebre. U drugom delu rada će se izučavati osnovni metodi nelinerne optimizacije. Težište rada bi bili Njutnovi i Kvazi-Njutnovi metodi za bezuslovnu optimizaciju nelinearnih funkcija. Takođe će se izučavati primene nelinearne optimizacije u različitim oblastima matematike i računarstva.


1. Predrag Stanimirović, Marko Miladinović, Nelinearna optimizacija, Prirodno--matematički fakultet u Nišu, Niš, 2015.

2. Gradimir Milovanović, Predrag Stanimirović, Simbolička implementacija nelinearne optimizacije, Elektronski fakultet u Nišu, Niš, 2002.

3. Jorge Nocedal, Stephen Wright, Numerical optimization, Springer, 1999. 4. Adi Ben-Israel , Thomas N.E. Greville , Generalized Inverses: Theory and

Applications, Springer, 2003. 5. Ashim Kumar, Predrag S. Stanimirović, Fazlollah Soleymani, Krstić

Mihailo, Rajković Kostadin, Factorizations of hyperpower family of iterative methods via least squares approach, Computational and AppliedMathematics (2017), DOI 10.1007/s40314-017-0507-0.


1. dr Predrag Stanimirović 2. dr Dragana Cvetković-Ilić 3. dr Jelena Manojlović

27

Naslov master rada

Proizvodi pozitivno semidefinitnih matrica

Mentor

Dragana Cvetković-Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


U ovom radu predstavićemo karakterizaciju matrica iz prostora Cnxn koje se mogu prikazati kao proizvod konačno mnogo pozitivno semi-definitnih matrica. Pokazaćemo da se matrica T iz prostora Cnxn može prikazati kao proizvod pozitivno semi-definitnih matrica akko je detT0. Šta više broj činioca je ograničen sa 5. Daćemo karakterizaciju ovakvih matrica u svim pojedinačnim slučajevima, tj. u slučajevima kada je broj činioca k{1,2,3,4,5}.


1. Horn Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge (1991) 2. C.S. Ballantine, Products of positive definite matrices IV, Linear Algebra Appl., 3 (1970), pp. 79–114 3. P.Y. Wu, Products of positive semidefinite matrices, Linear Algebra Appl., 111 (1988), pp. 53–61. 4. J. Cuia, Chi-Kwong Li, S. Nung-Sing, Products of positive semi-definite matrices, Linear Algebra Appl., 111 (1988), pp. 53–61



28

Naslov master rada

Različite karakterizacije proizvoda projektora



Modul


Proizvod projektora u specijalnom slučaju ortogonalnih projektora je tema koja zauzima veoma bitno mesto u istraživanjima i može se naći u različitim oblastima kao što su funkcionalna analiza, matematička fizika, numerička analiza, statistika… Zanimljivi rezultati mogu se naći u radovima Dixmiera, Afriata, Davisa, Halmosa, Böttcher and Spitkovsky, Vidava,… U ovom radu izložićemo nekoliko različitih karakterizacija proizvoda projektora i ortogonalnih projektora objavljenih u poslednjim radovima Coracha.


1. B. Aupetit, A primer on spectral theory, Springer, New York, 991.

2. G. Corach, A. Maestripieri, Polar decompositions of oblique projections, Linear Algebra Appl. 433 (2010) 511–519. 3. G. Corach, A. Maestripieri, Products of orthogonal projections and polar decompositions, Linear Algebra Appl. 434 (2011) 1594–1609.



29

Naslov master rada

Preslikavanja na algebri ograničenih linearnih operatora koja očuvavaju levo (desno) *-uredjenje



Modul


U ovom radu izložićemo definiciju i osnovne osobine levog (desnog) *-uredjenja na algebri ograničenih linearnih operatora B(H), kada je H beskonačno-dimenzionalan kompleksan prostor. Prikazaćemo vezu između ovog i nekih drugih uređenja na B(H). Razmatraćemo karakterizaciju aditivno, bijektivnih preslikavanja definisana na algebri ograničenih linearnih operatora B(H), koja očuvavaju levo (desno) *-uredjenje.


1. B. Aupetit, A primer on spectral theory, Springer, New York, 991. 2. Svetozar Kurepa,Funkcionalna analiza, Elementi teorije peratora, Zagreb 1981. 3. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knjiga, 1994. 3. G. Dolinar, J. Marovt, Star partial order on B(H), 434(1) (2011) 319–326. 4. G. Dolinar, A. Guterman, J. Marovt, Monotone transformations on B(H) with respect to the left-star and the right-star partial order, Mathematical Inequalities and Applications 17(2) (2014) 573-589.


1. Dragana Cvetković-Ilić 2. Vladimir Rakočević 3. Vladimir Pavlović

30

Naslov master rada

Neki problemi očuvanja pri linearnim preslikavanjima

Mentor Dr Vladimir Pavlović


Modul


U ovom radu bi razmatrali probleme očuvanja određenih svojstava za preslikavanja na algebri ograničenih linearnih operatora B(X), gde je X Banachov ili Hilbertov prostor. Izučavaćemo dve vrste preslikavanja , onih koja imaju osobinu da očuvavaju svojstvo nilpotentnosti i onih koje operatore ranga 1 slikaju u operatore ranga 1.


1. B. Aupetit, Proprietes spectrales des algebres des Banach, Lecture Notes in Math., 735, Springer, Berlin, 1979. 2. B. Aupetit, A primer on spectral theory, Springer, New York, 991. 3. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knija, 1994. 4. P. Šemrl, Linear maps that preserve the nilpotent operators, Acta Sci. Math. (Szeged) 61 (1995) 523–534. 5. M. Omladic, P. Šemrl, Additive mappings preserving operators of rank one, Linear Algebra Appl. 182 (1993) 239–256. 6. Wu Jing,Pengtong Li, Shijie Lu, Additive mappings that preserve rank one nilpotent operators Linear Algebra Appl. 367 (2003) 213–224

Predlog članova komisije 1. Vladimir Pavlović

2. Vladimir Rakočević 3. Dragana Cvetković-Ilić

31

Naslov master rada

Kardinalne invarijante u topologiji

Mentor

Vladimir Pavlović

Studijski program Математика

Modul


Predmet proučavanja u ovom radu su klasične kardinalne invarijante topoloških prostora kao što su težina, gustina, karakter, pseudokarakter i sl. Prezentovani rezultati odnose se na poznate nejednakosti među njima kao i na specifičnosti vezane za njih kada se one posmatraju na određenim klasama topoloških prostora.


- I. Juhasz, Cardinal functions in topology - ten years after, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. - R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989


1. Vladimir Pavlović 2. Vladimir Rakočević 3. Dragana Cvetković-Ilić

32

Naslov master rada

Teorija dimenzija

Mentor

Vladimir Pavlović


Modul


U ovom radu će biti uvedene i proučavane mala i velika induktivna, Čech-Lebesgues-ova (tj. pokrivačka) kao i metrička dimenzija topoloških prostora. Neki od prezentovanih rezultata su teorema o poklapanju (za separabilne metrizabilne prostore), tzv. fundamentalna teorema teorije dimenzija (o dimenziji Euklidskih prostora $\mathbb R^n$), teorema o particijama, teorema Mazurkiewicz-a i dr.


- R. Engelking, Dimension theory, North-Holland, Warszawa, 1978. - R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989


1. Vladimir Pavlović 2. Vladimir Rakočević 3. Dragana Cvetković-Ilić

33

Naslov master rada

Upoređivanje operatora i egzaktnost Comparison of operators and exactness

Mentor Dr Dijana Mosić


Modul


Proučavaće se upoređivanje dva linearna operatora pomoću npr. (skoro) levog (desnog) množioca operatora, aproksimativnog levog (desnog) množioca operatora itd. Takođe će se izučavati egzaktnost operatora.


1. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knjiga, 1994. 2. R. Harte, Invertibility and singularity for bounded linear operators, Dekker, New York, 1988.

Predlog članova komisije 1. Dr Dragan Đorđević 2. Dr Dijana Mosić 3. Dr Milica Kolundžija

34

Naslov master rada

Parcijalna uređenja modifikovanih matrica Partial Orders of Modified Matrices



Modul


Različita parcijalna uređenja modifikovanih matrica biće razmatrana. Tačnije, ako su A i B dve matrice takve da je A < B, gde je „<” neko parcijalno uređenje matrica, proučavaće se uslovi pod kojima je A1 < B1, gde su A1 i B1 matrice nastale modifikovanjem matrice A i B, redom.


1. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications, 2nd Edition, Springer Verlag, New York, 2003. 2. S.K. Mitra, P. Bhimasankaram, S.B. Malik, Matrix partial orders, shorted operators and applications. World Scientific Publishing Company, 2010. 3. G. Wang, Y. Wei, S. Qiao, Generaliyed Inverses: Theory and Computations, Science Press, 2006.


35

Naslov master rada Grupni inverz operatora



Modul


Grupni inverz operatora biće razmatran. Proučavaće se ekvivalentni uslovi pod kojima važi zakon obrnutog redosleda za grupni inverz operatora.


1. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications, 2nd Edition, Springer Verlag, New York, 2003. 2. D. S. Djordjević, V. Rakočević, Lectures on generalized inverses, Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, 2008. 3. G. Wang, Y. Wei, S. Qiao, Generaliyed Inverses: Theory and Computations, Science Press, 2006.


36

Naslov master rada Mur-Penrouzov inverz zatvorenog operatora

Mentor Nebojša Dinčić


Modul


Kada se izučava Mur-Penrouzov inverz linearnih operatora, obično se pretpostavlja da su ti operatori ograničeni i sa zatvorenom slikom. U ovom master radu ide se korak dalje: izučavaju se egzistencija, reprezentacija i osobine Mur-Penrouzovog inverza zatvorenog linearnog operatora.


1. A. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized inverses, theory and applications, 2nd ed, Springer, 2003.

2. S. H. Kulkarni et al, Some properties of unbounded operators with closed range, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 118 (4), 2008, 613–625.

3. F. J. Beutler, The operator theory of the pseudo-inverse, II, Unbounded operators with arbitrary range, J. Math. Anal. Appl. 10 (1965) 471–493

4. C. W. Groetsch, Stable approximate evaluation of unbounded operators, Springer, 2007.

5. C. W. Groetsch, Inclusions and identities for the Moore-Penrose inverse of a closed linear operator, Math. Nachrichten 171 (1) (1995), 157–164


1. Dragan Đorđević 2. Marko Đikić/Miloš Cvetković 3. Nebojša Dinčić

37

Naslov master rada Radonova transformacija i njene primene u tomografiji



Modul


Radonova transformacija (uvedena 1917.) je integralna transformacija koja funkciju definisanu u ravni slika u funkciju definisanu na dvodimenzionalnom prostoru pravih u ravni, i čija vrednost na konkretnoj pravoj je jednaka krivolinijskom integralu funkcije po toj pravoj. Njena najvažnija primena je u metodu zvanom tomografija, koji se široko koristi u radiologiju, arheologiji, nauci o materijalima, astrofizici itd.


1. C. L. Epstein, Introduction to the mathematics of medical imaging, 2nded, SIAM, 2008.

2. G. T. Herman, Tomography; In O. Scherzer (ed.), Handbook of mathematical methods in imaging, Springer, 2011.

3. F. Natterer, F. Wübbeling, Mathematical methods in image reconstruction, SIAM, 2001.

4. S. Helgason, Radon transform, 2nd ed, Springer, 1999.


1. Dragan Đorđević 2. Milica Kolundžija/Marko Đikić 3. Nebojša Dinčić

38

Naslov master rada Neki kontraprimeri iz Furijeove analize



Modul


Problem konvergencije Furijeovih redova predstavlja važno pitanje Furijeove analize. U radu se, između ostalog, bavimo problemom neprekidnih funkcija čiji Furijeov red divergira, kao ieksplicitnim primerom apsolutno integrabilne funkcije čiji Furijeov red svuda divergira.


1. B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Counterexamples in analysis, Dover Publications, 1964.

2. A. Zygmund, Trigonometric Series, 3rd ed., vol. 1 and 2, Cambridge University Press, 2002.

3. Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis, 3rded., Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

4. L. Grafakos, Classical Fourier analysis, 2nd ed., Springer, 2008. 5. K. B. Howell, Principles of Fourier analysis, Chapman&Hall/CRC,

2001.


1. Dragan Đorđević 2. Milica Kolundžija/Marko Đikić 3. Nebojša Dinčić

39

Naslov master rada Planimetrijski problemi sa matematičkih takmičenja

Mentor Dr Milan Zlatanović


Modul


U radu ćemo se upoznati sa teoremama i metodama koji se često koriste kao alat za rešavanje složenih planimetrijskih problema. Bavićemo se odabranim planimetrijskim problemima i raznim načinima za njihovo rešavanje. Baziraćemo se na problemima sa Balkanske Matematičke Olimpijade, kao i Internacionalne Matematičke Olimpijade.


1.D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium, Springer, Second Edition. 2. T. Andescu, B. Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, Second Edition. 3. Dj. Baralić, 300 pripremnih zadataka za Juniorske balkanske matematičkeolimpijade, Iskustva Srbije. 4. M. Zlatanović, V. Stanković, Elementarna geometrija, PMF, Niš, 2017.

Predlog članova komisije 1. Dr Ljubica Velimirović 2. Dr Mića Stanković 3. Dr Milan Zlatanović

40

Naslov master rada Stereometrijski problemi sa matematičkih takmičenja



Modul


U radu ćemo se upoznati sa teoremama i metodama koji se često koriste kao alat za rešavanje složenih stereometrijskih problema. Bavićemo se odabranim stereometrijskim problemima i raznim načinima za njihovo rešavanje. Baziraćemo se na problemima sa Balkanske Matematičke Olimpijade, kao i Internacionalne Matematičke Olimpijade.


1. D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium, Springer, Second Edition. 2. T. Andescu, B. Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, Second Edition. 3. Dj. Baralić, 300 pripremnih zadataka za Juniorske balkanske matematičkeolimpijade, Iskustva Srbije. 4. M. Zlatanović, V. Stanković, Elementarna geometrija, PMF, Niš, 2017.


41

Naslov master rada Diferencijalna geometrija kompleksnih prostora



Modul


Specijalna klasa Hermitovih prostora su eliptički, hiperbolički i parabolički Kelerov prostor. U radu će se detaljno ponaosob proučavati svaki od pomenutih. Biće pokazane neophodne relacije između Ričijevih tenzora i strukture F. Potrebno je naći potrebne i dovoljne uslove za geodezijsko preslikavanje Rimanovih prostora na Kelerove, kao i holomorfno-projektivna preslikavanja za svaki tip Kelerovih prostora. Jedan od zadataka je i pronalaženje invarijanthih geometrijskih objekata u odnosu na holomorfno-projektivna preslikavanja.


1. Svetislav Minčić, Ljubica Velimirović, Tenzorski račun, PMF u Nišu, Niš, 2009. 2. K. Yano, Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces, Front Cover. Kentarō Yano. Macmillan, 1965. 3. J. Mikeš, A. Vanžurovna, I. Hinterleitner, Geodesic mappings and some generalizations, Olomouc, 2009.


42

Naslov master rada Prostori sa simetričnim osnovnim tenzorom i nesimetričnom

koneksijom



Modul


U radu bi se najpre razmotrio pojam i osnovne karakteristike diferencijabilne mnogostrukosti M_N . Definiše se pojam koneksije na M_N, koja je u opštem slučaju nesimetrična. Uvodi se pojam simetričnog metričkog tenzora. Prostori sa nesimetričnom koneksijom imaju važnu ulogu u mehanici kontinuma sa unutrašnjim naponima. Posmatraju se različiti slučajevi ovakvih koneksija (semisimetrična, semimetrična, metrička, Vajlova) . Biće ispitani različiti pojmovi u vezi sa ovakvim koneksijama (kovarijantni izvod, tenzor krivine,...).


1. Andjelić, T. P., Tensor calculus ,Third ed., ”Naučna knjiga” Beograd,

1973. 2. Shouten, J.A., Ricci calculus, Springer-Verlag, Berlin, 1954. 3. Svetislav M. Minčić, Ljubica S. Velimirović, Differential Geometry of

Manifolds, Faculty of Science and Mathematics, University of Niš, 2011.

4. Svetislav M. Minčić, Mića S. Stanković ,Ljubica S. Velimirović, Generalized Riemannian Spaces, Faculty of Science and Mathematics, University of Niš , 2013.

5. R. Stojanović Osnovi diferencijalne geometrije, Beograd 1963 Predlog članova komisije 1. Dr Mića Stanković

2. Dr Milan Zlatanović 3. Dr Vladimir Pavlović

43

Naslov master rada

Neke nejednakosti u verovatnoći

Mentor

Dr Jasmina Đorđević


Modul


Nejednakosti imaju važnu ulogu u teoriji verovatnoća. U ovoj tezi bi se razmatrale različite nejednakosti iz sledećih grupa nejednakosti: verovatnoće repova ocenjene pomoću momenata, momenata, koverijanse i korelacije, Lp, simetrizacije, konveksnosti, verovatnoće za maksimum, Marcinkiewics-Zygmundove, Rosenthalove.


1. A. Gut, Probability: A graduate course, Springer Science+Business Media, Inc, 2005. 2. W. Hoeffding, Probability inequalities for sums of bounded random variables, American Statistical Association Journal, (1963), 13-30. 3. M. C. Morais, Lecture Notes-Probability Theory, Department of Mathematics, Instituto Superior Tecnico, Lisbon, September 2009/10 — January 2010/11.

Predlog članova komisije 1. Dr JasminaĐorđević 2. Dr Miljana Jovanović 3. Dr MarijaMilošević

44

Naslov master rada

Neki višedimenzionalni procesi rađanja i umiranja u Teoriji masovnog opsluživanja

Mentor



Modul


U okviru ovih modela moguce je analizirati vise razlicitih slucajeva, npr. beskonacan server usluge sa dva razlicita tipa korisnika, konacan server usluge sa dva razlicita tipa korisnika sa otkazima i tandemske usluge.


1. R. Cooper, Introduction to Queueing Theory, Second Edition, Elsevier North Holand Inc, 1981. 2. L. Breuer, D. Baum, An Introduction to Queueing Theory, Springer, 2005, 3. J. Sztrik, Basic Quering Theory, irh.inf.unideb.hu/user/jsztrik/.

Predlog članova komisije 1. Dr JasminaĐorđević 2. Dr Miljana Jovanović 3. Dr MarijaKrstić

45

Naslov master rada

Modeli masovnog opsluživanja u različitim softverima

Mentor



Modul


Pomoću različitih softvera mogu se ilustrovati svi matematički modeli u teoriji masovnog opsluživanja, konkretno se izračunati vremena čekanja za pojedinačne slučajeve, ukazati na razlike među modelima i istaknuti karakteristike svakog od modela.


1. R. Cooper, Introduction to Queueing Theory, Second Edition, Elsevier North Holand Inc, 1981. 2. L. Breuer, D. Baum, An Introduction to Queueing Theory, Springer, 2005, 3. J. Sztrik, Basic Quering Theory, irh.inf.unideb.hu/user/jsztrik/. 4. https://web2.uwindsor.ca/math/hlynka/qsoft.html

Predlog članova komisije 1. Dr Jasmina Đorđević 2. Dr Miljana Jovanović 3. Dr Marija Milošević

46

Naslov master rada Modeli osnovnih kognitivnih funkcija

Mentor dr Marija Milošević


Modul


U ovom radu bi najpre bili predstavljeni deterministički modeli osnovnih kognitivnih funkcija, kao što su kapacitet i različiti načini obrade informacija. Zatim bi bili razmatrani modeli navedenih kognitivnih funkcija koji se zasnivaju na teoriji verovatnoća.


1. J. T. Townsend, F. Gregory Ashby, The stochastic modeling of

elementary psychological processes, Cambridge University Press, 1983.

2. A. N. Shiryaev, Probability, Springer, 1996.


1. dr Marija Milošević 2. dr Miljana Jovanović 3. dr Jasmina Đorđević

47

Naslov master rada

Primena procesa grananja u stohastičkim populacionim i epidemiološkim modelima

Mentor

Marija Krstić


Modul


Procesi grananja se mogu koristiti kao sredstvo za razumevanje mnogih pojava u stohastičkim populacionim i epidemiološkim modelima. Deterministički populacioni modeli mogu dobro da opišu dinamiku populacije kada se radi o populacijama koje broje veliki broj jedinki. Međutim, kada populacija nije brojna potrebni su stohastički modeli da bi se procenila, na primer, verovatnoća izumiranja. Sredinom 19. veka Galton i Watson su uveli procese grananja da bi opisali izumiranje prezimena. Whittle je 1955. primenio tu teoriju da bi objasnio veća širenja epidemije u SIR epidemiološkim modelima, a sada se ova teorija primenjuje kako prilikom procene istrebljenja, tako i pri opisivanju invazije neke vrste na novo stanište, ili širenju nekih bolesti.


1. Linda Allen, Stochastic Population and Epidemic Models-Persistence and Extinction, Springer International Publishing, 2015.

2. Linda Allen, An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, PEARSON EDUCATION, INC., Upper Saddle River, New Jersev 07458, 2003.

3. Eric Renshaw, Stochastic Population Processes-Analysis, Approximations, Simulations, Oxford University Press, 2011.

4. Linda Allen, Brancing Processes, http://www.math.mun.ca/~xzhao/ARRMSschool/BranchingProcess.pdf


1. dr Marija Krstić 2. dr Miljana Jovanović 3. dr Marija Milošević

48

Naslov master rada Neograničene matrice operatora

Mentor dr Milica Kolundžija


Modul


Rad se bavi klasama neograničenih matrica operatora koje se razlikuju u zavisnosti od osobina operatora koji čine matricu operatora. Ispituju se zatvorenost i zatvorivost matrica operatora, kao i njihova spektralna svojstva.


1. C. Tretter, Spectral Theory of Block Operator Matrices and

Applications, Imperial College Press, 2008. 2. M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics,

Academic Press, 1980.

Predlog članova komisije 1. Prof. dr Dragan Đodrđević

2. dr Dijana Mosić

3. dr Milica Kolundžija

49

Naslov master rada Lijeve algebre



Modul


Lijeva algebra je algebra u kojoj komutator zadovoljava antisimetričnost i Jakobijev identitet. U ovom radu, biće izučavane osobine Lijevih algebri, zajedno sa idealima i homomorfizmima na njima. Poseban osvrt izučavanja, biće na Lijevim algebrama malih dimenzija koje će dovesti do primera Lijevih algebri. U nastavku, dolazimo i do pitanja rešivih i nilpotentnih Lijevih algebri.


1. K. Erdmann, M. Wildon, Introduction to Lie Algebras, 1st edition,

Springer, 2006. 2. M. Damjanović, Hilbertovi prostori i grupe, Fizički fakultet,

Univerzitet u Beogradu, 2000. 3. H. Samelson, Notes on Lie Algebra, Van Nostrand, New York 1969.

Predlog članova komisije 1. Prof. dr Snežana Ilić

2. Prof. dr Dragan Đorđević


50

Naslov master rada Teorija reprezentacije grupa



Modul


Rad izučava teoriju reprezentacije grupa počevši od definicije i osnovnih osobina, preko ekvivalentnosti i unitarnosti reprezentacije, kao i ireducibilnim reprezentacijama. Takođe, rad se bavi i operacijama sa reprezentacijama.


1. M. Damjanović, Hilbertovi prostori i grupe, Fizički fakultet,

Univerzitet u Beogradu, 2000. 2. M. Vuković, Teorija grupa i reprezentacija s primjenama u fizici,

Univerzitet u Sarajevu, 2003.

Predlog članova komisije 1. Prof. dr Snežana Ilić

2. Prof. dr Dragan Đorđević


51

Naslov master rada Generalizacija zakona obrnutog redosleda na prostorima matrica i operatora

Mentor Jovana Nikolov Radenković


Modul

Kratak sadržaj rada Rad se bavi zakonom obrnutog redosleda za matrice i operatore. Posebna pažnja biće usmerena na zakon obrnutog redosleda za tri ili više operatora na Hilbertovom prostoru.


1. A. Ben-Israel, T. N. E. Greville, Generalized Inverse: Theory and Applications, Springer Verlag, New York, 2003.

2. J. Nikolov Radenković, Reverse orderlawfor multiple operator product, LinearandMultilinear Algebra, 64:7 (2016), 1266-1282.


1. drDraganaCvetković-Ilić 2. drDijanaMosić 3. dr Jovana Nikolov Radenković

52

Naslov master rada Diskretni dinamički sistemi

Mentor dr Jelena Milošević


Modul


U ovom radu uveli bismo novi tip dinamičkih sistema, u kojima je vreme diskretno, pa se zato i nazivaju diskretni dinamički sistemi. Ti sistemi su poznati još i kao diferencne jednačine ili iterativna preslikavanja. Prvo bismo uveli osnovne pojmove kao što su fiksne i periodične tačke, kao i njihova stabilnost. Zatim bismo se pozabavili grafičkim predstavljanjem pomoću tzv. Paukove mreže i bifurkacijama diskretnih dinamičkih sistema. Ovi sistemi su pogodni pre svega kao alat za analiziranje diferencijalnih jednačina (npr. Poinkareovo preslikavanje), modeli prirodnih fenomena i kao jednostavni primeri haosa.


1. Stephen Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica, Birkhauser, Boston, Bazel, Berlin, 2007. 2. Gerald Teschl, Ordinariy Differential Equations and Dynamical Syistems, American Mathematical Society, 2012. 3. M.W.Hirisch, S. Smale, R.L. Devaney, Differential equations, Dynamical systems & An Introduction to Chaos, Second Edition, Elsevier Academic Press, 2004.


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Marija Krstić 3. dr Jelena Milošević

53

Naslov master rada Time scales račun (The Time scales calculus) Mentor dr Jelena Milošević


Modul


U matematici, time scales račun predstavlja uopštenje neprekidne i diskretne analize, uopštenje teorije diferencnih i diferencijalnih jednačina. Time scale je proizvoljan, neprazan zatvoren podskup skupa realnih brojeva, koji je uveo Stefan Hilger u svojoj doktorskoj disertaciji 1988. godine. Ima veliku primenu u bilo kojoj oblasti koja zahteva istovremeno modeliranje diskretnih i neprekidnih podataka. U ovom radu bismo uveli osnovne definicije vezane za time scale. Zatim bismo uveli pojam diferenciranja i integracije na time scale-u. A na kraju bismo dali i neke od primena ovog veoma korisnog matematičkog alata.


1. Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, Boston, Bazel, Berlin, 2001.


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Marija Krstić 3. dr Jelena Milošević

54

Naslov master rada Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem programskog paketa

Mathematica Mentor dr Jelena Milošević


Modul


Diferencijalne jednačine su se pojavile kao matematički modeli u rešavanju važnih prirodnih i tehničkih problema. Kako su i danas diferencijalne jednačine prisutne u raznim naučnim oblastima, a posebno u fizici, tehničkim naukama, hemiji, biologiji, ekonomiji, jedan od ciljeva ovog rada bio bi da se ukaže na neke mogućnosti praktične primene teorije diferencijalnih jednačina. Prikazali bismo jedan novi pristup ovoj teoriji, kroz interaktivne sadržaje i detaljno urađene primere u programskom paketu Mathematica. Raznovrstnost programskog paketa Mathematica nam omogućava da na mnogo različitih načina pristupimo rešavanju običnih diferencijalnih jednačina. U nekim slučajevima ovaj programski paket ima već ugrađene funkcije koje odmah rešavaju jednačinu, a u drugim slučajevima ovaj programski paket vrši izračunavanja kojima je takodje moguće doći do rešenja diferencijalnih jednačina.


1. Clay C. Ross, Differential Equations- An Introduction with Mathematica, Springer, Second Edition, 2004. 2. Stephen Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica, Birkhauser, Boston, Bazel, Berlin, 2007. 3. Martha L. Abell, James P. Braselton, Differential Euations with Mathematic, Academic Press, Foutrth Edition, 2016.


1. dr Jelena Manojlović 2. dr Jovana Nikolov-Radenković 3. dr Jelena Milošević

55

Naslov master rada Hardy-Hilbertov prostor i invarijanti podprostori šifta Mentor dr Marko Đikić Studijski program Matematika Modul


Unilateralni šift je operator definisan na prostoru (ili uopšte, na proizvoljnom separabilnom Hilbertovom prostoru sa fiksiranom ortonormiranom bazom) na sledeći način: . Interesantnoje da se invarijantnipodprostoriovogoperatora ne mogu (naprirodannačin) okarakterisati u terminimaprostora . Zadovoljavajuća karakterizacija se dobija prelaskom na Hardy-Hilbertov prostor na jediničnom krugu, gde je šift zapravo operator multiplikacije

. Na ovaj način se dolazi i do osnovnih faktorizacija analitičkih funkcija iz Hardy – klase i uspostavlja veza između faktorizacija unutrašnjih funkcija i rešetke invarijantnih podprostora za šift.

Ovaj master rad sadržao bi teorijski uvod u Hardyjeve prostore analitičkih funkcija na jediničnom krugu. Zatim, prikaz takozvane Beurlingove teoreme o invarijantnim podprostorima šifta, nakon čega bi se dokazali osnovni rezultati u dva pravca: rezultati o rešetki invarijantnih podprostora šifta, i rezultati o unutrašnjo-spoljašnjoj (inner – outer) faktorizaciji analitičkih funkcija, kao i o kanonskoj faktorizaciji unutrašnjih funkcija preko Blaschkeovih proizvoda i singularnih unutrašnjih funkcija.


1. R.A. Martinez-Avendano, P. Rosenthal, An Introduction to Operators on the Hardy-Hilbert Space, Springer, 2007.

2. N.K. Nikol'skii, Treatise on the Shift Operator, Spectral Function Theory, Springer, 1986.

3. H. Radjavi, P. Rosenthal, Invariant Subspaces, Springer, 1973.


1. dr Dragan Đorđević 2. dr Snežana Živković-Zlatanović 3. dr Marko Đikić

56

Naslov master rada Teorija o dva projektora Mentor dr Marko Đikić Studijski program Matematika Modul


Teorija o dva projektora je neformalni naziv za skup tehnika i rezultata koji se tiču uzajamnog odnosa dva ortogonalna projektora na proizvoljnom Hilbertovom prostoru. Osnovna ideja iza ove teorije je da se geometrija i algebra ortogonalnih projekcija na dve presecajuće prave u ravni u ogromnoj meri, a u izvesnom smislu i potpuno, prenosi na slučaj para ortogonalnih projektora na proizvoljnom Hilbertovom prostoru. Smatra se da ova teorija kreće člankom P. Halmosa „Two subspaces“, a trenutno najbolja referenca na ovu temu je pregledni članak Böttchera i Spitkovskog „A gentle guide to the basics of two projections theory“.

Cilj master rada bio bi da prikaže rezultate ove teorije kao i neke od brojnih primena ovih rezultata.


1. P. Halmos. Two subspaces, Trans. Amer. Math. Soc 144 (1969)

2. A. Böttcher, I. Spitkovsky. A gentle guide to the basics of two projections theory, Linear Algebra Appl. 432 (2010)


1. dr Milica Kolundžija 2. dr Jovana Nikolov-Radenković 3. dr Marko Đikić

57

Naslov master rada Toeplitzovi operatori na Hardy-Hilbertovom prostoru Mentor dr Marko Đikić Studijski program Matematika Modul


Toeplitzovi operatori predstavljaju redukcije operatora multiplikacije na podprostor prostora , gde je jedinična

kružnica u kompleksnoj ravni, a normirana Lebesgueova mera. Toeplitzovi operatori na prostoru (kao i opštija varijanta, na Banachovim prostorima ) predstavljaju izuzetno važnu klasu operatora a njihovo izučavanje danas predstavlja vrlo živu oblast.

U ovom master radu bi se najpre dao uvod u Hardy-Hilbertov prostor (i Hardyjeve prostore uopšte), a zatim bi se proučila razna svojstva Toeplitzovih operatora: karakterizacije preko Toeplitzovih matrica, preko komutatora, invertibilnost, spektralna svojstva, itd. Takođe, biće dat osvrt i na konačne Toeplitzove matrice, kao i na Henkelove operatore, koji predstavljaju „parnjake“ Toeplitzovih operatora.


1. R.A. Martinez-Avendano, P. Rosenthal, An Introduction to Operators on the Hardy-Hilbert Space, Springer, 2007.

2. A. Böttcher, B. Silbermann, Analysis of Toeplitz Operators, Second Edition, Springer, 2006


1. dr Dijana Mosić 2. dr Nebojša Dinčić 3. dr Marko Đikić

Documents

MATEMATIKA - pmf.ni.ac.rs · 2 Naslov master rada Spektralna analiza stacionarnih vremenskih nizova Mentor Dr Biljana Popović Studijski program Matematika Modul Kratak sadržaj rada