MATEMATIKA ÉRETTSÉGI

2014. október 14. KÖZÉPSZINT

I.

1) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az 1; 3

ponton, és egyik normálvektora a 8;1 vektor! (2 pont)

Megoldás:

8 5x y (2 pont)

2) Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű kifejezéseket! A számítás menetét részletezze!

x x x x x2 2- 3 - 4 4 2 7 (2 pont)

Megoldás:

2 23 6 9x x x (1 pont)

24 4 16x x x (1 pont)

Az összevont alak: 7x (1 pont)

Összesen: 3 pont

3) Adott a valós számok halmazán értelmezett x x2

5 4 függvény.

Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? (2 pont)

Megoldás:

A helyes válasz: C (2 pont)

4) Adja meg az alábbi egyenlet megoldásait a valós számok halmazán!

2 8 8x (3 pont)

Megoldás:

1 0x (1 pont)

2 4x (1 pont)

3 4x (1 pont)

Összesen: 3 pont

5)

a) Mely valós számokra értelmezhető a 2log 3 x kifejezés? (1 pont)

b) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet!

2log 3 0 x (2 pont)

Megoldás:

a) 3x (1 pont)

b) 2x (2 pont)

Összesen: 3 pont 6) Az első 100 pozitív egész szám közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet.

Adja meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott szám osztható 5-tel! (2 pont)

Megoldás:

A kérdéses valószínűség: 20

100 0,2 . (2 pont)

7) Adja meg a következő egyenlet 0;2π intervallumba eső megoldásának

pontos értékét!

sin 1 x (2 pont)

Megoldás:

3

2x (2 pont)

8) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett 1 cos x x

függvény értékkészletét! (2 pont)

Megoldás:

A függvény értékkészlete: 0;2 (2 pont)

9) Egy kör érinti az y tengelyt. A kör középpontja a 2;3K pont. Adja meg

a kör sugarát, és írja fel az egyenletét! (3 pont)

Megoldás:

A kör sugara: 2r , (1 pont)

egyenlete: 2 2

2 3x y (1 pont)

4 (1 pont)

Összesen: 3 pont

10) Az ábrán látható függvény értelmezési

tartománya a 2;3 intervallum, két

zérushelye a 1 és 2. Az értelmezési tartományának mely részhalmazán vesz fel a

függvény pozitív értéket? (2 pont)

Megoldás:

A kérdéses intervallum: 1;2 (2 pont)

11) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán!

5 3

7

x y

x y

Válaszát indokolja! (4 pont)

Megoldás:

A második egyenletből: 7y x (1 pont)

Az első egyenletbe helyettesítve: 5 7 3x x . (1 pont)

1x (1 pont)

8y (1 pont)

Összesen: 4 pont

12) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! A: Minden valós szám abszolút értéke pozitív.

B: 1

416 2

C: Ha egy szám osztható 6-tal és 9-cel, akkor biztosan osztható 54-gyel is. (2 pont)

Megoldás:

A: Hamis B: Igaz

C: Hamis (2 pont)

II/A.

13) Egy közvélemény-kutató intézet azt a feladatot kapta, hogy két alkalommal – fél év különbséggel –

mérje fel a TV-ben látható három filmsorozat nézettségi adatait. Az ábrán látható kérdőíven a válaszoló vagy azt jelölhette be, hogy az A, B, és C

sorozatok közül melyiket nézi (akár többet is meg lehetett jelölni) , vagy azt, hogy egyiket sem nézi.

Az első felméréskor kapott 600 kérdőív jelöléseit összesítve megállapították, hogy az A sorozat összesen 90 jelölést kapott, a B sorozat összesen

290-et, a C sorozat pedig összesen 230-at. Érdekes módon olyan válaszadó nem volt, aki pontosan két sorozatot nézett volna, viszont 55-en mindhárom sorozatot bejelölték.

a) A válaszolók hány százaléka nézte az A sorozatot? (2 pont) b) Hány válaszoló nem nézte egyik sorozatot sem? (5 pont)

A második felmérés során kiválogatták azokat a kérdőíveket, amelyeken valamelyik sorozat meg volt jelölve. Ezeken a három sorozat nézettségére összesen 576 jelölés érkezett. Az adatok feldolgozói minden jelölést

megszámoltak, és a végeredményről az itt látható kördiagramot készítették. c) Számítsa ki, hogy az egyes sorozatok nézettségére hány jelölés

érkezett! (5 pont)

Megoldás:

a) Az A sorozatot a válaszolók 90

100600

(1 pont)

15%-a nézte. (1 pont)

b) A kizárólag az egyik sorozatot nézők számát megkapjuk, ha az adott sorozatot nézők számából kivonjuk a mindhárom sorozatot nézők számát (55), (1 pont)

ezért csak az aA sorozatot 35 , csak a B sorozatot 235 , csak a C sorozatot

175 válaszadó nézte. (2 pont)

Így a valamelyik sorozatot nézők száma 35 235 175 55 500 , (1 pont)

ezért egyik sorozatot sem nézte 600 500 100 fő. (1 pont)

c) Az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek: ( az A -val jelölt 55 ) , a

B -vel jelölt 135 , a C -vel jelölt 170 . (2 pont)

A kördiagramon 1 -nak 576

1,6360

válaszadó felel meg. (1 pont)

Az A sorozatra 55 1,6 88

A B sorozatra 135 1,6 216 (2 pont)

A C sorozatra 170 1,6 272 jelölés érkezett.

Összesen: 12 pont

14) Egy család személyautóval Budapestről Keszthelyre utazott. Útközben

lakott területen belül, országúton és autópályán is haladtak. Az utazással és az autóval kapcsolatos adatokat a következő táblázat tartalmazza:

megtett út

hossza ( km )

átlagsebesség

km

óra

átlagos benzinfogyasztás

100 km-en (liter)

lakott

területen belül 45 40 8,3

országúton 35 70 5,1

autópályán 105 120 5,9

a) Mennyi ideig tartott az utazás? (4 pont)

b) Hány liter ezen az utazáson az autó 100 km-re eső átlagfogyasztása? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont)

Útközben elfogyott az autóból a benzin. A legközelebbi benzinkútnál kétféle benzines kannát lehet kapni. A nagyobbra rá van írva, hogy 20 literes, a kisebbre nincs ráírva semmi. A két kanna (matematikai

értelemben) hasonló, a nagyobb kanna magassága éppen kétszerese a kisebb kanna magasságának. c) Hány literes a kisebb kanna? (4 pont)

Megoldás:

a) Egy adott útszakasz megtételéhez szükséges időt megkapjuk, ha az útszakasz hosszát elosztjuk az útszakon mért átlagsebességgel. (1 pont) Az egyes útszakaszok megtételéhez szükséges idő lakott területen belül: 1,125 ( óra )

országúton: 0,5 ( óra ) (2 pont)

autópályán 0,875 ( óra ) .

Így összesen 1,125 0,5 0,875 2,5 óráig tartott az utazás. (1 pont)

b) Az egyes útszakaszokon az autó fogyasztása

lakott területen belül: 45

8,3 3,735100

( liter ) ,

országúton: 35

5,1 1,785100

( liter ) , (2 pont)

autópályán: 105

5,9 6,195100

( liter ) .

Az összes fogyasztás 185km-en 11,715 liter. (1 pont)

100km -en az átlagfogyasztás: 11,715

100185

( liter ) . (1 pont)

Az autó átlagfogyasztása 100km -en kb. 6,3 liter. (1 pont)

c) A két test hasonló, a hasonlósági arány 1: 2 , (1 pont)

így a térfogatok aránya 1: 8 . (2 pont)

A kisebb kanna térfogata 20

2,58

liter. (1 pont)

Összesen: 13 pont

15) Egy téglatest alakú akvárium egy csúcsból kiinduló élei 30 cm, 40 cm, illetve 50 cm hosszúak. a) Hány literes ez az akvárium? (A számolás során tekintsen el az

oldallapok vastagságától!) (3 pont) Tekintsük azt a háromszöget, amelynek

oldalait az ábrán látható téglatest három különböző hosszúságú lapátlója alkotja. b) Mekkora ennek a háromszögnek a

legkisebb szöge? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg!

(8 pont)

Megoldás:

a) 30 40 50 60000V 3cm (1 pont)

60V 3dm . (1 pont)

Az akvárium térfogata 60 liter. (1 pont)

b) Az egyes lapátlók hossza:

2 250 40 4100 64,03 cm ,

2 250 30 3400 58,31 cm , (2 pont)

2 230 40 50 cm .

A legkisebb szög a legrövidebb oldallal van szemben. (1 pont)

A legrövidebb oldallal szemközti szöget α -val jelölve, koszinusztétellel:

2500=4100+3400-2× 4100× 3400 cosα . (2 pont)

Ebből cosα cosa 0,6696 . (2 pont)

A háromszög legkisebb szöge: 48α . (1 pont)

Összesen: 11 pont

II/B.

16) Egy számtani sorozat első tagja 56, differenciája 4 .

a) Adja meg a sorozat első 25 tagjának összegét! (2 pont)

b) Számítsa ki az n értékét és a sorozat n -edik tagját, ha az első n tag

összege 408. (8 pont)

Egy mértani sorozat első tagja 2510 , hányadosa0,01.

c) Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 100 000? (7 pont)

Megoldás:

a) A számtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képlet alapján:

25

2 56 24 425

2S

(1 pont)

200 (1 pont)

b) A számtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képlet alapján:

2 56 1 4408

2

nn

. (1 pont)

A műveleteket elvégezve: 2816 112 4 4n n n . (2 pont)

A másodfokú egyenlet: 24 116 816 0n n , (1 pont)

ennek gyökei, vagyis n lehetséges értékei: 12 és 17 . (2 pont)

Ha 12n , akkor 12 56 11 4a 12 . (1 pont)

Ha 17n , akkor 17 56 16 4a 8 . (1 pont)

c) A mértani sorozat n -edik tagjának kiszámítására vonatkozó képlet alapján: 25 1100000 10 0,01n . (1 pont)

Ebből 1

5 25 210 10 10n

. (2 pont)

A hatványozás azonosságainak felhasználásával: 20 2 210 10 n . (2 pont)

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt: 20 2 2n .

(1 pont) 11n . (1 pont)

Összesen: 17 pont

17) A biliárdjáték megkezdésekor az asztalon 15 darab azonos méretű,

színezésű biliárdgolyót helyezünk el háromszög alakban úgy, hogy az első sorban 5 golyó legyen, a másodikban 4, a következőkben pedig 3, 2, illetve 1 golyó. (A golyók elhelyezésére vonatkozó egyéb szabályoktól tekintsünk

el.) a) Hányféleképpen lehet kiválasztani a 15-ből azt az 5 golyót, amelyet

majd az első sorban helyezünk el? (Az 5 golyó sorrendjét nem vesszük

figyelembe.) (3 pont) b) Hányféle különböző módon lehet az első két sort kirakni, ha a 9 golyó

sorrendjét is figyelembe vesszük? (3 pont) Egy biliárdasztal játékterülete téglalap alakú, mérete 194 cm × 97 cm. A játékterület középpontja felett 85 cm-rel egy olyan (pontszerűnek

tekinthető) lámpa van, amely fénykúpjának a nyílásszöge 100°. c) Számítással állapítsa meg, hogy a lámpa megvilágítja-e a játékterület

minden pontját! (11 pont)

Megoldás:

a) 15 golyóból az első sorba kerülő 5-öt 15

5

(2 pont)

3003 -féleképpen lehet kiválasztani. (1 pont)

b) A lehetséges különböző kirakások száma: 15 14 ... 8 7 (2 pont)

1816214400 . (1 pont)

c) Az ábra, melyen a lámpa fénykúpjának nyílásszöge, azaz 100α , a kúp magassága 85m cm , az

alapkör sugara r . (2 pont)

Szögfüggvény alkalmazása a derékszögű háromszögben: tg50 (1 pont)

r

m . (1 pont)

Ebből az alapkör sugara: 101,3r cm . (1 pont)

A kérdés megválaszolásához az asztallap két legtávolabbi pontjának a

távolságát kell vizsgálni, vagyis meg kell határozni a téglalap átlóinak e a

hosszát. (2 pont) 2 2 2194 97e (1 pont)

216,9e cm (1 pont)

Mivel 2e r , (1 pont)

ezért a lámpa nem világítja be az asztallap minden pontját. (1 pont)

Összesen: 17 pont

18) Egy focicsapat 11 játékosa megérkezik az edzésre, néhányan kezet fognak

egymással. (Két játékos között legfeljebb egy kézfogás történik.) Az edző felírta, hogy ki hányszor fogott kezet, és a következő számokat kapta: 0; 1; 2; 2; 2; 5; 0; 0; 4; 4; 2.

a) Ábrázolja a kézfogásoknak egy lehetséges gráfját, ahol a pontok a játékosokat jelölik, és két pont között akkor van él, ha az illetők kezet fogtak az edzés előtt! (3 pont)

b) Hány kézfogás történt összesen? (2 pont) Egy másik alkalommal az edző által feljegyzett 11 nemnegatív egész

számról a következőket állapítottuk meg: a számok egyetlen módusza 2, mediánja 3, átlaga 4, terjedelme pedig 5 volt. c) Adjon meg a fenti feltételeknek megfelelő 11 nemnegatív egész

számot! (5 pont) Az edzésen a játékosok a tizenegyesrúgást gyakorolják. Az egyik játékos 0,9 valószínűséggel lövi be a tizenegyest.

d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy három rúgásból legalább egyszer betalál? A valószínűség pontos értékét adja meg! (7 pont)

Megoldás:

a) Több lehetőség is van, például: (3 pont) b) Annyi kézfogás történt, ahány éle van a gráfnak,

(1 pont) összesen 11. (1 pont)

c) A vizsgázó által megadott számok egyetlen módusza 2, (1 pont) mediánja 3, (1 pont)

átlaga 4, (1 pont) terjedelme 5. (1 pont) Egy lehetséges megoldás például 2; 2; 2; 2; 2; 3; 6; 6; 6; 6; 7. (1 pont)

d) Annak a valószínűsége, hogy a játékos nem lő be egy tizenegyest

1 0,9 0,1 . (1 pont)

Összesen három lehetőséget kell figyelembe venni. (1 pont) Pontosan egyszer talál be, és kétszer nem. Ennek valószínűsége:

23

0,9 0,1 0,0271

. (1 pont)

Pontosan kétszer talál be, és egyszer nem. Ennek valószínűsége:

23

0,9 0,1 0,2432

. (1 pont)

Annak a valószínűsége, hogy mindháromszor betalál: 30,9 0,729 .

(1 pont) A keresett valószínűség ezek összege, (1 pont)

azaz 0,999. (1 pont) Összesen: 17 pont